1. 对应角 _______, 对应边——————的两个三角形 ,叫做相似三角形 .

相等 成比例

2. 相似三角形的——————— , 各对应边——————。对应角相等 成比例3. 如何识别两三角形是否相似 ?

1. 如图，在△ ABC 中， DG EH FI∥ ∥BC∥ ，

（ 1 ）请找出图中所有的相似三角形；

（ 2 ）如果 AD=1 ， DB=3 ，那么 DG ： BC=_____ 。 A

B C

DE

F

GH

I

△ADG∽△AEH∽△AFI∽△ABC

1 ：4

练习：

2. 如图，△ ABC 中， DE∥BC ，

GF∥AB ， DE 、ＧＦ交于点Ｏ，则图中与△ ABC 相似的三角形共有多少个 ? 请你写出来 .

解： 与△ ABC 相似的三角形有 3 个 : 　　△A ＤＥ　

△ ＧＦＣ　

△ ＧＯＥ

A

B C

DE

F

G

O

A

B C

D

E

F

3 、如图， E 是平行四边形 ABCD 的边 BC 的延长线上一点，连接 AE 交CD 于 F, 则图中共有相似三角形 _______ 对3

　　类似于判定三角形全等的方法，我们能通过两边和夹角来判断两个三角形相似呢？

如果两个三角形的两组对应边的比相等 , 并且相应的夹角相等 , 那么这两个三角形相似 . 类似于证明通过三边判定三角形相似的方法 , 请你自己证明这个结论 .

已知 : 如图△ ABC 和△ A`B`C` 中 , A∠ ＝∠ A` , A` ,A`B`:AB=A`C`:AC.∠

求证 : ABC A`B`C`△ ∽△A`

B`C`

A

B C

ED

思 考？ 对于△ ABC 和△ A’B’C’, 如果 ,

∠B=∠B’, 这两个三角形一定相似吗 ?

试着画画看 .

3.23.23.23.2

GGCC50°)

4

A

B 2 1.650°)

E

D

F

∵ = =1.5FE

AE

36

54判断图中△ AEB 和△ FEC 是否相似？

解：

∴△AEB∽△FEC

∵∠1 ＝∠ 2

＝ ＝ 1.5BE

CE

45

30

∴ ＝FE

AE BE

CE54 3036

45E

AF

C

B

12

　　任意画一个三角形，再画一个三角形，使它的各边长都是原来三角形各边长的Ｋ倍，度量这两个三角的对应角，它们相等吗？这两个三角形相似吗？相互交流一下，看看是否有同样的结论．

三边对应成比例

A'B' B'C' A'C'

AB BC AC= =

是否有△ ABC∽△A’B’C’ ？

A

B CC’B’

A’

已知 : 如图△ ABC 和△ A`B`C` 中 A`B`:AB=A`C`:AC=B`C`:BC.

求证 : ABC A`B`C`△ ∽△

证明 : 在△ ABC 的边 AB( 或延长线 ) 上截取 AD=A`B`,

A`

B` C`

A

B C

D E过点 D 作 DE∥B

C 交 AC 于点 E.

A

B C C’B’

A’

A'B' B'C' A'C'

AB BC AC= = △ABC∽△A’B’C’

简单地说 :三边对应成比例 , 两三角形相似 .

如果一个三角形的三组对应边的比相等 , 那么这两个三角形相似 .

已知：如图，在正方形 ABCD 中， P 是 BC 上的点，且 BP=3PC ， Q 是 CD 的中点 .ΔADQ 与ΔQCP 是否相似？为什么？

例 1: 根据下列条件，判断△ ABC 与△ A’B’C’ 是否相似，并说明理由．

(1) A=120∠ 0,AB=7cm,AC=14cm.

　∠ A’=1200,A’B’=3cm,A’C’=6cm.

(2)AB=4 cm,BC=6cm,AC=8cm,

　 A’B’=12cm,B’C’=18cm,A’C’=21cm.

∴ ΔABC∽ΔADE∴∠BAC=∠DAE∴∠BAC━∠DAC=∠DAE━∠DAC即∠ BAD=∠CAE

= = ,AB BC AC

AD DE AE1. 如图已知 , 试说明∠ BAD=∠CAE.

A

D C

E

B

= =AB BC AC

AD DE AE解

2 如图， AB•AE=AD•AC ，且∠ 1=∠2 ，求证：△ ABC∽△AED ．

21

E

D

CB

A

3. 已知：如图， P 为△ ABC 中线 AD 上的一点，且求证：△ ADC∽△CDP ．

2BD PD AD= ·

P

D CB

A

答案是 2:1

不相似，请说明理由。，求出相似比；如果它们相似吗？如果相似

，和如图在正方形网格上有 222111A CBACB 如图在正方形网格上有△Ａ 1 Ｂ 1 Ｃ 1 和△Ａ 2 Ｂ 2 Ｃ 2, 它们相似吗？如果相似，求出相似比；如果不相似，请说明理由。

D

C

B

A

如果有一点 E 在边 AC 上，那么点 E 应该在什么位置才能使△ ADE△ABC 相似呢？

AD

AB=？

此时，

A = AÐ ÐE

AE

AC= ？3

1

3

1

①4:2=5:x=6:y

②4:x=5:2=6:y

③4:x=5:y=6:2

要作两个形状相同的三角形框架 , 其中一个三角形的三边的长分别为 4 、 5 、6, 另一个三角形框架的一边长为 2, 怎样选料可使这两个三角形相似 ?

4 5

6

2

B C

A

D

P

如图， AB⊥BC ， DC⊥BC ，垂足分别为 B 、 C ，且 AB=8 ， DC=6 ， BC=14 ， BC 上是否存在点 P 使△ ABP与△ DCP 相似？若有，有几个？并求出此时 BP 的长，若没有，请说明理由。

8

6

14

方法 2 ： 平行于三角形一边的直线与其他两边 ( 或延长线 ) 相交 , 所构成的三角形与原三角形相似 ;

方法 3 ： 三边对应成比例的 , 两三角形相似 .

相似三角形的判定方法

方法 4 两边对应成比例且夹角相等 ,两三角形相似 .

方法 1 ：通过定义（不常用）三个角对应相等三边对应成比例

4. 如图：在△ ABC 中，点 M 是

BC 上任一点， MD∥AC ， ME

∥AB ，

∴△BDM BAC∽△

A

B CM

D E

解：∵ MD AC∥ ， ∴ = = ，BDBA

25

BMBC

∴ = CECA

CMCB

= 35

MCBC

又∵ ME AB∥ ，∴△CEM CAB∽△

2 份5 份

3 份

35

=

2, .

5

BD CE

AB AC= 求

1 、如图 , 在 ABCD 中， E 是边 BC 上的一点，且 BE:EC=3:2 ，连接 AE 、 BD 交于点 F ，则 BE:AD=_____ ， BF:FD=_____ 。

2 、如图，在△ ABC 中，∠ C 的平分线交 AB 于 D ，过点 D 作 DE BC∥ 交 AC于 E ， 若 AD:DB=3:2 ，则 EC:BC=______ 。

A

B C

D

E

F

A

B

CE

D

3:53:5

3:5

请你帮忙： 图纸上上有不锈钢三角架的长分别为 3cm,4cm,5cm, 库存的不锈钢条有两根中，一根长 60cm, 另一根长 180cm, 工人师傅想用其中一根做三角架的一边，在另一根上取两截，用来做三角架的另外两边，使做成的三角架与图纸上的形状相同 ( 即图形相似 ) 。请帮他确定：共有几种不同的做法 ( 焊接用料略去不计 ) ？哪一种放大的倍数最大？最大的倍数是多少？

3cm

4cm 5cm

北

如图：一条河流，在河流的北岸点 A 处有一根高压电线杆。河流的南岸点 B 处有一颗大树。且电线杆在大树的正北方向上。在大树的正东方的点 C 处有一雕像，你能利用本节课学习的知识大致测算出电线杆 A 与大树 B之间的距离吗？

若用皮尺测得： BC=40米，CD=20米， DE=60米，你能计算出电线杆 A 与大树 B之间的距离吗？

A

B C D

E

学以致用

已知 : 如图△ ABC 和△ A`B`C` 中 A`B`:AB=A`C`:AC=B`C`:BC.

求证 : ABC A`B`C`△ ∽△

证明 :在△ ABC的边 AB(或延长线 )上截取 AD=A`B`,

A`

B` C`

A

B C

D E

过点 D作 DE∥BC交 AC于点 E.

又 A`B`:AB=B`C`:BC=C`A`:CA

∴ △ADE∽△ABC ， AD:AB=AE:AC=DE:BC,∵AD=A`B`∴AD:AB=A`B`:AB

∴DE:BC=B`C`:BC,EA:CA=C`A`:CA.因此 DE=B`C`,EA=C`A`.

∴△A`B`C`∽△ABC∴△ADE≌△A`B`C`