18.034 leri Diferansiyel Denklemler

Ders 36

Sayfa 1 www.acikders.org.tr

MIT AkDersSistemi

http://ocw.mit.edu

18.034 leri Diferansiyel Denklemler

2009 Bahar

Bu bilgilere atfta bulunmak veya kullanm koullar hakknda bilgi iin

http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret ediniz.

http://ocw.mit.edu/http://ocw.mit.edu/terms

18.034 leri Diferansiyel Denklemler

Ders 36

Sayfa 2 www.acikders.org.tr

LC. LMT EMBERLER

1. Giri.

-dzleminde lineer olmayan sistemlerin analizinde imdiye kadar kritik noktalarn

bulunmas ve her bir kritik noktann komuluunda sistemin yrngelerinin nasl

davrandn inceleme zerine arlk verdik. Bu incelemeler dier yrngelerin kritik

noktalar civarnda, en azndan onlara yeterince yakn olanlarn, nasl davrandna ait bir

sezgi vermektedir.

Yrngelerin davrann etkileyen bir dier nemli olaslk yrngelerden birinin

kapal bir erisi zerinde olup olmamasdr. Eer bu olursa, kar gelen zm geometrik

olarak erisi zerinde belli bir periyoduyla dnen bir nokta olarak alglanabilir. yle ki,

zm vektr periyodik fonksiyonlarn bir ifti olacaktr. Yani, her iin

dir.

Eer byle bir kapal eri varsa, yakn yrngeler gibi davranmak zorundadr.

Olaslklar aada gsterilmektedir. Yakn yrngeler ya ye doru veya den uzaa doru

sarmal olurlar, ya da kendileri kapal erilerdir. Eer son durum olumazsa, dier bir deyile

izole olmu kapal bir eri ise, bir limit ember olarak adlandrlr. Yakn erilerin ye

doru, den uzaa doru veya hem ye doru hem de den uzaa doru sarmal oluuna

gre, erisine kararl, kararsz, veya yar kararl bir limit ember denir.

Kararl limit ember Kararsz limit ember Yar kararl limit ember Ntral kararl limit ember

En nemli limit ember eidi yakn erilerin ye doru iki ynden sarmal olarak

yaklat kararl limit emberdir. Doadaki periyodik sreler ou zaman kararl limit

emberlerle temsil edilirler. Bu nedenle, eer mevcutsalar, byle yrngeleri bulmaya

byk bir ilgi vardr. Maalesef, bunun nasl yaplaca veya bir sistemin limit emberi

18.034 leri Diferansiyel Denklemler

Ders 36

Sayfa 3 www.acikders.org.tr

olmadnn nasl gsterilecei konusunda artc bir biimde ok az ey bilinmektedir. Bu

konuda gnmzde etkin aratrmalar vardr. Biz burada bilinen birka eyi ifade edeceiz.

2. Limit emberlerin varln gsterme.

(1)

sisteminin limit emberi olduunu gstermek iin tarihsel olarak kullanlan temel ara

Poincare-Bendixson teoremidir.

Poincare-Bendixson Teoremi. , ve basit kapal erileri arasndaki sonlu dzlemsel

blge ve , (1) sisteminin vektr alan olsun. Eer

(i) ve zerindeki her noktada vektr alan blgesinin iine doru ynl ise, ve

(ii) hi kritik nokta iermiyorsa,

bu durumda (1) sistemi blgesinde kapal bir yrngeye sahiptir.

Teoremin hipotezleri ekil 1 de gsterilmektedir. Matematik analiz konusunda temel

bilgi gerektiren teoremin ispatn vermeyeceiz. Neyse ki, teorem sezgiye kuvvetle hitap

eder. Eer snrlayan erilerin birinin zerinde balarsak, hz vektr nin iine doru ynl

olduundan, zm nin iine girecektir. Zaman getike, zm asla nin dna kamaz.

nin dna kmak iin snr erisine yaklatka, hz vektr ieri doru ynl olduundan,

orbiti de kalmaya zorlar. zm asla den kmayaca iin, yapabilecei tek ey

iin bir kritik noktaya yaklamak ya da bir kapal orbite sarmal olmaktr. Fakat, hipotez

gerei de hi kritik nokta yoktur, bylece de kapal bir orbit vardr. (Bu orbit kararsz bir

limit ember olamaz, yukarda gsterilen dier durumdan biri olmaldr.)

18.034 leri Diferansiyel Denklemler

Ders 36

Sayfa 4 www.acikders.org.tr

Poincare-Bendixson teoremini kullanmak iin, eri bounca hz vektrleri ayn kenara

ynl olacak ekilde kapal eriler iin vektr alan aramaldr. Aadaki rnek onlarn

bulunabilecei bir durumdur.

rnek 1.

(2)

ekil 2 ilgili vekr alannn iki ember zerinde nasl grndn gstermektedir. Merkezi

orijinde yarap 2 olan ember zerinde vektr alan ieri doru, yarap olan ember

zerinde ise dar doru ynldr. Bunu ispat etmek iin vektr alann yarap olan

ember zerinde

(3)

olarak yazarz.

(3) denkleminin sa tarafndaki ilk vektr embere teettir; ikinci vektr radyal olarak

byk emberin iine ve kk emberin dna doru ynldr.

Bylece, (2) deki iki vektrn toplam byk ember boyunca ieri ve kk ember boyunca

dar doru ynldr.

Poincare-Bendixson teoreminin iki ember arasndaki yzk eklinde blgelere de

uygulanabileceine belirtmek istiyoruz. Bununla birlikte, blgesinin sistemin hicbir kritik

noktasn iermediini salatmalyz. noktasnn sistemin tek noktas olduunu

gstermeyi dev olarak brakyoruz; bu yzk eklindeki blgenin kritik nokta iermediini

gsterir.

18.034 leri Diferansiyel Denklemler

Ders 36

Sayfa 5 www.acikders.org.tr

Yukardaki tartma Poincare-Bendixson teoreminin ye uygulanabileceini gsterir

ve nin kapal bir orbite sahip olduu sonucuna varrz. Gerekten, nin

sistemi zdn gstermek kolaydr. Bylece, kapal erinin geometrik yeri birim

emberdir. Limit emberin kararl olduunun gsterilmesini ve sistemin tek kapal orbiti

olduunu gstermeyi bir dier dev olarak brakyoruz.

3. Limit emberin olmamas durumu.

imdi dikkatimizi limit emberin varln gsterme probleminin tersine evirelim.

Limit emberin mevcut olmadn gstermek iin bazen kullanlan iki teorem unlardr.

Bendixson Kriteri. Eer ve basit balantl (deliksiz) bir blgesinde srekli ve nin

her noktasnda

ise

(4)

sistemi de kapal bir orbite sahip deildir.

spat. blgesinde kapal bir orbitinin varln kabul edelim. Green teoremini (normal

formunu) kullanarak eliki elde edelim. Bu teorem, blgesi basit kapal erisinin i

ksm olmak zere,

(5)

verir.

Bu sonu, bununla birlikte, bir elikidir. nk, hipotez gerei,

fonksiyonu srekli ve asla sfr deerini almaz; bylece, ya pozitif ya da negatiftir ve (5) in sa

taraf bu nedenle ya pozitif ya da negatiftir.

Dier taraftan, sol taraf sfr olmak zorundadr. kapal erisi sistemle tanmlanan

hz vektr alanna teettir Bu, nin normal vektr ile hz vektr nin

ortagonal olmas demektir; yani soldaki fonksiyonu zde olarak sfrdr.

18.034 leri Diferansiyel Denklemler

Ders 36

Sayfa 6 www.acikders.org.tr

Bu eliki, nin (4) sisteminin bir kapal orbitini ierdii kabulmzn yanl olduu

anlamna gelmektedir, ve bylece Bendixson kriteri ispat edilmi olur.

Kritik Nokta Kriteri. Kapal bir orbit i blgesinde bir kritik noktaya sahiptir.

Bu cmleyi tersine evirirsek, ifadenin gerekten kapal bir orbitin yokluu kriteri

olduunu grrz. Bu kriter, basit balantl blgesi bir kritik noktaya sahip deilse, bu

durumda limit ember ieremez demektedir. nk, eer ierseydi, Kritik Nokta Kriteri

limit emberin iersinde bir kritik nokta olduunu sylerdi, ve bu nokta de delik

olmadndan ye de ait oludu.

Bu teorem limit emberler, ierisinde kritik nokta olan blgeleri evrelerler ile

Poincare-Bendixson teoremi limit emberler, ierisinde kritik nokta olamayan blgelerde

bulunurlar arasndaki fark dikkatli bir ekilde not edelim. Fark, Poincare-Bendixson

teoremindeki blgelerin her zaman delikli olduudur; kritik noktalar deliktedir. rnek 1 bunu

gstermektedir.

rnek 2. ve nin hangi deerleri iin,

sistemi kapal orbitlere sahiptir.

ZM. Bendixson kriteri ile,

ise ne olur? Bendixson kriteri hibir ey sylemez. LS notlarndaki lineer

sistem analizimize dnelim. Sistemin karakteristik denklemi

dir. olsun. Bu durumda, ise kkler ters iaretlidir ve orijin bir eyer

noktasdr; ise kkler karmak saylardr ve orijin bir merkez noktasdr, sistem

bir kapal eriye sahiptir. Bylece

4. Van der Pol denklemi.

18.034 leri Diferansiyel Denklemler

Ders 36

Sayfa 7 www.acikders.org.tr

kinci mertebeden lineer olamayan nemli bir denklem

(6)

biimindedir. Bu denklem, snm kuvveti in pozisyona bal olduu (rnein, ktle

younluu deiken bir viskoz ortam ierisinde hareket ediyor olabilir) ve yay sabiti in

yayn ne kadar gerildiine bal olduu (bu ou yaylar iin belli lde dorudur), ktle-yay

sistemi iin bir model olarak dnlebilir.

(6) denklemi

(7)

sistemine denktir. Belli koullar altnda, (7) sistemi sadece bir kararl limit embere sahiptir.

Yani, (6) denklemi sadece bir periyodik zme sahiptir ve tm yakn orbitler iin

periyodik zme yaklarlar. Lineard tarafndan verilen ve aadaki teoremde

genelletirilen koullar bu sonucu garantilemektedir.

Levinson-Smith Teoremi. Aadaki koullarn salandn kabul edelim.

(a) ) ift ve sreklidir,

(b) tekdir, iin , ve sreklidir,

(c)

olmak zere, iin

(d)

olmak zere, bir says iin:

Bu durumda,

(i) (7) sisteminin orijinde sadece bir kritik noktas vardr;

(ii) (7) sisteminin sadece bir kapal orbiti (sfr hari) vardr ve bu orbit orijin civarnda

karal bir limit emberdir.

(iii) tm dier orbitler (sfr hari) iin ye sarmal ekilde yaklar.

18.034 leri Diferansiyel Denklemler

Ders 36

Sayfa 8 www.acikders.org.tr

spat olduka zor olduundan vermiyoruz. Klasik bir uygulama olarak bir bo tpteki

akm tanmlayan

(8)

denklemidir. ( sabiti tp sabitine bal olan bir pozitif parametredir.) Denklem sfrdan

farkl sadece bir periyodik zme sahiptir. Sezgisel olarak, denklemi lineer olmayan bir

ktle yay sistemi olarak dnn. byk olduu zaman, restore eden ve sndren

kuvvetler byk olur, dolaysyla in zamana gre azalmas gerekir. Fakat kld

zaman, snm negatif olur ve in zamana gre artmasna neden olur. Bylece, zmn

salnm yapmas ve denklemin tam olarak bir periyodik zme sahip olmas makul bir

gerektir.

Periyodiklik gsteren olaylar modelleyen sistemlerde ortaya kt iin, limit

emberlere ok fazla ilgi vardr.

rnein, ve ikinci dereceden polinomlar olduu zaman, (1)

sisteminin ka tane limit embere sahip olduu bilinmemektedir. 20. yzyl ortalarnda,

tannm iki Rus matematiki maksimum saynn olduuna dair yz sayfalk bir ispat

yaynlad, fakat zor ispatlarnda bir boluk bulundu ve sonucu pheli durumda brakt; yirmi

yl sonra inli matematiki Mingsu Wang drt limit embere sahip bir sistem ina etti.

Kulland iki polinom hem kk hem de byk katsaylar iermektedir; bu nmerik hesab

zorlatrdndan orbitlerin bir bilgisayar grafii yoktur.

Baz matematikiler limit emberlerin maksimum saysnn drt, bazlar alt olduu

ynnde, dierleri ise bir maksimum saynn olmad ynde, kestirimlerde

bulunmaktadrlar. Sa tarafn ikinci dereceden daha yksek polinomlar olduu otonom

sistemler iin daha bile az bilinmektedir. Bununla birlikte, ve nin polinomlar

olduu her hangi bir zel sistemde limit emberlerin saysnn sonlu olduunu syleyen genel

olarak kabul edilmi bir ispat vardr.

Altrma. Blm 5D