תוכנית כיתה יוד – חמש יח"ל

סדר ושעות הלימוד המוצעים:

כיתה יI שעונושא

תII שעותנושא

15מבוא לאנליזה10מבוא להנדסה אנליטית גאומטריה - מקומות גאומטריים

והמשולש10

: חשבון דיפרנציאלי20גאומטריה – המעגל מושגי יסוד כולל גבולות, שימושים

והיסטוריה, פונקציות פולינומיאליות, הכרות ראשוניתעם פונקציות רציונליות ושורש

45

טריגונומטריה במישור כולל20גאומטריה – דמיוןמשוואות טריגונומטריות

1515מבוא לפונקציות טריגונומטריות

7575

0

תוכן2.........................................................................................................................................מבוא

3.......................................................................................................................................אנליזה

3.................................................................... שעות)25מבוא לאנליזה של פונקציות בעלות תחום רציף ומבוא להנדסה אנליטית )

3................................................................................................................................................... שעות(10מבוא להנדסה אנליטית )

3...................................................................................................................................................................................................תכנים

3.......................................................................................................................................... שעות(15מבוא לאנליזה של פונקציות )

3...................................................................................................................................................................................................תכנים

5........................................................................................................................................................... שעות(45חשבון דיפרנציאלי )

10............................................................................................... שעות(50גאומטריה אוקלידית )

10..................................................................................................................................................................................................מבוא

11.......................................................................... שעות(10מקומות גאומטריים, נקודות מיוחדות במשולש ומשפט חפיפה רביעי )

12......................................................................................................................................................המשפט ההפוך למשפט פיתגורס

12............................................................................................................................................................................ שעות(20המעגל )

13........................................................................................................................................... שעות(20פרופורציה ודמיון משולשים )

14.............................................................................................פונקציות טריגונומטריות ויישומיהן

14......................................................................................... שעות(15פונקציות טריגונומטריות )

14..................................................................................................................................................................................................מבוא

14.................................................................................................................................................................................................דגשים

14.................................................................................................................................................................................................תכנים

16................................................. שעות(15 )טריגונומטריה במישור כולל משוואות טריגונומטריות

16..................................................................................................................................................................................................מבוא

16.................................................................................................................................................................................................תכנים

16.................................................................................................................................................................................................דגשים

18...........................................................................................................................................: דוגמאות לשאלות על פי נושאי הלימוד1נספח

18............................................................................................................מבוא להנדסה אנליטית

19.....................................................................................................מבוא לאנליזה של פונקציות

19....................................................................................................................חשבון דיפרנציאלי

23...................................................................................................................פונקציות רציונליות

24....................................................................................................דוגמאות לשימוש בטכנולוגיה

24................................................................................................................................גאומטריה

30...........................................................................................................פונקציות טריגונומטריות

32...................................................................טריגונומטריה במישור כולל משוואות טריגונומטריות

36..............................................: רשימת משפטים בגאומטריה )מאתר המפמ"ר( עם התייחסות ללימודם/ השמטתם מהתכנית החדשה2נספח

1

מבוא

בכיתה י יילמדו שלושה נושאים עיקריים: אנליזה, גאומטריה של המישור, וטריגונומטריה.

מספר דוגמאות להמחשת סוג1להלן פירוט התכנים, הדגשים והמיומנויות שברצוננו לפתח בכל אחד מנושאים אלו. בנוסף יוצגו בנספח בתוכנית הראשית הכוללים דיונים בנושא ההוכחה, בנושא פיתוח ה"חוש1-3השאלות שאנו מציעים לכלול בכל פרק. נאיר כי הנספחים

לפונקציות" ובנושא הגבולות רלוונטים במיוחד לכיתה י. דיונים אלה הם בבחינת הנחיה לרוח הדברים של התכנית החדשה.

לא ייכללו כנושאי חובה בתכנית )בשל קוצר זמן ו/או אופיים המתקדם(, אך המורים אמוריםכהעשרהחשוב לציין שנושאים ודוגמאות המוגדרים להכירם ולהפנות את התלמידים המתעניינים בהם לקריאה נוספת בספרי הלימוד ובמרשתת.

יש לשים לב כי ייצוג מימדים ביחידות שונות בשאלות יישומיות ייעשה בצורה נכונה – בשאלות היישומיות הצירים בגרפים צריכים לכלול את המידות של המשתנים/הפונקציות. בספרי הלימוד יש להוסיף דוגמאות מסוג זה עם פתרונות בהם המימדים כלולים ודוגמאות בהם שינוי היחידות

במהלך/סוף התרגיל מניב תמיד אותה תוצאה. יש לשים לב שבשאלות היישומיות לא נכון להציג פונקציה ונגזרות שלה על אותו הגרף – שכןהמימדים שלהם – שונים.

כמו כן נאיר כי נכללו מספר דוגמאות בהן נעשו שימושים טכנולוגיים – יש להוסיף דוגמאות מסוג זה המאפשרות חקר. יש לציין ששאלות אלומאפשרות לתת שאלות פתוחות ולכן מהוות דרך להדגים את הפוטנציאל לעושר מחשבתי בקונטקסט המתמטי.

על ספרי הלימוד לכלול טקסטים מתמטיים.

2

אנליזה

מוצע להתחיל את פרק האנליזה בחזרה על מושג הפונקציה מחטה"ב ובהעמקת ההבנה שאפשר להגדיר פונקציות בדידות ורציפות. נמשיךבמבוא לנושא הפונקציות החלקות, בהגדרת מושג הנגזרת ובחקירת פונקציות פולינומיאליות, רציונליות ופונקציית השורש.

שעות)25 )מבוא לאנליזה של פונקציות בעלות תחום רציף ומבוא להנדסה אנליטית פרקי המבוא נועדו לפתח אצל התלמידים אינטואיציה מתמטית שתאפשר להם להתמודד עם הדרך הארוכה ורצופת הפרטים ההכרחית ללימוד

של התוכנית הכללית הדן בנושא חשיבות פרקי מבוא אלו מהבחינה הדידקטית.1האנליזה. ראו פירוט בנספח

שעות(10מבוא להנדסה אנליטית ) מטרות הפרק הן חזרה על נושא הפונקציה הלינארית והריבועית שנלמד בחט"ב והעמקה בו, הכרת כלים אנליטיים שישמשו בהמשך בחשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי, חיזוק הטכניקה האלגברית, היכרות עם המעגל כהכנה להוראת טריגונומטריה, והכרת הקישוריות בין

אלגברה, גאומטריה ופונקציות.

תכניםמבוא היסטורי על מקורות ההנדסה האנליטית ויישומיה.א. חזרה על נושא הישר והפרבולה והרחבתו תוך קישור למושג הפונקציה ויישומיה. אבחנה בין גרף של פונקציה לבין קבוצת נקודותב.

(.x=kשאינה מייצגת גרף של פונקציה )למשל, מציאת משוואת ישר על פי שתי נקודות ועל פי שיפוע ונקודה, הקבלה, אמצע קטע, חיתוך וניצבות, מרחק בין שתי נקודות.ג. קישור למערכת משוואות לינאריות והצגתה הגרפית כולל שימוש פשוט בפרמטרים )הביטויים המכילים פרמטרים הם ליניאריים(.ד.

אבחנה בין משוואה מפורשת של קו ישר לעומת משוואה כללית )יתרונות וחסרונות(. קישור למערכת של משוואה ריבועית ומשוואה לינארית. ה.משוואת מעגל קנוני )שמרכזו בראשית הצירים( כהכנה להוראת טריגונומטריה. זוהי דוגמה נוספת לעקום שאינו גרף של פונקציה.ו. הצגת מעגל באמצעות נוסחת המרחק בין נקודות, והקשר להזזה של מעגל קנוני. הזזת המעגל היא דוגמה נוספת לטרנספורמציותז.

(של תבניות בנוסף להזזות של פרבולה, שנלמדו בחט"ב. )התכנית לכיתה יוד אינה כוללת משוואה כללית של מעגל.

שעות(15מבוא לאנליזה של פונקציות ) מטרת המבוא לאנליזה להעמיק את מושג הפונקציה ולפתח את "החוש לפונקציות", לזהות ולנתח פונקציות באופן איכותני )ראו דיון

(. במסגרת המבוא יש לחזור על הפונקציות הלינאריות והריבועיות שנלמדו בחט"ב בהקשרים שונים, להתוודע למשפחות2בנספח נוספות של פונקציות ברמה הבסיסית על תכונותיהן הייחודיות )בעיקר מבחינת הגרף( ולהכיר פעולות שונות על פונקציות. הרחבת מאגר

הפונקציות והפעולות שנעשות עליהן ירחיב את אפשרויות השיח המתמטי על מושג הפונקציה ויהווה תשתית להבניית מושגים באנליזה.

תכנים.1חזרה על הפונקציה הקווית והפונקציה הריבועית והרחבתן לפונקציות פולינומיאליות

, שורשים פשוטים של פולינוםדוגמאות לפעילויות אינטראקטיביות ראו ב-: . רגע לפני הנגזרת מהלך הוראה ודוגמאות ניתן למצוא בספר "ללמוד וללמד אנליזה" בפרק 1 . ריבוי השורש של פולינום

3

היכרות עם פונקציות חזְקהf ( x )=xn ותכונותיהן כהכללה של הפונקציה הלינארית y=x ושל הפונקציה הריבועית y=x2הזזות . ומתיחות ככלי ליצירת משפחות של פונקציות חזְקה.

גדלות מהר יותר מאשר פונקציות ממעלות דיון ראשוני במושג קצב גידול )עבור מספרים גדולים פונקציות חזְקה ממעלות גבוהות . נמוכות יותר(

אבחנה בין פונקציות חזְקה זוגיות ואי-זוגיות ותכונותיהן. ניתן להסיק כי לפונקציית פולינום ממעלה אי-זוגית יש לפחות שורש ממשי אחד, וכי לפולינום ממעלה זוגית אין בהכרח שורש ממשי.

חקירה איכותנית של הפולינום כמכפלת גורמים לינאריים וריבועיים והבחנה בין שורש של פולינום מריבוי זוגי ומריבוי אי-זוגי והשפעתם על הגרף.

.זוגיות ואי-זוגיות של פונקציות בכלל ושל פונקציות פולינום בפרטיודגש כי ניתוח איכותני של גרף הפולינום נותן סקיצה טובה למדי של חיוביוּת ושליליוּת הפונקציה, על ההתנהגות באינסוף, מרמז על

מספר נקודות הקיצון של הפונקציה אך לא אומר דבר על מיקומן. מכאן עולה הצורך בכלי נוסף שיסייע למצוא באופן מדויק אתנקודת הקיצון בעזרת הנגזרת.

יודגש שלא כל פולינום ניתן לפרק לגורמים לינאריים, ושלא תמיד ניתן בקלות למצוא את הפירוק, אם קיים. לכן עולה צורך בכלים . x2+x, x4-1אנליטיים נוספים. יש להימנע מפירוק לגורמים של פולינומים מסובכים מדי. דוגמאות לפירוקים אפשריים:

יודגש כי ניתוח איכותני של גרף הפולינום לפי שורשיו יהווה כלי שימושי לאורך הדרך, למשל קביעת תחומי עלייה וירידה על פי גרף (.התנהגות הפונקציה סביב נקודות אי-הגדרההנגזרת, ובהמשך ניתוח איכותני של פונקציות רציונליות והאסימפטוטות שלהן )ראו

.)פתרון משוואות ואי-שוויון באופן גרפי ואלגברי )מהיבט הפונקציות.פתרון משוואה ואי-שוויון דו-ריבועי.)"פתרון אי-שוויון של פולינומים לפי פירוק לגורמים וסרטוט סקיצה לגרף )"שיטת הקטעים/התחומים

0≤פתרון אי-שוויון רציונלי ללא פרמטרים – אי-שוויון שניתן להגיע ממנו לאי-שוויון מהצורה f (x )g (x)

הם)x(g או )f)x כאשר

פולינומים ממעלה שנייה לכל היותר או פולינומים שפירוקם לגורמים נתון. ,הצגת פונקציות נוספות באופן גרפי ואנליטי וחקירה ראשונית של תכונותיהן: פונקציית הערך המוחלט, פונקציית השורש הריבועי

f הפונקציה ( x )=1x -ו f ( x )= 1

x2.

הערה: בדיון נזדקק ל"הגדרה אינטואיטיבית" של רציפות שנסמכת בעיקר על חזות גרפית של פונקציות רציפות. על ידי מתן דוגמאות ואי-דוגמאות )דוגמאות גרפים של פונקציות שאינן רציפות( אנחנו יכולים לחדד את האפיונים החזותיים של תכונת הרציפות

ואת ִקשרהּ לנושא הגבול. כמו כן יש לעמוד על כך שהגדרת הפונקציה אינה גוררת רציפות. :פעולות על פונקציות והשפעתן על הגרף והביטוי הסימבולי

לציר פעולות שיקוף x( g ( x )=− f (x) ושיקוף לציר )yשל גרף הפונקציה ( g ( x )=f (−x).)

של פונקציות אחרות:להזזות ומתיחותהרחבה של הזזות הפרבולה בייצוג הקודקודי

f ( x )=a(x−p)n+k ,f ( x )=a√x−p+k ,f ( x )= ax−p

+k .

4

סכום והפרש פונקציות, מכפלה ומנה. הפעולות על פונקציותמשמעות :

הפונקציהg ( x )= 1f (x )

, תחומי ההגדרה, האפסים והאסימפטוטות.f ו-g : הקשר בין הגרפים של

דיון באיזה תנאים היא קיימת ובאיזה מקרים לא. פונקציית השורש הריבועי כהפוכה לפונקציה הריבועית,הפוכה פונקציה - . לדוגמה, חוברת לכיתהy=xפונקציות הפוכות לפונקציות חזְקה זוגיות ואי- זוגיות . הסימטריה של פונקציות הפוכות לישר

. 24-19 עמ' , הרחבת עולם הפונקציות - הזזות ומתיחותהמדעית : במידה שפרק המבוא מתארך מַדי מבחינת שעות הלימוד, ניתן לדחות את ההעמקה והדיון בנושא פונקציה הפוכה לאחרהערה

חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פולינומים. נתון לשיקול המורה.ערך מוחלט של פונקציה, ריבוע של פונקציה, שורש של פונקציה.הרכבת פונקציות - של הטכניקה האלגברית לאורך כל פרק המבוא תוך פתרון בעיות בהקשר אורייני: שאלות בהנדסה אנליטית,חזרה והעמקה

. פתרון בעיות תנועה והספק )עם הנחיה במידול( ושאלות שהדגש בהן על מושג הפונקציה ותכונותיה בפרט, בפרק המבוא יתורגלו בהרחבה הנושאים האלה: פירוק לגורמים על ידי הוצאת גורם משותף ועל פי נוסחאות הכפל

המקוצר; פירוק הטרינום על ידי פתרון המשוואה הריבועית המתאימה או על ידי השלמה לריבוע; שימושי הפירוק לגורמים לצורך פעולות חשבון בשברים אלגבריים ופתרון משוואות ואי-שוויון; הוכחת נוסחת הריבועים; פתרון משוואות ואי-שוויון ממעלה ראשונה ושנייה, כולל פרמטרים, הבנה אנליטית וגרפית של מספר הפתרונות הקיימים ותלותם בפרמטרים )האפשרויות השונות של פתרון

יחיד, מספר סופי של פתרונות, אינסוף פתרונות, אף פתרון( וכן הצגה גרפית של אי-שוויון. בשאלות שנושאיהן ניתנים ליישום בבעיות מחיי היום-יום, ניתן להדגיש את המוטיבציה להצגת פרמטרים בגוף השאלה. יש להקפיד על רמת מורכבות סבירה )ראו

דוגמאות(.הערות

oשימוש בטכנולוגיה מאפשר הצגה גרפית של פונקציות וחקירת תכונותיהן כבדיקה וסיוע לחקירה האנליטית. הטכנולוגיה מאפשרת לחקור באופן דינאמי השפעה של פרמטרים על משפחות של פונקציות ולהמחיש פעולות על פונקציות ולהגיע

להכללות. חשוב להדגיש את היתרון בהצגת הפתרון הגרפי כדרך נוספת לבדיקת הפאזל שנקרא חקירת פונקציה. יש להשתמשבכלים הגרפיים לשאילת שאלות איכותניות.

oלפי עקרון הספירליות הצגת הפונקציות והפעולות עליהן תיעשה ברמה בסיסית בלבד ובאופן איכותני. מטרתה להרחיב את הידע, להציג את המושגים באופן אינטואיטיבי, ולהטרים מושגים שילמדו הלאה. בהמשך יש לשלב נושאים אלו )ברמת קושי העולה בהדרגה( בכל מהלך הלימוד של אנליזה. ניתן לדחות להמשך חלק מההיכרות עם הפונקציות ו/או חלק מהפעולות

שהוזכרו.o.נמליץ להשתמש בתרגול עצמי עם רמת קושי עולה

o 1הניתוח האיכותני של פונקציות פולינום ופונקציות מהצורהf (x )

f כאשר (x)היא פונקצית פולינום מהווה הזדמנות לשימוש

אינטואיטיבי בשפה באופן שמערב את מושג הגבול בהקשר של התנהגות אסימפטוטית, כך שלא יווצרו אינטואיציות שגויות. יש לדבר על התנהגות אסימפטוטית באופן שידגיש את הממד התהליכי שבמציאתה. )בשלב זה, ניתן דוגמאות של התנהגות

מונוטונית בגבולות השונים( למשל: ערכי הפונקציהx2 הולכים וגדלים ככל ש x .כאשר גדל וחיוביx→∞ נוכל לקבל ערך , yגדול ככל שנרצה, אם רק נגדיל

במידה הדרושה.xאת

5

נתונה הפונקציהf ( x¿= 1x−1 . כאשרx→1 מימין, נוכל לקבל ערך y -מימין(1 גדול ככל שנרצה, אם רק נתקרב ל(

משמאל נקבל ערכים שליליים, אך עדין נוכל לקבל ערכים גדולים בערכם המוחלט ככל1במידה הדרושה. אם נתקרב ל- שנרצה.

1ניתן להסיק באופן אינטואיטיבי התנהגות אסימפטוטית של פונקציות מהצורהf (x )

f כאשר (x)היא פונקצית פולינום

. ניתן לדבר על ההתנהגות האסימפטוטית באופן שמדגיש את הממד התהליכי. למשל,∞−→x וגם ∞→xעבור

=yכשעוסקים בפונקציה 1x+1 ניתן לומר: מישהו יכול להציע לי x כך שמימין לו כל ערכי y -1 יהיו קטנים מ

? האם10

גדול ממנו ערכי הפונקציה יהיו עוד יותר קרובים לאפס?x כך שלכל xתוכלו למצוא ערך של o כאל מספר. למשל לא לבצע פעולות חשבון עם הסימן ∞יש להימנע מהתייחסות אל הסימן ∞.

( שעות45חשבון דיפרנציאלי ) בכיתה י יונח המסד לחשבון הדיפרנציאלי לצד היכרות עם המושגים באופן אינטואיטיבי ובניית ההגדרות וההוכחות באופן פורמלי. התלמידים

יתוודעו לפונקציות הפולינומיאליות, ויכירו לראשונה את פונקציות השורש ואת הפונקציות הרציונליוֹת. בכיתה י"א יעמיקו את החקירה של פעולות על פונקציות והשפעתן עם כל הכרות עם פונקציה חדשה, יחקרו הפונקציות הרציונליות, פונקציות השורש והפונקציות הטריגונומטריות.

1, סכום והפרש, מכפלה ומנה, הפונקציה y ולציר ה-xעל הגרף ועל הביטוי הסימבולי )שיקוף לציר ה-f (x )

, פונקציה הפוכה, הרכבת פונקציות,  שימוש בפרמטרים יעשה לצורך חקירה איכותנית של משפחות של פונקציות וחקר בעיות יישומיות. הזזה ומתיחה(.

פיתוח מושג הנגזרת: קצב שינוי אחיד או משתנה, מדרגות ככלי לתאור קצב השינוי ולכן ככלי לניתוח גרף הפונקציה, גרף.1השתנות הפונקציה ולבסוף הגדרת הנגזרת בנקודה, תוך הצגת ההקשר השימושי פיזיקלי והפירוש הגרפי של הנגזרת.

לאורך כל הדרך יעשה שימוש בתוכנה דינאמית להדגמה וחקירה של תהליכי השינוי.

הגדרת הנגזרת כקצב השתנות קצב אחיד וקצב תוך קישור לנלמד בחט"ב )למשל, לקצב שינוי אחיד או משתנההפרק ייפתח בהצגת בעיות שימושיות הקשורות א.

( ודגש על מקומו הטבעי של מושג זה בחיי היום-יום על ההצגה הגרפית של ערכים המשתנים בזמן , במקום וכדומה. ל דיוןמשתנהאינטואיטיבי על קצב שינוי של פונקציה לא קווית דרך שימושים.

מגוון דוגמאות ליישומים שימושיים לחקירת קצב שינוי של פונקציה: צריכת דלק במשך נסיעה מסוימת, מהירות במשך נסיעה או ריצה, השתנות הטמפרטורה במשך תקופה מסויימת, כמות תרופה ליחידת משקל בגוף בין שתי נטילות, מדד היוקר, צמיחה כלכלית, קצב

בניית דירות חדשות, השתנות תל"ג לנפש.

דוגמאות עם שימוש בטכנולוגיה

.יישומון בגאוגברה קצב שינוי הדרך לפי הזמן, מקור: מט"ח, לראות מתמטיקה, –  מטר 200 ריצת

של מילוי כלים. פי משימת אוריינות קצב שינוי גובה צורות ביחס לזמן, על – צביעת צורות

סימולציה למילוי כדים. קצב שינוי גובה קו המים בכד ביחס לזמן.   –קו המים

6

מדרגות ככלי לתאור קצב השינוי ולכן ככלי לניתוח גרף הפונקציה מהלך ההוראה יכלול: ניתוח השתנות ערכי הפונקציה באמצעות מדרגה עם רוחב קבוע )כפי שנלמד בחט"ב(, ניתוח השתנות ערכי

yהפונקציה באמצעות היחס של גובה המדרגה לרוחבה ) xהבחנה בין ,)

פונקציות עם שינוי בקצב אחיד או בקצב משתנה. יש להדגיש כי ככל שרוחב המדרגה קטן יותר כך ההערכה של קצב השינוי טובה יותר. תיאור השתנות

הפונקציה על ידי תיאור השתנות המדרגות: המדרגות עולות – הפונקציה עולה; המדרגות עולות אך גובהי המדרגות קטנים – הפונקציה עולה וקעורה כלפי מעלה, המדרגות יורדות ואחר כך עולות – לפונקציה יש נקודת מינימום.קצב שינוי חיובי וקצב שינוי שלילי כמתארים פונקציה עולה ויורדת בהתאמה. שימוש במדרגות לניתוח איכותני של תופעות מתחומים שונים שרלוונטי לנתֵח

בהם קצב השתנות )ראו רשימת דוגמאות לעי"ל(. ניתוח השתנות הפונקציההמוצגת על ידי טבלת ערכים וגרף.

באופן אינטואיטיבי בגרף.המשיק לפונקציה בנקודההצגת מושג ב. ( גרף של פונקציה בסביבת נקודה )שבה הפונקציהzoom inכשמגדילים )

גזירה(, גרף הפונקציה "נראה כמו" קו ישר עד כדי כך שלא ניתן להבחין בעין בינו לקו ישר. לכן נוכל לתאר באופן אינטואיטיבי את המשיק כישר "הכי

קרוב" לעקום הפונקציה בסביבת נקודה )קירוב לינארי(. המשיק מתאר את מגמת הפונקציה בנקודה. אם שיפוע המשיק חיובי/ שלילי הפונקציה עולה/

יורדת באותה נקודה.את תהליך ההתקרבות יש להדגים בעזרת כלים טכנולוגיים.

בניית סקיצה לגרף השתנות הפונקציה על בסיס ניתוח המדרגות, קצב השינוי של גרף הפונקציה )הוא גרףג. הנגזרת(. התאמה בין גרפים לגרף ההשתנות באופן איכותני )השתנות פונקציה ריבועית היא פונקציה

לינארית וכו'(.

עם שימוש בטכנולוגיהדוגמאות)בארט גולש על הגל..( פונקציית הנגזרת כהשתנות של המשיקיםיישומון -)יישומון תרגול של קאהן( גרף הנגזרת באופן איכותניבנייה אינטראקטיבית של -

7

(2,4)

(2,4)

(2,4)

10הגדלה נוספת פי

מתוך: ללמוד וללמד אנליזה, הוצאת מעלות

ודיון על הקשר ביןהצגת המשיק באופן אינטואיטיבי מעלה את הצורך להגדירו באופן מדויק ולמצוא כלים אנליטיים לזיהויו-ההסתכלות על המשיק כקרוב לינארי לבין ההסתכלות על המשיק כגבול החותכים )המתואר בסעיף הבא(

הגדרת הנגזרת בנקודה כגבול שיפועי החותכים. פירוש של יישומים למושג הנגזרת. כגון הקישורד. בפיסיקה. )ראו דוגמה בנספח( קצב השינוי הממוצעלפירוש מהירות ממוצעת ומהירות רגעית

בתחום מסוים כיחס בין גובה המדרגה לרוחבה:

ככל שנקטין את רוחב המדרגה, החותך בין שתי נקודות קרובות על הפונקציה, יתקרב להיותהמשיק לפונקציה בנקודה והמדרגה תתאר את קצב השינוי של הפונקציה בנקודה.

fקצב שינוי ממוצע: נגדיר קצב השינוי בנקודה כגבול של (x0+∆ x )−f (x0)∆ x

x→0→

f '( x0).

, שיפוע המשיק לגרף בנקודה זו הוא הנגזרת. במקרה זהxכאשר ניתן לצייר בנקודה כלשהי משיק לגרף שאינו מאונך לציר ה- המשיק מהווה גבול של החותכים בתהליך התקרבות לנקודה

. הגדרת הנגזרת כגבול שיפועי החותכיםרצוי להדגים את תהליך ההתקרבות של החותכים למשיק בעזרת טכנולוגיה. לדוגמה ביישום: - יש להדגיש שרצוי לגוון בסימון האותיות המסמלות את הפונקציה ואת המשתנה הבלתי-תלוי, וצריך שיהיה מובן מי המשתנה הבלתי

תלוי ומהי הפונקציה. חישובי הגבולות יעשו באופן אינטואיטיבי הן בעזרת חישובים נומריים, בעזרת אריתמטיקה פשוטה של גבולות והמחשות ויזואליות-

)בעזרת טכנולוגיה( ראו פרוט בנספח גבולות. באופן דומה לשימוש בשפה בהתנהגות אסימפטוטית של פונקציות מומלץ שגם כאן השימוש בשפה יתמוך בגישה תהליכית לחישוב-

גבולות..limes סימון הגבול ייעשה על ידי חיצים ואין חובה להשתמש בסימון-

התפיסה הגאומטרית של הנגזרת כמשיק מוגבלת למקרים שבהם הפונקציה גזירה ברציפות. יש לדון בהמשך בנקודות על- (.x=0פונקציות בהן הנגזרת אינה מוגדרת אך המשיק קיים )לדוגמה פונקציית השורש הריבועי בנקודה

ניוטון ולייבניץ חשבו-מומלץ לשלב את ההיסטוריה של התפתחות מושג הנגזרת על פי ניוטון ולייבניץ בהתפתחות המתמטיקה. המהירות. t( המתאר את גובהו של גוף מסוים בזמן )y=f)tלמשל על תיאור מיקום גופים כפונקציה של הזמן. למשל, בהינתן

מתארת אתt הנגזרת בנקודה הרגעית היא אידיאליזציה מתמטית של מהירויות ממוצעת על קטעי זמן קצרים )וקצרים יותר(, לכןמהירותו האנכית הרגעית של הגוף בזמן זה, )ונגזרת המהירות מתארת את התאוצה האנכית ברגע זה.(

המחשה בעזרת טכנולוגיה

oהגדרת הנגזרת כגבול שיפוע החותכים

8

תוך הגבלת הדיון לפונקציות "חלקות" )גזירות, אל הפונקציה הקדומה באופן איכותניהקשר בין גרף הפונקציה לגרף הנגזרת ולהיפך.2ברציפות(.

עם שימוש בטכנולוגיה:דוגמאותoתרגול אינטראקטיבי מאתגר של קאהן( לדמיין נגזרות(oהקשר בין גרף הפונקציה לגרף הנגזרת

חוקי הנגזרת של כפל בקבוע, סכום והפרש פונקציות, מכפלה, פונקציה מורכבת – הוכחתם על פי הגדרת הנגזרת והסבר איכותני בגרף..3 יש להדגיש כי ברוח התכנית יש לכלול הוכחות לנוסחאות אלו )כולל ניסוח מדויק של הנתונים וההיסקים הלוגיים(, ולהדגיש כי אלו הוכחות

מתמטיות המאפשרות לנו קיצור דרך גדול ביישומים )במקום לחשב את הנגזרת לכל דוגמה ודוגמה נשתמש בחוקים אלה(. כמו כן ישלקשר בין הנוסחאות, ולהראות שהן עקביות זו לזו.

והגדלה/ הקטנתy של ציר ה-a על גרף הפונקציה היא מתיחה/כיווץ אנכית: מתיחה/כיווץ פי )g)x(=af)xלדוגמה: השפעת כפל בקבוע . )g’)x(=af’)xהשיפועים בהתאם, ולכן

)x(=af’)ax(’g שוב נקבל ש-)g)x(= f)ax (: אם xבדומה, ניתן להשפיע על הנגזרת בעזרת מתיחה/כיווץ אופקית ) כלומר של ציר ה- בלי להשפיע על ערכי הפונקציה. xאבל כאן אנו מותחים/ מכווצים את ציר ה-

הנגזרת ככלי לניתוח גרף הפונקציה. .4החקירה של משפחת הפונקציות הפולינומיאליות תשמש להדגמה ופיתוח של מושגי חקירת פונקציות.

החקירה כוללת: תחום ההגדרה של הפונקציה, מציאת נקודות חיתוך עם הצירים, נקודות קיצון, תחומי עלייה וירידה, זוגיות ואי זוגיות הפונקציה, שרטוט-

סקיצה לגרף הפונקציהחקירת הפונקציה בתחום סגור-מציאת משוואת משיק בנקודה שעל הגרף -פתרון בעיות יישומיות של ערך קיצון, -בעיות יישומיות-פעולות על פונקציות -חקירה איכותנית של פתרון משוואות ואי-שוויונות-

. מציאת הפונקציה הקדומה כאשר ידועה פונקצית הנגזרת, ללא שימוש בסימון האינטגרל.פונקציה קדומה לפונקציות פולינומיאליות.5)בפעולת האנטי נגזרת אנו שואלים בהינתן פונקצית נגזרת , איזו פונקציה גזרנו? האם היא יחידה? (

תוך כדי הלימוד ישובצו מספר דוגמאות מההיסטוריה של האנליזה שהתפתחה במקביל למכניקה הניוטונית. כמו כן יוצג החשבון.6 הדיפרנציאלי ככלי שימושי בתחומי דעת אחרים. לדוגמה, בתחום הקינמטיקה ניתן להגדיר את המהירות הרגעית כנגזרת של פונקציית

9

המקום בנקודה מסוימת בזמן. בתכנית תוצגנה דוגמאות פשוטות של מידול במכניקה, והתלמידים יצטרכו לפתור בעיות דומות )ראו(.1דוגמאות בנספח

1הוכחת הנגזרת של הפונקציה .7x 1 וחקירת פונקציות רציונליות מהצורה

f (x ) כפונקציה מורכבת הן בכלים אנליטיים והן באופן איכותני.

חקירת התנהגות הפונקציה בסביבת נקודות אי הגדרה ובאינסוף, מציאת אסימפטוטות על ידי חישוב אינטואיטיבי של גבול. דיון איכותני עלהשפעת ההזזות והמתיחות.

דוגמאות לחקירה איכותנית בעזרת טכנולוגיה:פונקציה הופכית לישר

פונקציה הופכית לפונקציה ריבועית

התנהגות סביב נקודות אי הגדרה

דיון בתכונות של פונקציות רציונליות כלליות יותר בכדי להדגים את אפשרות קיומם של מגוון אסימפטוטות ונקודות אי-הגדרה שונות )עם זאת, נקפיד על סיבוכיות אלגברית נמוכה כפי שמפורט למטה( התנהגות פונקציה רציונלית בסביבת נקודת אי הגדרה: אסימפטוטות

ונקודת אי-רציפות סליקה.xמאונכות לציר ה-

התנהגות פונקציה רציונלית כאשר ערכי המשתנה הבלתי תלוי שואפים לאינסוף ולמינוס אינסוף. אסימפטוטות אופקיות לעומת שאיפה של ערכי הפונקציה לאינסוף.

.נגזרת של פונקציית מנה .חקירת תכונות של פונקציה רציונלית וסרטוט הגרף שלה

דגשים בנושא פונקציות רציונליות

בפונקציות הרציונליות נחקור את התנהגות הפונקציה סביב נקודות אי ההגדרה. נכיר מצב של אי הגדרה בו לפונקציה יש נקודה סליקה, כך שנוצר חור בגרף הפונקציה, בנוסף למצב של אי הגדרה בו גרף הפונקציה מתקרב לאסימפטוטה אנכית.

יושם דגש על שקילות הפונקציה הרציונלית המצומצמת, בצירוף התנאי של אי ההגדרה בנקודה הסליקה, לפונקציה הרציונלית שאינה מצומצמת, כל זאת כדי להבהיר את המושג של אי הרציפות בנקודה וכדי להקל על ההתבוננות בביטוי ולהקל על פעולות

כמו גזירה. לחקור איכותנית את התנהגות גרף הפונקציה מומלץ

o עבור ערכיxששואפים לפלוס או מינוס אינסוף. בפרט, מציאת האסימפטוטות האופקיות תיעשה על ידי חישוב אינטואיטיבי x3זניח לעומת הערך של x2הערך של xשל הגבול, תוך דגש על כך שלמשל, עבור ערכים מספיק גדולים של

o.יש להימנע משימוש בטכניקות ״אלגבריות״ למיניהן למציאת התנהגות אסימפטוטיתoיושם דגש על שרטוט סקיצה אפשרית של גרף הפונקציה תוך הסתמכות על תחום ההגדרה של הפונקציה, אסימפטוטות

מקבילות לצירים, זוגיות ואי זוגיות, נקודות חיתוך עם הצירים, וחיוביות ושליליות של המונה והמכנה כל זאת לפני השימושבנגזרות של הפונקציה.

10

פונקציית השורש הריבועי ונגזרתה, ניתוחה, הצגתה כפונקציה הפוכה לפונקציה ריבועית תוך כדי כך הדגמת הקשר הגרפי בין הצגת.8 והקשר בין הנגזרות של פונקציות הפוכות ושימוש בשיקוף להוכחת הקשר בין הנגזרותy=xהפרבולה ושורש בעזרת שיקוף ביחס לישר

)נשים לב שבמקום בו המשיק לפונקציה הריבועית מקביל לציר האיקס, המשיק לפונקצית השורש מאונך לציר האיקס(. הרחבת מושגהמעריך למעריך רציונלי כפונקציה הפוכה לחזקה שלמה, תוך שימור חוקי החזקות. קישור בין חוקי החזקות לשורשים.

√דגש על כך ש: x2=¿ x∨¿

פתרון משוואות אי-רציונליות פשוטות. יש להדגיש את הצורך בבדיקת הערכים שמתקבלים בתהליך האלגברי של הפתרון על ידי הצבהhttp://highmath.haifa.ac.il/data/alle39-10.pdfבמשוואה המקורית )ראו

וכדומה. פונקציית ערך מוחלט, הרחבת עולם הפונקציות - הזזות ומתיחותודוגמאות כמו

פונקציית שורש מורכבת. רמת המורכבות של פונקציות שמתחת לסימן השורש תוגבל בשלב זה לפונקציות לינאריות, להזזות ולמתיחות.9 שלהן )ותורחב לפונקציות ריבועיות במידה ונותר זמן לכך(. בכיתה י"א, לאחר חקירת פונקציות רציונליות, נחזור באופן ספירלי לחקירת

fפונקציות מורכבות יותר בהן השורש מעורב. )שימוש בכלל המכפלה של נגזרות לחקירת פונקציות כגון: ( x )=x √ x−5. )חקירת תכונות של פונקציית שורש מורכבת באופן איכותני ובאמצעות הנגזרת-מציאת שיפוע משיק ומציאת משוואת משיק לגרף בנקודה שעל גרף הפונקציה. -

בעיות קיצון שימושיות בתחום פתוח ובתחום סגור במגוון תחומים במתמטיקה )כגון גאומטריית המישור והמרחב, גאומטריה אנליטית,.10 אנליזה, טריגונומטריה, וכדומה( ובהקשרים שונים )כגון פיסיקה, כלכלה(. יש להדגיש את הבנת משמעות ערך הקיצון מעבר לתוצאה

האנליטית. הצגת פתרון בעיות קיצון גם ללא נגזרת.יש תועלת רבה בחקירה ובהמחשה של בעיות קיצון בייצוגים שונים בעזרת יישומים דינאמיים.

דוגמאות לחקירה איכותנית בעזרת טכנולוגיה: - התיבה הפתוחה

. 43 , על"ה Lesson Studyקידום הוראת המתמטיקה בשילוב כלים טכנולוגיים, באמצעות המודל של

( שעות50גאומטריה אוקלידית )

מבוא לימוד הגאומטריה מאפשר לחדד מספר נושאים דידקטיים שהוזכרו בין המטרות הכלליות של התכנית ושיש להדגיש במהלך לימוד הפרקים

השונים בגאומטריה.

:הכרת מערכת היסקית ולימוד מיומנויות היסק ובכלל זה

o שהוכחו בעבר.מושגי יסוד, אקסיומות ותוצאות על הגדרות, רקהבנה שהוכחות בגאומטריה מתבססות

o .הבנת התשתית הלוגית של המתמטיקה: כמתים כגון לכל וקיים, גרירה לוגית, תנאי מספיק, תנאי הכרחי ודוגמה נגדית

o.הבחנה בין משפט למשפט הפוך

11

o.חשיבה היסקית: יכולת להבין הוכחה נתונה ולהוכיח משפט באופן עצמאי

o.כתיבה פורמלית: כל טענה מנומקת היטב

.חינוך לספקנות ולחשיבה ביקורתית באמצעות הוכחה מחד ובדיקת היתכנות מאידךהעלאת שאלות החושפות תופעות מפתיעות ובעלות השלכות על תכונות כלליות של צורות גאומטריות. שאלות כאלה אף מסייעות

לפיתוח יצירתיות במתמטיקה שכן הן מעודדות יצירת פתרונות שונים לאותה בעיה, העלאת השערות שונות וניסוח הוכחות שונות לאותהטענה.

.חשיפת תופעות שאינן מובנות מאליהן ולכן מחזקות את התובנה שיש צורך בהוכחה,הקדמת תכנון לביצוע, הן בתכנון בניות גאומטריות והן בתכנון הוכחות שיש להן שלבים אחדים: הכרת דרכים שונות, ישירות ועקיפות

להוכחה והפרכה, בחינה סכמטית של מספר דרכי ההוכחה ובחירה באלגנטית/ הקצרה שבהן. .הבחנה בין שימוש בדוגמאות, אי-דוגמאות ודוגמאות נגדיות להוכחות כלליותפיתוח קישוריות: בתוך הגאומטריה )למשל, על ידי הוכחות בדרכים שונות( ובין הגאומטריה לבין נושאים אחרים )למשל שימוש באלגברה

בשרות הגאומטריה ולהיפך, עיסוק בממוצעים דרך נושאי לימוד שונים(.היכרות בסיסית עם סביבות גאומטריות דינמיות המאפשרות חקר וגילוי קשרים גאומטריים. היכרות עם טכנולוגיות עזר לפתרון בעיות

מתמטיות.פרק הגאומטריה משמש בסיס לנושאים נוספים בתכנית הלימודים: גאומטריה אנליטית, טריגונומטריה, גאומטריית המרחב, וקטורים

ולנושאים שונים מחוץ למתמטיקה )למשל אופטיקה, אומנות, ארכיטקטורה(.

דגשים בהקשר לנלמד בחט"ב התכנית בגאומטריה נלמדת כהמשך לתכנית הגאומטריה בחטיבת הביניים שתכניה והדגשים שבה עברו שינוי. בתכנית חט"ב הוכנסו תכנים חדשים

כמו הוכחות בדרך השלילה ובניות גאומטריות בסרגל ובמחוגה. לצד התכנים החדשים הושם דגש על כמתים כגון לכל וקיים, על הבחנה בין משפט למשפט הפוך, על דרכי הוכחה והפרכה. לעומת זאת, תכנים שהיה נהוג ללמד בחט"ב נדחו לחטיבה העליונה )מעגל ודמיון משולשים

בגישה היסקית(. לתשומת לב מיוחדת ראויה העובדה שהתלמידים עסקו בדמיון משולשים כבר בכיתה ח, כאשר הגישה ללימודי הגאומטריה עדיין לא הייתה היסקית. למעשה הם מסיקים דמיון בין משולשים על סמך שוויון בין זוויות מתאימות, למרות שלא הוכיחו אף משפט של דמיון

משולשים. בכתיבת התכנית הבאנו בחשבון את התכנים החדשים בתכנית הגאומטריה של חט"ב כנזכר לעיל, תכנים בגאומטריית המרחב ועוד. כדי לשמר

תכנים אלה ישולבו בהוראה פעילויות העוסקות בבנייה, בכמתים ובגופים מרחביים )מדובר בפעילויות שאינן דורשות שימוש במשפטים שלגאומטריית המרחב שיילמדו רק בכיתה י"ב(. דוגמה לשאלות כאלה מופיעה בפרק דמיון משולשים.

תכנים יילמדו שלושה נושאים עיקריים: מקומות גאומטריים ונקודות מיוחדות במשולש, המעגל ודמיון משולשים )ניתן גם להחליף את הסדר וללמד את

פרק דמיון משולשים לפני פרק המעגל(.מקומות גאומטריים ונקודות מיוחדות במשולש: מעגל, אנך אמצעי, חוצה זווית ועוד..1משפט חפיפה רביעי..2 המעגל : הגדרתו כמקום גאומטרי, קשתות זוויות ומיתרים במעגל, משפטים הדנים ביחסים ביניהם, משיק למעגל ומשפטים.3

הנוגעים לו, בניות )מרכז מעגל נתון, משיק למעגל מנקודה על המעגל ומנקודה שאינה על המעגל(.

12

פרופורציה ודמיון משולשים : משפט תאלס, המשפט ההפוך לו והמשפטים הנובעים מהם, משפטי הדמיון של משולשים, בניות.4הקשורות בדמיון משולשים )למשל, חלוקת קטע ביחס נתון(.

משפט חוצה הזווית הפנימית במשולש..5דמיון משולשים במעגל..6

מוצגים ניתוח והרחבה של שאלות בחינת בגרות משנים קודמות בדגש על תכנים רצויים בשאלות אלה או בשינויים1בפרק הדוגמאות שבנספח המוצעים; בשאלות משולבות דוגמאות של בעיות תלת-ממדיות שניתן לפתור בעזרת גאומטריית המישור.

מוצגת רשימת המשפטים הנוכחית בגאומטריה מאתר המפמ"ר בציון המשפטים הנלמדים בחט"ב, משפטים הנלמדים בתכנית החדשה3בנספח )בכיתה/כשיעורי בית( ומשפטים שהוצאו מן התכנית.

שעות(10מקומות גאומטריים, נקודות מיוחדות במשולש ומשפט חפיפה רביעי )o.מעגל הוא אוסף הנקודות שמרחקיהן מנקודה נתונה שווים לגודל נתוןo.אנך אמצעי לקטע הוא אוסף הנקודות שמרחקיהן מקצות הקטע שווים זה לזהo.חוצה זווית הוא אוסף הנקודות שמרחקיהן משתי שוקי הזווית שווים זה לזהo.ישרים מקבילים כמקום גאומטריo .שלושת האנכים האמצעיים במשולש נפגשים בנקודה אחת. נקודה זו היא מרכז המעגל החוסם את המשולשo.שלושת חוצי הזוויות במשולש נפגשים בנקודה אחת. נקודה זו היא מרכז המעגל החסום במשולשo כשהחלק הגדול ליד2:1שלושת התיכונים במשולש נפגשים בנקודה אחת. נקודה זו מחלקת כל תיכון לשני חלקים שהיחס ביניהם

הקדקוד והוא "מרכז הכובד" של המשולש.o.שלושת הגבהים במשולש נפגשים בנקודה אחתo .)לכל משולש אפשר לבנות מעגל שעובר דרך קדקודיו )מעגל חוסםo.)בכל משולש אפשר לבנות מעגל שמשיק לצלעותיו )מעגל חסוםo.תרגול מציאתו של מרכז מעגל חוסם ומרכז מעגל חסום באמצעות סרגל ומחוגה ו/או תוכנה דינמית

הערותבכל המקרים יודגש שלצורך הוכחה שקבוצת נקודות היא מקום גאומטרי, יש להוכיח את שני הכיוונים:

כל נקודה במקום הגאומטרי מקיימת את התכונה..1כל נקודה שמקיימת את התכונה שייכת למקום הגאומטרי..2

o.מדובר בפרק ראשון בגאומטריה בכיתה י, ולכן יש להדגיש מיומנויות של כתיבת הוכחהo.יש לציין את ההבחנה בין משפט למשפט הפוך

משפט חפיפה רביעי .אזי המשולשים חופפים מבין השתיים שוות – הגדולותאם בשני משולשים שתי צלעות שוות בהתאמה, והזוויות מול הצלעות

אזי לא ניתן להסיק מבין השתיים שוות – הקטנותאם בשני משולשים שתי צלעות שוות בהתאמה, והזוויות מול הצלעות לעומת זאת,. שהמשולשים חופפים

זו דוגמה יפה לצורך בדיוק במשפט ובהוכחה – האינטואיציה שפיתחנו ממשפטי החפיפה הקודמים אינה מספיקה כאן ועלולה להכשיל.חשוב להכיר דוגמה פשוטה:

13

במשולש שווה שוקיים כל קטע מקדקוד הראש לנקודה פנימית בבסיס שאינה אמצע הבסיס, מחלקת את המשולש לשני משולשים לא חופפיםהשווים בשתי צלעות ובזווית שמול הצלע הקטנה ביניהן.

אם בשני משולשים שתי צלעות שוות בהתאמה, והזוויות מול הצלעות הקטנות מבין השתיים שוות –. 180קיימות שתי אפשרויות: או שהמשולשים חופפים או שהמשולשים אינם חופפים, והזוויות שמול הצלעות הגדולות מבין השתיים משלימות ל-

: משפט החפיפה הרביעי כלול בתוכנית הלימודים לחטיבת הביניים, אך הנושא לא טופל בהעמקה. בפרט חשוב לחזור אל משפט החפיפההערההרביעי ואל המצב שבו לא מתקיימת חפיפה בעת למידת משפט הסינוסים ומשפט הקוסינוסים בכיתה י"א.

מיומנויות: לבנות משולש לפי שתי צלעות וזווית מול הצלע הגדולה ולפי שתי צלעות וזווית מול הצלע הקטנה.

המשפט ההפוך למשפט פיתגורסמשולש בו סכום ריבועי שתי צלעות שווה לריבוע הצלע השלישית הוא ישר זווית.

שעות(20המעגל )קשתות, זוויות ומיתרים במעגל .1

הגדרות קבוצת כל הנקודות שמרחקן מנקודה מסוימת שווה לאורך מסוים קבוע, נקראת מעגל. הנקודה היא מרכז המעגל, והאורךמעגל :

הקבוע הוא אורך הרדיוס.קטע המחבר את מרכז המעגל עם נקודה על המעגל. רדיוס המעגל :קטע המחבר שתי נקודות על המעגל.מיתר :מיתר העובר דרך מרכז המעגל. קוטר המעגל :מעגל מחלקות אותו לשתי קשתות(.שעל: חלק מהמעגל המוגבל על ידי שתי נקודות )שתי נקודות קשת זווית שקדקודה במרכז המעגל ושוקיה רדיוסים.זווית מרכזית : :זווית שקדקודה על היקף המעגל ושוקיה חותכים את המעגל.זווית היקפית

משפטים

הקשתות הנשענות עליהן שוות.רק אםבמעגל, שתי זוויות מרכזיות שוות זו לזו המיתרים הנשענים עליהן שווים.רק אםבמעגל, שתי זוויות מרכזיות שוות זו לזו האנך שיורד ממרכז המעגל למיתר חוצה את המיתר, חוצה את הזווית המרכזית המתאימה למיתר וחוצה את הקשת המתאימה

למיתר..ככל שמיתר במעגל גדול יותר, מרחקו מהמרכז קטן יותר .זווית היקפית שווה למחצית הזווית המרכזית המונחת על אותה קשת

מסקנות .לזוויות היקפיות שוות במעגל קשתות שוות ומיתרים שווים.לקשתות שוות מתאימות במעגל זוויות היקפיות שוות.זווית היקפית שנשענת על קוטר היא זווית ישרה במרובע החסום במעגל סכום כל שתי זוויות נגדיות הוא180. להסיק משפט הפוך: מרובע שסכום כל זוג זוויות נגדיות בו הוא180.ניתן לחסום במעגל ,

14

משיק למעגל .2 הוא ישר שיש לו נקודה משותפת אחת עם המעגל.הגדרה: משיק למעגל

משפטים .המשיק למעגל מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה.ישר שמאונך לרדיוס בקצהו משיק למעגל.שני משיקים למעגל היוצאים מאותה נקודה, שווים זה לזה

.מסקנה: במרובע שחוסם מעגל סכום כל שתי צלעות נגדיות שווה לסכום הצלעות הנגדיות האחרותזווית הכלואה בין משיק ומיתר היוצאים מנקודה אחת שעל המעגל שווה לזווית ההיקפית הנשענת על הקשת הכלואה בין המשיק

למיתר.בניות

.למצוא מרכז של מעגל נתון.להעביר משיק למעגל מנקודה על המעגל.להעביר משיק למעגל מנקודה שאינה על המעגל

הערותניתן היה להגדיר את המשיק למעגל כישר שמאונך לרדיוס בקצהו, ולהוכיח שלמשיק יש רק נקודה משותפת אחת עם המעגל. זו

הזדמנות לדון בהגדרות שקולות ובמבנה הלוגי של הגאומטריה.המשפטים על הניצבות של המשיק לרדיוס מזמנים שימוש בהוכחות בדרך השלילה. הוכחות אלו דורשות הסבר לוגי שאינו פשוט

להטמעה והבנה, אך הן מהוות נדבך חשוב ביכולת ההוכחה בגאומטריה.

שעות(20פרופורציה ודמיון משולשים )משפטים

.משפט תאלס, המשפט ההפוך לו והמשפטים הנובעים משניהם .ארבעת משפטי הדמיון של משולשים .היחס במשולשים דומים בין היקפים, תיכונים, חוצי זווית, גבהים ורדיוסי מעגלים חוסמים ומעגלים חסומים.היחס בין היקפים והיחס בין שטחים במצולעים דומים.משפט חוצה הזווית הפנימית במשולש יש להכיר תכונות של קטעים פרופורציוניים, ולדעת לקבל יחסים חדשים מתוך יחסים נתונים. למשל, כשנתון היחסa/b= c/dלדעת

.b = )c+d(/d(/a+bלהסיק בדרך אלגברית ).יש לזהות משולשים דומים ולזהות מהם החלקים הדומים, הוכחת הדמיון, מציאת יחס הדמיון, הסקת מסקנות חישוביות מתוך הדמיון.יש לפתח מיומנויות שימוש בדמיון משולשים בהוכחות.פרופורציות במשולש ישר זווית ובמעגלים יילמדו במסגרת התרגול

בניות -חלוקת קטע לn .חלקים שווים .חלוקת קטע ביחס נתון

דמיון משולשים במעגל.יש לזהות משולשים דומים על סמך יחסים בין זוויות במעגלככלל, מסקנות מדמיון משולשים לא יילמדו כמשפטים שעליהם ניתן לבסס תרגילים אחרים, אלא ייחשפו במסגרת התרגול. משפטים

15

שכדאי לחשוף במסגרת התרגול:.משפט על מיתרים נחתכים במעגל.משפט על משיק וחותך שיוצאים מאותה נקודה.משפט על שני חותכים שיוצאים מאותה נקודה

דגשים,כאן נחזור ונדגיש שלמרות שהתלמידים מכירים את משפט הדמיון "זווית-זווית" יש להביא בחשבון שהמשפט לא נלמד בגישה היסקית

אין לבסס את ההוכחה של משפט תאלס על משפטי דמיון משולשים, כיווןבפרטולכן לא ניתן לבסס עליו הוכחות של משפטים. שמשפט זה הוא הבסיס להוכחות של משפטי הדמיון.

דמיון בין צורות הוא מושג שימושי, למשל בתכנון ובנייה של מודלים בתעשייה ובארכיטקטורה, בציור, בפיסול ועוד. יש לכלול דוגמאות שכאלה בתרגילים ובפרויקטים.

פונקציות טריגונומטריות ויישומיהן

סדר ההוראה של שני פרקי הטריגונומטריה (טריגונומטריה במישור ופונקציות טריגונומטריות) נתון לבחירת המורה

( שעות15פונקציות טריגונומטריות )

מבוא מטרת פרק זה היא להציג משפחה חדשה של פונקציות שלא מוגדרות על ידי מניפולציה אלגברית )לקחת מספר ממשי ולהפעיל עליו פעולות

חשבון כלשהן( אלא על ידי מניפולציה גאומטרית. התכונה העיקרית של פונקציות חדשות אלה היא המחזוריות שלהן. מחזוריות היא תכונה הנצפית בתופעות טבע רבות. התיאור המתמטי של פונקציות מחזוריות מאפשר מידול תופעות אלו וכן הבנה טובה יותר שלהן ושל תכונותיהן

והשלכותיהן.

בפרק המבוא נלמד תכונות בסיסיות של פונקציות אלה. במקביל נלמד על השימוש בפונקציות אלה בפרק הטריגונומטריה במישור )בידי המורה הבחירה כיצד להציג לראשונה את הפונקציות הטריגונומטריות - בתוכנית מוצגת האפשרות בה הצגת הפונקציות הינה בפרק המבוא(. בפרקים

הבאים )שיילמדו בכיתות י"א-י"ב( נלמד את התכונות הדיפרנציאליות והאינטגרליות שלהן. בנוסף נלמד נושאים רבים ושונים שמשתמשים בהםבפונקציות טריגונומטריות )למשל בגאומטריית המישור והמרחב ובמספרים מורכבים(.

דגשים.גזירת תכונותיהן של הפונקציות הטריגונומטריות מתוך הגדרותיהן על מעגל היחידהלחילופין, ניתן גם להשתמש בהגדרת הפונקציות במשולש ישר זווית והרחבת ההגדרה לזוויות שאינן חדות, ולאחר מכן להגיע מכך לנושא

המחזוריות. .בכל מקרה בסוף כיתה י' התלמידים יבינו את נושא המחזוריות ככלל ושל פונקציות טריגונומטריות בפרט.אפיון הפונקציות הטריגונומטריות כפונקציות מחזוריות .הצגת הבעייתיות החישובית למציאת ערכי הפונקציות הטריגונומטריות.)מעבר בין ייצוגים שונים של הפונקציות הטריגונומטריות )על מעגל היחידה, גרף של פונקציה, יחסים במשולש ישר זווית.תכונות סימטריה של הפונקציות הטריגונומטריות והאינווריאנטיות שלהן ביחס לטרנספורמציות מסוימות

16

:שימוש בכלי המתמטי החדשo.פתרון בעיות בגאומטריית המישורo .מידול תופעות מחזוריות

תכנים הגדרה והסקת תכונותיהן של הפונקציות הטריגונומטריות מתוך הגדרותיהן על מעגל היחידה ואפיון הפונקציות.1

הטריגונומטריות כפונקציות מחזוריות. הצגת ייצוגים שונים של הפונקציות הטריגונומטריות על מעגל היחידה כגרף של פונקציה וכיחסים בין צלעות במשולש ישר.2

זווית.הכרת תכונות הסימטריה של הפונקציות הטריגונומטריות. .3 היכרות עם משוואות וזהויות טריגונומטריות בסיסיות; קישור ודגש על ההצגה הגרפית של המשוואות בייצוגים השונים וגזירת.4

תכונות איכותניות של הפתרונות מתוכן. שימוש בדמיון משולשים להסקה על היחסים במשולש ויישומים פשוטים של דמיון ושל הפונקציות הטריגונומטריות.5

בגאומטריה.

sinנגדיר את הפונקציות הטריגונומטריות הבסיסיות )קודם ( x ) ,cos (x ( על מעגל היחידה באופן אוּפVרציונלי. במילים אחרות,tan(x) ואח"כ ( . דרך אחרת היא להגדיר את הפונקציות2כאשר ניתן מספר ממשי, נגדיר באופן גאומטרי את ערכי הפונקציות הטריגונומטריות עבורו

שלyהטריגונומטריות באופן דינמי כמתארות את תכונותיה של נקודה הנעה על מעגל היחידה. פונקציית הסינוס מתארת את השתנות שיעור ה-הנקודה כתלות במידת הסיבוב )הנמדדת במעלות(. במסמך זה כלולה כרגע רק הדרך הראשונה.

הגדרת נקודות על מעגל היחידה א.i.שלב ראשון הוא התאמה בין מספר ממשי לנקודה על מעגל היחידה. לכל מספר

ממשי מתאימה נקודה על מעגל היחידה שמתקבלת באופן הבא: אם המספר הממשי חיובי, מלפפים על מעגל היחידה נגד כיוון השעון קשת שאורכה כמידת המספר

(. אם המספר הממשי שלילי, עושים את אותה פעולה1,0הממשי החל בנקודה ) אלא שהפעם הליפוף הוא עם כיוון השעון. יש לבסס את ההגדרה באמצעות תרגול מתאים )ראו לדוגמה "פונקציות טריגונומטריות" מאת אורי רימון, חנה פרל וסטלה

(. 10-1שגב עמ' אפשר להשתמש באורך קשת על מעגל לפי החלק היחסי בלי שימוש במעלות ובלי

לציין את המילה "רדיאן" כדי לא ליצור בלבול בשלב מוקדם זה. ידוע כי היקף מעגל.π2 וקשת שמתאימה לרבע מעגל היא רבע של π2היחידה הוא

ii.לכל מספר ממשי מתאימה נקודה יחידה על מעגל היחידה. לעומת זאת, לכל נקודה על מעגל היחידה יש אינסוף מספרים ממשיים k לכל X+ πk2 , אזי היא מתאימה לכל מספר ממשי מהצורה X מתאימה למספר ממשיPשנקודה זו מתאימה להם. אם הנקודה

שלם.

, כרך ראשון מאת אנה ספרד, חנה פרל, פרופ' שמשון עמיצור ופרופ' מיכאל משלר, הוצאת המרכז הישראלי להוראת המדעים, האוני' העברית יח"ל5 ו-4אנליזה ראו למשל 2.11-10בירושלים, פרקים

17

18

sinנגדיר את הפונקציה ב. ( x כפונקציה שמתאימה לכל מספר ממשי את שיעור ( על מעגל היחידה שהוגדרה לעיל. P של הנקודה Yה-

נסיק ישירות מתוך ההגדרה באמצעות כלים גאומטריים את תכונות המחזוריות והסימטריה של פונקציית הסינוס. לדוגמה−sin ( x )=sin (−x).'וכו

cosבאותו אופן נגדיר את ג. ( x על מעגל היחידה שהוגדרה לעיל. גםP של הנקודה X כפונקציה שמתאימה לכל מספר ממשי את שיעור ה-(כאן נסיק ישירות מההגדרה את תכונות המחזוריות והסימטריה של פונקציית הקוסינוס.

sinנציג באופן גרפי את שתי הפונקציות ד. ( x cos ו- ( ( x ונראה את הקשרים בניהן, כולל הזזות מתיחות וכיו"ב )ראו דוגמאות(. (sin2הסקה של הזהויות x+cos2 x=1

cos ( π2 −x )=sinx ;sin( π2 −x)=cosx

19

(. נלמד את1,0 באמצעות הישר המשיק למעגל היחידה בנקודה )tan(x)נגדיר את הפונקציה ה.תכונות הפונקציה וייצוגה הגרפי.

היא הזדמנות נוספת לדון בנושא הגבול ובנושא של)tan)xהגדרת פונקציית ה- הערה: פונקציות המוגדרות על קבוצות חלקיות לישר הממשי. כאן ניתן לדון בהצגת גבולות

אינסופיים, גבול מימין ומשמאל וכהעשרה להבחין בין אי-קיום גבול )למשל בפונקציות שואף לאינסוף( לקיום של גבול אינסופי.xמחזוריות כאשר

20

tanנוכיח בעזרת דמיון משולשים את הקשר ו. ( x )= sin (x)cos (x)

שימושים של הפונקציות הטריגונומטריות )השימוש בדמיון מהווה הכנה לסעיף

(.בפתרון בעיות בגאומטריית המישורנלמד איך מחשבים את הערכים של הפונקציות הטריגונומטריות, מה מספר לנו המחשבון.ז. נזכיר כי יש פונקציות מחזוריות שאינן פונקציות טריגונומטריות פשוטות תוך שימת דגש על תופעות מחזוריות בחיי היום-יום: למשל, תנועתח.

כדור הארץ, הירח, כוכבי הלכת, זרם חילופין בחשמל, שעון מטוטלת, ריצה באצטדיון או במסלול ֵמרוצים שיש להקיפו מספר פעמים )ניתן להקדים את הפרק הזה להגדרת הפונקציות הטריגונומטריות( 1ועוד, ראו גם תרגילים בנספח

נלמד משוואות וזהויות טריגונומטריות בסיסיות:ט.

i.( ערכים של הפונקציות הטריגונומטריות במספרים ממשיים מיוחדיםπ6

, π3, π

2.)

ii. אפיון קבוצת התמונות של הפונקציות הטריגונומטריות )התנאים לקיום פתרון במשוואות מהסוגsin ( x )=a ,cos (x )=b , tan ( x )=c.) Aפתרון משוואות מהצורה ∙ sin (a ∙ x+b )+B=0 , C ∙cos (c ∙ x+d )+D=0 וכן )E ∙ tan (e ∙ x+ f )+F=0.

פתרון המשוואות שצוינו לעיל. פתרון כללי ופתרון בתחום חלקי וקישור להצגתן הגרפי של פונקציות אלה.iii. בעזרת הזהויות המקשרות בין סינוס קוסינוס וטנגנס.פשוטותפתרון משוואות

שעות(15 )טריגונומטריה במישור כולל משוואות טריגונומטריות

מבואבפרק זה נרחיב את השימוש בזהויות ונעסוק בצורות גאומטריות במישור.

תכנים

s=1 שימוש בנוסחה לחישוב שטח משולש:.12∙ a ∙ b ∙sin γ.הנוסחה דורשת הוכחה עבור משולש חד זוויות וקהה זווית .

משפט הסינוסים ומשפט הקוסינוסים ושימושיהם. את משפט הסינוסים ניתן להוכיח בעזרת מעגל או להוכיח במשולש ולהוכיח בהמשך.2

2R aאת השוויון =sinα .בעזרת מעגל

ksinקישור בין פתרון בעיות גאומטריות להכרה איכותית של הפונקציות הטריגונומטריות. לדוגמה, אם מגיעים לביטוי .3 2αהמייצג אורך , α=135 או α=45°קטע, אפשר להסיק שהביטוי יקבל מקסימום כאשר , מבלי להשתמש בגזירה. בדומה, בביטוי המייצג יחס בין°

צלעות ניתן לקבוע מגבלה על היחס, על סמך התכונות של הפונקציות הטריגונומטריות.

שימושים של המשפטים הטריגונומטריים להוכחת משפטים וטענות בגאומטריה..4

דגשיםהשימוש בטריגונומטריה יאפשר מחד חישובי גדלים ומאידך יהווה כלי עזר להוכחת טענות במישור ובמרחב, בעזרת זהויות טריגונומטריות

בסיסיות או בעזרת חישובים טריגונומטריים, לצורך הוכחת שוויון בין קטעים, שטחים, נפחים, ושוויון זוויות.

21

יש להבחין בין חישובים שיכולים להיות מקורבים, למשלsin45°=0.707לבין הוכחות של טענות כלליות בגאומטריה, בהן נדרש דיוק ,

2√בחישוב, ובהן חייבים להשתמש ב- 2

sin45°=¿.

ייעשה שימוש בטריגונומטריה כדי להמחיש משפטים גאומטריים, כמו חשיבות השימוש בזווית מול הצלע הגדולה מבין השניים במשפט חפיפה רביעי, תכונות וקשרים במצולעים משוכללים חוסמים וחסומים במעגל, תכונות במעגל.

התרגילים יטפלו גם במצבים של עודף נתונים או חוסר נתונים, כשיידרש מהתלמיד לבצע בקרה אחרי שלבי התקדמותו בתרגיל. תידרש מהתלמיד ההבנה שאם חסר נתון, יש להגדירו כפרמטר ולבטא את התוצאה בעזרתו, ואם יש עודף נתונים, יש לבדוק אם לא נוצרת

סתירה.

יושם דגש על בקרת התוצאות ובקרה על סדרי גודל. כשכל הקטעים בבעיה הנתונה מבוטאים על ידי פרמטרים, כדאי לעשות בקרת מימדים ויחידות, כלומר לוודא שהתוצאה אכן מייצגת אורך, שטח או נפח.

.יודגש ההבדל בין זהות למשוואה

.ההוראה תשולב ביישומונים במקומות מתאימים

יושם דגש על ריבוי דרכי פתרון. הנסיון לפתור תרגיל בדרכים שונות מרגיל את התלמיד לחפש פתרונות באמצעים שונים וגורם לקישור בין יש להפנות את התלמידים לקרוא בבית הוכחה שלא נעשתה בכיתה בכדי להדגיש אתנושאים שונים. למשל, בהוכחת משפט הסינוסים

קיומן של מספר הוכחות אפשריות תוך עידודם למצוא הוכחות נוספות. בספרי הלימוד יכללו לפחות שתי הוכחות שונות במהותן.

22

: דוגמאות לשאלות על פי נושאי הלימוד1נספח הדוגמאות שלהלן מסמנות יעדים ומדגימות פעילויות שתואמות את הדגשים בתכנית החדשה ואת הערך המוסף שלה.

לא ייכללו כנושאי חובה בתכנית, אך מצופה מהמורים להכירם ולהפנות את התלמידיםכהעשרהשוב נדגיש כי דוגמאות ו/או נושאים המצוינים המתעניינים לקריאה עליהם בספרי הלימוד.

כהעשרה מתמטית, תרבותית ומדעית, כמצוין בכמה דוגמאות, כדאי להפנות את התלמידים לקריאה על דמויות מרכזיות בפיתוח המתמטיקה הנלמדת, על התחומים שפיתחו וחשיבותם. רשימת המתמטיקאים/ המדענים שכדאי שיכירו את תרומתם: אוקלידס, דקארט, ניוטון, לייבניץ,

הילברט, גדל, גלואה, פוינקרה, ברנולי, גאוס, פון-ניומן, פורייה, פרמה, ווילס, סמייל ועוד.

חשוב לציין שבנוסף לתרגילים המוצעים ברוח התכנית, יש לכלול תרגילים רגילים שיתרמו להבנה ולשליטה בחומר ויפתחו את היכולות הטכניות של התלמידים בהדרגה. בדרך זו הם יוכלו להתמודד עם רמת המורכבות בדוגמאות הנתונות )אין צורך לכלול תרגילים מאוד טכניים ברמת

מורכבות גבוהה באופן משמעותי מהדוגמאות המובאות(.

מבוא להנדסה אנליטית

kx+(1−k2נתונה התבנית: .1 ) y=k3−k. )אם קיימים ערכים כאלה; אם לא, נמקו( מייצגת התבנית:kעבור אילו ערכים של

קו ישר שעובר דרך ראשית הצירים.-.xקו יש שמקביל לציר ה--.yקו ישר שמקביל לציר ה--.y=2x+5קו ישר שמאונך לישר -(.0,7 בנקודה )yקו ישר שחותך את ציר ה--במידה שלא קיימים ערכים מתאימים באחד הסעיפים, הציעו דרך לשנות את התבנית כך שניתן יהיה למצוא ערכים מתאימים. -

(.3,4מעגל קנוני – נתון ריבוע חסום במעגל קנוני. אחד מקודקודי הריבוע הוא ).2מצאו את משוואת המעגל ואת שאר קודקודי הריבוע.

)הפתרונות ללא שיקולי חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי(  לו ולה   פרבולה לי,פרבולה וישר: מתוך הפיצוח .3

23

מבוא לאנליזה של פונקציות

i.(.58- 30 )עמ' פונקציות ממשיות דוגמאות בספר "ללמוד וללמד אנליזה" בפרקii.:לדפי עבודה עם שימוש בטכנולוגיה

הזזות ומתיחות )בצורה הקודקודית(משפחות של פונקציה חזקה זוגיות ואי-זוגיות של פונקציה

השורש של פונקציית הישר והריבועית  ההופכית לפונקציה לינארית

פונקציה הופכית לפונקציה ריבועית  פונקציה הפוכה

חשבון דיפרנציאלי

. (:"ללמוד וללמד אנליזהמתוך " על פונקציה מורכבת )לשאלות איכותניותדוגמאות

.בסרטוט המצורף נתון גרף הפונקציה

סרטטו באופן סכמתי את הגרפים של הפונקציות הבאות ללא טבלת ערכים:.1

.. ג. ב. א.

24

גרף הפונקציה.2f

סימטרי ביחס לישר x=0 .5

? הסבירו. 1. האם תכונה זו נשמרת גם בשלוש הפונקציות האחרות של סעיף )מה כולל הסבר לשאלה מסוג זה? האם העובדה שבתחום שסרטטנו או בתחום המשתקף על צג המחשב גרף הפונקציה

סימטרי ביחס לישר x=0 .5

היא הצדקה מספיקה?(

סימטרי ביחס לישר . האם הגרף של כל פונקציה מורכבת שהפונקציה הפנימית שלה היא 30 . 5

? הסבירו.

היא חיצונית. . נהפוך את כיוון ההרכבה כך שהפעם הפונקציה 4

.האיור המצורף מציג את גרף הפונקציה

מצאו, ללא שימוש בנגזרת, את שיעורי נקודת הקיצון.

וכיצד קבעתם את שיעור ה-הסבירו כיצד קבעתם את שיעור ה-y

.

למשל דוגמאות מתוך הקורס בחשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של, הרחבת הידע המדעי וניתוח איכותנידוגמאות לשאלות יישומיות המשלבות :APהתכנית האמריקאית להסללה אקדמית

http://media.collegeboard.com/digitalServices/pdf/ap/ap-calculus-course-description.pdf) :

( שנבעט מהקרקעt-( כפונקציה של הזמן )מסומן להלן ב-y ידוע כי גובהו של כדור )המסומן להלן בחוקי התנועה של ניוטוןעל פי .1, נתון בנוסחהvבמהירות אנכית התחלתית )חיובית(

y)t(=vt-0.5*gt2 כאן ; g( מסמל את תאוצת כוח הכבידה של כדור הארץ g 9.8 שווה בערך[ m/s2ציירו את גובהו של הכדור .( ] כפונקציה של הזמן עד שהוא נוחת על הקרקע. מתי הכדור נוחת?

מהו הגובה המקסימלי שהכדור יגיע אליו? מתי מגיע הכדור לגובה המקסימלי? מהו גרף המהירות האנכית שלו כפונקציה של הזמן? )רמז: , כפונקציה של הזמן )רמז: התאוצה היא קצבaהמהירות האנכית נתונה על ידי קצב השינוי של הגובה(; מהו גרף התאוצה האנכית שלו,

השינוי של המהירות(. )מה קורה אם נכפיל את מהירותו ההתחלתית האנכית של הכדור? (ma=F הפועל על הכדור )נזכיר כי Fהסיקו: מהו הכוח האנכי

2.

T)0134789 )שעותL)t()120156176126150800 )אנשים

25

(, וכל הכרטיסים נמכרו כעבור תשע שעות. נניח כי הפונקציה שמתארתt=0 בצהריים )12:00מכירת כרטיסים לקונצרט החלה בדיוק ב- בזמניםt(L. ערכים של ) 0t 9 , גזירה פעמיים המוגדרת עבור )L)tאת מספר האנשים שמחכים בתור לקניית כרטיסים בזמן נתון היא

שונים נתונים בטבלה לעיל. (. הראו אתt=5.5 אחה"צ )5:30השתמשו בנתונים שבטבלה כדי להעריך את קצב השינוי של מספר האנשים שמחכים בתור בשעה א.

החישובים שהובילו לתשובה והקפידו על יחידות מידה מתאימות. השתמשו בסכום שטחי טרפזים בשלושה אינטרוולים כדי להעריך את המספר הממוצע של האנשים המחכים בתור ברגע נתון במשךב.

ארבע השעות הראשונות שבהן נמכרו כרטיסים. חייב להתאפס? )L')t. - מהו המספר המינימלי של הפעמים שבהן 0t 9בתחום ג.

נמקו את טענתכם. יש לתת את הדעת כי בדוגמה מובאת פונקציה בדידה, אך השימוש בכלי של מנת ההפרשים נותן אומדן על קצב השינוי של הפונקציה,

וזהו ייצוג נוח ושימושי גם אם לא מדויק.מבחינה היסטורית רבים מן הכלים המתמטיים פותחו כדי לתת לבעיות פיסיקליות תשובות בעלות תוצאות קרובות , ויש להדגיש פן זה.

("ללמוד וללמד אנליזהמתוך ")דוגמה להצגת הנגזרת כקצב שינוי

26

הנגזרת כקצב שינויפונקציית המהירות כנגזרת של פונקציית הדרך

, היא בשניות, את הדרך שעוברים החייזריםרכב חייזרים נוסע לאורך מסילה. הפונקציה המתאימה לזמן הנסיעה .

ב- החייזרים רכב של הממוצעת הנסיעה מהירות את למצוא קושי הראשונות5אין השניות שניות החייזרים נסעו 5לנסיעתם: במשך מטרים, ולכן מהירותם הממוצעת היא 50 מטרים10

בשנייה.נוכל גם לחשב את המהירות הממוצעת בפרק זמן קצרצר:

נחשב את המהירות הממוצעת באלפית השנייה שלאחר השנייה החמישית.

fהדרך שעברו החייזרים: (5. 001 )−f (5)=50 .020002−50=0 . 020002

המהירות הממוצעת בפרק זמן זה היא

0 .0200020 .001

=20 . 002, והיא מיוצגת על-ידי שיפוע הישר שבאיור.

כיצד נחשב את המהירות הרגעית של רכב החייזרים?

נוכל לחשב את המהירות בפרקי זמן קצרים עוד יותר, ולבדוק מהו הערך אליו שואפת המהירותהממוצעת, כאשר משך זמן הנסיעה שואף לאפס.

מטרים. שניות, רכב החייזרים נוסע במשך

שניות, מתחילת שניות לבין 5 היא הגבול של המהירות הממוצעת בפרק הזמן שבין המהירות הרגעית בזמן :h→0הנסיעה כאשר

.

. כאשר התהליך שעשינו הוא בדיוק חישוב הנגזרת של הפונקציה

נוכל להכליל:

27

, אז ניתן לייצג את המהירותx היא פונקציה המתארת את הדרך שעובר גוף מתחילת התנועה ועד לנקודת זמן fאם

הממוצעת בפרק הזמן שבין x=x0 לבין

x=x0+h כ-

.ΔsΔx

=f ( x0+h)−f ( x0 )

h

:h→0 היא הגבול אליו שואפות המהירויות הממוצעות כאשר x0המהירות הרגעית ב-

.x0 בנקודה fהגבול שחישבנו זה עתה הוא בדיוק הנגזרת של הפונקציה

פונקצית הנגזרת של פונקציית הדרך היא פונקציית המהירות הרגעית.מד המהירות במכונית מראה את המהירות הרגעית.

מהירות ממוצעת מדגימה קצב שינוי ממוצע, במקרה בו הפונקציה מתאימה לזמן הנסיעה את אורך הדרך. במקרה זה הנגזרת מייצגת אתהמהירות הרגעית.

מתארת גידול של אוכלוסיית חיידקים ביחס לזמן, אז הביטוי אם הפונקציה f (x0+h)−f (x0)

hמתאר את קצב השינוי הממוצע בגודלה מתאר במקרה זה את קצב השינוי שלh→0. המספר אליו שואף ביטוי זה כאשר x=x0+h לבין x=x0של אוכלוסיית החיידקים בפרק הזמן שבין

. אוכלוסיית החיידקים, ברגע מסוים

מתארת גידול של אוכלוסיית חיידקים ביחס לזמן, אז הנגזרת שלה מתארת את קצב השינוי שלבמילים אחרות: אם הפונקציה אוכלוסיית החיידקים בכל רגע נתון.

fמה מתאר הביטוי (x0+h)− f (x0)h

מתאימה לזמן המילוי של בריכת מים את כמות המים בבריכה? אם הפונקציה

?h→0מה מתאר, במקרה זה, הגבול של הביטוי הנ"ל כאשר

("ללמוד וללמד אנליזהמתוך ")בסגנון "האם נכון ש...?" דוגמאות לשאלות

האם נכון ש...?אם כן – הסבירו מדוע.

אם לא – הביאו דוגמה נגדית.

28

היא תמיד פונקציה זוגית.פונקציה א.

היא תמיד פונקציה זוגית.פונקציה ב.

עובר תמיד דרך ראשית הצירים.הגרף ג.

עובר תמיד דרך ראשית הצירים.הגרף ד.

הם אי-שליליים.כל ערכי הפונקציה ה.

הם אי-שליליים.כל ערכי הפונקציה ו.

("ללמוד וללמד אנליזהמתוך ")"הביאו דוגמה" דוגמאות לשאלות בסגנון

לפניכם גרפים של זוגות של פונקציות שורש מורכבות )באדום( עם הפונקציות הפנימיות שלהן )בשחור(. סרטטוז. במחשב זוגות של פונקציות המתאימים לכל אחד מן האיורים. תארו כיצד בחרתם את הפונקציה הפנימית בכל אחד

מן המקרים.

פונקציות רציונליות

מדגימה: נקודות אפס בריבוי זוגי ואי זוגי, שיקולים איכותניים במציאת נקודות פיתול, קשר בין פונקציה לנגזרותיה.1

הגרפים באיורים שלפניכם מתאימים לפונקציות

aא. x2

(x−1)(x−4)2 .ב bx(x−1)(x−4)2 .ג c x2

(x−1)(x−4)

זהו איזה גרף מתאים לאיזו פונקציה

29

גד

אב

. דגש: הסקת מסקנה איכותנית מאסימפטוטה אופקית2

מקור: מנות קינוח לפונקצית מנה/ לאה דולב וללמוד וללמד אנליזה

. איזו מבין הטענות הבאות נכונה:נתונה הפונקציה

א.

ב.ג.

. השאלה מדגישה: סרטוט סקיצה של גרף על פי תיאור מילולי הכולל אסימפטוטות. זיהוי פרמטרים.3 קיץ תשע"ד35806שאלון מקור:

30

דוגמאות לשימוש בטכנולוגיה

טיול רציונלי ללונה פרק – חלק א.1מקור: המרכז הארצי למורים למתמטיקה בחינוך העל יסודי

,דף עבודה התנהגות פונקציה רציונללית בסביבת נקודת אי הגדרה. מקור: המרכז הארצי למורים למתמטיקה בחינוך העל יסודי..2יישום דינמי

גאומטריה

יח"ל על בסיס שאלות ממבחני בגרות.5: דוגמאות לשאלות בגאומטריה חלק א

יח"ל. בחלק מהשאלות מוצע להפחית סעיפי5 ו-4 כיוון שהיה שאלון משותף לתלמידי 005רוב השאלות המוצגות כאן לקוחות מתוך שאלון יח"ל ולעבד משם שאלות. בטבלה זו יש דוגמה אחת בסוף(. 5מדרגה או להוסיף סעיפים חדשים )כדאי לבדוק גם שאלונים המיועדים ל-

המטרות

להראות שניתן לערוך שינויים קלים בשאלות באופן שיאפשר להעריך מיומנויות נוספות של תלמידים.א.

להדגים אפשרויות לעסוק בחקר בשגרת ההוראה מבלי לוותר על הכנת התלמידים לבחינות.ב.

לשמר מיומנויות וידע שהתפתחו אצל תלמידים)הוכחות והפרכות/ כמתים/ בניות, כולל מיומנות הקדמת תכנון לביצוע(.ג.

להגיש בעיות מתמטיות באופן שמאפשר יצירתיות, מיומנויות של העלאת השערות ובדיקתן.ד.

נושא +מקור

מה הדוגמההצעות שינויהשאלה המקוריתמדגימה

חפיפה,שטחים

קיץ005תשע"ב

להוסיף סעיף )לשקול אם במקום סעיף א(:

הוכיחו ששטח המרובעOECFאינו תלוי

במיקומן של הנקודותE-ו F.

להוסיף סעיף: האם הנתונים

מאפשרים לחשב את שטח הריבוע השני?

הסבירו.

זהו עיבוד לשאלת חקר יפה בבגרות

שחושפת תופעה

מפתיעה. הדגש כאן

לא על השטח

המספרי, אלא על כך

ששטח

31

המרובעOECFאינו

תלוי במיקומן של הנקודות

E-ו F.מעגל005 חורף

תשע"ד

במקום "הוכח" בסעיף ב לתת מספר שאלות מסוג הוכח או הפרך

)ללא שימושבטריגונומטריה(

EG=GOא.

EF מאונך ל- OCב. לבקש יחס נוסף

EF:FD?

הוכיחו אוהפריכו

תשובה מסוג.לא ייתכן

משיקלמעגל

חורףתשע"ב

להחליף את הדרישהב-

הוכיחו שהמרובעEHGFהוא טרפז

שווה שוקיים או מלבן. אפשר להתחיל עם

בעיית בנייה: נתוןדלתון.

האם ניתן לחסוםבדלתון מעגל. אם כן, בנו את

המעגל. אם לא,הסבירו מדוע.

אפשר הפוך: לבנות דלתון שצלעותיו

משיקות למעגל ואזהסרטוט דינמי.

אפשרות לחקר

בגאוגברה

התייחסות להגדרה: יש

להבין שהפתרון

צריך לכלול הסבר מדוע המרובע לא

יכול להיותמקבילית.

בניות?

32

משיקלמעגל

005מועד ב

2013

הבחנה בין משפט

למשפט ההפוך לו

)במקרה זה, המשפט על

זווית שנשענת על

קוטר( על ידי שימוש

בשניהם בפתרון

אותהשאלה.

משיקלמעגל

חורף2012

במקום )או בנוסף( לסעיף ב של השאלה,

סעיפי המשך5להלן אחרים לסעיף א

שלה: ג. הוכיחו

BDG=∢EDC∢. ד. האם מהסעיף

BDG∢ ו- EDC∢ הקודם נובע שהזוויותקדקודיות?

תשובה: לא. )קללייצר דוגמה נגדית(

ה. הוכיחו:S ΔBDG

SΔCDE=

SΔDFB

SΔDGC

ו. האם ייתכן שארבעת שטחי

המשולשים שווים זהלזה?

)תשובה: כן, במקרה

מתאים להדגים את

הסעיפיםא-ה

באמצעות תוכנה

דינמית. השאלה עוסקת

בממוצע גאומטרי

בהקשר לאמוכר.

סעיף ד מחדד

הבחנה בין המשפט על שוויון זוויות קדקודיות

לבין טענה הפוכה

33

באמצעDשהנקודה (.BDCהקשת

DGה. האם ייתכן ש- ממוצע גאומטרי של

הקטעים שהוא מקצהעל הבסיס

)תשובה: לא ייתכן. היה ממוצעDGאילו

גאומטרי של הקטעיםGC -ו BG אז ∢BDC

היתה ישרה. מכאן היה קוטרBCנובא ש-

במעגל. זה לא ייתכן כי המשיקים בקצות

קוטר מקבילים, ובמשולש הנתון המשיקים הנ"ל

.(Aנפגשים ב-

שאיננהנכונה.

סעיפים ד, ו, ז מדגימים

שאלותמסוג:

האם ניתן להסיק...?

האםייתכן...?

באיזהתנאי...?

ועיסוק בשאלה "מה היה מתקיים

אילו...?"

דמיון תיכון

ליתר, קטע

אמצעים

005 קיץ

2013

זהירות בשרשרת ההסקה:

מפתה להשתמש

במשפט קטע

האמצעים על בסיס

המידע ש-MK=2DE,

אבל בהתחלה אין

34

מספיקנתונים.

משפט חוצההזווית005 קיץ

תשע"ב

מועד ב תשע"ד

806

במקום הנתוניםהמספריים:

נתון כי רדיוס המעגלO1 1.5 גדול פי

.O2מרדיוס המעגל

מצאו את היחסא.O1E/EO2יותר( פשוט וגםמדרגה(.

בנו את המשיקב. המשותף לשני

המעגלים. ( בשאלה2כמו א)ג.

המקורית. הסבירו מדוע לא ייתכןד.

=O1E/EO2ש O1A/AO2

)בפעילות חקר על בסיס שאלה זו

כדאי לשאול אם היחס נכון תמיד,

לפעמים, אף פעםלא(.

שילוב בנייה עם צורך

בתכנון מוקדם:

למצוא את יחס החלוקה

מחלקEש- את קטע

המרכזים. לחלק קטע ביחס נתון.

לבנות משיק למעגל מחוץ

לישר.

35

חורףתשע"ד

806

לסרטט כך שגם ייראהCDEמשולש

שווה צלעות :2במקום )?( סעיף ב

אילו מן התוצאות שלהלן ניתן להסיקבוודאות מהנתונים:

ADEהמשולש א.שווה צלעות.

CDEהמשולש ב.שווה צלעות.

לחילופין: אם במקום משולש שווה צלעות,

היה נתון משולש שווה שוקיים - האם ניתן להסיק שהמשולש

ADE?שווה שוקיים LEDCשהמרובע מקבילית?

לא להתבסס על מראה

עיניים

שילוב חקר . לא ידוע

מראש אם הטענהנכונה.

36

חלק ב: שאלות נוספות

מה הדוגמה מראה והערות נוספותדוגמהנושא דמיון

משולשים

ישרה(. A)זווית ABCנתון משולש ישר זווית AD .הגובה ליתר

AD2=BDDCהוכיחו:

שאלה שנתונה ללא סרטוט.א. תוצאת התרגיל קשורה לפרופורציות

במשולש ישר זווית. לכן התרגיל מדגיש את העובדה שפרופורציות במשולש ישר זווית אינן נושא בתכנית הלימודים, אם כי

מומלץ לעסוק בהן במסגרת התרגילים ולא כנושא שמבססים עליו תרגילים

אחרים. דמיון

משולשים

נתון מחומש משוכלל עם כל האלכסונים. מצאו בסרטוט זוגות של משולשים דומים

שאינם חופפים. מצאו זוגות נוספים של משולשים דומים

שאינם דומים למשולשים הקודמים שמצאתם. מצאו את יחס הדמיון בין המשולשים.

רשמו את כל המידות של זוויות בסרטוט.( 36מה המשותף לכל המידות? )כולן כפולות של

בעיה פתוחה, חושפת את היופי של הגאומטריה. מובילה לדיון ביחס הזהב

ובמשולש זהב )ומונעת טעות נפוצה שלכינוי משולש אחר בשם משולש זהב(.

שילוב של אלגברה וגאומטריה.

משפט חפיפהרביעי

בנו משולש עלא. פי שתי צלעות

וזווית מול הצלעהגדולה שבהן.

כמה משולשיםב. כאלה אפשר

לבנות? האם כל צירוףג.

של נתונים "כאלה" מאפשר

בניית משולש?

בעיית בנייה עם דיון בשאלות מסוג "האם הנתונים מאפשרים את הבנייה?" ובשאלת

יחידות הבנייה.

משפט חפיפהרביעי

בנו משולש על פי שתי צלעות וזווית מול

הצלע הקטנה שבהן. a.כמה משולשים

כאלה אפשרלבנות?

השאלה מחדדת את התנאים בהם מתקיים משפט החפיפה הרביעי,

באמצעות מקרה בו לא חל המשפט

37

b.האם כל צירוף של נתונים

"כאלה" מאפשרבניית משולש?

הראו שאם נתוניא. הבנייה מאפשרים

לבנות שני משולשים, אז

הזוויות מול הצלעות הגדולות משלימות זו את זו

מעלות.180ל-

דוגמאות לעיבוד שאלות בגרות לפעילויות עם יישומים דינמיים באתר המרכז הארצי

  5 קיץ, שאלה 806

  4   חורף, שאלה005

5 מועד ב', שאלה 806 3 חורף, שאלה 005 3   מועד ב, שאלה   005

 פונקציות טריגונומטריות

1 דוגמה

נתון גרף של פונקציה טריגונומטרית בסיסית

38

A )מהצורה ∙ sin (a ∙ x+b )+B או C ∙cos (c ∙ x+d )+Dרשמו שתי פונקציות טריגונומטריות, האחת טרנספורמציה של פונקציית סינוס .) והשנייה טרנספורמציה של פונקציית קוסינוס, שהגרף הנתון מתאים להן.

2דוגמה

. 1.1.2000נתון גרף נקודות המתאר את אוכלוסיית הארנבות בשמורת טבע בצפון הולנד כפי שנמדדה על ידי פקחי השמורה החל מ-fגרף הנקודות מתואר בקירוב על ידי גרף של פונקציה טריגונומטרית ( x ).

fרשמו את הפונקציה א. ( x בהנחה שהיא מהצורה הטריגונומטרית הבסיסית.(

fבהנחה שהשתנות אוכלוסיית הארנבות בשמורה היא אכן תופעה מחזורית הנוהגת לפי הפונקציה שמצאתם ב. ( x 2002, באיזה חודש בשנת ( פרטים?1,200תגיע אוכלוסיית הארנבות בשמורה בקירוב ל-

פונקציות מחזוריות כלליות

)העשרה(3דוגמה

39

Xהדגמה ותרגול של פונקציות המוגדרות באופן דומה על צורות שונות ממעגל היחידה. למשל )ראו איור( התאמה בין מספר ממשי שלילי( – החלX חיובי ועם כיוון השעון אם X| )נגד כיוון השעון אם X המתקבלת על ידי ליפוף קטע שאורכו |P של נקודה yלשיעור ה- ( על הריבוע שמשוכן במערכת צירים כמודגם באיור. אפשר כמובן להגדיר פונקציות על בסיס צורות כרצוננו ולבחון את1,0בנקודה )

מחזוריותן )ראו איור(.

ראו למשל דוגמאות נוספות בקישורים אלה:

  יישומון כולל השחיינים

שלט חוצות

מגדלור

טריגונומטריה במישור כולל משוואות טריגונומטריות

. חשב את זוויות המשולש.40° ס"מ היא 5 ס"מ. הזווית מול הצלע של ה- 5 ס"מ ו 7אורכי שתי צלעות של משולש הם .1.על פי הנתונים יש שני משולשים אפשריים. השאלה מדגישה קשר למשפט חפיפה רביעי

, הצלעות לצידה ישארו באותו אורך ושטח המשולש לא ישתנה? 60°האם יתכן שאחת מזוויות המשולש תגדל ב- .2 :השאלה קשורה גם לזהותsin (180 °−α )=sinα.בהקשר של שני משולשים בעלי אותו השטח

?sinα=sinβ מקיימות: α , βמה ניתן להגיד על משולש ששתיים מזוויותיו .3sinמה ניתן להגיד על המשולש אם מתקיים 2α=sin 2β?

?0באילו מצבים יתקיים: מכפלת הקוסינוסים של זוויות המשולש תהיה חיובית? שלילית? שווה ל- .4

40 α30°

3 5

DC

A

. BC נמצאת על הצלע D נקודה ABCבמשולש .5

∆Sהעזר בנתונים שבציור והוכח כי ABDS ∆ ADC

≤ 103

יח"ל 5בגרות חורף תשע"ו , .6

אפשר להרחיב את השאלה ולבדוק מה הוא שווהABCקורה כאשר המשולש

צלעות או ישר זווית: מה תהיה ההשפעה על ומה תהיה ההשפעה עלEמיקום הנקודה

הקשר בין רדיוס המעגל החוסם את משולשABC.לבין רדיוס המעגל החסום במשולש

יח"ל5 בגרות קיץ תשע"ה מועד ב' ,.7

41

אפשר להוסיף ולבדוק - באיזה תנאיBD?יעבור דרך מרכז המעגל

יח"ל5בגרות חורף תשע"ה, .8

יח"ל5בגרות קיץ תשע"ד, .9

האם יש בציור שני משולשים בעלי אותו רדיוס מעגל חוסם?

42

:ניתן לשנות את השאלה ולשאול איזה מהמשתניםα , β או ,a צריך לקבל ערך מספרי כדי שאפשר יהיה לחשב את אורך AB..DC ולשאול על אורך ABבסעיף ב' לתת את אורך

43

ניתן להזיז את המשולש בעזרת יישומון דינמי ולבדוק מה קורה כאשר המשולשABC.הוא שווה צלעות או ישר זווית

יח"ל5בגרות קיץ תשע"ד מועד ב', .10

ניתן לשנות את היחסPG :BG.ולראות את ההשפעה על האורכים

11 יח"ל 5בגרות חורף תשע"ח, .

44

רשימת משפטים בגאומטריה )מאתר המפמ"ר( עם התייחסות ללימודם/ השמטתם מהתכנית החדשה: 2נספח

. חט"בזוויות צמודות משלימות זו את זו ל-.1חט"בזוויות קדקודיות שוות זו לזו. .2חט"בבמשולש, מול זוויות שוות מונחות צלעות שוות. .3 חט"בבמשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות..4 חט"בסכום כל שתי צלעות במשולש גדול מהצלע השלישית..5 חט"בבמשולש שווה שוקיים חוצה זווית הראש, התיכון לבסיס והגובה לבסיס מתלכדים..6 חט"באם במשולש חוצה זווית הוא גובה, אז המשולש הוא שווה שוקיים..7 חט"באם במשולש חוצה זווית הוא תיכון, אז המשולש הוא שווה שוקיים..8חט"באם במשולש גובה הוא תיכון, אז המשולש הוא שווה שוקיים. .9חט"בבמשולש )שאינו שווה צלעות( מול הצלע הגדולה יותר מונחת זווית גדולה יותר. .10במשולש )שאינו שווה זוויות( מול הזווית הגדולה יותר מונחת צלע גדולה יותר..11

חט"ב.סכום הזוויות של משולש הוא .12חט"בזווית חיצונית למשולש שווה לסכום שתי הזוויות הפנימיות שאינן צמודות לה. .13חט"בקטע אמצעים במשולש מקביל לצלע השלישית ושווה למחציתה. .14חט"בישר החוצה צלע אחת במשולש ומקביל לצלע שנייה, חוצה את הצלע השלישית. .15חט"בקטע שקצותיו על שתי צלעות משולש, מקביל לצלע השלישית ושווה למחציתה הוא קטע אמצעים. .16 חט"במשפט חפיפה צ.ז.צ..17 חט"במשפט חפיפה ז.צ.ז..18 חט"במשפט חפיפה צ.צ.צ..19חט"עמשפט חפיפה שתי צלעות והזווית שמול הצלע הגדולה מבין השתיים. .20חט"בהאלכסון הראשי בדלתון חוצה את זוויות הראש, חוצה את האלכסון השני ומאונך לו. .21חט"בשני ישרים נחתכים על ידי ישר שלישי. אם יש זוג זוויות מתאימות שוות, אז הישרים מקבילים. .22חט"בשני ישרים נחתכים על ידי ישר שלישי. אם יש זוג זוויות מתחלפות שוות, אז הישרים מקבילים. .23

)לא חובה ללמד בחט"ב( חט"ע אז שני הישרים מקבילים. שני ישרים נחתכים על ידי ישר שלישי. אם סכום זוג זוויות חד-צדדיות הוא .24אם שני ישרים מקבילים נחתכים על ידי ישר שלישי אז:.25

חט"בכל שתי זוויות מתאימות שוות.א.

חט"בכל שתי זוויות מתחלפות שוות.ב.

חט"ע .סכום כל זוג זוויות חד-צדדיות הוא ג.חט"בבמקבילית כל שתי זוויות נגדיות שוות. .26חט"בבמקבילית כל שתי צלעות נגדיות שוות. .27 חט"בבמקבילית האלכסונים חוצים זה את זה..28 חט"במרובע שבו כל זוג זוויות נגדיות שוות הוא מקבילית..29 חט"במרובע שבו כל שתי צלעות נגדיות שוות הוא מקבילית..30

45

חט"במרובע שבו זוג צלעות מקבילות ושוות הוא מקבילית..31 חט"במרובע שאלכסוניו חוצים זה את זה הוא מקבילית..32 חט"בבמעוין האלכסונים חוצים את הזוויות..33מקבילית שבה אלכסון הוא חוצה זווית היא מעוין..34 חט"בבמעוין האלכסונים מאונכים זה לזה..35 חט"במקבילית שבה האלכסונים מאונכים זה לזה היא מעוין..36 חט"באלכסוני המלבן שווים זה לזה..37 חט"במקבילית שבה האלכסונים שווים זה לזה היא מלבן..38 חט"בבטרפז שווה שוקיים הזוויות שליד אותו בסיס שוות..39 חט"בטרפז שבו הזוויות שליד אותו בסיס שוות הוא טרפז שווה שוקיים..40 חט"בבטרפז שווה שוקיים האלכסונים שווים זה לזה..41 חט"בטרפז בו האלכסונים שווים זה לזה הוא טרפז שווה שוקיים..42 חט"בקטע האמצעים בטרפז מקביל לבסיסים ושווה למחצית סכומם..43 חט"בבטרפז, ישר החוצה שוק אחת ומקביל לבסיסים חוצה את השוק השנייה..44חט"ע שלושת התיכונים במשולש נחתכים בנקודה אחת..45 חט"ב.2:1נקודת חיתוך התיכונים מחלקת כל תיכון ביחס של .46

)החלק הקרוב לקדקוד הוא פי שניים מהחלק האחר(.חט"ע כל נקודה על חוצה זווית נמצאת במרחקים שווים משוקי זווית זו..47חט"ע אם נקודה נמצאת במרחקים שווים משני שוקי זווית, אז היא נמצאת על חוצה הזווית..48חט"ע שלושת חוצי הזוויות של משולש נחתכים בנקודה אחת, שהיא מרכז המעגל החסום במשולש..49חט"ע בכל משולש אפשר לחסום מעגל..50חט"ע כל נקודה הנמצאת על האנך האמצעי של קטע, נמצאת במרחקים שווים מקצות הקטע..51חט"ע כל נקודה הנמצאת במרחקים שווים מקצות קטע, נמצאת על האנך האמצעי לקטע..52חט"ע כל משולש ניתן לחסום במעגל..53חט"ע במשולש, שלושת האנכים האמצעיים נחתכים בנקודה אחת שהיא מרכז המעגל החוסם את המשולש..54)הוכחה כהעשרה( חט"ע שלושת הגבהים במשולש נחתכים בנקודה אחת..55

חט"ע .ניתן לחסום מרובע במעגל אם ורק אם הסכום של זוג זוויות נגדיות שווה ל-.56חט"ע מרובע קמור חוסם מעגל אם ורק אם סכום שתי צלעות נגדיות שווה לסכום שתי הצלעות הנגדיות האחרות..57חט"ע-במסגרת שיעורי הטריגונומטריהכל מצולע משוכלל אפשר לחסום במעגל. .58חט"ע-במסגרת שיעורי הטריגונומטריהבכל מצולע משוכלל אפשר לחסום מעגל. .59חט"ע דרך כל שלוש נקודות שאינן על ישר אחד עובר מעגל אחד ויחיד..60חט"ע במעגל שתי זוויות מרכזיות שוות רק אם שתי הקשתות המתאימות להן שוות..61חט"ע במעגל שתי זוויות מרכזיות שוות רק אם שני המיתרים המתאימים להן שווים..62 )עכשיו מנסחים: "...אם ורק אם יש להם קשתות מתאימות חט"ע .שתי הקשתות המתאימות להם שוות במעגל מיתרים שווים רק אם.63

שוות", כי הרי לכל מיתר שתי קשתות(

46

חט"ע מיתרים שווים נמצאים במרחקים שווים ממרכז המעגל..64חט"ע מיתרים במעגל אחד הנמצאים במרחקים שווים ממרכזו שווים זה לזה..65התרגול במסגרת חט"ע במעגל, אם מרחקו של מיתר ממרכז המעגל קטן ממרחקו של מיתר אחר, אז מיתר זה ארוך מהמיתר האחר..66חט"ע האנך ממרכז המעגל למיתר חוצה את המיתר, חוצה את הזווית המרכזית המתאימה למיתר וחוצה את הקשת המתאימה למיתר..67חט"ע קטע ממרכז המעגל החוצה את המיתר מאונך למיתר..68חט"ע במעגל, זווית היקפית שווה למחצית הזווית המרכזית הנשענת על אותה קשת..69 חט"עבמעגל, לזוויות היקפיות שוות קשתות שוות ומיתרים שווים..70 חט"עבמעגל, לקשתות שוות מתאימות זוויות היקפיות שוות..71 חט"עשוות. במעגל, כל הזוויות ההיקפיות הנשענות על המיתר מאותו צד.72

חט"ע(.זווית היקפית הנשענת על קוטר היא זווית ישרה ).73

חט"ע נשענת על קוטר.זווית היקפית של.74לא בתכנית במעגל, זווית פנימית שווה למחצית סכום שתי הקשתות הכלואות בין שוקי הזווית ובין המשכיהן..75לא בתכנית במעגל, זווית חיצונית שווה למחצית הפרש שתי הקשתות הכלואות בין שוקי הזווית ובין המשכיהן..76 חט"עהמשיק למעגל מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה..77 חט"עישר המאונך לרדיוס בקצהו הוא משיק למעגל..78 חט"עזווית בין משיק למיתר שווה לזווית ההיקפית הנשענת על מיתר זה מצִדו השני..79 חט"עשני משיקים למעגל היוצאים מאותה נקודה שווים..80 חט"עקטע המחבר את מרכז המעגל לנקודה שממנה יוצאים שני משיקים למעגל, חוצה את הזווית שבין המשיקים..81לא בתכניתקטע המרכזים של שני מעגלים נחתכים, חוצה את המיתר המשותף ומאונך לו. .82בתכנית לא נקודת ההשקה של שני מעגלים המשיקים זה לזה, נמצאת על קטע המרכזים או על המשכו..83 חט"במשפט פיתגורס: במשולש ישר זווית סכום ריבועי הניצבים שווה לריבוע היתר..84 חט"עמשפט פיתגורס ההפוך: משולש בו סכום ריבועי שתי צלעות שווה לריבוע הצלע השלישית הוא ישר זווית..85 חט"בבמשולש ישר זווית התיכון ליתר שווה למחצית היתר..86 חט"במשולש שבו התיכון שווה למחצית הצלע שהוא חוצה הוא משולש ישר זווית..87

חט"ב, אז הניצב מול זווית זו שווה למחצית היתר.אם במשולש ישר זווית זווית חדה של .88

חט"ב.אם במשולש ישר זווית ניצב שווה למחצית היתר, אז מול ניצב זה זווית של.89חט"ע משפט תאלס: שני ישרים מקבילים החותכים שוקי זווית, מקצים עליהן קטעים פרופורציוניים..90 משפט תאלס המורחב: ישר המקביל לאחת מצלעות המשולש חותך את שתי הצלעות האחרות או את המשכיהן בקטעים פרופורציוניים..91

חט"ע חט"עמשפט הפוך למשפט תאלס: שני ישרים המקצים על שוקי זווית ארבעה קטעים פרופורציוניים, הם ישרים מקבילים..92 חוצה זווית פנימית במשולש מחלק את הצלע שמול הזווית לשני קטעים שהיחס ביניהם שווה ליחס הצלעות הכולאות את הזווית בהתאמה..93

חט"ע ישר העובר דרך קדקוד משולש ומחלק את הצלע שמול הקדקוד חלוקה פנימית ביחס של שתי הצלעות האחרות )בהתאמה(, חוצה את.94

חט"עזווית המשולש שדרך קודקודה הוא עובר . חט"ע )הוכחה כהעשרה(משפט דמיון צ.ז.צ..95

47

חט"במשפט דמיון ז.ז..96 חט"ע )הוכחה כהעשרה(משפט דמיון צ.צ.צ..97במשולשים דומים:.98

חט"עיחס גבהים מתאימים שווה ליחס הדמיון.א.

חט"עיחס חוצי זוויות מתאימות שווה ליחס הדמיון.ב.

חט"עיחס תיכונים מתאימים שווה ליחס הדמיון.ג.

חט"עיחס ההיקפים שווה ליחס הדמיון.ד.

חט"עיחס הרדיוסים של המעגלים החוסמים שווה ליחס הדמיון. ה.

חט"עיחס הרדיוסים של המעגלים החסומים שווה ליחס הדמיון. ו.

חט"עיחס השטחים שווה לריבוע יחס הדמיון.ז.– במסגרת התרגילים חט"עאם במעגל שני מיתרים נחתכים, אז מכפלת קטעי מיתר אחד שווה למכפלת קטעי המיתר השני..99 – חט"ע אם מנקודה מחוץ למעגל יוצאים שני חותכים, אז מכפלת חותך אחד בחלקו החיצוני שווה למכפלת החותך השני בחלקו החיצוני..100

במסגרת התרגול– במסגרת התרגול חט"ע אם מנקודה שמחוץ למעגל יוצאים חותך ומשיק, אז מכפלת החותך בחלקו החיצוני שווה לריבוע המשיק..101– במסגרת התרגול חט"ע במשולש ישר זווית, הניצב הוא ממוצע הנדסי של היתר והיטל ניצב זה על היתר..102– במסגרת התרגול חט"ע הגובה ליתר במשולש ישר זווית הוא ממוצע הנדסי של היטלי הניצבים על היתר..103

חט"ב. סכום הזוויות הפנימיות של מצולע קמור הוא.104

48