• 第一节 总量指标第一节 总量指标

• 第二节 相对指标第二节 相对指标

• 第三节 平均指标第三节 平均指标

• 第四节 标志变动度第四节 标志变动度

第三章 综合指标第三章 综合指标

• 一、总量指标的概念和作用• 二、总量指标的种类• 三、总量指标的计量• 四、总量指标的基本特征

第一节 总量指标第一节 总量指标第一节 总量指标第一节 总量指标

总量指标的概念和作用总量指标的概念和作用

反映现象总体规模或水平的综合指标反映现象总体规模或水平的综合指标，即，即数量指标数量指标，也称为，也称为绝对数绝对数。。

总量指标总量指标总量指标总量指标

是认识社会经济现象的起点；是实现宏观经是认识社会经济现象的起点；是实现宏观经济调控和企业经营管理的基本指标；是计算其济调控和企业经营管理的基本指标；是计算其他统计指标的基础。他统计指标的基础。

总量指标的作用：总量指标的作用：

总量指标的基本分类总量指标的基本分类

总体标志总量总体标志总量总体单位总数总体单位总数按反映的总体内容按反映的总体内容

不同分为：不同分为：

按反映的时间状况按反映的时间状况不同分为：不同分为：

时期指标时期指标时点指标时点指标

按计量单位不同分按计量单位不同分为：为：

实物指标实物指标

价值指标价值指标劳动指标劳动指标

含义含义 11

总体标志总量总体标志总量

总体单位总数总体单位总数

只可加总体能够计算总体单位总数，不可加总体没只可加总体能够计算总体单位总数，不可加总体没有总体单位总数；有总体单位总数；一个总体中只有一个单位总数，但可以有多个标志一个总体中只有一个单位总数，但可以有多个标志总量，它们由总体单位的数量标志值汇总而来总量，它们由总体单位的数量标志值汇总而来。。

总体单位某一数量标志的标志值总和总体单位某一数量标志的标志值总和

总体所包含的总体单位的数量总体所包含的总体单位的数量

含义含义 22

时期指标时期指标

时点指标时点指标

表明现象总体在一段时期内发展过程的表明现象总体在一段时期内发展过程的总量，总量，如如在某一段时期内的出生人数、在某一段时期内的出生人数、死亡人数死亡人数

表明现象总体在某一时刻（瞬间）的表明现象总体在某一时刻（瞬间）的数量状况，数量状况，如如在某一时点的总人口数在某一时点的总人口数

具有可加性、数值大小与时期长短有直接具有可加性、数值大小与时期长短有直接关系、需关系、需要连续登记汇总要连续登记汇总

不具有可加性、数值大小与时期长短没有直不具有可加性、数值大小与时期长短没有直接关系、由接关系、由一次性登记调查得到一次性登记调查得到

区分两者的意义

出生人数

人口总数

死亡人数

t1 时段

t2 时段

t3 时段

t

关于一个人口总体的总量指标

时期指标

时点指标

计量单位计量单位

实物单位实物单位自然单位自然单位

度量衡单位度量衡单位标准实物单位标准实物单位

价值单位价值单位劳动单位劳动单位

多个单位的结合运用多个单位的结合运用：：复合单位复合单位双重单位多重单位多重单位

（如：人（如：人 ·· 次、吨次、吨 ·· 公里）公里）（如：人（如：人 // 平方公里）平方公里）（如：艘（如：艘 // 吨吨 // 千瓦）千瓦）

适用范围

综合能力

差差

强强

大大

小小

如：台、件如：台、件

如：米、平方米如：米、平方米如：标准吨如：标准吨

如：工日、工时如：工日、工时如：元如：元

＝

拖拉机混合产量＝ 4台

拖拉机标准实物产量＝ 5台

计量方法计量方法

㈠ 相加计算㈠ 相加计算

㈡平衡计算与推算㈡平衡计算与推算

对于同类的计算对象按对于同类的计算对象按实际计量单实际计量单位位直接加起来直接加起来直接相加直接相加

折算相加折算相加 对于非同类的计算对象按对于非同类的计算对象按标准计量标准计量单位单位相加相加

如：如：国内生产总值国内生产总值 == 总产出－中间投入总产出－中间投入

总量指标的基本特征总量指标的基本特征

总量指标基本特征

具有一重性计量单位

与总体的概念相关联

只说明总体规模水平

　　总量指标是反映总体规模或水平的数量范畴

解释解释 11

公顷 人 辆

一重计量单位

单一单位

复合单位：工时、吨公里等

自然单位：个、台等度量衡单位：吨等

男生：总体女生：总体

全部学生：总体 男生：小总体 女生：小总体两个小总体可以加减运算，因为他们同属于一个总体。不属于同一总体的单位不可以相加减

学生的数量标志：年龄、身高、体重、考试分数、生活费支出等等

学生总体的标志总量：总年龄、总身高、总体重、考试总分数、生活费总支出等等

注意其用途

区分时期指标和时点区分时期指标和时点指标的意义指标的意义

　　第一，数据收集方法不同　　第二，数据加工与使用不同

　　时期指标要连续登记汇总；　　时点指标则一次性登记调查。

　　时期指标不能用于反映时点的状况；　　时点指标要以序时平均数的形式来反映时期的水平

• 一、相对指标的概念和作用

• 二、相对指标的种类和计算方法

• 三、运用相对指标的原则

第二节 相对指标第二节 相对指标第二节 相对指标第二节 相对指标

相对指标相对指标

指应用对比的方法来反映相关事物指应用对比的方法来反映相关事物之间数量联系程度的指标，也称为之间数量联系程度的指标，也称为相对相对数数。。

使不能直接对比的现象找到共同的比较基础使不能直接对比的现象找到共同的比较基础；；用来进行宏观经济管理和评价经济活动的状用来进行宏观经济管理和评价经济活动的状况。况。

相对指标的作用相对指标的作用：：

表现形式

含义含义含义含义

相对指标的基本表现形式相对指标的基本表现形式

无名数无名数

有名数有名数

用倍数、系数、成数、﹪、‰等表示用倍数、系数、成数、﹪、‰等表示

用双重计量单位表示的复名数用双重计量单位表示的复名数

倍数与成数应当用整数的形式来表述倍数与成数应当用整数的形式来表述55 倍、倍、 33 成、近成、近 77 成成

3.253.25 倍、倍、 8.68.6 成成

分母分母为为 11

分母为分母为1.001.00

分母分母为为 1010

分母分母为为 1010

00

分母为分母为10001000

相对指标的种类相对指标的种类

结构相对数结构相对数结构相对数结构相对数比例相对数比例相对数比例相对数比例相对数

比较相对数比较相对数比较相对数比较相对数

计划完成程度计划完成程度相对数相对数

计划完成程度计划完成程度相对数相对数

强度相对数强度相对数强度相对数强度相对数动态相对数动态相对数动态相对数动态相对数

结构相对数结构相对数

﹪总体全部数值总体部分数值

相对数结构

100

例：我国某年国民收入使用额为例：我国某年国民收入使用额为 1971519715 亿元，其中亿元，其中消费额为消费额为 1294512945 亿元，积累额为亿元，积累额为 67706770 亿元。则亿元。则

﹪﹪使用额的比率

积累额占国民收入

﹪﹪使用额的比率

消费额占国民收入

3.3410019715

6770

7.6510019715

12945

说说明明

⒈⒈ 为无名数； 为无名数； ⒉⒉ 同一总体各组的结构相对数之和为同一总体各组的结构相对数之和为 11 ；；⒊⒊ 用来分析现象总体的内部构成状况。用来分析现象总体的内部构成状况。

例续

例例

恩格尔系数＝

消费支出中用于食品的支出全部消费支出

例例

累计收入

累计居民

A

B

基尼曲线

基尼系数＝ A/ （ A ＋B ）

比例相对数比例相对数

﹪总体中另一部分数值总体中某一部分数值

相对数比例

100

例：我国某年国民收入使用额为例：我国某年国民收入使用额为 1971519715 亿元，其中亿元，其中消费额为消费额为 1294512945 亿元，积累额为亿元，积累额为 67706770 亿元。则亿元。则

﹪或﹪的比率

积累额与消费额52.512:1

33

17100

12945

6770

⒈⒈ 为无名数，可用百分数或一比几或几比几表示；为无名数，可用百分数或一比几或几比几表示；⒉⒉ 用来反映组与组之间的联系程度或比例关系。用来反映组与组之间的联系程度或比例关系。

说说明明

比较相对数比较相对数

标数值另一地区或单位同类指数值某地区或单位某一指标

相对数比较

例：某年某地区甲、乙两个公司商品销售额例：某年某地区甲、乙两个公司商品销售额分别为分别为 5.45.4 亿元和亿元和 3.63.6 亿元。则亿元。则

5.16.3

4.5

是乙公司的倍数甲公司商品销售额

⒈⒈ 为无名数，一般用倍数、系数表示 ； 为无名数，一般用倍数、系数表示 ； ⒉用来说明现象发展的不均衡程度 ⒉用来说明现象发展的不均衡程度。 。

说说明明

动态相对数动态相对数

﹪该指标基期数值某指标报告期数值

相对数动态

100

是同类指标数值在不同时间是同类指标数值在不同时间上的对比上的对比动态相对数动态相对数

⒈⒈ 为无名数； 为无名数； ⒉⒉ 用来反映现象的数量在时间上的变动程度。用来反映现象的数量在时间上的变动程度。

说说明明

强度相对数强度相对数

的总量指标数值另一有联系但性质不同某一总量指标数值

相对数强度

例：某年某地区年平均人口数为例：某年某地区年平均人口数为 100100 万人，在该万人，在该年度内出生的人口数为年度内出生的人口数为 86008600 人。则该地区人。则该地区

‰‰出生率人口

6.81000101

86006

一般用﹪、‰表示。其特点是分子一般用﹪、‰表示。其特点是分子来源于分母，但分母并不是分子的来源于分母，但分母并不是分子的总体，二者所反映现象数量的时间总体，二者所反映现象数量的时间状况不同。状况不同。

无名数的强度相对数

无名数的强度相对数

例例

例：某地区某年末现有总人口为例：某地区某年末现有总人口为 100100 万人，医院万人，医院床位总数为床位总数为 2470024700 张。则该地区张。则该地区

千人张千人张

的医院床位数每千人口拥有

7.241000

24700

张人负担的人口数每张床位

5.4024700

101 6

（正指标）（正指标）

（逆指标）（逆指标）

为用双重计量单位表示的复名数，为用双重计量单位表示的复名数，反映的是一种依存性的比例关系或反映的是一种依存性的比例关系或协调关系，可用来 反映经济效益、协调关系，可用来 反映经济效益、经济实力、现象的密集程度等。经济实力、现象的密集程度等。

有名数的强度相对数

有名数的强度相对数

• （一）当计划任务数为绝对数• 　⒈短期计划完成情况的检查• 　⒉长期计划完成情况的检查• 　　 (1) 累计法累计法• (2)(2) 水平法水平法• （二）计划任务数为相对数（二）计划任务数为相对数

﹪计划任务数实际完成数

相对数计划完成程度

100

⒈ 短期计划完成情况的检查

⑴ ⑴ 计划数与实际数同期时，直接应用公式计划数与实际数同期时，直接应用公式 ::

﹪计划任务数实际完成数

相对数计划完成程度

100

((一一 ) ) 计划任务数表现为绝对数时计划任务数表现为绝对数时

例：某企业例：某企业 20002000 年计划产量为年计划产量为 1010 万件，而实万件，而实际至第三季度末已生产了际至第三季度末已生产了 88 万件，全年实际共万件，全年实际共生产生产 1111 万件。则万件。则

﹪﹪计划完成进度第三季度末

8010010

8

﹪﹪完成程度全年计划

11010010

11

⑵ ⑵ 考察计划执行进度情况考察计划执行进度情况 ::

﹪全期计划任务数

数累计至本期止实际完成进度

计划完成100

⒉ 长期计划完成情况的检查

⑴ ⑴ 累计法累计法 计划指标按计划期内各年的总计划指标按计划期内各年的总和规定任务和规定任务

﹪计划任务总数

数计划期内实际完成累计程度

计划完成100

要的时间已达到计划任务数所需实际数量自计划执行日起至累计

部时间计划全

计划时间提前完成

例

例例例：某市计划“九五”期间要完成社会固定资产例：某市计划“九五”期间要完成社会固定资产投资总额投资总额 6060 亿元，计划任务的实际完成情况为亿元，计划任务的实际完成情况为

：：年份 1996 1997 1998 1999 2000 合计

投资额（亿元） 11.4 11.9 12.5 12.8 13.1 61.7

其中， 2000 年各月份实际完成情况为（单位：亿元）：月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

投资额 1.1 1.0 1.2 1.1 1.1 1.1 1.2 1.2 1.3 1.1 0.9 0.8

要求计算：要求计算：⒈⒈ 该市“九五”期间固定资产投资计划的完成程度该市“九五”期间固定资产投资计划的完成程度;⒉;⒉提前完成计划的时间。提前完成计划的时间。

已累计完成固定资产投资额已累计完成固定资产投资额 6060 亿元亿元

解

解：解：

﹪﹪程度

计划完成8.102100

60

7.61

提前完成计划时间：提前完成计划时间：因为到因为到 20002000 年年 1010 月底已完成固定资产月底已完成固定资产累计投资额累计投资额 6060 亿元（亿元（ 61.7–0.8–0.9=6061.7–0.8–0.9=60），即已完成计划任务，提前完成计划），即已完成计划任务，提前完成计划两个月。两个月。

例例

例：某市计划“九五”期间要完成社会固定资产例：某市计划“九五”期间要完成社会固定资产投资总额投资总额 6060 亿元，计划任务的实际完成情况为：亿元，计划任务的实际完成情况为：

年份 1996 1997 1998 1999 2000 合计投资额 ( 亿元

)11.4 11.9 12.5 12.8 13.1 61.7

其中， 2000 年各月份实际完成情况为（单位：亿元）：月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

投资额 1.1 1.0 1.2 1.1 1.1 1.1 1.2 1.2 1.3 1.1 0.9 0.81.11.1 0.80.8

如何确定如何确定提前完成计划的时间提前完成计划的时间 ??思考思考思考思考

解解

月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

投资额 1.1 1.11.1 1.2 1.1 1.1 1.1 1.2 1.2 1.3 1.1 0.80.8 0.8

【分析】【分析】

已累计完成固定资产投资额已累计完成固定资产投资额 60.160.1 亿元亿元已累计完成固定资产投资额已累计完成固定资产投资额 5959 亿元亿元

可以判断出，计划任务应是在可以判断出，计划任务应是在20002000 年年 1010月份的某一天完成月份的某一天完成的的

假定假定 1010 月份每天都完成相等的投资额月份每天都完成相等的投资额

5959 亿元亿元 60.160.1 亿亿元元

6060

11亿亿元元

0.10.1亿元亿元

解解

天2918.28311.1

0.1

天282.2311.1

1.0

在在 20002000 年年 1010 月为完成月为完成尚差的尚差的 1.01.0亿元亿元投资额的计划任务需要的天数投资额的计划任务需要的天数：：

【方法一】【方法一】

在在 20002000 年年 1010 月为完成月为完成超额的超额的 0.10.1 亿亿元的投资额元的投资额所用的天数：所用的天数：

【方法二】【方法二】

即提前完成任务两个月零两天。即提前完成任务两个月零两天。

即提前完成任务两个月零两天。即提前完成任务两个月零两天。

⑵ ⑵ 水平法水平法 计划指标以计划末期应达到的计划指标以计划末期应达到的水平规定任务水平规定任务

﹪水平计划规定末期应达到的平计划末期实际达到的水

程度计划完成

100

的时间达到计划任务数所需要个月的实际完成数出现连续

部时间计划全

计划时间提前完成 12

⒉ 长期计划完成情况的检查

例例例：某自行车厂计划“九五” 末期达到年产自行例：某自行车厂计划“九五” 末期达到年产自行

车车 120120 万辆的产量，实际完成情况为：万辆的产量，实际完成情况为：

年份 1996 1997 1998 1999 2000

产量（万辆） 108 114 117 119 123

其中，最后两年各月份实际产量为（单位：万辆）：：

要求计算： 要求计算： ⒈该 ⒈该厂“九五”期间产量计划的完成程度；厂“九五”期间产量计划的完成程度；⒉⒉提前完成计划的时间。提前完成计划的时间。

月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

1999 年 9.6 9.6 9.8 9.8 9.9 9.9 10.0 10.0 10.1 10.1 10.1 10.1

2000 年 10.1 10.1 10.2 10.2 10.2 10.2 10.2 10.3 10.3 10.4 10.4 10.4

+0.5+0.5 +0.5+0.5 =120=120

解：解：

﹪﹪程度

计划完成5.102100

120

123

提前完成计划时间：提前完成计划时间：因为自因为自 19991999 年年 33 月起至月起至 20002000 年年 22 月底连续月底连续 1212个月的时间内该厂自行车的实际产量已达到个月的时间内该厂自行车的实际产量已达到 121200 万辆〔万辆〔 119+ 10.1–9.6 +﹙ ﹚119+ 10.1–9.6 +﹙ ﹚ （（ 10.1–9.610.1–9.6 ）） =12=1200 〕，即已完成计划任务，提前完成计划〕，即已完成计划任务，提前完成计划 1010 个个月。月。

例：某自行车厂计划“九五” 末期达到年产自行例：某自行车厂计划“九五” 末期达到年产自行车车 120120 万辆的产量，实际完成情况为：万辆的产量，实际完成情况为：年份 1996 1997 1998 1999 2000

产量（万辆） 108 114 117 119 123

其中，最后两年各月份实际产量为（单位：万辆）：月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

1999 年 9.6 9.6 9.8 9.8 9.9 9.9 10.0 10.0 10.1 10.1 10.1 10.1

2000 年 10.1 10.1 10.2 10.2 10.2 10.2 10.2 10.3 10.3 10.4 10.4 10.4

10.010.0 10.010.0 10.510.5 10.510.5

如何确定如何确定提前完成计划的时间提前完成计划的时间 ??思考思考思考思考

【分析】【分析】月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

1999 年 9.6 9.6 9.8 9.8 9.9 9.9 10.0 10.0 10.1 10.1 10.1 10.1

2000 年 10.010.0 10.010.0 10.2 10.2 10.2 10.2 10.2 10.3 10.3 10.4 10.510.5 10.510.5

+0.4+0.4 +0.4+0.4 =119.8=119.8

月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

1999 年 9.6 9.6 9.8 9.8 9.9 9.9 10.0 10.0 10.1 10.1 10.1 10.1

2000 年 10.010.0 10.010.0 10.2 10.2 10.2 10.2 10.2 10.3 10.3 10.4 10.510.5 10.510.5

=120.2=120.2+0.4+0.4 +0.4+0.4 +0.4+0.4

可以判断出，计划任务应是在可以判断出，计划任务应是在20002000 年年 33月份的某一天完成的月份的某一天完成的

（尚未完成计划）（尚未完成计划）

（已超额完成计划）（已超额完成计划）

19991999 年年 33月月

20002000 年年 33月月

9.89.8万辆万辆

10.210.2万辆万辆

全月轮换全月轮换将共增加将共增加0.40.4万辆万辆

每轮换一天将增加（ ）万每轮换一天将增加（ ）万辆辆

314.0

在在 20002000 年年 33 月份为完成月份为完成尚差的尚差的 0.20.2万万辆的计划任务还需要的天数：辆的计划任务还需要的天数：

天165.15314.02.0

即提前完成任务九个月零即提前完成任务九个月零 1515 天天。。

﹪百分数

降低提高

计划

百分数降低提高

实际

﹪计划为上年的百分数实际为上年的百分数

相对数计划完成程度

100

1

1

100

B. B. 计划任务数表现为相对数时计划任务数表现为相对数时

例：己知某厂例：己知某厂 20002000 年的计划规定产品产量要比上年年的计划规定产品产量要比上年实际提高实际提高 5﹪5﹪而实际提高了而实际提高了 7﹪7﹪。则。则

﹪﹪﹪﹪

程度计划完成

9.10110051

71

百分点百分点 相当于百分数的计量单位，一个相当于百分数的计量单位，一个百分点就指百分点就指 1﹪1﹪ 。。

100

百分比

降低提高

计划百分比降低提高

实际

的百分点降低提高

实际比计划多

上例中，实际比计划多提高的百分点为上例中，实际比计划多提高的百分点为（（ 7 --5﹪ ﹪7 --5﹪ ﹪）） ×100=2×100=2 （个百分点）（个百分点）

实际工作中常用，实际工作中常用，但并不是相对数但并不是相对数

明确选择对比的基础；明确选择对比的基础；指标对比要有可比性；指标对比要有可比性；相对指标要与总量指标结合运用；相对指标要与总量指标结合运用；

使用相对指标应注意的问题使用相对指标应注意的问题

正确选择对比基础正确选择对比基础 本单位历史水平本单位历史水平本行业（全国）平本行业（全国）平均（先进）水平均（先进）水平

经济效益指数＝ 某经济效益指标实际值该经济效益指标标准值

价格定基指数＝ 某期价格水平某固定基期的价格水平

经济发展、价格水平经济发展、价格水平均较为正常的时期均较为正常的时期

注意指标间的可比性注意指标间的可比性

2000年的工业总产值（当年价格）

1980年的工业总产值（当年价格）

1980年中国的国民收入（人民币元）1980年美国的国民收入（美元）

相对指标抽象掉了具体的数量差异相对指标抽象掉了具体的数量差异 ::1:2=50% 10000:20000=50%1:2=50% 10000:20000=50%

19981998 年相对于年相对于 19971997 年，美国的年，美国的 GDPGDP增长速度为增长速度为 3.93.9 ％，％，同期中国同期中国 GDPGDP增增长速度为长速度为 7.87.8 ％，％，恰好为美国的恰好为美国的 22 倍倍；；但根据同期汇率（但根据同期汇率（ 11美元兑换美元兑换 8.38.3 元人元人民币），民币）， 19981998 年中国年中国 GDPGDP 总量约合总量约合96719671 亿美元，约相当于同期美国亿美元，约相当于同期美国 GDPGDP

总量总量 8427284272 亿美元的亿美元的 1/91/9 。。

相对指标应当结合总量指标使用相对指标应当结合总量指标使用

• 一、平均指标的概念• 数值平均数• 二、平均指标的种类与计算• 位置平均数

• 三、平均指标之间的相互关系

• 四、平均指标的运用原则

第三节 平均指标第三节 平均指标第三节 平均指标第三节 平均指标

一、平均指标的概念

• 平均指标 : 是同质总体内各单位数量标志值在一定的时间、地点条件下的一般水平或代表值。

• 其表现形式为平均数，可用来反映标志值的中心位置或集中趋势。

• 平均指标是通过平均将总体各单位变量值之间的差异抽象化，能反映总体的综合特征。

数值平均数数值平均数

数值平均数

算术平均数

调和平均数

几何平均数

概念和用途

计算

数学性质

概念

用途

概念与计算

用途

平方平均数

四种平均数之间的关系

算术平均数的概念算术平均数的概念与用途与用途

　　算术平均数：全部变量值之和与变量值个数相除所得的商。通常也称为平均数（ average ）或均值（ mean ）。

VAR00001

14

12

10

8

6

4

2

0

Std. Dev = 4.86

Mean = 163.3

N = 83.00

算术平均数

150

155

160

165

170

175

180

83名女生的身高

变量一般水平、代表性数值

分布的集中趋势、中心数值

算术平均数

算术平均数的计算算术平均数的计算

算术平均数 =总体标志总量总体单位总数

数据集 ),,,( 121 NNi xxxxx

数据个数 n

x

n

xx

简单算术平均数

加权算术平均数加权算术平均数

身高 组中值 人数 比重 （ cm ） （ cm ) （人） （%） 150-155 152.5 3 3.61 155-160 157.5 11 13.25 160-165 162.5 34 40.96 165-170 167.5 24 28.92 170以上 172.5 11 13.25 总计 83 100

某年级 83名女生身高资料

组距数列

次数f

频率f/∑f

变量值x

f

fxx

加权算术平均数

f

xfx

2 3 4 5 6 7 81 9

权数与加权5

9

987654321

x

625.48

97654321

x

2 3 4 5 6 7 81 9

权数与加权

2 3 4 5 6 7 81 9

权数与加权

2 3 4 5 6 7 8

1

9

权数与加权

2 3 4 5 6 7 81 9

24.421

191817263554432221

x

权数与加权

2 3 4 5 6 7 81 9

24.421

191817263554432221

x

算术平均数的计算取决于变量值和权数的共同作用：变量值决定平均数的范围；权数则决定平均数的位置

算术平均数的主要数学性质：　　⒈变量值与其算术平均数的离差之和衡等于零。即：

　　⒉变量值与其算术平均数的离差平方和为最小。即：

0)( xx

min)( 2 xx

调和平均数（ harmean （ harmonic mean ））：变量值倒数的算术平均数的倒数设变量值为 x 则其倒数为

x

1

对其算术平均为nx1

取倒数为

x

nH

1

fx

fH

1

调和平均数的用途：　　作为独立意义上的平均数使用基本上没有用途。　　作为算术平均数的变形使用是其常见的用法。但此时已经不能称为调和平均数，只能称其为调和平均方法。

fx

fxh 1

xfx

xfx

1

xfm

m

m

f

xfx

x 、 f 为已知

若只知 x 和 xf ，而 f 未知，则不能使用加权算术平均方式，只能使用其变形即加权调和平均方式。

xfx

xfx

1

苹果 单价 购买量 总金额 品种 （元）（公斤） （元）

红富士 2 3 6青香蕉 1.8 5 9

x f xf

875.153

58.132

x

875.1

8.19

26

96

x

几何平均数（ geomean （ geomatric mean ））是 N 个变量值连乘积的 N 次方根。

N xG

f fn

ff nxxxG 2121

　　就用途而言，几何平均方法直接用于个体数量相乘等于总数量的现象的平均。某产品的总合格率　　　＝各连续作业工序合格率之积

若干年间总的 1+利率（复利）　　　＝各年度 1+利率之积

　　　　第一道工序　第二道工序　全工序

投入制品　 1000个　　　 900个　 1000个合格产品　 900个　　　 810个　 810个合格率％　 90 90 81 81%=90%90%　　向银行借款 1000元，年利率（复利）为 10%，则：第一年利息额 100元，第二年利息额 110元，两年合计 210元。两年后还款本利和与借款额的比例为 1.21 。　　　　　　　 1.21=1.11.1 　　

　　平方平均数是各变量值平方的算术平均数的平方根。

N

xxQ

2

f

fxxQ

2

f

fxx 2)( 标准差

（平均离差）

quadratic

四种数值平均数均源于一个通式：

k

k

k f

fxx

fx

f

f

fx

f

fxxk

1

1

1

1

11

时有

四种数值平均数均源于一个通式：

k

k

k f

fxx

f fk

k

kx

f

fxk

0lim0时有

四种数值平均数均源于一个通式：

k

k

k f

fxx

f

xfxk 时有1

四种数值平均数均源于一个通式：

k

k

k f

fxx

f

fxxk

2

2时有

f fx

f

xf

f

fx2

fx

f

1

k=-1 k=0 k=1 k=2就同一资料计算时，有：

即： k 值越大，平均数值越大。

QxxGH

设 x 取值为：　４、４、５、５、５、 10 　

5H 21.5G 5.5Ax 87.5Qx< < <

算术平均与几何平均更为常用一些，其中几何平均数对小的极端值敏感，算术平均数对大的极端值敏感。

位置平均数 位置平均数

• 概念• 分类：

众数

中位数

分位数

概念

确定方法

作用及用法

概念

确定方法

作用及用法

概念

确定方法

作用及用法

位置平均数位置平均数

某系 83名女生身高资料（按序排列）

身高 人数（ CM ） （人） 152 1 154 2 155 2 156 4 157 1 158 2 159 2 160 12 161 7 162 8 163 4

身高 人数（ CM ） （人） 164 3 165 8 166 5 167 3 168 7 169 1 170 5 171 2 172 3 174 1总计 83

152 154 154 155 155 156 156 156 156 157 158 158 159 159 160 160 160 160 160 160 160 160 160 160 160 160 161 161 161 161 161 161 161 162 162 162 162 162 162 162 162 163 163 163 163 164 164 164 165 165 165 165 165 165 165 165 166 166 166 166 166 167 167 167 168 168 168 168 168 168 168 169 170 170 170 170 170 171 171 172 172 172 174

　　根据总体中处于特殊位置上的个别单位或部分单位的标志值来确定的代表值 　位置平均数与数值平均数的基本区别在于其不需要依据每一个变量值来计算。

众数（ mode ）：出现次数最多即出现频率最高的变量值。

身高 人数（ CM ） （人） 152 1 154 2 155 2 156 4 157 1 158 2 159 2 160 12 161 7 162 8 163 4

身高 人数（ CM ） （人） 164 3 165 8 166 5 167 3 168 7 169 1 170 5 171 2 172 3 174 1总计 83

152 154 154 155 155 156 156 156 156 157 158 158 159 159 160 160 160 160 160 160 160 160 160 160 160 160 161 161 161 161 161 161 161 162 162 162 162 162 162 162 162 163 163 163 163 164 164 164 165 165 165 165 165 165 165 165 166 166 166 166 166 167 167 167 168 168 168 168 168 168 168 169 170 170 170 170 170 171 171 172 172 172 174

众数的确定方法

• 1 、单项数列：次数出现最多的标志值就是众数

• 2 、组距数列（ 1 ）确定众数组（次数最多的组）

• （ 2 ）计算众数的近似值 • 下限公式：

dLM o

21

1

众数的确定方法某年级 83名女生身高资料

身高 人数（ CM ） （人） 152 1 154 2 155 2 156 4 157 1 158 2 159 2 160 12 161 7 162 8 163 4

身高 人数（ CM ） （人） 164 3 165 8 166 5 167 3 168 7 169 1 170 5 171 2 172 3 174 1总计 83

身高 人数 比重 （ CM ） （人） （%） 150-155 3 3.61 155-160 11 13.25 160-165 34 40.96 165-170 24 28.92 170以上 11 13.25 总计 83 100

某年级 83名女生身高资料

众数的确定方法

概约众数：众数所在组的组中值，在本例为 162.5cm

dLM o

21

1

48.16351023

23160

oM

众数的原理及应用

VAR00001

14

12

10

8

6

4

2

0

Std. Dev = 4.86

Mean = 163.3

N = 83.00

83名女生身高原始数据

VAR00001

173.0170.0167.0164.0161.0158.0155.0152.0

30

20

10

0

Std. Dev = 4.86

Mean = 163.3

N = 83.00

83名女生身高组距数列oM

　　当数据分布存在明显的集中趋势，且有显著的极端值时，适合使用众数。　　在数据分布的集中趋势不明显或存在两个以上分布中心时，不适合使用众数（前者无众数，后者为双众数或多众数，也等于没有众数）。

众数的原理及应用

使用

出生

1981.01980.01979.01978.01977.01976.01975.0

160

140

120

100

80

60

40

20

0

413名学生出生时间分布直方图

众数的原理及应用

没有突出地集中在某个年份

192.5190.5

188.5186.5

184.5182.5

180.5178.5

176.5

174.5172.5

170.5168.5

166.5164.5

162.5160.5

158.5156.5

154.5152.5

150.5148.5

60

50

40

30

20

10

0

众数的原理及应用

413名学生的身高分布直方图

出现了两个明显的分布中心

Éí¸ß

Co

un

t50

40

30

20

10

0

Éí¸ß

Co

un

t

50

40

30

20

10

0

ÐÔ±ð

ÄÐÐÔ

Å®ÐÔ

Éí¸ß

Co

un

t

100

90

80

70

60

50

40

30

20

10

0

ÐÔ±ð

Å®ÐÔ

ÄÐÐÔ

　 在研究身高时，男生与女生不能合成一个总体，而是应当作为两个总体分别进行统计。 当数据分布呈现出双众数或多众数时，可以断定这些数据来源于不同的总体。

152 154 154 155 155 156 156 156 156 157 158 158 159 159 160 160 160 160 160 160 160 160 160 160 160 160 161 161 161 161 161 161 161 162 162 162 162 162 162 162 162 163 163 163 163 164 164 164 165 165 165 165 165 165 165 165 166 166 166 166 166 167 167 167 168 168 168 168 168 168 168 169 170 170 170 170 170 171 171 172 172 172 174

　　中位数（ median ）：位于变量值序列中点的数值

中位数

中位数的确定方法

• 1 、未分组资料：

• 2 、单项数列（ 1 ）中位数位置 ∑ f/2

• （ 2 ）计算各组的累计次数• （ 3 ）根据中位数位置找出中位数• 3 、组距数列（ 1 ）确定中位数组 ∑ f/2

• （ 2 ）计算各组的累计次数• （ 3 ）利用公式计算中位数

2

1N

7、 5、 8、 6、 10、 2、 13

中位数为 7

先排序： 2、 5、 6、 7、 8、 10、 13

2

1N中位数的位置

7、 5、 8、 6、 10、 2、 13、11

先排序： 2、 5、 6、 7、 8、 10、 11、 13

2

1N中位数的位置 中位数为（ 7+8） /2=7.5

中位数的确定方法

某年级 83名女生身高资料 身高 人数　累计

（ CM ） （人）　人数 152 1 　　　 1 154 2 3 155 2 5 156 4 9 157 1 10 158 2 12 159 2 14 160 12 26 161 7 33 162 8 41 163 4 45

身高 人数 累计（ CM ） （人） 人数　 164 3 48 165 8 56 166 5 61 167 3 64 168 7 71 169 1 72 170 5 77 171 2 79 172 3 82 174 1 83 总计 83

5.412

83

∑f/2

中位数的确定方法

身高 人数 累计 （ CM ） （人） 　 人数 150-155 3 3 155-160 11 14 160-165 34 48 165-170 24 72 170以上 11 83 总计 83

某年级 83名女生身高资料df

Sf

LMm

m

e

12

04.164534

142

83

160

eM

中位数的作用及用法

中位数一定存在；中位数与算术平均数相近；中位数不受极端值影响；变量值与中位数离差绝对值之和最小。

7654321 ,,,,,, xxxxxxx5 6 6 6 6 8 9

8x

20

中位数为 6

中位数一定存在；中位数与算术平均数相近；中位数不受极端值影响；变量值与中位数离差绝对值之和最小。

中位数的作用及用法

0

5

10

15

20

oe MMx

中位数一定存在；中位数与算术平均数相近；中位数不受极端值影响；变量值与中位数离差绝对值之和最小。

中位数的作用及用法

0

5

10

15

20

152

153

154

155

156

157

158

159

160

161

162

163

164

165

166

167

168

169

170

171

172

173

174

175

eM xoM

中位数一定存在；中位数与算术平均数相近；中位数不受极端值影响；变量值与中位数离差绝对值之和最小。

中位数的作用及用法

0

5

10

15

20

152

153

154

155

156

157

158

159

160

161

162

163

164

165

166

167

168

169

170

171

172

173

174

175

eMx oM

• 分位数：将一个数据系列等分为若干部分的分割点上的变量值。　　　　　　　　　　　　

　　常用的分位数有四分位数（ quartile 　将数据等分为 4 部分）和百分位数（ percentile 　将数据等分为 100部分）。中位数也是一个分位数（二分位数，将数据等分为两部分）。

152 154 154 155 155 156 156 156 156 157 158 158 159 159 160 160 160 160 160 160 160 160 160 160 160 160 161 161 161 161 161 161 161 162 162 162 162 162 162 162 162 163 163 163 163 164 164 164 165 165 165 165 165 165 165 165 166 166 166 166 166 167 167 167 168 168 168 168 168 168 168 169 170 170 170 170 170 171 171 172 172 172 174

第一个四分位数 Q １

4

11

NQ位置

第二个四分位数 Q ２

4

)1(22

NQ 位置

第三个四分位数 Q3

4

)1(33

NQ位置

分位数的确定及用途

分位数的确定及用途

0

5

10

15

20

152

153

154

155

156

157

158

159

160

161

162

163

164

165

166

167

168

169

170

171

172

173

174

1751Q 2Q 3Q

25% 25% 25% 25%

75％即四分之三的数据小于等于 Q3

平均指标之间的关系

• （一）算术平均数、几何平均数和调和平均数之间的相互关系。

• （二）算术平均数、众数和中位数之间的关系

正态分布

左偏分布

右偏分布

H G x≤ ≤

卡尔 . 皮尔逊规则：当分布只是适当偏态时，三个平均数之间的关系为： ︱ - ︱ =3 ︱ - ︱oM x eMx

正态分布

0

5

10

15

20

oe MMx

右偏分布

0

5

10

15

20

152

153

154

155

156

157

158

159

160

161

162

163

164

165

166

167

168

169

170

171

172

173

174

175

eM xoM

eM oMx > >

左偏分布

0

5

10

15

20

152

153

154

155

156

157

158

159

160

161

162

163

164

165

166

167

168

169

170

171

172

173

174

175

eMx oM

eM oMx < <

平均指标的运用原则

• 1 、平均指标只能用于同质主体

• 2 、用组平均数补充说明总平均数

• 3 、用分配数列补充说明平均数

• 一、标志变动度的概念和作用

• 二、标志变动度的种类和计算

第四节 标志变动度第四节 标志变动度第四节 标志变动度第四节 标志变动度

标志变动度标志变动度

• 含义： 即标志变异指标，它是指总体中各单位标志值差别大小的程度，又称 离散程度或离中程度。

• 作用：• 1 、标志变动度是评价平均数代表性的依据。• 2 、标志变动度可用来反映社会生产和其他社

会经济活动过程的均衡性或协调性，以及产品质量的稳定性。

标志变动度的种类和计算

全距

四分位差

平均差

方差与标准差

离散系数

全距与四分位差的概念

　　全距（ Range ）：全部数据中最大值与最小值之差。　即：

　　四分位差（ interquartile range ）：第三个四分位数与第一个四分位数之差。　 即：

minmax xx

13 QQ

R

IQR

例

全距与四分位差

全距＝ 200-152=48 （ cm ）

四分位差＝ 168-160＝8 （ cm ）

152 154 154 155 155 156 156 156 156 157 158 158 159 159 160 160 160 160 160 160 160 160 160 160 160 160 161 161 161 161 161 161 161 162 162 162 162 162 162 162 162 163 163 163 163 164 164 164 165 165 165 165 165 165 165 165 166 166 166 166 166 167 167 167 168 168 168 168 168 168 168 169 170 170 170 170 170 171 171 172 172 172 174 185 190 190 200

极大值

极小值

全距＝ 200-152=48 （ cm ）

四分位差＝ 168-160＝8 （ cm ）

0

5

10

15

20

Q1

Q2

Q3

极小值

极大值

平均差

　　平均差（ Avedev ）：平均离差，即各变量值与其算术平均数离差的算术平均数。

n

xxDA

f

fxxDA

平均差考虑了每一个变量值的分布情况，较全距和四分位差为优

A·D

方差与标准差

方差与标准差

概念

计算

作用

计算公式

计算步骤作用 1

作用 2

例 1

例 2

例 3

方差与标准差的概念

方差（ variance ）：各变量值与其算术平均数离差平方的算术平均数。 标准差（ mean square deviation Standard deviation ）：是方差的算术平方根。也称均方差、均方根差、离差均方根等。

Var 2 S2

MSD STDEV S

方差与标准差的计算

n

xx

22 )(

n

xx

2)(

简单式

f

fxx 22 )(

f

fxx 2)(

加权式

总体方差及标准差

方差与标准差的计算步骤

一般的计算过程：列表 第一步计算均值 x

第二步计算离差 xx

第三步离差平方 2)( xx

第四步乘以权数 fxx 2)(

简捷计算方法：不计算离差

222 xx 22

xf

fx

方差与标准差的作用

5

10

续方差及标准差的作用

2 323

68.27%95.45%99.73%

续

　　对于接近正态分布的数据集，有如下的经验法则：　　约 68%的数据与平均数的距离在 1 个标准差之内；　　约 95%的数据与平均数的距离在 2 个标准差之内；　　几乎所有的数据与平均数的距离在 3 个标准差之内。

方差及标准差的作用

续方差及标准差的作用

　　标准差可以用来度量相对位置和异常值的检测。

Z 分数

i

i

Xz

s

xxz i

i

　　标准化的数值，标明 Xi 距离其平均数的标准差个数。

　　某学生期末考试时，数学成绩为 85 分，据此计算的Ｚ分数为 0.5 ；英语成绩为 70分，Ｚ分数也是 0.5。则说明该学生两科考试成绩的相对位置是相同的，即都高于平均成绩 0.5 个标准差。

　　一个数据集中某个或某几个数据反常地大或小，一般称其为极端值或异常值，应当进一步加以检查、鉴别。一般的建议是：凡Ｚ分数小于 -3 或大于 +3 的数据均可以被认为是异常值。

例 1

x 3

x 3

质量控制统计中控制图的原理

控制下限

控制上限

中 心 线

　　若数据落在控制线外，则认为生产过程失去控制，判断错误的概率小于 0.5%。

　　国外一项研究表明， IQ 值呈正态分布，其平均数为 100 ，标准差为 15 。问：凡 IQ 值高于 145 的人都被视为天才，经验法则是否支持这一论断？　　　　　　　　

315

100145

z 结论：支持

152 154 154 155 155 156 156 156 156 157 158 158 159 159 160 160 160 160 160 160 160 160 160 160 160 160 161 161 161 161 161 161 161 162 162 162 162 162 162 162 162 163 163 163 163 164 164 164 165 165 165 165 165 165 165 165 166 166 166 166 166 167 167 167 168 168 168 168 168 168 168 169 170 170 170 170 170 171 171 172 172 172 174 185 190 190 200

6627.7

54.164

x

32.36627.7

54.16419085

z

67.26627.7

54.16418584

z

63.46627.7

54.16420087

z

异常值

离散系数　　变异系数（离散系数）：数列的离散水平指标与数列均值的比值。

V

x

RVR

x

DAV DA

x

V