UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNADEscuela de ciencias agrícolas, pecuarias y del medio ambienteECUACIONES DIFERENCIALES

ECUACIONES DIFERENCIALES

COLABORATIVO 2

PRESENTADO POR:

TUTOR: WILLIAM DE JESUS MONTOYA HENAO

GRUPO: 100412_207

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD ESCUELA DE CIENCIAS AGRÍCOLAS, PECUARIAS Y DEL MEDIO AMBIENTE 2015

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNADEscuela de ciencias agrícolas, pecuarias y del medio ambienteECUACIONES DIFERENCIALES

C ¿ y ' '+2 y ' '− y=0 y (0 )=0 y ' ' (0 )=−1

Es de la forma y ' '+ p ( x ) y ' '+q ( x ) y=0 donde P ( x )=2q ( x )−1

Por lo tanto es una E.D Lineal homogénea con coeficientes constantes.

Solución: Usamos la ecuación auxiliar:

r2+2r−1=0 (r+? ) (r−? )=0

r=−2±√(2)2−4 (1 ) (−1 )

2 (1 )=

−2±√82

=−2±2√2

2=−1±√2

Tiene dos raíces reales distintas:

r 1=−1+√2 r 1=−1−√2

Por lo tanto la solución general es:

y=c1e (−1+√2) x+c2e(−1−√2) x

y '=(−1+√2 )c1e(−1+√2 )x+(−1−√2 )c2 e

(−1−√2)x

Como y (0 )=0 y' (0 )=−1Se tiene

0=c1e(−1+√2) ( 0)+c2 e

(−1−√2) (0 )=c1e°+c2 e

°

0=c1+¿ c2 1¿

−1=(−1+√2 )c1 e(−1+√2 )( 0)+(−1−√2 )c2 e

(−1−√2) (0 )

−1=(−1+√2 ) c1 e°+ (−1−√2 )c2e

°

−1=(−1+√2 ) c1+(−1−√2 ) c2 2

De 1 y 2 se tiene el siguiente sistema

c1+c2=0→Despejamosc2:

(−1+√2 )c1+ (−1−√2 )c2=−1c2=−c1Remplazamos en2

(−1+√2 )c1+ (−1−√2 ) (−c1 )=−1=(−1+√2 ) c1+(1+√2 )c1=−1

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNADEscuela de ciencias agrícolas, pecuarias y del medio ambienteECUACIONES DIFERENCIALES

c1 [−1+√2+1+√2 ]=−1=c1 [2√2 ]=−1

c1=−12√2

c1=−√2

4por lotanto c2=

√24

Así la solución particular;

y=c1 e(−1+√2)x+c2 e

(−1−√2) x Remplazamos los valores de C1 Y C2

y=−√24

e (−1+√2) x+ √24e (−1−√2) x

4) y”+3 y '+2 y=3 x+1

Primero resolvemos la E.D homogénea y”+3 y '+2 y=0

r2+3 r+2=0 (r+1 ) (r+2 )=0 Tiene dos raíces reales diferentes

r1=−1 r2=−2

Por lo tanto y g=c1 e−x+c2e

−2 x

Ahora como y ”+3 y'+2 y=3 x+1ensayamosunasoluc ion

y p=Ax+B Derivamos parareemplazar en la E . D

y ' p=A y } rsub {p} =0 sustituimos en la E.¿

o+3 A+2 (Ax+B )=3 x+1

2 Ax+3 A+2B=3 X+1

Igualando coeficientes se tiene:

2 A=3 3 A+2 B=1

A=32

2B=1−3 A=1−3( 32 )=1−9

2=−7

2B=−7

2.( 1

2 )

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNADEscuela de ciencias agrícolas, pecuarias y del medio ambienteECUACIONES DIFERENCIALES

B=−74Por lotanto ;Y P=

32x−7

4

Luego la solución de la E.D es; y= y2+ y p

y=c1 e− x+c2 e

−2x+32x−7

4