23 、（ 2011• 广州）已知 Rt ABC△ 的斜边 AB在平面直角坐标系的 x轴上，点 C （ 1 ， 3 ）在反比例函数 的图象上，且 sin BAC= ∠ ．

（ 1 ）求 k 的值和边 AC 的长；（ 2 ）求点 B 的坐标．

xky 5

3

试题

一、试题分析（考查的知识点、得分情况） 1 、本题组考查的主要功能： 本小题主要以直角坐标系为载体，考查反比例函数的基本知识、解直角三角形、三角形相似、推理能力、分类思想。 2 、本题的平均分、难度统计：

题号 满分值 平均分 难度23 12 4.73 0.394

3 、本题组学生答题情况(1) 、答题的总体情况本题组各分数段及百分比情况如下表所示，学生答题较好的地方是对点在函数图象上这一条件的运用，学生答题较差的地方是运用三角函数解直角三角形，图形位置的理解。

*** 分数分布曲线百分比：

（ 2 ）分数分布表分数 0分 1分 2分 3分 4分 5分 6分人数 20173 1402 1244 35048 17617 5093 5788百分比 17.04% 1.18% 1.05% 29.61% 14.89% 4.30% 4.89%

分数 7分 8分 9分 10分 11分 12分人数 3362 1988 2416 13877 2444 7900百分比 2.84% 1.68% 2.04% 11.73% 2.07% 6.68%

二、评卷说明

AB

23 、已知 Rt ABC△ 的斜边 AB 在平面直角坐标系的 x轴上，点 (1 ，3) 在反比例函数 的图象上，且 sin BAC= ∠ ．（ 1 ）求 k 的值和边 AC 的长；（ 2 ）求点 B 的坐标．

xky

53

AB

AB

设 AB=5a，则 BC=3a， AC=4a。

3sin5

BAC 设 k 法， 如：在 Rt ABC△ 中，∠ C 是直角，

，

　　

常态的一些解法或比较巧妙的解法

由 得

CDABBCAC 21

21

352134

21

aaa

∴ ∴ AC=5

45

a

面积法

AB

设 AB=5a ，则 BC=3a ， AC=4a 。

3sin5

BAC 设 k 法， 如：在 Rt ABC△ 中，∠ C 是直角，

，

　　

常态的一些解法或比较巧妙的解法

第二问中，通过设 k 的方法，求得 AB=6.25 ，再由 AB 的长推算出 OB的长。求直线 BC 的解析式，再求直线 BC 与 x 轴的交点。利用了垂直的两直线的斜率关系 :k1k2=-1

∵ AC=5

∴ ∴AB=45

a425

三、学生出现的问题(1) 误判点 A 、点 B 的位置， 如：不经任何推证就认为 A 在原点或 A 的坐标为（－ 2,0 ） 或 B 点在原点等等。 (2) 读题不认真， 如：把∠ B 当成直角；把 AB 边画 y 轴上； 把点 C 画到第四象限等。

，

OC

B

A

O

C

BA

三、学生出现的问题(3) 对值与比值理解不透，

3sin5

BCBACAB

，得 AB=5 ， BC=3 ， AC=4 。如：由(4) 对图形放置方式有思维定势，不能正确分类， 如：一但画出△ ABC ，就只解此种情形，不作分类， 只得到一结论；或对的 B 的位置进行多种分类，得多个结论，又不检验甄别 .

设 AB=5a ，则 BC=4a ， AC=3a 。

，

3sin5

BAC (5) 记错直角三角形中的三角函数， 如：在 Rt ABC△ 中，∠ C 是直角，

四、暴露教学中存在的问题 :

(1) 画图能力。 学生在根据所给条件画出图形的能力较弱，建议教学过程中多训练学生这方面的画图能力，特别是在几何教学中，要让学生多动手画图。（ 2 ）分类思想能力。 学生的分类能力较弱，只要表现在不知道要分类、把握不准分类的标准、不知道分几类。在分类思想的教学中，并不是通过一两个专题就能解决的，要经常渗透、反复强调，让学生明白分类思想中要注意的几个关键问题：要不要分类、怎么分类、是否不重不漏。特别是涉及到几何图形时，要学会分情况画图，特别是涉及到动态问题是更要分类画图。

四、暴露教学中存在的问题（ 3 ）审题能力。 从学生的答卷中，暴露出了有相当部分的学生没有认真审题，或者是不能从题目中准确获取信息。虽然题中明确说“ AB 是斜边”，但很多学生还是对哪个角是直角进行了讨论。（ 4 ）规范书写。 从学生的答卷中，暴露出了有相当部分的学生数学语言表达不规范，也不管题目要求解决什么问题，只管自己写，也没有下结论的习惯。如第 1 问中求 AC 部分，求了 AC 还继续求解出 AB 的长，或者是分了好几中情况进行讨论，但不下总的结论。 从较多的 0 分卷可看到，要学困生对加强概念的教学。如本题中反比例函数的概念、三角函数的概念、勾股定理等。求 k 的值应该使绝大多数的学生都能得分。它实际上就是将点的坐标代入解析式，求参数的值。其实今年试题中第 24（ 1 ）题也是一样的道理。

五、今后教学建议：1 、加强概念教学，培养学生的审题能力，用规范的数学语言书写的习惯和能力。2 、培养学生的识图、读图、和画图能力，教学过程中教学中，多要求学生动手画图。探究几何问题，要学会画草图，养成会自己动手画图的习惯和能力。3 、数学思想方法的教学，要多渗透，多传授、多反复，分类思想能力的能力更是如此。教学过程中可以先由一些较为简单情况入手，让学生容易掌握，有学以致用的成功感，再学会举一反三。