https://bohdan-books.com/catalog/book/99375/

1

Ì.². Áóðäà

Ãåîìåòð³ÿ̳í³-ï³äðó÷íèê

äëÿ ó÷í³â 10 êëàñóñåðåäíüî¿ øêîëè

ÒÅÐÍÎϲËÜÍÀÂ×ÀËÜÍÀ ÊÍÈÃÀ � ÁÎÃÄÀÍ

2002

2

ÁÁÊ 22.1ÿ7274.262.21Á53

© Áóðäà Ì.²., 2002© Íàâ÷àëüíà êíèãà � Áîãäàí, ìàêåò, õóäîæíº îôîðìëåííÿ, 2002

Ãîëîâíèé ðåäàêòîðÁ. ª. Áóäíèé

Áóðäà Ì.².Á53 Ãåîìåòð³ÿ. ̳í³-ï³äðó÷íèê äëÿ ó÷í³â 10 êëàñó ñå-

ðåäíüî¿ øêîëè. � Òåðíîï³ëü: Íàâ÷àëüíà êíèãà �Áîãäàí, 2002. � 64 ñ.

I SBN

ÁÁÊ 22.1ÿ72

Îõîðîíÿºòüñÿ çàêîíîì ïðî àâòîðñüêå ïðàâî.Æîäíà ÷àñòèíà äàíîãî âèäàííÿ íå ìîæå áóòè âèêîðèñòàíà

÷è â³äòâîðåíà â áóäü-ÿêîìó âèãëÿä³ áåç äîçâîëóàâòîðà ÷è âèäàâíèöòâà

I SBN

3

Ç̲ÑÒÏåðåäìîâà .........................................4

². Âñòóï äî ñòåðåîìåòð³¿1. Ùî âèâ÷àºòüñÿ â ñòåðåîìåò𳿠..............52. Àêñ³îìè ñòåðåîìåò𳿠..........................73. Çàäà÷³ íà ïîáóäîâó â ïðîñòîð³ ...............9

²². Ïàðàëåëüí³ñòü ïðÿìèõ ³ ïëîùèí1. Ïàðàëåëüí³ñòü ïðÿìèõ â ïðîñòîð³ .........12. Ïàðàëåëüí³ñòü ïðÿìî¿ ³ ïëîùèíè .........23. Ïàðàëåëüí³ñòü ïëîùèí ........................34. Çîáðàæåííÿ ïðîñòîðîâèõ ô³ãóð íà

ïëîùèí³.............................................4

²²². Ïåðïåíäèêóëÿðí³ñòü ïðÿìèõ ³ ïëîùèí1. Êóò ì³æ ïðÿìèìè. Ïåðïåíäèêóëÿðí³ñòü

ïðÿìèõ ..............................................12. Ïåðïåíäèêóëÿðí³ñòü ïðÿìî¿ ³ ïëîùèíè ...23. Ïåðïåíäèêóëÿð ³ ïîõèëà äî ïëîùèíè ...34. Ïåðïåíäèêóëÿðí³ñòü ïëîùèí ...............45. Ïðàêòè÷íå çíà÷åííÿ ïàðàëåëüíîñò³ ³ ïåð-

ïåíäèêóëÿðíîñò³ ïðÿìèõ òà ïëîùèí .....5

²V. Êîîðäèíàòè ³ âåêòîðè1. Ïðÿìîêóòíà ñèñòåìà êîîðäèíàò â

ïðîñòîð³ .............................................12. Ïåðåòâîðåííÿ ô³ãóð ó ïðîñòîð³ .............23. Âåêòîðè ó ïðîñòîð³..............................3

³äïîâ³ä³ òà âêàç³âêè äî çàäà÷ ............ 63

5

I ÂÑÒÓÏ ÄÎ ÑÒÅÐÅÎÌÅÒв¯

1. Ùî âèâ÷àºòüñÿ â ñòåðåîìåòð³¿Ó ñòåðåîìåò𳿠âèâ÷àþòü ô³ãóðè ó ïðîñòîð³.

Íàïðèêëàä, ï³ðàì³äà (ðèñ. 1), öèë³íäð (ðèñ. 2), ïà-ðàëåëåï³ïåä (ðèñ. 3), êîíóñ (ðèñ. 4).

Îñíîâíèìè ô³ãóðàìè ó ïðîñòîð³ º òî÷êà, ïðÿìà³ ïëîùèíà.

Ïëîùèíó çîáðàæàþòü ó âèãëÿä³ ïàðàëåëîãðà-ìà ³ ïîçíà÷àþòü ìàëèìè áóêâàìè ãðåöüêîãî àëôà-â³òó α, β, γ, ... . Òî÷êè ïîçíà÷àþòü âåëèêèìè áóêâà-ìè ëàòèíñüêîãî àëôàâ³òó À, Â, Ñ, ... , à ïðÿì³ �ìàëèìè áóêâàìè a, b, c, ... àáî äâîìà âåëèêèìè áóê-âàìè ÀÂ, CD, MN, ...

Âçàºìíå ðîçì³ùåííÿ îñíîâíèõ ô³ãóð ó ïðîñòîð³

Òî÷êà À íàëåæèòü ïëîùèí³ α àáîïëîùèíà α ïðîõîäèòü ÷åðåç òî÷-êó À. Òî÷êà  íå íàëåæèòü ïëî-ùèí³ α.

Ðèñ. 1 Ðèñ. 2 Ðèñ. 3 Ðèñ. 4

B

AαÀ ∈ α, B ∉ α

6

Ïðÿìà à íàëåæèòü ïëîùèí³ α àáîïëîùèíà α ïðîõîäèòü ÷åðåç ïðÿ-ìó à. Ïðÿìà b íå íàëåæèòü ïëî-ùèí³ α.

Ïðÿìà à ³ ïëîùèíà α ïåðåòèíà-þòüñÿ â òî÷ö³ À.

Ïëîùèíè α ³ β ïåðåòèíàþòüñÿ ïîïðÿì³é ñ.

Çàïèòàííÿ äëÿ ñàìîêîíòðîëþ

1. Ùî âèâ÷àºòüñÿ â ñòåðåîìåòð³¿?2. Íàâåä³òü ïðèêëàäè ïðîñòîðîâèõ ô³ãóð.3. Íàçâ³òü îñíîâ³í ãåîìåòðè÷í³ ô³ãóðè ó ïðîñòîð³.4. ßê ïîçíà÷àþòü òî÷êè, ïðÿì³ ³ ïëîùèíè?5. ßêå âçàºìíå ðîçì³ùåííÿ îñíîâíèõ ô³ãóð ó ïðîñ-

òîð³?

Âïðàâè äëÿ ñàìîñò³éíîãî ðîçâ�ÿçàííÿ

1°. Ïðîâåä³òü ïëîùèíó α ³ ïîçíà÷òå íà í³é òî÷êè À, Â, Ñ.Ïðîâåä³òü ïðÿì³ ÀÂ, ÂÑ, ÀÑ.

?

α

b

a

a ⊂ α, b ⊄ α

a ∩ α = A

α

a

A

αβ c

α ∩ β = c

7

2°. Íà ðèñóíêó 5 çîáðàæåíî ïëî-ùèíó α ³ ïðÿì³ ÀÂ, ÀÑ, BD ³ CD.1) ßê³ ç òî÷îê À, Â, Ñ ³ D íàëå-æàòü ïëîùèí³ α?2) ßê³ ç ïðÿìèõ íàëåæàòü ïëî-ùèí³ α?3) ×è ïåðåòèíàþòüñÿ ïðÿì³ÀÑ ³ BD, ÀB ³ AC, ÀB ³ CD?

3°. Ïðîâåä³òü ïëîùèíó α. Ïîçíà÷òå òî÷êè À ³ Ñ, ÿê³ íàëå-æàòü ïëîùèí³ α ³ òî÷êó Â, ÿêà íå íàëåæèòü ö³é ïëî-ùèí³. Ïðîâåä³òü ïðÿì³ ÀÑ, ÀÂ, ÂÑ. ßê³ ç öèõ ïðÿìèõïåðåòèíàþòü ïëîùèíó α?

4°. Ïðîâåä³òü ïëîùèíè α ³ β, ùî ïåðåòèíàþòüñÿ. Ïîçíà-÷òå òî÷êè, ÿê³ íàëåæàòü: 1) ò³ëüêè ïëîùèí³ α; 2) ò³ëü-êè ïëîùèí³ β; 3) ïëîùèíàìè α ³ β.

2. Àêñ³îìè ñòåðåîìåò𳿠³ íàñë³äêè ç íèõÂëàñòèâîñò³ îñíîâíèõ ãåîìåòðè÷íèõ ô³ãóð, ÿê³

ïðèéìàþòüñÿ áåç äîâåäåííÿ, íàçèâàþòü àêñ³îìàìè.Íà áóäü-ÿê³é ïëîùèí³ ïðîñòîðó âèêîíóþòüñÿ

âñ³ àêñ³îìè ïëàí³ìåòð³¿. Ïðîòå äëÿ ñòåðåîìåòð³¿ïîòð³áí³ ÷îòèðè àêñ³îìè, ùî âèðàæàþòü âëàñòèâîñò³òî÷îê, ïðÿìèõ ³ ïëîùèí â ïðîñòîð³.

Íàñë³äêè ç àêñ³îì ñòåðåîìåò𳿠ôîðìóëþþòü-ñÿ ó âèãëÿä³ äâîõ òåîðåì.

Àêñ ³îìà 1 . ßêà á íå áóëàïëîùèíà, ³ñíóþòü òî÷êè, ùî íà-ëåæàòü ö³é ïëîùèí³, ³ òî÷êè,ÿê³ íå íàëåæàòü ¿é.

B

C

D

A

α

Ðèñ. 5

DC

B

A

α

40

Ùîá çíàéòè ì³æ ìèìîá³æíèìè ïðÿ-ìèìè áóäóºìî àáî âèä³ëÿºìî íà ìà-ëþíêó ñï³ëüíèé ïåðåïíäèêóëÿð äî öèõïðÿìèõ.

Çàäà÷à. ABCDA1B

1C

1D

1 � êóá ç ðåáðîì ð³â-

íèì à. Çíàéä³òü â³äñòàíü ì³æ ìèìîá³æíèìè ïðÿ-ìèìè ÀÀ

1 ³ ÂÑ.

Ðîçâ�ÿçàííÿ:Îñê³ëüêè ãðàí³ êóáà êâàä-

ðàòè, òî ðåáðî À ïåðïåíäèêó-ëÿðíå äî êîæíî¿ ç äàíèõ ìè-ìîá³æíèõ ïðÿìèõ (ðèñ. 34).Òîä³ â³äñòàíü ì³æ ìèìîá³æíè-ìè ïðÿìèìè ÀÀ

1 ³ ÂÑ äîð³â-

íþâàòèìå äîâæèí³ â³äð³çêà ÀÂ,òîáòî à.

Ùîá çíàéòè â³äñòàíü ì³æ ìèìîá³æ-íèìè ïðÿìèìè ÷åðåç îäíó ç öèõ ïðÿ-ìèõ ïðîâîäèìî ïëîùèíó, ïàðàëåëüíóäðóã³é ïðÿì³é. ³äñòàíü â³ä áóäü-ÿêî¿òî÷êè ïðÿìî¿ äî ïàðàëåëüíî¿ ïëîùè-íè äîð³âíþâàòèìå â³äñòàí³ ì³æ ìè-ìðîá³æíèìè ïðÿìèìè.

Çàäà÷à. ABCDA1B

1C

1D

1 � êóá ç ðåáðîì ð³â-

íèì à. Çíàéä³òü â³äñòàíü ì³æ ìèìîá³æíèìè ïðÿ-ìèìè ÀD

1 ³ Â

1Ñ.

!

!

Ðèñ. 34

A

D C

A1

B1

C1

D1

B

41

Ðîçâ�ÿçàííÿ:Ïðîâîäèìî ä³àãîíàëü ÂÑ

1 ãðàí³ ÂÑÑ

1Â

1. Îñê³-

ëüêè ÷îòèðèêóòíèê ÀÂÑ1D

1 � ïðÿìîêóòíèê, òî

AD1|| BC

1. Çî îçíàêîþ ïàðàëåëüíîñò³ ïðÿìî¿ ³ ïëî-

ùèíè, ïðÿìà AD1 ïàðàëåëüíà ïëîùèí³ ãðàí³

ÂÑÑ1Â

1. ³äñòàíü ì³æ ìèìîá³æíèìè ïðÿìèìè AD

1

i B1C äîð³âíþâàòèìå â³äñòàí³ â³ä áóäü-ÿêî¿ òî÷êè

AD1 (íàïðèêëàä, òî÷êè À) äî ïëîùèíè ãðàí³ ÂÑÑ

1Â

1.

Çâ³äñè âèïëèâàº, ùî ðåáðî À = à êóáà � øóêàíàâ³äñòàíü, îñê³ëüêè âîíî ïåðïåíäèêóëÿðíå äî ïëî-ùèíè ãðàí³ ÂÑÑ

1Â

1 (ÀÂ ⊥ BC, AB ⊥ BB

1).

Çàïèòàííÿ äëÿ ñàìîêîíòðîëþ1. Äàéòå îçíà÷åííÿ ïåðïåíäèêóëÿðà, îïóùåíîãî ç äàíî¿

òî÷êè äî ïëîùèíè.2. Ùî òàêå ïîõèëà, ïðîâåäåíà ç äàíî¿ òî÷êè äî ïëîùè-

íè? Ùî òàêå ïðîåêö³ÿ ïîõèëî¿?3. Ñôîðìóëþéòå òåîðåìó ïðî òðè ïåðïåíäèêóëÿðè.4. Ùî íàçèâàºòüñÿ â³äñòàííþ â³ä òî÷êè äî ïëîùèíè;

â³ä ïðÿìî¿ äî ïàðàëåëüíî¿ ¿é ïëîùèíè; ì³æ ïàðàëåëü-íèìè ïëîùèíàìè; ì³æ ìèìîá³æíèìè ïðÿìèìè?

5. Äàéòå îçíà÷åííÿ êóòà ì³æ ïðÿìîþ ³ ïëîùèíîþ.

Âïðàâè äëÿ ñàìîñò³éíîãî ðîçâ�ÿçàííÿ

1°. Ñê³ëüêè ð³âíèõ ïîõèëèõ ìîæíà ïðîâåñòè ç äàíî¿ òî÷-êè äî ïëîùèíè?

2°. Ç òî÷êè À äî ïëîùèíè ïðîâåäåíî ïåðïåíäèêóëÿð Àѳ ïîõèëó ÀÂ. Çíàéä³òü: 1) ÀÑ, ÿêùî À = 5 ñì,ÂÑ = 4 ñì; 2) ÀÂ, ÿêùî ÀÑ = 5 ñì, ÂÑ = 12 ñì.

3°. ÎÌ � ïåðïåíäèêóëÿð äî ïëîùèíè ïðÿìîêóòíèêà, äåÎ � òî÷êà ïåðåòèíó éîãî ä³àãîíàëåé. Ïðîâåä³òü ïå-ðïåíäèêóëÿð ç òî÷êè Ì äî ñòîðîíè ïðÿìîêóòíèêà.Ïîÿñí³òü ïîáóäîâó.

?

64

Íàâ÷àëüíå âèäàííÿ

Áóðäà Ì. ².

ÃÅÎÌÅÒвßì³í³-ï³äðó÷íèê

äëÿ ó÷í³â 10 êëàñó ñåðåäüî¿ øêîëè

ϳäïèñàíî äî äðóêó 31.10.2001. Ôîðìàò 60×84/16.Ïàï³ð äðóêàðñüêèé. Ãàðí³òóðà Øê³ëüíà.

Óìîâí. äðóê. àðê. 2,79. Óìîâí. ôàðáî-â³äá. 2,79.

Âèäàâíèöòâî «Íàâ÷àëüíà êíèãà � Áîãäàí»46008, ì.Òåðíîï³ëü, âóë. Òàíöîðîâà, 14. À/ñ 534.

Ñâ³äîöòâî ¹24637417 â³ä 13.11.97òåë./ôàêñ (0352) 43-00-46; 25-18-09; 25-37-53, 25-28-41

Å-mail: publishing@budny.te.uawww.bohdan-books.com

Ãîëîâíèé ðåäàêòîð Á.ª. ÁóäíèéÐåäàêòîð Î.Î. Ìàçóð

Õóäîæíèê Â.À. ÁàñàëèãàÒåõí³÷íèé ðåäàêòîð ².Î. Êîçóá

Êîìï�þòåðíà âåðñòêà À.Â. Êðàâ÷óê