1 ．理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数．

2 ．理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性与函数图象通过的特殊点．知道指数函数 y ＝ ax 与对数函数y ＝ logax 互为反函数 (a>0， a≠1)，体会对数函数是一类重要的函数模型．

第 5 课时 对数函数

【应试对策】

1 ．要熟练掌握对数的运算性质、换底公式以及常用恒等式，能在题目中灵活使用，进行运算．

2 ．比较两个对数的大小，可以使用换底公式化为同底数的对数进行比较，还可以借助于一些中间数比较，比如0 或 1.

3 ．比较两个对数的大小常借助于函数的单调性，当底数不同时可以借助于对数函数的图象进行比较．

4. 理解对数函数图象的特征 : y 轴是对数函数的渐近线 , 当 0 ＜ a ＜ 1 时， x→0， y→＋∞；当 a>1时，x→0， y→－∞ . 当 a>1时， a 值越大，图象越靠近 x轴，递增速度越慢；当 0<a<1时， a 值越小，图象越靠近 x 轴，递减速度越

慢．对于方程 logf(x)g(x) ＝ c 转化为

求解．

5 ．在讨论对数函数的性质时，应注意定义域及对底数 a的分类讨论． ( 含参数的对数问题，要注意分类讨论的思想 )

【知识拓展】

1 ．反函数

(1)反函数的概念：函数 y ＝ f(x) 的定义域为 A ，值域为 C ，由 y ＝ f(x) 得 x ＝ φ(y) ．函数 x ＝ φ(y)是 y ＝ f(x) 的反函数，记作： x ＝ f － 1(y) ．

(2) 求反函数的步骤：①由 y ＝ f(x) 解出 x ＝ f －

1(y) ；②将 x ＝ f － 1(y) 中的 x 与 y 互换位置，得 y＝ f － 1(x) ；③由 y ＝ f(x) 的值域，确定 y ＝ f －

1(x) 的定义域．

即：反解；调换；注明定义域。(3)互为反函数的图象关于直线 y ＝ x 对称．

(4)指数函数与对数函数互为反函数．

2 ．对数函数的性质在比较对数值大小中的应用

(1) 比较同底数的两个对数值的大小，例如：比较logaf(x) 与 logag(x) 的大小，其中 a>0且 a≠1.

①若 a>1， f(x)>0， g(x)>0，则

logaf(x)>logag(x)⇔f(x)>g(x)>0.

②若 0<a<1， f(x)>0， g(x)>0；则

logaf(x)>logag(x)⇔0<f(x)<g(x) ．

(2) 比较两个同真数的对数值的大小，例如：比较logaf(x) 与 logbf(x) 的大小 ，其中 a>b>0，且 a≠1，b≠1.

①若 a>b>1，如图 1.

当 f(x)>1 时， logbf(x)>logaf(x) ；当 0<f(x)<1时， logaf(x)>logbf(x) ．

图 1 　　　　　　　　　　　　图 2 　

②若 1>a>b>0，如图 2.

当 f(x)>1时， logaf(x) ＜ logbf(x) ；当 1>f(x)>0时， logaf(x)>logbf(x) ．

③若 a>1>b>0，

当 f(x)>1时，则 logaf(x)>0>logbf(x) ；

当 0<f(x)<1时，则 logaf(x)<0<logbf(x) ．

3 ．求与对数函数相关的复合函数的单调区间

求复合函数 y ＝ f[g(x)]的单调区间的步骤：

(1)确定定义域．

(2)将复合函数分解成基本初等函数： y ＝ f(u) ， u＝ g(x) ．

(3)分别确定这两个初等函数的单调区间．

(4)若这两个函数同增或同减，则 y ＝ f[g(x)]为增函数；若一增一减，则 y ＝ f[g(x)] 为减函数，即“同增异减”．

4 ．对数方程的类型及解法(1)对数方程：在对数符号后面含有未知数的方程叫对数

方程．(2)解对数方程的基本思路是化为代数方程，常见的可解

类型有：① 形如 logaf(x) ＝ logag(x)(a>0且 a≠1) 的方程，化成 f(x) ＝ g(x) ＞ 0 求解．②形如 F(logax) ＝ 0 的方程，用换元法解．③ 形如 logf(x)g(x) ＝ c 的方程，化成指数式[f(x)]c＝ g(x) 求解．

(3)在将对数方程化为代数方程的过程中，未知数范围扩大或缩小就容易产生增减根，因此解对数方程要注意验根．(4)含参数的指数、对数方程在求解时，需注意将原方程等价转化为某个混合方程或不等式组，并在等价转化的原则下简化求解，对参数进行分类讨论．

1 ．对数

(1)对数的概念

如果 a(a>0， a≠1)的 b 次幂等于 N ，就是 ab ＝ N ，那么，数 b 叫做 ， 记作 logaN ＝ b ，其中 a叫做对数的 ， N 叫做对数的 ．

(2)常用对数：通常将 log10N 叫做常用对数，记作 .

自然对数：通常将以无理数 e ＝ 2.718 28…为底的对数叫做自然对数，记作 .

以 a 为底 N 的对数底数 真数

lgN

lnN

(3)对数的性质

①零和负数没有对数；② loga1 ＝ (a>0，且 a≠1)；

③logaa ＝ (a>0，且 a≠1)；④ alogaN ＝ (a>0，

且 a≠1， N>0)．

0

1 N

2 ．对数的运算性质

a>1 0<a<1

图象

性质

(1)定义域： .

(2)值域：

(3)图象过点： .(4)在 (0，＋∞ ) 上是单

调 函数在 (0，＋∞ ) 上是单调 函数增 减

(1,0)

(0，＋∞ )

R

3 ．对数函数 :(1) 概念：函数 y ＝ logax(a>0， a≠1)叫做 ，它的 定义域是 ．

(2) 对数函数 y ＝ logax(a>0 ，且 a≠1) 的图象和性质如下表所示：

对数函数 (0，＋∞ )

1 ． lg 8＋ 3lg 5的值为 ________．

2 ．已知 log7[log3(log2x)]＝ 0 ，那么 等于 ________．

3 ．函数 f(x) ＝ lg 的定义域为 ________．

4 ．若函数 y ＝ loga(x ＋ b)(a>0， a≠1)的图象过两点

( － 1,0)和 (0,1) ，则 a ＝ ______， b ＝ ________.

5 ．方程 xlg(x ＋ 2)＝ 1 有 ______个不同的实数根．

对数的化简与求值的基本思路：

(1)利用换底公式及 ，尽量地转化为同底的和、差、

积、商运算；

(2)利用对数的运算法则，将对数的和、差、倍数运算，转化为对

数真数的积、商、幂再运算；

(3)约分、合并同类项，尽量求出具体值．

【例 1 】 计算：

(1)(lg 2)2＋ lg 2·lg 50＋ lg 25;

(2)(log32 ＋ log92)·(log43 ＋ log83)．

思路点拨：对数运算问题要注意化同底和 lg 2＋ lg 5＝ 1 等结论的应用．

解：（ 1 ）原式＝ (lg 2)2＋ (1＋ lg 5)lg 2＋ lg 52

＝ (lg 2＋ lg 5＋ 1)lg 2＋ 2lg 5

＝ (1＋ 1)lg 2＋ 2lg 5＝ 2(lg 2＋lg 5)＝ 2.

(2)原式＝

变式 1 ： ( 改编题 ) 求值：

(1) ；

(2)(lg 2)3＋ (lg 5)3＋ 3lg2lg 5；

(3)

掌握指数式与对数式的互化公式是解决指数与对数互化问题的

一个有效途径，其互化公式为 logaN ＝ b⇔ab＝ N(a ＞

0 ， a≠1， N ＞ 0)，在解题时要注意对公式灵活应用．【例 2 】 已知 3a ＝ 5b ＝ c ，且 ＋ ＝ 2 ，求 c 的值．

思路点拨：借助指数式与对数式的互化可以解决问题．

变式 2 ： (11.2)a ＝ 1 000， (0.011 2)b ＝ 1 000，则

＝ ___.

1 ．比较同底的两个对数值的大小，可利用对数函数的单调性来完成．

(1)a>1， f(x)>0， g(x)>0，则

logaf(x)>logag(x)⇔f(x)>g(x)>0；

(2)0<a<1， f(x)>0， g(x)>0，则

logaf(x)>logag(x)⇔0<f(x)<g(x) ．

2 ．比较两个同真数对数值的大小，可先确定其底数，然后再比较．

(1)若 a>b>1，如图 1.当 f(x)>1时， logbf(x)>logaf(x) ；

当 0<f(x)<1时， logaf(x)>logbf(x) ．

(2) 若 1>a>b>0 ， 如 图 2. 当 f(x)>1

时， logbf(x)>logaf(x) ；

当 1>f(x)>0时， logaf(x)>logbf(x) ．

(3)若 a>1>b>0.当 f(x)>1时，则 logaf(x)>0>logbf(x) ；

当 0<f(x)<1时，则 logaf(x)<0<logbf(x) ．

3．比较大小常用的方法

(1)作差 ( 商 )法； (2)利用函数的单调性； (3)特殊值法 (特别是 1 和 0为中间

值 )． 【例 3 】 对于 0<a<1 ，给出下列四个不等式：

①loga(1 ＋ a)<loga ；② loga(1 ＋ a) ＞ loga ；③ a1 ＋ a< ；

④ a1 ＋ a> . 其中成立的是 ________ ． 思路点拨：从题设可知，该题主要考查 y＝ logax与 y＝ ax 两个函数的单调性，

故可先考虑函数的单调性，再比较大小．

解析：由 0＜ a＜ 1⇒a< ⇒1＋ a<1 ＋ ，∴ loga(1＋ a)>loga ，

a1 ＋ a， > ，则②④正确．

答案：②④

变式 3 ：已知 1<x<10 ，那么 lg2x ， lgx2 ， lg(lgx) 的大小顺序是

________ ．

解析：∵ 1＜ x＜ 10 ，∴ 0＜ lgx＜ 1 ，∴ lg(lgx)＜ 0,0＜ lg2x＜

2lgx ，

∴ lg(lgx)＜ lg2x＜ lgx2.

答案： lg(lgx) ＜ lg2x ＜ lgx2

1．对数函数的性质是每年高考必考内容之一，其中单调性和对数函数

的定义域是热点问题．其单调性取决于底数与“ 1”的大小关系．

2．利用单调性可解决比较大小、解不等式、求最值等问题，其基本方

法是“同底法”．即把不同底的对数式化为同底的对数式，然后根据单

调性来解决．

3．与对数函数有关的复合函数的单调性的求解步骤

(1)确定定义域；

(2)弄清函数是由哪些基本初等函数复合而成的，将复合函数分解成基本

初等函数 y ＝ f(u) ， u ＝ g(x)；

(3)分别确定这两个函数的单调区间．

【例 4 】 是否存在实数 a ，使 f(x) ＝ loga(ax2 － x)(a>0 ，且 a≠1) 在区间 [2,4] 上

是增函数？若存在，求出 a 的范围；若不存在，说明理由．

思路点拨：①讨论 a与 1 的大小关系．②讨论函数 y＝ ax2－ x 的图象的

对称轴与区间 [2,4] 的关系，并保证在区间 [2,4] 上， ax2

－ x>0.

解：∵ f(x) ＝ loga(ax2 － x)在区间 [2,4]上是增函数，

∴ 或 ，即 或

∴a>1，所以实数 a的取值范围为 (1，＋∞ )．

变式 4 ： ( 创新题 ) 若函数 f(x) ＝ loga(x3 － ax)(a>0 ， a≠1) ，在区间

内单

调递增，则 a 的取值范围是 ________ ．

解析：设 g(x)＝ x3－ ax ，则 g′(x)＝ 3x2－ a ，

当 a>1 时，不等式组 ，对于 x ∈ 恒

成立， a 无解；

当 0<a<1 时，不等式组 ，对于 x ∈

恒成立．解得 ≤ a<1.

答案：

【规律方法总结】

1 ．指数式 ab＝ N 与对数式 logaN＝ b 的关系以及这两种形式的互化是对数运算

法则的关键．

2 ．在运用性质 logaMn＝ nlogaM 时，要特别注意条件，在无 M>0 的条件下应为

logaMn＝ nloga|M|(n∈N*且 n 为偶数 ) ．

3 ．注意对数恒等式、对数换底公式及等式 ，

logab ＝ 在解题中的灵活应用．

4 ．在解决问题的思路和方法上，要注意与指数函数进行比较．

底的关系 a>b>1

图　象

y＝ ax与 y＝ bx y＝ logax与 y＝ logbx

底的关系 1>a>b>0

图　象

y＝ ax与 y＝ bx y＝ logax与 y＝ logbx

当底大于 1 时，底越大，图象越靠近坐标轴；当底小于 1 大于 0 时，底越小，图

象靠近坐标轴．如果底数、指数都不同，则要利用中间变量 .

同一坐标系下的图象关系

【高考真题】

【例 5 】 (2009· 天津卷 )设 ，则 ( 　　 )

A ． a<b<c 　　　 B ． a<c<b

C ． b<c<a D ． b<a<c

分析：根据对数函数、指数函数的性质判断 a、 b、 c 的大致范围，

进而得解．

规范解答：由题意，得 a ＝ ＝－ log32<0 ， b ＝ > ＝

1 ， c ＝ >0 ，且 c<1 ，所以 a<c<b.故选 B.

【全解密】

【命题探究】

本题主要考查对数函数、指数函数的性质．考题的命题，利用对数函数、

指数函数的性质比较数的大小，达到了考查考生灵活应用对数函数、指数

函数性质的目的，较好地体现了重视基础的命题特点．

【课本探源】

本题是江苏版数学必修 1第 39页第 14 题“设 a＝ 0.32， b＝ 20.3， c ＝

，

试比较 a， b， c 的大小”的改编题，考题将 a， b， c稍作变化，且由正

值变成了负值，使得考题增加了能力的成分，但解答题变成了选择题，又

使得解题的结果有了比较的依据．

【技巧点拨 】

比较两个幂值和两个对数值大小的方法

(1) 若是两个幂值的大小的比较，则首先分清底数相同还是指数相同，如果底数

相同，可以利用指数函数的单调性；如果指数相同，可以转化为底数相同，也可

以借助图象；如果底数不同，指数也不同，就要利用中间量进行比较．

(2) 若是两个对数值的大小比较，如果底数相同，可以利用对数函数的单调性；

如果底数不相同，可以利用换底公式化为同底数的对数；如果底数、真数都不相

同，就要注意与 0 比较或与 1 比较 .

1．若函数 f(x)的反函数为 f － 1(x)，则函数 f(x － 1) 与 f － 1(x － 1)的图象

可能

是 ________．

解析： f(x)与 f － 1(x) 的图象关于 y＝ x 对称，则 f(x－ 1)与 f － 1(x－ 1)

的图象

应关于 y＝ x－ 1 对称，填④ .

答案：④

2．求 f(x) ＝ 的单调区间．

解：函数 f(x) ＝ 的定义域为 {x| － 3<x<1}．

令 u ＝ 3 － 2x － x2 ， x∈( － 3,1)，

则 y ＝ .因为 y ＝ 在定义域内是减函数，

当 x∈( － 3，－ 1]时， u(x)＝－ (x ＋ 1)2 ＋ 4是增函数，

所以 f(x) 在 ( － 3，－ 1]上是减函数．

同理， f(x) 在 ( － 1,1)上是增函数．