คูมือประกอบสื่อการสอน วิชาคณิตศาสตร

เร่ือง

การนับและความนาจะเปน (เนือ้หาตอนที่ 2) การเรียงสบัเปลี่ยน

โดย

ผูชวยศาสตราจารย ดร.ณัฐกาญจน ใจด ี

สื่อการสอนชุดนี ้เปนความรวมมอืระหวาง คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย กับ

สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน (สพฐ.) กระทรวงศึกษาธกิาร

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

1

สื่อการสอน เร่ือง การนับและความนาจะเปน

ส่ือการสอน เร่ือง การนับและความนาจะเปน มีจํานวนตอนทั้งหมดรวม 16 ตอน ซ่ึงประกอบดวย

1. บทนํา เร่ือง การนับและความนาจะเปน 2. เนื้อหาตอนที่ 1 การนับเบื้องตน

- กฎเกณฑเบื้องตนเกีย่วกับการนับ - วิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงเสน(ส่ิงของแตกตางกนัทั้งหมด)

3. เนื้อหาตอนที่ 2 การเรียงสับเปล่ียน - วิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงเสน (ส่ิงของไมแตกตางกันทั้งหมด) - วิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงวงกลม

4. เนื้อหาตอนที่ 3 การจัดหมู - วิธีจัดหมู

5. เนื้อหาตอนที่ 4 ทฤษฎีบททวินาม - ทฤษฎีบททวนิาม - ทฤษฎีบทอเนกนาม

6. เนื้อหาตอนที่ 5 การทดลองสุม - การทดลองสุม - ปริภูมิตัวอยาง - เหตุการณและความนาจะเปน

7. เนื้อหาตอนที่ 6 ความนาจะเปน 1 - สมบัติพื้นฐานของความนาจะเปน - การหาความนาจะเปนแบบงาย

8. เนื้อหาตอนที่ 7 ความนาจะเปน 2 - การหาความนาจะเปนโดยใชกฎการนับ - การหาความนาจะเปนโดยแผนภาพเวนน-ออยเลอร

9. แบบฝกหัด (พื้นฐาน 1) 10. แบบฝกหัด (พื้นฐาน 2) 11. แบบฝกหัด (ขัน้สูง) 12. สื่อปฏิสัมพันธ เร่ือง หลักการบวกและหลักการคูณสําหรับการนับ 13. สื่อปฏิสัมพันธ เร่ือง การเรียงสับเปล่ียน

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

2

14. สื่อปฏิสัมพนัธ เร่ือง ทฤษฎีบททวินาม 15. สื่อปฏิสัมพนัธ เร่ือง ความนาจะเปน 16. สื่อปฏิสัมพนัธ เร่ือง การใสบอลลงกลอง

คณะผูจัดทําหวังเปนอยางยิ่งวา ส่ือการสอนชุดนี้จะเปนประโยชนตอการเรียนการสอนสําหรับ

ครู และนักเรียนทุกโรงเรียนที่ใชส่ือชุดนี้รวมกับการเรียนการสอนวิชาคณิตศาสตร เร่ือง การนับและความนาจะเปน นอกจากนี้หากทานสนใจสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตรในเรื่องอื่นๆที่คณะผูจัดทําไดดําเนินการไปแลว ทานสามารถดูช่ือเร่ือง และชื่อตอนไดจากรายชื่อส่ือการสอนวิชาคณิตศาสตรทั้งหมดในตอนทายของคูมือฉบับนี้

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

3

เร่ือง การนับและความนาจะเปน (การเรียงสับเปลี่ยน) หมวด เนื้อหา ตอนที่ 2 (2/7) หัวขอยอย 1. วิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงเสน (ส่ิงของไมแตกตางกันทั้งหมด)

2. วิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงวงกลม

จุดประสงคการเรียนรู เพื่อใหผูเรียน

1. สามารถหาจํานวนการเรียงสับเปลี่ยนสิ่งของแนวเสนตรง ในกรณีที่ส่ิงของไมแตกตางกัน ทั้งหมดได

2. สามารถหาจํานวนการจัดเรยีงสิ่งของเปนวงกลมได ผลการเรียนรูท่ีคาดหวัง

ผูเรียนสามารถ 1. อธิบายความแตกตางระหวางการเรียงสับเปลี่ยนเชิงเสนในกรณีที่ส่ิงของแตกตางกนัทั้งหมด

และสิ่งของไมแตกตางกันทั้งหมดได 2. อธิบายวิธีหาและหาจํานวนวธีิในการเรียงสบัเปลี่ยนเชิงเสนในกรณีที่ส่ิงของไมแตกตางกัน

ทั้งหมดได 3. อธิบายความสัมพันธระหวางการจัดเรียงสับเปลี่ยนเชิงเสนและการเรยีงสับเปลี่ยนเชิงวงกลมได 4. อธิบายวิธีหาและหาจํานวนวธีิในการเรียงสบัเปลี่ยนเชิงวงกลมได

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

4

เนื้อหาในสื่อการสอน

เนื้อหาทั้งหมด

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

5

1. วิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงเสน (สิ่งของไมแตกตางกันทั้งหมด)

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

6

1. วิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงเสน (สิ่งของไมแตกตางกันทั้งหมด)

ในหวัขอนี ้ ผูเรียนจะไดศึกษาเกี่ยวกบัวิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงเสน ในกรณีทีส่ิ่งของที่นํามาจัดเรียงไมแตกตางกันทั้งหมด หรือพูดงาย ๆ วา มีของซํ้า นั่นเอง โดยในสื่อการสอนไดยกตวัอยางการเรียงสับเปลี่ยนเชงิเสน ทั้งในกรณีที่ส่ิงของแตกตางกันทั้งหมดและในกรณีที่มีของซ้ํา เพื่อใหผูเรียนเห็นความเชื่อมโยงระหวางการจัดเรียงทั้งสองกรณีดังกลาว

เมื่อผูเรียนไดชมตัวอยางในสื่อการสอนแลว ผูสอนอาจใหผูเรียนชวยกันสังเกตวิธีการหาจํานวนวิธีการเรียงสับเปลี่ยนเชิงเสนในกรณีที่ส่ิงของที่นํามาจัดเรยีงไมแตกตางกันทั้งหมด

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

7

เมื่อผูเรียนไดชมสื่อการสอนขางตนแลว ผูสอนอาจใหผูเรียนชวยกนัคิดหาคําตอบของตัวอยางขางตนกอน แลวจึงแสดงใหผูเรียนดูดังนี ้

ตัวอยาง มีหนงัสือ 8 เลม แบงเปนวิชาฟสิกส 4 เลม(เหมือนกันทกุเลม) วิชาคณิตศาสตร 2 เลม (เหมอืนกัน ทุกเลม) วิชาเคมี 1 เลม และวิชาชีววิทยา 1 เลม ถานํามาเรียงบนชั้นหนงัสือ โดยที่หนงัสือวิชาเดียวกันตองอยูติดกัน จะสามารถจัดเรียงหนังสือไดทั้งหมดกี่วิธี วิธีทํา นําหนงัสือวิชาฟสิกส 4 เลม มัดติดกันไว และนาํหนังสือวิชาคณิตศาสตร 2 เลม มัดติดกันไว ดังนั้น ในการจดัเรียงหนังสือดังกลาว จึงเปรียบเสมือนการจัดเรียงสิ่งของ 4 ส่ิง (นั่นคอื หนังสือวิชาฟสิกส วิชาคณิตศาสตร วิชาเคมี และวิชาชีววิทยา) ซ่ึงมีวิธีจัดเรียงทั้งหมด 4! 24= วิธี และเนือ่งจากหนังสือวิชาฟสิกส 4 เลมที่มัดติดกันไวเหมือนกนัทุกเลม ทําใหไดวา จํานวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนหนังสือวิชาฟสิกส 4 เลมที่มัดติดกัน 1= วิธี ในทํานองเดียวกนั จาํนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนหนงัสือวิชาคณิตศาสตร 2 เลมที่มัดติดกนัไว 1= วิธี เชนกนั ดังนั้น จํานวนวิธีการจัดเรียงที่ตองการ 24 1 1 24= × × = วิธี

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

8

ตัวอยาง จงหาจํานวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนตัวอักษร 8 ตัว จากคําวา “CALCULUS” วิธีทํา ดังนั้น จํานวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนตัวอักษร 8 ตัว จากคําวา “CALCULUS” 8! 5,040

2!1!2!2!1!= = วิธี

เพื่อใหผูเรียนมีความเขาใจเรื่องวิธีการเรียงสับเปลี่ยนไดดียิ่งขึ้น เมื่อมกีารเพิ่มเงื่อนไขในการเรียงสับเปลี่ยน ผูสอนอาจใหผูเรียนฝกทําตวัอยางตอไปนี้เพิม่เติม

C A L C U L U S

C C A L L U U

S

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

9

ตัวอยาง จงหาจํานวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนตัวอักษร 8 ตัว จากคําวา “CALCULUS” เมื่อ 1. L ตองอยูติดกนั 2. L ไมอยูตดิกนั หรือ C ไมอยูติดกนั

วิธีทํา 1. โจทยตองการให L อยูติดกนั ดังนั้น จึงมดั “L” ไวดวยกัน แลวเปรยีบเสมือนสิ่งของเพียงหนึ่งสิ่ง และเนื่องจาก L ทั้งสองตัวเหมือนกนั ดังนั้น การสลับที่ “L” จึงใหผลเหมือนเดิม ดังนั้น จํานวนวิธีในการเรียงสับเปลี่ยนดังกลาว 7! 1,260

2!1!1!2!1!= = วิธี

2.

จํานวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนโดยที่ L ไมอยูติดกัน หรือ C ไมอยูติดกนั = จํานวนวิธีการเรยีงสับเปลี่ยนทัง้หมด โดยไมมีเงื่อนไข − ( จํานวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนโดยที่ L อยูติดกัน และ C อยูติดกนั) =

8! 6!2!1!2!2!1! 1!1!1!2!1!

− 5,040 360 4,680= − = วิธี

เมื่อผูเรียนไดฝกทําตัวอยางการหาจํานวนวธีิการเรียงสับเปลี่ยน โดยเพิม่เงื่อนไขในการจัดเรียง ไดคลองแลว ผูสอนอาจใหผูเรียนชม “ปญหาชวนคดิ” ในสื่อการสอน ซ่ึงยังคงเปนเรื่องของการเรียงสับเปลี่ยนเพยีงแตเงื่อนไขที่กําหนดเพิ่มเติมเปลี่ยนไป จากนัน้ใหผูเรียนชวยกันคดิหาคําตอบ

C C A L L U U

S

C A L C U L U S

L L

A L L U U

S L L

C A L C U L U S

C C

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

10

ปญหาชวนคดิ มีลูกแกว 10 ลูก เปนสีแดง (เหมือนกนัทุกลูก) 4 ลูก และเปนสีเขียว (เหมือนกันทุกลูก) 6 ลูก นํามาเรียงสับเปลี่ยนเชิงเสน โดยที่ลูกแกวที่อยูหัวแถวและทายแถวตองมีสีเดียวกัน จะมวีิธีการเรียงสับเปลี่ยนทั้งหมดกีว่ิธี วิธีทํา กรณีท่ี 1 ลูกแกวทีอ่ยูหวัแถวและทายแถวเปนสแีดง แดง _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ แดง ดังนั้น จํานวนวิธีเรียงลูกแกวที่เหลืออีก 8 ลูก ซ่ึงเปนสีแดง 2 ลูกและสีเขียว 6 ลูก 8! 28

2!6!= = วิธี

กรณีท่ี 2 ลูกแกวที่อยูหวัแถวและทายแถวเปนสีเขียว เขียว _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ เขียว

ลูกแกว 8 ลูก

แดง 4 ลูก เขียว 4 ลูก

ลูกแกว 8 ลูก

แดง 2 ลูก เขียว 6 ลูก

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

11

ดังนั้น จํานวนวิธีเรียงลูกแกวที่เหลืออีก 8 ลูก ซ่ึงเปนสีแดง 4 ลูกและสีเขียว 4 ลูก 8! 704!4!

= = วิธี

โดยหลักการบวก จะไดวา จํานวนวิธีการเรยีงสับเปลี่ยนทัง้หมด 28 70 98= + = วิธี

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

12

แบบฝกหัดเพิ่มเติม เร่ือง วิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงเสน (สิ่งของไมแตกตางกันทั้งหมด)

1. ในการจดัหลอดไฟสีเพื่อประดับเสาตนหนึ่งตามแนวดิ่ง เสาตนนี้ติดหลอดไฟเรียงกันได 9 หลอด ถามีหลอดไฟ สีแดง 3 หลอด สีเหลือง 4 หลอด และสีน้ําเงิน 2 หลอด จะมวีิธีจัดหลอดไฟสีได ทั้งหมดกี่วิธี เมื่อหลอดไฟสีเดยีวกันไมตางกัน 2. มีหนังสืออยู 12 เลม เปนภาษาอังกฤษ 4 เลม (เหมือนกันทุกเลม) ภาษาไทย 5 เลม (เหมือนกันทกุเลม) และภาษาฝรั่งเศส 3 เลม (เหมือนกนัทุกเลม) จะมีวิธีจัดกีว่ิธี ถาจัด 3.1 เรียงกันเปนแถว 3.2 เรียงกันเปนแถวแตใหหนังสือภาษาเดยีวกันอยูติดกัน 3. ธัญญาตองการประดับกระถางตนไมไวริมร้ัวบานเปนแนวเสนตรง โดยมีตนมะลิ 2 ตน ตนกหุลาบ 3 ตน และตนพดุซอน 3 ตน โดยใหตนมะลิตองอยูติดกนั จงหาจํานวนวิธีจัดเรียงทัง้หมด เมื่อตนไมชนิด เดียวกันไมตางกัน 4. จงหาจํานวนวิธีจัดตวัเลขทั้ง 8 ตัว ใน “72545232” ใหไดจํานวน 8 หลัก ตางๆ กัน 5. จงหาจํานวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนอักษรในคํา “COMBINATION” ถา 5.1 ไมมีเงื่อนไขเพิ่มเตมิ 5.2 อักษร “O” ตองอยูติดกนั 6. นําลูกแกว 7 ลูก ซ่ึงเปนสีฟา 2 ลูก สีแดง 3 ลูก และสีมวง 2 ลูก โดยลูกแกวสีเดียวกันไมตางกัน มาเรียงเปน เสนตรง จะมวีิธีการจัดไดทั้งหมดกีว่ธีิ ถา 6.1 หัวแถวและทายแถวตองเปนสีมวง 6.2 สีแดงตองอยูติดกนัทั้งสามลูก 7. ตองการทาสีดําหรือสีขาวลงในชองหมายเลข 1-4

จงหาจํานวนวิธีทาสีทั้งหมด 8. จงหาจํานวนวิธีจัดตวัเลขทั้ง 6 ตัว ใน “022556” เพื่อใหไดจํานวนที่มีคามากกวาหนึ่งแสน

1 2 3 4

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

13

2. วิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงวงกลม

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

14

2. วิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงวงกลม ในหวัขอนี้ ผูเรียนจะไดศกึษาวิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงวงกลม โดยในสื่อการสอนจะเริม่ดวยการยกตวัอยาง เพื่อแสดงใหเห็นความเชื่อมโยงระหวางวธีิเรียงสับเปลี่ยนเชิงเสนและวิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงวงกลม

เมื่อผูเรียนไดชมสื่อการสอนขางตนจบแลว ผูสอนอาจใหขอสังเกตผูเรียนเพิ่มเติม ดังนี้ ในการเรยีงสับเปลี่ยนเชิงวงกลมสิ่งของ n ส่ิง เมื่อเรากําหนดใหส่ิงของสิ่งหนึ่งคงที่ เราก็สามารถมองไดวาในการจดัเรียงสิ่งของที่เหลืออีก 1n − ส่ิง คือการเรียงสับเปลี่ยนเชิงเสนที่ไดศึกษาไปกอนหนานี้แลวนั่นเอง

ตัวอยาง มีกระถางไมประดบัชนิดตาง ๆ กัน 5 ชนิด ชนิดละ 1 กระถาง ถานํามาวางรอบเสาธงจะมวีิธี จัดวางทั้งหมดกี่วิธี วิธีทํา การนํากระถาง 5 กระถางวางรอบเสาธง คือ การเรียงสับเปลี่ยนสิ่งของ 5 ส่ิงเชิงวงกลม ดังนัน้ จํานวนวิธีจดัวางทั้งหมด เทากับ 4! 24= วิธี

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

15

ตัวอยาง ในการจัดตัวแทนนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปที่ 4, 5 และ 6 ช้ันละ 3 คน นั่งประชุมรอบโตะกลม โดยที่ตัวแทนนักเรียนที่มาจากชัน้เดียวกันตองนั่งติดกัน จะมีจาํนวนวิธีการจดัทั้งหมดกีว่ิธี วิธีทํา

นําตัวแทนนกัเรียนชั้น ม. 4 จาํนวน 3 คน มดัติดกนัไว นําตัวแทนนกัเรียนชั้น ม. 5 จาํนวน 3 คน มดัติดกนัไว นําตัวแทนนกัเรียนชั้น ม. 6 จาํนวน 3 คน มดัติดกนัไว ดังนั้น ในการจดัตัวแทนนกัเรียนนั่งรอบโตะกลม จึงเปรียบเสมือนการจัดเรียงเชิงวงกลมสิ่งของ 3 ส่ิง ซ่ึงจัดเรียงไดทั้งหมด (3 1)!− วิธี และเพราะวานกัเรียนที่มดัติดกันไวสามารถสลับตําแหนงกันไดอีก ทําใหไดวา จํานวนวิธีการจดัทั้งหมด (3 1)!3!3!3! 432= − = วิธี

3 คน

3 คน 3 คน

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

16

ตัวอยาง ถาจดันักเรยีน 6 คน ซ่ึงมีมานะและมานีรวมอยูดวยใหยืนเปนวงกลมโดยที่มานะและมานีตองยืนตรงขามกัน จะมีจาํนวนวิธีในการจัดทั้งหมดกีว่ิธี

วิธีทํา ✂

ดังนั้น จํานวนวิธีจัดนกัเรียนที่เหลืออีก 4 คน ลงในตําแหนงขางตน ไดทั้งหมด 4! วิธี เพราะฉะนั้น จํานวนวิธีในการจัดทั้งหมดเทากับ 4! 24= วิธี ตัวอยาง ถาจดันักเรยีน 6 คน ซ่ึงมีมานะและมานีรวมอยูดวยใหยืนเปนวงกลมโดยที่มานะและมานหีามยืนตดิกัน จะมีจํานวนวิธีในการจดัทั้งหมดกี่วิธี วิธีทํา จํานวนวิธีจัดคน 6 คน ยืนเปนวงกลม เทากับ (6 1)! 5!− = วิธี จํานวนวิธีจดัคน 6 คน ยืนเปนวงกลม โดยที่มานะและมานีตองยืนติดกัน เทากับ (5 1)!2! 4!2!− = วิธี ดังนั้น จํานวนวิธีจัดคน 6 คน ยืนเปนวงกลม โดยที่มานะและมานีหามยืนตดิกัน เทากับ 5! 4!2! 72− = วิธี

มานี

มานะ มานี

มานะ

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

17

ตัวอยาง จงหาจํานวนวิธีจดัคน 3 คน นั่งรอบโตะกลม 3 ที่นั่ง โดยเกาอี้แตละตัวมหีมายเลขกํากบัไว วิธีทํา สําหรับตัวอยางขอนี ้มองผิวเผินเหมือนเปนการจดัเรียงเชิงวงกลม แตโจทยกําหนดเพิ่มเตมิวาเกาอีแ้ตละตัวมีหมายเลขกํากับไว 2 2 1 3 1 3 แบบที่ 1 แบบที่ 2 ดังนั้น การจัดเรียงแบบที่ 1 และแบบที่ 2 จึงแตกตางกัน

พิจารณาสิ่งที่โจทยตองการอกีครั้ง โจทยตองการจดัคน 3 คน นั่งเกาอี้หมายเลข 1 หมายเลข 2 และหมายเลข 3 ซ่ึงเปนการจดัเรยีงแบบเชิงเสนสิ่งของ 3 ส่ิง นั่นเอง

ดังนั้น จํานวนวิธีการจดัเรียงทั้งหมด = 3! 6= วิธี

จากที่ไดกลาวไปในตอนตนถึงความสัมพันธระหวางการเรียงสับเปลี่ยนเชิงเสนและการเรียงสับเปลี่ยนเชิงวงกลม ดงันั้น ในการหาจํานวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนเชงิวงกลมในกรณีที่มีของซ้ํา เราจึงใชความรูเร่ืองของการเรียงสับเปลี่ยนเชิงเสนในกรณีที่มีของซ้ําเขาชวย ดังตัวอยางในสื่อการสอนตอไปนี้

เพื่อใหผูเรียนเขาใจการจดัเรยีงสิ่งของเชิงวงกลม ในกรณทีี่ส่ิงของที่นํามาจัดเรียงมีของซํ้าไดดียิ่งขึน้ ผูสอนอาจใหผูเรียนทําตัวอยางตอไปนี้เพิม่เติม

ข

ค ก ค

ข

ก

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

18

ตัวอยาง นําจาน 5 ใบ ซ่ึงเปนจานสีดํา 2 ใบ(เหมือนกัน) สีฟา 2 ใบ(เหมือนกัน) และสีน้ําเงิน 1 ใบ มาวางเรียงบนโตะกลม 5 ที่นั่ง จะมวีิธีการจัดเรียงไดทั้งหมดกีว่ิธี วิธีทํา กําหนดใหจานสีน้ําเงินคงที ่ จากนั้นจัดเรยีงจานที่เหลืออีก 4 ใบ

✂ ________ ________ ________ ________ ดังนั้น จํานวนวิธีการจัดเรยีงดังกลาว 4! 6

2!2!= = วิธี

ดํา 2 ใบ ฟา 2 ใบ

จาน 4 ใบ

น้ําเงิน

น้ําเงิน

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

19

ขอควรระวัง จากตัวอยางขางตน ถากําหนดใหจานสีดําคงที่ จากนั้นจัดจานที่เหลืออีก 4 ใบ จะไดวา ________ ________ ________ ________ จํานวนวิธีการจัดเรียง 4! 12

1!2!1!= = วิธี ซ่ึงคําตอบไมตรงกับตัวอยางขางตน ซ่ึงผูสอนอาจใหผูเรียนชวยกนั

พิจารณาวาเปนเพราะอะไร เมื่อนําจานที่เหลืออีก 4 ใบ มาจัดเรียงเชิงเสน จะพบวาการจัดเรียง ฟา ฟา น้ําเงิน ดํา และ ดํา ฟา ฟา น้ําเงิน แตกตางกัน แตเมื่อนํามาจัดเรียงเปนวงกลม จะพบวาจานสีดําอยูติดกนั และจะไดวงกลมแบบเดยีวกัน ดังรูปลาง

✂

✂ จากขอสังเกตดังกลาวขางตน เราจึงกําหนดใหส่ิงของซึ่งไมมีของซ้ําเปนตัวคงที่ โดยสําหรับตัวอยางนี้ คือกําหนดใหจานสีน้ําเงินคงที่ นั่นเอง แตถาการจัดเรยีงที่ส่ิงของแตละชนิดมีของซ้ําทั้งหมด วธีิการหาจํานวนการจัดเรียงดังกลาวคอนขางซับซอน จึงไมขอกลาวถึง ณ ที่นี้

สีดํา 1 ใบ สีฟา 2 ใบ

จาน 4 ใบ

สีน้ําเงิน 1 ใบ

ฟา

ฟา น้ําเงิน

ดํา

ดํา

ดํา

ดํา

ดํา

ฟา

ฟา น้ําเงิน

ดํา

ดํา

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

20

ตัวอยาง มีลูกแกวสีแดง 2 ลูก(เหมือนกนั) และลูกแกวสีฟา สีเหลือง สีเขียว สีละ 1 ลูก นํามาเรียงเปนวงกลม โดยที่ลูกแกวสีแดงตองอยูตดิกัน จะมีจํานวนวิธีการจัดทัง้หมดกีว่ิธี วิธีทํา กําหนดใหลูกแกวสีฟาคงที่

จากนั้น จดัเรียงลูกแกวอีก 4 ลูกที่เหลือ นัน่คือ สีแดง 2 ลูก สีเหลือง 1 ลูก และสีเขียว 1 ลูก แตโจทยตองการใหลูกแกวสีแดงอยูติดกนั ดังนั้น “มัด” ลูกแกวสีแดงตดิกันไว จากนัน้ เปรียบเสมอืนการจัดเรยีงสิ่งของเพียง 3 ส่ิง เปนเสนตรง ซ่ึงจัดเรียงไดทั้งหมด 3! 6= วิธี เนื่องจากลูกแกวสีแดงที่มัดติดกันไวเหมือนกัน ทําใหการสลับตําแหนงลูกแกวสีแดงยังใหผลเหมือนเดิม ดังนั้น จํานวนวิธีการจัดที่ตองการ 6= วิธี หมายเหตุ จากตัวอยางขางตน ผูเรียนอาจกําหนดใหลูกแกวที่คงที่เปนสีเหลืองหรือสีเขียวไดเชนกนั

ฟา

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

21

เมื่อผูเรียนไดชมสื่อการสอนขางตนจบแลว ผูสอนอาจเนนใหผูเรียนระมดัระวังในเรื่องของการหาจํานวนวิธีจดัเรียงสิ่งของเชิงวงกลม เมื่อการจัดเรียงนัน้สามารถ “พลิก” ได เชน กําไรขอมือ สรอยขอมือ หรือ การรอยพวงมาลัย

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

22

แบบฝกหัดเพิ่มเติม เร่ือง วิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงวงกลม

1. ในการประชุมครั้งหนึ่ง มีผูแทนจาก 4 ประเทศเขารวม โดยมีผูแทนประเทศละ 3 คน จงหาจํานวนวิธีจัด

ผูแทนทั้งหมดนั่งประชุมโตะกลม โดยที่ผูแทนประเทศเดียวกันตองนั่งติดกัน 2. จัดผูชาย 3 คนและผูหญิง 4 คน นั่งรอบโตะกลม จะมีวิธีการจัดไดทั้งหมดกี่วิธี ถา

2.1 ไมมีเงื่อนไขเพิ่มเติม 2.2 ไมมีผูชายสองคนใดนั่งตดิกนั 2.3 ผูชายนั่งติดกนัทั้งหมดและผูหญิงนั่งติดกนัทั้งหมด

3. นักเรียนกลุมหนึ่งมีจํานวน 8 คน โดยที่มี ด.ช.สาธิตและ ด.ช.ณัฐ รวมอยูดวย จงหาจํานวนวิธีที่จดันักเรียนกลุมนี้ยืนเปนวงกลม โดยที ่3.1 ด.ช.สาธิตและด.ช.ณัฐ ตองยนืตรงขามกัน 3.2 ด.ช.สาธิตและด.ช.ณัฐ หามยนืติดกนั

4. จงหาจํานวนวธีิในการจัดใหสามี-ภรรยา n คู นั่งรอบโตะกลม ถา 4.1 ผูชายนั่งสลับกับผูหญิง 4.2 สามี-ภรรยาแตละคูตองนั่งตดิกัน

5. จัดลูกบอลสีแดง 1 ลูก สีเหลือง 2 ลูก และสีขาว 3 ลูก เปนวงกลมไดทัง้หมดกีว่ิธี ถาลูกบอลสีเดียวกันไมตางกัน

6. จงหาจํานวนวธีิในการจัดเรียงอักษร A, B, C, D และ E เปนวงกลมโดย C และ D ตองอยูติดกนั 7. จงหาจํานวนวธีิในการจัดเรียงอักษร A, B, C, C, D และ E เปนวงกลมโดย C ตองอยูติดกัน 8. จงหาจํานวนวธีิในการจัดเรียงตัวอักษรจากคําวา “CALCULUS” เปนวงกลม

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

23

สรุปสาระสําคัญประจําตอน

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

24

สรุปสาระสําคัญประจําตอน

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

25

เอกสารอางอิง

1. สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี. (2552). หนังสอืเรียนรายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร เลม 2 ช้ันมัธยมศึกษาปที ่4 – 6 กลุมสาระการเรียนรูคณิตศาสตร ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช 2551. กรุงเทพฯ: สถาบันฯ.

2. สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี. (2552). หนังสอืเรียนรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร เลม 4 ช้ันมัธยมศึกษาปที ่4 – 6 กลุมสาระการเรียนรูคณิตศาสตร ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช 2551. กรุงเทพฯ: สถาบันฯ.

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

26

ภาคผนวกที่ 1 แบบฝกหัด/เนื้อหาเพิ่มเติม

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

27

แบบฝกหัดระคน

1. ขอความตอไปนี้ขอใดจริง 1. นําตัวอักษร A, B, C, D และ E มาเขียนเปนคําใหม (ไมคํานึงถึงความหมาย) โดยไมใชอักษรซ้ํา จะเขยีนไดทั้งหมดเทากับ 110 คํา 2. นําตัวอักษร A, B, C, D และ E มาเรียงสบัเปลี่ยนโดยให C และ D อยูติดกนัเสมอ จะจดัได 24 วิธี 3. จากคํา BIOLOGY นําตัวอักษรจากคําดังกลาวมาเรียงสบัเปลี่ยนโดยให O อยูติดกนัเสมอ จะจดัไดเทากับ 720 วิธี 4. จากตัวอักษร AAABBCCCC นํามาเรียงสับเปลี่ยนไดเทากับ 1620 วธีิ 2. จํานวนวิธีจัดตัวเลขทั้ง 7 ตัว ใน “0223334” เพื่อใหไดจํานวนทีม่ีคามากกวาหนึ่งลานมีทั้งหมดกี่วิธี 1. 360 วิธี 2. 420 วิธี 3. 720 วิธี 4. 4,320 วิธี 3. จํานวนวิธีจัดเรียงอกัษรในคํา ENTRANCE ซ่ึงอักษร E ไมอยูตดิกัน เทากับจาํนวนในขอใดตอไปนี ้ 1. 2,520 2. 7,560 3. 8,820 4. 10,080 4. ถามีจานอยู 15 ใบ ซ้ือจากสามประเทศ ประเทศ ก. มี 5 ใบ แตกตางกัน ประเทศ ข. มี 4 ใบ เหมือนกนั และประเทศ ค. มี 6 ใบ แตกตางกัน จะตั้งจานแสดงใหชมโดยจัดเรยีงเปนวงกลมไดกีว่ิธี 1. 14!

4! วิธี 2. 14!

5!6! วิธี

3. 14!

3! วิธี 4. 14!

3!4! วิธี

5. มีลูกฟุตบอล 5 ลูก 5 สี ถานํามาเรียงสับเปลี่ยนเชิงเสนตรงและเรยีงสับเปลี่ยนเชิงวงกลมจะไดผลตางกัน อยางไร 1. เรียงสับเปลี่ยนเชิงวงกลมไดจํานวนวิธีมากกวาเชิงเสนตรง 24 วิธี 2. เรียงสับเปลี่ยนเชิงวงกลมไดจํานวนวิธีมากกวาเชิงเสนตรง 96 วิธี 3. เรียงสับเปลี่ยนเชิงเสนตรงไดจํานวนวิธีมากกวาเชิงวงกลม 24 วิธี 4. เรียงสับเปลี่ยนเชิงเสนตรงไดจํานวนวิธีมากกวาเชิงวงกลม 96 วิธี

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

28

6. ในการนั่งรับประทานอาหารรอบโตะกลมซึ่งมี 10 ที่นั่ง ถาในบรรดา 10 คนที่นั่งโตะนี้ สามีภรรยา 2 คู ตองการนัง่ติดกันโดยแตละคูตองนั่งเคยีงขางกันเสมอแลว จํานวนวิธีการจัดทีน่ั่งคนทั้ง 10 คน เทากับขอใด ตอไปนี ้ 1. 8(6!) วิธี 2. 56(6!) วิธี 3. 24(6!) วิธี 4. 28(6!) วิธี 7. มีลูกแกว 7 ลูก ซ่ึงมีสีตางกันทั้งหมด โดยมีสีแดง สีขาว สีน้ําเงิน และสีอ่ืน ๆ จํานวนวธีิวางเรียงลูกแกวเปน

วงกลมโดยใหลูกแกวสีน้ําเงนิอยูระหวางลกูแกวสีขาวและลูกแกวสีแดง เทากับขอใดตอไปนี ้ 1. 24 วิธี 2. 48 วิธี 3. 120 วิธี 4. 240 วิธี

8. มีลูกแกว 7 ลูก ซ่ึงมีสีตางกันทั้งหมด โดยมีสีแดง สีขาว สีน้ําเงิน และสีอ่ืน ๆ จาํนวนวิธีวางเรยีงลูกแกวเปน วงกลม โดยใหลูกแกวสีแดงและสีขาวเรียงอยูติดกัน แตลูกแกวสีแดงไมติดกับลูกแกวสีน้ําเงนิ มีคาเทากับ ขอใดตอไปนี้ 1. 96 วิธี 2. 192 วิธี 3. 216 วิธี 4. 240 วิธี 9. ในการเลี้ยงฉลองการแตงงานครั้งหนึ่ง ชาย 6 คนและหญิง 6 คน นัง่เรียงกันรอบโตะกลม ถาชายกับหญิงนั่ง สลับกัน โดยใหคูสามี-ภรรยาคูหนึ่งนั่งติดกันดวย จะนั่งไดทั้งหมดกี่วิธี 1. 5!6!

2 วิธี 2. 2!5!5! วิธี

3. 5!5! วิธี 4. 5!6! วิธี 10. สรางเลขสี่หลัก จากเลขโดด 6, 7, 8, 9 โดยสามารถใชเลขซ้ําได และผลรวมของตัวเลขทั้งสี่หลักมีคาเปน 34 จะมีวิธีการสรางเทากับขอใดตอไปนี ้ 1. 2 วิธี 2. 4 วิธี 3. 6 วิธี 4. 10 วิธี 11. จัดผูชาย 5 คนและผูหญิง 3 คน นั่งรอบโตะกลม โดยท่ีผูหญิงและผูชายคูหนึ่งหามนั่งติดกนั จะมีวิธีการจดั ไดทั้งหมดกี่วิธี

1. 360 วิธี 2. 720 วิธี 3. 1,800 วิธี 4. 3,600 วิธี

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

29

ภาคผนวกที่ 2 เฉลยแบบฝกหัด

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

30

เฉลยแบบฝกหัด เร่ือง การเรียงสับเปลี่ยนเชิงเสน(กรณีที่สิ่งของไมแตกตางกันทั้งหมด)

1. 9! 1,2603!4!2!

= 2. 2.1 12! 27,7204!5!3!

=

2.2 3! 6= 3. 140 4. 8! 3,360

3!2!=

5. 5.1 11! 4,989,6002!2!2!

= 6. 6.1 5! 102!3!

=

5.2 10! 907,2002!2!

= 6.2 5! 302!2!

=

7. 16 8. 150

เฉลยแบบฝกหัด เร่ือง การเรียงสับเปลี่ยนเชิงวงกลม

1. 3!3!3!3!3! 7,776= 2. 2.1 6! 720= 2.2 144 2.3 144 3. 3.1 6! 720= 4. 4.1 !( 1)!n n − 3.2 3,600 4.2 2 ( 1)!n n − 5. 10 6. 12 7. 24 8. 630

เฉลยแบบฝกหัดระคน 1. 3 2. 1 3. 2 4. 1

5. 4 6. 1 7. 2 8. 2 9. 2 10. 4 11. 4

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

31

รายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร จํานวน 92 ตอน

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

32

รายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร จํานวน 92 ตอน

เรื่อง ตอน

บทนํา เร่ือง เซต

ความหมายของเซต

เซตกําลังและการดําเนินการบนเซต

เอกลักษณของการดําเนินการบนเซตและแผนภาพเวนน-ออยเลอร

เซต

สื่อปฏิสัมพันธเร่ืองแผนภาพเวนน-ออยเลอร บทนํา เร่ือง การใหเหตุผลและตรรกศาสตร การใหเหตุผล

ประพจนและการสมมูล

สัจนิรันดรและการอางเหตุผล

ประโยคเปดและวลีบงปริมาณ

สื่อปฏิสัมพันธเร่ืองหอคอยฮานอย

การใหเหตุผลและตรรกศาสตร

สื่อปฏิสัมพันธเร่ืองตารางคาความจริง บทนํา เร่ือง จํานวนจริง สมบัติของจํานวนจริง การแยกตัวประกอบ

ทฤษฏีบทตัวประกอบ

สมการพหุนาม

อสมการ เทคนิคการแกอสมการ คาสัมบูรณ การแกอสมการคาสัมบูรณ กราฟคาสัมบูรณ สื่อปฏิสัมพันธเร่ืองชวงบนเสนจํานวน

สื่อปฏิสัมพันธเร่ืองสมการและอสมการพหุนาม

จํานวนจริง

สื่อปฏิสัมพันธเร่ืองกราฟคาสัมบูรณ บทนํา เร่ือง ทฤษฎีจํานวนเบื้องตน

การหารลงตัวและจํานวนเฉพาะทฤษฎีจํานวนเบื้องตน

ตัวหารรวมมากและตัวคูณรวมนอย บทนํา เร่ือง ความสมัพันธและฟงกชัน ความสัมพันธและฟงกชัน

ความสัมพันธ

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

33

เรื่อง ตอน

โดเมนและเรนจ อินเวอรสของความสัมพันธและบทนิยามของฟงกชัน

ฟงกชันเบื้องตน

พีชคณิตของฟงกชนั

อินเวอรสของฟงกชันและฟงกชันอินเวอรส

ความสัมพันธและฟงกชัน

ฟงกชันประกอบ

บทนํา เร่ือง ฟงกชันชี้กําลังและฟงกชันลอการิทึม

เลขยกกําลัง ฟงกชันชี้กําลังและฟงกชันลอการิทึม

ลอการิทึม

อสมการเลขชี้กําลัง

ฟงกชันชี้กําลังและฟงกชันลอการิทึม

อสมการลอการิทึม

บทนํา เร่ือง ตรีโกณมิติ อัตราสวนตรีโกณมิติ เอกลักษณของอัตราสวนตรีโกณมิติ และวงกลมหนึ่งหนวย ฟงกชันตรีโกณมิติ 1

ฟงกชันตรีโกณมิติ 2

ฟงกชันตรีโกณมิติ 3

กฎของไซนและโคไซน กราฟของฟงกชันตรีโกณมิติ ฟงกชันตรีโกณมิติผกผัน

สื่อปฏิสัมพันธเร่ืองมุมบนวงกลมหนึ่งหนวย สื่อปฏิสัมพันธเร่ืองกราฟของฟงกชันตรีโกณมิติ

ตรีโกณมิติ

สื่อปฏิสัมพันธเร่ืองกฎของไซนและกฎของโคไซน บทนํา เร่ือง กําหนดการเชิงเสน

การสรางแบบจําลองทางคณิตศาสตร กําหนดการเชิงเสน

การหาคาสุดขีด

บทนํา เร่ือง ลําดับและอนุกรม

ลําดับ

การประยุกตลําดับเลขคณิตและเรขาคณิต

ลิมิตของลําดับ

ผลบวกยอย อนุกรม

ลําดับและอนุกรม

ทฤษฎีบทการลูเขาของอนุกรม

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

34

เรื่อง ตอน

บทนํา เร่ือง การนับและความนาจะเปน

การนับเบื้องตน

การเรียงสับเปลี่ยน

การจัดหมู ทฤษฎีบททวินาม

การทดลองสุม

ความนาจะเปน 1

การนับและความนาจะเปน .

ความนาจะเปน 2

บทนํา เร่ือง สถิติและการวิเคราะหขอมูล

บทนํา เนื้อหา แนวโนมเขาสูสวนกลาง 1

แนวโนมเขาสูสวนกลาง 2 แนวโนมเขาสูสวนกลาง 3

การกระจายของขอมูล

การกระจายสัมบูรณ 1

การกระจายสัมบูรณ 2

การกระจายสัมบูรณ 3

การกระจายสัมพัทธ คะแนนมาตรฐาน

ความสัมพันธระหวางขอมูล 1

ความสัมพันธระหวางขอมูล 2

โปรแกรมการคํานวณทางสถิติ 1

สถิติและการวิเคราะหขอมูล

โปรแกรมการคํานวณทางสถิติ 2

การลงทุน SET50 โดยวิธีการลงทุนแบบถัวเฉลี่ย ปญหาการวางตัวเบี้ยบนตารางจัตุรัส การถอดรากที่สาม เสนตรงลอมเสนโคง

โครงงานคณิตศาสตร

กระเบื้องที่ยืดหดได