Модуль 1. Элементарные функции и пределы ... · 2018-08-30 · 1) y = x - степенная функция 2) y = ax;a >0;a 6= 1 - показательная

Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. БауманаФакультет “Фундаментальные науки”

Кафедра “Высшая математика”

Математический анализМодуль 1. Элементарные функции

и пределы числовых последовательностей

Лекция 1.2

к.ф.-м.н. Семакин А.Н.

Принцип вложенных отрезков

Рассмотрим бесконечную последовательностьотрезков [a1, b1], [a2, b2], ..., [an, bn], ...

МА, Модуль 1, Лекция 1.2 2 / 29























ОпределениеСистема отрезков [a1, b1], [a2, b2], ..., [an, bn], ...называется системой вложенныхотрезков, еслиa1 ≤ a2 ≤ ... ≤ an ≤ ... ≤ bn ≤ ... ≤ b2 ≤ b1.



ОпределениеГоворят, что длина вложенных отрезковстремится к нулю, если∀ε > 0 ∃n(ε) ∈ N ∀n > n(ε): |bn − an| < ε.



Расшифровка математических символов:

∀ε > 0 - для любого положительного ε∃n(ε) ∈ N - существует натуральное число n,зависящее от ε, такое что∀n > n(ε) - для любого натурального числа n,превосходящего n(ε)

: - выполняется|bn − an| < ε - модуль разности bn и anменьше ε.



Расшифровка математических символов:∀ε > 0 - для любого положительного ε

∃n(ε) ∈ N - существует натуральное число n,зависящее от ε, такое что∀n > n(ε) - для любого натурального числа n,превосходящего n(ε)




Расшифровка математических символов:∀ε > 0 - для любого положительного ε∃n(ε) ∈ N - существует натуральное число n,зависящее от ε, такое что

∀n > n(ε) - для любого натурального числа n,превосходящего n(ε)




Расшифровка математических символов:∀ε > 0 - для любого положительного ε∃n(ε) ∈ N - существует натуральное число n,зависящее от ε, такое что∀n > n(ε) - для любого натурального числа n,превосходящего n(ε)





: - выполняется

|bn − an| < ε - модуль разности bn и anменьше ε.







Теорема (принцип вложенных отрезков)

Для всякой системы вложенных отрезков[an, bn], n = 1, 2, ... с длинами, стремящимисяк нулю, существует единственная точка d ,которая принадлежит всем отрезкам системы,причем d = sup{an} = inf {bn}.



Теорема (принцип вложенных отрезков)Для всякой системы вложенных отрезков[an, bn], n = 1, 2, ... с длинами, стремящимисяк нулю, существует единственная точка d ,которая принадлежит всем отрезкам системы,причем d = sup{an} = inf {bn}.


Числовая функция

ОпределениеЧисловая функция - это правило,ставящее в соответствие каждому элементунекоторого числового множества X некотороечисло из множества действительных чиселОбозначение: y = f (x)

x - независимая переменнаяy - зависимая переменнаяX = D(f ) - область определения



ОпределениеЧисловая функция - это правило,ставящее в соответствие каждому элементунекоторого числового множества X некотороечисло из множества действительных чисел

Обозначение: y = f (x)









x - независимая переменная

y - зависимая переменнаяX = D(f ) - область определения




x - независимая переменнаяy - зависимая переменная

X = D(f ) - область определения







ОпределениеГрафиком функции y = f (x) называетсямножество точек (x , f (x)), где x ∈ X .



ОпределениеПусть дана функция y = f (x). Функция,ставящая в соответствие каждому числу y

соответствующее значение x , называетсяфункцией, обратной данной, илиобратной функцией.

Обозначение: x = f −1(y)



ОпределениеПусть дана функция y = f (x). Функция,ставящая в соответствие каждому числу y

соответствующее значение x , называетсяфункцией, обратной данной, илиобратной функцией.Обозначение: x = f −1(y)









ОпределениеПусть даны функции y = f (x) и z = g(y).Функция z = g(f (x)) называется сложнойфункцией или композицией функцийили суперпозицией функций f и g .

Обозначение: (g ◦ f )(x) = g(f (x))



ОпределениеПусть даны функции y = f (x) и z = g(y).Функция z = g(f (x)) называется сложнойфункцией или композицией функцийили суперпозицией функций f и g .Обозначение: (g ◦ f )(x) = g(f (x))










Элементарные функции

К основным элементарным функциямотносятся:1) y = xα - степенная функция2) y = ax , a > 0, a 6= 1 - показательнаяфункция3) y = loga x , a > 0, a 6= 1 - логарифмическаяфункция



К основным элементарным функциямотносятся:

1) y = xα - степенная функция2) y = ax , a > 0, a 6= 1 - показательнаяфункция3) y = loga x , a > 0, a 6= 1 - логарифмическаяфункция



К основным элементарным функциямотносятся:1) y = xα - степенная функция

2) y = ax , a > 0, a 6= 1 - показательнаяфункция3) y = loga x , a > 0, a 6= 1 - логарифмическаяфункция



К основным элементарным функциямотносятся:1) y = xα - степенная функция2) y = ax , a > 0, a 6= 1 - показательнаяфункция

3) y = loga x , a > 0, a 6= 1 - логарифмическаяфункция



К основным элементарным функциямотносятся:1) y = xα - степенная функция2) y = ax , a > 0, a 6= 1 - показательнаяфункция3) y = loga x , a > 0, a 6= 1 - логарифмическаяфункция



К основным элементарным функциямотносятся:4) y = sin x , y = cos x , y = tg x , y = ctg x -тригонометрические функции

5) y = arcsin x , y = arccos x , y = arctg x ,y = arcctg x - обратные тригонометрическиефункции



К основным элементарным функциямотносятся:4) y = sin x , y = cos x , y = tg x , y = ctg x -тригонометрические функции5) y = arcsin x , y = arccos x , y = arctg x ,y = arcctg x - обратные тригонометрическиефункции



ОпределениеФункция называется элементарной, еслиона задана с помощью формулы, содержащейконечное число арифметических операций исуперпозиций основных элементарныхфункций.

Примеры: y = 2x2 + 3x + 5,y = sin(2x),y = tg

√x3 + x2.



ОпределениеФункция называется элементарной, еслиона задана с помощью формулы, содержащейконечное число арифметических операций исуперпозиций основных элементарныхфункций.Примеры: y = 2x2 + 3x + 5,

y = sin(2x),y = tg

√x3 + x2.



Пример функции, которая не являетсяэлементарной:

y =

{x , x ≤ 0,

sin x , x > 0.



Классификация элементарных функций

1) многочлен (полином)Pn(x) = anx

n + an−1xn−1 + ... + a1x + a0

2) рациональная функция(дробно-рациональная функция)y = Pn(x)

Qm(x), где Pn(x) и Qm(x) - полиномы



Классификация элементарных функций1) многочлен (полином)

Pn(x) = anxn + an−1x

n−1 + ... + a1x + a02) рациональная функция(дробно-рациональная функция)y = Pn(x)




Классификация элементарных функций1) многочлен (полином)Pn(x) = anx

n + an−1xn−1 + ... + a1x + a0






n + an−1xn−1 + ... + a1x + a0

2) рациональная функция(дробно-рациональная функция)

y = Pn(x)Qm(x)

, где Pn(x) и Qm(x) - полиномы




n + an−1xn−1 + ... + a1x + a0





Классификация элементарных функций3) иррациональная функция

- это функция,содержащая иррациональностиy = x + 3

√x .

4) трансцендентная функция - это функция,содержащая тригонометрические, обратныетригонометрические, показательные илогарифмические функции.y = x + sin x +

√x



Классификация элементарных функций3) иррациональная функция - это функция,содержащая иррациональности

y = x + 3√x .


√x



Классификация элементарных функций3) иррациональная функция - это функция,содержащая иррациональностиy = x + 3

√x .


√x




√x .

4) трансцендентная функция

- это функция,содержащая тригонометрические, обратныетригонометрические, показательные илогарифмические функции.y = x + sin x +

√x




√x .

4) трансцендентная функция - это функция,содержащая тригонометрические, обратныетригонометрические, показательные илогарифмические функции.

y = x + sin x +√x




√x .


√x


Числовая последовательность

ОпределениеПусть каждому натуральному числу n постав-лено в соответствие действительное число an.Совокупность чисел a1, a2, ..., an, ... называетсячисловой последовательностью.Обозначение: {an} - числовая последователь-ность с общим членом an.



ОпределениеПусть каждому натуральному числу n постав-лено в соответствие действительное число an.Совокупность чисел a1, a2, ..., an, ... называетсячисловой последовательностью.

Обозначение: {an} - числовая последователь-ность с общим членом an.



ОпределениеПусть каждому натуральному числу n постав-лено в соответствие действительное число an.Совокупность чисел a1, a2, ..., an, ... называетсячисловой последовательностью.Обозначение: {an}

- числовая последователь-ность с общим членом an.



ОпределениеПусть каждому натуральному числу n постав-лено в соответствие действительное число an.Совокупность чисел a1, a2, ..., an, ... называетсячисловой последовательностью.Обозначение: {an} - числовая последователь-ность с общим членом an.



ОпределениеЧисло an называется n-ым членомпоследовательности и задается формулойan = f (n).

Примеры: an = 1/2n, an = (−1)n · n3.



ОпределениеЧисло an называется n-ым членомпоследовательности и задается формулойan = f (n).Примеры: an = 1/2n, an = (−1)n · n3.



Экономический пример:

Допустим, мыоткрываем в банке вклад на 10 тыс. руб. под10% годовых с капитализацией процентов ипериодом капитализации 1 год. Тогдавеличина вклада по годам будет представлятьсобой числовую последовательность a1 = 10,a2 = 10 · 1, 1, a3 = 10 · 1, 12,...,an = 10 · 1, 1n−1,..., где an - размер вклада в течение n-ого года.



Экономический пример: Допустим, мыоткрываем в банке вклад на 10 тыс. руб. под10% годовых с капитализацией процентов ипериодом капитализации 1 год.

Тогдавеличина вклада по годам будет представлятьсобой числовую последовательность a1 = 10,a2 = 10 · 1, 1, a3 = 10 · 1, 12,...,an = 10 · 1, 1n−1,..., где an - размер вклада в течение n-ого года.



Экономический пример: Допустим, мыоткрываем в банке вклад на 10 тыс. руб. под10% годовых с капитализацией процентов ипериодом капитализации 1 год. Тогдавеличина вклада по годам будет представлятьсобой числовую последовательность a1 = 10,a2 = 10 · 1, 1, a3 = 10 · 1, 12,...,an = 10 · 1, 1n−1,..., где an - размер вклада в течение n-ого года.



ОпределениеЧисло a называется пределом последова-тельности {an}, если∀ε > 0 ∃n(ε) ∈ N ∀n > n(ε): |an − a| < ε.

Обозначение: limn→∞

an = a.Здесь a - конечное число, т.е. a 6= ±∞. Поэто-му определенный таким образом предел частоназывают конечным пределом.



ОпределениеЧисло a называется пределом последова-тельности {an}, если∀ε > 0 ∃n(ε) ∈ N ∀n > n(ε): |an − a| < ε.Обозначение: lim

n→∞an = a.

Здесь a - конечное число, т.е. a 6= ±∞. Поэто-му определенный таким образом предел частоназывают конечным пределом.



ОпределениеЧисло a называется пределом последова-тельности {an}, если∀ε > 0 ∃n(ε) ∈ N ∀n > n(ε): |an − a| < ε.Обозначение: lim

n→∞an = a.

Здесь a - конечное число, т.е. a 6= ±∞. Поэто-му определенный таким образом предел частоназывают конечным пределом.



Геометрическая интерпретация предела:







































ОпределениеЕсли последовательность имеет конечныйпредел, то она называется сходящейся. Впротивном случае она называетсярасходящейся.



Арифметические свойства конечныхпределов*

Пусть limn→∞

xn = a и limn→∞

yn = b. Тогда

1) limn→∞

(xn + yn) = a + b

2) limn→∞

(xn − yn) = a − b

3) limn→∞

(xn · yn) = a · b4) lim

n→∞(xn/yn) = a/b, если b 6= 0.



Арифметические свойства конечныхпределов*Пусть lim

n→∞xn = a и lim

n→∞yn = b. Тогда

1) limn→∞

(xn + yn) = a + b

2) limn→∞

(xn − yn) = a − b

3) limn→∞

(xn · yn) = a · b4) lim







1) limn→∞

(xn + yn) = a + b

2) limn→∞

(xn − yn) = a − b

3) limn→∞

(xn · yn) = a · b4) lim







1) limn→∞

(xn + yn) = a + b

2) limn→∞

(xn − yn) = a − b

3) limn→∞

(xn · yn) = a · b4) lim







1) limn→∞

(xn + yn) = a + b

2) limn→∞

(xn − yn) = a − b

3) limn→∞

(xn · yn) = a · b

4) limn→∞

(xn/yn) = a/b, если b 6= 0.






1) limn→∞

(xn + yn) = a + b

2) limn→∞

(xn − yn) = a − b

3) limn→∞

(xn · yn) = a · b4) lim




Доказательство свойства 1

Дано: limn→∞

xn = a (1)

limn→∞

yn = b (2)

Доказать: limn→∞

(xn + yn) = a + b (3)



Доказательство свойства 1Дано:

limn→∞

xn = a (1)

limn→∞

yn = b (2)


(xn + yn) = a + b (3)



Доказательство свойства 1Дано: lim

n→∞xn = a (1)

limn→∞

yn = b (2)


(xn + yn) = a + b (3)




n→∞xn = a (1)

limn→∞

yn = b (2)


(xn + yn) = a + b (3)




n→∞xn = a (1)

limn→∞

yn = b (2)

Доказать:

limn→∞

(xn + yn) = a + b (3)




n→∞xn = a (1)

limn→∞

yn = b (2)


(xn + yn) = a + b (3)



Последовательность {xn + yn} имеет пределa + b, если согласно определению пределачисловой последовательности

∀ε > 0 ∃n(ε) ∈ N ∀n > n(ε):|xn + yn − a − b| < ε. (4)Значит, нам надо найти n(ε), при которомвыполняется неравенство (4).



Последовательность {xn + yn} имеет пределa + b, если согласно определению пределачисловой последовательности∀ε > 0 ∃n(ε) ∈ N ∀n > n(ε):

|xn + yn − a − b| < ε. (4)Значит, нам надо найти n(ε), при которомвыполняется неравенство (4).



Последовательность {xn + yn} имеет пределa + b, если согласно определению пределачисловой последовательности∀ε > 0 ∃n(ε) ∈ N ∀n > n(ε):|xn + yn − a − b| < ε.

(4)Значит, нам надо найти n(ε), при которомвыполняется неравенство (4).



Последовательность {xn + yn} имеет пределa + b, если согласно определению пределачисловой последовательности∀ε > 0 ∃n(ε) ∈ N ∀n > n(ε):|xn + yn − a − b| < ε. (4)

Значит, нам надо найти n(ε), при которомвыполняется неравенство (4).



Последовательность {xn + yn} имеет пределa + b, если согласно определению пределачисловой последовательности∀ε > 0 ∃n(ε) ∈ N ∀n > n(ε):|xn + yn − a − b| < ε. (4)Значит, нам надо найти n(ε), при которомвыполняется неравенство (4).



(1) ⇒

∀ε > 0 ∃n1(ε) ∈ N ∀n > n1(ε):|xn − a| < ε/2.(2) ⇒∀ε > 0 ∃n2(ε) ∈ N ∀n > n2(ε):|yn − b| < ε/2.Пусть n(ε) = max{n1(ε), n2(ε)}. (5)Тогда ∀n > n(ε) будут одновременновыполняться неравенства |xn − a| < ε/2 и|yn − b| < ε/2.



(1) ⇒∀ε > 0 ∃n1(ε) ∈ N ∀n > n1(ε):

|xn − a| < ε/2.(2) ⇒∀ε > 0 ∃n2(ε) ∈ N ∀n > n2(ε):|yn − b| < ε/2.Пусть n(ε) = max{n1(ε), n2(ε)}. (5)Тогда ∀n > n(ε) будут одновременновыполняться неравенства |xn − a| < ε/2 и|yn − b| < ε/2.



(1) ⇒∀ε > 0 ∃n1(ε) ∈ N ∀n > n1(ε):|xn − a| < ε/2.

(2) ⇒∀ε > 0 ∃n2(ε) ∈ N ∀n > n2(ε):|yn − b| < ε/2.Пусть n(ε) = max{n1(ε), n2(ε)}. (5)Тогда ∀n > n(ε) будут одновременновыполняться неравенства |xn − a| < ε/2 и|yn − b| < ε/2.



(1) ⇒∀ε > 0 ∃n1(ε) ∈ N ∀n > n1(ε):|xn − a| < ε/2.(2) ⇒

∀ε > 0 ∃n2(ε) ∈ N ∀n > n2(ε):|yn − b| < ε/2.Пусть n(ε) = max{n1(ε), n2(ε)}. (5)Тогда ∀n > n(ε) будут одновременновыполняться неравенства |xn − a| < ε/2 и|yn − b| < ε/2.



(1) ⇒∀ε > 0 ∃n1(ε) ∈ N ∀n > n1(ε):|xn − a| < ε/2.(2) ⇒∀ε > 0 ∃n2(ε) ∈ N ∀n > n2(ε):

|yn − b| < ε/2.Пусть n(ε) = max{n1(ε), n2(ε)}. (5)Тогда ∀n > n(ε) будут одновременновыполняться неравенства |xn − a| < ε/2 и|yn − b| < ε/2.



(1) ⇒∀ε > 0 ∃n1(ε) ∈ N ∀n > n1(ε):|xn − a| < ε/2.(2) ⇒∀ε > 0 ∃n2(ε) ∈ N ∀n > n2(ε):|yn − b| < ε/2.

Пусть n(ε) = max{n1(ε), n2(ε)}. (5)Тогда ∀n > n(ε) будут одновременновыполняться неравенства |xn − a| < ε/2 и|yn − b| < ε/2.



(1) ⇒∀ε > 0 ∃n1(ε) ∈ N ∀n > n1(ε):|xn − a| < ε/2.(2) ⇒∀ε > 0 ∃n2(ε) ∈ N ∀n > n2(ε):|yn − b| < ε/2.Пусть n(ε) = max{n1(ε), n2(ε)}. (5)

Тогда ∀n > n(ε) будут одновременновыполняться неравенства |xn − a| < ε/2 и|yn − b| < ε/2.



(1) ⇒∀ε > 0 ∃n1(ε) ∈ N ∀n > n1(ε):|xn − a| < ε/2.(2) ⇒∀ε > 0 ∃n2(ε) ∈ N ∀n > n2(ε):|yn − b| < ε/2.Пусть n(ε) = max{n1(ε), n2(ε)}. (5)Тогда ∀n > n(ε) будут одновременновыполняться неравенства |xn − a| < ε/2 и|yn − b| < ε/2.



Следовательно,

|xn + yn − a − b| = |xn − a + yn − b| ≤≤ |xn − a| + |yn − b| < ε/2 + ε/2 = ε.Это означает, что при задании n(ε) поформуле (5) неравенство (4) будетвыполняться, а значит, справедливаформула (3). �



Следовательно,|xn + yn − a − b| =

|xn − a + yn − b| ≤≤ |xn − a| + |yn − b| < ε/2 + ε/2 = ε.Это означает, что при задании n(ε) поформуле (5) неравенство (4) будетвыполняться, а значит, справедливаформула (3). �



Следовательно,|xn + yn − a − b| = |xn − a + yn − b|

≤≤ |xn − a| + |yn − b| < ε/2 + ε/2 = ε.Это означает, что при задании n(ε) поформуле (5) неравенство (4) будетвыполняться, а значит, справедливаформула (3). �



Следовательно,|xn + yn − a − b| = |xn − a + yn − b| ≤≤ |xn − a| + |yn − b|

< ε/2 + ε/2 = ε.Это означает, что при задании n(ε) поформуле (5) неравенство (4) будетвыполняться, а значит, справедливаформула (3). �



Следовательно,|xn + yn − a − b| = |xn − a + yn − b| ≤≤ |xn − a| + |yn − b| < ε/2 + ε/2

= ε.Это означает, что при задании n(ε) поформуле (5) неравенство (4) будетвыполняться, а значит, справедливаформула (3). �



Следовательно,|xn + yn − a − b| = |xn − a + yn − b| ≤≤ |xn − a| + |yn − b| < ε/2 + ε/2 = ε.

Это означает, что при задании n(ε) поформуле (5) неравенство (4) будетвыполняться, а значит, справедливаформула (3). �



Следовательно,|xn + yn − a − b| = |xn − a + yn − b| ≤≤ |xn − a| + |yn − b| < ε/2 + ε/2 = ε.Это означает, что при задании n(ε) поформуле (5) неравенство (4) будетвыполняться,

а значит, справедливаформула (3). �



Следовательно,|xn + yn − a − b| = |xn − a + yn − b| ≤≤ |xn − a| + |yn − b| < ε/2 + ε/2 = ε.Это означает, что при задании n(ε) поформуле (5) неравенство (4) будетвыполняться, а значит, справедливаформула (3). �


Documents

Модуль 1. Элементарные функции и пределы ... · 2018-08-30 · 1) y = x - степенная функция 2) y = ax;a >0;a 6= 1 - показательная