Лекция по эконометрике №2,

4 модуль

Системы одновременных уравнений

1

Демидова

Ольга Анатольевна

https://www.hse.ru/staff/demidova_olga

E-mail:demidova@hse.ru

14.04.2020

Demidova Olga, HSE, Moscow, 14.04.2020

www.hse.ru

Системы одновременных уравнений

План лекции

1) Проблемы, возникающие при оценке систем

уравнений на примерах

2) Общий вид системы одновременных уравнений

3) Условие порядка и условие ранга

2

photo

3) Условие порядка и условие ранга

4) Способы оценки параметров системы

одновременных уравнений

5) Пример проверки условия порядка и условия ранга

Примеры систем линейных уравнений

Пр.1. qt – спрос (в отклонениях от среднего),

pt – цена (в отклонениях от среднего),

int – доход (в отклонениях от среднего).

Система в равновесии:

3

photo

Система в равновесии:

−++=

−+=

)2(уравнение

(1),япредложениуравнение

спросаuinpq

pq

tttt

ttt

γβ

εα

Примеры систем линейных уравнений

Разрешим систему.

(1) = (2) <═>

0),cov(p(1)в ⇒≠⇒−−

+−

= tttt

uinp

εβαε

βαγ

4

photo

(2).уравнения дляпроблемаяАналогична

МНК.помощьюсоцениватьнельзяего0),cov(p(1)в t ⇒≠⇒

−−tεβαβα

Примеры систем линейных уравнений

− βεααγ u

уравнений.системыформаяструктурна)2(),1(

).2(уравнение

(1),япредложениуравнение

−

−++=

−+=

спросаinpq

pq

tttt

ttt

εγβ

εα

5

photo

уравнений.системыформаяприведенна)4(),3(

)4(,

)3(,

−

−−

+−

=

−−

+−

=

βαε

βαγ

βαβεα

βααγ

tttt

tttt

uinp

uinq

Примеры систем линейных уравнений

−−

+−

=

−−

+−

=

)4(,

)3(,

βαε

βαγ

βαβεα

βααγ

tttt

tttt

uinp

uinq

6

photo

+=

+=⇔ −−

)4(,

)3(,

22

11

νπ

νπ

βαβα

tt

tt

inp

inq

Примеры систем линейных уравнений

)4(,

)3(,

βαε

βαγ

βαβεα

βααγ

⇔

−−

+−

=

−−

+−

=

tttt

tttt

uinp

uinq

7

photo

Squares).Least(IndirectILSоценкаЭто

(1)уравненияиз оценитьможнот.е.,ˆ

ˆˆ

,

)4(,)3(,

2

1

21

22

11

αππ

α

βαγ

πβα

αγπ

νπνπ

=⇒

−=

−=

+=+=

⇔

tt

tt

inpinq

Примеры систем линейных уравнений

)4(,

)3(,

βαε

βαγ

βαβεα

βααγ

⇔

−−

+−

=

−−

+−

=

tttt

tttt

uinp

uinq

8

photo

Squares).Least(IndirectILSоценкаЭто

(1)уравненияиз оценитьможнот.е.,ˆ

ˆˆ

,

)4(,)3(,

2

1

21

22

11

αππ

α

βαγ

πβα

αγπ

νπνπ

=⇒

−=

−=

+=+=

⇔

tt

tt

inpinq

Примеры систем линейных уравнений

inpinq

ILS

ttt

ttt

=⇒

+=+=

ππ

α

νπνπ

.ˆ

ˆˆ

)4(,)3(,

2

1

22

11

9

photo

inp

inqinni

inp

inni

inq

ILS ⋅′

⋅′=

⇒⋅′

⋅′=

⋅′

⋅′=

α

ππ

π

ˆ

ˆ,ˆ

ˆ

21

2

Примеры систем линейных уравнений

).1(

.

ˆ

уравнениивпеременнойальнойинструментнияиспользовапомощьюС

другомупополучитьможнооценкуЭту

inp

inqILS

−⋅′

⋅′=α

10

photo

ниже).(ссмpсткоррелируеисткоррелируенекактакp,дляинструмент

).2(уравнение(1),япредложениуравнение

ε

γβεα

−

−++=−+=

inспросаuinpq

pq

tttt

ttt

)4(,βαε

βαγ

−−

+−

= tttt

uinp

!!!ˆˆILSIV

inp

inqαα =

⋅′

⋅′=

Примеры систем линейных уравнений

−+= (1),япредложениуравнениеpq ttt εα

Пр.2. qt – спрос (в отклонениях от среднего),

pt – цена (в отклонениях от среднего),

int – доход (в отклонениях от среднего),

rt – процентная ставка (в отклонениях от среднего).

11

photo

−+++= ).2(уравнение спросаurinpq ttttt δγβ

−−

+−

+−

=

−−

+−

+−

=

)4(,

)3(,

βαε

βαδ

βαγ

βαβεα

βααδ

βααγ

ttttt

ttttt

urinp

urinq

Примеры систем линейных уравнений

νππ

βαε

βαδ

βαγ

βαβεα

βααδ

βααγ

++=

−−

+−

+−

=

−−

+−

+−

=

,

)4(,

)3(,

ttttt

ttttt

rinq

urinp

urinq

12

photo

βαδ

πβα

γπ

βααδ

πβα

αγπ

νππνππ

−=

−=

−=

−=

++=++=

2221

1211

22221

11211

,

,,

,,

tttt

tttt

rinprinq

Примеры систем линейных уравнений

ˆˆ

,

,,

2221

1211

ππ

βαδ

πβα

γπ

βααδ

πβα

αγπ

−=

−=

−=

−=

13

photo???

ˆ

ˆˆили

ˆ

ˆˆ

22

12

21

11

ππ

αππ

α ==

Общий случай системы одновременных

уравнений

В структурной форме модели необходимо заранее разделить все

переменные на

эндогенные Y1, …, Ym и

Экзогенные X1, …, Xk (среди них могут быть лаги Y – в).

Эндогенных переменных столько же, сколько уравнений.

14

photo

Эндогенных переменных столько же, сколько уравнений.

Общий случай системы одновременных

уравнений

=++++++

=++++++

tktktmtmtt

tktktmtmtt

XXYYY

XXYYY

εγγβββ

εγγβββ

KK

KK

221212222121

111111212111

Структурная форма системы уравненийСтруктурная форма системы уравнений

15

photo

=++++++ mtktmktmmtmmtmtm XXYYY εγγβββ KK

M

112211

Общий случай системы одновременных

уравнений

=

=

= t

t

tt

t

tt

t

t

X

X

XY

Y

Yεε

εMM

KM

2

1

2

1

2

1

,,,,

Введение необходимых обозначений для перехода к

матричной форме.

16

photo

=Γ

=

=

=

=

mkmm

k

k

mmmm

m

m

mt

t

kt

t

mt

t

B

X

X

Y

Y

γγγ

γλγγγγ

βββ

ββββββ

ε

ε

K

MOM

K

K

MOM

K

MMK

M

21

22221

11211

21

22221

11211

,

,,,,

Общий случай системы одновременных

уравнений

форма.яприведенна

,,

форма,яструктурна

111

−+Π=

Γ−=Π+Γ−=

−=Γ+

−−−

ν

ε

ε

XY

BBXBY

XBY

ttt

ttt

Матричная структурная и приведенная форма.

17

photo

руема.идентифицинесистемаслучаеобщемВтов.коэффициенmkформейприведенновА

.1т.к.,.их

формы,йструктурнотыкоэффициен-иBВ

форма.яприведенна

mm2211

2

====−+−Γ

−+Π=

βββ

ν

Kmmkmm

XY ttt

Общий случай системы одновременных

уравнений

форма.яприведенна

форма,яструктурна

−+Π=

−=Γ+

ttt

ttt

XY

XBY

ν

ε

Проблемы идентификации коэффициентов структурной формы.

18

photo

формы.йструктурнотыкоэффициеноценитьможноиногдатонулей),многонапример,

яограничениьныедополнителналоженыформыйструктурнотыкоэффициеннаеслиНо

руема.идентифицинесистемаисходнаяслучаеобщемВ

тов.коэффициенmkформейприведенноВ

Вопросы идентификации одного уравнения

Предположим, что некоторые структурные коэффициенты равны

0, т.е. соответствующие переменные исключены из уравнения.

Пусть в 1-м уравнении q коэффициентов при эндогенных

переменных и p коэффициентов при экзогенных переменных не

равны 0 (иначе перенумеруем эти переменные).

XXYYY εγγβββ =++++++ KK

19

photo

)5()00()00(

00

1

1

111

1

111

111111111

111111212111

t

kt

pt

t

p

mt

qt

t

q

tptptqtqt

tktktmtmtt

X

X

X

Y

Y

Y

XXYYXXYYY

εγγββ

εγγββεγγβββ

=

+

⇔

=++++++++=++++++

M

M

KK

M

M

KK

KKKK

KK

Вопросы идентификации одного уравнения

)5()00()00( 1

1

111

1

111

=

+

t

kt

pt

t

p

mt

qt

t

q

YY

X

X

X

Y

Y

Y

εγγββM

M

KK

M

M

KK

20

photo

.)(,)(

,,

,Y,YПусть

111111*

)1(1

)1(

*t*

1

t*

′=′=

=

=

=

=

+

+

pxq

kt

tp

xxt

pt

t

xt

mt

tq

qt

t

X

X

XX

X

X

Y

Y

Y

Y

γγγβββ KK

MM

MM

Вопросы идентификации одного уравнения

)5()00()00( 1

1

111

1

111 t

kt

pt

t

p

mt

qt

t

q

X

X

X

Y

Y

Y

εγγββ

⇔

=

+

M

M

KK

M

M

KK

21

photo.1

'

*

'

* txtxt XY εγβ =+⇔

Вопросы идентификации одного уравнения

,

.разбиениемэтимсиисоответствв

YуравнениеПерепишем

xx*x*

ttt X ν

ΠΠΠΠ

=Π

+Π=

22

photo

.

,

*xx**x*

xx*x*

**

*

*xx**x*

txxt

xt

t

t

X

X

Y

Y ν+

ΠΠΠΠ

=

ΠΠ

=Π

Вопросы идентификации одного уравнения

:1Для

,

ой

1

получаемстроки

B

B

⇒Γ−=Π

Γ−=Π −

23

photo

.

)0()0(

*xx**x*

xx*x*

**

*

'

*xx**x*

xx*x*'

*

txxt

xt

t

t

pkxqm

X

X

Y

Y ν

γβ

+

ΠΠΠΠ

=

−=

ΠΠΠΠ

−−

Вопросы идентификации одного уравнения

кактак(-1,ипеременным1)-q(суравненийp)-(kизсистема*)2(

*)2(0

*)1(

'

xx*

'

*

'

x*

'

*

pk

x

β

γβ

−

=Π

−=Π

−

24

photo).0элементовизодин

кактак(-1,ипеременным1)-q(с'

* равенβ

Условие порядка идентификации одного

уравнения

⇔≥ 1-qp-k

Число включенных в уравнение эндогенных переменных – 1 не

превышает (т.е. ≤) числа исключенных из этого уравнения

экзогенных переменных.

25

photo

экзогенных переменных.

Это условие порядка для идентификации уравнения

(необходимое условие идентификации).

Равносильно: число Y - в, для которых нужны инструменты, не

меньше числа исключенных из уравнения X-в, которые могут

служить инструментами.

Условие порядка идентификации одного

уравнения

1-mq)-(mp)-(k

1-qp-k

≥+

⇔≥

Число исключенных из уравнения экзогенных

переменных + число исключенных их уравнения

26

photo

переменных + число исключенных их уравнения

эндогенных переменных ≥ число уравнений – 1.

Или

Число нулевых коэффициентов в уравнении ≥ число

уравнений – 1.

Это условие порядка легко проверить.

Условие ранга идентификации одного

уравнения

:достаточноинеобходимо

решение,имеласистемаэтаЧтобы

*)2(0'

xx*

'

*

−=Π

=Π − pkβ

27

photo

ции).идентификаусловиеедостаточноиенеобходимо(

ранга.условиеЭто

1rank xx* −=Π q

Проверка условия ранга

1rank xx* −=Π q

Существует более простое для проверки условие ранга

для 1-го уравнения (см пример далее).

28

photo

Виды уравнений

•Если для уравнения выполняются условия порядка и

ранга, причем условие порядка со знаком = , т.е.

K-p = q-1, то это уравнение является точно

идентифицируемым.

•Если для уравнения выполняются условия порядка и

29

photo

•Если для уравнения выполняются условия порядка и

ранга, причем условие порядка со знаком > ,

т.е. K-p > q-1, то это уравнение является

сверхидентифицируемым.

•Если для уравнения не выполняется условие порядка

или условие ранга, то это уравнение называется не

идентифицируемым.

Способы оценки систем одновременных

уравнений

•Если все уравнения точно идентифицируемы, то

применяется косвенный метод наименьших квадратов.

Оцениваются уравнения приведенной формы и из них

выражаются коэффициенты структурной формы.

30

photo•Если среди уравнений есть сверхидентифицируемые,

то применяется двухшаговый МНК. Каждый Y в

уравнении, кроме Y с коэффициентом 1, заменяется на

оценку Y из уравнения регрессии на все X. И

оценивается каждое уравнение регрессии.

Пример

Я.Магнус, П.Катышев, А.Пересецкий, С.Головань.

Сборник задач к начальному курсу эконометрики.– М.:

Дело, 2007, задача 9.2.

31

photo

Пример. Решение

32

photo

Пример. Решение

33

photo

Пример. Решение

34

photo

Использованная литература

Я.Магнус, П.Катышев, А.Пересецкий, Эконометрика.

Начальный курс: Учебник. – 8-е издание. – М.: Дело,

2007, глава 9.

35

photo

36

20, Myasnitskaya str., Moscow, Russia, 101000

Tel.: +7 (495) 628-8829, Fax: +7 (495) 628-7931

www.hse.ru