به نام خدا محاسبات عددی روش های ریشه یابیeee.sutech.ac.ir/sites/eee.sutech.ac.ir/files/... · همدقم.تؼاy(x) ٳځٱدت (x i,y i) , i=1,…,n

مقدمه(xi,yi)دادهزوجn:هدف• , i=1,…,nتخمینy(x)است..هستندمتداولبسیارعددیمحاسباتدرعددیهایدادهیابیدرون•هایگیریاندازهیاعددیمحاسباتطریقازاستممکنعددیهایداده•

.شودحاصلتجربیCurve)منحنیعبوربا(Interpolation)یابیدرونکهشودتوجه• fitting)

.استمتفاوت

2

هدف

Curve)منحنیعبوردر• fitting)،راهادادهمجموعهکهمنحنیهموارترین

.استنظرمدزندمیتقریبیابیدرونیایابیمیاندر•(Interpolation)نقاطکلیهازکهمنحنی

.باشدمیمفروضگذرد،میشدهداده

رهيافت هاي محاسباتي

،شیوهایندر.استیابیدرونشیوهترینساده:راستخطروش•استرخطیکیابی،درونیامیانیازهانتهایوابتدانقطهدوبین.شودمیانجامخطییابیدرونعملترتیب،اینبهوشدهرسم

ایمجموعهیابیدرونشیوهترینمعمول:ایجملهچندروشهای•کهباشدمیایجملهچندیابیدرونهایروشها،دادهاز

باشندمیزیرقراربهآنهامهمترینالگرانژروش•نیوتنروش•

.یکنواختغيرفواصلباویکنواختفواصلبانوعدو•

3

روش هاي چند جمله اي

4

قضيه درون یابي هاي چندجمله اي

5

xn…x1x0x

yn…y1y0y

بردارهایهایدادهچنانچهاساس،براینxوyبردارهرتعدادکهرا،زیرجدولدرموجودعبورآنهاتمامازایجملهچندیکتابخواهیموباشیمداشتهاست،دادهعددn+1برابر

:نماید

. باشدnاوالً بایستی مرتبه چند جمله ای، برابر (1:جمله ای را از حل دستگاه معادالت خطی زیر بدست آوردثانیاً بایستی ضرایب چند( 2

n

iii yx0

,

n

nnnn

n

n

n

n

xaxaay

xaxaay

xaxaay

1

10

1

1

1101

0

1

0100

nnn

nn

n

n

y

y

y

a

a

a

xx

xx

xx

1

0

1

0

11

00

1

1

1

مثال از درون یابي به کمک چندجمله اي ها

6

باشند،شدهدادهروبروهایدادهزوجاینکهفرضبا(1مثالنماید؟عبورنقاطاینتمامیازکهبیابیدممکنمرتبهحداقلباایجملهچندیک

تشکیلزیرفرمبهمجهول2ومعادله2دستگاهیتااستکافیسوال،اینبهپاسخبرای(حل:نماییمحل،3فصلهایروشازیکیبهراآنوداده

که

)3.2,1.6(),1.7,5.4(

1

0

1

0

1

0

1

1

y

y

a

a

x

x

3.2,1.7

1.6,5.4

10

10

yy

xx

3.2

1.7

1.61

5.41

1

0

a

a

3

6.20

1

0

a

a

xy

xaay

36.20

10

مثال از درون یابي به کمک چندجمله اي ها

7

باشند،شدهدادهروبروهایدادهزوجاینکهفرضبا(2مثالنماید؟عبورنقاطاینتمامیازکهبیابیدممکنمرتبهحداقلباایجملهچندیک

تشکیلزیرفرمبهمجهول3ومعادله3دستگاهیتااستکافیسوال،اینبهپاسخبرای(حل:نماییمحل،3فصلهایروشازیکیبهراآنوداده

که

)2,2(),0,1(),6,0(

2

1

0

2

1

0

2

22

2

11

2

00

1

1

1

y

y

y

a

a

a

xx

xx

xx

2,0,6

2,1,0

210

210

yyy

xxx

2

0

6

421

111

001

2

1

0

a

a

a

4

10

6

2

1

0

a

a

a

2

2

210

4106 xxy

xaxaay

ه اينکاتي در مورد درون یابي به شيوه تقریب چندجملمعایب روش:

می افزایش نقاط باعث افزایش ضرایب و درنتیجه درجه دستگاه معادالت خطی.شود

بودنخواهدسادهدستگاهحل.

پیشنهاد:جایگزینترمناسبهایروشبرایجستجو

8

روش درون یابي الگرانژ(Lagrange Interpolation Method)

چند جمله ای یگانه الگرانژ از کلیه نقاط داده عبور می کند.

:الگرانژیابیدرونخطای

9

kk

k

k

k

n

k

kk

yxf

xx

xxxL

yxLxf

0

1)(

)()(0

nkxx

xx

xxxxxxxx

xxxxxxxxxL

n

kii ik

i

nkkkkkk

nkkk ,,1,0,

)())(()(

)())(()()(

0110

110

kiikkk xxxLxL ,0)(,1)(

n

NnN

xcx

cfN

xxxxxxxE

0

)1(10 )()!1(

)())(()(

مثال از روش درون یابي الگرانژ

ید؟برای داده های زیر یک چند جمله ای به شیوه الگرانژ درون یابی کن: مثال

با توجه به روش( پاسخ: الگرانژ داریم

(مرحله اول)

(مرحله دوم)

10

)2,2(),0,1(),6,0(

2)12)(02(

)1)(0()(

1

2

)21)(01(

)2)(0()(

2

23

)20)(10(

)2)(1()(

2

2

2

1

2

0

xxxxxL

xxxxxL

xxxxxL

6104)(

22

1

20

2

236)()(

)()()()()(

2

2222

0

221100

2

0

xxxf

xxxxxxyxLxf

yxLyxLyxLyxLxf

k

kk

k

kk

درون یابي الگرانژروشMatlabبرنامه function lagrange(x,y,a)

% Determine the coefficients of the Lagrange

% interpolating polynomial p(x)and compute p(a).

n=length(x);

p=0;

for k=1:n

b(k)=1;

d(k)=1;

for j=1:n

if j~= k

b(k)=b(k)*(x(k)-x(j));

d(k)=d(k)*(a-x(j));

end

end

c(k)=y(k)/b(k);

p=p+c(k)*d(k);

end

11

c

fprintf('\n p(a)= %10.6f',p)

fprintf('\n')

مجموعه مسائل روش درون یابي الگرانژ

12

وتن درون یابی به روش تفاضل های تقسیم شونده نی(Newton Difference Interpolation Methods)

13

ابمقایسهدرآنازاستفادهکهبیابیمیابیدرونفرمولیکخواهیممیبخش،ایندرازتناباجباعثکاراین.باشدترراحتوترکارآشد،بردهکاربهقبلبخشدرکهفرمولیایملهجچندابتدا.گرددمیزمانهممعادالتدستگاهیکپاسخیافتنمشکالتومسائل:استزیرفرمبهحالتاینکهآوردهبدسترااولیدرجهازنیوتنیشدهیابیدرون

:داشتخواهیملذا،کندعبورنقطهدوازتواندمیراستخطیکآنجائیکهاز

:کنیممیمعرفیرازیرکلینمایشفرم،مرحلهایندر

.باشدمیازایبهآندرکه

)()( 0101 xxaaxP

)()( 0

01

0101 xx

xx

yyyxP

0

10110

,,,,,,,

xx

xxfxxfxxxf

n

nnn

][)( iii xfxfy ni ,...,1,0

وتن درون یابی به روش تفاضل های تقسیم شونده نیادامه(Newton Difference Interpolation Methods)

14

بهتوجهبا.شودمینامیده،fتابعیشدهتقسیمتفاضلیمرتبهامینnنامبهضریباین:نوشتزیرفرمبهراP1(x)توانمیفوق،فرمول

یا

قبل،یمعادلهاز.آوردخواهیمبدسترا2یدرجهیشدهیابیدرونایجملهچندحال:باشدداشتهرازیرفرمP2(x)کهرودمیانتظار

)](,[][)( 01001 xxxxfxfxP

0

10110

,,,,,,,

xx

xxfxxfxxxf

n

nnn

)](,[)()( 01001 xxxxfxPxP

))(()()( 10212 xxxxaxPxP


15

بدسترازیرفرمول،استP2(x2)=f[x2]کهواقعیتاینازاستفادهوP2(x)محاسبهبا:آوریممی

یا

:داشتخواهیمباال،فرمولنظرنقطهاز،بنابراین

)()()()()(

02

01

01

12

122 xx

xx

xfxf

xx

xfxfa

],,[],[],[

210

02

10212 xxxf

xx

xxfxxfa

))(](,,[)()( 1021012 xxxxxxxfxPxP


16

:دهیمارائهرازیرکلیفرمولتوانیممیقبل،مراحلکاملومجددتکراربا

از،نهزمیایندر.گردیممیبازشدهتقسیمهایتفاضلیمحاسبهیمسئلهبه،اکنونمیشروعدهد،مینمایشمفروضنقاطدرراتابعمقادیرکهزیرجدول.کنیم

)())(](,...,[)()( 11001 nnnn xxxxxxxxfxPxP

nxxx ,...,, 10f


17

زیرتفاضلچهارفرمولازستفادهباحال:داشتخواهیمرا

هایآرگومانسیکلیچرخشبا،المانکهباشیدداشتهتوجه.استناپذیرتغییر

0

10110

,,,,,,,

xx

xxfxxfxxxf

n

nnn

nxxxf ,,, 10 nxxx ,,, 10


18

دولجدرشدهدادهنشانفرمبهشدهتقسیمهایتفاضلکردنمرتبطریقازعملیاتاینذکرجدولازباالییقطردرضرایب.استشدهکشیدهتصویربهلتحابهترینبهبعدصفحه

ولفرمبانیوتنیشدهیابیدرونایجملهچندیشیوهازکههستنداعدادیهمانشده:یعنیآیند،میبدستزیر

یا

.ندباشمینیوتنیپیشروییشدهتقسیمهایتفاضلفرمولبهمعروففوقفرمولNewton Forward Divided Difference

)())(](,...,,[

))(](,,[)](,[][)(

11010

102100100

nn

n

xxxxxxxxxf

xxxxxxxfxxxxfxfxP

n

i

i

j

jin xxxxxfxP0 1

110 )(],...,,[)(

)())(](,...,[)()( 11001 nnnn xxxxxxxxfxPxP


19

دولجدرشدهدادهنشانفرمبهشدهتقسیمهایتفاضلکردنمرتبطریقازعملیاتاینذکرجدولازباالییقطردرضرایب.استشدهکشیدهتصویربهلتحابهترینبهبعدصفحه

ولفرمبانیوتنیشدهیابیدرونایجملهچندیشیوهازکههستنداعدادیهمانشده:یعنیآیند،میبدستزیر

4

3

2

1

0

x

x

x

x

x

ه نیوتن مثالی از درون یابی به روش تفاضل های تقسیم شوند(Newton Difference Interpolation Methods)

20

دچنونوشتهزیردرموجودهایدادهبرایشدهتقسیمتفاضلهایازجدولی(مثالصورت:آوریدبدستنیزرانیوتنیشدهیابیدرونایجمله

رازیرشدهیابیدرونایجملهچندتوانمیفوق،جدولباالییسطرازمقادیر(مثالحل:آوردبدست

854

7

8

1)6)(4)(2(

8

1)4)(2(

4

1

)2(24))()(](,,,[

))(](,,[)](,[][)(

23

2103210

1021001003

xxxxxxxx

xxxxxxxxxxxf

xxxxxxxfxxxxfxfxP

وتن ادامه درون یابی به روش تفاضل های تقسیم شونده نی(Newton Difference Interpolation Methods)

21

ترتیببههاگرهکهزمانیبرایفوقدرآمدهبدستنتایجالبته:یعنی،شوندبردهبکاریکنواختفاصلهباو

یشروپهایتفاضلشیوهبهشدهیابیدرونایجملهچندیافتنروشکردنآسانبرایحالفرمهبهاگرهاینکهفرضباالبته)آوریممیدرزیرشدهسادهفرمبهراهافرمولنیوتنی،

(باشندشدهمرتبنزولی

:شوندمیتعریفزیربازگشتیصورتبهنیزباالترهایتوان

:استزیرصورتبهایدوجملهضریبنمایشکه

n

xxhnkkhxx n

k0

0 &,...,1,0,

nxxx ,,, 10

,...1,0,][][ 11 iffxfxff iiiii

,...3,2),( 1 nff i

n

i

n

!

)1()1(

k

ksss

k

s


22

:کردبیانزِیربصورتتوانمیرای،معادلهلذا

h

xxsf

k

sxP k

n

k

n0

0

0

,)(

n

i

i

j

jin xxxxxfxP0 1

110 )(],...,,[)(


23

بلقمثالبرایرانیوتنروشهایتفاضلجدولجدید،هایفرمولبراساس(قبلمثالحلدهیممیتشکیلزیرقراربه

8

1

284

1

2

1


24

گاهآننکند،تبعیتحسابیتصاعدیکازونبودهیکسانxنقاطمیانفاصلهچنانچهحال،:بودخواهدزیرقراربهشدهتقسیمهایتفاضلمحاسبهتشکیلبرای

Newton Forward InterpolationروشMatlabبرنامه function newtondd(x,y)

% Newton divided difference

disp(' Newton divided

difference')

disp('________________________

______________')

disp(' x y f[,] f[,,]

f[,,,] ... ')

disp('________________________

______________')

n=length(x);

for k=1:n-1

% Compute first divided

difference

d(k,1)=(y(k+1)-y(k))/(x(k+1)-

x(k));

end;

for i=2:n-1

for k=1:n-i

% Compute ith divided

difference

25

d(k,i)=(d(k+1,i-1)-d(k,i-

1))/(x(k+i)-x(k));

end;

end;

% print results

if (rem(n,2)==0)

p=n/2;

m=n/2;

else

p=fix(n/2);

m=fix(n/2)+1;

end;

for i=1:p

fprintf('%8.2f %8.2f',x(i),y(i));

for k=1:i-1

fprintf(' %8.5f',d(i-

k,2*k));

end;

fprintf('\n ')

for k=1:i

fprintf('%8.5f',d(i-k+1,2*k-1));

end;

fprintf('\n')

end;

j=p;

for i=m:-1:1

j=j+1;

fprintf('%8.2f %8.2f',x(j),y(j));

for k=1:i-1

fprintf(' %8.5f',d(j-k,2*k));

end;

fprintf('\n ')

for k=1:i-1

fprintf(' %8.5f',d(j-k+1,2*k-

1));

end;

fprintf('\n')

End;


26

هتهیزیرجدولدرموجودهایدادهبرایشدهتقسیمهایتفاضلازجدولیک(مثالصورت.آوریدبدستنیزراآننیوتنییشدهیابیدرونایچندجملهوکنید

نتیجهروبرو،جدولدر(حلهایتفاضلجدولتشکیلبرنامهطبقشوندهتقسیم

Matlabاستشدهآورده.بایدکهضرایبیهمچنین،

یابیدرونفرمولبرایبیضیدرشوند،استفاده.اندشدهدادهنمایش


27

ییابدرونایجملهچندشونده،تقسیمهایتفاضلجدولتشکیلازپس(مثالحلادامه:آیدمیبدستزیرفرمولبراساسشده

:باشدمیزیرقراربهشدهیابیدرونایجملهچندحاصل

n

i

i

j

jin xxxxxfxP0 1

110 )(],...,,[)(

)5)(3)(2)(1(8

1)3)(2)(1(

2

1)2)(1()1(23)(4 xxxxxxxxxxxP

کيبنکاتي چند از تفاضل هاي تقسيم شونده و تر

28

یشروپشوندهتقسیمهایتفاضلبرایرازیرفرمولتوانمیکلیحالتدر(1(هاxمیانیکسانفاصلهبهتوجهبدون)دادارائهنیوتن

عملزیرمطابقتوانمینیوتنی،پیشروندههایتفاضلجدولتشکیلبرای(2،128صفحهکتاب4.2جدولدر)نمود.(استشدهآوردهآنمثالنیز

0,

]1,0[,1,1

1

1

kforf

Niikforxx

ff

f

i

iik

i

k

i

k

i

k

)(

)(

)(

)(

1

1

1

1

1

12

1

1

0

orderthkfff

orderSecondfff

orderFirstfff

orderthzeroff

i

k

i

k

i

k

iii

iii

ii

يشروشماره تمرین هاي درون یابي به شيوه تفاضل هاي تقسيم شونده پ

درسیکتاب4.1بخشاز5و4و1مسائل:تمرین

29

4.1مجموعه مسائل بخش

30

4.1ادامه مجموعه مسائل بخش

31

32

Documents

به نام خدا محاسبات عددی روش های ریشه یابیeee.sutech.ac.ir/sites/eee.sutech.ac.ir/files/... · همدقم.تؼاy(x) ٳځٱدت (x i,y i) , i=1,…,n