Аппроксимация функций(продолжение)

Многочлен Лагранжа.

Будем искать интерполяционный многочлен в виде линейной комбинации многочленов степени n:

0 0 1 1( ) ( ) ( ) ( )n nL x y l x y l x y l x

• При этом потребуем, чтобы каждый многочлен li(x) обращался в нуль во всех узлах интерполяции, за исключением одного (i-го), где он должен быть равен единице.

• этим условиям при i = 0 отвечает многочлен вида

1 20

0 1 0 2 0

( )( ) ( )( )

( )( ) ( )n

n

x x x x x xl x

x x x x x x

Аналогично

………………………………………………………

0 21

1 0 1 2 1

( )( ) ( )( )

( )( ) ( )n

n

x x x x x xl x

x x x x x x

0 1 1

0 1 1

( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( )i i n

ii i i i i i n

x x x x x x x xl x

x x x x x x x x

• Подставляя l0 , l1 ,…, ln в L(x) получим

• эта формула определяет интерполяционный многочлен Лагранжа.

0 1 1

1 0 1 1

( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( )

ni i n

ii i i i i i i n

x x x x x x x xL x y

x x x x x x x x

• Из формулы для L(x)можно получить выражения для линейной (n = 1) и квадратичной (n = 2) интерполяций:

010 1

0 1 1 0

( ) , 1,x xx x

L x y y nx x x x

0 21 20 1

0 1 0 2 1 0 1 2

0 22

2 0 2 1

( )( )( )( )( )

( )( ) ( )( )

( )( ), 2.

( )( )

x x x xx x x xL x y y

x x x x x x x x

x x x xy n

x x x x

• Пример. Вычислить в точке х=0,1 значение функции

y = f (x) заданной таблицей

х 0 0,2 0,4

y 1,272 4,465 5,644

• Многочлен Ньютона.

• рассмотрим случай равноотстоящих значений аргумента, т. е. хi - хi-1 = h = const (i = 1,2,...,n).

• Величина h называется шагом.

• Введем понятие конечных разностей. • Пусть известны значения функции в узлах • Составим разности значений функции:

• Эти значения называются первыми разностями (или разностями первого порядка) функции.

( )i iy f x

1 1 0 0( ) ( ( 1) ),n n ny y y f x nh f x n h

0 1 0 0 0( ) ( ),y y y f x h f x

1 2 1 0 0( 2 ) ( ),y y y f x h f x h

• вторые разности функции:

• Аналогично составляются разности порядка k :

21 ,i i iy y y

1 11 , 0,1, 1.k k k

i i iy y y i n

• Конечные разности можно выразить непосредственно через значения функции. Например,

20 1 0 2 1 1 0 2 1 0( ) ( ) 2 ,y y y y y y y y y y

3 2 20 1 0 3 2 1 03 3 ,y y y y y y y

• Аналогично для любого k можно написать

• Эту формулу можно записать и для значения разности в узле xi:

0 1 2 0( 1)

( 1) ,2!

k kk k k

k ky y k y y y

1 2( 1)

( 1) ,2!

k ki k i k i k i i

k ky y k y y y

• Используя конечные разности, можно определить уk

20 0 0 0

( 1).

2!k

kk k

y y k y y y

• Перейдем к построению интерполяционного многочлена Ньютона. Этот многочлен будем искать в следующем виде:

0 1 0 2 0 1

0 1 1

( ) ( ) ( )( )

( )( ) ( )n n

N x a a x x a x x x x

a x x x x x x

• График многочлена должен проходить через заданные узлы,

• Эти условия используем для нахождения коэффициентов многочлена:

( ) ( 0,1,..., ).i iN x y i n

0 0 0

1 0 1 1 0 0 1 1

2 0 1 2 0 2 2 0 2 1

20 1 2 2

( ) ,

( ) ( ) ,

( ) ( ) ( )( )

2 2 ,

N x a y

N x a a x x a a h y

N x a a x x a x x x x

a a h a h y

• Найдем отсюда коэффициенты 0 1 2, ,a a a

0 0

1 0 1 0 01

,

,

a y

y a y y ya

h h h

22 0 1 2 0 0 0

2 2 2 2

2 2,

2 2 2

y a a h y y y ya

h h h

• Общая формула имеет вид

0 , 0,1, , .!

k

k k

ya k n

k h

• Подставляя эти выражения в формулу для N(x) получаем следующий вид интерполяционного многочлена Ньютона:

20 0

0 0 0 12

00 1 1

( ) ( ) ( )( )2!

( )( ) ( ).!

n

nn

y yN x y x x x x x x

h h

yx x x x x x

n h

• Данную формулу часто записывают в другом виде.

• Для этого вводится переменная

тогда 0( ) /t x x h

0 ,x x th

01 1,x x hx x

th h

2 2,x x

th

1 1.nx xt n

h

тогда

Полученное выражение называется первым интерполяционным многочленом Ньютона для интерполирования вперед.

20 0 0 0

( 1) ( 1)...( 1)( ) .

2! !nt t t t t n

N x y t y y yn

• интерполяционный многочлен Ньютона для интерполирования вперед удобен для значений х близких к х0

• Для правой половины отрезка [х0, хn]. разности лучше вычислять справа налево.

• В этом случае ( ) / ,nt x x h ,nx x th

• тогда

Полученная формула называется вторым интерполяционным многочленом Ньютона для интерполирования назад.

21 2 0

( 1) ( 1)...( 1)( ) .

2! !n

n n nt t t t t n

N x y t y y yn

• Пример. Вычислить в точке х = 0,1 значение функции

y = f (x) заданной таблицей

х 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

y 1,272 4,465 5,644 5,809 3,961 2,101

х y Dy D2y D3y D4y D5y

0 1,272          

0,2 4,465          

0,4 5,644          

0,6 5,809          

0,8 3,961          

1 2,101          

• N (0,1)=