1.Значения тригонометрических функций.

1.Значения тригонометрических функций.

1.Значения тригонометрических функций.

1.Значения тригонометрических функций.

1.Значения тригонометрических функций.

2. Простейшие тригонометрические уравнения:

Решение тригонометрических уравнений.

1. sin x = a,2. cos x =

a, 3. tg x = a,

4. ctg x = a,

2. Простейшие тригонометрические уравнения:

Решение тригонометрических уравнений.

1. sin x = a, x=(-1)ⁿ ∙ arc sin a + n, n є Ζ │a│≤ 1.2. cos x = a,3. tg x = a,4. ctg x = a,

2. Простейшие тригонометрические уравнения:

Решение тригонометрических уравнений.

1. sin x = a, x=(-1)ⁿ ∙ arc sin a + n, n є Ζ │a│≤ 1.2. cos x = a, x=± arc cos a + 2 n, n є Ζ │a│≤ 1.3. tg x = a,

4. ctg x = a,

2. Простейшие тригонометрические уравнения:

Решение тригонометрических уравнений.

1. sin x = a, x=(-1)ⁿ ∙ arc sin a + n, n є Ζ │a│≤ 1.2. cos x = a, x=± arc cos a + 2 n, n є Ζ │a│≤ 1.3. tg x = a, x= acr tg a + n, n є Ζ a єR .4. ctg x = a,

2. Простейшие тригонометрические уравнения:

Решение тригонометрических уравнений.

1. sin x = a, x=(-1)ⁿ ∙ arc sin a + n, n є Ζ │a│≤ 1.2. cos x = a, x=± arc cos a + 2 n, n є Ζ │a│≤ 1.3. tg x = a, x= acr tg a + n, n є Ζ a єR .4. ctg x = a, x= acr ctg a + n, n є Ζ a єR .

3. Частные случаи ( а=0, а=1, а=-1)

Sin x = 0,Sin x = 1,Sin x = -1,

Cos x = 0,Cos x = 1,Cos x =-1,

Tg x = 0,Ctg x = 0,

3. Частные случаи ( а=0, а=1, а=-1)

Sin x = 0, x = n, nєΖSin x = 1, x = ⁄ 2 + 2n, nєΖSin x = -1, x = - ⁄ 2 + 2n, nєΖ

Cos x = 0,Cos x = 1,Cos x =-1,

Tg x = 0,Ctg x = 0,

3. Частные случаи ( а=0, а=1, а=-1)

Sin x = 0, x = n, nєΖSin x = 1, x = ⁄ 2 + 2n, nєΖSin x = -1, x = - ⁄ 2 + 2n, nєΖ

Cos x = 0, x = ⁄ 2 + n, nєΖCos x = 1 , x = 2n, nєΖCos x =-1, x = + 2n, nєΖ

Tg x = 0,Ctg x = 0,

3. Частные случаи ( а=0, а=1, а=-1)

Sin x = 0, x = n, nєΖSin x = 1, x = ⁄ 2 + 2n, nєΖSin x = -1, x = - ⁄ 2 + 2n, nєΖ

Cos x = 0, x = ⁄ 2 + n, nєΖCos x = 1 , x = 2n, nєΖCos x =-1, x = + 2n, nєΖ

Tg x = 0, x = n, nєΖCtg x = 0, x = ⁄ 2 + n, nєΖ

sin² α + cos² α =

4.Основные тригонометрические тождества

sin² α + cos² α = 1tg α ∙ ctg α =

4.Основные тригонометрические тождества

sin² α + cos² α = 1tg α ∙ ctg α = 1

4.Основные тригонометрические тождества

tg α =

sin² α + cos² α = 1tg α ∙ ctg α = 1

4.Основные тригонометрические тождества

tg α = sin α / cos αctg α =

sin² α + cos² α = 1tg α ∙ ctg α = 1

4.Основные тригонометрические тождества

tg α = sin α / cos αctg α = cos α / sin α

1 + tg² α =

sin² α + cos² α = 1tg α ∙ ctg α = 1

4.Основные тригонометрические тождества

tg α = sin α / cos αctg α = cos α / sin α

1 + tg² α = 1/ cos² α1 + ctg² α =

sin² α + cos² α = 1tg α ∙ ctg α = 1

4.Основные тригонометрические тождества

tg α = sin α / cos αctg α = cos α / sin α

1 + tg² α = 1/ cos² α1 + ctg² α = 1/ sin² α

5. Формулы суммы и разности аргументов.

sin (x ± y) =

5. Формулы суммы и разности аргументов.

sin (x ± y) = sin x ∙ cos y ± cos x ∙ sin ycos (x ± y) =

5. Формулы суммы и разности аргументов.

sin (x ± y) = sin x ∙ cos y ± cos x ∙ sin ycos (x ± y) = cos x ∙ cos y ∓ sin x ∙ sin ytg (x ± y) =

5. Формулы суммы и разности аргументов.

sin (x ± y) = sin x ∙ cos y ± cos x ∙ sin ycos (x ± y) = cos x ∙ cos y ∓ sin x ∙ sin ytg (x ± y) = ( tg x ± tg y ) / ( 1 ∓ tg x ∙ tg y )

6. Формулы двойного аргумента(тройного).

sin 2 α =cos 2 α = tg 2 α =

sin 3 α = cos 3 α =tg 3 α =

6. Формулы двойного аргумента(тройного).

sin 2 α = 2sin α ∙ cos αcos 2 α =tg 2 α =

sin 3 α = cos 3 α =tg 3 α =

6. Формулы двойного аргумента(тройного).

sin 2 α = 2sin α ∙ cos αcos 2 α = cos² α - sin² αtg 2 α =

sin 3 α = cos 3 α =tg 3 α =

6. Формулы двойного аргумента(тройного).

sin 2 α = 2sin α ∙ cos αcos 2 α = cos² α - sin² αtg 2 α = 2tg α / (1-tg² α)

sin 3 α = cos 3 α =tg 3 α =

6. Формулы двойного аргумента(тройного).

sin 2 α = 2sin α ∙ cos αcos 2 α = cos² α - sin² αtg 2 α = 2tg α / (1-tg² α)

sin 3 α = 3sin α - 4sin³ αcos 3 α =tg 3 α =

6. Формулы двойного аргумента(тройного).

sin 2 α = 2sin α ∙ cos αcos 2 α = cos² α - sin² αtg 2 α = 2tg α / (1-tg² α)

sin 3 α = 3sin α - 4sin³ αcos 3 α = 4cos³ α - 3cos αtg 3 α =

6. Формулы двойного аргумента(тройного).

sin 2 α = 2sin α ∙ cos αcos 2 α = cos² α - sin² αtg 2 α = 2tg α / (1-tg² α)

sin 3 α = 3sin α - 4sin³ αcos 3 α = 4cos³ α - 3cos αtg 3 α = (3tg x – tg³ α) / (1-3tg² α)

7. Формулы половинного аргумента или формулы понижения степени.

sin² α /2 =

cos² α /2 =

tg α /2=

7. Формулы половинного аргумента или формулы понижения степени.

sin² α /2 = (1-cos α) /2

cos² α /2 =

tg α /2=

7. Формулы половинного аргумента или формулы понижения степени.

sin² α /2 = (1-cos α) /2

cos² α /2 = (1+cos) /2

tg α /2=

7. Формулы половинного аргумента или формулы понижения степени.

sin² α /2 = (1-cos α) /2

cos² α /2 = (1+cos) /2

tg α /2= sin α / (1+cos α) = (1-cos α) /sin α

8.Формулы для преобразования суммы и разности тригонометрических функций в

произведение.

sin x ± sin y =

cos x + cos y =

cos x – cos y =

tg x ± tg y =

8.Формулы для преобразования суммы и разности тригонометрических функций в

произведение.

sin x ± sin y = 2 sin (x ± y)/2 ∙ cos (x ∓ y)/2

cos x + cos y =

cos x – cos y =

tg x ± tg y =

8.Формулы для преобразования суммы и разности тригонометрических функций в

произведение.

sin x ± sin y = 2 sin (x ± y)/2 ∙ cos (x∓y)/2

cos x + cos y = 2 cos (x+y)/2 ∙ cos (x-y)/2

cos x – cos y =

tg x ± tg y =

8.Формулы для преобразования суммы и разности тригонометрических функций в

произведение.

sin x ± sin y = 2sin (x ± y)/2 ∙ cos (x∓y)/2

cos x + cos y = 2cos (x+y)/2 ∙ cos (x-y)/2

cos x – cos y = -2sin (x+y)/2 ∙sin (x-y)/2

tg x ± tg y =

8.Формулы для преобразования суммы и разности тригонометрических функций в

произведение.

sin x ± sin y = 2sin (x ± y)/2 ∙ cos (x∓y)/2

cos x + cos y = 2cos (x+y)/2 ∙ cos (x-y)/2

cos x – cos y = -2sin (x+y)/2 ∙sin (x-y)/2

tg x ± tg y = (sin ∙(x ±y))/(cos x∙ cos y)

9.Формулы приведения:

1) /2 и 3/2 │ => и 2 │ =>

2) Знаки по четвертям:

sin α cos α tg α, ctg α

9. Формулы приведения:

1) /2 и 3/2 │ => функцию меняем и 2 │ =>

2) Знаки по четвертям:

sin α cos α tg α, ctg α

9. Формулы приведения:

1) /2 и 3/2 │ => функцию меняем и 2 │ => функция остается

2) Знаки по четвертям:

sin α cos α tg α, ctg α

9. Формулы приведения:

1) /2 и 3/2 │ => функцию меняем и 2 │ => функция остается

2) Знаки по четвертям:

sin α cos α tg α, ctg α y y y

x x x

-

9. Формулы приведения:

1) /2 и 3/2 │ => функцию меняем и 2 │ => функция остается

2) Знаки по четвертям:

sin α cos α tg α, ctg α y y y

x x x

+ +

- -

-

9. Формулы приведения:

1) /2 и 3/2 │ => функцию меняем и 2 │ => функция остается

2) Знаки по четвертям:

sin α cos α tg α, ctg α y y y

x x x

+ +

- -

-

-

+

+

-

9. Формулы приведения:

1) /2 и 3/2 │ => функцию меняем и 2 │ => функция остается

2) Знаки по четвертям:

sin α cos α tg α, ctg α y y y

x x x

+ +

- -

-

-

+

+

+

+

--

-

Способы решения тригонометрических уравнений.

Метод замены переменной

Метод разложения на множители

Однородные

Способы решения тригонометрических уравнений.

Метод замены переменной

Метод разложения на множители

Пример:1) 2sin²x – 5sin x + 2 = 0;2) cos²x - sin²x – cos x= 0;3) tg x/2 + 3ctg x/2 = 4;

Однородные

Способы решения тригонометрических уравнений.

Метод замены переменной

Метод разложения на множители

Пример:1) 2sin²x – 5sin x + 2 = 0;2) cos²x - sin²x – cos x= 0;3) tg x/2 + 3ctg x/2 = 4;

Пример:1) (sin x- 1/3) ∙ (cos x+ 2/5) = 0;2) 2sin x ∙ cos 5x – cos 5x = 0;

Однородные

Способы решения тригонометрических уравнений.

Метод замены переменной

Метод разложения на множители

Пример:1) 2sin²x – 5sin x + 2 = 0;2) cos²x - sin²x – cos x= 0;3) tg x/2 + 3ctg x/2 = 4;

Пример:1) (sin x- 1/3) ∙ (cos x+ 2/5) = 0;2) 2sin x ∙ cos 5x – cos 5x = 0;

Однородные

1-ой степениa ∙ sin x ± b ∙ cos x = 01) 2sin x- 3cos x = 02) sin 2x + cos 2x = 0

2-ой степениa ∙ sin²x+b ∙ sin x ∙ cos x + c ∙ cos²x = 01) sin²x – 3sin x ∙ cos x + 2cos² x = 02) √3 sin x ∙ cos x + cos²x = 03) sin³x + sin²x ∙ cos x – 3sin x ∙cos² x –- 3cos³x = 04) 3sin² 3x – 2√3 sin3x ∙ cos 3x + + 5cos² 3x = 2