Теорија електричних кола - tek.etf.rstek.etf.rs/TeorijaEKola02_Jednacine_Cetvoropoli_Vezbe.pdf · Др Милка Потребић, ванредни професор,

др Милка Потребић, ванредни професор, Теорија електричних кола, вежбе, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2019.

Теорија електричних кола

1 Милка Потребић


Једначине електричног кола

Постављање и решавање

2 / 46


Пример електричног кола са

операционим појачавачем

1R

gu 4R

3R

2R

OpAmp

Одредити снагу отпорника R4 и струју генератора 3 / 46



операционим појачавачем

1R

gu 4R

3R

2R

OpAmp

p1

p2

p3

p4

p7 p6 p5

0

0

0

0

4 / 46


Граф електричног кола

p3

p1 p7

p2

p5

p4

0

p6

5 / 46


Стабло графа ел. кола, ф-контуре

p3

p1 p7

p2

p5

p4

0

p6 μ3

μ1

μ2

6 / 46


0)4(

0)3(

0)2(

0)1(

745

563

32

21

iii

iii

ii

ii

КЗС

ЈЕ

0)(

0)(

0)(

5673

5642

63211

uuu

uuu

uuuu

747

525

616

3

3

232

g1

0

0

iRu

iRu

iRu

u

i

iRu

uu

КЗН

Систем једначина кола

7 / 46



0)4(

0)3(

0)2(

0)1(

745

563

32

21

iii

iii

ii

ii

КЗС

КЗН

ЈЕ

0)(

0)(

0)(

5673

5642

63211

uuu

uuu

uuuu

747

525

616

3

3

232

g1

0

0

iRu

iRu

iRu

u

i

iRu

uu

0

0

0 01 i

02 i

65 ii

02 u

g61 uuu

121g6215261567 /)()( RRRuiRRiRiRuuu

1

g

6R

ui

8 / 46


Снага отпорника R4 и

струја генератора

121g6215261567 /)()( RRRuiRRiRiRuuu

4

2

7777 Ruiup

01 i

9 / 46



зависним извором

1R

2R

3R

4R

5Rgu a

Одредити напон отпорника R5 и снагу контролисаног генератора 10 / 46



зависним извором

1R

2R

3R

4R

5Rgu a

p1

p2

p3 p4 p8

p5

p6 p7

0 0

11 / 46


p2

p1 p7

p3

p5

p6

0

p4

p8

Граф електричног кола

12 / 46


p2

p1 p7

p3

p5

p6

0

p4

p8

Стабло графа ел. кола

13 / 46


Фундаменталне контуре

p2

p1 p3

p5

p4

p8

μ1 μ2

μ3

μ4 p7

p6

0 14 / 46



0)4(

0)3(

0)2(

0)1(

76

865

5432

21

ii

iii

iiii

ii

КЗС

ЈЕ

0)(

0)(

0)(

0)(

6784

56743

56732

256711

uuu

uuuu

uuuu

uuuuu

858

47

646

525

4

333

212

g1

0

iRu

auu

iRu

iRu

i

iRu

iRu

uu

КЗН

… 15 / 46


Четворополи

Једначине и примена

16


Четворополи

1i 2i

1u 2u

p1 p2

Четворопол или

двоприступна мрежа је

мрежа са четири краја

који образују два

приступа

Граф четворопола 17 / 46


Једначине четворопола

2221212

2121111

ugugi

ugugi

)(

)(

2222211

2122111

iauai

iauau

2221212

2121111

uhihi

uhihu

Погонски параметри

g-параметри

Хибридни параметри

1i 2i

1u 2u

2221212

2121111

iriru

iriru

r-параметри

18 / 46


Пример четворопола: Т-мрежа

1R 2R

3R

Одредити r-параметре Т-мреже 19 / 46


Једначине Т-мреже

)(

)(

213222

213111

iiRiRu

iiRiRu

2221212

2121111

iriru

iriru

Једначине r-параметара

1i 2i

1u 2u

u1 u2

+ +

- -

i1 i2

232132

231311

iRRiRu

iRiRRu

20 / 46 3222

321

312

3111

RRr

Rr

Rr

RRr


Jедначине четворопола:

g, h, a параметри

Линеарна резистивна мрежа са два приступа

не садржи независне изворе.

Познати су r-параметри мреже.

• Одредити g, h, a параметре.

• Који услов треба да задовољавају r, g, h, a параметри да би мрежа била пасивна?

21



2221212

2121111

ugugi

ugugi


2221212

2121111

iriru

iriru

ugi

2

1

2221

1211

2

1

u

u

gg

gg

i

iiru

2

1

2221

1211

2

1

i

i

rr

rr

u

u

22 / 46

1i 2i

1u 2u



1

2221

12111

rr

rrrg

ugi

iru

2221

1211

1121

1222

T

1112

2122

det

1

det

1

gg

gg

rr

rr

rrr

rr

rg

23 / 46



2221212

2121111

iriru

iriru

2

11

121

11

1

1i

r

ru

ri

2

11

1

11

212

11

1221221

11

212

2222

11

121

11

212221212

det

1

ir

ru

r

ri

r

rrru

r

ru

irir

ru

rririru

r

rg

r

rg

ur

ru

r

ri

det,

det

detdet

1122

2121

211

121

2

212 ,uufi

наћи g11, g12 … 24 / 46


h-параметри

2221212

2121111

iriru

iriru

2221212

2121111

uhihi

uhihu

21212221

21112121

10

01

uiriru

uiriru

2

1

21

11

2

1

22

12

1

0

0

1

u

i

r

r

i

u

r

r

BA

2222

21

22

12

22

1

det

rr

r

r

r

r

r

h

Хибридни параметри

2

1

2221

1211

2

1

u

i

hh

hh

i

u

BAh 1

25 / 46


a-параметри

2221212

2121111

iriru

iriru

2

21

222

21

1

2221

1i

r

ru

ri

aa

)(

)(

2222211

2122111

iauai

iauau

Погонски параметри

2122

21

222

21

112121111

1iri

r

ru

rririru

2

det

21

211222112

21

111

211211

ir

rrrru

r

ru

rraa

26 / 46


Пасивност четворопола

• Отпорнички четворопол је пасиван ако је његова улазна снага ненегативна

• Из услова пасивности можемо одредити везу параметара, и обрнуто, на основу познатих параметара можемо испитати да ли је четворопол пасиван

• Четворопол сачињен од отпорника је пасиван

• Четворопол је без губитака ако је његова улазна снага једнака нули

27


Услов пасивности преко r-параметара

2221212

2121111

iriru

iriru

2211 iuiup

0p

0)(4

,0

22

2

21122211

11

rrrrr

r

222212112121112211 iiririiririuiup

022

2

12112

2

2

111

2

2

2

222212112

2

111

2

C

x

B

x

A

ri

irr

i

iriiriirrirp

04

,0

2

ACB

A

28 / 46


Услов пасивности преко g-параметара

1 11 1 12 2

2 21 1 22 2

i g u g u

i g u g u

2211 iuiup

0p

11

2

11 22 12 21 22

0,

4 ( ) 0

g

g g g g g

1 1 2 2 1 11 1 12 2 2 21 1 22 2p u i u i u g u g u u g u g u

2

2

2 2 2 1 111 1 12 21 1 2 22 2 2 11 12 21 22

2 2

0

A CB

xx

u up g u g g u u g u u g g g g

u u

04

,0

2

ACB

A

29 / 46


Услов пасивности преко h-параметара

2211 iuiup

0p

11

2

11 22 12 21 22

0,

4 ( ) 0

h

h h h h h

1 1 2 2 11 1 12 2 1 2 21 1 22 2p u i u i h i h u i u h i h u

2

2

2 2 2 1 111 1 12 21 1 2 22 2 2 11 12 21 22

2 2

0

A CB

xx

i ip h i h h i u h u u h h h h

u u

04

,0

2

ACB

A

1 11 1 12 2

2 21 1 22 2

u h i h u

i h i h u

30 / 46


Услов пасивности преко а-параметара

2211 iuiup

0p

11 21

2

11 12 21 22 12 21 11 22 12 22

0,

4 (1 ) 0

a a

a a a a a a a a a a

1 1 2 2 11 2 12 2 21 2 22 2 2 2( ) ( )p u i u i a u a i a u a i u i

2

2 2

11 21 2 12 21 11 22 2 2 12 22 2

2

2 2 22 11 21 12 21 11 22 12 22

2 2

1

1 0

A CB

xx

p a a u a a a a u i a a i

u up i a a a a a a a a

i i

04

,0

2

ACB

A

1 11 2 12 2

1 21 2 22 2

( )

( )

u a u a i

i a u a i

31 / 46


Представљање четворопола за

r-параметре

11r 22r

212ir 121ir

2i1i

Четворопол познатих параметара можемо у општем случају представити и преко зависних струјних извора.

1u2u

32 / 46


Представљање четворопола за

g-параметре

12 2g u 21 1g u

2i1i

Четворопол познатих параметара можемо у општем случају представити и преко зависних струјних извора.

11

1

g22

1

g1u

2u

33 / 46


Питања

34


0 0

1 11 2 12 2

1 21 2 22 2

0 0

( )

( )

u a u a i

i a u a i

1

1

0

0

u

i

√

√

┴

Услов пасивности:

35 / 46

11 21

12 22

2

11 12 21 22 12 21 11 22

0,

0

4 (1 )

a a

a a

a a a a a a a a


1 0

1 11 2 12 2

1 21 2 22 2

0 0

( )

( )

a

u a u a i

i a u a i

21

1 0

uu

a

i

11 21

12 22

2

11 12 21 22 12 21 11 22

0,

0

4 (1 )

a a

a a

a a a a a a a a

√

√

┴

Услов пасивности:

Погледати предавање!

36 / 46


Погледати предавање!

1 3 g

1 2 11 1 2 2 2 1

2 g 2

0

v v u

g v gg v g v v v A

g u g

37 / 46


Задаци

ОТА жиратор, Риорданов жиратор,

...

38 / 46


ОТА жиратор

VCCS (OTA) 1

VCCS (OTA) 2

u1 u1g

u2u2g

1

0 0

2

39 / 46



Вредности елемената (параметри) мреже са слике

су познати. Мрежа има два приступа (порта): први

приступ чине крајеви и , а други приступ чине

крајеви и .

(а) Одредити g-параметре мреже.

(б) Испитати да ли је мрежа пасивна.

(в) Испитати да ли је мрежа без губитака.

40 / 46



u10 u20

+ +

- -

i1 i2

11 12

1 2 20 1 10 200g g

i gu gu i u g u 21 22

2 1 10 2 10 200

g g

i gu g u i g u u

VCCS (OTA) 1

VCCS (OTA) 2

u1 u1g

u2u2g

1

0 0

2 1 11 10 12 20

2 21 10 22 20

i g u g u

i g u g u


41 / 46



220110 iuiup ?0p

10 1 20 2 10 10 20 10 0p u i u i u gu u gu

11 12

1 10 200g g

i u g u

21 22

2 10 200

g g

i g u u

пасивна мрежа и без губитака 42 / 46


Риорданов жиратор

R1

R3

R4

1

4

R2

0

3

5

2

43 / 46


Задатак

44 / 46


R1

R3

R4

1

4

R2

0

3

5

2

u1 u2

+

+ -

-

i1

i2

x

x

x

x i2

1

1215

1

1

1

4

41

11

12

1

R

uRRV

ii

R

u

R

Vi

VV

uV

RR

R

ј1

ј2

142

322

3

522

21

3

iRu

VVu

R

VVii

VV

R

1

31

2

3

1

1211

3

522 u

RR

R

R

R

uRRu

R

VVi

12

1u

Ri 211

1211

0 iRiu

rr


45 / 46 212

2221

0 iiRurr



212

2221

0 iiRurr

211

1211

0 iRiu

rr

2211 iuiup ?0p

021122211 iRiiiRiuiup

пасивна мрежа и без губитака 46 / 46

Documents

Теорија електричних кола - tek.etf.rstek.etf.rs/TeorijaEKola02_Jednacine_Cetvoropoli_Vezbe.pdf · Др Милка Потребић, ванредни професор,