Upload
others
View
15
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
Σελίδα 1 από 25
Επιμέλεια : Μπρέστας Σταύρος
17833
α) Πρέπει :
8 0 8
& 8 8
8 0 8
x x
x
x x
,άρα 8,8f .
β)
8,8 :
8,8 & 8 8 8 8
8 8
x
x f x x x x x
x x f x
γ) Γνησίως φθίνουσα είναι η III γραφική παράσταση.
Έχει μέγιστο στο -8 το 8 16 0 4f .
Έχει ελάχιστο στο 8 το 8 0 16 4f .
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
Σελίδα 2 από 25
Επιμέλεια : Μπρέστας Σταύρος
δ) Γραφικά :
Επειδή ηγραφική παράσταση της 3g x f x προκύπτει από αυτή
της f x με μετατόπιση 3 μονάδων κάτω δεν έχει κέντρο συμμετρίας το
0,0 , ούτε άξονα συμμετρίας τον y’y. Επίσης, επειδή ηγραφική
παράσταση της 3h x f x προκύπτει από αυτή της f x με
μετατόπιση 3 μονάδων αριστερά δεν έχει κέντρο συμμετρίας το 0,0
, ούτε άξονα συμμετρίας τον y’y.
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
Σελίδα 3 από 25
Επιμέλεια : Μπρέστας Σταύρος
17834
α) Έστω x η ηλικία της μητέρας, y η ηλικία του παιδιού και z η ηλικία
του πατέρα. Τότε ισχύει :
3
11
3
115
x y
z
y
x y z
β)
3
11 113 115 9 3 11 345 23 345
3 3
115
15
1115 55
3
45
x y
z y y y y y y y y
x y z
y
z
x
Άρα η ηλικία της μητέρας είναι 45 έτη, η ηλικία του παιδιού είναι 15 έτη
και η ηλικία του πατέρα είναι 55 έτη.
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
Σελίδα 4 από 25
Επιμέλεια : Μπρέστας Σταύρος
17835
α)
2 3
2 5 3
x y
x y
2 21 25 2 2 5 4 9 3 3
2 5D
3 2
15 3 2 15 3 6 9 3 3 33 5
xD
1 3
3 3 2 3 3 6 9 3 3 32 3
yD
0 3 3 0 3 3D
Διακρίνουμε περιπτώσεις:
Αν 0 3 & 3D
Έχουμε μοναδική λύση δηλαδή οι ευθείες τέμνονται.
Αν 0 3 3D
Για 3 0 & 0x yD D οι ευθείες ταυτίζονται.
Για 3 18 0 & 18 0x yD D οι ευθείες είναι παράλληλες.
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
Σελίδα 5 από 25
Επιμέλεια : Μπρέστας Σταύρος
β) Για 0 3 & 3D
3 3 3
3 3 3
3 3 3
3 3 3
x
y
Dx
D
Dy
D
δηλαδή οι ευθείες τέμνονται στο
3 3,3 3
.
γ)
3 3 3 3, : 2 3 2 33 3 3 3
3 33 3 1 3 3 0
3 3
x y
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
Σελίδα 6 από 25
Επιμέλεια : Μπρέστας Σταύρος
17837
α) max
max
1 3 1 311 3
2 43
f
f
2 20 2 1
42
4
β) 32
xf x
3 3 3 12 2
2 2
2 22 2 2 2
12 2
2 2 2 2
4 1 , .
x xf x
x
x x
x x
x
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
Σελίδα 7 από 25
Επιμέλεια : Μπρέστας Σταύρος
17838
α)
2
2 2
21,2
5 2 28 21 0 5 2 1 28 21 0
10 28 16 0 5 14 8 0
:
202 1 .
14 6 105 14 8 0
8 410
10 5
y
y y y
άρα 4
5
β) i)2
2 2 2 24 9 31 1
35 25 55
02
2 2
2 2 4 3 16 9 72
5 5 25 25 25
3 4 242 2 2
5 5 25
.
ii) 13 1 12 25
2524 7 18 17
18 1 2525 25
.
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
Σελίδα 8 από 25
Επιμέλεια : Μπρέστας Σταύρος
17839
α) 2 21 31 3 4 2 2
1 1D
3 33 3 9 3 6 3 2
3 1
1 33 3 3 3 6 3 2
1 3
x
y
D
D
Αν 0 2 2 0 2D το σύστημα έχει μοναδική λύση :
3 2 3
2 2 2
3 2 3
2 2 2
xo
y
o
Dx
D
Dy
D
άρα : o ox y .
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
Σελίδα 9 από 25
Επιμέλεια : Μπρέστας Σταύρος
β) Αν 0 2 2 0 2D .
Για 2 0 & 0x yD D άρα το σύστημα έχει άπειρες λύσεις.
3 33 3 3 3
3 3
x yx y x y
x y
.
Επομένως οι άπειρες λύσεις είναι : , 3 3 , ,x y .
Για 2 12 0 & 12 0x yD D άρα το σύστημα είναι
αδύνατο. Δηλαδή δεν έχει λύση.
γ)
Για 3 το σύστημα έχει μοναδική λύση. Άρα οι ευθείες τέμνονται.
Για 2 το σύστημα έχει άπειρες λύσεις. Άρα οι ευθείες
ταυτίζονται.
Για 2 το σύστημα είναι αδύνατο. Άρα οι ευθείες είναι
παράλληλες.
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
Σελίδα 10 από 25
Επιμέλεια : Μπρέστας Σταύρος
17840
α) 1 2
2 21
D
1 22
1 11 1
1
x
y
D
D
Αν 0 2 0 2D το σύστημα έχει μοναδική λύση :
2 2
1 1
2 2
x
y
Dx
D
Dy
D
Αν 0 2 0 2D 2 0 & 1 0x yD D είναι αδύνατο.
β) Για 1
11 011 & .0
0 0,21
x
y
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
Σελίδα 11 από 25
Επιμέλεια : Μπρέστας Σταύρος
γ) Για 1 1
1
1 1
3 3
2 2
3 3
x
y
αλλά
2 2
2 2 1 2 1 4 51 1 1 1
3 3 9 9 9
άτοπο.
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
Σελίδα 12 από 25
Επιμέλεια : Μπρέστας Σταύρος
17841
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
Σελίδα 13 από 25
Επιμέλεια : Μπρέστας Σταύρος
α) max min8 6 14 & 8 6 2h m h m
max 14 8 6 14 130 30
2 230 2 30 2 30 2
12 2 60 15 , .
30 2 30 2
t th t h h t
t t t
t tt
Αλλά 0 180t , άρα : 15 , 75 , 135t s t s t s
min 2 8 6 2 130 30
2 230 2 30 2 30 2
12 2 60 15 , .
30 2 30 2
t th t h h t
t t t
t tt
Αλλά 0 180t , άρα : 45 , 105 165t s t s t s
β) max min 14 2 126
2 2 2
h hR m
.
γ) 2 60
60
30
s
. Άρα θα κάνουν 3 γύρους.
δ)
t 0 15 30 45 60 75 90
h(t) 8 14 8 2 8 14 8
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
Σελίδα 14 από 25
Επιμέλεια : Μπρέστας Σταύρος
17842
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
Σελίδα 15 από 25
Επιμέλεια : Μπρέστας Σταύρος
α) 2 21 1
0 16 0 16 16 12 2
f c d c d και
21
4 0 4 0 22
f c d
2 2
22
2 2
22 2 2 2 2
2
1 116 16
1 1 12 2 4 162 1 1 2 2
4 0 42 2
4 32 16 8 32 16 8 32
8 48 6
1& 4 6 2
2
c d c d
c c
c d c d
c c c c c c c c
c c
d
Άρα 21
6 22
f x x
i.
2 210 6 2 0 6 4 6 2
2
8 4
f x x x x
x x
Άρα τέμνει τον x’x στο 8,0 και στο 4,0 .
Για 0x 21
0 0 6 2 18 2 162
f
Άρα τέμνει τον y’y στο 0,16 .
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
Σελίδα 16 από 25
Επιμέλεια : Μπρέστας Σταύρος
ii. Η f προκύπτει από τη g με μετατόπιση 6 μονάδες δεξιά και2
μονάδες κάτω.
iii. Η f έχει ελάχιστο στο 6 το 6 2f .
Η f είναι γνησίως φθίνουσα στο , 6 και γνησίως αύξουσα στο
6, .
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
Σελίδα 17 από 25
Επιμέλεια : Μπρέστας Σταύρος
17843
α)
i. max min5 & 1f f
ii. 4
β) max
min
552 4 2 & 3 2 & 3
11
f
f
Από το σχήμα συμπεραίνουμε ότι : 2 & 3 .
2 14 4
2
.
γ) Για 1
3 22
f x x
, ισχύει :
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
Σελίδα 18 από 25
Επιμέλεια : Μπρέστας Σταύρος
7 1 7 1 3
3 2 32 2 2 2 2
1 1 1
2 2 2 6
1 12 2 ,
2 6 2 6
54 4 ,
3 3
f x x x
x x
x x
x x
Αλλά από το σχήμα βλέπουμε 5 6x άρα : 5 17
43 3
x x
.
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
Σελίδα 19 από 25
Επιμέλεια : Μπρέστας Σταύρος
17844
α)
22
2 2 2 2
2 2 2
1 11 1
1 1
2 1 1 0 2 2 0 0 1
x y y xx x
x y x y
x x x x x x x
Για 0 1x y
Για 1 0x y
β)
2 2
0 & 1 11
1 & 0 21
0 20
11
x
0 21 3
10 2
x
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
Σελίδα 20 από 25
Επιμέλεια : Μπρέστας Σταύρος
17846
α)
x 0 4
2
3
4
5
4
3
2
7
4
2
f x 1 2
2
0 2
2
-1 2
2
0 2
2
1
g x 1 0 -1 0 1 0 -1 0 1
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
Σελίδα 21 από 25
Επιμέλεια : Μπρέστας Σταύρος
β)
Από τη γραφική παράσταση παρατηρούμε ότι έχουμε 4 λύσεις.
2 2 2 2 2 ,
22 1 2 ,
3
x x x x x x
x x
1
0,2 0 2 0 2 2
0 1
& 0 1
x x
άρα 0 0
1 2
x
x
2 2
0,2 0 2 0 2 0 2 63
0 3
& 0 1 2 3
x x
άρα
0 0
21
3
42
3
3 2
x
x
x
x
Δηλαδή 2 4
0 23 3
x x x x
.
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
Σελίδα 22 από 25
Επιμέλεια : Μπρέστας Σταύρος
17850
α) Έστω x η ηλικία από τα δίδυμα κορίτσια και y η ηλικία του αγοριού.
Τότε ισχύει :
1. 14 2 14 1
2. 24 2
3. 2 3
x x y x y
x y
x y
β)
2 21,2
2 141 2 14 24
2 14242 24
47 12 24 14 7 12 0
32
3 8
4 6 3 2
x yx y
xx y xy
x
x x x x x
x y
x y x y
Άρα τα δίδυμα κοριτσια είναι από 3 ετών και το αγόρι 8 ετών.
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
Σελίδα 23 από 25
Επιμέλεια : Μπρέστας Σταύρος
17852
α) Ισχύει : max min100 , 20 & 6sech cm h cm .
62
623
β) max
min
60100100 60
402020 40
h cm
h cm
( Επειδή η ταλάντωση γίνεται ( ελάχιστο – ηρεμία – μέγιστο – ηρεμία –
ελάχιστο 0 ). Άρα : 40
60
γ) Άρα 40 603
th t
14 6 2 2
14sec 14 40 60 40 603 3
2 2 140 2 2 60 40 60 40 60 20 60 80 .
3 3 2
t h
cm
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
Σελίδα 24 από 25
Επιμέλεια : Μπρέστας Σταύρος
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
Σελίδα 25 από 25
Επιμέλεια : Μπρέστας Σταύρος
17855
α) 2 8
8
4
h
β)
5 2
5 5 12 13 12 13 12 13 12 13 13 6 24 4 4 2
t f cm
8
8 8 12 13 12 2 13 12 2 13 12 0 13 134
t f cm
γ) min 12 13 1f cm
min 1 12 13 1 12 124 4
3 3 31 2 2
4 4 2 4 2 4 2
8 6 8 4 6
8 6 1 8 2 2 ,
t tf t f f t
t t t t
t t
t t
0 8
0 8
1 8 6 6sec
2 8 2 6sec
t
t
t t
t t
Άρα για 6sect έχουμε min 1f cm .