第五章 二次曲线的一般理论

§5.1 二次曲线与直线的相关位置

§5.3 二次曲线的切线

§5.2 二次曲线的渐近方向、中心、渐近线

§5.4 二次曲线的直径

§5.6 二次曲线方程的化简与分类

§5.5 二次曲线的主直径和主方向

§5.7 应用不变量化简二次曲线的方程

在平面上，由二元二次方程 0222 332313

22212

211 ayaxayaxyaxa

所表示的曲线，叫做二次曲线。在这一章里，我们将讨论二次曲线的几何性质，以及二次曲线的化简，最后对二次曲线进行分类。

为了方便起见，特引进一些记号：

3323132

22122

11 222),( ayaxayaxyaxayxF

1312111 ),( ayaxayxF 2322122 ),( ayaxayxF

3323133 ),( ayaxayxF 2

22122

11 2),( yaxyaxayx

332313

232212

131211

aaa

aaa

aaa

A

2212

1211*

aa

aaA

12111 aaI

2212

12112 aa

aaI

332313

232212

131211

3

aaa

aaa

aaa

I

3323

2322

3313

13111 aa

aa

aa

aaK

3323132

22122

11 222),( ayaxayaxyaxayxF

讨论二次曲线

与直线

Ytyy

Xtxx

0

0

的交点，可以采用把直线方程（ 2 ）代入曲线方程（ 1 ）然后讨论关于 t 的方程

（ 1 ）

（ 2）

§5.1 二次曲线与直线的相关位置

0)222(

)()(2

)2(

3302301320220012

2011

2302201213012011

222212

211

ayaxayayxaxa

tYayaxaXayaxa

tYaXYaXa （ 3）

0),(

),(),(2),(

00

0020012

yxF

tYyxFXyxFtYX

（ 4 ）

对（ 3 ）或（ 4 ）可分以下几种情况来讨论：

.)1()2()2(

)4(.01 21

的两个不同的实交点与二次曲线得直线，代入与有两个不等的实根方程 tt

.)1()2(

)4(.02 21

点有两个相互重合的实交与二次曲线，直线与有两个相等的实根方程 tt

.

)2()4(.03

的虚点二次曲线交于两个共轭与线有两个共轭的虚根，直方程

),(),(),(),(

,)4(.0),(.1

002

002001 yxFYXYyxFXyxF

YX

的二次方程是关于此时 t

：，这时又可分三种情况0),(.2 YX

.

)1()2(,

)4(.0),(),(1 002001

实交点有唯一与二次曲线直线的一次方程关于

是此时t

YyxFXyxF

.)1(

)2(,)4(.0),(

.0),(),(2

00

002001

无交点与二次曲线直线是矛盾方程而

yxF

YyxFXyxF

.)1()2(,)4(

.0),(),(),(3 00002001

上全部在二次曲线直线是恒等式此时 yxFYyxFXyxF

1. 二次曲线的渐近方向

定义 5.2.1 满足条件 Φ(X,Y)=0 的方向 X:Y 叫做二次曲线的渐近方向，否则叫做非渐近方向 .

定义 5.2.2 没有实渐近方向的二次曲线叫做椭圆型的，有一个实渐近方向的二次曲线叫做抛物线型的，有两个实渐近方向的二次曲线叫做双曲型的 .

即 1) 椭圆型： I2>0 2) 抛物型： I2 ＝ 0 3) 双曲型： I2

<0

§5.2 二次曲线的渐近方向、中心、渐近线

2. 二次曲线的中心与渐近线

定义 5.2.3 如果点 C 是二次曲线的通过它的所有弦的中点 (C 是二次曲线的对称中心 ) ，那么点C 叫做二次曲线的中心 .

定理 5.2.1 点 C(x0 ,y0) 是二次曲线 (1) 的中心，其充要条件是：

)12.5(0),(

0),(

23022012002

13012011001

ayaxayxF

ayaxayxF

推论 坐标原点是二次曲线的中心，其充要条件是曲线方程里不含 x 与 y 的一次项 .

二次曲线 (1) 的的中心坐标由下方程组决定：

)22.5(0),(

0),(

2322122

1312111

ayaxayxF

ayaxayxF

如果 I2≠0 ，则 (5.2 － 2) 有唯一解，即为唯一中心坐标

如果 I2 ＝ 0 ，分两种情况：.)22.5(

23

13

22

12

12

11 无解，没有中心时，当 a

a

a

a

a

a

.

)22.5(23

13

22

12

12

11

，这条直线叫中心直线点都是二次曲线的中心

无数多解，直线上所有时，当 a

a

a

a

a

a

定义 5.2.4 有唯一中心的二次曲线叫中心二次曲线，没有中心的二次曲线叫无心二次曲线，有一条中心直线的二次曲线叫线心二次曲线，无心二次曲线和线心二次曲线统称为非中心二次曲线 .

定义 5.2.5 通过二次曲线的中心，而且以渐近方向为方向的直线叫做二次曲线的渐近线 .

定理 5.2.2 二次曲线的渐近线与这二次曲线或者没有交点，或者整条直线在这二次曲线上

成为二次曲线的组成部分 .

定义 5.3.1 如果直线与二次曲线相交于相互重合的两个点，那么这条直线就叫做二次曲线的切线，这个重合的交点叫做切点，如果直线全部在二次曲线上，我们也称它为二次曲线的切线，直线上的每个点都可以看作切点 .

定义 5.3.2 二次曲线 (1) 上满足条件 F1(x0,y0)=

F2(x0,y0)=0 的点 (x0,y0) 叫做二次曲线的奇异点，简称奇点；二次曲线的非奇异点叫做二次曲线的正常点 .

§5.3 二次曲线的切线

定理 5.3.1 如果 (x0,y0) 是二次曲线 (1) 的正常点，那么通过 (x0,y0) 的切线方程是 (x-x0)F1 (x0,y0)+

(y-y0)F2 (x0,y0)=0 ， (x0,y0) 是它的切点 . 如果 (x0,y0)是二次曲线 (1) 的奇异点，那么通过 (x0,y0) 的切线不确定，或者说过点 (x0,y0) 的每一条直线都是二次曲线 (1) 的切线 . 推论 如果 (x0,y0) 是二次曲线 (1) 的正常点，那么通过 (x0,y0) 的切线方程是：

0)(

)()(

33023

0130220012011

ayya

xxayyaxyyxaxxa

例 1 求二次曲线 x2-xy+y2+2x-4y-3=0 在点 (2,1)的切线方程

解：因为 F(2,1)=4-2+1+4-4-3=0,

且 F1(2,1)=5/2≠0, F 2 (2,1)=-2 ≠0

所以 (2,1) 是二次曲线上的正常点，因此得在

点 (2,1) 的切线方程为：

5/2 (x-2)-2(y-1)=0

即： 5x-4y-6=0

1. 二次曲线的直径

定理 5.4.1 二次曲线的一族平行弦的中点轨迹是一条直线 .

定义 5.4.1 二次曲线的平行弦中点轨迹叫做这个二次曲线的直径，它所对应的平行弦，叫做共轭于这条直径的共轭弦；而直径也叫做共轭于平行弦方向的直径 .

§5.4 二次曲线的直径

推论 二次曲线的一族平行弦的斜率为 k ，那么共轭于这族平行弦直径方程为 F1(x,y)+kF2(x,y)=0 定理 5.4.2 中心二次曲线的直径通过曲线的中心，无心二次曲线的直径平行于曲线的渐近方向，线心二次曲线的直径只有一条，即曲线的中心直线

2. 共轭方向与共轭直径 中心二次曲线的非渐近方向的共轭方向仍然是非渐近方向，而在非中心二次曲线的情形是渐近方向 .

定义 5.4.2 中心曲线的一对具有相互共轭方向的直径叫做一对共轭直径 .

)15.5(2212

1211

YYaXa

XYaXa

)25.5(02212

1211

aa

aa

定义 5.5.1 二次曲线的垂直与其共轭弦的直径叫做二次曲线的主直径，主直径的方向与垂直于主直径的方向都叫做二次曲线的主方向 .

)35.5(0212 II

§5.5 二次曲线的主直径和主方向

定义 5.5.2 方程 (5.5-2) 或 (5.5-3) 叫做二次曲线(1) 的特征方程，特征方程的根叫做二次曲线的特征根定理 5.5.1 二次曲线的特征根都是实

数 .定理 5.5.2 二次曲线的特征根不能全为零 .

定理 5.5.3 由二次曲线 (1) 的特征根 λ 确定的主方向 X:Y ，当 λ≠0 时，为二次曲线的非渐近主方向；当 λ ＝ 0 时，为二次曲线的渐近主方向 .

定理 5.5.4 中心二次曲线至少有两条主直径，非中心二次曲线只有一条主直径 .

cossin

sincos

yxy

yxx

1. 平面直角坐标变换

cossin

sincos

yxy

yxx

为转轴公式，其中 α 为坐标轴的旋转角 .

§5.6 二次曲线方程的化简与分类

2. 二次曲线方程的化简和分类

定理 5.6.1 适当选取坐标系，二次曲线的方程总可以化成下列三个简化方程中的一个：

.0,0)(

;0,02)(

;0,0)(

22332

22

1322132

22

2211332

222

11

aayaIII

aaxayaII

aaayaxaI

定理 5.6.2 通过适当选取坐标系，二次曲线的方程总可以写成下面九种标准方程的一种形式：

)(1]1[2

2

2

2

椭圆b

y

a

x

)(1]3[2

2

2

2

双曲线b

y

a

x

)(0]4[2

2

2

2

虚直线点或相交于实点的共轭b

y

a

x

)(0]5[2

2

2

2

两相交直线b

y

a

x

)(2]6[ 2 抛物线pxy )(]7[ 22 两平行直线ay

)(]8[ 22 两平行共轭虚直线ay )(0]9[ 2 两重合直线y

)(1]2[2

2

2

2

虚椭圆b

y

a

x