Теория принятия решенийouek.onu.edu.ua/uploads/courses/smpr/Методичка_Теория... · Введение Принятие решений условиях

Теория принятиярешенийРаздел : Теория голосования

О.Д. Кичмаренко

А.П. Огуленко

ОНУ имени И.И.Мечникова

2012

Оглавление

Оглавление . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Теория социального выбора . . . . . . . . . . . . . . . . . 51. Социальный выбор в жизни общества . . . . . . . . . 52. Формирование коллективного решения . . . . . . . . . 83. Основные процедуры голосования . . . . . . . . . . . 11

3.1. Правило относительного большинства . . . . . 133.2. Правило относительного большинства с выбы-

ванием . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.3. Голосование с последовательным исключением 173.4. Правила голосования Кондорсе и Борда . . . . 173.5. Обобщения процедур Кондорсе и Борда . . . . 22

4. Парадоксы голосования и причины их возникновения. 255. Аксиоматика Эрроу. Теорема о невозможности . . . . 31

5.1. Аксиомы Эрроу . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325.2. Функция коллективного предпочтения . . . . . 345.3. Теорема о невозможности . . . . . . . . . . . . 39

6. Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

Вопросы для самоконтроля . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

Задания для самостоятельной работы . . . . . . . . . . 45

Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3

Введение

Принятие решений условиях конфликта является одной из ключе-вых проблем в современном обществе, тем более, если речь идето выборе лучшей альтернативы путем голосования. Справедлив либыл выбор? Отражено ли мнение большинства?..

Без применения методов прикладной математики решение этойпроблемы невозможно.

Предлагаемый курс лекций содержит в себе постановку задачитеории голосования, анализ основных процедур голосования и ихмодификаций в историческом разрезе. Рассматриваются причинывозникновения парадоксов голосования и изложен строгий аксио-матический подход к синтезу процедур голосования.

Для закрепления изученного материала читателю предлагаетсясамостоятельно выполнить несколько заданий.

4

Теория социального выбора

Я всегда могу выбирать, ноя должен знать, что даже втом случае, когда я ничегоне выбираю, я тем самымвсе-таки выбираю.

Жан-Поль Сартр

1. Социальный выбор в жизни общества

Процессы принятия решений лежат в основе любой целенаправлен-ной деятельности. В экономике они предшествуют созданию произ-водственных и хозяйственных организаций, обеспечивают их опти-мальное функционирование и взаимодействие; при создании новойтехники — осуществляют важный этап в проектировании машин,устройств, приборов, в разработке технологий их построения и экс-плуатации; в социальной сфере — используются для организациифункционирования и развития социальных процессов, их координа-ции с хозяйственными и экономическими.

Следовательно, теория выбора и принятия решений существу-ет столько же, сколько существует разумный человек. Исследоватьпринятие решений можно по-разному: просто обсуждать, как ре-шать возникающие проблемы; сопровождать подобное обсуждение

5

6

расчетами, опираясь при этом на математические модели.

Элементы теории выбора и принятия решений в той или инойформе включаются в учебные планы по широкому кругу специаль-ностей: прикладной математике, технической кибернетике, автома-тизации проектирования, экономической кибернетике и другим. Ос-новной особенностью методологии принятия решений является то,что поиск оптимального (по тому или иному критерию) управляю-щего решения всегда предполагает построение математической мо-дели и использование для её анализа математического аппарата.Это означает, что хотя бы некоторые данные, участвующие в поста-новке задачи, должны иметь количественное выражение.

Методы поиска оптимальных решений рассматриваются в разде-лах классической математики, связанных с изучением экстремумовфункций, в математическом программировании. Основное свойствооптимального решения в этом случае состоит в том, что оно до-ставляет экстремум заданной функции. Действительно, часто оцен-ка решения производится по одному критерию. Однако, на практикеобычно решение нужно оценивать с различных точек зрения, учи-тывая физические, экономические, технические и другие критерии.Это требует построения моделей оптимизации решений одновремен-но по нескольким критериям. Здесь при постановке задачи требует-ся ввести понятие оптимального решения, которое может понимать-ся по-разному. Соображения качественного характера учитываютсядополнительно и являются некоторым фоном для используемой ма-тематической модели. Безусловно, при решении прикладных задачвозможны ситуации, когда роль этого фона оказывается решающей.Сложность возникающих в практической деятельности задач состо-ит также в том, что различные подразделения одной и той же ор-ганизации могут (возможно, не всегда полностью осознанно) пре-следовать различные цели, а внешние экономические факторы, откоторых зависит деятельность организации, могут содержать эле-

7

менты неопределенности. Необходимо считаться с различием лич-ных, коллективных и общественных интересов.

Это значит, что социально-экономическое явление при его мате-матическом моделировании должно допускать представление в видеконфликта, то есть такое, в котором отражены следующие его ком-поненты:

1) заинтересованные стороны;

2) интересы сторон;

3) возможные действия каждой из сторон.

В условиях конфликта принимающему решения субъекту прихо-дится считаться не только со своими собственными целями, но так-же с теми целями, которые ставят перед собой его партнёры. Поми-мо этого, он должен учитывать, кроме объективных, известных емуобстоятельств конфликта, ещё и те решения, которые принимаютего противники и которые ему самому, вообще говоря, неизвестны.Конфликт интересов порождает столкновение людей. Перед любымчеловеческим сообществом стоят две основные задачи: созидание ираспределение. Система распределения затрат и благ должна раз-решить так или иначе основную конфликтную ситуацию, связан-ную со стремлением сделать вклад поменьше, а получить побольше.Собственно человеческим способом взаимодействия людей являютсясоглашения и компромиссы. Система распределения благ и затратопирается на представления о справедливости. Если большинствочленов общества не признают справедливости существующих прин-ципов распределения, то либо оно развалится, либо будет тратитьвсё большие ресурсы на систему подавления и наказания.

Что такое справедливость? Человечество думало об этом всегдаи выработало достаточно много принципов справедливости. Всякоеобщество пытается обосновать справедливость своей системы рас-пределения, заявляет о своем стремлении к совершенствованию этой

8

системы. Большинство общественных решений (таких как налоги иобщественные расходы) принимаются на основе голосования. Голо-сование также используются для пополнения многих общественныхучреждений (выборы парламента, президента, мэра и проч.). Пу-тём голосования членами жюри (или комиссии) происходит опреде-ление победителей представленных на конкурс технических проек-тов, произведений искусства; обсуждение и согласование несколь-ких альтернативных законопроектов законодательным собранием;отбор образцов новых промышленных изделий по перспективностиих внедрения. Все мы участвуем в принятии тех или иных решенийпутем голосования на собраниях, заседаниях различных комитетов,выборах представителей законодательной и исполнительной власти.

2. Формирование коллективного решения

По вопросу принятия решений общество в принципе отличается отличности.

Пример. В условиях демократии и свободы волеизъявлениятрое голосующих Виктор, Юлия и Александр должны опре-делить, что важнее для страны – оборона, образование илисоциальное обеспечение (в какую отрасль вложить дополни-тельные инвестиции).

Мнение Виктора: наиболее важным является образова-ние, т.к. современный человек должен быть образован, знатьисторию, например. Затем в рейтинге Виктора – социальноеобеспечение, и только потом – оборона.

Мнение Юлии: наиболее важной является оборона, т.к.именно эта отрасль определяет, по ее мнению, силу государ-ства, затем – образование, и только после этого – социальноеобеспечение.

Мнение Александра: прежде всего нужно заботиться о

9

людях – поэтому на первом месте социальное обеспечение, за-тем – сила государства – оборона, а образование – на третьемместе.

Это можно представить в виде таблицы:

Виктор Юлия Александробразование оборона социальное

обеспече-ние

социальноеобеспече-ние

образование оборона

оборона социальноеобеспече-ние

образование

Так как мнение голосовавших равноправны, то принять реше-ние на основе этого мнения избирателей невозможно. Чтобыкак-то решить вопрос, правительство может разделить выде-ляемые деньги на 3 равные части. Но это уже будет вопре-ки воли голосовавших – т.е. нарушение демократии. Какое жеэто народовластие? (В качестве лиц, принимающих решение,могут, например, выступать президент, парламент и кабинетминистров и тогда невозможно получить согласие на уровнегосударства).

�

В основе способа выбора нужной персоналии на высший постлежит процедура голосования. Считается, что коллективное мне-ние всегда лучше индивидуального. Но все на так просто, как ка-жется. Приведенный выше пример этому подтверждение. Можно лисоздать такую систему голосования, чтобы она была рациональной,решающей и демократичной одновременно? Способ голосования мо-жет быть избавлен от произвольности, безвыходных положений или

10

неравноправия, но он не может избежать всех этих недостатков од-новременно. Парадокс заключается в том, что не существует уни-версального способа выявления коллективного предпочтения. Су-ществует бесконечное множество достаточно разумных способов еговыявления. Как правило, они приводят к совершенно различным , аиногда и к прямо противоположным результатам. При этом вовсе неимеется ввиду грубое нарушение закона или умение экспертов PRаргументировано убеждать людей в вещах противоположных. Мето-дика манипулирования демократией предусматривает (в том числе)всего лишь таким образом построить регламент проведения голосо-вания, чтобы получить необходимый конечный результат. То есть,вначале нужно принять нужное правило голосования, а дальше –дело математики.

Пример. Выборы в Совет трудового коллектива. 300 человекизбирателей должны выбрать 30 человек в совет трудовогоколлектива. На эти 30 мест претендуют 180 кандидатов. Ад-министрация предприятия определила правило: избранным вСовет будет тот, кто набрал более половины от общего числаголосов. Избиратели в бюллетене отмечают лучших (не обяза-тельно одного). После проведения первого тура только 2 че-ловека набрало более половины голосов избирателей. Послепроведения второго тура было избрано еще 3 кандидата.

Администрация пришла к выводу, что таким образом даль-ше голосовать нельзя, так как этот процесс затянется надол-го. Ограничений на процедуру проведения выборов не было.Поэтому решили провести выборы «наоборот»: в бюллетеневычеркивать тех, кто по мнению избирателя не достоин бытьв Совете, а голоса «за» считать количество бюллетеней, гдекандидат не вычеркнут. Третий тур провели именно такимобразом. И оказалось, что необходимое количество — 25 кан-дидатов — набрано! Выборы закончились. Откуда чудо?

11

Оказывается, при таком большом количестве кандидатову избирателей есть не 2 альтернативы («достоин», «не досто-ин»), а 3: «достоин», «не достоин» и «не знаю». И при прави-ле проведения третьего тура произошло объединение голосов«достоин» и голосов «не знаю». Т.е. манипуляция с голосамивоздержавшихся. Предположим теперь, что среди этих кан-дидатов есть новый сотрудник, которого никто не знает, онтолько пришел на предприятие и самовыдвинулся. Этот кан-дидат в третьем туре будет избран единогласно! Т.е. он избрантолько за счет голосов «не знаю».

�

Коллективный выбор часто спотыкается о порог невозможностивыяснения приемлемого решения. Это происходит при определен-ных соотношениях числа вариантов и величин групп избирателей.Известен исторический пример, выборов Папы Римского. Для того,чтобы занять этот пост всегда было немало желающих, но при от-сутствии строгого большинства и при отсутствии устойчивых коали-ций ни один из кандидатов не мог набрать необходимые 2/3 голосов.Тогда к всесильным кардиналам применили принудительный прием:вход в помещение, где проходят выборы, замуровывался до тех пор,пока они не выберут главу церкви. И только после появления надватиканской крышей дымка, свидетельствующего об избрании Па-пы, кардиналов выпускали на волю. Таким образом преодолеваетсяпорог «парадокса голосования». Но за примерами не обязательнообращаться в средние века.

3. Основные процедуры голосования

Мы рассмотрим вопросы принятия решений с помощью распростра-нённых на практике процедур голосования, а также некоторые воз-никающие при этом проблемы. Голосование содержит следующие

12

элементы:

1) формируется набор кандидатов (кандидатов на выборную долж-ность, технических проектов, произведений искусства, альтер-нативных законопроектов и т.п.) в отношении которых должнобыть принято решение;

2) каждый из участников голосования (избирателей) вырабаты-вает свое мнение об этих кандидатах и отражает его в избира-тельном бюллетене в соответствии с инструкцией;

3) в соответствии с некоторой формальной процедурой по этойинформации, поступившей от избирателей, определяется кол-лективное решение.

Различные процедуры голосования различаются тем, какой смыслвкладывается в каждый из этих трех пунктов. При становлении де-мократии элементы грамотности в теории голосовании, по-видимому,нужны всем сознательным членам общества. Будем предполагать,что конечное число избирателей должны избрать одного кандида-та из конечного множества кандидатов. Предположим также, чтоиндивидуальные мнения избирателей не допускают случаев безраз-личия.

Правило голосования представляет собой систематическое реше-ние, опирающееся на индивидуальные мнения избирателей. Выборкандидата происходит на основе сообщенных избирателями предпо-чтений относительно кандидатов и только на основе этих предпочте-ний. Предпочтения избирателей будем представлять в виде таблицыследующего вида:

13

Избирательные группы I II . . .Количество избирателейв группе

N1 N2 . . .

Порядок предпочтениякандидатов избирателя-ми

a d . . .b c . . .c a . . .. . . . . . . . .

Порядок кандидатов в столбце определенной группы соответ-ствует рейтингу в соответствующей группе избирателей. Например,в первой избирательной группе кандидат a предпочтительнее кан-дидата b, а кандидат b, в свою очередь, предпочтительнее кандидатаc. Это можно записать как a � b � c � . . . . Во второй избирательнойгруппе порядок можно записать так: d � c � a � . . . .Такую таблицутакже называют «профилем голосования».

Если кандидатов двое, то обычное правило голосования боль-шинством голосов является наиболее справедливым. Рассмотрим го-лосование с тремя и более кандидатами. Какое правило голосова-ния является естественным продолжением голосования по принци-пу большинства? Наиболее популярным правилом голосования причисле кандидатов большем двух является правило относительногобольшинства.

3.1. Правило относительного большинства

Каждый избиратель отдает свой голос наиболее предпочти-тельному для себя кандидату — оставляет одно имя в бюллетене,остальные вычеркивает. Избирается кандидат, получивший наи-большее число голосов.

Пример 1. Четыре кандидата a, b, c, d выбираются в четырехизбирательных группах, где количество избирателей 3, 5, 7 и

14

6 соответственно:

I II III IV3 5 7 6

a a b cd c d dc d c bb b a a

По правилу относительного большинства a набирает 8 голо-сов, b набирает 7 голосов, c набирает 6 голосов, d набирает 0голосов. Следовательно, победителем является кандидат a. Нонасколько хорош кандидат a? 13 избирателей против 8 счита-ют, что b � a, также 13 избирателей против 8 считают, чтоc � a и еще 13 избирателей против 8 считают, что d � a. Тоесть, для большинства избирателей кандидат a является худ-шим из всех кандидатов.

�

Пример 2. В пяти избирательных группах, с количествомизбирателей соответственно 9, 7, 6, 2 и 4 выбирают одного изчетырех кандидатов a, b, c, d:

I II III IV V9 7 6 2 4

a b c c dd d b a cb c d b bc a a d a

По правилу относительного большинства a набирает 9 голо-сов, b набирает 7 голосов, c набирает 8 голосов, d набирает 4голоса. Следовательно, победителем также является кандидатa. Проанализируем и здесь ситуацию с победителем. 17 изби-рателей из 28 считают, что b � a, 19 избирателей считают, что

15

c � a и еще 17 избирателей считают, что d � a. Кроме того,17 избирателей поставили кандидата a на последнее место, тоесть абсолютное большинство считает, что этот кандидат —наихудший.

�

Что мы видим? Формально правило относительного большин-ства учитывает волю большинства. Однако, это правило может про-тиворечить мнению большинства, т.е. приводить к избранию канди-дата, который при парном сравнении проигрывает любому другомукандидату. Заметим, что по данному правилу проходили выборы вРоссии.

3.2. Правило относительного большинства с выбыва-нием

В первом туре каждый избиратель отдаёт свой голос наибо-лее предпочтительному для себя кандидату (оставляет одно имяв бюллетене, остальных вычеркивает). Если кандидат набираетстрогое большинство голосов, то он избирается. В противномслучае во втором туре проводится голосование по правилу боль-шинства с двумя кандидатами, набравшими наибольшее коли-чество голосов в первом туре.

Рассмотрим результаты выборов при данной обработке мнения из-бирателей, приведенных в примере 1. В первом туре кандидат a

набирает 8 голосов, b набирает 7 голосов, c набирает 6 голосов, dнабирает 0 голосов. Максимальное количество голосов у кандидатаa, но это количество не является строгим большинством (8 < 11).Следовательно, проводится второй тур. Во втором туре сравнива-ются кандидаты a и b. 13 избирателей против 8 считают, что b � a,следовательно, победителем является кандидат b.

16

Казалось бы, все правильно и полностью соответствует проце-дуре голосования. Однако как обстоит дело с кандидатами c и d,которые выбыли в первом туре? 14 против 7 считают, что c � b, ировно столько же избирателей считают, что d � a. Получается, чтооба кандидата, выбывших в первом туре, были в два раза лучшепобедителя!

Рассмотрим теперь результаты выборов в примере 2 по проце-дуре относительного большинства с выбыванием. В первом турекандидат a набирает 9 голосов, b набирает 7 голосов, c набирает8 голосов, d набирает 4 голосa. Максимальное количество голосов укандидата a, но это количество не является строгим большинством(9 < 15). Следовательно, проводится второй тур. Во втором туресравниваются кандидаты a и c. 19 избирателей против 9 считают,что c � a, следовательно, победителем является кандидат c. Здесьтоже все законно. Но в первом туре выбыли кандидаты b и d, приэтом 16 избирателей из 28 считают, что b � c, и 20 избирателей из29 считают, что d � c. Получается, что и этот победитель далеко нелучший.

Видно, что партии, не пользующиеся поддержкой большинстваизбирателей, но выдвинувшие единого кандидата, могут одержатьпобеду на выборах по правилу относительного большинства, еслипартии, пользующиеся поддержкой большинства избирателей, несмогли договориться и выдвинуть единого кандидата (или если вчисле их кандидатов находился «троянский конь»). В то же времяправило относительного большинства с выбыванием может сыгратьобъединяющую роль и привести к победе представителя близкихпо взглядам партий, которые не смогли договорится о выдвиженииединого кандидата (в последнем примере кандидата c). Заметим, чтоданная система голосования широко использовалась на выборах вУкраине.

17

3.3. Голосование с последовательным исключением

Сначала устанавливается порядок сравнения кандидатов, за-тем по правилу большинства кандидаты последовательно срав-ниваются попарно. Если кандидатов m, то имеем m − 1 туровголосования. В первом туре сравниваются два первых канди-дата из цепочки сравнения, победитель первого тура во второмтуре сравнивается с третьим кандидатом в цепочке и так далее.Победитель (m−1)-го тура является победителем по данной про-цедуре. Это правило имеет еще одно название – «олимпийскаясистема»

Определим победителя голосования по данной схеме для примера2. Пусть порядок сравнения будет такой: a → b → c → d. В первомтуре 17 из 28 избирателей считают b � a и, следовательно, кандидатb выходит во второй тур. Во втором туре 16 из 28 избирателей счи-тают, что b � c, значит, b выходит в третий тур. В последнем туре 15из 28 избирателей считают, что b � d и, следовательно, избраннымпо данной системе голосования оказывается кандидат b.

3.4. Правила голосования Кондорсе и Борда

Как показывают примеры, при одном и том же мнении избирателейо кандидатах с помощью различных систем голосования могут бытьизбраны различные кандидаты.

В античные времена, в основном, обсуждались философские, ми-ровоззренческие вопросы, связанные с голосованием. Первая попыт-ка критического анализа процедур голосования была предприняталишь в конце XVIII века во Франции. В эти годы вопрос о том, какнадо принимать коллективные решения (например, на заседанияхКонвента) приобрел необычайную остроту. Сомнения относитель-но принципа «решает большинство голосов» возникли не только у

18

законодателей после того, как вопрос о казни Людовика XVI былпринят Конвентом 11 декабря 1792 года большинством в один голос.В то время в составе Конвента было 387 депутатов, соответственномнения «за» и «против» казни распределились почти поровну. 21января 1793 года казнь привели в исполнение. В Парижской Ака-демии Наук началась активная дискуссия по вопросам организациидемократических выборов, включая избрание новых членов Акаде-мии. Именно два академика Парижской АН того времени по правусчитаются основоположниками теории голосования.

Жан Шарль де Борда (4.5.1733 — 19.2.1799 ) - физик,геодезист и математик, член Парижской АН. Родился в Дак-се (департамент Ланда). Служил офицером сначала в армии,а затем во флоте. Математические работы Борда относятся кдифференциальным уравнениям и сопротивлению жидкостей.Первая работа по математике появилась в 20 лет. Его работы посопротивлению жидкостей положили основание теории воздухо-плавания. Борда входил в Комиссию Лапласа по установлениюединообразной системы мер и весов. Во Франции существует об-щество имени Борда и в память о нем на его родине установленпамятник.

Мари Жан Антуан Никола де Корита, маркиз деКондорсе (17.9.1743 — 29.3.1794) — философ-просветитель, ма-тематик, экономист, социолог, политический деятель. Родился вРибмоне. Был в дружеских отношениях с Д’Аламбером и Воль-тером. Его работы посвящены дифференциальным уравнениямс запаздыванием, теории вероятности. Был избран в 26 лет чле-ном Академии наук и в 1777 году получил пожизненное званиеакадемика-секретаря. Кондорсе приветствовал Великую фран-

19

цузскую революцию. В 1791 году он был избран членом За-конодательного собрания. Учредительным собранием ФранцииКондорсе был назначен главным редактором Конституции. В еёпроект вошла процедура проведения конституционных выборов,разработанная Кондорсе. Проект Конституции был представ-лен Национальному Конвенту Франции в феврале 1793г. Од-нако эта процедура конституционных выборов во Франции неиспользовалась. В 1791г. во время выборов в Законодательноесобрание вышла брошюра Марата «Современные шарлатаны»,в которой Марат обличал АН как оплот старого режима, пре-следуя, в частности, цель дискредитировать Лавуазье, Кондорсеи других членов Академии. В октябре 1793г. Кондорсе вместе сдругими депутатами-жирондистами был внесен в список приго-воренных к казни, однако ему удалось скрыться в доме вдовыскульптора Верне. В 1776 г. Кондорсе был избран членом Петер-бургской АН, но по велению Екатерины II его исключили в 1792г. Жизнь Кондорсе закончилась трагически. Он был арестован26 марта 1794 г. и через три дня умер в тюрьме «при невыяс-ненных обстоятельствах». Считают, что он принял яд, желаяизбежать публичной казни.

Теория голосования как наука имеет дату рождения — 16 июня1770 г. В этот день Ж.-Ш. Борда на заседании Парижской АН сде-лал доклад «О способе проведения выборов», в котором, обсуждаяизбрание членов АН, критикует традиционный способ по большин-ству голосов. Борда предлагает свою процедуру голосования, счи-тая, что от избирателей надо получать больше информации об ихотношении к кандидатам, внесенным в избирательный бюллетень.

20

Правило БордаКаждый избиратель объявляет свои предпочтения, упорядочи-вая m кандидатов от лучшего к худшему (безразличие запре-щается). Кандидат не получает баллов за последнее место, по-лучает один балл от каждого кандидата за предпоследнее и такдалее, получает m − 1 баллов за первое место. Побеждает кан-дидат с наибольшей суммой баллов.

Несмотря на то, что в Парижскую АН входили такие ученые, какМонж, Фурье, Лавуазье, Лаплас, Даламбер, Кондорсе, Лагранж идр., доклад Борда не привлек внимание кого-либо из ученых (кромеКондорсе) и вопрос о процедуре проведения выборов в АН не под-нимался на протяжении 14 лет. Кондорсе решил при помощи ма-тематических методов синтезировать в некотором смысле «самуюестественную» процедуру голосования. Первые попытки приводи-ли Кондорсе к процедуре Борда. Исследователи отмечают сложные,конкурентные взаимоотношения между Борда и Кондорсе. Это, вме-сте с пониманием дефектов процедуры Борда, привело Кондорсе крешению не публиковать полученные результаты. Дальнейшие егоисследования привели к разработке новой процедуры голосования,основанной на принципе попарных сравнений. 17 июля 1784 годана заседании Парижской АН была представлена работа Кондорсе«Эссе о применении вероятностного анализа к принятию решенийпо большинству голосов». В этой работе Кондорсе впервые вводитпредставление о попарных сравнениях как основе теории и методапостроения процедур голосования.

Процедура КондорсеДля заданной таблицы результатов голосования (таблицы пред-почтений) победителем по Кондорсе называется кандидат, кото-

21

рый побеждает любого другого кандидата при парном сравне-нии по правилу большинства. Если парные сравнения образуютцикл, то победителя по Кондорсе нет, и говорят, что имеет местотак называемый парадокс Кондорсе.

Политологи считали парадокс Кондорсе редким явлением. Од-нако, результаты математического моделирования голосования пометоду Кондорсе, приведенные в следующей таблице, показывают,что это не так.

Числокандидатов

Число избирателей3 5 7 9 11 ∞

3 0.050 0.069 0.075 0.078 0.080 0.0884 0.111 0.139 0.150 0.156 0.160 0.1765 0.160 0.200 0.215 0.230 0.251 0.2516 0.202 0.255 0.258 0.284 0.294 0.3157 0.239 0.299 0.305 0.342 0.343 0.369

В таблице указаны вероятности реализации парадокса Кондорсе присоответствующем количестве избирателей и кандидатов.

На следующем заседании АН 21 июля 1784 года Борда вновьдокладывает свою работу. Вскоре АН приняла предложенную импроцедуру для избрания своих членов. Процедура Борда применя-лась АН для этих целей до 1800 г., когда она подверглась резкойкритике со стороны нового академика — Наполеона Бонопарта — онпосчитал ее слишком сложной. Парижская АН вернулась к старойсистеме выборов «по большинству голосов». Система голосованияКондорсе использовалась в Женеве в течение года при выборах вНациональную ассамблею. В 1794 г. была принята новая процедураголосования, предложенная депутатом Лиюлье, который подробнопроанализировал и подверг критике процедуру Кондорсе. Однако,эта процедура также была отменена в 1798 г. после захвата Женевы

22

Наполеоном. Работы Борда и Кондорсе оказали влияние на разра-батывавшуюся в то время Конституцию США.

Пример 2 (продолжение). Определим победителя по Бордадля результатов предпочтений, содержащихся в примере 2. Ввыборах участвует m = 4 кандидата. Кандидат не получаетбаллов за 4-е место, за 3-е место получает 1 балл, за 2-е место– 2 балла, за 1-е место – 3 балла. Следовательно,

Кандидат a получает Σa = 9 · 3 + 2 · 2 = 31 очко

Кандидат b получает Σb = 7 · 3 + 6 · 2 + 15 · 1 = 48 очков

Кандидат c получает Σc = 8 · 3 + 4 · 2 + 7 · 1 = 39 очков

Кандидат d получает Σd = 4 · 3 + 16 · 2 + 6 · 1 = 50 очков

Таким образом, победителем по Борда является кандидат d.Победителем же по Кондорсе является кандидат b, которыйпобеждает кандидата a со счетом 17:11, кандидата c со счетом16:12, кандидата d со счетом 15:13.

�

В XIX веке шел процесс эмпирического поиска новых процедурголосования, которые не привели к появлению «абсолютно прием-лемой» процедуры голосования. В конце XIX века благодаря ра-ботам итальянского математика В. Парето была понята естествен-ность возникновения многокритериальной ситуации при оценке ка-чества процедур голосования. Рассмотрим некоторые из этих новыхпроцедур голосования и аксиом.

3.5. Обобщения процедур Кондорсе и Борда

Естественным обобщением процедуры Борда является

23

Голосование с подсчетом очковПри m кандидатах фиксируем неубывающую последователь-ность чисел s0 6 s1 6 · · · 6 sm−1, причем s0 < sm−1. Избирателиупорядочивают кандидатов, причем s0 очков даётся за послед-нее место, s1 — за предпоследнее и т.д. Избирается кандидат смаксимальной суммой очков.

Данная процедура достаточно широко используется на практи-ке. Покажем, что результаты голосовании существенно зависят отвыбора чисел si. Так, по результатам предпочтений из примера 2по процедуре Борда (т.е. s0 = 0, s1 = 1, s2 = 2, s3 = 3) побеждаеткандидат d; при s0 = 0, s1 = 1, s2 = 2, s3 = 4 побеждает кандидатb; при s0 = 0, s1 = 0, s2 = 1, s3 = 4 побеждает кандидат a.

Если s0 = s1 = · · · = sm−2 = 0, sm−1 = 1, то данная процеду-ра совпадает с процедурой голосования по методу относительногобольшинства.

Приведем два наиболее естественные обобщения процедуры Кон-дорсе.

Правило КоплендаСравним кандидата a с любым другим кандидатом x. Начислимему K(a � x) = +1, если для большинства a � x, K(a � x) =

−1, если для большинства x � a и K(a � x) = 0 при равенстве воценке кандидатов. Оценкой Копленда для кaндидата a назовемсумму K(a) =

∑xK(a � x). Избирается кандидат с наивысшей

оценкой Копленда.

24

Правило СимпсонаРассмотрим кандидата a и любого другого кандидата x. Обо-значим через S(a � x) число избирателей, для которых a � x.Оценкой Симпсона для кaндидата a назовем минимальное изчисле S(a � x): S(a) =

∑xS(a � x). Избирается кандидат с

наивысшей оценкой Симпсона.

Победитель по Кондорсе получает наивысшую оценку Коплендаm− 1, а также оценку Симпсона выше

n

2.

С середины XX века возник новый всплеск интереса к пробле-мам голосования. В 1973 году американский математик П. Фишбернпоставил точку в решении вопроса о различии процедуры Борда ипроцедуры Кондорсе.

Теорема Фишберна. Существуют профили голосования такие,что победитель по Кондорсе не может быть избран ни при какомметоде подсчета очков.

Доказательство. Рассмотрим профиль голосования в четырехгруппах:

ОчкиI II III IV3 6 4 4

s2 c a b bs1 a b a cs0 b c c a

Запишем количество балов, которые наберет каждый из кандидатов:

Кандидат a получает Σa = 6 · s2 + 7 · s1 + 4 · s0Кандидат b получает Σb = 8 · s2 + 6 · s1 + 3 · s0Кандидат c получает Σc = 3 · s2 + 4 · s1 + 10 · s0

Оценим разность баллов кандидата a и кандидата b: Σb − Σa =

25

2s2 − s1 − s0 > 0, так как s0 6 s1, s1 6 s2 и s0 < s2, то есть(s0 + s1) < 2s2. Таким образом, получаем, что b � a при любомнаборе s0, s1, s2. Следовательно, процедуры Кондорсе и Борда прин-ципиально различны.

�

4. Парадоксы голосования и причины их воз-никновения.

Анализ рассмотренных примеров уже показал, что абсолютно демо-кратическим способом можно выбрать такого победителя, которыйпо мнению абсолютного большинства избирателей является наихуд-шим. Почему возникает такой парадокс? Ведь никаких нарушенийдемократичных процедур голосования не было, решение принима-лось исключительно на основе мнения избирателей! Оказывается,далеко не всегда процедура голосования обладает свойствами, кото-рые соответствуют интуитивному пониманию понятия справедливо-го или правильного социального выбора. Рассмотрим некоторые изэтих свойств подробнее.

Монотонность.Предположим, что кандидат a выбирается (среди победителей)при данном профиле голосования и профиль изменится толь-ко так, что положение кандидата a улучшается, а относитель-ное сравнение пары любых других кандидатов для избирателяостается неизменным. Тогда кандидат a для нового профиля по-прежнему должен быть выбран (вновь среди победителей).

Требованию монотонности не удовлетворяет, например, прави-ло относительного большинства с выбыванием, которое широко ис-пользуется при выборах в Украине.

26

Пример 4. В четырех избирательных группах с количествомизбирателей соответственно 6, 5, 4 и 2 определяется победи-тель из трех кандидатов a, b, c. Мнения избирателей представ-лены в профиле А:

Профиль АI II III IV6 5 4 2

a c b bb a c ac b a c

По правилу относительного большинства во второй тур прохо-дят a и b и побеждает a (11 голосов против 6). Предположим,что профиль А – это данные социологического опроса. И былорешено провести активную агитацию в наименьшей из изби-рательных групп. Получили новый профиль голосования:

Профиль БI II III IV6 5 4 2

a c b ab a c bc b a c

В этом профиле кандидат a улучшил свои позиции в четвертойизбирательной группе — вышел на первое место. Определимпобедителя по профилю Б. Кандидат a теперь уверенно выиг-рывает в 1-ом туре и . . . проигрывает во 2-ом туре кандидатуc, т.е. улучшение позиции кандидата a привело к его пораже-нию. Как же так? В профиле Б произошло только улучшениеположения кандидата! Возникает вопрос: на чьи деньги про-водили агитацию в четвертой избирательной группе?

27

�

Таким образом, по правилу относительного большинства с вы-быванием может быть выгодно специально проиграть выборы нанекотором участке, чтобы вывести во второй тур соперника, у ко-торого можно выиграть заключительный тур выборов. В историиизвестны такие случаи.

Анонимность.Имена избирателей не имеют значения: если два избирателя по-меняются голосами, то результаты выборов не изменятся.

Это условие требует, чтобы мнения всех избирателей были рав-ноценными для процедуры голосования. Такое требование реализу-ется принципом равноправия избирателей. Однако, существуют про-цедуры голосования, сознательно придающие мнению одного иличасти избирателей больший вес (например, председатель правленияили члены правления имеют два голоса). Или, например, упорядоче-ние судейских голосов, которое активно используется спортивнымиотделами газет для определения мест, занятых спортивными коман-дами и передачи информации комментаторами по телефону. Приме-ром такой процедуры является также право вето, которым обладаютпостоянные члены Совета Безопасности ООН. Может оказаться, чтовнешне равноправная процедура на самом деле такой не является.

Нейтральность.Имена кандидатов не имеют значения. Если мы поменяем ме-стами кандидатов a и b в предпочтении каждого избирателя, тоисход голосования изменится соответственно (если раньше вы-бирался a, то теперь будет выбираться b и наоборот; если вы-бирался некоторый кандидат x, отличный от a и b, то он же и

28

будет избран.

Это свойство также реализуется принципом равноправия кан-дидатов. Но существуют процедуры, сознательно нарушающие этотребование. Например, на голосование ставится поправка к неко-торому существующему положению (законопроекту, Конституции).При этом часто требуется для внесения поправки получить больше,

например,2

3голосов избирателей, т.е. поправка и существующее по-

ложение находятся в неравноправном положении. Иногда неравно-правие возникает неявно. Правило Копленда и Симпсона анонимныи нейтральны, если мы рассматриваем их как отображения, ставя-щие в соответствие каждому профилю предпочтений подмножествопобедителей. Правило Борда также анонимно и нейтрально. Это жесправедливо для для правила голосования с подсчетом очков, есливсе очки разные. Если ввести некоторое правило при равенстве оч-ков, выделяющее единственного победителя, то либо анонимность,либо нейтральность нарушатся. Это очевидно следует из рассмот-рения примера 0.

Пример 5. Предположим, что на некотором заседании по пра-вилу голосования с последовательным исключением произво-дится отбор альтернативного законопроекта a, b, c, d (техниче-ского проекта, нового образца для производства и т.п.). Мне-ния участников заседания приведены в следующей таблице:

I II III IV1 2 1 1

d a d bb b c ca c a dc d b a

29

Председатель заседания ставит на голосование проекты в по-следовательности a → b → c → d. При первом голосованииво второй тур выходит a, при втором голосовании a � c и натретий тур выходит опять a. На заключительном туре d � a

и, следовательно, побеждает d. Легко проверить, что при по-следовательном сравнении a → b → d → c побеждает c, приb → d → a → c побеждает a и при a → d → b → c побеждаетb. Таким образом, используя то, что голосование с последо-вательным исключением не является нейтральным, председа-тель заседания может в рассматриваемом случае за счет выбо-ра соответствующей последовательности сравнения добитьсялюбого результата голосования.

Оптимальность по Парето.Если кандидат a для всех лучше кандидата b, то кандидатb не может быть победителем.

Пример 6. Рассмотрим следующую таблицу:

I II III1 1 1

b a ca d bd c ac b d

По правилу голосования с последовательным исключением прииспользовании последовательности a → b → c → d имеемa � b, далее второй тур — c � b, в третьем туре d � c. Сле-довательно, побеждает d. В то же время кандидат a для всехизбирателей лучше кандидата d.

�

30

Из примера 6 видно, что правило голосования с последователь-ным выбыванием (олимпийская система) не является оптимальнымпо Парето. Правило Копленда и Симпсона оптимальны по Парето,Правило Борда также оптимально по Парето. Это же справедли-во для правила голосования с подсчетом очков, если очки разные:sk < sk+1.

Пример 7. Четыре кандидата a, b, c, d борются за звание по-бедителя. Избиратели сгруппированы в 4 группы и имеют сле-дующие предпочтения:

I II III IV3 3 5 4

a a d bd d b cc b c ab c a d

По предварительным данным, победитель по Симпсону — a.Победителя по Кондорсе нет.

Четыре студента, обсуждая избирательную кампанию в пив-баре, пришли к общему мнению по поводу кандидатов — c �a � b � d — и решили принять участие в выборах. С их при-ходом профиль голосования меняется:

I II III IV V3 3 5 4 4

a a d b cd d b c ac b c a bb c a d d

Теперь победитель по Симпсону — b. Пришедшие избирателисчитали, что a � b, то есть они поддержали кандидата a, но

31

в результате такой поддержки кандидат a проиграл выборы.(«парадокс неучастия» - лучше бы эти студенты остались до-пивать пиво и не участвовали в выборах).

�

Таким образом, можно сформулировать еще одно требование кпроцедурам голосования в виде аксиомы.

Аксиома участия.Пусть кандидат a является победителем для избирателей из мно-жества N . Рассмотрим некоторого избирателя x /∈ N и опреде-лим победителя при объединенном множестве избирателейN∪x.Тогда должен быть избран либо кандидат a, либо кандидат, ко-торый для избирателя x строго лучше, чем a.

К сожалению нельзя указать лучшую для всех случаев проце-дуру голосования. Из приведенных примеров видно, что прежде,чем какое-то из правил голосования принимать как процедуру, объ-единяющую мнения отдельных избирателей в коллективное мнение,нужно глубоко проанализировать эту процедуру, оценить все «за» и«против», и только потом законодательно утверждать такой выбор.Выбор процедуры голосования для каждой конкретной ситуации но-сит принципиальный характер.

5. Аксиоматика Эрроу. Теорема о невозмож-ности

В 1951 году американский математик и экономист Кеннет Эрроуопубликовал результаты диссертационного исследования в книге «Со-циальный выбор и индивидуальные ценности» («Social Choise andindividual Values», K. Arrow). Основной результат его исследований

32

в дальнейшем получил название «теоремы о невозможности». К. Эр-роу поставил перед собой простую и одновременно претенциознуюцель: решить проблему рационального согласования индивидуаль-ных интересов, то есть найти некое правило, способ выбора одногоиз многих альтернативных решений – процедуру выявления волинарода да и вообще, любого сообщества, будь то совет директоровкакой-нибудь фирмы, суд присяжных или общее собрание гаражно-строительного кооператива. Он обратился к исследованию давноизвестной человечеству процедуры — принятию решений большин-ством голосов. В числе достоинств этой процедуры — простота, рав-ноправие и весомость, обусловленная традицией.

К. Эрроу сформулировал аксиомы, которым должна удовлетво-рять любая процедура комбинирования или объединения индивиду-альных предпочтений, чтобы образовать коллективное суждение. Тоесть, он впервые провел аксиоматическое исследование рациональ-ных процедур голосования и использовал этот подход для констру-ирования процедур голосования. Это направление исследования пе-реросло в сравнительный анализ процедур голосования, то есть ввыяснение того, в какой мере та или иная процедура удовлетворяетнекоторому набору условий и критериев.

Вообще говоря, существует бесконечное множество рациональ-ных процедур голосования, и анализ каждой из них по отдельности— задача невыполнимая. Однако процедуры объединения индиви-дуальных предпочтений в коллективный выбор общества закрепля-ются законодательно на уровне Конституции государства. Поэтомутребования (аксиомы) были сформулированы Эрроу по отношениюк Конституциям. Рассмотрим их более детально.

5.1. Аксиомы Эрроу

Первая аксиома Эрроу. Универсальность.Она требует, чтобы Конституция отражала каждую возможную

33

конфигурацию предпочтений голосующих. Общество не должно при-нимать Конституцию, которая может оказаться несостоятельной хо-тя бы в некоторых структурах предпочтений голосующих. Следо-вательно, Конституция должна быть общей, чтобы разрешить всевозможные споры.

Вторая аксиома Эрроу. Единогласие.Она управляет действием Конституции, когда нет согласия меж-

ду избирателями. Для конфигурации предпочтений, при которойкаждый индивидуум считает, что a � b, коллективное предпочте-ние должно быть таким же.

Третья аксиома Эрроу. Независимость.Коллективное предпочтение любой пары альтернатив зависит

только от предпочтений голосующих, касающихся этих альтерна-тив. Как бы не менялись индивидуальные предпочтения других аль-тернатив, если каждое из индивидуальных предпочтений альтерна-тив a и b остается неизменным, то и коллективное предпочтениеальтернатив a и b не меняется.

Введем обозначения:

� — отношение индивидуального предпочтения: a � b означает,что альтернатива a предпочтительнее альтернативы b;

S� — отношение слабого коллективного предпочтения: a

S� b озна-

чает, что альтернатива a не хуже альтернативы b в смыслеколлективного предпочтения;

S� — отношение сильного коллективного предпочтения: a

S� b

означает, что альтернатива a предпочтительнее альтернативыb в смысле коллективного предпочтения.

Четвертая аксиома Эрроу. Полнота.Для каждой пары альтернатив a и b должно выполняться или

aS� b, или b

S� a, или и первое и второе одновременно (в этом случае

34

альтернативы a и b неразличимы в смысле коллективного предпо-чтения).

Пятая аксиома Эрроу. Транзитивность.

Слабое коллективное предпочтениеS� должно быть транзитивно,

т.е. если aS� b и b

S� c, то a

S� c. Кроме того, Эрроу требует тран-

зитивности и для отношения строгого коллективного предпочтенияS�: если a

S� b и b

S� c, то a

S� c.

Примеры транзитивных отношений — сравнение действитель-ных чисел. Но, например, отношение «быть знакомым» не являетсятранзитивным.

Если конституция являетсяS�-транзитивной и при этом удовле-

творяет остальным аксиомам Эрроу, то такая конституция являетсянейтральной, то есть если из частной конфигурации упорядоченияальтернатив u и v следует, что коллективно предпочитается v, то изтой же конфигурации предпочтений a и b следует, что коллективнопредпочитается альтернатива b.

К. Эрроу ввел, на первый взгляд, очевидные требования, кото-рым должно подчиняться правило голосования. Попробуем опреде-лить функцию коллективного предпочтения, которая удовлетворялабы этим требованиям.

5.2. Функция коллективного предпочтения

Пусть имеется n избирателей и m кандидатов. Нужно построитьфункцию, которая определяет коллективный порядок на множествекандидатов, т.е. правило, которое для любых заданных порядков

1�,

2�, . . . ,

m� определяет коллективный порядок f

(1�,

2�, . . . ,

m�).

Таких функций может существовать много. Например, функ-ция может объявлять всех кандидатов равными. Но толку от такойфункции — никакого.

Наложим некоторые ограничения на функцию f . Она должна

35

быть определена для любого конечного числа кандидатов (напри-мер, для m = 2 либо первый лучше, либо второй кандидат лучше,либо оба равны), т.е. удовлетворяет аксиоме полноты.

Определение 1. Пусть S = {1, 2, . . . , n} — множество избирате-лей и задано подмножество A ⊂ S, называемое коалицией. Коали-ция A называется f -решающей для кандидата a против кандидата b

тогда и только тогда, когда из того, что для всех избирателей из A

справедливо соотношение aA� b и для всех избирателей из S\A спра-

ведливо противоположное соотношение bS\A� a следует, что a

S� b.

Обозначают это так: A = f(a, b).

Функция f определяет порядок вида . . . aS� · · ·

S� b . . . . Коалиция

A зависит от конкретных кандидатов a и b и не обязана быть f -решающей для кандидата c против кандидата d.

Определение 2. Если для любых двух кандидатов x и y коа-лиция A является f -решающей для кандидата x против кандидатаy, то такая коалиция называется f -решающей.

Докажем ряд утверждений, которые показывают, что в кажу-щейся разумной системе пяти аксиом имеется серьезная внутренняяпроблема.

Лемма 1. Существует пара кандидатов (a, b) такая, что най-дется коалиция, состоящая из одного избирателя D = {d}, являю-щаяся f -решающей для кандидата a против кандидата b.

Доказательство. Пусть F — множество коалиций Fk, для каж-дой из которых существует пара кандидатов (a, b) таких, что Fk =

f(a, b) (для каждой коалиции из F эта пара кандидатов своя). Мно-жество F 6= ∅, так как S ⊂ F , то есть F включает в себя и множе-ство всех избирателей.

Возьмем коалицию D из F , которая содержит наименьшее числоизбирателей, то есть |D| = min

Fk⊂F|Fk|. Так как F 6= ∅, то |D| > 1,

то есть D содержит не менее одного избирателя. Докажем, что D

36

содержит ровно одного избирателя.

Предположим, что D можно разбить на два непересекающихсянепустых подмножества: {d} — из одного избирателя и E = D \ {d}— из всех остальных. Тогда всего получается 3 группы избирателей:

Группа избирателей {d} E S \D

Кандидатыa c bb a cc b a

Так как коалиция D является f -решающей для кандидата a противкандидата b, то a � b.

Если c � b, то коалиция E является f -решающей для кандидата cпротив кандидата b. Но в E меньше избирателей, чем в D, котораяпо определению минимальна. Следовательно, c не может быть нехуже, чем b. Тогда, в силу аксиомы полноты, b лучше, чем c.

Теперь мы имеем, что a � b и b � c. Тогда по аксиоме транзи-тивности a � c. А это означает, что {d} является f -решающей длякандидата a против кандидата c, что также противоречит мини-мальности коалиции D. Мы пришли к противоречию и, тем самым,лемма доказана.

�

Лемма 2. Коалиция D = {d}, существование которой доказанов лемме 1, является f -решающей.

Доказательство. Пусть c — произвольный кандидат. Рассмот-рим профиль голосования:

37

Группа избирателей {d} S \D

Кандидаты. . . . . .

a b

. . . . . .

b c

. . . . . .

c a

. . . . . .

Избиратель d считает, что a � b и b � c, а все остальные считают,что b � c и c � a. Так как {d} является f -решающей для канди-дата a против кандидата b, то a � b. И мы имеем, что для всех

избирателей bS� c — по аксиоме единогласия. Следовательно, по

аксиоме транзитивности a � c и этот результат не зависит от b поаксиоме независимости. Следовательно, {d} является f -решающейдля кандидата a против кандидата c, то есть d = f(a, c). При этомc — некоторый произвольный кандидат.

Проведя аналогичные рассуждения для произвольного кандида-та e в профиле голосования

Группа избирателей {d} S \D

Кандидаты. . . . . .

e c

. . . . . .

a e

. . . . . .

c a

. . . . . .

мы видим, что eS� c, и получаем, что d = f(e, c) для произвольных

кандидатов e и c. Это означает, что {d} является f -решающей.�

38

Лемма 3. Избиратель d может навязывать свое мнение поповоду любых двух кандидатов a и b при условии, что мнение всехостальных избирателей противоположно.

В формулировке леммы 3 пока проявляется зависимость мне-ния диктатора от мнения других – его мнение не такое, как у всехостальных.

Доказательство. Докажем, что как бы ни голосовали осталь-ные избиратели, коллективное мнение будет совпадать с мнениемкандидата d. Рассмотрим такие профили голосования, в которых

у избирателя порядок вида:d� a

d� · · ·

d� c

d� · · ·

d� b

d� . . . , все

остальные избиратели полагают c � aи c � b, а в остальном ихрасположение кандидатов произвольно.

Так как {d} является f -решающей, то ad� c. Для всех избирате-

лей c � b, следовательно, в силу аксиомы единогласия cS� b. Тогда

по аксиоме транзитивности получаем, что ad� b. Исключая из со-

отношений кандидата c (по аксиоме независимости), получаем, что,если избиратель d считает, что кандидат a лучше, чем кандидат b,

то кандидату a будет оказано коллективное предпочтение aS� b.

То есть, из ad� b следует a

S� b. Это означает, что порядок пред-

почтений у избирателя d и коллективное предпочтение совпадают.

Следовательно, если bd� a, то b

S� a. Таким образом, a

d� b⇔ a

S� b.

�

Лемма 3 показывает, что единственный кандидат может дик-товать свои предпочтения коллективу избирателей. То есть этоткандидат является диктатором. Таким образом, получаем неожи-данный результат: при всей разумности выдвигаемых требований кпроцедурам голосования, имеется только одна процедура, удовле-творяющая всем пяти аксиомам — это правило диктатора. Незави-симо от предпочтения других избирателей, она устанавливает тотколлективный порядок, который определяется первым избирателем

39

(вместо первого может быть второй или третий, это не имеет значе-ния). Диктатор — это личность, обладающая властью навязыватьобществу свое строгое предпочтение для произвольной пары аль-тернатив. Роль диктатора может выполнять, например, партия илирелигия, угроза большой войны, авторитет влиятельного меньшин-ства и проч. Получается, что для решения «тупиков демократии»требуется внешнее давление на общество, которое лишает избирате-лей хотя бы части их свободы.

5.3. Теорема о невозможности

К. Эрроу, будучи искренним приверженцем демократии и гражда-нином США, не мог удовлетвориться таким результатом. Он допол-нил систему аксиом еще одной.

Шестая аксиома Эрроу. Отсутствие диктатуры. Теперь всовокупности уже шесть аксиом являются противоречивыми. Ше-стая аксиома исключает существование единственной процедуры,которая удовлетворяет первым пяти. Окончательный вывод Эройсформулировал в виде теоремы.

Теорема о невозможности. Не существует правила, объеди-няющего индивидуальные предпочтения в коллективное, котороеудовлетворяет всем шести аксиомам Эрроу.

6. Заключение

В течении последних лет ученые не переставали исследовать аксио-мы Эрроу в попытке обойти его теорему о невозможности, стремясьослабить сформулированные им требования.

Отказ от аксиом универсальности и независимости не пролилсвет на реальные механизмы выбора. Ряд попыток исследовать дру-гие аспекты механизмов выбора при общих предположениях такжепривели к отрицательным результатам. В частности было известно,

40

что в процессах коллективного выбора участники могут добиватьсялучших для себя исходов, давая ложную информацию о своих пред-почтениях, и возникла проблема: построить механизм, который былбы неманипулируем, то есть делал бы дезинформацию невыгодной.В 1973 г. Гиббaрд доказал, что универсальных неманипулируемыхи не диктаторских механизмов не существует.

Один из основных методологических постулатов теории соци-ального выбора состоит в том, что долговременно действующие ме-ханизмы должны быть наилучшими из возможных. Этот постулатбазируется на дарвинистском представлении о естественном отборе.Благодаря ему грань между нормативной и дескриптивной теориейоказывается размытой, проблема сводится к правильной формули-ровке понятия оптимальности. Постулат оптимальности нашел впе-чатляющее (хотя лишь частичное) подтверждение в теории экономи-ческого равновесия, но, видимо, не оправдал себя в теории социаль-ного выбора. Ответ на основной вопрос: "Чем выделяются механиз-мы, эффективно действующие в реальности?"так и не был получен.

Эта проблема вызывает широкий интерес, так как она тесно свя-зано с ключевыми вопросами экономики, философии, общественныхнаук. Построенная Эрроу теория показала, что нельзя синтезиро-вать идеальную систему голосования не потому, что не хватает фан-тазии, а потому, что такой системы не может быть — рациональныйобщественный выбор не может быть компромиссным.

За эту работу К.Эрроу в 1972 году получил Нобелевскую пре-мию. Главный вывод К. Эрроу определяет ограничения на прави-ла коллективного принятия решений: три общепризнанные цели —коллективная рациональность, способность принимать решения иравенство власти оказываются в непримиримом противоречии. Ес-ли общество отказывается от коллективной рациональности, тем са-мым принимая необходимую произвольность и возможность оказы-вать влияние на нерациональные процедуры, то принцип большин-

41

ства обеспечит выбор, так как с его помощью можно достичь дведругие цели. Если общество настаивает на сохранении некоторойстепени коллективной рациональности, то оно может достичь ра-венства, приняв правило консенсуса, но только ценой крайней нере-шительности. Общество может увеличить способность приниматьрешения, концентрируя право вето во все более узком кругу инди-видуумов.

Исследования К.Эрроу привели к более глубокому пониманиюсуществующих методов голосования и, возможно, помогут создатьболее совершенные. Но возможности строго ограничены и решитель-ные компромиссы неизбежны.

Выбор процедуры голосования является сложной проблемой, вклю-чающей в себя философские, мировоззренческие, психологическиеи технические аспекты, и как мы уже говорили, носит принципи-альный характер.

Вопросы для самоконтроля

1. Что является предметом изучения в теории голосования?

2. Что такое конфликтная ситуация?

3. Причины возникновения конфликтов.

4. Какого рода конфликты разрешаются голосованием?

5. Что такое профиь голосования?

6. Что такое процедура голосования?

7. Что такое парадокс голосования?

8. Сформулируйте правило относительного большинства. Естьли у нее недостатки?

9. Сформулируйте правило относительного большинства с выбы-ванием. Есть ли у нее недостатки?

10. Какова роль процедур, основанных на правиле большинствав жизни политической системы и демократического государ-ства?

11. Сформулируйте процедуру голосования с последовательнымисключением. Почему результат зависит от выбора порядкасравнения?

42

43

12. Какова роль маркиза де Кондорсе и Жана-Шарля де Борда вформировании теории голосования?

13. В чем заключается основное отличие процедуры Борда от про-цедур, основанных на правиле большинства?

14. Какая идея заложена в процедуре Кондорсе?

15. Являются ли процедуры Борда и Кондорсе различными по су-ществу? Ответ обоснуйте.

16. Какая проблема может возникнуть при применении процеду-ры Кондорсе?

17. Назовите обобщение процедуры Борда.

18. Какие процедуры основаны на идее попарного сравнения?

19. Что означает свойство монотонности процедуры голосования?

20. Что означает свойство анонимности процедуры голосования?

21. Что означает свойство нейтральность процедуры голосования?

22. Что означает свойство Парето-оптимальности процедуры го-лосования?

23. Как может повлиять на результат голосования появление но-вой группы избирателей?

24. Опишите вклад К.Эрроу в развитие теории голосования.

25. Перечислите аксиомы Эрроу. Объясните их содержание.

26. Что такое f -решающая коалиция?

27. Возможно ли существование коалиции, состоящей из одногоизбирателя и при этом являющейся f -решающей?

44

28. Какая процедура голосования удовлетворяет первым пяти ак-сиомам Эрроу?

29. Сформулируйте теорему о невозможности.

30. Существуют ли неманипулируемые процедуры голосования?

31. В чем кроются причины нерешительности коллегиальных ор-ганов управления и другой крайности — концентрации власти?

Задания длясамостоятельной работы

Ниже приводятся задания для самостоятельной работы. Всего вари-антов 10, номер варианта для каждого студента определяется пре-подавателем. В каждом варианте 3 задания. Первое задание заклю-чается в применении всех рассмотренных процедур голосования кпрофилю голосования, который имеет следующий вид:

Профиль голосования А

Группа I II III IV V VIКоличество 4 3 4 i 3 11− i

1-е место a b b c d a2-е место b c a d b d3-е место c d d a c c4-е место d a c b a b

Параметр i указывается в каждом варианте отдельно. Остальныедва задания заключаются в проверке аксиом и свойств процедур го-лосования, доказательстве некоторых простейших фактов и анализенетривиальных ситуаций, которые могут возникать при реализацииразличных процедур голосования.

Сроки выполнения, форма сдачи и критерии оценивания опре-деляются преподавателем.

45

46

Варианты заданийВариант 1.

1) Определите победителя по всем известным вам правилам, ис-пользуя данные из профиля голосования A при i = 1.

2) В голосовании участвовал 21 избиратель и необходимо былоопределить победителя среди 5 кандидатов. К сожалению, табли-ца предпочтений была утеряна. Известно только, что в ней было2 столбца (т.е. 2 различных профиля предпочтений избирателей).Объясните, почему в такой ситуации обязательно будет абсолютныйпобедитель (получивший абсолютное большинство)? Почему этотпобедитель победит и при попарном сравнении со всеми остальны-ми кандидатами?

3) Докажите, что если в голосовании с нечетным числом голосу-ющих не будет победителя по Кондорсе, то в любом рейтинге кан-дидатов, построенном на основании попарного сравнения, как ми-нимум 2 кандидата займут одно и то же место.

Вариант 2.


2) Пусть необходимо сделать выбор из 4-х кандидатов (A, B, Cи D), используя метод Борда. Всего избирателей 11 человек. Послеподсчета очков оказалось, что кандидат B получил 32 очка, канди-дат C — 29 очков, а кандидат D — 18 очков. Сколько очков получилкандидат A? Кто победитель?

3) Выполняется ли для метода относительного большинства, ме-тодов Борда и Кондорсе аксиома оптимальности по Парето? Длякаждого метода обоснуйте (докажите или приведите контрпример)свое утверждение.

47

Вариант 3.


2) В голосовании принял участие 21 человек, выбор производил-ся из 5 кандидатов по методу Борда. К сожалению, счетная комис-сия запуталась в подсчете очков. По предложению одного из канди-датов, результаты были пересчитаны заново по следующей схеме: 4очка за 1-е место, 3 очка за 2-е и так далее. Докажите, что резуль-таты голосования при этом не изменятся.

3) Пусть предложен следующий критерий: если большинство го-лосующих предпочитает альтернативу x альтернативе y, то методголосования должен поставить x выше y в итоговом рейтинге. По-кажите на примерах, что метод относительного большинства, методБорда и метод Кондорсе не удовлетворяют этому критерию.

Вариант 4.


2) Критерий большинства заключается в следующем: если аль-тернативу x на 1-е место поставило больше 50% голосующих, то онадолжна стать победителем и по процедуре голосования. КритерийКондорсе звучит так: если в заданных условиях существует победи-тель по Кондорсе, то процедура голосования должна выбрать побе-дителем именно его. А теперь объясните (докажите), почему любойметод голосования, нарушающий критерий большинства, нарушаеттакже и критерий Кондорсе?


48

Вариант 5.


2) Критерий большинства заключается в следующем: если аль-тернативу x на 1-е место поставило больше 50% голосующих, тоона должна стать победителем и по процедуре голосования. Кри-терий Кондорсе звучит так: если в заданных условиях существуетпобедитель по Кондорсе, то процедура голосования должна выбратьпобедителем именно его. Приведите теперь пример голосования пометоду Борда, для которого критерий Кондорсе нарушается, а кри-терий большинства - нет.


Вариант 6.


2) Критерий Кондорсе звучит так: если в заданных условиях су-ществует победитель по Кондорсе, то процедура голосования долж-на выбрать победителем именно его. Приведите пример голосованияпо методу относительного большинства с выбыванием, для которогокритерий Кондорсе нарушался бы.


Вариант 7.

49


2) Удовлетворяет ли метод относительного большинства аксиомемонотонности? А метод Кондорсе? Обосновать ответ (доказать илипривести контрпример).


Вариант 8.


2) Критерий большинства заключается в следующем: если аль-тернативу x на 1-е место поставило больше 50% голосующих, то онадолжна стать победителем и по процедуре голосования. Объясните,почему метод относительного большинства с выбыванием удовле-творяет этому критерию. Объясните, почему метод относительногобольшинства удовлетворяет аксиоме монотонности.


Вариант 9.


2) Критерий большинства заключается в следующем: если аль-тернативу x на 1-е место поставило больше 50% голосующих, тоона должна стать победителем и по процедуре голосования. Объ-ясните, почему метод относительного большинства с выбыванием

50

удовлетворяет этому критерию. Удовлетворяет ли метод Кондорсеаксиоме монотонности? Ответ обосновать.


Вариант 10.1) Определите победителя по всем известным вам правилам, ис-

пользуя данные из профиля голосования A при i = 10.2) Критерий большинства заключается в следующем: если аль-

тернативу x на 1-е место поставило больше 50% голосующих, тоона должна стать победителем и по процедуре голосования. Удо-влетворяет ли метод Кондорсе этому критерию? Ответ обосновать.Объясните также, почему метод относительного большинства удо-влетворяет аксиоме монотонности.


Литература

[1] Вольский В.И. Турнирные функции в задачах коллективно-го и многокритериального выбора. Исследования по теорииструктур. - М.: Наука, 1987.

[2] Вольский В.И., Лезина З.М. Голосование в малых группах.Процедуры и методы сравнительного анализа. - М: Наука,1991. - 192 с.

[3] Воробьев Н.Н. Теория игр для экономистов-кибернетиков. -М.: Наука, 1985. - 272 с.

[4] Ларичев О.И. Наука и искусство принятия решений. - М.: На-ука, 1979. - 200 с.

[5] Маркин Б.Г. Проблема группового выбора. - М.: Наука, 1974.- 256 с.

[6] Моисеев Н.Н. Математика - управление - экономика. - М.: Зна-ние, 1970. - 60 с.

[7] Мулен Э. Кооперативное принятие решений: Аксиомы и моде-ли. - М.: Мир, 1991. - 464 с.

[8] Arrow K.J. Social Choice and Individual Values. - New York:Wiley, 1951. - 124 p.

[9] Gibbard A. Manipulation of voting schemes: A general result.Econometrica – 1973 - V. 41, 587 p.

51

Documents

Теория принятия решенийouek.onu.edu.ua/uploads/courses/smpr/Методичка_Теория... · Введение Принятие решений условиях