١

تحلیل التباین االحادى

Introduction :مقدمــة

في كثیر من . والذي یخص الفرق بین متوسطي مجتمعین وذلك تحت شروط معینھ tاختبار إذا كانسبیل المثال ىفعل .مجتمعات فأكثراألحیان یحتاج الباحث إلى مقارنة متوسطات ثالثة

الواحد منھا كل األطفال الذین یتلقون تعلیمھم ويیح A , B , C , D للتعلیم لدینا أربع طرق . بإحدى ھذه الطرق والمطلوب مقارنة متوسطات المعرفة المكتسبة في كل من الطرق المختلفة

أيلمقارنة متوسطي مجتمعین لكل زوج من المجتمعات األربعة ، tیمكن استخدام اختبار Aثم استخدامھ مرة أخري لمقارنة الطریقة Bة بالطریق Aلمقارنة الطریقة tاستخدام اختبار

: كثیرة منھا مشاكل وھكذا ، إال أن ھذه الطریقة لھا Cبالطریقة غیر عملیة حیث یزداد عدد المقارنات بسرعة كلما زاد عدد المجتمعات فمثال في المثال ) أ(

ستة مرات ألن t نحتاج إلجراء اختبار السابق4 4! 62 2!2!

بصورة عامھ عدد .

kمن المتوسطات یساوى kالمقارنات الزوجیة لعدد k!r2 2!(k 2)!

وع األول ) ب( ك أيزیادة احتمال الوقوع في خطأ من الن دم وھو صحیح وذل رفض فرض العي وع ف ال الوق ان باحتم ة یرتبط توى المعنوی ة ومس ات الزوجی دد المقارن ن ألن ع أ م خط

r1: :ل العالقة التالیةالنوع األول من خال (1 ) ثحیr ة ات الزوجی دد المقارن ھي عد و دد عن وف یح ذي س ة وال توى المعنوی ط أمس دة فق ة واح ك إذا . جراء مقارن ى ذل وعل

ال = 0.05ومستوى المعنویة r = 6كانت إن احتم ة ، ف ة زوجی ، والذي یحدد لكل مقارن :ھواألول الوقوع في خطأ من النوع

r 61 0.95 1 0.73509 0.26491 .1 (1 ) 0.05ما یقرب من خمسة أمثال مستوى المعنویة أي ذي ةسوف یحدد وال د مقارن عن

ى المشاكلحسن الحظ فإنھ یمكن التغلب ع. واحدة فقط للمتوسطات الستة في آن واحد السابقة،ل لاكل رى،ومش ت أخ ارباس ر خدام اختب ن أكث د م ر واح ذي یعتب این وال ل التب مى تحلی ائي یس إحص

ائیة رق اإلحص تخداماالط الي .اس ال الت این بالمث ل التب لوب تحلی ح أس وف نوض ت . س إذا أجریة للزراعة ر ( تجربة زراعیة لدراسة تأثیر األوقات المختلف ارس –فبرای وفمبر –م وبر –ن ) أكت

ب وإ ول القص ھ محص ى إنتاجی و عل ا ھ ان اھتمامن ارذا ك دم اختب رض الع ة ف ط إنتاجی أن متوسة ات المختلف د لألوق ب واح ول القص ى . محص ة، عل ذه الحال ي ھ این، ف ل التب لوب تحلی د أس یعتم

ا ونین لھم ى مك اھدات إل ي للمش تالف الكل ة االخ يتجزئ ادر معن اس المص ي قی تخدمان ف یسیس المكون األول یقیس االختالف .لالختالفالمختلفة اني یق ة والث ى خطأ التجرب ذي یرجع إل ال

ات ى أوق ع إل ذي یرج تالف ال ى االخ افة إل ة باإلض أ التجرب ى خط ع إل ذي یرج تالف ال االخدم .األربعة تالزراعا ة محصول القصب أي صحیح،عندما یكون فرض الع أن متوسط إنتاجی

دیر المختلفة،واحدة لألوقات دوننا بتق تقلین لخطأ فإن كال من المكونین سوف یم ة،ین مس التجرب .F وعلى ذلك یعتمد اختبارنا على المقارنة بین المكونین باستخدام توزیع

ةبفرض أن اھتمامنا سوف یكون ي مقارن ات ف د أوق ة محصول القصب عن متوسط إنتاجیة طرق للزراعة ة للزراعة وباستخدام ثالث ة سوف . (3 ,2 ,1 )مختلف ذه الحال ي ھ ا ف اھتمامن

ي یك روق ف ى الف ع إل ب یرج ول القص ة محص ي إنتاجی تالف ف ان االخ ا إذا ك ار م ي اختب ون فا این . مواعید الزراعة أو الفروق في طرق الزراعة أو ربما الفروق في كالھم ل التب د تحلی یعتم

٢

ات ، ة مكون ى ثالث ة محصول القصب إل ي إلنتاجی ، في ھذه الحالة ، على تجزئة االختالف الكلى األول یقیس ة باإلضافة إل ى أيخطأ التجربة فقط والثاني یقیس خطأ التجرب اختالف یرجع إل

ى ة باإلضافة إل أ التجرب یس خط ث یق ة ، والثال ة المختلف د الزراع ى أيمواعی ع إل اختالف یرجة ة المختلف رق الزراع ار . ط دنا باختب وف یم اني س ون األول بالث ة المك إن مقارن ك ف ى ذل وعل

ةالفرض أن متوسط إن د الزراعة المختلف نفس الشكل . تاجیة محصول القصب واحدة عند مواعی بة محصول القصب ار الفرض أن متوسط إنتاجی ن اختب ة عن واحدیمك لطرق الزراعة المختلف

.بالثالثطریق مقارنة المكون األول

لصفة ا اھدات وفق ة أو) خاصیة(إذا صنفت المش ي طرق الزراع ل االختالف ف دة مث واحدینا تصنیف أحادي .. .العمرالجنس أو خ فسوف یكون ل ا . one-way classificationال أم

دینا ون ل وف یك مدة فس واع األس ح وأن ناف القم ل أص فتین مث ا لص اھدات وفق نفت المش إذا ص two-way classification تصنیف ثنائي

way Classification-One :التصنیف األحادي

نفترض سوف .المجتمعاتمن kتم اختیارھا من nنات عشوائیة من الحجم بفرض أن عی 1 مستقلة وتتبع توزیعات طبیعیة بمتوسطات k أن المجتمعات التي عددھا 2 Kμ ,μ , ,μ

:المطلوب اختبار فرض العدم . 2وتباین مشترك 0 1 2 kH : ...

:البدیلضد الفرض 1H: یختلف عن الباقي iواحد على األقل من

م jترمز للمشاھدة رقم xijبفرض أن ا iالمختارة من المجتمع رق م ترتیبھ وأن المشاھدات تم ترمز ل Ti.حیث التالىجدول الفي مجموع كل المشاھدات في العینة المختارة من المجتمع رق

i و.xi م ع رق ن المجتم ارة م ة المخت ي العین اھدات ف ل المش ط ك ز لمتوس ز T..و iترم ترمي عددھا ترمز لمتوسط كل الم x..و nkلمجموع كل المشاھدات التي عددھا nkشاھدات الت

.

للنموذج الریاضي :التاليیمكن التعبیر عن كل مشاھدة وفقا

ij i ijx ,

المجتمعات 1 2 … i … k 11 21 i1 k1

12 22 i2 k2

1n 2n in kn

x x .... x ... xx x .... x ... x

x x .... x ... x

T.. 1. 2. i. k.T T ... T ... T المجموع

..x .k.i.2.1 x...x...xx المتوسط

٣

ث م ijحی اھدة رق راف المش یس انح م jیق ة رق ي العین م iف ع رق ط المجتم ن متوس i.عiوبوضع i حیث:

ki

i 1 ,k

:فإنھ یمكن كتابة النموذج أعاله على الشكل ij i ijx

رط أن ت ش تحk

ii 1

0

ث م iحی ع رق أثیر المجتم ن ت ر ع تعمال. iتعب وذج وباس النم

0األخیر یصبح فرض العدم 1 2 kH : ... :للفرضمكافئ

0 1 2 kH : ... 0 :البدیلضد الفرض

iواحد على األقل من 1H :ال یساوى صفراع این المجتم تقلین لتب ى .2اختبارنا سوف یعتمد على مقارنة تقدیرین مس تم الحصول عل ی

ونین ى مك اھدات إل ي للمش تالف الكل ھ االخ دیرین بتجزئ ل . التق این لك روف أن التب ن المع م :الصیغةیعطى من nkالمشاھدات مجتمعھ في عینة واحدة من الحجم

k n 2ij ..

i 1 j 12(x x )

s ,nk 1

ي ات الكل ي الصیغة السابقة یسمى مجموع المربع ذي total sum of squares البسط ف وال :یقیس االختالف الكلي للمشاھدات حیث

k n k2 2ij .. i. ..

i 1 j 1 i 1(x x ) n (x x )

k n 2ij i.

i 1 j 1(x x ) .

:ویمكن التعبیر عن الحدود في العالقة السابقة باستخدام الرموز كالتالي

SSTO = SSC + SSE

:حیث مجموع المربعات الكلي ھو k n 2

ij ..i 1 j 1

SSTO (x x ) ,

: ھو sum of squares for columns meansومجموع المربعات لمتوسطات األعمدة k 2

i. ..i 1

SSC n (x x ) ,

:ھو error sum of squaresومجموع المربعات للخطأ

٤

k n 2ij i.

i 1 j 1SSE (x x ) ,

:كلیة كما یلي أیضا تجزئ درجات الحریة الnk-1= k-1 + k (n-1).

وع ؤلفین بمجم ن الم ر م ل كثی ن قب دة م طات األعم ات لمتوس وع المربع ار لمجم ادة یش عات للمعالجات ة أن . treatment sum of squaresالمربع ى الحقیق ذه التسمیة ترجع إل kوھ

لمعالجات مختمن المجتمعات المختلفة غالبا ك لفةما تصنف تبعا ي ذل إن المشاھداتوعل xij ف

;(j = 1,2,…,n) تمثلn م ة معالجة تستخدم . iمن المشاھدات المقابلة للمعالجة رق اآلن كلمة أو ةأكثر لتوضیح التصنیفات المختلفة سواء أسمدة مختلف اطق مصانع مختلف ي أو من ة ف مختلف

.مختلفینمدینة ما أو محللین :درجات حریة ، ویعطي من الصیغة k-1، یعتمد علي 2التقدیر األول للمعلمة

SSCMSC .k 1

:درجات حریة ویعطي من الصیغة k(n-1)یعتمد علي 2التقدیر الثاني المستقل للمعلمة

.)1n(k

SSEMSE

:ھو ،nk-1 بدرجات حریة عینة،النعرف مما سبق أن التباین لكل مشاھدات

,1nk

SSTOs2

:النسبةMSCf ,MSE

ة Fیتبع توزیع Fھي قیمة لمتغیر عشوائي درجات حری 1 ب 2k 1, k(n 1) دما عن

0H حیح ة . ص توى معنوی رفض لمس ة ال 1منطق 2F f ( , ) ث 1حی 2f ( , ) ع جدول تستخرج من د F توزی د أو = 0.05عن ة fإذا وقعت . = 0.01عن ي منطق ف

. 0Hالرفض نرفض حساب یتم أوال :أي أن SSTOمن SSCبطرح SSEثم نحصل علي SSTO , SSCعملیا

SSE = SSTO – SSC. ابقة یغ الس اب الص ا حس ن بإمكانن ل م ة لك طة SSCو SSTOوالمعرف ابیة مبس ة حس بطریق :علي النحو التالي ) لآللة الحاسبة ةمناسب(

،CFxSSTO 2ij

n

1j

k

1i

حیث nkTCF

2.. یسمي معامل التصحیحcorrection factor .أیضا:

.CFn

TSSC

2.i

k

1i

٥

ي این تلخص ف این عادة الحسابات في تحلیل التب ل التب Analysis ofجدول یسمي جدول تحلیVariance ) عادة یسمىANOVA ( التالى جدول الوالموضح في:

f

المحسوبةمجموع متوسط المربعات

المربعات مصدر االختالف درجات الحریة

MSEMSC

1k

SSCMSC

)1n(kSSEMSE

SSC

SSE

k-1

k(n-1)

متوسطات األعمدة

الخطأ

SSTO nk-1 الكلي

)١(مثال

ة أوساط لنباتات) مقاس بالسنتیمتر ( تمثل الطول التالىجدول الالبیانات في تم زراعتھا في ثالثدم ). نباتات في كل وسط A, B, C )5مختلفة ر فرض الع این وأختب ل التب أوجد جدول تحلی

321أن وذلك عند مستوي معنویة=0.05.

12 15 18 14 10 A األوساط 15 18 22 18 16 B 13 10 8 12 15 C

:لــالح

:المطلوب اختبار فرض العدم 3210 :H

:البدیلضد الفرض H1 : یختلف عن الباقي iواحد علي األقل من

.0.05 f.05 (2,12) = 3.89 ع دول توزی ن ج تخرجة م ات Fوالمس د درج عن

12,2حریة 21 . منطقة الرفضF > 3.89 .

CFxSSTO 2ij

n

1j

k

1i

,6.1934.3110330415

)216(1310...14102

2222

٦

k 2i

i 1T

SSC CFn

2 2 2 269 89 58 (216)5 15

3209.2 3110.4 98.8.

:التالى جدول التلخص النتائج في f متوسط المحسوبة

المربعاتمجموع المربعات

درجات الحریة

مصدر االختالف

6.25316* 49.4 7.9

98.8 94.8

2 12

متوسطات األعمدة الخطأ

الكلي 14 193.6

ا أن رفض f (6.25316)وبم ا ن رفض فإنن ة ال ي منطق ع ف 0Hتق ا اك فروق ر أن ھن ونعتب0.05تعني أن الفرق معنوي عند *النجمة . متوسطات األوساط المختلفةمعنویة بین .

ددھا ي ع ات الت رض أن العین ام kاآلن بف وم ( n1, n2, …,nKذات أحج اوى حج دم تس ع

حیث ) العیناتk

ii 1

N n

.

بح وف تص ة س ات الحری ة (N-1)درج ات الكلی وع المربع وع (k-1)و SSTO لمجم لمجم .لمجموع مربعات الخطأ N-1-(k-1) = N-kو SSCمربعات متوسطات األعمدة

)٢(مثال

ة ن األدوی واع م ة أن أثیر أربع ة لدراسة ت ت تجرب ن مرض A, B, C, Dأجری ى الشفاء م علة للشفاء التالىجدول الالبیانات معطاة في . معین ة ا. والتي تمثل عدد األیام الالزم ستخدم طریق

ة توى معنوی د مس طات عن ین المتوس وي ب رق معن اك ف ان ھن ا إذا ك ار م این الختب ل التب تحلی0.05 .

أنواع األدویة

D C B A 10 12 8 5 12 10 9

3 2 1 2 4 2 3 1

7 8 4 10 6

3 4 3 5

٧

:لــالح

:اختبار فرض العدم 0 1 2 3 4H :

:فرض البدیل ضد ال 1H: یختلف عن الباقي iواحد على األقل من

0.05 f.05(3,20)=3.1 والمستخرجة من جدول توزیعF ةبدرجات 20,3حری 21 . ة منطق

.F > 3.1 الرفض

CFxSSTO 2ij

n

1j

k

1i

,

, 83.28117.748103024

)134(910...432

2222

CFnTSSC

i

2.ik

1i

. 65.96215.87-281.83SSE, 87.21517.74804.964

24)134(

766

818

535

415 22222

:التالى جدول الجدول تحلیل التباین معطي في

f متوسط المحسوبة المربعات

مجموع المربعات

مصدر االختالف درجات الحریة

21.818* 71.9567 3.298

215.87 65.96

3 20

متوسط األعمدة الخطأ

الكلي 23 281.83 رق أي. 0Hتقع في منطقة الرفض فإننا نرفض (21.818)المحسوبة f وحیث أن اك ف أن ھن

.المتوسطاتمعنوي بین

:تجانس عدة تباینات اتاختبارTest for the Equality of Several Variances

Cochran:اختبار كوكران )أ(

أن المجتمعات التي عددھا : ریة إلجراء تحلیل التباین وھم ھناك افتراضات أساسیة وضرو k 1مستقلة وتتبع توزیعات طبیعیة بمتوسطات 2 k, ,..., 2وتباین مشترك . :ھناك العدید من الطرق المختلفة الختبار فرض العدم

٨

:ضد الفرض البدیل

1H: التباینات لیست كلھا متساویة :القیمة التالیة Cochran [Winer et al (1991) ]اقترح

2.1

2

sscأكبر

c),(القیم الحرجة . صحیح 0Hوذلك تحت فرض أن Cوالتي تمثل قیمة لإلحصاء 21 ن جدول Cلإلحصاء درجات Cochranتستخرج م ة ب 1n,kحری 21 ك وذل

ة رفض . =0.01أو =0.05عند مستوى معنوی ة ال cC),(منطق 21 . إذا وقعتc 0في منطقة الرفض نرفضH .

ي عددھا ات الت ات عدم تساوى حجو( n1, n2, … ,nkذات أحجام kبفرض أن العین ) م العینر تخدام أكب یمكن اس ة ف ام متقارب ت األحج ن niوإذا كان م دال ات nب اب درج ي حس ة ف الحری

c),(الالزمة إلیجاد 21 .

)٣(مثال :أختبر فرض العدم )٢(مثال بالوالخاصة التالىجدول الللبیانات في

2 2 2 20 1 2 3 4H :

:ضد الفرض البدیل 1H: ات لیست كلھا متساویة التباین

. =0.05وذلك عند مستوى معنویة

:الحــل .یعطي تباین العینة لكل معالجة وعدد المشاھدات في كل معالجة التالىالجدول

iالمعالجة 1 2 3 45.9524 1.0714 5.0000 0.9167 2

is 7 8 5 4 ni

9405.129524.5

s

scأكبر2i

k

1i

2

= 0.459982. ذ 4وبما أن العینات التي عددھا ر متساویة فسوف نأخ ث n = 8ذات أحجام غی دد 8حی ھي ع

م ة رق ي المعالج اھدات ف ر ( 3المش ك ) niأكب ى ذل 718,4وعل 21 و .05c (4,7) 0.5365 . رفض ة ال ا أن . C > 0.5365منطق ي c= 0.459982 وبم ع ف تق

. 0Hمنطقة القبول فإننا نقبل Hartlry: اختبار ھارتلى ) ب(

:اختبار فرض العدمالمطلوب

2 2 20 1 2 kH : σ σ ... σ

٩

2 2 20 1 2 kH : ... .

ضد الفرض البدیل :H1التباینات لیست كلھا متساویة

دما ك عن ي ا nوذل ات ف ل المعالج ھ لك ة ثابت ات (لتجرب ات للمعالج وم العین اوى حج أى تس :یمكن استخدام اإلحصاء التالي) kالمختلفة التى عددھا

2smallest

2estargl

maxS

SF

ث 2حیestarglS دد این لع ر تب و اكب ات و kھ ات المعالج ن تباین 2م

smallestS این غر تب و أص ھدد ات kلع ات المعالج ن تباین رض . م ت الف 2تح

k22

21 ... ى ع العین إن التوزی ف

اء ,1n,k[Fmax[لإلحص ) ن حبھا م م س تقلھ وت وائیة مس ات العش رض أن العین ت ف تحة ات طبیعی دول) توزیع ي ج ى ف ات . معط دد المعالج ا ع ع ھم ذا التوزی ین لھ دد kالمعلمت وع

ة H0نرفض . (n-1)درجات الحریة لتباین كل معالجة د قیم ة Fعندما تزی المحسوبة عن القیم :الجدولیة

] 1-n ,k[Fmax, ث ع n ,k[Fmax,-1 [حی دول توزی ن ج تخرج م ار . Fmaxتس ذا االختب یح ھ ن توض یمك

:بالمثال التالي

)٤(مثالاالسمنت لخمس كتل في تجربة صناعیة اھتم احد المھندسین بمعدل امتصاص الرطوبة في

ساعةو قرر الباحث فحص ست (48)عرضت العینات الى الرطوبة لمدة . اسمنتیھ مختلفةالمطلوب استخدام اختبار ھارتلى الختبار التالىجدول العینات لكل كتلة والنتائج معطاه في

0.01الفرض ، عند ن الكتل االسمنتیة ، أن تباینات المجتمعات لالنواع المختلفة م .المختلفة معنویة

1 2 3 4 5

551 595 639 417 563 457 580 615 449 631 450 508 511 517 522 731 583 573 438 613 499 633 648 415 656 632 517 677 555 679

:الحــل2یمكن حساب تباینات المعالجات السابقمن الجدول

is حیث: 2

ij i.j2

i

(x x )s , i 1, 2, 3, 4, 5,

n 1

3455. s 3319, s , 3594 s , 2303 s , 12134 s 25

24

23

22

21

١٠

:ھي Fmaxوبقسمھ اكبر تباین على أصغر تباین فإن القیمة العددیة لإلحصاء

max12134F 5.269.2303

ع دول توزی ن ج إن Fmaxم Fmax,0.01[5,5]33.0ف اء وبة لإلحص ة المحس ا أن القیم Fmaxوبمتوى د مس ة عن ة الجدولی ن القیم غر م ة اص ات 01.0معنوی اوى تباین ل تس ا نقب فإنن

.المعالجات

:كلز للمدى المتعدد-اختبار نیومنMultiple Range Test

ین fإذا كانت قیمة روق ب ى أن الف المحسوبة من جدول تحلیل التباین غیر معنویة فھذا یدل علزى ل ا تع ة وإنم روق حقیقی ت ف ات لیس طات المعالج ل متوس ا نقب الي فإنن دفة ، وبالت رد الص مج

دم k210فرض الع ...:H . ة ت قیم ى أن بعض fإذا كان دل عل ذا ی ة فھ معنویا ذه أيالفروق بین متوسطات المعالجات أو كلھا معنویة ، ولكن ھذا االختبار ال یوضح لن ن ھ م

ات ا الفروق معنویة ، ولذلك فإن الباحث ال بد أن یجري عدة مقارن ذا م ذه المتوسطات وھ ین ھ بذا الغرض . یسمى بالمقارنات المتعددة اك عدة طرق تستخدم لھ ي . ھن تنا ف سوف تقتصر دراس

ومنھذا البند على اختبار ددة نی ات المتع ار . للمقارن تلخص اختب ومنی روق نی دة ف ي إیجاد ع ف .وسطات بعد ترتیبھامعنویة ذات قیم متزایدة والتي تتوقف حجمھا على مدي البعد بین المت

:وتتلخص خطوات تنفیذھا على النحو التالي

)أ( .نرتب متوسطات المعالجات تنازلیا

ط ) ب( اري للمتوس أ المعی د الخط نوجn

MSEsx ث وع MSEحی ط مجم و متوس ھ

این دیر للتب ن 2مربعات الخطأ والذي یعتبر تق ھ م این ، ونحصل علی ل التب وإذا . جدول تحلیار إن اختب ر متساویة ف ات للمعالجات غی ومنكانت أحجام العین ي صیغة nیسمح باستبدال نی ف

xs بالوسط التوافقي للقیمn1, n2, …, nk حیث الوسط التوافقي:

k21 n1...

n1

n1

kn~

ن ب ة م ون متقارب ات تك ام العین ھا تحت شرط أن أحج تبدال . عض ن اس ذا ویمك یغة nھ ي ص ف

xs بالقیمة.n حیث: .

(1) (k)

2n 1 1n n

:و أن n(1) = حجم العینة المقابل ألصغر متوسط عینة. n(k) = حجم العینة المقابل ألكبر متوسط عینة.

١١

تخرج ) ج( یم تس ي ( q( p, )ق وي قیاس دي معن ل م مى أق least significantتسstudentized range (ث نیومن من جدول و p = 2, 3,…, kللمدى المعنوي حی

ھي مستوى المعنویة و ھي درجات حریةMSE. = pوذلك بالنسبة لكل least significant range Rpنحسب قیمة أقل مدى معنوي ) د(

2,3, …, k على النحو التالي: .k,...,3,2p , s),p(qR xp

ـ( ل ) ھ ط وأق ر متوس ین أكب رق ب ة الف دأ بمقارن ات ونب طات المعالج ین متوس روق ب ارن الف نقة Rkمتوسط بالقیمة اني أصغر متوسط بالقیم ر متوسط وث ین أكب رق ب ارن الف م نق Rk-1ث

اج وعددھا ونواصل ھذه العملیة وإلى أن تتم مقارنة كل األزوk

k(k 1) / 22

إذا .

.فیكون ذلك الفرق معنویا Rpكان الفرق المحسوب بین متوسطین یساوى أو أعلى من ا ن فروقھ م تك ي ل طات الت ت المتوس تركة تح وط مش ع خط ار بوض ائج االختب ص نت تلخ

. معنویة ، مع اإلبقاء على ترتیب المتوسطات تنازلیا

)٥(مثالونتبع ) ٢(للمدى المتعدد فسوف نستخدم البیانات الخاصة بمثال نیومنیح طریقة لتوض

:الخطوات التالیة :الحــل

: فى الجدول التالىنرتب متوسطات المعالجات تنازلیاC A B D

المتوسط 9.43 7.00 3.75 2.25

این ) ب( ل التب دول تحلی ن ج ال م اص بمث إن )٢(الخ درجا MSE = 3.298ف ة ب ت حری

20 . ط اري للمتوس أ المعی د الخط نوجn

MSEsx ر ات غی ام المعالج ا أن أحج وبم

:كاآلتي n1, n2, …, nkمتساویة فإننا نحسب الوسط التوافقي للقیم

1 2 3 4

kn 1 1 1 1n n n n

4 4 5.5721 ,1 1 1 1 .71785714 5 8 7

XMSE 3.298MSE 3.298,S 0.7693.

n 5.5721

0.05q حیث قیم التالىجدول اللخیص النتائج للحسابات السابقة في تیمكن (p,20) تستخرج من4,3,2p, 20حیث كلز-نیومن جدول . p(q , R, 20(القیم 0.05p التالى جدول المعطاه في:

4 3 2 p

١٢

3.96 3.58 2.95 20) (p, q 05.0 3.05 2.75 2.27 Rp

:التالى جدول ال فيمكن تلخیص النتائج السابقة علي النحو الموضح ی

D B A C الترتیبالمتوسط المعالجة

9.43 7.00 3.75 2.25 p Rp

9.43 - 2.43* 5.68* 7.18* 4 3.05 7.00 - 3.25* 4.75* 3 2.75 3.75 - 1.5 2 2.27 2.25 -

یم ا بق ت مقارنتھ دول وتم ل الج طات داخ ین المتوس ھ ب روق الممكن ل الف عت ك ث وض pRحی

ن ا. المناسبة ھ م ى كل قطر قیم روق عل ى عیتضح من الجدول السابق أن الف ى اعل ى الیسار إل لة یال ى سبیل ا. pمین لھا نفس قیم روق عل ال الف د 1.5 , 3.25 , 2.43لمث ى قطر واح ع عل تق

ا pولھ 2 .ى العم ة ف ى أخر قیم روق ھ ذه الف ة الحرجھ لھ ر والقیم ایضا . (2.27)د األخیا 4.75 , 5.68الفروق pتقعع على قطر واحد ولھ 3 ارن بال ة قوتق ة ( 2.75یم ة الثابت القیم

pیقارن عند 7.18أخیرا الفرق ) . فى العمود األخیر 4 ة الحرجة ة 3.05بالقیم وھى القیمر ود االخی ى العم ى ف ة. االول تخدام * النجم د اس ك عن وى وذل رق معن ى ف دل عل دول ت ى الج ف

0.05 .ي السابقجدول اللسھولة یمكن تلخیص نتائج ل الىجدول الوذلك ف ا . الت نالحظ أننط أيلم نرصد قیمة للفرق بین ل رصدنا فق ل ب ن قب ا نفعل م المتوسطین موضع المقارنة كما كن

.نجمة4 2 1 3

* * * * *

4 2 1 3

وھذا . طط لھا قبل اجرائھا فإن التجربة البد أن یخ، للحصول على أفضل المعلومات الممكنة

. التصمیم التام للتعشیةفي البند التالي . ھو ما یعرف بتصمیم التجارب

:صمیم التام للتعشیة تال:ات العامل الواحد تصمیم و تحلیل التجارب ذDesign and Analysis of Single Factor Experiments: Completely Randomized Design

ام للتعشیة ن ) التصمیم الكامل العشوائي(یعتبر التصمیم الت ة م ن ابسط التصامیم التجریبی م

ات ى المعالج ة عل دات التجریبی ین الوح ث تعی ل حی ة، وتحلی ع الدراس ل موض تویات العام ، مسة امیم تجریبی اء تص اس لبن ر األس ث یعتب ات حی رالبیان دا أكث ذا . تعقی ن ھ ي م دف األساس إن الھ

ات ت متوسطات مجتمع ا إذا كان ار م ة الالتصمیم ھو اختب ك لتجرب معالجات متساویة أم ال؟ وذل

١٣

تویات دة مس ا ع د، ولھ ل واح م. ذات عام ذا التص ي ھ ترط ف ة أیم یش دات متجانس ون الوح ن تكادة تماما، وینطبق ذلك على التجارب المعملیة كتجارب الطبیعة، والكیمیاء حیث تقسم كمیة من م

ة ا المعالجات المختلف ي التجارب . التجربة بعد خلطھا جیدا إلى عینات صغیرة تجرب علیھ ا ف أمفال یالئمھا ھذا التصمیم حیث تكون التي تنتمي إلى النواحي االقتصادیة أو الزراعیة أو التجاریة

ة أو المخزون(الوحدات التجریبیة غیر متجانسة خ …الشخص أو العائل ، وتستخدم تصامیم )ال .أخرى

:وفیما یلي أمثلة لتجارب استخدم فیھا التصمیم التام للتعشیة

.(mpg)تجربة لدراسة تأثیر خمس أنواع من البنزین على كفاءة عمل سیارة )أ( كریة ) ب( ل الس ن المحالی ة م واع مختلف ة أن أثیر أربع ة ت ة لدراس وز،(تجرب وز، جلوك فركت

.على نمو البكتیریا) سكروز، خلیط من الثالثة .تجربة لدراسة الكمیات المختلفة من دواء مھدئ على شفاء مریض یعاني مرض نفسي )ج(وا )د( ة أن أثیر أربع ة ت ة لدراس مامات تجرب یلیة لص وة التوص ى الق ة عل ن التغطی ع م

ون ة .التلیفزی ي التجرب تویات ) أ(ف ة مس ھ خمس زین، ول و البن ة ھ ع الدراس ل موض العامة ة . مختلف ي التجرب تویات ) ب(ف ع مس ھ أرب كر ول و الس ل ھ د ( العام ك عن ة وذل أو خمس

ى أي سكریات وي عل ة ). استعمال محلول مراقبة ال یحت ي التجرب العامل ثال ، ، م) ج(فن العاملمى وك ة م ة . المستویات تتمثل في التصنیفات الممكن ي التجرب ل ) د(ف العامل یمث

.وصفىامل األنواع المختلفة من األغطیة وھو ع :مزایا التصمیم

یمكن استخدام أي عدد من المعالجات. یمكن اختالف حجم العینة من معالجة إلى أخرى. سھولة التحلیل اإلحصائي. یسبب فقدان أي مشاھدة مشاكل في التحلیل اإلحصائيال. یعتمد ھذا التصمیم على عدد قلیل من الفروض بخالف التصامیم التجریبیة األخرى.

)٧(مثال

متساویة في الوزن وأعطیت خمس أنواع تغذیة ووزعت علیھا 30فیما یلى أوزان حمالوتبین الزیادة في وزن التالىجدول الفي المشاھدات موضحة. A, B, C, D, Eعشوائیا وھي

).بالرطل(كل حمل .أوجد جدول تحلیل التباین لھذه التجربة

.؟01.0ھل توجد فروق بین متوسطات المعالجات عند

E D C B A 59 51 47 44 37 63 58 46 38 40 55 43 48 46 37 58 50 52 44 39 56 59 45 37 38 62 56 42 39 34

353 317 280 248 225 i.T

١٤

:الحــل :إلیجاد جدول تحلیل التباین نتبع اآلتي

2 2..T (1423)(1) 67497.633

nk 30

2ij(2) x 69653

2i. T 415627(3) 69271.167

n 6

.. i.n 6 , k 5 , T T 1423 . :ت كالتالىتحسب مجامیع المربعا

:مجموع المربعات الكلي سیكون SSTO = (2) – (1) = 2155.367,

:مجموع المربعات للمعالجات سیكون SSC = (3) – (1) = 1773.53,

:مجموع المربعات للخطأ سیكون SSE = SSO – SSC = 381.837.

:التالىمعطى یمكن تلخیص النتائج السابقة في جدول تحلیل التباین ال

1 2f ( , ) f

المحسوبھدرجات مجموع المربعات متوسط المربعات

الحریةمصدر االختالف

0.01f (4,25) 4.18

**030.29 MSC 443.38MSE 15.273

SSC 1773.53SSE 381.837

k-1= 4 k(n-1)=25

المعالجات الخطأ

2155.367 k n-1=29 الكلي .01.0معنوى عند مستوى ** ن دول الم ابقج ة الس ا أن قیم ن fوبم د ع وبة تزی ة الالمحس توى معنوی د مس ة عن ة الجدولی قیم01.0 0لذلك نرفضH 01.0عند ین متو ة ب روق معنوی ى وجود ف سطات والذى یعن

.الزیادة في الوزن لالنواع المختلفة من التغذیة

)٨(مثالوالنتائج معطاة . طالب الختبار الذكاء والقدرة على التركیز 26وضع امتحان لمجموعات من

:التالى جدول الفي .أوجد جدول تحلیل التباین لھذه التجربة) أ( . 01.0ھل توجد فروق بین متوسطات المعالجات عند ) ب(

A B C D E المجموع

127 109 119 120 94

119 121 97 109 96

١٥

138 113 128 112 101 112 116 72 130 130 103 150 105 114 103 96

in 3 5 7 3 8 26

i.T 384 585 854 341 770 2934 2ij

jx 49334 68735 105806 38825 74896 337596

2i. iT / n 49152 68445 104188 38760.33 74112.5 334657.83

:الحــل :للحصول على جدول تحلیل التباین نتبع اآلتي) ا(

(1) 2..T / N = (2934)² / 26 = 331090.62

(2) 2ijx = 337596

(3) 2i. i(T / n ) = 334657.83.

:كالتالي SST0, SSTC, SSEتحسب مجامیع المربعات

:المربعات الكلي سیكونمجموع SSTO = (2) - (1) = 6505.39 ,

:مجموع المربعات للمعالجات سیكون SSC = (3) - (1) = 3567.22 ,

:مجموع المربعات للخطأ سیكونSSE = SSTO - SSC = 2938.17 .

:التالى جدول التلخص النتائج في جدول تحلیل التباین المعطى في

مصدر ختالفاال

درجات الحریة

متوسط مجموع المربعات المربعات

f1 المحسوبة 2f ( , )

المعالجاتk-1 = 4 SSC = 3567.22 891.81 37.6 = 4.37 0.01f (4,21)

N-k= 21 SSE = 2938.17 139.91 الخطأ N-1 = 25 SSTO = 6505.39 الكلي

ن ) ب( دول الم ابقج ة الس ا أن قیم ن Fوبم د ع وبة تزی توى الالمحس د مس ة عن ة الجدولی قیم

ھ رفض 01.0معنوی ذلك ت د 0Hل اك 01.0عن ة أن ھن ذه التجرب ن ھ تخلص م ونس .مجموعات المختلفةفروق معنویة بین متوسطات الذكاء والقدرة على التركیز بین ال

١٦