ا 1 ل اج ا

ا 2 ل اج ا

ا 3 ل اج ا

ا

ب ا ا ا

ارا و ی#&!) ی#(!). و !& و ا%ة و ا#م ! ا ر و ل ب

. ا&م> ا<#> !=(ی> أ; و ه: م9خ( ا7(ی ی&( م6أن أ4م دراس م %(0 أه. أ!,ز )

و ه، و ذD ی(B C ا7(ك <ه. @0 ا<=(ی>إن %% مG!> م(م:4> < م

&ب. ب&=ب ب&,> حQ آ<O . أسNل ا M و L أن ی:IJ<) ب! و ی:GIJ. بHسGه@ا ا Oآ

<بأخ7 ا<Gن ه@ا اNو أ! أش&( ب ،<= Lأدا أم!> ) آ .

< ب<=م V:ي ی، !=م &J ،هت:,ی Z#J : أن اXY(ابت ا9#9 ه) ح%> ا B

دراك م#:یت، و آL م6 ی#& G@ا ا<=م أن ی#& Iوم> و إ! (4) ا]

C ا!Iبت ا&>]1[م<Iی !Iب ا<س و ا#ب J) !ت_ ا. ، آIوم> ا) وا

; ی6G ا<=( <=(ی> ... تریa ا&. ه: حG:م> !=(ی> ا<# ا) O بو> ا9#9> ای`>

6 &XI>ة م)=! م ا<#Yخ (Iوم> م#ت ا:ازي أمم ا<س، و; 6 ارز0 ا

> أمم ا#ب . ااد ا

>، إ; 4:ا!6 أآ`( اI:ا!&Xا=:اه( ا <IX>أو م <&Xأم م6 ا O 6 ا9Mی> و ا&

&> و c:اه(ه، و :; Xا& 6 ا Lت آ&&> و أبX6 اMیء ا<# O,J مVی(ة I:ا!J

ا<س ا@: و اe:ی و ا&Y و ( ا<س و ا9#9 اY6 ارGت اد ا

X#ه@0 ا<=(ی> و ب CYی6 م6 وJ<س ا@: آ!O ا<:ذج ا<=(ي @0 ا<=(ی و . أ!7

. ا<س اe:ی آ!O ا<:ذج ا&)

ت، آ ه: اY9> ا(ی#J (J CIس:ف ی Yری <e4 م6 ی#& (هن Lآ Cم Lم&ل مC م6 ی

@D، ;یL%J 6G ا9#9> 6 !=(ی> . ]1[ M!(غ J#:ف یJ CI) J#9> ا9Mیء وث:4> مأ ا

<< ا<=(ة ا9#9Iأ D@ <ا&م <ب ی<ول ا<#Gا&م و ا ص، و ب أن ه@ا ا I7ب <ا<#

6 ه9#J 6ن J) !=(ی> اGن و اMمن، و ه@ان ا9:من ه ا:ران : ه. م9:م#ا(

1- Euclidean and Non-Euclidean Geometries, Second edition, Marvin Jay Greenberg, W. H.

Freeman & Co. , 1979.

ا 4 ل اج ا

Yو ری MیJ و 9#J <ا&م < ه@ان ا9:من م<9%ن L4 !=(ی> ا<#> ا&م> آ!. ا<#

9#J و MیJ و Yم< بخ( ری Lه@0 ا<=(ی ب(ب آ O4م ه<ك ب& اراء ا9#9 . ح

ا<> . Mمن 6G آ!O ت9I (اه6 ا&L4 !=(ی> ا<#> تI( ب:حة اGن و اI&J

( ب ه: G9، ی%&Z ا> آ!I (ره ه:c 6ه@ان ا9:من c L4:ر ا<#> ا&م> و ح

(!Gب B .I4ی، و سد ا%:ر ه@ا C آ!O ب&م إمGن ت%:ر ه<س> ; إحQ آن ی&

6G اI:ل بNن تG#97) و وس و ب:) 4 ص<&:ا یا ت X آL ت%:رات، @D ی

. ت%:رات آ!O، م6 ث. وCY أ!7ی6 !=(ی J) ه@ا ا&.

ت م آن م,(د، ;ب و إن ی# م ی:م c (J:اه( Yوع ا(ی)J 6ع م)J أي (G#97د تINب

> ا&م>. ]1[ا&. ا:ا4&)#>JمMن و اGا (J !Gت ت< أ4:ى !=(یت %(ه، ا)c ن

c(ت ا<#> ا&م> ب> !=(ی ت X ا:ف و . 4ی J) ا<سو ا<:ت< J) ا9Mیء، و ا]

ت . ا&(وف م6 ا@ر0 ا ا,(0Y) ا(یJ ه. أ!,زات %(هNا&م ب أس&!O !=(ی> ا<#

ا& و ه) ا<Yر0 ا(یIJ ،<#:ر و ا#X:ح ا(ی!س ا@: و اe:ی و ح#ب ا

!ا::دة وراء ا<# ا&م &O ه@0 ا<=(ی تNخ@ شN! ت,وز مG! و زم!

ح:ل و:د L%J. ف اJ Q) !=(ی> ا<# ا&م ب&ا 6 ا<س ا@: و م9هم6 ا]

]ا<Yار &ب م9ه. و!_ ا<# ا&مس ا@: ی<م !)هe4 6ی (J . س

آی6 –4ی، و < مX&> !:ذج ب(ام) 6G ا(هن J) ا<س ا]ا<س ا@: ; ی

.(و آ یNخ@ اX:ل I X:ل اN:ف ، و < ا&)ف (J ه@ا ا<:ذج ت&(ی9 مVی(ا) ا#

س:ن م> و ثث أL4 م6 ب) أYع م,:ع زوای0 ااخ>ر( رب) أYع ;م(ت

X(ح ا) درYار ت#ع اMم6 و تI:س <_ ا<=(ی، <=(ی> ا<# آG!Hش اX:ل و إت

... اe9ء و

1- Euclidean and Non-Euclidean Geometries, Second edition, Marvin Jay Greenberg, W. H.

Freeman & Co. , 1979.

ا 5 ل اج ا

ب ب& یQ هGا ا@NC اYا&م>، آ:ا <C ا<#Yو رأه. م:ا <Yو ا(ی <ی > و ا9#9

<eء و اMمن و اGن ث. ا<س> ا@:> و ا<#> ا ص> حQ یأ ب9:م ا9#9) 9ا9Mی

ا) ی#&ن ب J) ه@0 ا<=(ی ه) م9ه.. ث. ا<=(ی> ا<#> ا&م>Yا(ی . و رواب ا9ه

م&0I و م 6G س&O آL ا#&) X) ا: اب# @0 ا(واب و أس&<O ب%در ت7(ح و

D@رواب ه@0 ا%در و آ (J وف)ا ت6 ه@0 ا<=(ی ب%:رة م#X و ، و O4 4 ب:ح

<#:ری ت ب6 م%ر و خ(، و آب> ت:ح آب> ه@0 ا(واب ، (یI> > ا&د;ت ا

@D ت&ت . ا&د;ت و ا(واب بX(ق م 9 یدي ا اس و رب س:ء J. ا:Y:ع

، . ت:ح ا(واب و ا(وف ا# م> J) > ه@0 ا(واب& (J) أآ`( ا%در ا

e&و 4(ی> م6 ب G7بو ه@ا ی,&L اIرئ اأ ا(وف J) > م&د;ت ا<#> ا&م> م

Z أوا (!Nي و آب بGه@ا ا O& D@ ،ع:Y:ا <&Xك م)ی<9( ه@0 ا&د;ت و رب ی

مأ J) مX&> ا<#> ا&م>، آ@D 6 أر4. ا&د;ت و ا(واب و ذD £ب&د 6 دوام> ا(:ع

ه<ك L%J م#LI & ام` ا: ه) . ث!>&د;ت ا#بI، و ا&د اe(وری آ

ب ب#(د Gا OC ا(تX> ب، آ@D خYا:ا .J #ا&م>، ت <ب`ب> تریJ 6) ا<#

. ا<#> ا&م>أه. أصXحت&

ا&(ب !=(ی> ا<# ا ص م6 :ا!Z یG 0< أهO !=(ی> اGا Oت<و ا&م ح#>

O أم`> Xا ص> و م أ ، @D م دخJ O) ت9صL !=(ی> ا<#%% أصO حG(ا م

,9O ب& م9ه و !( م6 م) ه@0 ا<=(ی> . و أآ`Gا > <أخ@ت أآ`( !_ ا<#

9# ت,وز أب&ده اخ(ى، و أصO ه@0 ا<=(یJ ب&ا 9#J <:Iا ص م و بخ¤ ا<#

O9Mی، @D أخ@ت !Z اX> < ه@0 ا<=(ی> و أآJ و Yی ری)=! أآ`( م6 م ه

&ب ا<#> ا&م>> اذهن س ،Yا(ی .ب& م9ه

ب ه: !#> أ!7ی6 أم آ!O؟ بGه@ا ا Lرئ هIل اN#6 أن یGی I&6 اG ،6یCX ه: !#> أ!7

، آ!I ر ه@0 ا<=(ی ه):c 6زم (J <>:ت<)، و ا<س إا9#9 ا! D!G4ی و ا .

:تJ 6) ا9Mیء و !B9 ا#. ]J O!GJ) اB9! <9#9 ا#. > O#4س J) ا<س>، J) إذن

:ت6 و;!#> آ! <; ی6G ا :ض J) ا<#> ا&م> . 4س، ه) !#> أ!7ی6 !#> إ!O و ; !#

ا 6 ل اج ا

<9#J (J زGارت <XI! نG7ن یGمن و اMن، و ب أن اGمن و اMم9:م ا (J ص:Vدون ا

، @D )آ سح=:ن(آ!O، و 4 !74 م6 أو ی0 م ی<سZ م&=. :ا!Z ا<#> ا&م>،

eا OIء ب& ا<=(یت أ:eء ه@ا اYن، و 4 أGمن و اMا (J O!یت آ)=! ء:

و ذD 9ظ ) م ت,ه(و I ت&ت بNن ; أدخL ب9:م ا::دي Mمن و اGن . اخ(ى

C4ب م6 ا:ا)Y IیMJ ا ل و اJ ،< <IIا&م> آ <I> ا<#Iروح و ح .

ب ه: !=(ی> ا<#> ا&م> م6 م<=(ه أ!7ی6 و ا@ی6 سه: J) !:ه و ب# م9هGه@ا ا

م! و £. أم`ل !:ت6 ،آ!O ،أر!#O مخ ، وس، تG#97)، رین، ش:ارتMش، J(یمن

> دورا هم J) !: و تX:ر مO& I9: اری أ4:لYر رین ا(یGJا&م>، و أ <ه. ا<#

. ب:ا!Gری آ@D رین 4 4ب 4:س6 أو أد! م6 !=(ی> ا<#> ا&م>ب<=(ي

(J Q6 ا )=>ا Oe 4 و ،GJ و Yا&م !=(ة ری <ب <=(ی> ا<#Gی<=( ه@ا ا

Nث(ي ا7ی Dو ذ ،(#>Vوم)Gو ا ،(م, ا@ري، و اG:ا!G9ا ,ت و !Yب(ی .

ب یL7 ه@0 ا<=(ی و ا<=(یت ا(تX> ب م6 م<=(ی، و . أY ش إ و إن Gو ه@ا ا

. آ!O ی ب& ا<=(ات و ا9=ت

XI! O> أرتGز (O&J ارض"یI:ل أرخس Xز ه@0 " . : أGارت <XI! س< رخXأ :

م6 ) أو آ>(LJ سIر رCJ ارض؟ أن ا&> ا) س(CJ ب أرخس ارض ه) أآ( وز!

إذن . ; ی6G أXء أرخس !XI> ارتGز ه@0، و ; ه: 4در ه@0 ا&>! ارض !#9

6G ،L وCY !=(ی> أو (ح مI:> اIرة ت#9( اG:ن و c:اه(0 آ، ; أ4:ل م6 ا#

.أ4:ل آ<XI> أرتGز أرخس و

#O ا<# (J ; و J درس OIم,ل ت %%)، و ; ت (J (ا&م> ه) ت %%) و ; ه <

<#:ر، و ; J) ا<س ا إا<#> ا ص>، و ; J) ح#ب C حMا . 4یاYه@0 ا:ا O6 مG

Xي و أ)GJ 6ا م)<) و4 :ی م6 (ي، و ی(C ه@ا ا تD ا=> اG:ت> اآ& (

ا#م، حب:; ا:حی6 ) ب6 أ Z ا``> 7( م6 ب) (J و ح6 ي (6 آ<O ص

ا 7 ل اج ا

( بض و أ!O دراس (VXء یe ا#م J) ا<م ، ببB ب ابا، رأی

و ه: أمم) ... <:را!>، و آN!) و أیJ 0) اe9ء ا£ بJ 4أ! وا O>ن ا@ي آGا (J و

Nإ ا و س (رأس O&Jر : )و أ! أش( £ ب&<)، و أ4% بون (: س)ت (J ه@ا ا#

ان) ت:4J O!ن ا@ي أGا B9> ما# اث و أح، بOI ه@0 ا)ؤی! أی6 سNصL؟ NJب<(

و ا&7(ون #&>; ت9رق GJ(ي و و) و ذه<) و ذاآ(ت) و أ! أآ ان و 4 م( میIرب ا

ا#م أمم) ان !Nم6 . م و آ M, و Qع و اXأثرت <ي ه@0 ا(ؤی حB اس

:Y:ت مYا4ار أن ت% ا(ی Oش­ ) ا7 %، و ح6 ح:) ت#9(ه ، ح&Xع م

ه: و:د ب& ا­e9ت، >ت&(OJ ا<#> ا&مJ (>7(ی> <)، و م أده O# وت

Iس أو إ!< ی:Iا7&ع ت C)أي ی ،IVمارات م (J )> ب#:eم اMأو ا <:eاش&> ا

ب. اe:) إ ا<XI> ا) أ!X® م<Gا(ؤیو ه@ا ا Dت ) . ه: ) ب`ب> ت&

ج ! ل ا

2007

ا 8 ل اج ا

ا 9 ل اج ا

ا 10 ل اج ا

ا 11 ل اج ا

%&' ا*(ء ا

Jیء ه: رMeJء ) 1905(> ا صGJ(ة اe9ء اX®، ت(J ا<#>م&< ا<# J) ا9

.eJء !:ت6 اX®) 1915 (> ا&م ا<#>، و ت(J اX®مG#:ن

C ا#) ا) حوO أصح !=(ی> !:تJ 6) ا,ذب> c:ر ا<#> ا&م> ه: L7J <,!

آ@D ر> أ!7ی6 ا9#9> . بLG7 ی(Y) م(اC ا<#> ا ص>و إدخ ) ت(بBG C ا9ص>(

.J) ح@ف اe9ء اX® م6 ا9Mیء

<&>Iم ) (J <Y)ه@0 ا<=(ی> م O!ا ص>، إن آ <> م&ة ا<#I6 ب<ء !=(ی> ثGی ;

<X&ا Cا ص> تأ ب9(ض و:د م(ا < أن ی X: خX:ات ( أ!7ی6، و ه@ا م أ، ن ا<#

.أوسC م6 ا<#> ا ص>

> مخ أGJر أ!7ی6G ،6 م ه) اI أث(ت )رات مخ> ا<#> ا&م>؟ ی,Z ا@آ

بNن مأ مخ ذو @ور G، آ@D ; ی<=( ه@ا اأ ا اI:ل بN! آ<تGذات آس

Mی)، و ذD. ح) J) اe9ءأم&رJ ر ! أح! ی<=( ا مأ مخ بN! مأ B أي أ

و م6 ه@ا ; ی6G . إذن ; ی6G ت,(ب> ه@ا اأ، اG:ن آ ,(ب>مأ آ:!) و; ی6G إخeع

>، @D !6 مC ه@ا اأ أمم !:Gأو ا(ام ا ®Xء اe9ا _ادء أن ا&X> ه) م6 !

Mی)موإJ#9)، إم خری6 J . D@ا#> آ O# :<ت ا !:ت<> م<J: یي ا ب& ا

250حود ) م(آM اوران 4(ب اB7( و مة دورا! ،م,(ت<، ه) أش ب<=:م> => تور

20: إن م,(ت< ت9I @0 ا(آ> اورا!> #OXI اJ B7) م(آM ا,(ة ب& حود . م:ن س<>

J(ض . =. ,(ت<، 6G م6 خل م ه@0 ا(آ> اورا!> مخ: أC. م:ن س<>

!9) اe9ء اJ ®X) مأ مخ ی6e م إس<د ا9Mیء بNس(ه م(اC .خرج ه@0 ا,(ة

<X&ا .

ا 12 ل اج ا

إس<دا مأ مخ،Iا ت I9ء یe90یء، و @ا ; و:د دورM e9ء دور م.J .6G) ا9

اMمن آL –ی&6 ه@ا اe9ء . ) اب&د زمن رب–eJء ب> ه: ه@ا اور،J) ا<#> ا&م>

ت& اMمن؟ –&6 ادة اe9ء ا#ال ه< هL ت. ی&<) أي ح(آ> تO ثI> و X>،أ!:اع ا(آ>

4 6 مأ مخ بNح#ب أن اe9ء اX® یث( و ; یNث(، و اe9ء < زمن یث( –ا<#

> ب9%Gا )Vل تم6 خ <Gو تث( ا ،LIء> م,ل أو حe9ا&م> .إ!<ء ا < حOII ا<#

Y: D@و آ ،IXم ی6 بMءا م6 ب(!م_ مخ، و :Y 6 ح@ف اe9ء بNآ أآ9 أ!7

<X&ى ا:Iا L& 6<X&أزر ا Lآ ت%:ر0 مخ، & 4:ى مدی> ت <Iى ، و، 4:ى ث:Iا

> & ا&X> ا) ت&6 اe9ءI`ا.

> eJء !:ت6 اX® ه)Gأش:

!9# وأش بI:> آ( -Y:6 ت M :) و ; و:د ، وهY(J ءeJ :ء هe9ه@ا ا

.ح6 4ل أن اG> ه) ا) ت(ك اG:اآJ Z) مارات

- 6> م6 ا( م ; !ی>; و:د ي (ی® م6 بX&ا Cا®Xت6 ا: . یeJ > ¤ 7ء !

&رض مC ا9ه. ا&>ت%:ر ش تث م< C اJ&ل و ; یNث( ه: بNي L&J ی -

. !#ن<ا]

. تNی ا,رب . اث( و وحة اI:ا!6 ا9Mی ه) م6 أه. ا(اه6 !=(ی> ا<#م تNی

Lءم:اج ااو:د مدة تe9ا (J I>و ت :e،)6 ; یG آ@D،. أي !9) و رد GJ(ة اث

<I. ا9Mیء ا J(وع م##I6 4:ا!ت I#O م# B>Vوم)G6 ا6 6 ب&IJ ،e:ا!

<I> ه) #O م#G!GD، و آL ت,(ب> م!G# دةا>Vوم)Gم6 ا<ء ا .

ب(هن بی> اMمن و حود اGن، و م وت ;ب م6و اGن Mمن L4 اأ بQ ح:ل ا

:م<س @ا اQ م6 ب6 ب(اه6 إم!:L آ!O ب(اه< ح:ل بی> اMمن و حود اGن و ه)

ا 13 ل اج ا

+ ب. -, ا&&1 أن ,2 آن إذا Y)J< أن B &. بی> J) اMم6، و إ!:ا هن ا

> J) اY) 4 أآJ O) ا=> ! ; <(ات زم<J ن:Gم أن تMم::دا م6 زم6 ; !)، ی

<Iأي => سب (J ة أو)Yا .<L س#> ; !Gأن ت LL أن . 6G م6 ا#إذن م6 ا#

.م6إذن ;ب إن آ!O بی> J) اM. یG:ن ا&. 4 و J) زم6 ; !)

ود -, ا2ن &1 أن ا ,2 إذا Y)J< أن B &. حود J) اGن HJ!< :ا هن ا

> مودة!Gاء مMور أ) <! ; <> زم< >G6G اMم6 ا !) . !9(ض أ!< أس

LZ أن یG:ن (J اول ن ا##> اMم<> ا) أ!J O) => مدة ی,-4< آ -م#

.مودا أیe، إذن ی,Z أن یG:ن ا&. J) اGن مودا

ا@ي یI:م !#!) أران مX9:ران J) صZ ا&LI ا] أشر إی!:L آ!Oآأن اMمن و اGن

ت ه@0 ا#X&م Zن خ(ة س> و مe:ب&> ا&(J>، شGن 4ن #س> ی. وIJ ت(ت

ن أو ش(ن . !#ن ب&. ا ر)، أو ت,(ب ا ر>ا]MJمن و اGن إذن ص:رتن 4

<J)& . >) اGن ه: شLG ت,(ب< ا ر>، و اMمن ه: شLG ت,(ب!Gا<=( ا Z#ن ح Dو ذ

<6G ا&. ا ر) آ ت<¤ J#9. ااخL%9>ی> ; یI>ا LI&ا (J < 6 ا7(وط ااخ

.]2[ا@ي ی%:ر0

I> ا> ا) ،)S. Alexander(ی(ى ص:L اG#<رIأو ا Lا Lن اصGمن و اMأن ا

> N7! من وM6 ا&J ،ا::د ب!`ق Lأو) أو :ه( أص) صرت < آ (: ا&.، ه

ری_ أ!`OI اة، ث. ا:)، و أخ(ا ا:ه>، بL أ! ی=ن أیe اGن أ!`OI أو; ادة، و ب

>مه> ا::دات ب& أ!`4 <!Gم <=L آL اشء م`L م%ره زم!J ،]2[.

(J L:Z4 (J ®J اMمن، إذن، أن اMمن یJ منMن، أم اGا (J ن آ6 داGأن ا

J یت:9#> و > أب&، ; یX: اGنم#. J )نGمن و اM4م ا#واة و ) ا # ا

Mا 6 اGن و مIم 6، بL آن اMمن دا مJG# م#وی6 أو م . Lح أن ص:

9# م أآت ا<=(ی> ا<#J ن، و أآر رأى أ! !ان ; ی<9%>#Gن اGم6 أ! ; ی: م <

ب – اآ:ر ی<) (ی ا : –اMمن J) ا9#9> و ا&. -1G <ا%(ی> ا&م < 1999 – مXبC ا

ا 14 ل اج ا

> ت#Mم زم! ن م#LI، بL ثOم#LI أو زم!Gت م مG! أو ت<`® < آZ#J – L زم!

<( م,زي صءاشء، ث. ی&) شNن اMمن ب:ص9 مأ ت<=.، G 0;:Jن اGن آ&، أو ب

I منMن و ا:Gن # اGل ا:I2[ی[ .

:تJ 6) اGن و اMمن ه)! O!ت آYا) :أه. أ

ه م أس0 – و ه م:Y:ع إدراك ح#) ا!#!) –أن م س0 !:ت6 اGن ا<#) و اMم6 ا<#)

> و اMم<> ام<G<> و ازم<> ا 9> ا) ه) !G4ت اا& O!ن ا:احأآGاء اM 6مMو ا

:ت6( ا<#) و اMم6 ا<#) اGن. ا:اح! ( <> و اMم<!G4ت اأو ا&)O!ه م & ) آ

O!آ– (J ی> أI>ا 9#J ر–<6 وس ا,(ی4 6أن ا ف اسس) ب6 . ص:رت

(J O!ت6 و آ:6 و:دا ه@ا ا#ق ه: أ! ب< &L ام:4 ! خر ول Gن و اMم6 ا<#

> و اMم<> ت%ران 6 ا@ات !G4ت اا& O!آ L& ،(!#!6 أي إدراك إ I م#:Y:م

. صورا 44> اGن و حس > . ]4[سب س, J) ب(اه

:اح< ی6G اI:ل أن م س0 !:ت6 اGن اX® و اMم6 اX® ه اGن ا:اح و اMم6 ا

O!ث . آو آ!J O) م:اCY آ`(ة م6 آ 6 اGن اX® أو ا ¤ أو ا:احبL وآن ی

M . ]4[اMم6 اX® أو ا ¤ أو ا:اح ب ت

أن أه. مMات !=(ی> !:تJ 6) اGن و اMم6 أ! J#(ت Yا(ی eI6 اIب: (ی <و ا<س

آ J#(ت إمGن ) خصXت<M,ء اJ#(ت !=(ی> !:ت6 . ® حI® ا<س> ا> . اش

ت ا> م6 حQ أن اGن ا<:ت<) م:Y:) و ; !)Y6 ا(یIن . یGا Xو ذD م ی

® حI® ا<س> ا&. ا#:س م6 حQ أر أن اGن . ا<س)XJ#(ت !=(ی> إمGن ا

Xی)(&) اM : وخص> أ(اYت اGن و اMمن ا<:ت<) ه:.]4[4ي مGن إ)ا9

. ا&. ادي < !:ت6 . م:Y:) م#LI آL اسIل 6 أي إدراك أ!#!)-

6 وا4&6 و:ده ا#LI < ت%:ر م<4، ذD ن اGن - ت%:ر اGن و اMم6 آ7

6 ب&< ا<:ت<) ی&<ن أ! م::دان و ( م::دیJ 6) ا:اC4و اMمIX6 ا

ب – اآ:ر ی<) (ی ا : –اMمن J) ا9#9> و ا&. -2G <ا%(ی> ا&م < 1999 – مXبC ا

9# ا<=(ی> -4J ر م:د زیان – آ< و: 1979 – اX& ا`` – دار ا&رف – دآ

ا 15 ل اج ا

6 ب&< ا<:ت<) -IXم6 اMن و اGإذا ح< ا IیMJ ت%دJ< ص&:بت J) م,ل ا

6IX 6ت:6 ; إذا ت%:ر! اGن و اMم6 خی. ص9) ا :د و ا !>، و هتن یI(ره !

%:ر م::د خ( !B9 ا9%ن، و أ=. م<، و ه: ا LJ 6 س!]4[.

O!ح=ت آا:

L ا%ق، و أن ی أرسX: آ<#® م6 !=(یت مIX>آن ی&I آ!O أن . ا<X® 4 ت. و أآ

:Xس® أن أرس أرس LeJم6 ب& س:ى (ض أ <I>م,:دات ا O# <JY4:ا0 أو أ

%9ت ; تMMع :ه( تD ا<=(یت <M تی> م6 . ت&ی)=! I> O!ض آ)&ح6 ی

<IیMJ !=( 4و . !=(یت !:ت6 ; یB ا<=(یت ا9Mی> J) ذات بIر م یB تe<ت ا

.]4[) ا9Mیء4س J) ا<س> آ !=( ا أرسJ :X) ا<X® و !:تJ 6آ!O ا إ

9# ا<=(ی> -4J ر م:د زیان – آ< و: 1979 – اX& ا`` – دار ا&رف – دآ

ا 16 ل اج ا

&2ن ا*&*,*89ما

< و خر>ت ب:ص9 ، !%:ر ا:Y:)خ%¤ ا@ه6ه: أح (ب:اسX> اB ا ر)

<، آ@HJ Dن اMمن ; یG< أن و. ب:ص9 & J) اGنJ آ أن اGن ; یG< أن یG:ن ش

. ]3[یس خر

Mة و أأن G<<) ح یت%:ر اشء ب&e خرج و ا !Z ب&، و ب) ; م6 حQ ه) م

Qه) J <4) م:اCY م 9> أیe، ی,Z أن یG:ن ت%:ر اGن J) اسس ح#Z، بL م6 ح

ا ر>، بL إن اته(و م6 ث. HJن ت%:ر اGن ; ی6G أن ی# ب,(ب> م6 4ت ا=. س9

#O مG<> إ; ب:اسX> ذD ا%:را > <3[,(ب> ا ر[.

اGن ه: ت%:ر Y(وري 4) یLG7 أسس ,C اوس ا ر> و ; ی6G ا أن !%:ر أن

B ه<ك مGن رOث BJ C) اGن. أ! یG<< أن !G9( أن Yن . م:اGی& ب`ب> ش(ط ]م :J

.]3[ ا ر> بe(ورةاته(`ب> ت&6 تبC ، و ه: ت%:ر 4) یLG7 أسس =، ; باته(ا=

B4، أو آ یIل أاGن أ! ذJ . D:م م &4> اشء ب&م>، بL ه: حس مأJ:م س

D إ; أMاء اGن %:ر مGن واح، و <م !G. 6 ة أمHJ <>G!< ; !9. ب@! أن; ی6G بءا

>&. ا:اح ب& eا@ي ی آ : و ه@0 اMاء ; یG< أن تG:ن سبI> اGن ا:ح

J: مه:ی واح، و ی#< ا<:ع . ، بL یG< أن تG9( إ; ب)ا) ی6G ت(آ م<(آ!O <ص(0

، و ب) اJ ب&ا@ي <>Gم ا&م £م:JZ#و ح J <م6 ث. . م>، ا حود ح%(ی Dو ی<,. 6 ذ

(Iب أن اس ا)Bادئ و HJن J . Cهأی: J) أسس C ) أم´(یا@ي

J 6) ا`Q ه: أآ( م6 ا`"ا<س> م`ل #">`م,:ع زاوی <,>> مJه. أ م6 اO م#

Y 6(وري`Q، بL م6 و I4 و ب D3[ اس، و ذ[.

:ص9 ت%:را بJ:م أو ال، إ! ی,Z أن !G9( حI . م<ه م&X); اGن ی%:ر ب:ص9 آ

<>Gرات ا:%و ن C ). ا7(كم6 حQ ب&( مJ >e) آ`(ة ; م<ه> م6 ت<:ع ا

. ت(> م:س وه>– !:L آ< – !I ا&LI ا -3

ا 17 ل اج ا

>%:ر اص) Gن ه: إذن حس 4) و B أMاء اGن ت: م& J) ا مJ ،(ه

.]J]3:مأ

4 ،Dذ Cو م ،9Nن تG6 خ%¤ اJذا ی,Z أن یG:ن إذن ت%:ر اGن . ا<س> ه) . ی&

Z,ب؟ ی <>Gم <J)&ا Dت L`ن م:Gت J:م ; أأن یG:ن اGن حس، ! م6 م,(د أص ح

6Gای X > تe4 أي 6G، ذJ . D:م، و ه: أم) حص(J L ا<س> مC ذD أن !#

4، أي L4 إدراك >J م:Iااس أن یeن حس م:Gأن ی (ذD . أم´(ی:Y:ع، و ب

> آ، أأن اeIی ا<س>Iی <اGن ذو "`ل أ! م(ب:> ب:) e(ورت، و سL ا،)<

.]3[" و ح#Zأب&د ثث>

ب ه@0 اشء اGن ; ی`L ; خص> £شء J) ذات و ;J 4ت (J اGن B س:ى .<

c C إ; م6 اa، إذن اGم 6 اGن و اشء اة; یG<<. ا:اس ا ر>اته(ص:رة

خ(< م6 ا7(ط ا@ات) ا@ي م6 دو! I! 6ر أن !I حس خر، وإذا. و> !=( ا]!#ن

و ; ی(ب ه@ا ا:ل بشء، إ; م6 . !Nث( ب:Y:ت، 6J ی&<) ت%:ر اGن ش أنأ<)

< . حQ تو <، اي م6 حQ ه) م:Y:ت #س#! (و ا%:رة ا`ب> Iرة اI)، ا

HJذا . س، ه) ا7(ط اe(وري ,C ا&4ت ا) ب !س ا:Y:ت ب:ص9 خر>ح#

G:ن حس مe یL أس. اGن#J ت:Y:إو . م (د!ه م6 ه@0 ا Q ; ی#&< أن !ح

!HJ ،ش(و =ه(ات IJ Lء، ب <یL&,!>G م6 ش(وط ا#س> ا ص> ش(و ]مGن اش

6 C اشء ا) ی6G أن ت=( < خرeاI:ل إن اGن ی]3[.

<eIن": ه@0اGا (J ورة,خ@ اشء ت أن: ه@0 اود ح%(ی، ت%ق 6Y"آL اشء م

ب C اشء،": و O4 إذن ا7(ط ا اJ:م ه<Hذا أJO9Y. ب:ص9 م:Y: س< ا#)

c (ه)ناتهGا (J ورة,%ق ه@0 اIة آ و ب ح%(" خر>، م#J ،]3[ .

. ت(> م:س وه>– !:L آ< – !I ا&LI ا -3

ا 18 ل اج ا

&+ن :+* ]1[اة ا*&* و ا

+ أرس'8 وأ- >8ن و!9 نا

.اMمن م6 و> !=( أرسX: ه: مIار ا(آ> م6 > اIم و اNخ(

> :تی#:4< ه@ا ا&(ی ا ه@0 اس

.أرتط اMمن ب(آ> -

.أ! مIار ا(آ> و B ا(آ> !#9 -

س، J !HJ) ان !9# یIس ه: ذات ب(آ> -Iار ا(آ> و مIو: أ! م.

.أن ه@0 ا(آ> ا) یIس ب ه) ا(آ> ا&م> G:ن -

.أ! م%ر اG:ن و ا9#د -

- B>!# م:94 و ; م(تX ب<B9 ا]أ! Gا B9>ه) ا <و . !>، و إن آن م(تX ب<B9 ح

<> ی6G أن ت9#( أسX:ری أ! ا<B9 ا]!#!Gا B9>ه< أن ا .M! أن > B

> م> آ6 ح) أآ(!!:و . م(J:> ا در> أ4:ى، !=)ا ا أن اG:ن (J !=( ا(وح ا

> م> ا اMمن !=(ةوم6 ه< ; ی6G إ; أن یIل أن !=(ة ا(!!:>، ; ح ا:Y:م

< .ذات

.=( إ ه< !=(ة آ>أن اMمن ! -

. أرسX: ب(هن أن ا(آ> #O اMمنIمن آ م، و یMا(آ> أن ا B وإن اMمن

4:( إم أس(ع و إم أبNX، ب< اM. ; یVت Lا ه@ا ا(هن ه: إن آ eو ی ،D@آ Bمن

. و ا#(> یدان اMمنءن ا

آ@D ی(ب أرسX: اMمن بGن ح6 یI:ل إن ا(آ> خI <&Yار اG)، و آL مIار آ)

<%و !6 !HJ . Mذا آن اMمن س(ا وIJ (آ>، J: إذن م%L م`. م%J ،L(آ> إذن م

I! بء و <XI! 6و ا(آ> آ X . >4> وص:ل، أي !9(ق ب6 مIم و مNخ(J) اGنJ) ا(ك ب

ب6 مIم و مNخ(J MC أن !X .خG <&Yن، HJذن !#

1-Qمن ا::دي :م%ر ه@ا اMوت <ن - ا(ح6 بوي – ا) 1973 – دار ا`JI> ب

ا 19 ل اج ا

I:لJ ی)&إذن ح(آ>، و G< ; یI:م إ; م6 > أن ا(آ> إن اMمن B: ی7(ح أرسX: ه@ا ا

M ب6 اآ`( و اL4، و اMمن و اL ه@ا أ). ا&د(ت6e اIار ن ا&د ی# < ب

M ب6 اآ`( و اJ L4) ا(آ>MJ .6من إذن !:ع م6 ا&د. ی# ب: و 6G ا&د ی9. ب&<

& <و . و وس> ا& و ا7 میMان. J<ك ا&د ب&< ا&ود و اIبL &، و ه<ك ا&د آ:س

6 م6 ا&د@0 ا9(4> ه:! Oل إن ث:I! نNب Q6 أن ت%غ !: حیGو : ی ، :Y:دا م

. ه: اشء اIب> ن ت&، و دا ذات ه: اG9(ة ا) یG:! ا&LI و ب ی& اشء اIب> &

Jمن < أMار،اI &ا:حة:ن ه: ا%:رة ا#(می> ا#(ة ت (J < . #(می> ا4

B و:دهإن اشء ا#(می> #J O) اMمن، ن Iمن ; ی7 و ; یMه@ا أن . ا Lو ا

J O#، و م ه@ا إ; ! J )أي أث Bآ@D ال أیJ e) ا م::دات، و یI% . اMمن

> خ%:ص، م`Yا(ی Z#>ا :Xب أرسCeا Cم )XIس ا4 <J@0 ایe آشء . L 4ب

!:G6 ح(آ> أو سe .ا#(می> #J O) اMمن، ! ; ت

, إن آL م ه: خG CY:ن و ا9#د، و ا&:م آL م ی: ترة و ; ی: أخ(ى ه: ا<

; ی Ce (آ>، J ی: J) أم م . أآ( ی9:ق و:ده زم< Oبe(ورة J) اMمن، ن ث

Q ; ح(آ> ; J ،0>ب(آ> ا<: ا@ي رأی Xمن م(تMم6 آ:ن ا Yمن، و ه@ا واMا

!9J) أي ش ی: إذن؟ ;ب أن !I:ل إ! ی: J) ان. زمن

M (Iمن J) ان؟ أم !ع ا– ان -GJ(ة Iا::د ا L&,! Lه <eة م)GJ من؟ ن خرج اM

:4 (J اديVآت ا)اول أ4(ب، و ه@ا م ( < أب) ا CY:إن ان ه: ا@ي ی: م6 : ا

6، بL ا::د ن ب& ن ا:ا). اMمن، و ; ی: زمن ا، أي ; یI( م< ش ی,د ب­!

.J) ا::د ا: ا@ي دخاMمن یI) ا::د بن، J:; ان دخL اMمن : آ@D یI:ل

ا 20 ل اج ا

ا+ن و!9 8ت

#46I) ا(یY)، و ه: . مX®، و !#): . !:ت6 اMمن ا زم!Iمن اMه: ا ®Xمن اMا

eاد و رت:ب، و ی# أی)Nب L( !#> ا أي ش خر)، و ی# (J ،&Xب LI4. ب@ات م#

ا&BG م6 ه@ا !, اMمن بNس. اة، و Iو ه: م ، خر) ی> س ح#)ا<#) cه(ی م

مة ب:اسX> ا(آ>، و ه: اMمن ا#&J L) اة ا&دی> L ه> ست و أیم و ش:ر و

س و ه@ا اMمن ا`!) ی# م J) ا9. أ:ام، و 4 یG:ن د4I، و 4 ; یG:ن م#وی مX(داIم D

6 م(ت ب(آ>، ب< اMمن اX® آ 4< ; ی(ت بNی> G9آ> ا(ام ا#وی>، ن زمن ا)

م&> مIX>، ب&< أن م6 ا6G أن . ح(آ>J :ت )CI حدثن م& و B9! (J تو ه@ا اMمن اخ

بB7 م`، و اخ( ب&Xرد، دون أن ا:O4 ب<#> ا اMمن اX® و : آن أحاه م(ت

ب<، أو م(آ6 : ی&<) !:ت6 بنJ (#! ن:Gس (J 6هL ه@0 ا&> اIX> ب<#> ا !=م

ب&J < .ا:اح 4> اخ(ی6؟ و ه) اG7> ا) أثرت !=(ی>ا<#

@ ا+ن و!9

>B ه: !=م ا:ا)، و ه: إذن ; یI:م إ; J) ا<#Z ا::دة ب6 أشء اMمن م6 و> !=(

أي أ! تبC £شت:ا Iسب Bء، و .Xخ I ة:Xمن خM ی ا,ی)&B ب@ا ا>

) ا ح آ:Y:م Lc Dذ Cم !HJ ،<إذ ه: ی<=( ا ه@0 . واس&> J) سL ا,(ی و ا@ات

>، ت( ب J) ا:اC4 ا>، ه) =ت مII6 حود ح بIIح Z#! !ت:ا)، أ Z#! ،Z#>

و إذا آن مC ذD 4 سر J) أت,0 ا@ات> بNن مM ب6 اMمن و ب6 . اشء ا#(ة ذوات اة

9ت £شء، ب< اMمن و صاة آ J(ق ب6 اGن و ب6 اماد أسس أن اة و اماد

4س، و ب) تG:ن اة و اماد (J انأشء اGن ی<=( إ أ! خرج اشء ی9

>>، ب:Y:م <B اMمن و اGن بN! . اMمن و اGن أ4(ب ا ا@ات>خر> O&>ی .

نا ر>ذاتن و ; و:د J) ا:Y:ت .، بL أآ9 بNن 4ل إ! مIXن م

ا 21 ل اج ا

Aن و!9 آ+ ا

MیI)، و خ( م&لJ .(ض آ!O اMمن #46 (ض م

6MیI) ی6e خB ح,_ ی6G ان تI#. ا #4J :ا&(ض ا

(J 6ه)أی Bو ی(هJ 6) اI#. ا`!) . )م`; ت,(ی، بL ه: 4 اI#. اول أن اMمن

.أن اMمن ن، و B ت%:را

ن، و ی6G أن یرك م#I 6 ا=:اه( Lآ ,> @ا أن . إن اMمن Y(وري یI:م و ا<

C أن !#& اMمن م6 ا=:اه( م>، مC أ!< XاMمن إذن 4)، و اL ه@ا أ!< ; !#

C أن !Xإذن اMمن ; یI:م ا=:اه(، بL ا=ه( ه) ا) تI:م . 9. اMمن خ م6 ا=:اه(!#

( اMمن ; ی%:ر تI® ا=:اه(، أي ان اMمن إذن 4) Y(وري LG ح(آ> Vمن، و بMا

< .ح#

> ا&ن أم`ل ا&ن < آ!O ه: ام`ل ا,M)، ب< ا%:ر ه: ام`ل اG)، أي J) ح

، و J) ح> ا%:ر أم`ل ا%9ت ا7(آ> ب6 ة م:Y:تM :Y:ن أس® م6 . مو ا&

<Xن ب:اس:Gا%:ر، ! مش( ی%L ب:Y: مش(ة 6 (ی® اB، ب< ا%:ر ی

&<، أي ب&< أ! و اMمن ا&ن ب@ا ا. ا&!ت، و @ا B ص> مش(ة ب:Y:ت

(M ع:Y:ل م`و ی(ه6 آ!O . أم أم`ل ا:Y:ت اMم<> بMمن، J@ا ه: اMم!>. أم

6أن : یI:ل آ!O. و ا`!> أن اMمن ; م<0. او أن اMمن واح، و B آ`(ا: ه@ا ب,

C أن ی%:ر . #)اMمن B ت%:را آ، و G< شLG خ¤ &ن اXو ذD ن ا(ء ; ی#

#O إ; أMاء @ا اMمن ا:اح، و إذا آن اMمن واحا، J <>أم ازم ،( زمن واح و وح

J: ; یLI أن یG:ن ذا ت%:ر، بL ذا ن، م دام ا%:ر ی(آZ م6 أم`ل ة أشء، ب< ا&ن

.م6 أم`ل ش M) واح

!، و اMمن أم`ل ا ت<ه)، إذن اMمن ن و أ Lت%:را، ب Bم`ل ا ت<ه) J) اMمن

B ت%:را .<,> أن . أثO آ!O أن اMمن ن، و ب@ا أیJ e(ق ب6 اMمن و اMم!و ا<

ا 22 ل اج ا

Mمن ه: ش(ط آL م&(J> ه@ا ا&ن ا ¤ . اMمن أصL و اMم!> م7I> و م9(> اMمن

4> ی< 6 اMمن ب J) ذD ایت ا&م> .

, :ا<

أن اMمن B ش م::دا ب@ات 4 م#I، و B ش ب< J) اشء آ9%> -

`> م:Y:ا7(وط ا L6 !,(د آ> ، و ه: ; یI ح:Y:آن 4 . م : !

. ت، Gن ش وا4& و ( وا4&) م&ب@ا

اMمن < آ!O شLG م6 شG:ل ا#س ا]!#!>، أي ; ی(C إ; إ، J ی6G أن -

.ت=( اشء < J) ا,(ب> ا#> إ; ه> اMمن

- O!ا=:اه( أی آ LG (Iا (G7ط ا)من ه: ا7Mمن . اMی اMه@ا ی (J نوGإذ : 6 ا

ن خر) 4 حد ه@ا ا<: ب ه: خر) LG ¤ ا LG7ن، ب:ص9 اGا

أم اMمن HJ! شJ ،Z#J . LG: إذن ش(ط 4) =:اه( ا ر> و حه دون (ه

ن ب6، و خر) م& LG ¤خ .

> اMمن، ب:ص9 ا7(ط LG ت,ر -:Y:م O!آ )G>ی ; ب<، و إ! ا@ي ی<G(0 ه: وا4&

<IXا.

> Mمن ه) -&> و أم`ل، دون أن یG:ن J) آL ت,(ب> ح) أي اMمن(و:د0 ا`> ا#

. ش م::دا J) ا رج آ::د اJ 7) ذات

- ( ا<: اIبL ب6 اGن و اMمن ه: .یI:م اMمن ا:ا)، ب< اGن ا

( :]2[ا

ا+ن ا2ن

<XI>ا=> ا

ای:م اماد

ا&Z4 ا,ور

( ا:ا) ا

<!:G#ا < ا(آ

( ا`تV ا

<:!> ا%(ورة Gا

ب – اآ:ر ی<) (ی ا :–اMمن J) ا9#9> و ا&. -2G <ا%(ی> ا&م < 1999 – مXبC ا

ا 23 ل اج ا

-, اا+ن ا

و ث` أن .!<ءإو ث! أن Gن . أه و أو ه: أن اMمن !#): أه. !_ ا<=(ی ا<#

<>Gأآ( س(> م (ء ه:eا <)6 أن . سGم6 ا B> J) ه@0 ا<=(ی> ه) أ! #ا#> ا(

، و )اMمGن(إ4، بL یG:!ن آ م% ی# م%L اMمن و اGن یL%9 ب6 اMمن و اGن

إن : و ب@ا ا&< یI:ل م<G#J:G). ث>ب&د اGن ا`أاMمن J) ه@0 ا> إذن ب& رابC یeف ا

اL%9 ب6 اGن و اMمن 4 صر وه ; أسس ، و إن إ!م !: م ه: وح0 ا@ي

<IIء ا . ی#. ب#

LIمن ذو أت,0 و ; یMن، أ; وه: أن اGمن و اM6 ا ا9رق اIی. ا@ي آن یIل ب::د0 ب

< اGن م#وي ات,0، 4 سI أسس ه@0 ا<=(ی>ا]دة، ب . (إذ أن GJ(ة ات,0 ا:اح ا

،J <آ)آ!O ت&Mى ا اMمن 4 صرت 6 ت%:ر زمن مX® تNث( ب ا=:اه( و اشء ا

م(C (]شرة تNث(، أم إذا 4< بNن اMمن !#)، ی:4 إر ادون أن یNث( ه: ب أد!

:eب<#> ) اشر0 ا e&ب و ا]رات م&دة ت& خف ا)ام (J اG:ن J) ح(آ

B ثO م,ل ث 6 أت,0 واح J) م%L اMمن و اGن ه: أت,0 زم<)، و J ،&ا ب

ه@ا ذا أت,0 واح، ب< ذD ا&. ا&. ا9Mی) إذن B ذا أت,0 واح م#( آNت,0 اریa، مدام

MJمن اری )، : اMمناو ا9رق واY ب6 آ ا<=(ت6 . ب:ص9 آ أت,هت زم<> ة

ا:ادث إم ه> ا:ا أو J :من ذو ات,0 ا:اح، تM6 أ<) اGو ی ،<ه> ا&

ذات وحة :ه(ی> J) اس(ار ا#) LG أن یرك مش(ة بB و ا@J اآ(ة، و اة

CY:ا J أن !د CX#! J ،<اY(ات ا:ا>، أم اMمن ا9Mی) ا@ي تI:ل ب ا<#

> و اMم!) و اG!) :ادث & )م6 حQ ا:ا أو ا&> إ; إذا إتI9< أو; وCY م&ی

J B) ا:ا)، م&J >ا:ادث، و م6 ه Dت J ت,(ي (ی( ت:4 إرات ا]شرة اMم<> ا

ا:سC أن !د، بX(یI> واحة سبI> وCY م&ی( م&<>، ا:ا أو ا&> ب6 ا:ادث، و

م6 وCY ا#واة J) اe) اMم<) ; تد J) ح> اMمن ا9Mی) بX(یI> م> سبI>، بL ;ب

س تد ب ا#واة J) اe) اMم<)Iم . (J ه@ ! (و م6 ه@ا !(ى J) ا<ی> أن اIیB ا

J :و> !=( ا(اص و إر ا]شرة ا@ي ی L 4:4س اد و ا:ال ت.

ا 24 ل اج ا

ا2-, ا+ن

:CY ا(ص:د، ا در> أ! م6 أث( أآ( J) ااص ذووY هM!(ج J) !=(ی> اG.، أن ا(

L أن !, 4س د4I آL ا4>، بL ;ب أن یG:ن ثO همµ ت&6 ; ی6G أزاو . ا#

G اIی> !Gأي تD ا) سOI !=(ی> اG. < ه)!Mج، ب (J ذD ( ه@ا، J& أن آ!O ا

G ا<:ت<> ب& إدخل ت&یت!GاJ <س اMمن ی6G أن ی<X® ) !=(ی> ا<#Iأن م Z#ت

<Gا G!GMی>، O4 اJ ه(ةc ت: ب (!< ; إ: ب4> تMداد آ أزداد تی! =(وف ا

Xا د4> م L%! 6 أنGت_ م6 رد ی! Dا4، و ذ)6 J B) ا:سC أخI>، بL ی=L ثO م,ل ت&

و eJ 6 ه@ا ; ت&(ف بNن آL ا=:اه( 4ب> . یث ا(اص Y ا=ه(ة ا(ص:دةاL&9 ا@ي

خ:ل J) إرات اMمن و اGن، إذ ب<Z#! O هM!(ج أن ا=:اه( ا@ری> ; ت Ce بHحGم و

و . ب!D!(اف دا < ت& `بO ، بL ثO إ)&. J:ق ا@ري( آ> د4> مI <IX:ا . ا(

> J) ا9Mیء اIی> !Gا <C أن ت`L ) ا م LJ !=(ی> اG.(ت& HJن ا%:ی(ات اMم!X; ت#

.ب4> ا&ت ا,(ی>، أ<) تD ا) ; ترك إ; ب,(

ا 25 ل اج ا

ا 26 ل اج ا

ا 27 ل اج ا

8D9 ا9س ا

& ادی> Xن ا:G6 أن یG) ی:Y ( ش&ع>، 6G م#:eق ا<س> £ش&> ا)X; ت#

أن ا@ه6 ا(یY) ) Hermann Werl(ی@آ( ه(من وایL . صXح ه<س) ( م&(ف آ

6Yم، وه<ك أح#س < ا(یMح( و م)Yن ب(ی> ت&(ی ) تء ا(ی:&و ه: أ!. ی

_6 ب<Y. ا(یء زمYرNب .IJ:6 ا#> ه) مى تG ،ا#ت CYحت و وXاص

ه) ح%> . أح#ست. و ت ت.Yم6 ا< ا(ی )`G6 ا:4:ف أمم ه@0 اح#ست و اGی ;

Yآ، و م#) اس(0 ا(یNام و 4 أآ> بM .وا أس

ت م6 ا,ل ح:ل ا<=. ا:Y:ت ر. ا<_ ا`(0 ا) ءت ب Yا(ی ; ت : د!

6Yم6 أب(ز ا(ی eJو ر ; ه@0 ا<=.، O! I م#ت آ!:ر J) ا,:ت ا م<ه

C ه) أم`ل وایL و ب(ا:ر و ب7ب( Jه@0 ا#ت ه) . @0 ا#تو م<. م6 ر O!إذا آ

(ی6؟ هL ه<ك أ(اض 4:ا &> `Gو م 9> ا <IJم:ا O! ذاJ >&م ص:ری ; مGأح

ت ه) إ! &> ص:ری>، ه@0 ا<=(ة ه) م<9@ (وب م6 Y؟ ا<=(0 ا%:ری ا(ی_!)X7ا

0I&ا ا#> ا9#9 و ا<#9Yت ا(یJ7I <م ی`® . هت ابات و اآIا (J

ا(یY) ب::د ش مذا یI:ل؟ <م أآ7 ا9`:رث:ن بNن وت( ا`Q اI. اMاوی ا#وي

س ا) یIس ب ا4#6 وا آن أآJ7. ه@ا و Iوحة ا B9>س ب4 6G6 ; یا4#

#6 م6 ااد ا%ء آ&د . > آ@ا اX:ل بص.أI:ا ا 2أم !6 ا:م J#< م#

> ا) ء ب آردان بL ذه<و ذD م6 خل ) Cardan( ا أب& م6 ه@ا بI:< ااد ا

1iإدخ م9:م = −Yا(ی C :م6 ا .ت د!Yا fundamentalist( <9#J (J(اص:

)G!و)G تYا(ی)Kroncker(:Iااد ا ا ا@ي خ® : م ،<> ااد ه) %Iم6 و ب

.!#ن ا]خ®

6 ه. مYأآ`( ا(یI9ت:نYو! أسس ا(ی) . ا:م م#ت آ!:ر J) ا,:ت و ی&

ا 28 ل اج ا

J )6، ه<ك سYت ا(ی ه) ح%> أوهم و ت Yابات ا(ی O!ت و ه: إذا آYا(ی (

MیC )؟ آXبC ا&) ا@ي أت @ت 4:ا!6 ا(آ ااری J Cب @ یe& 6G أن تGJ

، و!:ن ا) وY& ا:!>ت ا<سم#و ا&ة )آ7,)(ا (وت ا#> م6

, ه:ط! O!روا ا]آ:%0 سNخ@ بJ ( C) بNن م#ت. ه@!#ن سX اI(، 6 ی

!Mو اe9ء

[ B( و یاف م6 (ح ه@ا ا:Y:ع ه: Vت (J و دا <ت حYأن ا(ی .G 6@اG. و إ! <

( .;ت<

.أه. م9ه و e4یه!خL ا بQ ا<س ا@:، ب&(ی9 و

Q6 م ی ¤ ه@ا اG 0ی ی آL ه<س ( إ4ی J) ه<س ; إ4ی، ه<ك ه<ست ; إ4

( و وس و ت&(ف ه@0 ا<س، (Bolyai)ه) ا<س ا) آ97 آL م6 :بتG#97) و ب:

. أو ه<س> :بتHyperbolic geometry(G#97ب<س ا@: أو ا<س اMای

و ،)neutral geometry(ا<س ا@: ه) ا<س> ا<> م#ت ا<س> ای0

.ت#ل م#> ه(ت J) ا:ازي، ب#> ا:ازي J) ا<س> ا@:

. PمXI! 6 : م#> ا:ازي J) ا<س ا@:Iن مl 6 ; ا#I P اL4 ی( م#

.I lی:ازین ا#

> 6 م#> ا:ازي0 إثت اeIی ا<س> مت#& ا<س ای>V<> ب#ت . #&م#

( م&ة م#> ا:ازيارب&> او <س> ا]4ی، آو 9(ز اeIی ا&ة وVا .

4س و ت=( م#> ا:ازي J) م#ت ه(ت إم#ت ه(ت ه) أآ`( ش:> م6 م#ت

<V :ب@0 ا%

ا 29 ل اج ا

.I. آ#I. LGl م#I. واح ه: اآ`( ه<Pآ<l XIوي !XI ; ا#I mك م#

.l و ی:ازي Pی( م6

( مر ا ثث زوای V0 ا)X#اوی ب9(ل و اMا .#I6 تGی ; یJ) ا<س ا]4

. ب@ا ا7(ط I. X4&> م##I6 تG6، ; یGم ) .#Iم#وی، آ@J D) ا<س ا@: ه@ا ا

J) ا<س ا]4ی ; ی6G رس. م(بC ب9(ل و . ثث أ4#م م#وی J) ا<س ا@:ا

(J 6Gط م)6 ه@ا ا(س. ب@ا ا7G ،ت#وي م#ح> دا(0 م&:م ( مر م#حV0 ا)X#ا

. ا<س ا@:

J Q`و:د ح #ح> ا <!Gه@0 ا<س ه: أم (J Z !Yع ه@ا ا`Qأ و ; ح X:ل ا&,

ا9س -, ا*(ء ادي

ی,Z أن تG:ن ا<س ا@: مزم> <س ا]4ی، 6G یX(ح ه@ا اMامIX>ه@ا ا#ال،م،

اG9(ی ب< ا<س ا]4ی ه) ا) ت&(ف# و ه: أن ا<س ا@: ه) !:ع م6 أ!:اع ا

و خ( دL ذD ا<س ا&ریJ µ J) م,ل ا#Jت و ا#حت >ا&. ا@ي !&

)%Iه@0 ا<س> ا,ل ا&)؟ةا Lتخ GJ ، I9ی>ا<ست J) ا#Jت > ا]4 م%ا4

(ة آ#Jت ب6 اG:اآZ ا&ة اGا،. ه: رة 6 م`ل ذD، إن آن ا أو ا#I

ب&ة ا 6 ب&e، تLG7 ا9:اصL ب6 ه@0 :Y Cث> م<بح> و:د ث (J ،):Y ( ش&عم#

Q`م Cمدي(ا<ب( Q`ن م,:ع زوای ه@ا اNف ب)&! ء 180، إذا أرد! أنXخJ ،; در> أم

ست ت&:ق 6 اI® م6 إثت آ@0 ا,رب6 ا<ت,>Iت(ه6 و،ا MیJ ت: أي ت,(ب ;

. ب< ی6G إثت ; إ4ی> اe9ء، إ4ی> اe9ء

ا 30 ل اج ا

.(ی,Z اJ D7) ت&(ی ا IهL م6 ا6G أن ی#( اe:ء J) م#( م<6؟ ی&I ). أو ا#

D ب6 اGن و اMمن، و ه<س> اe9ءG9ة ا::دة J) اMمن مNث(ة بد - أ!7ی6 ب&م ا

< Y < . اe9ء حQ ی<<) اe:ء < م(ور0 4(ب آ

، و J ث( ب% :ر ا::دةNأص اe9ء B آ ی%:ر0 !:ت6 رة 6 ص<وق Jرغ ; ی

G 6@ا اe9ءإا#> أI م ی%:ر0 Jآ ) 64س و :بتGJ (G#97 هت6 ا<س ! ;

7ی6 یI:ل>شNن ا<س> ا إ4ییLI ه@ا م6 !NJ :ه@0 ا<س )) ا إ4ی(> أL آL اIی( &ب

.HJن . أت&(ف تO>G م6 (ح !=(ی> ا<#

( د4I> و : یX(ح ب:ا!G(0 سا; و ه: (J ( . <ا<س O!؟ إذا آ<أي ا<ست ص

)Vت (J دا ...>ت و ; حI® ت,(یب>_ أس! O# و ا#ال هL >، م#ت ا<س> ه)

4ی> ص>؟ :اب آ,:اب ه@0 اس>، هL ا<=م ا(ي J) اوزان ه: ا% و ا<س> ا]

> ثت اGرتMی> ه) ا%> و ا]حاIی. ؟ أم :اب ا#ال، هL ا]ا<=م اXIت احاث

.؟ إذن، أي ه<س ه) #O أص م6 ا<س> اخ(ى، 6G م6G أن تG:ن ه) ا<س> ا<س

یI اI#. اول وه. : 4#نی<I#. ا&ء و ا9س9> ا J (conventionalism)) ا9#9 ا

:ت6 و راسL و وای ی&Iون ب(ی>! )metric ( ه. رین و ب:ا!G(0 و اI#. اخ( و،4س ذات

یI(ی> ه) ت .و أ!7ی6 ی&Iون بNن ه@0 ا

ا 31 ل اج ا

8بG *ه و F( ا9سD9 ا

Saccheri quadrilateralرب, أض ع سآي

ه@ا ا(ب) اYع ،4س إثت م#> ا:ازي ]م6G< ع Yأأس&ن سآ(ي ب(ب)

6 اخ(ت6مG:ن م6 :دی6 م. و ه<ك ثت> ح;ت MاویI : #وی6 !ی) م#

ه@0 اMواین 4ن: ا> او

ه@0 اMاوین م<9(ن : ا> ا`!

ه@0 اMاوین ح­دتن: ا> ا``

4ی ا<س ا]]ثت ا او وه) م ت<¤

6 اخ(ت6س& سآ(ي (ه6 ، ا<J 4) ا

اسXع أن ی(ه6 ا<J 4) ا ا`! 6G م

مGن إثت ت<J 4) ا> ا``> &L ه@ا م إ. ا<J 4) ا> ا``اسXع أن ی(ه6

<!G6 . ی7 سآ(ي ه@0 اG .(با(ب) أن یNخ@ مJ <!G) ا<س ا@:

ت W أض ع , Lambert quadrilateralرب

أسXع ;م(ت م6 . رب) ;م(ت آ(ب) سآ(ي 6G مG:ن م6 ثث> زوای 4 و زاوی> ح­دة

( مe4 6ی ا<س`Gل ه@ا ا(ب) أن ی(ه6 اخ< سآ(ي م ، BG 6G> ا@:

6G ،4>اوی م ب(ه6أد ب::د تMه: إن و:د ا < Zم و:د ت<سM ادة J) رب ی#

Q`ن م#ح> ا%I! و Q`6 م#ح> ا .ب

(ب) سآ(ي )ا``ت ه< ه@:( ب& ا(واب ا``ت

:و ;م(ت

J :sinh) رب) سآ(ي cosh sinh2 2

c ba=

J :sinh) رب) ;م(ت cosh sinhc a b=

a و b و cعYل ا:

ا 32 ل اج ا

ان]

و م,:ع اMوای ااخ J π2) ا<س ا@: ه: ا9(ق بDefect 6ا<I%ن أو ا&Z أو

:`Q أي

( ) ( )r r rDefect ABC A B Cπ∆ = − ∠ + ∠ + ∠

J) ه@0 ا(ابX اMوای ح#Z ا(ادین،

O`و م Oه<ك د ثب : ي م`Q بJkQ) ا<س ا@:

( )2ABCS k Defect ABC∆= ×

إذا آ!O اMوای ح#Z ار

( )2

180ABCS k Defect ABCπ= × ∆

Xه@0 ا(اب (JSABC

Q`م#ح> ا ABC . J) ا<س ا@:

(J:ه Q`ا ا4% #ح> ا #2kπ . Oا<س ا@: م#ح> ا`J Q) ا<س ا@:

و إ! ت#Z م#ح> ا`Q ،آ ه) J) ا<س ا]4ی حصY L(ب اJ 0I) !% ارت9ع

ط(@D ی6G اI:ل 6 و:د م`Q ذو م#ح .>4!:ن !I%ن ا#حم6 > J) مIX) أ4: بNح

< . ا<س> ا@:

: ه<ك رابV Xوس ت(ب ب6 م#ح> ا`Q و م,:ع زوای0 ااخ ه)Kإ!<ء ا#X إذا آن r r r

ABC A B CK S π= ∠ + ∠ + ∠ −×

<Xث ح;ت م6 ه@0 ا(ابث _>#! :

ا 33 ل اج ا

1 او0K :ا > (J 6م )`اآ Q`180ه@0 ا> م,:ع زوای اI:س در J) ه@0 ا> ا

.م`O ی6G ب<ء ه<س بe:ی @0 ا>

\ ا0K :ا = Q`ه@0 ا> م,:ع زوای ا (J180 در و ه: !:ذج ب<ء ا<س

.ا]4ی ذات ا!ء ا9%(

\ ا0K :\ا در و اI:س سZ یQ`180 6G أL4 مJ 6) ه@0 ا> م,:ع زوای ا >

. ب<ء ه<س ه@: @0 ا>

6 > ا``Xی#> ه@0 ا(ابIم6 م:

( )2ABCS k Defect ABC∆= ×

r r r

ABC A B CK S π= ∠ + ∠ + ∠ −×

2 إذن

1K

k= − >Y)J إذا k iR=ه@0 ا(ا (J X1بi = > رة ا@:> یe بNن ا9%−

. ب7&ع أو !% X4( خ أو وه)6 آ(ة

:م#ح> اا(J 0) ا<س> ا@:

24 sinh2r

S kk

π=

34 ل اج ا ا

زاو اازي

P ا L د !" PQا L$% ه'ك %") ن

QP ن+, Lه0ان ان '/"ان أي :

XPQ QPY∠ = آ8 ه7 ا6او, ه5 زاو,2 ∠

.L ا ا 7P ازي

: A7@?5–= ن > ;5

tan2

dke

α−

=

)6او,GI 2 ار2 ه?0ا G?7 هF0 ا )PQΠ .L >'2 ا ا P و 7"أ زاو, 7 ازي ا'2 °

k و ،Iن اN 5 = ن% O+<"7 "O/ 52 ا<P5 ه0ا ا ن ه ا ا% tan2α

QN 8/

/8 ا6او,2 %5 اO'! اX 2 0O آ ه %5 اGW, 2!'O ا0آ" >Vن. T<U أو,"e و αا6او,2

Y اWورZا Y ا>8 Z2 ا, YP و XPآ0\ %5 اN@2 ا0O 2 ان . ا]=

. L ,6ان و از,ن

I 5%k→∞ +7 زاو, ا ازي 2

π 2,إذن %5 . و ه5 زاو, ا ازي %5 اO'!2 ا]=

T<P5 ا+! Ik )Iن اN T<U( 2, aN7 2,O اO'!2 ا0O 2 ه'!2 إ=

، و I 5% !+2 اN@" 7+ زاو, ا ازي اL "@Nذات واI , ازي ا

.0O 2 ه'!< 2, Z< 2 d ط از,2و aN7 اO'!2 ا

20 0

k

k

πα

α

→∞⇒ →

→ ⇒ →

g k→∞ T0 إذا آd → 5%F02 ه!'O0 2 اO2 ا!'Oا آ0\ 7"ب ا

"ij د+<kا T2، 0\ إذا آ,,2 %5 اO'!2 اI ،2 0O إذا N7ق روا>$ اO'!2 ا]ةا]==

P

L

ا 35 ل اج ا

س ا Iب Q`ع ه@ا اYل أ: >(ةkآ!O رؤس ا`Q ثث آ:اآZ ب&ة بVص Iی

.اe9ء cه(0 و أب&د0 تI(ی إ4ی

F` Engel Theorem( إ^

و IJ إذن و:د رب) إذن1و:د ا`Q اI. اMاوی مC ا&مL ا(س:م> J) اLG7 ر4.

2أYع ;م(ت مC ا&مL ا(س:م> J) اLG7 ر4.

IJ >ا%در، ذآ(!ه ه (J eI6 م7هة ب(هن ه@0 اGب(هن و ی ه< ب eIآ( ه@0 ا@!

@آ(ب::د أسMام م<IX) ب6 <ص( ه@0 ا<س .

1اLG7 ر4. 2اLG7 ر4.

ا 36 ل اج ا

8بF G( ا9س اD9

9> اس&!> ب#> ا:ازي J) ه@0 ا<س>س< م6 خل ه@0 اeIی &(ف آ< ]ثت ا@:

J I) ا<س> ا]4ی>، 6G م6 خله@0 ا<س>e4ی I6 إثت و ; تGی ; یe4 ،0@ه

ه@0 اeIی . J) اe9ء ا@:)#> ی6G إ4م> ب(هن ه@0 اeIی و إX ب&ا ا

: ه)

در180ی: م`Q م,:ع زوای0 أL4 م6 :1(ا

.p!9(ض ان : هناI اس<دا م#> ا:ازي J) ا<س ا@: XI! L ; ا#

ن م:ازین I n و m !(مp M م6 ا<LXI!(س. م#

____________

90

90

QRP xpy

QPR QPx

QPR QPx xpy QPx

QPR QPx

∠ < ∠∠ < ∠

°∠ + ∠ < ∠ + ∠ =°∠ + ∠ <

در و ب) م,:ع زوای 90 أL4 مPRQ 6أي م,:ع زاوین م6 ا`Q اI. اMاوی

Q`اPRQ 6م L4در180 أ .

ه)eIه@0 ا _J L) ا<س ا@: أح !XL م,:ع زوای0 ااخ ( م و:د م#Xا#

) در360

: Z >!RQ ب

: .I QPxداخL اMاوی PRن ا#

ا 37 ل اج ا

. : 2(اIن ، JL) ا<س ا@:، م6 أي !XI ; ا#Iی6G م(ور اL4 م#

.I Lی:ازین ا#

: ا هن

- XI>م6 اP س. :د)! PQ .I. و آ@ ،L ا#I Dm م6 ه@0 ا<XI !(س. ا#

PQ:د

- XI>ا Z >!R .I. L ا#I L :د t و م< !(س. ا#

- XI>م6 اP س. ا&:د)! PS د: t

.I( م<IXن ن، : آ!PS O و ا&:د mا# S IX>م m 9) ه@0 اJ PSRQ

Lم#XJ L) ا<س ا@: و 4،X در ن 360م,:ع زوای0 (ب(ه< م و:د م#

) در180م,:ع زوای ا`Q أL4 م6

ن : إذنI. m و PSا#I ب(هن مX® #> ا:ازي L ) (J م:ازین #eIه@0 ا O#

و ی& ه: اخ( م#> رب) ;م(تا<س ا@:، ه@ا ا(هن آن ب]س<د

)ا:ازي

ا 38 ل اج ا

ن: 3( اIن ، م:ازین′L و J L) ا<س ا@:، إذا آن ا#XI! اآ`( ه<ك

L<ا9ص B9>م6 ب L′

:ا هن

م6 ه) آ@D ب<B9 ا9ص>L !9(ض أن ه<ك !XI> ث`

L′ . (ب)اBB AA′ BB و ′ CC′ ACA و ′ C′ ه6 ′

J) رب) سآ(ي اMوای ا,ور0I 0( رب) سآ(ي

)م#وین4 و اYع اIب @0 اMاوین

AA C CC AAA BB

B BC C CB B BC B BABB CC

A AB B BA

′ ′∠ =′ ′=

′ ′ ′ ′⇒ ∠ = ⇒ ∠ = ∠′ ′=

′ ′∠ =

ت و ; و:د XC ربت سآ)ي (J ه@ا اLG7 ه) م# D@ نGن مه@0 اMاوی

J L) ا<س ا@: و ه@ا ت<4X .′L م6#6 ب<B9 ا9ص> C و B وAذن ، إ#

ا 39 ل اج ا

)Klein – Beltrami Model ( آ –8ذج ب&ا,

وا4&> اR<9% و !% X4(ه Oم(آMه ) دا(0 مγ) IXه@ا ا<:ذج رة 6 دا(0

X<OR: ا:ا4& داخL ه@0 اا(0 بXQ م,:> ا<Iط رة 6(0 ه:اداخL ه@0 ا. ا]4ی

، آ@D أوتر ه@0 اا(J 0) ه@ا خL اا(0 ه) !Iط ا%9> ااJ) ه@ا ا<:ذج ا<Iط د:@

<ن . ا<:ذج ه) خX:ط ا%9> ا@:XI>) ه@ا ا<:ذج اJA و B 0اا( Lتن داخMی و γ م

XI>6 ا م اا(0 ه) !Iط J) ه@ا ا<:ذج ا<Iط ا:ا4&>. 6ه<ك وت( وح ی( م6 آ هت

م` و; ت`I! Lط ا%9> ا:@.

<XI>ا:ت(ان اران م6 ا LبIا LG7ا (JP )ی:ازین ا:ت L

ی,Z ا@آ( بNن ا%V ا& #> ا:ازي (γم6 اا(0

. م&:م یJ : 6G) ا<س ا@: ه)I مXI! 6 ; م#

. ی( م6 ه@0 ا<XI> و ; أآ\ م(ورI. م#I یCXI ا#

)ا&:م

ا%9 ا@: آی6-!:ذج ب(ام)

ا 40 ل اج ا

. و 4> اMاوی Iس J) ه@ا ا<:ذج :ل ا#Iم ا=! >4> زاوین(ی# O!ن إذا آ م#وی

. ی#وي اخ(آL زاوی> ت#وي اIن م#وین إذا آن :ل آL م#I; ی6G ) خ(ى، و م#

. J) ه@ا ا<:ذج آ ه:IآL ح ; یNخ@ و،ل J) !:ذج ا%9> ا]4ی> ااآ9ء بX:ل ا#

.IمC م9:م ا ت<ه) J) ی<J ه@ا]ن ،γ:ل م&6 أL4 أو ی#وي !% X4( اا(0 ) خ(م#

.و ا9ص> ت&(ی9 یاأ،ی,Z أXء اX:ل ه@ا ا<:ذج

( :ت&)ی ا9ص (J ه@ا ا<:ذج بLG7 ا

4ی ب6 ه) ا9ص ا]AB!9(ض أن A و B(ه@ا ا<:ذج ه (J إذن ا9ص :

1( ) log2

AP BQd AB

BP AQ= i

i ا

&ا(أZ م6 اIرئ م Poincaré Model خ( بNس. !:ذج ب:ا!Gریه<ك !:ذج&Xو م .

اV(ض م6 (ض !:ذج . مC ب&e) C) Isomorphs !ذج ا%9 ا@: م7آ>

ه: &(J> ه@0 ا<ذج ا<س> ا) ی6G م6 خ ب:ا!Gری آی6 و ا@آ( ب<:ذج -ب(ام)

)G9ا 0 اسس ا) ی%&Z ت,#ه و ت%:ره ، و آ ;ح=< آ c(ت ب& ت#

ت<سZ مC ا#ت واeIی ا<س G9(0 اسس، :اص ا<س و أخ@ت ت&ری یةا

X !:ذج ب# وت&ری ب#. ه@0 ا<ذج ت#:4< ]ثت ا:اؤم ب6 ا<س ا]4ی و ا إ4ی

م:ا مC ا:اC4 ت#:4< 9ه. و أم:ر یة ب& احن ی%&Z ت%:ره و ح إدراآ

> اX:ل و ا9ص، J& سL ا`ل Gإش CJر <9آ=:ر ا<XI ا`> J) ه@ا ا<:ذج و آ

6 . ت% م;!یB :! Ρ <م ت#& B و Aا9ص ب

ا 41 ل اج ا

2 =

1 _

ا 42 ل اج ا

ا 43 ل اج ا

اhص ا

اص8ل ا, ب&9 ا A

ت و م#ت و مه<كY)J ­<أص:) @0 ا<=(ی Cذات ب ،<م6 ه@0 . دأ و راء !=(ی> ا<#

ت م ی ¤ ا<#Y)9ادأ ­6G ه<ك م#ت و م. و م< م ی ¤ ا<#> ا&م> ا ص> >

® ه@0 ا<=(ی> و إن آ!O ه@0 ا#ت و ا )Mی>، آأ مخ و م#­تNثJ )> دأ

ت و ا. 4ی>ا:ازي J) ا<س> ا إY)9ب ه@0 ا<=(ی ه)­ا O!& : دأ ا) أس

:hص ا-ضت ا

>4:ا!6 ا9Mیء ه X&ا Cا(ا <Jآ (J #9! (

6 ح(آ> ا%ر اe:)>9(اغ م#Iس(> اe:ء J) ا

!8 أ ا82س88 Cosmological Principle :

س واسC ا ی<¤ ه@ا Iو م:ح ا :اص: اأ أنب B!, .اG:ن م

أ خ:

:م6 أGJر أر!#O مخ مأ مخ و ه@0 اGJر ه)أ® أ!7ی6 م,:

o ءe9ا< . بJ 6:اصL ادةJ) ذات ; ش س:ى رواب أ!Mا

o ا::دة <Gا Lه@0 ا@رة و آ <,> !:ع م6 اL9 ب6 آ> ي ذرة ه) !X&ا <Gا

.J) اG:ن

o ا<D ه: ا(آ> ا<#!G&7 ا. J) ا <G .

o £ ا (J .# أي)أو ا9(اغ (< .; یD أي خص> ه<س

o <6 ا<س .، و ; ه<س> ب مدةادة ه) ا) ت&

: & ا8ازي

4یJ) ا<س ا] :<XI! 6ا9(وضم .I. واح ی:ازي ا#I. ی6G رس. م#I . ; م#

. ا9(وض ; م#مJ :<XI! 6) ا<س ا@:I. ی:ازي ا#I. ی6G رس. أآ`( م6 م#I .

. ا9(وضمJ :<XI! 6) ا<س اe:یI. ی:ازي ا#I. ; ی6G رس. م#I . ; م#

ا 44 ل اج ا

اrF*89م ا -, ا

Z4أو ا(اص (ا(ا Íحأو ا )c>م6 ا# ) ا <ت J) ا<#> ه: رة 6 م,:> ; م<ه

إذن ی,Z إزا> ا%:ر . آ<>م:ز> J) اe9ء، مMام<ت مC ب&6e، و آÎL ب<#> ا اخ(ى س

س"س ب6 أصXح م6 ا]ا Iا7هة"و " ا. "

Oل ثب:Xو ه@ا ا ،<IXم <Z سآ6 آe4 ؟ !&.، :ل<هL ه<ك :ل و زمن مJ ®X) ا<#

Lمب<#> ا آ)Z4ما (J <X C) .Lآ : (>&یZ4ا)م ZeIت:ل ا <X ا::د

Z سآ6e4 م(&، ا (J C (J ل م#وي:Xوا إن ه@ا ا: ،ZeIس :ل اIث. 4م:ا ب ،

Cب<#> ا ا#ت. ا(ا D@آ .

ا 45 ل اج ا

+ت8 ت 8ر

Mج ه@0 ا(واب !I:م &6، ]حاثت م(6 إه) رة 6 رواب ت(ب بت:یت :ر!>س

> 1xم:ر بوران Iب α) 1ب<#> ا ا:ر) درx4%9 ب:ازات ا وx 1 وx . ه@ا (J

. ثبOاحاث) آ@D م(آM ، ثبن3x و 2x ا:راناوران

cos sin1 1 4sin cos4 1 4

2 2

3 3

x x x

x x x

x x

x x

α α

α α

= +

= − +

= =

Iی)X6 ب&ل <J (G#J:G) ه@0 اX(یI> ت<#Z ا م>ان !##! t C)ا (J حدث Lزمن آ S

Hه) ب 4xحاث خ ict= Xه@0 ا(اب (J 1i = ب@ا ) x¸y¸z(حاثت اe9ء و ت% إ−

LG7ا:

1x x=2 وy x= 3 وz x= 4 وict x=

:إذن ی6G آب> م&د;ت اوران ب@ا اLG7. حاثترب&> إأ@D ي حدث ه<ك

cos sinsin cos

x x ict

ict x ict

y y

z z

α αα α

= += − +

==

C)ا (J >ه@0 ا&د 6 ص9 سآ)&تS )دیIم C :م&د> ه@0 ا%9 ه) t و ,

0ax by cz d+ + + =

O

ا 46 ل اج ا

C)ا (J <9%م&د> ه@0 اS 6م = Lآ (J tب LG7ا ا@:

( cos ) sin 0a x by cz d ictaα α+ + + + =

0aإذا آن b d= = ه) Sم&د> ه@0 اJ 9%) ا(yx O Cاث) ح J@ا سX ص9> ا]=

0a إذا آن xyO ه@ا ه: سX اz 9%= 0ا9% b d= = و X#J < Oxy ا9%=

C)ا (J :) هSم&د

tanx ict α= −

tanict و بIار xyO@0 ه) ص9> م:ازی %9 ه α− اد ا:ر .xO ت. ا!J I) أم

_ م6 ه@ا ان م&د;ت :ر!M ه) ح> خص> >#!

Iل ا(Cأ!ت, مS ، 6ا(C حاثت إم6 ! S

(J اد ا:رtanictب9ص> و xOأم α− Lآ (J

<=t.

Iل أإذا آ!O س(> ! C)اSC)ب<# ا ا

S ت#وي uإذن :

tanu ic α= −

_>>αن اMاوی أم6 ه@0 ا&د> !#Y)J <و زاوی I :حاث) إذنل ا]ت(ت ب#(> أ!

tan iu

cα =

م6 ب& ا:یت2

1cos

1 tanα

α

=

+ : ا``ت !%L ا

-ict tanα

ا 47 ل اج ا

2

2

2

2

1cos1

sin1

u

c

iuc

u

c

α

α

=−

=−

!Ce ه@0 ا(واب J) ا&د;ت

cos sinsin cos

x x ict

ict x ict

y y

z z

α αα α

= += − +

==

:یت :ر!M ه) , ا< :ا<

2

2

2

2

2

1

1

x utx

u

c

y y

z z

uxt

ctu

c

−=−

==

−=

−

<4 O!إذا آu ب<#> ا cة)Vی ص)Iا ت% ه@0 ا&د;ت ت :

t

x x ut

y y

z z

t

= −===

(ب Gه@0 ا,:> م6 ا&د;ت ت&(ف ب:;ت :، و ی#&ن ب J) ا9Mیء اGس

69 6 . ح:ادث و وC4 حدثن (&6 م GttتX(ح ا(ابJ X) ا9Mیء اGس = Dو ذ

،< . ن اMمن J) اe9ء اGسG) مX®! بی

ا 48 ل اج ا

:أه :s ت8 ت 8ر+

, او 2ش ا'8لإ :ا<

> ا(آ تI ,#.، ب< أب&د ا,#. ا&:دی>!Gش اX:ل J) > ح(آ> اإیث

)Vبون ت.

e4 9(ض!ZZر ا ص:x م6 ا ، C)6ا#آS، إ!ZeI6 ه@ا ا (J 1x x= و

2x x=ل ه@ا ا: ZeI C)ا (J S:ه :

2 1L x x= −

،M6 ه@ا،J t) => إس<دا ت:یت :ر!J) ZeIا C)ا (J S ه (J1x x= و

2x x=(6 هZ ب6 ه@ی6 ا(&eI6 اJ) ت : ، ا(ابX> ب6 إحاث

11 2

21

x utx

u

c

−=−

1 و 1 2

21

x utx

u

c

−=−

Z:ل اeI C)ا (J S :2 ه 1L x x= : إذن−

2

21 uL L

c= × −

Mی إJ ات)Vت <,! B ا,Mیت آ ه: ال J) ا]!Iض و !Gش اX:ل ه@ا ه:

( ا(ابX>!#ط ا(ا]Vت <,Z ب6 :ل ااري، وإ! ه: !eIس اIا <) یIس ب و وس

Z اIس ب#X( 6 :ل ا رةL. اX:لeIه) سآ<ة < >Z، بeI #>ب L ل:

)X#س بIا ZeIسآ<>ا O#Z ب<#> ة ه) eIس . @ا ا6 6 س> Lآ@D ت. 4>V م#

4 >س اMم6، بI سLZeIا (J) س . ی#Mم س> Mام4 6Gآ J) ا9Mیء اGس

ا 49 ل اج ا

سن ذىه@ان اI،م#وی ,! < ,#.، 6G أتe ان حQ آن ا%:ر بNن اX:ل ه: ص9> ذات

.بNن اX:ل ی&(ف بX(یI> ا) ی. ب 4س

, ا`! ا+إتع :ا<

J) ذD ا(C، اMمJ 6) تD ا#> ه: (اZ4 (C سآ<> ب<#> إذا آ!O ا#> J) م

ب<#> @ا ا(اZ4 ب<#> vاس(ع، و إذا آ!O ا#> ذات س(> (اNJ Z4ن اMم6 س

ب<#> 2

12v

c−.

6 ه@یC) S ,6سآ<> ب<#>ب#> س 4 ت. J S) ا(C ن ه دث2t و 1tزم<

6 اIس>إذن إس<دا . 2t و 1t ه v ا(ك ب#(> J S) ا(C ب#> اMم<6 @0 ادث

M :ت:یت :ر!

11 2

21

tt

v

c

=−

2 و 2 2

21

tt

v

c

=−

( )2

1 2 1 2 21 vt t t t

c− = − −

2

21 vt t

c∆ = ∆ −

ا 50 ل اج ا

, ا`` : ا< ا !u ا

یء م6 ا9uM) ب<# XIر(م#J( داخL اXIر و س(> u إذا آ!O س(> X4ر ب<# £رض

س(> ا#J( ب<# £رض G : ه)vاGس

v u u= +

M م6 ت:یت :ر!

2

2

22

2

2

2

1

)1

1

(

x utx ut

u

cu

uxct

ct cu

c

u ux ut u t x x t

uu

− = = −

⇒ ⇒ =− +

= −

+− = −

,> ا<> م6 ت:یت :ر!Mه) :ا<

21c

u ux t

uu=

+

+

£رض ه) ا#J( ب<#> ا) یXI& ه@ا، إذن ا9صvإذا آ!O س(> ا#J( ب<# £رض

tv = xإذن :

21c

u uv

uu=

+

+

:Y تe>ب )J#ر و س(> اXIس(> ا >u (إذا أس u c= J#( ا<# @ی6 )=

; L أن س(> اe:ء س(> مIX>ا%ری6 تI !9# س(> اe:ء، و ه@ا أح ا;

C) Ce ت،<I . 6 س(> م%ر اe:ء أي س(> اe:ء م#

ا 51 ل اج ا

اhص دv ا

< : ا ص ا(ابXأه. روابJ <X) دی<مD ا<#

2

21

mm

u

c

°=−

Xه@0 ا(اب (Jomن:G#ا < أو آG اGسG) اJ X&ا Cم(S، و m (J ا<#Gا

C)اS<Gو س(> ا,#. ذو ا m C) #>ب S (ه u.

<D ا<:ت<) ه))kinetic energy(ا4X> ا(آ!GشLV 4:ة خر> :ص:ل ا#)> م(J : 6 ا

( ا#F <J و اI:ة Kإذا آ!O ا4X> ا(آ> . uا%9( ا Vو ت dxإذن :

1 2

20 0 0 0

u u u udu dxK Fdx m dx m du m udu m u

dt dt= = = = =∫ ∫ ∫ ∫° ° ° °

)Vت Cم <Gا )VD ا<#> ت!G( مC ا#(>، ب< J) مV> ; تGت<) ا:D ا<!GJ) ا

:@D ا4X> ا(آ> J) ا<#> ا ص> ه). ا#(>

2

0 0 0 0 0( ) ( ) ( ) ( )

u u uu ud dxK Fdx mu dx d mu mdu udm u mudu u dm

dt dt= = = = + = +∫ ∫ ∫ ∫ ∫

<Xه@ ا(اب (Jm و u(ات و ا(ابX> بV :<6 ه) م

2

21

mm

u

c

°=−

L%! <Xم6 ه@0 ا(اب:

ا 52 ل اج ا

2 2 2 2 2 22

21

mm m c m u m c

u

c

°°= ⇒ − =

−

Y9ه@0 م6 ت L ،<Xوتا(اب#I 2mا L%! :

2 2 2 2 22 2 2 0mc dm m udu mu dm mudu u dm c dm− − = ⇒ + =

:اX(ف ای#( J) ه@0 ا(ابX> ه: !9# تO اGمL إذن

2 2 2 2

0

u m

m

mK c dm c dm c m c−

°

= = =∫ ∫ °

2Eب أن mc= رة@ <G4> اXاD@:

2E m c K+= °

2m c° <ح (J ن ذرة:Gن، أي 4> س:G#0 ه) 4> اu 0K و = = .

<4Xوى ا#1ا<#> J) ح> ا(آ> ا<:ت<> و تu

c<<Dو ذ :

2 2 2 2 2(

2 21 12 2

11)

u u

c c

mm

K c m c K c m c K m c− ⇒ − ⇒

− −

−°= = =° ° °

:ب أن

ا 53 ل اج ا

2 4 2(

21 2

1 1 3 11) 1 ( ) ( ) 1 ( )

2 8 2u

c

u u u

c c c−

− + + + ⋅⋅⋅− ≈ =

D@:

22 21 1( )

2 2u

cK m c K m u× ⇒= =° °

>، بNن ا<=(ی> ا<#> ه) ح ا<=Yا(ی <,ج ه@0 ا<>(ی> ا<:ت<> م6 ه@0 ا&د> ی6G إس

. <م ت#& ا#(> !: س(> اe:ء

ا 54 ل اج ا

ا 55 ل اج ا

∫

∫

Universe d Earth = Human Being

Atom

Galaxy

=

d

ا 56 ل اج ا

ا 57 ل اج ا

ا'8ح اورا

<# و J. !=(ی> ا<#> ا&م> ;ب م6 مX&> ا#X:ح ا(ی!> و ا# ا&ت ا#ب

<#:ری>ب ی<ول ا<#> . اG C#و ; ی O4و ZXمX&> ا#X:ح ا(ی!> بLG :ا! ی#

Y:ل ش(ح و ت6 م6 خG ،<م&. ا<س> و ا&م B 6Gر ی:#>ال ا#ب> ا

(J !#ا#X:ح ا(ی!>، حQ بأ! ب#X:ح ه<س> م<=> ی6G ت%:ره و # وه@ا س

. ت&. م9:م ا]!<ء و اI:س و !I م6 ه@0 ا#X:ح ا<س> ا#X> ا اe9ء ا(ب) اب&د

<X> و ه@0 ا#X:ح ا#Y9ه) سX:ح ه) ا#X:ح اورا!> و ه) أح أه. محQ ا<س> ا

> ی6G ت&6 و مس> . 4يثث> اب&د eJ (Jء إY9م6 خل م9ه. و e4ی ا<س> ا

آ@D مس> ( ا<<ت ا:ا4&> ه@0 ا#X:ح شIق م&د;ت :دی#>ا#X:ح، و إإ!<ء ه@0

م6 أه. م9ه. و )ی&( ا]!<ء و ا,:دی#). #ح>Iدی( ا<س> آX:ل، و ا,.، و اس( ا

Ce ت <> و إ! خX:ط م<<Iأدوات ا<#> ا&م>، حQ ادة تI:س اe9ء م6 ث. ; خX:ط م#

6 م6 ه@ا اe9ء@ا اe9ء G: ) و ت ¤(XI! 6#O ه@0 ا. ن أJ )%4ص> ب <#X:ح اورا!

&د;ت و ا) س<@آ(ه ه) آL ا#X:ح، و إ! أ! < م6 ب6 ا#X:ح اورا!> م ه: أسJ L) ا

. است>V( م<=> و ا م<c(0 : أسVح ا:X#ه ب>< 6 ا#X:ح اورا!> و أس

ا<c( ا::د J) . أر اO!GQ ا&د;ت و است أ:ل و أI و رب (< م6

<#:ره@0 ا#X:ح ه) ثث> اب&د 6G . ا&د;ت ی# J) أخ%ر و ت# است ا

<> ی6G اس&!> ب]حاثت ا<<Y9 . ا@ات ب&انJ) ا<س> ا

<eJ (Jء رب) اب&د، و B ) ب&دأو آL سX ثث) ا(; یLI! 6G أو ت%:ر ا#X:ح اورا!

ت Yری .@0 اشGل أي دور J) !=(ی> ا<#>، و م و:ده ه< إ; 7(ح و ب# ب& م9ه

. ا<#> ا&م>، و ذD بس9دة م6 م&د;ت

ا 58 ل اج ا

. ه: ا#X ا<ت_ م6 دوران م<6 م#X ح:ل م:رSurface of revolutionا!) #X اوارا

: ه) X,Y,Zحاث) . ب@ا ه@ا ا<:ع م6 ا#X:ح إ ا) ی(ساا>

( ) cos

( ) sin

( )

x f

y f

z h

θ ϕ

θ ϕ

θ

=

=

=

L9اس LG7ا (J ا! !ت, م6 دوران:Xح:ل م:ر ه@0 اس .Iه@ا ا:ر ه: آ@x-x( ، D(م# .م:ر ت<X# )c ا<ت_ م6 ه@ا اوران

:!ذج م6 ا#X:ح اوارا!

0)Gا Sphere

cos cos

cos sin

sin

x R

y R

z R

θ φ

θ φθ

=

= =

ا 59 ل اج ا

LG7س#) ا Xس Catenoid

cosh cos2

cosh sin2

x R

y R

z

θφ

θφ

θ

=

=

=

Pseudosphereش آ(0

sin cos

sin sin

(cos ln tan )2

x R

y R

z R

θ φθ φ

φθ

=

= = +

(: Xس Helicoid

cos

sin2

x

y

z R

θ φθ φ

φ

=

=

=

ا 60 ل اج ا

سس ا'8حاص ا

ت ا<#> J) ه@ا اL%9 س<&(Yو ری <Y9 یش مC م9ه. ا<س> اYرت&(ی9 ری:#>ف ا

( J) ه@ا ا&(ی . ا&م>، و ا9:م ا9Mی) م#

i=1,2 اذا آن

1 21 2

i

ia b a b a b= +

1 21 2

ik k kia b a b a b= +

j=1,2اذا آن

1 21 2

ij i i

jk k kg g g g g g= +

22 11 21 12 2211 21 12 22

21

ij

ijji

ija b a b a b a b a b a bij

==

∑= = + + +∑

111 112 121 122 211 211 221 222111 112 121 122 211 211 221 222

2 2 2

1 1 1i j k

ijk ijka b a b a b a b a b a b a b a b a b a bijkijk = = == = + + + + + + +∑ ∑ ∑

ی6G تیL ا(وف1 2

1 2i j k

i j ka b a b a b a b a b= = = +

6 إiyو ix!9(ض أن XI! تeJ (J N Zء P و QحاثG! i i iz x y= − <Xه@0 ا(اب (J وiz

J 6) إحاث) خ(، إذا آ!O إiy و ix، إذا آ!QP Oحاثت ا,> إXI>ت ه@0 احاثت إحاث

,6 @0 ا,> ه)ب6 ه@ی6 ا]، ا)ابiz Xحاث( ا,ی J) ه@ا ا]QPه@0 ا :حاث

i ij jz a z=

ا 61 ل اج ا

: إذنiA و J) م(C خ( iAحاثت J) م(C إذا آ!O ا]،م&مN Lي م,:> ذات

.Aت %( ب(ف ب,> و iA ت&(ف

ن، ا&رة iB و iA <%(،إذا آ!2N Oي م,:> ذات ,i م iAB ت ای:,> ا!

:إحاث) خ( ه)

i i ik jl k lA B a a A B=

LG7ب@ا ا <Xب> ه@0 ا(اب :ی6G آ

ij ik jl klC a a C=

<Xر ه@0 ا(اب:#> ث!) rank(رت رة 6 إحاثت ت

ت :یت Y(ب ثث م, ث`رت ت<#:ر ijkD، یLG7 م&م3N Lي م,:> ذات

i j kAB C(ه Lی: :، رابX> ا

jmijk il kn lmnD a a a D=

ی,Z ا@آ( بNن ا,> رة 6 ت<#:ر رت أو، و ,> م6 أه> J) ا9Mیء و

)<#:را<س>، ی& . م6 أه. ا:سJ L) ا<س> و ا9Mیء ( و ح#ب ا

i ij iA a A=

ا 62 ل اج ا

&1 ا8ربG ال اض

_ ه@0 ا(واب آ@D ت<#:رم6 رت ت<#:رijB و ijAإذا آن آL م6 ! ، :ث!رت ث!

ij ijA B+ و ij ijA B−

<#:ر ، إذن Y(ب ت<#:ری6 م6 رت ث!، رة 6 م,تةرة 6 !ت_ Y(ب ه: ا

<#:ر م6 رت ث! J) ت<#:ر م6 رت ث`، رة 6 ت<#:ر رت ت<#:ر رت راب&، و Y(ب ت

,> Y(ب ت<#:ری6، رة 6 ت<#:ر در ه) م,:ع درت ه@ی6 . خم# و هG@اإذن !

<#:ری6 .ا

Z آ@D ب@0 ا%:رةی6 ت<#:رC أو Y(ب Gر، و ی:#> :آ 4< رة 6 ت

i i ijk jk jkC A B= ik و + i k

jjlm lmC A B=

<#:ر 6G آب ب@0 ا%:رةj و i م<c( ب<#> ا ijkAإذا آن اJ :

ijk jikA A=

<#:ر J) أي م(C خ( ه) <#:ر J) م(C م#وی> صJ ،)9&مL ه@ا اإذا آ!O آL م&مL ا

ت<#:ری6 م#وین ا(ت>، إذا آ!O م&م ا<c(ة م#وی> J) م(C، . ص9(آ@D ت#وي

<#:ری6 ه) م#وی> J) أي م(C خ( .J&مL ه@ی6 ا

<#:ر :ه@0 آ@D ب& ا(واب ا#ب> ا

( )2 jiii i ja b a b a b=

ا 63 ل اج ا

( ) j ji iij ija b c a b c=

n=1,2,3,…,n : اذا آن اe9ء !:!) اي

1 2 3 4 551 2 3 4

i nnia b a b a b a b a b a b a b= + + + + + +⋯

إشق اوال

4> دا> إ f(u1,u2)اذا آ!O اا I(انشV(ان آ@D رةu1,u2 ذات مV 6 دوال وه@ان ا

)V(0 م6 اV : ، اذنt م

2 2 22f fu u =

1 2 12f fu u =

1 1 11f fu u =

i=1,2 ,3اذا آن

1 2 3

1 2 3

idf f dui

idf f du f du f du f dui

=

= = + +

(ات شIق ب<#>ه@ا ی&<) إV(ات 3و2و1 V ه) و اا> x,y,z م` اذا آ!O ه@0 ا

f(x,y,z)اذن :

f f fdf dx dy dz

x y z

∂ ∂ ∂= + +

∂ ∂ ∂

<#:رJ) ح#ب ا× Mی(م V, >شIق ب@0 ا%µνσ ρΓ@ق ب<#>إ&<) ت0 وهI( شV ρ D@آ

Z هG@اتG: ,

µµ νσνσ ρ ρ

∂ΓΓ =∂

ا 64 ل اج ا

د آو2

D!آ(و : ر0 6 ت<#:ر ت&(ی9 هG@ا Kronecker Deltaد

)G!آ(و ب& رواب د

j k ki j iδ δ δ= و jk k

ij iδ δ δ= و ii j ja aδ k و = i i

kb bδ =

: آ8-`

k kij ji

Γ = Γ

1 ( )2jm ijk km ki

ij i j k

g ggg

x x x

∂ ∂∂Γ = + −∂ ∂ ∂

2 jk ijkijijk i k

g gg

uu u

∂ ∂∂Γ = + −∂∂ ∂

1

0ij j

ij iδ δ δ

= = =

if

if

i j=i j≠

11 1 11311 12 1422 2 21311 12 14

3 3 3 311 12 13 144 4 4411 12 1413

1 12321 22

2 221 223 321 224 421 22k

ij

ΓΓ Γ Γ ΓΓ Γ Γ

Γ Γ Γ Γ

Γ Γ ΓΓ

ΓΓ Γ Γ Γ Γ Γ

Γ Γ

Γ =

1 124

2 223 243 323 24

442423

1 1 1 131 32 33 342 2 2 231 32 33 343 3 3 331 32 33 344 4 4 431 32 33 34

141241

41

Γ Γ Γ Γ Γ

ΓΓ

Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ

Γ Γ Γ Γ

Γ

Γ

Γ

11 14342 4422 24342 44

3 3 3 342 43 44

4 4 4441 42 4443

ΓΓ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ

Γ Γ ΓΓ

ا 65 ل اج ا

z'& ا2` اسس, اول

ا!>بأ م6 ا#X:ح اوارأدخJ L) :م> ا:Y:ع بL أ;

X#ه) !9(ض ان ا :دورا!) و م&د

( ) cos

( ) sin

( )

x f u v

y f u v

z h u

=

=

=

2اول #X ه: اسس) اLG7ه<س ji

ijds g du du= (ه D@و آ V. ا&:م #X:حا%

0مC ا&. أن J) ا#X:ح اورا!12 21g g= =

6M ب م&د> ا#J u (J X) ه@0 ا(ابX و uی,Z ا2 1 1 1 2 2 1 2 2

11 12 21 22ds g du du g du du g du du g du du= + + +

J) ه@0 ا(ابX ی6G آب>

1

2

du du

du dv

=

=

(ان ه< IJ أث<ن، V . ب&< أس2و 1 B ه< ن ا

:#X اوارا!)

( ) ( )

( )

2 2

11

12 21

2

22

' '

0

g f h

g g

g f

= +

= =

=

:مMة اLG7 اسس) اول

( ) ( ) ( )2 22 ' '11 12

21 22

g gg f f h

g g= = +

ا 66 ل اج ا

: ب& ام`ه@0

2 ا

cos cos

cos sin

sin

x R

y R

z R

θ φ

θ φθ

=

= =

2 2 2 2 2 2cosds R d R dθ θ φ= +

2 ش ا

sin cos

sin sin

(cos ln tan )2

x R

y R

z R

θ ϕθ ϕ

ϕθ

=

= = +

2 2 2 2 2 2 2cot sinds R d R dθ θ θ φ= +

D@آ <X6 مس> ه@0 ا(ابGح اواری:X#4) ا< .ا!

z'& ,\ ا2` اسس, ا

X#ji ه: ب@0 ا%:رة ه<س اLG7 اسس) ا`!)

ijII b du du= و ه: رة 6 إ!(اف

. ا#X>ا#X 6 ا%9> اس

: #X اورا!) آ ذآ(! ه)ا&د> ا&م>

( ) cos

( ) sin

( )

x f u v

y f u v

z h u

=

=

=

X# (!`اسس) ا LG7ا Lم&م :

ا 67 ل اج ا

' '' ' ''

11 '2 '2

012 21

'

22 '2 '2

f h h fb

f h

b b

f hb

f h

−=

+

= =

=

+

:LG7 اسس) ا`!)مMة ا

11 12

21 22

b bb

b b=

X# (!`اسس) ا LG7 `ب& ام:

2 ا

cos cos

cos sin

sin

x R

y R

z R

θ ϕ

θ ϕθ

=

= =

2 2 2cosII Rd R dθ θ φ= +

2 ش ا

sin cos

sin sin

(cos ln tan )2

x R

y R

z R

θ ϕθ ϕ

ϕθ

=

= = +

2 2cot sin cosII R d R dθ φ θ θ φ= − +

ا 68 ل اج ا

إء وس

ت ا<<إ!<ء وس J) ا]حاث، 6 مMةاLG7 اسس) ا`!)، ا مMة ی#وي ا<# ب

:اLG7 اسس) اول أي

( )( )

11 22 12

11 22 12

2

2

b b bbK

g g g g

−= =

− 11 22 12 21

11 22 12 21

b b b b bK

g g g g g

−= =−

11 1211 2 12 1 22 1

1 s sr s r s

r r sK gg u u

∂Γ ∂Γ= − + Γ Γ −Γ Γ

∂ ∂

.راL%J C ام`

: وس ا2إء

2 2

4 2 2

cos 1cos

RK

R R

θθ

= =

: وس ش ا2إء

2 2

4 2 2

cos 1cos

RK

R R

θθ

−= = −

-, ااثت ا2رت+*[ :ا

2 2 2

0

00

1

ds dx dy

II

K

= +

=

= =

:وس #X:ح اورا!> ه:إ!<ء

2

2 2 2

( ) cos

( )sin( )

( )

x f u vh f f h h

y f u v Kf f h

z h u

= ′ ′′ ′ ′ ′′− +

= ⇒ = ′ ′+=

ا 69 ل اج ا

,! : Z:ی م:e ا#X:ح ا@، و)م زا)ا]!<ء اVوس( ) ا#X:ح ا:

Z4¤(س! . ص9(يم#:سX و ) م

سX:ح ذات إ!<ء م:Z م<ه)، و سX:ح ذات إ!<ء :ل اIص( أو ا,:دی#)

; Zه)س> .م

ن #> ا&= و ا%)Vى × ه 2k و principal curvature( 1k(ا]!<ن ا(Iء ا>!

(c>ا)normal curvature (Xس (J <XI! > .[ا<XI>ه@0 ا (J (وسVء ا>! Lی#وي حص

:!<ن أيY(ب ه@ان ا]

1 2K k k=

ن مC ه@ا ا#J X) م6 تCI ص9ن م&مت < أي !XI> سX، إ!<ء ا<<ن اصن

.2k و 1kتD ا<XI> ه

LG7ه@ا ا (J()#ا :

0 <1k(:@ه

0 >2kJGم

X#إذن إ!<ء ه@ا ا

0 < K

http://en.wikipedia.org/wiki/Principal_curvature: م%ر ه@0 ا%:رة

ا 70 ل اج ا

: آ8-`

2 jk ijkijijk i k

g gg

uu u

∂ ∂∂Γ = + −∂∂ ∂

1 ( )2

jm ijk km kiij i j k

g ggg

x x x

∂ ∂∂Γ = + −∂ ∂ ∂

J 012) ح> 21g g= =

11 11 1111111 1 1 11

21 12 1111121 1 1 22

21 22 2212221 2 1 12

12 11 1121112 1 2 21

22 1121122 1 2

1 1( )2 2

1 1( )2 2

1 1( )2 2

1 1( )2 2

1 (2

ggg g

u u uu

gg g g

u u uu

gg g g

u u uu

gg g g

u u uu

gg g

u u

∂∂ ∂ ∂Γ = + − = +

∂ ∂ ∂∂∂∂ ∂ ∂

Γ = + − = +∂ ∂ ∂∂

∂∂ ∂ ∂Γ = + − = −

∂ ∂ ∂∂∂∂ ∂ ∂

Γ = + − = −∂ ∂ ∂∂

∂∂ ∂Γ = + −

∂ ∂22

2 1

22 22 2222222 2 2 22

1) 2

1 1( )2 2

g

u u

gg g g

u u uu

∂= +

∂ ∂∂∂ ∂ ∂

Γ = + − = +∂ ∂ ∂∂

11ب أن 22 12 21g g g g g= −D@ :

11 22

11

22 11

22

12 21 12 211212 21

1

1

0 0 0

gg

g g

gg

g g

g gg

g g g g gg

= =

= =

= = − ⇒ = = ∧ ≠ ⇒ = =

11 2111 21

12 2212 22

1g gg g

g gg g

=

−

ا 71 ل اج ا

1 ( )2

sj jki i is sksjk kj jk

gg gg

uuuΓ = Γ = + −

∂∂∂

1 1111 1

11

2 1111 2

22

1 1112 2

11

2 2212 1

22

1 2222 1

11

2 2222 2

22

12

12

12

12

12

12

g

g x

g

g x

g

g x

g

g x

g

g x

g

g x

∂Γ =

∂

∂Γ = −

∂

∂Γ =

∂

∂Γ =

∂

∂Γ = −

∂

∂Γ =

∂

z' ا

1 2A gdu duΩ

= ∫∫

م#ح> اG(0:\ل

1 2

4 2

22 2 22

0 0

cos

cos cos 2

A gdu du

g R

A R d d R d d Rπ

π

θ

θ θ ϕ θ θ ϕ π

Ω

=

=

= = =

∫∫

∫∫ ∫ ∫

, >8ل 8Fس

6XI! 6 , t=b t=a:ل 4:س م<<) ب

bi j

ija

s g du du= ∫

e2 ! إم6 ه@0 ا(ابX ی jiijds g du du= D@:

( ) ( )2 22 1 1 2 211 12 222ds g du g du du g du= + +

ا 72 ل اج ا

اء ا^8د,

XI>ا L`م X#وا4& ا <XI! (J (eJ Xس س:Iتp 0,إت (J , ، ر0 6 م

X#ه@ا ا .Iل ه@0 ا. ا:<XI>ا Dت (J 6>ه: إ!<ءا ,.

ه) IJا]!<ء ا <,، مIJ6، :دی و أ,ت,M> م,> ا]!<ء <6 سX ا م

gkم,> ا]!<ء ا,:دی#)

2

2

jk ik

g nij

d u du dur

ds dsdsk

= + Γ

:م<6 سX ی#وي إ!<ء :دی#)

1 2

2 1 2 21 2

2 2

g i j i j

ij ij

du du

ds dsgd u du du d u du du

ds ds ds ds ds ds

k =

+ Γ + Γ

ا 73 ل اج ا

ا^8د,

6 ،م#ر :دس)ة أخ(ى خ أو م<6 مIص( أو ب&رXI! 6ه: رة 6 م#( أJ )%4ص> ب

( خ(، . سX أو J) اe9ء&إ!<ء ، بQ)أو J) اe9ء (ه: م<6 سXو ب

: أي. ی#وي ص9()أو J) اe9ء ( ا#X ا<<) ه@ا@ا ا,:دی#)

2

2 0jk i

kij

d u du du

ds dsds+ Γ =

( ا<6 ی%ق J) ه@0 ا(ابJsX) ه@0 ا&د V : م

1ji

ij

dx dxg

ds ds=

.اX(ف ایJ 6) ه@ا ا#وي ه: مIار ثبO و 4 أخ(!0 ه< واح

ه) J) ا%9 أو ا,:دی#)ا<<ت اIص(0 -I : و ذD ]نخX:ط م#

. Lا%9 م#وی ص9(آ (J LJ: : @ا ،آ(ی#

2

2 0kd u

ds=

:اب ه@0 ا&د ا] I4> رة 6 خX:ط م#I . ش

. اG(0 ه) دوا( <<ت اIص(0 أو ا,:دی#)ا -

ا 74 ل اج ا

ا رضت ا

O!إذا آ( , , )x y z و ( , , )x dx y dy z dz+ + ن م,ورتن J) إحاث) آرتMی>، و +XI! ت إحاث

( , , )u v w و ( , , )u du v dv w dw+ + J 6) إحاث) م<6، ا:یت ب6 ه@ی6 +XI>ت ه@0 ا إحاث

6 ه) :ا]حاث

( , , )x x u v w= و ( , , )y y u v w= و ( , , )z z u v w=

:إذن

x x xdx du dv dw

u v w

∂ ∂ ∂= + +∂ ∂ ∂

y y ydy du dv dw

u v w

∂ ∂ ∂= + +∂ ∂ ∂

z z zdz du dv dw

u v w

∂ ∂ ∂= + +∂ ∂ ∂

O!2إذا آds6 إذنXI>6 ا : ا9ص> ب6 هت

2 2 22 dy dzds dx + +=

>&Yإذا وdx و dy و dzه@0 ا(اب (J L%! <X:

2 2 22 2 2 2Bdv Cdw Fdvdw Gdwdu Hdudvds Adu + + + + +=

(ات C و B و A &مLاV) و (ه ه) دوال م , , )u v w.ب@0 ا%:رة <Xه@0 ا(اب ZG! :

2 jiijds g dx dx=

(ات J Dijg) ه@0 ا(ابX> آ@Vی&(ف اX(ف ای6 م6 ه@0 ا(ابX>، ب(ی> . jx و ix دوال م

. eJء رین

ا 75 ل اج ا

م(C خ( حاثت ه@0 ا<J <XI) إJ ix) م(C مeJ 6ء !:!)، و Pحاثت !XI> إix!9(ض أن

:حاثت ه@ی6 ا(&6 ب@0 ا(ابX>م6 ه@ا اe9ء، ت(ت إ1 2( , ,..., )i i nx x x x x=

حاثت ه@0 ا<J <XI) ه@ی6 ا(&6 إ′P!9(ض أن ب,ورة ه@0 ا<XI> ه<ك !XI> أخ(ى ه)

)iتZ ه) ب idx x+ و i i

dx x+Q : ب

iji

j

xdx dx

x∂=∂

(: ت&(یV> ت%ق ه@0 ا(ابX> ه) م,> م 9> I :أي).contra variant(أي م,> أ!

iji

jA

xA

x∂=∂

( ی6G ت&(ی9V XI! (J> واحة م6 اe9ء، HJذا (J< ه@0 ا,> J) أي آL م,> م 9>

QXI!i> م6 اe9ء، بA 6م Cه) ت:اب ix0@ه (J م (, ا> ی6G اI:ل ب::د حLI م

( J) ه@0 ا<ح> م6 اe9ءV.

4 )V> ا) ; تGا )V( ا)اC ه( ; مVت Cم)invariant ( (!:! ءeJ (J و م&د

:ه)

A A=

(A; ت(ت VD@ ) ی6G ت&)ی(J 9 أي !XI> م6 اe9ء، إذن ه( حLI ;مV . بNي م

<,( ،ه<ك م,> أخ(ى ت&(ف بViB )إذا آ!covariant .( O(م:اIJ> اV <IJم:ا <, م

:إذن

i

i jj

xB B

x∂=∂

ا 76 ل اج ا

L) ی,Z ا(J <4 وCY اV J) أ أو )index(J) آب> رواب ا,ت ا:اIJ> و ا 9>

(، ب< idx!@آ( بNن . أسL9 ا(فVحاثت #O إ ب9(ده ه) ix رة 6 م,> م 9>

<,Z ا]. مG! D@ ت ب%:رة، :ix 6 Yحاثix .

<#:ر، إذا آ!O ا(، J) ح> iB و iAن !&. !=(ی> ا,ت L7 اVن م 9ن , م

2N <Xا(اب ،Lم&م i iA BLG7ب@ا ا ( و م&دV : رة 6 ت<#:ر م

i jk l

k l

x xi iA B A Bx x

∂ ∂=∂ ∂

O!إذا آiA و )V(، J) ح> م,> م:jB م,> م 9> V <IJ2اN <Xا(اب ،Lم&م ijA B

LG7ب@ا ا :ه) ت<#:ر م و م&د

i lk

j lk j

x xiA B A Bx x

=∂ ∂∂ ∂

<#:ر iاjkA (، ش(یX> أن ی%ق ث`رت ، ه: ت<#:ر م V ذو خص> م:اIJ> و م 9> ا

:ا(ابJ<X) ه@0

i s ti r

stjk r j k

x x xA A

x x x=

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂

( ه)iA إذا آن :\لV <IJا:ا : م,>، إحاث

ijig j iA A A= =

_>(ا,>م اخف ب6 : م6 ه@ا ا`ل !#V . ا:اIJ> و ا 9>

ا 77 ل اج ا

<Xا(اب O!2إذا آ jids g dx dxij

= 66 م,ورتXI! 6 أيأو J) اe9ء، J@0 ) سX( ب

. ا(ابX> ه) م(ی> ه@ا اe9ء

(، آ@2ds Dب أن Vjidx ; م dx D@ ، )c>g رة 6 ت<#:ر مij

رة 6 ت<#:ر

V ®Jم:ا)c><#:ر ه: . ( و آ@D م(، @ا اV<#:ر ا <#:ر ijgا، و:د ه@ا ا

:م7(وط بNن

0g gij

= ≠

XI! (J ،)> م6 اe9ء، إذنjA!9(ض Vjg: م,> م 9> Aij

( !(مM ه)V <IJم:ا <, م

Ai

: أي

jA g Ai ij

=

iA و iAL&,>، ب<#> ا ا(C ا# )V . ه6 ا&مL ا:اIJ> و ا 9> ا

9> !LI اL مJ 6:ق:\ل : و م6 اسL9 آ

k i k ij kjk

ij ijg A g g A A Aδ= = =

i irjk kjr

A g A=

si

sjri ri rsg g g g gij

δ ==

2 jiA g A Aij

=

ا 78 ل اج ا

ل ا8ازي ا

شIق إk

ki i

xA A

x∂=∂

: ه:jx ب<#> ا

2k l ki k

kj i j l i j

A x x A xA

x x x x x x+∂ ∂ ∂ ∂ ∂=

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

iو:د ا(ابX> ا`!> دL أن j

Ax

∂∂

i أن ه) م,>، idx :Jب أن . ه) #O ت<#:رj

Ax

∂∂

) LG7ه@0 ا&رة ب@ا ا ZGت D@آ,i jA (ا Oر ص:#>ji (ابX>آ!O تi j

AdA dx

x∂=∂

رة

6 ب9:م ا!Iل ا:ازي. 6 م,>، أو م&د> ت<#:ری>&#! <Gه@0 اش L.

<,!<LI اiA <XI>م6 ا P(ت,وره ه <XI! ا P′<,( :ل و > اVت . دون تإحاث

,> ب& ا!Iل ه) #O آHحاثت L4 ا]!Iل، إحاثت ه@0 ا,> ب& ا]!Iل ه) أي م

i iA Aδ+ <XI>ا (J (,i ه) ′P و إحاثت اLI ا iA dA+ . <XI> 6,ب أن ه@0 ا

,>، ا,> واحة J) اe9ء، >J e&6 م6 ب,iإذا !I%< ه@0 ا idA Aδ− إذن:

;j

i i i jdA A A dxδ− =

>i,إس jA <Xب(اب ;i jA ب أن jdx 0@ف ای#( م6 ه)Xا D@و آ ،<,ا(ابX> م,> م

_ بNن >#!;i jAر:#>M ب6 ( ه) تشIق ب@0 اX(یI> تG< م6 ت&(ی ا]).; و ,ی,Z ا

<#:ر .ا

O!إذا آiA <XI>ا (J <, إحاثت حLI م,) iB و ′P تO أ!Iل م:ازي ا ا<P <XI م

:حاث) J) ه@0 ا> م6 ا]Yب<#> :ر j

i ji

yA B

x

∂=∂

و j

i ji

xB A

y=

∂∂

ا 79 ل اج ا

<,ا]!Iل ا:ازي iA )Vك أي ت)iB D@ 0Bδ ; ی (ات ( =VتB)9ت#وي ص (

: م6 ه@ا

( ) ( )j j

i j i ji i

y yA B A B

x xδ δ δ δ∂ ∂= ⇒ =

∂ ∂

2 jk

i ji kdx

yA B

x xδ ∂=

∂ ∂

ب أن j

i ji

xB A

y=

∂∂

D@ :

2 j lk

i i li kdx

y xA A

yx xδ ∂ ∂=

∂∂ ∂

LG7ب@ا ا <Xه@0 ا(اب ZGر ت% :£خ

2 j llik ii k

y x

yx x=

∂ ∂Γ∂∂ ∂

LJ: .ت&(ف ه@0 ا(ابX> ب&. آ(ی#

:إذن

l ki ik ldxA Aδ = Γ

(ه@0 ا&د>، ه) م&د> إVIل م:ازي م,> م:اIJ> ا!.

( ه)،!Iل م:ازيآ@D م&د> إV : م,> م 9> ا

jk k i

ijB dxBδ = −Γ

ا 80 ل اج ا

8-` آ–رن إء ت8ر

<, eJ (Jء إ4ي أو ( إ4ي، و ت<LI بLG7 م:ازي C وا4&> ا<<) iA!9(ض أن ا

( إحاثت ه@0 ا,> ح6 ح(آ ح:ل ا<6، إذا آ!O ه@0 Vدورة آم> ح:ل ه@ا ا<<)، ت

(ات ه) V)ات ورة آم> . Hذن ه( ; ت#وي صiA∆J )9اV!6 ب%د مس> 4> ه@0 ا

<,iA )Vم<6 ص . P م(آ0M ا<C <XI م

i و jAی,Z ت&6 آL م6 jkΓ <XI>ا (J U .&ا Cإن م . <4iξا 4 .

Zی)Iأول تijkΓ :شIق ه:> ت:ر J) ح#ب اGمL و ا] م6 خل م

ijki i

jk ixξ+

∂ΓΓ

∂

<, :رة 6 ه: U ا ا<P <XI م6 ا<jA <XIا]!Iل ا:ازي

j j r lrlA A ξ−Γ

<XI>ت ا U!9(ض أن إحاث

i:ه) ix ξ+

<XI! و V م,ورة ا U ت إحاث

i:ه) i ix dξ ξ++

<, ا U م6 ا<iA <XI < إ!Iل ا

<XI>اV )V Jن إحاثت ه@0 ا,> ت

<X0 ا(اب@ I:

ji i kjkA A dδ ξ= −Γ

I

II

III

ا 81 ل اج ا

6 آL م6 j و rA و JjA) ه@0 ا(ابX> ی,Z ت&rlΓ <XI>ا (J P.

: !%J I L) ا(ابIII <X و Ce!II آL م6

( )l k

ijkj j ji i i r

jk jk rlldA A A A

xξ ξδ +

−

∂Γ= − Γ Γ Γ

∂

.CبX> ح:ل ا<6 تGمL ه@0 ا(ا

( )ijkj ji i i rk l k

jk rk jl lA A d A d

xc cξ ξ ξ

∂Γ∆ = −Γ + Γ Γ −∫ ∫∂

L : ی#CZXاGمL ح:ل ا<<) . J) ا&رة او داخL اI:سr6 و 4j< بیL ا

0kdc

ξ =∫

l k k ld dc cξ ξ ξ ξ= −∫ ∫

6 ب@ا ا&(ی&#!:

1(

2)kl l kl k dd

cα ξξ ξ ξ= −∫

L%!:

( )ijk ji i r kl

rk jl lA A

xα

∂Γ∆ = Γ Γ −

∂

(9G! ا<=( 6 إثت و V! <e4 ه<ك <Gه@0 اش L ،ر:#>6 #O تا&رة داخL اI:س

L> إسال ا!Gب %:ص ه@0 ا#> و ه) إم , : إذنl و kب<

( )ijl ji i r lk

rl jk kA A

xα

∂Γ∆ = Γ Γ −

∂

ا 82 ل اج ا

Xب ه@0 ا(اب#6 اخ(ت6 و إحXا(اب C 6م <kl lkα α= − L%! :

1

2)(

i ijl jk ji i r i r lk

rk jl rl jk k lA A

x xα− + −

∂Γ ∂Γ∆ = − Γ Γ Γ Γ

∂ ∂

)c> إذن l و skew-symmetric ( L;k( ان أصO ا&رة داخL اI:س6 ت 9> ا

<Xا(اب:

)(i ijl jk ji r i r

rk jl rl jk k lA

x x− + −

∂Γ ∂ΓΓ Γ Γ Γ

∂ ∂

: بZ jAQ ه) ت<#:ر،ث. !<

i ijl jki i r i r

jkl rk jl rl jk k lB

x x− += −

∂Γ ∂ΓΓ Γ Γ Γ

∂ ∂

<#:ر إ!<ء رین . آ(ی#:LJ–ه@0 ا(ابX> ت<#:ر، و ت&(ف ب

<#:ر ¤ اIم6 تijklB ، ب<#> اi و l (7 : أيL%! jkR ت<#:ر ری

i

jk jkiR B=

ا 83 ل اج ا

ا :بG أه دWت ا

LG7ی> ب@ا ا) :أه. م&د;ت ا<#> ا&م>

1ji

i j

gg

2 و = jiijds g dx dx=

:ه)

م#ر ا,:دی#)

1 : مC ا7(ط

ji

ij

dx dxg

ds ds=

2

2 0ji k

ijk

d x dx dx

ds dsds+ Γ =

رینت<#:ر

, ,s sR sj ijijk ik j ij k ik sk

µ µ µ µ µ= Γ − Γ + Γ Γ − Γ Γ

ij s sikR sj ijjijk ik skkx x

µµµ µ µ∂∂

= − + −∂ ∂

ΓΓΓ Γ Γ Γ

)ری7 ت<#:ر

kij ijkR R=

ji

i jR g R=

7ی6أ ت<#:ر!

12ijij ij

G R g R= −

12

ij ij ijG R g R= −

<#:رات ه) ب`ب> اLG ا&=) <=(ی> ا<#> ا&م>، و م6 خ ی6G ح#ب : ه@0 ا

.>!(اف اe:ء < م(ور0 4(ب آ> Y إ -

- Zاآ:Gا eح <XI! مIت.

!: اح( -Xیح اM!إ.

). سL ا`ل !:ذج J(یمن(ب<ء !:ذج ریY) G:ن -

ا 84 ل اج ا

ا -, :` ا و ا ا` >ح و

حاث) اG(وي أو اXI) أو ب J) !=م إحاث) م<سZ آ]ت&6 م(ی> اe9ء، و آ -

آ@D ت(Y) م<c(0 و ذD #:> است، واLeJ أن تG:ن ه@0 ا(ی>. اGرتMي

L4 ¤% ض ه@0 ا)J 6Gی ،J Qءا@ي !(ی اe9 <ا %¤ ا<س> و ا9Mی

(ات بأ اL أو J(ض Vم&مL ذات مI Lص:!Xا&د;ت و ا رواب Lب& ح

4> أو ا,(ی> اصا]I . ش

(ات ا(ی> -V و إذا آ!φ O و θ و r آ(وی> ی,Z ت&6 حاثت م` إذا آ!O ا]،ت&6 م

(ات و إذا آ!O ا]tرب> اب&د ت&6 ب& اMمن V و xحاثت آرتMی> ی,Z ت&6 ا

y و z و t@Gا]حا . و ه اب&د م` < : ب@0 ا%:رةاثت اG(وی رب

1

2

3

4

x r

x

x

x t

θφ

=

=

=

=

- L6 ا&مgت&ij

2 (ی> jiijds g dx dx= Dی> و ذ)X4 <ی) ، اLeJ أن تG:ن ا

.#:> است

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

11

22

33

44

g

g

g

g

- LJ:k ت&6 . آ(ی#ij

Γ)9% <9 ا .

ا 85 ل اج ا

ت`L ه@0 ا&د;ت م#( اIص(ات J) ه@ا اe9ء . @0 ا(ی>ت&6 م&د;ت ا,:دی#) -

<> ت`L ه@0 ا,:دی#)J) ب& ا<. س:اء م<<ت م<ه> أو ( م<ه!:Gذج ا ) م#

. ح(آ> اG:اآZ و ا(ام ا#وی>

- sR <#:ر رینمس> تijk

ه@ا اLG7 م6 ت<#:ر J) ب& ا(یت اLeJ مس>،

<#:ر1212R :رین . و ذD #:> است م6 خل ه@ا ا

- (7Rمس> ت<#:ر ریij

<#:ر . ری7) ، م6 ت<#:ر رین ی6G مس> ت<#:ر @ا ا

م6 ت#وي C . أه> بJ <V) !=(ی> ا<#> ا&م> و ذD ! ی`L م&د;ت حLI أ!7ی6

<#:ر مC اL%! )9% م,:> م6 ا&د;ت4> ا]م&مL ه@ا اI ف(&ی6 و &ی. ش

م&مL ا(ی> J) حلی6G ت&6 م6 ه@0 ا&د;ت آ@D. ه@0 ا&د;ت م6 خلاe9ء

(ات م,:>، آ ه: ال مC م(ی> ش:ارتMشV . آ!O ب%:رة م

- (7 م6 ه@0 ا#> تI:س أو Rمس> س> ری L%! (> اIأو ا <Xا(اب L`ت ،

آ@D م6 خل ه@0 ا#> ی6G مس>. إ!<ء اe9ء، س:اء آن سZ، م:Z أو ص9(

.ت<#:ر أ!7ی6

Gمس> ت<#:ر أ!7ی6 -ij

ادة، J ا:<#:ر J) اe9ء ا@ي ت ، ت6G أه> ه@ا ا

. واآ(–آe9ء ا<ت_ م6 م(ی> روب(ت#:ن

ا 86 ل اج ا

س8ب &1 ا ا 2 ت' 8ذج رض, واب ا

6G م6 ح#ب !6 ب> ا !:ذج ا&ت ا#ب> ه! (G و ،<&<#:رات م> و م@0 ا

. ریY) ی %( است، یLI اG(ار، و ی# ا(ابX> و ی %(ه

:ا<:ذج ه: ب@0 ا%:رة

Z م&د> م#ر ا,:دی#)G!<V : eJ (Jء ا<#> ب@0 ا%

2 2 2 2 2( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) ( , , , )ds A x y z t dx B x y z t dy C x y z t dz D x y z t dt= + + +

1( , , , )

2 ( , , , )

1( , , , )

2 ( , , , )

1( , , , )

2 ( , , , )

1( , , , )

2 ( , , , )

x y z tA x y z t

x y z tB x y z t

x y z tC x y z t

x y z tD x y z t

α

β

γ

δ

=

=

=

=

LG7ه@0 ا(واب ب@ا ا ZG! ر% :خ2 2 2 2 2

12121212

ds Adx Bdy Cdz Ddt

A

B

C

D

α

β

γ

δ

= + + +

=

=

=

=

Xم6 ه@0 ا(اب LJ:_ . آ(ی#> :ت#

, , ,1

( )2g g g gµ µ µτ

νσ σν τν σ τσ ν νσ τΓ = Γ = + −

ا 87 ل اج ا

@آ( !G(ربNن:

2

12 1 2

AA

x

BB

x x

µ µ

∂=

∂∂

=∂ ∂

1xی6G ان یG:ن ا(واب J) ه@0 x∂ = D2x و آ@∂ y∂ = ).اد ه< #O ب&< اسا (∂

: آ8-`

. . آ(ی#:LG LJ #بY) I< آL ا(واب ا) ی6G م6 خ ح#ب J) ا%9> ا4

أو MATCADأوMATLAB اس&!> بس:ب و م6 خل ب(!م_ ب# م`L . ا;ت

MAPLE )ل بح ا(ام_، أو م6 خN6م,> بGی Lح#ب ه@0 ا&م . <X#ص:رة م >آ@D آ

4 6<#:رات ی6G مس أو ت& . م_ م6 خل ه@0 ا(ا أو م> 4& م&مL ه@0 ا

12 ی,Z ; !<# إن J) م&د> ا,:دی#) 21 0g g= = .

123 0Γ 1و =

1 Aµµ αΓ = 4 و −44 4DδΓ 2 و =

23 2CβΓ = −

ا 88 ل اج ا

Γ

αxAd

d⋅

αyAd

d⋅

αzAd

d⋅

αtAd

d⋅

αyAd

d⋅

α−xBd

d⋅

0

0

αzAd

d⋅

0

α−xCd

d⋅

0

αtAd

d⋅

0

0

α−xDd

d⋅

β−yAd

d⋅

βxBd

d⋅

0

0

βxBd

d⋅

βyBd

d⋅

βzBd

d⋅

βtBd

d⋅

0

βzBd

d⋅

β−yCd

d⋅

0

0

βtBd

d⋅

0

β−yDd

d⋅

γ−zAd

d⋅

0

γxCd

d⋅

0

0

γ−zBd

d⋅

γyCd

d⋅

0

γxCd

d⋅

γyCd

d⋅

γzCd

d⋅

γtCd

d⋅

0

0

γtCd

d⋅

γ−zDd

d⋅

δ−tAd

d⋅

0

0

δxDd

d⋅

0

δ−tBd

d⋅

0

δyDd

d⋅

0

0

δ−tCd

d⋅

δzDd

d⋅

δxDd

d⋅

δyDd

d⋅

δzDd

d⋅

δtDd

d⋅

:=

1 2 3 411 1 1 1 1 1 1

1 2 3 41 2 1 2 1 2 1 2

1 2 3 41 3 1 3 1 3 1 3

1 2 3 41 4 1 4 1 4 1 4

1 2 3 42 1 2 1 2 1 2 1

1 2 3 42 2 2 2 2 2 2 2

1 2 3 42 3 2 3 2 3 2 3

1 2 3 42 4 2 4 2 4 2 4

1 2 3 431 3 1 31 3 1

1 2 3 43 2 3 2 3 2 3 2

1 2 3 43 3 3 3 3 3 3 3

1 2 3 43 4 3 4 3 4 3 4

1 24 1 4 1

Γ Γ Γ Γ

Γ Γ Γ Γ

Γ Γ Γ Γ

Γ Γ Γ Γ

Γ Γ Γ Γ

Γ Γ Γ Γ

Γ Γ Γ Γ

Γ Γ Γ Γ

Γ Γ Γ Γ

Γ Γ Γ Γ

Γ Γ Γ Γ

Γ Γ Γ Γ

Γ Γ 3 44 1 4 1

1 2 3 44 2 4 2 4 2 4 2

1 2 3 44 3 4 3 4 3 4 3

1 2 3 44 4 4 4 4 4 4 4

Γ Γ

Γ Γ Γ Γ

Γ Γ Γ Γ

Γ Γ Γ Γ

ا 89 ل اج ا

:ت8ر ر,k

i j i jkR R=

ji

i jR g R=

R Rµν νµ=

(7 :أح م&مL ت<#:ر ری

w11 β2yAd

d

2

⋅ γ2zAd

d

2

⋅+ δ x y, z, t,( )2tAd

d

2

⋅+:=

w12 β2xBd

d

2

⋅ γ2xCd

d

2

⋅+ δ2xDd

d

2

⋅+:=

w13 βxBd

d

⋅

2

γxCd

d

⋅

2

+ δxDd

d

⋅

2

+:=

w14 αxAd

d

⋅ βxBd

d

⋅ γxCd

d

⋅+ δxDd

d

⋅+

⋅:=

w15 βyAd

d

⋅ αyAd

d

⋅ βyBd

d

⋅+ γyCd

d

⋅− δyDd

d

⋅−

⋅:=

w16 γzAd

d

⋅ αzAd

d

⋅ βzBd

d

⋅− γzCd

d

⋅+ δzDd

d

⋅−

⋅:=

w17 δtAd

d

⋅ αtAd

d

⋅ βtBd

d

⋅− γtCd

d

⋅− δtDd

d

⋅+

⋅:=

R11 w11 w12+ w13− w14− w15− w16− w17−:=

ا 90 ل اج ا

(7<#:ر ری :م&مL خ(

R12 γx y

Cd

d

d

d

⋅ δx y

Dd

d

d

d

⋅+ γ γ⋅xCd

d

y

Cd

d

⋅

⋅− δ δ⋅xDd

d

y

Dd

d

⋅

⋅−:=

α− γ⋅yAd

d

x

Cd

d

⋅

⋅ α δ⋅yAd

d

x

Dd

d

⋅

⋅− β γ⋅xBd

d

y

Cd

d

⋅

⋅− β δ⋅xBd

d

y

Dd

d

⋅

⋅−

<I !:ن حLI ا ء J) !=(ی> ا<#> م&مL، و ه: J 104) ت<#:ر ری7) ه) د ا&مL ا#

7ی6 م أ ص9(، ه@ا م Y)J و (ح أن تG:ن آL م6 ه@0 ا&7(ة م&مL ت#وي ش(یX>>ا&م!

@ا اI!:ن !_ صد4> و ص>أX ه. 1915eم حIء و أث( دوب( و ت:eإ!<ء ا (J

Zاآ:Gا .

:ت8ر رن

, ,s s

sj ijijk ik j ij k ik skRµ µ µ µ µ= Γ −Γ + Γ Γ −Γ Γ

R g Rτµνρσ νρσµτ=

R R R Rµνρσ ρσµν νµρσ µνσρ= = − = −

0R R Rµνρσ µρσν µσνρ+ =+

1234 0R =

R12131

2 y zAd

d

d

d− α

yAd

d

⋅zAd

d

⋅+ βyAd

d

⋅zBd

d

⋅+ γzAd

d

⋅yCd

d

⋅+

⋅:=

R12122yAd

d

2

−2xBd

d

2

− αxAd

d

x

Bd

d

⋅yAd

d

2

+

⋅+ βyAd

d

y

Bd

d

⋅xBd

d

2

+

⋅+ γzAd

d

⋅zBd

d

⋅− δtAd

d

⋅tAd

d

⋅−:=

ا 91 ل اج ا

:س& ر,

<#:ر ری7)إ!<ء ی6G ت&6 تI:س أو <> ا#Iل اء م6 خe9ا :

ji

i jR g R=

w12yAd

d

2

2x

Bd

d

2

+ αyAd

d

2

⋅− βyBd

d

2

⋅− αxAd

d

⋅xBd

d

⋅− βyAd

d

⋅yBd

d

⋅− γzAd

d

⋅zBd

d

⋅+ δtAd

d

⋅tBd

d

⋅+:=

w22zAd

d

2

2x

Cd

d

2

+ αzAd

d

2

⋅− γxCd

d

2

⋅− αxAd

d

⋅xCd

d

⋅− βyAd

d

⋅yCd

d

⋅+ γzAd

d

⋅zCd

d

⋅− δtAd

d

⋅tCd

d

⋅+:=

w32zBd

d

2

2y

Cd

d

2

+ βzBd

d

2

⋅− γyCd

d

2

⋅− αxBd

d

⋅xCd

d

⋅+ βyBd

d

⋅yCd

d

⋅− γzBd

d

⋅zCd

d

⋅− δtBd

d

⋅tCd

d

⋅−:=

w42tAd

d

2

2x

Dd

d

2

+ αtAd

d

2

⋅− δxDd

d

2

⋅− αxAd

d

⋅xDd

d

⋅− βyAd

d

⋅yDd

d

⋅+ γzAd

d

⋅zDd

d

⋅+ δtAd

d

⋅tDd

d

⋅−:=

w52tBd

d

2

2y

Dd

d

2

+ βtBd

d

2

⋅− δyDd

d

2

⋅− αxBd

d

⋅xDd

d

⋅+ βyBd

d

⋅yDd

d

⋅− γzBd

d

⋅zDd

d

⋅+ δtBd

d

⋅tDd

d

⋅−:=

w62tCd

d

2

2z

Dd

d

2

+ γtCd

d

2

⋅− δzDd

d

2

⋅− αxCd

d

⋅xDd

d

⋅+ βyCd

d

⋅yDd

d

⋅+ γzCd

d

⋅zDd

d

⋅− δtCd

d

⋅tDd

d

⋅−:=

Ricci Scalar

R 4 α β⋅ w1⋅( )⋅ 4 α γ⋅ w2⋅( )⋅+ 4 β γ⋅ w3⋅( )⋅+ 4 α δ⋅ w4⋅( )⋅+ 4 β δ⋅ w5⋅( )⋅+ 4 γ δ⋅ w6⋅( )⋅+:=

ا 92 ل اج ا

:أت8ر

1

2G R Rgµν µν µν= −

#> ::ر ه)أح م&مL ه@ا ا

g12zBd

d

2

−2yCd

d

2

− βzBd

d

2

⋅+ γyCd

d

2

⋅+ αxBd

d

x

Cd

d

⋅

⋅− βyBd

d

y

Cd

d

⋅

⋅+ γzBd

d

z

Cd

d

⋅

⋅+ δtBd

d

t

Cd

d

⋅

⋅−:=

g22tBd

d

2

−2yDd

d

2

− βtBd

d

2

⋅+ δyDd

d

2

⋅+ αxBd

d

x

Dd

d

⋅

⋅− βyBd

d

y

Dd

d

⋅

⋅+ γzBd

d

z

Dd

d

⋅

⋅− δtBd

d

t

Dd

d

⋅

⋅+:=

g32tCd

d

2

−2zDd

d

2

− γtCd

d

2

⋅+ δzDd

d

2

⋅+ αxCd

d

x

Dd

d

⋅

⋅− βyCd

d

y

Dd

d

⋅

⋅− γzCd

d

z

Dd

d

⋅

⋅+ δtCd

d

t

Dd

d

⋅

⋅+:=

G11β γ⋅

α

g1⋅β δ⋅

α

g2⋅+γ δ⋅

α

g3⋅+:=

ج ا(واب م6 ت#وي ><#:ر، م6 ث. أس6 آL م&مL ه@ا اس> م&د;ت خ£ أ!7ی6 ی,Z ت&

<#:ر ه< ب@ا اe9 LG7ء ی : م6 ادة( ه@0 ا(واب مC ا9%( ). ه@ا ا

ا 93 ل اج ا

!8 أ ا82س88 The Cosmological Principle

(J ة) بNن أه> ه@ا اأ J) ا<#> ا&م> و ی6G اI:ل !=(ی> ا<#> ا&م>@ا اأ أه> آ

مأ مخ إ; ی7(ك ه@ا اأ م6 حQ ا9:م مC ب& م9ه. . آNه> مأ مخ J) ا<#> ا ص>

<Yا)Jا ( م6 ا9=ت أن ح`Gا Ce4>، و تXآأ ح9ظ ا B :J ، C,7ت ;

> ت(آG9ارصد ا .

س واسC ا ی<¤ ه@ا Iو م:ح ا :اص: اأ أنب B!, .اG:ن م

م6 اG:ن رة 6 م,:> ; م<ه>ا<:ذج اG:!) ا@ي ی6G اس<د ه: أن !9(ض

_ م6 ه@ا ا>ب<#> م#ویا,(ات م<7(ة J) اG:ن و ><:ذج و ت& آL 6 اخ(ى، ی6G أن !#

ی<J ه@ا ا<:ذج مGJ C(ة . م<ه) eJ (Jء . G:ن آبNن C ا,(ات ذات !#> م#وی>

J) ه@ا ا<:ذج ; و:د (اX C> م<7(ة آ ه: ال (اC ا&J <X) ا<:ذج . ; م<ه)

ا م ; !یا<J 7(ة:ت<) ا< . L;ا::دة ح:< أح ا <!:Gو وحة ا :اص ا B!,ا

. ه@ا اأ 6G م6 ا%&Z ادء بJ >!N) اGن ا`) م6 اG:ن

أو ت,!B اG:ن B ) اوام( ت<¤ 1948ه<ك !# > آم> م6 ه@ا اصL و O&Y م

eJب&< أن ،B ه<ك . م:س cه( اG:ن J) آL زمن م#وي Z#J و إ! آ@D زم<

> £ ه@ا اe9ء ! بی> و !ی> G:نJأن ت: مدة آ Z,ء ا<ت_ یe9ن £ ا:Gا Cس:<م ی

س واسC و إ! حود ذرة . ا9رغIب B 6G <4Xى ه@0 ا&رة 4!:ن ح9ظ ا&هرو6 ت

Lآ (J 060واحe9م6 ا Z&Gم) G< ارصد !O ه@0 ا<=(ی ش(ة واس&>. ء J) ا#<> آ: م

شOGG بG9ا&Jما م أ( ح . ب ) <%ا4

اGم أو أي J(ض خ( م7باG:س:م::مأ V:ن، @D ی6G <:ای6 <#> اG، أو ص

Nل ب:Iةا! آL ی6G ت&(ی ا<#> بN. =(ی> !#> آ@0 ادأ ه) !ن آL م&(J> آ:!> م&

Mی مC م,:> م6 ا:یتJ 6 ه@0 ا<=(ی>!=(ی( 4:ا!Vت ; ( سL ا`ل . ا

ا 94 ل اج ا

D ا<:ت<) ا!Gو م,:> :ا!G(0 أ ه) !#> م,:ع ب ه: !#> م,:> :، ا<#> ا ص>

> ه) !#> م,:> ت:یت:ر!M، ا<#> ا&م>!:Gاخ(ى ه) واح ا واح، و ا&:م ا

4ي مX® ش(یX> أن ح ا<=(ی ا) ت%ق eJ (Jء إ.!#> ت<c(ات م G 9:ن واسC ا

> م,:> م6 اوران و ا!I;ت#! (J B!, . یG:ن ذD اe9ء م

&(ی اسس) ,!J B) ه@ا اأ ه:، م,:ا<!:Gن م6 > ارصد ا:G م)Z4ه) !9# ا ،

و ) م`L ت:سC اG:ن و آ`J> اG:ن(ارصد ا) !I:م ب !6 ارض . خ(اZ4(ما) یدی

J 6ا4(مه@0 ارصد !9# یI:م ب <JG ه@ا ا م9:م ی#:4<. ) م,(ة أخ)ى (J زم6 رصه م

(!:Gم6 اMوه: ا )خ.

_(اه@ا ا,!B ه: و:د =ت مIX>أح !Vه<ك ت O!ن آ، إن آ:G ن:Gه@ا ا (J ت

<XI! LGJ B!, آL . ت&L L اMام6اJ وى# Z مأ اMم6 #> ا(J C) زم6 ت>!

. ، ه@ا اMم6 اG:!) ه: J) آL م,(ةMτم6 اG:!) ارصد، J) ه@0 ا> !_ ه@0 ارصد ه)

. ح#Z اMم6 اG:!) آ،تJ) . ثبO ی6G ت<=. ا#

ا 95 ل اج ا

ا -, اأه *ه ا

>، ه@ا ا#( رة 6 :eاش& ا )أح أه. م:ارد أس&ل م(ی> اMمGن ه: مس> م#

آ@D م6 خل ا(ی> ی6G ت&6 !:ع اe9ء و تI:س و مس> . Iص( أو :دی#> ه@0 ا(ی>م

ت. ه@0 است م6 خل ت<#:ر رین و ری7)، و اه. م&د;ت حLI أ!7ی6 . حLI ذب

!:اع أ أه. ب&س<J Q) ه@ا اL%9. س:اء J) ا £ أم J) ح> ت:ا ادة J) حLI ا,ذب

( . J) !=(ی> ا<#> ا&م> (حOا(یت ا

:ا%:رة ا&م> (ی> J) eJء زمن ه)2 2 2

1 1 2 3ds Adt Bdx dt Edx Hdx dx= + + ⋅⋅⋅ + ⋅⋅⋅ + ⋅⋅⋅

Lا&مA و B 6م C(ه ه) ت:ابJ 6G) حLI سآ6 ا> ا ص> @0 . و (ه2x و 1x و t و

:ا(ی> ه)2 2 2ds Adt dσ= −

(J <Xاب)2 ه@0 اdσ (2 ه 2id dxσ J 1` 3 و 2 و i= 1 و = 2 3 0dx dx dx= = =

:X J:ط ا&> @0 ا(ی> ه)2 2ds Adt=

ه) حLI ذب و ϕإذا آن 222 cA c e

ϕ− :إذن =

2 2 2 2

22cds c e dt d

ϕ

σ−

= −

م&مL ه@0 ا(ی> م#وی>&Y LIح (J.

ا 96 ل اج ا

Zی)I2إذا أس&< ه@ا ا

22 2

1c

ce

ϕϕ−

≈ + B7خرج ا LI <ه@0 ا (J 52

20.5 10

c

ϕ −< و×

2حاث> ت% م&مL ا] ه@ا م6 2c dtی ت#وي)Iن ح:ل تGمMواح وه@ا ب&< أن ا <> Y آ

:<G#J:G) أيم`L اB7 تI(ی م2 2 2 2 2 2

1 2 3dx dx dxds c dt − −= −

eJء <G#J:G) وس<CX ارت بeJ 6ء م م6 خل م(ی> م<G#J:G) و م(ی> ش:ارتMش

:و ذD م6 خل ه@0 ا:یت ،ش:ارتMش

sinht X T= z Z= y Y= coshx X T=

tanh: إذنt

Tx

= 2 2 2t Xx − =

D@آ: 2 2cosh cosh 1T T− =

( , )F F

A F x y dA dx dyx y

∂ ∂= ⇒ = +

∂ ∂

2 2 2 2 2 2cosh sinh cosh 2 cosh sinh sinhdx TdX X Tdt dx dX T X T TdXdT X TdT= + ⇒ = + + 2 2 2 2 2 2sinh cosh sinh 2 cosh sinh coshdt TdX X Tdt dt dX T X T TdXdT X TdT= + ⇒ = + +

:إذن2 2 2 2 2dt dx X dT dX− = −

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2ds dt dx dy dz ds X dT dX dY dZ⇒= − − − = − − −

2 2 2 2 2 2ds X dT dX dY dZ= − − −

)eJ (J (G#J:Gء <ه@0 م(ی> م , , , )X Y Z Tرب) اب&د .

ا 97 ل اج ا

:م(ی> ش:ارتM ش ه)

( )2

2 2 2 2 2 2 222

sin (1 )1

m

m

drds r d d c dt

rr

θ θ φ= + + − −−

LG7ب@ا ا G! #:

1c G= ل =#! D@آ r و t[ت ب@0 ا1 و !9(ض T و Rحاث4

m =

L%!:

( )2 2 1 2 2 2 2 2

2 2

1 1(1 ) (1 ) sin

R R

ds dT dR R d dθ θ φ−= − − − − +

XI>1ا2

R = XI! (ه eی>م) J) ه@0 ا

>Y)J 2إذا 2 22 1R x t X− = − :> J) ه@0 ا=

2 2 22

12 1 2 2R X dR XdX dX dR

X− = ⇒ = ⇒ =

L%!: 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2(2 1) (2 1)ds R dT R dR dY dZds X dT dX dY dZ −⇒ = − − − − −= − − −

J1) ه@0 ا(ی> ی,Z أن تG:ن 2

R >

<V<G#J:G) أو eJء م<G#J:G) و 4 ;ح=< ارتط ب6 م(ی> م<G#J:G) وخ(ى (ی> مأه@0 ص

م(ی> ش:ارتMش أو eJء ش:ارتMش

یJ 6G(ض ه@ا اLG7 !:ذج e9ء آ(وسGل

Kruskal.

ا 98 ل اج ا

:إحاث> آ(وسGل ه)

( )2 2 2 22

2 2 21( )

2Resin

Rds dt dx R d dθ θ φ = − −

+

2 تبC مJR 6) ه@0 ا(ی> 2x t−J وت%ق Xه@0 ا(اب : 2 2 2(2 1)Re R x t − = −

J0R) ا<XI> ت%ق ه@0 ا(ی> J) م&د;ت خ£ أ!7ی6، ه@0 ا(ی> 4> إذا آ!O مe و= t

<= Lآ (J حاث)ه) إ ∓45 خX:ط J) ه@0 ا(ی>. @0 ا(ی> ذات ت<c( آ(ويJ ثب

.آ(وسGل

Z ه@0 ا(ی> ح#Z إحاثت G!T و Rأي :

2

2 2 2 2 22(2 1)

2 1

RR e

e R x t dX dRR

− = − ⇒ =−

2 2 2 2 2dt dx X dT dX− = +

:إذن

( )2 2 1 2 2 2 2 22 1 2 1( ) ( )2 2

sinR Rds dT dR R

R Rd dθ θ φ−− −

= − − +

J) ه@0 ا(ی> ه) ث أJ® ا )أوا<XI اVمe و (ه@0 ا(ی> مJG مC م(ی> ش:ارتMش

<XI>1ا2

R .ت%ق ه@0 ا(ی> J) م&د;ت خ£ أ!7ی6. =

ا 99 ل اج ا

0Rم&د;ت خ£ أ!7ی6 ه) µν ( Jرغ و ه<ك مدة J) ه@ا اJ LI) ه@0 = LIإذا آن ا

0Rا> µν R أ!7ی6 ب@ا اLG7 و ت% م&د;ت≠ gµνµν = Λ (J ه@0 ا&د;ت Q>س

.اL%9 اIدم

( Jرغ ه) LI 6ی : ا(ی> ا) ت%ق J) م&د;ت أ!7

( )2 2 2 2 2 2 2sinA Bds e dt e dr r d dθ θ φ= − − +

211

1 1 12 4 4

BR A A B A

r

′′′ ′ ′ ′= − + −

( )22

11 1

2BR e r A B− ′ ′= + − −

233 22 sinR R θ=

244

1 1 12 4 4

A B AR e A A B A

r

− ′ ′′ ′ ′ ′= − − + −

0R µν =

JR) ح> gµνµν = Λ

A B= −

A B′ ′= − 2(1 ) 1A rA re ′+ = − Λ

Aeα =

( ) 21r r rα α α ′′+ = = − Λ

22 11

3m

rr

α = − − Λ

Rه@ا ا,:اب ی%ق J) م&د;ت ا!7ی6 gµνµν = Λ <Xه@0 ا(اب (Jm L%! .ث ،LمG ثبO ا

: L ه@0 ا(ی>

µ ν= إذا

!9(ض

ا 100 ل اج ا

( )1

2 2 2 2 2 2 2 2 22 1 2 11 1

3 3sinm m

ds r dt r dr rr r

d dθ θ φ−

= − − Λ − − − Λ −

+

21مار ا(آ> J) eJء ه@0 ا(ی> تI(ی أش بار !:تJ 6) م(آMي 6

mr

rϕ = − − Λ

: ت% م(ی> ه@ا اe9ء ب@ا ا0m→LG7 !: ا%9( أي m> س&) J) ح

( )1

2 2 2 2 2 2 2 2 21 11 1

3 3sinds r dt r dr r d dθ θ φ

− = − Λ − − Λ −

+

ت&(ف ه@0 ا(ی> ب(ی> دي > آ97 م )de sitter(( س!:G6 ا، و اe9ء J1917) اI:ا!

ا<ت_ م6 ه@0 ا(ی> ه: eJء دي ت`L ه@0 ا. (س1(ی> eJء ش آ(وي ذو تI:س 43

− Λ

<XI>6 اG شMی> ش:ارت)3ه@0 أش بr =

Λ®Jه) أ (J ی> اث)J0m) ح> . ه@0 ا ≠

دي اث (ی> أJ® ) أوeم!XI>( حاث>ی% مأ ا] .(س

Rإذا آ!O ا&د;ت gµνµν = Λ ء ه) اeJ <ه@0 ا (J رغJ ءeJ <دي آه: ( س

.<G#J:G)ایe9 Lء م

6. 1932 ا@ي (ح م Milenا(ی> اخ(ى ا) س<` ه) ا(ی> ا<ت,> م6 !:ذج م

eJ (Jء Jرغ ) و زم<اG:ن م,!eJ B (اG:س:م::ی#< ه@ا ا<:ذج مأ

<G#J:G) رب) اب&د مC ا<=( 6 ا,ذب ,:> ; م<ه> @رات ی> ا:زن و م

J) ا(O Cحاث) ت<7( ه@0 ا@رات م6 مأ ا]. ء ذات س(> ت<7( J) آL ت اe9،ا,.

( , , , )S x y z tء ب#(> أ:eم6 س(> ا L4 . ة ر ; حود)G7(ة بیJ 6G(ض ه@0 ا@رات ا<

ی%ق 4!:ن هبJ L) ه@0 اG(ة و ا@ي ی<¤ . و س(> ت:س& ت#وي س(> اe:ء

. wavefront > م:%رحود ادة J) ه@ا ا<:ذج أش ب. ت<سZ ا#(> و ا9ص>

ا 101 ل اج ا

> J (G#J:G>4M) م(ی> مج ه@0 ا(ی> !أ م6 س

( )2 2 2 2 2 2 2 2sinds c dt dr r d dθ θ φ= − − +

تY)9ا:

(!:Gم6 اMاτ و ρیة إ <r و )#O اJ`G>( حاثu

t=

sinhr cτ ψ= و cosht τ ψ= و sinhρ ψ=

:إذن

2

21 ut

cτ = −

2

2

1

1c u

u

c

ρ =−

:!%L م6 ه@0 ا(واب ا ا(ی> ا

22 2 2 2 2 2 2 2 2

2 ( sin )1d

c d c d ddsρ

τ τ ρ θ θ φρ

= − + +

+

0dτإذا J(Y< أن اMم6 اG:!) ثبO ی&<) : إذن=

22 2 2 2 2 2 2

2 ( sin )1d

d c d dρ

σ τ ρ θ θ φρ

= + +

+

Lا&رة داخ 1K ت`eJ Lء ذو تI:س ثبO أي = − L`ت O4:ا B9! (J2dσ س:Iء تeJ

2 2

1c τ

−

) L`م Oثب Lم (J ی> م) و !I%ن Aم&مL ه@0 ا(ی> ب<#> یدي ا أزدید آYAL(ب م

1تI:س eJء ه@0 ا(ی> ب<#> 2A

(

ا 102 ل اج ا

Oو ثب Zس س:Iث) اب&د ذو تء ثeJ 6 6 رة1إذن !:ذج م2 2

Kc τ

= −

Robertson-Walker metricخ( م(ی> !<ول ب` ه) م(ی> روب(ت#:ن واآ(

R%! ء ش إeJ (J 0)دا )X4 ي رب) اب&د و4k Zی)Y

2 2 24 4 1 1 2 2 3 3 4 4 1 1 2 2 3 3( ) ( )x dx x dx x dx x dx x dx x dx x dx x dx= − + + ⇒ = + +

2

2 1 1 2 2 3 34

2 2 2 21 2 3

1

( )

k

x dx x dx x dxdx

R k x x x

+ +=

− − −

:إذن

I 2

2 2 2 2 1 1 2 2 3 31 2 3

2 2 2 21 2 3

1

( )

k

x dx x dx x dxdl dx dx dx

R k x x x

+ += + + +

− − −

6 ب@0 ا:یت&#!:

1

2

3

cos sin

sin sin

cos

x Rr

x Rr

x Rr

φ θ

φ θ

θ

=

=

=

0k 1k و → = ± 2 2 2 2 21 2 3 4

1

kx x x x R k+ + + =

2 2 2 2 21 2 3 4dl dx dx dx dx= + + +

2 2 2 2 2 2 2 2 2 21 2 3 4 4 1 2 3

1 1

k kx x x x R k x R k x x x⇒ =+ + + = − − −

2 2 2 2 21 2 3 4dl dx dx dx dx= + + +

ا 103 ل اج ا

1

2

3

cos sin cos cos sin sin

sin sin sin cos cos sin

cos sin

dx R dr Rr d Rr d

dx R dr Rr d Rr d

dx R dr Rr d

φ θ φ θ θ φ θ φ

φ θ φ θ θ φ θ φ

θ θ θ

= − +

= − −

= +

: !%CeI L ه@0 ا(واب J) ا&د !

2

2 2 2 2 2 2 22( sin )

1dr

dl R r d r dkr

θ θ φ= + +−

Xه@0 ا(اب (J 2dl6مM6 ا I م#

و م ا :اص ) homogenous( بNن اG:ن م,!B اG:س:م::أس<دا مأ

)isotropic (<ه@0 ا (J: 2 2 2 2ds c dt dl= − ، Cتب Cس:و !9(ض بNن اG:ن ی#:ع و ه@ا ا

) : أيMم6 )R R t→إذن :

2

2 2 2 2 2 2 2 2 22( )( sin )

1dr

ds c dt R t r d r dkr

θ θ φ= − + +−

واآ(-&(ف ه@0 ا(ی>، ب(ی> روب(ت#:نت

ا 104 ل اج ا

8Fن ا^ذب

:تJ 6) ا,ذب أن حLI ا,ذب> ا::د J) أي I I!:ن !<XI!ء تe9م6 ا &<Gأو < ا

یI:م ب(ب ادة بLI ا::دة J) J) ذD اe9ء، @D ی6G ت&6 ت<#:ربح(ى ت:زیC ادة

<<#:ر حاثت اMمGن، ث. رQ 6 ت<#:ر ی(ب ت:زیC ادة بHأو; ی,Z ا. ا,ذبب ذD ا

<#:را,:دی#><#:ر ا@ي یNدي ه. ب<دا <#> أس م<:م، –@0 ا:c ه: ت<#:ر ا4X ا

JGا ص> ه<ك ت <G4> و اX6 ا اI:ى تNث( حLI ا,ذب>@D ی6G اI:ل بNن C ب

#>Vوم)G4 اXا J ب.

O!ت6 إذا آ:! 6 J) ذD اe9ء LI ا,ذب>::دة eJ (Jء HJن ح آ`J> ادة اµأس<دا I:ا!

: ا) ت%ق J) ه@0 ا(ابϕXی6G ت&< م6 خل دا> ا,

2 4 Gπ µϕ∇ =

2 2 2

2 2 24 G

x y zπ µ

ϕ ϕ ϕ∂ ∂ ∂+ + =

∂ ∂ ∂

G(ه <Xاب)ه@0 ا (J 6ت: ثبO ا,ذب ا&م <

2ن تG:ن أ ی,Z اI!:ن ا,ی ,ذب ا@ي !J 6) صد0 4 Gπ µϕ∇ ح !,، و ب أن أ ه) =

.eن ی:!Iق م6 ار>إه@ا اI م<سZ مC آ`J> ادة! و آ@D حLI ا,ذب> ا`شJ Z,ی D@

C ه@0 ا %¤ت<#:ر. اQ 6 ت<#:ریe. ه@0 ا %¤ Dی6 ی ب@ا أ!7G! و

LG7ا:

12ij ij ijR g R Tκ− = −

Xه@0 ا(اب (Jκم Zس>. م<:م–ت<#:ر ا4X ه: C ثبO ا,ذب ا&م <:ت6، و Y(یZ م

_ ه@ا ا! ®X>ت<G9ارصد ا _ . ,(اتI!:ن !

:ا%V ا#> @ا اI!:ن ه)

ا 105 ل اج ا

R Tκ=

D@:

1( )2ij ij ijR g T Tκ= −

D@آ:

ج> :م6 ه@0 ا(ابX ی6G أس

244 2

1R

cϕ= ∇

و سآJ 6) ه@0 ا>إذا آن حLI ا, ا#&Y :تJ 6) حLI ذب> (:

44 2

21gc

ϕ= +

ا 106 ل اج ا

ش8ارت+ ش&

(ی>!أ م6 ه@0 ا(ی> او ا

2 2 2 2 2 2 2 2( sin )ds adr r d d bc dtθ θ φ= + + −

س(> اe:ء c و 4> آه تI(ی واح، وr ت:ابC مb 6 و aذات تIرن آ(وي و (ی> ه@0 ا

،J) ا £

(ات J) ه@0 ا(ی> ه6V :ا

t x4 = و φ x3 = و θ x2 = و r x1 =

. حاث)#. آ(وي م(آ0M م<X® م(آM ا] مى ،ه@0 ا(ی> ه) e9ء خ) م6 ادة

0ijR) ری7 ت<#:ر و ، م<:م ص9(– ا4X ت<#:را,#. خرج ه@ا = ZXن ت% أ و ه@ا ی#

Lآ Lره@ا م&م:#> . %9( م#وی>ا

11

222

2 233

244

sin

g a

g r

g r

g bc

θ

=

=

=

= −

2 2 2sing abc r θ= −

11 1

12 22

13 32 2

s in

14 42

g

a

g

r

g

r

g

b c

θ

=

=

=

= −

ا 107 ل اج ا

LJ: . آ(ی#

<#:ر و ه) مIر! ب<# ل #O ب LJ: j و i. آ(ی#

4> ه@0 ا&. م6 ا(واب ا@آ:رJ 0) اL%9 ا#ب® و ا&. ا 9 %9( ه) آت) Z#!:

111

2

12 212 21

13 313 31

4 414 41

2

122

3 3 cot23 32

1 2sin33

2 sin cos33

2144

2

a

a

r

r

b

b

r

a

r

a

c b

a

θ

θ

θ θ

′Γ =

Γ = Γ =

Γ = Γ =

′Γ = Γ =

Γ = −

Γ = Γ =

Γ = −

Γ = −

′Γ =

a′ و b′إ )V rشIق ب<#

ت<#:ر ری7) @ا ا(ی>

: 9%( J) ت<#:ر ری7) ه) ا&مL ا 9>

kijki j

R R=

ا 108 ل اج ا

:إذن

2

11 22 441

122 22 22sin33 22

22( )44 22 4 4

b b a b aR

b ab arb

rb raR

ab aa

R R

b b a b bR c

a ab ara

θ

′′ ′ ′ ′ ′= − − −

′ ′= − + −

=

′′ ′ ′ ′ ′= − + + −

:ه:!X:اء اe9ء @0 ا(ی> أو أتI:س eJء

jii j

R g R=

2

2 2 2 2 22 2 2 2

2 2b b a b b a

Rab abrab a b a r ar r

′′ ′ ′ ′ ′ ′= − − + − + −

7ی6 C م&مL ت<#:ر ری7) ت#وي ص9(،! :أي J) 4!:ن ا,ذب

2022 44

11 022 2

2022 4 4

b b a b a

b ab arb

rb ra

ab aa

b b a b b

a ab ara

′′ ′ ′ ′ ′− − − =

′ ′− + − =

′′ ′ ′ ′ ′− + + − =

<Xم6 ا(اب _>#!Xا;و و ا`` ه@0 ا(اب :

0ab a b′ ′+ =

@ا

Oثب= b .a ،)4 اي ثب(

ا 109 ل اج ا

lim 1

lim 1

1

ar

br

ab

→→∞

→→∞=

1 م6 ا&د b@ف !1 022 2

rb ra

ab aa

′ ′− + − = L%!

(1 )ra a a′ = −

!%L ا(ابX>م6 تGمL ه@0

1

21a

mr

=−

Xه@0 ا(اب (Jm L%! .ث ،LمG ثبO ا

21 mbr

= −

: @ا اe9ء ب@ا اLG7ا(ی>ت%

I

حاث) اG(وي م(آM ا]،ذب خرج #. آ(وي&( 6 حLI ذات تIرن آ(وي و تا(ی>ه@0

)حاث) ه) إحاثت ه@ا ا] .م<X® م(آM ه@ا ا,#. , , )r θ φ 0@ی> أو ا ه)وY& ا

. مC آ> ا,#. م<س>Im ان س<`O ;ح. ش:ارتMش

( )2

2 2 2 2 2 2 22sin (1 )2

1

dr mds r d d c dt

m rr

θ θ φ= + + − −−

ا 110 ل اج ا

2!9(ض أن -

GMm

c=

- G6ت: J) ه@0 ا(ابX ه: ثبO ا,ذب ا&م <

- MGا

- c£ ا (J ء:eا <)س

, ا< ه) :ا<

II 2 2 2 2 2 2 2 2( sin )ds adr r d d bc dtθ θ φ= + + −

6 هتG 6م&مL إحاث> اMمن م6 ت#وي : !%II L و Iا(ی

2 2 2(1 )mbc cr

= −

2م6 ه@0 ا(ابX و

GMm

c= L%! :

21

2

GMb

c r

= −

O!0 إذا آ = b 2إذن

22

GMr m

c= =

<I !ا ادrا < : رض ب,ورة حLI ذب

10M × 245.9742رض آ> ا kg=

ثبO ا,ذب3

112

6.67428 10m

Gkgs

−= ×

mس(> اe:ء 299 792 458 c

s=

ا 111 ل اج ا

م م( آ) ت% 9( م6 م) م(، @D ی,Z أن یG:ن ش&ع ه@ا ا,#. اG(وي أآJ9) حود

. س ذو 4Dحاث ا(اب& أو ب& اMمن م 9 %9( و آ@4> ا]

Iه@0 ا >&Y2: و

GMm

c= (J < ری7) س

2

2 2 22 22 2 2 2

2 2b b a b b aR

a r ar rab ab a b abr′′ ′ ′ ′ ′ ′= − − + − + −

, تG:ن ا<43m

Rr

= +

@D تI:س اe9ء ا<ت_ 6 حLI ذب> ارض أو آ> ارض r = م( 6378000ش&ع ارض

23حود 2

16.8 10m

−×

J Q_ م(ی> ش:ارتMش !=(ی> ا`I:ب ا#:ادء، ح! 6 !% X4( ش:ارتMشم6 ب

22GM

rc

=

ا 112 ل اج ا

r82اآ ار ا

<ن (Y< إحاث) سآ6، إذا J ]> اG:اآZ اB7 تدي ا ت ت&,L اB7 ب<#4:ة ذب

م6 ی<_ JY> حLI ذب> اB7 و اG:اآZ ه<ك حLI ذب أك مC اB7 حاث) ی(ا]

J L) ه@ا ا]حاث),&حاث) اG(وي م<X® م(آM اB7 و إذا Y)J< أن م(آM ا]. ا

G حاث)، و C اG:اآZ ح:دی#> ش:ارتMش ه) ا) ت&6 إحاثت ه@ا ا]مIص(ة أو

حG. ذرات &Y C ا ا<=( <ی6G ا حI:ل ذب ،e9ه@ا ا (J ت ه) ء<<

< . مGن–حاثت زمن إ:دی#

. م6 ه@0 ا(واب ث. !#Z . آ(ی#:bLJ و Ce!a مIدی(

1

21a

mr

=−

21 mbr

= −

111

212

313

414

122

323

1 233

233

2144 3

( 2 )

1

1

( 2 )

( 2 )

cot

( 2 )sin

sin cos

( 2 )

m

r r m

r

r

m

r r m

r m

r m

mcr m

r

θ

θ

θ θ

Γ = −−

Γ =

Γ =

Γ =−

Γ = − −

Γ =

Γ = − −

Γ = −

Γ = −

e!:دی#, C ه@0 ا)واب (J ا&د ا&:م

ا 113 ل اج ا

2

2 0j kid x dx dxi

jkds ds ds+ Γ =

LG7رواب ب@ا ا Cأرب , :ا<

22

3

22 2 2 2

2 ( ) ( 2 ) ( ) sin ( ) ( ) 0( 2 )

d r m dr d d mc dtr m

r r m ds ds ds r dsds

θ φθ

− − − + − =

−

22

2

2sin cos ( ) 0

d dr d d

ds r ds ds ds

θ θ φθ θ+ − =

2

2

22cot 0

d dr d d d

ds r ds ds ds ds

φ φ θ φθ+ + =

2

2

20

( 2 )d t m dr dt

ds r r m ds ds+ =

−

آ@D م(ی> ش:ارتMش

2

2 2 2 2 2 2 2 22sin (1 )2

1

dr mds r d r d c dt

rm

r

θ θ φ= + + − −

−

>ن اG:اآZ تأ ح(آ J) ا%9اث) اG(وي ی. ه@ا اV(ار بNإ! ب ا]ح2π

θ ی> و J) ب=

0ا(آ یG:ن d

ds

θ :ه@0 ا&د;ت ب@ا اD@ LG7 ت%=

2

2

2

2

22 2 2 2

20

20

( 2 )

( ) ( ) ( 2 )( ) 12

d dr d

ds r ds ds

d t m dr dt

ds r r m ds ds

r dr d c dtr r m

r m ds ds r ds

φ φ

φ

+ =

+ =−

+ − − =−

ا 114 ل اج ا

6Y)99(ض ه@ی6 ا!dw

ds

φd و =

wds

φ= () و !(J &e ا&د;ت ا;و و ا`!V( اVت(

20

dww

dr r+ =

20

( 2 )dv m

dr r r m+ =

−

, :ی&X) تGمL ه@0 ا(واب ه@0 ا<

2

2

dw

ds r

dt rv

ds r m

φ α

β

= =

= =−

Ce!d

ds

φ و dt

dsJ) ا&د

22 2 2 2( ) ( ) ( 2 )( ) 1

2r dr d c dt

r r mr m ds ds r ds

φ+ − − =

−, : ا<

22 2 2

3

2( ) ( 2 ) 1dr m

r m cds r r

αβ+ − = + −

2 ب6 ه@0 ا&د و ا&د sd!@ف

dw

ds r

φ α= = , : م&د> مار اG:اآZا<

2 22 2 2

2 2 3

2 2( ) 1

dr m mc

r d r r r

α α αβ

φ+ = + − +

Ce!1u

r=LG7ت% ه@0 ا&د ب@ا ا :

2 22 2 3

2 2

1 2( ) 2du c m

u u mud

βφ α α

++ = − +

:φشIق م6 ه@0 ا&د ب<# ل إ

22

2 23

d u mu mu

dφ α+ = − +

D اGسG) ه)!G :م&د> مار اG:اآZ و ا#رات J) ا

ا 115 ل اج ا

2

2 2

d u GMu

d hφ+ =

J ه@0 ا&د (M ا,#. ا,ذب < س(> Mم ا#ر0 ب<#>hو ) ذو ا,ذب ا&( آ

::ر ا,ذب أي

2 dr hdt

φ=

2 ) ت7ب ه@0 ا&د> J) ا<#> ا&م> ه) ا&د>ا&د ا

dw

ds r

φ α= اس<دا م(ی> و =

dsن NJش:ارتMش icdt= ا&د D@2

dw

ds r

φ α= : ه) ت7ب ه@0 ا&د=

2 dr icdt

φα=

h@ا icα= و ت% ا&د 2

22 2

3d u m

u mudφ α

+ = − + LG7ب@ا ا:

2 22

2 23

d u mcu mu

d hφ+ = +

) 6& ) J) اL%9 اIدم س> إ!<ء اe:ءب@0 ا&د>س<#

< ا<=( 6 e 23إذاmu <ب7(ت% ه@0 ا&د م#وی> &د Gن تG:ن ط أ اGس

2

GMm

c=.

<#!23mu ا 2

2

mc

h :ي ت#و

2 22 2

2 2

3 3h ur

c cφ=

rφ (أه ح م&مL ح(آ> ا#رات و Xرد ا<%Z اآ( م6 ب6 سرات ا<=:م ا#7

ه) 48أي 87.7 آ: م( J) ا`! و ه@0 ا<# 4 (0 ا ×−10Vص 4.

:اب ا&د اGGس2

2 2

d u GMu

d hφ+ :ه: =

ا 116 ل اج ا

2 1 cos( )u eh

µφ ω= + −

Xه@0 ا(اب (J:

2GM mcµ = ω و (eccentricity) خ(وج 6 ا(آe Mو =eل ا: ) longitude of

perihelion(

ا<#> ا&م> م6 ه@ا ا,:اب أش ب,:اب ا&د> ا<ت,>2 2

22 2

3d u mc

u mud hφ

+ = + 6Gی NXخ Cم

: ه: ا<=( <

2

224

33 1 cos( )

mmu e

h

µφ ω= + −

:ا&د ا<

2 2

2

2 2 4

31 cos( )

d u mu e

d h h

µ µφ ω

φ+ = + + −

: :اب ه@0 ا&د

2 2

31 cos( ) sin( )

m eu e

h h

µ µφ ω φ φ ω = + − + −

(ة ا<=( 6 م6 خل ب& ا(واب ا``ت و V2 ا ه) رة صδω (ضJ و

2

3mh

µφδω :!%L ا ه@0 ا&د =

2 1 cos( )u eh

µφ ω δω= + − −

G: 4ی#< ه@0 ا&د مC ا&د اGس 2 1 cos( )u eh

µφ ω= + م ه) تδω IاMاوی :! −

ار ا#رت، eا <XI!<ا&م <ا) أثO ص و ه@0 اMاوی ه) أح !_ ا<#

<G9ء ا;رصد اXم6 إ (GD اGس!G Xرد، حM, Q اeح <XI! مIخ%:ص ت

(Yهن ری)ب.

ا 117 ل اج ا

I اوام eل ا: <JYأ Z,دا ه@0 ا&د ی> :@0 ا(ابXإس2

2 2 2 2

3 3 3m

h c h c l

µ µ µδω φ φ φ= = =

Xه@0 ا(اب (J:

( )

( )

( )

( )

3 311 30 20

2 2

2

2

2 2 22

2 2

6.67 10 1.99 10 1.327 10

1

2

3 6

1

6

1

sun

m mGM kg

kgs s

hl

h e a

GM GM

h c e ac

GM

c e a

µ µ

µ

µ

φ ππ

δω φ

µπ

δω

− = ⇒ = × × × = ×

=

= −

=

= =−

=−

:G:آX Zرد

B7رد ح:ل اX مار )X4 %!)ا:ل )XI105.79 ) ا 10a m= ×

0.206eخ(وج 6 ا(آM ارXرد =

m س(> اe:ء 299 792 458 c

s=

75.019775: إذن 10 radianδω −= ×

)واح رادین ی#وي )52.0626 1036060 60

2 radianπ

′′×° ′ ′′× × ث! م6 ار رادین =

: إذن

( )57 2.0626 10

5.019775 10 0.10354radianradian

δω −′′×

′′= × × =

ا 118 ل اج ا

88ا#< ا&Xردی Yا#< 365.25 ی:م و ا#< ار (J ردX eح <XI! مIإذن ت

ی#ويYار:

365.25 0.10354 0.429788

δω ′′ ′′= × =

eح <XI! مIن ت:Gی Yم> س< أر (J رد حودX 43 ه@0 أح أه. !_ ا<#> ا&م>. ث!

,>و أآت ص> ه@0 ا<G9ارصد ا .

X43رد .0′′ 8اMه(0 .3′′

3ارض .8′′

J) اI(ن @0 ا(امeا <XI! مIت

ا 119 ل اج ا

اف ا(8ءإ

م .Gء تeJ (J (ی> ش:ارتM ش

2

2 2 2 2 2 2 2 22sin (1 )2

1

dr mds r d r d c dt

rm

r

θ θ φ= + + − −

−

J 6) ه@ا اe9ء م#( مIص(XI! 60dsأي أو :دی#>یCXI اe:ء ا9ص ب = D@آ

:ت:ص< @0 ا&د J) اL%9 ا#ب®2 2

22 2

3d u mc

u mud hφ

+ = +

h = 0dsن ∞ =) CYا#ب® و L%9م&د;ت ا C0راds :ت% ا&د ب@0 ا%:ر0) =

22

23

d uu mu

dφ+ =

< ا<=( 6 اX(ف ای6 &د ی% :اب ه@0 ا&دe :إ (J (X4 (حاث .I خ م#

LG7ب@ا ا:

1cos( )u

Rφ α= +

R و αء ر:eح(آ> ا )#J &Y ة ث:ابO اGمL، إذا آن حLI ا,ذبI. 6 خX:ط م#

J0θ(J >Y) اL%9 ا#ب® و %< م(ی> ش:ارتMش J) ص9> اس:اء أي =D@9(ض ان آ!

ا X:طم#( ح(آ> اe:ء ب:ازات2πφ = ± ZX0αو ه@ا ی# !Ce ه@ا ا,:اب مC ه@ا .=

:ا9(ض اخ( J) اX(ف ای6 &د ت%2

22 2

3cos

d u mu

d Rφ

φ+ =

4 :اب ه@0 ا&د ا]I)مC ا&. بNن :اب خص ه@0 ا&د(ش )22 2 cosm

Rφ− ( :ه:

ا 120 ل اج ا

( )22

1cos 2 cos

mu

R Rφ φ= + −

(:eبای> و !ی> ه@ا ا7&ع ا (J0u =D@ :

2 2cos cos 0

m m

R Rφ φ− − =

اL4 ه:I6 ا,:اب ذو ا :ه@0 م&د در ث! ذات :اب

2cos

m

Rφ = −

(J D@نإ:Gی (:eء ه@ا ا7&ع ا! 2

2m

R

πφ = ± +

,> :ر0 م6 حLI ذب 4:ي ی#وي@D إ :!(اف م#(اe:ء !

4mR

Xه@0 ا(اب (J2

GMm

c :إذن =

2

4GMc R

:!(اف ش&ع Y:) مس #X اB7 6 م#(0 اIJ) ی#ويمIارإ

B7ا <301.99 آ 10M kg= ×

m س(> اe:ء J) ا £ 299 792 458 c

s=

ثبO ا,ذب ا&م <:ت6 3

112

6.67 10m

Gkgs

−= ×

B7ا )X4 %! 86.95 10R m= ×

ا 121 ل اج ا

311 30

26

28

4 6.67 10 1.99 108.5 10 1.75

m299 792 458 6.95 10

mkg

kgsradian

ms

−

−

× × × ×′′= × =

× ×

ه@0 . ث! م6 ار1.75!(اف م#( اe:ء < :ر0 م6 سX اB7 ی#وي إ: أي

, ا&, ا<=(ی ا<ت, 6 ه@0 است آ!O م#وی < اص م6 رص اe:ء ا<

B7 Lآ#:ف آم > B74(ب 4(ص ا Zم6 آ:آ C#ا . .ت# ه@0 ا=ه(0 ب&س> ا,ذب

ا 122 ل اج ا

إح ا

اا ة ها ا بر حارة : ح ) ا'&% $ #"! ,+ر ا*') ا(

$ #"! (ء ,+ر'(ء م% ه: ا9ص 567 .*) م% .*"م ا'ها ا*')، 2 '01/ .*"م ا

ا0*"م 7 م*ة درب 0 دراس ا ا+در م% ب@ . &ص ب> و ب(6".> وبر حار>

..L,ح "ان $ ه: ا0*"م آI هوا إ G7ان ب@ أ،، ه ا(9++% بDا ا(*لا

."ان ا ." ا"ن اMح(أ

Sع مك ". أر " راP 0هة دوب 7 أ&ف "ا اMم"اج ا+درة م% مN0 م"

00، ه: اTه: " ا("ج اGدم .". و إ س"اء Mم"اج*(N ا.S9ض " ا("ج ا(

6وم0X$'> (اV"!>ا+"> أم M)ا"ذو "D7 00 مS90@ أي إذ آن مN0 اV"ء ,

ب .". S7> ذو G, ء"Vا N0ح( و إذا آن مMاح ." اL0م !"Vا N0)ها ا $ / "

. اS0'* أواMزرق أي مL0اح ."

,حت ." اMح( 'وي م*("ع .L س6"ن S7 ه: ا م*("ع ا^إذا آن ا6"ن 7 ح

6> أن $ (N ا(*ات.L,حت ." اMزرق ب0( ( س*`ا^Sرصد اMاح ." اL0م

..L,ح 0سd $د, مN ب ا(*ة % اMرض و ها ,b, 67ة ا6"ن ا('NاMح( و .' ها ا^

ا^.L,ح ." اMح( 7 ا ا %". ,T. 'S ('07'ت ا / +در م% ا0*"م ح

/ ه: اTه، ا'd ا/ ح5G ا*ذب> و أر`ة ه: اTهام `G ا^.L,ح ةو .' أ$

أن .*( ذو ح5G ذب s"ي ,+ر ، و ه " )Gravitational redshift(." اMح( ب*ذب>

ع ، دد ع #"! tها ا !"V5 اGها ا * مL0اح"إذن ه، ا ، sب ها ا0*) .

، 6% آ( أ S'* ." ا0ع اV"! % ها ا0*)بtها ا ، 5s أث ح5G ا*ذب > و ب

ع اV"! ." اMح( ,S90@ دد:tح "ن ها ا,L.دد ا/ إ . ، ,bدي إ.S9ض ا

ا 123 ل اج ا

0Mی. س> ا(C ا) یIس ب اMم6 ی6G أن تG:ن أي وس ذات ح(آ ت<وب م<= و( م

O!إذا آAو B و ادث C)ن ب,ورة س> ا J) ه@0 ا A وO&4 ب& ادث B حدث

. Aحاث> اMم6 دث آ( م6 إ أBحاث> اMم6 دث إ

ا(ابX ا<س J) . دثن J) م(C خ(D و C بی> و !ی> حدثن آ@B Dو A !9(ض أن

64س D و CابX ا<س ب6 م#وی (Bو AاMمGن ب .6 م6 ا:ادث ی، G هت6 ا

: ، إذن sdاMمن J (Jصن م#وین م6 ا,:دی#

ds∫

( )22 i

iids g dx=

ix[ن اGزم C)م (J ت حدثMی3x و 2x و 1x حاثت إحاثJ ءeJ تحاث) ا] إحاث

ا(C و 4xic

إذا آ!O ا#> ا) یIس ب زم6 حوث ه@0 ا:ادث سآ< . ر0 6 اMم6

1ب<# (9J C) ه@0 ا> 2 3 0dx dx dx= = = D@ :

( )22 2 2 244 44ds g dx c g dt= = −

Xه@0 ا(اب (J tci 4xXاب)9ص ، إذن ا s ( )3x و 2x و 1x ( إحاث> اMمJ 6) ا<t XI ا

:ه)

44s ic g dt= ∫

و ذD ن s ا(ابJ X) ه@06، و ی6G تری_ ا# ا(sdC خ6 خ6 زم< ، بJ 6ص

Qsب

icT : ب@0 ا%:رt0 ا(C و إحاث> اMمJ 6) ا#Tو س% ا(ابX> ب6 اMم6 =

44T g dt= ∫

و سآJ ،6) ه@0 ا &Y :ت6 ح#Z ا, ا#44gإذا آن حLI ا,ذب> (ϕ(ه:

ا 124 ل اج ا

44 2

21gc

ϕ= +

D@:

2

21dT dtc

ϕ= +

7رإ!Xا%در م6 ذرا 7ر9ص اMم< ا) ت<c( ت<وب إ ا إذن،آ#> م&ر ی&(ة!

ا%درXط ا:X6 م6 ةخ6 م9وت!Gم (J 66 سآ<إذا آ!O ه@0 . م#وی>ذرت6 م7ب

دور2dt 0 و 1dtذب هت6 ا@رت6 و J) حLI ا#) ,ا2ϕ و1ϕو dTا9ص اMم<

2(ابX> م6 ا. حاث> اMم6ت<وب آم ح#Z إ

21dT dtc

ϕ= + L%! :

1 21 22 2

2 21 1dT dt dtc c

ϕ ϕ= + = +

L%! .ث:

22

1

2 12

21

21

dt cdt

c

ϕ

ϕ

+=

+

(> تC7&7 ن ا@رات J) ح!9(ض إ:Y تeأو وم (<XI! (J و ،حاث إta م6 حLI ذب

tbو ′taحاث زم< I> م:ج ث! و إtbزم< I> ا: ا<ت, م6 أش&ت ه@0 ا@رة و ′

اش&ت ح وص: D ا<XI> م6 حLI اMم6 ا@ي ی#V(ق م6 => صور ه@0 ا:مeت أو

،<ن ه@ی6 ا(&6 سآ<9J 6ص اMم< م6 => صور 4> م:ج ح و ص: ب إا,ذب

: @0 ا<XI ثب، إذن

ا 125 ل اج ا

t t t t t t t ta a a ab b b b′ ′ ′ ′− = − ⇒ − = −

وی#وي ة J) ه@0 ا<XI> م#LI 6 مGن ه@0 ا<XI>م6 ه@0 ا(ابX یe أن ت@ب@ب ه@0 ا@ر

@ب@ب آL م6 هت6 ا@رت6 ح#Z ا#> ا::دة J) مGن ت:ا ا@رة !9#، إذا ا9ص اMم<

:، إذن:ط ه@0 ا@رتJ 6) ه@0 ا<XI>ب خX ت@ب@2νو 1νآن

12

1

222

21

21

c

c

ϕν

ϕν

+=

+

:ب& ال ا,(ی ه@0 ا(ابL%! X ام6

12

1 1 12 2 2 2

21 212 2

22 2 1

22 22

2

1

11

1

2 21 1 21

2 21 121

V

c c cc

c c

cc cc

ϕ ϕϕ

ϕ ϕϕ ϕ ϕ

ϕ

−

⇒ +

⇒ + − ⇒ −

+ ++

+ ++

≃

≃

≃

)V%ا<=( 6 ا&رات ا >e 4 ه@0 ا(واب (J2 ة ا آ&رة 14c

ϕ ϕ

:إذن

1 1 22

2

1c

ν ϕ ϕν

−= +

ا 126 ل اج ا

: J) ه@0 ا> سX ارضم` @رة وا4&> سX اB7 و أخ(ى م7ب>

m س(> اe:ء J) ا £ 299 792 458 c

s=

ثبO ا,ذب ا&م <:ت6 3

112

6.67 10m

Gkgs

−= ×

B7ا<301.99 آ 10sM kg= ×

!% B7ا )X4 86.95 10sR m= ×

245.97 آ> ارض 10eM kg= ×

X4 %! 6356000eR( ارض m=

ا,ذب ه:،اLV7 ا@ول ) ح(J XI! > )LI م,ل Gravitational Potential ا,ذب

م6 ه@0 ا<XI ا م; !یGوحة ا LI> .0 أخ(ى ب&ر GM

Rϕ = −

7

12

11 2

6.27 10

1.907 101 1.00000212

ee

e e e s

s ss

s

GM

R

GM

R

c

ϕν ϕ ϕ νν νϕ

= − = − × −⇒ ⇒

= − = − ×

= + ≃

)Vص Iةه@0 ا B7ا >6 4س، 6G : أسGب7&(ي ا و ;ی <!, ثث6 م(ة ا>J

®X>ت ,> و ا<Iارصدأآ( م6 ه@0 ا _! G9ا .

ا 127 ل اج ا

ت8ا! ` ادة دWت ا

J ح> و:د ادة (J LIا L%9ه@ا ا (J Q>ی6، س_ م&د;ت حLI أ!7>م&د;ت حLI . ث. !#

0Rµνخ£ ا!7ی6 2أش &د;ت ;بس ا> ا, ا<:ت<) eJ (Jء Jرغ = 0ϕ∆ ، 6G إذا =

ج م&د;> أرد! أسJ ا::دة <Gث(ا بدة أو اNی6G أن تG:ن ه@0 ادة م` (ت حLI ذب م

> ا::دة داخL ارض أو اVر و اخن ا::د J) اG:نGه@0 ا> !6 ب> ا ) ا (J

poisson( 2 (ن:ا<=(ی> ا<#> ا&م> اJG> مC م&د;ت ب:اس 4 Gπρϕ∆ JG) ه@0 ا&د (=

:ت6 و > (!:Gا ). اρ<J`GثبO ا,ذب

<#:ر م 9%(، %:ل م&د;ت اLI ادي ی,Z أن یG:ن ت<#:ر ری7) م#وي

)V<#:ر ا م<#:ر ا<سZ ه: ا4XT> ا µν 6( #:رت<، ; ی6G ا#وي بVT ; م µν

Cر م:#>( تV Rµν م

ZG!ر:#>( ب@0 ا%:رةRµν اV : ب%V> ; م

R g g Rµν µρ νσρσ=

:إذن

R kTµν µν= −

<Xه@0 ا(اب (Jk#م> او ا& Oی) ثبMJ )B تNث L ب& ا&ت ا#ب#أح .

6Gی (ت ا> م6 ه@0 ا(ابX ه) أسMام اس>0Tأس µν =X#ن اGمMا (J .ن ب إ

<4 D@ J أث( و:د ادة M س:I( kاe9ء یVص <X) ه@0 ا(ابJ 6 اةG( و ی=>

X#ن اGمMا (J >.

(G! J) ا<س ا(ی! أس<دا مXبI> ب

1

2 ;0RgRµν µν

ν

=

−

ا 128 ل اج ا

®Xا LY9 و ا(ابX ب6 اLY9 اX® و ،J) ه@0 ا(ابX ا&م خرج اI:س6 ه) ا

( ه)V :اLY9 ا م

D dxA A

ds ds

σµ µν ν

=

T;0إذا آن µνν ; ی#Mم ه@ا = 0Rµν

ν = Z:; مXبI> ب!G) ت# ,R Rν ν=

:إذن

1

2Rg kR Tµν µν µν= −−

6 ه@0 ا&د J) . 1915ه@0 ه) م&د;ت حLI أ!7ی6 ا) (ح م J) >ب)Y إذاgµν

6 ب@0 ا(واب &#! D@رم6 ح#بآ:#> : ا

T g T µνµν=

R g Rµνµν=

)G!ي آ(و : ت&(ی9 ب@0 ا%ijδVد

1

0µνδ

=

11 22 33 44 1 1 1 1 4g gµνµνµν δ δ δ δ δ= + + + = + + + ==

:!%L ه@0 ا&د;ت

1

2Rg kg R g g Tµν µν µν

µν µν µν= −−

1

2(1 1 1 1)R R kT R kT+ + +− = − ⇒ =

if

if

µ ν=

µ ν≠

ا 129 ل اج ا

R kT=

D@1 ی6G آب>

2g R kR Tµν µν µν= : ب@0 ا%:ر0 −−

1( )2R k T g Tµν µν µν= − −

:م6 !_ ه@0 ا&د;ت

J 0T) ا £ -1 µν 0Rµν و ت% ه@0 ا&د;ت ب%:رة = , مJG> و= مC ه@0 ا<

0Rµν =

2- Z#ه) ح LIم&د;ت ه@ا ا gµν<Xخ ) (J تI_ ه@0 و م7! C 6Gی ; D@

6 آL م< ه،ا&د;تIم,:ع ح BG) . : !% آ(0 سL ا`ل اLI اG(وي ه:

<> أ!7ی6، أآ`) &د;ت اLIی&(X :مXخ ا<=( 6 ه@0 ا> ا <JYNب Dو ذ

بe:ر ه@ا . ه@ا ا`بO ی6G أن یG:ن سZ، م:Z أو ص9( ،ΛثبO آ:!) @0 ا&د;ت ه:

:ا`بO اG:!) ت% م&د;ت اLI ب@0 ا%:ر0

1

2Rg g kR Tµν µν µν µν+ Λ = −−

(!:Gا Oا`بΛ م7ب ا R ء و وحتe9س ا:I2 ت

1m

<4 O!إذا آ ، Λ<:د مe0 م)NثJ

<ت. س9دة م6 ه@ا ا`بJ O) !:ذج آ:!) م<# مC ت&,Lی6G ا. ,ذب > ح#Z اIا ،

<IXحود ا (J (ه O50 @ا ا`ب2110m

−Λ J) است ا آ:! ی6G ا<=( 6 >

Oه@ا ا`ب.

<Xب< ه@0 ا(اب)Y إذا (J gµν L%! :

4R kT= + Λ

<Xو م6 ه@0 ا(اب L%! :

ا 130 ل اج ا

1( )2gR k T g Tµν µν µν µνΛ= − −

) ب ادة ه@J) اMمGن اJ و X#<Xب%:رة0 ا(اب :

gRµν µνΛ=

ه@0 ا(ابX ه: eJء أ!7ی6، و آeJ Lء ذو تI:س ثبO ه: eJء أ!7ی6 J ء ت%قeJ Lآ

6G، Oس ثب:Iء تeJ Lث) اب&د( ; آء ثeJ ی6) س:ى .ه: eJء أ!7

7ی6 و ی#وي ه: ثبO ا,ذب ا&م اJk) ه@0 ا(واب و ا&د;ت !:

243

48 2.073 10

.G s

k kkg mc

π −= ⇒ = ×

G ت6 و:> (!:Gا 4L . س(> اe:ءc ثبO ا,ذب أث) ه@ا ا`ب(J O حود ا<=:م ا#7

.ا و ی6G ا<=( <

> J) اe9ء رGا O!ر 6 ةإذا آ<X4> م6 ه@0 ا(ابXا <4 6 J) ه@0 ا> ی6G ت&

2T c ρ= Xه@0 ا(اب (J c ء:eا <)و سρ<J`Gا .

ا 131 ل اج ا

د2 ا82ن

8ت إسدا &1 ا ا

<=(ی> ا<#أL4 ا!:Gا Gج بی<م> ا&م اLeJ أن !أ ب<=(ی ا7 !:ت< س

.;حI م6 !=(ی> ا<#> ا&م>ا !M و !:ذج ی6G إم&د

2ن :!أ م6 م&د> ب:اس 4 Gπρϕ∆ (ا اJ`G و ه) دا> J ρ) ه@0 ا&د =V اMمJ 6 أي

( )tρ .ب و ، ه: eJء ذو ت<c( آ)ويΡ ا:ا(J 4 ا<XI>(اZ4!9(ض أن اMمن ا@ي ی

2 م ; !ی و :اب ه: J) ه@0 ا<ϕ<XIی6G ان تG:ن ; 3 ...a b c dσ σ σϕ = + + + J) ه@ا +

4ي م6 ا<XI>ص J) اe9ء ا] اσ9ا#وي Ρ <XI>ه اMأو بح(ى آ(ة م(آ ، Ρ . <أح أ:ب

ϕ(ه :

223

Gπ ρσϕ =

dم&د;ت !:ت6 (آ اورا! ه)

dσ

σϕ

= −ɺɺ D@ 43

Gσ π ρσ= −ɺɺ ء ح:لe9أن ا >Y)J إذا

<XI>ا Ρ :ه ه)X4 %! 0)آσ ةا و)Gه@0 ا (J ا::دة <G (ه M 34@ا ′3

M πρσ′ :إذن =

2

GMσ

σ′

= −ɺɺ

>Y)J حود ا,(ات و ا9ص م6 ا,(ة إذا (J Lأن ا9:اص Q <XI>ا ا Pوي ت#r 0@ه (J

( مC اMم6، ن J) حV> ا::دة J) ه@0 ا9ص> م6 اe9ء ثب و ; تGأ!#ط ا> ا <

إذا . و ه@ا أس<دا 4!:ن !:تJ 6) ا9ظة ; تخL و ; ت (ج م6 ه@0 اG(ةاe9ء NJن اد

P و ا,(ة Y)JQ< أن ا9ص ب6 ا,(ة

)رة 6 اا> )R t م6 إذنMه ا)V :ه@0 دا> م

2

GMR

R= −ɺɺ

ا 132 ل اج ا

(ابJ <X) ه@0 ا2

2

d RR

dt=ɺɺ و M

Mh

′> ا::دة J) آ(X4 %! 0(ه M ثبGJ O) و h ه< =Gا

( )R t

2 ب%:رة σ ح#Z ا9ص Y)J Iϕ< أن :اب 3 ...a b c dσ σ σϕ = + + + و ت:ص< ا+

22ا,:اب 3

Gπ ρσϕ 2 ب أن =3

Gπ ρ Oخ( آ`ب Oثب Cض :اب خ( م)J 6Gی D@ Oه: ثب

Λ :اب خ( ه: L%>2 و س 216c σϕ = − ΛC,ا < و &< أو ا(اآZ إذا أس&< بNت49

6 : س<%L ه@ی6 ا,:اب

24 1

3 3

dG c

dπρ σ σ

σϕ

= − Λ

6) ر0 6 اا P وY)J IQ< أن ا9ص> ب6 ا,(ت )R t ا@ R σ= و R σ=ɺɺ ɺɺإذن :

2

22

4 13 3 3

GM c RR GR c R R

Rπρ

Λ= − + Λ ⇒ = − +ɺɺ ɺɺ

6 ا&د J) ب)e!2

2 3GM c R

RR

Λ= − +ɺɺ (J 2Rɺ) LمGب ر0 6 ت)eا&. أن ) ه@ا ا Cم

( )22RR R′=ɺ ɺɺ ɺ و ( )2RR R ′=ɺ 2 و 2R

R R

′− =ɺ

: !%L ا

2 22 22

3GM c R

R kcR

Λ= + − ɶɺ

Xه@0 ا(اب (J2kc− ɶأن ث >Y)J إذا LمG2CبO ا GM=ا ه@0 ا&د L%! :

22 2 2

3C c

R R kcR

Λ= + − ɶɺ

® ب6 ه@0 ا&د و ا&د J: Dخص و ذ O9د0 م6 ث:ابا) ت&! J) ه@0 ا&د;ت بس

D ا<#> ا&م>!G :س<#<, م6 م

ا 133 ل اج ا

إسدا &1 ا ا

( واآ–!أ ه@ا اQ ب(ی> روب(ت#:ن

1k ا(ی>J) ه@0 = 0k و ∓ =

22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

( )( ) ( ) sin

1R t

ds c dt dr R t r d R t r dkr

θ θ φ= − − −−

:م&د;ت حLI أ!7ی6 @0 ا(ی>

2

2

12 ( )

kr

R tα

−= −

2 222 ( )B g R t r= = − 2 2

12 ( )R t r

β = −

2

11 2

( )1R t

A gkr

= = −−

2 2 2

12 ( ) sinR t r

γθ

= −

244D g c= =

2 2 233 ( ) sinC g R t r θ= = −

2

12c

δ =

1

2G Rg g kR Tµν µν µν µν

µν = + Λ = −−

ا 134 ل اج ا

:إذن2

3311 2211 22 33 2 2 2 2

2GG G R R k

g g g Rc R c R= = = − − − + Λ

ɺɺ ɺ

24444 2 2 2

3 3G R k

g R c R= − − + Λ

ɺ

6Gی D@م6ا`ل ام(ا&> آ`.

O!إذا آµ ν≠ ه@0 ا (J 0Gµν = D@2 آT c ρ=) <Xه@0 ا(اب (JT 4> وXا c

6 أJ 0) 4!:ن حLI م أ!7ی6 إذا وY&< ه@0 ا(ابX و ا&د) اρ<J`Gس(> اe:ء و

4

8 GG T

cµν µν

π= −

6 :س<%L ه@ی6 ا7(

2

2 2 2 2

20

R R k

Rc R c R+ + − Λ =ɺɺ ɺ

2

2 2 2 2

83 3

R k G

R c R c

πρΛ+ − =

ɺ

L%! م6 ا&د او :إذا !I%< ا&د ا`!

2 4

3 3R c G

R

πρΛ= −ɺɺ

6 ا&د !e(ب J)2

2 2 2 2

83 3

R k G

R c R c

πρΛ+ − =

ɺ (J 3R L%! :

2 32 2 38

3 3c R G

R R kc R RπρΛ

+ − =ɺ

اX(ف ایJ 6) ه@0 ا&د> ه: 4

8 GP

c

π− Veا <4 P)9ص

ا 135 ل اج ا

3شIق اX(ف ای#( ی#وي إ 2 2 22RRR R kc R c RR+ + − Λɺɺ ɺ ɺ ɺ ɺ

6 ا&د J) ب)e!2

2 2 2 2

20

R R k

Rc R c R+ + − Λ =ɺɺ ɺ

(J2RRɺ L%!

23 2 2 2

2 2 2 2

20 2 0

R R kRRR R kc R c RR

Rc R c R+ + − Λ = ⇒ + + − Λ =ɺɺ ɺ

ɺɺ ɺ ɺ ɺ ɺ

Xا(اب LY9أن ت _>38ان ی6G أن !#3GR

πρ ی#وي د Xه@0 ا(اب LمGی#وي ص9( إذن ت

L`م OثبCأي :

3 38 80

3 3G GR R C

πρ πρ = ⇒ =

′

, أي 38إذا و Y&< ه@0 ا<3GR C

πρ= (J ا&د

2

2 2 2 2

83 3

R k G

R c R c

πρΛ+ − =

ɺ L%! :

2 22 2

3C c R

R kcR

Λ= + −ɺ

4> 9(یمن و 4 تG< م6 إI م6 ا<=(ی> ا7 !:ت<> و م6 !=(ی> ه@0 ه) ا&د> ا]ش>س

واآ(، –(وب(ت#:ن " اVري" > ا&م> J) ا<:ذج ت`L ه@0 ا&د حود ا<#. ا<#> ا&م>

,! (J Qه@0 ا&د> و ا Lف ه@0 #< ه< ب%د ح)&، ی6G م(ا&> ا%در

م6 ه@0 ا&د> و من ه<ك !_ شG <I:ن ی6G إJ) !:ذج J(ی .ا&د> و أ:ب>س

.ت_ ه@ا اL مC ا<:ذج ا7 !:ت<)ح، آ@D ی6G مIی#> !

ا 136 ل اج ا

C . م&د> J(یمنJ) " kɶ" <4X ا`بO ا<:ت<) بیL ه:Jk) ا<#> ا&م> ثبO اI:س (J

0kا<ذج ا<:ت<> ی9(ض إن اe9ء م#X أي =ɶ ، @ا J<:ذج ا<#) ا&م ا:ح ا@ي ه<س

J ت<) ه: ا<:ذج ا@ي:0kی7ب ا<:ذج ا< = . J (1k!ذج ا<#> ا&م> ا = ت7ب ±

J (1k!=(ه ا<:ت<> ا = ∓ɶ :7ب ه2 ت7ب م:Y&)، أي اا> ه@ا ا ( )R t ه@ان G

> م6 مIی#> ه@ان ا<:ذن،. مI:س ا<#>eJءأم ا<:ذن م#وی> G إذا آ!O ا4X> اG<ت

<I:س اe9ء J) ا<#> ا&م>،أآ( م6 4> ا(وباJ L4أ O!وإذا آ ،Zء سe9س ا:Iت

Z:ه: . م <، @D !ت_ اJ`G> ا&!:Gا <J`Gا Cس> م>إس<دا ثبO هبL، 4> ا(وب م

> آ:ن م9:حIا <J`Gو !ت_ ا ®Vآ:ن م .

ا 137 ل اج ا

ا 138 ل اج ا

ا 139 ل اج ا

1ا\ل

:اX:ب م(ی> آL م6 ه@0 ا#X:ح

( )2 21

2z x y= + ( )2 21

2z x y= −

:2-ا^ ا :حاثت ا:یL @0 ا(ی> ه)إ

:إذن

( ) ( )( )222

cos cos sinsin sin cos

cos sin2 2

x r dx dr r d

y r dy dr r d

a arz r r dz ardr

θ θ θ θθ θ θ θ

θ θ =

= ⇒ = += ⇒ = −

= + ⇒ =

( )2 2 2 2 2 2 2 2 2 21ds dx dy dz ds a r dr r dθ+= + + ⇒ = +

Hyperbolic Paraboloid Paraboloid م,#. مJG ه@:)

JGم,#. م

cossin

x r

y r

θθ

==

ا 140 ل اج ا

8,ا^ اD9 :2- ا

< م6 م(ی> ا#X:ح اورا!I&ه) اآ`( ت X#(ی> ه@ا ا( دورا!) و م Xه@ا ا,#. ه: س ،

6 ب@saddle-shaped .( 0(#. آ@D بLG7 ا#() ه@ا ا,ی&(ف&#! LG7ی> ه@ا ا)ج م>]س

:ا:یت

x r

y r

θθ

= += −

( ) ( )( )2 2 2 2 22

z r r

x r dx dr d

y r dy dr d

az ar dz a dr ardθ θ

θ θθ θ

θ θ θ= + − ⇒

= + ⇒ = += − ⇒ = −

+ = ⇒ = +

( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 4 2 48ds dx dy dz ds a dr ar drd a r dθ θ θ θ+ + + += + + ⇒ =

2 211

2 2 221

2 222

2 482 4

rr

r rr r

g g a

g g ar ds g dr g drd g d

g g a r

θ θ θθ

θθ

θθ θ θ

=

= ⇒ + +

=

= += == +

D@تآی: :ی6G ا]س&!> ب@0 ا

coshsinh

x r

y r

θθ

==

ا 141 ل اج ا

2 ا\ل

:,#. اJG ب@ا اLG7م&د> ا

( )1 2 2

2z a x y= +

. مIار ثبO أآ( م6 اa)9% ه@0 ا(ابJ <X). اX:ب إ!<ء ری7) و إ!<ء وس @ا ا,#.

Lر رین: ا:#>> ی6G ح م6 خل تY9 ه@0 م#> J) ا<س> ا

Z م&د> ه@ا ا,#. اJ JG) ا]حاث) اXI)، ا:یت ه)G!:

cossin

x r

y r

θθ

==

( )2 2 2 2 2 2 2 2 21ds dx dy dz a r dr r dθ= + + = + +

21 12 0g g= = 22

112 2

2

1

11

ga r

gr

=+

= 21 12 0g g= =

2 211

222

1g a r

g r

= +

=

11

11

11

11

22

11

11

22

22

22

22

22

21 111 11 2 2

1 1 112 12 21

1 122 22 2 2

2 211 11

2 2 212 12 21

2 222 22

12

12

12

12

1 12

12

1

0

1

0

0

g

g r

g

g

g

g r

g

g

g

g r

g

g

a r

a r

r

a r

r

θ

θ

θ

∂⇒

∂

∂⇒

∂

∂⇒

∂

∂⇒

∂

∂⇒

∂

∂⇒

∂

Γ = Γ =+

Γ = Γ = Γ =

Γ = − Γ = −+

Γ = − Γ =

Γ = Γ = Γ =

Γ = Γ =

ا 142 ل اج ا

س> ری7) @ا ا#X اورا!) ی6G ح#ب م6 خل ت<#:ر رین و ت<#:ر ری7) ب@ا

:ا%:رة

2 22 1 2 2 2 1 2 211 12

1212 21 11 22 11 11 12 21 1222 rR g

θ

+∂Γ ∂Γ= − Γ Γ +Γ Γ −Γ Γ −Γ Γ∂ ∂

22 1 2 212

1212 21 11 21 1222 rR g

+∂Γ= − Γ Γ −Γ Γ∂

2 22 222 1 2 2121212 121221 11 21 1222 2 22 2 2 2

1 11 1r

a raR g R rr a r r a r

+∂Γ= − Γ Γ −Γ Γ ⇒ = + − =∂ + +

222 2 2

11 1212 2 2 2 2 21

1 1a r a

R g Rr a r a r

=

= =+ +

( )22 2 2 2

1122 1212 2 2 2 2 2 2

1

1 1 1

a r a rR g R

a r a r a r

=

= =+ + +

( ) ( )2 2

2 2 2 211 22

11 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 1 21 1 1 1

ji

i j

a a r aR g R g R g R

a r a r r a r a r

+ =

= = + =+ + + +

( )22

2 2

2

1

aR

a r=

+

:!<ء وس @ا ا,#. ح#Z ه@ا اI!:نإ

11 1211 2 12 1 2

1 s sr s r s

r r sK gg rθ

∂Γ ∂Γ= − + Γ Γ −Γ Γ

∂ ∂

J1,2r) ه@ا اI!:ن 1,2s و = 21 و ب أن = 12 0g g= =D@ :

ا 143 ل اج ا

2 21 2 1 2 2 2 2 211 1211 12 12 11 11 22 12 21 22

1K g

g rθ

∂Γ ∂Γ= − + Γ Γ −Γ Γ + Γ Γ −Γ Γ

∂ ∂

:ه:

2 2

1 2 2 2 2 21211 12 12 212 2 2 2 2 2 2 2 2 2

( ) ( )

1 1 1 1

1 1 1a

K r K rrr a r r a r r a r r

∂Γ= − + Γ Γ −Γ Γ ⇒ = + −

∂+ + +

( )22

2 21

aK

a r=

+

ا 144 ل اج ا

3ا\ل

Gی> زم) :ن ب@ا اLG7م2 2 2 2 2 2axds dx dy dz e dt−= − − − +

aOار ثبIب . م:Xا:

.أح#Z آL . آ(ی#:LJ ا 9> %9( @0 ا(ی> -

- .6 م&مL ت<#:ر رین

ا]!<ء ا#) -

.م6 م&د> حLI أ!7ی6 أو م&مL ت<#:ر ا4X> @ا اe9ء -

) أو م&د> ا,:دی#) - )x t ءe9ا ا@.

1x: !9(ض x= 2 وx y= 3 وx z= 4 وx t=

:. آ(ی#:LJ ا 9> %9( ه)

441

11

441

44

11 1 1 244 44122

1 4 43314 142

44

1 12

12

ax

ax

ga

g x

ga

g x

ge

g

g

g e

=−

= −

= −

−=

− ∂ = ⇒ = −∂

⇒∂ = − ⇒ = −

∂

Γ Γ

Γ Γ

(7 :م&مL ت<#:ر رین و ری

4 44 4 4 4 4 4 4 214 14

11 141 4 11 1 14 11 141 1 14 41 144 1s s s

s s sx x

R R R R a⇒ = =∂Γ Γ

− + Γ Γ − Γ Γ −Γ Γ −Γ Γ∂ ∂

= = = = −

4 211 141R R a= = −

1 1 1 11 1 1 1 1 1 444 41 44 44

44 414 1 44 4 41 44 414 4 41 44 411 4 1 1s s s

s s sx x x x

R R R R⇒ =∂Γ Γ ∂Γ ∂Γ

− + Γ Γ − Γ Γ − Γ Γ − Γ Γ∂ ∂ ∂ ∂

= = = =

21 2 2 2) ( )( )44 414 ( ax ax axa a a a

xR R e e e− − −

− =∂

⇒ − − −∂

= =

21 244 414

axaR R e−= =

ا 145 ل اج ا

:ا]!<ء ا#)

2 2111 44 2 2( 1)( ) ( )( ) 211 44 2

ji

i j

axax

ea aR g R R g R g R a e−

= − + =−⇒= = + −

22R a=

:م&مL ت<#:ر ا4X> @ا اe9ء

21 1 12 2 2( )(2 ) 044 44 442 2 2

ax axk k

ij ij ija eR g R T T R g R e a− −

⇒ = − =− = − =

044kT =

21 1 1 2( )(2 ) 011 11 112 2 21k k

ij ij ijaR g R T T R g R a⇒ = − =−− = − = −

011kT =

.ه@0 م&مX4 L(ی> J:9%> ت<#:ر اJ <4X) ه@ا اe9ء

: @ا اe9ءم&د> ا,:دی#)

2

2 0jk i

kij

d x dx dx

ds dsds+ Γ =

ji

ij

dx dxg C

ds ds=

2

2 2

222

22

( )2

2( ) 1

0

0

1

a

ax

jiax

ij

a

a

d t dt dx

ds dsds

d x dte

dsds

dx dx dt dxg e

ds ds ds ds

−

−

− =

− =

− =

= ⇒

dx !9(ض أن

dsν : إذن=

2 20

2 ( )2 0(1 ) ln(1 ) 2 ( ) 1 a x xa a x x

de

ds

νν ν ν ν −= + ⇒ + = − ⇒ + =

2 ( )2 01 a x xeν −+ =

ا 146 ل اج ا

4ا\ل

LG7ن ب@ا اGی> زم) :م2 2 2 2 2 2( )( )ads t dx dy dz dt= − + + +

:اX:ب

. آ(ی#:LJ ا 9> 9%(

م&مL ت<#:ر ری7) ا 9> 9%(

ء ا#) @ا اe9ءا]!<

LJ: :. آ(ی#

1x: !9(ض x= 2 وx y= 3 وx z= 4 وx t=

114

44

114

11

2 4 4 4 4 4 4 211 11 22 33 11 22 33

222

233 1 2 3 1 2 3 2

14 24 34 14 24 34 244

1 1( ( (2 2

(

( 1 1( (

1 2 (

) )))

)))

)

ga ag x t

a

a ga

g x ta

g t t

g t

g tt

g t

=

=

=

=

∂ ∂ = = = − ⇒ = = = − ∂ ∂

⇒ ∂ ∂ = = = ⇒ = = =

∂ ∂

− Γ Γ Γ Γ Γ Γ −−

−Γ Γ Γ Γ Γ Γ −

−

4 4 411 22 33

1 2 314 24 34

aa

a

a

= = =

= = =

Γ Γ Γ

Γ Γ Γ

ɺ

ɺ

(7 :م&مL ت<#:ر رین و ری21

1 1 1 141414 41 41 4144R R

tx

a a a

a a a⇒

∂Γ ∂ = − − Γ Γ = − − = − ∂∂

ɺ ɺ ɺɺ

1 2 3414 424 434R R R

a

a= = = −

ɺɺ

ا 147 ل اج ا

( ) ( ) 24

4 4 1 111141 11 14 4144 2R R

tx

aaa aa aa a

a⇒

∂Γ ∂ = − − Γ Γ = − = + ∂∂

ɺɺ ɺ ɺɺ ɺ

24 4 4141 242 343 2R R R aa a= = = +ɺɺ ɺ

1 2 344 414 424 434 3R R R R

a

a= −+ + =

ɺɺ

2

2

2

411 141

222 424

433 343

2

2

2

R R

R R

R R

aa a

aa a

aa a

= = +

= = +

= = +

ɺɺ ɺ

ɺɺ ɺ

ɺɺ ɺ

:ا]!<ء ا#)

( )2

11 22 33 44 2311 22 33 44 2 2 3 6 6

fR g R g R g R g R

a a aaa a

a a a+ + =

−

= + − = − −

+ɺɺ ɺɺ ɺ

ɺɺ ɺ

2

26Ra a

a a

= − +

ɺɺ ɺ

: @ا اe9ء,:دی#)م&د> ا

2

2 0jk i

kij

d x dx dx

ds dsds+ Γ =

2

2

2

2

2

2

( ) 0

( ) 0

( ) 0

d x a dt dx

a ds dsds

d y a dt dy

a ds dsds

d z a dt dz

a ds dsds

+ =

+ =

+ =

ɺ

ɺ

ɺ

22

2

22

2

22

2

( ) 0

( ) 0

( ) 0

d t dxaa

dsds

d t dyaa

dsds

d t dzaa

dsds

+ =

+ =

+ =

ɺɺɺ

ɺɺɺ

ɺɺɺ

ا 148 ل اج ا

(J (J ء ذرةe9اه@ا ا <XI>0 0 0, , )( y zx، ه@ا ا7(ط O0 تdx dy dz

ds ds ds= = = <= (J 0t إذن:

:م6 م&د;ت اX(ف ای#(

2

02 0d t

t t bsds

= ⇒ = +

:م6 م&د;ت اX(ف ای6

0

0

0

2 2 2

2 2 2 0

x x

y y

z z

d x d y d z

ds ds ds

=

= = = ⇒ =

=

!Gم (J Iء تe9ه@ا ا (J ه@0 ا@رة.

ا 149 ل اج ا

5ا\ل

:ا(ی22 2 2 2

)( sinds r d dθ θ φ= +

،6 :. آ(ی#:LJ @ا اe9ء ه)ت&(ف ب(ی> آ(ت

(J<ی) ه@0 ا2

11

222

2sin

g

g

r

r θ

=

=1x و θ= 2 وx φ=

111

11

112

11

221

11

112

22

221

22

222

22

1 111 11

1 1 112 12 21

1 122 22

2 211 11

2 2 212 12 21

2 222 22

12

12

12

12

12

12

0

0

cos sin

0

cos cotsin

0

g

g x

g

g x

g

g x

g

g x

g

g x

g

g x

θ θ

θ θθ

∂⇒

∂

∂⇒

∂

∂⇒

∂

∂⇒

∂

∂⇒ =

∂

∂⇒

∂

Γ = Γ =

Γ = Γ = Γ =

Γ = − Γ = −

Γ = − Γ =

Γ = Γ = Γ =

Γ = Γ =

: @ا اe9ء1212Rمس> م&مL ت<#:ر رین

llijl l s l sikR sj ijjijk ik skkx x

∂∂= − + −

∂ ∂

ΓΓΓ Γ Γ Γ

21212 121 1212 22

ll

R g R g R= =

ا 150 ل اج ا

2 22 1 2 2 2 1 2 211 12

1212 21 11 22 11 11 12 21 1222 2 1R g

x x

+∂Γ ∂Γ= − Γ Γ +Γ Γ −Γ Γ −Γ Γ∂ ∂

22 2 2 2

21 12 2 22 2

1212 ( )cos 1 cossin sinsin sin sin

R r rθ

θ θθ θθ θ θ

∂ − − Γ Γ = − ∂

=

2 2

1212 sinR r θ=

2 2

2

2 2 22

2211 1212 2

12 21

1122 1212

1

1

sin 1sin

0

sin sin

R g R rr

R R

R g R rr

θθ

θ θ

= = =

= =

= = =

س> ری7 @ا اe9ء ه) آ@D إ!<ء ه@ا اe9ء

22 2 2 2

11 2211 22

1 1 21 sin

sinji

i jR g R g R g R

r r rθ

θ× + ×= = + = =

2

2R

r=

:>ذات ب&ی6 و ه) رة 6 إ!<ء آ(تmanifold ( ،6(س> ری7) @0 ا(ی> ه) م

)c> . ا<:> J) ا ا4% م6 ا

<Xه@0 ا(اب (J ی%ق)c> :ي د م6 اب&د، إ!<ء eJء J) ی> ا

( )21

ijkl ik jl il jkR g g g gr

= −

) <Xه@0 ا(اب (JrOرة 6 ثب (ا ا`ل@ <Xاب)ص> ه@0 ا ®I6 تGی.

ا 151 ل اج ا

6ا\ل

LG i و j و k و l6إن ب(ه :

0l l lR R Rijk kij jki

+ + =

:ب إن

llijl l s l sikR sj ijjijk ik skkx x

∂∂= − + −

∂ ∂

ΓΓΓ Γ Γ Γ

:إذن

0

l l lR R Rijk kij jki

llij l s l sik

sj ijj ik skkx x

l lkj l s l ski

si sji j kj kix x

llji jk l s l s

ji sii sk jkk xx

+ + =

∂∂= − + −

∂ ∂

∂ ∂+ − + −

∂ ∂

∂∂+ − + −

∂∂

ΓΓΓ Γ Γ Γ

Γ ΓΓ Γ Γ Γ

ΓΓΓ Γ Γ Γ

=

م:C4 اJ L) اسL9 ب@ا

< (J Z ا#.ا(ت

ا 152 ل اج ا

7ا\ل

) J) إحاث) آ(وي م<G#J :G)م(ی> eJء , , , )t r θ φ(ه :

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2sinds dx dy dz dt ds dr r d r d dtθ θ φ⇒= + + − = + + −

LG7ء ب@ا اe9ی> ه@ا ا) :إذا آ!O م2 ( ) 2 ( )2 2 2 2 2 2 2 2sinr rds e dr r d r d e dtβ αθ θ φ= + + −

: . آ(ی#:LJ @0 ا(ی> ه)

111

313

323

1

cotr

β

θ

′Γ =

Γ =

Γ =

2( )144

2122233 sin cos

e

re

α β

β

α

θ θ

− ′Γ =

Γ = −

Γ = −

441

212

21 233

1

sinr

re β

α

θ

′Γ =

Γ =

Γ = −

): إن ) ( ) 0r rα β= : ت% ه@0 ا(ی> آ(ی> او أي=

2 2 2 2 2 2 2 2sinds dr r d r d dtθ θ φ= + + −

LG7ب@ا ا LJ: :ث. ت% . آ(ی#

111

313

323

1

0

cotr

θ

Γ =

Γ =

Γ =

144122233

0

sin cos

r

θ θ

Γ =

Γ = −

Γ = −

441

212

1 233

1

0

sinr

r θ

Γ =

Γ =

Γ = −

ا 153 ل اج ا

8 ا\ل

واآ(–م(ی> روب(ت#:ن

2 2 2 2 2 2 2 22( ) sin

1dr

ds a t r d r d dtkr

θ θ φ = + + − −

: J) ه@0 ا(ی>

1

2

3

4

x r

x

x

x t

θ

φ

=

=

=

=

2

11 2

2 222

2 2 233

44

( )1

( )

( ) sin

1

a tg

kr

g a t r

g a t r

g

θ

=−

=

=

= −

da. آ(ی#:LJ @0 ا(ی> إذا آن a

dt= ɺ(ه :

411 2

4 222

4 2 233

1 1 2 2 3 341 14 42 24 43 34

1 222

1 2 233

2 2 3 312 21 13 31

233

3 323 32

1

sin

(1 )

(1 )sin

1

sin cos

coscot

sin

aa

kr

aar

aar

a

a

r kr

r kr

r

θ

θ

θ θ

θθ

θ

Γ =−

Γ =

Γ =

Γ = Γ = Γ = Γ = Γ = Γ =

Γ = − −

Γ = − −

Γ = Γ = Γ = Γ =

Γ = −

Γ = Γ = =

ɺ

ɺ

ɺ

ɺ

ا 154 ل اج ا

:م&مL ت<#:ر ری7) ا 9> %9( ه)2

11 2

2 222

2 2 233

44

2 21

( 2 2 )

( 2 2 )sin

3

aa a kR

kr

R r aa a k

R r aa a k

aR

a

θ

+ +=

−

= + +

= + +

= −

ɺɺ ɺ

ɺɺ ɺ

ɺɺ ɺ

ɺɺ

:س> ری7) @ا اe9ء ه)

22

11 22 33 4411 22 33 44

6( )

ji

i jaa a k

aR g R g R g R g R g R + += = + + + = ɺɺ ɺ

22

6( )aa a k

aR + += ɺɺ ɺ

ت<#:ر أ!7ی6

12ijij ij

G R g R= −

( )2 2

22 2 2

2

2

1111 11

11

1 2 2 1 62 1 2 1

21

aa a k aaa a k

kr kr a

aa a k

kr

G R g R

G

+ += − − + +

− −+ +

= −−

=ɺɺ ɺ

ɺɺ ɺ

ɺɺ ɺ

( ) ( ) ( )

( )

2 2 2 2 22

2 2

2222 22

22

1 1 62 2

2 2

2

aa a k a aa a ka

aa a k

G R g R r r

G r

= − + + − + +

= − + +

= ɺɺ ɺ ɺɺ ɺ

ɺɺ ɺ

( ) ( ) ( )

( )

2 2 2 2 2 2 22

2 2 2

3333 33

33

1 1 62 2 sin sin

2 2

2 sin

aa a k a aa a ka

aa a k

G R g R r r

G r

θ θ

θ

= − + + − + +

= − + +

= ɺɺ ɺ ɺɺ ɺ

ɺɺ ɺ

ا 155 ل اج ا

( ) ( )22

2

2 2

4444 44

44

1 3 1 61

2 2

3 3

aaa a k

a a

a k

a a

G R g R

G

= − − − + +

= +

= −ɺɺ

ɺɺ ɺ

ɺ

2

2 23311 22

11 22 33

2a a k

a a a

GG G

g g g

= = = − + +

ɺɺ ɺ

ا 156 ل اج ا

9ا\ل

LG7ء ب@ا اeJ <ی) :م

2 ( ) 2 ( )2 2 2x xds e dx e dtφ ψ− −= −

)ب(هJ 6) ح> ) ( )x xφ ψ=J ء @ا اe9 ءeJ :هX#م.

( )dx

dxψ ψ ′= ( )d

xdx

φ φ′= 11

22

2 ( )

2 ( )

x

x

g

g

e

e

φ

ψ

−

−

=

= −

11

11

11

11

22

11

11

22

22

22

22

22

1 111 11

1 1 112 12 21

2( )1 122 22

2 211 11

2 2 212 12 21

2 222 22

12

12

12

12

12

12

0

0

0

g

g x

g

g t

g

g x

g

g t

g

g x

g

g t

e φ ψ

φ

ψ

ψ

−

∂⇒

∂

∂⇒

∂

∂⇒

∂

∂⇒

∂

∂⇒

∂

∂⇒

∂

′Γ = Γ = −

Γ = Γ = Γ =

′Γ = − Γ = −

Γ = − Γ =

′Γ = Γ = Γ = −

Γ = Γ =

( )

2 22 1 2 2 2 1 2 211 12

1212 21 11 22 11 11 12 21 1222

2 21212

R gt x

R e ψ ψ ψ φ ψ

−

+∂Γ ∂Γ= − Γ Γ +Γ Γ −Γ Γ −Γ Γ∂ ∂

′′ ′ ′ ′= − + −

ا 157 ل اج ا

( )( )

( )( ) ( )

222 2211 1212 2

12 21

2( )211 2 222 1212 2

1

1

0

R g R ee

R R

R g R e ee

ψψ

φ ψψφ

ψ ψ φ ψ ψ ψ φ ψ

ψ ψ φ ψ ψ ψ φ ψ

−−

−−−

′′ ′ ′ ′ ′′ ′ ′ ′= = − + − = + −−

= =

′′ ′ ′ ′ ′′ ′ ′ ′= = − + − = − + −

( ) ( )( )2( )11 22 2 211 22 2 2

1 1ji

i jR g R g R g R e

e eφ ψ

φ ψψ ψ φ ψ ψ ψ φ ψ−− −−′′ ′ ′ ′ ′′ ′ ′ ′= = + = + − − + −

−

0R =

ا 158 ل اج ا

10ا\ل

L6 آ(ی>. آ(ی#:LJ و م&د> ا,:دی#) م6 :

2 2 22 21 1

ds dx dyy y

= +

< ت&(ف ه@0 ا)ی> ب%9> :بت(G#97 أو ا%9> ا@:

Lا:

12 12 0g g= 11 و = 22 21

g gy

= =

1x: !9(ض x= 2 وx y=

1 11111 111

11

2 21111 112

22

1 11112 122

11

2 22212 121

22

1 12222 221

11

2 22222 222

22

10

2

1 12

1 12

10

2

10

2

1 12

g

g x

g

g x y

g

g x y

g

g x

g

g x

g

g x y

∂Γ = ⇒ Γ =

∂

∂Γ = − ⇒ Γ =

∂

∂Γ = ⇒ Γ = −

∂

∂Γ = ⇒ Γ =

∂

∂Γ = − ⇒ Γ =

∂

∂Γ = ⇒ Γ = −

∂

: @0 ا(ی> ه)م&د> ا,:دی#)

2

2 0jk i

kij

d u du du

ds dsds+ Γ =

ji

ij

du dug C

ds ds=

COار ثبIم <Xه@0 ا(اب (J .

. Z#دی#)ح:Z م&د;ت ا,G! LJ: :آ(ی#

ا 159 ل اج ا

1xب أن x= 2 وx y=إذن :

2

22 0d x dx dy

y dt dtdt− =

( )

2 2

2 2

22

2

2

2

2 0

1

( )

2 0

1 1

ay t

d x dx dy

y dt dtdt

d y dx dy

y dt y dtdt

dx dy

dt dt

+ − =

+ =

− =

4> او ه::اب ا&د> ا]I :ش

yJ)VF و !9(ض t رة 6 دا> اdx

dt : إذن=

2 2( ) 2 ln ln ln ln ln2

F F F y b F bydx dF dy dF dy

dt dt y dt F y= ⇒ = ⇒ = ⇒ = + ⇒ =

2 2F by bydx

dt= ⇒ =

<, :!Ce ه@ا ا,:اب J) ا&د> ا``> ا<2

2 4 2 2( ) ( )b y t a y tdy

dt

+ =

4> ه::اب ه@0 ا&د> ا]I :ش

0y<اب ه@0 ا&د:, < ه) 4> با

2a >Y)J آ Oار ثبIم C

( )0

2 2 20

( )cosh sinh

ayy t

a at a b y at=

⋅ − −

ا 160 ل اج ا

2byب أن dx

dt : إذن=

( )( )

20

02 2 2

0

sinh( )

cosh sinh

by atx t x

a at a b y at= +

⋅ − −

0x<4> با .

)م6 )y t و ( )x t L%! :

0

0

2 2 2 20 0 0

0

sinh

( )cosh

x xaat

by y

by x x a b yat

by y

−=

− − −=

2ب أن 2cosh sinh 1at at− , ا<> ه)s ی6G ح@ف = : م6 ه@0 ا(واب و ا<

22 2 2 2

0 0 0 02( ) 2( )a

x x x x y y yb

− − − − + =

أو

2

2 22 2

0 02 2

a ax x y y

b b

− − − + =

aه@0 رة 6 دا(X4 %! 0(ه

b (آMإحاثت ا و

22

0 02

0

ax y

b+ − Mا(آ.

إن (اIص( أو :دی#> ه@ا اe9ء ه) دا(ة مx . : ،<IVه@ا ا(آM م<X® م:ر

> أ!J OIX) ه@ا اe9) م(ك:Y <e! أو <e>ه@0 ا C)ء، HJن م#( ح(آ ه) دا(ة و س

<:eك(ا) . J) ه@ا اe9ء ا !XI> إ!X4) أو ا

ا 161 ل اج ا

11ا\ل

و -(ء 8دل

&د;ت حLI أ!7یG ، 6:ن ذو مدة حL ی ) Kurt Godel( (ض آ:رت :دل J1949) م

J) ه@ا ا<:ذج اG:!) و:د م<<ت . J) اI(ن ث!>0.01دوارة ، دوران ه@ا اG:ن حود

<<) ا&:ر م6 اي !J <XI) ه@ا اe9ء ، و ه@ا ب) ی# (اZ4 ا9#( اMمGن اIV> ی

(Yا ا .

(J <X(ق ا تNث( ا(آ> اورا!#! 6 >! Dه@ا ا`ل و ذ (J )!:Gه@ا ا<:ذج ا >Y(

<، و ه: بQ خص J) ا<#> ا ص> و ا&م> یQ م9ه. و 4:ا!6 ا<#> ار ا<#

.اوار

Iت و اس&> أ(یO ه@ا ا<:ذج I) @ا ا<:ذج و ه<ك تYه@ا ا`ل ا& ا(ی (J Q!

(J <!Gم (!:Gخ@ ه@ا ا<:ذج اN6 6 یG ، (Yا ا )بخ¤ م9:م ا#9 D9یء و . اM ا9

9) ب& است ا) تش مC ا9ه. ا<#> ا) . آG!> ا) أخ@ه !:ذج J(یمنG>س

Qه@ا ا (J ب`<ه.

LG7ء رب) اب&د ب@ا اeJ (J ی> :دل) م

22 2 2 2 2 2( 2 )

2

xxe

ds a dt dx dy dz e dtdy= − + − +

J0a) ه@0 ا(ی> :و ب أن <

2

1 3 3 1 1 3213 31 13

jiij

ds g dx dx

g dx dx g dx dx g dx dx+ ⇒

=

D@:

ا 162 ل اج ا

13 132 2 x xg e g e− −= ⇒ =

:إذن

1 0 011 21 31 410 1 0 0

12 22 32 42 22

0 013 23 33 432

0 0 0 114 24 34 44

xe

xij exe

g g g g

g g g gg g aij g g g g

g g g g

− −

=

= ⇒

D@و آ:

8 2

2 20 0

20 0 0

2 22 0 0

220 0 0

2

x

xa a e

a

xa exa e

a

a eg

−

−

= =

:إذن

111 21 31 4111 21 31 41 1 0 2 0

12 22 32 420 1 0 012 22 32 42

2 213 23 33 43 2 0 2 013 23 33 430 0 0 1

14 24 34 44 14 24 34 44

1

g g g gxe

g g g gij ij

x xe eg g g g

g g g g

g g g g

g g g gg g

g g g g a

g g g g

− −− −

− −

−

= = ⇒ =

:. آ(ی#:LJ @0 ا(ی>

:ا&. ا 9> %9( ه)112

1 223 13

2233

312

1

2

2

x

x

x

e

e

e−

Γ =

Γ = Γ =

Γ =

Γ = −

ا 163 ل اج ا

LJ:LG0ix . آ(ی#

∂=

∂1i م ى =D@ :

2 1 t sij ij ij si tjR

x−

∂= Γ Γ Γ Γ

∂+

:إذن م&مL ت<#:ر ری7) ا 9> %9( ه)

2

11

13 31

33

1

x

x

e

e

R

R R

R

=

= =

=

:س> ری7) @ا اe9ء ه)

11 13 31 33

11 13 31 33ij

ijR g R R g R g R g R g R+ + += ⇒ =

22

2 2 2 2 21 2 2 2 11

x x xx x xe e e

R e e ea a a a a

− − −

× + × ×= − × + − =

21

Ra

=

ا 164 ل اج ا

م(ی> :دل 2

2 2 2 2 2 2( 2 )2

xxe

ds a dt dx dy dz e dtdy= − + − Z ب@ا اLG7 ه@0 +Gت ! : أح

2 22 2 2 2 2 22

2

xxe

ds dt dx dy dz e dtdyω

ω= − + − +

ω<اویMم %9( ،ی&( 6 س(> ا Oثب

:حاثت اسX:ا!> ب@ا اJLG7) ا]ه@0 ا(ی>

2 2 2 2 2 4 2 2 24 ( (sinh sinh ) 2 2 sinh )ds a dt dr dy r r d rd dtφ φ= − − + − +

:J) ه@0 ا(ی>

0

0 2

r

φ π

≥

≤ ≤

ijادة J) . :دل رة 6 ر ذو آ`J> ثب> ، ت<#:ر اJ <4X) ه@ا ا&. ه: jiT u uρ=

<#:ر 2آ@D . ا#iu <) و ju اJ`G> و (Jρ ه@ا ا1

8 Gaπρ ثبO ا,ذب> ا&م G و =

:ت6>، (!:Gا Oه@ا ا&. و ا`ب (J :2 ه1

2aΛ = −.

ا 165 ل اج ا

:ت

LG7ی6 ب@ا ا :م(ی> . أ!7

2 2 2 2 2 2 2 22 sin

1dr

ds r d r d c dtkr

θ θ φ= − − − +−

:ء، ث. ب(ه6 ه@ا اe9م#ر:دی#)أو م&د;ت

J <9%) ا2πθ :) ه@0 ا&د>J #) ا,:دی م#رم<<ت ت%ق =

2

2 2 2(1 )( 1)drr r r

dλ µ

φ

= − −

. ثبJ µO) ه@0 ا&د>

J CY2) ه@0 ا&د> 1r

ν_ث. =>اص> أن م#) ش&ع اe:ء (J تGمL ا&د> م6أس

ا9%> 2πθ : م&د ه)، إه,) رة 6 =

2 2 1x yλ ν+ =

.حاثت اGرتMی> إy و Jx) ه@0 ا&د>

2ه) ه,)زم ورة واحة یوره J:ت:ن J) م#( ه@ا ا]أثO أن اMمن اc

πλ

<J) ه@ (ث!

<Xا(ابcء:eس(> ا ( .

ا 166 ل اج ا

ا 167 ل اج ا

Gب ,- *&* أه اص' ت ا*+: و اض و ا

اا General Relativity Glossary

Mي إ-(ب) (,!(

Dilation of time 6مMإت#ع ا Summation convention إC,ا <ت49 Doppler effect )أث( دوب Compton effect ن: أث( آمParallel displacement إزاح م:ازی Fundamentalist (:أص Even horizon اث ®Jأ Agree posteriori ب), ات9ق اح® أو م یNت) ب& اAgree priori ب), ات9ق ا#® أو م L4 اAether ) اثCoordinate ت ا]حاثCoordinate surface X#ت ا ا]حاثGravitational red shift ا]زاح> ا(اء ب,ذبParallel transpotr ل ا:ازيI ا]!Big Bang . ا!9,ر ا&=Torsion اء: أSpace warp ءe9اء ا:X!ء أو أe9اء ا: أFirst fundamental form اسس) اول LG7ا Second fundamental form (!`اسس) ا LG7ا Curvature س:Iإ!<ء أو ت Geodesic curvature دی#) !<ءإ: Ricci curvature 7) !<ءإ ریScalar curvature ءإ>! Iس س) )!<ء س إ أوس م:Iأو ت Fitzgerald contraction ا)MJ ضI!أ Contraction شG!ا–¤Iأدم - ت Elliptic (, إهDimension &ب Bolyai ( ب:Evidence <> ب

ا 168 ل اج ا

Affinity ت­ Affine (9ت­ Divergence ت Lorentz transformation M تیت :ری<Skew- symmetric )c> ت 9> اskew-symmetric )c> ت 9> اGradient ترج Connection Xت(اب Superposition Zت(اآ Quadratic & ت(بsimultaneity 6امMت Synchronization 6امMت Synchronization of clocks ام6 ا#تMت Gravitational acceleration ت#رع ا,ذبRectification ت%Apriori cincept (4 ت%:ر Congruence ®بXت Mapping ®بXت Acceleration L ت&,Differential (Y9ت Contradiction ر:#>¤ J) اIت Equivalence JGت Equivalence of mass <Gا JGت Mass – Energy equivalence 4>تXو ا <Gا JG Homology Lتث Representation ة)GJ أو L`ت Spherically symmetric آ(وي )c>ت Contradiction 4>ت Consistency ت:اؤم Curvature tensor ر:#> !<ءا] تEinstein’s tensor 6ی ت<#:ر أ!7tensor )ر أو م:ت:#> تLevi-Civita tensor ت<#:ر :ي ش) و یMetric tensor ر:#> م(ي تGravitational constant ثبO ا,ذبCosmical constant (!:آ Oثب Black hole أس:د ZIث

ا 169 ل اج ا

Wormhole دودي ZIث Gravity < ذبScalar product (اء س Gravitational potential ا,ذبPotential أو آ:ن Geodesic (#دی: مIص(0أو Event وا4&-حدث Bounded حي Kinetic ح(آTensor calculus ر:#> ح#ب اPerihelion eح Conservation Í9ح Gravitational field حLI ا,ذبEinstein field 6ی حLI أ!7Tensor field ري:#> حLI تInvariant field )V حLI ; مVector field (, حLI مField due to LIم(ت بح Absurd statement ل:I&م ; .Gح Property خ%:صWorld- line ( خ Osculation circle ق% دا(ة اKronecker delta )G!آ(و دCurl دوران Ricci (7 ریAberation of light ء:eء أو إ!(اف ا:eا èزی Velocity )س Umbilical <س(ی Saddle surface ()س Xس Catenoid LG7س#) ا Xس Helicoid (: Xس Pseudoplane 9ش ص Pseudosphere 0)ش آ Electrical intensity (ب)Gا LIشة ا Magnetic intensity (#>Vا LIشة ا Radiation <&ش&ع أو أش Sirius <! ش&(ي ا

ا 170 ل اج ا

Schwarzschild ش:ارتM ش Energy 4 Centrifugal يMد م(آ) Axiomatic method (یI م:Y:تPhenomenon ه(ةc Gravitational lens < س> ا,ذبMomentum مM – .ا(آ>– زخ < آChristoffel symbols LJ: رم:زآ(ی#:LJ-. آ(ی#Element )%>-س أصL آب إ4Defect Z أو !I%ن Graviton ن:Jا) Excess J Interval صJ Mass less <G4 اJ Space ءeJ Space – time ءeJ-نGزمن أو زم Euclidean space ء إeJي4 Riemannian space (!ء ریeJ Physical space (یMJ ءeJ Non- Euclidean space ء ; إeJي4 Absolute future ®Xء مeJ Ultra – ideal (`ق ا:J Hypersphere 0)ق آ:J Einstein’s law of gravitation 6ی7! 4!:ن ا,ذبGalilean law of inertia :V X&4!:ن ا Biot- Savart law سوار : 4!:ن بForce 0:4 Mass < آMass inertial X&ا < ا&-> آGا Massive mass < Y < آGalactic mass <م,(ی < آDensity J`آ Quantum م: آ. أو اG:ا!Universe آ:ن Invariant )V ; مInfinite (ه> ; مHelix Z:

ا 171 ل اج ا

Absolute past ®Xم (Yم Principle of equivalence JG مأ اGeneral principle of relativity ا&م مأ ا<#Special principle of relativy ا ص مأ <#Machs principle مأ مخ Curvature vector [ا <, !<ءمCoaxial اور مMetric <ی) مIsogonal وایMوي ا# مEquidistance وي ا9ص# مIsoareal #وي ا#حم Bianchi identity (,! مXبI> بOrthogonal م& مVariable )V مIsometric BیI مEquivalent JG مManifold :> مZ&7-مControversial ل, ) م`paraboloid JGم,#. م Conform ÍJم Conformal ÍJم–LG7ح9ظ ا Local (م Paradox 0) مContravariant )V م Light cone ء:eم (وط ا Conoid (!و) م Orbit مار Observer )c! أو Z4م(ا Order م(ت Component )%> م(آ أو Rectilinear .I م#Flat X#م Postulate #م Trajectory ) م#Derivative ® م7Assertion 4م%د Equation of continuity Í9م&د> ا

ا 172 ل اج ا

Tensor equation ری:#> م&د تCoexistence م&Fallacy XVم Asymptotic ربIم Parabolic JGم Discriminant ةM مCurve rectifiable ل:Xه) ا> م<6 مCatenary ##م<<) ا Minkowski (G#J :G>م Covariant :م)V ®Jا Axiom :Y:م System م=! Ideal point !XI م`Model ذج:! Incidence geometry ه<س> ا:4:ع Non-Euclidean geometry <ی>إ; ه<س4 Elliptic geometry , ه<س إهAffine geometry ه<س ت­9Intrinstic geometry ه<س ذاتParabolic geometry ه<س ش,Pan - geometry ه<س :مSpherical geometry ه<س آ(وی Absolute geometry IXه<س م Hyperbolic geometry ه<س ه@:Inertial frame L&ا C)أو م LG هExistential و:دي Unit وحة Parametric (&أو م X وس

ا 173 ل اج ا

أه اص' ت ا*+: و اض و ا*&* -, G ب

اا General Relativity Glossary

) (ب)- !,Mيإ(

Aberation of light ء:eء أو إ!(اف ا:eا èزی Absolute future ®Xء مeJ Absolute geometry IXه<س م Absolute past ®Xم (Yم Absurd statement ل:I&م ; .Gح Acceleration L ت&,Aether ) اثAffine (9ت­ Affine geometry ه<س ت­9Affinity ت­ Agree posteriori ب), ات9ق اح® أو م یNت) ب& اAgree priori ب), ات9ق ا#® أو م L4 اApriori cincept (4 ت%:ر Assertion 4م%د Asymptotic ربIم Axiom :Y:م Axiomatic method (یI م:Y:تBianchi identity (,! مXبI> بBig Bang . ا!9,ر ا&=Biot- Savart law سوار : 4!:ن بBlack hole أس:د ZIث Bolyai ( ب:Bounded حي Catenary ##م<<) ا Catenoid سLG7س#) ا X Centrifugal يMد م(آ) Christoffel symbols LJ: رم:زآ(ی#:LJ-. آ(ی#Coaxial اور مCoexistence م&

ا 174 ل اج ا

Component )%> م(آ أو Compton effect ن: أث( آمConform ÍJم Conformal ÍJم–LG7ح9ظ ا Congruence ®بXت Connection Xت(اب Conoid (!و) م Conservation Í9ح Consistency ت:اؤم Contraction شG!ا–¤Iأدم - ت Contradiction ر:#>¤ J) اIت Contradiction 4>ت Contravariant )V م Controversial ل, ) م`Coordinate [تاحاث Coordinate surface [حااX#ت اث Cosmical constant (!:آ Oثب Covariant )V ®Jم:ا Curl دوران Curvature س:Iإ!<ء أو ت Curvature tensor ر:#> !<ءا] تCurvature vector [ا <, !<ءمCurve rectifiable ل:Xه) ا> م<6 مDefect ن%I! أو Z Density J`آ Derivative ® م7Differential (Y9ت Dilation of time 6مMإت#ع ا Dimension &ب Discriminant ةM مDivergence ت Doppler effect )أث( دوب Einstein field 6ی حLI أ!7Einstein’s law of gravitation 6ی7! 4!:ن ا,ذبEinstein’s tensor 6ی ت<#:ر أ!7Electrical intensity (ب)Gا LIشة ا Element )%>-س أصL آب إ4

ا 175 ل اج ا

Elliptic (, إهElliptic geometry , ه<س إهEnergy 4 Equation of continuity Í9م&د> ا Equidistance وي ا9ص# مEquivalence JGت Equivalence of mass <Gا JGت Equivalent JG مEuclidean space ء إeJي4 Even horizon اث ®Jأ Event وا4&-حدث Evidence <> بExcess J Existential و:دي Fallacy XVم Field due to م(ت ب LIح First fundamental form اسس) اول LG7ا Fitzgerald contraction ا!إ)MJ ضI Flat X#م Force 0:4 Fundamentalist (:أص Galactic mass <م,(ی < آGalilean law of inertia :V X&4!:ن ا General principle of relativity ا&ممأ ا<# Geodesic (#دی: مIص(0أو Geodesic curvature دی#) !<ءإ: Gradient ترج Gravitational acceleration ت#رع ا,ذبGravitational constant ثبO ا,ذبGravitational field حLI ا,ذبGravitational lens < س> ا,ذبGravitational potential ا,ذبGravitational red shift [ازاح> ا(اء ب,ذب Graviton ن:Jا) Gravity < ذبHelicoid (: Xس Helix Z:

ا 176 ل اج ا

Homology Lتث Hyperbolic geometry ه<س ه@:Hypersphere 0)ق آ:J Ideal point !XI م`Incidence geometry ه<س> ا:4:ع Inertial frame L&ا C)أو م LG هInfinite (ه> ; مInterval صJ Intrinstic geometry ه<س ذاتInvariant )V ; مInvariant field )V حLI ; مIsoareal وي ا#ح# مIsogonal وایMوي ا# مIsometric BیI مKinetic ح(آKronecker delta )G!آ(و دLevi-Civita tensor ت<#:ر :ي ش) و یLight cone ء:eم (وط ا Local (م Lorentz transformation M تیت :ری<Machs principle مخمأ Magnetic intensity (#>Vا LIشة ا Manifold :> مZ&7-مMapping ®بXت Mass < آMass – Energy equivalence 4>تXو ا <Gا JG Mass inertial ا&-> ا&X> آGا Mass less <G4 اJ Massive mass < Y < آMetric <ی) مMetric tensor ر:#> م(ي تMinkowski (G#J :G>م Model ذج:! Momentum مM – .ا(آ>– زخ < آNon- Euclidean space ء ; إeJي4 Non-Euclidean geometry <ی> إ; ه<س4 Observer )c! أو Z4م(ا

ا 177 ل اج ا

Orbit مار Order م(ت Orthogonal م& مOsculation circle ق% دا(ة اPan - geometry ه<س :مParabolic JGم Parabolic geometry ه<س ش,paraboloid JGم,#. م Paradox 0) مParallel displacement م:ازیإزاح Parallel transpotr ل ا:ازيI ا]!Parametric (&أو م X وسPerihelion eح Phenomenon ه(ةc Physical space (یMJ ءeJ Postulate #م Potential أو آ:ن Principle of equivalence JG مأ اProperty خ%:صPseudoplane 9ش ص Pseudosphere 0)ش آ Quadratic & ت(بQuantum م: آ. أو اG:ا!Radiation <&ش&ع أو أش Rectification ت%Rectilinear .I م#Representation ة)GJ أو L`ت Ricci (7 ریRicci curvature 7) !<ءإ ریRiemannian space (!ء ریeJ Saddle surface Xس()س Scalar curvature ءإ>! Iس س) )!<ء س إ أوس م:Iأو ت Scalar product (اء س Schwarzschild ش:ارتM شSecond fundamental form (!`اسس) ا LG7ا simultaneity 6امMت Sirius ش&(ي<! ا

ا 178 ل اج ا

Skew- symmetric )c> ت 9> اskew-symmetric )c> ت 9> اSpace ءeJ Space – time ءeJ-نGزمن أو زم Space warp ءe9اء ا:X!ء أو أe9اء ا: أSpecial principle of relativy ا صمأ ا<# Spherical geometry ه<س آ(وی Spherically symmetric آ(وي )c>ت Summation convention إ> ا,Cت49 Superposition Zت(اآ Synchronization 6امMت Synchronization of clocks ام6 ا#تMت System م=! tensor )ر أو م:ت:#> تTensor calculus ر:#> ح#ب اTensor equation ری:#> م&د تTensor field ري:#> حLI تTorsion اء: أTrajectory ) م#Ultra – ideal (`ق ا:J Umbilical <س(ی Unit وحة Universe آ:ن Variable )V مVector field (, حLI مVelocity )س World- line ( خ Wormhole دودي ZIث

ا 179 ل اج ا

ادر

1973 – دار ا$#"! ب وت ن - اح بوي –ان ادي

.-1 =>;: ب ا789، أآدی. ، د) ب1 - "ن12-أن.- ي( ی* ت ()' ا

. أباه ' حد?، أآدی. ، د) ب1 - "ن12-أن.- ي( ()' ا; یء

ی! A 1979 – ا>(B ا$$B – دار ا(رف – دآCر د زیان –آD و "-BC;2 ا

یH اG: اآCر ی1–ان "1 ا;-2;! و ا(-' I – !)ی! ا >بK اJ 7! ا=

C.-– 1999ب

Mا N#)ن# ا– D . ت! س: وه!– نئ N آ

ا(-.1 –ارد ، Uس إن)- ي . دار ا(-' -ی – ب1 ،

Essential Relativity:special, General and Cosmological, Wolfang

Rindler, 1977

Introduction to Special Relativity, Wiley Fastern, Private Limited. 1972

Lecture Notes on General Relativity, Sean M. Carrroll, Institute for

Theoretical Physics University of California, 1997

Introduction to General Relativity, G. t Hooft, Institute for Theoretical

Physics University Utrech University, version 8/4/2002

Euclidean and Non-Euclidean Geometries, Second edition, Marvin Jay

Greenberg, W. H. Freeman & Co. , 1979.

An Introduction to Tensor Calculus, Relativity and Cosomology, Derek

F. Lawden, 1982.

Non-Euclidian Geometry, Harold E. Wolfe.

ا 180 ل اج ا

ا 181 ل اج ا

ا*9س

3------------------------------------------------------------------------------------- ا

%&' 11---------------------------------------------------------------------------- ا*(ء ا

) أن &. بی> J) اMم6 -!G13----------------------------------------- ا(هن ا

) أن ا&. مود J) اGن -!G13 -------------------------------------- ا(هن ا

&2ن ,*&* 16-------------------------------------------------------------------- ا*89م ا

&+ن :+* 18--------------------------------------------------------- اة ا*&* و ا

18--------------------------------------------- اMمن م6 و> !=( أرسX: وأJ:ن -

20---------------------------------------------------------اMمن م6 و> !=( !:ت6 -

- B> 20--------------------------------------------------------اMمن م6 و> !=(

- O!من م6 و> !=( آM21---------------------------------------------------------ا

- 23-----------------------------------------------------------اMمن J) ا<=(ی ا<#

- .Gی> ا)=! (J منM24---------------------------------------------------------------ا

8D9 27 ------------------------------------------------------------------------- ا9س ا

29 ----------------------------------------------------------ا<س J) اe9ء ادي -

- 31-----------------------------------------------ب& م9ه. و e4ی ا<س ا@:

31-------------------------------------------------------------- رب) أYع سآ(ي -

31-------------------------------------------------------------رب) أYع ;م(ت -

- %I!32-------------------------------------------------------------------- ا#ح> ن

34----------------------------------------------------------------------زاوی> ا:ازي -

- < 36-------------------------------------------------------ب& e4ی ا<س> ا@:

39------------------------------------------------------------- آی6 –!:ذج ب(ام) -

اhص 43----------------------------------------------------------------------------ا

- O !=(ی> ا<# اص:ل ا) ب<-----------------------------------------------43

- Z4م9:م ا(ا < J -----------------------------------------------------------44) ا<#

ا 182 ل اج ا

- M 45-------------------------------------------------------------------ت:یت :ر!

48----------------------------------------------------------ت :ر!M أه. !_ ت:ی -

51------------------------------------------------------------ دی<مD ا<#> ا ص> -

ا ا

- 57 ------------------------------------------------------------------ا#X:ح اورا!

60-------------------------------------------------- ا&<ص( اسس <=(ی> ا#X:ح -

<#:ر - اY62-----------------------------------------------ب& ا;ل ا(ی

- X# اسس) اول LG765--------------------------------------------------------ا

LG7--------------------------------------------------------66 اسس) ا`!) #X ا -

68----------------------------------------------------------------------إ!<ء وس -

- X#71----------------------------------------------------------------------م#ح> ا

71------------------------------------------------------------------:ل 4:س م<<) -

72-----------------------------------------------------------------ا]!<ء ا,:دی#) -

73------------------------------------------------------------------------- ا,:دی#) -

ت ا<# ا&م ر -Y74-------------------------------------------------------------ی

78-------------------------------------------------------------------- ا!Iل ا:ازي -

80--------------------------------------------------- آ(ی#:LJ –ت<#:ر إ!<ء رین -

83----------------------------------------------------ب& أه. م&د;ت ا<#> ا&م> -

84----------------------------------م(احL (ح وحL و اJ Q) م#L ا<#> ا&م> -

I اس:ب -X6 تGا&م> ی < 86-----------------------!:ذج ریY) (واب ا<#

- 93----------------------------------------------------------------مأ اG:س:م::

95------------------------------------------أه. م9ه. ا(ی> J) !=(ی> ا<#> ا&م> -

7ی6 -! 104------------------------------------------------------------4!:ن ا,ذب

- 106------------------------------------------------------------------حL ش:ارتM ش

- Zاآ:G112---------------------------------------------------------------------مار ا

119-------------------------------------------------------------إ!(اف م#( اe:ء -

ا 183 ل اج ا

122--------------------------------------------------------------------إح ا -

ا ادة - 127---------------------------------------------------%$د#ت ا!

131-------------------------------------------------------------------د%) ا)ن -

137---------------------------------------------------------------------------ا,%+*( -

اب و ا ا و ا 167------ ) إ+ي–)ب (أه$ ا#"! ت ا

و ا و ا ا ب أه$ ا#"! ت ا 173 ------) )ب–إ+ي ( ا

179 -------------------------------------------------------------------------------- ا01در

ا 184 ل اج ا

ل اج

www.jalalalhajabed.com

:ا $ ا#"! و

jalal.alhajabed@hotmail.com

jalal.alhajabed@yahoo.com