เฉลย ENT 48 คณิตศาสตร์ ตอนที่ 1 1. ตอบ 4 แนวคิด = AB(BC) = AB = A – B สรุปว่าโจทย์ให ้ n[(AB)(BC)] = 4 ซึ่งคือ n(A – B) = 4 และ n(B) = 5 n(AB) = 2 จากสูตร n(A – B) = n(A) – n(AB) n(A) = n(A – B) + n(AB) = 4 + 2 = 6

n(P(A)) – n(P(B)) = )B(n)A(n 22 = 56 22 = 32 ตอบ 2. ตอบ 3

ขอบอก เรื่องทฤษฎีบทเศษเหลือ ปัจจุบันออกสอบทุกป ี(ปีละ 1 ข้อ) อย่าลืมอ่านไปนะครับ!

แนวคิด x – p หาร P(x) = 3x7x 2 เศษคือ 3p7p2

x + q หาร P(x) = 3x7x 2 เศษคือ 3)q(7)q( 2 โจทย์บอกว่า เศษเท่ากัน

3q7p2 = 3q7q2

q7p7)qp( 22 = 0 สูตรที่ใช ้ x – c หาร p(x) จะเหลือเศษ p(c) )qp(7)qp)(qp( = 0 ]7qp)[qp( = 0 แต่โจทย์ว่า p -q p – q + 7 = 0 p – q = –7 ตอบ 3. ตอบ 2 ข้อน้ีจัดว่ายากส าหรับคนที่ไม่เคยเจอโจทย์แบบนี้มาก่อน แต่ถ้าน้อง ๆ สังเกตข้อสอบ Ent ในช่วงหลัง ๆ จะออกลักษณะแบบนี้มาหลายครั้งแล้ว จึงควรท าความคุ้นเคยเอาไว้ครับ แนวคิด หรม. ของ x กับ 100 = 1

และ 100 = 52 22 สรุปว่า x คือจ านวนที ่ 2 หารไม่ลงตัว และ 5 หารไม่ลงตัว ใช้แผนภาพช่วย บริเวณแรเงา = AB = U – (AB)

จากกฎ ( ? ) =

ดังนั้น B(BC) = B

และอย่าลืมว่า A B = A – B

สูตรที่ใช ้(1) ( ? ) = (2)n(A – B) = n(A) – n(AB)

(3)n[P(A)] = )A(n2

หาร 5 ลง หาร 2 ลง

A B

A = xU2 หาร x ลงตัว = 2, 4, 6, …, 100 ผลบวกสมาชิกเซต A = 2 + 4 + 6 + … + 100

= 250 [2 + 100] = 2550

B = xU5 หาร x ลงตัว = 5, 10, 15, …, 100 ผลบวกสมาชิกเซต B = 5 + 10 + 15 + … + 100

= 220 [5 + 100] = 1050

AB = xU2 และ 5 หาร x ลงตัว = xU10 หาร x ลงตัว = 10, 20, 30, …, 100 ผลบวกสมาชิกเซต AB U = 1, 2, 3, …, 100

= 210 [1 + 100] = 550 ผลบวกใน U = 1 + 2 + … + 100

n(U) = 2100 [1 + 100] = 550

n(AB) = n(U) – n(AB) = n(U) – [n(A) + n(B) – n(AB)] ผลบวกก็เช่นกัน = 5050 – [2550 + 1050 – 550] = 2,000 ตอบ สูตรที่ใช ้ (1) เรื่องเซต n(AB) = n(A) + n(B) – n(AB)

(2) ผลบวก nS = 2n [ naa 1 ]

4. ตอบ 1 ข้อน้ีคล้ายกับข้อสอบ En มีนา 47 ที่พึ่งผ่านมา แบบการหาค่าความจริงแนวใหม ่ (p q) (p q) F T F (ท าต่อไม่ได้ล่ะสิ) เน่ืองจาก p q เป็นเท็จ

สรุปได้ว่า p, q มีค่าความจริงตรงข้ามกันซ่ึงอาจเป็น qจริงpเท็จ)2(qเท็จpจริง)1(

แต ่p q เป็นจริง (1) จึงเป็นไม่ได ้ pเป็นเท็จ, q เป็นจริง เท่านั้น พิจารณาตัวเลือก 1] (F T) r F r T ตอบเลยเหอะ 2] T (Fr) T F F 3] F~T F 4] F~T F 5. ตอบ 2 ข้อน้ีเป็นโจทย์ย้อนกลับของเร่ืองตัวบ่งปริมาณ

ผลบวก สูตร อนุกรมเลขคณิต

nS = 2n [ n1 aa ]

หรือ

nS = 2จ านวนพจน์ [พจน์แรก+ท้าย]

0 1

ส่งไปจับกับ {a, b} (ส่วนที่เหลือ 1 ตัว เลือกได้วิธีเดียว) เลือกได้วิธีเดียว)

เลือก 2 ตัว จาก 3 ตัว ที่เลือกไว้ใน * เพื่อจะไปจับกับ {a, b}

* เลือก 3 ตัวจาก {1,2,3,4,5}

!22

3

3

4

!22

3

3

4

การที่ ]03x2x[x 2 จะเป็นจริง x ทุกตัวใน U จะต้องแทนแล้วจริง นั่นก็คือ U เซตค าตอบอสมการ

03x2x 2 0)1x)(3x( เซตค าตอบอสมการ U ในตัวเลือก 2 เป็นสับเซตของเซตค าตอบ 6. ตอบ 3 f(x) = x + 1 )x(fg = 1x จะหา )x(gf ได ้ = )x(f แสดงว่า g(x) = x = 1x

หา fgR

จาก )x(fg = 1x y = 1x จะได้ว่า y 0 fgR = yy 0

หา gfR

จาก )x(gf = 1x y = 1x เน่ืองจาก x 0 1x 1 y 1

fgR

gfR

fgR – gfR คือ [0, 1) ตอบ

วิธีลัด fgR – gfR แสดงว่า ค่าที่ใช้ได้ต้องอยู่ใน fgR

แต่ไม่อยู่ใน gfR

ดูช้อย fg : y = 1x สังเกตว่า y = 1 ใช้ได้ (x=0ไง) ข้อที่ถูกต้องม ี y = 1 (ตัดตัวเลือก 2, 4) และสังเกตว่า y = -1 ก็เป็นไปไม่ได ้ ดังนั้น ตัดข้อ 1 ตอบข้อ3 ไปเลย จิ

7. ตอบ 4

การหา จ านวนสมาชิกเซต A ก็คืจ านวน f ที่ fR = {a, b} นั่นเอง

มีสมาชิก 3 ตัว สร้างได้ เมื่อค านวณแล้วจะได ้ = 4(3)(2) = 24 วิธ ี ตอบ

-3 0

-2 -1

-1

0

1

8. ตอบ 2

แนวคิด )x(g 1 = 1x f(2x – 1) = 4x – a

จะได ้ g(x) = 1x 2 f(x) = 21x4 – a ........(ระบบ )

= 2x + 2 – a

)a(gf = f(g(a)) = 20a2 (โจทย์บอกมา)

)1a(f 2 = 20a2

a2)1a(2 2 = 20a2

a22a2 2 = 20a2

20aa2 = 0 (a – 5) (a – 4) = 0 a = 5, – 4 แต่โจทย์ว่า a > 0 a = 5 f(x) = 2x + 2 – a f(x) = 2x – 3 f(a) = 2a – 3 = 2(5) – 3 = 7 ตอบ ความรู้ที่ต้องม ี1. หา f(x) จาก f (ไม่ใช ่x ) 2. )x(gf = f(g(x)) 3. การหา Inverse ของ f(x) 9. ตอบ 4 (ข้อน้ีเป็นข้อสอบ En 43 มี.ค. ซึ่งคล้าย ๆ En 47 ม.ีค. เลยเอามาให้ด)ู วิธีจริง วาดรูป จาก Law of sine

75sin20 = 60sin

AB

AB =

75sin60sin20

AB =

22132320

AB =

1322310

จากสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC จะได ้ sin 45 = ABh

หรือ h = AB sin 45 ….(แตก AB sin แบบ physics )

พ.ท.สามเหลี่ยม ABC = 21 ฐาน สูง

= )h)(AC(21

= 21

13320)20(2

1

A D C

B

75

60 45

มุม 15, 75

ควรจ าได้เพราะออกสอบบ่อย

13

13

15

75

22

= 133200

ตอบ

วิธีลัด 20 = h[cot 45 + cot 60]

พท. =

31120)20)(20(2

1

= 133200

ตอบ

10. ตอบ 2

ให้เส้นตรง 1L ผ่านจุด (– 4, 1) และ (0, 38 )

เส้นตรง 2L มีสมการเป็น 5x – 12y – 20 = 0 ถ้าเส้นตรง 1L และ 2L สัมผัสวงกลม C ข้อใดเป็นสมการวงกลม C

1L ผ่านจุด (– 4, 1) และ (0, 38 ) ความชัน 1L = )4(0

138

= 12

5

สมการ 1L คือ 5x – 12y + k = 0

ผ่านจุด (– 4, 1) : 5(-4) – 12(1) + k = 0 k = 32 สมการ 1L : 5x – 12y + 32 = 0 2L : 5x – 15y – 20 = 0 จะเห็นได้ว่า 1L ขนานกับ 2L ดูจากช้อย 1, 3, 4 จะม ี (h, k) วงกลม = (–6, 3) …. แต่ข้อ 2 (h, k) = (6, 3) ลอง (h, k) = (–6, 3) ระยะ (h, k) ถึง 1L = ระยะ (h, k) ถึง 2L

22 125

32)3(12)6(5

= 22 125

20)3(12)6(5

ซึ่งไม่จริง จึงตอบ 2 เลย

11. ตอบ 1

เซต A 1xx 66 = 2x1xx 222

)61(6x = )221(2 2x

76x = 72x

x6 = x2 x = 0 A = { 0 } (จริง ๆ น่าจะตอบข้อ 1 เลย เพราะ 0 คูณอะไรก็ได ้ 0) เซต B ควรรู ้สูตรลัด dxlogloglog abc

60 45

20

h

A B

h

x

สูตร Genius

x = h[cotA + cotB]

(h,k)

1L

2L

dcbax

ดังนั้น )1x2(logloglog 327 = 0

2x – 1 = 0723 = 23

2x – 1 = 9 x = 5 B = { 5 } ผลคูณ สมาชิกเซต A กับ B = 0 5 = 0 ตอบ

15x12x4x4 2 = 0 15x12x4x4 2 = 0 12. ตอบ 3 ไม่อยากบอกเลยว่า เรื่อง cofactor ของเมตริกซ์ นี้ออกสอบทุกป ี ข้อน้ีจึงไม่ควรพลาดนะ

แนวคิด จาก A =

0

7

6

2

0

4

1

2

5

)A(C13 = 2102

)1( 31 )A(C13 = 21

45)1( 32

= (1) [– 4 – 0] = – 4 = (–1) [10 – 4] = –6

จึงได้ว่า B =

xx625x24

2

ซึ่ง det B = 0 (เพราะโจทย์บอกว่า B เป็นเมตริกซ์เอกฐาน) คูณลง – คูณขึ้น = 0

)25x2)(6()xx(4 2 = 0

15x12x4x4 2 = 0 154 2 x16x = 0

ผลบวกค าตอบ = 4)16(

= 4

13. ตอบ 1 (เรื่องนี้ออก En ปีละ 1 ข้อ มาตลอดนะครับ) วาดรูป จุดมุมม ี 4 จุด

จุด A เป็นจุดตัด 2x + 3y = 100 -----

y – x = 5 ----- ซึ่งแก้สมการได ้ x = 21 , y = 26 A (21, 26)

A

D

B

C y = 2 (60,0) (10,0)

(0,10)

(0,40)

x+y = 10 2x+3y = 120

x–y = 5

จุด B เป็นจุดตัด x + y = 10 ………. จุด C x + y = 10 แต ่ y = 2

y – x = 5 ………. C(8, 2)

ซึ่ง B = )215,2

5( ฝากคิดเองนิดนึงนะ จุด D 2x + 3y = 120 แต ่ y = 2

D = (57, 2) น า 4 จุดมุม แทนลง P

P = 3x + y (21, 26) P = 89

)215,2

5( P = 15 min

(8, 2) P = 26 (57, 2) P = 173 max

14. ตอบ 3 เรื่องขนาด vector ออกสอบทุกปีเช่นกัน (อย่าพลาดนะ) ถ้าก าหนด AB = v AB = u จะได ้ AC = vu ซึ่ง vu = 5 BD = vu ซึ่ง vu = 1

จาก 2vu = vu2vu 22 แทนส่ิงที่รู้ลงไป

25 = vu2vu 22 ---------

จาก 2vu = vu2vu 22

21 = vu2vu 22 ---------- – 24 = vu4 6 = vu ดังนั้น vu = ABAD = 6 ตอบ

วิธีลัด ใช้สูตรลัด 2vu – 2vu = vu4

22 15 = vu4 vu = 6 ตอบเลยอิอ…ิ 15. ตอบ 1

z9iz4 1 = 26

z9zi4 = 26

a = max = 173

b = min = 15

a – b = 173 – 15 = 158

A B

C D

u

v

0z,z1z 1

zzz9i4 = 26

zzz9i4 = 26

2z9i4 = z26

222 )z9(4 = z26

4z8116 = 2z72 ยกก าลัง 2 สองข้าง

16z72z81 24 = 0

22 )4z9( = 0

4z9 2 = 0

2z = 94

z = 32 ตอบครับ

16. ตอบ 4

ข้อความ ก. ถูก ให ้ z = a + bi 2z = 22 ba

z = a – bi 2z = 22 ba

zz = 2a 2zz = 2a4

zz = 2bi 2zz = 2b4

ดังนั้น 22 zzzz = 22 b4a4

= )ba(2)ba(2 2222

= 22 z2z2 วิธีลัด อาจแทนค่า z ง่าย ๆ เช่น 3 + 4i ดูว่าใช้ได้จริงหรือไม ่ (ท าเองนะ)

ข้อความ ข. ผิด z = 2i

23 50z = 6

2sini62cos

z = 66

s inic o s = 3sini3cos

50z = 650sini650cos = i33

21

หมายเหต ุ - เรื่องสมบัต ิ z - เรื่องทฤษฎีเดอมัวร ์ ออก EN ประจ า (ไม่ควรพลาดเช่นกัน) 17. ตอบ 4

33334

n n...3211nlim

=

24

n21nn1nlim

.....ตรงนี้คือEN39

= .........n4

1.........nlim 4

4

n

ลัด ก าลัง เท่า ตอบผลหาร ส.ป.ส. = 411 = 4

วิธีจริง nb = x31x3x1x4 22

zzz

22 )พส่วนจินตภา()ส่วนจรงิ(z

= )x1x3x()x21x4( 22 =

x1x3x

x1x3x)x1x3x(x21x4

x21x4)x21x4(2

222

22

= x1x3xx1x3x

x21x4x41x4

2

22

2

22

nn

blim

= xxx

xlim

xxlim

13

13

214

1

22

= 230

วิธีลัด nb x31x3x1x4lim 22

n

= 23 ทันท ี (ใช้สูตร GNM.)

โจทย์หา )ba(lim nnn

= 234

= 211 = 5.5

หมายเหต ุ ข้อ 17 นี ้ ผู้ออกเลียนแบบมาจาก EN 47 ม.ีค. ที่ออก Concept นี ้18. ตอบ 3

)x(flim3x

)ax(flim3x

f(3)

3x39x3lim

3x

แทนได ้ 00 DIFF

3 x = 3

x323 6

= )a6ax(lim 2

3x

= 9a – 6a = 3a

= 69)3(a 2 = 9a – 6a = 3a

ฟังก์ชันต่อเน่ือง “3 กรอบ ตอบต้องเท่ากัน” f(x) 6 = 3a = 3a a = 2

แทนค่า f(x) = 12x2 2 , x 3 f(x) = 4x , x 3 f(a) = f(2) = 8 ตอบ 19. ตอบ 2

เส้นตรง x + 4y = 10 มีความชัน = 41 เส้นที่ตั้งฉากความชัน = 4

เส้นโค้ง y = 23 xx2

y = x2x6 2

หาm ณ จุดใดๆ = x2x6 2 เส้นสัมผัสความชัน = 4

x2x6 2 = 4

xx3 2 = 2 (3x + 2)(x – 1) = 0

x = 1, 32

ดังนั้น จุดสัมผัสในควอดรันต์ที ่1 คือ (1, 1) สมการเส้นสัมผัส มีความชัน 4 ได ้ : 4x – y + c = 0 ผ่าน (1, 1) c = –3 สมการ 4x – y – 3 = 0 ระยะตัดแกน y (x = 0) –y – 3 = 0

Y = –3 ตอบ 20. ตอบ 1 หมายเหต ุ ข้อสอบ Calculus ปัจจุบันจะนิยมออกผสมกับฟังก์ชัน fg,gf ประจ าเลยนะ แนวคิด จาก f(x) = 1x3

)x(gf = 1x 2

จะได ้ g(x) = 31)1x( 22 = 3

1)1x(31 22

f(x) + g(x) = )x2)(1x(32

1x323 2

f(1) + g(1) = 38

43 = 12

41

21. ตอบ 2 แนวคิด รูปแบบการ Integrate พื้นที่ออกทุกปีนะครับ

y = 10ax4xa 22

พื้นที ่ A = 10

22 dx)10ax4xa(

= 10

232 )x10ax23xa(

= 10a23a2

สมการ A = 10a23a2

หาค่าน้อยสุด

A = 23a2 = 0

2a = –6 a = –3

พื้นที่น้อยสุด คิดจาก a = –3

ซึ่งคือ A = 10)3(23)3( 2

= 7 ตอบ

22. ตอบ 3 (ห้ามตอบข้อ 4 นะ) เรื่องนี้ถึงยังไม่ได้เรียน แต่น้องก็อย่าลืมอ่านไปนะ (เพราะเรื่องนี้ชอบไปเป็นขาแจมกับเร่ืองอื่น) และโจทย ์ หยิบของเน่ีย ออกทุกปีเลย! แนวคิด P (ได้สีเดียวกัน) = P(ได้สีขาว 2) + P(ได้สีแดง 2) + P(ได้สีน้ าเงิน 2)

=

21225

21224

21223

= 6610

666

663

= 6619

23. ตอบ 4

แนวคิด เลือกเลข 4 ตัวจาก 8 ตัว ท าได ้

48

= 70 วิธ ี

เหตุการณ์ที่ผลคูณของเลข 4 ตัว คูณกันน้อยกว่า 0 และเป็นจ านวนคี ่ คือ หยิบได้เลขคี่ทั้งหมด 4 ตัว ซึ่งม ี 1 วิธ ี

ความน่าจะเป็น = 701 (ง่ายเนอะ)

24. ตอบ 3 แนวคิด หลายคนชอบทิ้งความน่าจะเป็น ทั้ง ๆ ที่ข้อน้ี คือเรื่องเซตแท ้ๆ ให ้ A = เหตุการณ์ที่หลอดไฟฟ้าห้องน้ าเสีย B = เหตุการณ์ที่หลอดไฟฟ้าในครัวเสีย จาก P(AB) = P(A) + P(B) – P(AB) P(AB) = 0.1 + 0.2 – 0.25 = 0.05 25. ตอบ 2 ปรับตารางให้คุ้นเคยก่อนนะ

ช่วง f ความถี่สะสม 46 – 55 56 – 65 66 – 75 76 – 85 86 – 95 96 – 105

4 x y 10 7 3

4 4 + x

4 + x + y 14 + x + y 21 + x + y 24 + x + y

24 + x + y Note ข้อน้ีน้อง ๆ ควรรู้ว่า ถ้าต าแหน่ง Q,D,P ที่จะหาพอดีต าแหน่งสุดท้ายของชั้นแล้ว (วิธีลัด) ค่า Q, D, P ของต าแหน่งชั้น = ขอบบน ได้เลย

1Q ตรงกับต าแหน่งที ่ )(4

1N

= )yx24(41

Med ตรงกับต าแหน่งที ่ )(2

1N

= )yx24(21

1Q = 65.5 บังเอิ้น บังเอิญ ตรงกับขอบบนของชั้น 56 – 65

ความถี่สะสม 4 + x = )yx24(41 …………..(ลัดเลย)

16 + 4x = 24 + x + y 3x – y = 8 …………… Med = 75.5 บังเอิญตรงขอบบนชั้น 66 – 75 (เหมือนเดิมเลย)

ความถี่สะสม 4 + x + y = )yx24(21

8 + 2x + 2y = 24 + x + y x + y = 16 …………… แก้ และ ได ้ x = 6, y = 10 N = 40 จ านวน

ต่อไปหา 3Q ซึ่งตรงกับต าแหน่ง 30)40(43)N(4

3

ซึ่งอยู่ในชั้นที ่ 4 (ต าแหน่งสุดท้ายของชั้นอีกแล้ว) 3Q ตรงขอบบน คือ 3Q = 85.5

โจทย์ถาม ส่วนเบี่ยงเบนควอไทล์

Q.D. = 2QQ 13

= 25.655.35

= 10 ตอบ 26. ตอบ 2

แนวคิด สัมประสิทธิ์ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย = xD.M

แทนค่า 1.2 = x4.14

x = 12

ต่อไปหา S.D. = 2

2

)(xN

x

= 2)12(101530

= 3

สัมประสิทธิ์การแปรผัน = x.D.S

= 123 = 4

1 = 0.25

27. ตอบ 1 ลัด จาก z ต่างกัน 1.96 – (–0.44) = 2.5

0.17 0.475 0.33

SD=10

z = 1.96

5.47P

z = 1.44

33P

ซึ่งก็คือคะแนนต่างกัน 2.5 (SD) = 2.5 (10) = 25 คะแนน คะแนนต่างกัน = พิสัย = 25

สูตร 1. Z = .D.Sxx ออกทุกป ี

2. พิสัย = minmax xx 28. ตอบ 1 4647 I,I = ดัชนีราคาอย่างง่ายแบบใช้ค่าเฉล่ียราคาสัมพัทธ์ป ี47 และ 46 โดยเทียบกับป ี45 (ปีฐาน)

47I = 3

100PP4547

=

31001250

1125100150018751002000

2360

= 111

47I = 3

1001250

1250100

1500

1800100

2000

a

= 3220a05.0

โจทย์บอกว่า 4647 II = 1

111 – )3200a05.0( = 1

333 – (0.05a + 200 ) = 3

แก้หา a = 05.0110 = 2,200 ตอบ

ตอนที่ 2 ข้อ 1 – 8 เป็นข้อสอบแบบอัตนัย ข้อละ 2 คะแนน 1. ตอบ 15 ข้อน้ีถือว่าง่ายมาก ๆ หวังว่า น้อง ๆ คงจะท ากันได้นะครับ

มาดูเซต A กัน 16x6x 2 0 เซต B 2 – x < 5 (x – 8) (x + 2) 0 x – 2 < 5 –5 < x – 2 < 5 –2 8 –3 < x < 7 ดังนั้นเซต A = [-2, 8] ดังนั้นเซต B = (-3, 7)

+ – +

a – b = b – a นะจ๊ะ

– 3

– 2 8 A

B

A – B 8 7

7

A – B = [7, 8] = [a, b] ดังนั้น a + b = 7 + 8 = 15 2. ตอบ 0.5

5ecarccos5secarc21arcsinsin

= 221arcsinsin อยู ่ 2Q

= 21arcsinsin

= 21 = 0.5

หมายเหต ุปัจจุบันเร่ือง arc เน่ีย ออก En เป็นประจ า ดังนั้นน้อง ๆ ควรเตรียมตัวอ่านไว้เยอะ ๆ นะครับ วิธีลัด น้อง ๆ ควรมีความรู้ว่า arcsin x + arccos x

arcsec x + arccosec x = 2

arctan x + arccot x

ดังนั้น arcsec 5 + arccosec 5 = 2 ทันท ี ก็จะเร็วขึ้น

3. ตอบ 2 ข้อน้ีง่ายอีกแล้ว (แรก part 2 คะแนน ไม่อยากใจร้ายอ่ะ)

วิธีจริง 199y64x18y16x9 22 = 0 วิธีลัด 0FEyCxByAx 22

)4y4y(16)1x2x(9 22 = 199 + 9 – 64 จุดศูนย์กลางคือ B2E,A2

C

22 2)16(y1)9( x = 144 ดังนั้น 199y64x18y16x9 22 = 0

9)2y(

16)1x( 22

= 1 จุดศูนย์กลางคือ )16(264,)9(2

)18( = (1, 2)

เป็นไฮเปอร์โบลามีจุดศูนย์กลางที ่ (1, 2) และ น าไปหา d = 2 เช่นกัน ระยะทางส้ันที่สุด (ตั้งฉาก) จากจุด (1, 2) ไปเส้นตรง 3x + 4y – 21 = 0

คือ 16921)2(4)1(3d

= 2

4. ตอบ 18

ให ้ xlog2 = A จะได้ว่า 2logx = A1

จากโจทย ์ 2log2xlog x2 3

A2A 3

3A2A 0

A32A 2 0 เน่ืองจาก A 0

2A3A 2 0 (A – 2) (A – 1) 0

ให ้A = arcsec 5 น ามาวาดเป็นสามเหลี่ยม

1

สังเกตได้ว่า B = arccosec 5

A + B = 90

นั่นคือ arcsec 5 + arccosec 5 = 2

A

B

5 24

1 A < 2 1 xlog2 2 , x 0

1 xlog 2 4

41 2x2 2 x 16 เซตค าตอบ (2, 16) a, b คือค่าขอบเขตบนน้อยที่สุด และขอบเขตล่างมากที่สุด a + b = 16 + 2 = 18 Note ข้อสอบ En ระบบใหม ่ นิยมออก อสมการ log เป็นอัตนัย 2 คะแนนบ่อย ๆ พี่จึงน ามาเก็งไว ้ 1 ข้อ นะครับ 5. ตอบ 5

จาก (2A – B ) (A + 2B ) = 5 2A A + 4A B – 2B A – 2B B = 5 2A 2 + 3A B – 2B 2 = 5 แทนค่า 2)5(2 + 3A B – 2)10(2 = 5 A B = 5 จากสูตร A +B 2 = A 2 + B 2 + 2A B u A +B 2 = 5 + 2(5) + 10 A +B = 5 6. ตอบ 8

A =

110

114

111

จะได ้ เมตริกซ์ของไมเนอร์ คือ Mij =

532

112

440

…..จากการปิดแถว_ปิดหลัก

จะได ้ เมตริกซ์ของโคแฟคเตอร์คือ Cij =

532

112

440

……..จากการ(-1)I+j Mij

จะได ้ เมตริกซ์ผูกพันธ ์ Adj(A) =

514

314

220

……..จากการ Transpose Cij

det (AdjA) = = 514

314

220

14

14

20

=

-8+ 0 -40

0+ 24 -8

คูณลง-คูณขึ้น =16 - -48 = 64

det (2

adjA ) = )det(2

13

adjA

= 8)64(8

1

7. ตอบ 1.33

parabola which Directrix y = 45

Vertex (0, 1)

para eQuation is 2)0x( = )14(414

2x = – y + 1

Y = 2x1 Find the area covered by parabola & x – axis

A =

1

1

2 dx)x1(

= 1x1x

)3xx(3

= )311()3

11(

= 34 = 1.33 Ans (แปลออกป่ะ?)

8. ตอบ 9.8 (หน่วยพันล้าน) ข้อน้ีจัดว่าง่ายมากอีกข้อ เพราะคิดตรง ๆ เลย (เพียงแต่น้อง ๆ หลายคนไม่ได้อ่านมาเพราะเป็นสถิต ิม.6)

พ.ศ. x (ทอนค่า) มูลค่า (y) xy 2x 2542 2543 2544 2545 2546

–2 –1 0 1 2

1 3 4 5 9

–2 –3 0 5 18

4 1 0 1 4

0x 22y 18xy 10x 2 สมการหลัก y = mx + C (เส้นตรง) หา m , C จาก y = nCxm 22 = m(0) + 5C xy = xCxm 2 18 = m(10) + C(0)

C = 522 = 4.4 และ m = 10

18 = 1.8

สมการความสัมพันธ ์ y = 1.8x + 4.4 ปี 2547 (x = 3) y = 1.8(3) + 4.4 = 9.8 (หน่วยพันล้าน)

วิธีลัด det (AdjA)= (detA)มิติ-1

= (8) 3 – 1 .....ลองหา detA เอง = 64

det (2

adjA) = )det(

2

13

adjA

= 8)64(

8

1 เท่ากัน