9. ADİ DİFERANSİYEL DENKLEMLERİN SAYISAL ÇÖZÜMLERİ

Serhat YILMAZ, [email protected] YILMAZ, [email protected]

11

9. ADİ DİFERANSİYEL 9. ADİ DİFERANSİYEL DENKLEMLERİN SAYISAL DENKLEMLERİN SAYISAL

ÇÖZÜMLERİÇÖZÜMLERİ

Serbest düşen paraşütçünün denklemi:Serbest düşen paraşütçünün denklemi:

Bağımsız değişken;

1: Adi dif. Denk

1’den fazla: Kısmi Dif. Denk.


22

•Temel yasalar: konuma ve zamana bağlı değişimler.Temel yasalar: konuma ve zamana bağlı değişimler. Mühendislikte daha çok değişimle ilgilenilir. Mühendislikte daha çok değişimle ilgilenilir.

dt

diLv 21 q =

dt

TdC 2

t

T = dt

wdJ 2

F = dt

vdM 2

•Bir sistemin nasıl değiştiğini (dinamik karakteristiğini) bilirsek, hangi zaman veya hangi konumda nasıl tepki vereceğini tahmin ederek, tasarımlarımızı buna göre yapabiliriz. Gösterim biçimi:

y=f(x) dy/dx=f(x)

Daha yararlı


33

Bir sistemin durumu hakkında gözlemler ve deneyler sonucundaBir sistemin durumu hakkında gözlemler ve deneyler sonucunda

y 4 - - - - -

+ + + 3 x

Sistemi genel olarak karakterize Sistemi genel olarak karakterize

eden y=f(x) fonksiyonu eden y=f(x) fonksiyonu

. xi xi+1 xi+n x

y

y

Eğim=

+ + 1i i

Adım büyüklüğü h

x x

x

1i iy y h

. - -

0

+ + + 3 x (b)

dy/dx 8 - - - - -8 -

y= dxdx

dy


44

Bilgisayar olmaksızın ADD’ler genellikle analitik Bilgisayar olmaksızın ADD’ler genellikle analitik integrasyon teknikleriyle çözülür. integrasyon teknikleriyle çözülür.

ÖrneğinÖrneğin cv g v dt

m

Şu anda, pratik öneme sahip olan bir çok ADD’in kesin çözümü yoktur. Sayısal yöntemler, bu gibi durumlar için güvenilebilecek tek alternatiftir. Sayısal yöntemler, genelde bilgisayar gerektirdiği için öncesi çağda, mühendislerin araştırmaları büyük oranda sınırlanmıştı.


55

•Mühendisler ve uygulamalı matematikçiler bu zorluğu aşmak için doğrusallaştırma adını verdikleri

bir yöntem geliştirdiler. Doğru bir adi dif. denklem, aşağıdaki genel şekle

uyar.

Burada ( )ny , y’nin x’e göre n. Türevi olup, a’lar ve f’ler x’in birer fonksiyonudur.

( ) '1 0( ) ....... ( ) ( ) ( )n

na x y a x y a x y f x

Denklem doğrusal olarak adlandırılır. Çünkü bu denklemde bağımlı değişken y ve türevlerinin çarpımı ( '2y y gibi) veya doğrusal olmayan (sin(y), ln(y), ey gibi) işlevleri yoktur.


66

• Doğrusal ADD’in pratikte önemi analitik olarak Doğrusal ADD’in pratikte önemi analitik olarak çözülebilmeleridir. çözülebilmeleridir. Bu nedenle bilgisayar öncesi dönemde doğrusal olmayan Bu nedenle bilgisayar öncesi dönemde doğrusal olmayan denklemlerin çözümü için bir yol, onları doğrusallaştırmaktıdenklemlerin çözümü için bir yol, onları doğrusallaştırmaktı

Örnek: Newton 2.hÖrnek: Newton 2.h

l

g.m

F=m.a

2

2sin 0

d g

dt l

Nonlineer

Analitik çözüm için bir yol, sarkacın denge konumundan itibaren küçük yer değiştirmeleri için ( ’nın küçük değerleri için) şu bağıntının sağlanmasıdır.

sin

2

20

d g

dt l


77

Böylece denklemi, analitik olarak çözümü kolay olan Böylece denklemi, analitik olarak çözümü kolay olan doğrusal bir şekle dönüştürmüş oluruz.doğrusal bir şekle dönüştürmüş oluruz.

Doğrusallaştırma, mühendislik problemlerinin çözümü için Doğrusallaştırma, mühendislik problemlerinin çözümü için değerli bir araç olmasına karşın, bunun yapılamayacağı değerli bir araç olmasına karşın, bunun yapılamayacağı durumlar da vardır.durumlar da vardır.

Örnek: Örnek: Sin(0)=0; Sin(0)=0; sin(pi/100)=sin(0.0314)= 0.0314sin(pi/100)=sin(0.0314)= 0.0314sin(pi/50)=sin(0.0628)= 0.0628sin(pi/50)=sin(0.0628)= 0.0628......sin(pi/2)=sin(1.5708)=1 sin(pi/2)=sin(1.5708)=1

Bu durumda sayısal çözümleme yöntemlerine başvurmamız gerekir. Bu durumda sayısal çözümleme yöntemlerine başvurmamız gerekir.

sin


88

9.1. Mühendislik 9.1. Mühendislik UygulamalarıUygulamaları

Temel yasalar, fiziksel özelliklerdeki ve sistemin Temel yasalar, fiziksel özelliklerdeki ve sistemin konumundaki değişimleri açıklayan deneysel konumundaki değişimleri açıklayan deneysel gözlemlere dayanır. gözlemlere dayanır.

Yasalar, fiziksel sistemin Yasalar, fiziksel sistemin durumunu doğrudan açıklamak durumunu doğrudan açıklamak yerine, genellikle, konuma ve yerine, genellikle, konuma ve zamana bağlı değişimlerini ifade zamana bağlı değişimlerini ifade ederler.ederler.


99

Tablo’da bazı yasalara ilişkin örnekler verilmiştir. Tablo’da bazı yasalara ilişkin örnekler verilmiştir.

Tablo.9.1. Zaman veya konuma bağlı olarak bazı değişkenlerin değişim hızını ifade eden temel yasalar için örnekler (Chapra S.,Canale,R., 2003)

Yasa Matematiksel İfadesi Kulanılan Değişkenler Seri RL devresi için akım yasası

di V Ri

dt L L

Akım(i), gerilim (V), Bobinin indüktansı(L), Direnç (R)

Newtonun hareket için 2. yasası

dv F

dt m

Hız (v), kuvvet (F) ve kütle (m)

Fourier ısı yasası ' dTq k

dx Isı akısı (q), ısıl iletkenlik ( 'k ) ve

sıcaklık (T)

Bu değişimler, sürekli durumda (lim t ) türevlerle ifade edilirse, diferansiyel denklemler ortaya çıkar. Daha sonra bu diferansiyel denklemler integre edilirse, enerji, kütle ve hız değişimleri açısından bir sistemi konuma ve zamana göre tanımlayan matematiksel işlevler elde edilir.


1010

F=ma Fizik Yasası

dv c

g vdt m

ADD

Çözüm

Analitik Sayısal

1i i i

cv v g v t

m

( / )1 c m tgmv e

c

Şekil.9.2. ADD kullanılarak temel fizik yasalarından mühendislik problemlerinin çözümüne geçiş yolları (Chapra S.,Canale,R., 2003)

Düşen paraşütçü problemi, temel bir yasadan, bir adi dif. denklemin türetilmesinin bir örneğidir. Bu bağıntının integre edilmesiyle, zamanın işlevi olarak düşme hızını tayin etmek için bir denklem elde edilmiştir. Bu denklem, tasarım amaçları da dahil olmak üzere bir çok amaç için kullanılabilir. Fakat daha önce de belirtildiği gibi, pratik önemi olan bir çok dif. denklem, yüksek matematikteki analitik yöntemlerle çözülemez.


1111

9.2. Diferansiyel Denklemlerin 9.2. Diferansiyel Denklemlerin Matematik TemeliMatematik Temeli

y=-0.5x4+4x3-10x2+8.5x+1 3 22 12 20 8.5dy

x x xdx


1212

0

+ + + 3 x (b)

y 4 - - - - -

+ + + 3 x (a)

. 0.8 x - - - 2.0-

dy/dx 8 - - - - -8 -

3 22 12 20 8.5y x x x dx

y=-0.5x4+4x3-10x2+8.5x+C

y C=3 - C=2 - C=1 – C= 0 C=-1 C=-2

+ + + 3 x

1=0.5*(0)4+4*(0)3-10*(0)2+8.5*(0)+C

C=1

Şekil.9.4. 3 22 12 20 8.5x x x ’in integrali için altı farklı olası çözüm. Bunlardan her biri, integral sabiti C’nin farklı bir değerine karşılık gelmektedir. (Chapra S.,Canale,R., 2003)

C=-2,-1,0 2,3,…


1313

Başlangıç koşulları genellikle, fiziksel problem verilerinden türetilen diferansiyel denklem yorumlamasıyla elde edilirler.

Örneğin

Serbest düşme t=0 için v=0

Başlangıçta kondansatör boş ise,t=0 için Vc(0) =0


1414

9.3. Sayısal Çözümleme Yöntemleri9.3. Sayısal Çözümleme Yöntemleri

Bölüm.6’da nonlineer

denk sist. sayfasını

hatırlayalım


1515

( , )dy

f x ydx

( , )dy

f x ydx

= eğim

y

Eğim=

+ + 1i i

Adım büyüklüğü h

x x

x

1i iy y h

. - -

yi+1

( , )dy

f x ydx

şeklindeki adi diferansiyel denklemlerin sayısal çözümleri, bir önceki xi ve

bunun fonksiyonda aldığı değer olan yi değerlerinden yola çıkarak, diferansiyel (fonksiyonun eğimi) yardımıyla daha sonraki (xi+1, yi+1) değerlerini bulmak olarak özetlenebilir.

Bütün çözüm yöntemleri bu şekilde olmakla birlikte, aralarında sadece eğim tahmininde kullanılan yöntem yönünden farklılıklar vardır.

Şekil.9.6. y fonksiyonunun yörüngesi

. xi xi+1 xi+n x

y

Şekil.9.7. Eğim tahmini

Tahmin

Gerçek

- - 2.0-

y

h

+ +

1i ix x x

Hata


1616

9.3.1. Euler Yöntemi9.3.1. Euler Yöntemi

( , )i i

dyf x y

dx

yi+1=yi+ ( , )i if x y h

Euler Formülü


1717

Örnek: Eşitlik 9.8’deki dif. denklemi sayısal Örnek: Eşitlik 9.8’deki dif. denklemi sayısal olarak çözmek için Euler yöntemini kullanın olarak çözmek için Euler yöntemini kullanın (Adım büyüklüğünü h=0.5 olarak alın, x=0’dan (Adım büyüklüğünü h=0.5 olarak alın, x=0’dan x=4’e kadar integre edin, başlangıç koşulu x=0 x=4’e kadar integre edin, başlangıç koşulu x=0 için y=1)için y=1)

Çözüm:3 22 12 20 8.5

dyx x x

dx

Buradaki x=0, y(0)=1 noktasındaki eğim tahmini;

f(0,1)= -2 (0)3+12 (0)2-20 (0)+8.5=8.5 Buradan

y(0.5)=1+8.5*0.5=5.25 bulunur.

Oysa orijinal fonksiyonun bu noktadaki gerçek değeri;

y=-0.5 (0.5)4+4 (0.5)3-10 (0.5)2+8.5 (0.5)+1=3.21875’tir.


1818

i) y(1)=y(0.5)+f(1 , 5.25)*0.5 Buradaki x=1, y(1)=5.25 noktasındaki eğim tahmini; f(1 , 5.25) = -2 (0.5)3+12 (0.5)2-20 (0.5)+8.5=1.25 Buradan y(1)=5.25+1.25*0.5=5.875 bulunur. Tüm adımlar için sonuçlar tabloda verilmiştir.

Tablo.9.2. Fonksiyonun gerçek ve euler yaklaşımıyla çözümleri

x ygerçek yeuler

0 1 1 0.5 3.21875 5.25 1 3 5.875

1.5 2.21875 5.125 2 2 4.5

2.5 2.71875 4.75 3 4 5.875

3.5 4.71875 7.125 4 7 7


1919

y - - 1 –

ygerçek

0

1

2

3

4

5

6

7

8

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5

(x0,y0)

( , )dy

f x ydx

( , )dy

f x ydx

(x1,y1)

(x2,y2)( , )

dyf x y

dx

( , )dy

f x ydx

(x7,y7)

(x4,y4)(x3,y3)

Şekil.9.8. Gerçek çözüm-Euler çözümü karşılaştırması (Chapra S.,Canale,R., 2003)


2020

9.3.2. Runge-Kutta Yöntemi9.3.2. Runge-Kutta Yöntemi

43211 26

1kkkkyy ii

Runge-Kutta FormülüYine bir (ortalama) y

ii yxfhk ,1

,

2

ky,

2

hxfhk 1

ii2 ,

2,

22

3

ky

hxfhk ii 34 , kyhxfhk ii

yegim*h

2

yk 1k

2

h= x

+ + 1i ix x x

2

1i

x

1k1 yk

En son adımda en güncel

Delta y

tahmini

kullanılır

f

k4y


2121

Örnek: )(10)(

)(tI

td

tdI dif. denklemini Runge-Kutta yöntemiyle çözünüz. h=0.1, I(0)=0;

Çözüm: y=I, x=t y0=I0=0, x0=t0=0 (başlangıç anı) k1=h f(x0 , y0)=h f(t0 , I0) = 0.1*(10-I0) = 0.1*(10-0)=1

2,

21

002

ky

hxfhk =

)

2

10(10*1.0 =0.1*(10-0.5)=0.95

2,

22

003

ky

hxfhk =

)

2

95.00(10*1.0 =0.9525

3004 , kyhxfhk = )9525.00(10*1.0 =0.9047

I(0.1) = 0+ 9047.09525.095.0216

1 =0.9516

t2 = 0.2 k1=0.1*f(x1,y1)=0.1(10-0.9516)=0.9048 , k2=0.1*[10-(I(0.1)+2

0.9048)

k3..... k4..... Buradan gerekli hesaplamalar yapıldığında I(0.2)= 1.8127 bulunur.


2222

İlk Değerleri Ata n, x0,y0 , h

E

i=i+1

i=1 ?ni

H n. adım için y değerini göster

xi+1 =xi+h

ii yxfhk ,1

2,

21

2

ky

hxfhk ii

43211 26

1kkkkyy ii

2,

22

3

ky

hxfhk ii

34 , kyhxfhk ii

Algoritma ve ProgramAlgoritma ve Program


2323

9.3.3. Adam's Yöntemi9.3.3. Adam's Yöntemi Bu yöntem, çözüm yörüngesini daha etkili şekilde belirlemek için Bu yöntem, çözüm yörüngesini daha etkili şekilde belirlemek için

daha önceki adımlardan kalan bilgileri saklar.daha önceki adımlardan kalan bilgileri saklar. 2 ve 3 adımlı olmak üzere 2 farklı Adams formülü vardır. 2 ve 3 adımlı olmak üzere 2 farklı Adams formülü vardır.

gürültü 1if

if

Ortalama eğim


2424

2 adımlı Adam's yöntemi2 adımlı Adam's yöntemi

11 32 iiii ffh

yy

Örneğin 0112 32

ffh

yy değerini bulabilmek için f(x0,y0) ve f(x1, y1)'i önceden bilmek

gerekir.

3 adımlı Adam's yöntemi3 adımlı Adam's yöntemi

211 5162312 iiiii fffh

yy

y3 değerini ( 01223 5162312

fffh

yy ) bulabilmek için, f(x0,y0) , f(x1, y1) ve f(x2,y2)

değerleri bilinmelidir.


2525

Örnek: xydx

dy dif. denklemini Adam's yöntemiyle çözünüz. x0=0 , y0=1.5, x1=0.25,

y1=1.892, x2=0.5, y2=2.324, h=0.25

x3=x2+h=0.5+0.25=0.75 , y3=y2+ 012 5162312

fffh

f2=f(x2,y2) = y2-x2=2.324-0.5=1.824, f1=f(x1,y1) = y1-x1=1.892-0.25=1.642

f0=f(x0,y0) = y0-x0=1.5-0=1.5

y3=2.324+ 5.1*5642.1*16832.1*2312

25.0 y3=6.99

y4=y3+ 123 5162312

fffh

f3=f(x3,y3) = y3-x3= 3.22 Buradan y4 bulunur


2626

Soru.1: Salgın bir hastalığın zamana bağlı olarak yayılması diferansiyel denklemlerle ifade edilebilir. Burada D : hastalığa Dirençsiz olan kişilerin gurubu Y : hastalığa Yakalanmış kişiler gurubu A : hastalığa direnç kazanma, ölüm, karantinaya alınarak guruplardan izole edilme vs. gibi nedenlerle yukarıdaki guruplardan Ayrılanların oluşturduğu gurup olmak üzere guruplar aşağıdaki denklemlerde görüldüğü gibi birbirlerinden etkilenmektedir. Burada u: Hastalığa yakalanan yeni bireyler (Yani Y gurubuna eklenen yeni girişler) dir.

YDDdt

dD , uYYD

dt

dY , YD

dt

dA

T=0.2 sn’lik peryodlarla, t=0’dan t=0.6’sn’ye kadar D,Y ve A guruplarının zamana göre değişimlerini her adımda Euler yöntemiyle bularak ayrı ayrı grafiklerde çizin.

1

İlk koşullar: D(0)=1, Y(0)=0, A(0)=0, t=0 için u (0)=1, t>0 için u(t)=0

( Euler formülü: yi+1=yi+ ( , )i if x y h )

Çözüm: D : Dirençsizler, Y : Yakalanmışlar, A : Ayrılanlar

Euler formülü: yi+1=yi+ ( , )i if x y h idi, Adım büyüklüğü h=T=0.2sn.

1 için diferansiyel denklemler yeniden düzenlenirse

YDDdt

dD =fD(t,D,Y,A,u) , uYYD

dt

dY = fY(t,D,Y,A,u)

YDdt

dA = fA(t,D,Y,A,u) ,n=(0.6sn-0sn)/0.2sn= 3 adım için çözüm yapacağız

(Dorf, 2005)


2727

t0=0. saniye için D(0)=1, Y(0)=0, A(0)=0, u (0)=1 verilmiş fD(t0, D(0), Y(0), A(0), u(0))=-D(0)-D(0)*Y(0)=-1-(1)*0=-1 fY(t0, D(0), Y(0), A(0), u(0))=D(0)*Y(0)-Y(0)+u(0)=(1*0)-(0)+1=1 fA(t0, D(0), Y(0), A(0), u(0))=D(0)+Y(0)=1+0=1

i) 1. adımda t1=0.2. saniye için D1=D(0.2)=D(0)+ fD(t0, D(0), Y(0), A(0), u(0)) *h= 1+ (-1)*0.2=1-0.2=0.8 Y1=Y(0.2)=Y(0)+ fY(t0, D(0), Y(0), A(0), u(0))*h=0+(1)*0.2=0.2 A1=A(0.2)=A(0)+ fA(t0, D(0), Y(0), A(0), u(0))*h=0+(1)*0.2=0.2 t>0 için u(t)=0 oluğundan u1= u(0.2)=0’dır ve bundan sonraki tüm u(t) değerleri de sıfır olacaktır.

fD(t1, D(0.2), Y(0.2), A(0.2), u(0.2))=-D(0.2)-D(0.2)*Y(0.2)=-0.8-(0.8)*0.2= -0.96 fY(t1, D(0.2), Y(0.2), A(0.2), u(0.2))=D(0.2)*Y(0.2)-Y(0.2)+u(0.2)=(0.8*0.2)-(0.2)+0= -0.04 fA(t1, D(0.2), Y(0.2), A(0.2), u(0.2))=D(0.2)+Y(0.2)=0.8+0.2=1

ii) 2. adımda t2=0.4 saniye için D2=D(0.4)=D(0.2)+ fD(t1, D(0.2), Y(0.2), A(0.2), u(0.2)) *h= 0.8+ (-0.96)*0.2=0.608 Y2=Y(0.4)=Y(0.2)+ fY(t1, D(0.2), Y(0.2), A(0.2), u(0.2))*h=0.2+(-0.04)*0.2=0.192 A2=A(0.4)=A(0.2)+ fA(t1, D(0.2), Y(0.2), A(0.2), u(0.2))*h=0.2+(1)*0.2=0.4

fD(t2, D(0.4), Y(0.4), A(0.4), u(0.4))=-D(0.4)-D(0.4)*Y(0.4)= -0.608-(0.608)*0.192= -0.7247 fY(t2, D(0.4), Y(0.4), A(0.4), u(0.4))=D(0.4)*Y(0.4)-Y(0.4)+u(0.4)=(0.608*0.192)-(0.192)+0= -0.075264 fA(t2, D(0.4), Y(0.4), A(0.4), u(0.4))=D(0.4)+Y(0.4)=0.608+0.192= 0.8


2828

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7

t(sn)

A(t

)

iii) 3. adımda t2=0.6 saniye için D3=D(0.6)=D(0.4)+ fD(t2, D(0.4), Y(0.4), A(0.4), u(0.4)) *h= 0.608+ (-0.7247)*0.2= 0.46306 Y3=Y(0.6)=Y(0.4)+ fY(t2, D(0.4), Y(0.4), A(0.4), u(0.4))*h=0.192+(-0.075264)*0.2= 0.1769472 A3=A(0.6)=A(0.4)+ fA(t2, D(0.4), Y(0.4), A(0.4), u(0.4))*h=0.4+(0.8)*0.2= 0.56

Bu durumda D = 1.00 0.8000 0.608 0.4631, Y= 0 0.20 0.192 0.1769 ve A = 0 0.20 0.4 0.56 bulunur. Grafikleri

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7

t(sn)

Y(t

)

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7

t(sn)

D(t

)


2929

İlk değerleri ve sabitleri belirle alfa,beta,gamma, h, n, D(1),Y(1),A(1), u

E

k=k+1

k=1 ?nk H

t’ye göre D,Y,A’nın değişimini çizdir

t(k+1)=t(k)+h

D(k+1)=D(k)+fD(k)*h Y(k+1)=Y(k)+fY(k)*h A(k+1)=A(k)+fA(k)*h

fD(k)= YDD fY(k)= uYYD

fA(k)= YD

Soru.2) 1. soruyu çözecek a) algoritmayı oluşturun ve b) programı yazın.

Çözüm:

Program Çıktısı (soruda istenmiyor!)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.70

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1


3030

KaynaklarKaynaklar

Müh. İçin Say. Yöntemler, CAPRA,S ve diğ., Literatür YayınlarıMüh. İçin Say. Yöntemler, CAPRA,S ve diğ., Literatür Yayınları

Sayısal Çözümleme Ders Notları, Bilgin, M.Z., Kocaeli Ün., Elektrik Sayısal Çözümleme Ders Notları, Bilgin, M.Z., Kocaeli Ün., Elektrik Müh. BölümüMüh. Bölümü

Dorf, R.,C., Bishop, R.,H., Modern Control Systems, Tenth Edition, Dorf, R.,C., Bishop, R.,H., Modern Control Systems, Tenth Edition, Pearson Prentice Hall, 2005Pearson Prentice Hall, 2005

Documents

9. ADİ DİFERANSİYEL DENKLEMLERİN SAYISAL ÇÖZÜMLERİ