例 10 产品计划问题 某厂生产Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ 三种产品，都经 A 、 B

两道工序加工。设 A 工序可分别在设备 A1 或A2 上完成，有 B1 、 B2 、 B3 三种设备可用于完成 B 工序，已知产品Ⅰ可在 A 、 B 任何一种设备上加工；产品Ⅱ可在任何规格的 A 设备上加工，但完成 B 工序时只能在 B1 设备上加工；产品Ⅲ只能在 A2 与 B2 设备上加工。加工单位产品所需工序时间及其他各项数据见下表，试安排最优生产计划，使该厂获利最大。

设备 产品 设备有效台时

设备加工费（元 /h）Ⅰ Ⅱ Ⅲ

A1 5 10 6 000 0.05A2 7 9 12 10 000 0.03B1 6 8 4 000 0.06B2 4 11 7 000 0.11B3 7 4 000 0.05原料费（元 /件）

0.25 0.35 0.50

售价 （元 /件）

1.25 2.00 2.80

ⅠⅡ

Ⅲ

产品

B2

B1

A3

A2

A1

B

A

工序

Ⅰ 的加工方案

(A1,B1)

(A1,B2)

(A2,B1)

(A2,B2)

(A3,B1)

(A3,B2)

Ⅱ 的加工方案

(A1,B1)

(A2,B1)

Ⅲ 的加工方案

(A2,B2)

产品种类 加工方式 在该加工方式下的产量 该产品的产量

Ⅰ

A1B1 X11

X11+X12+X13+X14+X15+X16

A1B2 X12

A2B1 X13

A2B2 X14

A3B1 X15

A3B2 X16

Ⅱ A1B1 X21X21+X22A2B1 X22

Ⅲ A2B2 X3 X3

设产品Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的产量分别为 X1 ， X2 ， X3 件。各方案加工的产品Ⅰ数量用X11 ， X12 ， X13 ， X14 ， X15 ， X16表示，产品Ⅱ各方案加工数量用 X21 ， X22表示，产品Ⅲ加工数量为 X3 。所以有：

X1=X11+X12+X13+X14+X15+X16 ；X2=X21+X22 。

盈利 = 售价 - 原料费 - 加工费 产品加工量受设备有效台时限制

故可建立如下线性规划模型：目标函数为：Max z=(1.25-0.25)

(X11+X12+X13+X14+X15+X16)+(2.0-0.35)(X21+X22)+(2.80-0.50)(X3- 0.05)(5X11+5X12+5X13+10X21)-0.03(7X14+7X15+7X16+9X22+12X3)-0.06(6X11+6X14+8X21+8X22)-0.11(4X12+4X15+11X3)-0.05(7X13+7X16)

约束条件： 5X11+5X12+5X13+10X21≤ 6 000 7X14+7X15+7X16+9X22+12X3≤ 10 000 6X11+6X14+8X21+8X22≤ 4 000 4X12+4X15+11X3≤ 7 000 7X13+7X16≤ 4 000 Xij≥ 0

1.16 某厂生产Ⅰ、Ⅱ两种食品，现有 50 名熟练工人，每名熟练工人每小时可生产Ⅰ 10kg 或Ⅱ 6kg 。由于需求量将不断增长，该厂计划到第八周末前培训出 50 名新工人，组织两班生产。已知一名工人每周工作 40h ，一名熟练工人用 2 周时间可培训出不多于 3 名新工人（培训期间熟练工人和被培训人员均不参加生产）。熟练工人每周工资 360元，新工人培训期间每周工资 120 元，新工人培训结束后工作每周 240 元，且生产效率同熟练工人。培训过渡期，工厂将安排部分熟练工人加班，加班1h 另付 12 元。又生产食品不能满足定货需求，推迟交货的赔偿费分别为：食品Ⅰ为 0.05 元 /(kg*周 ); 食品Ⅱ为 0.06 元 /(kg* 周 ) 。工厂应如何全面安排，使各项费用总和最小，试建立线性规划模型。

周次食品

1 2 3 4 5 6 7 8

Ⅰ 10 10 12 12 16 16 20 20

Ⅱ 6 7.2 8.4 10.8 10.8 12 12 12

对食品需求增长情况

设 Xi,Yi 分别为第 i 周内用于生产食品Ⅰ和Ⅱ的工人数 ,Zi 为第 i 周内加班的工人人数， Wi 为从第 i 周开始抽出来的培训新工人的熟练工人人数， Ni 为从第 i周开始接受培训的新工人人数， F1i 和 F2i 分别为第 i 周周末未能按期交货的食品Ⅰ和Ⅱ的数量；R1i 和 R2i 分别为第 i 周内对食品Ⅰ和Ⅱ的需求量；Ki 为每周加班的时间。

费用 = 工人工资 + 加班费 + 赔偿费

所以目标函数为：Min z =

约束条件为：

7

1

7

1

7

1

7

1

50360)]7(240240[

)26.015.0(12

ii

ii

iNii

FiFiKiZi

0,2,1,,,,,

3

50

08

50

501

502122

50111

79200240

22240

116000400

11400

7

1

2

1

8

1

11

8

1

11

KiFiFNiWiZiYiXi

WNi

Ni

W

Zi

NtWiWiYiXi

WWYX

WYX

Yi

tRFiYt

Xi

tRFiXi

i

i

t

i

i

t

i

t

i

i

t

i

t

St.