Upload
others
View
7
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
MAKALAH KAPITA SELEKTA SMA
TENTANG MATRIKS
Oleh :
Suci Pusporini (09320014)
Risky Noorwiyadi (09320020)
Kelas : 2A Matkom
Jurusan Pendidikan Matematika dan Komputasi
Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan
Universitas Muhammadiyah Malang
2009
PEMBAHASAN
A. Pengertian Matriks dan Ordo Matriks
`Menurut Nasoetion (1980:24), suatu matriks merupakan himpunan
unsur-unsur yang disusun berdasarkan penggolongan terhadap dua sifat yang
sering disebut dengan istilah baris dan kolam. Susunan bilangan - bilangan
yang diatur pada baris dan kolom dan letaknya diantara dua buah kurung
(http://www.Belajar-Matematika.com ). Sederetan bilangan yang berbentuk
segi empat yang diapit oleh sepasang kurung siku
(http://www.p4tkmatematika.org/downloads/smk/Matriks).
Berdasarkan pemaparan tersebut maka dapat disimpulkan, Matriks
merupakan susunan bilangan-bilangan yang berbentuk siku-empat terdiri dari
baris dan kolom dengan diapit oleh sepasang kurung siku. Sebagai contoh :
a. [2 2 51 3 15 12 9] dan b. [3 3
1 2]Baris suatu matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang mendatar
dalam matriks. Kolom suatu matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang
tegak dalam matriks.
Bentuk umum :
Secara umum matriks Amxn = [ a11 … a1 n
… … …am1 … amn
]Perhatikan bahwa elemen matriks A tersebut berindeks rangkap misalnya
a11, yang artinya matriks A pada baris ke-1 dan kolom ke-1. Untuk lebih
jelasnya bentuk umum seperti :
Amxn = [ aij ]mxn
a 11 a 1 j …. a1na 21 a 2 j …. a2nai1 aij …. ainam 1 amj …. amn
m= baris
n= kolom
i = 1,2…m
j= 1,2…n
Matriks dinotasikan dengan huruf capital misalnya A, B, C dan lain-lain.
Banyanya baris dan banyaknya kolom menentukan ukuran dari matriks
tersebut yang disebut ordo matriks. Perhatikan bahwa elemen dari matriks A
di atas, misal a21 menyatakan elemen pada matriks A tersebut terletak pada
baris ke 2 dan kolom ke 1. Sedangkan matriks A berordo mxn dan ditulis
Amxn.
B. Macam-macam matriks
Menurut ordonya terdapat berbagai jenis matriks, antara lain.
a. Matriks Persegi
Yaitu matriks yang berordo nxn atau banyaknya baris sama dengan
banyaknya kolom.
Contoh: B2x2 = [2 43 7]
Pada suatu matriks persegi ada yang dinamakan sebagai diagonal utama
dan diagonal sekunder. Komponen-komponen yang terletak pada diagonal
utama pada matriks tersebut adalah 2 dan 7 yang berasal dari kiri atas ke
kanan bawah. Sebaliknya, komponen-komponen yang terletak pada
diagonal sekunder berasal dari kiri bawah ke kanan atas.
b. Matriks Baris
Yaitu matriks yang berordo 1xn atau hanya memiliki satu baris.
Contoh: A1x2 = 1 4
c. Matriks Kolom
Yaitu matriks yang hanya memiliki satu kolom.
Contoh C2x1= 23
d. Matriks Tegak
Yaitu matriks yang berordo mxn dengan m>n
Contoh: Q = 4 42 63 1
, Q berordo 3x2 sehingga matriks Q tampak tegak.
e. Matriks Datar
Yaitu matriks yang berordo mxn dengan m<n
Contoh: H= 2 3 165 6 3 , H berordo 2x3 sehingga matriks F tampak datar.
Berdasarkan elemen-elemen penyusunnya terdapat jenis matriks, antara
lain :
a. Matriks Nol
Yaitu matriks yang semua elemen penyusunnya adalah nol dan
dinotasikan sebagai O.
Contoh: O2x3 = 0 0 00 0 0
b. Matriks Diagonal
Yaitu matriks persegi yang semua elemen diatas dan dibawah diagonal
utamanya adalah nol.
Contoh: F2x2 = [1 00 3 ]
c. Matriks Skalar
Yaitu matriks diagonal yang semua elemen pada diagonalnya sama dan
elemen-elemen selain diagonal utama adalah 0.
Contoh: F2x2 = [3 00 3 ]
d. Matriks Simetri
Yaitu matriks persegi yang setiap elemennya selain elemen diagonal
adalah simetri terhadap diagonal utama, atau matriks dimana susunan
elemen-elemen antara matriks dengan transposenya sama. C=CT; maka C
adalah matriks simetris
Contoh: C3x3 = 1 2 32 2 53 5 3
e. Matriks Simetri Miring
Yaitu Matriks simetri yang elemen-elemennya selain elemen diagonal
saling berlawanan.
Contoh: W3x3 = 1 −2 32 2 5
−3 −5 3
f. Matriks Identitas (satuan)
Yaitu matriks diagonal yang semua elemen pada diagonal utamanya
adalah satu dan elemen yang lain adalah nol dan dinotasikan sebagai I.
Contoh: I3x3 = [1 0 00 1 00 0 1 ]
g. Matriks Segitiga Atas
Yaitu dikatakan segitiga atas jika aij = 0 untuk i>j dengan kata lain matriks
persegi yang elemen-elemen di bawah diagonal utamanya adalah nol.
Contoh: K3x3 = [2 3 30 1 10 0 8 ]
h. Matriks Segitiga Bawah
Yaitu dikatakan segitiga bawah jika aij = 0 untuk i<j dengan kata lain
matriks persegi yang elemen-elemen di atas diagonal utamanya adalah nol.
Contoh: V3x3 = [2 0 02 1 03 1 8]
i. Matriks Transpose yaitu matriks yang diperoleh dari memindahkan
elemen-elemen baris menjadi elemen pada kolom atau sebaliknya.
Transpose suatu matriks dilambangkan dengan …T, misal transpose
matriks B dilambangkan dengan BT
Contoh: B2x3 = 1 2 30 3 4 , maka BT =
1 02 33 4
Perhatikan bahwa ordo dari BT adalah 3x2. Sehingga pada matriks
transpose baris menjadi kolom dan sebaliknya, kolom menjadi baris.
C. Operasi Matriks dan Sifat-sifatnya
a. Operasi kesamaan
Dua buah matriks atau lebih dikatakan sama jika dan hanya jika
mempunyai ordo sama dan elemen-elemen yang seletak juga sama.
Contoh: A=¿ (1 2 ¿ ) ¿¿
¿ ¿¿
A = B, A ≠ C, B ≠ C
b. Penjumlahan dan Pengurangan dua Matriks
Penjumlahan Matriks, Jika A + B = C, maka elemen-elemen C diperoleh
dari penjumlahan elemen-elemen A dan B yang seletak, yaitu cij = aij +bij
untuk C pada baris ke-i dan kolom ke-j. sehingga, matriks A dan B dapat
dijumlahkan apabila kedua matriks memiliki ordo yang sama.
Contoh A= [2 14 3], B= [3 1
4 1] maka A + B = [2 14 3]+[3 1
4 1]= [5 2
8 4] = C
Sifat-sifat penjumlahan matriks
1. A+B = B+A (Komutatif)
2. A+(B+C) = (A+B)+C (Assosiatif)
3. A+O = O+A = A
4. (A+B)T = AT+BT
5. Ada B sedemikian hingga A + B = B + A = 0 yaitu B = -A
Pengurangan matriks, jika A – B = C, maka elemen-elemen C diperoleh
dari pengurangan elemen-elemen A dan B yang seletak, yaitu cij = aij-bij
atau pengurangan dua matriks dapat dipandang sebagai penjumlahan
matriks yaitu A + (-B)
Contoh: A=[1 24 3], B= [2 3
1 1], maka A-B = [1 24 3]−[2 3
1 1]¿ [−1 −1
3 2 ]c. Perkalian matriks dengan skalar.
Perkalian sebuah matriks dengan skalar, maka setiap unsur matriks
tersebut terkalikan dengan skalar. Msalkan matriks A dikalikan dengan
suatu bilangan real k maka kA diperoleh dari hasil kali setiap elemen A
dengan k.
Contoh: A = [−1 −13 2 ] maka 3A = 3 [−1 −1
3 2 ]=[−3 −39 6 ]
Jika a dan b bilangan real (skalar) dan matriks A dan matriks B merupakan
dua matriks dengan ordo sama sehingga dapat dilakukan operasi hitung.
Maka berlaku sifat-sifat perkalian matriks dengan skalar:
1. a(A+B) = aA+aB
2. a(A-B) = aA-aB
3. (a+b)B = aB+bB
4. (a-b)B = aB-bB
5. (ab)B = a(bB)
6. (aB)T = aBT
d. Perkalian Dua Matriks
Dua buah matriks atau lebih (misal matriks AB) dapat dikalikan jika dan
hanya jika jumlah kolom pada matriks A sama dengan jumlah baris pada
matriks B. jadi AmxnBnxr bias didefinisikan, tapi BnxrAmxn tidak dapat
didefinisikan.
A B AB
mxn nxr = mxr
sehingga hasil kali matriks AB berordo mxr.
Catatan:
Perkalian 2 matriks AB dapat didefinisikan, jika banyaknya
kolom matriks A = banyaknya baris matriks B.
Hasil kali dua matriks AB adalah suatu matriks dengan banyaknya
baris = banyaknya baris matriks A dan banyaknya kolom =
banyaknya kolom matriks B.
Pada umumnya AB ≠ BA
Apabila A suatu matriks persegi maka A2 = A.A ; A3 = A2.A ;
A4 = A3.A dan seterusnya.
Apabila AB=BC maka tidak dapat disimpulkan bahwa A = C.
Apabila AB=0 maka tidak dapat disimpulkan bahwa A=0 atau B=0
Contoh perkalian matriks:
1. Perkalian matriks berordo 1xa dengan ax1
A = 1 2 3 dan B = 321
, A1x3B3x1 = [(1x3) + (2x2) + (3x1)]
= [10]
Hasil kalinya merupakan matriks berordo 1x1.
2. Perkalian matriks berordo ax1 dengan 1xa
A= 123
dan B = 1 2 3 , A3x1B1x3 = [1x 1 1 x2 1x 32x 1 2 x2 2x 33x 1 3 x2 3 x3]
= [1 2 32 4 63 6 9]
Hasil kalinya merupakan matriks berordo 3x3.
3. Perkalian matriks berordo mxn dengan matriks nxr
A = [2 51 3], B = 1 2 3
3 1 2
A2x2B2x3 = [2 51 3] 1 2 3
3 1 2
AB = (2 x1 )+(5x 3) (2 x2 )+(5 x1) (2 x3 )+(5x 2)(1 x1)+(3 x3) (1 x2 )+(3 x1) (1 x 3 )+(3x 2)
= 17 9 169 5 9
Sifat-sifat perkalian matriks dengan matriks antara lain :
1. A(BC) = (AB)C
2. A(B+C) = AB + AC
3. (B+C)A = BA + CA
4. A(B-C) = AB – AC
5. (B-C)A = BA – CA
6. a(BC) = (aB)C = B(aC)
7. AI = IA = A
D. Determinan, Adjoin dan Invers Matriks
a. Determinan.
Untuk setiap matriks persegi terdapat suatu bilangan tertentu yang disebut
determinan. Determinan matriks adalah jumlah semua hasil perkalian
elementer yang bertanda dari A dan dinyatakan dengan det(A) atau |A|
(Howard Anton, 1991 : hal 67).
Yang diartikan dengan sebuah hasil perkalian elementer bertanda dari
suatu matriks A adalah sebuah hasil perkalian elementer pada suatu kolom
dengan +1 atau -1.
Untuk mengetahui tanda +1 atau -1dalam menentukan determinan suatu
matriks yaitu dengan menggunakan permutasi sesuai besar peringkat matriks
tersebut dan ada atau tidaknya invers pada hasil permutasi peringkat matriks
tersebut.
Invers terjadi pada suatu permutasi jika terdapat bilangan yang lebih besar
mendahului bilangan yang lebih kecil pada kolom. Jika banyak invers genap
dan nol maka tanda +1 dan jika banyak invers ganjil maka tanda -1.
Misal :
1. Determinan untuk ordo 2x2 maka bentuk matriks seperti ini :
[a 11 a12a 21 a 22] permutasi dari bilangan bulat 1 dan 2 diambil bersama adalah
2! = 2 yaitu 1 2 dan 2 1 (untuk kolom) sedangkan baris menjadi patokan
dan selalu berurut. Sehingga determinan dari matriks berordo 2x2 adalah
+1(a11.a22)-1(a12.a21) = a11.a22 – a12.a21. jika matriks dalam bentuk [a bc d ]
maka untuk mencari determinannya lebih dikenal dengan bentuk ad – bc.
Contoh:
Jika matriks A = [2 14 3] maka det (A) = |A| = (2x3) – (1x4) = 6 – 4 = 2
2. Determinan untuk ordo 3x3
Maka bentuk matriks seperti [a11 a12 a 13a21 a 22 a 23a31 a 32 a 33], permutasi dari
bilangan bulat 1, 2 dan 3 diambil bersama adalah 3! = 6 yaitu 123,
132, 213, 231, 312, dan 321 (untuk kolom) sedangkan baris menjadi
patokan dan selalu berurut. Sehingga determinan dari matriks berordo
3x3 adalah +1(a11.a22.a33)-1(a11.a23.a32)-
1(a12.a21.a31)+1(a12.a23.a31)+1(a13.a21.a32)-1(a13.a22.a31).
Untuk mempermudah dalam mencari determinan maka berlaku :
a) Metode Sarrus
Misal matriks A = [a b cd e fg h i ]
a bd eg h
- - - + + +
Maka |A| = aei + bfg + cdh – ceg – afh – bdi.
Cara ini hanya berlaku pada matriks berordo 3x3.
Contoh: D = [1 2 23 1 21 2 3]
Maka det (D) = |D| adalah [1 2 23 1 21 2 3]1 2
3 11 2
|D| = (1x1x3) + (2x2x1) + (2x3x2) – (2x1x1) – (1x2x2) – (2x3x3)
= 3 + 4 + 12 – 2 – 4 – 12 = 0
b) Metode Minor dan Kofaktor
Minor suatu matriks A dilambangkan dengan Mij adalah matriks
bagian dari A yang diperoleh dengan cara menghilangkan elemen-
elemennya pada baris ke-i dan elemen-elemen pada kolom ke-j.
Contoh:
A= [1 2 10 2 12 0 2] maka :
M11 = [1 2 10 2 12 0 2] =[2 1
0 2]
M12 = [1 2 10 2 12 0 2] = [0 1
2 2]
M13 = [1 2 10 2 12 0 2] = [0 2
2 0]
M11, M12 dan M13 merupakan submatriks hasil ekspansi baris ke-1
dari matriks A. Kofaktor suatu elemen baris ke-i dan kolom ke-j
dari matriks A dilambangkan dengan α ij = (-1)i+j ¿ Mij∨¿, dari
matriks A tersebut kofaktor a11 dilambangkan dengan α11 yaitu
(-1)i+j ¿ Mij∨¿
Untuk mencari det(A) dengan metode minor dan kofaktor cukup
mengambil satu ekspansi saja misal ekspansi baris ke-1atau kolom
ke-1.
Sehingga
Contoh :
H = [1 2 10 2 12 0 2], untuk mencari |H| dengan metode minor dan
kofaktor adalah harus mencari determinan minornya terlebih dahulu yang
diperoleh dari ekspansi baris ke-1, yaitu det(M11), det(M12), det(M13),
maka,
|M11| = (2x2)-(1x0) = 4
|M12| = (0x2)-(1x2) = -2
|M13| = (0x0)-(2x2) = -4
|H| = h11α11 + h12α12 + h13α13
= h11.(-1)1+1|M11| + h12.(-1)1+2|M12| + h13.(-1)1+3|M13|
= (1.4) + (2.(-1.-2)) + (1.-4)
= 4 + 4 – 4 = 4
b. Adjoin matriks
Adalah transpose dari kofaktor-kofaktor matriks tersebut, dilambangkan
dengan adj A = (αij)T
Contoh
H = [1 2 10 2 12 0 2] kita telah mengetahui sebelumnya α11= 4, α12= 2,
α13= -4,
α21= (-1)2+1 |2 10 2|=¿ -4, α22= (-1)2+2 |1 1
2 2|=¿ 0
α23= (-1)2+3|1 22 0|=4 ,α31= (-1)3+1 |2 1
2 1| = 0
α32= (-1)3+2 |1 10 1|=¿-1, α33= (-1)3+3 |1 2
0 2| = 2
maka adj H = [α 11 α 21 α 31α 12 α 22 α 32α 13 α 23 α 33] = [ 4 −4 0
2 0 −1−4 4 2 ]
c. Invers Matriks
Jika A dan B matriks persegi nxn sedemikian hingga AB=BA=I, B disebut
invers A (B=A-1) dan A disebut invers B (A=B-1) sehingga berlaku
A A-1= A-1A=I, I adalah identitas.
Invers matriks A dirumuskan A-1 = 1
¿ A∨¿¿ . Adj(A)
Pembuktian :
Misal matriks 2x2, matriks A= [a bc d ] dan misalkan invers matriks A
adalah A-1= [ x yu v ]. Berdasarkan pengertian invers matriks, maka berlaku
AA-1=I, dengan I matriks identitas.
[a bc d ][ x y
u v ]=[1 00 1]
[ax+bu ay+bvcx+du cy+dv ]=[1 0
0 1]Berdasarkan kesamaan matriks maka diperoleh:
ax + bu = 1 (1)
cx + du = 0 (2)
ay + bv = 0 (3)
cy + dv = 1 (4)
dari persamaan-persamaan dilakukan eleminasi untuk menentukan nilai x,
y, u, dan v.
ax + bu = 1 xd adx + bdu = d
cx + du = 0 xb bcx + bdu = 0
adx – bcx = d
x(ad-bc) = d
x = d
ad−bc
substitusikan x pada persamaan (2), sehingga diperoleh u =−c
ad−bc ,
dengan cara yang sama seperti diatas, akan diperoleh juga y = −b
ad−bc , dan
v= a
ad−bc . Dengan demikian A-1= [ dad−bc
−bad−bc
−cad−bc
aad−bc ]
= 1
ad−bc [ d −b−c a ], dengan ad-bc≠0
Maka invers matriks A=[a bc d ]adalah A-1=
1ad−bc [ d −b
−c a ]Sehingga rumus invers matriks adalah A-1 =
1¿ A∨¿¿ . Adj(A)
SOAL MATRIKS
1. Diketahui matriks A dan B berordo 3x3
A = ¿ ( 6 −2 −3 ¿ ) (−1 1 0 ¿ ) ¿¿
¿ dan
B= ¿ ( x x+ y y+z ¿ ) ( z−a b b+2 c ¿ ) ¿¿
¿
Jika A = B, tentukan nilai a,b,c,d,e,f,x,y dan z.
2. Diketahui matriks P dan Q yang berordo 2x2
P = ¿ (2 x− y 3 x ¿ ) ¿¿
¿ dan
Q = ¿ ( 7 −4 ¿ )¿¿
¿ Jika P = Qt
, tentukan x3− y3
.
3. Ditentukan matriks-matriks A = ¿ (1 2¿ ) ¿
¿¿
, carilah matriks
a. 2A b. -2B c.
25 (A+B) d. (5A-2B)t
4. Jika H adalah matriks berordo 3x3, tentukan matriks H dari persamaan
berikut:
( 2 −3 5 ¿ ) (−1 0 4 ¿ ) ¿¿
¿¿
5. Tentukan hasil perkalian matriks berikut:
a.(3 4 ) ¿ (2 −1 3 ¿ )¿
¿¿
b.
( 4 8 −9¿ ) ( 1 −6 4 ¿ )¿¿
¿¿
c.
(−6 3 ¿ ) ( 3 6 ¿ )¿¿
¿¿
6. Ditentukan matriks-matriks P = ¿ (−1 2 ¿ ) ¿
¿¿,
Q = ¿ (4 −1 ¿ ) ¿¿
¿ dan
R = ¿ (−3 0 ¿ ) ¿¿
¿. Carilah matriks P(QR ) , ( PQ ) R , ( PQ )t dan Pt Qt
7. Selesaikan setiap persamaan berikut:
a.
(2 5¿ )¿¿
¿¿b.
(1 2 0 ¿ ) ¿¿
¿¿
8. Ditentukan matriks A = ¿ (1 2¿ )¿
¿¿. Carilah matriks A2 , A3 , dan A4
.
9. Jika A = [1 32 4] dan I, matriks satuan ordo dua, maka A2 - 2A + I adalah
10. Diketahui matriks A = [1 24 3] dan matriks Identitas. Tentukan nilai x
supaya matriks A - xI merupakan matriks singular!
11. Diket A = [ x+ y xy x− y ] B ¿ [ 1 −1
2x
−2 y 3 ] , jika At =B. tentukan nilai x?
12. Tentukan determinan dari :
A = [16 −516 −5 ]
B = [ 2 9 160 0 024 16 8 ]
C = -6 1 -3 -12 4 -2 2 3-2 -1 -1 -1 2 1 1 9
DAFTAR PUSTAKA
Johanes, Kastolan, Sulasim. 2006. Kompetensi matematika. Jakarta:
Yudhistira.
JR, Frank Ayres. 1985. Teori dan soal-soal matriks (versi S1/matriks).
Jakarta: Erlangga.
Tim penyusun soal. 2008. Detik-detik ujian nasional. Klaten: Intan
Pariwara.
Matriks(online). (www.belajar-matematika.com, diakses 24 september
2010).