§9.2 磁场的高斯定理与安培环路定理

一、磁场的高斯定理一、磁场的高斯定理1. 磁力线1. 磁力线2. 磁通量3. 磁场中的高斯定理3. 磁场中的高斯定理

二、安培环路定理二、安培环路定理定理证明及应用定理证明及应用

为形象的描绘磁场分布而引入的一组有方向的空间曲线。

一、磁场的高斯定理一、磁场的高斯定理1. 磁力线 ( 磁感应线 )1. 磁力线 ( 磁感应线 )

AB

AB

BB

§9.2 磁场的高斯定理

（ 1 ）规定：曲线上每一点的切线方向就是该点的磁感强度 B 的方向，曲线的疏密程度表示该点的磁感强度 B 的大小 .

切线方向—— 的方向疏密程度—— 的大小

B

B

（ 2）磁力线的形状

4

5

6

太阳上存在“磁绳”

1. 磁力线为闭合曲线或两头伸向无穷远；2. 磁力线密处 B 大；磁力线疏处 B 小；3. 闭合的磁力线和载流回路互套在一起；4. 磁力线和电流满足右手螺旋法则。

（ 3 ）磁力线的性质

2 磁通量

B

SS

NB

Δ

Δ

磁场中某点处垂直 矢量的单位面积上通过的磁力线数目等于该点 的数值 .

B

B

dm sΦ B S

S

B

d mΦ

dS

穿过某一曲面的磁通量

磁通量单位：韦伯， Wb

d

dmΦ

BS

定义 : 通过任一曲面的磁力线的条数称为通过这一面元的磁通量 。mΦ

B

ss B

ne

0dd 111 SBΦ

0dd 222 SBΦ

B

S

1dS

11B

2dS

22B

规定：取闭合面外法线方向为正向。磁力线穿出闭合面为正通量，磁力线穿入闭合面为负通量。

x

IB

π20

d dΦ SB

例 如图载流长直导线的电流为 , 试求通过矩形面积的磁通量 .

I

解：

1d2d

lI

xo

B

1

20 lnπ2 d

dIlΦ

2

1

d

π2d 0 d

dS x

xIlSBΦ

0

2 πd

Ix

xl

定理表述：穿过任意闭合面的磁通量等于零。

0m

s

B dS

•磁场是无源场，磁力线为闭合曲线。

3. 磁场中的高斯定理3. 磁场中的高斯定理

由于磁力线为闭合曲线，穿入穿出闭合面的磁力线根数相同，正负通量抵消。

利用毕奥萨伐尔定律证明磁场中的高斯定理http://kc.njnu.edu.cn/dcx/main/dcxweb/neirong/pages/nr/nr2301.htm

lR

IlB

ld

π2d 0

o

I

R

l

设闭合回路 为圆形回路（ 与 成右螺旋）

Il

lIlB

l 0d

B

l

dR

IB

π20

二、安培环路定理二、安培环路定理1.定理证明

o

I

R

B

l

d

l

2π0

00d d

2 πl

IB l φ I

0 0d d d2 π 2 π

I IB l r φ φ

r

若回路绕向为逆时针

对任意形状的回路

IlBl 0d

r

B

l

I

dφ

l

d

01 1 2 2d d d

2 π

IB l B l φ

0dd 2211 lBlB

0d lBl

电流在回路之外

2

02

1

01 π2π2 r

IB

r

IB

，

Il

dφ1dl

1r 2r2dl

1B

2B

多电流情况 321 BBBB

推广：

)(d 320 IIlBl

安培环路定理

n

iiIlB

10d

1I2I 3I

l

在真空中的稳恒磁场内，磁感应强度沿闭合回路的线积分等于环路所包围的电流代数和乘以 0 。

0L iB dl I

2. 定理表述2. 定理表述

数学表达式：

§9.2 安培环路定理

说明：电流 I 正负的规定：

I 与 L 成右螺旋时， I 为正；反之为负 .

(2) 环路定理只适用于闭合的恒定电流或无限电流 .对一段电流，只能用毕奥—萨伐尔定律。

(1) 为环路上一点的磁感应强度，它与环路内外电流都有关。

B

(3) 安培环路定理说明磁场性质—磁场是有旋场。

0L iB dl I

0 1 2I I （ ）

问 : （ 1 ） B 是否与回路 L 外电流有关？

3I2I

1I L1I

1I

dL

B l

课堂讨论

（ 2 ）若 ，是否回路 L 上各处

(3) , 是否回路 L 内无电流穿过？

0?B

0d lBL

0d lBL

0 1 1 1 2( )I I I I

利用高安培环路定理求磁感应强度的关健：根据磁场分布的对称性，选取合适的闭合环路。

安培环路定理为我们提供了求磁感应强度的另一种方法。但利用安培环路定理求磁感应强度要求磁场具有高度的对称性 。

0L iB dl I

选取环路原则选取环路原则

目的是将 :

或

(1) 环路要经过所研究的场点。(2) 环路的长度便于计算；(3) 要求环路上各点 大小相等， 的方向与环路方向一致，

B

B

的方向与环路方向垂直，B

L

IldB 0

写成dl

IB 0

0cos , ldB

L

ldB 0

【例 9-4 】求长直密绕螺线管内磁场 .

解 : (1) 对称性分析螺旋管内为均匀场 , 方向沿轴向 , 外部磁感强度趋于零 ，即 .0B

PMOPNOMNl

lBlBlBlBlB

ddddd

IMNnMNB 0 nIB 0结论：无限长载流螺线管内部磁场处处相等 , 外部磁场接近为零 .

(2) 选回路 .L

+++ +++ ++++++

B

磁场 的方向与电流 成右手螺旋 .

B

I L

M N

P O

d

R

0d 2 π ( )lB l B R NI

00 2 π

NB nI

RI

结论：当 时，螺绕环内可视为均匀场 .2R d

【补充】求载流螺绕环内的磁场

(2) 选回路 .

解 : (1) 对称性分析；环内 线为同心圆，环外 为零 .

B B

R

I【例 9-5 】无限长载流圆柱体的磁场解 : (1) 对称性分析 (2) 选取回路

,r R

1 02 π rB I 01 2 π

IB

r

20 2

0 d ππl

Ir R B l r

R

20

2 22 π ,r

rB IR

0

2 22 π

IB r

R

IlBl 0d

I B

d

Id

.

B

RL r

R

B

,0 Rr

,Rr

022 π

IB r

R

r

IB

π20

R

I

R

I

π20 B

Ro r

的方向与 成右手螺旋关系B

I

0B 1

例（补充） 无限长载流圆筒（圆柱面）的磁场

0

2

IB

π r

2IlB

l 0d

,Rr

,0 Rr 0d l lB

RI

1Lr

2L r

B

Ro r

R

I

π20

解 :

内部为零磁空间