ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ

ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ГЕОМЕТРИИ ДЛЯ 10

КЛАССАВЫПОЛНИЛАВЫПОЛНИЛА

УЧЕНИЦА 10УЧЕНИЦА 10’’ББ’’ КЛАССА КЛАССА

ГИМНАЗИИ №4ГИМНАЗИИ №4

ИНШИНА МАШАИНШИНА МАША

ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ ПРЯМЫЕ В ПРОСТРАНСТВЕ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ:

Две прямые в пространстве называются взаимно Две прямые в пространстве называются взаимно перпендикулярными,если угол между ними равен 90°.перпендикулярными,если угол между ними равен 90°.

Перпендикулярные прямые могут пересекаться( а и в) и

скрещиваться(а и с)

ЛЕММА О ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ДВУХ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРЯМЫХ К ТРЕТЬЕЙ

ПРЯМОЙ

Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой,то и другая

прямая перпендикулярна к этой прямой

Дано:Дано:аа llllвв , ,

ааcc

Доказать:Доказать:вв cc

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

1)Через произвольную точку М 1)Через произвольную точку М

пространства,не лежащую на данных пространства,не лежащую на данных

прямых,проведем прямые МА и МС, прямых,проведем прямые МА и МС,

параллельные соответственно прямым параллельные соответственно прямым

аа и и сс..Так как Так как а а cc, то , то АМС =90АМС =902)По условию 2)По условию в в llll а а, а по построению , а по построению а а llll МА,потому МА,потому в в llll МА. МА. Итак,Итак,

прямые прямые в в и и с с параллельны соответственно прямым МА и МС, параллельны соответственно прямым МА и МС,

угол между которыми равен 90угол между которыми равен 90Это означает, что угол между Это означает, что угол между

прямыми прямыми в в и и с с также равен 90также равен 90


1) МА 1) МА II II a, a a, a II II в в ==>> MA II MA II вв

2) 2) аа c, c, MC II C => MA MC II C => MA MCMC

3) MA 3) MA MC, MA II MC, MA II в, в, МС МС II C => II C => в в С. С.

ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ, ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ К

ПЛОСКОСТИОПРЕДЕЛЕНИЕ:

Прямая называется перпендикулярной к плоскости,если Прямая называется перпендикулярной к плоскости,если она перпендикулярна к любой прямой,лежащей в этой она перпендикулярна к любой прямой,лежащей в этой

плоскостиплоскости

Перпендикулярность прямой и плоскости обозначается: аα.Если прямая перпендикулярна к плоскости,то она пересекает её.

ТЕОРЕМЫ,УСТАНАВЛИВАЮЩИЕ СВЯЗЬ МЕЖДУ ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬЮ ПРЯМЫХ

И ИХ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬЮ К ПЛОСКОСТИ

Терема 1:Если одна из двух Терема 1:Если одна из двух параллельных прямых параллельных прямых

перпендикулярна к перпендикулярна к плоскости,то и другая плоскости,то и другая

прямая перпендикулярна к прямая перпендикулярна к этой плоскостиэтой плоскости

Теорема 2:Теорема 2:Если две Если две прямые прямые

перпендикулярны к перпендикулярны к плоскости,то они плоскости,то они

параллельны между параллельны между собой.собой.

Дано: Дано: а а аа llll аа11Доказать:Доказать: аа1 1

Доказательство:Доказательство:

Проведем какую-нибудь прямую Проведем какую-нибудь прямую хх в плоскости в плоскости .Так как .Так как а а ,то ,то

а а х х .По лемме о перпендикулярности двух параллельных .По лемме о перпендикулярности двух параллельных прямых к прямых к

третьей третьей аа1 1 хх.Таким образом,прямая .Таким образом,прямая аа11 перпендикулярна к любой перпендикулярна к любой

прямой, лежащей в плоскости прямой, лежащей в плоскости ,т.е. ,т.е. аа1 1

ТЕОРЕМА О ДВУХ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРЯМЫХ, ОДНА ИЗ КОТОРЫХ

ПЕРПЕНДИКУЛЯРНА К ПЛОСКОСТИ


1) 1) а а , , хх ==>>a a xx

2) 2) a a II II aa11 , a , a x x => => aa11 x x => => аа1 1 т.к. т.к. хх – – произвольнаяпроизвольная прямая плоскостипрямая плоскости

Дано:Дано:а а ввДоказать: Доказать: аа llll ввДоказательство:Доказательство:

1)Через какую-нибудь точку М прямой 1)Через какую-нибудь точку М прямой вв проведём прямую проведём прямую вв1 1 , ,

параллельную прямой параллельную прямой аа. . По предыдущей теореме По предыдущей теореме вв1 1

.Докажем, что .Докажем, что вв1 1 совпадает с прямойсовпадает с прямой вв. . Тем самым будет Тем самым будет

доказано,чтодоказано,что аа llll вв..

2)Допустим,что прямые 2)Допустим,что прямые вв и и вв1 1 не совпадают.Тогда в плоскости не совпадают.Тогда в плоскости

содержащей прямые содержащей прямые вв и и вв1 1 ,через точку М проходят две ,через точку М проходят две

прямые, перпендикулярные к прямой прямые, перпендикулярные к прямой с с , по которой пересекаются , по которой пересекаются

плоскости плоскости ииНо это невозможно,следовательно, Но это невозможно,следовательно, аа llll в в

А ) Б)

ТЕОРЕМА О ДВУХ ПРЯМЫХ, ПЕРПЕНДУКУЛЯРНЫХ К

ПЛОСКОСТИ


1) Пусть 1) Пусть в в ненеIIII а. а. Проведем Проведем вв1 1 IIII а а (М (М вв, , М М вв1 1 ))

2) 2) в в , , с с = => > в в с с

3) 3) а а , , с с = =>> а а сс

4) 4) а а с , вс , в1 1 IIII а а ==>> вв1 1 сс

5) 5) в в с , вс , в1 1 с, с, М М в в , , М М вв1 1 ==>> вв вв11

6) 6) вв1 1 IIII а , ва , в вв1 1 ==>> аа llll вв

ПРИЗНАК ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ

ТЕОРЕМА:

Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым,лежащим в плоскости,то она перпендикулярна к прямым,лежащим в плоскости,то она перпендикулярна к

этой плоскостиэтой плоскости

Дано: Дано: а а р, а р, а qq,р ,р

q q рр q=0q=0Доказать: Доказать: а а

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:Докажем,что прямая Докажем,что прямая аа перпендикулярна к произвольной перпендикулярна к произвольной

прямой прямой mm плоскости плоскости . Рассмотрим случай,когда прямая . Рассмотрим случай,когда прямая

mm проходит через точку О.Проведем через точку О проходит через точку О.Проведем через точку О

прямуюпрямую ll,параллельную прямой ,параллельную прямой mm.Отметим на прямой .Отметим на прямой точки А и В так,чтобы точка О была серединой отрезка точки А и В так,чтобы точка О была серединой отрезка

АВ,и проведем в плоскости АВ,и проведем в плоскости прямую,пересекающую прямую,пересекающую

прямые прямые p p ,, q q и и ll соответственно в точках Р,соответственно в точках Р,QQ и и LL..

Так как прямые Так как прямые p p ии qq - серединные перпендикуляры к отрезку АВ , то АР=ВР и А - серединные перпендикуляры к отрезку АВ , то АР=ВР и АQQ=В=ВQQ. . Следовательно, Следовательно, АРАРQ=Q=BPQ BPQ по трём сторонам. Поэтому по трём сторонам. Поэтому APQ=APQ=BPQBPQ. . Рассмотрим Рассмотрим АРАРL L и и BPLBPL.Они равны по двум сторонам и углу между ними .Они равны по двум сторонам и углу между ними (АР=ВР,(АР=ВР,PL-PL-общая сторона, общая сторона, APL=APL= BPLBPL), поэтому ), поэтому AL=BL.AL=BL. Но это означает, что Но это означает, что

треугольник АВтреугольник АВL L равнобедренный и его медиана равнобедренный и его медиана LOLO является высотой, т.е. является высотой, т.е. ll аа.Так как .Так как

и и ll llll mm , то , то mm аа (по лемме о перпендикулярности двух параллельных прямых к (по лемме о перпендикулярности двух параллельных прямых к

третьей). Итак, прямая перпендикулярна к любой прямой третьей). Итак, прямая перпендикулярна к любой прямой mm плоскости плоскости , т.е. , т.е. а а аа . .Рассмотрим теперь случай,когда прямая не проходит через точку О. Проведем через Рассмотрим теперь случай,когда прямая не проходит через точку О. Проведем через

точку О прямую точку О прямую аа11, параллельную прямой , параллельную прямой аа. По упомянутой лемме . По упомянутой лемме аа1 1 pp и и аа1 1 qq , ,

поэтому по доказанному в первом случае поэтому по доказанному в первом случае аа1 1 .Отсюда (по теореме о двух .Отсюда (по теореме о двух

параллельных прямых,одна из которых перпендикулярна плоскости) следует, что параллельных прямых,одна из которых перпендикулярна плоскости) следует, что а а аа . .


Этап 1:Этап 1:

1) АО = ВО1) АО = ВО

2) АР =ВР, 2) АР =ВР, AQ = BQAQ = BQ

3) 3) APQ = APQ = BPQ => BPQ => APQ = APQ = BPQBPQ

4) 4) APL = APL = BPL => AL = BLBPL => AL = BL

5) 5) МедианаМедиана OL OL ABL – ABL – высота, т.е. АВ высота, т.е. АВ OL OL или или а а OLOL

Этап 2:Этап 2:m – m – произвольная прямая плоскости произвольная прямая плоскости OL II OL II mm. . Т.к. Т.к. а а OLOL, то , то а а mm => => а а

ТЕОРЕМА О ПРЯМОЙ,ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОЙ К

ПЛОСКОСТИТЕОРЕМА:ТЕОРЕМА:

Через любую точку пространства проходит Через любую точку пространства проходит прямая,перпендикулярная к данной плоскости,и притом прямая,перпендикулярная к данной плоскости,и притом

только однатолько одна

Дано: М, Дано: М,

Доказать: 1)через точку М проходитДоказать: 1)через точку М проходит

прямая, перпендикулярная прямая, перпендикулярная 2)такая прямая только одна2)такая прямая только одна

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:1) Проведем в плоскости 1) Проведем в плоскости произвольную произвольную прямую прямую аа и рассмотрим плоскость и рассмотрим плоскость , , проходящую через точку М и проходящую через точку М и перпендикулярную к прямой перпендикулярную к прямой аа. Обозначим . Обозначим буквой буквой вв прямую, по которой пересекаются прямую, по которой пересекаются плоскости плоскости и и ..

В плоскости В плоскости через точку М проведем прямую через точку М проведем прямую сс, перпендикулярную к , перпендикулярную к

прямой прямой вв. Прямая . Прямая сс и есть искомая прямая. В самом деле, она и есть искомая прямая. В самом деле, она

перпендикулярна к плоскости перпендикулярна к плоскости , так как перпендикулярна к двум , так как перпендикулярна к двум

пересекающимся прямым этой плоскости(пересекающимся прямым этой плоскости(с с в , с в , с а, а, т.к. т.к. аа).).

2) Предположим, что через точку М проходит ещё одна прямая 2) Предположим, что через точку М проходит ещё одна прямая

(обозначим её через (обозначим её через сс 1 1), перпендикулярная к плоскости ), перпендикулярная к плоскости . Тогда . Тогда сс llll сс

11, что невозможно, так как прямые , что невозможно, так как прямые сс и и сс 1 1 пересекаются в точке М. пересекаются в точке М. Таким образом, через точку М проходит только одна прямая, Таким образом, через точку М проходит только одна прямая, перпендикулярная к плоскости перпендикулярная к плоскости ..

ПЛАН ПОСТРОЕНИЯ1)1) а: а а: а

2)2) М М

3)3) вв

4)4) с: с: М М СС,,сс вв


1) М 1) М с с

2)2) с с в в по построениюпо построению

3) 3) с с а, а, т.к.т.к.

==>>

с с (по признаку (по признаку перпендикулярности прямой перпендикулярности прямой

и плоскости)и плоскости)

4) с – единственная прямая4) с – единственная прямая

ПЕРПЕНДИКУЛЯР И НАКЛОННАЯНА РИСУНКЕНА РИСУНКЕ::

АНАН – перпендикуляр,проведенный из точки А к плоскости – перпендикуляр,проведенный из точки А к плоскости

НН – основание перпендикуляра – основание перпендикуляра

АМ АМ – наклонная, проведенная из точки А к плоскости – наклонная, проведенная из точки А к плоскости

ММ – основание наклонной – основание наклонной

НМНМ – проекция наклонной на плоскость – проекция наклонной на плоскость

Проекцией точки на плоскость называется Проекцией точки на плоскость называется основание перпендикуляра, проведённого основание перпендикуляра, проведённого

из этой точки к плоскостииз этой точки к плоскости

Проекцией прямой на плоскость, не Проекцией прямой на плоскость, не перпендикулярную к этой прямой, перпендикулярную к этой прямой,

является прямаяявляется прямая

СВОЙСТВА НАКЛОННЫХ

11 Перпендикуляр всегда короче Перпендикуляр всегда короче любой наклонной, проведенной любой наклонной, проведенной к плоскости из той же точкик плоскости из той же точки

22У равных наклонных, У равных наклонных, проведенных к плоскости из одной проведенных к плоскости из одной точки, проекции равныточки, проекции равны

33 Из двухИз двух наклонных, наклонных, проведенных из одной проведенных из одной точки, больше та, у которой точки, больше та, у которой проекция больше проекция больше

ТЕОРЕМА О ТРЁХ ПЕРПЕНДИКУЛЯРАХ

ТЕОРЕМА:ТЕОРЕМА:

Прямая, проведенная в плоскости через основание Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к её проекции на эту наклонной перпендикулярно к её проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклоннойплоскость, перпендикулярна и к самой наклонной

Дано:М Дано:М а, а, АН-перпендикуляр,АМ - АН-перпендикуляр,АМ -

наклонная,НМ - проекция наклонной, наклонная,НМ - проекция наклонной, а а НМНМ

Доказать: Доказать: а а АМ АМ


ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

Прямая Прямая аа перпендикулярна к плоскости АНМ, т.к. она перпендикулярна к плоскости АНМ, т.к. она

перпендикулярна к двум пересекающимся прямым АН и МН(перпендикулярна к двум пересекающимся прямым АН и МН(а а

НМ по условию и НМ по условию и а а АН, т.к. АН АН, т.к. АН ) . Отсюда следует, что ) . Отсюда следует, что

прямая прямая аа перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости

АМН, в частности АМН, в частности а а АМ .АМ .


1) АН 1) АН аа ==>> аа АНАН

аа НМ (по условию)НМ (по условию)==>> а а

АНМ)АНМ)

2) 2) а а АНМ), АМ АНМ), АМ АНМ)АНМ) ==> > а а АМАМ

УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТЬЮ.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ:ОПРЕДЕЛЕНИЕ:

Углом междуУглом между прямой и плоскостью,пересекающейпрямой и плоскостью,пересекающей эту прямую и эту прямую и не перпендикулярной её, называется угол между прямой и её не перпендикулярной её, называется угол между прямой и её

проекцией на плоскостьпроекцией на плоскость

00 9090

если прямая параллельна плоскостиесли прямая параллельна плоскости

9090если прямая перпендикулярна плоскостиесли прямая перпендикулярна плоскости

ДВУГРАННЫЙ УГОЛ


Двугранным углом называется фигура, образованная прямой Двугранным углом называется фигура, образованная прямой аа

и двумя полуплоскостями с общей границей и двумя полуплоскостями с общей границей аа , не , не принадлежащим одной плоскостипринадлежащим одной плоскости

Двугранный угол может быть острым , тупым и прямымДвугранный угол может быть острым , тупым и прямым

линейныйлинейный уголугол


Линейный угол -- угол, стороны которого являются лучами, Линейный угол -- угол, стороны которого являются лучами, перпендикулярными к ребру двугранного угла, а вершина лежит на перпендикулярными к ребру двугранного угла, а вершина лежит на

его ребреего ребре

Градусной мерой двугранного угла называется градусная мера его Градусной мерой двугранного угла называется градусная мера его линейного угла.линейного угла.

Все линейные углы двугранного угла равныВсе линейные углы двугранного угла равны


Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными,

если угол между ними равен 90если угол между ними равен 90°.°.

ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПЛОСКОСТЕЙ

ПРИЗНАК ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ПРИЗНАК ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ПЛОСКОСТЕЙ :ПЛОСКОСТЕЙ :

Если одна из двух плоскостей проходит Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к через прямую, перпендикулярную к

другой плоскости, то такие плоскости другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярныперпендикулярны

СЛЕДСТВИЕ ИЗ ПРИЗНАКА СЛЕДСТВИЕ ИЗ ПРИЗНАКА ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ПЛОСКОСТЕЙ:ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ПЛОСКОСТЕЙ:

Плоскость, перпендикулярная к прямой, по Плоскость, перпендикулярная к прямой, по которой пересекаются две данные которой пересекаются две данные

плоскости, перпендикулярна к каждой из плоскости, перпендикулярна к каждой из этих плоскостейэтих плоскостей

ПРИЗНАК ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ПЛОСКОСТЕЙ

1)1) Плоскости Плоскости иипересекаются по некоторой прямой АС, пересекаются по некоторой прямой АС, причем АВ причем АВ АС, так как по условию АВ АС, так как по условию АВ, т.е. прямая АВ , т.е. прямая АВ перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости ..

2)2) Проведём в плоскости прямую АПроведём в плоскости прямую АDD, перпендикулярную к , перпендикулярную к прямой АС. Тогда угол прямой АС. Тогда угол BAD BAD -- линейный угол двугранного -- линейный угол двугранного угла, образованного при пересечении плоскостей угла, образованного при пересечении плоскостей ии. Но. Но

BADBAD=90=90 (так как АВ (так как АВ ). Следовательно, угол между ). Следовательно, угол между плоскостями плоскостями ии равен 90 равен 90, т.е. , т.е. ..

Дано: АВ Дано: АВ , , АВАВ Доказать: Доказать:



1) АВ 1) АВ , АС , АС = => > АВ АВ АС ( АС ( АСАС))

2) 2) АВ АВ , А, АDD = => > АВ АВ А АDD ((ААDD ACAC))

3) 3) (() = ) = BAD = 90BAD = 90=> =>

Documents

ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ