22.predavanje

8/19/2019 22.predavanje

1/18

1

11.6 Ekonomske primjene

• Problem višeproizvodnog preduzeća

• Diskriminacija cijena


2/18

2

Problem višeproizvodnog

preduzeća• Preduzeće proizvodi 2 proizvoda

• R = P10

Q1

+ P20

Q2

• Funkcija troškova C = 2Q12 + Q1Q2+2Q2

2

• Profit: π = R – C = P10Q1 + P20Q2 – (2Q12 +Q1Q2+ 2Q2

2)


3/18

3

Problem višeproizvodnog

preduzeća• π = R – C = P

10Q

1+ P

20Q

2– 2Q

12 – Q1Q2 –

2Q22

• π1

= ∂π / ∂Q1

= P10

– 4Q1

– Q2= 0; π2 = ∂π / ∂Q2

= P20 – Q1 – 4Q2 = 0;• Dobijen je sistem koji ima jedinstveno rešenje:

Q1=(4P10-P20)/15, Q2=(4P20-P10)/15


4/18

4

Diskriminacija cijena

• Razlika elastičnosti na različitim tržištima

• Maksimizacija profita zahtijeva diskriminaciju cijena

• R=R1(Q1)+R2(Q2)+R3(Q3)

•C=C(Q) Q=Q1+Q2+Q3

•π = R1(Q1)+R2(Q2)+R3(Q3)– C(Q)

•πi = R'i(Qi)– C'(Q) , i =1,2,3

•Nakon izjednačavanja sa 0: C '(Q)= R'i(Qi), i=1,2,3

iQ

Q

∂

∂


5/18

5

Diskriminacija cijena

)1

1()1(di

i

i

i

i

ii

i

ii

i

ii

i

ii

PP

Q

dQ

dPP

dQ

dPQ

dQ

dQP

dQ

dR MR

ε +=+=

+==

)11(di

ii P MRε −=

)1

1()1

1()1

1(3

3

2

2

1

1

321

ε ε ε −=−=−

⇒==

PPP

MR MR MR

d d


6/18

6

12.5 Maksimizacija korisnosti i

potrošačeva tražnja• 12.5-1 Uslov prvog reda

• 12.5-2 Uslov drugog reda

• 12.5-3 Komparativnostatička analiza

• 12.5-4 Proporcionalne promjene cijena idohotka


7/18

7

12.5-1 Uslov prvog reda• U = U(x, y) (Ux, Uy > 0)

• B = xPx + yPy• Z = U (x, y) + λ(B - xPx - yPy)

Z U P x x x

= − =λ 0

Z U P y y y

= − = 0λ ==

y

y

x

x

P

U

P

U

0=−−= y x yP xP Z β λ


8/18

8

HOMOGENE FUNKCIJE

f x yx

y

x

y( , ) = − +3 2

2

2

f tx tytx

ty

t x

t y

t f x yo

( , ) ( , )= + − =2 32 2

2 2

Za funkciju z = f(x,y) kažemo da je homogena funkcija sastepenom homogeniteta k, ako je za svako t

f(tx,ty) = tk ⋅f(x,y).

Primjer 1. Funkcija f(x,y) = ax + by je homogena i k = 1 jer je:

f(tx,ty) = atx + bty = t(ax + by) = t⋅f(x,y).

Primjer 2. Funkcija

je homogena i k = 0 jer je:


9/18

9

Homogene funkcije. Ojlerova

teorema• Za funkciju z = f(x,y) kažemo da je homogena

funkcija sa stepenom homogeniteta k, ako je za

svako t: f(tx,ty) = tk ⋅f(x,y).

• Ojlerova teorema: Za homogenu funkciju

stepena homogenosti k važi:

xf

x

yf

y

k f x y∂

∂

∂

∂+ = ⋅ ( , )

• Analogno tvrđenje važi i za homogenu funkcijusa n ≥ 3 nezavisno promjenljivih.


10/18

10

Dokaz Ojlerove teoreme (n=2)• ∀t ∈ R, f(tx,ty) = tk ⋅ f(x,y) (jer je f homogena

funkcija). Uvedimo smjenu u = tx, v = ty i

primjenimo teoremu o totalnom izvodu složenefunkcije:

).,(),(),(

1``

1``

y x f t k yf xf

y x f t k v f u f vu f

k

vu

k

t vt ut

⋅⋅=+⇔⇔⋅⋅=

′⋅+

′⋅= −

−

`

v f

• Kako tvrđenje važi ∀t ∈ R, to stavljajući t=1dobija se:

),('' y x f k f y f x y x ⋅=⋅+⋅


11/18

11

12.6 Homogene funkcije

• 12.6-1 Linearna homogenost

• 12.6-2 Kob-Daglasova funkcija proizvodnje


12/18

12

12.6-1 Linearna homogenostFunkcija f(x1, ..., xn) je homogena stepena r ako

f (jx1, ..., jxn) = jrf(x1, ... xn)za sve jx1, ..., jxn iz domena funkcije f

• Ako r = 0, j0 = 1, funkcija je homogena stepenahomogeniteta 0 (t.j, funkcija korisnosti zavisiod budžetskih ograničenja)

• Ako je r = 1, j

1

= j, funkcija je homogenastepena homogeniteta 1 (linearno homogena)


13/18

13

12.6-2 Kob-Daglasova funkcija

proizvodnje

• Q = AKαLβ je homogena stepena α+β

( ) ( ) β α jL jK A jL jK Q =),(

( ) ( )

Q j L AK j LK Aj

LK j Aj jL jK A

β α

β α β α β α β α

β α β α β α

+

++

===

=


14/18

14

12.6-2 Kob-Daglasova funkcija

• Q = AKαLβ

1) Funkcija je homogena stepena α+β

2) Ako α + β=1, funkcija je linearno homogena


15/18

15

Metoda najmanjih kvadrata

• Često za neku funkciju imamo podatke za samokonačno mnogo vrijednosti argumenata

• Npr., tražnju nekog proizvoda možemo utvrditisamo pri konačno mnogo cijena, troškove -samo za konačno mnogo vrijednosti

proizvodnje, itd.• Da bi i na ispitivanje takve zavisnosti mogli da

primijenimo matematički aparat, određujemo

neku funkciju definisanu na intervalu, a koja“dobro” odražava zavisnost izraženu poznatimpodacima.


16/18

16

• Obično uzimamo funkciju iz nekog od

sljedećih skupova:{ } { } { } { }y y ax b y y ax b y y ax bx y y a

b

xy y ab x| , | , | , | , |= + = + = + = +

=2 2

x x x n1 2, , ... ,y y y n1 2, , ... ,

- vrijednosti argumenta x

- odgovarajuće vrijednosti funkcije

Prema principu (metodi) najmanjih kvadratasmatraćemo da, od svih funkcija datog skupa,funkcija y = y(a,b) najbolje odražava zavisnost

veličina x i ako zbir( ) ( ) ( ) ( )G a b y y y y y yn n, . . .= − + − + + −1 1

2

2 2

2 2

y

gdje je yi = y(a,b)(xi), ima najmanju vrijednost.


17/18

17

• Kada funkcija G(a,b) ima najmanju vrijednost?

• Ako su njeni parcijalni izvodi (ako postoje) jednaki nuli, tj.

∂

∂

∂

∂

G

a

G

b

= =0 0,

• Normalne jednačine funkcije y = y(a,b).

• Njihovim rješavanjem (kao sistema) dobijamo parametre a

i b, odnosno onu funkciju datog oblika koja po metodu

(principu) najmanjih kvadrata najbolje odražava zavisnost

datih veličina

• Analogno se metodom najmanjih kvadrata određujefunkcija datog oblika koja je određena sa tri ili višeparametara i koja po tom principu najbolje odražava

zavisnost datih podataka.


18/18

18

Primjer

Naći normalne jednačine funkcije y = ax + b.Neka su i dati podaci

(uzorak). Tada je

x x x n1 2, , ... , y y y n1 2, , ... ,

( ) ( ) ( ) ( )G a b ax b y ax b y ax b yn n, ...= + − + + − + + + −1 12

2 22 2

( ) ( ) ( ) 02...220 222111 =−+++−++−+⇒= nnn x ybax x ybax x ybax

a

G

∂

∂

( ) ( ) ( ) 02...220 2211 =−+++−++−+⇒= nn ybax ybax ybaxb

G

∂

∂

a x b x x yii

n

i

i

n

i i

i

n

2

1 1 1= = =∑ ∑ ∑+ = a x nb yi

i

n

i

i

n

= =∑ ∑+ =

1 1

Npr. za uzorak (-3,1), (-1,2), (1,2) i (3,3) od svih linearnih funkcija,

najbolje ga odražava y = 0,3x + 2.

Documents

22.predavanje