Grado en Ingeniería Asignatura: Estadística Tema: 2 ... · Fenómenos y experimentos aleatorios. Sucesos y operaciones con sucesos (conjuntos) Concepto de probabilidad y propiedades

Grado en Ingeniería Grado en Ingeniería Grado en Ingeniería Grado en Ingeniería

Asignatura: EstadísticaAsignatura: Estadística

Tema: 2. Inferencia estadísticaTema: 2. Inferencia estadística

Asignatura: EstadísticaAsignatura: Estadística

Tema: 2. Inferencia estadísticaTema: 2. Inferencia estadística

Inferencia. ÍndiceInferencia. ÍndiceInferencia. ÍndiceInferencia. ÍndiceIntroducción. Teoría probabilidad

Fenómenos y experimentos aleatorios. Sucesos y operaciones con sucesos (conjuntos)

Concepto de probabilidad y propiedadesAsignación de probabilidades en la práctica.

Equiprobabilidad y regla de LaplaceProbabilidad condicionada e independencia de sucesosTeoremas de la probabilidad total y de Bayes

Variables aleatorias

Ingeniería de grado. Estadística. Tema 2Número de transparencia: 2

Teoremas de la probabilidad total y de BayesVariables aleatorias

Discretas. Distribución BinomialContinua. Distribución Normal

Inferencia estadística:Ajuste a modelo de probabilidad.

Propones un modeloEstimación de parámetrosDiagnosisUtilización modelo: calculo de probabilidades.

Estimación de parámetros mediante:Intervalos de confianzaContraste de hipótesis.

Inferencia estadísticaInferencia estadísticaInferencia estadísticaInferencia estadística

Población

Muestra

Inferencia estadística: Proceso


Inferencia estadística: Proceso mediante el cual se utiliza la información de la muestra para extraer conclusiones de la población

Ejemplo 1: ¿proporción poblacional?Ejemplo 1: ¿proporción poblacional?Ejemplo 1: ¿proporción poblacional?Ejemplo 1: ¿proporción poblacional?

Supongamos que somos fabricantes de juguetes para niños. Para la fabricación de nuestra última novedad, dependemos de un proveedor que nos suministra los componentes electrónicos necesarios. La proporción de componentes La proporción de componentes La proporción de componentes La proporción de componentes defectuosos que consideramos admisible es 0.001. defectuosos que consideramos admisible es 0.001. defectuosos que consideramos admisible es 0.001. defectuosos que consideramos admisible es 0.001. Recibimos un lote de 50000 componentes, como no tenemos recursos para inspeccionarlos todos, se decide realizar una inspección de 500 componentes y en función de los resultados de esta inspección decidiremos aceptar o rechazar todo el lote.

Frequency Table for Circuitos_Defec


Recibimos el lote Inspeccionamos una muestra información de la muestra

En la muestra observamos que la proporción de defectuosos es de 0.002. ¿con En la muestra observamos que la proporción de defectuosos es de 0.002. ¿con En la muestra observamos que la proporción de defectuosos es de 0.002. ¿con En la muestra observamos que la proporción de defectuosos es de 0.002. ¿con la información que nos suministra la muestra podemos rechazar el lote?.la información que nos suministra la muestra podemos rechazar el lote?.la información que nos suministra la muestra podemos rechazar el lote?.la información que nos suministra la muestra podemos rechazar el lote?.

------------------------------------------------------------------------ Relative Cumulative Cum. Rel.Class Value Frequency Frequency Frequency Frequency------------------------------------------------------------------------ 1 0 499 0.9980 499 0.9980 2 1 1 0.0020 500 1.0000------------------------------------------------------------------------

Ejemplo 2: ¿media y varianza poblacional?Ejemplo 2: ¿media y varianza poblacional?Ejemplo 2: ¿media y varianza poblacional?Ejemplo 2: ¿media y varianza poblacional?

Supongamos que somos fabricantes de láminas de carbono. Una característica importante que debemos controlar es la resistencia a la rotura. El responsable de la planta ha establecido un valor objetivo, en función de lo que demanda el mercado: la resistencia media de todas las láminas que se fabriquen debe ser : la resistencia media de todas las láminas que se fabriquen debe ser : la resistencia media de todas las láminas que se fabriquen debe ser : la resistencia media de todas las láminas que se fabriquen debe ser igual o superior a 2800 N/mmigual o superior a 2800 N/mmigual o superior a 2800 N/mmigual o superior a 2800 N/mm2222 y la desviación típica no superior a 20 N/mm2.y la desviación típica no superior a 20 N/mm2.y la desviación típica no superior a 20 N/mm2.y la desviación típica no superior a 20 N/mm2.Para verificar si se cumple este criterio, y dado que no se pueden inspeccionar todas las láminas porque la prueba para determinar su resistencia supone la destrucción de la misma, se decide realizar la prueba a 80 laminas.


En la muestra observamos que la resistencia media es de 2788.52 N/mm2, con una desviación de. 21.28 N/mm2 ¿con la información que nos suministra la ¿con la información que nos suministra la ¿con la información que nos suministra la ¿con la información que nos suministra la muestra podemos decir que el proceso de fabricación no cumple con el criterio muestra podemos decir que el proceso de fabricación no cumple con el criterio muestra podemos decir que el proceso de fabricación no cumple con el criterio muestra podemos decir que el proceso de fabricación no cumple con el criterio de calidad establecido por el responsable?.de calidad establecido por el responsable?.de calidad establecido por el responsable?.de calidad establecido por el responsable?.

Summary Statistics for Resistencia

Count = 80Average = 2788.52Median = 2788.78Standard deviation = 21.2788

Histogram for Resistencia

Resistencia

freq

uen

cy

2700 2730 2760 2790 2820 28500

10

20

30

40

Ejemplo 3: Comparación de poblaciones Ejemplo 3: Comparación de poblaciones Ejemplo 3: Comparación de poblaciones Ejemplo 3: Comparación de poblaciones

Somos responsables de elegir donde se situará un nuevo parque eólico. Tenemos dos posibles localizaciones, dentro del mismo municipio. Para tomar nuestra decisión, recurrimos a la estadística.Se observa la velocidad del viento durante 730 horas de forma simultánea en dos localizaciones alternativas (variables Parque1 y Parque2). Se quiere utilizar estos datos para decidir en qué localización instalar un parque de producción de energía eólica.


localización instalar un parque de producción de energía eólica.

A la vista de los datos, ¿qué localización es más aconsejable?

Summary Statistics

Veloc_Parque1 Veloc_Parque2 ------------------------------------------------------------Count 730 730 Average 5.80179 5.63285 Median 5.31 5.045 Standard deviation 3.24126 3.25496 Minimum 0.27 0.14 Maximum 16.28 17.82 Lower quartile 3.26 3.24 Upper quartile 7.96 7.44 Skewness 0.649086 0.952801 Kurtosis -0.0911749 0.753856 Coeff. of variation 55.8664% 57.7853% ------------------------------------------------------------

Box-and-Whisker Plot

0 3 6 9 12 15 18

Veloc_Parque1

Veloc_Parque2

Las medias muestrales son distintas.¿Son distintas la medias poblacionales?












La probabilidad es el arma que vamos a utilizar para poder generalizar nuestras

conclusiones a toda la población de referencia

Teoría de la probabilidad. ¿Por qué es necesaria?Teoría de la probabilidad. ¿Por qué es necesaria?Teoría de la probabilidad. ¿Por qué es necesaria?Teoría de la probabilidad. ¿Por qué es necesaria?


El Cálculo de Probabilidades Cálculo de Probabilidades Cálculo de Probabilidades Cálculo de Probabilidades nos permite calcular el grado de fiabilidad o error de las conclusiones obtenidas mediante inferencia estadística.

Introducción a la probabilidad Introducción a la probabilidad -- ObjetivosObjetivosIntroducción a la probabilidad Introducción a la probabilidad -- ObjetivosObjetivos

Entender el concepto de experimento aleatorio

Valorar la probabilidad y sus aplicaciones.

Calcular probabilidades de sucesos simples

Manejar con soltura el concepto de independencia de sucesos.


Manejar con soltura el concepto de independencia de sucesos.

Entender el concepto de probabilidad condicionada y aplicar con soltura los teoremas de la probabilidad total y Bayes.












Fenómenos y experimentos aleatoriosFenómenos y experimentos aleatoriosFenómenos y experimentos aleatoriosFenómenos y experimentos aleatorios

ExperimentoExperimentoExperimentoExperimento: Proceso de observar una característica. Un experimento es determinista experimento es determinista experimento es determinista experimento es determinista cuando existe un conjunto de circunstancias que, antes de su ejecución, determinan completamente su resultado.Un experimento es aleatorio experimento es aleatorio experimento es aleatorio experimento es aleatorio si no podemos predecir su resultado de antemano:

Se conocen previamente y con exactitud los posibles resultados del experimento.


experimento.Es imposible saber su resultado antes de su realización.Se puede repetir indefinidamente, en las mismas condiciones iniciales, obteniendo resultados distintos.

Experimento aleatorioExperimento aleatorioExperimento aleatorioExperimento aleatorio

Ejemplos de experimentos aleatorios:Ejemplos de experimentos aleatorios:Ejemplos de experimentos aleatorios:Ejemplos de experimentos aleatorios:Lanzar una moneda 3 veces y observar el numero de carasMedir el peso de un estudianteMedir la corriente en un cable de cobreMedir la temperatura de un fluido en un tanque (proceso industrial)Medir el caudal de un fluido que circula por una tuberíaEl numero mensual de reclamaciones de una compañía


El numero mensual de reclamaciones de una compañíaEl tiempo de atención al cliente de una sucursal bancariaEl numero de articulo defectuosos de un lote de materia prima

Experimento aleatorioExperimento aleatorioExperimento aleatorioExperimento aleatorio

Ejemplo: Nº de “seis” en el lanzamiento de tres dadosSi repetimos el experimento en distintos momentos obtenemos distintos resultados, además el resultado es inciertoresultado es inciertoresultado es inciertoresultado es incierto¿Por qué?¿Por qué?¿Por qué?¿Por qué?

Movimiento de la manoFactores ambientales….

FactoresFactoresFactoresFactoresno controladosno controladosno controladosno controlados


….

El experimento esta sujeto a una componente aleatoriacomponente aleatoriacomponente aleatoriacomponente aleatoria

Experimento aleatorio. Experimento aleatorio. Definiciones. Suceso, espacio muestralDefiniciones. Suceso, espacio muestralExperimento aleatorio. Experimento aleatorio. Definiciones. Suceso, espacio muestralDefiniciones. Suceso, espacio muestral

Cuando se realiza un experimento aleatorio diversos resultados son posibles. Al conjunto de todos los resultados del experimento se le denomina espacio muestral,espacio muestral,espacio muestral,espacio muestral, Ω. Ω. Ω. Ω. Ejemplo: En el lanzamiento de un dado, Ω Ω Ω Ω = 1,2,3,4,5,6Se llama sucesosucesosucesosuceso a un subconjunto del espacio muestral:

Ω

Ω


muestral:Suceso elementalSuceso elementalSuceso elementalSuceso elemental, cada uno de los posibles resultados individuales del experimentoEjemplo: Lanzar dado, A = 6Sucesos compuestosSucesos compuestosSucesos compuestosSucesos compuestos, uniones de los sucesos elementalesEjemplo: Lanzar dado, B= 5,6Suceso imposible, es aquel que nunca ocurre como resultado de un experimento. Ejemplo: Lanzar dado, sacar un numero negativo

Ω

Operaciones con sucesos (conjuntos)Operaciones con sucesos (conjuntos)Operaciones con sucesos (conjuntos)Operaciones con sucesos (conjuntos)El calculo de probabilidades requiere unos conceptos de teoría de conjuntos. Sean A y B dos conjuntos

Operación unión. Operación unión. Operación unión. Operación unión. Dados dos sucesos A y B, el suceso A U B ocurre cuando ocurre A u ocurre B u ocurren ambos.

Α=1,2 ; Β=2,3,4


Operación unión. Operación unión. Operación unión. Operación unión. Dados dos sucesos A y B, el suceso A U B ocurre cuando ocurre A u ocurre B u ocurren ambos.

Operación intersección. Operación intersección. Operación intersección. Operación intersección. Dados dos sucesos dos sucesos dos sucesos dos sucesos A y B, el suceso A IBocurre cuando ocurren simultáneamente A y B.

Α U Β=1,2,3,4

Α I Β=2

Operaciones con sucesos (conjuntos)Operaciones con sucesos (conjuntos)Operaciones con sucesos (conjuntos)Operaciones con sucesos (conjuntos)Suceso contrario Suceso contrario Suceso contrario Suceso contrario (o complementariocomplementariocomplementariocomplementario). Dado un suceso A, su contrario AC ocurre cuando A no ocurre.


Ω=1,2,3,4,5,6 ; Α=1,2

Αc=3,4,5,6












Concepto de ProbabilidadConcepto de ProbabilidadConcepto de ProbabilidadConcepto de Probabilidad

Todos tenemos la idea intuitiva de lo que es la probabilidad. Decimos de forma habitual cosas como:

La probabilidad de que salga un seis al lanzar un dado es 1 entre 6Si realizo una apuesta simple la probabilidad de que me toque la primitiva es muy pequeña (1 entre 14 millones)1 entre 14 millones)1 entre 14 millones)1 entre 14 millones)


muy pequeña (1 entre 14 millones)1 entre 14 millones)1 entre 14 millones)1 entre 14 millones)

La probabilidad se define sobre un suceso y trata de cuantificar su

incertidumbre

Definición de probabilidadDefinición de probabilidadDefinición de probabilidadDefinición de probabilidad

Una probabilidadprobabilidadprobabilidadprobabilidad es una función P que asigna a cada suceso A asociado al experimento un valor real tal que verifica1. 0 ≤ P(A) ≤ 1 ; 2. P(ΩΩΩΩ ) = 1 ;3. Si A y B son mutuamente excluyentes (su


3. Si A y B son mutuamente excluyentes (su intersección es el vacio)

P(A U B)=P(A)+P(B) 4. Si A y B no son mutuamente excluyentes

P(A U B) = P(A)+P(B)-P(A I B)5. P(Ac) = 1-P(A)

Consideración finalConsideración finalConsideración finalConsideración final

Leyes de los Grandes Números. Si repetimos muchas veces un experimento, la frecuencia relativa de un suceso A cualquiera 0.

40.

60.

8

frecu

enci

a re

lativ

a ca

ra


suceso A cualquiera tiende a estabilizarse en torno a un valor (PROBABILIDAD DEL SUCESO). 0 200 400 600 800 1000

0.0

0.2

numero lanzamientosfre

cuen

cia

rela

tiva

cara












Asignación de probabilidad en la práctica. Asignación de probabilidad en la práctica. Asignación de probabilidad en la práctica. Asignación de probabilidad en la práctica.

EquiprobabilidadEquiprobabilidadEquiprobabilidadEquiprobabilidad, regla de , regla de , regla de , regla de LaplaceLaplaceLaplaceLaplaceSi un experimento tiene un número finito de resultados posibles y no hay razón que privilegie un resultado frente a otro, para cualquier A

a favorables casos de número)(

A AP =


posibles casos de número

a favorables casos de número)(

A AP =












Probabilidad condicionadaProbabilidad condicionadaProbabilidad condicionadaProbabilidad condicionada

Ejemplo. Lanzamos 2 dados

Calculamos la probabilidad de la suma sea mayor que 7

P(suma ≥ 7)=21/36


Supongamos que ahora sabemos que el 1º dado ha sido un numero menor que 4, calcular la probabilidad de que la suma sea mayor que siete.

Ahora los posibles resultados son

P(suma ≥7 / 1º menor que 4)= 6/18=1/3

Probabilidad condicionadaProbabilidad condicionadaProbabilidad condicionadaProbabilidad condicionada

Consiste en modificar la probabilidad de un suceso cuando se dispone de información adicional, es decir, consiste en cambiar la probabilidad de un suceso A cuando se sabe que otro suceso B ha ocurrido.

Ω )(

)()/(

BP

BAPBAP

I=


Β

ΑΑ∩Β

Ω )(BP

Cuando calculamos P(A/B) estamos calculando la probabilidad de P(A) en el espacio reducido de B, en lugar de en el espacio muestral original Ω. Es decir, medimos lo que mide A∩B con relación a B

Probabilidad condicionada. Ley multiplicativaProbabilidad condicionada. Ley multiplicativaProbabilidad condicionada. Ley multiplicativaProbabilidad condicionada. Ley multiplicativa

permite calcular la probabilidad conjunta de que ocurra

)(*)/()( BPBAPBAP =I


permite calcular la probabilidad conjunta de que ocurraal tiempo dos sucesos a partir de la probabilidad condicionada de uno por el otro y la probabilidad marginal del suceso que condiciona.

Sucesos independientesSucesos independientesSucesos independientesSucesos independientesEjemplo 1: Sean A y B dos sucesos disjunto

=⇒= )/( BAPBA φIΑ B 0

Ejemplo 2: Sean A y B dos sucesos tal que A contiene a B

Α Β =⇒⊂ )/( BAPAB 1


Α Β =⇒⊂ )/( BAPAB 1

En estos dos ejemplos el conocer que ha ocurrido B, proporciona mucha información sobre la ocurrencia de A

En muchos caso se sabe que ha ocurrido un suceso, B, y esto no proporciona ninguna información sobre la ocurrencia de A. En este caso se dice que los sucesos A y B son independiente y se verifica:

)()/( APBAP =

Definición: Diremos que dos sucesos A y B son independientes cuando se verifique

Observación: si la P(B) es distinta de cero, el hecho de que A y B sean independientes implica que:

Sucesos IndependientesSucesos IndependientesSucesos IndependientesSucesos Independientes

)(*)()( BPAPBAP =I


Observación: si la P(B) es distinta de cero, el hecho de que A y B sean independientes implica que:

)()/( APBAP =












Β

Teorema causas totalesTeorema causas totalesTeorema causas totalesTeorema causas totales

Α1

Α2

Α3Ω departición una ,...,, 21 iAAASea

∑=i

ii APABPBP )(*)/()(


∑∑ ====

iii

ii

I

APABPABP

ABABABPBP

)(*)/()(

))(...)()(()( 21

I

IUUIUI

Demostración

Teorema de las causas totales Teorema de las causas totales -- EjemploEjemploTeorema de las causas totales Teorema de las causas totales -- EjemploEjemplo

Defect./ A

0.022

Supongamos que el mismo artículo es fabricado por dos maquinas ; A y B. La probabilidad de que el articulo sea defectuoso dependiendo de que maquina provenga y la probabilidad de que el articulo sea fabricado por cada una de las maquinas son detalladas en el diagrama de árbol.

Calcular la probabilidad de que un articulo sea defectuoso DefectuosoΑ

B


0.36

B 0.64 Defect./ B

No Defect./ A A

No Defect./ B

0.978

0.014

0.986

0.64*0.0140.36*0.022

P(B)*P(D/B)P(A)*P(D/A)P(D)

+=+=

Teorema de BayesTeorema de BayesTeorema de BayesTeorema de Bayes

Β

Α1

Α2

Α3Ω departición una ,...,, 21 iAAASea

∑=

iii

III APABP

APABPBAP

)(*)/(

)(*)/()/(


∑==

iii

IIII APABP

APABP

BP

ABPBAP

)(*)/(

)(*)/(

)(

)()/(

I

Demostración

Teorema de bayesTeorema de bayesTeorema de bayesTeorema de bayes

Ejercicio. Sabiendo que un articulo es defectuoso. Calcular la probabilidad de que provenga del proveedor A

Defect./ A

0.36No Defect./ A A

0.022

0.978

DefectuosoΑ

B


0.36

B 0.64 Defect./ B

No Defect./ B

0.014

0.986

0.64*0.0140.36*0.022

0.36*0.022

P(B)*P(D/B)P(A)*P(D/A)

P(A)*P(D/A)

)(

)(P(A/D)

+=

+=∩=

DP

DAP












Una variable aleatoria es una variable cuyo valor numérico está determinado por el resultado del experimento aleatorio

Variables aleatoriasVariables aleatoriasVariables aleatoriasVariables aleatorias

Ε S2


S1

a b

X(s1)=a

X(s2)=b

X

Variables aleatoriasVariables aleatoriasVariables aleatoriasVariables aleatorias

Lanzamos 2 veces una moneda. Podemos definir la variable aleatoria

X = número de caras

ΕCC

XC

CX


XX

0 2

X(xx)=a

X(cc)=2

T

XC

1

X(cx)=1

X(xc)=1

Definimos RX, rango de X, como el conjunto de posibles valores de X

Variables aleatorias. EjemplosVariables aleatorias. EjemplosVariables aleatorias. EjemplosVariables aleatorias. Ejemplos

Nº de artículos defectuosos en un lote de materia primaNº de clientes atendidos al díaNº de BIT transmitidos correctamentePeso de las piezas fabricadasTemperatura del fluidoResistencia del material


Resistencia del materialCorriente que circula por un cable…

Variables aleatorias. ClasificaciónVariables aleatorias. ClasificaciónVariables aleatorias. ClasificaciónVariables aleatorias. Clasificación

Atendiendo al rango, las variables aleatorias se clasifican como:DiscretasDiscretasDiscretasDiscretas: El rango es finito o infinito numerable

Nº de artículos defectuosos en un lote de materia primaNº de clientes atendidos al díaNº de BIT transmitidos correctamente

Continuas:Continuas:Continuas:Continuas: El rango es un intervalo de la recta realPeso de las piezas fabricadasTemperatura del fluido


Temperatura del fluidoResistencia del materialCorriente que circula por un cable

Para definir perfectamente una variable aleatoria se necesita conocer:

El conjunto de valores que toma la variable, el rangoel rangoel rangoel rangoCon que probabilidad toma esos valores, la distribuciónla distribuciónla distribuciónla distribución.

Variables aleatorias DiscretasVariables aleatorias DiscretasVariables aleatorias DiscretasVariables aleatorias Discretas

Definimos la función de probabilidadfunción de probabilidadfunción de probabilidadfunción de probabilidad. A cada valor de la variable le asocia la probabilidad

E = Lanzar 2 veces una moneda X = Número de caras

0,5

0,6

C C X P


0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0 1 2

C

C

X

X

C

X

X

C

X PX

0 ¼=0.25

1 2/4=0.5

2 ¼=0.25

Modelos de distribución de probabilidad Modelos de distribución de probabilidad Modelos de distribución de probabilidad Modelos de distribución de probabilidad

Cuando se estudian las variable aleatorias:Definir en cada problema los valores y las probabilidades pueden ser muy complejo.

Ejemplo: Niños y niñas en familias de cuatro hijosEjemplo: Altura de individuos

Lo simplificamos mediante distribuciones de probabilidad “conocidas”:


“conocidas”:– Variables discretas: Distribución Binomial,…., – Variables continuas: Distribución Normal

Mean10725520

Exponential Distribution

x

den

sity

0 30 60 90 120 1500

0,04

0,08

0,12

0,16

0,2Mean,Std. dev.

0,10,1,50,21,11,2

Normal Distribution

x

den

sity

-10 -6 -2 2 6 10 140

0,1

0,2

0,3

0,4Event prob.,Trials0,1,100,2,100,5,10

Binomial Distribution

x

prob

abili

ty

0 2 4 6 8 100

0,1

0,2

0,3

0,4

Proceso de bernoulliProceso de bernoulliProceso de bernoulliProceso de bernoulli

Consideremos un experimento en el que se van realizando pruebas con las siguientes características:Cada prueba tiene dos posibles resultados

Aceptable-defectuoso, niño-niña,…La probabilidad de éxito en cada prueba es constanteLas pruebas son independientes.


Las pruebas son independientes.

Ε Ε F E F Ε Ε

Procesos de Procesos de BernoulliBernoulliProcesos de Procesos de BernoulliBernoulli

Ejemplos:Ejemplos:Ejemplos:Ejemplos:Lanzamiento de una moneda:

Posible resultado: Cara ó cruzProbabilidades contantes: P(Cara)=0.5; P(Cruz)=0.5Observaciones independiente

Producción de piezas:Posible resultado: Defectuosa ó Aceptable.Probabilidades fijas. P(D)=0.01 ; P (Aceptable)=0.99


Probabilidades fijas. P(D)=0.01 ; P (Aceptable)=0.99Observaciones independientes (el observar si una pieza es defectuosa o aceptable, no me dice nada de si otra pieza es defectuosa o no)

Sexo recién nacidos:Posible resultado: Niño ó Niña.Probabilidades fijas. P(D)=0.01 ; P (Aceptable)=0.99Observaciones independientes (El saber el sexo del último recién nacido en un hospital, no da información del sexo del próximo)

Proceso de Proceso de BernoulliBernoulli. Distribución . Distribución BinomialBinomialProceso de Proceso de BernoulliBernoulli. Distribución . Distribución BinomialBinomialEn un proceso de BernoulliTomamos una muestra de tamaño n, y contamos el numero de éxitos

(por ejemplo, numero de defectuosos en 50 piezas)La distribución Binomial nos da la probabilidad de obtener un

numero de éxitos (por ejemplo, nos da la probabilidad de obtener 4 defectos en 50 piezas

X→B(n,p)


Función de probabilidad Medidas características

X→B(n,p)

knk ppk

nkXP −−

== )1()( )1(2 pnp

np

−==

σµ

Proceso de Proceso de BernoulliBernoulli. Distribución . Distribución BinomialBinomialProceso de Proceso de BernoulliBernoulli. Distribución . Distribución BinomialBinomial

Distribución binomialDistribución binomialDistribución binomialDistribución binomial---- Función deFunción deFunción deFunción de probabilidadprobabilidadprobabilidadprobabilidad



Ejemplo 1: Un aparato electrónico contiene 40 circuitos integrados. La probabilidad de que un circuito sea defectuoso es 0.01 y los circuitos son independientes. El aparato funciona solo si no hay ningún circuito defectuoso. ¿Cuál es la probabilidad de que el aparato funcione?

Sea X= Número de circuitos defectuosos en los 40 de un aparatoLa probabilidad solicitada es P(X=0)¿Qué distribución sigue X?


¿Qué distribución sigue X?Se observan 40 pruebas de bernoulli:

Cada prueba, observar un circuito, tiene dos posibles resultados; funciona, no funcionaLa probabilidad de que un circuito funcione es constante, 0.01Los circuitos son independientes

El número de defectuosos en 40 pruebas es una binomial (40, 0.01)

X→B(40,0.01)

400 )01.01(*01.00

40)0( −

==XP

Ejemplo 1: Un aparato electrónico contiene 40 circuitos integrados. La probabilidad de que un circuito sea defectuoso es 0.01 y los circuitos son independientes. El aparato funciona solo si no hay ningún circuito defectuoso. ¿Cuál es la probabilidad de que el aparato funcione?

Cumulative Distribution-----------------------

Distribution: Binomial




Lower Tail Area (<)Variable Dist. 1 Dist. 2 Dist. 3 Dist. 4 Dist. 50 0.0

Probability Mass (=)Variable Dist. 1 Dist. 2 Dist. 3 Dist. 4 Dist. 50 0.668972

Upper Tail Area (>)Variable Dist. 1 Dist. 2 Dist. 3 Dist. 4 Dist. 50 0.331028


Ejemplo 2: Supongamos que recibimos un lote con muchas piezas y no tenemos recursos para inspeccionarlas todas. Para decidir si aceptamos el lote o lo rechazamos seleccionamos una muestra de 20 unidades y en función de las piezas defectuosas en la muestra rechazamos o aceptamos todo el lote.La regla de decisión es: aceptamos el lote si en la muestra hay como máximo 2 unidades defectuosas.


como máximo 2 unidades defectuosas.

Si la proporción de defectos en el lote fuera 0.05, ¿Cuál sería la probabilidad de calcular la probabilidad de rechazar el lote?

Si la proporción de defectos en el lote fuera 0.2, ¿Cuál sería la probabilidad de calcular la probabilidad de rechazar el lote?


Cumulative Distribution-----------------------


Lower Tail Area (<)Variable Dist. 1 Dist. 2 Dist. 3 Dist. 4 Dist. 52 0.73584 0.0691753

Acepto el lote si en la muestra hay 0, 1 ó 2 defectuosos = rechazo el lote si en la

Ejemplo 2:


Probability Mass (=)Variable Dist. 1 Dist. 2 Dist. 3 Dist. 4 Dist. 52 0.188677 0.13691

Upper Tail Area (>)Variable Dist. 1 Dist. 2 Dist. 3 Dist. 4 Dist. 52 0.0754835 0.793915

Dist.1 = Binomial(20, 0.05)Dist.2 = Binomial(20, 0.2)

defectuosos = rechazo el lote si en la muestra hay más de 2 defectuosos

Si p(D)=0.05 , P(rechazar el lote)= 0.0754

Si p(D)=0.2 , P(rechazar el lote)= 0.7939

Variables aleatorias continuasVariables aleatorias continuasVariables aleatorias continuasVariables aleatorias continuas

Desafortunadamente, el método para describir la distribución de las v.a. discretas es inadecuado para describir una v.a. continuas, no se puede asociar a cada valor de la v.a. su probabilidad.Buscamos una función que nos permita calcular probabilidadesCandidatos a funciones de densidad,… muchos:

0,4


x

den

sity

-5 -3 -1 1 3 50

0,1

0,2

0,3


La función de densidad describe la distribución de probabilidad de una variable continua

∫ =

≥∞

∞−b

dxxf

xf

1)(

0)(

∫=<<b

a

dxxfbXaP )()(


∫=<<b

a

dxxfbXaP )()(

x

dens

ity

-5 -3 -1 1 3 50

0,1

0,2

0,3

0,4

a

a b


Ejemplo:Ejemplo:Ejemplo:Ejemplo: Sea X el tiempo de funcionamiento de una maquina en un año (en horas x100)

<< 5.20si

5.2

4.0xx


<≤−=

caso otroen0

55.2si5.2

4.08.0

5.2

)( xxxf


Ejemplo:Ejemplo:Ejemplo:Ejemplo: Sea X el tiempo de funcionamiento de una maquina en un año (en horas x100)

4.04.0

)()2.3(

2.35.2

2.3

=−+

==<

∫∫

∫∞−

dxxfXP


74.0)5.2

4.08.0(

5.2

4.0

5.20

=−+ ∫∫ dxxxdx


Observando conjuntos de datos observamos un patrón, un modelo que se repite con mucha frecuencia.

Histogram for altura

150 160 170 180 190 2000

10

20

30

40

fre

que

ncy

Histogram for Matematicas

Matematicas

fre

que

ncy

5.8 6.3 6.8 7.3 7.8 8.3 8.80

5

10

15

20

25

30


150 160 170 180 190 200

altura Matematicas

Altura alumnos Nota matemáticas

Resistencia de láminas fabricadas Peso de piezas

Histogram for PESO

PESO

fre

que

ncy

98 99 100 101 1020

10

20

30

40


Resistencia

fre

que

ncy

2700 2730 2760 2790 2820 28500

10

20

30

40

Distribución normal o gaussianaDistribución normal o gaussianaDistribución normal o gaussianaDistribución normal o gaussianaLa distribución normal es sin duda la distribución de probabilidad mas importante:

Aproxima lo observado en muchos procesos de medición: medidas físicas del cuerpo humano, características psíquicas, medidas de calidad de procesos industriales En muchas situaciones otras distribuciones se pueden aproximar a una NormaEs la base de la inferencia estadística. Aunque una variable aleatoria no sea normal, la media de la muestras sigue una distribución normal

Su importancia es una consecuencia del teorema central del límite: cuando


Su importancia es una consecuencia del teorema central del límite: cuando los resultados de un experimentos son debidos a un conjunto muy grande de causas independientes, que actúan sumando sus efectos, siendo cada efecto de poca importancia respecto al conjunto, es esperable que los resultados sigan una distribución normal

Mean,Std. dev.0,1

Normal Distribution

-5 -3 -1 1 3 5

x

0

0,1

0,2

0,3

0,4

den

sity

Distribución normalDistribución normalDistribución normalDistribución normal

Su función de densidad es:

2

2

2

)(

2

1)( σ

µ

πσ

−−=

x

exf2)(

)(

σµ=

=

XVar

XE

Media10

0,4Sta. dev.

Normal Distribution

0,8


10119

0 3 6 9 12 15 180

0,1

0,2

0,3

Sta. dev.10.52

den

sity

5 9 13 170

0,2

0,4

0,6

0,8


Regla empírica

0,3

0,4


-5 -3 -1 1 3 50

0,1

0,2

µ+σ µ+2σ µ+3σµ-σµ-2σµ-3σ

0.680.95

0.997


El tiempo de vida de un semiconductor sigue una distribución Normal con media 7000 horas y desviación típica 600 horas.

¿Cuál es la probabilidad de que el semiconductor falle antes de 6000 horas?¿Qué tiempo de vida es excedido por el 95.05% de los semiconductores?¿Cuál es la probabilidad de que el semiconductor falle entre las 6200 y las 7600 horas de vida?


las 7600 horas de vida?

Modelos de distribución de probabilidadModelos de distribución de probabilidadModelos de distribución de probabilidadModelos de distribución de probabilidad













Inferencia estadísticaInferencia estadísticaInferencia estadísticaInferencia estadística

Población

Muestra

Inferencia estadística: Proceso


Inferencia estadística: Proceso mediante el cual se utiliza la información de la muestra para extraer conclusiones de la población












Ajuste a modelo de probabilidadAjuste a modelo de probabilidadAjuste a modelo de probabilidadAjuste a modelo de probabilidad

Consiste en identificar el modelo de probabilidad que sigue la variable de interés. ¿Qué modelo ha generado los datos observados?Para ajustar un modelo de probabilidad para la variable:1. Analizar el tipo de variable y la información que suministra la

muestra. 2. Proponer un modelo adecuado de distribución de probabilidad

para la variable de interés (Normal, Exponencial, Poisson,…..).


para la variable de interés (Normal, Exponencial, Poisson,…..).3. Estimar los parámetros desconocidos del modelo propuesto4. Comprobar que el modelo propuesto es “adecuado”

El modelo ajustado te ayuda a tomar decisiones respecto a la población.

Histogram for Azucar

Azucar

fre

qu

en

cy

0.94 0.96 0.98 1 1.020

20

40

60

80

100

Ajuste de modelo: Identificación de modelo.Ajuste de modelo: Identificación de modelo.Ajuste de modelo: Identificación de modelo.Ajuste de modelo: Identificación de modelo.Se observa la aceleración en 155 coches (Seconds from 0 to 60 millas/hora).


Teniendo en cuenta el tipo de variable y la información que suministra la muestra,

Fuente: Archivo de datos del Statgraphics,Cardata.sf3

Ajuste de modelo: Identificación de modelo.Ajuste de modelo: Identificación de modelo.Ajuste de modelo: Identificación de modelo.Ajuste de modelo: Identificación de modelo.Se observa la aceleración en 155 coches.


La distribución normal (función de densidad, una campaña de Gauss) parece que se ajusta bien.


Ajuste a modelo: Estimación de parámetrosAjuste a modelo: Estimación de parámetrosAjuste a modelo: Estimación de parámetrosAjuste a modelo: Estimación de parámetrosA la vista del histograma parece razonable proponer la distribución normalLa distribución normal depende de dos parámetros, la media y la varianza poblacional, ambos desconocidos (recordar que solo hemos observado una muestra, no toda la población).Para dar valores a los parámetros, estimarlos, utilizamos la información que suministra la muestra.


Fuente: archivo de datos del statgraphics,cardata

Count = 155Average = 16.2761Median = 15.8Variance = 6.35131Standard deviation = 2.52018Minimum = 11.2

Ajuste de modelo: Estimación parámetros Ajuste de modelo: Estimación parámetros Ajuste de modelo: Estimación parámetros Ajuste de modelo: Estimación parámetros

muestra) varianzamuestra, (Media),( NN =σµ

Histog ram fo r accel

30

40

50

frequ

ency

Estimación de parámetros



10 14 18 22 26

accel

0

10

20

30

frequ

ency

)52.2;27.16(NSummary Statistics for accel


Ajuste a modelo: Diagnosis Ajuste a modelo: Diagnosis Ajuste a modelo: Diagnosis Ajuste a modelo: Diagnosis ¿el modelo de probabilidad estimado es idóneo? ¿los datos aportan evidencia suficiente en contra del modelo de probabilidad asumido?Gráficamente. Si observamos el grafico parece que los datos observados confirman el modelo propuesto

Histog ram fo r accel

30

40

50

frequ

enc

y


¿hay alguna forma de verificar que el modelo propuesto es adecuado?

10 14 18 22 26

accel

0

10

20

30

frequ

enc

y

Ajuste a modelo: Diagnosis Ajuste a modelo: Diagnosis Ajuste a modelo: Diagnosis Ajuste a modelo: Diagnosis

El test de Bondad de Ajuste de Chi-Cuadrado de Pearson compara la frecuencia observada con la frecuencia esperada bajo el modelo propuesto, si existe mucha discrepancia entre lo observado y lo esperado entonces rechazamos el modelo propuesto

Goodness-of-Fit Tests for accel

Chi-Square Test---------------------------------------------------------------------------- Lower Upper Observed Expected Limit Limit Frequency Frequency Chi-Square---------------------------------------------------------------------------- at or below 12.4931 4 10.33 3.88 12.4931 13.4768 15 10.33 2.11 13.4768 14.1551 6 10.33 1.82 14.1551 14.7062 18 10.33 5.69


14.1551 14.7062 18 10.33 5.69 14.7062 15.1906 13 10.33 0.69 15.1906 15.6376 13 10.33 0.69 15.6376 16.0653 13 10.33 0.69 16.0653 16.487 10 10.33 0.01 16.487 16.9146 10 10.33 0.01 16.9146 17.3616 10 10.33 0.01 17.3616 17.846 5 10.33 2.75 17.846 18.3972 10 10.33 0.01 18.3972 19.0755 7 10.33 1.08 19.0755 20.0591 9 10.33 0.17above 20.0591 12 10.33 0.27----------------------------------------------------------------------------Chi-Square = 19.8711 with 12 d.f. P-Value = 0.0695631

Cuanto mas pequeño sea el p-valor mas evidencia tenemos en contra del modelo propuesto. Si p-valor < 0.05, rechazamos el modelo propuesto

Ajuste de modelo: Cálculo de probabilidadesAjuste de modelo: Cálculo de probabilidadesAjuste de modelo: Cálculo de probabilidadesAjuste de modelo: Cálculo de probabilidades

)52.2;27.16(n Aceleració N→Conocer el modelo de probabilidad nos permite responder a preguntas relacionadas con la población.¿Cuál es la probabilidad de que la aceleración de un coche sea superior a 17 (Seconds from 0 to 60)?



Tail Areas for accel

area below 17.0 = 0.613034

area below 14.6485 = 0.259191

area below 16.2761 = 0.499993

area below 17.9037 = 0.740802

area below 19.5314 = 0.901767

Ajuste a modelo. Ejemplo 2: Proporción de defectosAjuste a modelo. Ejemplo 2: Proporción de defectosAjuste a modelo. Ejemplo 2: Proporción de defectosAjuste a modelo. Ejemplo 2: Proporción de defectos

Los artículos fabricados los clasifico en defectuosos y no defectuosos.Observo 5000 artículos.

Frequency Table for defecto

------------------------------------------------------------------------ Relative Cumulative Cum. Rel.Class Value Frequency Frequency Frequency Frequency------------------------------------------------------------------------No defectuoso 4495 0.8990 4495 0.8990


Ejercicio:Identifica modelo de probabilidadEstima parámetro o parámetros desconocidosCalcular la probabilidad de que en un lote de 50 piezas haya mas de 3 defectuosas.

No defectuoso 4495 0.8990 4495 0.8990Defectuoso 505 0.1010 5000 1.0000------------------------------------------------------------------------












Intervalos de confianzaIntervalos de confianzaIntervalos de confianzaIntervalos de confianza

Los intervalos de confianza proporcionan una zona en la que previsiblemente estará el valor autentico del parámetro.Se calculan con una confianza determinada. Normalmente 95%

Casos que veremos:Intervalo de confianza para la mediaIntervalo de confianza para la desviación típica (población normal)


Intervalo de confianza para la desviación típica (población normal)Intervalo de confianza para la proporción


Supongamos que somos fabricantes de laminas de carbono. Una característica importante que debemos controlar es la resistencia a la rotura. La resistencia observada en 80 laminas. Summary Statistics for Resistencia

Count = 80Average = 2788.52


freq

uen

cy

20

30

40


¿Es el verdadero valor de la resistencia media de todas las laminas fabricadas 2788.52 ?

Average = 2788.52Median = 2788.78Standard deviation = 21.2788

Resistencia

freq

uen

cy

2700 2730 2760 2790 2820 28500

10

Un intervalo de confianza proporciona una zona en la que con una confianza

predeterminada estará el verdadero valor del parámetro

Intervalo de confianzaIntervalo de confianzaIntervalo de confianzaIntervalo de confianza

El verdadero valor de la resistencia media de todas las laminas fabricadas es con un nivel de confianza del 95%:


laminas fabricadas es con un nivel de confianza del 95%:

52.278879.2783

Confidence Intervals for Resistencia

95.0% confidence interval for mean: 2788.52 +/- 4.73538 [2783.79;2793.26]

26.2793


Las formulas para calcular los intervalos de confianza están en cualquiera de los libros indicados en la bibliografía.Por ejemplo:


Intervalo de confianza para la mediaIntervalo de confianza para la mediaIntervalo de confianza para la mediaIntervalo de confianza para la media

Calculo del intervalo de confianza para la media.Menú Statgraphics:

Describe / Numerical data / One-Variable Analysis…Tabular Option / Confidencel Intervals





95.0% confidence interval for standard deviation: [18.4158;25.2042]

Intervalo de confianza para la desviación típicaIntervalo de confianza para la desviación típicaIntervalo de confianza para la desviación típicaIntervalo de confianza para la desviación típicaSupongamos que somos fabricantes de laminas de carbono. Una característica importante que debemos controlar es la resistencia a la rotura (distribuida según modelo normal). Se observa la resistencia en 80 laminas



freq

uenc

y

0

10

20

30

40


El verdadero valor de la Deviación Típica de la resistencia de todas las laminas fabricadas es con un nivel de confianza del 95%:

41.18




20.25

Standard deviation = 21.2788Resistencia

2700 2730 2760 2790 2820 2850

Intervalo de confianza para la desviación típicaIntervalo de confianza para la desviación típicaIntervalo de confianza para la desviación típicaIntervalo de confianza para la desviación típica

Calculo del intervalo de confianza para la desviación típicaMenú Statgraphics:

Describe / Numerical data / One-Variable Analysis…Tabular Option / Confidencel Intervals






Intervalo de confianza para la proporciónIntervalo de confianza para la proporciónIntervalo de confianza para la proporciónIntervalo de confianza para la proporción

Los artículos fabricados los clasifico en defectuosos y no defectuosos. Observo 5000 artículos. Codificamos los valores. 0=No defectuoso, 1=Defectuoso

Frequency Table for defecto

------------------------------------------------------------------------ Relative Cumulative Cum. Rel.Class Value Frequency Frequency Frequency Frequency------------------------------------------------------------------------No defectuoso 4495 0.8990 4495 0.8990Defectuoso 505 0.1010 5000 1.0000


Intervalo de confianza para la proporción de artículos defectuosos fabricados

Defectuoso 505 0.1010 5000 1.0000------------------------------------------------------------------------

Confidence Intervals for Art_defect


En todo intervalo de confianza hay una noticia buena y otra mala:

La buena: hemos usado una técnica que en % alto de casos acierta.La mala: no sabemos si ha acertado en nuestro caso.

Interpretación de los intervalos de confianzaInterpretación de los intervalos de confianzaInterpretación de los intervalos de confianzaInterpretación de los intervalos de confianza



95.0% confidence interval for mean: 2788.52 +/- 4.73538












Contraste de HipótesisContraste de HipótesisContraste de HipótesisContraste de HipótesisContraste de HipótesisContraste de HipótesisContraste de HipótesisContraste de Hipótesis

En investigaciones empíricas muchas veces existe una teoría preconcebida relativa a la característica de la población sometida a estudio. Este tipo de circunstancias es estudiado mediante un contraste de hipótesis, e implica la existencia de dos hipótesis que reflejan esta idea a priori y que tendremos que contratar con la realidad observada.

Contrastando una hipótesisContrastando una hipótesis

¿es la edad

media 40 años?

Son

demasiados.

..


años 20=X

¡Gran diferencia!

Rechazo la hipótesis

Muestra

aleatoria

Contraste de Hipótesis: analogía con juicio penalContraste de Hipótesis: analogía con juicio penalContraste de Hipótesis: analogía con juicio penalContraste de Hipótesis: analogía con juicio penal1. Establecemos las hipótesis

2. Se observan las pruebasSi las pruebas aportan suficiente evidencia en contra de H0, entonces rechazamos H0

Si las pruebas no aportan suficiente evidencia, entonces no rechazamos H0

culpable es acusado :

inocente es acusado :

1

0

ElH

ElH La hipótesis nula es la hipótesis que mantendremos a no ser que haya suficiente evidencia para rechazarla (nunca se prueba)


Es decir si hay mucha discrepancia entre las pruebas y H0, entonces rechazamos H0

3. Errores

Realidad

Inocente culpable

Decisión

inocente - Error II

Culpable Error I -

El error que más nos preocupa es Error tipo I (rechazar H0 , siendo cierta). Realizaremos el contraste intentando controlar este error

α=P(EI)=P(rechazar H0 / H0 es cierta)

β= P(EI)=P(aceptar H0 / H0 es falsa)

Contraste de hipótesisContraste de hipótesisContraste de hipótesisContraste de hipótesis

Contraste de hipótesis en estadística es contestar a preguntasSiempre se contesta en términos de probabilidadEs semejante a los intervalos de confianza.


Es semejante a los intervalos de confianza. Hay contrastes que se pueden resolver utilizando intervalos de confianza

Contraste de Hipótesis. EtapasContraste de Hipótesis. EtapasContraste de Hipótesis. EtapasContraste de Hipótesis. Etapas

Definir el contraste: Definir la hipótesis nula (H0 ) y hipótesis alternativa (H1 )Decidir:

Rechazo H0 y acepto H1 (la muestra aporta suficientes pruebas en contra de la hipótesis nula) o Aceptar H0 (la muestra no aporta suficientes pruebas en contra


Aceptar H0 (la muestra no aporta suficientes pruebas en contra de la hipótesis nula)

La herramienta que vamos a utilizar para tomar la decisión es el p-valor. Si p-valor es pequeño rechazamos H0

Contraste de hipótesisContraste de hipótesisContraste de hipótesisContraste de hipótesis

Un ingeniero esta interesado en la tasa de combustión de un combustible sólido. Él sospecha, y es lo que quiere demostrar que la tasa de combustión es en media superior a 40.

Tomare una muestra y realizaré un contraste para demostrar mi

Summary Statistics for Combustion



demostrar mi sospecha

Minimum = 38.4888Maximum = 43.6189Range = 5.1301Lower quartile = 40.1761Upper quartile = 41.6151Stnd. skewness = 0.873252Stnd. kurtosis = -0.129913

Histog ram fo r Combustion

38 39 40 41 42 43 44

Combustion

0

5

10

15

20

25

30

frequ

enc

y

Contraste de hipótesis. Definir hipótesisContraste de hipótesis. Definir hipótesisContraste de hipótesis. Definir hipótesisContraste de hipótesis. Definir hipótesis

Definir la Hipótesis nula y alternativa. Tipos de contrastes

>≤

01

00

:

:

µµµµ

H

H

≠=

01

00

:

:

µµµµ

H

H

Contrate Bilateral Contrastes unilaterales

<≥

01

00

:

:

µµµµ

H

H


Hipótesis nulaHipótesis nulaHipótesis nulaHipótesis nula Hipótesis alternativaHipótesis alternativaHipótesis alternativaHipótesis alternativa

a) La que contrastamos a) Niega a la hipótesis nulaLo que queremos demostrar

b) Los datos pueden refutarla b) Los datos pueden demostrar evidencia a favor

c) No debería ser rechazada sin una buena razón c) No debería ser aceptada sin una gran evidencia a favor

Definir el contraste: definir hipótesis nula e hipótesis alternativa

Contrate de hipótesis. Definir hipótesisContrate de hipótesis. Definir hipótesisContrate de hipótesis. Definir hipótesisContrate de hipótesis. Definir hipótesis

>= 40:0

µµH¿es la tasa de

combustión media del solido superior


> 40:1 µH

del solido superior a 40?

Contrate de hipótesis. DecisiónContrate de hipótesis. DecisiónContrate de hipótesis. DecisiónContrate de hipótesis. Decisión

>=

40:

40:

1

0

µµ

H

H¿es la tasa de combustión media del s superior a 40


Intuitivamente rechazaremos H0 si la media muestral es mucho más grande que 40

Para establecer un criterio para aceptar o rechazar la hipótesis nula utilizaremos el p-valor

. 40 si rechazamos 0 >>XH Gran diferencia entre lo observado y lo esperado

Contrate de hipótesis. Herramienta de decisión: pContrate de hipótesis. Herramienta de decisión: p--valorvalorContrate de hipótesis. Herramienta de decisión: pContrate de hipótesis. Herramienta de decisión: p--valorvalor

El p-valor da una idea de lo verosímil que es la hipótesis nula con los datos que tenemosP-valor es bajo (menor que 0.05)…poco

1

0.75

0.5 Acepto Η0


que 0.05)…poco razonable que H0 sea verdadP-valor alto(mayor que 0.05)…es bastante posible que H0 se verdad

0.025

0 0.05Rechazo Η0

Contrate de hipótesis. DecisiónContrate de hipótesis. DecisiónContrate de hipótesis. DecisiónContrate de hipótesis. Decisión

>=

40:

40:

1

0

µµ

H

H¿es la tasa de combustión media del s superior a 40

Hypothesis Tests for Combustion

Sample mean = 40.92Sample median = 40.897


t-test------Null hypothesis: mean = 40.0Alternative: greater than

Computed t statistic = 8.79089P-Value = 1.9218E-7

Reject the null hypothesis for alpha = 0.05.

Tenemos evidencia suficiente para rechazar Η0

Contrastes de hipótesisContrastes de hipótesisContrastes de hipótesisContrastes de hipótesis

Casos que veremos:Intervalo de confianza para la mediaIntervalo de confianza para la desviación típica (población normal) Intervalo de confianza para la proporciónComparación de poblaciones

Comparación de medias


Comparación de mediasComparación de varianzas (poblaciones normales)Comparación de proporciones

Contraste mediaContraste mediaContraste mediaContraste mediaUn fabricante de bolsas asegura que sus bolsas soportan al menos 17 Kg. Nosotros sospechamos que soportan menos.Tomamos una muestra de 238 datos. A la vista de los datos, tenemos evidencia en contra del fabricante.

1. Definimos contraste ≥ 17: µH

Summary Statistics for Bolsas

Count = 238Average = 16.9259Standard deviation = 0.889525

Histogram for Bolsas

13 15 17 19 21

Bolsas

0

20

40

60

80

100

freq

ue

ncy


1. Definimos contraste

2. Calculamos el p-valor. Statgraphics (Describe / Numerical data / One-Variable Analysis/ Tabular Option / Confidencel Intervals)

<≥

17:

17:

1

0

µµ

H

H

t-test------Null hypothesis: mean = 17.0Alternative: less than

Computed t statistic = -1.28473P-Value = 0.100071

Do not reject the null hypothesis for alpha = 0.05.

Contraste varianza. Solo para poblaciones normalesContraste varianza. Solo para poblaciones normalesContraste varianza. Solo para poblaciones normalesContraste varianza. Solo para poblaciones normalesLa temperatura ideal para una sala es 22 grados. El sistema refrigeración intenta mantener la temperatura alrededor de este valor objetivo. El sistema de refrigeración será de alta calidad si la desviación típica de la temperatura en menor de 0.3 grados. Sospechamos que este sistema no es de calidad altaSe realizan 67 observaciones. (hemos comprobado que se ajusta a una normal)

1. Definimos contraste ≤ 3.0:0 σH

Summary Statistics for Temperatura:Count = 67Average = 22.052Standard deviation = 0.499787



2. Calculamos el p-valor. Statgraphics (Describe / Hyphotesis tests)

>≤

3.0:

3.0:

1

0

σσ

H

H

Hypothesis Tests----------------Sample standard deviation = 0.499787Sample size = 67

95.0% lower confidence bound for sigma: [0.437922]

Null Hypothesis: standard deviation = 0.3Alternative: greater thanComputed chi-squared statistic = 183.177P-Value = 5.82534E-13Reject the null hypothesis for alpha = 0.05.

Contraste Proporciones (muestras grandes)Contraste Proporciones (muestras grandes)Contraste Proporciones (muestras grandes)Contraste Proporciones (muestras grandes)El porcentaje de pupitres para zurdos en la Universidad es del 3% Suponemos que no hay pupitres para zurdos suficientes.Tomamos una muestra de 223 alumnos.

Frequency Table for zurdos------------------------------------------------------------------------ Relative Cumulative Cum. Rel.Value Frequency Frequency Frequency Frequency------------------------------------------------------------------------diestros 214 0.9596 214 0.9596zurdos 9 0.0404 223 1.0000------------------------------------------------------------------------



2. Calculamos el p-valor. Statgraphics (Describe / Hyphotesis tests)

>≤

03.0:

03.0:

1

0

pH

pH

Hypothesis Tests----------------Sample proportion = 0.0404Sample size = 100

Approximate 95.0% lower confidence bound for p: [0.0140121]

Null Hypothesis: proportion = 0.03Alternative: greater thanP-Value = 0.352751Do not reject the null hypothesis for alpha = 0.05.

Comparación de proporcionesComparación de proporcionesComparación de proporcionesComparación de proporciones

¿El porcentaje de alumnos y alumnas zurdas es igual? Tomamos una muestra de 223 alumnos, y 212 alumnas:

7.62% de chicos zurdos3.76% de chicas zurdas




2. Calculamos el p-valor. Statgraphics (Compare / Hyphotesis tests)

==

chicaschi

chicaschi

ppH

ppH

cos1

cos0

:

:

Comparación de proporcionesComparación de proporcionesComparación de proporcionesComparación de proporciones2. Calculamos el p-valor. Statgraphics (Compare / Hyphotesis tests)

Hypothesis Tests----------------Sample proportions = 0.0762 and 0.0376Sample sizes = 223 and 212


Sample sizes = 223 and 212

Approximate 95.0% confidence interval for difference between proportions: [-0.00462411;0.0818241]

Null Hypothesis: difference between proportions = 0.0Alternative: not equalComputed z statistic = 1.73016P-Value = 0.0836016Do not reject the null hypothesis for alpha = 0.05.

Warning: normal approximation may not be appropriate for small sample sizes.

Comparación de poblaciones NormalesComparación de poblaciones NormalesComparación de poblaciones NormalesComparación de poblaciones Normales

Dos proveedores suministran bombillas ¿Hay diferencias significativas entre la duración de las bombillas de los dos proveedores? Tomamos una muestra de 200 bombillas de cada proveedor




1000 1100 1200 1300 1400 1500 1600

Bombillas1

bombillas2

Summary Statistics

Bombillas1 bombillas2 ------------------------------------------------------------Count 250 250 Average 1291.63 1249.95 Standard deviation 61.1392 58.0918 ------------------------------------------------------------


¿Hay diferencias significativas entre la duración de las bombillas de los dos proveedores?

1. Definimos los contrastes

2. Calculamos el p-valor. Statgraphics (Compare / Two Sample)

≠=

211

210

:

:

µµµµ

H

H

≠=

211

210

:

:

σσσσ

H

H


2. Calculamos el p-valor. Statgraphics (Compare / Two Sample)

a) Comparación desviaciones típicasb) Comparación de medias


¿Hay diferencias significativas entre la duración de las bombillas de los dos proveedores? a) Comparación desviaciones típicas (las poblaciones

deben ser normales)

≠=

211

210

:

:

σσσσ

H

HComparison of Standard Deviations---------------------------------

Bombillas1 bombillas2 ------------------------------------------------------------


211 ------------------------------------------------------------Standard deviation 61.1392 58.0918Variance 3738.0 3374.66Df 249 249

Ratio of Variances = 1.10767

95.0% Confidence Intervals Standard deviation of Bombillas1: [56.2084;67.026] Standard deviation of bombillas2: [53.4067;63.6852] Ratio of Variances: [0.863529;1.42083]

F-test to Compare Standard Deviations

Null hypothesis: sigma1 = sigma2 Alt. hypothesis: sigma1 NE sigma2 F = 1.10767 P-value = 0.420353


¿Hay diferencias significativas entre la duración de las bombillas de los dos proveedores? b) Comparación de medias

≠=

211

210

:

:

µµµµ

H

H

Comparison of Means


Comparison of Means-------------------

95.0% confidence interval for mean of Bombillas1: 1291.63 +/- 7.61579 [1284.01,1299.24]95.0% confidence interval for mean of bombillas2: 1249.95 +/- 7.23619 [1242.71,1257.18]95.0% confidence interval for the difference between the means assuming equal variances: 41.6787 +/- 10.4798 [31.1989,52.1585]

t test to compare means

Null hypothesis: mean1 = mean2 Alt. hypothesis: mean1 NE mean2 assuming equal variances: t = 7.81391 P-value = 0.0

Ahora podemos responder a las cuestiones Ahora podemos responder a las cuestiones planteadas en los ejemplos inicialesplanteadas en los ejemplos inicialesAhora podemos responder a las cuestiones Ahora podemos responder a las cuestiones planteadas en los ejemplos inicialesplanteadas en los ejemplos inicialesplanteadas en los ejemplos inicialesplanteadas en los ejemplos inicialesplanteadas en los ejemplos inicialesplanteadas en los ejemplos iniciales

Ejemplo 1: ¿proporción poblacional?Ejemplo 1: ¿proporción poblacional?Ejemplo 1: ¿proporción poblacional?Ejemplo 1: ¿proporción poblacional?

Supongamos que somos fabricantes de juguetes para niños. Para la fabricación de nuestra última novedad, dependemos de un proveedor que nos suministra los componentes electrónicos necesarios. La proporción de componentes La proporción de componentes La proporción de componentes La proporción de componentes defectuosos que consideramos admisible es 0.001. defectuosos que consideramos admisible es 0.001. defectuosos que consideramos admisible es 0.001. defectuosos que consideramos admisible es 0.001. Recibimos un lote de 50000 componentes, como no tenemos recursos para inspeccionarlos todos, se decide realizar una inspección de 500 componentes y en función de los resultados de esta inspección decidiremos aceptar o rechazar todo el lote.

Frequency Table for Circuitos_Defec


Recibimos el lote Inspeccionamos una muestra) información de la muestra

En la muestra observamos que la proporción de defectuosos es de 0.002. ¿con En la muestra observamos que la proporción de defectuosos es de 0.002. ¿con En la muestra observamos que la proporción de defectuosos es de 0.002. ¿con En la muestra observamos que la proporción de defectuosos es de 0.002. ¿con la información que nos suministra la muestra podemos rechazar el lote?.la información que nos suministra la muestra podemos rechazar el lote?.la información que nos suministra la muestra podemos rechazar el lote?.la información que nos suministra la muestra podemos rechazar el lote?.

------------------------------------------------------------------------ Relative Cumulative Cum. Rel.Class Value Frequency Frequency Frequency Frequency------------------------------------------------------------------------ 1 0 499 0.9980 499 0.9980 2 1 1 0.0020 500 1.0000------------------------------------------------------------------------

Ejemplo 2: ¿media y varianza poblacional?Ejemplo 2: ¿media y varianza poblacional?Ejemplo 2: ¿media y varianza poblacional?Ejemplo 2: ¿media y varianza poblacional?

Supongamos que somos fabricantes de laminas de carbono. Una característica importante que debemos controlar es la resistencia a la rotura. El responsable de la planta ha establecido un valor objetivo, en función de lo que demanda el mercado: la resistencia media de todas las láminas que se fabriquen debe ser : la resistencia media de todas las láminas que se fabriquen debe ser : la resistencia media de todas las láminas que se fabriquen debe ser : la resistencia media de todas las láminas que se fabriquen debe ser igual o superior a 2800 N/mmigual o superior a 2800 N/mmigual o superior a 2800 N/mmigual o superior a 2800 N/mm2222 y la desviación típica no superior a 20 N/mm2.y la desviación típica no superior a 20 N/mm2.y la desviación típica no superior a 20 N/mm2.y la desviación típica no superior a 20 N/mm2.Para verificar si se cumple este criterio, y dado que no se pueden inspeccionar todas las láminas, porque la prueba para determinar su resistencia supone la destrucción de la misma, se decide realizar la prueba a 80 laminas.


En la muestra observamos que la resistencia media es de 2788.52 N/mm2, con una desviación de. 21.28 N/mm2 ¿con la información que nos suministra la ¿con la información que nos suministra la ¿con la información que nos suministra la ¿con la información que nos suministra la muestra podemos decir que el proceso de fabricación no cumple con el criterio muestra podemos decir que el proceso de fabricación no cumple con el criterio muestra podemos decir que el proceso de fabricación no cumple con el criterio muestra podemos decir que el proceso de fabricación no cumple con el criterio de calidad establecido por el responsable?.de calidad establecido por el responsable?.de calidad establecido por el responsable?.de calidad establecido por el responsable?.




Resistencia

freq

uen

cy2700 2730 2760 2790 2820 2850

0

10

20

30

40

Ejemplo 3: Comparación de poblaciones Ejemplo 3: Comparación de poblaciones Ejemplo 3: Comparación de poblaciones Ejemplo 3: Comparación de poblaciones

Somos responsables de elegir donde se situará un nuevo parque eólico. Tenemos dos posibles localizaciones, dentro del mismo municipio. Para tomar nuestra decisión, recurrimos a la estadística.Se observa la velocidad del viento durante 730 horas de forma simultánea en dos localizaciones alternativas (variables Parque1 y Parque2). Se quiere utilizar estos datos para decidir en qué localización instalar un parque de producción de energía eólica.


localización instalar un parque de producción de energía eólica.

A la vista de los datos, ¿qué localización es más aconsejable?

Summary Statistics

Veloc_Parque1 Veloc_Parque2 ------------------------------------------------------------Count 730 730 Average 5.80179 5.63285 Median 5.31 5.045 Standard deviation 3.24126 3.25496 Minimum 0.27 0.14 Maximum 16.28 17.82 Lower quartile 3.26 3.24 Upper quartile 7.96 7.44 Skewness 0.649086 0.952801 Kurtosis -0.0911749 0.753856 Coeff. of variation 55.8664% 57.7853% ------------------------------------------------------------


0 3 6 9 12 15 18

Veloc_Parque1

Veloc_Parque2

Las medias muestrales son distintas.¿Son distintas la medias poblacionales?

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Grado en Ingeniería Asignatura: Estadística Tema: 2 ... · Fenómenos y experimentos aleatorios. Sucesos y operaciones con sucesos (conjuntos) Concepto de probabilidad y propiedades