Upload
others
View
47
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
书书书
第!
章!
行!
列!
式
引!!
言
!!
行列式的概念最早是在!"
世纪由日本数学家关孝和!
#$%&
'(%(%()*
"约!+,-
!
!"./
#提出来的!
他在!+/0
年写了一部名为$解伏
题之法%的著作"意思是&解行列式问题的方法'"书中对行列式的概念
和它的展开已经有了清楚的叙述!
欧洲第一个提出行列式概念的是德
国数学家(微积分学奠基人之一莱布尼兹!
12324$&56&7)
"
!+,+
!
!"!+
#
!!+80
年,
月"莱布尼兹在写给法国数学家洛比达!
49:;<
=
&7(>
"
!++!
!
!".,
#的一封信中使用了行列式"并给出了线性方程组的系数行
列式为零的条件!
!"?.
年"瑞士数学家克莱姆!
12@A(B$A
"
!".,
!
!"?-
#在其著作
$线性代数分析导引%中"对行列式的定义和展开法则给出了比较完整(
明确的阐述"并给出了我们现在熟知的解线性方程组的克莱姆法则!
!"+,
年"法国数学家贝祖!
C2D$);*7
"
!"0.
!
!"/0
#将确定行列式每一
项符号的方法进行了系统化"利用系数行列式概念指出了如何判断一
个齐次线性方程组有非零解!
在很长一段时间内"行列式只是作为解线性方程组的一种工具"没
有人意识到它可以独立于线性方程组之外"单独形成一门理论!
在行列式的发展史上"第一个把行列式理论与线性方程组求解相
分离的人是法国数学家范德蒙!
E2'2F(6G$AB;6G$
"
!"0?
!
!"8+
#
!
范德蒙自幼在父亲的指导下学习音乐"但对数学有浓厚的兴趣"后来终
于成为法兰西科学院院士!
他给出了用余子式来展开三阶行列式的法
则"并研究了被后人以他的名字命名的&范德蒙行列式'
!
范德蒙是行列
式理论的奠基人!
法国数学家拉普拉斯!
H2#24(
=
>(I$
"
!",8
!
!/-"
#在!""-
年发
表的论文$对积分和世界体系的探讨%中"推广了范德蒙的行列式展开
法则"这个方法现在称为拉普拉斯展开法则!
在行列式理论方面做出突出贡献的还有法国大数学家柯西
!
E242@(*IJ
K
"
!"/8
!
!/?"
#
!!/!?
年"柯西在一篇论文中给出了行列
式的系统理论!
他给出了行列式的乘法定理)在行列式的记号中"他首
次采用了双重足标的新记法)引进了行列式特征方程的术语)改进了拉
普拉斯的行列式展开定理"并给出了一个证明!
继柯西之后"在行列式理论方面最多产的人是德国数学家雅可比
!
L2L(I;5&
"
!/.,
!
!/?!
#
!
他引进了函数行列式"即&雅可比行列式'"指
出函数行列式在多重积分的变量替换中的作用"给出了函数行列式的
导数公式!
雅可比的著名论文$论行列式的形成和性质%标志着行列式
系统理论的形成!
行列式在许多数学分支中都有着非常广泛的应用"是常用的一种
计算工具!
在本门课程中"它是研究线性方程组(矩阵及向量组线性相
关性的一种重要工具!
本章主要介绍"
阶行列式的定义(性质及其计算方法!
此外"还要
介绍解线性方程组的克莱姆法则!
!!!
!
二阶与三阶行列式
!!!!!
!
二阶行列式
历史上"行列式的概念是在研究线性方程组的解的过程中产生的!
下面我们通过解二元线性方程组引出二阶行列式的概念!
对于二元线性方程组
#
!!
$
!
%
#
!-
$
-
&
'
!
"
#
-!
$
!
%
#
--
$
-
&
'
-
"
#
$
"
!
!!!
#
当#
!!
#
--
(
#
!-
#
-!
%
.
时"用消元法易得
$
!
&
'
!
#
--
(
#
!-
'
-
#
!!
#
--
(
#
!-
#
-!
"
!
$
-
&
#
!!
'
-
(
'
!
#
-!
#
!!
#
--
(
#
!-
#
-!
!
!
!!-
#
!
!!-
#式中的分子(分母都是四个数分两对相乘再相减而得"其中
!
线 性 代 数
分母#
!!
#
--
M#
!-
#
-!
是由方程组!
!!!
#的四个系数确定的!
将这四个
系数按它们在方程组!
!!!
#中的位置"排成两行两列的数表
#
!!
#
!-
#
-!
#
--
" !
!!0
#
表达式#
!!
#
--
M#
!-
#
-!
称为数表!
!!0
#所确定的二阶行列式"并记为
#
!!
#
!-
#
-!
#
--
!
!
!!,
#
数#
)
*
!
)
"
*
&
!
"
-
#称为行列式!
!!,
#的元素!
元素#
)
*
的第一个
下标)
称为行标"表明该元素位于第)
行)第二个下标*
称为列标"表
明该元素位于第*
列!
图!!!
由上述定义可知"二阶行列式是由四个数按一
定的法则运算所得的代数和"这个法则称为对角线
法则!
如图!!!
所示"从#
!!
到#
--
的实连线称为主对
角线"从#
!-
到#
-!
的虚连线称为副对角线!
按照对角
线法则"二阶行列式等于主对角线上两元素之积减
去副对角线上两元素之积所得的差!
利用二阶行列式的概念"!
!!-
#式中的分子也可以写成二阶行列
式"即
'
!
#
--
(
#
!-
'
-
&
'
!
#
!-
'
-
#
--
"
#
!!
'
-
(
'
!
#
-!
&
#
!!
'
!
#
-!
'
-
!
若记
+
&
#
!!
#
!-
#
-!
#
--
"
+
!
&
'
!
#
!-
'
-
#
--
"
+
-
&
#
!!
'
!
#
-!
'
-
"
"
第#
章!
行!
列!
式
当+
&
#
!!
#
--
(
#
!-
#
-!
%
.
时"则方程组!
!!!
#的解可记为
$
!
&
+
!
+
&
'
!
#
!-
'
-
#
--
#
!!
#
!-
#
-!
#
--
"
$
-
&
+
-
+
&
#
!!
'
!
#
-!
'
-
#
!!
#
!-
#
-!
#
--
&
'
(
!
!
!!?
#
这里的分母+
是方程组!
!!!
#的系数所确定的二阶行列式"称为
系数行列式)
$
!
的分子+
!
是用常数项'
!
"
'
-
替换+
中$
!
的系数
#
!!
"
#
-!
所得的二阶行列式)
$
-
的分子+
-
是用常数项'
!
"
'
-
替换+
中$
-
的系数#
!-
"
#
--
所得的二阶行列式!
例!!!
!
解方程组
-$
!
%
0$
-
&
/
"
$
!
(
-$
-
&(
0
"
#
$
!
解!
+
&
-
!
0
!
(
-
&
-
,
!
(
-
#
(
0
,
!
&(
"
"
+
!
&
!
/
!
0
(
0
(
-
&
/
,
!
(
-
#
(
0
,
!
(
0
#
&(
"
"
+
-
&
-
!
/
!
(
0
&
-
,
!
(
0
#
(
/
,
!
&(
!,
"
从而
$
!
&
+
!
+
&
(
"
(
"
&
!
"
$
-
&
+
-
+
&
(
!,
(
"
&
-!
!!!!"
!
三阶行列式
与二阶行列式类似"同样可得三阶行列式的概念!
$
线 性 代 数
定义!!!
!
设有九个数排成三行三列的数表
#
!!
#
!-
#
!0
#
-!
#
--
#
-0
#
0!
#
0-
#
00
" !
!!+
#
记
#
!!
#
!-
#
!0
#
-!
#
--
#
-0
#
0!
#
0-
#
00
&
#
!!
#
--
#
00
%
#
!-
#
-0
#
0!
%
#
!0
#
-!
#
0-
(
#
!!
#
-0
#
0-
(
#
!-
#
-!
#
00
(
#
!0
#
--
#
0!
"
!
!!"
#
称!
!!"
#式为数表!
!!+
#所确定的三阶行列式!
由上述定义可见"三阶行列式有六项"每一项均为不同行不同列的
三个元素的乘积再冠以正负号"其运算规律遵循图!!-
所示的对角线
法则*图中的三条实线看做是平行于主对角线的连线"三条虚线看作
图!!"
是平行于副对角线的连线"实线上三
元素的乘积冠正号"虚线上三元素的
乘积冠负号!
例!!"
!
计算三阶行列式
+
&
! - 0
, . ?
(
! . +
!
解!
+
&
!
,
.
,
+
%
-
,
?
,
!
(
!
#
%
0
,
,
,
.
(
!
,
?
,
.
!(
-
,
,
,
+
(
0
,
.
,
!
(
!
#
&(
!.
(
,/
&(
?/!
例!!#
!
求解方程
+
&
! ! !
- 0 $
, 8 $
-
&
.!
%
第#
章!
行!
列!
式
解!
方程左端
+
&
0$
-
%
,$
%
!/
(
8$
(
-$
-
(
!-
&
$
-
(
?$
%
+
"
由$
-
(
?$
%
+
&
.
"解得$
&
-
或$
&
0!
必须指出的是"对角线法则只适用于二阶和三阶行列式!
要研究四
阶及更高阶行列式"必须先定义全排列与逆序数"然后才能给出一般行
列式的概念!
习!
题!
!!!
!!
利用对角线法则计算下列三阶行列式!
"
!
#
! .
(
!
0 ? .
. , !
$
!!!!!!
"
-
#
# ' -
' - #
- # '
$
"
0
#
! ! !
# ' -
#
-
'
-
-
-
$
!!!!
"
,
#
$
.
$
%
.
.
$
%
.
$
$
%
.
$
.
!
-!
证明等式!
#
!
'
!
-
!
#
-
'
-
-
-
#
0
'
0
-
0
&
#
!
'
-
-
-
'
0
-
0
(
'
!
#
-
-
-
#
0
-
0
%
-
!
#
-
'
-
#
0
'
0
!
0!
当$
取何值时%
0 ! $
, $ .
! . $
%
.!
!!-
!
"
阶行列式的定义
!!"!!
!
全排列与逆序数
定义!!"
!
将!
"
-
"+"
"
这"
个数任意组合后排成的数组
*
!
*
-
+
*
"
称为一个"
阶全排列"简称排列!
&
线 性 代 数
例如"
!-0,
和,0!-
都是四阶全排列"而?0-!,
为一个五阶全
排列!
对于"
阶全排列*
!
*
-
+
*
"
"从!
"
-
"+"
"
这"
个数中任取一个放
在第一个位置"有"
种取法)从剩下的"M!
个数中任取一个放在第二
个位置"有"M!
种取法)依次类推"直到最后一个数放在第"
个位置
上"只有一种取法!
因此"
"
阶全排列的总数为/
"
&
"
,
!
"
(
!
#
,
+
,
-
,
!
&
"
-
!
若在全排列中规定一种标准排列次序!通常为由小到大的递增次
序#"那么便有了下列逆序及逆序数的概念!
定义!!#
!
在全排列中任取两个数"如前面的数大于后面的数"则
称它们构成一个逆序!
一个全排列中所有逆序的总和称为此全排列的
逆序数"记为0!
逆序数为奇!偶#数的全排列称为奇!偶"排列!
计算全排列*
!
*
-
+
*
"
的逆序数较为简单!
对于数*
1
!
1
&
!
"
-
"+"
"
#"如果比*
1
小且排在*
1
后面的数有0
1
个"那么*
1
的逆序数
就是0
1
!
所有数的逆序数的总和
0
&
0
!
%
0
-
%
+
%
0
"
&
)
"
1
&
!
0
1
"
即为此全排列的逆序数!
例!!$
!
求下列全排列的逆序数*
!
!
#
0!-
)
!
!
-
#
!0,"/-+8?
)
!
0
#
"
!
"M!
#+
0-!
)
!
!
,
#
!-0
+!
"M!
#
"!
解!
!
!
#
0
!
&
-
"
0
-
&
.
"
0
0
&
.
"
0
&
-
%
.
%
.
&
-!
!
-
#
0
!
&
.
"
0
-
&
!
"
0
0
&
!
"
0
,
&
0
"
0
?
&
0
"
0
+
&
.
"
0
"
&
!
"
0
/
&
!
"
0
8
&
.
"
0
&
.
%
!
%
!
%
0
%
0
%
.
%
!
%
!
%
.
&
!.!
!
0
#
0
1
&
"
(
1
!
1
&
!
"
-
"+"
"
#"
0
&
!
"
(
!
#
%
!
"
(
-
#
%
+
%
-
%
!
%
.
&
!
-
"
!
"
(
!
#
!
!
,
#
0
1
&
.
!
1
&
!
"
-
"+"
"
#"
0
&
.!
!!"!"
!
"
阶行列式的定义
为了给出一般的"
阶行列式的定义"先来研究一下三阶行列式的
'
第#
章!
行!
列!
式
定义!
三阶行列式的定义为
#
!!
#
!-
#
!0
#
-!
#
--
#
-0
#
0!
#
0-
#
00
&
#
!!
#
--
#
00
%
#
!-
#
-0
#
0!
%
#
!0
#
-!
#
0-
!(
#
!!
#
-0
#
0-
(
#
!-
#
-!
#
00
(
#
!0
#
--
#
0!
!
不难看出*
!
!
#三阶行列式共有+N0
-项"其中正(负项各为0
项)
!
-
#每项均为取自不同行不同列的三个元素的乘积)
!
0
#确定每项的符号的法则是*当该项元素的行标按自然数顺序
排列后"若对应的列标构成的排列是偶排列则取正号"是奇排列则取
负号!
例如"项#
!!
#
-0
#
0-
的列标!0-
的逆序数为!
"为奇排列"所以此项
符号为负!
综上所述"三阶行列式可定义为
#
!!
#
!-
#
!0
#
-!
#
--
#
-0
#
0!
#
0-
#
00
&
)
!
(
!
#
0
#
!
*
!
#
-
*
-
#
0
*
0
" !
!!/
#
其中0
为排列*
!
*
-
*
0
的逆序数"
)
表示对!
"
-
"
0
三个数的所有排列
*
!
*
-
*
0
求和!
仿照上述三阶行列式的定义"可以给出一般的"
阶行列式的
定义!
定义!!$
!
设有"
-个数"排成"
行"
列的数表
#
!!
#
!-
+
#
!"
#
-!
#
--
+
#
-"
. . .
#
"!
#
"-
+
#
""
" !
!!8
#
做出表中位于不同行不同列的"
个数的乘积"并冠以符号!
M!
#
0
"得
到形如
(
线 性 代 数
!
(
!
#
0
#
!
*
!
#
-
*
-
+
#
"
*
"
!
!!!.
#
的项"其中*
!
*
-
+
*
"
为!
"
-
"+"
"
的一个全排列"
0
为此排列的逆序
数!
由于这样的排列共有"
-个"因而形如!
!!!.
#式的项共有"
-项!
所
有这"
-项的代数和
)
!
(
!
#
0
#
!
*
!
#
-
*
-
+
#
"
*
"
!
!!!!
#
称为"
阶行列式"记为
+
&
#
!!
#
!-
+
#
!"
#
-!
#
--
+
#
-"
. . .
#
"!
#
"-
+
#
""
&
)
!
(
!
#
0
#
!
*
!
#
-
*
-
+
#
"
*
"
"!
!!!-
#
简记为G$7#
)
! #
*
"
#
)
*
称为行列式的元素!
按此定义的二阶(三阶行列式"与!!!
节中用对角线法则定义的二
阶(三阶行列式显然是一致的!
当"
&
!
时"一阶行列式2
#
2&
#
"注
意不要与绝对值记号相混淆!
这里"我们顺便给出行列式的几何意义"其结论只需根据空间解析
几何知识获得!
!
!
#二阶行列式#
!!
#
!-
#
-!
#
--
的绝对值在几何上表示以向量
#
!!
"
#
/ 0
!-
"
#
-!
"
#
/ 0
--
为邻边的平行四边形的面积)
!
-
#三阶行列式
#
!!
#
!-
#
!0
#
-!
#
--
#
-0
#
0!
#
0-
#
00
的绝对值在几何上表示以向量
#
!!
"
#
!-
"
#
/ 0
!0
"
#
-!
/
"
#
--
"
#
0
-0
"
#
0!
"
#
0-
"
#
/ 0
00
为相邻棱的平行六
面体的体积)
!
0
#
"
阶行列式
#
!!
#
!-
+
#
!"
#
-!
#
--
+
#
-"
. . .
#
"!
#
"-
+
#
""
的绝对值在几何上表示
行列式所对应的向量组按照平行四边形法则组合成的超空间立体的
)
第#
章!
行!
列!
式
体积!
例!!%
!
试证明*若"
阶行列式+
中非零元素的个数少于"
"则
+
&
.!
证!
因为+
中非零元素的个数少于"
"所以+
的一般项
#
!
*
!
#
-
*
-
+
#
"
*
"
&
.!
根据行列式的定义"
+
&
.!
例!!&
!
证明下三角行列式
+
"
&
#
!!
#
-!
#
--
. .
*
#
"!
#
"-
+
#
""
&
#
!!
#
--
+
#
""
!
证!
由于当*+
)
时#
)
*
&
.
"所以+
"
中可能不为.
的元素#
1
*
1
"
其下标应满足*
1
,
1
"即*
!
,
!
"
*
-
,
-
"+"
*
"
,
"!
在所有排列*
!
*
-
+
*
"
中"能满足上述关系的排列只有一个自然排
列!-
+
"
"即+
"
中可能不为.
的项只有一项!
M!
#
0
#
!!
#
--
+
#
""
!
显然
0
&
.
"所以
+
"
&
#
!!
#
--
+
#
""
!
类似地可证明*
上三角行列式
+
"
&
#
!!
#
!-
+
#
!"
#
--
+
#
-"
*
.
#
""
&
#
!!
#
--
+
#
""
)
对角行列式
+
"
&
#
!!
#
--
*
#
""
&
#
!!
#
--
+
#
""
!
例!!'
!
计算反对角行列式
*#
线 性 代 数
+
"
&
#
!"
#
-
"
"
(
!
-
#
"!
!
解!
观察通项#
!
*
!
#
-
*
-
+
#
"M!
"
*
"M!
#
"
*
"
知"要想使之不为零"必须
*
!
&
"
"同理*
-
&
"
(
!
"+"
*
"
(
!
&
-
"
*
"
&
!
"而0
!
*
!
*
-
+
*
"
#
&
0
1
"
!
"
(
!
#+
-!
2
&
!
-
"
!
"
(
!
#"故
+
"
&
!
(
!
#
"
!
"
(
!
#
-
#
!"
#
-
"
"
(
!
+
#
"!
!
!!"!#
!
对换
为进一步研究"
阶行列式的性质"先要讨论对换的概念及其与排
列奇偶性的关系!
定义!!%
!
将一个排列中的两个数位置对调称为对换!
将相邻两
个数对换称为相邻对换!
例如"对换排列-!0?,
中!
和,
的位置后"得到新排列-,0?!!
对换与排列的奇偶性有直接的关系!
定理!!!
!
一个排列中的任意两个元素对换"排列改变奇偶性!
证!
先证相邻对换的情形!
设排列为#
!
+
#
3
#''
!
+
'
4
"对换#
与'
"变为#
!
+
#
3
'#'
!
+
'
4
!
显然"
#
!
"+"
#
3
和'
!
"+"
'
4
这些元素的逆序数经过对换并不改
变"而#
"
'
两元素的逆序数改变为*当#
.
'
时"经对换后'
的逆序
数增加!
而#
的逆序数不变)当#
+
'
时"经对换后'
的逆序数不变
而#
的 逆 序 数 减 少!!
因 此"排 列#
!
+
#
3
#''
!
+
'
4
与 排 列
#
!
+
#
3
'#'
!
+
'
4
的奇偶性不同!
再证一般对换的情形!
设排列为#
!
+
#
3
#'
!
+
'
4
'-
!
+
-
"
"先将它作4
次相邻对换"变
成#
!
+
#
3
#''
!
+
'
4
-
!
+
-
"
"再作4 O!
次相邻对 换"变 成
#
!
+
#
3
''
!
+
'
4
#-
!
+
-
"
!
也就是说"经-4O!
次相邻对换"排列
#
!
+
#
3
#'
!
+
'
4
'-
!
+
-
"
变成排列#
!
+
#
3
''
!
+
'
4
#-
!
+
-
"
"所以这两
个排列的奇偶性相反!
##
第#
章!
行!
列!
式
推论!
奇排列变成标准排列的对换次数为奇数"偶排列变成标准
排列的对换次数为偶数!
证!
由定理!!!
知"对换的次数就是排列奇偶性的变化次数"而标
准排列是偶排列"其逆序数为.
"因此推论成立!
定理!!"
!
在所有"
阶排列中"奇(偶排列各半"各为!
-
"
-个!
证!
设奇(偶排列分别为5
"
6
个"则5
%
6
&
"
-"不妨假定5,6
!
对所有排列作同一对换"由定理!!!
"奇(偶排列的个数变为6
"
5
个!
根据假定"又有6,5
"从而5
&
6
&
!
-
"
-
!
下面我们利用定理!!!
给出行列式的另一种表示法!
定理!!#
!
"
阶行列式也可定义为
+
&
)
!
(
!
#
7
#
)
!
*
!
#
)
-
*
-
+
#
)
"
*
"
" !
!!!0
#
其中7
为行标与列标排列的逆序数之和"即
7
&
0
!
)
!
)
-
+
)
"
#
%
0
!
*
!
*
-
+
*
"
#
!
!
!!!,
#
证!
对于行列式+
中的一般项!
M!
#
7
#
)
!
*
!
#
)
-
*
-
+
#
)
"
*
"
"若交换两
元素的位置"相当于同时进行一个行标的对换和一个列标的对换!
根据
定理!!!
"行标和列标排列的逆序数都要发生改变!
因此"无论交换前
一般项行标和列标排列的逆序数为奇或偶"交换后一般项行标和列标
排列的逆序数之和的奇偶性始终保持不变"即7
的奇偶性保持不变"从
而一般项!
M!
#
7
#
)
!
*
!
#
)
-
*
-
+
#
)
"
*
"
的符号始终保持不变!
这样"我们总可以经过有限次交换"使其行标为自然数顺序排列"即变
为!
!!!-
#式的一般项"从而"
阶行列式也可以定义为!
!!!0
#式的形式!
特别地"若经过有限次交换将一般项!
M!
#
7
#
)
!
*
!
#
)
-
*
-
+
#
)
"
*
"
的列
标变为自然数顺序排列"则可得"
阶行列式的另一种定义
+
&
)
!
(
!
#
0
#
)
!
!
#
)
-
-
+
#
)
"
"
" !
!!!?
#
其中0
为行标排列)
!
)
-
+
)
"
的逆序数!
例!!(
!
在六阶行列式中"下列两项各应带什么符号3
!
!
#
#
-0
#
0!
#
,-
#
?+
#
!,
#
+?
)
!!!!
!
-
#
#
0-
#
,0
#
!,
#
?!
#
++
#
-?
!
解!
!
!
#用定义!!,
讨论*
!#
线 性 代 数
#
-0
#
0!
#
,-
#
?+
#
!,
#
+?
&
#
!,
#
-0
#
0!
#
,-
#
?+
#
+?
"
列标,0!-+?
的逆序数0
&
0
%
-
%
!
&
+
为偶数"所以#
-0
#
0!
#
,-
#
?+
#
!,
#
+?
前
应带正号!
!
-
#用定理!!0
讨论*
行标0,!?+-
的逆序数为0
!
N-O-O!O!N+
)
列标-0,!+?
的逆序数为0
-
N!O!O!O!N,!
行标与列标排列的逆序数之和7N0
!
O0
-
N!.
为偶数"所以
#
0-
#
,0
#
!,
#
?!
#
++
#
-?
前应带正号!
例!!)
!
用行列式定义计算
+
"
&
. .
+
. ! .
. .
+
- . .
. . . . .
"
(
! .
+
. . .
. .
+
. . "
!
解!
显然"此行列式中不为零的不同行不同列的乘积只有
#
!
"
"
(
!
#
-
"
"
(
-
+
#
"
(
!
"
!
#
""
&
!
"
(
!
#!
"
(
-
#
,
+
,
-
,
!
,
"
&
"
-一项"
而0
1!
"
(
!
#!
"
(
-
#+
-!"
2
&
!
"
(
-
#
%
!
"
(
0
#
%
+
%
!
&
!
-
!
"
(
!
#!
"
(
-
#"所以
+
"
&
!
(
!
#
!
"
(
!
#!
"
(
-
#
-
"
-
!
习!
题!
!!"
!!
求下列排列的逆序数!
"
!
#
0+"!?-/,
$
!!!!!!!
"
-
#
!0
&"
-"M!
#
-,
&"
-"
#$
"
0
#
!0
&"
-"M!
#"
-"
#"
-"M-
#&
-!
-!
写出四阶行列式中含有因子#
!!
#
-0
的项!
0!
在六阶行列式#
)
*
中%下列各元素乘积应取什么符号'
"
!
#
#
!?
#
-0
#
0-
#
,,
#
?!
#
++
$
!!
"
-
#
#
-!
#
?0
#
!+
#
,-
#
+?
#
0,
!
,!
选择1
%
3
%使#
!0
#
-1
#
0,
#
,-
#
?3
成为五阶行列式#
)
*
中带负号
的项!
!!
?!
设"
阶行列式中有"
-
M"
个以上的元素为零%证明该行列式
"#
第#
章!
行!
列!
式
为零!
+!
用行列式的定义计算下列行列式!
"
!
#
. . ! .
. ! . .
. . . !
! . . .
$ "
-
#
. ! .
&
.
. . -
&
.
( ( ( (
. . .
&
"
(
!
" . .
&
.
$
"
0
#
#
!!
#
!-
#
!0
#
!,
#
!?
#
-!
#
--
#
-0
#
-,
#
-?
#
0!
#
0-
. . .
#
,!
#
,-
. . .
#
?!
#
?-
. . .
!
!!0
!
行列式的性质
!!
由上节行列式的定义可知"
"
阶行列式等于不同行不同列的"
个
元素的乘积之和"这种和共有"
-项!
显然"当"
较大时"用定义计算行
列式是不现实的!
在本节中"我们要介绍行列式的一系列性质"这些性质在行列式的
理论研究和计算中起着非常重要的作用!
首先引入转置行列式的概念!
定义!!&
!
将行列式+
的行与列互换后得到的行列式称为+
的
转置行列式"记为+
'
!
即若
+
&
#
!!
#
!-
+
#
!"
#
-!
#
--
+
#
-"
. . .
#
"!
#
"-
+
#
""
"
则
$#
线 性 代 数
+
'
&
#
!!
#
-!
+
#
"!
#
!-
#
--
+
#
"-
. . .
#
!"
#
-"
+
#
""
!
性质!
!
行列式与它的转置行列式相等"即+N+
'
!
证!
记+
&
G$7
!
#
)
*
#的转置行列式
+
'
&
'
!!
'
!-
+
'
!"
'
-!
'
--
+
'
-"
. . .
'
"!
'
"-
+
'
""
"
则'
)
*
&
#
*
)
!
)
"
*
&
!
"
-
"+"
"
#
!
根据行列式的定义"有
+
'
&
)
!
(
!
#
0
'
!
*
!
'
-
*
-
+
'
"
*
"
&
)
!
(
!
#
0
#
*
!
!
#
*
-
-
+
#
*
"
"
"
而由定理!!0
"有
+
&
)
!
(
!
#
0
#
*
!
!
#
*
-
-
+
#
*
"
"
"
所以+
&
+
'
!
由此性质可知"行列式中的行与列具有相同的地位!
行具有的性
质"列也同样具有)反之亦然!
性质"
!
交换两行!列#"行列式仅改变符号!
证!
设"
阶行列式
+
&
#
!!
#
!-
+
#
!"
. . .
#
)!
#
)-
+
#
)"
. . .
#
*
!
#
*
-
+
#
*
"
. . .
#
"!
#
"-
+
#
""
"
交换行列式的第)
行与第*
行对应元素!
!
,
)
.*,
"
#"得行列式
%#
第#
章!
行!
列!
式
+
!
&
#
!!
#
!-
+
#
!"
. . .
#
*
!
#
*
-
+
#
*
"
. . .
#
)!
#
)-
+
#
)"
. . .
#
"!
#
"-
+
#
""
!
根据定理!!0
"有
+
&
)
!
(
!
#
7
#
!
5
!
+
#
)
5
)
+
#
*5
*
+
#
"
5
"
"
+
!
&
)
!
(
!
#
7
!
#
!
5
!
+
#
*5
)
+
#
)
5
*
+
#
"
5
"
"
其中#
!
5
!
+
#
)
5
)
+
#
*5
*
+
#
"
5
"
和#
!
5
!
+
#
*5
)
+
#
)
5
*
+
#
"
5
"
都是+
中取
自不同行不同列的"
个元素的乘积"且
7
&
0
!
!
+
)
+
*
+
"
#
%
0
!
5
!
+
5
)
+
5
*
+
5
"
#"
7
!
&
0
!
!
+
*
+
)
+
"
#
%
0
!
5
!
+
5
)
+
5
*
+
5
"
#
!
由定理!!!
可知"
7
与7
!
的奇偶性相反"即+
的一般项与+
!
的一
般项符号相反"从而+
&(
+
!
!
一般地"用A
)
表示行列式的第)
行"用I
*
表示第*
列!
交换)
"
*
两
行记作A
)
/
A
*
"交换)
"
*
两列记作I
)
/
I
*
!
推论!
若行列式中有两行!列#完全相同"则此行列式等于零!
证!
互换相同的两行!列#"由性质-
"得+
&(
+
"故+
&
.!
性质#
!
用数1
乘行列式的某一行!列#"等于用数1
乘此行列式"
即
+
!
&
#
!!
#
!-
+
#
!"
. . .
1#
)!
1#
)-
+
1#
)"
. . .
#
"!
#
"-
+
#
""
&#
线 性 代 数
&
1
#
!!
#
!-
+
#
!"
. . .
#
)!
#
)-
+
#
)"
. . .
#
"!
#
"-
+
#
""
&
1+!
!
!!!+
#
证!
根据行列式的定义"用数1
乘行列式的第)
行后"行列式为
+
!
&
)
!
(
!
#
0
!
*
!
+
*
)
+
*
"
#
#
!
*
!
+!
1#
)
*
)
#+
#
"
*
"
&
1
)
!
(
!
#
0
!
*
!
+
*
)
+
*
"
#
#
!
*
!
+
#
)
*
)
+
#
"
*
"
&
1+!
用数1
乘第)
行!列#通常记作A
)
P1
!
I
)
P1
#
!
由性质0
可知"行列式的某一行!列#中所有元素的公因子可以提
到行列式符号的外面!
这里要提醒读者注意的是"从行列式中提取公因
子时"只需行列式的某一行!列#有公因子即可)同样"用数1
乘行列式
时"只能用1
乘此行列式的某一行!列#的各元素!
这与第-
章中要介
绍的矩阵的性质有很大的不同!
例!!!*
!
设#
!!
#
!-
#
!0
#
-!
#
--
#
-0
#
0!
#
0-
#
00
&
!
"
求+#
!!
(
-#
!-
(
!.#
!0
(
0#
-!
#
--
?#
-0
(
0#
0!
#
0-
?#
00
!
解!
+#
!!
(
-#
!-
(
!.#
!0
(
0#
-!
#
--
?#
-0
(
0#
0!
#
0-
?#
00
! &(
-
(
0#
!!
#
!-
?#
!0
(
0#
-!
#
--
?#
-0
(
0#
0!
#
0-
?#
00
'#
第#
章!
行!
列!
式
! &(
-
,
!
(
0
#
,
?
#
!!
#
!-
#
!0
#
-!
#
--
#
-0
#
0!
#
0-
#
00
! &
0.!
形如
. #
!-
#
!0
+
#
!"
(
#
!-
. #
-0
+
#
-"
(
#
!0
(
#
-0
.
+
#
0"
. . . .
(
#
!"
(
#
-"
(
#
0"
+
.
的行列式称为反对称行列式!
例!!!!
!
证明奇数阶反对称行列式的值为零!
证!
设
+
&
. #
!-
#
!0
+
#
!"
(
#
!-
. #
-0
+
#
-"
(
#
!0
(
#
-0
.
+
#
0"
. . . .
(
#
!"
(
#
-"
(
#
0"
+
.
"
利用行列式的性质!
及性质0
"有
+
&
+
'
&
.
(
#
!-
(
#
!0
+
(
#
!"
#
!-
.
(
#
-0
+
(
#
-"
#
!0
#
-0
.
+
(
#
0"
. . . .
#
!"
#
-"
#
0"
+
.
&
!
(
!
#
"
. #
!-
#
!0
+
#
!"
(
#
!-
. #
-0
+
#
-"
(
#
!0
(
#
-0
.
+
#
0"
. . . .
(
#
!"
(
#
-"
(
#
0"
+
.
(#
线 性 代 数
&
!
(
!
#
"
+!
当"
为奇数时"得+
&(
+
"即+
&
.!
性质$
!
行列式中若有两行!列#对应元素成比例"则此行列式为零!
证!
由性质0
和性质!
的推论可直接得出此结论!
例如"行列式
-
(
, !
0
(
+ 0
(
? !. ,
中的第一列与第二列对应元素成比
例"根据性质,
"此行列式等于零!
性质%
!
若行列式的某一列!行#的元素都是两数之和"例如"第)
列的元素都是两数之和*
+
&
#
!!
#
!-
+ !
#
!)
%
#
!)
!
# +
#
!"
#
-!
#
--
+ !
#
-)
%
#
-)
!
# +
#
-"
. . . .
#
"!
#
"-
+
#
")
%
#
")
! #
!
+
#
""
"
则+
等于下列两个行列式之和*
+
&
#
!!
#
!-
+
#
!)
+
#
!"
#
-!
#
--
+
#
-)
+
#
-"
. . . .
#
"!
#
"-
+
#
")
+
#
""
!%
#
!!
#
!-
+
#
!)
!
+
#
!"
#
-!
#
--
+
#
-)
!
+
#
-"
. . . .
#
"!
#
"-
+
#
")
!
+
#
""
&
+
!
%
+
-
!
证!
根据行列式的定义"得
+
&
)
!
(
!
#
0
!
*
!
+
*
)
+
*
"
#
#
!
*
!
+!
#
)
*
)
%
#
)
*
)
!
#+
#
"
*
"
&
)
!
(
!
#
0
!
*
!
+
*
)
+
*
"
#
#
!
*
!
+
#
)
*
)
+
#
"
*
"
!%
)
!
(
!
#
0
!
*
!
+
*
)
+
*
"
#
#
!
*
!
+
#
)
*
)
!
+
#
"
*
"
)#
第#
章!
行!
列!
式
&
+
!
%
+
-
!
上述结果可以推广到有限个和的情形!
性质&
!
把行列式的某一行!列#的各元素乘以同一数后加到另一
行!列#对应元素上"行列式不变!
例如"用数1
乘第*
列加到第)
列上!
)
%
*
#"则有
+
&
#
!!
+
#
!)
+
#
!
*
+
#
!"
#
-!
+
#
-)
+
#
-
*
+
#
-"
. . . .
#
"!
+
#
")
+
#
"
*
+
#
""
&
#
!!
+
#
!)
%
1#
!
*
+
#
!
*
+
#
!"
#
-!
+
#
-)
%
1#
-
*
+
#
-
*
+
#
-"
. . . .
#
"!
+
#
")
%
1#
"
*
+
#
"
*
+
#
""
&
+
!
!
证!
由性质?
和性质,
"得
+
!
&
#
!!
+
#
!)
+
#
!
*
+
#
!"
#
-!
+
#
-)
+
#
-
*
+
#
-"
. . . .
#
"!
+
#
")
+
#
"
*
+
#
""
!%
#
!!
+
1#
!
*
+
#
!
*
+
#
!"
#
-!
+
1#
-
*
+
#
-
*
+
#
-"
. . . .
#
"!
+
1#
"
*
+
#
"
*
+
#
""
&
+
%
.
&
+!
用数1
乘第*
行!列#加到第)
行!列#通常记作A
)
%
1A
*
!
I
)
%
1I
*
#
!
例!!!"
!
证明*
*!
线 性 代 数
'
%
- -
%
# #
%
'
'
!
%
-
!
-
!
%
#
!
#
!
%
'
!
'
-
%
-
-
-
-
%
#
-
#
-
%
'
-
&
-
# ' -
#
!
'
!
-
!
#
-
'
-
-
-
!
证!
'
%
- -
%
# #
%
'
'
!
%
-
!
-
!
%
#
!
#
!
%
'
!
'
-
%
-
-
-
-
%
#
-
#
-
%
'
-
!! &
' -
%
# #
%
'
'
!
-
!
%
#
!
#
!
%
'
!
'
-
-
-
%
#
-
#
-
%
'
-
%
- -
%
# #
%
'
-
!
-
!
%
#
!
#
!
%
'
!
-
-
-
-
%
#
-
#
-
%
'
-
!! &
' -
%
# #
'
!
-
!
%
#
!
#
!
'
-
-
-
%
#
-
#
-
%
- # #
%
'
-
!
#
!
#
!
%
'
!
-
-
#
-
#
-
%
'
-
!! &
' - #
'
!
-
!
#
!
'
-
-
-
#
-
%
- # '
-
!
#
!
'
!
-
-
#
-
'
-
!! &
# ' -
#
!
'
!
-
!
#
-
'
-
-
-
%
# ' -
#
!
'
!
-
!
#
-
'
-
-
-
!! &
-
# ' -
#
!
'
!
-
!
#
-
'
-
-
-
!
性质-
(性质0
和性质+
介绍了行列式关于行和列的三种运
算"即A
)
/
A
*
"
A
)
,
1
"
A
)
%
1A
*
和I
)
/
I
*
"
I
)
,
1
"
I
)
%
1I
*
!
利用
这些运算可以简化行列式的计算"特别是利用运算A
)
%
1A
*
!
I
)
%
1I
*
#可以把行列式中许多元素化为.!
计算行列式常用的一种方法
就是利用行列式的性质将其化为上三角行列式"从而得到行列式
的值!
例!!!#
!
计算行列式
#!
第#
章!
行!
列!
式
+
&
0 !
(
! -
(
? ! 0
(
,
- . !
(
!
!
(
? 0
(
0
!
解!
+
I
!
/
I
0000
-
(
! 0
(
! -
!
(
? 0
(
,
. - !
(
!
(
? ! 0
(
0
A
-
(
A
!
A
,
%
?A
0000
!
(
! 0
(
! -
.
(
/ ,
(
+
. - !
(
!
. !+
(
- "
A
0
%
A
-
,
A
,
%
-A
0000
-
(
! 0
(
! -
.
(
/ ,
(
+
. . -
(
?
-
. . +
(
?
A
,
(
0A
0000
0
(
! 0
(
! -
.
(
/ ,
(
+
. . -
(
?
-
. . .
?
-
&
,.!
例!!!$
!
计算行列式
+
&
0 ! ! !
! 0 ! !
! ! 0 !
! ! ! 0
!
解!
注意到行列式中各行!列#四个数之和都为+
"故可把第二(
!!
线 性 代 数
三(四列同时加到第一列"提出公因子+
"然后各列减去第一列"化为上
三角行列式来计算!
+
A
!
%
A
-
%
A
0
%
A
00000000
,
+ + + +
! 0 ! !
! ! 0 !
! ! ! 0
&
+
! ! ! !
! 0 ! !
! ! 0 !
! ! ! 0
A
-
(
A
!
A
0
(
A
!
A
,
(
A
0000
!
+
! ! ! !
. - . .
. . - .
. . . -
&
,/!
仿照上述方法"可以得到下列一般的结果*
# '
+
'
' #
+
'
. . .
' '
+
#
&
1
#
%
!
"
(
!
#
'
2!
#
(
'
#
"
(
!
!
例!!!%
!
计算行列式
+
&
#
!
(
#
!
. .
. #
-
(
#
-
.
. . #
0
(
#
0
! ! ! !
!
解!
根据行列式的特点"可将第一列加至第二列"然后第二列加至
第三列"再将第三列加至第四列"目的是使+
中的零元素增多!
"!
第#
章!
行!
列!
式
+
I
-
%
I
0000
!
#
!
. . .
. #
-
(
#
-
.
. . #
0
(
#
0
! - ! !
I
0
%
I
0000
-
#
!
. . .
. #
-
. .
. . #
0
(
#
0
! - 0 !
I
,
%
I
0000
0
#
!
. . .
. #
-
. .
. . #
0
.
! - 0 ,
&
,#
!
#
-
#
0
!
例!!!&
!
设
+
&
#
!!
+
#
!1
. .
#
1!
+
#
11
-
!!
+
-
!1
'
!!
+
'
!"
. . . .
-
"!
+
-
"1
'
"!
+
'
""
"
+
!
&
G$7#
)
! #
*
&
#
!!
+
#
!1
. .
#
1!
+
#
11
"
+
-
&
G$7'
)
! #
*
&
'
!!
+
'
!"
. .
'
"!
+
'
""
"
证明*
+
&
+
!
+
-
!
证!
对+
!
作运算A
)
O1A
*
"把+
!
化为下三角形行列式"设为
$!
线 性 代 数
+
!
&
5
!!
.
*
5
1!
+
5
11
&
5
!!
+
5
11
)
对+
-
作运算I
)
O1I
*
"把+
-
化为下三角形行列式"设为
+
-
&
6
!!
.
*
6
"!
+
6
""
&
6
!!
+
6
""
!
从而"对+
的前1
行作运算A
)
O1A
*
"再对后"
列作运算I
)
O
1I
*
"把+
化为下三角行列式
+
&
5
!!
.
*
5
1!
+
5
11
-
!!
+
-
!1
6
!!
. . .
*
-
"!
+
-
"1
6
"!
+
6
""
"
所以
+
&
5
!!
,
+
,
5
11
,
6
!!
,
+
,
6
""
&
+
!
+
-
!
例!!!'
!
计算-"
阶行列式
+
-"
&
# '
* -
# '
- 8
- *
- 8
!
解!
将+
-"
中的第-"
行依次与第-"M!
行"+"第-
行对调!作
-"M-
次相邻对换#"再把第-"
列依次与第-"M!
列"+"第-
列对
调"得
%!
第#
章!
行!
列!
式
+
-"
&
!
(
!
#
-
!
-"
(
-
#
# ' .
+ +
.
- 8 .
+ +
.
. . # '
* -
. .
# '
. .
- 8
- *
. . - 8
"
根据例!!!+
的结果"有
+
-"
&
+
-
+
-
!
"
(
!
#&
!
#8
(
'-
#
+
-
!
"
(
!
#
!
依次类推"即得
+
-"
&
!
#8
(
'-
#
-
+
-
!
"
(
-
#
&
+
&
!
#8
(
'-
#
"
(
!
+
-
&
!
#8
(
'-
#
"
!
习!
题!
!!#
!!
用行列式的性质计算下列行列式!
"
!
#
(
#' #- #9
'8
(
-8 89
'
:
-
:
(
9
:
$
!!!
"
-
#
# ! . .
(
! ' ! .
.
(
! - !
. .
(
! 8
$
"
0
#
! - 0 ,
- 0 , !
0 , ! -
, ! - 0
$
!!
"
,
#
! ! ! !
(
! ! ! !
(
!
(
! ! !
(
!
(
!
(
! !
!
-!
把下列行列式化为上三角形行列式%并计算其值!
&!
线 性 代 数
"
!
#
(
- -
(
, .
,
(
! 0 ?
0 !
(
-
(
0
- . ? !
$
!
"
-
#
. , ?
(
! -
(
? . - . !
" - . 0
(
,
(
0 !
(
!
(
? .
-
(
0 . ! 0
!
0!
设行列式#
)
*
&
4
"
)
%
*
&
!
%
-
%&%
?
#%依下列次序对
#
)
*
进行变换后%求其结果!
交换第一行与第五行%再转置%用-
乘所有元素%再用! #
M0
乘以
第二列加到第四列%最后用,
除以第二行各元素!
,!
用行列式性质证明下列等式!
"
!
#
#
!
%
1'
!
'
!
%
-
!
-
!
#
-
%
1'
-
'
-
%
-
-
-
-
#
0
%
1'
0
'
0
%
-
0
-
0
&
#
!
'
!
-
!
#
-
'
-
-
-
#
0
'
0
-
0
$
"
-
#
.
%
; ;
%
$ $
%
.
$
%
. .
%
; ;
%
$
;
%
$ $
%
. .
%
;
&
-
$
.
;
; $
.
.
; $
$
"
0
#
#
-
"
#
%
!
#
-
"
#
%
-
#
-
"
#
%
0
#
-
'
-
"
'
%
!
#
-
"
'
%
-
#
-
"
'
%
0
#
-
-
-
"
-
%
!
#
-
"
-
%
-
#
-
"
-
%
0
#
-
8
-
"
8
%
!
#
-
"
8
%
-
#
-
"
8
%
0
#
-
&
.!
?!
计算下列行列式!
"
!
#
!
!
!
-
!
0
&
"
(
! "
(
!
!
.
!
0
&
"
(
! "
(
!
(
-
!
.
&
"
(
! "
!
(
!
(
!
( ( (
(
!
(
-
(
0
&
. "
(
!
(
-
(
0
&
(
"
"
(
!
#
.
$
'!
第#
章!
行!
列!
式