表現系工学特論

参考文献Concurrency: State Models & Java Programming, J. Magee & J. Kramer, Wiley (2006)

モデル検査（２）プロセス代数に基づくモデリング

１．プロセス代数

２．逐次プロセスのモデリング

3 ．並行プロセスのモデリング

(model checking)

(modeling in process algebra)

モデル検査 ( 復習 ) 　　

モデル検査器model checker

モデルmodel

（状態遷移系）

モデル記述言語

•C 言語風のもの

•プロセス代数

検査結果ＯＫ反例

性質property

（安全性，活性）

性質の記述

•時相論理

The result iseither OK or a counterexample

１．プロセス代数

代数とは何か プロセス代数とは プロセス代数に基づく言語

(process algebra)

代数とは何か 要素の集合（台）およびその上での演算の

集まりからなる計算系

a

b

cde

台(universe)

c = a ○ b

例：　（整数の集合，＋， × ）

演算子

等号

演算

(algebra)

(operator)

(operation)

(equality)

プロセス代数とは プロセスやイベント等の集合を台とし，

プロセスの合成などの演算を定義した代数

P

QR

Q = e ○ P

a e

Process

Event

演算

(process algebra)

プロセス代数に基づく言語 CSP (Communicating Sequential Processes)

by Hoare CCS (Calculus of Communicating Systems)

by Milner FSP (Finite State Processes)

by Magee & Kramer

今回の講義ではこれを紹介

２．逐次プロセスのモデリング

プロセス＝アクション＋状態遷移 ラベル付き遷移系と FSP によるモデリ

ング アクション接頭辞 選択 添え字付きアクション ガード付きアクション

(modeling sequential processes)

プロセス＝アクション＋状態遷移 状態 (state)

プログラムカウンタの値と （明示的あるいは暗黙的な）変数の値からなる

状態遷移 (state transition) 割り込み不能の原子アクション (atomic action)

により状態が遷移する プロセス (process)

１つの逐次プログラムの実行のこと． 有限状態機械（オートマトン）でモデル化され

る

(process) (action) (state transition)

(program counter)

(variable)

(finite state machine: automaton)

ラベル付き遷移系と FSP によるモデリング

ラベル付き遷移系 (Labeled Transition System) 有限状態機械を図式的に表現したシステム

FSP (Finite State Processes) ラベル付き遷移系を代数的に表現する言語

アクション接頭辞

(a-> P)

最初にアクション a を実行し，つぎにプロセス P と同じ振る舞いをするプロセス．

(action prefix)

(a -> P) is a process that initially engages in the action a and then behaves exactly as described by the process P.

スイッチの例 (1) ラベル付き遷移系

on

off

0 1ラベル付き遷移系

OFF ON

onoffonoffonoff ……….

トレース (trace) : 実行可能なアクションの列のこと

initial state

action

(Example: a binary switch)

スイッチの例 (2) FSP による記述

FSPSWITCH = OFF,OFF = (on -> ON),ON = (off-> OFF).

代入によってより簡潔な表現を得る：SWITCH = OFF,OFF = (on ->(off->OFF)).

SWITCH = (on->off->SWITCH).

on

off

0 1ラベル付き遷移系

アクション名は小文字プロセス名は大文字

OFF ON

(Simplify the expressions by substitution)

選択

(a-> P | b->Q)

最初にアクション a ,b のいずれかを実行する．そのアクションが a ならつぎにプロセス P を実行し， b ならつぎにプロセス Q を実行するプロセス．

(choice)

(a->P | b->Q) is a process which initially engages in either a or b.The subsequent behavior is described by P if the first action was a, and Q if the first action was b.

自動販売機の例

DRINKS = ( red->coffee->DRINKS | blue->tea->DRINKS ).

red

blue

coffee

tea

0 1 2

（ボタンの色で飲み物を指定）

(Example: a vending machine)

非決定的選択Process (x-> P | x -> Q) describes a process which engages in x and then behaves as either P or Q.

COIN = (toss->HEADS | toss->TAILS),HEADS= (heads->COIN),TAILS= (tails->COIN). toss

toss

heads

tails

0 1 2

(non-deterministic choice)

COIN = (toss-> heads -> COIN |toss-> tails -> COIN ).

Single slot buffer that inputs a value in the range 0 to 3 and then outputs that value:

添え字付きアクション

BUFF = (in[i:0..3]->out[i]-> BUFF).

equivalent to

or using a process parameter with default value:

BUFF = (in[0]->out[0]->BUFF |in[1]->out[1]->BUFF |in[2]->out[2]->BUFF |in[3]->out[3]->BUFF ).

BUFF(N=3) = (in[i:0..N]->out[i]-> BUFF).

(indexed actions)

iin out

BUFF

ガード付きアクション

COUNT (N=3) = COUNT[0],COUNT[i:0..N] = (when(i<N) inc->COUNT[i+1] |when(i>0) dec->COUNT[i-1] ).

inc inc

dec

inc

dec dec

0 1 2 3

(guarded actions)

(when C a-> P | b->Q)

ガード C が真のときのみアクション a が選択され得る．アクション b は，ガードがないので，常に選択され得る．

３．並行プロセスのモデリング

プロセスの並列合成 アクションのインタリーブ ラベル付き遷移系の合成 共有アクションとインタラクション

(modeling concurrent processes)

プロセスの並列合成

(P||Q)

プロセス P と Q の並行実行を表すプロセス． || は並列合成演算子．

Commutative: (P||Q) = (Q||P)Associative: (P||(Q||R)) = ((P||Q)||R)

= (P||Q||R).

(parallel composition of processes)

アクションのインタリーブ

ITCH = (scratch->STOP).CONVERSE = (think->talk->STOP).

||CONVERSE_ITCH = (ITCH || CONVERSE).

共有アクション

無し

thinktalkscratchthinkscratchtalkscratchthinktalk

インタリーブによって可能となるトレース

かゆいところをかくプロセス

会話するプロセス

並列合成されたプロセス

並列合成は|| で書き始める

プロセス間で共有されないアクションはインタリーブされる

(action interleaving)

ラベル付き遷移系の並列合成

(0,0)

(0,1)

(0,2)

(1,2)

(1,1)

(1,0)

from ITCH

2 x 3 states

ITCH

scratch

0 1CONVERSE

think talk

0 1 2

CONVERSE_ITCH

scratch

think

scratch

talk scratch

talk think

0 1 2 3 4 5

from CONVERSE

3 states2 states

P の状態 p と Q の状態 q の組(p,q) が， P||Q の状態となる

A pair (p, q) of states of processes P and Q is a state of the composed process P || Q

共有アクションとインタラクション

共有アクション (shared action) ：　　　並列合成されたプロセスがもつ共通のアクション．

共有アクションによってプロセスのインタラクション(interaction) をモデル化．

共有アクションは，それを共有するすべてのプロセスにおいて同時に同期 (synchronized) して実行されなければならない．

(shared action and interaction)

A shared action must be executed at the same time by all processes that participate in that shared action.In other words, those executions must be synchronized.

インタラクションの例

MAKER = (make->ready->used->MAKER).USER = (ready->use->used ->USER).

||MAKER_USER = (MAKER || USER).

インタラクションは

振舞いを制約する

3 状態3 状態

3 x 3 状態 ?

4 状態make ready use

used

0 1 2 3

shared actions:ready, used

The interaction constrains the behavior.

演習問題二人のユーザーを表すプロセス USER_A ， USER_B ，および共有資源を表すプロセス RESOURCE ，およびそれらを並列合成したプロセス RESOURCE_SHARE が， FSP でつぎのように定義されている．

USER_A = (a_acquire -> a_use -> a_release -> USER_A).

USER_B = (b_acquire -> b_use -> b_release -> USER_B).

RESOURCE = IDLE,　　 IDLE = (a_acquire -> BUSY | b_acquire -> BUSY),　　 BUSY = (a_release -> IDLE |b_release -> IDLE).

||RESOURCE_SHARE = (USER_A || USER_B || RESOURCE).

これら４つのプロセスのラベル付き遷移系をそれぞれ描画せよ．

ここから先のスライドは授業では使わない

４．ＦＳＰの意味論の概要

ラベル付き遷移系の形式的定義 ＦＳＰの意味論の枠組み アクション接頭辞 選択 並列合成

(Introduction to the semantics of FSP)

ラベル付き遷移系 (LTS) の形式的定義(1)

States : すべての状態の集合

Act L : すべてのアクションの集合．

Ｌは観測可能なアクションの集合（ラベル）．

τ は LTSから観測できない内部アクション

(Formal definition of Labeled Transition System: LTS)

(States is the set of all the states)

(Act is the set of all the actions)

ラベル付き遷移系 (LTS) の形式的定義(2)

有限 LTSは四ツ組 , , ,P S A q である．

S States 状態の有限集合

A Act アクションの集合．

S A S 遷移関係

（現状態，アクション，次状態）

q S 初期状態

(a set of states)

(a set of actions)

(a transition relation)

(an initial state)

ラベル付き遷移系 (LTS) の形式的定義(3)

LTS , , ,P S A q は， ( , , )q a q のとき，

アクション a A により LTS , , ,P S A q に遷移．

これを aP P と書く．

q q'

P P'a

ＦＳＰの意味論の枠組み

構文領域 Exp

意味領域 Ps

lts

意味関数 :Exlts p Ps により意味を定義．

Expは FSPで記述されるプロセス表現の集合．

Psは LTSの集合．

アクション接頭辞

( ,>( ,, )) , ,S Aa E p p a pts ql a

ただし， ( ) , , ,lts S AE q ，pは新しい状態（ p S ）．

p q

lts(E)

a

lts(a->E)

選択

1 1 2 2

1 2

1

1 2 1

1 1 22

2

2

( )

, ,

( , , ),( , , ,

|

)

,

a E a E

aS S A A

q

l

a

a

p

p

s

p

t

q pa

ただし， , ,( ) ( 1,2),i i ii iS A qlts iE ，

pは新しい状態（ 1 2p S S ）．

pq2 lts(E2)a2

lts(a1->E1 | a2->E2) q1 lts(E1)a1

並列合成

1 2 1 2 1 2, , ,| ( )| ,P qQ S S A A q

ただし， 1 1 1 1, , ,P S A q ， 2 2 2 2, , ,Q S A q ，

はつぎの推論規則を満たす最小の遷移関係 ( )a ．

2( )|| ||

a

a

P Pa A

P Q P Q

1( )

|| ||

a

a

Q Qa A

P Q P Q

,

|| ||

a a

a

P P Q Q

P Q P Q

インタラクション

( ) ( ) || (|| )lts ltsP P ltsQ Q