Министерство образования Российской Федерации

Ульяновский государственный технический университет

Основы D- и Z-преобразований

Конспект лекций для студентов, обучающихся по специальности 180400 «Электропривод и автоматика промышленных установок

и технологических комплексов»

Составитель В.М. Иванов

Ульяновск 2001

2

УДК 62 : 681.3(076) ББК я73 0-75 Рецензент канд. технических наук Ю.А. Решетников

Одобрено секцией методических пособий научно методического совета Ульяновского государственного технического университета

Основы D- и Z-преобразований. Конспект лекций для студентов,обучающихся по специальности 180400 «Электропривод и автоматика промышленных установок и технологических комплексов» /Сост. В.М. Иванов. – Ульяновск, УлГТУ, 2001. – 36 с.

Рассматриваются дискретные системы автоматического управления, методы их математического описания и исследования. Основное внимание уделено аппарату дискретных передаточных функций и разностным уравнениям, использование которых позволяет формализовать процесс разработки алгоритмов управления в микропроцессорных системах.

Конспект лекций может быть использован в качестве учебного пособия.для студентов заочного и дневного факультетов электротехнических специальностей по курсам «Основы D- и Z-преобразований», «Микропроцессорное управление электроприводами».

Учебное издание Основы D- и Z-преобразований Конспект лекций для студентов, обучающихся по специальности 180400

«Электропривод и автоматика промышленных установок и технологических комплексов»

Составитель ИВАНОВ Владимир Михайлович. Корректор М.В. Леонова

Подписано в печать 30.12.2001. Формат 60х84 16. Бумага писчая. Усл.печ. л. 2,1. Уч.- изд. л. 1,50. Тираж 100 экз. Заказ Ульяновский государственный технический университет, 432027,Ульяновск,Сев.Венец, 32. Типография УЛГТУ, 432027, Сев. Венец, 32.

Ульяновский государственный технический университет, 2001

3

СОДЕРЖАНИЕ

Введение……………………………………………………………………… 4 1. Общие сведения о дискретных системах управления…………………. 5 1.1. Структурные особенности дискретных систем управления………… 5 1.2 Квантование информации по уровню………………………………… 5 1.3 Квантование информации по времени…………………………………. 6 2. Основы математического аппарата исследования цифровых систем….. 6 2.1. Решетчатые функции…………………………………………………….. 6 2.2. Дискретное преобразование Лапласа………………………………….. 7 2.3. Вторая форма записи дискретного преобразования Лапласа………… 8 2.4. Нахождение изображения для кратных корней……………………… 9 2.5. Понятия: разность и сумма…………………………………………….. 10

Прямая и обратная разности (10). Неполная и полная суммы (11) 2.6. Основные правила и теоремы…………………………………………. 11

Свойство линейности (11). Теорема запаздывания и упреждения (11). Изображение разностей (12). Изображение сумм (12). Дифференцирование изображений (13). Решение разностных уравнений (13). Изображение разностных уравнений (14). Формулы обращения (15). Разложение в ряд Лорана (15)

2.7. Примеры ………………………………………………………………. 15 2.8.Контрольные вопросы ………………………………………………… 18 3. Структурные схемы цифровых систем ………………………………… 18 3.1. Импульсный элемент и его свойства …………………………….…. 18 3.2. Дискретные передаточные функции ………………………………... 21

Понятие переходной и весовой функции (21). Дискретная передаточная функция (21). Последовательное и параллельное соединение дискретных звеньев (22). Нахождение дискретной передаточной функции для замкнутой системы (23)

3.3. Дискретные фильтры ………………………………………………... 25 3.4. Дискретная аппроксимация процесса интегрирования …………… 27 3.5. Примеры ………………………………………………………………. 28 3.6. Контрольные вопросы ………………………………………………... 32 3.7. Приложения …………………………………………………………… 33 Список литературы………………………………………………………… 36

4

ВВЕДЕНИЕ

Особая роль в эпоху современной научно-технической революции принадлежит микроэлектронике. Создание аналоговых и цифровых интегральных микросхем привело к последовательной смене поколений систем управления электроприводами. Процесс эволюции систем управления в настоящее время связан с переходом на цифровые методы управления. Основной элементной базой при разработке и изготовлении систем управления является микропроцессорные наборы и микроконтроллеры. Интегрированные усилия разработчиков в области электротехники и электроники привели к созданию семейств микроконтроллеров, специально ориентированных на применение в составе систем управления различными электроприводами. Внедрение микропроцессоров в традиционные системы автоматического управления связано с принципиальными изменениями, как их структуры, так и методов проектирования автоматических систем.

Использование микропроцессоров в системах требует решения ряда задач, специфика которых обусловлена как распределенным управлением в реальном масштабе времени, так и цифровым характером обрабатываемой информации. Распределение задач между аппаратными и программными средствами во многом определяется архитектурой МК. В связи с этим актуальными являются проблемы выбора структуры МП системы, обеспечивающей требуемую производительность, отказоустойчивость и живучесть. Качество функционирования цифровых систем во многом определяется уровнем алгоритмического и программного обеспечения.

Математический аппарат исследования и проектирования цифровых систем базируется на решетчатых функциях и дискретном преобразовании Лапласа. Методы проектирования данных систем изложены в литературе по теории линейных и нелинейных импульсных систем автоматического управления. Синтез дискретных систем с заданными динамическими и статическими показателями, несмотря на их своеобразие, во многом основан на одних и тех же подходах и методах, которые используются в обыкновенных линейных системах автоматического регулирования. Это относится как к классическому методу синтеза с помощью логарифмических частотных характеристик, так и к современным методам в области пространства состояний. Широкое распространение получили также подходы синтеза цифровой части системы по непрерывному прототипу. Это объясняется с одной стороны наличием отработанных инженерных методик проектирования систем автоматического управления электроприводами, а с другой стороны для аналого-цифровых систем можно в качестве идеальных считать их непрерывные прототипы. Приведенный ниже методический материал в основном преследует основную цель: получение первоначальных навыков проектирования цифровых регуляторов. Особое внимание уделено вопросам непосредственной связи дискретных передаточных функций с рекуррентными уравнениями, по которым собственно и реализуется управление в микропроцессорных системах автоматического регулирования.

5

1. Общие сведения о дискретных системах управления

1.1. Структурные особенности дискретных систем управления

Основные особенности дискретных систем управления связаны с процессами квантования информации по уровню и по времени. Для перехода от аналоговых величин к цифровым используются аналого-цифровые преобразователи АЦП. К числу наиболее распространенных АЦП относятся: преобразователи: напряжение-код, частота код, фаза код. В цифровой системе автоматического регулирования (см. рис. 1.1) для отображения процессов квантования информации по уровню вводятся нелинейные звенья НЗ1, НЗ2. Необходимые свойства системы и поведение объекта )(0 pW в переходных режимах обеспечивается за счет введения программного регулятора )(zWp . Для реализации законов управления и для обработки

информации требуется некоторое время. Время приема и выдачи информации пренебрежительно мало, по сравнению с общим временем, затрачиваемым на реализацию алгоритмов управления. Прием и выдача информации с ЭВМ отображается введением идеальных импульсных элементов ИЭ1 и ИЭ2. Согласование выходных сигналов цифрового регулятора с сигналами управления объектом осуществляется с помощью цифроаналоговых преобразователей ЦАП. Его свойства, как нелинейного звена, аналогичны АЦП. Однако с учетом того, что разрядность ЦАП больше разрядности АЦП, эти свойства обычно не учитываются, и ЦАП представляется в виде фиксирующего звена (экстраполятора нулевого порядка )( pWэ ).

1.2. Квантование информации по уровню

Квантование по уровню осуществляется в АЦП. Типичная нелинейная характеристика в виде многоступенчатого релейного устройства изображена на рис.1.2, а. Выходной сигнал АЦП формируется как совокупность целых чисел ))/( σfentfo = , где σ – это шаг квантования информации по уровню. Поведение систем, в которых есть элемент, имеющий зону нечувствительности, изучается в теории релейных систем [2].

f(t) y(t)

)(pWэНЗ1

Рис.1.1

НЗ2

ИЭ

2 ИЭ1

)(zWpzp

z 1−)( pWo

6

Второй подход к исследованию нелинейных свойств АЦП основан на линеаризации его характеристики (рис.1.2, б). Первый блок соответствует линеаризованной части нелинейной характеристики, его коэффициент передачи равен КА=1/δ. Второе звено с пилообразной характеристикой учитывает нелинейную добавку. Влияние этого звена можно оценить, если представить его как источник шума квантования. При равновероятностном законе распределения дисперсия шума округления в АЦП составляет D=δ2/12.

Случайный характер шумов квантования по уровню обуславливает

необходимость исследования влияния данных составляющих на систему статистическими методами [1].

1.3. Квантование информации по времени

Процесс выборки информации в дискретные моменты времени называется квантованием информации по времени (рис. 1.3). Эти дискретные выборки определяют по своей совокупности решетчатую функцию ][nTf , значения которой определены только в моменты времени nTt = , где T 2 период повторения, n21,2,3… Вопросы, связанные с поведением систем, в которых осуществляется квантование информации по

времени, изучается в теории линейных импульсных систем. [1,2,3,4,6].

2. Основы математического аппарата исследования цифровых систем

2.1. Решетчатые функции

Решетчатую функцию можно рассматривать как результат модуляции

непрерывной функции f(t) импульсной последовательностью

∑∞

=−=

0)(

nT nTtδδ . (2.1)

б а

-1

2 1 f

fo

σ fo f

Рис. 1.2

0 T 2T 3T 4T

f(t)

Рис. 1.3

7

Обозначим результат этой модуляции f*(t), тогда

∑∞

=−===

0)()()()(][)(*

nT nTttfttfnTftf δδ . (2.2)

Две эквивалентные формы представления импульсного модулятора показаны на рис. 2.1, а, б.

Дельта функция )(tδ имеет интервал существования, стремящийся к 0

при бесконечно большой амплитуде. Интеграл от данной функции

∫∞

=0

1)( dttδ . Процесс перехода от единичной функции времени, площадь

которой равна 1, к дельта-функции при соответствующем уменьшении периода и соответствующем увеличении амплитуды при неизменной площади показан на рис. 2.1, в. Этот процесс аналогичен замене реальных импульсных элементов идеальными элементами (импульсный ключ и формирующее звено), которые будут рассмотрены позднее. В ряде случаев, это позволяет рассматривать с точки зрения эквивалентного воздействия широтно-импульсную модуляцию как амплитудно-импульсную модуляцию.

2.2. Дискретное преобразование Лапласа

В теории непрерывных систем переход от оригинала f(t) к

изображению F(p) осуществляется с помощью преобразования Лапласа.

∫∞

−=0

)()( dtetfpF pt . (2.3)

Это позволяет осуществлять переход от исходных дифференциальных уравнений к передаточным функциям. При этом, обеспечивается более наглядное представление объекта и возможность исследования систем в частотной области при замене оператора p комплексной частотой ωj .

В теории дискретных систем переход от решетчатых функций к дискретному изображению осуществляется аналогично. Дискретное преобразование решетчатой функции можно рассматривать как обычное преобразования Лапласа непрерывной функции, модулированной последовательностью импульсных функций

∫ ∑∞ ∞

=

−−==0 0

)()(]}[*{)(* dtenTttfnTfLpFn

ptδ .

4 2

Рис. 2.1 T/4 T/2

f(t)

)(tTδ

f[nTf[nTf(t)

а б в

8

Изменив порядок операций суммирования и интегрирования, получим

∑∑ ∫∞

=

−∞

=

∞− =−=

00 0][)(][)(*

n

pT

n

pt enTfdtenTtnTfpF δ . (2.4)

Здесь учтены два свойства дельта 1) )(][)()( nTtnTxnTttx −=− δδ 2 это свойство следует из того, что

дельта функция )( nTt −δ отлична от 0 только при nTt = ;

2) ][)(][)()(00

nTxdtnTtnTxdtnTttx =−=− ∫∫∞∞δδ ,

т.к. по определению ∫∞

=−0

1)( dtnTtδ . (2.5)

Кратко дискретное преобразование Лапласа или иначе D-преобразование записывается следующим образом:

∑∞

=

−==0

][]}[{)(*n

pnTenTfnTfDpF . (2.6)

Если ввести в рассмотрение новую переменную pTez = , тогда вместо (2.6) будем иметь

∑∞

=

−====0

][)}[{)ln1

(*)(n

nznfnTfZzT

pFzF , (2.7)

где для сокращения записи введено ][][ nTfnf = . Это выражение представляет собой Z -преобразование, которое

широко используется в литературе по теории импульсных систем. Основное его преимущество – компактная форма записи.

Дискретное преобразование Лапласа (D-преобразование) более удобно для проведения аналогий между свойствами непрерывных и импульсных систем, так как в том и в другом случае изображения решетчатой являются функцией комплексной переменной.

2.3. Вторая форма записи дискретного преобразования Лапласа

Рассмотрим уравнение импульсного модулятора

∫ ∑∞ ∞

=

−−==0 0

)()()}()({)(*n

stT dtetfnTttftLsF δδ . (2.8)

При замене f(t) по формуле обращения

∫∞+

∞−=

jc

jc

tpdtepFj

tf )(2

1)(

π (2.9)

уравнение модулятора при изменение порядка интегрирования будет

dpdtetfnTtpFj

sFn

tpsjc

jc))()(()(

2

1)(*

0 0

)(∫ ∑∫∞ ∞

=

−−∞+

∞−−= δ

π. (2.10)

9

Внутренний интеграл равен

∫ ∑∞

−−

∞

=

−−

−=−

0)(

0

)(

1

1)(

psTn

tps

edtenTtδ , (2.11)

подставляя его значение в (2.10) получим

∫ ∫∞+

∞+−−−− −

=−

=jc

jcpsTpsT e

dppF

je

dppF

jsF

)()( 1)(

2

1

1)(

2

1)(*

ππ. (2.12)

Нахождение изображения по формулам линейного или кругового интеграла затруднительно и особого практического значения не имеет.

Переход к формуле Коши дает возможность перейти от кругового интеграла к сумме вычетов, под которыми понимаются особые точки подынтегрального выражения (полюса, находящиеся внутри контура). Если изображение функции )( pF представляет собой отношение двух

многочленов )(

)()(

pB

pApF = , то формула вычетов будет

∑ −−−=

)(1

1

)(

)(Re)(*

psTepB

pAssF , (2.13)

которая в случае простых корней знаменателя )( pF запишется следующим образом:

)(1 1

1

)('

)()(*

npsT

N

n n

n

epB

pAsF −−= −

= ∑ , (2.14)

где Nppp ,..., 21 2корни nn ppdp

dBpBpB == |)(');( .

Окончательно, заменяя оператор s на p , получим более привычную форму записи дискретного преобразования Лапласа

)(1 1

1

)('

)()(*

nppT

N

n n

n

epB

pApF −−= −

= ∑ . (2.15)

Переход к Z-преобразованию дает

nTp

N

n n

n

ez

z

pB

pAzF −= −

= ∑1 )('

)()( . (2.16)

2.4. Нахождение изображений для кратных корней

Найдем сначала Z-преобразование для функции вида

,)(

1

)(

1)(

21 apaappF

+∂∂−=

+=

что дает }1

{})(

1{)(

21 apZ

aapZzF

+∂∂−=

+= . (2.17)

10

Определим aTapTap

ez

z

eapa

apZ −+−−= −

=−+

∂∂=

+ )(1

1

)(

1}

1{ .

Аналогично, если

,)(

1)(

kappF

+= то

aTk

kk

ez

z

akzF −−

−−

−∂∂

−−=

)1(

)1(1

)!1(

1)1()( . (2.18)

Для случая нулевого корня кратности k формула будет иметь вид

aTak

kk

ez

z

akzF −→−

−−

−∂∂

−−= 0)1(

)1(1

)!1(

1lim)1()( . (2.19)

2.5. Понятия: разность и сумма

Прямая и обратная разности. Аналогом первой производной

непрерывной функции для решетчатых переменных является либо первая прямая разность

[ ] [ ] [ ]nfnfnf −+=∆ 1 , (2.20) либо первая обратная разность

[ ] [ ] [ ]1−−=∇ nfnfnf . (2.21) Аналогом второй производной непрерывной функции для решетчатых

переменных служат вторые разности: прямая

[ ] [ ] [ ] ][]1[2]2[12 nfnfnfnfnfnf ++⋅−+=∆−+∆=∆ , (2.22) обратная

[ ] [ ] [ ] ]2[]1[2][12 −+−⋅−=∇−+∇=∇ nfnfnfnfnfnf . (2.23) Для вычисления k-й разности можно использовать рекуррентные

соотношения:

[ ] [ ] [ ]nfnfnf kkk 11 1 −− ∆−+∆=∆ , (2.24)

[ ] [ ] [ ]111 −∆−∆=∇ −− nfnfnf kkk , (2.25) или формулы общего вида

[ ] ][)1(0

vknfCnf vk

vk

v

k −+⋅⋅−=∆ ∑=

, (2.26)

[ ] ][)1(0

vnfCnf vk

vk

v

k −⋅⋅−=∇ ∑=

, (2.27)

где биноминальные коэффициенты )!(!

!

vkv

kC v

k −= .

Обратные разности обладают важной особенностью. Если решетчатая функция определена только для положительных значений аргумента, т.е.

0][ =nf при k<0, то в точке n=0 k-я разность [ ] ]0[fnfk =∇ .

11

Неполная и полная суммы. Аналогом интеграла непрерывной функции в пределах от 0 до t решетчатой функции являются:

неполная сумма [ ] ∑−

==

1

0][

n

mmfnσ (2.28)

и полная сумма [ ] ∑=

=+=n

mmfnfnn

00 ][][][σσ . (2.29)

2.6. Основные правила и теоремы

Рассмотрим некоторые из них, которые имеют особое значение для

нахождения z-преобразования и соответствия между решетчатыми функциями и их изображениями.

Свойство линейности. Это свойство заключается в том, что изображение линейной комбинации решетчатых функций равно линейной комбинации их изображений

][][11

zfCnfCZ v

N

vvv

N

vv ⋅=

⋅ ∑∑==

. (2.30)

Теорема запаздывания и упреждения. Пусть решетчатая функция f[n2m] сдвинута вправо на целое число тактов m (запаздывание). Тогда, если обозначить n2m = r и учесть, что при n = 0 начальное значение r =22m , то можно записать

].][)([]][][[

][][}[{

1

1

0

)(

0

∑∑∑

∑∑

=

−−−

−=

−∞

=

−

+−∞

−=

−∞

=

−+=+=

==−=−

m

r

rmr

mr

r

r

m

rm

mr

n

n

zrfzFZzrfzrfz

zrfzmnfmnfZ

(2.31)

Если исходная функция ][nf равна 0 при отрицательных значениях аргумента, то формула упрощается:

{ } )(][ zFzmnfZ m ⋅=− − . (2.32) При рассмотрении упреждающей функции ][ mnf + и нулевых

начальных условиях по аналогии можно доказать, что

)(]}[{ zFzmnfZ m=+ . (2.33) Из этих формул вытекает важное следствие, определяющее прямой

переход от решетчатых функций (разностных уравнений) к их изображениям и обратный переход

)(][00

zFzmnf mM

m

M

m

−

==∑∑ <=>− . (2.34)

Дальнейшие выводы упростим, считая, что изображения находятся для нулевых начальных условий. Это, в основном, обусловлено тем, что в инженерной практике в основном используются передаточные функции.

12

Дискретные передаточные функции, как и непрерывные, определяются при нулевых начальных условиях.

Изображение разностей. Раскрывая первую обратную разность и используя теорему запаздывания, получим

{ } { } )(1

)()(]1[][][ 1 zFz

zzFzzFnfnfZnfZ ⋅−=−=−−=∇ − . (2.35)

Аналогично для k -й разности можно записать

)(1

]}[{ zFz

znfZ

kk

−=∇ . (2.36)

Для первой прямой разности с учетом упреждения получим { } { } )()1()()(][]1[][ zFzzFzzFnfnfZnfZ −=−=−+=∆ . (2.37)

Обобщение для k -й разности будет

)()1(]}[{ zFznfZ kk −=∆ , причем 0]0[]0[ ==∆ ffv . (2.38) При 0→T правая часть формул (2.36) и (2.38) стремится к пределу

kk

T

k

T

pTzz

z)()1(lim)

1lim(

00

=−=−→

→

. Здесь сделана замена pTez = .

Изображение сумм. Рассмотрим вначале неполную сумму

∑−

==

1

0][][

n

mmfnσ . (2.39)

Cоставим первую прямую разность этой суммы ][][]1[][ nfnnn =−+=∆ σσσ (12) (2.40)

и возьмем Z-преобразование от правой и левой частей ]}[{]}[]1[{]}[{ nfZnnZnZ =−+=∆ σσσ , (2.41)

тогда на основании (2.40), используя теорему запаздывания, получим )(]}[){1( zFnz =− σ .

Откуда можно найти изображение неполной суммы

{ }1

)(][

−=

z

zFnZ σ . (2.42)

Распространяя это на случай k-кратного суммирования, можно

записать k

k

z

zFnZ

)1(

)(]}[{

−=σ . (2.43)

Для полной суммы

∑=

=+=n

mmfnfnn

00 ][][][][ σσ (2.44)

можно найти первую обратную разность ][]1[][][ 000 nfnnn =−−=∇ σσσ

и ее изображение

{ } )(][1

]}[][{]}[{ 0 zFnZz

znnZnZ ooo =⋅−=−=∇ σσσσ , (2.45)

13

откуда изображение полной суммы

{ } )(1

][0 zFz

znZ

−=σ . (2.46)

Операции нахождения неполной суммы (2.42) и полной суммы (2.46) являются обратными по отношению к операциям взятия первой (2.35) и обратной (2.37) разности. При нахождении пределов они полностью аналогичны взаимообратным операциям интегрирования и дифферен-цирования. Основное отличие обусловлено, наличием множителя T , которое снимается путем ввода масштабирующего множителя.

Дифференцирование изображений. Дифференцируя дискретное изображение

]},[){(][)(

][][)(*

0

0 0

nTfnTDenTfnT

nTfedp

dnTfe

dp

d

dp

pdF

n

pnT

n

pnT

n

pnT

−=−=

===

∑

∑ ∑

∞

=

−

∞

=

−∞

=

−

(2.47)

получим связь его с исходным оригиналом. Аналогично для Z-преобразования

∑ ∑ −=== −− ]}[){(][][)(

nTfnTZnTfedp

dnTfz

dp

d

dp

zdF npTn . (2.48)

Обобщение для случая k-дифференцирования будет

]}[){()(

]}[){()(*

nTfnTZdp

zFdnTfnTD

dp

pFd kk

kk

k

k−=−= (2.49)

Если ввести очевидную замену ][1][ nTnTf = , то нахождение

дискретных изображений от степенных функций времени kt сведется к нахождению частной производной соответствующей порядка

.1

)1(1

)1(

]}[1){()1(}){()1(}){(

−−=

−−=

=⋅−=−−=

pT

pT

k

kk

k

kk

kkkkk

e

e

dp

d

z

z

dp

d

nTnTZnTZnTZ

(2.50)

Решение разностных уравнений. В качестве аналогов дифференциальных уравнений можно рассматривать разностные уравнения (уравнения в конечных разностях). При использовании обратных разностей неоднородное разностное уравнение имеет вид:

][][...][][ 110 nfnybnybnyb m

mm =++∇+∇ + , (2.51)

где ][nf 2 заданная; а ][ny – искомая решетчатая функция. При раскрытии разностей данное уравнение может быть представлено

следующим образом: ][][...]1[][ 10 nfmnyanyanya m =−++−+ . (2.52)

14

Коэффициенты (2.52) определяются выражениями:

)!()!(

)!(,)1(

0 kmvk

vmCCba vk

vmvkvmv

k

v

kmkm −−

−=−= −−

−−

=

−− ∑ .

Общее решение однородного разностного уравнения может быть записано следующим образом:

nmm

nn zCzCzCny +++= ...][ 2211 , где iC – произвольные постоянные;

),...,2,1( mizi = 2простые корни характеристического уравнения

0...110 =+++ −

mmm azaza .

Свободное движение динамической системы будет затухающим (устойчивым), если 1<iz .

Для исследования решений разностных уравнений используются дискретное преобразование Лапласа, z-преобразование, а также частотные методы. Отметим, что в отличие от дифференциальных уравнений решение разностных уравнений может быть осуществлено прямым способом. Разрешая уравнение (2.52) относительно искомой переменной, получим рекуррентное уравнение

01 /])[...]1[][(][ amnyanyanfny m −−−−−= , (2.54) позволяющее шаг за шагом вычислить значение ][ny для n=0,1,2…N по известным значениям функции ][nf в правой части уравнения и начальным условиям ][]...1[ mnyny −− . Такие вычисления не представляют затруднений даже при ручном счете и составляют основу всех алгоритмов управления.

Изображение разностных уравнений. Рассмотрим разностное уравнение общего типа

][...]1[][][...]1[][ 1010 lnfbnfbnfbmnyanyanya lm −++−+=−++−+ , (2.55) где fy, -соответственно выходная и входная переменные.

При нулевых начальных условиях использование теоремы запаздывания для значений решетчатых функций ][],[ lnfmny −− , смешенных относительно текущего такта n на целое число ,...)2,1,0,( =lm , позволяет осуществить переход к изображениям

)()...(][)...( 110

110 zFzbzbbzYzazaa l

lm

m−−−− +++=+++ . (2.56)

Изображение искомого разностного уравнения можно представить в виде

)()()(...

...)(

110

110 zFzWzF

zazaa

zbzbbzY

mm

ll =

+++

+++= −−

−−. (2.57)

Здесь )(

)()(

zF

zYzW = 2дискретная передаточная функция равная

отношению двух полиномов изображений выходной и входной величин.

15

Формулы обращения. Операция нахождения решетчатой функции (оригинала) по ее изображению может быть записана как обратное Z-преобразование:

)}({][ 1 zFZnf −= . (2.58) Решение этой задачи приводит к формуле обращения [2,3]

∑∫=

−− ==l

lnv

ln zzFsdzzzFj

Tnf

1)(Re)(

2][

νπ .

Интегрирование ведется по окружности с центром в начале координат с радиусом maxvzR > , где lv ,...2,1= ; vz 2полюсы функции F(z). В случае

простых полюсов значение интегрального вычета в точке vzz = может быть определено следующим образом:

lnzzv

lnv zzFzzzzFs

v−

→− −= )()lim()(Re . (2.59)

Разложение в ряд Лорана. Из определения Z-преобразования следует

...]2[]1[]0[][)( 21

0+++== −−∞

=

−∑ zfzffznfzFn

n (2.60)

Разложив любым способом изображение F(z) в ряд Лорана (ряд по убывающим степеням z)

...,)( 22

110 +++= −− zCzCCzF (2.61)

можно установить, что ]2[],1[],0[ 210 fCfCfC === и т.д. Разложение в ряд можно делать любым способом, так как такое

разложение единственно. Наиболее удобным приемом для дробно-рациональной функции является деление числителя на знаменатель.

2.7. Примеры

1. Вычислить дискретное преобразование Лапласа от функции

U(t)=1[t]. Решение. Используя первую форму записи дискретного

преобразования Лапласа и конкретизируя ее для выбранной функции,

запишем ,][)(*0

∑∞

=

−=n

pnTenTUpU где ][1][ nTnTU = . (2.62)

Раскрывая (2.62), получим геометрический ряд

...1...)2()()0()(* 22 +++=+++= −−−− TpTpTpTp eeeTUeTUUpU , сумма которого равна

,1

1q

aS

−= поэтому

11

1)(*

−=

−== − Tp

Tp

Tp e

e

eSpU . (2.63)

16

Для нахождения F(z) можно повторить вывод или использовать простую подстановку, получить

z

zzF

1)(

−= . (2.64)

2. Найти Z-изображение синусоидально изменяющейся функции ttx ωsin)( = .

Решение. С помощью формулы Эйлера тригонометрические функции можно выразить через показательные

2cos;

2sin

tjtjtjtj eet

j

eet

ϖϖϖωϖω

−− +=−= . (2.65)

Переходя к решетчатым функциям путем замены nTt = , запишем

).(2

1(

2

1

2sin)(*

0

)(

0

)(

00

TjpT

pT

TjpT

pT

n

nTjp

n

nTjp

pnT

n

jnTnTj

n

pnT

ee

e

ee

e

jee

j

ej

eenTepX

ωωωω

ωω

−

∞

=

+−∞

=

−−

−∞

=

−∞

=

−

−−

−=−=

=−==

∑∑

∑∑

Производя подстановку pTez = , найдем Z-изображение

1cos2)(

2

1)(

2 +−=

−−

−= − Tzz

z

ez

z

ez

z

jzX

TjTj ωωω . (2.66)

3. Дана функция 2)( ttf = , найти ее дискретное изображение. Первый вариант решения. Используя преобразование Лапласа, найдем

изображение

dtettLpF pt−∞

∫==0

22}{)( . (2.67)

Для нахождения данного интеграла можно использовать формулу интегрирования по частям

∫∫ −= vduuvudv . (2.68)

Пусть dtedvtu pt−== ,2 , (2.69)

тогда p

edtevtdtdu

ptpt

−− −=== ∫,2 . (2.70)

Подставляя в (2.68) формулы (2.69) и (2.70), получим

tdtep

tdtepp

etdtet ptpt

ptpt 2

12

1

000

2

0

2∫∫∫∞

−∞

−∞−∞

− =+= . (2.71)

Применяя повторно формулу интегрирования по частям, найдем

.12

0 pdtte pt =∫

∞−

Таким образом, получим 3

0

2 2)(

pdtetpF pt == ∫

∞− .

17

Используя формулу вычетов для кратных корней, найдем дискретное изображение

3

2

02

22

3 )1(

)1(lim2

2

1)1(}

2{)(

−+=

−∂∂−== →

z

zzT

ez

z

apZzF aaT

. (2.72)

Второй вариант решения. Этот вариант основан на использовании теоремы о дифференцировании изображений. Согласно данной теореме для нахождения дискретного изображения необходимо определить вторую частную производную от изображения ступенчатой функции

.)1(

)1(

)1(

)1(2)1(

)1(

)22()1(

)1()1(

)1(

11)1(}){()(

3

2

4

222

4

22

22

2

2

222

−+=

−−+−−

=−

−−−−−=

=−

−=−

−−=

=

−=

−−==

z

zzT

e

eeTeeT

e

TeTeTeeeT

e

Te

dp

d

e

TeeeTe

dp

d

e

e

dp

d

dp

d

e

e

dp

dnTZzF

pT

pTpTpTpT

pT

pTpTpTpTpT

pT

pT

pT

pTpTpTpT

pT

pT

pT

pT

4. Даны:

дискретная передаточная функция 15,01

1

)(

)()( −−

==zzX

zYpW (2.74)

и вид входной переменной ](1)( nTnTx = при 1=T . Необходимо просчитать четыре первых значения выходной

переменной ][ny . Решения. 1-й вариант. В соответствии с заданной дискретной передаточной

функцией рекуррентная формула имеет вид ]1[5,0][][ −+= nynxny , где начальные значения *[-1] переменных

равны 0. Для начальных тактов можно записать следующие соотношения

.875,175,1*5,01]2[5,0]3[]3[

,75,15,1*5,01]1[*5,0]2[]2[

,5,11*5,01]0[5,0]1[]1[

,1]1[5,0]0[]0[

=+=+==+=+=

=+=+==−+=

yxy

yxy

yxy

yxy

(2.75)

2-й вариант. Найдем Z- преобразование от входного сигнала

1)}(1{)(

−==

z

znTZzX . (2.76)

Изображение выходного сигнала при этом будет

211 5,05,11

1

5,01

1

1)()()( −−− +−

=−−

==zzzz

zzWzXzY . (2.77)

18

В результате деления числителя на знаменатель получим разложение изображения в ряд Лорана

...875,175,15,11)( 321 ++++= −−− zzzzY , где ...)2(75,1]2[),1(5,1]1[),0(1]0[ 210 TtfCTtfCTtfC −==−==−== δδδ

Откуда, решетчатая функция в виде совокупности табличных выборок может быть записана следующим образом

...)2(75,1)(5,1)0(1][ +−+−+−= TtTtTtnTy δδδ (2.78)

2.8. Контрольные вопросы 1. Дана функция ttf ωcos)( = . Каким образом перейти к

соответствующей решетчатой функции? 2. Даны формулы (2.35) и (2.42). Определить дискретные

передаточные функции для суммы и разности.

3. Дана функция tetf α=)( . Найти ее дискретное изображение.

4. Для экспоненциальной функция tex 4−= : а) подобрать интервал дискретности 0T , при котором ступенчатое

описание функции по дискретным точкам не приводит к погрешности, большей 5% начального значения;

б) определить интервал дискретности иT , при котором линейная интерполяция значений функции в середине промежутков между дискретными точками не превышала 5% начального значения;

в) найти Z-преобразование выборки дискретных значений непрерывного процесса;

г) осуществить обратное Z-преобразование.

3. Структурные схемы цифровых систем

3.1. Импульсный элемент и его свойства

Любой импульсный элемент с произвольной формой импульса S(t) (рис.3.1, а) может быть представлен в виде простейшего импульсного элемента и некоторой формирующей цепи (рис. 3.1, б), реакция которой на импульсное воздействие равна S(t). Эта реакция представляет собой временную характеристику формирующей цепи.

x*(t) x(t) x[nT

б а

y(t) y[nT]

y(t)

x(t) S(p) S(t)

Рис. 3.1

19

Импульс прямоугольной формы (рис. 3.2, а), действие которого определено на интервале )0( Tt ≤≤ , может быть описан как разность

)](1)(1[ TttKo −− (рис. 3.2, б).

С учетом того, что изображение смещенного оригинала

{ } ,)()( pFeatfL ap−=− где { } ,11

1)(1)( 00 p

ep

dtetLpF ptpt =−=⋅== ∞∞

−−∫

передаточная функция данного формирователя будет

p

eK

p

e

pKTttKLpS

pT

o

pT

ooo−=

−=−−= 11

)]}(1)(1[{)( . (3.1)

Импульс треугольной формы (рис. 3.3, а) может быть представлен как совокупность трех линейных функций времени )]()2/(2[1 TtTttK −+−− . (рис. 3.3, б).

Передаточная функция в этом случае будет

2

2

2

122

2211

1

121

p

e

Kep

epp

KS

pT

pTpT

−

=

+−=

−

−−. (3.2)

Рассмотренные формирующие цепи называются соответственно экстраполятором 0-го порядка и экстраполятором 1-го порядка. Так как передаточные функция S(p) не имеет особых точек полюсов, то формирующие цепи можно отнести к непрерывной части системы.

Частотную характеристику экстраполятора 0-го порядка можно получить, путем подстановки ωjp =

j

e

j

ejSjW

jTj

оЭО 2

121)()(

ωω

ωωωω

−− −=−== . (3.3)

Ko t

Ko

б

Ko

T

t

T t

а Рис. 3.2

T

Рис.3.3

t

T T/2

t T/2

а б

20

Используя формулы Эйлера, выразим тригонометрическую функцию через показательную

j

ee

j

eet

TjTj

TjTj

2

1

2sin

2 ωω

ωωω

−− −=−= .

Умножая левую и правую части на на ωje− , получим

j

eTe

TjTj

2

1sin

2 ωωω

−− −= . (3.4)

С учетом (3.4) при половинном аргументе частотная характеристика экстраполятора будет

ϕω

ωω

ω jTj

ЭО AeeT

jW ==−

2

2sin

2)( , модуль и фаза которой равны

2,

2

2sin

)(T

T

T

TjWЭО

ωϕω

ω

ω −== . (3.5)

Расчеты сведены в таблицу 3.1, частотная характеристика

экстраполятора нулевого порядка показана на рис. 3.4.

Таблица 3.1 fπω 2= 0 ˈ 2ˈ ˈ

)( ωjWэо 1Т 0,63Т 0Т 0,2Т

Из теоремы Котельникова-Шенона известно, что для восстановления входного сигнала без потерь, частота квантования должна быть в 2 раза выше частоты входного сигнала. Данному условию соответствует частота входного сигнала равная

T/π . При указанном соотношении частот будем иметь амплитудное искажение входного сигнала (0,63) и фазовое

запаздывание ( 2/π ). Из рассмотрения частотной характеристики также видно, что высокочастотные составляющие импульсного элемента в значительной степени отфильтрованы.

2ˈ̍̍̍/T ˈ̍̍̍/T

ω

4ˈ̍̍̍/T 3ˈ̍̍̍/T

0,2Т

0,63T

T

Рис. 3.4

21

Для импульсов треугольной формы частотная характеристика имеет вид

)4

(

2

122

21

4

4sin

)1()(πωω

ω

ω

ωω

kT

jTj

e

T

TKeK

jSi−−−

=−−= . (3.6)

Полоса пропускания экстраполятора в этом случае больше. В линейных экстраполяторах для восстановления информации

необходимо определение упреждающих значений переменных по отношению к текущему периоду. Для задач управления это в большинстве случаев не представляется возможным, поэтому наибольшее распространение получил экстраполятор нулевого порядка.

3.2. Дискретные передаточные функции

Понятие переходной и весовой функции. В теории непрерывных систем оценку динамических свойств звена дают по его переходной функции и функции веса (рис. 3.5).

Переходная функция (переходная характеристика) h(t) представляет

собой переходный процесс на выходе звена, возникающий при подаче на его вход скачкообразного воздействия, при величине скачка равной 1.

Функция веса (весовая функция) представляет собой реакцию звена на единичную импульсную функцию или дельта-функцию. Функция веса может

быть получена путем дифференцирования переходной функции dt

dht =)(ϖ

Функции веса звена связана с его передаточной функцией

преобразованием Лапласа ∫∞

−=0

)()( dtetpW ptϖ .

Дискретная передаточная функция. Рассмотрим дискретное звено (рис. 3.6), характеристика которого во временной области представлена функцией веса )(tϖ , а в области изображений передаточной функцией )( pW .

Y*(p)

y[k]

Y(p)

y(t)

U*(p)

u[k]

U(p)

u(t) ϖϖϖϖ(t) W(p)

Рис.3.6

x1=δδδδ(t)

t

x2=ϖ(t) x2 x1 x2=h(t)

x1=1(t)

t

Рис. 3.5

22

Входной сигнал описывается выражением

∑∑∞

=

∞

=−=−===

00)()()()()()(][)(*

kkT kTttukTttuttukTutu δδδ . (3.7)

Учитывая, что весовая функция )(tϖ определяет реакцию звена на единичный импульс )(tδ , его выходной сигнал выражается суммой свертки

∑∑∞

=

∞

=−=−=

00),(][)()(][)(

kkkTtkTutkTtkTuty ϖϖδ (3.8)

где )()()( kTtkTtt −=− ϖδϖ 2свертка. Если квантование входного и выходного сигнала осуществляется

синхронно, то при nTt =

∑∞

=−=

0)()(][

kTknkTunTy ϖ . (3.9)

Найдем дискретное преобразование Лапласа выходного сигнала

∑ ∑∑∞

=

∞

=

−∞

=

− −==0 00

])[(][][)(*n k

nTp

k

nTp eTknkTuenTypY ϖ . (3.10)

Подставив в эту формулу knq −= и учитывая, что значение 0=n соответствует kq −= , при нулевых начальных условиях получим

∑ ∑ ∑∑∞

−=

∞

=

∞

=

−∞

=

−−− ==kq k k

kTp

q

qTpkTpqTp ekTueqTeeqTkTupY0 00

][][][][)(* ϖϖ

или иначе )()()( *** pXpWpY = . (3.11) Отсюда дискретную передаточную функцию можно определить как

∑∞

=

−==0

)()(*

)(*)(*

q

qTpeqTpU

pYpW ϖ . (3.12)

Переход к переменной Tpez = дает другое представление дискретной передаточной функции в виде Z-изображения

∑∞

=

− ===0

]}[{)()(

)()(

q

q qZzqTzU

zYzW ϖω . (3.13)

Таким образом прослеживается явная аналогия дискретных и непрерывных передаточных функций. В отличие от последних, нахождение переходного процесса по весовой функции не вызывает особых затруднений, так как представляет собой формализованный процесс счета при переходе к решетчатым функциям (оригиналам). Отметим, что исходные разностные уравнения в зтом отношении более предпочтительны.

Последовательное и параллельное соединение дискретных звеньев. Рассмотрим структуру, которая состоит из звеньев, соединенных

23

параллельно (рис. 3.7, а). Передаточная функция непрерывной части

определяется в виде суммы )()(1

pWpWk

iio ∑

== .

Передаточная функция )(zWo аналогичной дискретной системы (рис.3.7, б) равна сумме частных дискретных передаточных функций

определенных для каждого звена в отдельности ∑=

=k

iio zWzW

1)()( . (3.14)

В отличие от непрерывных систем, подобное правило не имеет места для случая последовательно включенных звеньев (рис. 3.8, а) с общей

передаточной функцией )()(1

pWpWk

iio ∏

== . (3.15)

В этом случае дискретная передаточная функция (рис. 3.8, б) должна

определяться по результирующей функции ∏=

=k

iio pWZzW

1)}({)( . (3.16)

Для последовательного соединения звеньев результирующая передаточная функция может быть записана в другом виде

)(...)( 21 zWWWzW ko = . Символ )(...21 zWWW k подчеркивает, что операция нахождения дискретной передаточной функции относится к участку цепи последовательных звеньев, общая передаточная функция которого

)()...()( 21 pWpWpW k . Нахождение дискретной передаточной функции для замкнутой

системы. Рассмотрим замкнутую систему (рис. 3.9), в которой в явном виде выделены дискретный регулятор и звено обратной связи. Определение дискретной передаточной функции относительно произвольной координаты достигается за счет ввода в систему фиктивного импульсного элемента, который, не изменяя структуры, позволяет осуществить съем информации в интересующей точке. С учетом того, что импульсная система линейна, для нее справедливы все правила структурных преобразований, используемых в непрерывных системах. Однако, это требует некоторых предварительных

)(1 pW

)( pWi

)(1 pW

)( pWi

Рис.3.7

а б

)(1 pW )( pWi )(1 pW )( pWi

Рис. 3.8 а б

24

навыков и не всегда приводит к необходимому результату. Будем использовать непосредственный вывод уравнений системы.

Определим ошибку системы )()()( pypgp −=ε . (3.17)

Выразим сигнал обратной связи через ошибку )()()()()()()()( 32132 pWpWzWzpWpWzupy ε== (3.18)

и подставим его в предыдущее уравнение, тогда получим )()()()()()( 321 pWpWpWzpgp εε −= . (3.19)

Найдем Z-преобразование от левой и правой частей последнего уравнения

).()()()(

)}()()()()({)}({)(

321

321

zWWzWzzg

pWpWpWzpgZpZz

εεεε

−==−==

(3.20)

Комбинируя члены с )(zε в левой части уравнения (3.20) и разрешая его относительно )(zε , найдем дискретное изображение ошибки

)()(1

1)()(

321 zWWzWzgz

+=ε . (3.21)

Дискретное изображение выходного сигнала будет

)()(1

)()()(

)()()()}()()({)}({)(

321

21

2121

zWWzW

zWzWzg

zWzWzpWzWzZpyZzy

+=

==== εε (3.22)

Откуда получим дискретную передаточную функцию замкнутой системы

)()(1

)()(

)(

)()(

321

21zWWzW

zWzW

zg

zyzWз +

== . (3.23)

Таким образом, процедуру нахождения дискретной передаточной функции замкнутой системы можно свести к следующему: ввести фиктивный импульсный злемент в интересующей точке съема информации; найти дискретное изображение сигнала ошибки, а затем выходного сигнала.

)(zx

)( pg

Рис. 3.9

)( px

)( py

)(zu)(zε)( pε )( pu)(1 zW )(2 pW

)(3 pW

25

Дискретные фильтры

Пусть дана дискретная передаточная функция общего типа

kk

mm

zaza

zbzbb

zx

zyzW −−

−−

++++++==

...1

...

)(

)()(

11

110 . (3.24)

Раскрывая левую и правую части уравнения (3.24), получим ).()...()()...1( 1

101

1 zxzbzbbzyzaza mm

kk

−−−− +++=+++ (3.25) На основании теоремы запаздывания и ее следствия осуществим

переход к рекурентному разностному уравнению

].[...

]...2[]1[][...]...1[][][ 2110

knya

nyanyamnxbnxbnxbny

k

m

−++−−−−−+−+=

(3.26)

Таким образом, свойства цифрового управляющего устройства (дискретного фильтра) полностью характеризуются либо передаточной функцией (3.24), либо разностным уравнением (3.26). Решение разностного уравнения можно представить в виде структурной схемы непосредственного программирования (рис.3.10), где звено 1−z осуществляет операцию задержки или запоминания дискретного значения сигнала на период T .

Общее число звеньев запаздывания равно сумме порядков числителя и

знаменателя дискретной передаточной функции. Разностное уравнение является формулой для вычисления значений выходной величины y в дискретные моменты времени nTn ≡ . В процессе вычислений в каждом такте производится последовательное переприсвоение значений промежуточных переменных. Так, например, значение ]1[ −nx определено по отношению к текущему значению ][nx на предыдущем такте работы. Для общего случая, это соответствует тому, что значение сигнала на выходе m элемента запоминания станет равным значению входного сигнала поступившего в момент nT , спустя время mT .

y[n]

y[n-1] y[n-k]

1b0b 2b mb

x[n-2] x[n-1] x[n] 1−z1−z 1−z

y[n-2] y[n-m] 1−z 1−z1−z

1a2amaka

Рис. 3.10

1−z

26

Рассмотрим некоторые возможные варианты дискретных фильтров. Для этого запишем уравнение (3.21) в следующем виде:

kk

mm

zaza

zbzbbzxzy −−

−−

++++++=

...1

...)()(

11

110 (3.27)

и введем промежуточную переменную k

k zazazxzu −− ++

=...1

1)()(

11

, (3.28)

тогда )()...()( 110 zuzbzbbzy m

m−− +++= . (3.29)

Раскрывая левую и правую части уравнения (3.28), получим )()()1( 1

1 zxzuzaza nn =++ −− . (3.30)

Применяя следствие теоремы запаздывания к каждому члену данного уравнения, осуществим переход к рекуррентному разностному уравнению

][...]2[]1[][][ 21 knuanuanuanxnu k −−−−−−−= , (3.31) аналогично осуществим переход для уравнения (3.29)

].[...]1[][][ 10 mkubnubnubny m −++−+= (3.32) Структура изображенная на рис. 3.11 в соответствии с уравнениями (3.31) и

(3.32) называется дискретным фильтром с многомерным выходом.

Уравнение (3.27) может быть представлено в следующем виде

U[n-k]

y(z)

x(z)

Рис. 3.12

y[n]

y(z)

U[n-m]

x(z)

x[n]

y[n]

u(z) u(z)

U[n] U[n-1] U[n-2] 1−z1−z 1−z1−z

1b0b

1a 2a ma ka

2b mb

Рис. 3.11

ka

x[n]

1−z1−z 1−z

mb

ma 2a

2b

1−z

1a

1b 0b

27

).(...))()(()()( 111

0 zyazzyazxbzzxbzy kk−− −+−+= (3.33)

На основании данного уравнения может быть получен линейный алгоритм работы цифрового управляющего устройства

][...])1[]1[(][][ 110 knyanyanxbnxbny k −−+−−−+= , (3.34) иначе дискретного фильтра с многомерным входом (рис. 3.12).

Рассмотренные фильтры относятся к классу рекурсивных фильтров. Их импульсная характеристика затухает за бесконечное время, и поэтому они также называются БИХ-фильтрами (фильтрами с бесконечной импульсной характеристикой). Реализацию рассмотренных структур дискретных фильтров при высоких требованиях к быстродействию можно осуществить на базе специализированных микропроцессоров, архитектура которых включает в себя матричные умножители и накапливающие аккумуляторы.

3.4. Дискретная аппроксимация процесса интегрирования

На рис. 3.13 показана структурная схема дискретного интегратора. С

тем, чтобы его свойства были приближены к свойствам непрерывного интегратора, в структуру введены экстраполятор нулевого порядка и корректирующее звено для компенсации амплитудных и фазовых искажений экстраполятора.

Раскладывая функцию Tpeγ в ряд Маклорена, получим

TpTpTp

Tpe Tp γγγγγ +≈++++= 1...!3

)(

!2

)(1

32

. (3.35)

Определим с учетом уравнения (3.35) передаточную функцию дискретного интегратора

.1

)1(1)

1)1((

1}

1{

1

}1

{1

}11

{)('

)()(

22

2

−−+=

−+

−−=+−=

=+−=++==

z

zT

z

Tz

z

Tz

z

z

p

T

pZ

z

z

p

TpZ

z

z

p

Tp

p

eZ

zx

zxzW

Tp

и

γαγαγα

γαγα (3.36)

Раскроем передаточную функцию

][' nTx

][nTx)(' tx ф

][' nTx)(' tx

)(' zx)(' px )(zx

p

e pT−−1 Tpeγαp

1

ttt

)(' tx ф)(' tx

)(' px ф

Рис. 3.13

28

)](')(')('[)()( zxzxzzxTzxzzx γγα −+=− и поделив на z левую и правую части, запишем уравнение относительно выходной переменной

)()](')1()('[)( 11 zxzzxzzxTzx −− +−+= γγα (3.37) При этом разностное уравнение дискретного интегратора будет

]1[]}1[')1(]['{][ −+−−+= nxnxnxTnx γγα или иначе 11}')1('{ −− +−+= nnnn xxxTx γγα . (3.38)

Варьируя α и γ можно получить ряд разностных уравнений численного интегрирования. Некоторые из них при α=1 представлены в таблице 3.2.

Таблица 3.2 Уравнение интегрирования γ Наименование классического метода

1. '11 −− += nnn Txxx 0 Метод Эйлера

2. )(2

''11 nnnn xx

Txx ++= −−

0.5 Метод трапеций

3. '1 nnn Txxx += − 1 Метод прямоугольников

4. )3(2

'1

'1 −− −+= nnnn xx

Txx

1.5

5. )2( '1

'1 −− −+= nnnn xxTxx 2

Метод неявного интегрирования второго порядка

Адамса

Таким образом, многие хорошо известные формулы численного

интегрирования представляют собой один и тот же интегратор, отличающийся только величиной фазового смещения интегрируемой функции.Другой не менее важный вывод заключается в том, что рассмотренная схема может быть взята в качестве основы для перехода от непрерывных регуляторов к их дискретным аналогам.

3.5. Примеры

1. Дана схема (рис. 3.14) двигателя постоянного тока с питанием от широтно-импульсного преобразователя (ШИП). Необходимо составить расчетную схему и ее структурное представление.

V2

V

Uo

Lя Rя K1

Е

T,γγγγ

K2 T,1-γγγγ

Рис.3.14

29

Решение. На интервале проводимости транзистора V1 схема замещения представляет собой ветвь, содержащей источник питания, ключ К1 и якорную цепь двигателя. При отключении V1 ток замыкается через обратный диод V2. На схеме данный интервал работы соответствует второй ветви, в которой якорная цепь замкнута сама на себя через ключ К2 .

Будем считать, что период следования импульсов управления T и их продолжительность Tγ неизменны. Тогда расчетная схема (рис. 3.15) может быть представлена в виде линейной импульсной системы, где цепь силового ключа ШИП представлена в виде фиксирующего звена [8]

p

eUTttULpW

Tp

ф

γγ

−−=−−= 1))}(1)(1({)( 00 . (3.39)

Для определения переходных процессов тока двигателя яI и частоты вращения ω при пуске двигателя, можно записать соответствующие передаточные функции объекта:

1)(,

1

/

)(

)()(

22 ++=

++==

pTpTT

KpW

pTpTT

RpT

pU

pIpW

MЯM

д

MЯM

ЯMI ω , (3.40)

где 2)(cФ

JRT ям = и

я

яя L

RТ = 2электромеханическая и электромагнитная

постоянные времени двигателя; cФkд /1= 2коэффициент передачи; С и

Ф2конструктивная постоянная и потокосцепление; J 2момент инерции двигателя. Для наблюдения за координатами введены фиктивные импульсные элементы.

Наличие звена чистого запаздывания на время Tγ , меньше интервала

дискретности, затрудняет расчеты переходных процессов, так как в этом случае необходимо использовать модифицированное Z-преобразование. Кроме того, расчетной структуре свойственны ограничения, рассмотренные ранее. В практических схемах электропривода с ШИП для обеспечения непрерывности тока выбирают значительную частоту коммутации работы силовых ключей. При этом ток на интервалах дискретности не претерпевает существенных изменений и расчет можно производить по средним значениям напряжения 0Uγ на интервалах несущей частоты. В этом случае, формирователь может быть представлен как фиксатор нулевого порядка

)( pU

1)( =tg

)( pG

)( pE

)(zI я )(zω

)( pωcM

MяI

1

/1

+pT

R

я

я)( pWф cФ

cФ

Jp

1

Рис. 3.15

30

p

eUpW

Tp

Ф

−−= 1)( 0γ , передаточная функция которого приводится к объекту

управления. Приведенная непрерывная часть в зависимости от координаты наблюдения будет

)()()(),()()( pWpWpWpWpWpW IфпIфп == ωω . (3.41)

Дискретные изображения тока и частоты вращения находят по следующим формулам:

}.)(

{1

)()}()({)()(

},)(

{1

)()}()({)()(

p

pWZ

z

zzgpWpWZzgzI

p

pWZ

z

zzgpWpWZzgz

IIф

ф

−==

−== ωωω

. (3.42)

После нахождения дискретных изображений, дальнейший переход к разностным уравнениям дает возможность просчитать переходные процессы.

2. Дана структурная схема одноконтурной системы регулирования скорости (рис. 3.16), где )(),(),( pWpWpW думpc 2передаточные функции

соответственно регулятора скорости, усилителя мощности и двигателя. Необходимо для непрерывной системы определить передаточную

функцию регулятора скорости, а затем осуществить переход к дискретному регулятору.

Решение. Для определения постоянных времени регулятора скорости передаточную функцию двигателя (3.40) целесообразно представить в виде двух апериодических звеньев

)1)(1(1)(

)()(

212 ++

=++

==pTpT

k

pTpTT

k

pU

ppW д

МЯМ

д

ТПд

ω, (3.43)

где ЯМ

ЯМММ

TT

TTTTp

pT

pT

2

4;

1;

12

2,12

21

1−±−

=−=−=

При настройке контура скорости на модульный оптимум передаточная функция регулятора скорости должна быть

,)1)(1(

)(3

21

p

pppWpc τ

τττ ++= (3.44)

где pTkkkTT cд µµτττ 2;; 32211 === .

ω

)( pWум

ωU

ωзU)( pWpc

1+pT

K

µ

µ)( pWд

cK

Рис. 3.16

31

Выбранный пропорционально-интегрально-дифференциальный регулятор (ПИД-регулятор) относится к физически нереализуемым звеньям. Однако учитывая, что при переходе к дискретным звеньям операция дифференцирования заменяется операцией взятия разности, примем данное звено в качестве исходного. Структурная схема дискретной системы (см. рис. 3.17) содержит дополнительные звенья, к которым относятся экстраполятор нулевого порядка и аналого-цифровой преобразователь (АЦП), используемые для согласования дискретного регулятора с силовой частью системы. Здесь предполагается, что коэффициент передачи устройства преобразования выходного сигнала регулятора (ЦАП или цифрового СИФУ) отнесен к усилителю мощности.

Составим схему перехода к дискретному регулятору (рис. 3.18).

Определим передаточную функцию дискретного регулятора скорости

.)1(

1)1(

)1(

11

])1(

1

1[

1}

1{

1

})1)(1(

{1

)}(1

{)(

)()(

1

1

33

211

3

21

33

21

3

21

233

21

3

212

33

21

3

21

23

21

−

−+−+

++

−

−++−=

−++−=

=−

+−

+−=++−=

=++−=−=∇

=

z

Tzz

z

T

z

z

z

Tz

z

z

z

z

ppZ

z

z

p

ppZ

z

zpW

p

eZ

zN

zNzW pc

pTpc

pc

ττττ

τττ

ττττ

τττ

ττττ

τττ

ττττ

τττ

τττ

(3.45) В соответствии с (3.45) структурная схема регулятора может быть

представлена в виде отдельных составляющих, соответствующих операциям взятия первой разности, нахождения пропорциональной составляющей и суммы.

Осуществляя переход к рекуррентным уравнения регулятора, запишем ],[][][][ nNnNnNnN ипдpc ++=

ω

Рис. 3.17

N∇ pcN

cK

ωN

ωзN)(zWpc 1+pT

K

µ

µ )( pWд

'сK

p

е pT−−1

АЦПK

)(zN pc)(zN∇

p

e pT−−1 )( pW

Рис. 3.18

32

где ];[][]);1[][(][3

21

3

21 nNnNnNnNnN пд ∇+=−∇−∇=τ

τττττ

]1[]1[][3

−+−∇= nNnNT

nN ии τ2соответственно дифференциальная,

пропорциональная и интегральная составляющие закона регулирования.

Выделение отдельных составляющих закона регулирования (рис. 3.19) имеет определенные практические преимущества, к которым можно отнести более гибкую функциональную настройку и простоту реализацию ограничений регулятора.

3.6. Контрольные вопросы 1. Показать, что линейная аппроксимация непрерывной кривой

может быть получена в результате комбинации двух треугольных формирующих устройств. Доказать, что передаточная функция такого трапецеидального формирующего устройства

равна )1(1

2−− −

pTpT

ep

e.

2. Какие типы фильтров имеют минимальную емкость запоминающего устройства?

3. Как осуществить переход от дискретной передаточной функции к разностному уравнению?

4. В чем состоят особенности нахождения дискретной передаточной функции от последовательного соединения непрерывных звеньев?

5. Дана передаточная функция регулятора 1

1)(

2

1

++=

pT

pTpW .

Необходимо найти ее дискретный аналог и схему фильтра.

)(zN pc

Рис. 3.19

иN

пN

дN

)(zN∇3

21τττ 1−z

3

21τ

ττ +

1−z3τ

T

f(t)

t

0 Т 2Т 3Т Рис. 3.20

33

3.7. Приложения Приложение1. Изображения решетчатых функций Таблица 1 Непрерывная функция Оригинал Изображение

Несмещенная решетчат. функция

Z-преобразование простое

)(

)( 0100

nTt

tf tприtпри

−

= =≠

δ

1 pnTe−

][nδ 1 nz−

)(1)(1 Ttt −−

p

e pnT−−1

]1[ −∇ n 1

)(1 t P

1 ][1 n

1−z

z

t 2

1

P nT

2)1( −z

Tz

!2

2t 3

1

P

!2

)( 3nT 3

2

)1(!2

)1(

−+

z

zzT

!3

t 4

1

P

!3

)( 3nT

4

23

)1(!3

)14(

−++

z

zzzT

ate− )( ap

a

+

nanT de =− Teddz

z α−=−

,

ate−−1 )(

1

app +

anTe−−1 ))(1(

)1(

dzz

zd

−−−

atte− 2)(

1

ap +

nTnTe α− 2)( dz

zdT

−

atet −

!2

2 3)(

1

ap + anTe

nT −!2

)( 2

3

22

)(!2

)(

dz

Tddzz

−+

tβsin 22 β

β+p

nTβsin

1cos2

sin2 +− Tzz

Tz

ββ

tβcos 22 β+p

p

nTβcos

1cos2

cos2

2

+−−

Tzz

Tzz

ββ

te at βsin− 22)( β

β++ ap

nTe anT βsin−

22 cos2

sin

dTzdz

Tzd

+− ββ

te at βcos− 22)( β++

+ap

ap

nTe anT βcos−

1cos2

cos2

2

+−+

Tzz

Tzdz

ββ

34

Приложение 2. Квазидискретные структуры. Один из самых простых методов нахождения дискретной передаточной функции основан на замене операторов непрерывного интегрирования их дискретными аналогами [9]. Для этого передаточную функцию W(p) путем деления числителя и знаменателя на kp , где k – порядок системы, приводят к виду

kkkk

kkmm

kmm

pApApAA

pBpBpBpW −−

−−

−

−−−−

−

+++++++

02

21

1

01

1

...

...)( .

Операторы дискретного интегрирования, полученные различными методами, даны в табл.2. Производя подстановку дискретного интегратора соответствующей степени, вместо непрерывного p/1 получим дискретную передаточную функцию

kk

mm

zaza

zbzbzb

zX

zYzW −−

−−

++++++==

...1

...

)(

)()(

11

11

00 .

Полученную передаточную функцию используют для нахождения рекуррентного уравнения

][][][10

inyainxbnyk

ii

m

ii −+−= ∑∑

==.

Таблица 2 Метод подстановки Опе

рат

ор Инвариантных импульсных функций

Цыпкина Гольденберга

Тастина Боксера- Таллера

p

1

1−z

Tz

1−z

T

1

1

2 −+

z

zT

1

1

2 −+

z

zT

2

1

p

2

2

)1( −z

zT

2

2

)1(2

)1(

−+

z

zT

22

1

1

4

−+

z

zT

2

22

)1(

110

12 −++

z

zzT

3

1

p

3

3

)1(2

)1(

−+

z

zzT

3

23

)1(6

)14(

−++

zz

zzT

33

1

1

8

−+

z

zT 3

3

)1(

)1(

2 −+

z

zzT

4

1

p

4

24

)1(6

)14(

−++

z

zzzT

4

234

)1(24

)11111(

−+++

z

zzzT

44

1

1

16

−+

z

zT

720

)1(

)14(

64

4

24

T

z

zzzT

−

−−

++

Приложение 3. Дифференцирование цифровых последовательностей. При малых периодах квантования разностные уравнения можно получить из дифференциальных уравнений путем дискретизации последних. В частности дифференциалы могут приближенно заменяться левыми разностями

35

.]2[]1[2][]1[][][)(

,]1[][][)(

22

2

2

2

T

nfnfnf

T

nfnf

T

nf

dt

tfd

T

nfnf

T

nf

dt

tdf

−=−−=−∆−∆=∆≈

−−=∆≈

Из определения pTez = следует, что оператор дифференцирования

zT

p ln1= .

Разложение функции в ряд Тейлора в окрестности точки a=1 позволяет представить оператор следующим образом:

...])1(3

1)1(

2

1)1[(

1 31211 +−+−+−= −−− zzzT

p .

При использовании ограниченного числа членов ряда алгоритм дифференцирования имеет вид [1]

∇++∇+∇+∇= ][...][3

1][

2

1][

1][ 132' ngngngng

Tng m

mm .

Приложение 4. Разложение рациональных дробей на простейшие. Если степень числителя ниже степени знаменателя, то дробь называется правильной, в противном случае называется неправильной. Неправильную дробь путем деления числителя на знаменатель представляют в виде некоторого многочлена и правильной дроби

)(

)()(

)(

)(

pP

pFpM

pP

pQ += ,

если µβα )...()()()( 2 qdppbpappF ++−−= , то дробь может быть представлена в виде

....)()(

...)()(

...)()()(

)(

211

1211

21

111

11

qdpp

NpM

qdpp

NpM

qdpp

NM

bp

B

bp

B

bp

B

ap

A

ap

A

ap

A

pP

pF

p

++

+++

++++

++

++

−+

+−

+−

+−

++−

+−

=

−−−

−

−−

−

µµµµ

β

ββα

αα

Приложение 5. Образование погрешностей за счет квантования по времени. Рассмотрим уравнение импульсного элемента (2.12). Согласно интегральной формуле Коши круговой интеграл равен сумме вычетов подынтегрального выражения во всех полюсах, находящихся внутри контура интегрирования

T

kjsp

k

k psTpsTe

dp

dpF

e

dppF

jpF ππ 2

)()(]1[

)(

1)(

2

1)(*

+=

∞=

−∞= −−−− ∑∫−

−=−

= ,

где полюсы подынтегрального выражения, лежащие в правой части плоскости, находятся из характеристического уравнения

01 )( =− −− psTe или 1)( =−− psTe .

36

Откуда следует, что условию kje π21= их нахождения соответствует

kjpsT π2)( =−− или jT

ksp

π2+= .

Так как

TTeeдp

д kj

T

kjsp

psT −=−=−+=

−− ππ

22

)( ]1[ ,

то ∑∞

−∞=+=

k T

kjsF

TsF )

2(

1)(*

π

или иначе

∑∞

−∞=+=

krjksFsF )()(* ω , где

Trπω 2= 2частота квантования.

Таким образом уравнение импульсного ключа имеет вид бесконечного ряда и, следовательно, непрерывный сигнал может быть восстановлен без существенных искажений лишь при наличие идеального фильтра. Для снижения влияния импульсного ключа необходимо, чтобы его частота работы была значительно выше частоты непрерывного сигнала.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Микропроцессорные системы автоматического управления/ В.А. Бесекерский, Н.Б. Ефимов, С.И. Зиатдинов и др.; Под общ. ред. В.А. Бесекерского. – Л.: Машиностроение, 1988.2365 с.

2. Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического регулирования. М.: Наука, 1975.2768 с.

3. Иванов В. А., Ющенко А.С. Теория дискретных систем.2М.: Наука, 1983.2 336с.

4. Э.Джури. Импульсные системы автоматического управления.2 М.:Физматгиз, 1963.2456 с.

5. Математические основы теории автоматического регулирования: Пособие для вузов/ В.А. Иванов, В.С. Медведев, Б.К. Чемоданов и А.С. Ющенко; Под ред. Б.К. Чемоданова. М.: Высшая школа, 1971.2808 с.

6. Цыпкин Я.З. Основы теории автоматических систем.2М.: Наука, 1977,2 560 с.

7. Изерман Р. Цифровые системы управления.2М.: Мир, 1984.2541 с. 8. Шипилло В.П. Операторно-рекуррентный анализ электрических цепей и систем.2М.: Энергоатомиздат, 1991. – 312 с.

9. Егоров В.Н., Корженевский-Яковлев О.А. Цифровое моделирование систем электропривода.2Л.: Энергоатомиздат, 1986. – 168 с.

37