Семинар 7

Сэдэв: Функцийн дифференциал. Тухайн уламжлалууд

Функцийн тухайн уламжлал lim∆x→0

∆x z

∆ x=∂ f (x0 , y0 )

∂x

Мөн үүний адилаар f ( x , y ) функцийн М0( х0, у0) цэг дээр у – ээр авсан тухайн уламжлалыг тодорхойлбол,

lim∆ y→0

∆y z

∆ y=lim∆ y→0

f (x0 , y0+∆ у )−f (x0, y0)

∆ y=∂ f (x0 , y0 )

∂ x

Санамж: f ( x , y ) функцийн M(x,y) цэг дээрх тухайн уламжлалууд нь М – цэгийн координатаас хамаарах тул мөн хоёр хувьсагчийн функц болно. Олон хувьсагчийн функцээс аль нэг хувьсагчаар нь авсан тухайн уламжлалыг олохдоо, бусад хувьсагчдыг тогтмол гэж тооцоод ердийн уламжлалын дүрэм ба томъёог ашиглана.

Жишээ f ( x , y )=x2 y−3 y2+5 x функцийн тухайн уламжлалуудыг ол.

Бодолт. Тухайн уласжлал f x' ( x , y )-г олохдоо y - хувьсагчийг тогтмол гэж үзэж

(y=const),f ( x , y ) функцээс х – ээр ердийн уламжлал авна. Иймд,

f x' ( x , y )=(x2 y−3 y2+5 x)x

'=2 xy−0+5=2 xy+5

Үүнтэй төсөөтэйгээр f x' ( x , y )-г олбол:

f y' ( x , y )=(x2 y−3 y2+5x ) y

'=x2−6 y+0=x2−6 y

Жишээ f ( x , y )=x+ y−√ x2+ y2 бол f x' (3,4 )-г ол.

Бодолт.

f x' ( x , y )=∂ f ( x , y )

∂x=( x+ y−√ x2+ y2 )x

'=( x+ y )x

' − (√ x2+ y2 )x'=1+0− 1

2√ x2+ y2( x2+ y2 )x

'=1+ х

√x2+ y2,

Одоо x=3 , y=4 үед тухайн уламжлалын утгыг олбол:

f y' (3,4 )=[1+ х

√ x2+ y2 ]x=3y=4

=1−3

√32+42=25

Жишээ f ( x , y )=x3cos2 y бол тухайн уламжлалуудыг ол.

Бодолт.

f x' ( x , y )=3 x2cos2 y, f y

' ( x , y )=−2 x3cosy ∙ siny

Функцийн бүтэн дифференциал

Функцийг бүтэн дифференциалыг ∆ z=∂ f ( x , y )

∂xdx+

∂ f ( x , y )∂ y

dy гэж тодорхойлно.

Үүнтэй төсөөтэйгээр u=f(x1 , x2 ,… xn) гэвэл n-хувьсагчийн функцийн бүтэн дифференциал

du= ∂ fdx1

d x1+∂ fdx2

d x2+…+ ∂ fdxn

d xn хэлбэртэй байна.

Жишээ: z=x2 cos(xy) функцийн бүтэн дифференциалыг ол.

Бодолт: ∂ z∂ x

=2xcos(xy)-yx2sin(xy),∂ z∂ y

=-yx2sin(xy) dz

dz=(2xcos ( xy )− y x2sin ( xy ) )dx− y x2sin ( xy )dy

Жишээ. u= x+ yz

функцийн бүтэн дифференциалын утгыг

x=1 , y=−2 , z=−1 ,∆ x=0,1 ,∆ y=0,2 ,∆ z=0,5 үед олъё.

Бодолт. Функцийн тухайн уламжлалуудыг олбол :

∂u∂ x

=1z,∂u∂ y

=1z,∂u∂ z

=−x+ y

z2

Функцийн бүтэн дифференциал нь:

du=1z∆ x+1

z∆ y− x+ y

z2∆ z

болох ба үүнийг тухайн x=1 , y=−2 , z=−1 ,∆ x=0,1 ,∆ y=0,2 ,∆ z=0,5 утгууд дээр бодвол

du= 1−1

∙0.1+ 1−1

∙0.2− 1−2(−1 )2

∙0.5=0.2

Бүтэн диференциалыг ойролцоо тоололд хэрэглэх

z=¿ f ( x , y ) функц дифференциалчлагддаг болог.

Тэгвэл функцийн бүтэн өөрчлөлтийг дараах хэлбэрт шилжүүлэн тавьж болдог.

∆ z=dz+ε ∙∆ ρ буюу

f ( x+∆x , y+ y )−f (x , y )=∂ f ( x , y )∂ x

∆ x+∂ f (x , y )

∂ y∆ y+ε ∙∆ ρ

Нөгөө талаар lim∆ ρ→0

ε ∙∆ ρ=0 тул ∆ x ба ∆ y-ийн бага өөрчлөлтөнд функцийн бүтэн

өөрчлөлтийг түүний бүтэн дифференциалаар ойролцоогоор сольж болдог. Өөрөөр хэлбэл, ∆ z ≈d z буюу

f ( x+∆x , y+ y )−f (x , y )≈ ∂ f ( x , y )∂x

∆ x+∂ f ( x , y )

∂ y∆ y

Эндээс

f ( x+∆x , y+ y )≈ f ( x , y )+ ∂ f ( x , y )∂ x

∆ x+∂ f ( x , y )

∂ y∆ y

гэж гарна.

Жишээ. 1,023,01 утгыг ойролцоогоор бод.

Бодолт. z=x y функц сонгон авбал, олох гэж буй утга нь энэхүү функцийн (1 ,3 ) цэг дээрх ∆ x=0,02 ,∆ y=0,01 гэсэн аргументийн өөрчлөлттэй үеийн утга болно. Тэгвэл томъёо ёсоор

(x+∆ x )y+∆ y≈ x y+ y ∙ x y−1 ∙∆ x+x y ∙ lnx ∙∆ y

болох харгалзах утгуудыг орлуулбал:

1,023,01≈13+3 ∙12 ∙0.02+13 ∙ ln 1 ∙0.01=1.06

Давхар функцийн уламжлал ба дифференциал

z=F (u , υ )функцийн u ,υ хувьсагчууд нь x ба y -ээс хамаарсан функцүүд u=φ ( x , y ) , υ=ψ ( x , y ) гэж үзье.

∂ z∂ x

=∂ F∂u

∙∂u∂ x

+ ∂F∂υ

∙∂ υ∂x

Мөн үүнтэй төстэйгээр

∂ z∂ y

=∂ F∂u

∙∂u∂ y

+ ∂ F∂υ

∙∂υ∂ y

Жишээ. z=sin (u2−υ3 ) , u=2x+ y , υ=3x2 y бол ∂ z∂ x

ба∂ z∂ y

-ийг ол.

Бодолт. ∂ z∂u

=2ucos (u2−υ3 ) , ∂u∂ x

=2 , ∂ u∂ y

=1

∂ z∂υ

=−3υ2 cos (u2−υ3 ) , ∂ υ∂ x

=6 xy , ∂υ∂ y

=3 x2

Иймд, ∂ z∂ x

=4ucos (u2−υ3)−18υ2 xycos (u2−υ3 )

∂ z∂ y

=2ucos (u2−υ3 )−9υ2 x2 xycos (u2−υ3 )

Жишээ. z=x2+√ y , y=sinx бол z ' -ийг ол.

Бодолт.

∂ z∂ x

=2 x , ∂ z∂ y

= 12√ y

,∂ y∂ x

=cosx

тул

z '=∂ z∂x

=∂ z∂ x

+ ∂ z∂ y

∂ y∂ x

=2 x+ 12√sinx

cosx

Далд функцийн уламжлал

y= y ( x )тасралтгүй дифференциалчлагдах функц F ( x , y )=0 гэсэн хэлбэрээр далд

өгөгдсөн болог. Тэгвэл y'=∂ y

∂x - г олох зорилго тавья.

lim∆x→0

∆ y

∆ x=

− lim∆ x→0

∂F∂ x

+α

∂F∂ y

+ β=

−− lim

∆ x→0∂ F

∂x+α

− lim∆ x→0

∂ F

∂ y+β

=−F x

' ( x , y )F y

' ( x , y )

Иймд y'=

Fx' ( x , y )

F y' ( x , y )

болно.

Дасгал ба бодлого

Өгөгдсөн функцуудын тухайн утгуудыг ол.

1. z=xy+ yx

2. z=xy

√x2+ y2

3. z=x ∙e− xy

4. Хэрэв z=xy+xeyx бол x ∙

∂ z∂ x

+ y ∙∂ z∂ y

=xy+z болохыг харуул.

5. z=ln (x2+xy+ y2 )бол x ∙ ∂ z∂ x

+ y ∙∂ z∂ y

=2 нөхцөл биелэхийг харуул.

6. z= xcosy− ycosx1+sinx+siny

бол∂ z∂ x

,∂ z∂ y

тухайн уламжлалуудыг x= y=0 үед ол.

Функцийн бүтэн дифференциалыг ол.

1. z=x2 ∙ y4−x3∙ y3+x4 ∙ y2

2. z=arcsin xy

3. z=arctgx+ y1−xy

4. z=ln ( y+√x2+ y2 )

5. z=lncosxy

Далд ба давхар функцийн уламжлал ол.

1. Хэрэв z=e2x−3 y , x=tgt , y=t2−t бол dzdt

- ийг ол.

2. Хэрэв z= ln (sinx

√ y) , x=3t 2 , y=√ t2+1 бол

dzdt

- ийг ол.

3. Хэрэв z=arcsin ( x− y) , x=3 t , y=4 t 3 бол dzdt

- ийг ол.