Editura PIMIaºi, 2009

EDITURA PIM Soseaua Stefan cel Mare nr. 11 Iasi -700498 Tel. / fax: 0232-212740 e-mail:editurapim@pimcopy.ro www.pimcopy.ro EDITURĂ ACREDITATĂ CNCSIS BUCUREŞTI 66/01.05.2006

Descrierea CIP a Bibliotecii Naţionale a României

COMAN, GHEORGHE Managementul cercetării / Gheorghe Coman. - Iaşi : PIM, 2009 Bibliogr. ISBN 978-606-520-317-4 65.012.122

INTRODUCERE

Civilizaţia umană, în istoria ei, a procesat circa două mii tone de

materie primă pe cap de locuitor actual al Terrei, materializată în: drumuri, case, uzine, maşini etc. Şi actualmente, anual se procesează circa 15000 kg de materii prime pe cap de locuitor al Terrei şi la o speranţă de viaţă de 75 de ani înseamnă că fiecare individ uman utilizează, în decursul vieţii, 1000 tone de materii prime, adică de aproape 12000 de ori propria greutate. Din cele 15000 de kg materii prime, aproximativ 40%, adică circa 6000 kg de materie primă se consumă anual pentru actualizarea energiei libere.

Desigur, cantitatea de materie primă procesată pe cap de locuitor al Terrei a plecat de la zero şi a crescut permanent în intensitate până a ajuns la cantităţile actuale, fiind în dependenţă directă cu ceea ce numim fenomenul tehnic, fundamentul explicativ incontestabil al gradului de cultură şi civilizaţie la care a ajuns comunitatea umană.

Dar care este geneza fenomenului tehnic ? Există două teorii referitoare la geneza fenomenului tehnic – creaţionistă şi evolutivă – care, de altfel, converg între ele.

Teoria creaţionistă îşi are rădăcinile în mitologia greacă. Astfel, după Homer, primul făurar în domeniul tehnic este Hefaistos – fierar iscusit din Olimp şi creator divin, zeul focului şi al metalului, protectorul meşteşugarilor. În „palate înstelate, zeieşti”, şchiopul Hefaistos şi-a durat o fierărie din „aramă strălucitoare”. Cele douăzeci de foale din această fierărie pot fi numite, pe bună dreptate, automate: ele intrau în funcţiune supunându-se comenzii verbale a stăpânului. Homer mărturiseşte că, după ce Hefaistos dădea poruncă foalelor să meargă, „În douăzeci de cuptoare pornesc dintr-o dată să sufle/ Foii cu toţii şi focul aprind cu suflarea tot timpul/ După dorita măsură, mai repede sau mai alene,/ Cum socoteşte Hefest şi după cum cere şi lucrul”1. În limbaj cibernetic actual, foalele acţionau ca sisteme de înalt nivel de autoreglare şi telecomandă.

Teoria creaţionistă este prezentată şi în doctrina creştină, în Biblie, de unde aflam ca tehnica a apărut în lume după căderea omului în păcat. Astfel, în capitolul IV al Genezei se spune că, după îndepărtarea omului din Paradis, Tubal-Cain a fost “făuritorul tuturor uneltelor de aramă şi de fier” (vers.22). Omul, în starea lui primordială, nu avea nevoie de tehnică, întrucât dispunea de o putere spirituală deosebită, care îi permitea să acţioneze în mod eficient asupra creaţiei. De altfel, chiar Hristos, care restaurează omul în starea lui primordială şi chiar mai mult decât atât, s-a arătat ca "Bărbat desăvârşit": a vindecat boli, a potolit forţele dezlănţuite ale naturii, ba chiar a înviat din morţi, fără să folosească mijloace tehnice, ci prin intermediul puterii Sale spirituale. După cădere, Dumnezeu i-a dat omului posibilitatea să folosească tehnici, ca să acţioneze din exterior asupra naturii şi să-şi asigure astfel supravieţuirea.

1 Homer, Iliada, cântul XVIII, Bucureşti, ESPLA, 1955, p.350.

Gh. COMAN 4

Teoria evolutivă pleacă de la considerentul că în fauna pământeană omul, ca individ, este supus multor pericole în raport cu celelalte vietăţi, nu este nici cel mai puternic şi nici cel mai iute de picior pentru a se feri de pericole. Sau, cum scrie Homer în Odiseea: „Din tot ce-n lume mişcă şi răsuflă/ Nimic mai şubred pe Pământ ca omul”, iar Sofocle în Antigona scrie: „În lume-s multe mari minuni;/ Mai mari ca omul însă nu-s!/ Purtat de vânt, străbate mări,/ Prin hulă şi prin val spumos/ Prin val, vuind vijelios”.

Particularităţile „primitive", de natură biologică, consistând într-o absenţă a specializării, pun pe om într-o situaţie precară faţă de ambianţa fizică şi biologică sau faţă de „natură", şi în această împrejurare trebuie căutată cu precădere „cauza" productivităţii umane. Privind omul sub aspectul unora din „primitivismele" sale, cum ar fi nuditatea, fragilitatea corporală în general, lipsa unor aptitudini, structuri sau organe, atât de utile altor fiinţe, precum colţii, formaţiunile cornoase, ghearele, instinctele etc., ne facem desigur o idee despre neajutorarea omului în ambianţa naturală. Cert lucru, biologic privit, omul se găseşte la limita cea mai precară a „suficientei armonii" în raport cu natura, adică la limita Inferioară a acelei suficiente armonii, pe care o implică existenţa oricărei fiinţe vegetale şi animale.

Sau, şi mai complet spus, că un mănunchi de „insuficienţe", în ansamblul structural-morfologic şi ontologic al fiinţei umane, distingem şi atâtea particularităţi care, departe de a reprezenta „primitivisme" şi „insuficienţe", sunt, din contră, expresia manifestă a unor mutaţiuni ce depăşesc considerabil, ca nivel de organizare, stadiile cele mai complexe până la care au parvenit animalele. Considerăm, printre aceste particularităţi, modul de a „exista" al omului în raport cu ambianţa, un mod excepţional de complex în comparaţie cu al animalelor sau al vegetalelor: câtă vreme animalul „există" în strânsă corelaţie cu un mediu foarte delimitat, omul „există" într-o ambianţă mereu desmărginită, în care intră ca elemente constitutive orizontul concret al lumii date şi orizontul necunoscutului deopotrivă. Pentru realizarea posibilităţilor sale în acest complex orizont, omul are la dispoziţie, pe de o parte inteligenţa superlativ dezvoltată, datorită căreia el poate converti într-un sistem de concepte datele lumii concrete, şi pe de altă parte geniul creator datorită căruia omul poate converti orizontul necunoscutului în mituri şi în gânduri magice, în viziuni religioase şi metafizice, în teorii ştiinţifice, în plăsmuiri de artă. Simptomul material cel mai vădit al acestui înalt nivel de organizare propriu omului este creierul de o structură şi conformaţie excepţional dezvoltate. Toate aceste aptitudini şi posibilităţi ale omului se dezvoltă fireşte în strânsă corelaţie cu posibilităţile sale de a-şi alcătui un limbaj, ceea ce implică şi sociabilitatea omului. Trăirea în societate a indivizilor umani, într-o atmosferă de comuni-abilitate, este în general mijlocul cel mai puternic de promovare a posibilităţilor umane, întrucât pe această cale devine cu putinţă cumulul progresiv al tuturor eforturilor. Faptul că omul nu se reduce la un mănunchi de „primitivisme" şi „insuficienţe", ci este, graţie evoluţiei verticale ce a intervenit între primatul originar (sau pro-simian) şi apariţia umană, înzestrat cu atâtea

MANAGEMENTUL CERCETĂRII 5structuri, aptitudini şi posibilităţi, ce depăşesc calitativ nivelul animal, faptul acesta are ca imediat efect o schimbare de sens a situaţiei precare în care omul se găseşte în raport cu natura, pe urma unora dintre „primitivismele" de care el pătimeşte. Situaţia precară este destinată de acum să incite fiinţa umană la productivitatea specifică, de care ea este capabilă pe temeiul structurilor obţinute prin evoluţia verticală. Iar prin această productivitate specifică omul devine subiect creator de civilizaţie şi cultură.

Iată cum „insuficienţele biologice" atribuite omului au devenit în concepţia unor autori „cauză" de ansamblu a tehnicii, a civilizaţiei şi chiar a culturii. In cazul teoriei cu privire la geneza civilizaţiei şi a culturii, ca efect al fenomenului tehnic, avem de-a face cu o optică ce „deformează" situaţia, la început numai uşor în premise şi apoi grav în concluzii. Realitatea unor anume insuficienţe biologice ale omului poate fi admisă ca o consecinţă în drumul omului spre fenomenul tehnic, dar în aprecierea de ansamblu nu trebuie să li se exagereze rolul în nici un fel. Socotim că atunci când se ia în considerare constelaţia om-natură şi în cadrul ei, factorii ce condiţionează geneza civilizaţiei şi a culturii, trebuie să atribuim tuturor elementelor ce intră în joc, locul ce li se cuvine de drept.

În evoluţia sa, se consideră că fenomenul tehnic a debutat cu realizarea gropii-capcană pentru capturarea vietăţilor sălbatice. Această realizare poate fi considerată ca fiind şi primul automat creat de om întrucât îşi îndeplinea menirea chiar şi fără supravegherea umană.

Se observă, din acest exemplu simplu, că groapa-capcană se interpune între vânător şi vânat (între om şi natură). Ca urmare, se poate generaliza faptul că tehnica este un mijloc de muncă care ajută la amplificarea mijloacelor de acţiune umană în procesul muncii şi se interpune între om şi natură. De aceea, analiza teoretică a logicii proprii a dezvoltării tehnice trebuie să pornească de la cercetarea ambelor laturii ale acestor corelaţii. Aceste laturi nu stau una lângă alta, nu se învecinează, ci se întrepătrund. În corelaţia „om-tehnică”, mijlocul tehnic apare ca un tribut al naturii adus omului social, ca un material natural transformat de om, ca o natură subiectivată. În corelaţia „tehnică-natură”, a doua apare nu ca un sistem independent, ci ca „natură umanizată”, ca factor al acţiunii omului asupra naturii. Ambele laturi ale raporturilor menţionate nu sunt sisteme independente, ci subsisteme a căror funcţionare este posibilă numai în unitate.

Desigur, tehnica are menirea de a amplifica sau a suplini organele de lucru ale omului astfel că între organele de lucru ale omului şi tehnică se stabilesc anumite legături şi raporturi de convergenţă sau divergenţă, care se amplifică pe măsura dezvoltării producţiei sociale.

În primul rând, raportul de convergenţă între organele de lucru ale omului şi tehnică are la bază principiul unităţii de scop. Aceasta se exprimă prin faptul că destinaţia organelor de lucru ale omului şi a mijloacelor tehnice este aceeaşi – şi unele şi celelalte sunt instrumente de transformare a naturii în conformitate cu necesităţile comunităţii umane.

Gh. COMAN 6

În al doilea rând, raportul de convergenţă între organele de lucru ale omului şi tehnică are la bază principiul completării sau al compensaţiei. Funcţia socială a tehnici constă în aceea că reduce şi face mai eficiente eforturile de muncă ale omului, în acest sens ea este chemată să fie, prin însăşi destinaţia ei, o prelungire a organelor naturale de lucru ale omului, o completare a lor care compensează imperfecţiunea lor ca organe de muncă, completează incapacitatea organelor naturale ale omului de a îndeplini diferite operaţii de adaptare a naturii la necesităţile societăţii. Organele naturale de lucru ale omului sunt conservatoare; în procesul de adaptare pentru îndeplinirea diferitelor funcţii de muncă, ele se lovesc de limite naturale. Mijloacele tehnice de lucru sunt mereu adaptate la noi condiţii de lucru, cu o mai mare eficienţă tehnică şi economică.

Dezvoltarea continuă a mijloacelor tehnice de producţie a decurs în conformitate cu principiul completării ajungând în condiţiile moderne la realizarea maşinilor şi instalaţiilor complexe automate de producţie, inclusiv a maşinilor cibernetice moderne care completează imperfecţiunile creierului uman în îndeplinirea multor funcţii mecanice ale muncii intelectuale.

Mijloacele tehnice s-au dezvoltat şi se dezvoltă pe calea modelării organelor naturale. Dar această modelare nu este structurală, ci funcţională, este vorba de un analog al funcţiei organului respectiv şi nu de o copie tehnică a lui. Maşina de filat nu seamănă deloc cu filatorul însuşi ea „copiază” doar funcţia lui de filat. Transportul auto modern şi feroviar reproduce funcţia de deplasare, dar o reproduce în forma „sa” specifică, o formă care nu are nimic comun cu mişcarea omului sau a animalului. Uneori modelul tehnic poate reproduce destul de fidel organul natural chiar şi ca aspect exterior, dar aceasta atestă de obicei caracterul nedezvoltat al genului respectiv de tehnică.

Tehnica reproduce întotdeauna nu structura, ci funcţia şi o reproduce întotdeauna în „limbajul propriu”, în formele proprii ei. Acest principiu al modelării funcţionale (care se bazează pe principiul unităţii de scop şi pe principiul completării) se referă în egală măsură atât la tehnica prezentului cât şi la tehnica viitorului, atât la organele artificiale ale muncii fizice cât şi la organele artificiale ale muncii intelectuale, indiferent de nivelul „supercibernetic” pe care l-ar atinge.

Întreaga istorie a tehnicii este istoria obiectivării consecvente a funcţiilor tehnologice. După cum creaţiile tehnice moderne sunt realizate pe baza modelării funcţiilor şi însuşirilor organismelor vii în general şi ale omului în special, tot aşa întreaga istorie a tehnicii este istoria transmiterii treptate a funcţiilor omului care munceşte sistemelor tehnice.

Automatica modernă scoate în mod deosebit în evidenţă faptul că întreaga istorie a tehnicii a fost o preistorie a automaticii, că linia de bază a dezvoltării tehnice, din momentul apariţiei primilor unelte de muncă şi până astăzi, constă în dezvoltarea automatismului tehnicii pe calea înlăturării treptate a omului din procesul nemijlocit de producţie, pe calea obiectivării în construcţii tehnice a diferite funcţii de muncă ale omului.

MANAGEMENTUL CERCETĂRII 7Înlocuirea instrumentelor naturale de producţie ale omului cu cele

artificiale, transformarea acestora din urmă din unelte ale organismului uman în unelte ale instalaţiei mecanice complexe automate sau înlocuirea forţei umane prin forţe ale naturii constituie principiul fundamental al activităţii creative în domeniul tehnicii, legea de bază a întregii ei dezvoltări.

Principiul completării (al compensaţiei) presupune că între organele naturale şi artificiale de muncă ale omului social sau, ceea ce este acelaşi lucru, între elementele personale şi obiectuale ale automatului global există nu numai o unitate, ci şi o contradicţie. Această contradicţie, care este mobilă, se bazează pe faptul că mecanismul global de muncă este un sistem pluricomponent. În esenţă, acest sistem este alcătuit din două subsisteme independente: sistemul tehnic şi sistemul organismului viu, fiecare dezvoltându-se pe baza propriilor lui legi, care nu sunt de loc identice. Între ele există mai multe deosebiri decât elemente comune. Ceea ce le leagă este numai unitatea de scop şi continuitatea funcţională.

Unitatea de scop şi continuitatea funcţională a elementelor componente ale sistemului modern de producţie confirmă faptul că necesitatea apariţiei tehnicii a fost determinată de slăbiciunea, imperfecţiunea organelor naturale de muncă ale omului, de incapacitatea lor de a supune nemijlocit prelucrării materialul brut al naturii, de a-l adapta necesităţilor lui crescânde. Această contradicţie iniţială dintre organizarea fizică a omului şi necesitatea transformării naturii a fost rezolvată istoriceşte prin apariţia uneltelor de producţie. Rezolvarea contradicţiei nu s-a realizat prin înlăturarea ei, ci prin trecerea într-o formă nouă – în forma contradicţiei dintre om şi unealta de producţie în procesul tehnologic, dintre elementul personal şi cel obiectual ale mecanismului global de muncă. Procesul rezolvării acestei contradicţii reprezintă tocmai procesul obiectivării treptate în tehnică a funcţiilor omului care munceşte. Acest proces parcurge o serie de trepte şi de etape istorice care se actualizează permanent pe baza apariţiei a noi elemente contradictorii în condiţiile progresului tehnic contemporan.

Rezultă astfel că fenomenul tehnic a apărut din necesitatea de a asigura omului siguranţă pentru existenţă în mediul înconjurător ostil. El însă s-a dezvoltat continuu ajungând actualmente în situaţia de a-i satisface aproape orice dorinţă.

Dezvoltarea fenomenului tehnic s-a bazat pe schimbările produse între elementele constitutive ale sistemului om-tehnică care au condus la modificări substanţiale în modul tehnologic de producţie.

Principalul indiciu în schimbarea modurilor tehnologice fundamentale de producţie, ca şi schimbarea etapelor istorice de dezvoltare ale tehnicii, este tipul de legătură dintre om şi tehnică.

O dată cu apariţia tehnicii, între ea şi om se stabileşte un anumit tip de legătură în cadrul mecanismului global de muncă. Majoritatea funcţiilor tehnologice în cadrul acestui tip de legătură revine omului: el pune în mişcare unealta simplă, el o dirijează, îşi coordonează acţiunile şi îi revin toate funcţiile intelectuale de execuţie a procesului tehnologic. Tehnicii îi

Gh. COMAN 8

revine o singură funcţie – de a acţiona nemijlocit asupra obiectului muncii. În aceste condiţii, modul tehnologic de producţie este numit manual.

După o perioadă multiseculară a istoriei s-a trecut, de la unealta omului primitiv, la producţia mecanizată caracterizată de modificări substanţiale în modul tehnologic de producţie şi deci a relaţiei om-tehnică. În locul meşteşugarului independent şi al uneltei lui universale sau din ce în ce mai specializată s-a trecut la modul de producţie mecanizată.

Apariţia producţiei mecanizate marchează începutul celei de-a doua etape istorice în dezvoltarea tehnicii, apariţia unui nou mod tehnologic de producţie în care baza materială a mecanismului global de muncă devine însăşi maşina, iar omul se transformă doar într-o unealtă a ei. Aici nu unealta completează elementul personal al mecanismului global de muncă, ci, invers, omul completează maşina. Formula acestui tip de legătură între elementele personale şi obiectuale nu mai este „omul plus tehnica”, ci „tehnica (maşina) plus omul”. Acum, însăşi maşina, care posedă îndemânarea şi forţa muncitorului, este ea însăşi virtuosul, are un suflet propriu în legile mecanice care acţionează în ea şi consumă pentru permanenta ei mişcare materiale posesoare de energie liberă, tot aşa cum muncitorul consumă produse alimentare purtătoare de entropie joasă. Principiul subiectual după care este alcătuită producţia este înlocuit cu cel obiectual. În conformitate cu aceasta, tipul de legătură dintre elementele obiectuale şi personale poate fi numit obiectual. Munca manuală este înlocuită de munca mecanizată.

Mecanizarea în modul tehnologic de producţie a introdus principiul cooperării în procesul muncii care poate funcţiona numai după caracterul muncii sociale-combinate. Principiul de cooperare al procesului de muncă devine o necesitate tehnică, dictată de natura mijlocului de muncă însuşi.

Desigur, atât prima etapă, cât şi a doua etapă istorică în dezvoltarea tehnicii şi a modului tehnologic de producţie corespunzător acestora pot fi divizate, convenţional, într-o serie de perioade şi trepte, întrucât trecerea s-a produs prin acumulări creaţionist-conceptuale continui.

În secolul XX s-a trecut la a treia etapă istorică în dezvoltarea modului tehnologic de producţie, cea a automatizării. Însă, tehnica, căreia îi revine misiunea de a determina fizionomia viitoarelor mijloace de producţie se naşte în perioada etapelor istorice anterioare, aceasta fiind o lege generală, respectivul fenomen devine deosebit de evident la examinarea preistoriei automaticii. Arborele genealogic al automatelor secolului al XX-lea îşi are rădăcinile în timpurile preistorice. Încă înainte de a se fi născut primele mituri despre slujitorii supuşi ai omului, care-i îndeplineau de la sine dorinţele, asemenea unor duhuri bune, înainte ca omul să viseze cum trebuie la aşa ceva, el avea deja primele automate care lucrau sigur şi total independent în absenţa omului, înfăptuind noaptea munca lui. Această realizare a geniului uman au constituit-o capcanele de prins animale, despre care vorbesc picturile de pe pereţii peşterilor din perioada glaciară.

MANAGEMENTUL CERCETĂRII 9Automatizarea începe cu obiectivarea funcţiilor intelectuale ale

omului în procesul tehnologic. Această caracterizare care se referă la automatizarea proceselor de producţie nu trebuie extinsă asupra automatelor în general. Automat trebuie socotit, după cât se pare, orice mecanism tehnic care funcţionează după un program dat, fără intervenţia nemijlocită a omului.

În modul procesului de producţie mecanizat omul a transmis tehnicii numai câteva din funcţiile fizice de muncă, o dată cu automatizarea tehnica se transformă dintr-un organ al muncii fizice într-un organ al activităţii intelectuale, dintr-o unealtă a mâinilor omului într-o unealtă a creierului său. Ea este chemată să completeze, să compenseze de data aceasta nu activitatea corpului ca atare, ci activitatea gândirii. Această schimbare funcţională radicală nu poate să nu atragă după sine o revoluţie radicală în întreaga organizare a tehnicii, în forma şi structura ei, în principiile conexiunii ei cu omul. În felul acesta muncitorul se situează alături de procesul de producţie, în loc să fie principalul lui agent.

După cum se observă, pe măsura dezvoltării tehnicii, omul se îndepărtează tot mai mult de obiectul muncii sale. Între el şi natură se interpun mereu noi verigi tehnice. Modului tehnologic de producţie bazat pe munca manuală îi era caracteristic raportul: om-instrument-obiectul muncii. În producţie mecanizată (maşinistă), acest raport se modifică astfel: om-maşină-instrument-obiectul muncii. În producţia automatizată apare încă o verigă: om-dispozitiv cibernetic-maşini-instrument-obiectul muncii.

Sistemul om-tehnică capătă cu fiecare nou mod tehnologic de producţie un conţinut tot mai larg. Instrumentul meşteşugăresc era unealta unui meşteşugar individual. În condiţiile mecanizării, nu o unică maşină, ci un întreg sistem de maşini îndeplineşte rolul de organul artificial al personalului total de muncă. În cadrul producţiei automatizate, această producţie în totalitatea ei va fi organul de producţie al întregii societăţi umane sau, cu alte cuvinte, un organ al puterii voinţei umane asupra naturii, un organ al realizării acestei voinţe în natură.

Aşadar, celor trei etape istorice în dezvoltarea fenomenului tehnic: instrumentalizarea, mecanizarea, automatizarea – le corespund trei moduri tehnologice de fundamentale de producţie, care se bazează pe: 1 – munca manuală; 2 – munca mecanizată; 3 – munca creatoare (creaţia ştiinţifică-tehnică).

Modificările continui ale fenomenului tehnic, manifestate prin modificări progresive ale modului tehnologic de producţie, au avut influenţe deosebite şi asupra mentalului comunităţii umane. Referindu-se la acest aspect Mircea Eliade scrie: „…marile descoperiri – metalurgia, agricultura, calendarul, «legea» etc. au modificat simţitor condiţia umană. Nu s-a înţeles însă dinamica intimă a acestei modificări şi implicaţiile sale cosmice. Într-adevăr, prin fiecare nouă descoperire fundamentală, omul nu-şi lărgeşte numai sfera cunoaşterii empirice şi-şi reîmprospătează mijloacele de trai – ci descoperă un nou nivel cosmic, experimentează un alt ordin al realităţii. Nu descoperirea metalelor, ca atare, este faptul care a provocat saltul mintal – ci «prezenţa» metalelor, prin care omul

Gh. COMAN 10

descoperă un alt nivel cosmic, adică ia contact cu realităţi necunoscute sau rămase nesemnificative până atunci. Cu alte cuvinte, metalurgia – ca şi agricultura etc. – provoacă sinteze mentale care modifică radical condiţia umană, modificându-i imaginea sa despre Cosmos”. Şi mai departe: „…metalele schimbă firea omului, modificându-i condiţiile de existenţă. Şi această modificare se împlineşte pe de o parte pentru că anulează starea paradiziacă (etapele culegătorilor de fructe şi seminţe), creând o stare nouă – pe de altă parte pentru că însăşi prezenţa metalelor în societatea umană aduce cu sine nenumărate forţe magice necunoscute, aparţinând altor niveluri cosmice, şi jocul acestor forţe obscure (sacre sau demonice) revelează sufletului omenesc alte orizonturi şi îi îngăduie alte experienţe”2.

Dualismul fenomenului tehnic, sacru şi demonic, este menţionat şi de Pliniu cel Bătrân (23-79) în a sa Istorie naturală; după ce sintetizează cu exactitate cunoştinţele acumulate în domeniul metalurgiei în general şi a fierului în special scrie: „Cei care extrag fierul procură omului o unealtă admirabilă dar primejdioasă. Căci cu această unealtă brăzdăm pământul, sădim pomi, lucrăm grădinile roditoare şi, tăind lăstarii sălbateci al viţei de vie, o silim să întinerească în fiecare an. Cu această unealtă construim case, spargem pietre şi întreprindem numeroase lucrări de acest fel. Dar acelaşi fier dă naştere la certuri, lupte şi jafuri şi-l folosim nu numai în jurul nostru, ci-l trimitem înaripat şi în depărtare, când de pe metereze, când din mâini puternice, când sub formă de săgeţi cu pene în coadă. După părerea mea, aceasta înseamnă cea mai ticăloasă viclenie a minţii omeneşti. Căci, pentru ca moartea să-l lovească mai repede pe om, acesta ia dat fierului aripi şi pene. Vina este a omului şi nu a naturii”.

La rândul său, Nichifor Crainic, în 1940, scria: „Dezvoltarea monstruoasă a industrialismului modern a creat un mod de viaţă artificială, care nu corespunde nici vechiului concept de civilizaţie şi nici culturii. În industrialism, omul e victima excesului de tehnică mecanică. Atmosfera dură şi metalică îl depărtează deopotrivă şi de natură şi de cultură şi-i împrumută o armură de sălbăticie, ce ne dă dreptul să vorbim de o civilizaţie care rebarbarizează”3.

În ultimul deceniu al secolului al XX-lea, fenomenul tehnic a intrat într-o nouă etapă definită după efectul pe care-l are asupra vieţii economico-sociale prin apelativul de „Nouă Economie”. Noua economie se bazează pe creaţia continuă în dinamica fenomenului tehnic sub toate formele de manifestare a acestuia.

Referindu-se la dinamica creaţiei în structura şi funcţiile fenomenului tehnic, în etapa actuală, Fritjof Capra consideră, pe bună dreptate, că: „În cultura noastră, creşterea economică este indestructibil legată de creşterea tehnologică. Oamenii şi instituţiile sunt hipnotizaţi de minunile tehnologiei moderne şi au ajuns să creadă că orice problemă are o soluţie tehnică. Indiferent dacă problema este de natură politică, psihologică sau ecologică, prima reacţie, aproape în mod automat, constă în abordarea problemei prin 2 Mircea Eliade, Alchimia asiatică, Bucureşti, Editura Humanitas, 1991, p.73, 117. 3 Nichifor Crainic, Nostalgia Paradisului, Iaşi, Editura Moldova, 1994, p.25.

MANAGEMENTUL CERCETĂRII 11aplicarea unei tehnologii existente sau dezvoltarea unei tehnologii noi. Consumul risipitor de energie este contrabalansat de energia nucleară, lipsa viziunii politice este compensată de construirea mai multor rachete şi bombe, iar otrăvirea mediului înconjurător este remediată prin dezvoltarea de tehnologii speciale care, la rândul lor, afectează mediul în moduri deocamdată necunoscute. Prin căutarea de soluţii cu caracter tehnologic pentru toate problemele, le plimbăm pur şi simplu în cadrul ecosistemului global şi, de foarte multe ori, efectele colaterale ale soluţiei sunt mai dăunătoare decât problema originală”4.

O influenţă calitativă deosebită a aduso starea actuală a fenomenului tehnic în ceea ce priveşte conceptul de globalizare în economie. Globalitatea fiind calitatea unui fenomen care se întinde pe tot globul.

În secolul al XVI-lea, când economia începe să devină mondială, în timp ce violenţa rămâne în mod evident regională, apare fenomenul pe care Fernand Braudel5 (1902-1985) l-a numit economia-univers şi raportul său cu imperiul-lume; această problemă a legăturii dintre organizaţia statală a imperiului şi funcţionarea economiei globale reia întrebarea care opunea, deja, prin esenţa ei, imperiile logistice celor prădătoare, în zorii Antichităţii. Fenomenul tehnic progresase suficient pentru asigurarea infrastructurii logistice în vederea realizării schimbului pe o piaţă tot mai întinsă geografic, pe multe paralele şi meridiane ale globului pământesc.

Însă, multe din ideile globale sunt antiglobalozante: libertatea de opinie duce, în mod firesc, la pluralitate; egalitatea de instruire pune multiple probleme şi presupune diversităţi infinite de invenţii pentru fiecare cultură şi chiar pentru fiecare copil; spiritul de fraternitate în ceea ce priveşte alimentaţia nu este, evident, soluţionat definitiv, dar se poate prevedea că nu va constitui niciodată, o „funcţie globală”, chiar în condiţii de abundenţă dată fiind infinita varietate a bucătăriei şi rezistenţa bucătăriilor locale faţă de bucătăria „globală” propusă de unele Companii Transnaţionale.

Actualmente, nu se pot desprinde din globalitatea reală decât trei domenii: domeniul financiar, domeniul militar şi cel al comunicaţiilor electromagnetice. Se poate medita asupra „Trinităţii”, puţin echivocă. Aceasta nu întemeiază Rpublica lui Platon pe plan universal. Nu fondează nici domnia Sfintei Treimi. În domeniul economic şi politic nu există un filosof global. Finanţele nu constituie esenţa filosofică a economiei, World Wide Web nu este Sfântul Duh, nici înţelepciunea. Războinicii Republicii lui Platon sunt la locurile lor, dar, departe de modelul lui Lycurgus care-l inspira pe Platon, ei sunt pe punctul de a se privatiza, de a deveni mercenari.

Economia modernă are la bază aplicarea celor mai noi cuceriri ştiinţifice care permit modernizarea produselor şi proceselor tehnologice, precum şi o organizare superioară a modului de conducere a activităţilor 4 Fritjof Capra, Momentul adevărului, Bucureşti, Editura Tehnică, 2004, p.262. 5 Fernand Braudel, Timpul lumii, Vol.I, Bucureşti, Editura meridiane, p.13

Gh. COMAN 12

colectivului legat de unitatea economică considerată. Ori, stimularea cercetării fundamentale, în toate domeniile ştiinţifico-tehnice, ca bază a dezvoltării continue a vieţii social-economice, revine statului modern. Neglijarea acestor aspecte conduc la dificultăţi în desfăşurarea proceselor tehnico-economice în comunitatea umană în general şi într-o unitate economică, în particular.

Creşterea ratei intensităţii progresului economico-social, pe baza perfecţionării continue a proceselor tehnico-ştiinţifice, este o caracteristică esenţială a societăţii contemporane. Impactul produs asupra vieţii umane impune efectuarea unor studii teoretice şi cercetări experimentale de mare complexitate asupra sistemelor de producţie şi sistemelor sociale, fapt ce poate conduce la necesitatea unor cheltuieli considerabile de mijloace materiale şi de timp.

De asemenea, metodele tradiţionale de analiză a fenomenelor economico-sociale şi tehnico-ştiinţifice, la baza cărora stă o triere succesivă a factorilor de influenţă, se caracterizează printr-o serie de dezavantaje de principiu şi, ca urmare, ele nu mai pot fi utilizate pentru obţinerea unor modele cuantificabile matematic, de conducere şi prognosticare a direcţiilor de dezvoltare multiplă a vieţii umane.

Actualmente, în toate domeniile vieţii economico-sociale şi tehnico-ştiinţifice, se răspândesc din ce în ce mai mult metode matematice moderne care permit obţinerea unor modele matematice adecvate pentru modelarea fenomenelor economico-sociale şi tehnico-ştiinţifice, în scopul evaluării cât mai corecte a comportării acestora în dinamica dezvoltării lor, cu un grad ridicat de precizie şi fiabilitate.

Dar, ştiinţele matematice sunt ipotetico-deductive. Matematicianul îşi dă un sistem de definiţii şi axiome şi din aceste „ipoteze” deduce o serie întreagă de consecinţe. Îi este suficient ca axiomele de la care pleacă să fie independente şi compatibile, iar teoremele ce decurg din ele să fie corect deduse. În toate acestea matematicianul nu are de-a face decât cu convenţii puse de el însuşi şi cu înlănţuiri logice ale propriei sale gândiri. El pare să constituie astfel o lume matematică independentă, total transparentă spiritului care a creat-o. Astfel, pe baza unor axiome sau postulate au fost construite, cu o logică indubitabilă, geometria lui Euclid sau Lobacevschi. Axiomele respective sunt considerate adevăruri evidente şi nedemonstrabile. Însă, ambele au devenit admisibile ca axiome de bază a două geometrii diferite.

Din contră, ştiinţele tehnico-economice, numite şi ştiinţe ale materiei, se prezintă ca un efort de cunoaştere a lumii reale, ca o explorare a naturii. Ele sunt, după cum adesea se spune, „ştiinţe de observaţie” asupra faptelor.

În ştiinţele tehnico-economice matematica este un instrument de sintetizare, de modelare a volumului de cunoştinţe obţinut pe baze experimentale.

Matematizarea ştiinţelor tehnico-economice s-a datorat necesităţilor acestora de a progresa, pe baza unui efort mai redus pentru comunitatea oamenilor de ştiinţă, în vederea adâncirii cunoaşterii legilor naturii şi creierii pe baza lor a unor produse şi procese inexistente

MANAGEMENTUL CERCETĂRII 13prealabil în natură. Numai aşa s-a obţinut o creştere exponenţială a volumului de cunoştinţe catalogate de societatea umană.

Pentru a avea o imagine asupra ritmului de creştere a volumului de cunoştinţe vom menţiona faptul că permanent circa 90% din totalul oamenilor de ştiinţă (încorporaţi în instituţii specializate pentru cercetare) existenţi în istoria descoperirilor şi creaţiilor tehnico-ştiinţifice sunt în viaţă. Ori, acest ritm de creştere a necesităţii de cercetători poate conduce la un moment dat la un paradox, că ar fi necesari mai mulţi cercetători decât populaţie umană. Acest paradox a fost înlăturat prin progresul realizat şi în domeniul metodologic al cercetării ştiinţifice.

Primul mare progres în domeniul metodologic al cercetării ştiinţifice îl poate constitui organon-ul lui Aristotel, bazat pe logica deductivă (sau aristotelică) care a dominat logica cercetării ştiinţifice peste o mie de ani, până la noul organon al lui Bacon.

Al doilea mare progres îl putem considera realizat în momentul când s-a demonstrat, teoretic şi experimental, existenţa corectă a logicii inductive sau probabiliste.

Al treilea mare progres îl putem considera la începutul secolului al XX-lea, odată cu pătrunderea în metodologia cercetării ştiinţifice a metodelor de programare sau planificare statistico-matematică a experimentelor şi prelucrare statistico-matematică a rezultatelor investigaţiilor ştiinţifice.

Unul din principalii fondatori ai noii metodologii de cercetare ştiinţifică, bazată pe programarea matematică a experienţelor şi prelucrarea statistico-matematică a rezultatelor obţinute, a fost Ronald Aylmer Fischer (1890-1962), profesor la Universitatea din Cambridge. R.A.Fischer este fondatorul domeniului statisticii-matematice cunoscut sub denumirea de analiză dispersională sau analiza varianţei, introdusă în preocupările lui cu scopul de a pune la punct o serie de principii ale planificării şi analizei experimentelor, care au revoluţionat de atunci metodologia experimentării în agricultură, sub denumirea de Analysis of Variance, de unde şi denumirea întâlnită în manualele de specialitate de metoda ANOVA. Contribuţiile lui R. A. Fisher în domeniul statisticii matematice sunt concretizate în două lucrări de bază în statistică şi anume: Statistical Methods for research design of Experiments (Metode statistice pentru cercetători ştiinţifici), publicată în 1925 şi The Design of Experiments (Proiectarea experimentelor), publicată în 1935. În aceste lucrări se află descrise principiile filozofice şi tehnicile principale ale domeniilor respective - ANOVA şi proiectarea experimentelor. Aplicaţiile statisticii în domeniul biologiei de către R. A. Fischer este justificată printr-o lege a naturii: “variabilitatea în repetare şi nu reproducerea identică”. Indivizii unei specii se aseamănă dar nu sunt identici. De aceea, nici în activităţile umane nu se pot reproduce identic acţiunile întreprinse, cu rezultatele identice. Dacă se repetă de mai multe ori măsurarea unei caracteristici oarecare ce defineşte o situaţie sau un proces, rezultatele ce se vor obţine nu vor fi niciodată identice, ci vor prezenta o variabilitate mai mică sau mai mare.

Gh. COMAN 14

Dar, R. A. Fischer a avut doi mari predecesori, Francis Galton (1822-1911) şi Karl Pearson (1857-1936). Aceste personalităţi eminente au fost, ambele, puternic implicate în aplicarea matematicii şi a descoperirilor ştiinţifice la problemele de biologie.

Menţionăm aceste momente importante în stabilirea unei metodologii moderne de abordare a problemelor de cercetare ştiinţifică, întrucât sunt legate de progresul înregistrat în domeniul biologiei şi ştiinţelor agricole, ori, după mulţi scientologi, cele mai deosebite rezultate obţinute, ca urmare utilizării cercetărilor ştiinţifice în multitudinea de domenii ale vieţii materiale şi spirituale, sunt cele din agricultura americană. Şi, rezultatele respective sunt legate nemijlocit de aplicarea acestor metode de cercetare modernă. Nu întâmplător printre primele lucrări traduse în limba română în domeniu este: Snedecor G. W. Metode statistice aplicate în cercetările de agricultură şi biologie (traducere din limba engleză), Editura didactică şi pedagogică, Bucureşti, 1968.

Desigur, folosirea metodelor moderne de cercetare, bazate pe planificarea statistico-matematică a experienţelor şi prelucrarea statistico-matematică a rezultatelor obţinute, se folosesc, cu mult succes, şi în alte domenii de cercetare ştiinţifică. Un loc important ocupându-l cele din domeniul tehnico-industrial.

Scopul principal al prezentului manual este de a prezenta unele aspecte de bază ale planificării statistico-matematice a experienţelor, ca bază teoretică şi practică pentru Managementul de proces în domeniul cercetării, cu luarea în considerare a unor exemple din domeniul economico-industrial, în care are experienţă autorul şi care este, în acelaşi timp, supus unei dinamici deosebite de dezvoltare. Exemplele sunt alese astfel încât ele să fie accesibile unui larg cerc de cititori, în sensul familiar realizării acestora, cu posibilitate de generalizare metodologică a noţiunilor de bază ale statisticii matematice şi cu metodele reducerii raţionale a numărului de experienţe de realizat la analiza unui fenomen.

De fapt, prezentul manual are la origine experienţa autorului care a ţinut un curs intitulat Bazele cercetării experimentale, în anii 1970, la Facultatea de Mecanică din Institutul Politehnic Iaşi, precum şi experienţa căpătată în cercetările pe bază de contract cu diferite unităţi industriale ale vremii respective.

Manualul de faţă are drept scop a evidenţia necesitatea şi utilitatea îngemănării dintre matematică şi ştiinţele tehnico-economice. Manualul se adresează studenţilor în ştiinţe tehnice şi economice, fiind recomandat şi celor care lucrează în domenii tehnico-economice productive sau cercetare.

CAP.1. ANALIZA CALITATIVĂ A FENOMENELOR TEHNICO-ECONOMICE CA OBIECTE ALE CERCETĂRII

EXPERIMENTALE

1.1.Clasificarea parametrilor ce caracterizează fenomenele tehnico-economice

Fenomenele tehnico-economice se analizează ca sisteme şi se

caracterizează prin grupe de parametri independenţi numiţi argumente sau parametri de intrare şi grupe de parametri dependenţi numiţi funcţii sau parametri de ieşire.

Problemele cele mai importante de studiere a lor sunt: obţinerea dependenţelor matematice (modelelor) care leagă parametrii de intrare cu parametrii de ieşire şi care caracterizează calitatea comportamentului sistemului tehnico-economic analizat privind optimizarea conducerii acestuia. Soluţionarea problemelor respective, prin metode formale, este determinată de tipul parametrilor de intrare şi de structura legăturilor dintre parametrii de intrare cu parametrii de ieşire.

Din punctul de vedere al nivelului de complexitate, parametrii de intrare pot fi clasificaţi în parametri determinaţi, probabilistici şi adaptivi.

Parametri de intrare determinaţi sunt acei parametri la care se cunosc valorile lor numerice şi care nu conţin nedeterminări. Dacă intervalul de nedeterminare, în care este cuprinsă valoarea reală a parametrului, este mică în comparaţie cu valoarea acestuia, se poate neglija acest interval la rezolvarea problemei şi ca atare parametrul respectiv poate fi considerat, de asemenea, determinat. Printre parametri independenţi determinaţi pot fi consideraţi: populaţia totală, pe vârste şi sex, la recesământ, a unei comunităţi umane, numărul de salariaţi, la o anumită dată, ai unei unităţi economice, producţia într-o perioadă de timp determinată în unităţi convenţionale a unui agent economic etc. De asemenea, pot fi consideraţi parametri independenţi determinaţi consumul zilnic pe anumite categorii de bunuri într-o comunitate umană, fondurile lunare de salarii ale unei unităţi economice, dacă limitele de variaţie a acestora pot fi neglijabile în raport cu valorile reale ale parametrilor respectivi.

Valoarea parametrilor de intrare se face în mod bine prestabilit şi univoc. Parametrii de intrare care caracterizează un anumit obiect sau proces sunt echivalenţi între ei din punct de vedere logic. Dacă la analiza unui obiect sau proces tehnico-economic lipsesc informaţii referitoare la cel puţin un parametru de intrare, modelarea matematică a fenomenului analizat sau optimizarea lui devine imposibilă.

Parametri tehnico-economici de intrare determinaţi se găsesc destul de rar printre argumentele şi funcţiile fenomenelor tehnico-economice, ei constituind cazuri particulare ale parametrilor de intrare probabilistici (cu probabilitatea 100%).

Gh. COMAN 16

La analiza fenomenelor tehnico-economice caracterizate de parametri de intrare determinaţi se folosesc ecuaţii algebrice, diferenţiale sau integrale, sau sisteme de ecuaţii.

Parametrii de intrare sau ieşire probabilistici sunt acei parametri a căror mărime este aleatoare şi variază după o lege de distribuţie cunoscută. Astfel, precizia dimensională a semifabricatelor, mărimea adausului de prelucrare mecanic, geometria părţii aşchietoare a sculelor etc. sunt parametri de intrare probabilistici. De asemenea, calitatea de prelucrare mecanică, productivitatea de cereale la hectar, producţia anuală de cereale de pe o suprafaţă agricolă etc., sunt exemple de parametri de ieşire probabilistici, fiind influenţaţi de parametri sau combinaţii de parametri de intrare probabilistici.

Parametrii de intrare probabilistici îşi schimbă valorile în mod independent şi aleator în câmpul de dispersie, după o lege de distribuţie bine determinată.

Parametrii legii de distribuţie se determină prin încercări experimentale şi valorile lor devin bine determinate1.

Parametrii de intrare sau ieşire adaptivi sunt acei parametri a căror mărime este variabilă în timpul desfăşurării procesului analizat însă variaţia lor nu se supune unei legi de distribuţie cunoscută din statistica matematică. De exemplu, în prelucrările mecanice, variaţia adausului de prelucrare, a durităţii şi rezistenţei semifabricatelor obţinute prin turnare în forme de pământ, durabilitatea sculelor aşchietoare, pot fi consideraţi parametri de intrare adaptivi.

Parametrii adaptivi pot fi consideraţi cu gradul cel mai mare de generalitate, în comparaţie cu parametrii probabilistici şi parametrii determinaţi. Informaţii cu privire la parametrii adaptivi se obţin numai prin cercetări speciale.

1.2. Caracterul aleator al parametrilor de intrare în sistem Pentru rezolvarea problemelor de optimizare în cercetarea

fenomenelor tehnico-economice se efectuează încercări experimentale planificate prin metode de programare stohastică. În condiţiile de fabricaţie caracterizate de multe perturbaţii aleatoare, la planificarea încercărilor experimentale se folosesc programe factoriale, aleatoare evolutive, sau rotabile.

Folosirea metodelor de planificare stohastică la planificarea încercărilor experimentale este justificată de faptul că marea majoritate a parametrilor de intrare la analiza fenomenelor tehnico-economice sunt parametri de intrare probabilistici. Parametri de intrare pentru obiectele muncii, precum şi parametrii de calitate funcţională a mijloacelor de muncă se modifică în timpul procesului de lucru la realizarea unei activităţi oarecare şi aceste modificări constituie cauza de dispersie a valorilor parametrilor de ieşire, la variaţia probabilistică a calităţii activităţilor realizate.

1 Coman Gh., Statistică (teorie şi aplicaţii), Iaşi, Editura „PIM”, 2007.

MANAGEMENTUL CERCETĂRII 17În funcţie de viteza de variaţie a parametrilor de intrare, procesele

de variaţie a lor pot fi clasificate în procese cu o evoluţie rapidă, procese cu evoluţie mijlocie şi procese cu evoluţie lentă.

Procesele cu evoluţie rapidă, cu o periodicitate de fracţiuni de secundă, constituie o cauză a dispersiei întâmplătoare a parametrilor de intrare în sistemele tehnico-economice investigate experimental.

Procesele cu evoluţie mijlocie conduc la modificarea parametrilor de intrare în decursul câtorva minute sau ore. În această categorie se pot încadra deformaţiile termice ale sistemelor de lucru, modificarea umidităţii mediului ambiant etc. Cercetările efectuate în acest domeniu au condus la concluzia că variaţiile parametrilor de intrare au loc, în acest caz, după legităţile unor funcţii aleatoare şi pot fi descrise printr-o curbă de distribuţie de o anumită formă.

Procesele cu evoluţie lentă conduc la variaţia în timp a parametrilor de intrare, de obicei, între reparaţiile periodice ale mijloacelor de muncă. În această categorie pot fi considerate uzura elementelor constitutive ale mijloacelor de muncă, variaţiile sezoniere de temperatură etc. Ca şi celelalte tipuri de procese, şi acestea duc la o variaţie întâmplătoare a valorilor parametrilor de intrare şi ca atare sunt descrise de funcţii aleatoare.

Gradul de coincidenţă al proceselor reale cu modelele matematice de tip probabilistic poate diferi, în unele cazuri, adică să nu se confirme la verificările efectuate pe baza criteriilor statistice de verificare. Asemenea variaţii ale parametrilor aparţin la tipul adaptiv.

1.3. Variaţia aleatoare a parametrilor de ieşire din sistem Asupra parametrilor de ieşire din sistemele de lucru ale proceselor

de producţie (calitatea funcţională a produselor industriale, costul de fabricaţie, productivitatea muncii, fiabilitatea produselor industriale etc.) influenţează un număr mare de factori de intrare.

Dispersia valorilor reale ale parametrilor de intrare, când condiţiile nominale de prelucrare se menţin constante, este cauza modificării parametrilor de ieşire care exprimă calitatea acestuia.

Legile proprii de distribuţie a parametrilor de ieşire, care exprimă calitatea unei activităţi sau produs, sunt arbitrare, iar abaterile lor faţă de valorile lor nominale pot fi pozitive sau negative. Dacă numărul parametrilor de intrare este mare şi variabilitatea lor în raport cu valorile nominale este relativ mică (absenţa factorilor dominanţi), atunci dispersia valorilor variabilelor dependente (parametrii de calitate sau parametrii de ieşire) se supune legii normale de distribuţie a lui Gauss.

Prin legea de distribuţie a lui Gauss sunt caracterizate variaţiile multor parametri în analiza fenomenelor tehnico-economice, în particular precizia de prelucrare a pieselor de maşini şi aparate, în cazul unui proces tehnologic stabilizat. Însă, nu trebuie considerat că distribuţia indicatorilor de calitate, la prelucrarea mecanică, după legea normală de distribuţie a lui Gauss este universală. În funcţie de condiţiile concrete ale prelucrării mecanice se poate fundamenta legea teoretică a distribuţiei

Gh. COMAN 18

valorilor indicatorilor de calitate. Asemenea legi de distribuţie, diferite de legea de distribuţie normală, sunt determinate cu ajutorul funcţiilor a(t) şi b(t), care caracterizează variaţia mărimilor şi dispersiilor parametrilor tehnologici nealeatori. Cele mai importante din punct de vedere aplicativ sunt legile negaussiene de distribuţie, cu funcţii liniare de puteri şi periodice (sinusoidale) a(t) şi b(t). Cu ajutorul lor se studiază distribuţiile în cazul uzurii sculelor aşchietoare, a deformaţiilor termice ale elementelor constitutive ale sistemului tehnologic, variaţiile efortului de aşchiere, atât în cazul acţiunii separate, cât şi în cazul acţiunii simultane în timpul prelucrării mecanice.

1.4. Modelarea matematică şi optimizarea proceselor tehnico-

economice în cazul informaţiilor incomplete asupra parametrilor de intrare

Analiza sistemelor tehnico-economice permite a se stabili

proprietăţile şi particularităţile funcţionale şi de exploatare a lor necesare pentru modelarea matematică şi optimizare a acestora.

Asupra indicatorilor de calitate şi a productivităţii procesului de lucru influenţează, într-o măsură diferită, un mare număr de parametri de intrare. Influenţa lor este, în principiu, într-o dependenţă reciprocă, adică prin variaţia unuia din parametrii de intrare se obţine necondiţionat şi variaţia altuia sau altor parametri de intrare.

De asemenea, majoritatea parametrilor de ieşire ce caracterizează calitatea şi productivitatea sunt legaţi între ei. În această etapă, într-o mare măsură, nu sunt clare informaţiile asupra fenomenelor care însoţesc procesul tehnologic de exploatare funcţională a sistemului tehnico-economic.

Valorile reale ale parametrilor tehnologici şi a indicatorilor de calitate sunt mărimi aleatoare. Din cele menţionate mai sus se poate trage concluzia că prelucrarea metalelor se face în procese probabilistice, relativ complexe, staţionare, posedând informaţii incomplete asupra fenomenelor care însoţesc procesul tehnologic.

Pentru modelarea matematică a proceselor tehnologice se folosesc următoarele metode: metoda teoretico-analitică, metoda experimental-statistică, metoda statistică (Monte-Carlo).

Modelele şi metodele de obţinere a lor trebuie să reflecte proprietăţile principale şi particularităţile procesului tehnologic, să fie eficace la analiza proceselor tehnologice şi să asigure o concordanţă cât mai exactă cu realitatea.

Complexitatea fenomenelor care însoţesc procesele tehnologice de prelucrare mecanică prin aşchiere şi în consecinţă o cunoaştere incompletă a lor, multitudinea parametrilor tehnologici care acţionează cu intensităţi diferite şi în direcţii necunoscute asupra fenomenelor studiate, variaţia mărimilor parametrilor tehnologici independenţi şi dependenţi, în condiţii nominale egale, fac ca realizarea unor modele matematice prin metoda teoretico-analitică să fie laborioasă în practică. Din această cauză, mulţi specialişti consideră că pentru obţinerea modelelor

MANAGEMENTUL CERCETĂRII 19matematice ale proceselor tehnologice, din domeniul construcţiilor de maşini, este indicat să se folosească metoda experimental-statistică.

Metoda experimental-statistică permite obţinerea unor modele matematice care cuprind un număr relativ mare de date iniţiale şi un număr mare de rezultate posibile.

Modelele matematice descriu doar aproximativ anumite proprietăţi ale obiectului cercetat. În cazul metodei experimental-statistice de obţinere a modelului, plecând de la informaţia apriorică, se propune felul modelului şi în virtutea rezultatelor experimentale, realizate conform unui plan elaborat special (experiment activ) sau a observaţiilor asupra obiectului (experiment pasiv), folosind metodele teoriei probabilităţilor, a statisticii matematice, se determină valorile coeficienţilor teoretici de regresie.

Modelul obţinut se analizează, din punct de vedere statistic, pe baza criteriilor cunoscute din statistica matematică, pentru a pune în evidenţă gradul de verosimilitate a legilor statistice impuse iniţial. Dacă se confirmă că modelul este adecuat se verifică tipul suprafeţei de răspuns şi se determină valorile speciale ale lui, de exemplu valorile extreme.

Posibilităţile de obţinere a analizei, a interpretării datelor matematice cu mulţi factori, a crescut în mod considerabil, în special în cazul unor situaţii complexe, datorită dezvoltării teoriei de planificare experimentală.

Planificarea evolutivă (EVOP), metoda simplex succesivă şi alte metode propuse în cadrul teoriei de planificare a cercetărilor experimentale permit a se determina condiţiile de optim ale proceselor tehnologice, în cazul unor informaţii incomplete asupra fenomenelor care însoţesc procesul tehnologic. Ele se bazează pe analiza succesivă secvenţială (pas cu pas) a suprafeţei de răspuns. Algoritmele lor permit, datorită trierii parţiale a rezultatelor experimentale realizate în baza unor planuri speciale, a se determina o asemenea combinaţie a valorilor argumentelor, pentru care valoarea funcţiei corespunde cu cea extremală sau este foarte apropiată de aceasta.

În funcţie de condiţiile concrete: obţinerea modelului matematic şi a optimizării sau numai a optimizării; a condiţiilor iniţiale; a condiţiilor de efectuare a încercărilor experimentale, direct în producţie sau pe standuri de laborator – numărul de experienţe necesare diferă de la o metodă la alta. Metoda simplex succesivă (EVOP) şi, în special o modificare a acesteia, permite determinarea zonei de optim în decursul unui număr relativ redus de secvenţe (paşi) decât în alte metode.

1.5. Reproductibilitatea rezultatelor în cazul metodelor

de cercetare experimental-statistice Rezultatele mai multor experimente efectuate în condiţii nominale

similare diferă, mai mult sau mai puţin, între ele. Practic, este imposibil a se repeta o experienţă în exact aceleaşi condiţii în care s-a efectuat experienţa precedentă, fapt ce se explică printr-o serie de cauze.

Asupra valorii funcţiei (parametrului tehnologic dependent) pe lângă argumentele (parametrii tehnologici independenţi) comandate influenţează şi argumente aleatoare care nu pot fi comandate. Acestea din urmă nu pot fi

Gh. COMAN 20

complet stabilizate de către cercetător în timpul efectuării experienţelor. Printre acestea se pot cita: proprietăţile fizice, mecanice şi chimice ale materialului de prelucrat şi materialului sculei; mărimea variabilă a adausurilor de prelucrare; precizia sistemului tehnologic etc. Variaţiile lor sunt admise în cadrul unor limite numite limite de toleranţă a parametrilor respectivi. Aceşti parametrii se consideră la planificarea cercetărilor experimentale ca parametri tehnologici independenţi necontrolabili.

Unii parametrii tehnologici independenţi nu variază numeric, făcând parte din categoria parametrilor tehnologici calitativi. În cadrul cercetărilor tehnologice de prelucrare a metalelor, aceştia pot fi: diversele loturi de semifabricate, obţinute de la furnizori diferiţi, dar executate după aceeaşi documentaţie tehnică; diversele mărci de materiale din aceeaşi clasă, de exemplu oţeluri rapide, pentru partea aşchietoare a sculelor; lichidele de ungere-răcire de acelaşi tip; diversele maşini-unelte din aceeaşi grupă şi tipodimensiune etc. De asemenea, tot în categoria factorilor calitativi trebuie raportată calificarea şi particularităţile psiho-foziologice ale diverşilor lucrători, în cadrul unor operaţiuni neautomatizate, cum sunt: tratamentul termic, ascuţirea sculelor aşchietoare; sudarea etc. Stabilizarea acţiunii acestor factori calitativi asupra funcţiei studiate, în cazul repetării experienţelor, este dificilă. De asemenea, măsurarea parametrilor tehnologici independenţi nu poate fi absolut precisă. Sunt posibile erori grosolane de măsurare.

Dacă diferenţele dintre valorile parametrilor statistici, obţinute la repetarea experienţelor, nu sunt însemnate, rezultatele cercetărilor experimentale sunt considerate reproductibile.

Pentru a stabili deosebirile esenţiale dintre rezultatele experienţelor repetate se folosesc criteriile de comparaţie a lui Student (t) – pentru compararea valorilor mediilor de selecţie – a lui Fischer (F) – pentru compararea a două dispersii de selecţie – a lui Cochran (G) şi Bartlett (B) – pentru compararea dispersiilor mai multor selecţii etc2.

Dacă verificarea efectuată pune în evidenţă deosebirea importantă între valorile medii sau dispersii, atunci înseamnă că condiţiile de repetare a experienţei au fost altele, sau parametrul cercetat s-a schimbat de la sine în timpul efectuării experienţei. Obţinerea unei informaţii obiective, în acest ultim caz, este mult îngreunată şi este posibilă numai folosind planuri speciale pentru efectuarea încercărilor experimentale, în condiţii de neomogenitate a datelor iniţiale. În cazul unor informaţii apriorice, asupra surselor neomogenităţii datelor iniţiale, pentru determinarea influenţei erorilor sistematice, ordinea de efectuare a încercărilor experimentale trebuie randamizată (aleatorizată), fapt ce permite luarea în consideraţie a factorilor sistematici drept factori aleatorii şi acţiunea lor să fie apreciată prin mărimea erorii.

Gradul de dispersie al valorilor parametrului studiat se caracterizează cu ajutorul coeficientului de variaţie:

2 Coman Gh., Statistică (teorie şi aplicaţii), Iaşi, Editura „PIM”, 2007.

MANAGEMENTUL CERCETĂRII 21

ysV = (1.1)

unde s reprezintă abaterea medie pătratică a erorii parametrului studiat; ⎯y – valoarea medie de selecţie a parametrului studiat.

Coeficientul de variaţie caracterizează stabilitatea procesului tehnologic în raport cu un anumit parametru tehnologic supus cercetării. În cazul unei valori mari a coeficientului de variaţie, coeficienţii de regresie ai modelului matematic pot avea o însemnătate redusă, adică este o influenţă mare a factorilor necontrolabili şi nu permite să se aprecieze, în acest caz, caracterul de acţiune al acestor factori. O sensibilitate redusă a coeficienţilor de regresie, în raport cu componentele întâmplătoare ale mărimii măsurate, asigură folosirea corectă a programelor optime pentru cercetările experimentale. Alegerea corectă a metodei de planificare a cercetărilor experimentale conduce la obţinerea unor rezultate concludente, reproductibile în practică.

1.6. Modelarea cibernetică a sistemului tehnico-economic

supus cercetării experimentale Sub denumirea de sistem tehnico-economic trebuie înţeles, în

sensul prezentului manual, obiectul care trebuie să fie cercetat şi supus operaţiilor de optimizare a caracteristicilor sale.

Fig.1.1. Schema cibernetică a

obiectului de cercetat

O caracteristică importantă a obiectului studiat este capacitatea acestuia de a fi comandat (condus). Se consideră că un obiect poate fi condus atunci când experimentatorul îl poate aduce, la dorinţă, în oricare din stările distincte necesare cercetării şi să-l menţină în această stare, cu o precizie dată, atâta timp cât doreşte experimentatorul. Obiectele care nu îndeplinesc această condiţie sunt, în mod natural, greu de cercetat.

Capacitatea unui obiect de a fi condus permite efectuarea aşa numitelor experimente active, care constau într-o influenţare nemijlocită a obiectului, conform voinţei experimentatorului.

Datorită faptului că planificarea experimentului se bazează pe abordarea cibernetică a obiectului cercetat, cel mai potrivit model pentru stabilirea apriori a factorilor de influenţă luaţi în considerare este modelarea cibernetică a obiectului, figura 1.1.

În figura 1.1 vectorii y1, y2,...,ym corespund parametrilor de optimizat în urma cercetării efectuate.

Vectorii cu sens spre intrare în obiect corespund modului posibil de influenţare a funcţionării acestuia. Grupul de factori x1, x2,...,xk corespund

z z z

yy

y

xx

x

w w w

1 2

1

2

m

1 2 p

12

k

Obiectul de cercetat

Gh. COMAN 22

factorilor care pot fi conduşi, la modificarea cărora se studiază în mod nemijlocit obiectul de cercetat. Factorii z1, z2,...,zn şi w1, w2,...,wp reprezintă grupul de factori care nu pot fi conduşi şi care măresc în mod substanţial eroarea experienţei sau câmpul de perturbaţii, pe fondul căruia se separă semnalul util. Factorii z1, z2,...,zn pot fi controlaţi în procesul experimentului, iar factorii w1, w2,...,wp se referă la acţiuni perturbatoare necontrolabile asupra obiectului cercetat.

1.7. Evaluarea statistică a parametrilor de intrare şi ieşire luaţi

în considerare la cercetările experimentale Metodele moderne de abordare a cercetării ştiinţifice apelează, în

mod substanţial, la noţiunile de teoria probabilităţilor şi statistică matematică, în cel puţin trei etape de realizare a acestora: stabilirea experimentului, planificarea şi analiza rezultatelor.

Stabilirea experimentului impune precizarea ordinii în care vor avea loc încercările astfel încât efectul lor să fie randomizat. În această etapă se precizează: definirea problemei; alegerea variabilei dependente; alegerea factorilor variabili; alegerea nivelelor pentru aceşti factori; alegerea combinărilor nivelelor factorilor.

Planificarea experimentelor, fiind una din componentele importante ale teoriei statistice matematice, permite organizarea unor experimente, conform unei scheme prestabilite. Metodele statistice de planificare a experimentelor modifică în mod substanţial metodologia efectuării unor operaţiuni experimentale.

Dacă în cazul metodei clasice de cercetare, cu variaţia succesivă a factorilor de influenţă, principiul de bază este identitatea condiţiilor de experimentare, metoda statistică de planificare permite variaţia simultană a tuturor factorilor de influenţă luaţi în considerare.

În mod obişnuit, etapa de planificare a experimentului presupune: stabilirea numărului necesar de observaţii; succesiunea efectuării experienţelor; metoda de randomizare utilizată; modelul matematic pentru descrierea experimentului.

Analiza, cea de a treia etapă, a muncii de cercetare experimentală, include culegerea, ordonarea şi calcularea unor statistici, în scopul verificării ipotezelor referitoare la modelul matematic. Această etapă presupune: culegerea şi prelucrarea datelor; calcule statistice pentru verificarea ipotezelor; interpretarea rezultatelor de către experimentator.

Toate aceste etape presupune a apela la cunoştinţe adecvate de teoria probabilităţilor şi statistică matematică.

Folosirea metodelor din calculul probabilităţilor şi statistica matematică la prelucrarea datelor experimentale se datorează faptului că în aceste cercetări experimentale se ataşează parametrilor de intrare, dar mai ales parametrilor de ieşire, valori aleatoare. Valorile aleatoare se supun unor legi probabilistice sau statistice bine determinate. Cea mai răspândită este legea normală de dispersie (distribuţie), de unde provine şi denumirea ei de lege normală. Abaterea de la legea normală poate fi

MANAGEMENTUL CERCETĂRII 23cauzată de variabilitatea dominantă a unuia sau mai multor factori de influenţa asupra parametrilor calitativi urmăriţi în cercetare.

Legea normală de dispersie se caracterizează prin doi parametri, simbolizaţi (primul: a; m; x - denumit valoare medie sau speranţă matematică), respectiv (al doilea: s; σ - denumit abatere medie pătratică).

Probabilitatea ca mărimea întâmplătoare y a parametrului calitativ urmărit în cercetare, supus legii normale de dispersie, se abate de la valoarea speranţei matematice mai puţin decât o valoare oarecare ε>0, se determină cu ecuaţia:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Φ=<−σεε 2)( aYP (1.2)

∫−

=Φy t

dtey0

2 .21)(

2

π (1.3)

unde Φ(y) este funcţia lui Laplace. Dacă legea de dispersie nu este cunoscută, atunci, acea

probabilitate că abaterea este mai mică decât t.σ se apreciază pe baza legii lui Cebâşev cu condiţiile:

211).(t

tmYP −≥<− σ (1.4)

unde t – orice număr pozitiv; m – speranţa matematică a mărimii întâmplătoare y.

Pentru legea normală a dispersiei rezultă practic că valoarea mărimii întâmplătoare se deplasează de la speranţa matematică mai puţin de 3.σ, adică totdeauna (cu excepţia a trei cazuri dintr-o mie) valoarea mărimii întâmplătoare va satisface inecuaţia:

m – 3.σ < y < m + 3.σ (1.5) Pentru o lege arbitrară a dispersiei (diferită de legea normală de

dispersie), regula celor 3.σ va avea forma:

889,0911).3( ≈−≥<− σmYP (1.6)

Pentru toate legile de dispersie diferite de legea normală de dispersie probabilitatea este semnificativ mai mare decât 0,889.

Legile statistice de repartiţie se caracterizează prin parametri numerici: speranţa matematică (media aritmetică); dispersia; abaterea medie pătratică; momentele iniţiale; momentele centrate; coeficientul de variaţie şi alţi indicatori statistici.

Pentru determinarea valorii reale a oricărui parametru trebuie să se ştie legea distribuţiei mărimii aleatorii, adică toate valorile ei şi probabilităţile corespunzătoare sau funcţia de repartiţie. Acest lucru este departe de a fi posibil totdeauna. De aceea, de regulă, se folosesc nu valorile teoretice ale parametrilor, ci evaluarea lor. Pentru aflarea evaluării parametrilor se face o serie de experienţe în urma căreia se găseşte o oarecare submulţime (un eşantion) a valorilor mărimii aleatoare. Pe baza acestor valori estimative ale parametrilor de selecţie (eşantion) se face

Gh. COMAN 24

evaluarea respectivilor parametrii pentru mulţimea valorilor variabilei aleatoare.

Vom prezenta expresiile de calcul pentru determinarea estimărilor parametrilor statistici.

a. Evaluarea speranţei matematice sau valorii medii de selecţie a variabilei aleatoare:

n

yny

k

iii∑

== 1.

(1.7)

unde: ni – frecvenţa valorii yi; n – volumul total al selecţiei statistice. b. Evaluarea dispersiei de selecţie:

1

)(1

2

2

−

−=∑=

n

yyns

k

iii

(1.8)

c. Evaluarea abaterii medii pătratice de selecţie:

1

)(1

2

−

−=∑=

n

yyns

k

iii

(1.9)

d. Evaluarea coeficientului de variaţie:

100×=ysc (1.10)

În raport cu mulţimea variabilelor aleatoare, eşantionul (selecţia) statistic trebuie să satisfacă anumite condiţii: să fie reprezentativ; valorile selectate pentru eşantion să fie extrase aleatoriu din mulţimea variabilelor aleatoare.

1.8. Verificarea ipotezelor statistice

Pe baza cercetărilor statistice de selecţie se emit concluzii

adecvate asupra mulţimii totale a evenimentelor din care s-a extras eşantionul respectiv. Este necesar, în acest caz, să avem încredere în concluziile emise. Pentru aceasta, statistica teoretică a elaborat metode adecvate pentru a evalua şi gradul de încredere pe care trebuie să-l avem în concluziile respective.

Verificarea ipotezelor statistice se realizează pe baza principiului impunerii imposibilităţii practice de producere a unui evenimente negativ, adică contrar celui dorit, decât cu o probabilitate foarte mică, numită grad de semnificaţie sau nivel de încredere fiind notat cu α. Nivelul de încredere se impune în funcţie de natura evenimentului studiat, importanţa fenomenului luat în cercetare, timpul alocat cercetării etc. Astfel, în industria de medicamente, în analiza fenomenelor care pot produce evenimente catastrofice pentru comunitatea umană, se adoptă valori foarte mici pentru nivelul de încredere, iar pentru evaluări mai puţin

MANAGEMENTUL CERCETĂRII 25importante se adoptă valori mai mari. În principiu, sunt întocmite şi tabele de verificare a calculelor statistice pentru valori α = 0,01; α = 0,05, adică de producere a evenimentelor contrare de 1 la sută, respectiv 5 la sută.

Verificării i se impune totdeauna aşa numita ipoteză zero (nulă), notată H0. Ea trebuie să fie concretă: doi parametri compatibili egali, valorile aleatorii se supun aceleiaşi legi statistice etc. Nu se admite ca în calitate de ipoteză nulă să se afirme că: un parametru este mai mare decât altul, două mărimi sunt diferite etc. Ipoteza nulă este ipoteza despre lipsa diferenţelor. Comparaţiei, de regulă, i se supun două sau câteva sume statistice. Între ele, chiar în cazul veridicităţii ipotezei H0, există o oarecare deosebire, de starea lor aleatorie. Dacă probabilitatea diferenţei (deosebirii) observate, în cazul presupunerii că ipoteza H0 este adevărată peste nivelul de încredere, atunci, această deosebire se poate considera întâmplătoare. În acest caz nu sunt motive de respins ipoteza. Dacă însă probabilitatea deosebirii observate nu depăşeşte nivelul de încredere se poate considera practic imposibil justeţea presupunerii că ipoteza H0 nu este justă şi ipoteza trebuie respinsă ca fiind falsă.

Considerăm spre exemplu verificarea ipotezei în cazul echivalenţei speranţelor matematice a două mărimi aleatorii.

Fie două mărimi aleatorii: X – cu speranţa matematică a1 şi cu dispersia 2

1σ şi Y – cu speranţa matematică a2 şi cu dispersia 22σ . Se

verifică ipoteza H0: a1 = a2. După datele obţinute din prelucrarea statistică a valorilor aleatorii

de la două eşantioane de volum n1 şi respectiv n2, găsim x - evaluarea

pentru a1; y - evaluarea pentru a2; 2xs - evaluarea pentru

21σ şi 2

ys -

evaluarea pentru 22σ .

Dacă evaluările le considerăm ca mărimi aleatorii, atunci, mărimea:

2

22

1

21

nn

yxT

σσ+

−=

(1.11)

este mărime aleatorie. Dacă se presupune că ipoteza H0 este justă, atunci speranţa

matematică a mărimii T: M(T) = 0, iar dispersia acestei mărimi D(T) = 1. Dacă n1 + n2 – 2 ≥ 30, atunci se poate considera că mărimea T este supusă legii normale de distribuţie.

Dacă considerăm pentru variabila aleatoare T estimările dispersiilor

eşantioanelor 2xs ≈

21σ şi 2

ys ≈22σ atunci vom obţine pentru variabila

aleatoare Student:

2

22

1

21

ns

ns

yxt

+

−=

(1.12)

Gh. COMAN 26

Mărimea t, determinată cu expresia (1.12) se numeşte criteriu de verificare a egalităţii între două speranţe matematice.

Din tabelul funcţiei lui Laplace găsim probabilitatea:

tabttTP α=Φ−=> )(.21)( (1.13) şi o comparăm cu nivelul de încredere αcalc. Dacă αtab > αcalc, atunci este corectă concluzia că a1 = a2. Deci nu sunt motive de respins ipoteza egalităţii între cele două speranţe matematice.

CAP.2. STABILIREA CONDIŢIILOR DE OPTIMIZARE PENTRU CERCETAREA EXPERIMENTALĂ A SISTEMELOR

TEHNICO-ECONOMICE

2.1. Stabilirea parametrului de optimizare

Alegerea parametrului de optimizare pentru investigarea teoretico-

experimentală a sistemelor tehnico-economice constituie momentul cel mai important la pregătirea cercetărilor experimentale întrucât acesta determină, în modul cel mai complet, caracteristicile obiectului de cercetat.

Sub denumirea de parametru de optimizare se înţelege caracteristica calitativă a scopului cercetării care permite stabilirea legăturilor existente între parametrii de intrare şi ieşire ai sistemului.

Din punct de vedere matematic, stabilirea unei asemenea legături este posibilă numai în cazul existenţei unui singur parametru de optimizare. Însă, în mod obişnuit, reacţia sistemului tehnologic la acţiunea parametrilor de intrare este multiplă şi, din această cauză, în majoritatea situaţiilor trebuie rezolvate probleme cu mai mulţi parametri de optimizare (de ieşire).

Parametrii de optimizare pot fi clasificaţi, convenţional, în următoarele categorii: economici, tehnico-economici, tehnologici şi statistici.

În categoria parametrilor economici pot fi consideraţi: costul de fabricaţie, rentabilitatea (beneficul), cheltuieli pentru cercetări experimentale etc.

În categoria parametrilor tehnico-economici pot fi consideraţi: durabilitatea, stabilitatea, fiabilitatea etc.

În cazul cercetărilor de natură tehnologică în construcţia de maşini, ca parametri tehnologici de utilizare, pot fi consideraţi indicii calitativi: precizia de prelucrare, rugozitatea suprafeţelor prelucrate, proprietăţile fizico-mecanice ale stratului superficial, precum şi indicii cantitativi ai procesului: numărul de piese bune, procentul de rebut etc.

În cazul examinării preciziei prelucrării mecanice, a stabilităţii de funcţionare a aparatelor de măsură, durabilităţii sculelor aşchietoare etc., se folosesc parametrii statistici de optimizare: valoarea medie (speranţa matematică), dispersia (varianţa), amplitudinea câmpului de dispersie etc.

Orice parametru de optimizare trebuie să satisfacă mai multe condiţii principale. În primul rând el trebuie să fie universal şi cu caracter cantitativ, adică să fie exprimat printr-un număr. În al doilea rând, parametrul de optimizare trebuie să caracterizeze obiectul cercetat, în mod univoc, eficient şi suficient de complet.

Sub denumirea de universalitate a parametrului de optimizare se înţelege capacitatea acestuia de a caracteriza multilateral procesul tehnologic de prelucrare mecanică.

Condiţia de univocitate, în sens statistico-matematic, constă în aceea că unui complet bine determinat de valori ale parametrilor de intrare ai sistemului tehnologic cercetat trebuie să corespundă o singură

Gh. COMAN 28 valoare a parametrului de optimizare (cu eroarea în limitele admisibile pentru parametrul respectiv).

Parametrul de optimizare se consideră eficient dacă poate fi determinat cu maximum de precizie, în limitele erorii admisibile pentru acesta.

Orice parametru de optimizare are un domeniu de definiţie bine precizat. Domeniul de definiţie poate fi limitat sau nelimitat, cu variaţia continuă sau discretă. Domeniul limitat de definiţie, cu variaţia continuă a parametrului de optimizare, este cel mai frecvent întâlnit în practică. Un asemenea domeniu se prezintă ca un interval pe axa numerică, limitat într-o parte. Aceasta se referă la mărimi care pot lua fie numai valori pozitive, fie numai valori negative. De exemplu, durabilitatea sculelor aşchietoare se determină în minute, secunde, etc. şi se poate exprima prin valori pozitive pe axa numerică a timpului. Există parametri de optimizare care pot avea atât valori pozitive, cât şi valori negative, de exemplu eroarea unui aparat de măsură.

Parametrii de optimizare care au un domeniu discret de definiţie pot fi fixaţi valoric numai în anumite puncte ale axei numerice. În cazul cel mai simplu, un domeniu discret de variaţie are numai două valori, de exemplu obţinerea pieselor bune sau rebut.

Este necesar ca un parametru de optimizare să prezinte un caracter fizic clar, să poată fi înţeles uşor şi, de asemenea, să fie măsurat uşor.

În anumite situaţii, determinate de lipsa unor aparate speciale de măsură, exprimarea numerică greoaie etc., parametrul de optimizare se exprimă calitativ. În aceste cazuri se va utiliza noţiunea de rang care constă în aprecierea parametrului de optimizare cu ajutorul unor criterii obiective de rang. De exemplu, la prelucrarea mecanică prin aşchiere, cu pericolul apariţiei vibraţiilor în timpul desfăşurării procesului tehnologic, se consideră ca ranguri noţiunile de vibraţie intensă, moderată şi slabă.

În alte situaţii, de exemplu a unor greutăţi de ordin tehnic, determinate de lipsa unor aparate de măsură adecvate, trebuie schimbat parametrul de optimizare. Se pot folosi, în aceste cazuri, parametri de optimizare care furnizează o apreciere indirectă a fenomenului, însă, căutarea optimului devine intuitivă şi se complică în mod considerabil interpretarea rezultatelor încercărilor experimentale.

Un rol esenţial la alegerea parametrului de optimizare îl are nivelul informaţiilor apriorice asupra obiectului cercetării. Pe măsura acumulării informaţiilor este posibil ca domeniul de variaţie al parametrului de optimizare să devină ineficient, impunându-se modificarea acestuia în conformitate cu informaţiile noi primite.

Dacă apar dificultăţi la alegerea parametrului de optimizare se poate încerca reformularea problemei de cercetat sau transformarea parametrului de optimizare. O transformare a parametrului de optimizare este recomandată, de exemplu, în cazul în care parametrii tehnologici de optimizare nu satisfac condiţiile de eficienţă statistico-matematică. Astfel, o transformare de forma y = log x, sau y = arc sin x , permit ca parametrul de optimizare să devină eficace din punct de vedere

MANAGEMENTUL CERCETĂRII 29statistico-matematic, însă, în acest caz, interpretarea rezultatelor experimentale devine mai complicată.

Dacă apar situaţii în care se impune evaluarea mai multor parametri de optimizare se va examina mai întâi posibilitatea reducerii numerice a acestora, chiar până la unul dintre ei. Această posibilitate poate apare în urma reformulării problemei de cercetat, căutându-se modificarea parametrului de optimizare. În cazuri mai complexe se poate diviza problema într-o serie de subprobleme, mai simple, şi să se rezolve în mod succesiv. În acest ultim caz, se va urmări ca scopul problemei iniţiale şi a subproblemelor derivate să fie acelaşi.

O posibilitate de reducere a numărului parametrilor de optimizare constă în determinarea corelaţiei dintre aceştia. În acest caz, problema se reduce la determinarea coeficienţilor de corelaţie pe perechi (pare) şi aprecierii statistice a importanţei acestora pe baza valorilor; în cazul unei valori mari a coeficientului de corelaţie se exclude unul din cei doi parametri examinaţi, întrucât el nu este purtătorul unei informaţii utile în raport cu celălalt. În acest mod obişnuit se exclude din procesul de examinare parametrul care se poate măsura mai greu.

Alegerea parametrului de optimizare influenţează în mare măsură asupra structurii modelului matematic şi ca atare trebuie acordată o importanţă mare acestei etape de efectuare a cercetărilor experimentale.

2.2. Alegerea factorilor de intrare care influenţează optimizarea

funcţionării sistemului tehnico-economic După alegerea parametrului de optimizare se trece la alegerea

procedeelor de acţionare asupra obiectului cercetării, adică a parametrilor de intrare, care sunt mărimi măsurabile, independente şi variabile şi care au proprietatea de a acţiona asupra obiectului supus cercetării.

Este necesar să se includă în studiu un număr cât mai mare de factori tehnologici (parametri iniţiali), adică să se ia în considerare toate modurile posibile de acţionare asupra obiectului supus cercetării. În cadrul cercetărilor tehnologice, numărul acestor factori este practic nelimitat. De aceea, prezintă o importanţă deosebită a se lua în considerare toţi factorii tehnologici esenţiali, întrucât absenţa unuia dintre aceştia duce la creşterea erorii cercetărilor experimentale şi, în final, la rezultate eronate.

Întrucât este imposibil ca la efectuarea experienţelor să se ţină seama de toţi factorii tehnologici cunoscuţi, deoarece s-ar mări foarte mult numărul experienţelor efectuate, se procedează la o selectare a lor, pentru a se lua în considerare numai factorii tehnologici cu o influenţă hotărâtoare asupra obiectului supus cercetării.

La alegerea factorilor tehnologici de influenţă asupra obiectului cercetării trebuie avut în vedere ca aceştia să satisfacă o serie de condiţii şi anume, să aibă o mărime care să varieze independent, să poată fi măsurată uşor şi cu o mare precizie. De asemenea, să fie univoci, cu posibilităţi de comandă şi nelegaţi prin legături de corelaţie.

Gh. COMAN 30 Fiecare factor are un domeniu de definiţie care poate fi continuu

sau discret. În domeniul de definiţie, factorul tehnologic poate lua mai multe valori care corespund cu diversele sale stări. Valorile fixate ale factorilor, selectate pentru experiment, se numesc nivele de variaţie.

În mod obişnuit nivelele de variaţie ale factorilor, care corespund cu anumite valori bine determinate ale acestora, se exprimă prin mărimi codificate.

Sub denumirea de interval de variaţie al factorului se înţelege diferenţa dintre două valori codificate ale acestuia.

La stabilirea nivelelor de variaţie a factorilor tehnologici pot apare anumite restricţii de natură principială sau tehnică. De exemplu, o restricţie principală poate fi condiţia că adâncimea de aşchiere să aibă o anumită valoare, rezultată din mărimea adausului de prelucrare. Un exemplu de restricţie tehnică poate fi mărimea vitezei de aşchiere, limitată de soluţiile constructiv-funcţionale ale maşinii-unelte.

O atenţie deosebită trebuie acordată alegerii domeniului de definiţie şi a nivelului de variaţie a factorilor, care trebuie făcută în concordanţă cu informaţiile apriorice asupra desfăşurării procesului tehnologic. Astfel, pe baza informaţiilor apriorice, se alege centrul valoric al parametrului, punctul de nul, sau nivelul de nul. Centrul valoric al parametrului se stabileşte la optimul presupus al acestuia, cunoscut sau presupus, din informaţiile apriorice. De exemplu, dacă din informaţiile apriorice se precizează că viteza optimă de aşchiere este cuprinsă între 80 şi 120 m/min, drept centru de variaţie a acestui parametru va fi viteza de 100 m/min, care va fi, în acest caz, punct de nul sau nivel de nul.

După alegerea punctului de nul se fixează intervalele de variaţie şi nivelele de variaţie a factorilor. Mărimea intervalului de variaţie se alege astfel încât valoarea factorului la nivel superior şi inferior să difere suficient de valoarea sa la punctul de nul. De aceea, mărimea intervalului de variaţie trebuie să fie mai mare decât dublul mărimii abaterii medii pătratice a erorii factorului considerat, cunoscută sau evaluată pe baza informaţiilor apriorice.

La alegerea intervalelor de variaţie se va ţine seama şi de numărul de nivele de variaţie ale factorilor care depinde de condiţiile impuse problemei de cercetat şi metoda de planificare a experienţelor.

Factorii tehnologici de influenţă asupra sistemului tehnico-economic de cercetat pot fi cantitativi sau calitativi.

Factorii cantitativi sunt cunoscuţi din practica curentă a cercetărilor experimentale în domeniul tehnologic considerat.

Factorii calitativi sunt variabile care posedă anumite proprietăţi ce nu pot fi reprezentate sub formă cantitativă. De exemplu, tipul lichidului de ungere-răcire la aşchiere, marca materialului de prelucrat sau a sculei aşchietoare, procedeul de prelucrare, tipul maşinii-unelte, tipul instalaţiei experimentale etc.

Dacă în cadrul cercetărilor experimentale este luat în considerare şi un factor calitativ există două scheme posibile de efectuare a încercărilor experimentale:

MANAGEMENTUL CERCETĂRII 31- factorul calitativ se variază pe toate nivelele şi se determină

valoarea sa optimă; - se execută experimente independente, cu un număr de factori

mai mic cu unu decât numărul total al factorilor, pentru fiecare nivel al factorului calitativ şi, în final, se compară rezultatele obţinute.

În unele cazuri, se pot transforma factorii calitativi în factori cantitativi, prin folosirea unei scale convenţionale.

Factorii de influenţă trebuie să prezinte proprietatea de a fi controlabili sau comandaţi, adică să dea posibilitatea alegerii şi menţinerii nivelului de variaţie pe parcursul întregii experimentări.

Apariţia unor factori necontrolabili valoric se datorează diverselor neomogenităţi de tip discret sau continuu. Sursele neomogenităţilor de tip discret pot fi proprietăţile diferite ale materialelor prelucrate, a sculelor, a aparatelor de măsură, calificarea lucrătorilor etc.

Sursele de neomogenitate sunt factori care nu prezintă interes pentru abordarea lor în cercetările experimentale şi de aceea este de dorit eliminarea lor, întrucât, altfel, măresc mult eroarea experimentului şi dau naştere la un câmp mare de perturbaţii.

Sursele de neomogenitate de tip continuu determină o variaţie continuă a factorilor cercetaţi şi, în consecinţă, conduc la o variaţie în timp a parametrului de optimizare. Acestea pot fi, de exemplu, în cadrul cercetărilor tehnologice variaţia în timp a temperaturii maşinii-unelte, a semifabricatului, uzura sculei aşchietoare, îmbătrânirea utilajului tehnologic etc.

Deosebit de importantă este condiţia de compatibilitate a factorilor care constă în faptul că toate combinaţiile nivelelor factorilor, care participă la experiment, pot fi realizate în practică şi nu prezintă pericol.

Incompatibilitatea factorilor apare, de obicei, la frontierele domeniilor de definiţie ale factorilor şi se poate elimina prin micşorarea domeniilor respective. Dacă incompatibilitatea se manifestă în interiorul domeniilor de definiţie se elimină prin împărţirea domeniului în subdoemnii şi soluţionarea mai multor probleme paralele.

Factorii de influenţă trebuie să fie independenţi, adică să poată fi evaluaţi precis la orice nivel, indiferent de nivelele altor factori. Cu alte cuvinte, este necesar să nu existe o corelaţie între factori, în caz contrar nu se poate planifica experimentul.

Includerea în experiment a unor factori corelaţi nu contribuie la obţinerea unor rezultate concludente întrucât unul din factori nu este purtătorul unei informaţii suplimentare asupra obiectului de cercetat. Condiţia de necorelare nu exclude însă prezenţa unei legături de altă natură; este suficient ca legătura dintre factorii luaţi în considerare să nu fie liniară.

După stabilirea factorilor de influenţă se întocmeşte o listă completă a lor, cu indicarea denumirii şi dimensionalităţii, a intervalelor şi nivelelor de variaţie a acestora, precum şi a coordonatelor punctului de nul. În listă se specifică factorii care trebuie să varieze în timpul experimentului, iar pentru ceilalţi se specifică nivelele constante.

Gh. COMAN 32

2.3. Caracteristici de bază ale obiectului de cercetat

Sub denumirea de obiect de cercetat se înţelege sistemul care

trebuie să fie supus cercetării sau optimizării. Proprietatea fundamentală a obiectului de cercetat o constituie

complexitatea acestuia care este determinată de numărul diverselor stări în care se poate găsi obiectul de cercetat în momente diferite.

De asemenea, o proprietate importantă a obiectului de cercetat este capacitatea acestuia de a fi condus (comandat). Se consideră că un obiect poate fi condus (comandat) atunci când cercetătorul îl poate aduce în oricare din stările distincte şi să-l menţină în această stare cu o precizie dată, o anumită perioadă de timp.

Capacitatea unui obiect de cercetat de a fi condus (comandat) permite efectuarea aşa-numitelor experimente active care constau într-o influenţare nemijlocită a obiectului de cercetat, conform dorinţei cercetătorului. Experimentul activ este cel mai răspândit în cadrul cercetărilor de laborator.

În majoritatea cazurilor obiectele industriale, în stare de funcţionare, nu asigură posibilitatea efectuării unor experimente active. În acest caz are loc o observare posibilă a obiectului de cercetat la o fixare prealabilă a parametrilor tehnologici, la valorile dorite, fără o intervenţie de modificare a acestora în timpul lucrului, adică se realizează un aşa-zis experiment pasiv.

În unele cazuri există posibilitatea de a examina comportarea unor obiecte industriale, în stări distincte, însă la valori foarte apropiate ale parametrilor tehnologici, adică cercetătorul are posibilitatea să oscileze parametrii tehnologici în jurul unor valori care dau o anumită stare obiectului de cercetat. Un asemenea experiment poartă denumirea de activ-pasiv, iar planificarea experienţelor se face după metoda de planificare evolutivă.

O importanţă deosebită prezintă gradul de reproductibilitate a rezultatelor pentru evaluarea căruia este necesar, ca la aceeaşi stare a obiectului, la diverse momente de timp, să se efectueze mai multe experienţe similare care, în cadrul planificării acestora, poartă denumirea de experienţe paralele.

CAP.3. ANALIZA MATEMATICĂ A FENOMENELOR LEGATE DE

CERCETAREA ÎN MANAGEMENTUL CALITĂŢII

3.1. Ce este calitatea1 ? Calitatea este o noţiune complexă şi dinamică ce caracterizează activitatea umană. De aceea este şi dificil de definit. Existenţa a peste 120 definiţii date calităţii confirmă acest fapt. Astfel, după diferiţi specialişti, din diverse domenii de activitate, calitatea produselor este considerată: satisfacerea unei necesităţi; conformitatea faţă de specificaţii; gradul de satisfacere al consumatorului; conformitatea cu caietele de sarcini; un cost mai mic pentru o utilizare dată; capacitatea de a îndeplini o trebuinţă; ansamblul mijloacelor pentru realizarea unui produs viabil; conformitatea cu un model dat; respectarea caietelor de sarcini cu cele mai mici costuri de fabricaţie; satisfacerea în totalitate a beneficiarilor; reflectarea mărcii fabricii în ansamblul necesităţilor beneficiarilor. Cuvântul calitate sau qualitas îşi are originea în latinescul qualis, care are înţelesul de fel de a fi. Calitatea este privită ca o “calitate potenţială”, “calitate parţială” “calitate realizată”, “calitate asigurată” “calitate totală” etc. Din punct de vedere tehnico-economic şi social putem considera calitatea ca o sumă de caracteristici de utilitate şi estetice ce le satisface un produs, în valoare absolută sau relativă, în cadrul negocierilor dintre producător şi beneficiar. La definirea calităţii vom avea în vedere, pe de o parte, calitatea funcţională, iar pe de altă parte, calitatea de fabricaţie. Calitatea funcţională se are în vedere în perioada de creaţie, de concepţie a produsului, iar calitatea de fabricaţie la realizarea acestuia. Calitatea funcţională este prescrisă din condiţii de funcţionalitate corectă a produsului, în conformitate cu anumite funcţiuni prevăzute pentru produsul respectiv, iar calitatea de fabricaţie este obţinută, este rezultată în procesul de producţie. Tendinţa generală este de a prescrie o calitate funcţională corectă în raport cu funcţiunile de realizat ale produsului deoarece o calitate exagerată va conduce la o creştere exagerată şi a costurilor de fabricaţie, iar în procesul de fabricaţie se urmăreşte a se obţine o calitate cât mai ridicată, cu aceleaşi costuri de producţie, cunoscut fiind faptul că o creştere a calităţii produselor va conduce la o satisfacere mai bună a funcţiunilor acestuia. De asemenea, la evaluarea calităţii unui produs trebuie avută în vedere interdependenţa dintre calitatea globală a unui produs, şi calitatea parţială, a unor elemente componente ale acestuia. Calitatea globală se obţine prin satisfacerea calităţii parţiale, a elementelor constitutive ale acetuia. Nu este greu de evaluat faptul că dacă la un produs există fie şi numai unul din elementele componente nesatisfăcător din punctul de

1 Baron Tudor ş. a. Calitate şi fiabilitate. Manual practic, Vol. 1, Bucureşti, Ed. Tehnică, 1988

Gh. COMAN 34 vedere al calităţii, produsul, în totalitatea lui, să fie nesatisfăcător din punctul de vedere al calităţii. Pe baza celor de mai sus, având în vedere că, în final, calitatea unui produs este rezultată în procesul de fabricaţie şi faptul că o calitate globală superioară a unui produs este dependentă de calitatea parţială a elementelor constitutive ale acestuia, în cadrul disciplinei Tehnologia proceselor productive, se va acorda o atenţie deosebită tocmai obţinerii calităţii elementelor componente ale produselor în procesul de fabricaţie a acestora.

3.2. Calitatea elementelor constitutive ale produselor industriale din construcţia de maşini2

Elementele constitutive ale produselor industriale din construcţia de maşini sunt cunoscute sub numele de piese. Ca urmare este vorba despre calitatea pieselor de maşini. La analiza calităţii pieselor de maşini se are în vedere faptul că acestea, oricât de complexe ar fi, sunt constituite din elemente geometrice simple: cilindri, sfere, conuri etc., combinate între ele, formând, în final, cele mai complicate forme constructiv-funcţionale pentru piesele de maşini. Pentru a analiza metodic calitatea pieselor de maşini se procedează la disocierea, fie şi imaginară, a celor mai complexe piese de maşini în corpurile geometrice cele mai simple şi apoi analiza acestora din punctele de vedere al: 1. preciziei dimensionale adică coincidenţa dimensiunii lineare reale cu dimensiunea ideal exactă prescrisă în documentaţia tehnică; 2. preciziei de formă a geometriei pieselor, adică coincidenţa formei reale a sectorului analizat cu forma teoretică ideală cu care a fost identificat; 3. preciziei poziţiei reciproce a suprafeţelor, adică corespondenţa poziţiei reale a suprafeţelor, unele în raport cu altele, cu poziţia reciprocă prescrisă în documentaţia tehnico-funcţională; 4. calităţii suprafeţelor prelucrate, adică coincidenţa valorii parametrilor geometrici şi fizico-mecanici ai suprafeţelor reale, cu valorile prescrise ale aceloraşi parametri, în documentaţia tehnico-funcţională. Precizia dimensională se apreciază pe bază de diferenţă de dimensiuni liniare, de exemplu, φD - φd = Td sau L1 - L = TL, figura 3.1-a. Precizia de formă se apreciază pe baza unor parametri care caracterizează abaterea de la forma geometrică corectă a suprafeţei ideale, de exemplu pentru abatere de la cilindricitate se consideră conicitatea acesteia, apreciată prin,

tgα = (D - d)/2.L, figura 3.1-b.

2 Gheorghe Coman, Tehnologia construcţiei maşinilor-unelte, Inst. Polit. Iaşi, 1978; Gh. Coman, Diomid Năstase, N. Grădinaru, Gh. Ungureanu, Studii şi cercetări privind calitatea pieselor prelucrate prin aşchiere, Iaşi, Ins. Politehnic, 1979

MANAGEMENTUL CERCETĂRII 35

Fig.3.1. Precizia dimensională şi de formă a pieselor de maşini cu

suprafeţe cilindrice Precizia poziţiei reciproce a suprafeţelor se apreciază pe baza abaterilor de la perpendicularitate, paralelism, înclinare diferită în raport cu cea prevăzută etc. Calitatea geometrică a suprafeţelor se apreciază pe bază de abateri macrogeometrice, ondulaţii şi abateri microgeometrice (rugozitate), iar calitatea fizico-mecanică pe baza parametrilor: microduritate, tensiuni remanente şi microstructură specifice în raport cu valorile aceloraşi parametri ai metalului de bază, din interiorul piesei. Calitatea geometrică a pieselor de maşini poate fi evidenţiată intuitiv prin analiza matematică a formelor şi dimensiunilor pieselor respective. Vom considera, spre exemplificare, calitatea geometrică a piselor cu suprafeţe de revoluţie, foarte răspândite în construcţia de maşini.

3.3. Modelarea matematică a proceselor tehnologice pentru obţinerea suprafeţelor pieselor de maşini

Prin model se înţelege un sistem, teoretic sau material, cu ajutorul căruia pot fi studiate indirect proprietăţile şi transformările unui alt sistem complex (sistemul original) cu care modelul prezintă o anumită analogie. Modelul este o formă simplificată a realităţii (a sistemului real); deşi reflectă laturi esenţiale ale originalului nu poate fi identic cu originalul pe care-l modelează întrucât, în caz contrar, îşi pierde sensul. În practică, la analiza diverselor sisteme, se folosesc mai multe tipuri de modele: abstracte şi concrete; calitative şi cantitative; logice şi matematice. În ultimul timp, se consideră că modelele cele mai rafinate sunt cele matematice. Analiza sistemului tehnologic şi a procesului tehnologic de prelucrare mecanică prin aşchiere permite a se stabili proprietăţile şi particularităţile lor principale, necesare pentru modelarea lor matematică. Pentru modelarea matematică a proceselor tehnologice sau a sistemelor tehnologice se folosesc următoarele metode: metoda teoretico-analitică, metoda experimental-statistică, metoda statistică. Ce mai răspândită în practică este metoda experimental-statistică. La analiza calităţii proceselor tehnologice, prin modelarea matematică a lor, se ridică două probleme de bază:

Gh. COMAN 36 1. să se elaboreze un model matematic care să descrie dependenţele ce există între parametrii reglabili ai procesului tehnologic (ca mărimi de intrare) şi parametrii de optimizare ai procesului tehnologic (ca mărimi de ieşire); 2. să se găsească o asemenea combinaţie a mărimilor de intrare astfel ca valoarea mărimii sau mărimilor de ieşire să aibă valoarea optimă. Astfel, presupunem că o caracteristică y a procesului tehnologic (precizia dimensională, rugozitatea etc) depinde de mulţi factori x1, x2, ..., xn (calitatea semifabricatului, parametrii regimului de aşchiere etc), care iau valori continue, deci:

y y x x xn= ( , ,..., )1 2 Fie:

( )[ ]nn xxxyMxxxzz ,...,,),...,,( 2121 == (3.1) Se cere ca într-un domeniu dat al spaţiului factorilor Rn să se determine un punct ( )x x xn1

020 0, ,..., astfel ca suprafaţa definită de ecuaţia

(3.1) să aibă în acel punct un extrem. Este însă posibil ca pe suprafaţă să existe mai multe puncte de extrem; în acest caz se cere determinarea extremului absolut, care, evident, se poate face în cazul când s-au determinat punctele de extrem local. Se va presupune, în continuare, că pe domeniul considerat funcţia are un singur punct de extrem, interior domeniului. Suprafaţa definită de ecuaţia (3.1) se numeşte suprafaţă de răspuns sau funcţie de răspuns. Ea apare în aplicaţie sub formă de precizie dimensională, de formă, rugozitate, preţ de cost etc. De obicei expresia analitică a funcţiilor de răspuns nu este cunoscută. De aceea, de obicei se foloseşte dezvoltarea acestor funcţii după polinoame de gradul doi:

y x x x xi i ij i j ii ii

k

i j k

k

i

k= + + +

=≤ ≤ ≤=∑∑∑α α α α0

2

111. . . . (3.2)

Estimaţia funcţiei teoretice (3.2) are expresia:

∧

=≤ ≤ ≤== + + + ∑∑∑y a a x a x x a xi i ij i j ij i

i

k

i j k

k

i

k

02

111. . . . (3.3)

Urmează apoi determinarea coeficienţilor de regresie a0, ai, aij, testarea lor şi a ecuaţiei estimate după care folosirea ei în predicţia valorilor caracteristicii, în funcţie de nivelele de încredere stabilite pentru factori. În vederea determinării unui punct Rn care să reprezinte un extrem (maxim sau minim) al suprafeţei de răspuns, s-a căutat întocmirea unui program în care factorii de intrare sunt modificaţi, în cadrul unor limite care, în general, corespund condiţiilor curente de lucru. Acest program experimental poartă denumirea de plan de experiment.

MANAGEMENTUL CERCETĂRII 37

3.4. Metode de obţinere a dimensiunilor pieselor de maşini

Piesele de maşini se obţin prin două metode de reglare a sistemelor tehnologice la dimensiunea de lucru: reglarea după aşchii de probă şi reglarea prealabilă a sistemului tehnologic la dimensiunea de lucru (după piese de probă sau după etalon). În cel de al doilea caz, se includ şi prelucrările mecanice cu scule a căror dimensiune se reproduce la piesele prelucrate (burghie, alezoare, broşe etc.). Analog celor două metode de obţinere a dimensiunilor pieselor la prelucrarea mecanică, se disting şi două metode pentru obţinerea semifabricatelor: individuală - când precizia semifabricatului depinde de ansamblul condiţiilor arbitrare de fabricare a fiecărui semifabricat (la forjarea liberă, turnare în forme temporare etc) şi automată - când precizia semifabricatului se obţine prin reproducerea preciziei SDV-urilor folosite la semifabricare (la forjarea în matriţă, turnarea în forme permanente etc). Între metodele de obţinere a dimensiunilor semifabricatelor şi metodele de obţinere a dimensiunilor pieselor, la prelucrarea mecanică, este o strânsă legătură. De obicei, semifabricatele a căror dimensiuni se obţin individual, se prelucrează mecanic pe sisteme tehnologice reglate la dimensiunea de lucru după metoda aşchiilor de probă, iar semifabricatele a căror dimensiuni se obţin automat, se prelucrează mecanic pe sisteme tehnologice reglate prealabil la dimensiunea de lucru. Aceste precizări, prealabile, sunt necesare la modelarea matematică a preciziei prelucrării mecanice, întrucât numai în cea de a doua situaţie se pot elabora modele verosimile, apropiate de situaţiile practice reale.

3.5. Consideraţii prealabile pentru elaborarea modelului matematic privind precizia prelucrării mecanice

Se consideră prelucrarea mecanică a pieselor cu suprafeţe de revoluţie. Pentru evaluarea erorii diametrului pieselor cu suprafeţe de revoluţie, ca urmare factorilor tehnologici care o influenţează, de exemplu deformaţia sistemului tehnologic, trebuie analizată constanţa influenţei factorilor tehnologici asupra erorii de prelucrare, de exemplu a forţei de aşchiere, la o rotaţie a semifabricatului în timpul prelucrării mecanice. Pentru a se pune în evidenţă mecanismul formării abaterii de formă în secţiunea transversală a piesei prelucrate şi a se evalua mărimea ei, este necesar să se considere sistemul tehnologic ca un sistem dinamic. Obişnuit, sistemul tehnologic de prelucrare mecanică se consideră un sistem dinamic liniar închis (cu reacţie inversă). Sistemul tehnologic de prelucrare mecanică, în multe cazuri, poate să nu fie în întregime un sistem dinamic liniar însă, la cercetarea preciziei de prelucrare mecanică, când elementele sistemului tehnologic au o abatere neglijabilă de la echilibru, în acest cadru redus, poate fi considerat dinamic liniar. Perturbaţiile exterioare care acţionează asupra sistemului sau elementelor sale se numesc variabile de intrare, semnale de intrare sau

Gh. COMAN 38 funcţii de intrare. La ieşire se observă în mod corespunzător variabilele de ieşire, semnalele de ieşire sau funcţiile de ieşire ale sistemului sau elementelor acestuia. La funcţionarea sistemului, fiecărei combinaţii a funcţiilor de intrare [vectorul x(t)] îi corespunde o anumită combinaţie a funcţiilor de ieşire [vectorul y(t)]. Legea după care o anumită funcţie de intrare x(t) determină funcţia de ieşire y(t) se numeşte operator şi se notează cu A,

y t A x t( ) . ( )= (3.4) Sistemul este liniar dacă şi operatorul este liniar. Operatorul A este liniar dacă pentru orice valori numerice n: c1, c2,...,cn şi orice funcţie x1(t), x2(t),...,xn(t) este îndeplinită condiţia:

A c x t c A x tr ri

n

r rr

n. ( ) . . ( )

= =∑ ∑

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭=

1 1 (3.5)

Ecuaţia (3.5) pune în evidenţă faptul că pentru sistemul tehnologic este îndeplinit principiul de superpoziţie, adică rezultatul influenţei separate a mai multor variabile de intrare asupra sistemului tehnologic este egal cu suma rezultatelor influenţei variabilelor de intrare respective. Astfel, dacă asupra sistemului tehnologic acţionează variabila de intrare x(t) care reprezintă o combinaţie liniară a factorilor x1(t), x2(t),...,xn(t),

x t c x tr rr

n( ) . ( )=

=∑

1 (3.6)

atunci variabila de ieşire din sistemul tehnologic y(t) reprezintă aceeaşi combinaţie liniară,

y t c y tr rr

n( ) . ( )=

=∑

1 (3.7)

a variabilelor de ieşire din sistemul tehnologic y1(t), y2(t),...,yn(t), corespunzătoare variabilelor de intrare,

y t A x tr n

r r r( ) . ( ),, ,...,

== 1 2

(3.8)

unde Ar este operatorul sistemului. Proprietatea de superpoziţie conduce la simplificarea calculelor referitoare la sistemul tehnologic dinamic. Astfel, dacă asupra sistemului acţionează o forţă P(t) ca o sumă a câtorva componente Pk(t) (k = 1, 2,...,n), efectul total al acţiunii forţei P(t) este egal cu suma efectelor componentelor respective. În cercetări se folosesc diferite variante de descompunere a forţelor perturbatoare. Însă, mai întâi forţa se prezintă ca o sumă de componente armonice (descompusă în serie Fourier):

P t P P kk kk

n( ) .cos( . )= + +

=∑0

1ϕ ϕ (3.9)

Posibilitatea cercetării sistemelor tehnologice ca sisteme dinamice liniare permite tratarea logică şi explicită a teoriei preciziei prelucrării mecanice, bazată pe analiza diferenţiată a celor mai simple fenomene ale procesului tehnologic. Prin aceasta se pune uşor în evidenţă esenţa fizică

MANAGEMENTUL CERCETĂRII 39a fenomenelor studiate. Condiţia esenţială este să se modeleze matematic fenomenele respective, cu ecuaţii analitice cât mai simple şi verosimile. La prelucrarea mecanică a pieselor pe maşini-unelte se produc procese de lucru în zona de aşchiere şi procese funcţionale în sistemul tehnologic. Aceste procese acţionează asupra elementelor constitutive ale sistemului tehnologic care este şi un sistem elastic, provocând deplasări ale elementelor constitutive din poziţia iniţială statică. Între elementele constitutive ale sistemului tehnologic apar, în acest fel, legături mobile în care se produc procesele de lucru şi procesele funcţionale. Însă, în sistemul tehnologic apar şi legăturile de reacţie inversă; de exemplu, prin deplasarea din poziţia iniţială, statică, a sculei aşchietoare sau semifabricatului, se schimbă adâncimea de aşchiere şi ca urmare forţa de aşchiere. Această situaţie conduce la necesitatea abordării sistemului tehnologic ca un sistem dinamic închis, cu legături negative inverse. În sistemul dinamic închis forţele de aşchiere sunt acţiuni interne ale sistemului tehnologic. Însă, asupra sistemului tehnologic acţionează şi solicitări externe, provocate de erorile elementelor de transmisie a mişcării, neuniformitatea semifabricatului, şocuri transmise prin fundaţia maşinii-unelte etc. Şi solicitările externe au drept rezultat o variabilitate a secţiunii aşchiei şi ca urmare o variabilitate a forţei de aşchiere, adică a solicitărilor interne. De obicei sistemul tehnologic este considerat ca sistem dinamic închis la analiza stabilităţii acestuia la vibraţii. De asemenea, într-o serie de situaţii concrete de analiză a sistemului tehnologic, legăturile inverse se neglijează, fapt pentru care forţele de aşchiere se consideră ca solicitări externe. Metodele matematice folosite la analiză depind esenţial de tipul sistemului. Sistemul la care pentru aceeaşi solicitare la intrare răspunde cu aceeaşi mărime la ieşire se numeşte sistem determinat. În cazul când proprietăţile operatorului nu depind de timp, operatorul şi sistemul se numesc staţionare. Sistemul dinamic se numeşte staţionar dacă rezultatul acţiunii variabilei de intrare x(t) nu depinde de începutul acţiunii perturbaţiei t0 ci numai de intervalul de timp dintre momentul de începere a acţiunii t0 şi momentul final t, adică,

A x t t t tr . ( ) ( )− = −0 0ϕ (3.10)

sau, cu alte cuvinte, în sistemul dinamic staţionar, după orice timp de aplicare a variabilei de intrare, fără modificarea acesteia, îi corespunde aceeaşi variabilă de ieşire. Dacă la aceeaşi mărime de intrare îi corespunde, în timp, mai multe mărimi de ieşire, sistemul se numeşte nedeterminat, iar dacă mărimea de ieşire se suprapune explicit unei legităţi statistice, sistemul se numeşte stohastic.

3.6. Determinarea erorii totale de prelucrare mecanică

Gh. COMAN 40

La prelucrarea mecanică a oricărei piese, pentru ca aceasta să nu fie rebutată, este necesară îndeplinirea condiţiei ca eroarea de prelucrare să fie mai mică sau cel mult egală cu toleranţa prescrisă în documentaţia tehnică. De aici rezultă importanţa cunoaşterii erorii totale de prelucrare mecanică, în anumite condiţii de realizare a procesului tehnologic, întrucât de ea depinde posibilitatea realizării pieselor în condiţiile prescrise în documentaţia tehnică. Determinarea erorii totale de prelucrare mecanică se poate face prin două metode: a. evaluarea mărimii erorilor elementare (primare) şi apoi prin însumarea lor, determinarea erorii totale de prelucrare mecanică; b. evaluarea directă a mărimii erorii totale de prelucrare mecanică, prin determinarea fracţiunii defecte proprie sistemului tehnologic în starea sa actuală (pe baza metodelor de analiză statistico-matematice a preciziei prelucrării mecanice). Prima metodă prezintă avantajul că pune în evidenţă influenţa diverşilor factori tehnologici în formarea erorii totale de prelucrare mecanică, însă este laborioasă şi nu prezintă garanţia concordanţei exacte a valorii obţinute prin calcul şi valoarea experimentală. Diferenţa dintre valoarea teoretică şi cea experimentală a erorii totale, poate rezulta îndeosebi datorită acţiunii de compensare reciprocă, mai mult sau mai puţin, a erorilor elementare (de exemplu, deformaţia termică cu uzura sculei aşchietoare în perioada iniţială a lucrului acesteia). A doua metodă prezintă avantajul simplităţii şi a concordanţei dintre valorile obţinute prin calcul şi mărimea reală a erorii totale, când calculele s-au efectuat corect şi procesul tehnologic este dinamic stabil ca precizie şi reglare. Metoda prezintă însă dezavantajul că nu pune în evidenţă ponderea prin care contribuie fiecare factor tehnologic separat asupra formării erorii totale de prelucrare mecanică. La aplicarea primei metode de calcul a erorii totale, aceasta, se realizează în trei etape succesive: elaborarea unei scheme pentru operaţiile reale de lucru; efectuarea unei analize teoretice a operaţiilor tehnologice reale şi determinarea ponderii şi corelaţiei dintre erorile elementare şi eroarea totală; verificarea experimentală a concluziilor reieşite din calcule. Analiza preciziei de prelucrare mecanică, cu luarea în consideraţie a tuturor factorilor tehnologici, este imposibilă, de unde necesitatea ca în prima fază să se schematizeze operaţiile, cu luarea în consideraţie a factorilor cu cea mai mare influenţă asupra preciziei de prelucrare. În practică se vor elabora mai multe scheme de calcul şi se va alege aceea care corespunde cel mai bine cazului analizat. De exemplu, la calculul erorii de bazare, de obicei, se neglijează abaterile de formă ale suprafeţei de bazare a semifabricatului. Însă, această schemă de calcul nu este recomandabilă în toate situaţiile. Astfel, la prelucrarea mecanică a arborilor, la instalarea cărora se folosesc lunete, eroarea de formă a suprafeţei de bazare se copie integral pe profilul piesei prelucrate şi deci

MANAGEMENTUL CERCETĂRII 41la alegerea schemei de calcul trebuie luată în considerare şi abaterea de formă a suprafeţei de bazare. Precizia de prelucrare a parametrului urmărit (dimensiune, abatere de formă, poziţie reciprocă a suprafeţelor), se determină prin însumarea influenţelor tuturor factorilor consideraţi în analiză. Legea de însumare determină natura acestei erori. Se presupune că pe baza analizei sistemului s-a decis că parametrul y al piesei este o funcţie de mai multe variabile de intrare xi,

y f x x xn= ( , ,..., )1 2 (3.11) Pentru condiţiile ideale, în mod corespunzător, va fi:

y f x x xn0 10 20 0= ( , ,..., ) (3.12) În condiţii reale, valorile reale ale variabilelor de intrare diferă de valorile ideale ale lor cu o mărime oarecare Δi = (x - x0)i. În final şi valoarea parametrului de ieşire va avea o abatere de la mărimea ideală a lui. În calcule, pentru sistemele dinamice lineare, se poate presupune că abaterile parametrilor sunt mici şi reciproc independente şi, de asemenea, produsul erorilor se neglijează. În limitele valorilor nominale ale parametrilor, funcţiile y = f(xi) se pot dezvolta în serie Taylor. Menţinând din serie, pentru calcule, numai erorile de ordinul întâi, se va obţine relaţia de calcul a erorii absolute Δy, a parametrului de ieşire y,

Δ Δy fxii

n

xi

i

=⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=∑

∂∂1

. (3.13)

Întrucât⎯xi arată că funcţia s-a obţinut pentru valoarea medie⎯xi sau M(xi), care reprezintă valoarea ideală sau nominală. Valorile ∂

∂fx

si

i=

reprezintă coeficienţii de influenţă sau rapoartele de transmitere a variabilelor de intrare asupra parametrului de ieşire, a funcţiei lanţului de dimensiuni, care duce la variabilitatea parametrului de ieşire. În cazul cel mai dezavantajos erorile elementare se vor însuma după regula de maxim-minim,

Δ ΔΣ ==∑

∂∂

fxii

n

xi

i1. (3.14)

Dacă variabilele de intrare au dimensiuni diferite se recomandă evaluarea erorii relative cu expresia:

Δ ΔΣy

fx

xy xi

i

i

n

x

i

ii

==∑

∂∂

. .1

(3.15)

Din relaţiile (3.14) şi (3.15) rezultă că pentru creşterea preciziei de prelucrare este necesar să se reducă numărul variabilelor de intrare care influenţează parametrul de ieşire, reducerea câmpului de dispersie a erorilor variabilelor de intrare sau reducerea valorilor coeficienţilor de transfer a erorilor variabilelor de intrare asupra parametrului de ieşire. Metodologia de calcul, pe baza căreia s-au stabilit relaţiile (3.14) şi (3.15) nu ţine seama de combinaţiile reale între erorile elementare şi ca

Gh. COMAN 42 atare rezultatul obţinut este de 1,5...10 ori mai mare decât eroarea totală reală. Pentru apropierea valorii erorii totale determinată prin calcul, de eroarea reală experimentală, a fost elaborată o metodologie de însumare statistică a erorilor elementare, în care valorile Δy şi Δxi sunt considerate abateri întâmplătoare. Relaţia fundamentală de însumare va avea forma:

Δ Δy si i ii

n

i

n= =

==∑∑ . ξ

11 (3.16)

unde, ξi = si.Δi este variabila întâmplătoare. Fie spre exemplu relaţia:

Δy= +ξ ξ1 2 (3.17) Dacă ξ1 şi ξ2 sunt dependente corelativ, atunci coeficientul de corelaţie va fi:

( )( ){ } { }R M M1 2 1 1 2 2 1 2 1 2, = − − = −ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ (3.18) Fie ξ1 şi ξ2 în dependenţă liniară. Atunci dispersia va fi:

D A D22

1= . (3.19) iar coeficientul de corelaţie va fi:

( )( ){ }( )

R M A B A B

AM AD r D D

1 2 1 1 1 1

1 12

1 1 2 1 2

,

,

= − + − − =

= −⎧⎨⎩⎫⎬⎭= =

ξ ξ ξ ξ

ξ ξ (3.20)

unde, r1,2 este coeficientul normat de corelaţie, egal cu R D D1 2 1 2, / şi care capătă valorile ±1. Corespunzător distribuţiei date, dispersia va fi:

{ }( ){ } ( )[ ]( ) ( ) ( )( )

D M M M

M

D D R D D r D D

= + − + = + − +⎧⎨⎩

⎫⎬⎭=

= − + − + − −⎧⎨⎩⎫⎬⎭=

= + + = + +

ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ

ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ

1 2 1 22

1 2 1 22

1 12

2 22

1 1 2 2

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

2

2 2, ,

(3.21)

Valoarea medie M(ξ), în funcţie de coordonata medie a câmpului de toleranţă E(ξ) va fi:

( ) ( ) ( )M Eξ ξ αδ ξ= + 0 5, (3.22) unde δ este toleranţa, iar α este coeficientul asimetriei relative. La un număr oarecare de factori i = n, eroarea sistematică, egală cu valoarea medie M(y) = mΣ se va determina cu relaţia:

[ ]m E y y s Ei i i i ii

nΣ Δ Δ= + = +

=∑( ) , ( ) ( ) , ( )0 5 0 5

1αδ α δ (3.23)

Coeficientul dispersiei relative notat ki, unde i este indicele erorii elementare, va lua valorile: pentru distribuţia normală - ki = 1; pentru distribuţia probabilităţilor egale - ki = 1,73; pentru distribuţia compusă din distribuţia normală şi distribuţia probabilităţilor egale - ki = 1,2...1,5 (ki =

MANAGEMENTUL CERCETĂRII 43

1,2 la raportul l/6.σ = 1, unde l este creşterea dimensiunii ca urmare erorii sistematice variabile, iar σ este abaterea medie pătratică şi ki = 1,5 la raportul l/6.σ = 3); pentru distribuţia Simpson - ki = 1,22; pentru distribuţia Reyleigh - ki = 1,097; pentru distribuţia Maxwell - ki = 1,13. Dacă între erorile studiate perechi, de exemplu erorile Δj şi Δl, există o legătură stohastică (statistică), cu coeficientul de corelaţie rjl, atunci eroarea totală de prelucrare se determină cu relaţia:

( )ΔΣ ≈ +≠=∑∑

1 22

1kk s k k s s ri i i j l j l j l jl

j l

m

i

nδ δ δ (3.24)

unde m este numărul legăturilor stohastice ale parametrilor perechi. Relaţia (3.24) este aplicabilă atât la evaluarea erorii totale absolute, cât şi a erorii totale relative. Sunt cazuri când erorile elementare variază cu timpul t, fiind funcţii întâmplătoare de timpul t, de exemplu uzura dimensională a sculelor aşchietoare. În aceste cazuri eroarea totală se determină cu relaţia:

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ΔΣ tk

k t s t k t k t s s t t r ti i i j l j l j l jlj l

m

i

n≈ +

≠=∑∑

1 22

1δ δ δ (3.25)

În unele situaţii, dacă eroarea totală nu variază cu timpul, si = 1 şi relaţia de calcul a erorii totale va fi:

[ ]ΔΣ ==∑

1 2

1kki i

i

nδ (3.26)

Pentru evaluarea erorii diametrale la piesele din clasa arbore, relaţiei (3.26) va căpăta forma:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )Δ Δ Δ Δ Δ ΣΔ ΣΔΣ = + + + + +2

12

22

32

42

52

62

kk k k k k ky y r u st tε (3.27)

unde Δεy este eroarea de instalare a semifabricatului; Δy - eroarea elementară cauzată de deformaţiile elastice ale elementelor constitutive ale sistemului tehnologic; Δr - eroarea elementară cauzată de imprecizia reglării la dimensiunea de lucru a sistemului tehnologic; Δu - eroarea elementară cauzată de uzura dimensională a sculei aşchietoare; ΣΔst - eroarea elementară cauzată de suma erorilor geometrice ale elementelor constitutive ale sistemului tehnologic; ΣΔt - eroarea elementară cauzată de suma deformaţiilor elastice de contact a elementelor constitutive ale sistemului tehnologic. La instalarea semifabricatelor între vârfuri se poate considera că eroarea de instalare este egală cu zero (Δεy = 0). De asemenea, în calculele obişnuite se recomandă: k1 = k2 = k3 = 1; k4 = k5 = k6 = 1,73. La folosirea celei de a doua metode de evaluare a erorii totale de prelucrare mecanică, se consideră reprezentarea grafică din figura 3.2.

Gh. COMAN 44

Fig.3.2. Distribuţia datelor experimentale şi de observaţie

obţinută în urma unei analize statistico-matematice oarecare

În figura 3.2 se folosesc notaţiile: xmin - dimensiunea minimă admisibilă a pieselor de prelucrat, prescrisă în documentaţia tehnologică; xmax - dimensiunea maximă admisibilă a pieselor de prelucrat, prescrisă în documentaţia tehnologică; xc = (xmin + xmax)/2 - cota mijlocului câmpului de toleranţă al pieselor de prelucrat, determinată din documentaţia tehnologică;⎯x - valoarea medie, determinată pe baza analizei statistico-matematice a datelor experimentale; T - câmpul de toleranţă, prescris în documentaţia tehnologică; E =⎯x - xc; p1 - procentul de piese cu dimensiunea efectivă mai mică decât dimensiunea minimă prescrisă; p2 - procentul de piese cu dimensiunea efectivă mai mare decât dimensiunea maximă prescrisă. Procentul total de piese respinse, care caracterizează precizia prelucrării mecanice, se determină în felul următor. Se consideră:

p p p= +1 2 dar,

p z p z1 1 2 20 5 0 5= − = −, ( ) ; , ( )Φ Φ în care,

z x x z x x1 2=

−=

−min max;σ σ

zi - variabila normată a lui Laplace; Φ(zi) - funcţia tabelată a lui Laplace; σ - abaterea medie pătratică determinată pe baza prelucrării statistico-matematice a datelor experimentale şi de observaţie. Se poate observa simplu că procentul total de rebut este minim când p1 = p2 şi aceasta are loc când⎯x = xc, sau E = 0. Dacă este îndeplinită condiţia⎯x = xc,

MANAGEMENTUL CERCETĂRII 45

( ) ( )p p p p p

p z p z= + = =

= − = = −1 2 1 2

1 1 2 2

2 20 5 0 5, ,Φ Φ

de unde rezultă: ( )[ ] ( )[ ]p z z= − = −2 0 5 2 0 51 2, ,Φ Φ

în care,

z z z x x x xc c1 2= = =

−=

−min maxσ σ

Procentul minim de rebut care se determină din condiţia⎯x = xc se notează cu q şi se numeşte fracţiunea defectă proprie sistemului tehnologic în starea sa actuală sau indicatorul preciziei sistemului tehnologic,

( )q z= −1 2Φ (3.28) Pe baza indicatorului preciziei sistemului tehnologic se apreciază corectitudinea alegerii utilajului pentru realizarea operaţiei tehnologice respective.

3.7. Modelarea matematică a preciziei prelucrării mecanice la piesele de revoluţie

La prelucrarea pieselor de revoluţie, ca urmare influenţei diverşilor factori tehnologici cu caracter aleatoriu, apar abateri de la forma geometrică corectă, care fac ca dimensiunea curentă (raza sau diametrul) să prezinte variaţii ale mărimii în diferitele puncte ale conturului considerat în secţiune transversală şi longitudinală. În această situaţie, apare necesitatea de a elabora metodologia de analiză statistico-matematică a erorii totale a pieselor cilindrice, cu locul geometric al centrelor secţiunilor transversale (axa piesei) cu formă rectilinie sau curbilinie. În cazul cel mai simplu se analizează compunerea erorilor elementare, dimensionale şi de formă, în secţiune transversală şi longitudinală, care pot conduce la obţinerea unor piese cu erori geometrice în secţiune transversală sau longitudinală.

Fig.3.3. Stabilirea sistemului de coordonate la studierea preciziei pieselor cilindrice

Gh. COMAN 46 Pentru exprimarea analitică a erorilor pieselor de tipul corepurilor

de rotaţie, de exemplu a arborilor, se stabileşte un sistem de coordonate cilindrice în care un punct oarecare P de pe suprafaţa piesei este determinat de trei coordonate: distanţa z de-a lungul axei Oz a cilindrului şi care determină poziţia secţiunii examinate I - I, normală pe axa Oz; unghiul de rotaţie ϕ (unghi polar) al razei vectoare în sistemul polar (R,ϕ) în secţiunea I - I; mărimea R a razei vectoare în această secţiune, figura 3.3.

În general, raza vectoare R depinde de coordonata unghiulară ϕ şi coordonata liniară z - îndreptată de-a lungul piesei,

( )R f z= ϕ , (3.29) Dacă raza nominală a suprafeţei cilindrice se notează cu R0, atunci funcţia f(ϕ,z), care reprezintă eroarea absolută ΔR (la 0≤ z ≤ l, l fiind lungimea suprafeţei cilindrice), caracterizează abaterea de la cilindricitate:

( )f z R R Rϕ , = − =0 Δ (3.30) În secţiunea transversală (la z = zi) se formează abaterea de la circularitate,

( )f R R Rϕ = − =0 Δ (3.31) iar în secţiunea longitudinală (la ϕ = ϕ1) se formează abaterea de la rectilinietate,

( )f z R R R= − =0 Δ (3.32)

Eroarea de formă în secţiunea transversală poate fi exprimată printr-o serie Fourier, cu un număr finit de termeni, k = n,

( ) ∑=

++≈n

ikk kbkaaf

1

0 )sincos(2

ϕϕϕ (3.33)

sau,

( ) ( )∑=

++≈n

ikk kccf

1

0 cos2

ϕϕϕ (3.34)

unde ak, bk, ck - coeficienţi ai termenilor seriei Fourier; k - numărul de ordine al armonicii. Conturul secţiunii transversale satisface condiţia de închidere, perioada fiind 2π,

)()2( ϕπϕ ff =+ (3.35) Coeficienţii seriei Fourier se vor determina cu relaţiile:

∫ ∫==π π

ϕϕϕπ

ϕϕϕπ

2

0

2

0

.sin)(1;.cos)(1 dkfbdkfa kk (3.36)

Între amplitudinea armonicii k, ck şi coeficienţii ak, bk şi faza iniţială ϕk există relaţiile:

MANAGEMENTUL CERCETĂRII 47

( )

a c b c c a b

tg ba

c a f d

k k k k k k k k k

kk

k

= = = +

= = = ∫

cos ; sin ;

; .

ϕ ϕ

ϕπ

ϕ ϕπ

2 2

0 00

21 (3.37)

Termenii dezvoltării în serie au interpretare fizică reală. Astfel, termenul zero, adică mărimea c0/2 este egală cu valoarea medie a funcţiei la o perioadă T = 2π. Această mărime caracterizează abaterea dimensiunii, rămânând constantă (independentă de coordonata unghiulară ϕ) în formarea dimensiunii curente. Primul termen al dezvoltării, c1cos(ϕ+ϕ1) caracterizează abaterea de la poziţie a profilului nominal şi real (c1 - excentricitatea de amplitudine; ϕ1 - excentricitatea de fază). Următorii termeni ai seriei Fourier caracterizează: c2cos(2ϕ+ϕ2) - ovalitatea (ovalitatea Δov = 4c2, iar componenta abaterii de la circularitate Δcr = 0,5Δov = 2c2); c3cos(3ϕ+ϕ3) - secţiunile triunghiulare etc. Termenii seriei k = 1,...,p - caracterizează spectrul abaterilor de formă ale piesei în secţiune transversală, următorii termeni, k = p+1,...,q - ondulaţiile şi la valori destul de mari, k > q - rugozitatea suprafeţelor. În mod analog se poate analiza profilul piesei şi în secţiune longitudinală. În acest caz, trebuie avut în vedere faptul că condiţia de închidere a profilului nu este satisfăcută:

f z f z l( ) ( )≠ + (3.38) însă, se poate considera perioada dublă, în care caz,

f z f z l( ) ( )= + 2 (3.39) unde,

f z c c kl

zkk

n( ) sin= +

=∑0

12 2π

(3.40)

Primul termen al seriei Fourie se poate descompune în serie de puteri şi menţinând primul termen al noii dezvoltări rezultă:

cl

z cl

z1 12 2sin π π

≈ (3.41)

care poate fi considerat că exprimă conicitatea piesei. Al doilea termen c2sin(π/l)z, exprimă convexitatea conturului în secţiune longitudinală (formă de butoi) sau prin deplasarea fazei cu unghiul π/2 - forma profilului de şa, c2cos(π/l)z etc. În caz mai general, la analiza abaterilor suprafeţelor cilindrice ale pieselor, amplitudinea se exprimă prin funcţii de dependenţă de coordonata z,

f z c z c z kk kk

n( , ) ( ) ( ) cos( )ϕ ϕ ϕ= + +

=∑0

12 (3.42)

însă,

c z c c il

zkik

kii

q( ) sin= +

=∑0

12 2π (3.43)

Gh. COMAN 48 şi deci expresia pentru abaterea de la forma cilindrică nominală se poate descrie sub forma unei serii trigonometrice duble:

f z c c il

z

c k il

z

i

q

ki ki

q

k

p

( , ) cos( ) sin

cos( ).sin

ϕ ϕ ϕ π

ϕ ϕ π

= + + +

+ +

=

==

∑

∑∑

0011 1

1

12

2 2

2

(3.44)

Termenul zero, c

lf z d dz

l00

00

2

21

2= ∫∫π

ϕ ϕπ

( , ). . (3.45)

ca şi în cazul anterior, reprezintă valoarea medie a funcţiei f(ϕ,z), caracterizând abaterea dimensională. Termenul seriei notat c11 exprimă excentricitatea, a cărei mărime variază pe lungimea arborelui etc. Metodologia prezentată mai sus permite analiza prealabilă a erorilor sistematice dimensionale şi de formă la sistemele tehnologice dinamice determinate. În cazul general, amplitudinea şi faza abaterilor sunt mărimi întâmplătoare. Ca urmare, se impune folosirea metodelor statistico-matematice la modelarea calităţii prelucrării mecanice. Pentru folosirea metodelor statistico-matematice, la modelarea calităţii prelucrării mecanice, funcţia care determină abaterea prelucrării mecanice, în secţiunea transversală a piesei, este o funcţie întâmplătoare. Analog situaţiei precedente, pentru o piesă oarecare i, mărimea întâmplătoare (aleatoare) c0/2 exprimă eroarea dimensională a piesei, iar funcţia întâmplătoare c2cos(2ϕ+ϕ2) ovalitatea etc. Combinarea aditivă a abaterilor dimensionale şi de formă determină eroarea totală nominală, în secţiunea transversală a piesei considerate. Dacă se neglijează abaterile de la poziţia reciprocă a suprafeţelor, considerând numai abaterile de formă, rezultă:

ξ ϕ ϕ ψ( ) cos( )≈ + +=∑a c kk k

k

p

02

(3.46)

În relaţia (3.46) termenul a0 corespunde termenului c0/2 din dezvoltarea în serie Fourier. Variabila aleatoare a0, de obicei, se supune legii normale de distribuţie:

f a a m( ) exp ( )0

0

0 02

02

12 2

= −−⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥σ π σ

(3.47)

unde σ0 este abaterea medie pătratică a câmpului de dispersie pentru variabila a0; m0 - valoarea medie. Se poate considera că faza iniţială ψk se distribuie uniform în intervalul (0...2π) şi atunci legea de distribuţie a acestuia va fi:

MANAGEMENTUL CERCETĂRII 49

f kk

k k

( ) ,

, ;ψ π

ψ π

ψ ψ π=

≤ ≤⎧⎨⎪

⎩⎪

12

0 2

0 0 2p f (3.48)

Amplitudinea ck se supune legii de distribuţie a lui Rayleigh,

f cc c c

ck

k

k

k

kk

k

( )exp ,

,=

−⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ ≥

⎧

⎨⎪

⎩⎪σ σ0

2

2

022

0

0 0p (3.49)

unde,

m Dk k k k k k= = −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=σ π σ σ π σ02

02 2

22

2; ;

în care σ0k este abaterea medie pătratică a legii de distribuţie Rayleigh; σk - abaterea medie pătratică a distribuţiei variabilei aleatoare bidimensionale; Dk - dispersia; mk - valoarea medie a variabilei aleatoare bidimensionale. Se poate admite că variabilele aleatoare a0, ck şi ψk sunt independente şi ca atare valoarea medie a funcţiei ξ(ϕ) va fi:

( ){ }

{ }

M M a c k

m M c k m

k kk

p

k kk

p

ξ ϕ ϕ ψ

ϕ ψ

= + +⎧⎨⎩

⎫⎬⎭=

= + + =

=

=

∑

∑

02

02

0

cos( )

cos( )

(3.50)

întrucât:

( ){ }M k k dk k kcos cos( ).ϕ ψπ

ϕ ψ ψπ

+ = + =∫1

20

0

2

Funcţia de corelaţie Kξ(ϕ1,ϕ2) a erorii totale, dimensionale şi de formă, va fi:

( )[ ] ( )[ ]{ }K M M Mξ ϕ ϕ ξ ϕ ξ ϕ ξ ϕ ξ ϕ( , ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 1 2 2= − − (3.51) Întrucât,

( ){ } ( )M a m M a m0 02

02

0 0 0− = − =σ ;

( ) ( ){ }

( ) ( )

M k k

k k d k

k k

k k k

cos cos

cos cos . cos ( )

ϕ ψ ϕ ψ

πϕ ψ ϕ ψ ψ ϕ ϕ

π

1 2

1 20

2

2 11

212

+ + =

= + + = −∫

rezultă:

( )K m kr k kk

p

ξ θ σ σ θ( ) cos= + +=∑2 2 2

2

12

(3.52)

unde θ = ϕ2 - ϕ1, schimbare de variabilă. Din relaţia (3.52), impunând condiţia θ = 0, se determină dispersia erorii totale, dimensională şi de formă:

Gh. COMAN 50

( )σ σ σξ2 2 2 2

2

12

= + +=∑r k k

k

pm (3.53)

De asemenea, pe baza relaţiei (5.52) se poate determina şi funcţia normată de corelaţie:

( )( )

rK m k

m

r k kk

p

r k kk

pξξ

ξθ

θ

σ

σ σ θ

σ σ( )

( ) cos= =

+ +

+ +

=

=

∑

∑2

2 2 2

2

2 2 2

2

2

2

(3.54)

După cum se observă din relaţiile de mai sus, dispersia şi valoarea medie sunt constante, iar funcţia de corelaţie depinde numai de valoarea θ = ϕ2 - ϕ1, ceea ce înseamnă că eroarea totală, dimensională şi de formă, se poate studia ca funcţie întâmplătoare staţionară. Legea de distribuţie a funcţiei întâmplătoare staţionare, pentru eroarea totală, se determină în felul următor. Se determină la început distribuţia erorii de formă în secţiune transversală, al doilea termen din partea dreaptă a relaţiei (3.46):

( ) ( ) ( )η ϕ η ϕ ϕ= == =∑ ∑k

k

p

k kk

pc u

2 2 (3.55)

unde s-a introdus notaţia uk(ϕ) = cos(kϕ+ψk). În relaţia (3.55) variabila ck se supune legii de distribuţie a lui Rayligh, iar variabila uk(ϕ) se supune legii de distribuţie arc.sin. Se scrie legea de distribuţie pentru ηk(ϕ):

( )f kk

k

kη

σ πησ

= −⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟1

2 20

2

02exp (3.56)

care este o distribuţie normală cu valoarea medie m kη = 0 şi dispersia:

σ σ ση k k

k km202

2 2

2= =

+ (3.57)

Pe baza ecuaţiei (3.56) se poate scrie acum legea de distribuţie a erorii de formă:

( )f ησ π

ηση η

= −⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

12 2

2

2exp (3.58)

care este o lege normală de distribuţie cu dispersia:

( )σ σ ση2

02

2

2 2

2

12

= = += =∑ ∑k

k

p

k kk

pm (3.59)

Cunoscând acum legea de distribuţie a erorii de formă în secţiunea transversală şi luând în considerare abaterile de la dimensiunea a0, amplitudinea ck şi faza ψk, care la rândul lor se supun legii normale de distribuţie, legii de distribuţie a lui Rayleigh şi respectiv legii probabilităţilor egale în intervalul (0; 2π), atunci, eroarea totală, dimensională şi de

MANAGEMENTUL CERCETĂRII 51formă, se supune legii normale de distribuţie. Câmpul de dispersie a erorii totale va fi:

ΔΣ =1 6kξ

ξσ (3.60)

Relaţiile de calcul, prezentate mai sus, pentru evaluarea erorii totale de prelucrare mecanică, luând în considerare atât eroarea dimensională, cât şi eroarea de formă, au la bază raza piesei mecanice. Însă, în practică, la evaluarea preciziei de formă se foloseşte, pe scară largă, măsurarea diametrelor pe direcţii diferite, cu instrumente obişnuite cu două contacte, folosite la controlul dimensional al arborilor şi alezajelor. Dar, folosirea măsurărilor diametrale, pentru aprecierea abaterilor de la forma circulară corectă, când aceasta are aspectul unui poligon cu număr impar de vârfuri nu este posibilă, deoarece dimensiunea evaluată rămâne constantă. Pentru a aprecia abaterile de formă, corespunzător mărimilor diametrelor, dacă se cunosc abaterile pe rază, va trebui stabilit raportul dintre unităţile de măsură respective. În acest scop, relaţia (3.46) se va scrie sub forma:

( ) ( ) ( )ξ ϕ ϕ ϕ= + +a u v0 (3.61) unde u(ϕ) şi v(ϕ) reprezintă suma abaterilor de formă pentru armonicele pare şi respectiv impare,

( )u c kk kk

s( ) cosϕ ϕ ψ= +

=∑ 2 2

12 (3.62)

respectiv:

( )[ ]v c kk kk

n( ) cosϕ ϕ ψ= + ++ +

=∑ 2 1 2 1

12 1 (3.63)

în care,

s

p p impar

p p par=

−−

−

⎧

⎨⎪

⎩⎪

12

2

,

,

respectiv:

n

p p impar

p p par=

−−

−−

⎧

⎨⎪

⎩⎪

12

22

,

,

unde p este numărul de ordine maxim al armonicii pentru abaterile de formă. Expresia erorii diametrului curent η(ϕ), în cazul secţiunii transversale date, se poate scrie sub forma:

( ) ( ) ( ) ( )[ ]η ϕ ξ ϕ ξ ϕ π ϕ= + + = +2 0a u (3.64)

Gh. COMAN 52 În acest fel, la calculul erorii diametrului, se iau în considerare numai armonicile cu soţ ale abaterilor de formă. Dacă se admite că a0, u(ϕ) şi v(ϕ) sunt mărimi întâmplătoare independente, pentru orice valoare a argumentului ϕ, atunci, pentru

dispersiile σ ξ2 şi σ η

2 ale razei ξ(ϕ) şi respectiv diametrul η(ϕ), rezultă:

σ σ σ σξ2 2 2 2= + +r u v (3.65)

şi respectiv:

( )σ σ ση2 2 24= +r u (3.66)

Din relaţiile (3.65) şi (3.66) rezultă: σσ

σ σσ σ σ

ρ ρ

ρ

η

ξξ ξ

ξ ξ

=+

+ += + =

= − =

2 2

2 1 2

2 2

2 2 22 2

2

r u

r u v

r u

r u

vR / ,

(3.67)

în care ρξ r este coeficientul de corelaţie dintre eroarea totală pe rază ξ(ϕ) şi abaterea dimensională pe rază a0; ρ ρξ ξu v

si - coeficienţii de corelaţie dintre eroarea totală pe rază ξ(ϕ) şi abaterile de la forma circulară caracterizate prin mulţimea de armonici pare u(ϕ) şi impare v(ϕ); Rξ/r,u - coeficientul de corelaţie multiplă între eroarea totală pe rază ξ(ϕ) cu eroarea dimensională pe rază a0 şi eroarea de formă u(ϕ) exprimată de armonici pare. Coeficienţii de corelaţie din relaţia (3.67) se determină cu expresiile:

ρ σσ

ρ σσ

ρ σσξ

ξξ

ξξ

ξr u v

r u v= = =; ;

Coeficientul de corelaţie multiplă Rξ/r,u variază în intervalul: 0 1≤ ≤R r uξ / , (3.68)

şi ca urmare şi raportul ση/σξ în limitele:

0 2≤ ≤σση

ξ (3.69)

Pe baza relaţiei (3.67) se poate obţine valoarea raportului dintre câmpul de dispersie al erorii diametrale şi câmpul de dispersie al erorii pe rază, luând în considerare abaterile de la forma cilindrică corectă:

ΔΔηξ

ξ

ηξ= 2

kk

R r u/ , (3.70)

unde kξ şi kη sunt coeficienţii de dispersie relativă ai legilor de distribuţie a erorii după rază şi diametru. Pe baza relaţiei (3.70) rezultă:

MANAGEMENTUL CERCETĂRII 53

0 2≤ ≤Δ

Δη

ξ

ξ

η

maxmin

kk (3.71)

Dacă în relaţia (3.61), v(ϕ) = 0, adică se neglijează armonicile cu număr impar, rezultă:

( ) ( ) ( )η ϕ ξ ϕ η η

σ σ η ξ

η ξ

η ξ η ξ

= = ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= = =

2 12 2

2 2 2

; ;

; ;

f f

m m Δ Δ (3.72)

În cazul general, eroarea diametrală totală δd se pate determina cu relaţia:

δ σ σ σd rad t lk

k≈ + +

6 2 2 2

Σ (3.73)

unde k este coeficientul de transfer, în sens radial, al erorilor elementare (obişnuit k = 1,2...1,4) kΣ - coeficientul de dispersie relativă a erorii totale;

σ rad2

- dispersia erorilor corespunzătoare dimensiunii radiale; σ σt lsi2 2-

dispersiile erorilor de formă, corespunzătoare secţiunilor transversală şi longitudinală a pieselor. Ca o concluzie generală a metodologiei prezentate mai sus se poate spune că modelarea matematică a proceselor tehnologice şi a preciziei prelucrării mecanice, permite o analiză calitativă prealabilă a modului de desfăşurare a procesului tehnologic de prelucrare mecanică, pe sistemele tehnologice considerate, în concordanţă cu posibilităţile de obţinere a unei anumite calităţi la piesele prelucrate. De asemenea, modelarea matematică permite stabilirea corectă a diapazonului de variaţie a parametrilor de intrare în sistemul tehnologic, astfel încât cu un număr cât mai redus de încercări experimentale să se determine valoarea acestora, pentru care parametrul de ieşire (în cazul de faţă calitatea prelucrării mecanice) să rezulte la valoarea dorită. O analiză teoretică, prealabilă, pe baza modelării matematice adecvate a calităţii prelucrării mecanice, va conduce la optimizarea procesului de lucru, cu cheltuieli minime de muncă vie şi materializată.

3.8. Metode de analiză şi calcul a preciziei şi a

interschimbabilităţii în construcţia produselor industriale Producţia în serie a produselor industriale, a sistemelor de

comandă şi a elementelor acestora impune organizarea producţiei pe principiul interschimbabilităţii.

Interschimbabilitatea reprezintă un principiu de proiectare tehnologică, fabricaţie şi exploatare a produselor, care asigură posibilitatea asamblării sau a înlocuirii cu ocazia reparaţiilor a unor piese conjugate executate independent, în cadrul unui subansamblu, precum şi a subansamblurilor în cadrul maşinii sau a aparatului, cu respectarea condiţiilor care se pun faţă de precizia parametrilor geometrici, mecanici, electrici,

Gh. COMAN 54 precum şi a altor parametri de calitate a căror respectare determină valorile optime din punct de vedere economic a parametrilor de exploatare ale funcţionării produsului şi care se vor afla totodată în cadrul limitelor impuse.

Întregul ansamblu de probleme legate de precizia şi interschimbabilitatea în construcţia de aparate poate fi în mod convenţional divizată în două grupe. Din prima grupă fac parte toate problemele de asigurare a interschimbabilităţii dimensionale (geometrice), iar din cea de a doua grupă fac parte condiţiile legate de interschimbabilitatea funcţională şi care determină concordanţa caracteristicilor de ieşire foarte diversificate din punct de vedere a naturii lor fizice cu limitele impuse pentru aceste caracteristici.

Pentru produsele construcţiei moderne de aparate nu se poate trasa o delimitare foarte clară între interschimbabilitatea geometrică şi cea funcţională. De exemplu, pentru un traductor prin inducţie a deplasărilor unghiulare, astfel de erori pur geometrice ca abaterile dimensiunilor sistemului magnetic şi excentricitatea axei de rotaţie a indusului în raport cu alezajul statorului, conduc la neliniaritatea variaţiei tensiunii de ieşire.

Problema asigurării interschimbabilităţii în construcţia de aparate include calculul abaterilor admisibile ale dimensiunilor şi a parametrilor fizici ai pieselor şi elementelor, care să satisfacă condiţiile de asamblare a produselor fără ajustări la faţa locului şi care să corespundă condiţiilor de precizie ale caracteristicilor de ieşire cerute în exploatare, precum şi utilizarea proceselor celor mai raţionale de prelucrare, asamblare, control final şi control la fiecare operaţie, care să garanteze realizarea preciziei impuse şi a siguranţei necesare în exploatare a produselor.

Î n s u m a r e a e r o r i l o r d e p r e l u c r a r e . Calculele preciziei şi interschimbabilităţii se bazează pe legile de bază din teoria preciziei maşinilor şi aparatelor şi teoria preciziei de prelucrare a elementelor constitutive ale aparatelor şi maşinilor.

Într-un regim stabilizat de lucru, atunci când se trimite pe intrarea semnalului θintr, elementul transferă o oarecare mărime de ieşire θΣ. În funcţie de principiul de funcţionare a elementului, mărimea θΣ poate fi determinată printr-o deplasare mecanică sau prin variaţia unor parametri fizici: presiune, tensiune etc.

Pentru un element ideal care nu are nici un fel de abateri constructive, de proiectare şi de fabricaţie, dependenţa mărimii de ieşire este dată de ecuaţia:

θ0Σ = F0(θintr,qi) (3.74) unde qi reprezintă parametrii constructivi ai elementului (i = 1, 2,…,n).

Într-o construcţie reală parametrii qi ai elementului nu pot fi obţinuţi absolut identici cu dimensiunea nominală, fiecare dintre ie prezintă o anumită eroare Δqi. Mărimea semnalului de intrare, de asemenea, poate avea şi ea o eroare Δθintr.

În acest caz, expresia (3.74), pentru un element real va căpăta forma:

θΣ = F(θintr + Δθintr; qi + Δqi) (3.75)

MANAGEMENTUL CERCETĂRII 55

Funcţia F(θintr + Δθintr; qi + Δqi) se va descompune în serie Taylor după puterile lui Δθintr şi Δqi şi se vor lua în considerare numai primii doi termeni ai seriei, care conţin erorile la puterea zero şi la puterea întâia:

i

n

i i

irr

r

irir q

qqFqF

qE Δ∂

∂+Δ

∂∂

+= ∑=

Σ1

intint

int

intint

),(),(),(

θθ

θθ

θθ (3.76)

Se determină eroarea prin diferenţa între valorile de ieşire ale elementului real şi a celui ideal:

( ) ( )[ ]

i

n

i i

irr

r

ir

irir

qq

qFqFqFqF

Δ∂

∂+Δ

∂∂

+

+−=Δ

∑=

Σ

1

intint

int

int

int0int

),(),(,,

θθθθ

θθθ

(3.77)

Primul termen din expresia (3.77) reprezintă mărimea erorii structurale care apare în cazul realizării constructive a unei relaţii aproximative (şi nu ideale) a lui θΣ în funcţie de θintr şi qi. Această eroare se determină prin calcul sau prin compararea rezultatelor modelării construcţiei ideale şi a construcţiei reale a produsului.

Cel de al doilea termen estimează influenţa erorii mărimii de intrare; această componentă a erorii ΔθΣ se determină numai în cazul analizării elementului în ansamblu cu aparatele de comandă din cadrul sistemului de comandă.

Cel de al treilea termen determină mărimea erorii care apare datorită abaterii parametrilor qi ale elementului de la valorile nominale. Cauzele erorilor parametrilor pot fi: schimbarea condiţiilor de exploatare (a temperaturii, umidităţii, a presiunii atmosferice, a încărcărilor statice şi dinamice etc.) în comparaţie cu cele adoptate în calcul, îmbătrânirea şi uzarea în procesul de exploatare, erorile de fabricaţie şi tehnologice legate de imposibilitatea tehnico-economică a executării parametrilor la valorile ideale exacte.

Componenţa erorii însumate care este determinată de ecuaţia:

i

n

i i

i qqqF

Δ∂

∂=Δ ∑

=Σ

1

)(θ (3.78)

exprimă dependenţa erorii mărimii de ieşire sau a parametrului caracteristicii elementului, aparatului sau a sistemului de comandă, de erorile parametrilor constructivi. (Pentru o simplificare a notaţiilor se va nota funcţia F(θintr, qi) prin F(qi), considerând că unul dintre parametrii qi este mărimea de intrare θintr).

Factorul ii qqF ∂∂ )( poartă denumirea de coeficient de influenţă; el determină proporţionalitatea variaţiei mărimii de ieşire în funcţie de eroarea parametrului qi. În cele ce urmează acest coeficient se notează:

i

ii

qqF

N∂

∂=

)( (3.79)

Expresiile (3.77) şi (3.78) reprezintă expresii de plecare pentru calculul preciziei diferitelor elemente ale aparatelor, mecanismelor şi sistemelor de comandă (diferite ca destinaţie, concepţii, construcţie şi principiul de funcţionare).

Gh. COMAN 56 Expresia (3.78) este comodă pentru calcule numai atunci când qi şi

mărimea de ieşire θΣ sunt exprimate prin mărimi de aceeaşi dimensiune. În calculele de interschimbabilitate a aparatelor şi sistemelor de comandă se pot însuma erori ale diferitelor mărimi fizice: presiuni, parametri ai circuitelor electrice, dimensiuni liniare, deplasări etc. În acest caz este mai comod să se opereze cu erori exprimate în mărimi adimensionale. Pentru aceasta în expresia (3.78) se vor face următoarele transformări: fiecare termen a părţii din dreapta va fi multiplicat cu [ ]iii qqFq ).( , iar partea din stânga se va împărţi la θΣ. Se va introduce noţiunea de erori relative: eroarea relativă a parametrului Δq0i = Δqi/qi; eroarea relativă a mărimii de ieşire Δθ0Σ = ΔθΣ/θΣ.

După transformări nu prea complicate ale expresiei (3.78) se va obţine:

∑=

Σ Δ=Δn

iii qN

1000θ (3.80)

unde:

Σ

=θ

iii

NqN

.0 (3.81)

reprezintă coeficientul relativ de influenţă a erorii parametrului qi. Primul factor de la numărător din expresia (3.81) ţine seama de

ponderea specifică a parametrului, iar cel de al doilea factor ţine seama de proporţionalitatea variaţiei mărimii de ieşire în funcţie de abaterea parametrului qi.

Folosind expresiile (3.78) sau (3.80) se poate calcula eroarea unui exemplar concret de aparat sau sistem de comandă în mărimi absolute sau relative, dacă se cunosc erorile Δqi ale parametrilor şi coeficienţii de influenţă Ni.

Conform definiţiei coeficienţii Ni sunt derivatele parţiale ale funcţiei F(qi). Prin urmare, expresiile (3.78) şi (3.80) sunt valabile numai în cazul în care funcţia (3.74) este diferenţiabilă, cel puţin în punctele valorilor nominale ale fiecărui parametru.

Ecuaţiile de însumare a parametrilor câmpurilor de toleranţă. Câmpul erorilor admisibile ale parametrului qi este caracterizat prin valorile extreme ale acestora – prin abaterea superioară As şi prin abaterea inferioară Ai, prin câmpul de toleranţă Ti, precum şi prin coordonata Δi a mijlocului câmpului de toleranţă. Aceste mărimi sunt legate între ele prin relaţiile:

( )

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

−Δ=+Δ=

+=Δ−=

iii

iis

isi

isi

TATAAA

AAT

.5,0

.5,0.5,0

(3.82)

Toleranţa Ti este o mărime esenţial pozitivă, iar As, Ai şi Δi sunt mărimi scalare, al căror semn este determinat de poziţia lor în raport cu

MANAGEMENTUL CERCETĂRII 57dimensiunea nominală a lui qi. În figura 3.4-a sunt arătate mărimile pozitive, iar în figura 3.4-b sunt reprezentate mărimile negative As, Ai şi Δi.

În baza expresiilor (3.82) se pot obţine ecuaţiile de legătură ale parametrilor câmpului de toleranţă ΔΣ şi δΣ ale caracteristici de ieşire a produsului, în funcţie de parametrii câmpului de toleranţă a parametrilor constructivi qi (δΣ ≤ Ti unde δΣ - eroarea concretă de prelucrare). În acest caz parametrii constructivi care au⎯Ni > 0 vor fi denumiţi parametri de mărire, iar parametrii care au⎯Ni < 0 vor fi denumiţi parametri de micşorare. Atunci, conform relaţiilor (3.82) avem:

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

−=

−=

∑ ∑

∑ ∑

= +=Σ

= +=Σ

m

i

n

mIisiiiii

m

i

n

miiiiisis

ANANA

ANANA

1 1

1 1

..

..

(3.83)

Fig.3.4. Modul de

reprezentare grafică, citire şi simbolizare a parametrilor

câmpului de toleranţă (a, b – pentru diferite poziţii ale câmpului de toleranţă în raport cu dimensiunea

nominală) Aici AsΣ reprezintă

abaterea superioară admisibilă a caracteristici de ieşire a produsului; AiΣ - abaterea inferioară admisibilă a caracteristicii de ieşire a produsului; i = 1÷m reprezintă indicii parametrilor de mărire, iar i = m + 1÷n reprezintă indicii parametrilor de micşorare.

Ţinând seama de faptul că:

( )⎪⎭⎪⎬⎫

+=Δ

−=

ΣΣΣ

ΣΣΣ

is

is

AA

AA

5,0

δ (3.84)

obţinem:

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

Δ=Δ

=

∑

∑

=Σ

=Σ

n

iii

n

iii

N

N

1

1

.

.δδ

(3.85)

În cazul însumării parametrilor câmpurilor de toleranţe în mărimi relative avem:

Gh. COMAN 58

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

=Δ

=

∑

∑

=

=Σ

n

iiii

n

iii

N

N

1000

100

.

.

δ

δδ

(3.86)

unde:

⎭⎬⎫

Δ=Δ=

ΣΣΣ

ΣΣΣ

θθδδ

0

0 (3.87)

⎭⎬⎫

Δ=Δ=

iii

iii

qq

0

0 δδ (3.88)

Expresiile (3.86) au fost obţinute fără a se lua în consideraţie împrăştierea erorilor în cadrul limitelor câmpului de toleranţă. Un astfel de calcul poartă denumirea de calcul extremal sau calcul pentru determinarea extremului maximum-minimum, deoarece se iau în consideraţie combinaţiile cele mai rele ale abaterilor limită ale parametrilor qi.

În practica tehnologică a fabricaţiei de serie, erorile tehnologice ale parametrilor constructivi ale produselor pot fi considerate ca mărimi aleatoare, caracterizate prin speranţa matematică (valoarea medie) mi şi dispersia Di sau prin abaterea medie pătratică σi. În cazul general, între erorile de fabricaţie ale parametrilor constructivi pot exista şi legături de corelaţie.

Abaterile parametrilor de ieşire într-un lot de produse deja prelucrate se supun, de asemenea, unei anumite legi de repartiţie cu o dispersie DΣ sau σΣ şi cu o speranţă matematică mΣ a colectivităţii generale. În acest caz, în conformitate cu legile de bază ale teoriei probabilităţii privind însumarea mărimilor aleatoare şi în conformitate cu interdependenţele analizate mai sus între parametrii câmpurilor de dispersie a erorilor şi caracteristicile împrăştierii parametrilor constructivi ai produselor, se obţine:

∑ ∑= ≠Σ

Σ −=n

i fifffiiifiiii kNkNrkN

k 1

222 21 δδδδ (3.89)

( )∑=

ΣΣΣ −+Δ=Δn

iiiiiN

105,05,0 δαδα (3.90)

În mărimi relative, expresiile (3.89) şi (3.90) vor căpăta aspectul:

∑ ∑= ≠Σ

Σ +=n

i fiiiiifiii kNrkN

k 100

20

200 21 δδδ (3.91)

( )∑=

ΣΣΣ −+Δ=Δn

iiiiiN

100000 5,05,0 δαδα (3.92)

MANAGEMENTUL CERCETĂRII 59

În expresiile (3.89) – (3.92): αi – coeficientul de asimetrie relativă a repartiţiei erorii parametrului constructiv qi; ki – coeficientul de dispersie relativă a erorii parametrului constructiv qi; αΣ - coeficientul de asimetrie relativă a repartiţiei erorii parametrului de ieşire θΣ; rif – coeficientul corelaţiei parţiale câte două între erorile parametrilor qi şi qf, care fac parte din mulţimea totală a parametrilor constructivi qi a produsului dat; indicii i şi f se referă la toleranţele, coeficienţii de influenţă şi la coeficienţii de dispersie relativă a acestor erori corelate parţial câte două; kΣ - coeficientul dispersiei relative a erorii parametrului de ieşire θΣ.

Coeficientul αΣ poate fi adoptat egal cu zero dacă legile de repartiţie ale erorilor parametrilor constructivi ale produsului fabricat sunt simetrice (αi = 0) sau dacă numărul parametrilor qi cu toleranţe dominante omogene ca mărime este de cel puţin cinci. În celelalte cazuri mărimea αΣ se determină cu ajutorul expresiei:

∑

∑

=

=Σ = n

iii

n

iii

N

N

1

159,0δ

δαα (3.93)

determinată pe baza teoriei lanţurilor de dimensiuni. Repartiţia mărimii de ieşire depinde de numărul parametrilor qi şi de

legile de repartiţie a erorilor acestora. Coeficientul kΣ poate fi admis egal cu unitatea în ipoteza că se respectă una din următoarele condiţii: toţi parametrii qi au o lege de repartiţie după legea lui Gauss (ki = 1); numărul parametrilor qi cu toleranţe dominante omogene ca mărime şi cu legi de repartiţie simetrice este de cel puţin cinci; numărul parametrilor qi cu toleranţele omogene ca mărime dominante, cu orice fel de repartiţie cu un singur vârf, dar să fie cel puţin opt. În toate celelalte cazuri, mărimea kΣ se determină cu ajutorul expresiei:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+= ∑∑

∑ ==

=

Σ

n

ii

n

iiiin

iii

kNN

k1

2

1

222

1

55,01 δδδ

(3.94)

unde Ni = |⎯Ni|. Nu pentru toate condiţiile de fabricaţie câmpul de dispersie a erorii

pentru parametrul de ieşire este raţional să fie considerat egal cu 6.σΣ. Dacă câmpul de dispersie a erorilor δΣ este mai mic sau mai mare decât 6.σ atunci ieşirea dimensiunii θΣ în afara câmpului de toleranţă (rezultând rebutarea produsului) va fi mai mare sau mai mică decât procentul de 0,27% din totalul produselor. Valorile lui kΣ în funcţie de procentul de rebut al produselor fabricate sunt prezentate în continuare: % de rebut 0,02 0,05 0,1 0,2 0,5 1,0 1,5 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0

kΣ 0,81 0,86 0,91 0,97 1,06 1,16 1,23 1,29 1,38 1,46 1,52 1,60

Valorile medii statistice ale coeficienţilor αi şi ki au fost obţinute pentru un număr foarte limitat de operaţii tipizate ale prelucrării mecanice.

Gh. COMAN 60 Marea diversitate a proceselor fizice care stau la baza funcţionării

aparatelor moderne, ale sistemelor de comandă şi ale elementelor acestora, necesită efectuarea unor cercetări statistice ample în vederea obţinerii unor date certe privind abaterile practic limită, precum şi valorile coeficienţilor αi şi ki în cazul formării proprietăţilor magnetice, electrice, chimice şi a altor proprietăţi de precizie ale semifabricatelor şi ale produselor gata. În cazul unor calcule orientative a unor elemente noi sau aparate noi şi în cazul lipsei datelor normative privind legile de repartiţie ale erorilor de fabricaţie ale parametrilor constructivi se recomandă a se adopta ki = 1,2÷1,3 şi αi = ±(0,1…0,2).

Metode de determinare a coeficienţilor de influenţă. Calculul parametrilor câmpului de dispersie a erorilor ale caracteristicii de ieşire poate fi efectuat dacă se cunosc valorile coeficienţilor de influenţă Ni sau⎯N0i. Aceşti coeficienţi se determină experimental sau pe cale analitică.

Metodele de determinare experimentală se bazează pe principiul superpoziţiei şi pe reprezentarea derivatei parţiale ∂F(qi)/∂qi sub forma:

iii qN ΔΔ≈ Σθ (3.95) Posibilitatea folosirii principiului superpoziţiei decurge din

dependenţa liniară a lui ΔθΣi în funcţie de eroarea Δqi în (3.78), care a fost obţinută cu luarea în consideraţie numai a primilor termeni din seria Taylor de descompunere a funcţiei (3.74). De aceea influenţa erorii Δqi asupra caracteristicii de ieşire θΣ poate fi cercetată independent de erorile celorlalţi parametri în cazul unor variaţii mici ale parametrului qi în apropierea valorii nominale ale acesteia.

Fig.3.5. Schemă pentru determinarea coeficientului de influenţă

pe cale experimentală

În mod experimental valorile lui⎯Ni pot fi obţinute atât pe produsul finit, cât şi pe modelul fizic al acestuia. În acest caz este necesar să se asigure posibilitatea variaţiei parametrilor qi, de asemenea este necesar să se dispună de metode şi mijloace de efectuare a unor măsurători suficient de precise ale mărimilor ΔθΣ şi Δqi sau ale analogiilor acestora.

În cazul în care funcţia F(qi) este liniară sau cvasiliniară în raport cu variaţia lui qi, atunci valorile lui Δqi pot fi fixate destul de mari, acestea

MANAGEMENTUL CERCETĂRII 61netrebuind numai de cât să se afle în carul limitelor câmpului de dispersie a erorilor δi ale parametrului constructiv cercetat.

Pentru produse de fabricaţie cu o funcţie F(qi) neliniară coeficientul⎯Ni se determină ca fiind mărimea medie a tangentei unghiului de înclinare a tangentei la curbă în cadrul limitelor câmpului de dispersie δi sau ca fiind tangenta unghiului de înclinare a tangentei într-un punct corespunzând speranţei matematice a mărimii qi, figura 3.5. În cazul unui cost important a lucrărilor experimentale, procedeul considerat de determinare trebuie să fie folosit atunci când crearea unui sistem matematic adecvat al produsului fabricat conduce la dificultăţi metodice serioase sau este împiedicat de factorul timp.

În cadrul procesului de calcul aferent proiectării tehnologice a produsului, coeficientul ⎯Ni sau ⎯N0i se determină pe cale analitică – prin diferenţierea funcţiei F(qi), dar această cale necesită multe cazuri de îndeplinire a unor operaţiuni matematice dificile. Pentru reducerea volumului de calcul se propune metoda de determinare a coeficienţilor⎯Ni sau⎯N0i, bazată pe analiza particularităţii ecuaţiei funcţionale F(qi) a produsului considerat.

Dependenţa parametrilor caracteristicii de factorii constructiv-tehnologici ai produsului poate fi descrisă în cazul cel mai simplu prin operaţiuni de însumare sau înmulţire ale lui qi sau prin combinaţii ale acestor operaţiuni. În cazuri complexe ecuaţia funcţională a produsului considerat se exprimă prin sume şi produse de funcţii parţiale, ale căror argumente sunt factorii constructivi-tehnologici. În sfârşit, în cazurile cele mai complexe ecuaţia F(qi) exprimă o dependenţă de genul funcţie de funcţii, a căror argumente sunt reprezentate de parametrii qi.

Pentru fiecare din aceste categorii tip de dependenţe, ecuaţiile pentru determinarea lui⎯Ni se determină după reguli generale de diferenţiere. Trecerea de la⎯Ni la coeficienţii relativi de proporţionalitate⎯N0i poate fi efectuată cu ajutorul relaţiei (3.81).

Introducerea pe scară largă a calculatoarelor electronice în practica calculului şi proiectării aparatelor, precum şi în proiectarea tehnologică a acestora permite utilizarea pe scară largă a metodelor numerice de diferenţiere pentru determinarea coeficienţilor de influenţă⎯Ni şi⎯N0i. În această situaţie complexitatea modelelor matematice ale aparatelor, sistemelor de comandă şi ale elementelor acestora nu mai au o importanţă hotărâtoare.

3.9. Rezolvarea problemelor de precizie

la asamblarea produselor Una din etapele importante ale proiectării unui produs industrial,

indiferent de destinaţia acestuia, o constituie determinarea baterilor admisibile As şi Ai sau a limitelor câmpurilor de dispersie ale erorilor δi şi a coordonatelor mijlocului câmpurilor de toleranţe Δi, care în cazul procedeului ales de asamblare în condiţiile fabricaţiei de serie să asigure

Gh. COMAN 62 abateri ale caracteristicilor de ieşire ale produsului fabricat pentru a se încadra în limitele date As şi Ai.

După procedeul de asigurare a împrăştierii admisibile a erorilor de fabricaţie pentru parametrii de ieşire se deosebesc asamblări după principiul interschimbabilităţii elementelor constitutive şi asamblări cu compensarea erorii mărimii de ieşire.

În cazul asamblării după principiul interschimbabilităţii, precizia necesară a elementului de închidere ale lanţului de dimensiuni se asigură prin îmbinarea pieselor executate anterior, fără nici-o selectare, ajustare sau reglare a acestora.

În cazul în care la orice combinaţie ale abaterilor parametrilor qi ale tuturor elementelor constitutive din lanţul de dimensiuni în cadrul limitei câmpului de toleranţă, dimensiunea efectivă a mărimii de ieşire nu depăşeşte limitele As şi Ai la toate exemplarele, fără nici-o excepţie, ale produsului asamblat, interschimbabilitatea poartă denumirea de interschimbabilitate totală. Ca urmare acestui fapt metoda interschimbabilităţii totale este aplicabilă produselor de înaltă precizie cu un număr mic de elemente constitutive sau produselor cu multe elemente constitutive în lanţul de dimensiuni dar cu precizie redusă pentru mărimea elementului de închidere.

Ţinând seama de faptul că erorile de fabricaţie a elementelor constitutive din lanţurile de dimensiuni se supun, în general, legii normale de repartiţie şi că combinarea elementelor conjugate este aleatorie, se pot mări întrucâtva limitele câmpului de dispersie a erorilor de fabricaţie pentru elementele componente qi, rezultând în acest caz un procent oarecare de produse rebutate, cu eroarea elementului de închidere al lanţului de dimensiuni mai mare decât toleranţa prescrisă, datorită combinaţiilor nefavorabile ale erorilor componentelor. Un astfel de proces de asamblare poartă denumirea de asamblare după principiul interschimbabilităţii parţiale.

În cazul asamblării după principiul interschimbabilităţii totale se determină δi şi Δi (fiind cunoscute δΣ, şi ΔΣ) cu ajutorul expresiilor (5.89)…(5.93).

În acest caz vor fi următoarele condiţii suplimentare necesare: 1. condiţia costului total minim al fabricaţiei. Condiţia preciziei şi

costului fabricaţiei produsului se exprimă prin sistemul de ecuaţii:

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

=

==Σ

)(..............

)()(

11

nn

ii

fC

fCNf

δ

δδδ

(3.96)

Costul total minim va fi:

n

nni d

dCN

ddC

NddCN

δδδ=== ...

2

22

1

1 (3.97)

În baza expresiei sumei pentru eroarea totale (3.78) şi a expresiei (3.97) se fixează toleranţa în aşa fel încât derivatele legilor variaţiei

MANAGEMENTUL CERCETĂRII 63costului de fabricaţie în punctele toleranţelor alese să fie identice, iar suma toleranţelor să nu depăşească valoarea δΣ.

2. condiţia egalităţii toleranţelor. În cazul acestui procedeu, pentru toţi parametrii qi se fixează toleranţe egale cu o oarecare mărime medie:

∑∑−

=Σ

−

cauti

cunii

med N

N δδδ

.min)(max (3.98)

∑∑−

=Σ

cautii

cuniii

probmed kN

kN

22

2222

)(

.δδδ

(3.99)

unde ∑cun

reprezintă suma toleranţelor cunoscute: ∑caut

reprezintă

însumarea mărimilor Ni sau Ni.ki ale parametrilor pentru care toleranţele se determină prin calcul.

Procedeul nu ia în consideraţie variaţia costului fabricaţiei în funcţie de gradul de precizie, de aceea el este aplicabil produselor la care costul de fabricaţie depinde prea puţin de precizie.

3. condiţia preciziei egale sau a toleranţelor relative egale. Pentru parametrii a căror precizie este reglementată pe clase, mărimea toleranţei este:

)(. ii qua=δ (3.100) în care a este un coeficient ce caracterizează clasa de precizie; u(qi) reprezintă unitatea de toleranţă care depinde de valoarea nominală a parametrului.

Mărimea a se determină cu expresia:

∑∑−

=Σ

−

cautii

cunii

med quN

Na

)(max)(min

δδ

(3.101)

∑∑−

=Σ

cautiii

cuniii

probmed qukN

kNa

)(222

2222

)(

δδ

(3.102)

În funcţie de valoarea determinată pentru amed se determină clasa cea mai apropiată de precizie şi în concordanţă cu ea se fixează toleranţele.

În cazul în care este necesară asigurarea unei mărimi de ieşire cu grad înalt de precizie, care nu poate fi atinsă prin metodele interschimbabilităţii totale, se aplică calculul toleranţelor δi prin metoda interschimbabilităţii de grup (selecţie). În acest caz, parametrilor qi li se fixează toleranţe mai mari (un multiplu al toleranţei funcţionale), justificate

Gh. COMAN 64 din punct de vedere economic. Înaintea asamblării piesele se sortează pe grupe de precizie, după mărimea abaterii în aşa fel încât la asamblarea pieselor din grupe de acelaşi fel abaterile mărimii de ieşire să nu întreacă limitele admisibile.

Vom considera, spre exemplificare, următorul exemplu. Se cere să se asigure o variaţie a mărimii de ieşire în limitele câmpului de toleranţă δΣ, delimitat de abaterile As şi Ai. Să presupunem că mărimea de ieşire θΣ este o funcţie de doi parametri q1 şi q2 cu coeficienţi de influenţă N1 = N2 = 1. Repartiţie toleranţelor poate fi proporţională, figura 5.6-a, de paritate figura 5.6-b şi nestaţionară.

În cazul repartiţiei “în paritate” se fixează toleranţe de selecţie egale pentru q1 şi q2. În acest caz toleranţa de grupă de selecţie va fi: δgr = 0,5.δΣ.

Să presupunem că din motive constructiv-tehnologice au fost alese toleranţe de fabricaţie δ’1 şi δ’2, în care caz numărul grupelor de sortare va fi:

Σ

==δδ

δδ ''

max2 i

gr

ik (3.103)

pentru una din dimensiuni abaterile se determină prin metoda “max-min” prin alegerea sistemului de ajustaj. Să presupunem că s-a adoptat sistemul de ajustaj unitar, în care caz:

2;0 1111

Σ+==δ

si AA (3.104)

Pentru cea de a doua dimensiune vom avea:

⎪⎭

⎪⎬⎫

−=−=

−=−=

ΣΣΣ

ΣΣ

sssi

iiis

AAAA

AAAA

δ21

1121

1121

(3.105)

Coordonatele mijloacelor câmpurilor toleranţelor primei şi a celei de a doua dimensiuni în grupa I vor fi:

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

Δ−=Δ

=Δ

Σ

Σ

Σ

4

4

21

11

δ

δ

(3.106)

Coordonata mijlocului câmpului toleranţei grupei cu numărul de ordine k se determină cu ajutorul expresiei:

4).1(1

Σ−+Δ=Δδkiik (3.107)

În acest caz abaterile în grupa de ordin k pot fi determinate cu expresia:

MANAGEMENTUL CERCETĂRII 65

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

−+Δ=

−+Δ=

Σ

Σ

4)32(

4)12(

1

1

δ

δ

kA

kA

iiki

isik

(3.108)

Fig.3.6. Schema sortării în grupe în cazul repartiţiei proporţionale (a)

şi în paritate (b) a toleranţei între două elemente (în sistemul alezaj unitar pentru θ = q1 – q2)

Numărul de piese care ajung, cu ocazia sortării, într-o anumită grupă, este determinat de probabilitatea obţinerii abaterii în cadrul limitelor grupei. În cazul unei legi normale a repartiţiei, probabilitatea obţinerii abaterilor mărimii aleatorii X în cadrul limitelor x1 şi x2 se determină cu expresia: P(x1<x<x2) = F(x2) – F(x1) = Φ[(x2 – mx)/σx] - Φ[x1 – mx)/σx (3.109)

În care Φ(z) este funcţia lui Laplace, tabelată; mx – media aritmetică. Dat fiind faptul că numărul pieselor conjugate într-o grupă de

acelaşi fel poate să difere, în cazul metodei selective de asamblare este posibilă apariţia unei producţii neterminate.

Pentru eliminarea producţiei neterminate se poate utiliza următoarea metodă de grupare cu construcţia histogramelor de repartiţie pentru dimensiunile conjugate, prezentată în figura 3.7.

După măsurarea abaterii efective a mărimii de ieşire se variază un parametru în aşa fel încât abaterea mărimii de ieşire să se micşoreze până la limitele admisibile.

Elementul al cărui mărime se modifică în cadrul procesului de asamblare poartă denumirea de element compensator al erorii excedentare a mărimii de ieşire.

Valoarea maximă a compensaţiei în cazul unei dispuneri corecte a abaterilor efective în raport cu câmpul de toleranţă va fi:

ak max = δ’Σ - δΣ (3.110)

iar pentru toleranţa pe ambele părţi:

Gh. COMAN 66

ak max = 0,5.(δ’Σ - δΣ) (3.110) În cazul unor poziţii nesimetrice ale câmpului de împrăştiere în raport

cu câmpul toleranţei, mărimea compensaţiei în sensul micşorării va fi:

ΣΣ −= ssk AAa ' (3.111)

iar în sensul creşterii va fi:

ΣΣ −= iik AAa ' (3.112)

Fig.3.7. Histograma repartiţiei

dimensiunilor conjugate în grupe, pentru ajustajul alunecător Variaţia dimensiunii elementului

de închidere în procesul compensaţiei va fi:

kkk NaP = (3.113) sau:

kkk NaP maxmax = (3.114) Valoarea optimă a coeficientului

de influenţă a compensatorului Nk opt trebuie să se afle cuprinsă între limitele:

minmin

05,0.5,0

kkopt

k PN

PΣΣ >>

δδ (3.115)

Compensarea prin ajustare a dimensiunii compensatorului, la faţa locului, se foloseşte la îmbinările mecanice unde prin operaţiuni de finisare (rodare, lepuire, alezare etc.) se asigură precizia necesară a îmbinării.

Procesul reglării (a compensării continue sau fără trepte) prevede introducerea în construcţia subansamblului a unui element cu mărime variabilă continuă, variaţia dimensiunii acestuia putând conduce la compensarea erorii elementului de închidere. Sub aspectul metodei de calcul, reglarea este absolut identică cu ajustarea.

Cu toată deosebirea care există între sisteme, din punct de vedere a destinaţiei lor de exploatare şi a realizării lor constructive, problema asigurării preciziei de asamblare se reduce la problema obţinerii preciziei prescrise a elementului de închidere a lanţului de dimensiuni sau a lanţului cinematic corespunzător construcţiei date a mecanismului.

Există trei posibilităţi de mărire a preciziei de asamblare: micşorarea erorilor fiecărui element component al lanţului de dimensiuni; micşorarea numărului de elemente componente în lanţul de dimensiuni; micşorarea coeficientului de transfer. Efectul maxim se obţine când se folosesc simultan a acestor posibilităţi. Însă, în cazuri concrete, datorită particularităţilor constructive sau tehnologice, o astfel de rezolvare a problemei nu este totdeauna posibilă. Astfel, pentru lanţurile de dimensiuni liniare monodimensionale, mărirea preciziei prin micşorarea coeficienţilor de influenţă este imposibilă. Dificultatea problemei constă în

MANAGEMENTUL CERCETĂRII 67aceea că în prezent se pun condiţii deosebit de pretenţioase faţă de precizia de asamblare a produselor industriale, iar toleranţa elementului de închidere al lanţului de dimensiuni este comensurabilă cu mărimile erorilor componente.

În vederea micşorării erorii de asamblare care apare ca urmare a însumării erorilor elementelor componente, se recurge tot mai des la cea de a patra cale de mărire a preciziei de asamblare care poate fi denumită metoda compensării reciproce a erorilor. Această metodă se bazează pe faptul că precizia elementului de închidere nu depinde de numărul elementelor componente, dacă toate aceste erori se compensează reciproc.

În cazul compensării reciproce a erorilor, spre deosebire de primele trei procedee, mărirea preciziei poate fi realizată chiar şi în ipoteza creşterii numărului de elemente şi a creşterii erorilor elementelor.

Pentru realizarea metodei compensaţiei reciproce a erorilor este necesară îndeplinirea uneia din următoarele condiţii: la executarea pieselor subansamblului se garantează existenţa unui set de abateri pozitive şi negative, egale sau apropiate în valoare absolută; în lanţul de dimensiuni există un element care compensează toate celelalte erori.

Ultima condiţie prevede nu pur şi simplu existenţa unui element compensator, a cărui dimensiuni se reglează prin ajustare, selecţie sau reglare, ci se are în vedere un element care compensează în mod automat erorile de asamblare.

Fig.3.8. Schema unui multiplicator cu roţi dinţate, cu compensarea erorii cu

ajutorul unui diferenţial (D)

Fig.3.9. Transmisie dinţată magnetică de tip

“cremalieră – pinion”

Se vor prezenta câteva exemple de mărire a preciziei de asamblare, în care prin folosirea unor procedee constructiv-tehnologice se asigură principiul compensării erorilor.

Exemplu de creştere a preciziei la asamblarea unui multiplicator cu roţi dinţate, cu compensarea erorii cu ajutorul unui diferenţial. Se cere să se mărească precizia unui multiplicator cu roţi dinţate, figura 3.8.

Gh. COMAN 68 Rezolvare. În acest scop roţile dinţate şi pinioanele mici se

prelucrează în două exemplare dintr-o singură instalare a semifabricatelor, iar poziţia lor reciprocă se marchează. Din piesele obţinute se asamblează două multiplicatoare, iar axele de ieşire ale acestora se unesc printr-un diferenţial. Cele două ramuri ale multiplicatorului se asamblează în aşa fel încât eroarea cumulată ajunge la diferenţial cu sume diferite şi în diferenţial are loc o compensare reciprocă a erorii cumulate.

Exemplu de creştere a preciziei la asamblarea unei transmisii dinţate magnetică de tip “cremalieră-pinion”. La un reductor cu roţi dinţate se cere să se mărească precizia, eliminându-se jocul, uzura şi erorile distanţelor dintre axe.

Rezolvare. În acest scop roţile dinţate se execută dintr-un material feromagnetic, distanţa dintre axe se alege în aşa fel încât între cercurile exterioare ale roţilor dinţate să existe un joc. Roţile se dispun într-un câmp magnetic. Datorită interacţiunii magnetice, între dinţi apar forţe de atracţie reciprocă, iar în angrenaj se formează o angrenare magnetică, figura 3.9. Datorită acestui fapt în angrenaj se elimină complet jocul, uzura roţilor dinţate din cauza frecării, eroarea distanţei dintre axe de asemenea nu mai influenţează asupra preciziei transmisiei. Apar o serie de avantaje suplimentare: a – materialul roţilor dinţate poate fi necălit; b – profilul dintelui nu influenţează precizia transmisiei şi el poate fi executat dreptunghiular sau trapezoidal; c – reductorul nu necesită ungere; d – în timpul funcţionării reductorului se asigură un caracter lin al mersului angrenajului şi lipsa zgomotului; e – se micşorează momentul de rotaţie; f - se măreşte durabilitatea angrenajului.

Calculul lanţurilor de dimensiuni cu elemente cinematice. La baza calculului preciziei maşinilor, aparatelor şi sistemelor de comandă stă analiza multilaterală a elementelor componente în cadrul interacţiunii lor şi a interdependenţei lor cu luarea în considerare a abaterilor dimensiunilor în cadrul limitei toleranţelor acestora.

În cazul analizei sistemelor, ale căror elemente se îmbină la asamblare numai mecanic, se disting două categorii de legături mecanice: 1. elemente de asamblare, a căror precizie de ieşire este determinată de suma dimensiunilor pieselor care se îmbină; 2. mecanisme cinematice, unde precizia este o funcţie ce depinde de deplasarea elementului conducător şi de parametrii mecanismului.

Ca metodologie matematică de însumare a erorilor sau a abaterilor admisibile ale dimensiunilor, formei sau poziţiei reciproce a pieselor şi suprafeţelor din prima categorie serveşte teoria lanţurilor de dimensiuni.

Lanţul de dimensiuni reprezintă un contur al unor dimensiuni legate constructiv, dimensiuni care determină poziţia reciprocă a suprafeţelor sau axelor pieselor sau subansamblelor.

Toate dimensiunile care alcătuiesc conturul lanţului poartă denumirea de elemente. Fiecare lanţ de dimensiuni are numai un singur element la care toţi parametrii acestuia (adică dimensiunile nominale, abaterile şi câmpurile de toleranţe) sunt o funcţie care depinde de

MANAGEMENTUL CERCETĂRII 69parametrii corespunzători ai celorlalte elemente. Elementul respectiv poartă denumirea de element de închidere.

Ecuaţia de bază a lanţului de dimensiuni pentru dimensiuni nominale este:

∑=

Σ =n

iii ANA

1

. sau ∑ ∑= +=

Σ −=m

i

n

miiiii ANANA

1 1

.. (3.116)

unde i = 1 ÷ n reprezintă indicii elementelor componente; elementele cu indici de la 1 la m sunt elemente “măritoare”, iar elementele cu indici de la m+1 la n sunt elemente “reducătoare”.

Lanţul de dimensiuni poate fi calculat dacă pentru fiecare element se cunosc coeficienţii de influenţă. La lanţurile de dimensiuni liniare coeficienţii de influenţă a tuturor elementelor Ni = 1.

Coeficienţii de influenţă a lanţurilor bi- şi tridimensionale cu elemente liniare sunt egale ca mărime cu cosinusul unghiului între direcţia elementelor Ai şi a elementului de închidere AΣ:

( )ii AAN Σ= cos (3.117) În cazul rezolvării lanţurilor de dimensiuni mixte, care cuprind şi

elemente unghiulare, acestea din urmă se înlocuiesc cu elemente echivalente liniare.

La lanţurile de dimensiuni la care legătura între dimensiunile unghiulare şi liniare ale lanţului de dimensiuni cu un element de închidere care se exprimă printr-o funcţie analitică, coeficienţii de influenţă se determină prin diferenţiere.

Particularitatea lanţurilor cinematice este dependenţa funcţională între poziţiile elementelor. Argumentele acestei funcţii sunt dimensiunile liniare şi unghiulare ale elementelor mecanismului. În cazul în care poziţia elementului de intrare a lanţului cinematic este dată, sunt pe deplin aplicabile ecuaţiile generale de însumare a toleranţelor şi abaterilor elementelor în cazul în care pentru fiecare dintre acestea se cunosc coeficienţii de influenţă. Coeficienţii de influenţă se determină analitic, grafo-analitic sau experimental.

3.10. Asigurarea preciziei şi a interschimbabilităţii

elementelor electrice şi magnetice Bazele teoretice ale calculului preciziei circuitelor electrice sunt

prezentate în manualele de specialitate. Bazele interschimbabilităţii care au fost prezentate mai sus cu referire la lanţurile de dimensiuni geometrice sunt aplicabile şi pentru elementele electrice.

În mod practic, orice circuit electric poate fi reprezentat sub forma unui multiplu de poli (n-pol) care conţine m elemente cu parametrii qi (i = 1, 2,…,m) şi j surse de energie cu f.e.m., Ek (k = 1, 2,…,j). Se va nota prin ϕk = ϕk(q1,q2,…,qm) funcţia de transfer a circuitului, adică mărimea tensiunii curentului de ieşire, create de către sursa de energie cu nr. de ordine k cu diferenţă de potenţial egală cu unitatea.

Gh. COMAN 70 Pentru un circuit electric liniar în baza principiului suprapunerii

efectului se poate scrie că eroarea totală a semnalului de ieşire este:

∑∑==

Σ Δ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

=Δm

ii

i

kj

ik q

qEv

1 01

ϕ (3.118)

Cauzele primare ale erorilor elementelor Δqi sunt abaterile parametrilor elementelor de la valorile lor nominale, precum şi rezistenţele, capacităţile şi inductanţele de montaj suplimentare ca elemente parazite.

Conform simbolizărilor adoptate anterior, mărimea: ( )0ikk qE ∂∂ϕ poate fi denumită coeficient de influenţă a erorii celui de al i-lea element asupra semnalului de ieşire atunci când în circuitul electric acţionează cea de a k-a sursă de energie, cu alte cuvinte, se poate scrie:

0, ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

=i

kkik q

ENϕ

(3.119)

Din expresia (3.118) rezultă că calculele erorii semnalului de ieşire este legat de determinarea coeficienţilor de influenţă de forma (3.119). Alcătuirea nemijlocită a funcţiilor de transfer ale circuitelor reale, urmată de diferenţiere, necesită, în majoritatea cazurilor, calcule foarte greoaie, iar de multe ori prezintă dificultăţi tehnice care nu pot fi rezolvate. Dar în cazul cercetării preciziei circuitelor electrice coeficientul de influenţă susmenţionat poate fi determinat destul de simplu cu ajutorul metodei circuitelor transformate.

Să presupunem că în circuitul cercetat (figura 3.10-a), pe porţiunea cd rezistenţa Rs are o eroare ΔRs care poate fi considerată ca o rezistenţă suplimentară cuplată în serie cu Rs. Ca urmare a variaţiei rezistenţei pe porţiunea cd se va propaga un curent care va avea intensitatea egală nu cu is, ci cu is + Δis şi va exista o cădere suplimentară de tensiune:

ΔUcd = (is + Δis).ΔRs ≈ is.ΔRs (3.120)

Fig.3.10. Schemă ajutătoare pentru determinarea coeficientului de

proporţionalitate a erorii elementului de schemă Rs Aceeaşi cădere de tensiune va exista şi în cazul cuplării circuitului

ideal pe porţiunea cd, în serie cu rezistenţa Rs, a unui generator suplimentar, a cărui rezistenţă interioară este egală cu zero, iar forţa

MANAGEMENTUL CERCETĂRII 71

electromotoare este egală cu ΔUcd. Pe baza principiului suprapunerii efectelor (superpoziţiei) tensiunea de ieşire Uab + ΔUab creată de cele două surse E şi Ucd este egală cu suma tensiunilor, fiecare din aceste tensiuni obţinându-se de la acţiunea unei singure surse în timp ce cealălaltă este scurtcircuitată. Schema pentru determinarea lui ΔUab este reprezentată în figura 3.10-b şi poartă denumirea de circuit transformat. Circuitul transformat pentru o eroare primară dată se obţine din circuitul ideal, scurtcircuitându-se polii sursei de alimentare şi formându-se o nouă pereche de poli în locul în care există eroarea primară studiată.

Fig.3.11. Determinarea coeficienţilor Ni şi N0i pe cale experimentală cu ajutorul me-todei circuitelor transformate (Schemele de măsurare: a - a conductivităţii de pier-dere în circuitul real; b – a erorii elemen-tului de schemă în circuitul transformat; c – a conductibilităţii de pierdere în circuitul

transformat

Fig.3.12. Scheme pentru determinarea

coeficienţilor de influenţă

Înţelegând prin funcţie de transfer de la polii gf la polii ab raportul:

ϕgf,ab = Uab/Ugf (3.121) şi rezolvând circuitul electric transformat, se obţine:

ΔUab = E.ϕgf,ab.ΔRs/Rs (3.122) Comparând (3.122) cu (3.118) şi luând în consideraţie expresia

(3.119) obţinem formula pentru determinarea coeficientului de influenţă în cazul erorilor primare:

Gh. COMAN 72

sabedabcds REN ,, .. ϕϕ= (5.123) Prin urmare, pentru determinarea coeficientului de influenţă, în locul

alcătuirii funcţiei de transfer a circuitului real şi a diferenţierii acesteia, trebuie să aflăm două funcţii de transfer ale circuitelor ideale – ale circuitului studiat şi ale circuitului transformat – şi să înmulţim între ele aceste funcţii.

Folosind legătura cunoscută între coeficientul de influenţă relativ şi absolut, se poate scrie:

Nos = ϕab,cd.ϕed,ab (5.124) Metoda circuitelor transformate permite să se separe deplasarea

suplimentară a sistemului de deplasarea de bază şi să se studieze această deplasare suplimentară la o scară mare. Introducând o tensiune echivalentă v, se obţin toţi curenţii suplimentari şi toate tensiunile suplimentare în anumite ramuri ale sistemului, la aceeaşi scară. Prin urmare, circuitul transformat poate fi folosit nu numai pentru cercetarea analitică, ci şi pentru cercetarea experimentală a erorilor sistemului şi pentru determinarea coeficienţilor relativi sau absoluţi de influenţă.

La alcătuirea circuitului transformat trebuie avut în vedere faptul că în cazul determinării coeficientului Ns sau N0s pentru erori care măresc rezistenţa pe porţiunea de circuit (adică erori ale lui R, iar în circuitele de curent alternativ se adaugă erori ale inductanţelor şi inducţiilor mutuale), sursa echivalentă se cuplează în serie cu elementul de schemă, iar în cazul determinării coeficientului Ns sau N0s pentru erori care conduc la creşterea conductibilităţii (adică conductibilităţii parazite, erori ale capacităţilor) sursa echivalentă se cuplează în paralel cu porţiunea pe care acţionează eroarea.

Pentru determinarea experimentală a coeficientului Ns pentru fiecare element de schemă sau eroare primară a conductibilităţii de pierdere ΔAs este necesar să se efectueze următoarele (vezi figura 3.11):

a. în circuitul real, cu sursele de alimentare cuplate, se va măsura intensitatea curentului is sau tensiunea Us pe porţiunea în care acţionează eroarea;

b. se va alcătui circuitul transformat (se vor închide toate sursele alimentare şi se va cupla sursa echivalentă cu eroarea) şi se va măsura tensiunea ΔU la ieşire şi tensiunea forţei electromotoare a sursei suplimentare ΔUs sau Δis – intensitatea curentului pe porţiunea pe care acţionează eroarea.

Pentru determinarea lui N0s se măsoară în circuitul real tensiunea Uab pe bornele de ieşire şi tensiunea Us pe porţiunea în care acţionează eroarea, iar în circuitul transformat se măsoară tensiunea sursei suplimentare de forţă electromotoare ΔUs şi tensiunea pe bornele de ieşire ΔUΣ. În figura 3.12 sunt arătate schemele de măsurare ale mărimilor necesare pentru determinarea lui Ns şi N0s.

Circuitele transformate pot fi folosite şi pentru determinarea analitică a factorilor din expresiile coeficienţilor Ns şi N0s, de exemplu se determină coeficientul de influenţă a erorii rezistenţei R a divizorului prezentat în figura 3.12-a. Conform legii a doua a lui Kircoff pentru

MANAGEMENTUL CERCETĂRII 73conturul circuitului divizorului, care cuprinde în el mărimile Uintr, R1, R2 şi R3 vom avea:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+=32

1int 111.

RRRiU r

în care ( ) ( )32312132int RRRRRRRRUi r +++= . Pentru acelaşi contur al circuitului transformat (figura 3.12-b) avem:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+Δ=Δ32

11 111.

RRRiU

Pentru conturul care cuprinde mărimile ΔUab, R2 şi R3 ale circuitului transformat, conform legii a doua a lui Kircoff avem:

32

32

32

..

111.

RRRR

iRR

iU ab +Δ=

+Δ=Δ

Conform expresiei (3.123) rezultă coeficientul: ( )

( )2323121

3232int ...

..1 RRRRRR

RRRRUN rR

++

+=

Pentru determinarea coeficientului de influenţă relativ a erorii parametrului R1 trebuie să mai determinăm încă şi raportul U1/Uieş pentru circuitul real. Căderea de tensiune pe rezistenţa R1 va fi U1 = i.R1; substituind în ea expresia i obţinem:

( )323121

321int1 ...

..

RRRRRRRRR

UU r +++

=

Rezolvând sistemul de două ecuaţii alcătuite în baza legii a doua a lui Kircoff pentru conturul Uintr, R1, R2, R3 şi Uieş, R2, R3, rezultă expresia pentru tensiunea de ieşire:

323121

32int ...

.RRRRRR

RRUU rieş ++

=

Prin urmare, rezultă raportul: ( )

32

3211

..

RRRRR

UU

ieş

+=

Substituind expresiile lui U1/Uieş şi ΔU/ΔU1 din (3.121) şi (3.124) obţinem:

( )323121

3210

....

1 RRRRRRRRR

N R++

+=

Semnul lui 1RN poate fi stabilit uşor în funcţie de sensul acţiunii erorii ΔR1. Creşterea lui R1 în exemplul considerat cauzează o micşorare a lui Uieş; prin urmare parametrul R1 face parte din grupa parametrilor negativi.

În circuitul transformat (figura 3.12-c), pentru determinarea coeficientului de influenţă a pierderilor parazite pe porţiunea rezistenţei, în conformitate cu legea lui Kircoff avem:

Gh. COMAN 74

323121

321

3211 .....

1111

RRRRRRRRR

RRRiU

++=

++=

ΔΔ

Căderea de tensiune U1 pentru circuitul iniţial al divizorului pe porţiunea rezistenţei R1, unde are loc pierderea de curent ΔA1, a fost determinată anterior.

Conform expresiei (3.123) rezultă coeficientul: ( )

( )2323121

32322

1int ...

..1 RRRRRR

RRRRRUN rA

++

+=Δ

Nominalul conductibilităţii parazite este egal cu zero, de aceea coeficientul relativ de influenţă este egal şi el cu zero. Dar din aceasta nu rezultă că în calculele circuitelor nu trebuie să luăm în consideraţie erorile de acest fel, deoarece abaterile relative în acest caz sunt mărimi infinit de mari. Abaterea şi toleranţele conductibilităţilor parazite trebuie să se însumeze cu abaterile şi toleranţele altor elemente numai în mărimi absolute.

Circuitele electrice de curent alternativ, care în afara rezistenţelor active mai au şi capacităţi, inducţii şi inducţii mutuale (circuite cu parametrii R, C, L şi M), pot fi descrise cu ajutorul ecuaţiilor diferenţiale. Erorile parametrilor de ieşire a unor astfel de circuite depind de frecvenţa şi forma semnalului de intrare.

În cazul unei acţiuni de intrare sinusoidale, parametrul circuitului electric poate fi exprimat într-o formă simbolică. Având în vedere faptul că în acest caz ecuaţiile circuitului electric se scriu într-o formă algebrică, ca şi pentru curentul continuu, ecuaţia iniţială a erorii circuitului electric şi expresiile pentru Ni şi N0i, obţinute în baza acestei ecuaţii, rămân valabile.

Pentru o acţiune periodică nesinusoidală, folosind noţiunea de sinusoidă echivalentă, putem şi în acest caz să aducem ecuaţia integrodiferenţială la o formă algebrică. Trebuie să sublniem aici faptul că utilizarea noţiunii de coeficient de influenţă, în sensul în care a fost definit anterior, este posibilă numai pentru un regim stabilizat de funcţionare a circuitului electric.

Pentru circuitele electrice care conţin elemente neliniare, metoda considerată nu poate fi aplicată, deoarece ea se bazează pe principiul superpoziţiei (suprapunerii efectelor). Totuşi, mici modificări introduse în metoda circuitelor transformate permit să folosim această metodă în multe cazuri practice. În cazul în care elementul neliniar are o caracteristică tensiune-curent univocă şi dacă se respectă condiţia nesemnificaţiei erorilor tuturor elementelor circuitului (adică se respectă condiţia ca erorile tuturor elementelor circuitelor sunt mici), atunci, înlocuind caracteristicile statice ale elementelor (ale rezistenţelor, inductanţelor, capacităţilor) care sunt neliniare, prin caracteristicile dinamice ale acestor elemente în punctul valorilor nominale ale curenţilor şi tensiunilor, putem obţine un circuit transformat. Pentru acest circuit transformat sunt valabile, cu o precizie de până la mărimi mici de ordinul doi, principiul suprapunerii, deci şi expresiile obţinute anterior pentru analiza preciziei circuitelor liniare.

Particularităţile de calcul a interschimbabilităţii elementelor magnetice. Calculul preciziei elementelor magnetice sub aspectul

MANAGEMENTUL CERCETĂRII 75parametrilor interschimbabilităţii funcţionale necesită o analiză simultană a problemelor de proiectare şi tehnologică. În acest caz este necesară folosirea expresiilor existente sau obţinerea unor expresii perfectate de felul expresiei (3.74), care să descrie în mod adecvat (să dea o descriere adecvată) legătura care există între parametrii geometrici, magnetici şi electrici de intrare şi de ieşire ai elementelor magnetice.

Pentru construirea modelelor matematice ale elementelor magnetice se utilizează pe scară largă expresii analitice care aproximează caracteristicile experimentale de bază ale materialelor magnetice: curbele de magnetizare şi de demagnetizare, pierderile de histerezis şi pierderile ocazionale de curenţi turbionari etc.

Fig.3.13. Schema constructivă a traductorului de moment

(1 – conductorul magnetic; 2 – magnet permanente; 3 – bobină; 4 – paharul magnetic)

Folosirea în practica calculului sistemelor magnetice a unor scheme

echivalente de substituire, compuse din forţe magnetomotoare concentrate şi rezistenţe magnetice, permite, în principiu, să se folosească pentru cercetarea interschimbabilităţii elementelor magnetice metoda de analiză a preciziei circuitelor electrice. În acest caz, rezistenţele magnetice se definesc şi se determină ca funcţii având ca argument parametrii geometrici ai sistemului magnetic şi caracteristicile materialelor magnetice folosite.

Abordarea generală a problemei preciziei elementelor magnetice va fi analizată prin considerarea unui exemplu, şi anume, a unui traductor

Gh. COMAN 76 magnetoelectric de moment, care constituie un element funcţional tipic pentru aparatele giroscopice moderne. Schema constructivă a traductorului este prezentată în figura 3.13. Parametrul de ieşire al unor astfel de elemente magnetice îl constituie panta caracteristicii statice de ieşire:

Ktrad = n.B.Lbob.Dbob.w (3.125) unde n reprezintă numărul bobinelor; B – valoarea medie a inducţiei în întrefier; Lbob – lungimea activă a bobinelor; Dbob – diametrul mediu al bobinelor; w – numărul spirelor într-o singură bobină.

Pentru schema constructivă considerată a traductorului s-a stabilită că:

Lbob = (hbobină + hmontură)/2 (3.126) unde hbobină – lîţimea totală a bobinei (hk); h montură – lăţimea monturii dispozitivului în care se efectuează formarea bobinei impregnate cu lac (h0 = 2,54 mm).

Cercetarea topografiei câmpului magnetic în întrefierul sistemului magnetic şi rezultatele măsurării momentului dezvoltat de către traductor au arătat că parametrul de ieşire Ktrad nu este sensibil faţă de dispersarea tehnologică a mărimii Dbob.

Fig.3.14. Poligonul de distribuţie a parametrilor constructivi de bază ai traductorului de moment

Având în vedere faptul că bobinele se bobinează pe maşini

prevăzute cu contor de spire, vom presupune că eroarea parametrului w practic nu există. Prin urmare, parametrii constructivi care influenţează asupra erorii parametrului traductorului sunt: B şi hbob. În baza expresiilor (3.79), (3.81) şi (3.125), pentru aceşti parametri constructivi avem:

100 == bobtradtrad hKBK NN Analiza preciziei obţinerii parametrilor constructivi susmenţionaţi a

fost efectuată pe un lot de traductoare de moment care conţinea 150 buc. Poligoanele de distribuţie a parametrilor B şi hbob sunt prezentate în figura 3.14-a şi, respectiv figura 3.14-b. Dat fiind că în documentaţia tehnică nu se reglementează valorile nominale şi abaterile admisibile ale inducţiei în întrefier şi în lăţimea totală a bobinei, se adoptă pentru aceşti parametri drept valori nominale speranţele lor matematice, iar drept mărimi ale

MANAGEMENTUL CERCETĂRII 77

câmpurilor de toleranţe δi – câmpurile practic limită ale dispersiei, egale cu ±3.σi. În funcţie de rezultatele prelucrării statistice a datelor experimentale cu luarea în considerare a relaţiilor (5.87) şi (5.88) s-au obţinut următoarele estimaţii ale preciziei formării parametrilor constructivi B şi hbob ale traductorului: B = 5.10-2T, σB = 9.10-6T, δ0B = 0,11(11%), αB =

0, KB = 1, hbob= 8,82 mm, bobhσ = 0,068(6,8%), bobhα = 0, bobhK = 1.

Este evident că erorile parametrilor B şi hbob nu sunt corelate între ele. Vom presupune că eroarea totală (însumată) a parametrului de ieşire a traductorului de moment respectă legea lui Gauss cu un câmp de

toleranţă tradKδ = tradKσ.3± . În acest caz (Ktrad = 1) mărimea:

20

220

20

200 ......

bobbobtradtradtrad hhbobKBBKK KhNKBN δδδ +=

Efectuând calculele rezultă tradK0δ = 0,13(13%).

Ponderile ψi care alcătuiesc eroarea totală (însumată) tradK0δ pot fi

determinate din expresiile: 2

0

00 ... ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

trad

trad

K

BBKB

KBNδ

δψ

2

0

00 ...⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

trad

bobbobtrad

trad K

hhbobKh

KhNδ

δψ

unde hbob – lăţimea totală a bobinei; hmontură – lăţimea monturii dispozitivului în care se efectuează formarea bobinei impregnate cu lac (h0 = 2,54 mm).

Fig.3.15. Poligoanele de distribuţie ale proprietăţilor principale ale materialului magnetic

La formarea mărimii tradK0δ partea care revine erorilor tehnologice ale

parametrului B reprezintă 73%, iar partea care revine parametrului hK este 27%.

Un interes mare îl prezintă analiza formării erorii totale (însumate) a parametrului B a sistemului magnetic al traductorului de moment. În acest scop, a fost efectuată o cercetare statistică a preciziei de formare a parametrilor principali ai aliajului din care se toarnă magnetul hexapolar al traductorului. Cu ajutorul rezultatelor prelucrării buclelor limită de histerezis,

Gh. COMAN 78 înregistrate pe un lot de epruvete decupate din polii magneţilor turnaţi, s-au construit poligoanele de distribuţie ale inducţiei reziduale Br (figura 3.15-a), a forţei coercitive Hc (figura 3.15-b) şi a coeficientului de convexitate a curbei de demagnetizare γB (figura 3.15-c). În funcţie de rezultatele prelucrării statistice s-au obţinut următoarele estimaţii precizionale ale parametrilor: Br = 785.10-3T, σBr = 183.10-4T, δ0Br = 0,14(14%), αBr = 0, KBr = 1, Hc = 53,5 kA/m, σHc = 1,6 kA/m, δ0Hc = 0,18(18%), αHc = 1, γB = 0,35, σγb = 0,012, δ0γb = 0,21(21%), αγb = 0, Kγb = 1.

Eroarea parametrului γB, caracterizează în modul cel mai complet dispersia tehnologică a proprietăţilor magneţilor permanenţi. În afară de aceasta, s-a arătat prin calcul şi pe cale experimentală că pentru sistemele magnetice ale traductoarelor de moment, erorile de fabricaţie ale parametrilor geometrici q2j nu exercită în mod practic nici o influenţă asupra erorii totale însumate ale parametrului de ieşire B, care poate fi calculată aproximativ cu relaţia δ ≈ 0,7.δ0γb.

Prin urmare, eroarea parametrilor de ieşire a traductorului este determinată în cea mai mare parte de erorile de fabricaţie ale caracteristicilor principale ale materialului magnetului permanent.

3.11. Particularităţile de calcul ale preciziei dinamice

a aparatelor şi a sistemelor de comandă Calităţile dinamice necesare ale produsului în funcţie de tip şi

destinaţie sunt determinate de astfel de caracteristici ca: domeniul vitezelor reglabile, viteza maximă a transferării semnalului de intrare, erorile statice şi dinamice, precizia de reproducere a formei semnalului de intrare.

Caracteristicile dinamice pot fi date sub formă de caracteristică variabilă în timp sau caracteristică de frecvenţă, iar uneori tema poate fi definită pentru ambele domenii.

În afară de aceasta, calitatea proceselor poate fi determinată pe cale indirectă folosind diferite estimaţii integrale.

Principalele caracteristici a sistemului de comandă automată (SCA) sunt:

1. Viteza reacţiei. În domeniul temporar această caracteristică se dă prin constanta de timp, sau prin timpul de creştere, sau prin timpul de stabilire; în domeniul frecvenţial – prin banda de trecere, prin frecvenţa limită sau prin frecvenţa maximului de superreglaj;

2. Stabilitatea relativă. În domeniul temporar această caracteristică se dă prin mărimea primului superreglaj în % şi prin numărul superreglajelor, iar în domeniul frecvenţial – prin indicele de oscilaţie al sistemului închis sau prin rezerva de stabilitate după fază şi după amplitudine a caracteristicii logaritmice de frecvenţă (CLF) a sistemului deschis.

3. Precizia. Este determinată de eroarea admisibilă la efectuarea procesului de perfectare a variabilelor de comandă de diferite tipuri, eroare care se exprimă în procente sau în unităţi ale mărimii care se reglează.

MANAGEMENTUL CERCETĂRII 79Caracteristica sistemului în domeniul temporar se dă de obicei prin

reacţia sistemului la acţiunea semnalului de intrare sub forma unei trepte unitare. În domeniul frecvenţial se pot da caracteristici atât a sistemului închis, cât şi a sistemului deschis.

Precizia dinamică poate fi cercetată analizându-se reacţia sistemului la o eroare a acţiunii tip, adică la o acţiune care este cea mai caracteristică pentru sistemul respectiv.

Metodele aproximative de analiză ale preciziei dinamice se bazează pe analizarea reacţiei sistemului la o solicitare dinamică a acestuia. Pentru acţiuni arbitrare cu vibraţie lentă, caracteristicile care determină solicitarea dinamică a sistemului sunt coeficienţii erorii de poziţie a elementelor constitutive ale acestuia.

Eroarea sistemului este:

2

2

10)(...)(.)(.)(

dttxd

dttdxktxkt +++=ε (3.127)

unde 2

2 )(,)(),(dt

txddt

tdxtx reprezintă semnalul de intrare , respectiv,

derivatele acestuia; ki – reprezintă coeficientul al i-lea al erorii (i = 1, 2,…,n).

Coeficientul erorii sunt:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ Φ= i

xi

i dppdk )(lim (3.128)

unde Φx(p) – reprezintă funcţia de transfer a erorii. Dacă funcţia de transfer a erorii va fi reprezentată sub forma:

nn

nn

x pnpnnpdpdd

pxpp

++++++

==Φ......

)()()(

10

10ε (3.129)

atunci coeficientul erorii poate fi calculat pe cale matematică adecvată. Toate caracteristicile enumerate mai sus sunt funcţii (în formă

explicită sau implicită) de parametrii elementelor produsului fabricat. În condiţiile reale, datorită erorilor tehnologice inevitabile, este posibilă ieşirea caracteristicilor peste limitele prevăzute în documentaţia tehnică. Pentru a se evita perturbarea capacităţii de funcţionare a produsului, este necesar ca încă în etapa de concepţie şi pregătire tehnologică a fabricaţiei să se efectueze calculele preciziei şi a interschimbabilităţii.

Calculele preciziei şi a interschimbabilităţii aparatelor şi sistemelor de comandă se bazează pe legile şi regulile analizate mai sus. Dar, în cazul analizării funcţionării aparatului sau a sistemului în regimuri dinamice, determinarea erorii de ieşire numai într-un anumit moment de timp sau numai pe o singură frecvenţă este insuficientă.

Pentru a se analiza variaţia erorii caracteristicii de ieşire a produsului într-un oarecare interval de timp (sau într-un interval oarecare de frecvenţă) se va introduce noţiunea de funcţie de influenţă care are forma:

∑=

Σ Δ=Δn

iiti qSt

1)()( θθ (3.130)

Gh. COMAN 80 sau:

∑=

Σ Δ=Δn

iii qS

1)()( ωθωθ (3.131)

unde Siθ(t) – funcţia de influenţă a parametrului qi asupra mărimii de ieşire θΣ în intervalul de timp considerat; Siθ(ω) – funcţia de influenţă a parametrului qi asupra mărimii de ieşire θΣ în domeniul frecvenţelor considerate; Δqi – variaţia parametrului; n – numărul parametrilor supuşi variaţiei.

Ordonatele funcţiilor de influenţă în momente fixe de timp sau pe frecvenţe fixe reprezintă coeficienţii de influenţă:

kttiki tStN == )()( 'θθ (3.132)

kttiki SN == )()( ωω θθ (3.133) Cunoscând funcţiile de influenţă ale parametrilor elementelor

produsului fabricat asupra caracteristicilor principale ale acestuia, se poate rezolva atât problema directă (determinarea erorii totale a mărimii de ieşire atunci când se cunosc erorile parametrilor), cât şi problema inversă (sinteza toleranţelor pentru parametrii elementelor produsului în funcţie de abaterile admisibile ale caracteristicilor de ieşire) a calcului preciziei.

Analiza influenţei erorilor de fabricaţie asupra caracteristicilor produsului este, în cazul general, echivalentă cu analiza influenţei variaţiilor mici ale parametrilor elementelor sistemului asupra proprietăţilor lui. În acest context, baza teoretică de studiere a influenţei erorilor elementelor asupra proprietăţilor sistemului îl constituie teoria sensibilităţii ale cărei noţiuni de bază sunt prezentate în lucrări de specialitate adecvate.

Sensibilitatea sistemului poate fi, în cazul general, considerată ca un indicator multiplu al capacităţii sistemului de a îşi păstra proprietăţile prescrise în funcţie de variaţiile parametrilor şi de acţiunile perturbatoare externe.

Să presupunem că sistemul iniţial este descris de către ecuaţii diferenţiale în forma ecuaţiilor cu Cauchy:

),...,,,,,...,,( 2121 mnii qqqtxxxf

dtdx

= (3.134)

unde xi – coordonatele sistemului iniţial; qi – parametrii sistemului. Condiţiile iniţiale se dau sub forma:

oii xx =)0(

Să presupunem că valorile parametrilor qi au căpătat variaţiile Δqi. Modificarea poziţiei sistemului solicitat va fi descrisă de ecuaţiile:

),...,,,~,...,~,~(~

1121 mmnii qqqqtxxxf

dtxd

Δ+Δ+= (3.135)

MANAGEMENTUL CERCETĂRII 81unde ix~ - coordonatele noii poziţii a sistemului solicitat. Ecuaţiile (3.134) corespund poziţiei iniţiale a sistemului, iar ecuaţiile (3.135) corespund noii poziţii, după solicitarea acestuia. Diferenţa dintre ele va defini deplasarea sistemului:

)(~)()( txtxtx −=Δ (3.136) Dacă soluţiile ecuaţiilor ce definesc poziţia sistemului (3.134) şi

(3.135) sunt diferenţiabile în raport cu parametrii qi atunci deplasarea suplimentară poate fi reprezentată printr-o descompunere în serie Taylor după puterile lui Δqj. Limitându-ne la termenii liniari ai seriei obţinem:

011 *

)(),...,,(=Δ

Δ=∑ ∂

∂=ΔΔΔ

jj

qq

m

j j

imi q

txqqtx (3.137)

În cazul în care variaţiile parametrilor sunt cunoscute, analiza deplasării suplimentare a sistemului se reduce, deci, la calculul şi analiza derivatelor parţiale:

0)()( =Δ∂∂

=jq

i

iji t

qxtS (3.138)

Aceste derivate parţiale poartă denumirea de funcţie de sensibilitate a coordonatei xi în raport cu parametrul qj sau funcţie de influenţă a parametrului qj asupra coordonatei xi.

Expresia (3.138) este valabilă dacă funcţia f(xi) este diferenţiabilă cel puţin în punctele valorilor nominale ale fiecărui parametru.

Funcţiile de sensibilitate reprezintă soluţiile a m sisteme de ecuaţii:

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

==

=∂∂

+∂∂

=∂

∂∑=

),...,2,1(),...,2,1(0)0(

1

mjni

SqfS

xf

tS

ji

j

kn

ijk

i

kjk

(3.139)

numite ecuaţii de sensibilitate. Ecuaţiile de sensibilitate se obţin prin diferenţierea ecuaţiilor sistemului

în raport cu qj considerând Δqj = 0, cu luarea în consideraţie a relaţiei:

)()( tSq

txjk

j

k =∂∂

(3.140)

În cazul general, ecuaţiile de sensibilitate sunt liniare, cu coeficienţii ∂fk/∂xi variabili.

Ecuaţiile sunt omogene pentru fiecare din cele m sisteme (3.139) şi coincid cu ecuaţiile de sensibilitate în raport cu diferiţi parametri q1, q2,…,qm; se deosebesc între ele doare prin părţile din dreapta ∂fk/∂qj.

Sensibilitatea caracteristicilor de timp poate fi apreciată prin rezolvarea analitică directă a ecuaţiilor de sensibilitate (5.139).

În domeniul de frecvenţe (a variabilei complexe p = β + i.ω) se analizează funcţiile absolute şi logaritmice ale sensibilităţii caracteristicilor de frecvenţă:

Gh. COMAN 82

i

iwi q

qpwpS∂

∂=

),()( (3.141)

),()(

ln),(ln)(0

i

iwi

i

iwi qpw

qpSq

qpwpS =∂

∂= (3.142)

Dacă pentru analiza sistemului se folosesc caracteristici de frecvenţă logaritmice atunci pot fi analizate funcţiile de sensibilitate ale caracteristicii de amplitudine şi a caracteristicii de fază:

i

iLi q

qLS∂

∂=

),(ω (3.143)

i

ii q

qS∂

∂=

),(ωϕϕ (3.144)

Funcţia logaritmică de sensibilitate a caracteristicii de frecvenţă a unui sistem deschis este legată de funcţiile de sensibilitate ale caracteristicilor de amplitudine şi de fază prin expresiile:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂

∂=

∂∂

ii qjw

qL

ln)(lnRe68,8

ln)( ωω

(3.145)

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂

∂=

∂∂

ii qj

q ln)(lnIm68,8

ln)( ωϕωϕ

(3.146)

Cunoscând sensibilitatea caracteristicilor logaritmice de amplitudine şi de frecvenţă pe frecvenţele corespunzătoare şi mărimile variaţiilor parametrilor, putem determina relativ simplu gradul de influenţă a parametrilor sistemului asupra stabilităţii acestuia, adică variaţiile decalajelor de fază şi amplitudine.

Pentru estimarea calităţii unui sistem închis după caracteristica lui logaritmică de amplitudine se analizează de obicei indicatorul capacităţii de oscilaţie, a cărui funcţie de sensibilitate se defineşte ca fiind sensibilitatea caracteristicii de amplitudine pe frecvenţa de rezonanţă:

piiii

M qA

jwjw

qqMS ωω

ωω

ω=∂

∂=

+∂∂

=∂∂

=)(

)(1)(

max (3.147)

Pentru estimaţia influenţei variaţiilor parametrilor asupra preciziei sistemului într-un regim stabilizat se poate determina sensibilitatea coeficienţilor erorii:

)()()(

00

pSdpd

qp

dpd

dppd

qqK

ji

i

pk

xi

i

pi

xi

ji

iε=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡∂Φ∂

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ Φ∂∂

=∂∂

==

(3.148)

Pentru analiza sensibilităţii caracteristicilor funcţii de timp ale sistemelor faţă de variaţiile parametrilor, se folosesc pe larg programele analogice de calcul. Se va prezenta spre exemplu, fără a se intra în detalii, metoda sensibilităţii structurale. Ideea metodei constă în reprezentarea deplasărilor variabile, cauzate de variaţiile parametrilor

MANAGEMENTUL CERCETĂRII 83elementelor sistemului, sub forma unei perturbaţii externe care acţionează asupra sistemului.

Fig.3.16. Un sistem liniar de

comandă automată Un sistem de comandă

automată (SCA) liniar poate fi reprezentat printr-o schemă structurală ca cea din figura 3.16. Fiecare bloc a acestei scheme este descris de către funcţia de transfer wi(p). Se va nota: X(p) - semnalul de intrare a sistemului Y(p) – semnalul de ieşire al sistemului; f(p) – semnalul de intrare al blocului cu funcţia de transfer wi(p); Z(p) – semnalul de ieşire al blocului cu funcţia de transfer wj(p); wj(p) – funcţia de transfer a acestui bloc, al cărui coeficient de influenţă asupra unei coordonate oarecare a sistemului reprezintă mărimea căutată; wr(p) – funcţia de transfer a blocului reacţiei; w(p) – funcţia de transfer a părţii de sistem care nu este supusă variaţiei; ε(p) – semnalul erorii sistemului; V(p) – semnalul reacţiei sistemului.

Fig.3.17. Schema pentru determinarea funcţiei de sensibilitate a sistemului în ceea ce priveşte influenţa parametrului qk

Este comod să se reprezinte coeficientul de influenţă al

parametrului qk, cuprins în blocul wj(p), asupra unei coordonate oarecare a sistemului, sub forma:

k

j

jkuk q

pwpwpU

qpUS

∂∂

∂∂

=∂

∂=

)(.

)()()(

(3.149)

unde U(p) reprezintă coordonata sistemului (de exemplu, semnalul de ieşire, semnalul de dezacord).

Se va da primului factor din expresia (3.149) denumirea de coeficient de influenţă a blocului:

)()(

pwpUS

j

Uw j ∂

∂= (5.150)

Gh. COMAN 84 Acest coeficient ne dă o estimaţie directă a variaţiei acelei

coordonate a sistemului care ne interesează, atunci când funcţia de transfer este modificată cu Δwj(p):

)().()( pwpSpU jUw j

Δ=Δ (5.151) Factorul ∂wj/∂qk caracterizează influenţa parametrului qk, care intră

în bloc cu funcţia de transfer wi(p), asupra coordonatei sistemului U(p), fiind necesar să efectuăm următoarele:

a. să realizăm modelele sistemelor iniţial şi transformat (ele sunt identice ca structură şi parametri);

b. semnalul f(p) de pe intrarea blocului al j-lea al sistemului iniţial va fi trimis pe ieşirea aceluiaşi bloc din sistemul transformat, fiind lăsat să treacă prin bloc cu funcţia de transfer ∂wj/∂qk;

c. coordonata U(p) în sistemul transformat va fi tocmai coeficientul de influenţă căutat.

Interesul practic cel mai mare îl prezintă coeficienţii de influenţă ai parametrilor asupra coordonatei de ieşire Y(p) sau asupra semnalului de dezacord ε(p). Aceşti coeficienţi de influenţă se înregistrează în punctul A şi, respectiv, punctul b, figura 3.17.

CAP.4. ANALIZA DISPERSIONALĂ

4.1. Principii introductive

Analiza dispersională, numită şi analiza varianţei, a fost introdusă în

calculele statistice de către matematicianul englez R. A. Fisher, în preocupările lui de a pune la punct o serie de principii ale planificării şi analizei experimentelor, care au revoluţionat de atunci metodologia cercetării în agricultură, sub denumirea de Analysis of Variance, de unde şi denumirea întâlnită în manualele de specialitate de metoda ANOVA.

Contribuţiile lui R. A. Fisher în domeniul statisticii matematice sunt concretizate în două lucrări de bază în statistică, şi anume: Statistical Methods for research design of Experiments (Metode statistice pentru cercetători ştiinţifici), publicată în 1925 şi The Design of Experiments (Proiectarea experimentelor), publicată în 1935. În aceste lucrări se află descrise principiile filozofice şi tehnicile principale ale domeniilor respective - ANOVA şi proiectarea experimentelor.

Statistica este justificată şi printr-o lege a naturii: “variabilitatea în repetare şi nu reproducerea identică”. Indivizii unei specii se aseamănă dar nu sunt identici. De aceea, nici în activităţile umane nu se pot reproduce identic acţiunile întreprinse, cu rezultatele identice. Dacă se repetă de mai multe ori măsurarea unei caracteristici oarecare ce defineşte o situaţie sau un proces, rezultatele ce se vor obţine nu vor fi niciodată identice, ci vor prezenta o variabilitate mai mică sau mai mare.

Variabilitatea rezultatelor obţinute în practica activităţilor umane se poate datora unor factori cu efecte sistematice, apoi a unor factori aleatoriu de fluctuaţie mai pronunţată şi, în sfârşit, unei multitudini aleatori inerenţi şi inevitabili care definesc variabilitatea experimentală de fluctuaţie relativ redusă.

Analiza dispersională oferă posibilitatea de a diviza variabilitatea totală în: variabilitatea datorată factorilor cu efecte sistematice, plus variabilitatea datorată factorilor cu efecte aleatoare şi o variabilitate reziduală (diferenţa până la variabilitatea totală) care nu este în fond decât variabilitatea experimentală menţionată. Pe baza acestei descompuneri se pot calcula dispersiile parţiale aferente diverşilor factori, după care semnificaţia lor se verifică cu ajutorul testului F a lui Fischer.

Principial, datele de măsurare se grupează în raport de unul sau mai multe criterii, după care se scot în evidenţă efectele în funcţie de influenţa specifică a acestor criterii. odată efectele puse în evidenţă, testarea se face prin compararea dispersiilor produse de diferiţi factori a căror variaţie nu o cunoaştem şi avem să o descoperim, sau pe care o facem noi să varieze - cu dispersia produsă de factorii întâmplători care acţionează inevitabil asupra procesului (dispersia reziduală sau experimentală).

Aplicabilitatea analizei dispersionale este condiţionată de: distribuţia normală a datelor de observaţie (o abatere moderată poate fi

Gh. COMAN 86

acceptată): omogenitatea dispersiilor de selecţie (dispersia experimentală comună), aditivitatea efectelor factorilor.

Numărul criteriilor după care se grupează datele depinde de numărul de factori luaţi în considerare. Dacă se ia în considerare un singur factor variabil analiza dispersională se numeşte monofactorială. Dacă se urmăreşte influenţa simultană a doi sau mai mulţi factori analiza dispersională respectivă se numeşte bi- sau polifactorială.

Serviciile pe care analiza dispersională le oferă analizei statistice a fenomenelor tehnico-economice pot fi concretizate prin:

- oferă posibilitatea comparării mediilor rezultatelor mai multor analişti sau mai multor laboratoare, în vederea descoperirii unor eventuale erori sistematice,

- oferă posibilitatea descompunerii erorii totale a unei metode de analiză statistică în erorile parţiale ale fazelor metodei, relevând astfel fazele ce trebuiesc îmbunătăţite;

- oferă posibilitatea de a stabili dacă un fenomen supus analizei statistice este omogen sau nu şi pe această bază dă posibilitatea calculării erorii de luare a probei;

- în cazul elaborării unei metode noi de cercetare a fenomenelor tehnico-economice oferă posibilitatea punerii în evidenţă a efectului factorilor implicaţi, a interacţiunii dintre factori şi a factorilor nesemnificativi;

- în cazul elaborării unei metode noi de analiză a factorilor de influenţă în combinare cu analiza de regresie, oferă posibilitatea optimizării experimentării.

Din punct de vedere formal, analiza dipsersională constituie instrumentul de verificare a ipotezei statistice a omogenităţii mediilor mai multor populaţii normale, în anumite condiţii impuse acestor populaţii.

Soluţia - cea mai bună până acum - a problemei comparării mediilor “normale” a fost oferită de analiza dispersională. Ca subdomeniu al statisticii matematice, analiza dispersională a luat, în ultimul timp, un avânt deosebit, pe de o parte datorită avantajelor mari oferite la analiza omogenităţii mediilor statistice, iar pe de altă parte datorită necesităţii optimizării cercetărilor experimentale pe baza metodei planificării experimentelor.

4.2. Analiza dispersională monofactorială

Cel mai simplu model ala analizei dispersionale este cel numit

unifactorial, în care asupra caracteristicii luate în studiu acţionează numai un singur factor.

Pentru a prezenta metodologia de analiză dispersională unifactorială considerăm cercetarea influenţei uni factor oarecare de intrare (independent) asupra unui parametru de ieşire (factor dependent, de optimizare). Considerăm că s-au efectuat câte m1 măsurători paralele, de către mai mulţi cercetători, fiecare cercetător considerat de ordin „i” (i = 1, 2,..., a). Rezultatele măsurătorilor sunt înregistrate într-un tabel special de analiză dispersională prezentat în tabelul 4.1.

MANAGEMENTUL CERCETĂRII 87Tabelul 4.1

Prezentarea datelor iniţiale pentru analiza dispersională monofactorială

Nivelul factorului examinat

1 2 ... i ... a Rezultatele observaţiilor

y11 y21 ... yi1 ... ya1 y12 y22 ... yi2 ... ya2 ... ... ... ... ... ... y1m y2m ... yi3 ... yam ... ... ... ... ... ...

11ny 22ny ... iny2 ... any2

Suma rezultatelor observaţiilor pentru cercetătorul de ordin „i”

Y1• Y2• ... ∑=

• =in

mimi yY

1 ... Ya•

Numărul observărilor la încercarea de ordin „i” n1 n2 ... ni ... na

Valoarea medie a rezultatelor observărilor pentru încercarea de ordin „i”

⎯y1• ⎯y2• ...

i

n

mim

i n

yy

i

∑=

• = 1 ... ⎯ya•

Pe baza datelor înregistrate în tabelul 4.1 se determină: - suma totală a rezultatelor tuturor observaţiilor:

∑∑∑=

•= =

•• ==a

ii

a

i

n

mim YyY

i

11 1 (4.1)

- valoarea medie (speranţa matematică) a rezultatelor pentru toate „N” observaţii:

∑∑∑

=

••= =•• ===

a

ii

a

i

n

miim

nNN

YN

yy

i

1

1 ; (4.2)

În cazul unei sume randamizate (aleatorizate) de efectuare a experimentului, rezultatul observat se poate scrie sub forma:

imiyim AMy ε++= (4.3) în care My este speranţa matematică a rezultatelor observate pentru toate mulţimile, adică: M(yim) = My; Ai – este efectul factorului la nivelul „i”; εim – eroarea întâmplătoare (în intervalul încercărilor) pentru nivelul de ordin „i” în cazul observaţiei de ordinul „m”, în raport cu care se consideră că ea

Gh. COMAN 88

este distribuită normal cu o medie şi o dispersie nulă, care nu depinde de nivel.

Ţinând cont de relaţia (4.3), suma pătratelor abaterilor de la media comună se poate descompune în suma pătratelor abaterilor mediilor pe experiment faţă de media comună şi în suma pătratelor abaterilor în intervalul încercărilor, adică:

( ) ( ) ( )∑∑∑∑∑∑= =

•= =

•••= =

•• −+−=−a

i

n

miim

a

i

n

mi

a

i

n

mim

iii

yyyyyy1 1

2

1 1

2

1 1

2

(4.4)

sau:

εSSSSSS A += Împărţind sumele pătratelor abaterilor din relaţia (4.4) la numerele

corespunzătoare ale gradelor de libertate se va găsi aprecierile dispersiei (totale, între încercări, în cadrul încercărilor) necesare pentru analiza dispersională monofactorială, tabelul 4.21.

Numărul gradelor de libertate ale dispersiei este egal cu diferenţa dintre numărul observaţiilor independente ale selecţiei şi numărul de legături (restricţii) la care sunt supuse aceste observaţii independente.

Pentru verificarea importanţei influenţei factorului studiat trebuie să se compare dispersia acestuia cu dispersia erorii, folosind criteriul F a lui Fischer;

( )

( ) 11

1 1

2

1 1

2

−

−•

−

−=

∑

∑∑

∑∑=

= =•

= =•••

a

an

yy

yyF

a

ii

a

i

n

miim

a

i

n

mi

i

i

(4.5)

Dacă va rezulta că F < Ftabelat atunci factorul studiat influenţează în

mod considerabil asupra parametrului cercetat. În caz contrar, influenţa lui este mică din punct de vedere statistic.

Creşterea numărului factorilor examinaţi, care influenţează asupra parametrului de optimizare, nu modifică, în principiu, procedeele analizei dispersionale, însă complică mult calculele ce urmează a fi efectuate.

4.3. Analiza dispersională bifactorială

La analiza fenomenelor economico-sociale intervin mulţi factori

iniţiali care pot acţiona asupra modului de schimbare a fenomenului analizat statistico-matematic, independenţi sau în interdependenţă reciprocă. Pentru a se aprecia acţiunea acestor factori, luaţi în considerare simultan la o anumită cercetare a fenomenului economico-social respectiv, se efectuează o analiză dispersională multifactorială.

Se va considera cazul când asupra unui fenomen economico-social acţionează doi factori, efectuându-se o analiză dipsersională bifactorială.

1 Tabelele realizate pe latul paginii au fost introduse la sfârşitul capitolului.

MANAGEMENTUL CERCETĂRII 89Pentru înregistrarea datelor experimentale la analiza dispersională

bifactorială se realizează un tabel de forma tabelului 4.3. După cum se observă în tabelul 4.3, s-au luat în considerare

factorii A şi B, de exemplu A – influenţa cantităţii de îngrăşământ la hectar, iar B – influenţa cantităţii de apă pentru irigaţii la hectar, asupra producţiei la hectar a unui produs agricol.

Rezultatele observate yijm, la nivelul de ordin i, pentru factorul A şi la nivelul b al factorului B la observarea de ordin m (i = 1, 2,...,a; j = 1, 2,...,b; m = 1, 2,...,n) se prezintă în tabelul 4.3.

În virtutea acestor date se determină suma rezultatelor observaţiilor pe nivelul „i” al factorului A:

∑∑= =

•• =b

j

n

mijmi

ji

yY1 1

(4.6)

Suma rezultatelor observaţiilor pe nivelul de ordin „j” al factorului B:

∑∑= =

•• =a

i

n

mijmj

ji

yY1 1

(4.7)

Suma totală a tuturor rezultatelor observaţiilor va fi:

∑∑∑= = =

••• =a

i

b

j

n

mijm

ji

yY1 1 1

(4.8)

Sumele rezultatelor observării celulelor A x B pe nivelele pentru factori, respectiv A şi B va fi:

∑=

• =n

mijmij yY

1 (4.9)

Modelul matematic complet pentru analiza dispersională bifactorială, cu „n” observaţii, pentru fiecare combinaţie a nivelului factorilor, la efectuarea experimentului cu o randamizare (aleatorizare) completă va fi dat de ecuaţia:

ijmijjiyijm ABBAMy ε++++= (4.10) în care My – speranţa matematică a rezultatelor observate pentru toate mulţimile; Ai, Bj – efectele factorilor A şi B; ABij – efectul interacţiunii factorilor A şi B; εijm – eroarea întâmplătoare a rezultatului observat al experimentului yijm.

Ţinând cont de relaţia (4.10), suma pătratelor abaterilor rezultatelor faţă de media comună se poate descompune în sumele pătratelor factorilor A şi B, suma pătratelor interacţiunii factorilor AB, în suma pătratelor erorilor experimentului, adică:

Gh. COMAN 90

∑∑∑

∑∑∑∑∑∑

∑∑∑∑∑∑

= = =••••••

= = =•••

= = =•••••

= = =•••••

= = =•••

−++−

−−+−+

+−=−

a

i

b

j

n

mijijmj

a

i

b

j

n

miij

a

i

b

j

n

mj

a

i

b

j

n

mi

a

i

b

j

n

mijm

yyyy

yyyy

yyyy

1 1 1

22

1 1 11 1 1

2

1 1 1

2

1 1 1

2

)()

()(

)()(

(4.11)

sau:

εSSSSSSSSSS ABBA +++= Fiecare sumă de pătrate nu depinde de mărimea restului de sume

de pătrate şi fiind împărţită la numărul de grade de libertate ce-i corespunde are o distribuţie de tip χ2, tabelul 4.4.

În virtutea relaţiei (4.11) se determină valorile dispersiei totale 2nσ , a

factorilor 2Aσ şi 2

Bσ , a interacţiunii factorilor 2ABσ şi a reproductibilităţii 2

εσ care sunt necesare pentru analiza dispersională bifactorială, tabelul 4.4.

Stabilirea importanţei influenţei surselor de variabilitate se face printr-o comparaţie succesivă a dispersiilor acestora, cu dispersia de reproductibilitate conform criteriului F a lui Fischer.

Numai dacă F > Ftabelat sursa examinată de variabilitate influenţează în mod considerabil asupra parametrului de optimizare examinat.

4.4. Analiza dispersională trifactorială

Din punct de vedere structural, analiza dispersională trifactorială se

aseamănă cu analiza dispersională bifactorială. Metodologia de efectuare a analizei dispersionale trifactoriale se prezintă în tabelul 4.5.

În acest caz, modelul matematic complet, pentru o experienţă randamizată (aleatorizată) se poate scrie sub forma:

ijkmijkjkik

ijkjiyijkm

ABCBCACABCBAMy

ε++++

+++++= (4.12)

în care ABCijk – efectul interacţiunii factorilor (interacţiune de ordinul 2); i, j, k – valorile curente ale nivelelor factorilor; m – valoarea curentă a rezultatelor observaţiilor pentru fiecare nivel al fiecărui factor.

Pe baza transformărilor modelului matematic (4.12) se pot obţine expresiile necesare pentru analiza dispersională trifactorială prezentată în tabelul 4.5.

În acest caz, verificarea importanţei influenţei surselor de variabilitate asupra parametrului de optimizare se începe de la efectul interacţiunii de ordinul doi.

MANAGEMENTUL CERCETĂRII 91Analizele dispersionale bifactoriale şi trifactoriale sunt formele cele

mai simple ale analizei dispersionale multifactoriale şi pot fi generalizate pentru cazul mai multor factori. Creşterea numărului de factori duce la creşterea numărului N de experimente, care trebuie să fie efectuate: N = abcd....n. Din această cauză, pentru trei sau mai mulţi factori, analiza dispersională se execută deseori la două nivele, pentru fiecare factor cu una sau două repetări pentru fiecare combinaţie de condiţii.

În primul caz, dispersia interacţiunii de ordin superior este combinată cu dispersia reproductibilităţii, întrucât aceasta din urmă nu poate fi determinată separat. Ţinând cont de faptul că interacţiunea de ordin superior este puţin probabilă în cazul general, adică este egală cu zero, influenţa altor surse de variabilitate se compară cu aprecierea combinată a dispersiei de interacţiune şi se stabileşte importanţa influenţei acestora.

O altă metodă de efectuare a analizei dispersionale cu mai mulţi factori este legată de folosirea replicilor fracţionare a experimentului factorial complet. În acest caz, numărul de experienţe în comparaţie cu experimentul factorial complet poate fi micşorat în mod considerabil.

Analiza dispersională multifactorială, în comparaţie cu procedeele tradiţionale, clasice de cercetare, bazate pe variaţia succesivă a factorilor de influenţă, prezintă următoarele avantaje:

- se precizează nu numai influenţa factorilor asupra rezultatului experimentului, ci şi influenţa interacţiunii acestora (de ordinul unu, doi etc.);

- scade numărul total de experienţe cu abc...[(n-19nΦ-n]+a+b+ c+..., - unde nΦ este numărul de factori;

- rezultatele analizei pot fi prezentate sub formă compactă, comodă pentru un studiu ulterior şi pentru interpretare;

- în efectuarea cercetărilor şi prelucrarea rezultatelor sunt în mare măsură formalizate, rezultatele cercetărilor diverşilor autori prezentându-se sub formă comparabilă.

Gh.

CO

MA

N

92

Tabe

lul 4

.2

Fo

rmul

e de

cal

cul p

entru

ana

liza

disp

ersi

onală

mon

ofac

toria

lă

Sur

sa d

e va

riaţie

N

umăr

ul g

rade

lor

de li

berta

te

Sum

a pă

trate

lor

Dis

pers

ia

Com

pone

ntel

e di

sper

siei

ge

nera

le

Fact

orul

Ai

a - 1

∑ =

••−

=a i

iiA

NYnY

SS1

22

1

−aSS

A

()

22

1

1

22

1

1ε

σσ

+×

−

−⎟ ⎠⎞

⎜ ⎝⎛

∑∑∑

=

==

Aa i

i

a ii

a ii

na

nn

Ero

area

εim

∑ =

−a i

ia

n1

∑

∑∑

=

•

==

−=

a iii

a i

n mim

nYy

SSi

1

2

11

2ε

∑ =

−a i

inSS 1

1

ε

2 εσ

Sum

a ∑ =

−a i

in1

1 NY

ySS

a i

n mim

i2

11

2••

==

−=∑∑

-

-

MA

NA

GE

ME

NTU

L C

ERC

ETĂ

RII

93

Ta

belu

l 4.3

D

atel

e in

iţial

e pe

ntru

ana

liza

disp

ersi

onală

bifa

ctor

ială

Niv

elul

fact

orul

ui A

Nivelul factorului

B

1 2

i

a S

uma

1 y 1

11,y

112,.

......

.,y11

n y 2

11,y

212,.

......

....,y

21n

...

y i11

,yi1

2,....

.....,

y i1n

...

y a

11,y

a12,.

......

...,y

a1n

Y •1•

. . .

j y 1

j1,y

1j2,.

......

...,y

1jn

y 2j1,y

2j2,.

......

....,y

2jn

...

x ij1,x

ij2,..

......

.,xijn

...

y a

j1,y

aj2,.

......

..,y a

jn

Y •j•

. . .

b y 1

b1,y

1b2,...

......

.,y1b

n y 2

b1,y

2b2,.

......

.,y2b

n ...

y i

b1,y

ib2,.

......

..,y i

bn

...

y ab1

,yab

2,....

....,y

abn

Y •b•

S

uma

Y 1••

Y 2

••

...

Y i••

...

Y a

••

Y •••

Gh.

CO

MA

N

94

Ta

belu

l 4.4

A

naliz

a di

sper

sion

ală

bifa

ctor

ială

Sur

sa d

e va

riabi

litat

e N

r. gr

adel

or

de li

berta

te

Sum

a pă

trate

lor

Dis

pers

ia

Com

pone

ntel

e di

sper

siei

ge

nera

le

Fact

orul

Ai

a-1

abn

YbnY

SSa i

iA

2

1

2•••

=

••−

=∑

1

−aSS

A

22

2ε

σσ

σ+

+AB

An

bn

Fact

orul

Bj

b-1

abn

YanY

SSb j

jB

2

1

2•••

=

••

−=∑

1

−bSS

B

22

2ε

σσ

σ+

+AB

Bn

an

Inte

racţ

iune

a A

Bij

(a.1

)(b-

1)

abn

YanY

bnYnY

SSb j

ja i

b j

a i

iij

AB

2

1

2

11

1

22

•••

=

••

==

=

•••

∑∑∑

∑+

−−

=

)1)(1

(−

−b

aSS

AB

22

εσ

σ+

ABn

Ero

area

εijm

A

b(n-

1)

∑∑

∑∑∑

==

•

==

=

−=

a i

b j

ija i

b j

n mijm

nYy

SS1

1

2

11

1

2ε

)1

(−

nab

SSε

2 ε

σ

Sum

a A

bn-1

ab

nY

ySS

a i

b j

n mijm

2

11

1

2•••

==

=

−=∑∑∑

-

-

MA

NA

GE

ME

NTU

L C

ERC

ETĂ

RII

95

Ta

belu

l 4.5

A

naliz

a di

sper

sion

ală

trifa

ctor

ială

cu

„n” o

bser

avaţ

ii în

fiec

are

celu

lă

Sur

sa d

e va

riabi

litat

e N

r. gr

adel

or

de li

berta

te

Sum

a pă

trate

lor

Dis

pers

ia

Com

pone

ntel

e di

sper

siei

ge

nera

le

Fact

orul

Ai

a-1

nabc

Ynb

cY

SSa i

iA

2

1

2•••

=

•••−

=∑

1

−aSS

A

22

2

22

εσ

σσ

σσ

++

++

ABC

AC

ABA

nnb

ncnb

c

Bj

b-1

nabc

Yna

cY

SSb j

jB

2

1

2•••

=

•••

−=∑

1

−bSS

B

22

2

22

εσ

σσ

σσ

++

+

++

ABC

AB

BCB

nnc

nana

c

Ck

c-1

nabc

Yna

bY

SSc k

kC

2

1

2•••

=

•••

−=∑

1

−cSS

C

22

2

22

εσ

σσ

σσ

++

++

ABC

AC

BCC

nnb

nana

b

Gh.

CO

MA

N

96

Ta

belu

l 4.5

(con

tinua

re)

Inte

racţ

iune

a A

x B

(a

-1)(

b-1)

nabc

Yna

cY

nbc

YncY

SS

b j

j

a i

ia i

b j

ijAB

2

1

2

1

2

11

2

••••

=

•••

=

•••

==

•• +−

−−

=

∑

∑∑∑

)1

)(1(

−−

ba

SSAB

2

22

εσ

σσ

++

ABC

ABn

nc

A x

C

(a-1

)(c-

1)

nabc

Yna

bY

nbc

YnbY

SS

c k

k

a i

ia i

c k

ki

AC

2

1

21

2

11

2

••••

=

•••

=

•••

==

•• +

−

−−

=

∑

∑∑∑

)1

)(1(

−−

ca

SSAC

2

22

εσ

σσ

++

ABC

ACn

nb

MA

NA

GE

ME

NTU

L C

ERC

ETĂ

RII

97

Ta

belu

l 4.5

(con

tinua

re)

B x

C

(b-1

)(c-

1)

nabc

Yna

bY

nac

YnaY

SS

c k

k

b j

jb j

c k

jkBC

2

1

2

1

2

11

2

••••

=

•••

=

•••

==

••

+−

−−

=

∑

∑∑∑

)1

)(1(

−−

cb

SSBC

2

22

εσ

σσ

++

ABC

BCn

na

AxB

xC

(a-1

)(b-

1)(c

-1)

nabc

YnaY

nbY

ncYna

bY

nac

Y

nbc

YnY

SS

b j

c k

jka i

c k

ki

a i

b j

ijc k

kb j

j

a i

ia i

b j

c k

ijkAB

C

2

11

2

11

2

11

2

1

2

1

2

1

2

11

1

2

•••

==

••

==

••

==

••

=

•••

=

•••

=

•••

==

=

•

−−

−

−−

++

++

∑∑

∑∑

∑∑

∑∑

∑∑∑∑

)1

)(1)(1

(−

−−

cb

aSS

ABC

2

2ε

σσ

+AB

Cn

Gh.

CO

MA

N

98

Ta

belu

l 4.5

(con

tinua

re)

ε ijk

m

abc(

n-1)

∑∑∑

∑∑∑∑

==

=

•

==

==

−=

a i

k j

c k

ijka i

k j

c k

n mijk

mnY

ySS

11

1

2

11

11

2ε

)1(−

nab

cSSε

2 ε

σ

Sum

a ab

cn-1

na

bcY

ySS

a i

k j

c k

n mijk

m

2

11

11

2••••

==

==

∑∑∑∑

−=

CAP.5. CORELAŢIE ŞI REGRESIE

5.1. Determinarea mărimilor caracteristice

pentru calculele de corelaţie şi regresie Fie două variabile şi anume, variabila independentă x (de intrare) şi

variabila y (de ieşire) care este dependentă de prima. Dacă pentru o valoare determinată a variabilei independente x,

variabila dependentă y ia, de asemenea, o valoare determinată, discretă, se spune că între cele două variabile există o legătură funcţională: y = f(x).

Fig.5.1. Exemple grafice ale dispunerii punctelor pe câmpul de corelaţie

în vederea alegerii şi fundamentării curbei de regresie (a - legătură liniară; b - hiperbolă; c - parabolă de ordinul 2; d - parabolă de ordinul 3)

Dacă fiecărei valori x îi corespunde nu o singură valoare y ci o

repartiţie legată de valori y (legată de valoarea lui x), caracterizată de fiecare x prin câte o medie y legată, avem de-a face cu o legătură statistică (stohastică), respectiv există o corelaţie între y şi x. Dacă fixăm valoarea lui x, putem estima valoarea repartiţiei legate y. Dacă mediile repartiţiilor legate se plasează aproximativ de-a lungul unei drepte, dreapta care trece cel mai aproape de poziţia centrală a punctelor se numeşte dreaptă de regresie a lui y în raport cu x, iar corelaţia se numeşte corelaţie simplă (liniară).

Gh. COMAN 100

În figura 5.1 se prezintă poziţia centrală a dreptei sau curbei de regresie în funcţie de dispunerea punctelor experimentale într-o reprezentare grafică a acestora.

Estimaţia dreptei de regresie are o precizie cu atât mai mare cu cât corelaţia este mai intensă. Gradul de legătură între variabilele x şi y este măsurată prin parametrul covarianţă:

( )( )1−−−

= ∑n

yyxxS XY (5.1)

în care n este numărul de observaţii perechi (x,y), iar x şi y sunt valorile medii.

Pentru variabile aleatoare continue momentul centrat de ordinul 2 se determină cu expresia:

∫ ∫+∞

∞−

+∞

∞−

−−= dydxyxfmymx yxXY .).,().).((σ (5.2)

în care mx şi my sunt valorile medii ale variabilelor aleatoare X şi Y, iar f(x,y) este funcţia bidimensională de dependenţă a variabilelor X şi Y.

Expresia dată de relaţia (5.1), aşa cum se observă, este covarianţa estimată pe baza unei selecţii. Pentru întreaga populaţie statistică, covarianţa se notează σxy şi se determină cu expresia:

( )( )[ ]YYXXMXY −−=σ (5.3) Făcând expresia independentă de unitatea de măsură, covarianţa

se transformă în coeficientul de corelaţie:

( )( )( ) yx

XY SSnyyxx

r1−

−−= ∑ (5.4)

Expresia (5.4) este o estimaţie pe baza datelor unei selecţii. Pentru întreaga populaţie statistică coeficientul de corelaţie este notat XYρ şi se determină cu relaţia:

( )( )[ ] ( )YX

XY

YXYX

YXYXXY

MXYCovYY

YYXXMYYXXCov

σσσσσσ

σσσσρ

==−

=

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−=

X-XM

,

(5.5)

În practică, suma produselor ( )( )∑ −− yyxx se calculează mai comod

dacă este adusă la forma:

( )( )∑ ∑ ∑ ∑−=−−n

yxxyyyxx (5.6)

Covarianţa devine:

MANAGEMENTUL CERCETĂRII 101

1

.

−

−=∑ ∑ ∑

nn

yxyx

S YX (5.7)

iar coeficientul de corelaţie:

( ) yx

yx

yxYX SS

SSSnn

yxyx

r =−

−=∑ ∑ ∑

1 (5.8)

Abaterile standard Sx şi Sy se determină pe baza relaţiilor de calcul ale acestora prezentate anterior.

Coeficientul de corelaţie poate varia între -1 şi +1. Cu cât este mai apropiat de valoarea -1 sau +1, corelaţia liniară este mai intensă. Dacă variabilele sunt necorelate, coeficientul de corelaţie este 0. Dacă rxy > 0 se spune că corelaţia este pozitivă, adică la creşterea lui x creşte şi y, iar dacă rxy < 0 se spune că corelaţia este negativă, adică la creşterea lui x, valoarea lui y scade.

Evaluarea coeficientului de corelaţie se poate efectua cu ajutorul unui procedeu mai simplu, care prezintă avantajul economiei de timp folosindu-se mai uşor un program de calculator:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−

=

∑ ∑∑ ∑

∑ ∑∑

= == =

= ==

n

i

n

iii

n

i

n

iii

n

i

n

ii

n

iiii

XY

yn

yxn

x

yxn

yxr

1

2

1

2

1

2

1

2

1 11

11

1

(5.9)

Folosirea în analiza fenomenelor tehnico-economice a calculelor de

corelaţie şi regresie se bazează pe următoarele premize: 1. Rezultatele observaţiilor pentru fiecare experienţă reprezintă

mărimi aleatoare, normal distribuite. 2. Dispersiile variabilei dependente, la trecerea de la o experienţă

la alta, sunt omogene, adică:

{ } { } { }Nyyy 22

21

2 ... σσσ === 3. Erorile de măsurare a variabilelor independente: x1, x2,...,xn sunt

neglijabil de mici, în comparaţie cu erorile de la determinarea variabilei dependente Ya.

Scopul principal al analizei pe baza corelaţiei şi regresiei constă în faptul că cercetând un număr mic de date experimentale se obţine un model matematic, care caracterizează evoluţia fenomenului respectiv sau comportarea obiectului studiat.

Pentru aceasta este necesar să se determine o evaluare punct cu punct sau pe intervale, a parametrilor modelului matematic căutat. Este necesar, de asemenea, să se verifice ipotezele care permit o alegerea mai corectă a modelului matematic iniţial.

Gh. COMAN 102

Întrucât aceleaşi date iniţiale pot fi descrise prin diverse modele matematice, fiecare având dreptul la existenţă, calitatea acestor modele se apreciază cu ajutorul unor criterii speciale.

Pentru obţinerea modelelor matematice se pot utiliza metode teoretice sau statistice.

Metodele matematice sunt foarte complexe şi costisitoare deoarece ele au la bază cercetarea mecanismului procesului de transformare a obiectului. Din acest motiv, la examinarea fenomenelor tehnico-economice se utilizează metode statistice, care permit obţinerea unei descrieri matematice a acestora, chiar în cazul unei cunoaşteri incomplete a fenomenului studiat, în virtutea datelor experimentale.

Modelul matematic sub forma sa generală poate fi exprimat prin relaţia:

),...,,( 21 kxxxϕη = (5.10) în care η este parametrul procesului care trebuie să fie optimizat; x1, x2, ...xk – sunt variabilele independente care pot fi variate (comandate) la efectuarea experimentului.

Estimările parametrilor modelului matematic vor fi sigure dacă ele sunt, pe măsura posibilităţilor, independente, efective şi suficiente.

În acest caz, speranţa matematică a estimării este egală cu valoarea parametrului determinat, pe măsura creşterii volumului selecţiei, mărimea parametrului se apropie de valoarea parametrului mulţimii generale. Estimarea are proprietatea de dispersie minim posibilă şi o informaţie maximală asupra parametrului dat.

Există diverse metode de determinare a verosimilităţii estimaţiei parametrului. În cazul folosirii regresiei se foloseşte, cel mai des, metoda celor mai mici pătrate care permite la prelucrarea datelor experimentale stabilirea prezenţei oricăror legături dintre variabilele examinate şi exprimarea lor prin formule empirice.

Pentru aceasta, în baza unei informaţii apriorice sau a unei prelucrări grafice prealabile a rezultatelor experimentale se determină tipul curbei teoretice şi apoi se determină parametrii ei.

Se fa nota relaţia funcţională prin ),...,,;,...,,( 1021 kkxxxf βββη =

şi ne vom limita numai la examinarea modelului liniar, în raport cu parametrul βi, pentru k necunoscute independente: (x1, x2, ...xk). Atunci, pentru fiecare experiment se poate scrie ecuaţia convenţională:

),...,,;,...,,( 1021 kkuuuuu xxxfy βββ= (5.11) unde u reprezintă numărul seriei de experienţe la care combinaţia variabilelor independente este diferită.

Întrucât rezultatele experienţelor conţin erori întâmplătoare, pentru creşterea preciziei şi a siguranţei determinării aprecierilor parametrilor curbei date, este necesar să se execute un asemenea număr de experienţe N spre a fi satisfăcută inegalitatea N > (k + 1) unde k + 1 este numărul parametrilor căutaţi ai curbei date.

MANAGEMENTUL CERCETĂRII 103În acest caz, sistemul ecuaţiilor convenţionale va fi incompatibil şi

pentru soluţionarea lui se va folosi principiul lui Legendre. În conformitate cu acest principiu, dintre toate valorile posibile ale

parametrilor i, cele mai potrivite vor fi acelea pentru care suma pătratelor erorilor va fi minimă, adică:

∑=

=−=N

ukkuuuuu xxxfySS

1

21021 .min)],...,,;,...,,([ βββ (5.12)

Relaţia (5.12) este valabilă numai pentru cazul în care toate măsurătorile valorilor funcţiei y1, y2,...,yN sunt efectuate cu aceeaşi precizie. Dacă măsurătorile sunt realizate cu diferite grade de precizie, dar sunt cunoscute rapoartele dintre dispersiile diverselor măsurători, în conformitate cu teoria lui Gauss-Laplace, este necesar să se minimizeze suma pătratelor erorilor ponderate, adică:

∑=

=−=N

uukkuuuuu xxxfySS

1

21021 .min)],...,,;,...,,([ ωβββ (5.13)

unde ωu – ponderea măsurătorii de ordin u a cărei mărime este invers proporţională cu dispersia, adică:

222

21

211:...:1:1:...::

NN ωσσ

ωωω = (5.14)

Din condiţia de minimizare a relaţiei (5.12) rezultă:

0...10

=∂∂

==∂∂

=∂∂

k

SSSβββ (5.15)

adică, se obţine un anumit sistem de ecuaţii normale deoarece aceasta conţine totdeauna un număr de ecuaţii egal cu numărul parametrilor căutaţi βi.

La rezolvarea sistemului de ecuaţii normale se poate folosi metoda determinanţilor, metoda eliminărilor succesive sau metoda matricială. Luând în considerare faptul că în continuare unele relaţii vor fi exprimate sub formă matricială se va prezenta, mai detaliat, metoda matricială de rezolvare a sistemului de ecuaţii.

Se vor nota prin X, Y şi B matricele variabilelor independente şi dependente, precum şi estimaţiile căutate a parametrilor βi, a curbei date, putându-se scrie:

kNNNN

k

k

k

xxxx

xxxxxxxxxxxx

X

..................

...

...

...

210

3231303

2221202

1211101

=

Gh. COMAN 104

Ny

yyy

Y...

3

2

1

=

kb

bbb

B...

3

2

1

=

Sistemul normal de ecuaţii, sub formă matricială, se poate scrie sub forma:

YXBXX ∗∗ =)( (5.16) unde X∗ şi X∗X sunt matricele transpusă şi respectiv informaţională.

Înmulţind în stânga ambele părţi ale ecuaţiei matriciale (5.16) cu matricea (X∗X)-1, inversa matricei informaţionale, se obţine

YXXXBBXXXX ∗−∗∗−∗ == 11 )()()( (5.17) unde (X∗X)-1(X∗X) = E este matricea unitate.

Analiza procedeelor de rezolvare a sistemului ecuaţiilor normale arată că estimaţiile căutate ale coeficienţilor pentru curba dată, nu pot fi determinate independent una de alta. Din această cauză, orice modificare a ordinului ecuaţiei iniţiale sau eliminarea unor parametri de mică importanţă duce la necesitatea recalculării tuturor coeficienţilor ecuaţiei regresiei. O asemenea nedeterminare în ceea ce priveşte estimarea coeficienţilor regresiei îngreunează mult interpretarea lor fizică.

Se poate elimina această nedeterminare dacă se planifică experimentele în conformitate cu o schemă determinată, întocmită în aşa fel, încât în matricea X produsele scalare a tuturor vectorilor se reduc la valoarea zero.

Estimaţiile parametrilor βi ale ecuaţiei regresiei vor fi bine fundamentate, eficace şi suficiente, numai dacă sunt satisfăcute premizele principale ale analizei regresiilor.

Încălcarea acestor premise diminuează verosimilitatea estimaţiilor coeficienţilor căutaţi şi nu permite extragerea întregii informaţii cuprinsă în rezultatele observaţiilor. Din această cauză, înainte de a trece la determinarea estimaţiei coeficienţilor ecuaţiei regresiei este necesar să se verifice ipotezele asupra distribuţiei normale a rezultatelor observaţiilor şi omogenitatea dispersiei în cadrul fiecărei experienţe.

Verificarea ipotezei asupra normalităţii se face cu ajutorul criteriului wu care, în cazul unui număr mic de date (numărul de experienţe paralele n = 3...36) este mai puternic decât criteriul χ2 a lui Pearson. Pentru determinarea mărimii criteriului wu se fa folosi expresia:

[ ]

u

n

luln

lul

q

iuiinuin

u

n

yy

yyaw

u

u

2

1

1

2

1)1(1

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−=

∑∑

∑

=

=

=+−+−

(5.18)

MANAGEMENTUL CERCETĂRII 105unde an-i+1 este coeficient a cărei valoare pentru n = 3...36 şi i = 1, 2,...,q se prezintă în anexa 1; q = nu/2 – în cazul unui număr par de experienţe paralele şi q = (nu –1)/2 în cazul unui număr impar de experienţe; yu,(n – i + 1); yui – mărimi din selecţia ordonată a valorilor variabilei dependente pentru fiecare serie de experienţe, adică yu1 ≤ yu2 ≤ ...≤

uuny . Dacă wu ≥ wtabelat pentru probabilitatea stabilită prealabil α,

atunci ipoteza asupra normalităţii poate fi adoptată. Dacă această condiţie nu este satisfăcută atunci prin intermediul unei anumite funcţiuni de transfer este necesară trecerea la o altă mărime aleatoare h

uiy şi să se verifice din nou dacă ipoteza de normalitate este satisfăcută.

Pentru verificarea ipotezei referitoare la omogenitatea dispersiilor pentru nu = constant se foloseşte criteriul G a lui Cochran. Valoarea cestui criteriu (anexa 2) se va stabili cu ajutorul expresiei:

∑=

= N

uu

u

s

sG

1

2

2max

(5.19)

unde 2us este dispersia pentru fiecare serie de experienţe de ordinul u (u

= 1, 2,...,N); 2maxus este valoarea maximă a uneia din dispersiile calculate.

Dispersia şi valoarea medie a rezultatelor observaţiilor ⎯yu pentru experienţa de ordin u se determină cu relaţia:

( )1

1

2

2

−

−=∑=

u

n

luul

u n

yys

u

(5.20)

u

n

lul

u n

yy

u

∑== 1

(5.21)

Dacă G < Gtabelat (anexa 2) pentru o valoare prestabilită a lui α şi un număr dat de serii de experienţe N şi numărul gradelor de libertate f = n – 1, atunci ipoteza omogenităţii dispersiei este adoptată. În cazul nesatisfacerii inegalităţii, adică dacă G > Gtabelat ipoteza omogenităţii dispersiei respinsă.

Dacă nu ≠ constant în toate punctele de încercare, atunci pentru verificarea ipotezei de omogenitate se foloseşte criteriul B al lui Bartlett, care este foarte sensibil în ceea ce priveşte inexistenţa unei distribuţii normale. Valoarea poate fi determinată cu expresia:

( )⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−−= ∑∑

∑

∑==

=

=N

uuu

N

uN

uu

N

uuu

u snn

snn

CB

1

2

1

1

1

2

log)1()1(

)1(log1303,2

(5.22)

unde:

Gh. COMAN 106

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−+= ∑

∑=

=

N

uN

uu

u nnNC

1

1

)1(

11

1)1(3

11

Pentru numărul gradelor de libertate fu = nu – 1 > 2 mărimea B are o distribuţie χ2 (anexa 3) cu N – 1 grade de libertate.

5.2. Analiza statistică a ecuaţiilor

de regresie Pentru aprecierea descrierii corecte a fenomenelor tehnico-

economice cu ajutorul ecuaţiilor de regresie şi determinarea influenţei fiecărui factor studiat asupra parametrului de optimizare se face o analiză statistică a ecuaţiei (5.13). Pentru aceasta, se determină suma pătratelor abaterilor punctelor experimentale, în raport cu valorile prognosticate de ecuaţia regresiei. Cunoscând că suma reziduală a pătratelor este:

( ) ( ) YXBYYYYYYSSrez∗∗∗∗

−=−−= ˆˆ (5.24) unde Y este vectorul coloană al observaţiilor; Y - vectorul coloană al valorilor prognosticate de ecuaţia Y =XB; B – vectorul coloană pentru coeficienţii ecuaţiei de regresie.

În cazul experienţelor dublate suma remanentă SSrem a pătratelor poate fi descompusă în componente, adică vom avea:

DErem SSSSSS += (5.25) în care SSE – suma pătratelor care determină inadecuanţa reprezentării rezultatelor experimentului; SSD – suma pătratelor legată de dispersia care caracterizează eroarea experienţei.

Pentru determinarea sumei SSD se poate folosi expresia:

( )∑∑= =

−=N

u

n

luulD

u

yySS1 1

2

(5.26)

unde yul – sunt datele experimentale la repetarea seriei de experienţe de ordinul u; ⎯yu – valoarea medie a datelor experimentale pentru seria de ordinul u, determinată pe baza relaţiei (5.21); nu – numărul experienţelor paralele din seria de ordinul u; N – numărul seriei de experienţe diferite între ele.

Acestei sume îi corespunde numărul gradelor de libertate fD care reprezintă diferenţa dintre numărul total de experienţe din cadrul

experimentului ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∑=

n

uun

1

şi numărul seriilor de experienţe N:

( )∑ ∑= =

−=−=n

u

N

uuuD nNnf

1 1

1 (5.27)

MA

NA

GE

ME

NTU

L C

ERC

ETĂ

RII

107

Ta

belu

l 5.1

Fo

rmul

e de

exp

rimar

e a

disp

ersi

ilor ş

i gra

delo

r de

liber

tate

pen

tru d

iver

se

cond

iţii d

e du

blar

e a

expe

rienţ

elor

Dub

lare

a ex

perie

nţel

or

Com

pone

ntel

e di

sper

siilo

r car

e ca

ract

eriz

ează

ero

area

exp

erie

nţei

C

ompo

nent

ele

disp

ersi

ei c

are

cara

cter

izea

ză

inad

ecua

titat

ea m

odel

ului

S

uma

pătra

telo

r N

r. gr

adel

or

de li

berta

te

Sum

a pă

trate

lor

Nr.

grad

elor

de

liber

tate

Neu

nifo

rmă

n u ≠

con

stan

t (

)∑∑

==

−=

N u

N lu

ulD

yy

SS1

1

2

∑ =

−=

N uu

Dn

f1

)1(

(

)∑ =

−=

N uu

uu

Ey

yn

SS1

2ˆ

'k

Nf E

−=

Uni

form

ă n u

= n

= c

onst

ant

()

∑∑

==

−=

N u

N lu

ulD

yy

SS1

1

2

)1(

−=

uD

nN

f

()

∑ =

−=

N uu

uu

Ey

yn

SS1

2ˆ

'k

Nf E

−=

∗ (

)∑ =

−=

1 1

2

11

n ul

Dy

ySS

1

1−

=n

f D

()

∑ =

−+

−=

N uu

uE

yy

yy

nSS

1

22

11

1ˆ

)ˆ

(

'k

Nf E

−=

∗∗

()

∑ =

−=

Q qq

Dy

ySS

1

2

1

−=

Qf D

(

)∑ =

−=

=N u

uu

rez

Ey

ySS

SS1

2ˆ

'k

Nf E

−=

∗ în

tr-un

sin

gur p

unct

al p

lanu

lui n

u = n

1 şi u

= 1

, pen

tru n

u = 1

, u >

1.

∗∗ În

tr-o

serie

de

expe

rienţ

e în

afa

ra p

lanu

lui.

Gh. COMAN 108

Din această cauză dispersia care caracterizează eroarea experienţei poate fi determinată cu ajutorul relaţiei:

D

DD f

SSs =2

(5.28)

Forma ecuaţiilor (5.26) şi (5.27) este determinată de ecuaţiile de dublare a experienţelor, tabelul 5.1.

Pentru aflarea sumei SSE se poate folosi ecuaţia (5.25). În acest caz, dacă avem în vedere că:

( )∑∑= =

−=N

u

n

luulrem

u

yySS1 1

2ˆ (5.29)

rezultă:

( )∑=

−=N

uuuurem yynSS

1

2ˆ (5.30)

Numărul gradelor de libertate fE care corespunde acestei sume reprezintă diferenţa dintre numărul seriilor de experienţe din experimentul N şi numărul de coeficienţi, adică:

'kNfE −= (5.31) Din această cauză, dispersia, care caracterizează inadecuanţa

reprezentării rezultatelor experimentale va fi:

E

EE f

SSs =2

(5.32)

Formula relaţiilor (5.30)...(5.32) este determinată, de asemenea, de condiţiile de dublare, Tabelul 5.1.

Verificarea ipotezei de adecuanţă a reprezentării rezultatelor experimentului, prin ecuaţia de regresie, se realizează cu ajutorul criteriului F al lui Fischer:

2

2

D

E

ssF =

(5.33)

Valoarea de calcul al criteriului F se compară cu cea din tabele, la un nivel de încredere ales α şi un număr de grade de libertate fE şi fD, anexa 4.

Dacă F ≤ Ftabelat atunci diferenţa dintre dispersiile comparate este mică şi descrierea obţinută nu contrazice datele experimentale, adică ipoteza de adecuanţă este adoptată. Dacă F > Ftabelat atunci ipoteza de adecuitate este respinsă.

MANAGEMENTUL CERCETĂRII 109Verificarea ipotezei asupra importanţei statistice a parametrilor

modelului regresiei se realizează cu ajutorul criteriului t a lui Student. Pentru aceasta este necesar să se determine dispersiile σ2{bi}, care caracterizează erorile determinării coeficienţilor regresiei şi covarianţei cov{bibj}, care determină dependenţa statistică dintre coeficienţii regresiei.

Se ştie că:

( )( ){ } ( ) { }yXXBBM 21σββ

−∗∗ =−− (5.34) unde B – vectorul coloană ale cărui elemente sunt estimaţiile coeficienţilor regresiei; β - vectorul coloană al valorilor teoretice ale coeficienţilor regresiei; (X*X)-1 – matricea erorilor sau matricea de corelaţie ale cărei elemente diagonale determină dispersia coeficienţilor regresiei iar cele nediagonale – covariaţiile coeficienţilor corespunzători ai regresiei, adică constituie o măsură cantitativă a dependenţei reciproce la determinarea coeficienţilor regresiei.

Din această cauză expresiile pentru determinarea dispersiei, a covarianţei şi a coeficientului de corelaţie vor fi:

{ } { }ycb iii2σσ = (5.35)

{ } { }ycbb ijji2cov σ= (5.36)

{ }jjii

ijji cc

cbb =ρ

(5.37)

unde cii – elementele diagonale; cij – elementele nediagonale ale matricei (X∗X)-1.

În cazul unei planificări ortogonale a experimentelor, matricea erorilor devine diagonală. În acest caz, toate covariaţiile devin nule iar coeficienţii regresiei se determină independent unul de celălalt. Din această cauză pentru ele se pot stabili intervalele de încredere:

iiiii bbbb Δ+≤≤Δ− β (5.38) unde Δbi – eroarea de estimaţie a coeficienţilor βi,

{ }ysctb iii ±=Δ (5.39) unde s{y} - valoarea estimată a erorii experienţei.

Valoarea tabelară a criteriului t al lui Student se va alege conform probabilităţii de încredere α şi numărul gradelor de libertate fD, folosite la

determinarea dispersiei 2Ds .

Gh. COMAN 110

Coeficientul regresiei poate fi considerat important cu o probabilitate de încredere prestabilită dacă este îndeplinită condiţia:

ii bb Δ≥ (5.40)

În cazul nesatisfacerii inegalităţii (5.40) coeficientul este neglijabil şi se poate elimina din ecuaţia regresiei.

În cazul unei planificări neortogonale, intervalele de încredere, pentru orice coeficient de rang i al regresie, se pot stabili, numai după fixarea valorilor restului de coeficienţi.

CAP.6. METODE FORMALE DE

SELECTARE A FACTORILOR

6.1. Metoda corelaţiei de rang Fenomenele tehnico-economice reprezintă sisteme complexe asupra

cărora influenţează un mare număr de factori independenţi (de intrare) asupra factorilor dependenţi (de ieşire) luaţi în considerare la optimizarea sistemică a lor. De aceea, într-o etapă preliminară, utilizându-se întreaga informaţie care stă la dispoziţia cercetătorului, se va efectua o clasificare a influenţei factorilor de intrare asupra parametrului de optimizare.

O problemă importantă la analiza acestor date iniţiale, din practică sau literatura de specialitate, constă în selectarea factorilor care prezintă o influenţă esenţială asupra parametrului de optimizare supus cercetării.

La început, selectarea factorilor, a intervalelor şi nivelelor de variaţie ale factorilor de intrare se face intuitiv, neformalizat, bazată pe experienţa cercetătorilor implicaţi în studiul fenomenului tehnico-economic considerat. În această etapă prealabilă este deosebit de eficace utilizarea aşa numitului experiment psihologic care constă în reprezentarea obiectivă a datelor obţinute în urma unei interogări (anchete) a specialiştilor care lucrează în domeniul respectiv.

Sistematizarea părerilor specialiştilor reflectă cel mai obiectiv situaţia care există în domeniul respectiv de cercetare şi reprezintă, de fapt, aceeaşi trecere în revistă a datelor din literatură, reprezentate sub aspect formalizat.

În timpul anchetei trebuie să se ţină cont de cât mai multe puncte de vedere, a unui număr cât mai mare de specialişti, care aparţin a cât mai multor orientări în domeniu.

Este deosebit utilă efectuarea unui asemenea experiment la examinarea unor fenomene tehnico-economice mai puţin studiate precum şi a fenomenelor asupra cărora nu există, în literatura de specialitate, nici un fel de referinţe sau acestea sunt reduse ori controversate.

De cele mai multe ori experimentul psihologic se face în scopul unei aprecieri comparative a influenţei diverşilor factori asupra parametrului de optimizare, ceea ce ne dă posibilitatea de a selecta în mod corect factorii, pentru următorul experiment şi să se elimine în mod argumentat unii factori din examinarea ulterioară.

În timpul anchetei, fiecare specialist va completa un formular asemănător celui din tabelul 6.1.

La întocmirea tabelului 6.1, pentru o tratare univocă de către specialişti, a fiecărui factor, se introduce în mod special determinarea sau definirea operaţională a factorului.

Specialistul trebuie să-şi imagineze în ce fel şi cu ce precizie se măsoară factorul dat, care este valoarea absolută a acestuia şi, ca atare, se introduce coloana dimensiuni. Este de dorit să se anexeze la anchetă o schiţă cu indicarea dimensiunilor şi a unor eventuale explicaţii.

Gh. COMAN 112 Întrucât influenţa factorului poate să difere, în diverse domenii ale

spaţiului factorial, este necesar să se indice, pentru fiecare factor, intervalele de măsurare ale acestuia.

Tabelul 6.1 Formular pentru anchetă de rang

Factorul

de influenţă

Definirea operaţională

Simboli-zare

Dimensio- nabilitate

Intervalul de

măsurare Rang

x1 x2 ... xk

Specialistul trebuie să ordoneze factorii în ordinea scăderii

influenţei lor asupra parametrului de optimizare, adică să le ordoneze în raport cu rangul care i-l atribuie. Cifrele din ultima coloană corespund tocmai locului destinat de către cercetător factorului respectiv din şirul ordonat. Dacă specialistul nu poate indica ordinea succesiunii pentru doi sau mai mulţi factori, atunci acestora li se ataşează acelaşi număr de ordine, iar în timpul calculelor se introduce aşa numitele ranguri fracţionare legate.

Tabelul 6.2 Prelucrarea prin calcul a rezultatelor anchetei

Factorii

Specialistul x1 x2 ... xk

( )∑ −j

jj tt3

1 2 3 . . . m

Suma rangurilor

∑=

m

iija

1

Abaterea de la suma medie a rangurilor:

Δi

Pătratele abaterilor 2iΔ

Dacă nu este clar care din doi factori ocupă locul doi şi trei, atunci

ambilor factori li se ataşează rangul 2,5. rezultatele anchetei se centralizează într-un formular de gelul celuia din tabelul 6.2. tabelul se

MANAGEMENTUL CERCETĂRII 113completează cu cifre care corespund locului destinat fiecărui factor din şirul ordonat.

Pentru prelucrarea rezultatelor se calculează suma pentru fiecare factor de rang j:

∑=

m

iija

1

ţinându-se seama de cei m specialişti anchetaţi. În continuare se determină diferenţa dintre suma rangurilor fiecărui

factor şi media sumei rangurilor:

∑=

−=Δm

iiji Ta

1 (6.1)

unde:

k

aT

m

i

k

jij∑∑

= == 1 1 (6.2)

unde k reprezintă numărul de factori din anchetă.

Fig.6.1. Forme ale distribuţiei factorilor pe diagrama apriorică

a rangurilor (a – neuniformă, descreştere monotonă; b – neuniformă, descreştere exponenţială; c – uniformă)

Rezultatele calculelor se centralizează în tabel. În continuare, se

determină gradul de concordanţă a părerilor tuturor specialiştilor. În acest scop se determină aşa numitul coeficient de concordanţă cu următoarea expresie:

Gh. COMAN 114

)(12

32 kkmsW−

= (6.3)

unde s este suma pătratelor abaterilor:

∑=

Δ=m

iis

1

2

În cazul rangurilor fracţionare, coeficientul de concordanţă va fi:

( ) ∑−−=

iiTmkkm

sW32

121 (6.4)

unde:

( )∑ −=j

jji ttT 3

121

în care tj este numărul aceloraşi ranguri j în ordonarea de ordin i. Aprecierea verosimilităţii coeficientului de concordanţă se face de

obicei cu ajutorul criteriului χ2 care se determină cu expresia:

Wkm ).1.(2 −=χ (6.5) pentru un nivel de semnificaţie P = 0,95 şi numărul gradelor de libertate f = k – 1.

După aprecierea punerii de acord a părerilor tuturor specialiştilor se trasează diagrama apriori medie a rangurilor, figurând factorii pe o axă, iar pe cealălaltă sumele corespunzătoare ale rangurilor, figura 6.1.

Pentru cazurile cu un număr foarte mare de factori, în afară de punerea de acord a părerilor tuturor specialiştilor se examinează concordanţa dintre fiecare factor, separat. Pentru aceasta se verifică ipoteza de nul asupra dimensionalităţii unei ordonări uniforme faţă de alternativa unei ordonări neuniforme, cu ajutorul criteriului χ2, iar ipoteza de nul este adoptată dacă datorită rolului factorului există cele mai contradictorii opinii şi nu este adoptată, dacă opiniile coincid. Prin aceasta se reuşeşte să se reducă numărul factorilor cuprinşi în următorul experiment.

Într-o serie de cazuri se examinează aprecierea gradului de concordanţă a ordonărilor medii a două şcoli sau păreri a doi cercetători. Pentru aceasta, se calculează corelaţia de rang cu expresia:

kk

dR

k

ii

−−=∑=3

1

261 (6.6)

în care di – diferenţa rangurilor a doi cercetători pentru factorul de ordin i. Pentru k ≤ 7 valorile critice ale lui R sunt tabelate. Aprecierea

importanţei coeficienţilor corelaţiei de rang se face cu ajutorul criteriului χ2 care se determină cu expresia (6.5).

MANAGEMENTUL CERCETĂRII 115După prelucrarea rezultatelor anchetei se construiesc diagramele

apriorice ale rangurilor, figura 6.1. În cazul unei distribuţii neuniforme a importanţei factorilor (figura 6.1-a), conform diagramei de descreştere monotonă a acestora, în măsura posibilităţilor, se va include în experiment toţi factorii examinaţi. În cazul unei distribuţii neuniforme şi a descreşterii exponenţiale (figura 6.1-b) este posibilă eliminarea apriorică a factorilor care aparţin câmpului perturbator. Dacă distribuţia este uniformă, iar nivelul informaţiei apriorice este foarte redus (figura 6.1-c) toţi factorii trebuie incluşi în experimentul real.

Cercetătorii consideră că la aplicarea metodei corelaţiei de rang, informaţia iniţială asupra obiectului examinat, se formalizează într-o mare măsură, se micşorează grupul factorilor examinaţi şi se simplifică considerabil discutarea rezultatelor cercetării.

6.2. Metoda balanţei aleatoare

Teoria matematică a planificării experimentelor posedă o serie de

metode care permit să se discearnă câţiva factori esenţiali, pe fondul comun al variabilelor independente, de exemplu la cercetarea prelucrabilităţii unor materiale noi, a vibraţiilor în timpul filetării etc.

Aprecierea importanţei efectelor se poate face cu ajutorul analizei dispersionale, precum şi a experimentului factorial fracţionar, la care odată cu creşterea numărului factorilor, creşte brusc numărul de experienţe necesare, ceea ce face practic imposibilă selecţia factorilor semnificativi din totalul lor.

Diminuarea considerabilă a numărului de experienţe se obţine prin utilizarea planificării suprasaturate şi, în particular, a metodei balanţei aleatoare.

Fig.6.2. Şir ordonat de tip exponenţial

Gh. COMAN 116 Prin metoda balanţei aleatorii se postulează că în cazul în care

factorii independenţi ce influenţează parametrul de optimizat, se ordonează în sens descrescător din punctul de vedere al ponderii lor asupra dispersiei parametrului de optimizare, se obţine un şir de valori ordonate de tip exponenţial, figura 6.2. La reprezentarea grafică din figura 6.2, în abscisă sunt dispuşi factorii de influenţă asupra fenomenului cercetat, în ordinea influenţei lor asupra dispersiei totale a parametrului de optimizat, iar în ordonată sunt dispuse sumele cumulat în raport cu dispersia P.

După efectuarea unei serii reduse de experienţe se poate reprezenta grafic şirul ordonat de valori şi se pot separa efectele semnificative, iar celelalte să fie reportate la câmpul perturbator.

Reportarea unei părţi a efectelor la câmpul perturbator permite să se divizeze modelul matematic al evoluţiei fenomenului studiat. Modelul matematic iniţial are forma:

ε++++++++++=

−− kkk

kk

xxbxxbxxbxbxbxbxbby

1131132112

3322110 ... (6.7)

unde b0 – termenul liber; bi – coeficienţii de transfer ai termenilor liniari (i = 1, 2, 3,...,k); bij – coeficienţii de transfer ai interacţiunii factorilor de intrare (i, j = 1, 2, ...,k, i ≠ j); ε - eroarea reziduală a modelului.

Fig.6.3. Diagrama dispersiei pentru efecte liniare

În această situaţie, toţi factorii cercetaţi variază pe două nivele (+ 1 şi – 1), în conformitate cu matricea de planificare experimentală. Rangul matricei este egal cu numărul de observaţii şi se alege în aşa fel încât el să fie cu mult mai mic decât numărul efectelor considerate drept dubioase.

MA

NA

GE

ME

NTU

L C

ERC

ETĂ

RII

117

Ta

belu

l 6.3

M

atric

e de

pla

nific

are

a ex

perie

nţel

or c

onfo

rm m

etod

ei

bala

nţei

ale

atoa

re

Fact

orii

cerc

etaţ

i P

aram

etru

de

optim

izar

e N

umăr

ul

expe

rienţ

ei

x 1

x 2

x 3

x 4

x 5

x 6

x 7

x 8

x 9

x 10

x 11

y yI

yII

1 -1

+1

-1

+1

+1

+1

+1

-1

+1

+1

+1

y 1

I y 1

II y 1

2 -1

-1

+1

-1

-1

-1

-1

-1

+1

+1

+1

y 2

I y 2

II y 2

3 -1

+1

+1

-1

+1

-1

-1

-1

-1

-1

+1

y 3

I y 3

II y 3

4 +1

-1

-1

-1

+1

+1

-1

-1

-1

+1

-1

y 4

I y 4

II y 4

5 +1

-1

-1

+1

-1

-1

-1

+1

-1

+1

+1

y 5

I y 5

II y 5

6 -1

+1

-1

-1

+1

-1

-1

-1

+1

-1

-1

y 6

I y 6

II y 6

7 +1

+1

-1

-1

-1

+1

+1

-1

+1

-1

-1

y 7

I y 7

II y 7

8 -1

-1

+1

+1

+1

-1

-1

+1

+1

+1

-1

y 8

I y 8

II y 8

Gh.

CO

MA

N

118

Ta

belu

l 6.3

(con

tinua

re)

9

-1

-1

+1

+1

-1

-1

+1

+1

+1

-1

+1

y 9

I y 9

II y 9

10

-1

+1

+1

-1

-1

-1

+1

+1

+1

+1

+1

y 10

I y 10

II y 10

11

+1

+1

-1

+1

+1

+1

-1

-1

-1

+1

-1

y 11

I y 11

II y 11

12

-1

-1

-1

-1

-1

+1

+1

+1

-1

+1

+1

y 12

I y 12

II y 12

13

+1

+1

+1

+1

+1

+1

-1

-1

-1

+1

-1

y 13

I y 13

II y 13

14

-1

-1

-1

+1

-1

+1

+1

-1

-1

-1

-1

y 14

I y 14

II y 14

15

-1

-1

-1

+1

-1

+1

-1

+1

+1

-1

-1

y 15

I y 15

II y 15

16

+1

-1

-1

-1

+1

-1

-1

-1

+1

+1

+1

y 16

I y 16

II y 16

17

+1

+1

+1

+1

-1

+1

-1

+1

+1

+1

-1

y 17

I y 17

II y 17

MA

NA

GE

ME

NTU

L C

ERC

ETĂ

RII

119

Ta

belu

l 6.3

(con

tinua

re)

18

+1

-1

+1

-1

+1

-1

+1

+1

-1

-1

-1

y 18

I y 18

II y 18

19

+1

-1

+1

-1

-1

-1

+1

+1

-1

-1

+1

y 19

I y 19

II y 19

20

-1

+1

-1

+1

-1

+1

+1

+1

+1

+1

-1

y 20

I y 20

II y 20

21

-1

+1

+1

-1

+1

+1

+1

-1

-1

-1

+1

y 21

I y 21

II y 21

22

+1

-1

+1

+1

+1

-1

-1

-1

+1

-1

+1

y 22

I y 22

II y 22

23

+1

+1

+1

+1

-1

+1

+1

+1

-1

-1

-1

y 23

I y 23

II y 23

24

+1

+1

-1

-1

+1

-1

+1

+1

-1

-1

+1

y 24

I y 24

II y 24

Gh. COMAN 120 O regulă de bază la întocmirea matricei de planificare a experienţelor

o constituie utilizarea mecanismului aleator, care permite obţinerea unei distribuţii aleatoare a nivelelor pe coloane, cu ajutorul numerelor aleatoare sau prin randomizarea (aleatorizarea) replicilor fracţionare. Însă, de regulă, în majoritatea cazurilor, se vor utiliza matricele elaborate special pentru întocmirea balanţelor aleatoare. Pentru exemplificare se va elabora matricea de planificare a experienţelor la cercetarea influenţei a 11 factori independenţi din 24 de experienţe, tabelul 6.3.

Rezultatele experimentale obţinute se introduc în matricea planificării experienţelor şi se reprezintă grafic în diagramele dispersiei, figura 6.3.

Se va examina diagramele dispersiilor rezultatelor observaţiilor experimentale, conform efectelor liniare x1,...,x5, reprezentate în figura 6.3. După cum se observă, fiecare diagramă conţine toate cele 24 de puncte, corespunzătoare rezultatelor celor 24 de experienţe. Toate punctele sunt împărţite în două grupe: una din ele corespunde acelor experienţe în care factorul examinat se găseşte pe nivelul superior, iar cealălaltă grupă corespunde experienţelor în care acelaşi factor se găseşte pe nivelul inferior. În acest fel, acţiunea fiecărui factor se examinează în afara influenţei altor factori.

Efectele liniare semnificative se separă vizual prin compararea medianelor, care împart întreaga multitudine a punctelor în două. Cu cât distanţa dintre cele două mediane de la nivelul superior şi cel inferior este mai mare, cu atât influenţa acestui factor asupra parametrului de optimizare va fi mai mare.

În afara medianelor, pentru aprecierea vizuală a semnificaţiei factorului se foloseşte criteriul numărului de puncte distincte (desprinse). Se numesc puncte distincte (desprinse) acele puncte care aparţin unui anumit nivel al factorului şi se găsesc mai sus de punctul superior sau sub cel inferior, al celuilalt nivel. Experienţa utilizării metodei balanţei aleatoare arată că punctele distincte (desprinse) constituie un criteriu mai important de selecţie decât deosebirea dintre mediane.

Construcţia mai multor diagrame de dispersie şi separare vizuală a factorilor semnificativi este foarte laborioasă. De aceea, pentru a uşura aceste operaţiuni se recomandă folosirea unor dispozitive speciale de lucru.

Pentru aprecierea cantitativă a factorilor, separaţi vizual, se pot folosi diverse metode statistice. Cea mai potrivită metodă constă în elaborarea matricei variabilelor independente şi cu ajutorul ei să se efectueze analiza obişnuită a regresiilor , însă, dacă calculele se efectuează manual, această metodă este foarte laborioasă. De aceea la efectuarea manuală a calculelor se folosesc tabele cu mai multe intrări, metoda apropiindu-se de analiza dispersională şi factorială.

Se va examina întocmirea unui tabel cu trei intrări pentru aprecierea efectelor liniare, tabelul 6.4.

În fiecare compartiment al tabelului se introduce acea valoare a parametrului de optimizare, care corespunde combinaţiei semnelor factorilor, în cazul de faţă, din matricea de planificare a experienţelor.

Pentru valorile parametrului de optimizare din fiecare compartiment se calculează valoarea medie şi se obţin opt valori ⎯yi în baza cărora se

MANAGEMENTUL CERCETĂRII 121calculează efectele. În acest scop, se calculează toate mediile mediilor nivelului (+) şi din valoarea obţinută se scade media mediilor nivelului (-).

Tabelul 6.4 Tabel de analiză cu trei intrări

Nivelul de variaţie al factorului x2 (+1) pentru

nivelul de variaţie x1

Nivelul de variaţie al factorului x2 (-1) pentru

nivelul de variaţie x1

Numărul de variaţie al factorilor

(+1) (-1) (+1) (-1) y13 y3 y18 y2 y17 y10 y19 y8 y23 y23 y23 y9

x3(+1)

⎯y1 ⎯y2 ⎯y3 ⎯y4 y7 y1 y4 y12 y11 y6 y5 y14 y24 y20 y16 y15

x3(-1)

⎯y5 ⎯y6 ⎯y7 ⎯y8 Trecerea de la efect la aprecierea coeficienţilor de regresie se face

prin împărţirea efectului corespunzător în două. În cazul folosirii tabelelor cu trei intrări, formulele pentru determinarea efectelor vor fi:

44

44

44

876543213

874365212

864275311

yyyyyyyya

yyyyyyyya

yyyyyyyya

+++−

+++=

+++−

+++=

+++−

+++=

(6.8)

După cum se observă în expresiile (6.8), la aprecierea unuia din efecte se calculează media celorlalte două şi se nivelează influenţa lor, însă, în acest caz, influenţa restului de factori nu este înlăturată. De aceea, apare tendinţa de a întocmi tabele cu un număr cât mai mare de intrări, fapt ce nu este totdeauna posibil. În unele situaţii nu se poate întocmi nici un tabel cu trei intrări, fiind necesară întocmirea unui tabel cu două intrări.

Semnificaţia statistică a efectelor se verifică, de obicei, cu ajutorul criteriului t a lui Student:

sat i

ai

.4= (6.9)

unde:

∑=

=m

j j

rez

nss

1

2

(6.10)

Gh. COMAN 122 în care m este numărul compartimentelor tabelului cu n intrări; nj – numărul de observaţii în compartimentul de rang j al tabelului cu n intrări;

2rezs - dispersia reziduală calculată cu ajutorul observaţiilor, în raport cu

valorile medii pe compartimentele tabelului. Pentru a se uşura efectuarea calculelor se va întocmi un tabel de forma tabelului 6.5.

Tabelul 6.5 Calculul dispersiei reziduale

Nr.

com

parti

men

tulu

i di

n ta

belu

l cu

n in

trări

nj ∑yj (∑yj)2 ∑ 2jy

( ))1(

2

1

22

−−= ∑∑

− jj

j

j

jrez nn

yn

ys

j

rez

ns2

1 2 . . .

m

Fig.6.4. Efectele semnificative de interacţiune x1x2 a două efecte

liniare nesemnificative x1 şi x2 Valorile calculate pentru criteriul t se compară cu valorile teoretice

ale criteriului t tabelate, de obicei, la un nivel de încredere P=0,95. Numărul gradelor de libertate va fi egal cu diferenţa dintre numărul total

MANAGEMENTUL CERCETĂRII 123de experienţe şi numărul de compartimente ale tabelului auxiliar. Se consideră că este semnificativ acel efect la care valoarea calculată a criteriului t este mai mare decât cea tabelată.

Pentru separarea restului de factori semnificativi se face corecţia rezultatelor. În acest scop, la toate valorile parametrului de optimizare, care corespunde nivelului superior al efectului separat, se adună valoarea lui cu semn invers, ceea ce corespunde cu dispariţia deosebirii medianelor pentru nivelul factorului corespunzător. În consecinţă, se elimină influenţa acestuia din urmă.

După eliminarea efectelor semnificative se obţine o nouă grupare a parametrului de optimizare yI (tabelul 6.3) şi se vor construi din nou diagrame de dispersie pentru separarea următoarelor efecte, luând în considerare şi efectele de interacţiune ale factorilor. Nu se recomandă construirea diagramelor de dispersie pentru toate interacţiunile posibile. În mod obişnuit se foloseşte procedeul care permite reducerea considerabilă a volumului de lucru monoton şi obositor, necesar pentru construcţia diagramelor de dispersie. Acest procedeu se bazează pe examinarea interacţiunii numai a acelor factori care au puncte de dispersie izolate (distincte) pe aceleaşi nivele, precum şi pe nivele diferite. Întrucât coloana de interacţiune se formează prin înmulţirea semnelor a două coloane, punctele izolate apar pe nivelul superior, dacă ambii factori iniţiali au puncte izolate pe nivelele de acelaşi semn, figura 6.4.

Dacă punctele izolate (distincte) se găsesc pe nivelele cu semne diferite, atunci pe nivelul inferior de interacţiune, care cuprinde acest factor, vor exista şi astfel de puncte. Va trebui să se examineze interacţiunile unor asemenea factori, care au un mare număr de puncte izolate (distincte), atât pe acelaşi nivele cât şi pe nivele diferite. Aceasta se face atunci când porţiunile superioare sau inferioare ale diagramelor de dispersie a doi factori, a căror interacţiune se examinează, formează o imagine oglindă, figura 6.4. În partea inferioară a diagramei de dispersie se arată imaginea de oglindă a punctelor. Din această cauză, la construirea diagramei de dispersie pentru efectul de interacţiune x1x2 acest grup de puncte se găseşte pe nivelul inferior. În partea superioară a diagramei, punctele se reproduc reciproc şi, din această cauză, pe diagrama efectului de interacţiune ele se găsesc pe nivelul superior. În această situaţie este uşor de înţeles cum poate să apară o interacţiune semnificativă a factorilor, când fiecare din efecte, considerate separat, au fost nesemnificative.

Procesul de separare al factorilor semnificativi continuă până ce eroarea dispersiei rezultatelor cercetate va deveni neglijabilă în comparaţie cu eroarea experienţei. Separarea succesivă a efectelor semnificative încetează dacă valoarea experimentală a criteriului F devine mică sau cel mult egală cu cea teoretică, tabelată.

Valoarea experimentală a criteriului F se determină cu relaţia:

2

2

D

m

ssF =

(6.11)

Gh. COMAN 124 unde 2

ms este dispersia erorilor experimentale în raport cu media aritmetică a rezultatelor respective şi care se determină după fiecare corecţie a rezultatelor; 2

Ds - dispersia erorii experimentale calculată în raport cu rezultatele mai multor experienţe paralele randomizate (aleatorizate).

Ultima etapă de triere prevede elaborarea diagramelor efective şi obţinerea ecuaţiei regresiei dependenţei parametrului de optimizare, în funcţie de factorii semnificativi şi de interacţiune a acestora.

Metoda balanţei aleatoare este foarte eficace, dar ea este destinată numai pentru o apreciere grosieră a factorilor semnificativi, din numărul mare de factori consideraţi drept incerţi. Ea nu este recomandată pentru cercetări de precizie. Pentru lărgirea posibilităţilor folosirii acestei metode s-au propus planuri de efectuare a experienţelor cu mai multe nivele, care măresc, în mod considerabil, eficacitatea metodei.

CAP.7. PLANIFICAREA EXPERIMEN-

TELOR PENTRU CERCETAREA FENOMENELOR TEHNICO –

ECONOMICE

7.1. Experiment factorial Experiment factorial complet. La optimizarea

proceselor tehnico-economice, pentru evaluarea influenţei diverşilor factori independenţi asupra parametrului de optimizare este necesar ca, printr-un consum minim de mijloace materiale şi de timp, să se obţină o informaţie cât mai precisă şi mai completă privind influenţa fiecărui factor cercetat asupra funcţiei de răspuns.

De aceea, în prima etapă de cercetare a unui fenomen se va verifica posibilitatea de modelare a lui, cu ajutorul unui model matematic liniar, care să poată fi folosit pentru prognosticarea va lorii funcţiei cercetate în di9feritele puncte ale spaţiului factorial ales sau pentru determinarea domeniului de optim prin metoda ascensiunii rapide.

Pentru determinarea modelului liniar se utilizează planurile de ordinul I.

Fig.7.1. Poziţia punctelor dintr-un spaţiu factorial

EFC de tipul 22

Planul cel mai utilizat din această grupă este bazat pe experimentul factorial complet (EFC) în care, fiecare nivel al unui factor se combină cu toate nivelele celorlalţi factori de influenţă luaţi în considerare.

Pentru obţinerea unui model liniar, numărul de nivele de variaţie a celor r factori luaţi în studiu, se consideră constant şi minim posibil (r = 2). Asemenea factori se numesc EFC de tipul 2k unde k este numărul de factori examinaţi.

La întocmirea matricei de planificare EFC se trece la valorile codificate ale fiecărui factor ceea ce permite realizarea unei transformări liniare a coordonatelor spaţiului factorial, cu translaţia originii coordonatelor în centrul domeniului cercetat şi alegerea scărilor pentru noile axe în unităţile intervalelor de variaţie a fact5orilor.

În acest scop se foloseşte expresia:

x

x

x

x

x

xxx

1

1

11

1

+1

+1

-1

-1

x

x

2

22

2

2

2

2m

m

i

i

n

n

m

m

a

a

x

x

0

0

Gh. COMAN 126

i

iii x

xxx ~~~

0

Δ−

= (7.1)

unde xi este valoarea codificată a factorului, fiind o mărime adimensională; ix~ - valoarea naturală a factorului la nivelul superior, respectiv inferior de variaţie; ix0

~ - valoarea naturală a factorului la nivelul nul; ix~Δ - valoarea naturală a intervalului de variaţie a factorului:

( )minmax~~.5,0~

iii xxx −=Δ (7.2) În această situaţie, nivelele de variaţie ale fiecărui factor, în

expresia codificată, vor fi (+1) şi (-1). Toate punctele experimentale ale planului se vor situa simetric faţă de centrul 0 (zero), figura 7.1.

Matricea de planificare pentru EFC, de tipul 2k (pentru k = 2), conţine coloana variabilei fictive (x0), matricea de planificare propriu-zise (x1 şi x2) în care se iau în considerare toate combinaţiile posibile ale factorilor examinaţi pe două nivele şi coloana efectului de interacţiune (x1x2) obţinut prin înmulţirea scalară a coloanelor x1 şi x2, tabelul 7.1.

Tabelul 7.1 Matrice de planificare a experienţelor, tip 22

Matricea de planificare X Nr. seriei de

experienţe x0 x1 x2 x1x2

Vectorul de ieşire

yu 1 +1 -1 -1 +1 y1 2 +1 +1 -1 -1 y2 3 +1 -1 +1 -1 y3 4 +1 +1 +1 +1 y4

Numărul de rânduri din matricea dată corespunde cu numărul

seriilor de experienţe N = 22 = 4. Analiza acestei matrice indică că ea îndeplineşte condiţiile de ortogonalitate, simetrie şi normalitate. Ţinând seama de aceste proprietăţi rezultă:

N

yxb

N

uuiu

i

∑== 1

.

(pentru i = 0, 1, 2,...,k) (7.3)

şi respectiv:

N

yxxb

N

uujuiu

ij

∑== 1

..

(pentru 1 ≤ i < j ≤ k) (7.4)

adică, în cazul unui experiment planificat, coeficienţii ecuaţiei de regresie:

211222110 xxbxbxbby +++= (7.5)

MANAGEMENTUL CERCETĂRII 127nu sunt corelaţi între ei şi caracterizează contribuţia fiecărei variabile independente asupra parametrului de optimizare. Excluderea din aceste ecuaţii a coeficienţilor fără importanţă nu necesită recalcularea celorlalţi coeficienţi.

La întocmirea matricei de planificare EFC pentru un număr arbitrar de variabile independente k, este necesar să se repete de două ori matricea planificării cu factorul de rangul (k – 1), la început pentru valoarea factorului k la nivelul inferior şi apoi la cel superior, tabelul 7.2.

Tabelul 7.2 Matrice de planificare tip 2k pentru k = 2 ÷ 5

Matricea de planificare Nr.

experienţei x0 x1 x2 x3 x4 x5 1 +1 -1 -1 -1 -1 -1 2 +1 +1 -1 -1 -1 -1 3 +1 -1 +1 -1 -1 -1 4 +1 +1 +1 -1 -1 -1 5 +1 -1 -1 +1 -1 -1 6 +1 +1 -1 +1 -1 -1 7 +1 -1 +1 +1 -1 -1 8 +1 +1 +1 +1 -1 -1 9 +1 -1 -1 -1 +1 -1 10 +1 +1 -1 -1 +1 -1 11 +1 -1 +1 -1 +1 -1 12 +1 +1 +1 -1 +1 -1 13 +1 -1 -1 +1 +1 -1 14 +1 +1 -1 +1 +1 -1 15 +1 -1 +1 +1 +1 -1 16 +1 +1 +1 +1 +1 -1 17 +1 -1 -1 -1 -1 +1 18 +1 +1 -1 -1 -1 +1 19 +1 -1 +1 -1 -1 +1 20 +1 +1 +1 -1 -1 +1 21 +1 -1 -1 +1 -1 +1 22 +1 +1 -1 +1 -1 +1 23 +1 -1 +1 +1 -1 +1 24 +1 +1 +1 +1 -1 +1 25 +1 -1 -1 -1 +1 +1 26 +1 +1 -1 -1 +1 +1 27 +1 -1 +1 -1 +1 +1 28 +1 +1 +1 -1 +1 +1 29 +1 -1 -1 +1 +1 +1 30 +1 +1 -1 +1 +1 +1 31 +1 -1 +1 +1 +1 +1 32 +1 +1 +1 +1 +1 +1

Gh. COMAN 128

Într-un experiment factorial complet, numărul efectelor determinate este egal cu numărul seriilor de experienţe:

∑=

++=k

m

mkCkN

2

)1( (7.6)

unde k este numărul factorilor cercetaţi; m – numărul elementelor în interacţiune, care poate varia de la 2 până la k; m

kC - numărul de interacţiuni ale factorilor pentru k şi m precizaţi:

!)(!!

mkmkCm

k −=

(7.7)

Verificarea ipotezei asupra unei reprezentări adecuate a rezultatelor experimentale, prin modelul matematic ales, este imposibilă, întrucât numărul gradelor de libertate fE = 0. Cu toate acestea, în practică poate să apară deseori situaţii când informaţia apriorică permite să se afirme că procesul examinat, în intervalul de variaţie dat pentru variabilele independente, poate fi descris prin modelul liniar, adică coeficienţii care caracterizează efectele de interacţiune pot fi considerate nesemnificative (fără importanţă). O asemenea verificare a ipotezei de adecuanţă este posibilă deoarece fE > 0.

În cadrul unui experiment factorial complet, numărul seriei de experienţe N = 2k creşte mult mai repede decât numărul factorilor k examinaţi, ceea ce face ca aceste planuri, în cazul utilizării unui model liniar şi a unui număr mare de factori, să fie complet ineficace în primele etape de cercetare.

Experiment factorial fracţionar (trunchiat). Tendinţa de a mări eficienţa planurilor de cercetare EFC de tipul 2k, la descrierea unui proces polifactorial complex, cu ajutorul unui model liniar, a dus la necesitatea micşorării numărului total de serii de experienţe, prin folosirea numai a unei părţi din planurile de cercetare EFC, adică a replicilor fracţionare (trunchiate).

Tabelul 7.3 Prima replică de la EFC de tip 23

(EFF de tip 23-1)

Matricea de planificare X Nr. seriei de experienţe,

u x0 x1 x2 x3

Vectorul de ieşire

yu 1 +1 -1 -1 +1 y1 2 +1 +1 -1 -1 y2 3 +1 -1 +1 -1 y3 4 +1 +1 +1 +1 y4

Întocmirea planurilor unui experiment factorial fracţionar (EFF) se

reduce la înlocuirea celor p efecte fără importanţă ale interacţiunii din

MANAGEMENTUL CERCETĂRII 129planul EFC de tipul 2k, prin alte efecte liniare noi. Aceste planuri se simbolizează ca planuri EFF de tip 2k-p.

Pentru exemplificare se consideră planul EFC de tip 22 (tabelul 7.1) în care efectul de interacţiune x1x2 este nesemnificativ. În acest caz, vectorul coloană poate fi utilizat pentru aprecierea efectului unui factor suplimentar x3. O asemenea matrice de planificare a experienţelor cuprinde o jumătate din experienţele EFC de tipul 23 şi poartă denumirea semireplică EFF tip 23-1, tabelul 7.3.

Relaţia: x3 = x1.x2 (7.8)

poartă denumirea de relaţie generatoare întrucât ea dă naştere la replica fracţionară. Dacă se înmulţesc ambele părţi ale relaţiei (7.8) cu x3 se obţine:

32123 xxxx = (7.9)

sau: 1 = x1x2x3 (7.10)

care poartă denumirea de contrast determinat. Relaţia (7.10) permite să se stabilească capacitatea de rezoluţie a replicii fracţionare, adică să se determine coeficienţii care reprezintă aprecierile distincte ale factorilor examinaţi. În acest scop, este necesar să se înmulţească în mod succesiv variabilele independente cu contrastul determinat. De aceea, în cazul prezentat, aprecierile comune ale efectelor pot fi date de relaţiile:

x1 = x2x3 x2 = x1x3 x3 = x1x2 (7.11) Aceasta înseamnă că coeficienţii liniari ai regresiei semireplicii vor

fi aprecieri pentru efectele comune:

123'3

132'2

231'1

ββ

ββ

ββ

+→

+→

+→

b

b

b

(7.12)

Tabelul 7.4 A doua replică de la EFC de tip 23

(EFF tip 23-1)

Matricea de planificare X Nr. seriei de experienţe,

u x0 x1 x2 x3

Vectorul de ieşire

yu 1 +1 -1 -1 -1 y5 2 +1 +1 -1 +1 y6 3 +1 -1 +1 +1 y7 4 +1 +1 +1 -1 y8

Dacă efectele interacţiunii sunt diferite de zero, atunci pentru

obţinerea aprecierilor distincte a acestor coeficienţi liniari este necesar să se efectueze o serie suplimentară de experienţe (încă patru experienţe) considerând drept relaţie generatoare, relaţia:

Gh. COMAN 130

x3 = - x1x2 (7.13) Pentru această semireplică contrastul determinat va fi:

1 = - x1x2x3 (7.14) şi atunci va rezulta:

x1 = - x2x3 x2 = - x1x3 x3 = - x1x2 (7.15) iar aprecierile nedistincte ale efectelor liniare vor fi:

123''

3

132''

2

231''

1

ββ

ββ

ββ

−→

−→

−→

b

b

b

(7.16)

Matricea acestui plan se prezintă în tabelul 7.4. Folosind datele de mai sus, se pot determina aprecierile distincte,

atât pentru efectele liniare, cât şi pentru efectele de interacţiune, întrucât se realizează un EFC de tipul 23, tabelul 7.5.

Tabelul 7.5 Matricea de lucru a unui plan de tipul 23

Matricea de planificare X

Nr.

serie

i de

expe

rienţ

e,

u

x0 x1 x2 x3 x 1x 2

x 1x 3

x 2x 3

x 1x 2

x 3

Vec

toru

l de

ieşi

re y

u

1 +1 -1 -1 -1 +1 +1 +1 +1 y1 2 +1 +1 -1 -1 -1 -1 +1 +1 y2 3 +1 -1 +1 -1 -1 +1 -1 +1 y3 4 +1 +1 +1 -1 +1 -1 -1 -1 y4 5 +1 -1 -1 +1 +1 -1 -1 +1 y5 6 +1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 -1 y6 7 +1 -1 +1 +1 -1 -1 +1 -1 y7 8 +1 +1 -1 +1 +1 +1 +1 +1 y8

În mod analog, pentru semireplica planului de tip 24-1 se poate

considera relaţia generatoare: x4 = x1x2x3 (7.17)

Contrastul determinat în acest caz va fi:

3214

4213

4312

4321

xxxxxxxxxxxxxxxx

====

4132

4231

4321

xxxxxxxxxxxx

===

(7.18)

Analiza relaţiilor (7.11) şi (7.19) arată că odată cu creşterea numărului de variabile independente creşte capacitatea de rezoluţie a

MANAGEMENTUL CERCETĂRII 131semireplicilor, care depinde, de asemenea, de alegerea relaţiei generatoare.

Într-adevăr, dacă pentru semireplica aceluiaşi plan se consideră relaţia:

x4 = x1x2 (7.20) atunci, contrastul determinat va fi dat de relaţia:

1 = x1x2x4 (7.21) iar aprecierile comune, corespunzătoare, prin relaţiile:

324

423

432

43211

xxxxxxxxx

xxxxx

====

41321

42131

43121

xxxxxxxxxxxxxxx

===

(7.22)

În acest caz, capacitatea de rezoluţie a semireplicii va fi mai mică, întrucât aprecierile pentru efectele liniare b2, b3, b4 se determină împreună cu aprecierile pentru efectele de interacţiune pare.

Dacă numărul seriei de experienţe într-o replică fracţionară este egal cu numărul de coeficienţi liniari determinaţi ai regresiei, ţinând cont de b0, atunci o asemenea replică poartă denumirea de replică saturată (de exemplu, semireplica EFC de tipul 22 sau 1/16 din replica de tipul 27 etc.). În acest caz experimentul conţine un număr minim de experienţe, dar rezultatele sale pot conduce la adoptarea unor soluţii eronate, dacă modelul liniar este neadecuat, întrucât efectele de interacţiune vor influenţa în mod vizibil asupra aprecierii efectelor liniare. Verificarea utilităţii modelului liniar nu se poate face deoarece fE = 0. Din această cauză, în practică se tinde să se folosească replicile fracţionare nesaturate (de exemplu EFF de tipul 24-1, EFF de tipul 25-2 etc.).

Analiza regresiilor experimentului factorial complet şi fracţionar. La realizarea planurilor de cercetare de ordinul 1 se folosesc următoarele scheme de organizare a experienţelor: fără dublarea experienţelor; cu dublarea experienţelor într-un punct sau în toate punctele planului.

Schema de organizare fără dublarea experienţelor (n = 1) este posibilă, cu condiţia ca în virtutea unor cercetări prealabile sau a unor date din literatura de specialitate, asupra fenomenului studiat, se poate evalua

valoarea dispersiei 2Ds şi numărul gradelor de libertate fD ce-i corespunde.

Schema de organizare cu dublarea experienţelor într-un singur punct se foloseşte cu condiţia ca informaţia apriorică existentă să permită a se trage concluzii asupra omogenităţii dispersiei în toate punctele

spaţiului factorial. În acest caz, dispersia 2Ds a erorii experienţei se

determină în raport cu rezultatele experienţelor paralele (n0 = 4÷5) efectuate, de obicei, în punctul de nul al planului şi se extinde asupra întregului experiment:

Gh. COMAN 132

( )10

1

200

22

0

0 −

−==∑=

n

yyss

n

ll

DD (7.23)

Schema de organizare a experienţelor, în toate punctele planului (n > 1), se foloseşte în acele cazuri când lipsesc orice fel de informaţii apriorice asupra mărimii dispersiei erorii experienţei şi a omogenităţii acesteia. În cazul unei asemenea scheme de organizare a experienţelor se determină dispersia 2

us pentru fiecare serie de experienţe de ordin u, cu relaţia:

( )1

1

2

2

−

−=∑=

u

n

luul

u n

yys

u

(7.24)

se verifică ipoteza de omogenitate a dispersiilor pe baza criteriilor lui Cochran cu relaţia:

[ ]∑=

= N

uu

u

s

sG

1

2

max2

(7.25)

şi apoi se calculează dispersia care se caracterizează eroarea experienţei:

N

ss

N

uu

D

∑== 1

2

2 (7.26)

În prima etapă a analizei regresiei, după verificarea ipotezei asupra omogenităţii dispersiilor, determinarea dispersiei erorii experienţelor efectuate şi calculul coeficienţilor ecuaţiei de regresie, se recomandă să se aprecieze semnificaţia acestor coeficienţi, ceea ce permite examinarea problemei asupra probabilităţii simplificării ecuaţiilor de regresie, prin eliminarea unei părţi a variabilelor independente. Pentru aceasta, este necesar să se determine erorile medii pătratice ibs de determinare a coeficienţilor modelului căutat. Ţinând cont de ortogonalitatea planurilor date, în ceea ce priveşte determinarea coeficienţilor de regresie, sunt egale, adică:

nNss D

bi .

22 = (7.27)

unde n este numărul de serii de experienţe din planul dat. În acest caz, intervalul de încredere pentru toţi coeficienţii ecuaţiei de regresie va fi:

nNststb D

bi i ... =±=Δ (7.28)

Dacă |bi| ≥ Δbi, atunci coeficienţii ecuaţiei de regresie sunt semnificativi (importanţi). În caz contrar se consideră că coeficienţii ecuaţiei de regresie sunt nesemnificativi şi nu se iau în considerare în ecuaţia de regresie.

MANAGEMENTUL CERCETĂRII 133Pentru verificarea ipotezei de adecuanţă a modelului matematic

determinat se foloseşte criteriul F a lui Fischer. Dacă valoarea obţinută prin calcul pentru criteriul F este mai mică decât cea tabelată, aleasă în funcţie de nivelul de încredere şi numărul gradelor de libertate fE şi fD, atunci modelul analizat descrie în mod adecuat rezultatele experimentale, adică rezultatele prognosticate prin modelul uy nu vor fi mai puţin precise

decât datele experimentale uy . Verificarea ipotezei cu ajutorul expresiei (5.33) este absolut corectă

din punct de vedere statistic. Însă, rezultatele trebuie interpretate raţional din punct de vedere al considerentelor tehnico-economice deoarece pot exista cazuri când F > Ftab datorită unei precizii prea mari a experimentului. În aceste situaţii este necesar să se acorde o mare atenţie valorii 2

Es care caracterizează precizia modelului. Dacă din punct de vedere valoric ea satisface condiţiile tehnice impuse fenomenului cercetat, atunci se admite ca valoarea 2

Ds din relaţia (5.33) să fie înlocuită cu valoarea 2Ds care

caracterizează încercările industriale şi după aceea să se verifice adecuanţa modelului. Este posibilă şi o situaţie inversă, când datorită unei valori mari 2

Ds (experiment de mică precizie) F < Ftab, adică modelul este adecuat, dar nu satisface condiţiile tehnologice în ce priveşte valoarea 2

Es . Analiza unui astfel de model trebuie făcută cu multă precauţie.

Există şi metode indirecte pentru determinarea adecuanţei modelului. Astfel, la examinarea unui model liniar, semnificaţia a cel puţin a unuia din coeficienţii efectelor de interacţiune este un criteriu sigur că modelul dat nu este adecuat.

În cazul unui experiment factorial se recomandă să se efectueze o serie de experienţe suplimentare în punctul de nul. În acest caz, diferenţa dintre valoarea criteriului de optimizare⎯y0 şi mărimea termenului liber b0 va caracteriza influenţa globală a termenilor pătratici ∑bii, adică, dacă:

tabb

ts

ybti

≤−

= 00 (7.29)

modelul este adecuat. Metoda ascensiunii rapide pentru analiza

adecuanţei modelului. Pentru îmbunătăţirea performanţei unui proces tehnico-economic care să asigure un randament sau beneficiu maxim, cost minim etc., este necesară găsirea unei combinaţii optime a factorilor de producţie, a parametrilor tehnologici de intrare.

Strategia de căutare a optimului, în cazul unei scheme clasice de efectuare a experimentelor, când se variază succesiv una sau alta din variabilele independente, se reduce la o „peregrinare prin labirint”, figura 7.2 (linia frântă OPQRST). Cu cât este mai mare numărul variabilelor independente, cu atât „labirintul” de căutare a optimului va fi mai complex.

O abordare nouă pentru rezolvarea acestei probleme prevede folosirea metodei „pas cu pas” a studierii suprafeţei de răspuns (rapel). În legătură cu aceasta se ridică două chestiuni:

Gh. COMAN 134

a. să se găsească un model matematic care să descrie relaţiile care există între parametrii reglabili ai procesului tehnologic analizat şi rezultatele obţinute;

b. să se găsească o combinaţie a parametrilor de intrare astfel ca rezultatul obţinut să fie optim.

Rezultă deci că esenţa acestei metode constă în realizarea unei serii relativ mici de experienţe, cu ajutorul planurilor de experiment

factorial, complet sau fracţionar, determinarea ecuaţiei liniare de regresie, aprecierea coeficienţilor acesteia şi analiza statistică a datelor experimentale.

Fig.7.2. Deplasarea pe

suprafaţa de răspuns, prin metodele experimentului

monofactorial (OPQRST) şi ascensiunii rapide

(O1P1Q1R1)

Ecuaţia adecuată permite să se treacă printr-o deplasare, pe drumul cel

mai scurt, în sensul gradientului funcţiei de răspuns de la mărimile de intrare, la mărimea de ieşire căutată. Deplasarea pe gradient are loc, atâta timp, cât nu se îmbunătăţesc valorile parametrului de optimizare. Dacă în cazul unei asemenea deplasări nu se obţine un optim, se iniţiază o serie de experienţe, cu centrul în punctul cu cea mai bună valoare obţinută a parametrului de optimizare, se determină o nouă ecuaţie de regresie şi pe baza acesteia se determină noul sens al deplasării pe gradient, figura 7.2 (dreapta O1P1Q1R1). O asemenea succesiune a planificării factoriale şi a deplasării pe gradientul funcţiei de răspuns, continuă până la obţinerea domeniului optim, pentru descrierea căruia se folosesc în mod obişnuit planuri de ordin mai mare. Analiza ecuaţiei de răspuns dă posibilitatea să se determine punctul extrem şi să se efectueze o interpretare geometrică a influenţei factorilor cercetaţi asupra funcţiei de răspuns din domeniul optimului.

Din teoria câmpului se cunoaşte relaţia de calcul a gradientului:

kx

jx

ix k∂

∂++

∂∂

+∂∂

=∇ϕϕϕϕ ...

21 (7.30)

în care ix∂

∂ϕ sunt derivatele parţiale ale funcţiei ϕ în raport cu factorul de

ordinul i (funcţia ϕ se consideră continuă, uniformă şi fără puncte singulare; i, j,...,k – sunt vectorii unitari în sensul axelor de coordonate sau segmenţi egali cu unităţile de măsură a mărimilor Δxi (intervale de

MANAGEMENTUL CERCETĂRII 135variaţie) la alegerea cărora experimentatorul ia o hotărâre intuitivă, care influenţează în mare măsură eficacitatea obţinerii optimului.

Dacă ecuaţia de regresie:

kk xbxbxbby ++++= ...ˆ 22110 (7.31) este liniară, atunci derivatele parţiale ale funcţiei în raport cu factorul de ordin i va fi:

ii

bxy=

∂∂ˆ

(7.32)

rezultând în final:

kk xbxbxby ~...~~ˆ 2211 Δ++Δ+Δ= (7.33) adică, deplasarea totală pentru ascensiunea rapidă va fi egală cu suma algebrică a paşilor pentru fiecare din variabile.

Eficacitatea gradientului depinde hotărâtor de alegerea parametrului de optimizare şi de intervalele de variaţie a factorilor examinaţi, întrucât gradientul nu este invariant în raport cu suprafaţa de răspuns. Rămân neschimbate numai semnele componentelor gradientului.

Fig.7.3. Deplasarea pe gradient

în cazul experimentului monofactorial

Pe baza reprezentării

grafice din figura 7.3, ţinându-se seama de faptul că tangenta unghiului α în punctul iniţial A este egală cu valoarea coeficientului b1, din ecuaţia de regresie, din triunghiul ΔABC rezultă:

111~.. xbbACBC Δ== (7.34)

unde AC = 1~xΔ este intervalul de variaţie al variabilei independente x1; BC

– coordonata punctului B care se găseşte pe gradient. În mod analog pot fi calculate coordonatele punctelor şi în cazul

unei probleme cu mai mulţi factori, deoarece toate efectele liniare se determină independent unul de celălalt.

Dacă se amplifică produsul b1. 1~xΔ , cu un număr pozitiv oarecare,

se obţin coordonatele altor puncte, care se găsesc, de asemenea, pe gradient, însă pasul deplasării pe gradient se modifică (de exemplu, punctele B1 şi B2).

Mărimea pasului, la deplasarea pe gradient, influenţează timpul de obţinere a punctului căutat. De aceea, mărimea pasului care caracterizează modificarea factorului esenţial, se alege în aşa fel încât ea să fie de 2 – 3 ori mai mare decât eroarea de măsurare a factorului respectiv şi să permită efectuarea mai multor paşi în domeniul spaţiului factorial cercetat.

Gh. COMAN 136

După alegerea pasului h pentru factorul principal (esenţial) se procedează la o recalculare a paşilor hi, pentru ceilalţi factori, ţinându-se seama de produsul bi. ix~Δ , adică:

( )xbxbhh ii

i ~.

~..ΔΔ

= (7.35)

unde b. x~Δ reprezintă produsul care corespunde pentru factorul principal. Pentru a se uşura calculele care urmează, de obicei, valorile

obţinute pentru mărimea pasului se rotunjesc. Tabelul 7.6

Valorile parametrilor ascensiunii rapide pe suprafaţa de răspuns

Variabile independente Parametrii ascensiunii rapide x1 x2 x3

Criteriul de optimizare

+1 110~~ xx Δ+ 220

~~ xx Δ+ 330~~ xx Δ+ -

0 10~x 20

~x 30~x - Nivelul de variaţie

-1 110~~ xx Δ− 220

~~ xx Δ− 330~~ xx Δ− -

Intervalul de variaţie ix~Δ 1~xΔ 2

~xΔ 3~xΔ -

Coeficientul ecuaţiei de regresie bi b1 b2 b3 -

Produsul bi. ix~Δ b1 1~xΔ b2 2

~xΔ b3 3~xΔ -

Pasul hi h1 h2 h3 - Pasul rotunjit h’i h’1 h’2 h’3 -

1 '110

~ hx − '220

~ hx − '330

~ hx − y1

2 '110 .2~ hx − '

220 .2~ hx − '330 .2~ hx − y2

Experienţe preconizate

3 '110 .3~ hx − '

220 .3~ hx − '330 .3~ hx − y3

Deplasarea pe gradient începe totdeauna de la punctul de zero,

deoarece valorile coeficienţilor, care determină direcţia de căutare, sunt legate de aprecierea gradientului faţă de punctul zero ales la efectuarea experimentului. În cazul deplasării în domeniul de optim, factorii nesemnificativi se stabilizează pe un anumit nivel de variaţie a factorilor daţi (de obicei cel de zero). Succesiunea realizării experienţelor se determină prin modelul matematic al fenomenului cercetat.

Dacă, în cazul unei ascensiuni rapide se foloseşte un model adecuat, atunci se realizează numai acele experienţe care ies în afara domeniului experimentului, cel puţin pentru una din variabilele independente. În cazul folosirii unui model inadecuat, este necesar să se realizeze experienţele atât în interiorul (1 – 2 experienţe), cât şi în exteriorul domeniul experimentului, tabelul 7.6.

În cazul unei ascensiuni rapide a procesului, etapele strict formalizate se asociază cu cele neformalizate, în decursul cărora este necesar ca cercetătorul să ia unele hotărâri intuitive, care vor influenţa mult eficacitatea obţinerii extremului.

În grupa etapelor neformalizate se includ: alegerea nivelului principal şi a intervalelor de variaţie pentru variabilele independente;

MANAGEMENTUL CERCETĂRII 137luarea unor decizii după prima serie de experienţe; luarea unei decizii după ascensiunea rapidă. Câteva caracterizări pentru fiecare etapă.

La alegerea nivelului principal pentru variabilele independente trebuie să se ţină seama de informaţia apriorică, obţinută prealabil, la examinarea proceselor analoage sau rezultatele experienţelor preliminare, considerând drept nivel principal condiţiile care dau valoarea cea mai bună a parametrului de optimizare. În cazul absenţei unor asemenea date, alegerea se face în virtutea unor considerente intuitive.

La alegerea intervalelor de variaţie a factorilor trebuie să se ţină seama de faptul că limitele intervalelor sunt limitate pe de o parte de domeniul de definiţie al factorilor examinaţi, iar pe de altă parte de precizia lor de măsurare. O creştere mare a intervalelor de variaţie duce la creşterea dimensiunilor suprafeţei de răspuns cercetate, care nu mai poate fi aproximată în toate cazurile cu un plan, precum şi la posibilitatea unui salt al extremului. În cazul unor intervale mici de variaţie poate creşte considerabil timpul pentru determinarea optimului şi cheltuielilor materiale pentru efectuarea experienţelor. Dacă procesul examinat nu impune restricţii rigide asupra intervalelor de variaţie a variabilelor independente din punct de vedere al unor considerente de natură fizică, economică sau tehnologică, acestea trebuie să fie alese în aşa fel încât să se obţină o ecuaţie simetrică sau aproape simetrică în raport cu coeficienţii liniari ai termenilor ecuaţiei de regresie.

După prima serie de experienţe se poate constata dacă modelul fenomenului analizat este adecuat şi toţi coeficienţii ecuaţiei de regresie sunt semnificativi. În acest caz, este necesar să se realizeze deplasarea pe gradient pentru determinarea domeniului de optim. Dacă modelul fenomenului analizat este adecuat, însă nu toţi coeficienţii sunt semnificativi, atunci, pentru creşterea importanţei coeficienţilor se execută o serie suplimentară de experienţe în care, fie că se modifică intervalele de variaţie a factorilor nesemnificativi şi centrul experimentului se mută într-un punct cu o valoare mai bună a parametrului de optimizare, fie că se majorează numărul experienţelor în paralel, în scopul diminuării dispersiei erorii experimentului sau se verifică ipoteza dacă factorii daţi nu sunt semnificativi. În cazurile în care modelul fenomenului nu este adecuat este necesar să se ia măsuri ca acesta să devină adecuat, prin efectuarea unei serii suplimentare de experienţe, cu intervale modificate de variaţie a variabilelor independente şi translaţia centrului experimentului într-un alt punct al domeniului examinat sau să se efectueze o deplasare pe gradient. Ultima soluţie nu este întru-totul corectă deoarece în cazul unei curburi mari a suprafeţei de răspuns, probabilitatea de îmbunătăţire a rezultatelor este foarte mică.

Dacă ascensiunea rapidă este eficace, adică, dacă cel puţin într-un singur punct rezultatul este îmbunătăţit, în comparaţie cu cea mai bună experienţă din serie şi în această situaţie domeniul de optim este atins, atunci experimentul încetează sau se trece la descrierea acestui domeniu cu ajutorul unei ecuaţii de ordinul doi. Însă, dacă domeniul de optim nu este atins, atunci centrul experimentului se schimbă într-un punct cu un perimetru mai bun şi se realizează din nou planul factorial.

Gh. COMAN 138

În cazul unei ascensiuni rapide ineficace, însă modelul fenomenului fiind adecuat, cauza ineficacităţii poate fi existenţa mai multor extreme ale suprafeţei studiate sau o variaţie în timp a criteriului de optimizare. Ipoteza existenţei mai multor extreme poate fi verificată prin efectuarea unei ascensiuni rapide dintr-un alt punct al spaţiului factorial, iar pentru diminuarea gradului de influenţă a variaţiei în timp se vor folosi planurile speciale de experiment.

Dacă în cazul unei ascensiuni rapide se va utiliza un model neadecuat este necesar să se revină la prima serie de experienţe, în scopul creierii adecuanţei modelului.

7.2. Planuri de ordinul doi

Unele consideraţii privind criteriile

de optim pentru planurile de ordinul doi. La optimizarea unor fenomene tehnico-economice, într-un domeniu apropiat de optim, în general, modelele de ordinul întâi nu pot fi utilizate.

În aceste cazuri, deseori, se utilizează modele polinomiale de ordinul doi. Însă, nu se poate cunoaşte prealabil forma suprafeţei de răspuns şi nici domeniul în care se găseşte optimul. De aceea, la planificarea experimentelor se utilizează planuri care caracterizează obţinerea unei informaţii maxime, în cele mai nefavorabile condiţii, pentru un număr minim de experienţe, adică folosirea unor criterii adecuate pentru aprecierea optimului la folosirea acestor planuri.

S-a stabilit că planurile EFC de tipul 2k, EFC de tipul 2k-p şi planurile prelucrate pe baza matricelor lui Hadamarad pot fi considerate ca cele mai eficace la întocmirea unor modele liniare şi satisfac atât criteriile de ortogonalitate,

01

=∑=

N

ujuiu xx (7.36)

de simetrie,

01

=∑=

N

uiux (7.37)

de normare,

NxN

uiu=∑

=1

2 (7.38)

de rotabilitate,

{ } { } ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+= ∑

=

k

iii xby

1

222 1ˆ σσ (7.39)

cât şi criteriile D-, G-, A-, E- de optimizare, pentru care, în mod corespunzător, se minimizează volumul elipsoidului de dispersie a aprecierii suprafeţei de răspuns, valoarea maximală a dispersiei aprecierii suprafeţei de răspuns, dispersia medie a aprecierilor coeficienţilor şi valoarea proprie maximă a matricei covarianţei.

MANAGEMENTUL CERCETĂRII 139În cazul trecerii la întocmirea unui model de ordinul doi, alegerea

planurilor optimale se complică mult, întrucât aceste planuri nu corespund simultan la unele criterii importante de optim. Astfel, la satisfacerea criteriului de ortogonalitate, în planurile de ordinul doi se încalcă condiţiile de normare şi rotabilitate, or numai criteriul de ortogonalitate este insuficient. Un criteriu mai eficient pentru planurile de ordinul doi este criteriul de rotabilitate care asigură nu numai obţinerea unor contururi informaţionale, ci este apropiat de ortogonalitate şi permite minimizarea erorilor sistematice, legate de reprezentarea neadecuată a rezultatelor experimentale prin modele de ordinul doi. Din această cauză, în fiecare caz concret, cercetătorul trebuie să formuleze criteriul de optim şi să aleagă pentru realizarea lui un asemenea plan, care să satisfacă cât mai mult aceste condiţii.

Modelul matematic pentru planul de ordinul doi. La folosirea planurilor de ordinul unu şi deplasarea după metoda ascensiunii rapide, se determină domeniul de variaţie al variabilelor independente, care corespunde cu valoarea cea mai bună a parametrului de optimizare. Însă, acest domeniu nu poate fi descris cu ajutorul aproximării liniare, deoarece, în această parte a suprafeţei de răspuns, predomină coeficienţii ecuaţiei de regresie care caracterizează efectele de interacţiune. Pentru descrierea acestui domeniu este necesar să se utilizeze planurile de ordinul doi, în care, fiecare variabilă trebuie să fie variată pe cel puţin trei nivele.

Modelul matematic de ordinul doi se poate scrie sub forma generală:

∑∑∑=≤<≤=

+++=k

iiii

kjijiij

k

iii xbxxbxbby

1

2

110ˆ (7.40)

unde y este aprecierea selectivă a funcţiei studiate; b0, bi, bii, bij – coeficienţi selectivi ai ecuaţiei de regresie (aprecieri pentru valorile generale ale coeficienţilor ecuaţiei de regresie β0, βi, βii, βij); xi, xj – variabile independente; k – numărul total al variabilelor independente.

Coeficienţii selectivi ai ecuaţiei de regresie, după acest model, se determină prin folosirea matricei de planificare şi a rezultatelor experimentelor. Matricea ecuaţiilor normale ale planului trebuie să fie nedegenerată, adică este necesar să existe matricea inversă (X*X)-1.

Numărul total al coeficienţilor ecuaţiei de regresie, pentru modelele de ordinul doi, se determină cu relaţia:

2)2).(1( ++

=kkNk (7.41)

Întrucât utilizarea practică a experimentului factorial, pentru obţinerea acestor modele, atunci când numărul variabilelor independente k ≥ 4 este laborioasă, datorită numărului mare de experienţe (N = 3k), s-au propus planuri compuse pentru experiment. Acestea se obţin prin adăugarea la numărul experienţelor de bază n, pentru planul de ordinul unu de tipul 2k-p (k – p ≥ 2, p = 0, 1, 2,…) a n puncte stelare şi n0 puncte

Gh. COMAN 140

de nul. În acest caz, numărul total de experimente necesare (N = 2k-p + 2.k + n0) scade brusc deoarece, în mod obişnuit, se consideră n0 = 1.

În figura 7.4 se prezintă poziţia punctelor unui plan centrat de ordinul doi, pentru k = 2; 3. Numărul nivelelor de variaţie pentru asemenea planuri este egal cu cinci. Fig.7.4. Plan centrat

compus de ordinul doi Pentru folosirea

practică a planurilor compuse este necesar să se determine mărimea braţelor stelare α pentru punctele stelare nα şi numărul punctelor de nul n0. Alegerea valorilor pentru α şi n0 se face plecând de la criteriul ales de optimul planificării.

Planuri ortogonale. La întocmirea planurilor de ordinul doi, pentru descrierea proceselor multifactoriale complexe, este necesar să se păstreze drept criteriu de optim a acestor planuri, ortogonalitatea lor. În acest caz, toate elementele nediagonale ale matricei informaţionale X*X trebuie să fie egale cu zero. Această condiţie este satisfăcută numai dacă mărimea braţelor stelare α se determină din ecuaţia:

02.2..2 20

124 =−−+ −−−−− pkpkpk nkαα (7.42) În tabelul 7.7 se prezintă valorile pentru α2 şi α, la un număr diferit de

variabile independente. Întrucât în mod obişnuit se consideră n0 = 1, centrul planului va conţine o

cantitate de informaţie mai redusă decât periferia acestuia. Dacă se foloseşte transformarea:

N

xxx

N

uiu

iuiu

∑=−= 1

2

2' (7.43)

MANAGEMENTUL CERCETĂRII 141

Tabelul 7.7 Valori pentru α2 şi α, corespunzător diverselor numere de variabile

independente k şi puncte de nul n0

Nr.

punc

telo

r de

nul

Plan de tipul 2k-p

22 23 24 25-1 26-1

1 1,0000000 1,0000000

1,4772258 1,2154278

2,0000000 1,4142136

2,3923048 1,5467077

2,9736666 1,7424324

2 1,1622777 1,0780896

1,6568542 1,2871884

2,1980390 1,4825786

2,5800525 1,6062542

3,1833264 1,7841881

3 1,3166248 1,1474427

1,8309519 1,3531268

2,3923048 1,5467077

2,7703296 1,6644307

3,3903195 1,8412820

5 1,6055513 1,2671035

2,1644140 1,4711950

2,7703296 1,6644307

3,1355287 1,7707424

3,7989987 1,9491020

8 2,0000000 1,4142136 - - - -

9 - 2,7823299 1,6680318 - - -

10 2,2426407 1,4975449

2,9282032 1,7111994

3,6619038 1,9136101

4,0000000 2,0000000

4,7846097 2,1873751

12 - - 4,0000000 2,0000000 - -

15 - - - - 5,7255610 2,3928144

La înlocuirea coloanelor 2

iux a matricei informaţionale, cu coloana 'iux se poate scrie:

0.1

'0 =∑

=

N

iiuu xx (7.44)

şi respectiv:

0.1

'' ≠∑=

N

ijuiu xx (7.45)

însă, cu toate acestea, covarianţele dintre coloanele 'iux şi '

jux au valori neglijabile. De aceea, coeficienţii ecuaţiei de regresie şi dispersia acestora se pot calcula cu relaţiile:

∑

∑

=

== N

uui

N

uuui

ix

yxb

1

2'

1'

' (7.46)

Gh. COMAN 142

şi respectiv:

∑∑==

== N

uui

DN

uui

Di

nx

s

x

ss

1

2'

2

1

2'

22'

. (7.47)

unde i’ ia succesiv toate valorile indicilor coloanelor matricei de planificare x’0, x’i, x’ij;⎯yu – valoarea medie a rezultatelor observaţiei pentru rândul u al matricei de planificare, 1 ≤ u ≤ N; n – numărul observaţiilor paralele, pentru fiecare rând al matricei de planificare, 1 ≤ l ≤ n; 2

Ds - dispersia medie a rezultatelor observaţiilor cu fD grade de libertate; 2Ds - dispersia valorilor medii ale rezultatelor observaţiilor.

Ţinând seama de relaţia (7.43), ecuaţia de regresie (7.40) va căpăta forma:

∑∑∑∑∑

∑∑

∑∑

=≤<≤==

=

=

=

≤<≤=

+++

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−=

=

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−+++=

k

iiii

kjijiij

k

iii

k

i

N

uiu

k

i

N

uiu

iiikji

jiij

k

iii

xbxxbxbN

xb

N

xxbxxbxbby

1

2

111

1

2

'0

1

1

2

2

11

'0

..

.ˆ

(7.48)

În acest caz, pentru b0, dispersia va fi:

21

2

22 ..'00 iib

N

uiu

bb sN

xkss∑=+= (7.49)

Planuri rotabile. Un plan de experimentare de ordinul doi corespunde criteriului de rotabilitate dacă matricea covariantă (X*X)-1 este invariantă faţă de rotirea ortogonală a coordonatelor. Această condiţie este satisfăcută dacă în matricea informaţională (X*X) a planului, elementele impare, până la ordinul patru, vor fi egale cu zero, iar pentru elementele pare este satisfăcută relaţia:

41

22

1

4

12

2

..3.3

;,,...,2,1,.

λ

λ

Nxxx

jikjiNx

N

ujuiu

N

uiu

N

uiu

==

≠==

∑∑

∑

==

=

(7.50)

unde λ2 şi λ4 sunt constante care pot fi alese arbitrar; λ2 – determină scara planului; λ4 – ca mărime, depinde de tipul planului informaţional.

Pentru ca matricea covariantă (X*X)-1 să fie nedegenerată, este necesar să fie satisfăcută inegalitatea:

MANAGEMENTUL CERCETĂRII 143

222

4

+>

kk

λλ

(7.51)

Se introduce constanta standard a momentelor de ordinul 4:

2

1

2

1

22

22

4*4

..

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛==

∑

∑

=

=

N

uiu

N

ujuiu

x

Nxx

λλλ

(7.52)

Constanta standard a momentelor de ordinul 4, *4λ , se poate obţine

şi cu ajutorul altor parametri ai planului de ordinul doi:

2

1

2

1

4

*4

.)2(

..

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+

=

∑

∑

=

=

r

r

nk

nNk

ωωω

ωωω

ρ

ρλ

(7.53)

unde nω - numărul punctelor ce se găsesc pe sfera ω; ρω - raza sferei; r – numărul de sfere pe care se găsesc punctele planului 1 ≤ ω ≤ r.

Dacă punctele care aparţin nucleului planului de tipul 2k-p şi punctele stelare 2.k se găsesc pe aceeaşi sferă (dimensionabilitate k), atunci relaţiile (7.52) şi (7.53) se transformă în relaţia simplă:

n

n

nknnk

).2().( 0*

4 ++

=λ (7.54)

unde nn reprezintă numărul punctelor periferice, nn = N – n0. Relaţia (7.54) este aplicabilă dacă este satisfăcută condiţia:

kpk

=−22 (7.55)

adică, pentru: k = 2; 4; 8 etc. În cazul satisfacerii criteriului de uniformitate (dispersia aprecierii

funcţiei regresiei este aproape constantă în intervalul 0 ≤ ρ ≤ 1, în vecinătatea experimentului), constanta *

4λ trebuie să fie ceva mai mică decât unitatea. Dacă se consideră că *

4λ = 1, planul rotabil de ordinul doi devine aproape ortogonal.

Se poate scrie cov(bii,bjj) = 0 (pentru k = 3; 6 foarte apropiate de zero), iar cov(b0,bii) devine ceva mai mică decât planurile rotabile. În acest caz, condiţia de uniformitate nu este satisfăcută.

Gh.

CO

MA

N

144

Ta

belu

l 7.8

P

aram

etrii

pla

nuril

or c

entra

te d

e co

mpo

ziţie

ale

lui B

ox, r

otab

ile

k

p α

n 0

N

* 4λ

a 1 =

a11

a 2

=a7=

a 17

a 3 =

a12

a 4

= a

13

a 5

a 6 =

a18

a 1

4

1 2

3 4

5 6

7 8

9 10

11

12

13

2 0

1,41

421

5 8 13

16

0,

8125

0 1,

0000

0 0,

2000

0 0,

1250

0 -0

,100

00

-0,0

6250

0,

1250

0 0,

2500

0 0,

1250

0 0,

0187

5 0,

0000

0 0,

1437

5 0,

1250

0

3 0

1,68

179

6 9 20

23

0,

8578

6 0,

9865

4 0,

1663

4 0,

1109

7 -0

,056

79

-0,0

3789

0,

0732

2 0,

1250

0 0,

0622

500,

0068

9 0,

0004

4 0,

0693

9 0,

0629

4

4 0

2,00

000

7

12

31

36

0,86

111

1,00

000

0,14

286

0,08

333

-0,0

3571

-0

,020

83

0,04

167

0,06

250

0,03

125

0,00

372

0,00

000

0,03

497

0,03

125

5 1

2,00

000

6

10

32

36

0,88

889

1,00

000

0,15

909

0,09

722

-0,3

409

-0,0

2083

0,

0416

7 0,

0625

0 0,

0312

5 0,

0028

4 0,

0000

0 0,

0340

9 0,

0312

5

6 1

2,37

841

9

15

53

59

0,90

401

1,00

636

0,11

075

0,06

654

-0,0

1874

-0

,011

26

0,02

309

0,03

125

0,01

563

0,00

122

-0,0

0005

0,01

684

0,01

558

7 1

2,82

843

14

22

92

100

0,92

000

1,00

000

0,07

031

0,04

500

-0,0

0977

-0

,006

25

0,01

250

0,01

563

0,00

781

0,00

049

0,00

000

0,00

830

0,00

781

8 2

2,82

843

13

20

93

100

0,93

000

1,00

000

0,07

692

0,05

000

-0,0

0962

-0

,006

25

0,01

250

0,01

563

0,00

781

0,00

042

0,00

000

0,00

823

0,00

781

MANAGEMENTUL CERCETĂRII 145Mărimea braţului stelar se determină din condiţiile de rotabilitate:

42pk−

=α (p = 0, 1, 2,…) (7.56) Parametrii principali ai planurilor centrate de compoziţie, uniforme şi

ortogonale de ordinul doi, pentru k = 2,…,8 sunt prezentate în tabelul 7.8. Luând în considerare parametrii principali ai planurilor de ordinul

doi, din tabelul 7.8 şi obţinând matricea covariantă sub formă generală, se pot obţine următoarele relaţii pentru determinarea aprecierilor coeficienţilor ecuaţiilor de regresie:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −+= ∑∑∑= ==

k

i

N

uuiu

N

uu yxcyk

NAb

1 1

2*4

1

2*40 2)2(2 λλ (7.57)

∑=

=N

uuiui yx

Ncb

1

. (7.58)

kjiyxxNcb

N

uujuiuij ≤<≤= ∑

=

1;..1

*4

2

λ (7.59)

[ ]

⎭⎬⎫

−−+

⎩⎨⎧

+−+=

∑∑∑

∑

== =

=

N

uu

k

i

N

uuiu

N

uuiuii

ycyxc

yxkkcNAb

11 1

*4

2*4

2

1

2*4

2

2)1(

.)2(

λλ

λ

(7.60)

2

1

2

1λ

==

∑=

N

uiux

Nc

[ ]kkA

−+= *

4*4 )2(2

1λλ

n

yy

n

lul

u

∑== 1

Dispersiile şi covarianţele coeficienţilor ecuaţiei de regresie se determină cu relaţiile:

2*42 )2.(..2

2

0Db s

NkAs +

=λ

(7.61)

22Db s

Ncs

i= (7.62)

Gh. COMAN 146

2

*4

22

Db sN

csij λ= (7.63)

[ ] 22*42 .)1().1(.

Db sN

ckkAsii

−−+=

λ (7.64)

2*4

0...2),cov( Dii s

NcAbb λ−

= (7.65)

22*4 .).1(),cov( Djjii sN

cAbb λ−= (7.66)

unde nss DD22

= şi 2Ds corespund la fD grade de libertate.

În scopul simplificării calculelor coeficienţilor ecuaţiei de regresie se pot calcula prealabil coeficienţii din faţa sumelor. În acest caz, relaţiile (7.57)…(7.60) şi (7.61)…(7.66) vor căpăta aspectul:

∑ ∑∑= = =

+=N

u

k

i

N

uuiuu yxayab

1 1 1

2210 .. (7.67)

∑=

=N

uuiui yxab

13 . (7.68)

∑=

≤<≤=N

uujuiuij kjiyxxab

14 )1(;.. (7.69)

∑∑ ∑∑== = =

++=N

uu

N

u

k

i

N

uuiuuiuii yayxayxab

17

1 1 1

26

25 ... (7.70)

211

2 .0

Db sas = (7.71) 2

122 . Db sasi= (7.72)

213

2 . Db sasij= (7.73)

214

2 . Db sasii= (7.74)

2

170 .),cov( Dii sabb = (7.75) 2

18.),cov( Djjii sabb = (7.76) Coeficienţii a1,…,a7; a11,…,a17 şi a18, pentru planurile rotabile

uniforme de ordinul doi se dau în tabelul 7.8. Tot în tabelul 7.8 se dau coeficienţii analogi şi pentru planurile ortogonale de ordinul doi, pentru aceleaşi valori ale braţelor stelare, ca şi pentru planurile rotabile. Astfel,

MANAGEMENTUL CERCETĂRII 147utilizând aceleaşi date experimentale şi adăugând un anumit număr de experienţe în centru (originea coordonatelor) se pot determina coeficienţii modelului, care corespund cu criteriul de ortogonalitate.

Prezintă interes determinarea dispersiei pentru aprecierea selectivă a funcţiei studiate. În cazul planurilor rotabile, dispersia este constantă pentru orice punct al sferei descrise în jurul centrului de planificare (originea coordonatelor) şi depinde de raza sferei pe care se găseşte punctul examinat, de dispersie şi covarianţa coeficientului de regresie:

∑∑

∑∑∑

≤<≤=

=≤<≤=

++

++++=

kjijijjii

k

iiii

k

iib

kjijib

k

iibby

xxbbxbb

xsxxsxsssiiiji

1

22

1

20

1

42

1

222

1

2222ˆ

),cov(.2),cov(.2

0

(7.77)

Relaţia (7.77) poate fi simplificată, dacă în locul coordonatelor punctului examinat se introduce raza sferei ρ, pe care se găseşte punctul. Se poate scrie:

20

422222ˆ ).,cov(.2..

0ρρρ iibbby bbssss

iii+++= (7.78)

unde:

∑=

=k

iix

1

22ρ (7.79)

şi reprezintă distanţa de la centrul de planificare, până la punctul examinat al variabilelor independente normalizate. 7.3. Planuri apropiate din punctul de vedere

al proprietăţilor de cele D-optimale Aceste planuri sunt apropiate din punct de vedere al

caracteristicilor statistice faţă de planurile D-optimale ale lui Box G.E.P. pe sferă şi pe cub Bk, precum şi planurile lui Hartley H.O. pe cub şi sferă

kaH , pentru valorile k = 2,…,8. Nucleele planurilor rotabile ale lui Box, pe sferă, se compun dintr-

un experiment complet sau fracţionar (replici regulate) ale experimentului factorial. Mărimea braţului stelar, pentru aceste planuri, corespunde criteriului de rotabilitate. Numărul de experienţe din centrul planului n0 se alege plecând de la corespondenţa maximă cu caracteristica statistică.

Planurile lui Box pe cub Bk cuprind punctele din vârfurile curburii de dimensiuni k şi punctele stelare cu α = 1 (condiţia de maximizare a determinantului matricei informaţionale). În centrul planului numărul punctelor poate fi modificat, în loc de zero, până la patru. Planurile sunt simetrice.

Nucleele planurilor Hartley pe cub şi pe sferă kaH se aleg ca replici fracţionare de la 2k, care satisfac condiţia de nemiscibilitate a

Gh.

CO

MA

N

148

Tabe

lul 7

.9

Par

amet

rii p

lanu

rilor

cva

si-D

-opt

imal

e de

ord

inul

doi

Tipu

l pla

nulu

i k

p D

eter

min

area

co

ntra

stul

ui

α

n 0

N

|M(ε

)| D

|M

(ε)|c

vD

d m D

d m

cvD

d m

ax D

d m

axcv

D

d min D

d m

incv

D

1 2

3 4

5 6

7 8

9 10

11

2 0

- 1,

4142

1 3 4

11

12

0,26

.10-3

0,

22.1

0-3

4,4

4,0

6,0

6,9

3,6 -

Box

, rot

abil

pe

sferă

3 0

- 1,

6817

9 2 4

16

18

0,25

.10-8

0,

17.1

0-8

7,1

6,9

10,0

10

,7

5,8 -

Har

tley

pe

sferă

3 1

x 1x 2

x 3

1,73

205

1 4 11

14

0,

25.1

0-8

0,36

.10-9

7

,1

10,4

10

,0

5,8 -

Box

, B3,

pe c

ub3

0 -

1,00

000

0 14

0,

578.

10-3

0,

453.

10-3

7,

46

5,83

10

,00

11,2

0 5

,34

4,36

Har

tley

pe c

ub

3 1

x 1x 2

x 3

1,00

000

1 11

0,

578.

10-3

0,

363.

10-5

7,

46

10,8

3 10

,00

76,8

8 5,

34

3,23

R

otab

il, B

ox,

pe s

feră

4

0 -

2,00

000

2 4 26

28

0,

75.1

0-13

0,74

.10-1

3 10

,7

10,5

15

,0

15,2

8,

6 - H

artle

y pe

sf

eră

4 1

x 1x 2

x 3

2,00

000

1 4 17

20

0,

75.1

0-16

0,56

.10-1

7 10

,7

15,8

15

,0

8,6 -

MA

NA

GE

ME

NTU

L C

ERC

ETĂ

RII

149

Ta

belu

l 7.9

(con

tinua

re)

a 1 =

a11

a 2

=a7=

a 17

a 3 =

a12

a 4

= a

13

a 5

a 6 =

a18

a 8

=a9=

a 15=

=

-a19

a 1

0 =

a 16

a 14

12

13

14

15

16

17

18

19

20

0,33

333

0,25

000

-0,1

6667

-0

,125

00

0,12

500

0,25

000

0,12

500

0,05

208

0,03

125

- -

0,17

708

0,15

625

0,47

707

0,24

931

-0,1

6971

-0

,085

13

0,07

322

0,12

500

0,06

250

0,04

544

0,01

657

- -

0,10

794

0,07

907

1,00

000

0,25

000

-0,3

3333

-0

,083

33

- -

0,05

556

0,13

070

0,02

037

0,16

667

0,41

667

0,15

926

0,07

593

0,40

625

-0,1

5625

0,

1000

0 0,

1250

0 0,

5000

0 -0

,093

75

- -

0,40

625

0,30

435

-0,1

3043

-

- 0,

5000

0 -0

,086

96

0,50

000

0,75

000

0,41

304

0,50

000

0,25

000

-0,1

2500

-0

,062

50

0,04

167

0,06

250

0,03

125

0,02

604

0,01

042

- -

0,05

729

0,04

167

1,00

000

0,25

000

-0,2

5000

-0

,062

50

0,06

250

0,12

500

0,03

125

0,05

859

0,01

720

0,12

500

0,25

000

0,08

984

0,04

297

Gh.

CO

MA

N

150

Ta

belu

l 7.9

(con

tinua

re)

Tipu

l pla

nulu

i k

p D

eter

min

area

co

ntra

stul

ui

α

n 0

N

|M(ε

)| D

|M

(ε)|c

vD

d m D

d m

cvD

d m

ax D

d m

axcv

D

d min D

d m

incv

D

1 2

3 4

5 6

7 8

9 10

11

Har

tley

pe c

ub

4 1

x 1x 2

x 3

1,00

000

1 4 17

20

0,

22.1

0-4

0,10

.10-7

11

,1

17,1

15

,0

118,

6 7,

7 3,

2

Box

,B4,

pe c

ub

4 0

- 1,

0000

0 0 4

24

28

0,22

.10-4

0,

80.1

0-5

11,1

18

,5

15,0

18

,5

7,7

4,8

Rot

abil,

Box

, pe

sfe

ră

5 1

x 1x 2

x 3x 4

x 5

2,00

000

0 4 26

30

-

- -

-

Har

tley

pe

sferă

5 1

x 1x 2

x 3x 4

x 5

2,23

607

1 4 27

30

0,

44.1

0-26

0,32

.10-2

6 15

,2

13,7

21

,0

11,8

-

Har

tley

pe c

ub

5 1

x 1x 2

x 3x 4

x 5

1,00

000

1 4 27

30

0,

63.1

0-6

0,17

.10-7

15

,5

11,0

21

,0

27,4

10

,7

2,7

Box

, B5,

pe c

ub5

0 -

1,00

000

1 4 43

46

-

- -

-

MA

NA

GE

ME

NTU

L C

ERC

ETĂ

RII

151

Ta

belu

l 7.9

(con

tinua

re)

a 1 =

a11

a 2

=a7=

a 17

a 3 =

a12

a 4

= a

13

a 5

a 6 =

a18

a 8

=a9=

a 15=

=

-a19

a 1

0 =

a 16

a 14

12

13

14

15

16

17

18

19

20

0,19

101

0,12

143

-0,0

5618

-0

,035

71

0,10

000

0,12

500

0,50

000

-0,1

0112

-0

,107

14

0,50

000

0,62

500

0,39

888

0,39

286

0,22

917

0,11

957

-0,0

6250

-0

,032

61

0,05

556

0,06

250

0,50

000

-0,1

0417

-0

,112

32

- -

0,39

583

0,38

678

3,50

000

0,23

333

-0,7

5000

-0

,050

00

0,04

167

0,06

250

0,03

125

0.15

625

0,00

625

- -

0,18

750

0,03

750

1,00

000

0,25

000

-0,2

0000

-0

,050

00

0,03

846

0,06

250

0,02

000

0,03

754

0,00

754

- -

0,05

754

0,02

754

0,13

805

0,09

762

-0,0

3030

-0

,021

43

0,05

556

0,06

250

0,50

000

-0,0

9091

-0

,092

86

- -

0,40

909

0,40

714

0,13

659

0,09

689

-0,0

2867

-0

,020

33

0,02

941

0,03

125

0,50

000

-0,0

9275

-0

,094

50

- -

0,40

725

0,40

550

Gh.

CO

MA

N

152

Tabe

lul 7

.9 (c

ontin

uare

)

Tipu

l pla

nulu

i k

p D

eter

min

area

co

ntra

stul

ui

α

n 0

N

|M(ε

)| D

|M

(ε)|c

vD

d m D

d m

cvD

d m

ax D

d m

axcv

D

d min D

d m

incv

D

1 2

3 4

5 6

7 8

9 10

11

R

otab

il, B

ox,

pe s

feră

6

1 x 1

x 2x 3

x 4x 5

x 6

2,37

841

2 4 46

48

0,

36.1

0-39

0,17

.10-3

9 20

,5

20,5

28

,0

29,0

15

,6

- H

artle

y pe

sf

eră

6 2

x 1x 2

x 3x 4

x 5x 6

2,

4494

9 1 4

29

32

0,36

.10-3

9 0,

57.1

0-42

20,5

35

,0

28,0

-

15,6

-

Box

,B6,

pe c

ub

6 0

- 1,

0000

0 0 4

76

80

0,15

.10-7

0,

23.1

0-9

20,6

27

,5

28,0

66

,5

14,2

7,

9 R

otab

il, B

ox,

pe s

feră

7

1 x 1

x 2x 3

x 4x 5

x 6x 7

2,

8284

3 3 4

81

82

0,32

.10-5

5 0,

38.1

0-58

26,8

30

,6

36,0

44

,4

19,8

-

7 2

x 1x 2

x 3x 4

x 5x 6

2,

6457

5 1 4

47

50

0,32

.10-5

5 0,

45.1

0-58

26,8

47

,8

36,0

-

19,8

-

Har

tley

pe

sferă

8 2

x 1x 2

x 3x 4

x 5 ş

i x 4

x 5x 6

x 7x 8

2,

8284

3 2 4

82

84

0,52

.10-7

3 0,

16.1

0-74

34,1

34

,0

45,0

-

24,5

-

MA

NA

GE

ME

NTU

L C

ERC

ETĂ

RII

153

Tabe

lul 7

.9 (c

ontin

uare

)

a 1 =

a11

a 2

=a7=

a 17

a 3 =

a12

a 4

= a

13

a 5

a 6 =

a18

a 8

=a9=

a 15=

=

-a19

a 1

0 =

a 16

a 14

12

13

14

15

16

17

18

19

20

0,49

275

0,24

817

-0,0

8337

-0

,041

99

0,02

309

0,03

125

0,01

563

0,01

215

0,00

515

- -

0,02

778

0,02

078

1,00

000

0,25

000

-0,1

6667

-0

,041

67

- 0,

0625

0 0,

0138

9 0,

0264

6 0,

0056

2 0,

8333

3 0,

1458

3 0,

0403

4 0,

0195

1 0,

1206

3 0,

0813

7 -0

,020

63

-0,0

1391

0,

0151

5 0,

0156

3 0,

5000

0 -0

,079

38

-0,0

8052

-

- 0,

4206

3 0,

4194

8 0,

3103

4 0,

2368

4 -0

,043

10

-0,0

3289

0,

0125

0 0,

0156

3 0,

0078

1 0,

0051

2 0,

0037

0 -

- 0,

0129

3 0,

0115

1 1,

0000

0 0,

2500

0 -0

,142

86

-0,0

3571

0,

0217

4 0,

0312

5 0,

0102

0 0,

0193

9 0,

0040

9 0,

0714

3 0,

1026

3 0,

0296

0 0,

0142

9 0,

5000

0 0,

2500

0 -0

,062

50

-0,0

3125

0,

0125

0 0,

0156

3 0,

0078

1 0,

0070

3 0,

0031

3 -

- 0,

0148

4 0,

0109

4

Gh. COMAN 154

interacţiunilor bifactoriale. Datorită acestei condiţii, planurile conţin un număr N de observaţii, egal sau puţin mai mare decât numărul coeficienţilor modelului de ordinul doi (pentru k = 2,…,6). Pentru planurile pe cub α = 1, iar pe sferă α = k . Numărul punctelor de nul, obişnuit este egal cu unu, însă, poate fi mărit până la patru.

Parametrii principali şi caracteristicile statistice ale planurilor menţionate sunt prezentate în tabelul 7.9.

Planurile indicate conţin un număr accesibil de observaţii. În scopul comparării planurilor examinate cu planurile D-optimale,

corespunzător caracteristicilor lor statistice (cu litera D sunt notate caracteristicile care se referă la planurile D-optimale continue, cu literele cvD la cele D-cvasi optimale): |M(ξ)| D|M(ξ)| cvD – este mărimea determinantului matricei X*X a unui plan continuu D-optimal şi raportată la o observaţie a unui plan cvasi-D-optimal; dmD, dmcvD – dispersia medie pe domeniul (cub sau sferă) de planificare a valorilor prognosticate ale funcţiei de regresie; dmaxD, dmaxcvD – valoarea maximă a dispersiei pe domeniul de planificare; dminD – valoarea minimă a dispersiei.

Coeficienţii de regresie, dispersiile şi covarianţele acestora se determină cu relaţiile (7.67)…(7.76), iar coeficienţii efectivi, conform tabelului 7.9, cu excepţia planurilor lui Hartley, care sunt întocmite folosindu-se relaţiile de generare x1x2x3 sau x4x5x6. Coeficienţii termenilor liniari

eib şi ai interacţiunilor

ejgb , dacă xixjxg este interacţiunea care

determină relaţiile replicii 2k-p, se calculează cu relaţiile:

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−= ∑ ∑

= =

N

u

N

uugujuuiu

ei yxxyxab

1 18 (7.80)

respectiv:

∑ ∑= =

+=N

u

N

uugujuuiu

ejg yxxayxab

1 1109 (7.81)

iar dispersia acestor coeficienţi cu relaţiile: 2

152 . Db

sas ei= (7.82)

respectiv: 2

162 . Db

sas ejg= (7.83)

Coeficienţii eib şi

ejgb sunt dependenţi din punct de vedere statistic

şi ca urmare, rezultă: 2

19.),cov( Dejg

ei sabb = (7.84)

Dacă xi şi xjg nu intră în nici o interacţiune triplă a contrastului determinat al relaţiei, atunci coeficienţii bi, bjg şi dispersiile lor se vor determina cu ajutorul relaţiilor (7.68), (7.69), (7.73), iar covarianţa lor este nulă.

MANAGEMENTUL CERCETĂRII 155Coeficienţii b0, bii, dispersiile lor şi covarianţele cov(b0,bii),

cov(bii,bjj), (1 ≤ i < j ≤ k), se calculează ca şi pentru alte planuri, cu ajutorul relaţiilor (7.67), (7.70), (7.71), (7.74), (7,75), (7.76).

Pentru numărul factorilor k = 3,…,6, sunt cunoscute planurile pe cub (saturate şi nesaturate) cu caracteristici destul de bune, care corespund criteriilor de optimizare D şi G. Caracteristicile statistice ale planurilor saturate pe cub se dau în tabelul 7.10.

Tabelul 7.10 Caracteristicile planurilor cvasi-D-optimale saturate pe cub

K |M(ξ)| cvD.108 |M(ξ)| cvD.105 dmaxcvD dmaxD 2 549000 1140 17,77 6 3 10400 57,8 53,9 10 4 267 2,2 33,15 15 5 1,63 0,063 74,43 21 6 0,00114 0,00150 203,95 28

Variabilele independente x1,…,x6, au fost supuse la variaţie pe

toate trei nivelele –1; 0; +1. Aceste planuri pot fi utilizate atunci când în concordanţă cu

condiţiile de efectuare a experimentului multifactorial există o restricţie rigidă asupra numărului de observaţii posibile şi este necesar ca planul să corespundă cu criteriul D-optimal.

Aprecierile coeficienţilor de regresie pot fi determinate cu ajutorul metodei celor mai mici pătrate, rezolvând pe calculator ecuaţia matricială (5.17). Dispersiile coeficienţilor de regresie şi covarianţele acestora se determină cu ajutorul relaţiilor (5.34), (5.35) şi (5.36).

7.4. Examinarea domeniului de optim

reprezentat de un polinom de gradul doi

După determinarea unui model adecvat, al fenomenului studiat,

este necesar să se examineze suprafaţa de răspuns, în vecinătatea optimului, prin metodele geometriei analitice şi a algebrei liniare, care permit să se stabilească forma suprafeţei şi căile de optimizare ale fenomenului analizat.

În faza de efectuare a cercetărilor teoretice, analiza suprafeţei de răspuns permite, în cele mai multe cazuri, să se stabilească corect mecanismul de evoluţie a fenomenului analizat şi să se stabilească legăturile existente între variabilele independente.

Examinarea suprafeţei de răspuns începe cu transformarea ecuaţiei de gradul doi în formă canonică, adică la căutarea unei ecuaţii ce caracterizează forma suprafeţei şi permite să se separeu toate suprafeţele k-dimensionale de răspuns: suprafeţe care au extrem; suprafeţe minimax; suprafeţe tip creastă.

Dacă în urma transformării canonice toţi coeficienţii au acelaşi semn, atunci, suprafaţa studiată posedă un extrem şi aparţine primului

Gh. COMAN 156

tip. Studiul unei asemenea suprafeţe se termină prin organizarea unei serii suplimentare de experienţe, în centrul acesteia, care au drept scop să verifice siguranţa coinciderii valorilor prognosticate de ecuaţia de regresie, cu datele experimentului.

Fig.7.5. Suprafeţe bidimensionale de răspuns pentru modelele de ordinul doi, k = 2 (a – elipse; b – hiperbole: c – parabole;

d – drepte paralele) Dacă coeficienţii formei canonice λi au semne diferite şi centrul

suprafeţei studiate se găseşte în apropierea centrului experimentului, atunci, suprafaţa aparţine la tipul doi. În acest caz apare o problemă complicată şi anume, determinarea unui extrem funcţional, în domeniul cercetat al spaţiului factorial, la rezolvarea acestei probleme se admite o anumită extrapolare a ecuaţiei regresiei, cu verificarea experimentală a valorilor prognosticate ale funcţiei de ieşire, în aceste puncte, adică, acest procedeu se aseamănă cu deplasarea conform ascensiunii rapide, în partea liniară a suprafeţei de răspuns. Pentru ieşirea din minimax se poate folosi deplasarea de la centrul figurii în direcţia axelor de coordonate xi pentru care coeficienţii de regresie, sub formă canonică, au semnul pozitiv. În acest caz se caută un extrem condiţional, pentru o sferă cu centrul în punctul singular S(ρ2 = Σ 2

ix ). Dacă unul sau mai mulţi coeficienţi ai regresiei, sub formă

canonică, sunt apropiaţi de zero, iar centrul suprafeţei se găseşte departe

MANAGEMENTUL CERCETĂRII 157de limitele domeniului spaţiului factorial studiat, atunci suprafaţa aparţine la tipul trei. Pentru determinarea extremului condiţional, cu restricţiile date de o sferă cu raza ρ2 = Σ 2

ix se poate folosi metoda factorilor nedeterminaţi ai lui Lagrange.

Extremul condiţional pentru suprafeţele de tipul doi şi trei poate fi determinat, de asemenea, prin metode grafice, ţinând seama de secţiunile bidimensionale ale suprafeţei studiate, ceea ce permite să se obţină o reprezentare sugestivă asupra legăturilor variaţiei criteriului de optimizare, la variaţia factorilor.

Secţiunile bidimensionale tipice, pentru o suprafaţă de răspuns dată de o ecuaţie de gradul doi (pentru k = 2), se prezintă în figura 7.5, iar interpretarea geometrică a formei canonice, a acestei ecuaţii, se prezintă în tabelul 7.11.

Tabelul 7.11 Interpretarea geometrică a ecuaţiei canonice

Semne Nr. variantei

Relaţia dintre coeficienţi λ1 λ2

Felul curbei Interpretare geometrică

Punctul singular

1 λ1 = λ2 - - cerc convexitate circulară maxim

2 λ1 = λ2 + + cerc convexitate circulară minim

3 λ1 > λ2 - - elipsă convexitate eliptică maxim

4 λ1 > λ2 + + elipsă convexitate eliptică minim

5 λ1 = λ2 + - hiperbolă şa simetrică punct în şa

6 λ1 > λ2 + - dreaptă şa alungită punct în şa

7 λ1 ≠0, λ2 =0 - dreaptă creastă staţionară -

8 λ1 ≠0, λ2 ≈0 - dreaptă creastă alungită -

Observaţii: Punctele singulare pentru λ1 ≠0, λ2 = 0 sunt amplasate la infinit, iar pentru λ1 ≠0, λ2 ≈ 0 sunt la o distanţă foarte mare

În mod analog se pot analiza şi suprafeţele de răspuns descrise de ecuaţii de ordinul doi pentru k ≥ 3.

Transformarea canonică a ecuaţiei de regresie corespunde cu trecerea de la sistemul de coordonate x1, x2,…,xk, la un nou sistem de coordonate X1, X2,…,Xk. Pentru realizarea acestei transformări se scrie matricea B din coeficienţii formei pătratice a ecuaţiei (7.40):

''2

'1

'2

'22

'21

'1

'12

'11

...............

...

...

kkkk

k

k

bbb

bbbbbb

B = (7.85)

Gh. COMAN 158

şi matricea extinsă B1, compusă din coeficienţii aceleiaşi ecuaţii:

')1(),1(

'),1(

'3),1(

'2),1(

'1),1(

')1(,

''3

'2

'1

')1(,3

'3

'33

'32

'31

')1(,2

'2

'23

'22

'21

')1(,1

'1

'13

'12

'11

1

...

.....................

...

...

...

++++++

+

+

+

+

=

kkkkkkk

kkkkkkk

kk

kk

kk

bbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbbb

B (7.86)

unde b’ii = bii pentru i = j, b’ij = b’ji = 1/2b’ij pentru i ≠ j, b’ii = b0, pentru i = j = (k + 1), b’ij = b’ji = bi pentru i ≠ j; (k + 1) este indicele condiţional suplimentar pentru coeficienţii liniari ai ecuaţiei de regresie.

Dacă discriminantul formei pătratice a ecuaţiei studiate este:

{ } 0det ≠= BIk (7.87) atunci, suprafaţa dată este o suprafaţă centrală şi îi corespunde forma canonică a ecuaţiei de regresie:

τλ += ∑=

2

1. i

r

ii Xy

(7.88)

unde, λi sunt coeficienţii formei canonice pentru determinarea cărora este necesar să se rezolve ecuaţia caracteristică a formei pătratice (7.40), adică:

{ } 0.det =− EB λ (7.89) care reprezintă o ecuaţie de gradul k; E – matricea unitate, k x k; τ - termenul liber, care caracterizează valoarea funcţiei studiate în punctul S şi care este centrul suprafeţei date:

k

k

IΔ

=τ (7.90)

unde Δk este discriminantul părţii din dreapta a ecuaţiei (7.40), adică:

{ }ik Bdet=Δ (7.91) r – rangul matricei B, fiind egal cu k în cazul satisfacerii condiţiei (7.87). Pentru rezolvarea ecuaţiei (7.89) se folosesc metodele algebrei superioare.

Dacă condiţia (7.87) nu este îndeplinită, adică Ik = 0, atunci suprafaţa nu este centrală şi pentru Δk ≠ 0, îi corespunde forma canonică:

12

1..2. +

=

+= ∑ ri

r

ii XXy μλ

(7.92)

unde λi sunt coeficienţii formei canonice şi reprezintă rădăcinile ecuaţiei (7.87); μ - coeficientul variabilei independente de gradul întâi:

MANAGEMENTUL CERCETĂRII 159

1−

Δ−±=

k

k

Iμ (7.93)

unde Ik-1 este invariantul formei pătratice a ecuaţiei (7.40) în raport cu transformarea coordonatelor rectangulare, care reprezintă suma minorilor principali de ordinul (k - 1) al determinantului (7.87):

∑−

=− =

1

11

kkC

jjk DI (7.94)

unde 1−kkC este numărul tuturor combinărilor posibile k luate câte (k – 1); r

– rangul matricei B, care în acest caz este mai mic decât k. Dacă Ik = 0, Δk = 0, iar Ik-1 ≠ 0, atunci suprafaţa studiată nu este

centrală, ea este degenerată şi îi corespunde forma canonică a ecuaţiei de regresie (7.88), cu condiţiile r < k, iar termenul liber al acestei ecuaţii este dat de relaţia:

1

1

−

−Δ=

k

k

Iτ (7.95)

unde Δk-1 este un semivariant, care reprezintă suma minorilor principali de ordinul (k – 1) ai determinantului (7.87), încadraţi pe dreaptă şi în inferior cu un centru format de coeficienţii bi = (1/2).b’i, ai termenilor liniari şi termenul liber b0 al ecuaţiei (7.40).

Astfel, pentru determinarea formei canonice a suprafeţei studiate trebuie să se efectueze o serie de calcule ale invarianţilor Ii şi a semiinvarianţilor Δi, pentru i = k, (k-1), (k-2),…,2, 1. Dacă prima mărime diferită de zero va fi invariantul Ii, atunci, suprafeţei date îi corespunde forma canonică de tipul (7.88), iar în cazul în care semivariantul Δi este diferit de zero, atunci va avea forma (7.92).

În continuare, pentru studierea suprafeţei de răspuns, trebuie să se cunoască mărimea şi semnul fiecărui coeficient λi, fapt ce permite precizarea nu numai a tipului suprafeţei, ci şi determinarea cosinusurilor directori, precum şi a relaţiei de transformare a coordonatelor în coordonate noi şi invers.

Utilizând ecuaţia caracteristică (7.89) se poate scrie sistemul de ecuaţii omogene:

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

=−++++

=++−++

=+++−+

=++++−

0).(..........................................................

0...).(

0...).(.

0...).(

''3

'2

'1

'3

'33

'32

'31

'2

'23

'22

'21

'1

'13

'12

'11

sbnbmblb

sbnbmblb

sbnbmblb

sbnbmblb

kkkkk

k

k

k

λ

λ

λ

λ

(7.96)

Gh. COMAN 160

care are soluţii diferite de zero, (l, m, n,…,s), pentru fiecare valoare a lui λi obţinută la rezolvarea ecuaţiei (7.89). Sensul fiecărui vector {l, m, n,…,s} poartă denumirea de sens principal al formei pătratice date, care corespunde cu numărul caracteristic λi.

Normând aceste soluţii, se obţin vectorii unitari pentru k sensuri principale:

j’i = {li, mi, ni,…,si} + {μili, μim, μin,…,μis} (7.97) pentru i = 1, 2, 3,…,k, şi:

0...

12222≠

++++

±=

snmliμ

care este coeficientul corespunzător valorilor λi. Este necesar ca valorile determinate pentru cosinuşii directori l1, l2,

l3,…sk să satisfacă următoarele condiţii: 1. întrucât noii vectori de bază j’i sunt unitari, atunci, rezultă:

1... 2222 =++++ iiii snml (7.98) (pentru i = 1, 2, 3, …,k)

2. vectorii j’i sunt perpendiculari unul în raport cu celălalt şi din această cauză produsele lor scalare, luate două câte două, vor fi:

0... =++++ jijijiji ssnnmmll (7.99) (pentru 1 ≤ i < j ≤ k)

3. dacă la transformarea coordonatelor rectangulare carteziene se păstrează orientarea bazei sistemului de coordonate:

1

..................

...

...

...

3333

2222

1111

=

kkkk snml

snmlsnmlsnml

(7.100)

iar dacă orientarea bazei sistemului se schimbă, rezultă:

1

..................

...

...

...

3333

2222

1111

−=

kkkk snml

snmlsnmlsnml

(7.101)

Dacă aceste condiţii sunt satisfăcute se pot scrie formulele de transformare a noilor coordonate în cele vechi:

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

+++=

+++=+++=

kkk

kk

kk

XsXsXsx

XmXmXmxXlXlXlx

...........................................

......

2211

22112

22111

(7.102)

MANAGEMENTUL CERCETĂRII 161şi a celor vechi, în cele noi:

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

+++=

+++=+++=

kkkkk

k

k

xsxmxlX

xsxmxlXxsxmxlX

..............................................

...

21

222122

121111

(7.103)

Întrucât centrul noului sistem de coordonate trebuie să se găsească în punctul de extrem al suprafeţei studiate, pentru determinarea coordonatelor acestuia este necesar să se anuleze derivatele parţiale ale funcţiei de răspuns, adică:

0.2..21

' =++=∂∂ ∑

≠=

k

ijj

jijiijii

xbxbbxy

(7.104)

sau, sub formă matriceală: B2 + 2 B X = 0 (7.105)

unde B2 este matricea coloană ale cărei elemente sunt coeficienţii termenilor liniari ai ecuaţiei (7.40), adică: B2 = {bi}, i = 1, 2,…,k; X – matricea coloană a variabilelor independente X = {xi}, i = 1, 2,…,k.

Rezolvarea sistemului de ecuaţii (7.104) sau a ecuaţiei matriciale (7.105) permite să se determine coordonatele centrului S al suprafeţei studiate, în vechiul sistem de coordonate. Însă, dacă det{B} = 0, atunci suprafaţa studiată nu este centrală şi, ca urmare, procedeul prezentat pentru determinarea coordonatelor centrului nu poate fi aplicabil în acest caz. Acestei suprafeţe îi va corespunde forma canonică a ecuaţiei (7.92) şi pentru determinarea termenilor de ordinul unu, în fiecare termen liniar al ecuaţiei (7.40) se substituie valoarea variabilei independente din sistemul (7.102). Transformarea unei asemenea ecuaţii permite să se determine coordonatele punctului singular S’.

După determinarea coordonatelor centrului suprafeţei studiate, trecerea de la coordonatele noi la cele vechi se face cu ajutorul relaţiilor:

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

++++=

++++=++++=

kskkk

skk

skk

xXsXsXsx

xXmXmXmxxXlXlXlx

...........................................

......

2211

222112

122111

(7.106)

iar trecerea de la coordonatele vechi la coordonatele noi, cu relaţiile:

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

−++−+−=

−++−+−=−++−+−=

kskkskskk

kskss

kskss

xxsxxmxxlX

xxsxxmxxlXxxsxxmxxlX

(...)()(........................................

(...)()()(...)()(

2211

22221122

12211111

(7.107)

Întrucât calculele pentru transformarea ecuaţiei regresiei necesită o precizie ridicată şi sunt laborioase, se recomandă să fie efectuate pe calculator. Calculele manuale se pot face numai dacă k ≤ 3.

Metodologia prezentată pentru transformarea canonică poate fi complet utilizată la analiza suprafeţelor de răspuns multidimensionale, cu

Gh. COMAN 162

ajutorul secţiunilor bidimensionale. În această situaţie, pentru analiza influenţei a doi factori asupra funcţiei de răspuns, restul de variabile independente din ecuaţia (7.40) se fixează pe nivele optime, fapt ce permite să se treacă la studierea curbelor de ordinul doi (k = 2) şi să se simplifice calculele în mod considerabil.

7.5. Analiza ecuaţiilor de regresie pentru planurile de ordinul doi

Rezultatele analizei ecuaţiilor de regresie sunt obiective, dacă sunt

satisfăcute condiţiile iniţiale. Cercetările au demonstrat că, în cazul unui volum mare de selecţie,

condiţiile de independenţă a rezultatelor observaţiilor şi a normalităţii distribuţiei funcţiilor, pot, în mare măsură, să nu fie satisfăcute. În acest caz, estimaţiile coeficienţilor de regresie, pe baza metodei celor mai mici pătrate, îşi păstrează proprietăţile de independenţă, de absolută corectitudine şi de eficacitate.

Rezultatele observaţiilor trebuie să fie analizate de către experimentator, iar erorile grosolane să fie îndepărtate. Pentru aceasta, este necesar să se efectueze câte 2÷5 observaţii paralele (acelaşi număr pentru toate rândurilor matricei), pe fiecare rând al matricei de planificare a variabilelor independente (cazul în care condiţiile nu se repetă pe rânduri), într-o ordine randomizată – adică într-o ordine întâmplătoare.

În conformitate cu rezultatele acestora, pentru fiecare rând, se calculează dispersiile, se verifică dispersiile şi se verifică ipoteza de omogenitate a acestora cu ajutorul criteriului lui Cochran.

Dacă rezultatele experienţelor nu sunt reproductibile, atunci este necesar să se analizeze experimentul, să se determine cauzele posibile ale nereproductibilităţii şi să se elimine, iar rezultatele experienţelor, care corespund rândului 2

maxus se vor repeta şi se va face o nouă verificare. La repetarea condiţiilor, unor rânduri, de exemplu a rândurilor nule

ale planului, de câteva ori, verificarea dispersiilor, în ceea ce priveşte omogenitatea, se face cu ajutorul criteriului lui Bartlett.

Dispersia reproductibilităţii, pentru întreaga experienţă, se determină conform datelor matricei rezultatelor experienţei cu rândurile care nu se repetă, conform condiţiei:

∑

∑ ∑+−

=

+−

= =

−

−== 1

1

1

1 1

2

20

0

)1(

)(nN

uu

nN

u

n

luul

D

DD

n

yy

fSSs

u

(7.108)

unde N este numărul total de rânduri (serii) ale matricei de planificare şi a rezultatelor cu rânduri care se repetă conform condiţiei; n0 – numărul rândurilor nule ale matricei de planificare şi a rezultatelor; u – numărul curent al rândului matricei de planificare şi al rezultatelor; nu – numărul observaţiilor repetate din rândul de ordin u al matricei rezultatelor.

MANAGEMENTUL CERCETĂRII 163Pentru rândurile (liniile) matricei de planificare, cu variabilă curentă u,

cuprinsă între limitele 1 ≤ u ≤ N – n0, nu = n, iar pentru linia în care sunt grupate rezultatele experienţelor din punctele de nul u = N – n0 + 1, nu = n0n.

Dacă nu există posibilitatea efectuării unor repetări ale experienţelor, în fiecare punct al planului, atunci, de obicei, experienţele se dublează în punctul de nul, iar dispersia de reproductibilitate se stabileşte conform expresiei (7.23).

Coeficienţii b0, bi, bij, bii ai modelului regresiei, din scalele codificate de măsurare a variabilelor, se calculează cu ajutorul formulelor menţionate mai sus, în prezentul capitol.

Controlul indirect pentru coeficienţii calculaţi ai regresiei se face cu relaţia:

∑=

=−N

uuu yy

10)ˆ( (7.109)

Egalarea cu zero a sumei din relaţia (7.109), cu precizia până la erori admisibile de calcul este necesară, dar nu este suficientă, pentru calculul corect.

Coeficienţii modelului regresiei, pe scalele de măsurare ale variabilelor independente, se pot obţine cu expresia:

∑∑∑=

−

≤<== Δ

+ΔΔ

+Δ

−=k

i i

iiik

kjii ji

jiijk

i i

ii

xxb

xxxxb

xxbbb

12

20

1

1

00

1

000 ~

~~~~~

~~.~

(7.110)

2

1

00

~~;~~

~;

~~2

~~

~1~

i

iiii

ji

ijijjiij

k

jij i

iii

j

jiji

ii

xbb

xxb

bbb

xxb

xxb

bx

b

Δ=

ΔΔ==

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

Δ−

ΔΔ= ∑

≥=

(7.111)

unde ji xx ~,~ sunt valorile curente ale variabilelor independente, în simbolizare naturală; ji xx 00

~,~ - sunt valorile naturale ale nivelurilor principale ale variabilelor independente; ji xx ~,~ ΔΔ - sunt valorile naturale ale intervalelor de variaţie ale variabilelor independente.

Trebuie menţionat că unele proprietăţi statistice ale ecuaţiei de regresie, cu variabile independente naturale, nu corespund cu ecuaţia cu variabile codificate.

Pentru obţinerea coeficienţilor de regresie, pe scale codificate de variabile independente bi, pentru care toate covarianţele sunt egale cu zero, se poate verifica ipoteza asupra semnificaţiei (importanţei) statistice a valorilor acestora. Intervalul de încredere, la nivelul de semnificaţie, se determină cu o expresie analoagă expresiei (5.39):

ibi stb .' =Δ unde

ibs este abaterea medie pătratică a coeficientului de regresie.

Gh. COMAN 164

În continuare, se face compararea valorilor absolute ale coeficienţilor cu intervalele de încredere. Dacă:

'' ii bb Δ> atunci ipoteza asupra semnificaţiei statistice a coeficienţilor este adoptată. În caz contrar se respinge, coeficienţii se consideră egali zero şi pot fi cuprinşi în forma definitivă a modelului.

Determinarea limitelor de încredere a coeficienţilor, pentru care covarianţele nu sunt nule, este legată de alegerea unor valori fixe, pentru restul coeficienţilor regresiei. Eliminarea din model a unui coeficient nesemnificativ, duce la necesitatea recalculării tuturor coeficienţilor legaţi de aceasta.

Verificarea ipotezei, în virtutea căreia modelul matematic obţinut este adecvat, se face cu ajutorul datelor matricei de planificare folosindu-se criteriul lui Fischer:

[ ]∑ ∑

∑∑+−

= =

+−

=

+−

=

−−−−

−−=

===

1

1 10

2

1

1

1

1

2

2

2

0

00

')1()(

)1()ˆ(

:

nN

u

n

luul

nN

uu

nN

uuuu

D

E

D

D

E

E

u

KnNyy

nyyn

ss

fSS

fSSF

(7.112)

unde SSE – suma pătratelor abaterilor legată de faptul că datele experimentale nu sunt reprezentate în mod adecvat de către model; SSD – suma pătratelor abaterilor, care reprezintă reproductibilitatea rezultatelor experienţelor ce se repetă; fE – numărul gradelor de libertate legat de faptul că modelul nu este adecvat; fD – numărul gradelor de libertate, legat de reproductibilitatea rezultatelor, în experienţele ce se

repetă: ∑+−

=

−=1

1

0

)1(nN

uuD nf ; uy - valoarea funcţiei din linii (seria) de ordinul

u, calculată cu ajutorul modelului obţinut; K’ – numărul coeficienţilor modelului regresiei, cu ajutorul căruia s-a calculat valorile uy .

Dacă F ≤ Ftab, atunci, ipoteza în virtutea căreia modelul este adecvat, nu se respinge. În caz contrar modelul nu este adecvat

Un alt indicator al calităţii descrierii modelului obţinut pentru datele experimentale poate servi coeficientul de corelaţie R. Cu cât ecuaţia regresiei descrie mai precis rezultatele experimentului, cu atât valoarea R este mai apropiată de +1. În cazul unei descrieri mai puţin precise, valoarea coeficientului de corelaţie va fi mai aproape de zero. Valoarea coeficientului de corelaţie se determină cu relaţia:

MANAGEMENTUL CERCETĂRII 165

∑

∑

=

=

−

−−= N

uu

N

uuu

yy

yyR

1

2

1

2

)(

)ˆ(1

(7.113)

unde ⎯y reprezintă valoarea medie a rezultatelor pe întreaga matrice a rezultatelor experimentului.

Ipoteza asupra semnificaţiei coeficientului de corelaţie se verifică după criteriul F:

2

2'

'

' :rez

K

rez

rez

K

K

ss

fSS

fSSF ==

(7.114)

unde SSK’ şi SSrez sunt sumele pătratelor abaterilor legate de coeficientul K’ ai modelului şi cea remanentă; fK’, frez – numărul gradelor de libertate pentru cele două sume de mai sus:

'1''

KNfKf

nrez

K

−=−=

(7.115)

Sumele corespunzătoare ale pătratelor abaterilor se calculează cu

ajutorul relaţiilor:

N

yyxbSS

N

uuN

u

K

iuuiiK

2

1

1

'

0''''

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

−=∑

∑∑ =

= = (7.116)

∑∑∑∑∑= = == =

−=n

l

K

i

N

uuluii

n

l

N

uulrez yxbySS

1

'

0' 1''

1 1

2

(7.117)

unde i’ ia toate valorile indicilor coeficienţilor regresiei.

Pentru verificarea calculelor se recomandă ca cele două sume de mai sus, SSK’, SSrez să se calculeze şi cu ajutorul relaţiilor:

∑∑==

−−−=N

uuu

N

uuK yyyySS

1

2

1

2' )ˆ()(

(7.118)

şi respectiv:

Gh. COMAN 166

∑∑= =

−=N

u

n

luulrez yySS

1 1

2)ˆ( (7.119)

rezultatele trebuie să se încadreze în precizia admisibilă de calcul. Dacă F > Ftab, atunci ipoteza asupra semnificaţiei statistice a

coeficientului de corelaţie este adoptată. În caz contrar sau de egalitate, se respinge.

CAP.8. APLICAŢII ALE METODELOR DE PLANIFICARE A CERCETĂRILOR EXPERIMENTALE ÎN TEHNOLOGIA

CONSTRUCŢIEI DE MAŞINI

8.1. Analiza preliminară a procesului tehnologic

Formalizarea informaţiilor apriorice la

cercetarea stabilităţii sistemului tehnologic la filetare. În etapa studierii preliminare a procesului tehnologic, totdeauna, este necesar să se diminueze numărul factorilor luaţi în studiu, întrucât, prin aceasta, se pot exclude din cercetări acei factori mai puţin importanţi şi, ca urmare, să se reducă timpul de efectuare a experienţelor.

Pentru simplificare se va analiza studierea preliminară a influenţei diverşilor factori tehnologici asupra vibraţiilor care apar la filetare cu capete de filetat echipate cu piepteni circulari. Metodologia prezentată poate fi generalizată şi la alte metode de prelucrare mecanică prin strunjire, găurire, rectificare etc.

Intensitatea vibraţiilor depinde de mulţi factori tehnologici. În scopul formalizării informaţiilor apriorice, privind ponderea diverşilor factori tehnologici asupra intensităţii vibraţiilor s-au transmis anchete la un număr mare de specialişti a căror răspunsuri sunt prezentate în tabelul 8.1.

Tabelul 8.1 Ancheta rangurilor

Fac-tor Definirea operaţională Intervalul de

variaţie Rang

x1 Turaţia arborelui principal, n, rot/s 0,5…3,5

x2 Lichidul de ungere-răcire Emulsie sau sulfofrezol

x3 Mărimea supraînălţării tăişului sculei în raport cu axa de rotaţie a semifabricatului, ai, mm. 0…1

x4 Excentricitatea instalării capului în raport cu axa semifabricatului, ε, mm. 0…1,5

x5 Unghiul de degajare, γ0 0…25

x6 Prezenţa şi mărimea tăişului de depunere, pe muchiile tăietoare ale pieptenilor, mm -

x7 Duritatea materialului de prelucrat, HB 80…150

x8 Rugozitatea suprafeţei de degajare a tăişurilor, Rz

0,5…4

x9 Mărimea uzurii pe faţa de aşezare a tăişurilor, hα, mm. 0…2

Gh. COMAN 168

x10 Raportul între lungimea în consolă a semifabricatului şi diametrul acestuia, l/d 1…5

x11 Unghiul de înclinare a tăişurilor în raport cu axa semifabricatului λ0 2…10

x12 Abaterea diametrului semifabricatului de la cota nominală, Δd, mm. 0…0,4

x13 Unghiul conului de atac al pieptenilor, ϕ0 20…60 x14 Pasul filetului, p, mm. 1…4 x15 Rigiditatea capului de filetat J, daN/mm -

x16 Frecvenţa desprinderii tăişului de depunere, Pc, 1/S -

În tabelul 8.1, factorii sunt grupaţi în mod întâmplător, x1, x2,…,x16 fiind

simbolurile codificate ale factorilor. De asemenea, se dau dimensiunile şi intervalele de variaţie ale factorilor.

În scopul introducerii unei măsuri cantitative, specialiştilor li s-a propus să ordoneze factorii în ordinea descreşterii influenţei lor asupra intensităţii vibraţiilor. În cazul în care nu se poate indica necesitatea pentru doi sau mai mulţi factori, s-a asociat factorilor respectivi acelaşi număr de

ordine, iar în calcul s-au introdus ranguri de legătură fracţionare.

Fig.8.1. Diagramă apriorică a mediilor

rangurilor

Matricea rangurilor, obţinută din anchetă, a fost transformată astfel încât suma rangurilor din fiecare linie să fie egală cu (k+1).k/2, unde, k reprezintă numărul

factorilor ordonaţi. Matricea transformată se prezintă în tabelul 8.2. Cifrele care se găsesc în coloanele tabelului corespund cu locul destinat factorului respectiv din şirul ordonat de către specialistul anchetat. Cu cât suma rangurilor factorului luat în considerare este mai mică, cu atât locul ocupat în şirul mediu ordonat este mai superior. De aceea, ordinea de descreştere a importanţei factorilor se poate aprecia urmărind rândul „suma rangurilor”.

Gradul de concordanţă a părerilor specialiştilor anchetaţi se poate aprecia cu ajutorul coeficienţilor de concordanţă, calculaţi, pentru cazul rangurilor conexe, cu ajutorul relaţiei (6.4). Pentru procesul studiat, de filetare, a rezultat w = 0,482. Semnificaţia acestui coeficient a fost apreciată cu ajutorul criteriului χ2 conform relaţiei (6.5). În cazul considerat, χ2 = 137,37.

MA

NA

GE

ME

NTU

L C

ERC

ETĂ

RII

169

Tabe

lul 8

.2

M

atric

ea tr

ansf

orm

ată

a ra

ngur

ilor

Fa

ctor

ii S

peci

alis

tul

anch

etat

x 1

x 2

x 3

x 4

x 5

x 6

x 7

x 8

x 9

x 1

0 x 1

1 x 1

2 x 1

3 x 1

4 x 1

5 x 1

6 (

)∑

−j

jt

t3

1 1

14

13

3,5

7 5,

5 8

9 11

2

10

16

12

15

3,5

5,5

6+6

2 3

13

14,5

8

5,5

7 4

9,5

11

1 11

12

14

,516

2

5,5

6+6+

6 3

6 12

3

10

5 13

8

15

9,5

2 11

7

4 9

1 14

0

4 4

11

12

1 10

5

9 8

16

2 14

13

15

16

3

7 0

5 1

14

9 12

7

10

5 16

6

6 11

15

8

13

2 4

0 6

3 14

10

8

5 11

,510

15

3

1 6

16

7 9

1 11

,56

7 14

7

5 11

12

6

2 15

,513

1,

5 8

13

5 9

3 15

,56

8 3

16

8,5

1,5

6 8

11

12

4 1,

5 10

15

13

14

4

7 6

9 3

10

1 11

6

4,5

7 12

9

5 13

15

14

16

1,

5 4,

5 6+

6+6

10

3 8

6 12

2

15

11

16

8,5

1 9

13

4 10

6

14

0 11

3

8 1,

5 4

11

7 9

16

7 6

15

14

12

13

2 8

0 12

4

12

11

7 1,

5 10

5

16

5 1,

5 15

12

13

14

3

11

6 13

3

8,5

3,5

15,5

10

12

5 9

9 1

13

15,5

14

7 1,

5 6

6+6

14

11

9,5

8,5

5 6

13

7 16

4

1 3,

5 15

2

8 9

14

6 15

3,

5 10

13

5,

5 7

12,5

5,5

10,5

10

3,5

14

16

15

3,5

2 12

,56+

6+6+

6+6

Gh.

CO

MA

N

170

16

1

9,5

13

11

6,5

6,5

5 15

8

3,5

14

9,5

16

2 3,

5 12

6+

6+6

17

1 10

5,

5 4

7,5

11,5

9 16

5,

5 2,

5 7,

5 14

11

,515

2,

5 13

6+

6+6+

6 18

3

6,5

9 10

14

4,

5 16

6,

5 13

2

8 15

11

12

1

4,5

6+6

19

5 11

4

13

9 10

12

15

8

1 6

16

13

14

7 2

0 S

uma

rang

urilo

r

∑ =m iija

1

75,5

202,5

142

143

138

172,5

148,5

248

160

43,5

199

262

204

215,5

58,5

171,5

Aba

tere

a de

la

val

oare

a m

edie

a

rang

urilo

r Δ

i

-86

41

-19,5

-18,5

-23,5

11

-13

86,5

-1,5

-118

37,5

100,5

42,5

54

-103

10

Păt

rate

le

abat

erilo

r 2 i

Δ

7396

1681

380,25

342,25

552,25

121

169

7482,25

2,25

13924

1406,25

10100,25

1806,25

2916

10609

100

MANAGEMENTUL CERCETĂRII 171Pentru un nivel de încredere de 1% şi numărul gradelor de libertate

f = n – 1 = 16 – 1 = 15, χ2tab = 30,58, adică χ2

tab < χ2. Astfel, se poate afirma cu o probabilitate mai mare de 99% că există o anumită concordanţă între părerile specialiştilor, în ce priveşte gradul de influenţă a variabilelor examinate, apreciat prin coeficientul de concordanţă W = 0,482.

Obţinerea unui coeficient de concordanţă semnificativ creează posibilitatea trasării unei diagrame apriorice a rangurilor, pentru factorii examinaţi, figura 8.1.

La analiza rezultatelor de ordonare şi a valorii medii, pentru fiecare rang, este necesar ca pe lângă concordanţa părerilor specialiştilor, să se examineze şi concordanţa pentru fiecare factor în parte. În acest scop se verifică şi ipoteza de nul asupra ordonării uniforme, în raport cu obţinerea unei ordonări uniforme, în raport cu alternativa unei ordonări neuniforme cu ajutorul criteriului χ2, care se determină cu expresia:

( )

i

k

iii

p

pm∑=

−=

1

1

2

2χ (8.1)

unde k1 este numărul de intervale – ranguri; pi – frecvenţele teoretice pentru ipoteza de nul asupra ordonării uniforme; mi – frecvenţele observate pentru factori.

Tabelul 8.3 Valorile criteriului χ2

Intervalele rangurilor Frecvenţa

teoretică, 1…4 5…8 9…12 13…16 pi 4,75 4,75 4,75 4,75

χ2

şi observată, mi, pentru factorii

x1 15 2 1 1 29,63* x2 0 6 8 5 7,32 x3 6 5 5 3 1,00 x4 6 5 7 1 4,37 x5 2 11 5 1 12,79 x6 2 7 7 3 4,37 x7 2 9 7 1 9,42 x8 0 2 6 11 14,89 x9 3 7 6 3 2,68 x10 16 3 0 0 36,79* x11 1 5 6 7 4,37 x12 0 1 3 15 30,47* x13 3 3 4 9 5,21 x14 2 2 5 10 9,00 x15 16 3 0 0 36,79* x16 4 6 4 5 0,58

Observaţie: *Calculele s-au făcut pentru nivelul de semnificaţie 0,05

Gh. COMAN 172

Valorile criteriului χ2, calculate pentru fiecare factor, se prezintă în tabelul 8.3.

Pentru nivelul de semnificaţie 0,05 şi numărul de grade de libertate f = k – 1 = 5, χ2

tab = 25. Din tabelul 8.3 rezultă că ipoteza de nul poate fi adoptată pentru

factorii x2,…,x9, x11, x13, x14 şi x16. Aceasta înseamnă că sunt păreri deosebit de contradictorii în ce priveşte influenţa acestor factori. Specialiştii acordă factorilor x1, x10 şi x15 un rol important, iar factorului x12 un rol fără prea mare importanţă. Părerile eterogene şi contradictorii privind influenţa majorităţii factorilor asupra intensităţii vibraţiilor, pun în evidenţă concluzia că acest proces de lucru a fost puţin cercetat. Factorii respectivi trebuie luaţi în considerare în cadrul experimentului fizic.

Analiza rezultatelor formalizării informaţiei apriorice a permis să se extragă pentru analiză, în continuare, 11 factori. Factorul x12 a fost eliminat, iar factorii x6, x9, x15 şi x16 nu pot fi incluşi într-un experiment real, întrucât nu pot fi comandaţi.

Separarea factorilor semnificativi şi a efectelor de interacţiune prin metoda balanţei aleatoare. În etapa următoare de separare a factorilor, care influenţează în mod semnificativ asupra parametrilor vibraţiei şi asupra preciziei filetului pe diametrul mediu, s-a folosit planificarea suprasaturată, conform balanţei aleatoare. Prin planul experimentului s-a propus să se aprecieze influenţa a 11 factori asupra parametrilor de optimizare ai procesului de filetare, precum şi a 55 de interacţiuni, adică a unui număr de 66 de efecte. Denumirea factorilor, simbolizarea acestora, dimensionabilitatea, nivelele de variaţie, precum şi simbolurile codificate, regrupate în conformitate cu rezultatele ordonării apriorice se prezintă în tabelul 8.4.

Tabelul 8.4 Rezultatele ordonării apriorice

Nivelul de variaţie

Variabila independentă Simbolizarea codificată Inferior

(-1) Superior

(+1) Raportul dintre lungimea în consolă a semifabricatului şi diametrul acestuia, l/d x1 2,2 4,4

Turaţia arborelui principal, n, rot/s x2 1,66 2,33 Unghiul de degajare, γ0 x3 15 20 Mărimea supraînălţării tăişului sculei în raport cu axa de rotaţie a semifabricatului, ai, mm x4 0,3 0,6 Excentricitatea instalării capului în raport cu axa semifabricatului, ε, mm. x5 0,03 0,15

Duritatea materialului de prelucrat, HB x6 187 229 Unghiul de înclinare a tăişurilor în raport cu axa semifabricatului, λ0 x7 6 8

Lichidul de ungere-răcire x8 Ulei de

fuse sulfofrezol

MANAGEMENTUL CERCETĂRII 173 Unghiul conului de atac al pieptenilor, ϕ0 x9 10 20 Pasul filetului, p x10 1,5 2 Rugozitatea suprafeţei de degajare a tăişurilor, Rz

x11 5 1

În timpul încercărilor factorii luaţi în considerare au fost variaţi pe

nivelul superior şi nivelul inferior. Simultan, s-a urmărit influenţa factorilor asupra a patru parametri de

optimizare: amplitudinea oscilaţiilor transversale, 2A; unghiul de torsionare al piesei, θ; frecvenţa oscilaţiilor, fk; precizia filetului pe diametrul mediu, apreciată în raport cu mărimea dispersiei erorilor, s2. Încercările experimentale au fost efectuate pe o maşină de găurit vertical, folosind capete de filetat pentru filet M27x2 şi M27x1,5, la semifabricate din oţel OLC 25 şi OLC 45.

Tabelul 8.5 Matricea de planificare pentru unghiul de torsiune θ al piesei

Factorul examinat Valoarea

parametrului de optimizare, θ

Nr. crt.

x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x11 y yI yII

1 -1 +1 -1 +1 +1 +1 +1 -1 +1 +1 +1 7,9 10,9 9,4 2 -1 -1 +1 -1 -1 -1 -1 -1 +1 +1 +1 9,6 9,6 9,1

3 -1 +1 +1 -1 +1 -1 -1 -1 -1 -1 +1 7,4 7,4 8,4

4 +1 -1 -1 -1 +1 +1 -1 -1 -1 +1 -1 12,8 9,8 8,8

5 +1 -1 -1 +1 -1 -1 -1 +1 -1 +1 +1 12,0 9,0 9,0 6 -1 +1 -1 -1 +1 -1 -1 -1 +1 -1 -1 7,0 7,0 8,0

7 +1 +1 -1 -1 -1 +1 +1 -1 +1 -1 -1 9,4 9,4 10,4

8 -1 -1 +1 +1 +1 -1 -1 +1 +1 +1 -1 6,9 6,9 8,4

9 -1 -1 +1 +1 -1 -1 +1 +1 +1 -1 +1 2,5 5,5 7,0 10 -1 -1 +1 -1 -1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 6,7 6,7 7,2

11 +1 +1 -1 +1 +1 +1 -1 -1 -1 +1 -1 10,5 7,5 6,5

12 -1 -1 -1 -1 -1 +1 +1 +1 -1 +1 +1 8,7 8,7 9,2

13 +1 +1 +1 +1 +1 +1 -1 -1 -1 +1 -1 14,6 11,6 10,614 -1 -1 -1 +1 -1 +1 +1 -1 -1 -1 -1 7,0 7,0 7,0

15 -1 -1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 +1 -1 -1 6,6 6,6 8,6

16 +1 -1 -1 -1 +1 -1 -1 -1 +1 +1 +1 13,2 10,2 9,2

17 +1 +1 +1 +1 -1 +1 -1 +1 +1 +1 -1 11,4 8,4 8,4 18 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 +1 -1 -1 -1 9,5 9,5 11,5

19 +1 -1 +1 -1 -1 -1 +1 +1 -1 -1 +1 7,9 7,9 10,4

20 -1 +1 -1 +1 -1 +1 +1 +1 +1 +1 -1 8,1 11,1 11,6

21 -1 +1 +1 -1 +1 +1 +1 -1 -1 -1 +1 5,4 8,4 9,4 22 +1 -1 +1 +1 +1 -1 -1 -1 +1 -1 +1 14,1 11,1 11,1

23 +1 +1 +1 +1 -1 +1 +1 +1 -1 -1 -1 6,0 6,0 8,5

24 +1 +1 -1 -1 +1 -1 +1 +1 -1 -1 +1 8,2 8,2 10,2

Gh. COMAN 174

Fig.8.2. Diagrame punctiforme la rezultatele experimentale pentru unghiul de torsiune θ al piesei (a – pentru efectele liniare iniţiale; b – pentru efectele liniare după prima separare; c – pentru efectele de interacţiune după prima

separare; d – în funcţie de numărul separărilor)

MANAGEMENTUL CERCETĂRII 175Prelucrarea datelor experimentale s-a făcut grafic prin trasarea

diagramelor de dispersie a rezultatelor obţinute şi tabelar. Se va prezenta, spre exemplu, procedeul de separare a factorilor

semnificativi, considerând influenţa factorilor luaţi în studiu, asupra unghiului de torsiune al piesei, la filetare.

În tabelul 8.5 se prezintă matricea de planificare a cercetării influenţei celor 11 factori tehnologici şi valorile unghiului de torsionare al piesei θ, ca parametru de optimizare.

Trasarea diagramei iniţiale de dispersie, pentru efectele liniare, figura 8.2-a, permite să se izoleze vizual trei factori (x1, x7 şi x10) la care se observă o diferenţă mare între mediane şi un număr maxim de puncte separate.

Întrucât pentru factorii respectivi nu s-a reuşit realizarea unui tabel cu trei intrări, a fost întocmit un tabel cu două intrări, tabelul 8.6.

Tabelul 8.6 Tabel cu două intrări

Parametrul de optimizare, l/d, pe nivelele: Nivelul unghiului, λ x1 (+1) x1 (-1)

9,4 9,5 7,9 6,0 8,2

7,9 2,5 6,7 8,7 7,0 8,1 5,4

x7 (+)

⎯y1 = 8,20 ⎯y2 = 6,61

12,8 12,0 10,5 14,6 13,2 11,4 14,1

9,6 7,4 7,0 6,9 6,6

x7 (-)

⎯y3 = 12,65 ⎯y4 = 7,50 În continuare, s-a calculat pentru factorul x1 şi x7 valoarea efectelor:

37,322

42311 =

+−

+=

yyyya

şi respectiv:

67,222

43217 −=

+−

+=

yyyya

Coeficienţii de regresie b1 şi b7 s-au obţinut prin împărţirea efectelor respective la 2 (b1 = 1,68; b7 = 1,33). Aprecierea semnificaţiei efectelor separate s-a făcut cu ajutorul criteriului t al lui Student.

Gh. COMAN 176

Pentru a se simplifica calculul dispersiei remanente s-a întocmit tabelul 8.7.

Tabelul 8.7 Date iniţiale pentru calculul dispersiei remanente

Nr.

compar-timentului din tabelul

auxiliar

nj ∑yj ( )2∑ jy ∑ 2jy

( ))1.(1

222

−Σ

−−

Σ=

jj

j

j

jrem nn

yn

ys

j

rem

ns2

1 5 41,0 1681,00 344,26 2,01 0,40 2 7 46,3 2143,00 333,01 4,46 0,63 3 7 88,6 7849,96 1134,26 2,14 0,30 4 5 37,7 1406,25 287,09 1,46 0,29 Valoarea criteriului t al lui Student, pentru efectele respective, se va

determina cu relaţiile:

61,104.11

==s

ata

40,84.77

−==s

ata

Pentru un nivel de încredere de 5% şi numărul gradelor de libertate f = 24 – 4 = 20, ttab = 2,062, adică

taba tt >1

şi taba tt >7

. Astfel, ambele efecte se verifică ca importante.

Fig.8.4. Diagrame de rang

pentru efectele separate (a – amplitudinea oscilaţiilor

transversale ale piesei; b – unghiul de torsionare al piesei;

c – frecvenţa oscilaţiilor)

Pentru a pune în evidenţă efectele semnificative rămase, se va aplica procedeul separării. În acest

scop, la toate valorile parametrului de optimizare care corespund nivelului superior al factorului x1 se va aduna (-3), iar la toate valorile parametrului de optimizare care corespund nivelului superior al factorului x7 se va aduna (+3). Pentru uşurarea calculelor, valorile efectelor au fost rotunjite la numere întregi. Ca urmare, s-a obţinut un nou vector coloană al parametrului de optimizare yI, tabelul 8.5.

MANAGEMENTUL CERCETĂRII 177În baza trasării noii diagrame de dispersie, figura 8.2-b, s-au

separat vizual încă trei efecte (x4, x8 şi x10) care au fost însă considerate ca fiind nesemnificative.

Pe lângă efectele liniare, după prima separare s-au examinat şi efectele de interacţiune ale factorilor, trasându-se, în acest scop, diagrama de dispersie, figura 8.2-c. Pe baza unei analize vizuale a diagramei din figura 8.2-c, s-au separat efectele de interacţiune x1x7 şi x5x7, valorile cărora, după verificarea cu ajutorul criteriului t al lui Student, au fost considerate semnificative. După efectuarea unei repetări a extragerii, s-a obţinut un nou vector coloană a valorilor parametrului de optimizare yII, tabelul 8.5.

Pentru aprecierea terminării procedeului de separare a factorilor semnificativi se face o verificare cu ajutorul criteriului F al lui Fischer:

42,12

2

==D

m

ssF

Numărul gradelor de libertate pentru dispersia 2ms este mai mic cu o

unitate decât numărul de experienţe, adică fm = 24 – 1 = 23. Dispersia experienţei 2

Ds s-a calculat considerând 12 experienţe efectuate în paralel, iar numărul gradelor de libertate, fD = 12 – 1 = 11. Valoarea pentru Ftab, corespunzător gradelor de libertate fm = 23 şi fD = 11, este Ftab = 2,62, adică F < Ftab, fapt pentru care se poate trage concluzia formală că toate efectele semnificative au fost separate.

Astfel, ca rezultat al balanţei aleatoare, în raport cu parametrul de optimizare, unghiul de torsionare al piesei θ, pentru un nivel de încredere de 5%, din 66 de efecte, s-a reuşit separarea a patru efecte semnificative, două liniare (x1 şi x7) şi două de interacţiune (x1x7 şi x5x7).

În mod similar s-a procedat şi pentru separarea efectelor semnificative la analiza celorlalţi parametri de optimizare, rezultând ecuaţiile de regresie:

- pentru amplitudinea dublă a oscilaţiilor transversale:

3276631094273

3183421

32,141,171,183,163,238,363,355,273,395,348,562,708,152

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxA

−−−−−−−−−−+++=

- pentru unghiul de torsionare al piesei:

757171 65,009,133,168,189,8 xxxxxx +−−+=θ - pentru frecvenţa de oscilaţie a piesei:

10131814183

93481

50,124,217,294,323,544,350,375,392,631,1050,133

xxxxxxxxxxxxxxxfk

−−++++++++−=

- pentru precizia filetului pe diametrul mediu:

7543242 2,3865,39290011508,1665 xxxxxxs +−−−=

unde x1, x2, x3, x4 sunt efecte legate de trecerea de la nivelul inferior pe cel superior, respectiv al factorilor l/d, n, γ şi ai; x8 – efectul determinat de modificarea condiţiilor de aşchiere prin trecerea de la uleiul de fuse, utilizat ca lichid de ungere-răcire, la sulfofrezol; x1x3, x3x7, x2x4, x9x10,

Gh. COMAN 178

x3x6, x6x7, x2x3 – interacţiunile parametrilor procesului tehnologic, l /d - γ; γ - λ; n – ai; ϕ - p; γ - HB; HB - λ; n - γ.

Termenii liberi din ecuaţiile de mai sus se determină prin însumarea valorilor parametrilor de optimizare pentru toate experienţele şi împărţirea sumei la numărul total de experienţe. Coeficienţii din ecuaţia de regresie se dau în unităţi relative de măsurare a factorilor.

Analizând ecuaţiile pentru 2A, fk şi s2 se observă că asupra valorii celor trei parametri de optimizare influenţează aceeaşi factori tehnologici semnificativi: raportul dintre lungimea în consolă a semifabricatului şi diametrul acestuia - l/d; turaţia arborelui principal – n; mărimea supraînălţării tăişului sculei în raport cu axa de rotaţie a semifabricatului – ai; unghiul de degajare - γ; unghiul de înclinare a tăişului - λ; tipul lichidului de ungere-răcire. Experimentul activ de separare efectuat a permis să se stabilească semnificaţia influenţei factorilor asupra parametrilor de optimizare luaţi în considerare. Ordonarea factorilor şi a interacţiunilor acestora, pentru fiecare parametru de optimizare, se prezintă în figura 8.4.

Ecuaţiile de regresie obţinute constituie aprecieri preliminare ale influenţei parametrilor procesului tehnologic asupra vibraţiilor la filetarea cu capete de filetat. Eroarea medie a ecuaţiilor este de circa 20%.

În virtutea unui studiu preliminar, din numărul total de variabile independente, s-au separat 6 factori care au cea mai mare influenţă asupra parametrilor vibraţiei şi a preciziei la filetarea cu capete de filetat, fapt ce simplifică considerabil studiul în continuare a procesului.

8.2. Determinarea componentelor

forţei de aşchiere la frezarea cilindro-frontală

Evaluarea componentelor forţei de aşchiere se pune deseori în

practică pentru optimizarea regimurilor de aşchiere. Succesiunea rezolvării acestei probleme este examinată prin exemplul de cercetare a prelucrabilităţii fontei extradure, în cazul frezării cilindro-frontale. Procedeul prezentat este aplicabil la analiza oricărui proces de aşchiere, pentru orice fel de prelucrare mecanică.

Procesul de frezare frontală se caracterizează prin prezenţa unui număr mare de factori variabili, care influenţează asupra componentelor forţei de aşchiere.

Analiza informaţiilor apriorice asupra dependenţelor dinamice la frezarea cilindro-frontală a pus în evidenţă faptul că efectele de interacţiune de ordinul doi între parametrii regimului de aşchiere (v, sz, t) şi duritatea materialului prelucrat (HB), precum şi efectele de interacţiune de ordine mai mari sunt neglijabile. Din această cauză, în prima etapă de analiză a dependenţelor dinamice la frezarea cilindro-frontală, pentru obţinerea unui model de interpolare, s-a utilizat experimentul factorial fracţionar EFF de tipul 24-1. Pentru aceasta, în planul experimentului factorial complet EFC de tipul 23 (tabelul 8.8), efectul interacţiunii de tipul x1x2x3 a fost înlocuit cu cea de a patra variabilă independentă x4, adică

MANAGEMENTUL CERCETĂRII 179se impune o semireplică EFC de tipul 24 cu relaţia de generare 1 = x1x2x3x4 ceea ce a permis următorul sistem:

12433

13422

23411

123400

ββββββββ

+→+→+→+→

bbbb

142323

241313

341212

12344

ββββββββ

+→+→+→+→

bbbb

Analiza acestui sistem a arătat că alegerea contrastului determinat s-a făcut corect, întrucât se pot neglija efectele de interacţiune β14, β24, β34, β123, β124, β134, β234, β1234 ca fiind mici, dacă în virtutea unei informaţii apriorice se alege drept variabilă independentă x4 – duritatea materialului de prelucrat.

Întrucât maşinile-unelte au cutii de viteze şi de avansuri în trepte, care nu permit să se determine valorile vitezei de aşchiere şi avansului într-o strictă corespondenţă cu planul EFF de tipul 24-1, drept variabile independente xi (i = 1, 2, 3,…) se consideră logaritmii valorilor v, sz, t şi HB. Nivelele şi intervalele de variaţie ale acestor variabile se prezintă în tabelul 8.9.

Codificarea variabilelor independente se face cu ajutorul relaţiei:

i

iii x

xxzΔ−

= 0 (8.2)

unde xi sunt valorile curente ale variabilelor independente,

ii xx ~log= ix~ fiind valoarea curentă a aceloraşi variabile independente în mărimi

naturale,

00~log ii xx =

unde xi0 este valoarea variabilei independente pe nivelul de zero; 0~

ix - valoarea aceleiaşi variabile în mărimi naturale. Intervalul de variaţie al variabilei, Δxi, se determină cu relaţia:

2minmax ii

i

xxx

−=Δ (8.3)

Întrucât cercetările prealabile ale parametrilor metrologici ai dispozitivului dinamometric au arătat că dispersiile, care caracterizează împrăştierea în serie de experienţe, pot fi considerate omogene, în toate punctele planului s-a efectuat câte un experiment, rezultatele prezentându-se în tabelul 8.9.

Pentru determinarea dispersiei erorii experienţei s-a efectuat o serie suplimentară de experienţe (n0 = 4), la nivel de zero, al tuturor variabilelor independente, tabelul 8.10.

Deoarece wi > wtab = 0,748, pentru un nivel de încredere α = 0,05 şi n0 = 4, ipoteza de normalitate a distribuţiei variabilei dependente yi poate fi acceptată.

Gh.

CO

MA

N

180

Ta

belu

l 8.8

M

atric

ea d

e lu

cru

a pl

anul

ui E

FC d

e tip

ul 2

4-1

N

r. se

riei d

e ex

perie

nţe

x 0

(z0)

x 1

(z

1)

x 2

(z2)

x 3

(z

3)

x 4=x

1x2x

3 (z

4)

x 1x 2

(z

5)

x 1x 3

(z

6)

x 2x 3

(z

7)

y 1

(logp

T)

y 2

(logp

R)

y 3

(logp

A)

1 +1

-1

-1

-1

-1

+1

+1

+1

2,

9684

8 2,

5563

0 2,

5051

5 2

+1

+1

-1

-1

+1

-1

-1

+1

2,97

772

2,56

820

2,51

851

3 +1

-1

+1

-1

+1

-1

+1

-1

3,

1461

3 2,

7075

7 2,

6902

0 4

+1

+1

+1

-1

-1

+1

-1

-1

3,07

555

2,64

345

2,61

278

5 +1

-1

-1

+1

+1

+1

-1

-1

3,

2148

4 2,

7923

9 2,

6721

0 6

+1

+1

-1

+1

-1

-1

+1

-1

3,15

836

2,74

036

2,62

325

7 +1

-1

+1

+1

-1

-1

-1

+1

3,

3263

4 2,

8808

1 2,

7781

5 8

+1

+1

+1

+1

+1

+1

+1

+1

3,31

175

2,88

081

2,77

815

9 +1

0

0 0

0 0

0 0

3,11

394

2,74

036

2,62

325

10

+1

0 0

0 0

0 0

0 3,

1430

1 2,

7323

9 2,

6334

7 11

+1

0

0 0

0 0

0 0

3,13

988

2,72

428

2,63

347

12

+1

0 0

0 0

0 0

0 3,

1303

3 2,

7481

8 2,

6532

1

MA

NA

GE

ME

NTU

L C

ERC

ETĂ

RII

181

Ta

belu

l 8.9

D

omen

iul d

e va

riaţie

al v

aria

bile

lor i

ndep

ende

nte

la

efec

tuar

ea e

xper

imen

tulu

i

Var

iabi

le in

depe

nden

te ş

i log

aritm

ii lo

r N

ivel

ul d

e va

riaţie

1~ x

(v

,m/s

) x 1

(lo

g v)

2~ x

(s

z,mm

) x 2

(lo

g s z

) 3~ x

(t,

mm

) x 3

(lo

g t)

4~ x

(H

B,

MN

/m2 ))

x 4

(log

HB

)

Sup

erio

r (+

1)

2,46

0,

3909

4 0,

251

⎯1,3

9967

4,

00

0,60

206

2550

3,

4065

4

Nul

(0

) 1,

99

0,29

885

0,20

0 ⎯1

,301

03

3,00

0,

4771

2 24

60

3,39

094

Infe

rior

(-1)

1,

57

0,19

590

0,15

8 ⎯1

,198

66

2,25

0,

3521

8 23

70

3,37

475

Inte

rval

ul

de v

ariaţie

Δx

i

- 0,

0975

2 -

0,10

050

- 0,

1249

4 -

0,01

590

Gh.

CO

MA

N

182

Ta

belu

l 8.1

0 V

alor

ile p

aram

etril

or a

naliz

aţi a

i mod

elel

or s

tatis

tice

V

aloa

rea

para

met

rulu

i pen

tru m

odel

e P

aram

etru

l ana

lizei

sta

tistic

e N

r. de

ord

ine

al re

laţie

i di

n te

xt

y 1

y 2

y 3

Crit

eriu

l pe

ntru

ver

ifica

rea

ipot

ezei

de

norm

alita

te,

wi,

test

ul S

hapi

ro-W

ilk

(5.1

8)

0,89

5 0,

928

0,99

2

Dis

pers

ia e

rorii

exp

erie

nţei

, 2 Ds

(7

.23)

0,

0001

7 0,

0001

0 0,

0001

6 D

ispe

rsia

ero

rii d

e de

term

inar

e a

coef

icie

nţilo

r de

re

gres

ie,

2 ibs

(7.2

7)

0,00

0021

0,

0000

13

0,00

0020

Inte

rval

ul

de

încr

eder

e pe

ntru

co

efic

ienţ

ii de

re

gres

ie Δ

b i

(7.2

8)

0,01

460

0,01

158

0,01

410

Dis

pers

ia c

are

cara

cter

izea

ză a

decu

anţa

mod

elul

ui

mat

emat

ic,

2 Es

(5.3

2)

0,00

0069

0,

0000

24

0,00

0106

Crit

eriu

l F a

l lui

Fis

cher

(5

.33)

0,

406

0,24

0 0,

662

Crit

eriu

l t a

l lui

Stu

dent

(7

.29)

3,

40

4,14

2,

50

MANAGEMENTUL CERCETĂRII 183Pe baza rezultatelor experimentale s-au determinat valorile

coeficienţilor de regresie şi s-au determinat expresiile matematice căutate pentru fiecare componentă a forţei de aşchiere:

- pentru componenta tangenţială:

7654

3211

00132,000122,000474,001521,010543,006755,001655,014740,3

zzzzzzzy

−−−++++−=

(8.4)

- pentru componenta radială:

7654

3212

00029,000002,000300,001601,010236,005692,001303,072124,2

zzzzzzzy

++−++++−=

(8.5)

- pentru componenta axială:

7654

3213

00230,000190,000524,001745,006563,006753,001411,064729,2

zzzzzzzy

−+−++++−=

(8.6)

Pe baza analizei statistice a ecuaţiilor (8.4), (8.5) şi (8.6), tabelul 8.10, se poate trage concluzia că coeficienţii termenilor z5, z6 şi z7 nu sunt semnificativi, deoarece sunt mai mici decât intervalul de încredere Δbi pentru coeficienţii ecuaţiilor respective. Ca urmare, ecuaţiile (8.4), (8.5) şi (8.6), pot fi scrise sub forma:

43211 0152110543,006755,001655,014740,3ˆ zzzzy +++−= (8.7)

43212 01601,010236,005692,001303,072124,2ˆ zzzzy +++−= (8.8)

43213 01745,006563,006753,001411,064729,2ˆ zzzzy +++−= (8.9)

Fig.8.5. Variaţia componentelor

tangenţială (1), radială (2) şi axială (3) ale forţei de aşchiere, în funcţie de viteza de aşchiere, pentru sz = 0,2 mm/dinte; tz = 3

mm şi HB = 2550 MN/m2

Fig.8.6. Variaţia componentelor tangenţială (1), radială (2) şi

axială (3) ale forţei de aşchiere în funcţie de avansul pe dinte,

pentru v = 1,99 m/s; t = 3 mm şi HB = 2550 MN/m2

Gh. COMAN 184

Ipoteza privind adecuanţa ecuaţiilor (8.7), (8.8) şi (8.9) poate fi pusă în evidenţă prin verificările atât după criteriul F al lui Fischer, cât şi după criteriul t al lui Student, întrucât valorile calculate pentru aceste criterii sunt mai mici decât valorile calculate pentru aceste criterii sunt mai mici decât cele tabelate. Astfel F < Ftab = 9,28, pentru α = 0,05, fD = 3 şi fE = 3. De asemenea, t < ttab = 4,177, pentru pentru α = 0,05 şi fD = 3.

Fig.8.7. Variaţia componentelor

tangenţială (1), radială (2) şi axială (3) ale forţei de aşchiere,

în funcţie de adâncimea, pentru v = 1,99 m/s; sz = 0,2 mm/dinte; şi

HB = 2550 MN/m2

Fig.8.8. Variaţia componentelor tangenţială (1), radială (2) şi

axială (3) ale forţei de aşchiere în funcţie de duritatea materialului

de prelucrat, pentru v = 1,99 m/s; t = 3 mm şi sz = 0,2 mm/dinte

Din relaţiile (8.7), (8.8) şi (8.9) se observă că la creşterea vitezei de

aşchiere peste 1,5 m/s, valorile componentelor forţei de aşchiere scad continuu. Un asemenea caracter de variaţie al forţelor de aşchiere, la frezarea fontelor extradure, este analog cu caracterul de variaţie al forţelor de aşchiere la prelucrarea oţelurilor şi se explică prin creşterea plasticităţii şi proprietăţilor de prelucrabilitate, ca urmare a creşterii temperaturii din zona de aşchiere, odată cu creşterea vitezei de aşchiere.

Folosind relaţia (8.2), se transformă valorile de cod ale variabilelor din ecuaţiile (8.7), (8.8) şi (8.9) în variabile logaritmice, rezultând:

HBtsvP zT

log95660,0log84384,0log67214,0log16971,002156,0log

++++−=

(8.10)

HBtsvP zR

log00692,1log81927,0log56637log13361,064825,0log

++++−−=

(8.11)

HBtsvP zA

log09748,1log52529log67194,0log14469,081192,0log

++++−−=

(8.12)

MANAGEMENTUL CERCETĂRII 185Relaţiile (8.10), (8.11) şi (8.12) pot fi puse sub formă operativă de

calcul a componentelor forţei de aşchiere:

][051,1 17,0

96,067,084,0

Nv

HBstP zT = (8.13)

][225,0 13,0

01,157,082,0

Nv

HBstP zR = (8.14)

][154,0 14,0

09,167,053,0

Nv

HBstP zA = (8.15)

Relaţiile (8.13), (8.14) şi (8.15) pot fi recomandate pentru calculul componentelor forţei de aşchiere la frezarea cilindro-frontale a fontei extradure cu HB = 1700…2700 MN/m2, cu freze bine ascuţite la parametrii geometrici γ = 100, κ = 600, κ1 = 300, α = α1 = 80, λ = 50. Domeniul de variaţie al parametrilor regimului de aşchiere va fi: 1,5 ≤ v ≤ 3,5 m/s; sz ≤ 0,32 mm/dinte; t ≤ 6 mm.

8.3. Optimizarea parametrilor geometrici

ai sculelor aşchietoare La analiza capacităţii de lucru a sculelor aşchietoare, determinarea

corectă a parametrilor geometrici ai părţii aşchietoare prezintă o importanţă deosebită. Metodologia de calcul pentru soluţionarea acestei probleme se va prezenta printr-un exemplu de alegere a parametrilor geometrici ai dintelui unei freze cilindro-frontale, la frezarea de semifinisare a fontei extradure.

Drept parametri geometrici pentru analiză se consideră: unghiul de atac principal - κ0; unghiul de degajare - γ0; unghiul de înclinare a tăişului - λ0. Nivelele şi intervalele de variaţie a acestora, în timpul experimentărilor, se prezintă în tabelul 8.11.

Tabelul 8.11 Variaţia variabilelor independente la efectuarea experimentărilor

Nivelul de variaţie )(~ 0

1 κx )(~ 02 λx )(~ 0

3 γx Puncte stelare (+1,682) 85 15 20 Superior (+1,000) 75 11 16 Nul (0) 60 5 10 Inferior (-1,000) 45 -1 4 Puncte stelare (-1,682) 35 -5 0 Intervale de variaţie 15 6 6

La efectuarea experienţelor s-au folosit metode matematice de

planificare, care au permis să se determine influenţa tuturor factorilor examinaţi şi interacţiunea lor asupra componentelor forţei de aşchiere şi deci optimizarea parametrilor geometrici ai părţii aşchietoare a tăişului,

Gh.

CO

MA

N

186

Ta

belu

l 8.1

2 P

lan

rota

bil d

e or

dinu

l doi

(mat

ricea

de

lucr

u)

u x 0

x 1

x 2

x 3

2 1x

2 2x

2 3x

x 1x 2

x 1

x 3

x 2x 3

P

T (d

aN)

PR

(daN

)P

A

(daN

)Q

(d

aN)

y u

(σ1,

3)

(daN

/mm

2 )

y u

(daN

/mm

2 )

1 +1

-1

-1

-1

+1

+1

+1

+1

+1

+1

13

2 63

73

16

,349

20,3

05

20,9

61

2 +1

+1

-1

-1

+1

+1

+1

-1

-1

+1

13

1 88

42

16

,332

62,1

79

60,0

01

3 +1

-1

+1

-1

+1

+1

+1

-1

+1

-1

14

0 51

99

17

,892

4,24

5 2,

719

4 +1

+1

+1

-1

+1

+1

+1

+1

-1

-1

13

8 69

61

16

,600

43,2

98

41,7

39

5 +1

-1

-1

+1

+1

+1

+1

+1

-1

-1

11

7 42

46

13

,258

26,7

29

27,7

63

6 +1

+1

-1

+1

+1

+1

+1

-1

+1

-1

11

6 59

30

13

,358

61,4

75

63,0

99

7 +1

-1

+1

+1

+1

+1

+1

-1

-1

+1

12

5 34

70

14

,726

7,13

7 9,

805

8 +1

+1

+1

+1

+1

+1

+1

+1

+1

+1

12

3 47

42

13

,825

47,3

01

46,1

21

9 +1

0

0 0

0 0

0 0

0 0

120

54

42

13,8

2041

,767

10

+1

0

0 0

0 0

0 0

0 0

116

53

41

13,4

0140

,208

11

+1

0

0 0

0 0

0 0

0 0

118

46

48

13,5

4633

,046

12

+1

0

0 0

0 0

0 0

0 0

123

47

43

13,8

5440

,874

13

+1

0

0 0

0 0

0 0

0 0

121

49

47

13,8

7936

,387

14

+1

0

0 0

0 0

0 0

0 0

122

51

43

13,9

0741

,208

38,8

96

15

+1

+1,6

82

0 0

2,82

80

0 0

0 0

134

71

45

15,8

2359

,045

61

,371

16

+1

-1

,682

0

0 2,

828

0 0

0 0

0 14

0 47

96

17

,623

0,41

6 -1

,163

17

+1

0

+1,6

82

0 0

2,82

80

0 0

0 12

6 46

76

15

,419

11,1

88

12,2

45

18

+1

0 -1

,682

0

0 2,

828

0 0

0 0

114

70

43

14,0

5742

,177

41

,865

19

+1

0

0 +1

,682

0

0 2,

828

0 0

0 10

8 35

24

11

,612

52,8

15

50,1

06

20

+1

0 0

-1,6

82

0 0

2,82

80

0 0

132

70

60

16,1

0237

,259

40

,709

MANAGEMENTUL CERCETĂRII 187astfel încât să se obţină o reducere la minimum a componentelor respective. Analiza datelor obţinute a condus la constatări că, pentru valorile găsite ale parametrilor geometrici ai dintelui frezei, scade brusc mărimea admisibilă a avansului tehnologic datorită scăderii rezistenţei plăcuţei tăişului sculei. Din aceste motive, în etapa următoare de cercetare, s-a ales drept parametru de optimizare efortul specific maxim care apare în punctul cel mai periculos al plăcuţei şi care se găseşte în afara zonei de contact a acesteia cu aşchia. Pentru calculul efortului specific în punctul respectiv, s-a folosit relaţia cunoscută din literatura de specialitate:

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

+

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

−

−

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

=

ββ

γβγβ

ββ

γβγβ

σ

sin2

cos2

cos

sin2

sin2

sin2

0

0

03,1 cbk

Q

(8.16)

unde, Q reprezintă rezultanta forţei de aşchiere care acţionează asupra dintelui:

222ART PPPQ ++=

în care PT, PR, PA – componentele tangenţială, radială şi axială a forţei de aşchiere; b – lungimea tăişului în contact cu aşchia:

κsintb =

k0 – coeficient care ţine seama de distanţa până la punctul periculos; c – lăţimea suprafeţei de contact a aşchiei cu suprafaţa de degajare a tăişului sculei; β - unghiul de ascuţire:

β = 90 – (γ + α) γ0 – unghiul dintre componenta axială a forţei de aşchiere PA şi vectorul forţei de aşchiere Q1:

APQtg 1

0 =γ

Q1 – forţa rezultantă care acţionează în plan orizontal şi care determină încovoierea dintelui frezei:

221 RT PPQ +=

γ - unghiul de degajare. Pe baza relaţiei (8.16) s-a calculat mărimea efortului specific în

punctul periculos, în condiţiile fiecărei experiment efectuat în conformitate cu planul rotabil de ordinul doi, tabelul 8.12.

Prelucrarea matematică a datelor experimentale permite să se determine valorile coeficienţilor de regresie şi să fie scrisă dependenţa

Gh. COMAN 188

parametrului de optimizare de factorii tehnologici luaţi în considerare, sub forma unui polinom de ordinul doi:

23

22

213231

21321

301,2187,4109,3071,0676,0

245,0796,2805,8589,18896,38

xxxxxxx

xxxxxy

+−−+−

−++−+= (8.17)

În tabelul 8.13 se prezintă analiza statistică a ecuaţiei (8.17). Tabelul 8.13

Valorile parametrilor analizei statistice ale modelului de ordinul doi

Parametrul analizei statistice Nr.de ordine al relaţiei din text

Valoarea parametrului

Dispersia erorii experienţei 2Ds (7.23) 11,929 20bs (7.71) 1,984

2ibs (7.72) 0,873

2jibs (7.73) 1,491

Dispersia erorii de determinare a coeficienţilor de regresie

2iibs (7.74) 0,828

Δb0 (5.39) 3,623 Δbi (5.39) 2,401 Δbij (5.39) 3,139

Intervalele de încredere pentru coeficienţii de regresie

Δbii (5.39) 2,339 Dispersia care caracterizează adecuanţa modelului matematic

2Es (5.32) 6,593

Criteriul lui Fischer F (5.33) 0,553 Pe baza analizei statistice a relaţiei (8.17) se observă din tabelul

(8.13) că, coeficienţii b12, b13 şi b23 nu sunt semnificativi, întrucât intervalul de încredere pentru coeficienţii de interacţiune Δbii este mai mare decât valoarea lor. Ca urmare, ecuaţia (8.17) va căpăta aspectul:

23

22

21

321

301,2187,4109,3796,2805,8589,18896,38ˆ

xxx

xxxy

+−−

−+−+= (8.18)

Ipoteza că modelul de ordinul doi este adecvat poate fi considerată adevărată, deoarece valoarea de calcul a criteriului F = 0,553 < Ftab = 4,82 pentru nivelul de semnificaţie α = 0,05 şi fD = 8, fE = 5 grade de libertate. Astfel, ecuaţia (8.18) este modelul adecuat al variaţiei efortului specific în punctul periculos al plăcuţei din aliaj dur pentru tăişul sculei aşchietoare, în funcţie de parametrii geometrici în expresie codificată.

Pentru determinarea domeniului de optim, din zona examinată, ecuaţia (8.18) se aduce la forma canonică. Întrucât discriminantul grupei termenilor de grad mai mare I3 = 29,953 ≠ 0 şi discriminantul ecuaţiei (8.18), Δ3 = 2110,543 ≠ 0, suprafaţa de răspuns este nedegenerată, fiind dată de relaţia:

∑=

+=k

iii Xy

1

. τλ (8.19)

MANAGEMENTUL CERCETĂRII 189

Pentru determinarea valorilor coeficienţilor caracteristici λi ale formei pătratice a ecuaţiei (8.18), s-a rezolvat următoarea ecuaţie caracteristică:

0301,200

0187,4000109,3

=−

−−−−

λλ

λ

(8.20)

Rădăcinile ecuaţiei (8.20) sunt λ1 = -3,109; λ2 = -4,187; λ3 = 2,301. Pentru determinarea termenului liber a ecuaţiei (8.19) se foloseşte relaţia:

462,703

3 =Δ

=I

τ

În continuare, ecuaţia (8.18), a suprafeţei de răspuns, poate fi adusă la forma canonică:

0)462,70(301,2187,4109,3 23

22

21 =−++−− yXXX (8.21)

Întrucât efortul specific în punctul periculos nu depăşeşte efortul specific admisibil (y < 70,462) şi suprafaţa respectivă reprezintă un hiperboloid cu o pânză, pentru determinarea centrului acestei suprafeţe se calculează derivatele parţiale ale funcţiei y în raport cu fiecare variabilă independentă:

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

=+=∂∂

=−−=∂∂

=−=∂∂

0602,4796,2

0374,8805,8

0218,6589,18

33

22

11

xxy

xxy

xxy

(8.22)

Rezolvând sistemul (8.22) se găsesc coordonatele centrului S (x1s = 2,989; x2s = -1,051; x3s = -0,608), care se găseşte în apropierea domeniului cercetat şi corespunde efortului maxim.

Întrucât coeficienţii de interacţiune sunt nesemnificativi şi au fost eliminaţi, pentru transformarea ecuaţiei (8.18) în forma canonică (8.21), este suficientă o translaţie a axelor de coordonate în punctul S. În acest caz, formulele de transformare vor fi:

⎪⎭

⎪⎬

⎫

−=−=+=

608,0051,1989,2

33

22

11

XxXxXx

(8.23)

Pentru studierea suprafeţei de răspuns, în domeniul experimentului, se va considera secţiunea bidimensională. În acest scop se adoptă x3 = 0, adică unghiul de degajare γ = 100. Atunci, relaţia (8.18) capătă aspectul:

22

2121 187,4109,3805,8589,18896,38 xxxxy −−−+= (8.24)

Discriminantul grupei termenilor superiori ai formei pătratice a ecuaţiei (8.24), I2 = 13,017, adică această curbă reprezintă o curbă

Gh. COMAN 190

centrală de gradul doi cu centrul în punctul S1(x1s1 = 2,989; x2s1 = -1,051), în afara domeniului experimentului. Translaţia axelor de coordonate în punctul S1 permite să se aducă ecuaţia (8.24) la forma:

22

21 187,4109,3312,71 XXy −−=−

sau: 22

21 187,4109,3312,71 XXy +=− (8.25)

adică, pentru y < 71,312 curba reprezintă o elipsă.

Fig.8.13. Secţiune bidimensională a suprafeţei de răspuns pentru x3=0,

(γ = 100)

Fig.8.14.Secţiune bidimensională a suprafeţei de răspuns pentru

x2=0 (λ = 50)

După substituirea în ecuaţia (8.25) a diverselor valori ale parametrului de optimizare y (σ1,3) se obţine o familie de elipse, care permit să se aleagă o asemenea combinaţie a parametrilor geometrici, pentru care mărimea efortului în punctul periculos va rămâne acelaşi, corespunzător unui regim de prelucrare ales, figura 8.13. În mod analog, au fost construite şi alte acţiuni, figura 8.14.

Variaţia unghiului de atac principal, în limitele κ = 90…300, cu menţinerea constantă a unghiurilor λ şi γ, precum şi a parametrilor regimului de aşchiere v, sz, t, permite atât reducerea efortului specific în punctul periculos, cât şi o schimbare a semnului acestuia. Aceasta înseamnă că prin alegerea corectă a parametrilor geometrici ai părţii aşchietoare a sculei, se pot crea cele mai favorabile condiţii pentru materialul sculelor în timpul aşchierii şi o creştere a productivităţii prelucrării mecanice, în cazul frezării de semifinisare.

Modificarea unghiului de înclinare a muchiei aşchietoare λ, sau a unghiului γ, conduce, de asemenea, la modificarea efortului specific în punctul periculos al sculei aşchietoare. La orice combinaţie a unghiurilor κ şi γ, efortul specific în punctul periculos atinge maximul condiţional pentru λ ≈ -10, iar la orice combinaţie a unghiurilor κ şi λ atinge minimul condiţional pentru γ = 60.

MANAGEMENTUL CERCETĂRII 191Folosirea rezultatelor cercetărilor permite să se rezolve problema

alegerii celei mai raţionale geometrii, ţinându-se seama de diverşi factori tehnologici, pentru un efort admisibil prescris în plăcuţa dură a părţii aşchietoare a sculei considerate.

8.4. Determinarea durabilităţii

sculelor aşchietoare Durabilitatea sculelor aşchietoare este unul din principalii indicatori

tehnico-economici care exprimă capacitatea de lucru a acestora. Pentru determinarea durabilităţii sculelor aşchietoare se va

considera frezarea cilindro-frontală a unui aliaj pe cu de aluminiu. Pe baza unor încercări preliminare, s-a constatat că cele mai bune rezultate pentru materialul părţii aşchietoare a sculei le prezintă aliajul dur K 40. Se pune problema optimizării geometriei părţii aşchietoare, astfel încât durabilitatea sculei să fie optimă. O trecere în revistă a datelor din literatura de specialitate au pus în evidenţă faptul că cea mai mare influenţă asupra durabilităţii frezei o prezintă unghiul de atac principal κ, unghiul de aşezare α şi unghiul de degajare γ. Intervalul de variaţie al acestor parametri, în timpul cercetării, se prezintă în tabelul 8.14. La stabilirea lor s-a ţinut seama de influenţa parametrilor geometrici ai sculei asupra rugozităţii de suprafaţă.

Tabelul 8.14 Intervalul de variaţie al variabilelor independente la

efectuarea experimentelor Variabile independente Nivelul de variaţie x1(κ0) x2(α0) x3(γ0)

Puncte stelare (+1,682) 85 23 29 Superior (+1) 75 20 21 Nul (0) 60 15 9 Inferior (-1) 45 10 -3 Puncte stelare (-1,682) 35 7 -11 Intervalul de variaţie 15 5 12

Pentru analiza variaţiei durabilităţii în funcţie de parametrii geometrici

aleşi, în spaţiul factorial examinat, se foloseşte un plan cvasi-D-optimal de ordinul doi, a cărei matrice de lucru se prezintă în tabelul 8.15.

Încercările s-au efectuat pe o maşină de frezat vertical obişnuită, folosindu-se o freză cu un singur dinte. Parametrii geometrici ai dinţilor aplicaţi (amovibili), care au o influenţă redusă asupra durabilităţii sculei, s-au menţinut constanţi: unghiul de înclinare a tăişului λ = 00; unghiul de atac secundar κ1 = 450; unghiul de aşezare secundar α1 = 60. Toate experimentele s-au efectuat la următorii parametri ai regimului de aşchiere: v = 14,13 m/s; sz = 0,2 mm; t = 0,3 mm.

Valoarea medie ⎯yu, pentru fiecare serie de experienţe, obţinută din două experienţe în paralel, aleatorizate în timp, cu ajutorul tabelelor de numere aleatoare, se prezintă în tabelul 8.15.

Gh.

CO

MA

N

192

Ta

belu

l 8.1

5 M

atric

ea d

e lu

cru

a pl

anul

ui c

vasi

-D-o

ptim

al d

e or

dinu

l doi

folo

sit l

a an

aliz

a du

rabi

lităţ

ii sc

ulel

or aşc

hiet

oare

Nr.

serie

i de

expe

rienţ

e,

u x 0

x 1

x 2

x 3

2 1x

2 2x

2 3x

x 1x 2

x 1

x 3

x 2x 3

⎯y

u

1 +1

-1

-1

-1

+1

+1

+1

+1

+1

+1

17

,60

2 +1

+1

-1

-1

+1

+1

+1

-1

-1

+1

3,

90

3 +1

-1

+1

-1

+1

+1

+1

-1

+1

-1

11

,74

4 +1

+1

+1

-1

+1

+1

+1

+1

-1

-1

1,

78

5 +1

-1

-1

+1

+1

+1

+1

+1

-1

-1

13

,99

6 +1

+1

-1

+1

+1

+1

+1

-1

+1

-1

0,

50

7 +1

-1

+1

+1

+1

+1

+1

-1

-1

+1

21

,12

8 +1

+1

+1

+1

+1

+1

+1

+1

+1

+1

4,

23

9 +1

+1

,682

0

0 2,

828

0 0

0 0

0 2,

38

10

+1

-1,6

82

0 0

2,82

8 0

0 0

0 0

26,6

3 11

+1

0

+1,6

82

0 0

2,82

8 0

0 0

0 11

,24

12

+1

0 -1

,682

0

0 2,

828

0 0

0 0

8,60

13

+1

0

0 +1

,682

0

0 2,

828

0 0

0 4,

03

14

+1

0 0

-1,6

82

0 0

2,82

8 0

0 0

3,13

15

+1

0

0 0

0 0

0 0

0 0

12,1

4 16

+1

0

0 0

0 0

0 0

0 0

11,5

8

MANAGEMENTUL CERCETĂRII 193Coeficienţii ecuaţiei de regresie se determină cu relaţiile:

∑ ∑∑= = =

−=N

u

k

i

N

uuiuu yxyb

1 1 1

20 1697,04971,0

∑=

=N

uuiui yxb

1

0732,0

∑=

=N

uujuiuji yxxb

1

12502,0

∑ ∑∑ ∑= = = =

−+=N

u

k

i

N

u

N

uuuiuuiuii yyxyxb

1 1 1 1

22 1697,00454,00625,0

Rezultă următoarea ecuaţie de regresie:

23

22

213231

21321

924,2685,0935,0354,2838,0

078,0462,0536,0941,6989,11

xxxxxxx

xxxxxy

−−++−

−+++−= (8.26)

Tabelul 8.16 Valorile parametrilor analizei statistice ale modelului de ordinul doi

Parametrul analizei statistice Nr.de ordine al

relaţiei din text Valoarea

parametrului Criteriul lui Cochran G (5.19) 0,263 Dispersia erorii experienţei 2

Ds (7.23) 1,273 20bs (7.71) 0,3163

2ibs (7.72) 0,0466

2jibs (7.73) 0,0795

Dispersia erorii de determinare a coeficienţilor de regresie

2iibs (7.74) 0,0686

Δb0 (5.39) 1,1867 Δbi (5.39) 0,4558 Δbij (5.39) 0,5950

Intervalele de încredere pentru coeficienţii de regresie

Δbii (5.39) 0,5528 Dispersia care caracterizează adecuanţa modelului matematic

2Es (5.32) 2,141

Criteriul lui Fischer F (5.33) 1,682 În urma analizei statistice a ecuaţiei de regresie (8.26) rezultă,

conform datelor din tabelul 8.16, că ipoteza asupra omogenităţii dispersiilor de selecţie poate fi considerată justă, întrucât G = 0,263 < Gtab = 0,455 la un nivel de semnificaţie α = 0,05 şi f = 1 grade de libertate. Coeficientul b12 nu este semnificativ, întrucât valoarea sa absolută este mai mică decât intervalul de încredere pentru coeficienţii de regresie Δbij. În aceste condiţii, ecuaţia (8.26) va deveni:

23

22

2132

31321

924,2685,0935,0354,2

838,0462,0536,0941,6989,11

xxxxx

xxxxxy

−−++

+−++−= (8.27)

Gh. COMAN 194

Modelul matematic exprimat prin relaţia (8.27) este adecvat întrucât valoarea calculată pentru criteriul F = 1,682 < Ftab = 2,70 la un nivel de semnificaţie α = 0,05 şi fE = 6, fD = 17 grade de libertate.

Analiza ecuaţiei (8.27) conduce la concluzia că suprafaţa de răspuns este o suprafaţă centrală nedegenerată, întrucât discriminantul termenilor de grad superior I3 = 0,698 > 0, iar discriminantul tuturor termenilor Δ3 = -0,0742 < 0, căreia îi corespunde o ecuaţie de forma:

∑=

+=k

iii Xu

1

. τλ (8.28)

Pentru determinarea coeficienţilor caracteristici λi ai formei pătratice a ecuaţiei (8.27) se scrie ecuaţia caracteristică:

0924,2177,1419,0177,1685,00419,00935,0

=−−−

−−−−

λλ

λ

sau: 0698,0932,2674,2 23 =−−+ λλλ (8.29)

cu rădăcinile λ1 = 0,992; λ2 = -0,203; λ3 = -3,462. Dacă termenul liber va fi:

106,03

3 −=Δ

=I

τ (8.30)

ecuaţia canonică a suprafeţei de răspuns va fi: 106,0462,3203,0992,0 2

322

21 +=−− yXXX (8.31)

adică, în condiţia că mărimea criteriului de optimizare nu poate fi o mărime negativă, conform însăşi esenţei fizice a procesului (y > 0), suprafaţa dată este un hiperboloid cu două pânze, care aparţine grupului de suprafeţe minimax. Centrul acestei suprafeţe se găseşte în punctul S(x1s = 3,356; x2s = -0,971; x3s = -0,793), ale cărei coordonate au fost găsite prin rezolvarea sistemului de ecuaţii liniare:

,...)3,2,1(0 ==∂∂ ixy

i (8.32)

Analiza relaţiei (8.31) pune în evidenţă faptul că centrul acestei figuri se găseşte în afara domeniului cercetat şi corespunde minimului parametrului de optimizare (T). În cazul deplasării în lungul axei X1, de la centrul S, parametrul de optimizare creşte, iar în cazul deplasării în lungul axelor X2 şi X3 scade, adică devine negativ, fapt imposibil. De aceea, pentru determinarea unui extrem convenţional este necesar să se ţină seama de limitele posibile de variaţie a parametrilor geometrici ai sculei, atât din punctul de vedere al calităţii suprafeţelor prelucrate, cât şi a unei cedări mai intense de căldură din zona de aşchiere. În acest scop, se vor examina diversele secţiuni bidimensionale ale suprafeţei.

Având în vedere rezultatele analizei relaţiilor (8.27) şi (8.31), drept primă secţiune bidimensională, se va examina funcţia y = f(x2,x3), pentru

MANAGEMENTUL CERCETĂRII 195

x1 = -3, întrucât micşorarea unghiului de atac principal κ până la 150 contribuie la îmbunătăţirea cedării de temperatură din zona de aşchiere şi la creşterea calităţii suprafeţei prelucrate datorită creşterii lăţimii.

În aceste condiţii, relaţia (8.27) va căpăta forma:

23

223232 924,2685,0354,2976,2536,0227,41 xxxxxxy −−+++= (8.33)

Analiza relaţiei (8.33) conduce la concluzia că defineşte o curbă centrală nedegenerată, de ordinul doi, întrucât discriminantul grupului de termeni de ordin superior I2 = 0,618 > 0, iar discriminantul Δ2 = 28,128 > 0. Curba va avea ecuaţia:

∑=

+=k

iii Xy

1

2 τλ (8.34)

Pentru determinarea coeficienţilor caracteristici λi, ale formei pătratice a ecuaţiei (8.33), s-a rezolvat ecuaţia caracteristică:

0924,2177,1177,1685,0

=−−

−−λ

λ (8.35)

ale cărei rădăcini sunt: λ2 = -0,180 şi λ3 = -3,429. Termenul liber al ecuaţiei (8.34) este τ = 45,543. În aceste condiţii,

ecuaţia (8.33) poate fi adusă la forma canonică: 0)543,45(429,3180,0 2

322 =−+−− yXX

sau:

Fig.8.15. Diferite secţiuni ale suprafeţei de răspuns pentru:

a - x1 = -3 (κ = 150) b - x2 = +1 (α = 200) c – x3 = +1 (γ = 210)

Gh. COMAN 196

yXX −=+ 543,45429,3180,0 23

22 (8.36)

În condiţiile în care parametrul de optimizare satisface restricţia y ≤ 45,543, curba este o elipsă cu centrul în punctul S1(x2s1 = 4,105; x3s1 = 2,161), care se găseşte în afara domeniului examinat şi corespunde maximului parametrului de optimizare (T = 45,543). În cazul deplasării de la centrul S1 în lungul axelor X1 şi X2, valoarea parametrului de optimizare scade.

După substituirea în relaţia (8.36) a diverselor valori pentru durabilitatea sculei şi trasarea graficelor se o familie de elipse care reprezintă curbele de durabilitate egală, a căror analiză conduce la concluzia că odată cu creşterea unghiului de degajare γ (x3) sau a unghiului de aşezare α (x2), durabilitatea sculei creşte, figura 8.15-a. Aceasta se explică prin faptul că odată cu creşterea unghiului de degajare γ scade lucrul mecanic de deformaţie plastică a stratului de metal îndepărtat sub formă de aşchii şi se îmbunătăţesc condiţiile de aşchiere şi, de asemenea, odată cu creşterea ughiului de aşezare α scade aria de contact dintre suprafaţa de aşezare şi piesă şi ca urmare scade forţa de frecare, îmbunătăţindu-se condiţiile de lucru ale sculei. Creşterea simultană a unghiului de degajare γ şi unghiului de aşezare α, conduce la o scădere a rezistenţei plăcuţei aşchietoare, însă, întrucât forţa de aşchiere este mică, nu duce la ştirbirea muchiei tăietoare.

Pentru analiza influenţei altor parametri geometrici ai sculei, s-au trasat secţiunile bidimensionale pentru cazurile x2 = +1 (α = 200) şi x3 = +1 (γ = 210), figura 8.15-b şi figura 8.15-c.

Analiza reprezentărilor grafice din figura 8.15 permit să se recomande următoarele valori optime pentru parametrii geometrici luaţi în studiu: κopt = 150; αopt = 200; γopt = 200. Aceşti parametri geometrici asigură o durabilitate T = 43 min pentru freza cilindro-frontală, corespunzător criteriului de uzură hα = 0,1 mm, adoptat.

Dacă se impune condiţia hα = 0,3 mm, cercetările prealabile au permis să se stabilească următoarea relaţie de calcul a durabilităţii:

149,63,0

1,0T

T = (8.37)

adică, în cazul menţinerii constante a geometriei sculei aşchietoare, prin trecerea restricţiei de la hα = 0,1 mm la hα = 0,3 mm, durabilitatea sculei poate fi mărită la 265 minute.

8.5. Analiza metrologică a dispozitivelor

dinamometrice pentru măsurarea forţei de aşchiere

Deseori, examinarea proceselor tehnologice de prelucrare

mecanică, impune analiza influenţei diverşilor factori tehnologici asupra componentelor forţei de aşchiere. În acest scop se folosesc diferite aparate şi dispozitive dinamometrice la care, de regulă, variaţia deformaţiei elementelor elastice, în funcţie de forţa de aşchiere aplicată,

MANAGEMENTUL CERCETĂRII 197nu este liniară. Interpretarea liniară a indicaţiilor acestor aparate şi dispozitive, pot conduce la erori mari de evaluare a componentelor forţei de aşchiere. Eliminarea completă a acestor erori, prin perfecţionarea construcţiei aparatelor de măsură, este practic imposibilă. De aceea, s-a încercat reducerea la minim a erorii de măsurare, prin elaborarea unui model matematic, care să descrie cât mai fidel variaţia deformaţiei elementelor elastice în funcţie de forţa aplicată.

Tabelul 8.17 Domeniul de variaţie al variabilelor independente

la efectuarea experienţelor

Variabile independente Nivelul de variaţie x1(PT, N) x2(PR, N) x3(PA, N) Superior (+1) 6000 4000 5000 Nul (0) 3000 2000 2500 Inferior (-1) 0 0 0 Intervalul de variaţie 3000 2000 2500

Pentru cercetări s-a folosit un dinamometru pentru determinarea celor

trei componente ale forţei de aşchiere la frezarea cilindro-frontală, cu traductori rezistivi. Drept variabile independente s-au considerat forţele x1, x2 şi x3, aplicate pe direcţiile de acţionare a componentelor: PT – tangenţială; PR – radială; PA – axială, ale forţei de aşchiere. Nivele de variaţie şi intervalele acestora se prezintă în tabelul 8.17. Drept funcţie de răspuns s-au considerat indicaţiile unui aparat de înregistrare secundar (miliampermetru), pentru fiecare componentă a forţei de aşchiere: y1, y2 şi y3.

Pentru scoaterea în evidenţă a interacţiunii existente dintre componentele măsurate ale forţei de aşchiere, s-a întocmit un plan de experiment factorial complet (EFC) de tipul 23, a cărei matrice de lucru se prezintă în tabelul 8.18. Fiecare serie de experienţe s-a dublat de trei ori, nu = 3.

În conformitate cu rezultatele experienţelor s-au apreciat coeficienţii de regresie şi s-au determinat modelele matematice iniţiale pentru fiecare componentă a forţei de aşchiere:

3213231

213211

025,0025,0025,0025,0675,0275,0875,39775,40

xxxxxxxxxxxxy

−+++−+++=

(8.38)

3213231

213212

025,0050,0025,0025,0400,0150,36425,0000,37

xxxxxxxxxxxxy

−+++−+++=

(8.39)

3121

3213

025,0025,0375,25375,0600,0400,26

xxxxxxxy

+−−+++=

(8.40)

Gh.

CO

MA

N

198

Ta

belu

l 8.1

8 M

atric

ea d

e lu

cru

a pl

anul

ui E

FC d

e tip

ul 2

3

Fu

ncţii

de

răsp

uns

Nr.

serie

i de

expe

rienţ

e,

u x 0

x 1

x 2

x 3

x 1

x 2

x 1x 3

x 2

x 3

x 1x 2

x 3

⎯yu1

⎯y

u2

⎯yu3

1 +1

-1

-1

-1

+1

+1

+1

-1

0,

0 0,

0 0,

0 2

+1

-1

-1

+1

+1

-1

-1

+1

1,2

0,9

50,8

3

+1

-1

+1

-1

-1

+1

-1

+1

0,5

72,4

0,

8 4

+1

-1

+1

+1

-1

-1

+1

-1

1,9

73,0

51

,6

5 +1

+1

-1

-1

-1

-1

+1

+1

79

,7

0,8

1,3

6 +1

+1

-1

+1

-1

+1

-1

-1

81

,1

1,7

52,0

7

+1

+1

+1

-1

+1

-1

-1

-1

80,2

73

,2

2,0

8 +1

+1

+1

+1

+1

+1

+1

+1

81

,6

74,0

52

,7

9 +1

0

0 0

0 0

0 0

40,9

3 36

,82

26,5

6

MANAGEMENTUL CERCETĂRII 199În urma analizei statistice a ecuaţiilor (8.38), (8.39) şi (8.40), s-a

stabilit (tabelul 8.19) că dispersiile pentru fiecare serie de experienţe sunt omogene, întrucât G < Gtab = 0,516, la nivelul de semnificaţie α = 0,05, numărul gradelor de libertate f = n – 1 = 2 şi numărul de date experimentale N = 8. Coeficienţii b12, b13, b23 şi b123 nu sunt semnificativi, fiind mai mici decât intervalul de încredere Δbi, pentru coeficienţii ecuaţiilor examinate. În acest caz, ecuaţiile (8.38), (8.39) şi (8.40) devin:

3211 675,0275,0875,39775,40ˆ xxxy +++= (8.41)

3212 400,0150,36425,0000,37ˆ xxxy +++= (8.42)

3213 375,25375,0600,0400,26ˆ xxxy +++= (8.43) Tabelul 8.19

Valorile parametrilor analizei statistice ale modelului de ordinul unu

Valorile parametrilor pentru modele

Parametrul analizei statistice

Nr.de ordine

al relaţiei din text

y1 y2 y3

Criteriul lui Cochran G (5.19) 0,319 0,255 0,383 Dispersia erorii experienţei 2

Ds (7.23) 0,1412 0,1813 0,1612 Dispersia erorii de determinare a coeficienţilor de regresie

2ibs (7.72) 0,00588 0,00755 0,00672

Intervalele de încredere pentru coeficienţii de regresie

±Δbi (5.39) 0,1626 0,1843 0,1737

Dispersia care caracterizează adecuanţa modelului matematic

2Es (5.32) 0,0150 0,0263 0,0075

Criteriul lui Fischer F (5.33) 0,106 0,145 0,047 Criteriul t al lui Student t (7.29) 2,02 2,07 1,95

Ipoteza că ecuaţiile (8.41), (8.42) şi (8.43) sunt adecuate este justă

întrucât F < Ftab = 3,01, pentru α = 0,05, fE = N – K’ = 4, fD = N(n – 1) = 16 şi t < ttab = 2,12 pentru α = 0,05 şi fD = N(n – 1) = 16.

Analiza ecuaţiilor (8.41), (8.42) şi (8.43) conduc la concluzia că asupra indicaţiilor operaţiilor secundare de măsură individuală a componentelor forţelor de aşchiere acţionează şi celelalte componente ale forţei de aşchiere. Ca urmare, la descifrarea oscilografelor forţelor trebuie ţinut seama de aceste influenţe.

Dacă în ecuaţiile (8.41), (8.42) şi (8.43) se înlocuiesc valorile de cod ale variabilelor independente x1, x2 şi x3 prin cele naturale:

i

iii P

PPxΔ−

= 0

se obţin dependenţele pentru determinarea indicaţiilor aparatelor secundare de măsură, sub forma:

Gh. COMAN 200

ART PPPy 00027,000014,001330,01 ++= (8.44)

ART PPPy 00016,001800,000014,02 ++= (8.45)

ART PPPy 01010,000019,000020,03 ++= (8.46) Rezolvând sistemul de ecuaţii (8.44), (8.45) şi (8.46) se determină

dependenţa dintre fiecare componentă a forţei de aşchiere şi indicaţiile aparatelor secundare de măsură a acestora:

321 20,180,081,76 yyyPT −−= (8.47)

321 87,060,5558,0 yyyPR −+−= (8.48)

321 05,9903,151,1 yyyPA +−−= (8.49) Metodologia de cercetare prezentată mai sus pune în evidenţă

posibilităţile de creştere a preciziei determinării componentelor forţei de aşchiere, chiar în cazul existenţei unei influenţe reciproce a aparatelor indicatoare.

8.6. Influenţa regimului de aşchiere asupra

rugozităţii de suprafaţă La prelucrarea prin aşchiere a materialelor apar o serie de dificultăţi

determinate de formarea tăişului de adaos, variaţii ale durităţii materialului etc., care conduc la înrăutăţirea calităţii suprafeţelor prelucrate şi, deci, la reducerea durabilităţii în exploatare a pieselor respective.

Pentru creşterea calităţii suprafeţelor prelucrate prin aşchiere este necesar să se optimizeze procesul prelucrării mecanice, printr-o alegere corectă, atât a regimurilor de aşchiere, cât şi a parametrilor geometrici ai sculelor aşchietoare.

Se va considera, spere exemplu de optimizare a condiţiilor de prelucrare din punctul de vedere al calităţii de suprafaţă rezultată, frezarea cilindr-o frontală.

Cercetările preliminare ale influenţei metodei de prelucrare mecanică şi a regimului de aşchiere asupra calităţii pieselor prelucrate, au demonstrat că, frezarea cilindro-frontală, la prelucrarea suprafeţelor plane, este una din formele cele mai productive de prelucrare mecanică şi asigură calitatea necesară a pieselor respective.

Cu toate acestea, creşterea parametrilor regimului de aşchiere t – adâncimea de aşchiere, v – viteza de aşchiere şi sZ – avansul pe dinte, pentru creşterea productivităţii lucrului, conduc la o creştere însemnată a forţei de aşchiere şi implicit a deformaţiilor stratului superficial, cu o reducere considerabilă a calităţii pieselor prelucrate. Din aceste motive, cercetarea acestui proces de prelucrare mecanică este necesară, cu concretizarea unor date certe privind o combinare corespunzătoare a parametrilor de lucru, având drept consecinţă atât creşterea productivităţii muncii, cât şi a calităţii pieselor prelucrate.

Un criteriu pentru optimizarea combinaţiei parametrilor regimului de aşchiere îl poate constitui rugozitatea suprafeţei prelucrate.

MA

NA

GE

ME

NTU

L C

ERC

ETĂ

RII

201

Tabe

lul 8

.20

M

atric

ea d

e lu

cru

pent

ru u

n pl

an E

FC d

e tip

ul 2

3

Nr.

serie

i de

expe

rienţ

e z 0

z 1

z 2

z 3

z 1

z 2

z 1z 3

z 2

z 3

z 1z 2

z 3

y u

(logR

z)

uy

2 )ˆ

(u

uy

y−

1 +1

-1

-1

-1

+1

+1

+1

-1

1,

3292

2 1,

3437

4 0,

0002

1 2

+1

+1

-1

-1

-1

-1

+1

+1

1,38

289

1,37

282

0,00

010

3 +1

-1

+1

-1

-1

+1

-1

+1

1,

8270

3 1,

8316

0 0,

0000

2 4

+1

+1

+1

-1

+1

-1

-1

-1

1,78

880

1,80

252

0,00

019

5 +1

-1

-1

+1

+1

-1

-1

+1

1,

3588

3 1,

3437

4 0,

0002

3 6

+1

+1

-1

+1

-1

+1

-1

-1

1,36

221

1,37

282

0,00

011

7 +1

-1

+1

+1

-1

-1

+1

-1

1,

8367

2 1,

8316

0 0,

0000

3 8

+1

+1

+1

+1

+1

+1

+1

+1

1,81

569

1,80

252

0,00

017

Gh. COMAN 202

În prima etapă de cercetare a influenţei parametrilor regimului de aşchiere asupra productivităţii şi calităţii pieselor prelucrate a constituit-o întocmirea unui plan de experienţe EFC de tipul 23, luându-se drept variabile independente parametrii regimului de aşchiere: t – adâncimea de aşchiere, v – viteza de aşchiere şi sZ – avansul pe dinte, tabelul 8.20.

Deoarece în cazul unui diametru constant al unei freze cilindro-frontale D = 720 mm şi a reglării în trepte a turaţiilor şi avansurilor pe o maşină de frezat vertical normală, este imposibilă menţinerea unor intervale de variaţie constante, ale variabilelor independente, în mărimi absolute, la planificarea experimentului a fost necesară trecerea la logaritmii acestor variabile.

În virtutea unor informaţii apriorice şi a rezultatelor experienţelor preliminare s-au ales nivelele şi intervalele de variaţie pentru fiecare variabilă independentă, tabelul 8.21.

Tabelul 8.21 Domeniul de variaţie al variabilelor independente la

efectuarea experimentelor

Variabile independente şi logaritmii lor Nivelul de variaţie 1

~x (v, m/s)

x1(logv) 2~x (sz, mm)

x2(logsz) 3~x (t, mm)

x3(logt)

Puncte stelare (+1,682) 19,315 1,28590 0,432 ⎯1,63528 0,442 ⎯1,64495 Superior (+1) 14,130 1,15015 0,316 ⎯1,49944 0,378 ⎯1,57690 Nul (0) 8,937 0,95110 0,201 ⎯1,30320 0,300 ⎯1,47712 Inferior (-1) 5,650 0,75205 0,128 ⎯1,10696 0,238 ⎯1,37744 Puncte stelare (-1,682) 4,133 0,61630 0,094 ⎯2,97112 0,204 ⎯1,30929 Intervalul de variaţie - 0,19905 - 0,19624 - 0,09978

Încercările au fost efectuate pe o maşină de frezat vertical normală,

cu o freză cilindro-frontală cu un singur dinte, cu cuţite ataşabile (amovibile) din oţel rapid Rp3, care au avut o geometrie constantă a muchii aşchietoare cu unghiul de degajare γ = 260, unghiul de atac principal κ = 250, unghiul de înclinare a tăişului λ = 180, unghiul de atac secundar κ1 = 120 şi unghiul de aşezare α = 100, care corespund optimului.

Înălţimea microneregularităţilor suprafeţelor prelucrate s-a determinat cu ajutorul unui profilograf tip Talysurf.

Experienţele preliminare au demonstrat că dispersiile care caracterizează împrăştierea rezultatelor din fiecare serie de experienţe pot fi considerate omogene şi, din această cauză, pentru determinarea dispersiei erorii experienţei, este suficient să se efectueze o serie de experienţe paralele, într-un singur punct (n0 = 6) la nivelul de zero al tuturor variabilelor, tabelul 8.22. Verificarea ipotezei distribuţiei normale a variabilei dependente y din această serie de experienţe a confirmat legitatea acesteia, deoarece la un nivel de încredere α = 0,02 şi n0 = 6, criteriul wn = 0,775 > wtab = 0,743.

MA

NA

GE

ME

NTU

L C

ERC

ETĂ

RII

203

Tabe

lul 8

.22

Mat

ricea

de

lucr

u a

unui

pla

n ro

tabi

l, un

iform

cen

tral d

e co

mpo

ziţie

, de

ordi

nul d

oi

N

r. se

riei d

e ex

perie

nţe

u

x 0

z 0

x 1

z 1

x 2

z 2

x 3

z 3

2 1x

2 1z

2 2x

2 2z

2 3x

2 3z

x 1x 2

z 1

z 2

x 1x 3

z 1

z 3

x 2x 3

z 2

z 3

y u

log

Rz

uy

2 )ˆ

(u

uy

y−

1 +1

-1

-1

-1

+1

+1

+1

+1

+1

+1

1,

3292

2 1,

3362

7 0,

0000

5 2

+1

+1

-1

-1

+1

+1

+1

-1

-1

+1

1,38

289

1,36

535

0,00

031

3 +1

-1

+1

-1

+1

+1

+1

-1

+1

-1

1,

8270

3 1,

8125

5 0,

0002

1 4

+1

+1

+1

-1

+1

+1

+1

+1

-1

-1

1,78

880

1,78

347

0,00

003

5 +1

-1

-1

+1

+1

+1

+1

+1

-1

-1

1,

3588

3 1,

3362

7 0,

0005

1 6

+1

+1

-1

+1

+1

+1

+1

-1

+1

-1

1,36

221

1,36

535

0,00

001

7 +1

-1

+1

+1

+1

+1

+1

-1

-1

+1

1,

8367

2 1,

8125

5 0,

0005

8 8

+1

+1

+1

+1

+1

+1

+1

+1

+1

+1

1,81

569

1,78

347

0,00

104

Gh.

CO

MA

N

204

Ta

belu

l 8.2

2 (c

ontin

uare

) 9

+1

+1,6

82

0 0

2,82

8 0

0 0

0 0

1,61

038

1,59

528

0,00

023

10

+1

-1,6

82

0 0

2,82

8 0

0 0

0 0

1,62

734

1,59

588

0,00

103

11

+1

0 +1

,682

0 0

2,82

8 0

0 0

0 1,

9339

3 1,

9378

1 0,

0000

2 12

+1

0

-1,6

82

0 0

2,82

8 0

0 0

0 1,

2093

5 1,

1856

1 0,

0005

6 13

+1

0

0 +1

,682

0 0

2,82

8 0

0 0

1,64

759

1,61

042

0,00

138

14

+1

0 0

-1,6

82

0 0

2,82

8 0

0 0

1,60

155

1,58

014

0,00

046

15

+1

0 0

0 0

0 0

0 0

0 1,

5743

8 16

+1

0

0 0

0 0

0 0

0 0

1,60

074

17

+1

0 0

0 0

0 0

0 0

0 1,

6024

4 18

+1

0

0 0

0 0

0 0

0 0

1,58

445

19

+1

0 0

0 0

0 0

0 0

0 1,

6012

1 20

+1

0

0 0

0 0

0 0

0 0

1,60

281

1,59

528

0,00

0005

MANAGEMENTUL CERCETĂRII 205 Conform rezultatelor tuturor seriilor de experienţe s-au determinat coeficienţii regresiei şi modelul matematic:

3213231

21321

00844,000471,000414,001454,000569,023939,000028,058767,1

zzzzzzzzzzzzy

++−−−++−=

(8.50)

Datorită rezultatelor analizei statistice a ecuaţiei (8.50) s-a stabilit (tabelul 8.23) că coeficienţii b1, b3, b13, b123 nu sunt semnificativi deoarece ei sunt mai mici decât intervalul de încredere Δbi, pentru coeficienţii regresiei acestei ecuaţii. Din această cauză, relaţia (8.50) poate fi scrisă sub forma:

212 01454,023939,058767,1ˆ zzzy −+= (8.51) Pe lângă această ipoteză, în virtutea căreia ecuaţia (8.50) este

adecuată, ea nu poate fi considerată corectă, întrucât a devenit semnificativ coeficientul de pe lângă efectul de interacţiune z1z2 şi valoarea calculată a criteriului F este mai mare decât cea tabelară Ftab = 5,05, la nivelul de încredere α = 0,05 şi fD = fE = 5.

Ţinând cont de restricţiile la care sunt supuse variabilele independente t, sz, v, în urma încercărilor preliminare, în etapa următoare nu s-a trecut la căutarea domeniului de optim prin metoda ascensiunii rapide, ci la descrierea procesului dat printr-o ecuaţie de ordinul doi.

Pentru aceasta, s-a utilizat un plan rotabil uniform central de compoziţie, care prevede efectuarea unor experienţe suplimentare în punctele stelare, tabelul 8.21.

Tabelul 8.22 Valorile parametrilor analizei statistice ale modelului

de ordinul unu

Parametrii analizei statistice

Nr. de ordine al

relaţiei din text

Valoarea parametrului

Criteriul pentru verificarea ipotezei de normalitate, wi, testul Shapiro-Wilk (5.18) 0,775

Dispersia erorii experienţei, 2Ds (7.23) 0,000145

Dispersia erorii de determinare a

coeficienţilor de regresie, 2ibs

(7.27) 0,000018

Intervalul de încredere pentru coeficienţii de regresie Δbi

(7.28) 0,01092

Dispersia care caracterizează adecuanţa

modelului matematic, 2Es

(5.32) 0,00106

Criteriul F al lui Fischer (5.33) 7,31 Criteriul t al lui Student (7.29) 1,57

Gh. COMAN 206

Tabelul 8.23

Valorile parametrilor analizei statistice ale modelului de ordinul doi

Parametrul analizei statistice Nr.de ordine al relaţiei din text

Valoarea parametrului

Dispersia erorii experienţei 2Ds (7.23) 0,000145 20bs (7.71) 0,000024

2ibs (7.72) 0,000011

2jibs (7.73) 0,000018

Dispersia erorii de determinare a coeficienţilor de regresie

2iibs (7.74) 0,000010

Δb0 (5.39) 0,01262 Δbi (5.39) 0,00838 Δbij (5.39) 0,01095

Intervalele de încredere pentru coeficienţii de regresie

Δbii (5.39) 0,00815 Dispersia care caracterizează adecuanţa modelului matematic

2Es (5.32) 0,000642

Criteriul lui Fischer F (5.33) 4,42 Geometria părţii aşchietoare a sculei şi condiţiile de efectuare a

celei de a doua serie de experienţe au rămas neschimbate. Matricea de lucru a planificării experimentului se prezintă în tabelul 8.20.

În baza prelucrării acestor date s-au determinat coeficienţii regresiei ecuaţiei de ordinul doi:

23

22

213231

21321

00684,001187,000482,000471,000414,0

01454,000900,022360,000240,059528,1

zzzzzzz

zzzzzy

+−++−

−−++−= (8.52)

În urma analizei statistice a ecuaţiei (8.52) s-a stabilit (tabelul 8.23) că coeficienţii b1, b13, b23, b11 şi b33 nu sunt semnificativi întrucât ei sunt mai mici decât intervalele de încredere. În acest caz, relaţia (8.52) va căpăta forma:

222132 01187,001454,000900,022360,059528,1ˆ zzzzzy −−++= (8.53)

Se poate considera că relaţia (8.53) descrie în mod adecvat rezultatele experimentului, deoarece la nivelul de semnificaţie α = 0,05, fD = 5, fE = 10, F < Ftab = 4,735.

După determinarea modelului adecvat, continuarea cercetării suprafeţei de răspuns este orientată la determinarea tipului suprafeţei şi determinarea ecuaţiei acesteia sub formă canonică. Pentru acesta se determină discriminantul grupei termenilor superiori ecuaţiei (8.53):

00001187,000727,0000727,00

3 −−−

=I

MANAGEMENTUL CERCETĂRII 207şi discriminantul acestei ecuaţii:

23 )00450,000727,0(

59528,100450,011180,0000450,000011180,0001187,000727,0

0000727,00

×=

−

−−−

=Δ

y

Întrucât I3 = 0, iar Δ3 ≠ 0, suprafaţa dată este necentrală şi este

descrisă de ecuaţia:

11

2 ..2. +=

+= ∑ r

l

iii XXy μλ

Pentru determinarea valorilor caracteristice λi a formei pătratice a ecuaţiei (8.53) se formează ecuaţia caracteristică:

000

0001187,000727,0000727,0

=−

−−−−−

λλ

λ

sau:

000727,001187,0 23 =−+ λλλ ale cărei rădăcini sunt: λ1 = 0,00346; λ2 = -0,01533; λ3 = 0.

Pentru fiecare valoare a lui λi corespunde un vector care satisface sistemul de ecuaţii:

⎪⎭

⎪⎬

⎫

=−+=++−−

=+−−

0..0.00.0).01187,0(.00727,0

0.0.00727,0.

nmlnml

nml

i

i

i

λλ

λ

(8.54)

Substituind valorile lui λi în sistemul (8.54) se obţin soluţiile nenule ale acestui sistem pentru: λ1 = 0,00346, l = 1, m = - 0,47508, n = 0 (vectorul a1); λ2 = -0,01533, l = 0,47508, m = 1, n = 0 (vectorul a2); λ3 = 0, l = 0, m = 0, n = 1 (vectorul a3).

După normarea acestor soluţii se obţin expresiile vectorilor pentru trei direcţii principale:

{ } { } { }{ } { } { }{ } { } { }1;0;0;;,,'

;0;90325,0;42912,0;;,,';0;42912,0;90325,0;;,,'

333333

222222

111111

======

−===

μμμμμμ

μμμ

nmlnmlknmlnmlj

nmlnmli

unde:

222

1nml

i++

±=μ

Verificarea vectorilor unitari determinaţi a demonstrat că ei sunt perpendiculari doi câte doi şi păstrează vechea orientare a bazei

Gh. COMAN 208

coordonatelor. Din această cauză, formulele de transformare a coordonatelor pot şi scrise în felul următor:

⎪⎭

⎪⎬

⎫

=

+−=

+=

'33

'2

'12

'2

'11

90325,042912,042912,090325,0

zz

zzzzzz

Utilizând aceste formule de transformare, se vor transcrie coeficienţii ecuaţiei (8.53) în noul sistem de coordonate:

59528,100900,020197,009595,059528,100900,022360,0

321

32

+++−==++

zzzzz

În acest caz, ecuaţia suprafeţei de răspuns, în noul sistem de coordonate, va fi:

59528,100900,020197,009595,001533,000346,0ˆ

'3

'2

'1

2'2

2'1

+++

+−−=

zz

zzzy

sau, după anumite transformări:

)25333,177(00900,0

)58741,6(01533,0)86561,13(00346,0ˆ'3

2'2

2'1

++

+−−−=

z

zzy

Fig.8.16. Secţiune bidimensională a suprafeţei de răspuns pentru z3 = 0

(t = 0,3 mm)

Fig.8.17.Secţiune bidimensională a suprafeţei de răspuns pentru

z1 = 2 (v = 22,35 m/s)

MANAGEMENTUL CERCETĂRII 209Efectuând o translaţie paralelă a axelor în noul sistem de

coordonate rezultă:

322

21 00900,001533,000346,0ˆ ZZZy +−=

Această ecuaţie este un paraboloid hiperbolic şi aparţine grupei de suprafeţe minimax.

La căutarea extremului condiţionat trebuie să ţinem cont, în cazul de faţă, de limitele admisibile de variaţie ale regimurilor de aşchiere, stabilite la efectuarea experimentelor preliminare. Din această cauză, pentru studierea acestei suprafeţe de răspuns, în domeniul experimentului, se vor construi secţiunile ei bidimensionale cu liniile de contur, care corespund anumitor valori ale criteriului de optimizare.

Considerând Z3 = 0, adică adâncimea de aşchiere t = 0,3 mm, ecuaţia (8.53) poate fi scrisă sub forma:

22212 01187,001454,022360,059528,1ˆ zzzzy −−+= (8.55)

Deoarece discriminantul grupei termenilor superiori ai formei

pătratice ai acestei ecuaţii este mai mic decât zero (I2 = -0,00727), curba y reprezintă, în acest caz, o hiperbolă cu centrul în punctul S(z1s=15,37827; z2s = 0), care se găseşte în afara zonei experimentului.

Rezolvarea ecuaţiei caracteristice a formei pătratice (8.55) conduce la aflarea rădăcinilor acesteia: λ1 = 0,00346; λ2 = -0,01533. Cosinusurile unghiurilor de rotire a axelor de coordonate (l1 = 0,90325; m1 = -0,42912; l2 = 0,42912; m2 = 0,90325) şi astfel ecuaţia (8.55) se poate scrie sub forma:

22

21 01533,000346,059529,1ˆ ZZy −=− (8.56)

După substituirea diverselor valori ale înălţimilor microneregularităţilor

y (log Rz) în relaţia (8.56) şi construirea secţiunii bidimensionale a suprafeţei de răspuns, s-a obţinut o familie de curbe care reprezintă curbele cu aceeaşi rugozitate, figura 8.16. S-a stabilit că ele reprezintă o familie de hiperbole cu asimptotele Z1 = ±2,10495.Z2.

Pentru valorile y > 1,59528 hiperbolele sunt simetrice faţă de axa Z2 şi în cazul deplasării de-a lungul acestea de la centrul secţiunii S valorile parametrului y cresc.

Pentru y < 1,59528 hiperbolele sunt simetrice faţă de axa Z2 şi în cazul deplasării de-a lungul acesteia de la centrul secţiunii S, parametrul de optimizare scade.

În mod analog a fost construită şi cea de a doua secţiune bidimensională, figura 8.17, care permite alegerea parametrilor necesari ai regimului de aşchiere pentru obţinerea rugozităţii, adică o nomogramă destinată acestui scop. Astfel, creşterea avansului la prelucrarea materialelor metalice cu duritate redusă, duce la înrăutăţirea calităţii suprafeţei prelucrate.

Gh. COMAN 210

Adâncimea şi viteza de aşchiere nu influenţează decât în mică măsură rugozitatea suprafeţelor prelucrate.

La creşterea avansului de prelucrare peste 0,3 mm/dinte, se poate observa o scădere a rugozităţii fapt ce conduce la o scădere a durabilităţii în exploatare a pieselor de maşini respective.

Viteza de aşchiere nu trebuie să depăşească 20 m/s deoarece pot apare insule de metal topit şi vibraţii.

CAP.9. STRATEGII PRACTICE DE UTILIZARE A METODELOR DE

PLANIFICARE A EXPERIMENTELOR

9.1.Experimente monofactoriale. Experimente de bloc complet

aleatorizate Se presupune că trebuie efectuat un experiment în scopul

comparării a t procedee de realizare a unei activităţi pentru care, în total, se realizează N experienţe, cu câte r experienţe la fiecare procedeu, respectându-se condiţia:

N = r.t În care r, evident, este un număr întreg.

Cele N experienţe se divid pe r blocuri, compuse fiecare cu câte t experienţe, procedeele de prelucrare repartizându-se astfel încât fiecare din ele să se întâlnească o singură dată în cadrul unui bloc. Deci, cele r experienţe coincid cu numărul de blocuri, iar procedeele t coincid cu numărul de experienţe dintr-un bloc.

Se va considera un exemplu. Se presupune că un colectiv de cercetare este preocupat de a determina rezistenţa la uzură a patru mărci pentru plăcuţe aşchietoare din aliaje dure, metaloceramice. Se ia în considerare uzura dimensională pentru un drum parcurs de 2000 m de către vârful sculei în contact cu materialul de prelucrat.

Se vor nota mărcile de aliaje dure cu literele A, B, C şi D. Aşchierea se face prin strunjire pe patru strunguri normale, de acelaşi tip, marcate cu I, II, III şi IV.

Dacă, de exemplu, toate plăcuţele de tipul A se vor încerca pe strungul I, tipul B pe strungul II, tipul C pe strungul III şi tipul D pe strungul IV, s-ar obţine un plan complet mixt şi nu aleatorizat. În cazul unui asemenea plan nu se pot discerne efectele strungurilor de cele ale mărcilor plăcuţelor din aliaje dure. Planul aleatorizat prezintă, de fapt, interesul major în cercetarea întreprinsă.

În cazul întocmirii unui plan complet aleatorizat, distribuţia celor 16 plăcuţe între strunguri, în scopul încercării, s-ar face cu totul întâmplătoare. În acest caz, este posibil, ca de exemplu, marca C să nu fie niciodată încercată pe strungul II, marca A pe strungul IV etc. Rezultă în acest fel ca eroarea întâmplătoare să nu fie o eroare a experimentului, ci să cuprindă deosebirile dintre strunguri. Astfel, deşi un plan complet aleatorizat mediază efectele care se datorează strungurilor, el nu elimină influenţa deosebirilor dintre strunguri.

În continuare, se va considera un exemplu simplu, pentru a pune în evidenţă esenţa planificării de bloc complet aleatorizate.

Planul, în cadrul căruia se satisface condiţia ca fiecare marcă să fie încercată, o singură dată pe fiecare strung, poartă denumirea de planificare de bloc, complet aleatorizate, tabelul 9.1.

Gh. COMAN 212

Tabelul 9.1 Planificarea de bloc complet aleatorizate

Strungul I II III IV

B(62) D(65) A(75) C(55) C(65) C(65) B(70) D(55) A(70) B(62) D(65) B(52)

Distribuţia mărcilor (în paranteze se dă valoarea uzurii dimensionale) D(75) A(62) C(60) A(75)

Prin acest plan, prezentat în tabelul 9.1, se asigură un mediu mai

omogen pentru încercarea celor patru mărci de plăcuţe aşchietoare şi permite să se facă o comparaţie între mărci.

Grupările realizate în tabelul 9.1, întocmite astfel din motive de omogenitate, poartă denumirea de blocuri, iar aleatorizarea se face în interiorul blocurilor. Modelul matematic al unei planificări de bloc aleatorizate este de forma:

Xij = m + Bi + Tj + εij (9.1) în care Bi este efectul interblocuri; Tj – efectul mărcilor plăcuţelor aşchietoare.

Analiza modelului (9.1) este o analiză dispersională bifactorială, deoarece se pot separa efectul interblocuri şi factorul care interesează şi care este marca plăcuţelor aşchietoare. Pentru concretizare, se va considera că plăcuţele, cu mărcile menţionate, au o uzură dimensională conform cu cea din tabelul 9.1. Dacă se scade din toate valorile menţionate mărimea 65, rezultă datele din tabelul 9.2.

Tabelul 9.2 Datele experimentale modificate

Marca plăcuţei aşchietoare Strungul A B C D T•j

I 5 -3 0 10 12 II -3 -3 0 0 -6 III 10 5 -5 0 10 IV 10 -13 -10 -10 -23 T•j 22 -14 -15 0 T•• = -7

∑=

4

1

2

ijiX 234 212 125 200 ∑∑

= =

4

1

4

1

2

i jjiX =771

În acest caz, suma comună a pătratelor se calculează după

principiile prezentate în cap.4:

∑∑= =

•• =−=−=4

1

4

1

22 9,7671,3771

i jij N

TXSS

Suma pătratelor pentru mărcile plăcuţelor aşchietoare se determină cu expresia:

( ) 1,223167

4905 224

1

2

=−

−=−= ••

=

•∑ NT

nT

SSj

jT

MANAGEMENTUL CERCETĂRII 213

Suma pătratelor pentru strunguri:

1,19924

1

2

=−= ••

=

•∑ NT

nTSS

i

iB

Suma pătratelor pentru erori: 7,3451,1991,2239,767 =−−=−−= BT SSSSSSSSε

Rezultatele analizei dispersionale pentru o planificare de bloc complet aleatorizate, pentru studiul mărcilor plăcuţelor aşchietoare, se prezintă în tabelul 9.3.

Tabelul 9.3 Rezultatele analizei dispersionale

Sursa de variabilitate

Grade de libertate

Suma pătratelor

Pătrat mediu

Speranţa matematică a pătratelor

medii Mărci (T) r-1=3 223,1 74,4 22 4 Te σσ +

Strunguri (B) r-1=3 199,1 66,4 22 4 Be σσ +

Erori (e) (r-1)(t-1)=9 345,7 38,4 2eσ

Suma 15 767,9 Pentru verificarea ipotezei H0: m•1 = m•2 = m•3 = m•4, F – raportul

va fi: F3/9 = 74,4/38,4 = 1,94 ceea ce depăşeşte cu puţin valoarea critică corespunzătoare a lui F pentru nivelul gradului de încredere de 1%.

Prin urmare, ipoteza asupra egalităţii valorilor medii, în ceea ce priveşte mărcile plăcuţelor aşchietoare nu se infirmă.

De asemenea, se poate verifica ipoteza că uzura medie pentru cele patru strunguri este egală între ele. H1: m1• = m2• = m3• = m4• şi F3/9 = 66,4/38,4 = 1,73. În consecinţă, această ipoteză nu se infirmă, deoarece uzurile medii sunt diferite pentru cele patru strunguri.

Se pot da, desigur, şi alte exemple, ca de pildă influenţa acţiunii mediului înconjurător asupra indicilor de durificare a suprafeţei prelucrate, verificarea acţiunii diverselor procedee de fixare asupra componentelor forţelor de aşchiere etc.

În cazul acestor exemple, blocurile sunt respectiv indicatorii de durificare, componentele forţelor de aşchiere şi nivelele factorilor care prezintă interes, pot fi aleatorizate, în interiorul fiecărui bloc.

Analiza planurilor bloc aleatorizate se poate realiza utilizând criteriul comun al regresiei gradului de importanţă prezentat în cap.5. Singura deosebire constă în aceea că se iau n sume şi k variante de încercare, se formează n + k + 1 ecuaţii normale cu n + k + 1 necunoscute.

După cum s-a menţionat anterior, pentru blocurile aleatorizate modelul matematic este următorul:

Xij = m + Bi + Tj + εij

Gh. COMAN 214

Cu toate acestea, cele mai bune aprecieri se obţin cu ajutorul metodei celor mai mici pătrate:

xij = m + bi + tj + eij, i = 1, 2,..,n; j = 1, 2,…,k

Aplicând această metodă la tabelul 9.3 se obţin următoarele ecuaţii normale:

44432140344321415

244321414144321422

432144423432134410432124464321144124434241444342414167

tbbbbmtbbbbm

tbbbbmtbbbbm

ttttbmttttbmttttbmttttbmttttbbbbm

+++++=+++++=−

+++++=−+++++=

+++++=−+++++=+++++=−+++++=++++++++=−

(9.2)

Datorită faptului că 04

1

4

1

== ∑∑== j

ji

i tb , se obţin următoarele soluţii:

43,044018,4441593,34414

07,5442218,64423

07,2441093,1446

57,24

4124412

43,0167167

44

33

22

11

44

33

22

11

−=+=−=+=−−=+=−

=+=−=+=−

=+=−=+=−

=−

=+=

−=−==−

ttmttmttmttmbbmbbmbbm

mbbm

mm

SSreg(m,bi,tj) = (-7)(-0,43)+12.2,57+(-6)(-1,93)+10.2,07+(-23)(-6,18)+ +22.5,07+(-14)(-3,93)+(-15)(-4,18)+(0)(-2,93) = 422,2

∑∑= =

=−=4

1

4

1

2 7,345),,(i

jiregj

ijer tbmSSXSS

SSreg(m,tj) = (-7)(-0,43)+22.5,07+(-14)(-3,93)+(-15)(-4,18)+ + 0.(-2,93) = 223,1

Din cele de mai sus rezultă: SSîncerc = SSreg(m,bi,tj) – SSreg(m,tj) = 199,1

MANAGEMENTUL CERCETĂRII 215

SSer, SSîncerc, şi SSbloc, respectiv corespund cu valorile din tabelul 9.3 (345,7)-(223,1) şi (199,1). Dacă în cazul unui plan-bloc aleatorizat se pierde una din observaţii (de exemplu, spargerea uneia din plăcuţele aşchietoare) atunci:

a. în cazul unei planificări complet aleatorizate de bloc, analiza dispersională se efectuează pentru nj diferiţi;

b. în cazul unei analize bifactoriale, aceasta denotă pierderea ortogonalităţii întrucât:

∑ ≠ 0jt şi ∑ ≠ 0ib În cazul în care una sau mai multe observaţii au fost omise,

operaţiunile obişnuite se înlocuiesc prin asemenea operaţiuni, care să minimizeze suma pătratelor erorilor. Pentru exemplu se citează exemplul de mai sus.

Să presupunem că plăcuţa aşchietoare C s-a rupt înainte ca cuţitul să parcurgă traseul de 20 km. Rezultatele sunt menţionate în tabelul 9.4, iar în locul acestei mărimi necunoscute s-a introdus mărimea y.

Aşa cum s-a specificat: SSer = SS - SSîncerc - SSbloc =

=nkT

kT

nT

Xk

i

ik

i

n

j

n

j

jij

2

1

2

1 1 1

22 ••

=

•

= = =

• +−− ∑∑∑ ∑

Tabelul 9.4 Tabel de calcul

Marca plăcuţei aşchietoare Strungul A B C D Ti

I 5 -3 0 10 12 II -3 -3 0 0 -6 III 10 5 y 0 15+y IV 10 -13 -10 -10 -23 Tj 22 -14 -10 0 T••= y-2

Pentru exemplul considerat:

SSer = 52 + (-3)2 +102 +…+y2 +…(-10)2 –

- 16

)2(4

)23()15()6(124

)10()14(22 22222222 −+

−+++−+−

−+−+ yyy

Pentru a determina valoarea lui y, care minimizează această expresie, se poate calcula derivata în raport cu y şi să fie egalată cu zero.

Întrucât derivatele constantelor sunt nule, vom avea:

016

)2(24

)15(24

)10(22 =−

++

−−

−=yyyySS

dyd

er

După rezolvarea acestei ecuaţii, rezultă y = 2,44 şi se va adopta pentru cazul considerat y = 2.

Substituind în locul lui y valoarea 2, în tabelul 9.4, se poate efectua analiza dispersională şi aprecia neconcordanţa dintre SSer cu valoarea anterioară a lui SSer,tabelul 9.3.

Gh. COMAN 216

9.2. Blocuri incomplet aleatorizate.

Pătrate ortogonale Într-o serie de planuri bloc aleatorizate este imposibilă utilizarea

tuturor variantelor din fiecare bloc. Astfel, dacă în exemplul de mai sus trebuie încercate 6 mărci de

plăcuţe aşchietoare în loc de patru, blocurile corespunzătoare vor fi incomplete, deoarece 4 din cele 6 mărci de plăcuţe pot fi încercate pe strungurile respective.

Prin urmare, în fiecare din blocurile incomplete, ar fi existat numai 4 dintre cele 6 variante de încercare.

În asemenea cazuri se poate folosi planificarea echilibrată de bloc incomplet aleatorizat.

Un plan cu bloc incomplet aleatorizat este un plan în care există mai multe variante decât poate cuprinde un bloc.

Planul echilibrat este un plan de bloc incomplet, în care fiecare pereche de variante se întâlneşte în experiment de acelaşi număr de ori.

Se va considera următorul exemplu. Se presupune că trebuie să se compare valorile citite pe aparate ale temperaturii de aşchiere, obţinute de 4 experimentatori. Trebuie menţionat că, în fiecare zi, pot participa la experiment numai trei experimentatori. Planificarea echilibrată de bloc incomplet, în acest caz, duce la rezultatele din tabelul 9.5.

Tabelul 9.5 Planificarea de bloc incomplet aleatorizată

Operator – cercetător Ziua A B C D

I 780 820 800 - II 950 - 920 940 III - 880 880 820 IV 840 780 - 820

Temperatura se citeşte în 0C Este necesar să se efectueze o analiză completă a acestor date şi

să se discute rezultatele obţinute, din punct de vedere al deosebirilor dintre operatori-cercetători.

Dacă se scade din fiecare indicaţie de temperatură mărimea 850 se obţine tabelul 9.6. În acest plan, numai variantele A, B, C (se are în vedere operatorii-cercetători) se realizează în prima zi; A, C, D în a doua zi; B, C, D în a treia zi şi A, B, D în a patra zi.

Se poate observa că, fiecare din două câte două variante, se întâlnesc împreună, de câte două ori, de exemplu, A şi B în ziua întâi şi ziua patru, A şi D în ziua întâi şi ziua patru etc.

De asemenea, trebuie menţionat că realizarea variantelor, în decursul fiecărei zile, este complet aleatorizată, asemănător cazurilor cu planurile de bloc complet aleatorizate.

MANAGEMENTUL CERCETĂRII 217

Tabelul 9.6 Modificarea tabelului 9.5 pentru simplificarea calculelor

Variante - operatori Blocuri

(zile) A B C D Ti•

I -70 -30 -50 - II 100 - 70 90 III - 30 30 -30 IV -10 -70 - -30 T•j +20 -70 +50 +30 T••

∑∑i j

ijX 2 15000 6700 8300 9900 39900

În scopul simplificării analizei dispersionale a planului se introduc

următoarele simboluri: b – numărul de blocuri din experiment (b = 4); k – numărul de variante din bloc (k = 3); t – numărul de variante din experiment (t = 4); r – numărul de repetări a variantei date, în cadrul experimentului (r = 3); N – numărul total de experimente, N = b.k = t.r (N = 12); λ - numărul de repetări a fiecărei perechi de variante, în cadrul experimentului, λ = [r(k – 1)]/(t – 1); (λ = 2).

Planul echilibrat de bloc, incomplet, poate fi analizat astfel:

1. SS = 398251290039900

22 =−=−∑∑ ••

i jij N

TX ;

2. SSbloc = 34291753

11030260)150( 222224

1

2

=−+++−

=− ••

=

•∑ NT

kT

i

i

3. Se calculează efectele de variaţie a variantelor de încercare:

SSîncerc = tk

Qi

j

λ

∑=

4

1

2

, ∑=

•• −=4

1iiijjj TnkTQ

aici nij = 1, dacă varianta de încercare de ordinul j este cuprinsă în blocul de ordinul i; nij = 0, dacă varianta de încercare de ordinul j nu este cuprinsă în blocul de ordinul i; ∑nijTi – este suma totală a tuturor sumelor din bloc, referitor la blocurile care conţin varianta de încercare de ordinul j. În cazul considerat, vom avea:

Q1• = 3.20 – 1(-150 + 260 + 30) = -80 Q2• = 3.(-70 – 1(-150 + 30 – 100) = 20 Q3• = 3.150 – 1(260 + 30 – 110) = -30 Q4• = 3.30 – 1(-150 + 260 – 110) = 90 Suma 0 Aici, în suma (-150 + 260 – 30) lipseşte termenul 110, deoarece, în

primul rând al variantei de încercare, lipseşte valoarea încercării, în cea de a doua sumă lipseşte termenul 260, deoarece în cel de al doilea rând lipseşte valoarea încercării respective etc. Deoarece avem totdeauna:

Gh. COMAN 218

∑=

=4

10

jjQ

obţinem:

SSîncerc = 3,6584.2.3

90)30(20)80( 2222

=+−++−

4. Calculăm suma pătratelor pentru eroare: SSer = SS – SSbloc – SSîncerc = 39825 – 34291 – 658,3 = 4876. În tabelul 9.7 se prezintă rezultatele analizei dispersionale a

acestor date. Tabelul 9.7

Rezultatele analizei dispersionale

Sursa de variabilitate Grade de libertate

Suma pătratelor

Pătratul mediu

Bloc – zile 3 34291 11430 Variante operatori – cercetători 3 658 219,3 Eroarea 5 4876 1625 Suma N-1=11 39825

Utilizarea criteriului F va conduce la următoarele constatări:

F3/5=11430/1625 = 7,03 şi F3/5=219,3/1625 = 0,135, adică, rezultatul cu nivel de încredere de 5%, este nesemnificativ. Se recomandă verificarea efectului interblocuri, în cadrul planului cu bloc incomplet aleatorizat dat.

În cazul planurilor aleatorizate echilibrate simetrice de bloc incomplet (ca în exemplul dat, când b = t) suma pătratelor pentru blocuri poate corectată în aceleaşi ca şi sumele pătratelor pentru variante:

∑=

=4

1

2

i

ibloc br

QSSλ

unde: ∑=

•• −=4

1jjijii TnrTQ

Q1• = 3(-150) – 1(20 – 70 + 30) = -430 Q2• = 3.260 – 1(20 + 50 + 30) = 680 Q3• = 3.30 – 1(20 – 70 + 50) = 90 Q4• = 3(-110) – 1(-70 + 50 + 30) = -340

∑=

=4

10

iiQsuma

De aici:

321254.2.3

)340(90680)430(4

1

22222

)( =−+++−

== ∑=i

icorectatbloc br

QSSλ

29003

3050)70(20 2222

).( =++−+

=necorectatcercSS

Rezultatele unei asemenea corecţii şi rezultatele, în raport cu variantele de încercare se dau în tabelul 9.8.

În tabelul 9.8 numerele din paranteze se dau numai pentru a arăta cum se calculează eroarea, în cazul utilizării unui efect corectat şi necorectat.

MANAGEMENTUL CERCETĂRII 219

Tabelul 9.8 Tabel de calcule corectate

Sursa de variabilitate Grade de libertate

Suma pătratelor

Pătratul mediu

Blocuri corectate 3 32152 10708 Blocuri (3) (34291) 11430 Variante de încercare (corectate) 3 658 219,3

Variante de încercare (3) 2900 967 Erori 5 4876 1625 Suma 11 39825

Cercetătorul, în cazul întocmirii planului experimentului, este nevoit

uneori să limiteze aleatorizarea. Aceasta se obţine prin folosirea pătratelor latine.

Planul în care, fiecare variantă de încercare, apare o singură dată în rând şi o singură dată pe coloană poartă denumirea de pătrat latin. Astfel, pătratul latin constituie o configuraţie, care permite luarea în consideraţie a două mulţimi de restricţii pentru blocuri (care poartă denumirea de linii şi coloane).

Pătratul latin poate fi utilizat pentru orice număr t, de procedee de prelucrare, pentru care avem:

N = a.t2 (9.3) unde a este un număr întreg, iar în situaţia de faţă a = 1 şi t un număr ce poate lua orice valoare.

Un asemenea plan al experimentului este posibil numai în acel caz, în care numărul de nivele a ambelor restricţii este egal cu nivelele factorului examinat. Cu alte cuvinte, acesta trebuie să fie un pătrat. Pe de altă parte, nu se poate considera că într-un pătrat latin aleatorizarea lipseşte cu desăvârşire (pur şi simplu, ea este limitată). Aceasta se datorează faptului că pentru rezolvarea oricărei probleme concrete pătratul latin poate fi ales întâmplător, din toate pătratele latine posibile având dimensiunile necesare.

Pătratul latin, limitând aleatorizarea, micşorează eroarea experimentală, deşi poziţia cuţitelor (în raport cu axa arborelui principal al strungului la rotirea port-cuţitului) este nesemnificativă în cazul unui grad de încredere de 5%.

Diminuarea dispersiei în cazul pătratului latin se explică prin micşorarea gradelor de libertate.

Se va reveni asupra exemplului prezentat anterior, privitor la uzura plăcuţelor aşchietoare. În tabelul 9.9 se prezintă datele acestui exemplu sub forma unui pătrat latin cu dimensiunile 4x4.

Analiza datelor citate este o generalizare simplă a metodelor precedente de analiză. Acum, observaţiile se însumează conform celui de al treilea criteriu şi anume poziţia cuţitelor în raport cu axa arborelui principal al strungului.

Gh. COMAN 220

Tabelul 9.9 Folosirea pătratelor latine pentru exemplul considerat

Strungul Poziţia cuţitelor I II III IV

1 C D A B 2 B C D A 3 A B C D 4 D A B C

Cu ajutorul tabelului 9.9 se întocmeşte tabelul 9.10. Pe baza

tabelului 9.10 se poate stabili un model matematic de forma: Xijk = m + Bi + Tj + Ck + εijk (9.4)

în care Ck este influenţa poziţiei cuţitului după rotirea port-cuţitului strungului.

Tabelul 9.10 Tabel de calcul pentru metoda pătratelor latine

Strungul Poziţia

cuţitelor I II III IV T••k

1 0 0 10 -13 -3 2 -3 0 0 10 7 3 5 -3 -5 -10 -13 4 10 -3 5 -10 2

Ti•• 12 -6 10 -23

T•j•

Suma pentru A

22

Suma pentru B

-14

Suma pentru C

-15

Suma pentru D

0

T•••= -7

Suma pătratelor pentru poziţia de aşezare se calculează cu

expresia:

6,5416

)7(4

2)13(7)3( 22222

=−−+−++−=pozSS

Tabelul 9.11 Tabel pentru analiza dispersională

Sursa de variabilitate

Grade de libertate

Suma pătratelor

Pătratul mediu

Speranţa matematică

pentru pătratul mediu

Marca (Tj) 3 223,1 74,4 22 4 Te σσ +

Strungul (Bi) 3 199,1 66,4 22 4 Be σσ +

Poziţia cuţitelor (Ck) 3 54,6 18,2 22 4 Ce σσ +

Eroarea εijk 6 291 48,5 2eσ

Suma 15 767,9

MANAGEMENTUL CERCETĂRII 221

În acest caz vom avea: SSeroare = SS – SSîncerc – SSbloc –SSpoz =

= 767,9 – 223,1 – 199,1 – 54,6 = 291 În tabelul 9.11 se prezintă datele analizei dispersionale pentru

exemplul considerat. Mai sus, s-a menţionat că influenţa poziţiei cuţitelor este

neînsemnată, pentru un nivel de semnificaţie de 5%. După ce acest fapt a fost depistat, o serie de cercetători consideră drept posibil a reuni suma pătratelor, care corespund poziţiei cuţitelor, cu suma pătratelor erorilor, obţinându-se o apreciere mai precisă pentru 2

eσ . Dar, există un anumit pericol, într-o asemenea reunire, deoarece ea atestă că poziţia cuţitului nu influenţează asupra uzurii, iar cercetătorul neştiind că această eroare e posibilă, o poate admite.

Este normal că dacă numărul gradelor de libertate, pentru un termen ce generează eroarea, scade cu mult faţă de cea menţionată în tabelul 9.11, o anumită unificare este necesară, pentru a obţine o măsură raţională, în scopul aprecierii altor efecte.

Într-o serie de cazuri, la întocmirea planurilor de experienţe, sunt posibile şi alte restricţii. În acest caz, planul de experiment poate fi un pătrat greco-latin. Pătratul greco-latin se construieşte pe baza pătratului latin.

Dar, pentru unele pătrate latine se poate construi şi un al doilea pătrat greco-latin-ortogonal faţă de primul. În cazul pătratului greco-latin fiecare literă a pătratului se întâlneşte nu numai o singură dată în fiecare linie şi coloană, ci şi o dată cu fiecare literă a primului pătrat.

Tabelul 9.12 Programarea în pătrat greco-latin

Strungurile Poziţia

cuţitelor I II III IV 1 Aα Bβ Cγ Dδ 2 Bγ Aδ Dα Cβ 3 Cδ Dγ Aβ Bα 4 Dβ Cα Bδ Aγ În tabelul 9.12 se prezintă un pătrat greco-latin, întocmit în virtutea

tabelului 9.9. În acest plan, cea de a treia restricţie are nivelele α, β, γ, δ care nu numai că apar o dată în fiecare linie şi coloană, ci încă o dată în combinaţie cu fiecare din nivelele factorului examinat A, B, C sau D. Modelul pentru un asemenea experiment este de forma:

Xijkn = m + Bi + Tj +Ck + Wn + εijkn (9.5) unde Wn este o mărime ce reprezintă efectul ultimei restricţii, cu nivelele α, β, γ şi δ. Rezultatele analizei dispersionale se prezintă în tabelul 9.13.

Aici, pentru t = 4 numai 1/4 din toate pătratele pot fi transformate în pătrate greco-latine, iar pentru t = 5, numai 3/28. Dacă t este impar sau

Gh. COMAN 222

este un multiplu de 4, este uşor de construit o configuraţie greco-latină. Planul în care condiţiile pentru utilizarea unui pătrat latin sunt satisfăcute, cu excepţia faptului, în virtutea căruia sunt admisibile numai trei încercări diferite (de exemplu, într-un bloc sunt posibile numai trei poziţii) şi există în total patru blocuri, poartă denumirea de pătratul lui Juden (pătrat latin incomplet). Drept exemplu, vom cita planul din tabelul 9.14.

Tabelul 9.13 Analiza dispersională pentru planul în pătrat-latin

Sursa de

variabilitate Grade de libertate

Pentru exemplul 4x4

Pentru exemplul 5x5

Bi t-1 3 4 Tj t-1 3 4 Ck t-1 3 4 Wn t-1 3 4 εijkn (t-1)(t-3) 3 8

Suma N-1 15 24 Tabelul 9.14

Folosirea pătratului lui Juden

Poziţia cuţitelor Poziţia cuţitelor Strungul 1 2 3

I A B C II D A B III B C D IV C D A

Trebuie să menţionăm că dacă vom adăuga coloana D, C, A, B,

acest plan poate fi transformat într-un pătrat latin (în situaţia că este posibilă încă o poziţie). Pătratele lui Juden pot fi utilizate în cazul în care, de exemplu trebuie să măsurăm patru feluri de produse (cuţite), cu ajutorul a patru aparate (pentru măsurarea dimensiunilor geometrice) fiecare aparat posedând numai trei monturi, iar orientarea acestora poate influenţa asupra rezultatelor.

Analiza pătratului lui Juden se face ca şi analiza planurilor de bloc incomplete. Modelul matematic al pătratului lui Juden are expresie:

Xijk = m + Bi + Tj + Ck + εijk (9.6) unde i = 1, 2, 3, 4; k = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3, 4; aici, t = b = 4; r = k = 3; λ=2.

Astfel au fost tratate toate formele de pătrate ortogonale.

9.3. Experimente factoriale. Esenţa unui experiment factorial

Orice experiment, în care procedeele de prelucrare se compun din

combinaţii de nivele cu doi sau mai mulţi factori diferiţi, poartă denumirea de experiment factorial. Desigur, aceste experimente factoriale, pot fi reprezentate drept complet aleatorizate sau sub forma unor blocuri

MANAGEMENTUL CERCETĂRII 223

aleatorizate sau, în ultimă instanţă, sub forma unor pătrate latine. Esenţial este faptul că majoritatea autorilor, din domeniul planificării experimentelor, subliniază avantajele includerii în unul şi acelaşi experiment a diverselor combinaţii a mai multor factori.

Vom cita următorul exemplu. Să presupunem că pe experimentatori îi interesează doi factori: influenţa vitezei de aşchiere şi a avansului, asupra forţei de aşchiere, într-un anumit proces de aşchiere.

În mod obişnuit, în cazul unei metode tradiţionale de cercetare unul din factori, de exemplu avansul, rămâne invariabil şi variază celălalt factor (în cazul de faţă, viteza de aşchiere).

Într-un alt caz se fixează o anumită valoare a vitezei de aşchiere şi se variază între anumite limite avansul. Să presupunem acum că viteza de aşchiere şi avansul pot fi respectiv stabilite pe două nivele: v = 50 şi 100 m/min, s = 0,05 şi 0,15 mm/rot (adâncimea de aşchiere fiind constantă, t = 1 mm.). Acum vom presupune că forţa de aşchiere, la o valoare constantă a avansului s = 0,07 mm/rot, cu variaţia vitezei de aşchiere de la 100 la 50 m/min, variază între limitele de 50÷55 daN. În acest caz, nu există un procedeu de verificare a realităţii creşterii forţei de aşchiere sau dacă această creştere este întâmplătoare. În cazul inexistenţei unei aprecieri corespunzătoare a erorii întâmplătoare experimentul trebuie repetat, desigur, în scopul obţinerii unei aprecieri a erorii sau a unei variabilităţi întâmplătoare. Dacă, prin repetarea experienţei, se obţin valori de 45 şi 50 daN, este clar că există, în realitate, o creştere a forţei de aşchiere. Rezultatele se dau grafic în figura 9.1.

Fig.9.1. Valori experimentale obţinute pentru forţa de aşchiere, în funcţie de avansul de lucru şi viteza de aşchiere

Din aceste date, se poate vedea că

odată cu creşterea vitezei de aşchiere forţa de aşchiere scade în medie cu:

daN52

)4550()5055(=

−+−

Un exemplu de efectuare alternativă a experimentului îl poate constitui un experiment factorial, în care, fiecare nivel de viteză se combină cu fiecare nivel al avansului. În acest caz, se efectuează numai patru experienţe. Rezultatele se prezintă în figura 9.2.

Aici s-a obţinut două aprecieri ale influenţei vitezei de aşchiere şi două aprecieri ale influenţei avansului, fără repetarea măsurătorilor în unul şi acelaşi punct.

Acum se poate formula altfel, după cum s-a făcut mai sus, noţiunea de experiment factorial.

Experimentul factorial este acel experiment în care toate nivelele unui factor se combină cu restul de nivele ale celorlalţi factori.

S,mm/rot 0,15

0,07 50

55

45

50

50 100 V, m/min

Gh. COMAN 224

De exemplu, în cazul prezentat mai sus, se poate demonstra că, dacă cele patru nivele pentru viteza de aşchiere se combină cu trei nivele pentru avans, se poate obţine un experiment factorial de tipul 4x3, care necesită realizarea a 12 diverse condiţii de experimentare.

V, m/min V, m/min

75 75

55

55

0,07

0,15

50

65 65

50 50

50

100 100

S=0,07

S=0,15

P, d

aN

Fig.9.2. Plan pentru un experiment

factorial Fig.9.3. Graficul dependenţei forţei de aşchiere de avans şi viteză de

aşchiere

Dacă, în conformitate cu datele din figura 9.2 se va construi graficul din figura 9.3, se poate afirma că liniile ce marchează variaţia forţei de aşchiere cu creşterea vitezei de aşchiere şi a avansului de lucru sunt aproape paralele. În această situaţie, se spune că nu există o interacţiune între factori.

Se poate vorbi că există o interacţiune între factori atunci când variaţia unui factor este însoţită de diversele modificări ale rezultatelor, pentru diversele nivele ale celuilalt factor.

Graficele din figura 9.3 se prezintă pentru a elucida esenţa interacţiunii şi a experimentului factorial.

Pentru a se înţelege şi mai bine ideea experimentelor factoriale, se va examina o problemă cu trei factori. Se planifică un experiment în scopul cercetării influenţei materialului părţii aşchietoare a sculei, a unghiului de degajare şi a procedeului de aşchiere, adică a trei factori, asupra componentei principale a forţei de aşchiere Pz. Se prelucrează un oţel OLC 45, prin strunjire şi rabotare, cu cuţite armate cu plăcuţe din aliaj dur P10 şi P20. Cuţitele au două geometrii pentru partea de aşchiere, diferenţiată prin unghiurile de degajare: γ = 150 şi γ = 300. Mărimea componentei forţei de aşchiere este evaluată cu ajutorul unui oscilograf. S-a stabilit să se menţină constanţi parametrii regimului de aşchiere: viteza de aşchiere (v = 100 m/min); avansul de lucru (S = 0,3 mm/rot.) şi adâncimea de aşchiere (t = 2,5 mm).

Rezultă că se iau în considerare cuţite cu două materiale pentru partea aşchietoare: P10 şi P20, adică acest factor se examinează la două nivele; două geometrii diferite: γ = 150 şi γ = 300, adică şi acest factor se examinează la două nivele. Aşchierea producându-se prin două procedee de lucru (strunjire şi rabotare) conduce la constatarea că şi acest factor

MANAGEMENTUL CERCETĂRII 225

variază pe două nivele. Prin urmare, pentru fiecare din cei trei factori există câte două nivele de variaţie prestabilite sau, cu alte cuvinte, opt condiţii de efectuare a experimentului.

În acest experiment, doi dintre factori şi anume materialul pentru partea aşchietoare a sculei şi procedeul de prelucrare sunt factori calitativi, iar geometria părţii aşchietoare este factor cantitativ.

În acest exemplu, se examinează un experiment factorial de tipul 23 (2x2x2) cu patru observaţii în fiecare variantă, care a fost realizat într-un mod complet aleatorizat.

Modelul matematic al experimentului are forma: Xijk = m + Ti + Bj +TBij + Ck + TCik +

+ BCjk + TBCijk + εn(ijk) (9.7) În acest caz, TBCijk este o interacţiune triplă. Datele acestui

experiment se prezintă în tabelul 9.15. Tabelul 9.15

Date experimentale

Material pentru partea aşchietoare P10 P20

Unghiul de degajare γ Unghiul de degajare γ γ = 150 γ = 300 γ = 150 γ = 300

Procedeul de aşchiere

Pz, daN 82 81 80 83 77 81 81 88 85 84 80 82 Strunjire

78 89 74 80 80 78 73 79 74 82 74 80 77 79 80 78 Rabotare

77 79 76 76 Valorile datelor din tabelul 9.15 sunt codificate prin scăderea din

fiecare din valori a cifrei 80, fiind realizat, pe această modificare, tabelul 9.16. În virtutea acestui tabel, se poate arăta, în continuare, succesiunea efectuării analizei dispersionale.

Se va determina, la început, suma totală (comună) a pătratelor. Pentru aceasta, este necesar să se adune pătratele tuturor indicaţiilor şi să se scadă termenul de corecţie, care este egal cu suma tuturor observaţiilor ridicată la pătrat şi împărţită la numărul de observaţii, care este egal cu 32:

( ) 72,4353213441

2

=−

−=SS

Pentru a se obţine suma pătratelor, care corespunde celor două materiale ale părţii aşchietoare (P10 şi P20) trebuie să se adune rezultatele observaţiilor fiecărui material:

a. pentru P10: -10 + 13 = 3 b. pentru P20: -22 + 6 = -16

Gh. COMAN 226

Prin urmare:

SST material = 28,1132

)13(16

)16(3 222

=−

−−+

Tabelul 9.16 Tabel de calcul

Material pentru partea aşchietoare

P10 P20 Unghiul de degajare

γ Unghiul de degajare

γ

Procedeul de aşchiere

γ = 150 γ = 300 γ = 150 γ = 300

Suma tuturor

valorilor pe linii

2 1 0 3 -3 1 1 8 5 4 0 2 Strunjire

-2 9 -6 0 Suma 2 15 -5 13 25

0 -2 -7 -1 -6 2 -6 0 -3 -1 0 -2 Rabotare

-3 -1 -4 -4 Suma -12 -2 -17 -17 -38

Suma pentru cele două

procedee de aşchiere

-10 13 -22 6 -13

Suma pătratelor pentru unghiul de degajare se poate obţine

efectuând acelaşi operaţiuni cu sumele pentru fiecare variantă, adică: a. pentru: γ = 150 -10 – 22 = -32 b. pentr0: γ = 300 13 + 6 = 19 Prin urmare:

SSγ = 28,8132

)13(16

19)32( 222

=−

−+−

Suma pătratelor pentru procedeele de aşchiere se determină cu ajutorul aceloraşi operaţiuni pentru 25 şi –38:

SSprocedeu prelucr.= 03,12432

)13(16

)38()25( 222

=−

−−+

În continuare, se va determina interacţiunea dintre factori. Se va determina, de exemplu, suma pătratelor interacţiunii dintre TxB (T – efectul materialului părţii aşchietoare, iar B – efectul unghiului de degajare). Valoarea acesteia se poate obţine, ignorând procedeul de prelucrare şi folosind sumele conform variantelor pentru TxB ale celulelor, adică –10, 13, -22 şi 6. Rezultă:

SSTxB = 78,028,8128,1132

)13(8

6)22(13)10( 22222

=−−−

−+−++−

MANAGEMENTUL CERCETĂRII 227

Pentru interacţiunea TxC (C corespunde efectului materialului părţii aşchietoare a sculei), neglijându-se SS-ul unghiului de degajare şi folosindu-se sumele pentru TxC ale celorlalte. Rezultă:

- pentru P10: 2 + 15 = 17 -12 + -2 = -14 - pentru P20 -5 + 13 = 8 -17 + -7 = -24 Prin urmare:

SSTxC = 03,003,12428,1132

)13(8

)24(8)14(17 22222

=−−−

−−++−+

Pentru BxC, ignorând influenţa materialului părţii aşchietoare, se vor folosi sculele pentru celelalte BxC, adică:

pentru γ = 150, 2 – 5 = -3; Strunjire pentru γ = 300, 15 + 13 = 28;

pentru γ = 150, -12 – 17 = -29; Rabotare pentru γ = 300, -2 – 7 = -9 Prin urmare:

SSBxC = 78,303,12428,8132

)13(8

)9))29(28)3( 22222

=−−−

−−+−++−

Tabelul 9.17 Analiza dispersională

Sursa de variabilitate Grade de libertate

Suma pătratelor

Pătratul mediu

Materialul părţii aşchietoare (Tj) 1 11,28 11,28 Unghiul de degajare (Bj) 1 81,28 81,28 Interacţiunea TxB (BTij) 1 0,78 0,78 Procedeul de aşchiere (Ck) 1 124,03 124,03 Interacţiunea TxC (TCik) 1 0,03 0,03 Interacţiunea BxC (BCjk) 1 3,78 3,78 Interacţiunea TxBxC (TBCijk) 1 0,79 0,79 Eroarea εn(ijk), 24 213,75 8,91 Suma 31 435,72

În final, pentru o interacţiune triplă TxBxC se vor examina sumele

pe celulele de dimensiunile minime: 2, 15, -5, 13, -12, -2, -17, -7. Din suma pătratelor pe celule se scade, nu numai sumele pătratelor efectelor principale, ci şi sumele pătratelor celor trei interacţiuni duble:

79,078,303,078,003,12428,8128,1132

)13(4

)7()17()2()12(13)5(52

2

22222222

=−−−−−−−

−

−−+−+−+−++−++

=TxBxCSS

Suma pătratelor erorilor se va obţine, scăzând din suma comună a pătratelor, toate valorile obţinute:

Gh. COMAN 228

SSeroare = 435,72 – 11,28 – 81,28 – 124,03 – 0,78 – - 0,03 – 3,78 – 0,79 = 213,75

Pe baza acestor calcule se procedează la analiza dispersională, rezultatele fiind prezentate în tabelul 9.17.

Se va considera încă un exemplu. Se cere să se determine componenta principală a forţei de aşchiere la burghiere în funcţie de viteza de aşchiere şi de avans, la prelucrarea diverselor materiale. Se utilizează cinci viteze şi trei valori pentru avans, pentru două tipuri de materiale. Pentru fiecare combinaţie a condiţiilor de prelucrare se folosesc două indicaţii. Ordinea în care se desfăşoară experimentul este complet aleatorizată, nivelele tuturor factorilor fiind fixată prealabil.

În tabelul 9.18 sunt prezentate datele pentru forţa axială de burghiere, supă scăderea valorii 24 din fiecare indicaţie.

Tabelul 9.18 Date experimentale obţinute

Avansul, s mm/rot

0,004 0,008 0,014 Viteza de aşchiere, v, m/min

Material de

prelucrat 100 220 475 715 870 100 220 475 715 870 100 220 475 715 870

-3 -4 0 -2 -2 3 2 1 0 -1 7 6 4 2 8 -1 0 -1 -1 -1 -1 -4 -2 0 -2 -1 -2 -2 -5 -4 OLC45 -4 -4 -1 -3 -3 2 -2 -1 0 -3 6 4 2 -3 4 -1 -3 1 -1 0 1 2 3 0 2 6 9 8 5 11 1 0 0 -1 0 0 0 2 1 2 2 -6 -2 -1 -7 OSC 8 0 -3 1 -2 0 1 2 5 1 4 8 3 6 4 4

Suma -4 0 0 -5 -3 3 0 4 1 1 14 7 8 1 8 După cum se observă, în acest exemplu, se tratează un experiment

factorial de tipul 2x3x5 = 30, cu două observaţii la fiecare încercare. Pentru analiza dispersională, se va determina, la început, suma

totală (comună) a pătratelor, ca şi în exemplul precedent:

7436028756

2

=−=eroareSS

În continuare, se poate obţine suma pătratelor, care corespunde pentru avansuri:

3,816028

20)818714()11403()35074(

2

222

=−

−++++++++++−−+−−

=avansSS

Suma pătratelor care corespunde vitezelor de aşchiere:

8,166028

12)813()115()840()707()1434(

2

22222

..

=−

−++−+++−++++++−+++−

=aşvitSS

Suma pătratelor care corespunde materialului de prelucrat:

7,266028

3034)6( 222

.. =−+−

=prmatSS

MANAGEMENTUL CERCETĂRII 229

Se poate determina acum suma pătratelor pentru interacţiuni:

5,948,163,816028

30818714

3011403)3()5(0)7()4(

222222

2222222222

=−−−+++++

++++++−+−++−+−=×BTSS

13,816028

10)44638()41521()02130(

10)43246()30122()33144(

2222

222

=−−+++++++++++−+−+

++−+++−+−−+−−−−−=×CTSS

5,447,268,166028

30)440(

30)412()651()323()810()433(

30)303()211()424()624(

22

22222

2222

=−−−+++

+++−++++++−+++++−−+

+−+−++−−++−−+++−=×CBSS

2,475,4415,948,167,263,816028

281871411403)3()5(

20)7()4(4)3(246)3(0)1(

2)2(2)3()3()1()4()4(

2222222222222

22222222222

2222222

=−−−−−−

−−++++++++++−+−+

++−+−++−++++−++−+

+−++−+−+−+−+−=×× CBTSS

În final se poate obţine suma pătratelor erorilor: 4315,442,4715,948,167,263,81743 =−−−−−−−=erSS

Rezultatele analizei dispersionale se prezintă în tabelul 9.19. Tabelul 9.17

Analiza dispersională

Sursa de variabilitate Grade de libertate

Suma pătratelor

Pătratul mediu

Avansul de lucru (Tj) 1 81,3 81,3 Viteza de aşchiere (Bj) 1 16,8 16,8 Interacţiunea TxB (BTij) 1 94,5 94,5 Marca materialului de prelucrat (Ck) 1 26,7 26,7 Interacţiunea TxC (TCik) 1 1 1 Interacţiunea BxC (BCjk) 1 44,5 44,5 Interacţiunea TxBxC (TBCijk) 1 47,2 47,2 Eroarea εn(ijk), 52 431 431 Suma 59 743

Gh. COMAN 230

Când se analizează (verifică) ipotezele asupra lipsei influenţei avansului, a mărcii materialului, a vitezei de aşchiere, precum şi a efectelor de interacţiune a acestor factori, toate pătratele medii observate trebuie să fie comparate cu pătratul mediu al erorii, egal cu 8,29, având 52 de grade de libertate. Criteriul de verificare a adecuanţei ipotezelor este criteriul F cu 1 şi 52 grade de libertate.

Compararea fiecărui pătrat mediu cu pătratul erorii, ne arată că se pot infirma toate ipotezele. Aceasta înseamnă că toţi factorii influenţează asupra forţei de aşchiere.

9.4. Experimentul de tipul 2n. Experimentul

de tipul 22

În paragrafele anterioare s-a analizat experimentele factoriale şi s-a

enunţat metoda generală a analizei acestora. În continuare, se vor analiza câteva cazuri speciale, care prezintă un interes practic deosebit.

Există, de exemplu, un caz, care cuprinde n factori şi fiecare factor se stabileşte numai la două nivele. Aceste nivele vor fi tratate ca drept nivele fixate prealabil. Acest lucru se datorează faptului că două nivele nu se aleg în mod întâmplător, ci în punctele care sunt apropiate de valorile de frontieră. Cele două nivele pot fi, de exemplu, două valori ale microdurităţii suprafeţei, cele două valori de frontieră ale densităţii dislocaţiilor din stratul limitrof al aşchiilor etc.

Cel mai simplu este experimentul factorial de tipul 2x2, adică cazul în care doi din factorii studiaţi se stabilesc la două nivele.

Dacă ne referim la exemplul prezentat în paragraful precedent, se poate spune că factorii viteză de aşchiere şi avansul de lucru se vor stabili pe două nivele (viteza la 50 şi 100 m/min, iar avansul de lucru la

0,07 şi 0,15 mm/rot), pentru a se obţine un experiment de tipul 22. Astfel se obţin patru variante ale încercărilor, ilustrate în figura 9.2.

Fig.9.4. Simbolizarea punctelor în

planul de experiment factorial

În scopul generalizării enunţului problemei se examinează viteza de aşchiere drept factorul A,

iar avansul drept factorul B. În acest caz, modelul matematic pentru un plan complet aleatorizat

va fi de forma: Xij = m + Ai + Bj +ABij + εij (9.8)

unde i = 1, 2; j = 1, 2. Din figura 9.2 rezultă că în cazul stabilirii vitezei de aşchiere (A) şi

a avansului de lucru (B) la nivelul inferior forţa de aşchiere ia valoarea de 55 daN. Aceasta se poate nota astfel:

A0B0 = 55 daN; A1B0 = 50 daN; A0B1 = 75 daN; A1B1 = 65 daN

0

1(0,15)

(0,07)

Factor A

Fact

or B

55 (1)

75 b 65 b

a

a

50

0 1(50) (100)

MANAGEMENTUL CERCETĂRII 231

Pe de altă parte, întrucât experimentul de tipul 22 se întâlneşte frecvent în literatura de specialitate, mulţi autori au introdus alte simboluri pentru aceste variante de încercare.

În cazul acestor simbolizări noi, indicii pentru AB se pun ca exponent la literele mici ab.

În cazul în care ambii factori sunt la nivelul inferior avem a0b0 = 1. În mod analog, a1b0 = a, a0b1 = b, a1b1 = ab. Aceste mărimi se prezintă ca un fel de „ecouri” ale experimentului. Variantele încercărilor şi simbolurile se prezintă în figura 9.4. În grafic, nivelul inferior şi nivelul superior ale factorului A şi B sunt reprezentate prin 0 şi 1 respectiv pe axele A şi B, iar la intersectarea acestor nivele în planul desenului, se obţin patru combinaţii ale condiţiilor (de exemplu, punctul 00 = (1), reprezintă ambii factori la nivelele inferioare, punctul 10 = a; 01 = b; 11 = ab. Planul experimentului se prezintă în tabelul 9.18.

Dacă se include şi al treilea factor, de exemplu adâncimea de aşchiere, el se postează în capătul succesiunii, după ce se înmulţeşte cu toţi termenii anteriori. În cazul în care factorul C (adâncimea de aşchiere) se stabileşte de asemenea la două nivele (t = 1; 2 mm), atunci variantele încercărilor vor fi: (1); a; b; ab; c; ac; bc; abc şi ele reprezintă vârfurile unui cub. Se obţine astfel un experiment factorial de tipul 23.

Revenind la figura 2.4, se poate observa că efectul factorului se poate aprecia drept modificare a „ecoului” (răspunsului), la modificarea nivelului acestui factor.

Dacă factorul B este pe nivelul inferior, influenţa factorului A va fi (50-55) sau a-(1). Influenţa factorului A pentru nivelul superior al lui B va fi (65-75) sau (ab-b). Prin urmare, efectul mediu al factorului A va fi:

2)]()1([ babaA −+−

= sau 2

])1([ abbaA +−+−= (9.9)

După cum se observă, atunci când A se găseşte în timpul încercării pe nivelul superior (v = 100 m/min), coeficienţii din expresie, pentru efectul factorului A sunt egali cu (+1), iar dacă A se găseşte pe nivelul inferior (v = 50 m/min)-(-1). Pentru demonstraţie vom considera:

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +−+−

=2

)1( abbaA sau abbaA +−+−= )1(2

Aici, a şi ab corespund nivelului v = 100 m/min (nivelul superior), iar (-1) şi –b corespund nivelului v = 50 m/min (nivel inferior). În mod similar, se poate obţine efectul mediu pentru factorul B:

2])1([ aabbB −+−

= sau ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ++−−

=2

)1( abbaB (9.10)

Aici, b – (1), corespunde nivelului inferior al factorului A (v = 50 m/min), iar (ab-a) nivelului superior al factorului A (v = 100 m/min).

Tabelul 9.18 Experiment factorial

Nr. crt. v s Simboli-

zarea 1 50 0,07 00 2 100 0,07 10 3 50 0,15 01 4 100 0,15 11

Gh. COMAN 232

În cazul încercărilor, în care factorul B se găseşte pe nivelul inferior, coeficientul va fi (-1), iar pe nivelul superior (+1). Pentru demonstraţie folosim relaţia:

21)1([ abbaB ++−−

= (9.11)

Aici [-(1) - a] corespunde nivelului inferior al factorului B (s = 0,07 mm/rot), iar (b + ab) nivelului superior al factorului B (s = 0,15 mm/rot).

Dacă factorul B se găseşte la nivelul superior efectul va fi ab - b, iar pentru nivelul inferior [a – (1)]. Dacă ab – b ≠ a – (1) (adică efectul factorilor A şi B sunt diferite) atunci, între A şi B există interacţiune. Această interacţiune poate fi exprimată prin:

( )[ ] [ ]{ }

[ ]abbaAB

ababAB

+−−=

−−−=

)1(21

)1(21

(9.12)

După determinarea tuturor efectelor se poate scrie:

abbaABabbaBabbaA

+−−+=++−−=+−+−=

)1(2)1(2)1(2

(9.13)

În tabelul 9.19 se prezintă sensul de influenţă a coeficienţilor pentru un experiment factorial 22. Între altele, interacţiunea dintre factorii A şi B, poate fi calculată şi altfel.

Astfel, se consideră că efectul factorului B (când factorul A se găseşte pe nivelul superior egal cu ab-a) se compară cu efectul factorului B egal cu b-(1) (când factorul A se găseşte pe nivelul inferior).

Semidiferenţa lor va fi:

[ ] [ ]{ }

[ ]abba

baabAB

+−−+=

=−−−=

)1(21

)1(21

(9.14)

ceea ce coincide cu relaţia (9.12), obţinută anterior. În continuare, se pot calcula efectele acelor valori ale „ecourilor”

(răspunsurilor) care se prezintă în figura 9.4.

daNA 152

65755055−=

+−+−=

daNB 352

65755055=

++−−=

Tabelul 9.19 Coeficienţii efectelor

experimentului factorial 22 Efecte Variante de

încercare A B AB (1) - - + a + - - b - + -

ab + + +

MANAGEMENTUL CERCETĂRII 233

daNAB 32

65755055−=

+−−=

Întrucât 2A, 2B, 2AB constituie contraste, suma pătratelor care corespunde contrastului va fi:

∑=

imcm Cr

contrastSS2)(

şi, prin urmare:

2252.1

)]15(12[)2(2

2

2

2

=−

==∑ im

A CrASS

12252.1

)]35(2[)2(22

2

===∑ im

B CrBSS

252.1

)]5(2[)2(2

2

2

2

=−

==∑ im

AB CrABSS

unde r este numărul de observări din fiecare celulă (în cazul de faţă r = 1);

∑ 2imC - variantele încercării sau planul 22.

1475251225225 =++=SS Întrucât fiecare efect şi fiecare interacţiune posedă numai un singur

grad de libertate şi eroarea nu poate fi măsurată (deoarece în fiecare celulă există numai o singură observaţie), analiza dispersională a acestui experiment este neconcludentă. Schema unei asemenea analize se prezintă în tabelul 9.20.

Tabelul 9.20Analiza dispersională

Tabelul 9.21Tabel de calcul cu datele

codificate Sursa de

variabilitate Nr. gradelor de libertate

Suma pătratelor

Pătratul mediu Factor

Ai 1 225 225 Factor

0 1

Bj 1 1225 1225 0 -6/55 -11/50 -17 Eroarea

(ABij) 1 25 25 1 14/6

5 4/65 18

Suma 3 1475 Suma 8 -7 1 Dacă se codifică datele din figura 9.4, scăzând din fiecare indicaţie

valoarea 61, se va obţine tabelul 9.21, care se aseamănă cu pătratul latin. Dacă se calculează sumele pătratelor, conform datelor din acest tabel, se vor obţine aceleaşi date ca mai sus.

9.5. Experimentul de tipul 2n. Experimentul

de tipul 23

Dacă se adaugă la planul 22 pe cel de al treilea factor C

(adâncimea de aşchiere) se obţine un experiment de tipul 2x2x2 = 23, care conduce, de asemenea, la un plan complet aleatorizat.

În acest caz, variantele de încercare vor fi: a, b, ab, c, ac, bc, abc şi ele pot fi considerate drept vârfurile unui cub, figura 9.5.

Gh. COMAN 234

Fiind în posesiunea acestor 23 observaţii sau de 8r în cazul a r observaţii în fiecare variantă a încercărilor , se pot exprima efectele principale şi interacţiunile utilizând coeficienţii (-1) şi (+1), pentru cele opt „ecouri” (răspunsuri.

Pentru efectul principal al factorului A se iau toate „ecourile” de pe muchia din dreapta a semnului (+) şi toate „ecourile” de muchia din stînga

cu semnul (-).

Fig.9.5. reprezentarea grafică a planului 23

Pentru factorul B se

iau toate „ecourile” de pe muchia inferioară cu semnul (-) şi cele de muchea superioară cu semnul (+).

Pentru factorul C se iau toate „ecourile” de pe muchia din spate cu semnul (+), iar pentru muchia din faţă cu semnul (-).

Astfel se obţine: - pentru factorul A:

bccbabcacaba−−−−++++

)1( (9.15)

- pentru factorul B:

aaccababcbcb−−−−++++

)1( (9.16)

- pentru factorul C:

aabbacabcbcc−−−−++++

)1( (9.17)

Combinaţiile de mai sus vor reflecta efectul condiţionat de creşterea nivelelor factorilor A, B şi C adică:

abcabbcbacacCabcacbccababBabcbcaccabbaA

+−+−+−+−=+−+−+−+−=+−+−+−+−=

)1(4)1(4)1(4

(9.18)

În continuare, se vor determina efectele interacţiunii, după cum urmează. Interacţiunea AB se determină prin diferenţa dintre efectul factorului A la nivelul nul al factorului B şi efectul A la nivelul unitate al lui B indiferent de C:

- pentru B0:2(efect A) = a + ac – (1) - c - pentru B1:2(efect A) = ab + abc – b – bc (9.19)

abc

(1) a

ac

ab

bc

b

0

1

0 1

0

1

Factor A

Fact

or B

Factor C

c

MANAGEMENTUL CERCETĂRII 235

De unde rezultă: 4AB = B1 – B0 = [ab + abc – b – bc] – [a + ac – (1) – c] =

= abc + ab – b – bc – a – ac + c + (1) Interacţiunea AC se determină prin diferenţa dintre efectul

factorului A la nivelul de zero al lui C şi efectul A pentru nivelul de unu al lui C indiferent de B:

- pentru C0:2(efect A) = a + ab –b- (1) - pentru C1:2(efect A) = ac + abc – c – bc (9.20) De unde rezultă:

4AC = C1 – C0 = [ac + abc – c – bc] – [a + ab – b – (1)] = = ac + abc – c – bc – a – ab + b + (1)

Interacţiunea BC se determină prin diferenţe dintre efectul factorului B la un nivel de zero al lui C şi efectul B la nivel de unu al factorului C indiferent de A:

- pentru C0:2(efect B) = -(1) – a + b + ab - pentru C1:2(efect B) = -c - ac + bc + abc (9.21) De unde rezultă:

4BC = C1 – C0 = [-c - ac + bc + abc] – [-(1) - a + ab] = = -c - ac – c + bc + abc + 1 + a – b - ab

Pentru determinarea interacţiunii ABC se compară interacţiunea BC pentru A0 cu interacţiunea BC pentru A1. Diferenţa dintre ele va fi tocmai interacţiunea ABC.

- pentru A0:2 (efectul interacţiunii BC) = (1) – b – c + bc - pentru A1:2 (efectul interacţiunii BC) = a – ab – ac + abc (9.22) (semnele pentru ecouri se pun plecând de la semnele ecuaţiei 4BC)

4ABC = A1 – A0 = (a – ab – ac + abc) – [(1) – b – c + bc] = = a – ab – ac + abc – (1) + b + c - bc

Tabelul 9.22 Efectele contrastelor

Efectul Variantele încercărilor suma A B AB C AC BC ABC

(1) + - - + - + + - a + + - - - - + + b + - + - - + - + ab + + + + - - - - c + - - + + - - + ac + + - - + + - - bc + - + - + - + - abc + + + + + + + +

Se va întocmi un tabel al coeficienţilor pentru efecte, în

experimentul factorial de tipul 23. Fiind în posesia acestor coeficienţi se poate scădea suma pătratelor:

nrcontrastSS

2.)( 2

= (9.23)

Gh. COMAN 236

Aici: contrastul = r.2n-1 (efect) sau:

efectul = 12.1−nr

(contrast)

În continuare, se va prezenta detaliat problema stabilirii forţei de aşchiere, în cazul prelucrării oţelului OLC 45 cu ajutorul cuţitelor armate cu plăcuţe din aliaj dur P 10 şi P 20. Se constată imediat că acest exemplu este într-adevăr factorial de tipul 2x2x2 = 23 cu patru repetări în fiecare celulă. Se poate calcula suma pătratelor cu ajutorul metodei speciale simple, care poartă denumirea de metoda lui Yeats. Se va scrie tabelul 9.23 sub o formă potrivită pentru calcule.

Tabelul 9.23 Tabel de calcul

Tipul plăcuţei de aliaj dur

P10 P20 Unghiul de degajare Unghiul de degajare

Tipul aşchierii

150 300 150 300

1 b a ab Strunjire 2 15 -5 13 c bc ac abc Rabotare -12 -2 -17 -7

În scopul utilizării metodei lui Yeats valorile răspunsurilor (ecourilor)

tabelului 9.23 se va transcrie, după cum se vede, în tabelul9.24. Tabelul 9.24

Tabel de calcul pentru metoda Yeats

Variante de încercare

Răspun-suri (1) (2) (3) - contrast

Suma pătratelor

SS=32

)( 2contrast

(1) 2 3 25 -13 = suma 5,28 a -5 28 -38 -19 = 16A 11,28 b 15 -29 -9 51 = 16B 81,28 ab 13 -9 -10 5 = 16AB 0,78 c -12 -7 31 -63 = 16C 124,03 ac -17 -2 20 -1 = 16AC 0,03 bc -2 -5 5 -11 = 16BC 3,78 abc -7 -5 0 -5 = 16ABC 0,78

Numărul de coloane depinde de numărul factorilor din cercetare.

Dacă sunt patru factori, vor fi patru coloane. În cazul considerat, numărul factorilor este n = 3, deci vor fi trei coloane: (1), (2) şi (3). Valorile din ultima coloană sunt egale cu contrastele. În acest caz primul element din coloana (3) este egal cu suma tuturor observaţiilor înmulţită cu r.2n-1. În cazul de faţă, r.2n-1 = 4.23-1 = 16. Astfel, elementele care corespund pentru a, b, ab, c, ac, bc, abc sunt egale cu 16A, 16B, 16AB etc.

MANAGEMENTUL CERCETĂRII 237

Dacă valorile coloanei (3) se ridică la pătrat şi se împart cu r.2n = 32, se obţine suma pătratelor pentru toate variantele. Prima sumă a pătratelor, adică [(suma)2/r.8] (a tuturor observaţiilor răspunsului) este egală cu termenul de corecţie pentru toate efectele.

Se va expune esenţa metodei lui Yeats. În prima coloană a tabelului 9.24, sunt înscrise toate variantele încercărilor, în cea de a doua coloană răspunsul total pentru fiecare variantă (adică valorile răspunsurilor pentru toate variantele), în cea de a treia coloană (1) sunt înscrise sumele perechilor de răspunsuri pentru prima jumătate a acestei coloane, adică:

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

−=−−−=−−=+−=−

972291712281513

352

pentru prima jumătate a coloanei (1)

În cea de a doua jumătate a coloanei sunt înscrise diferenţele răspunsurilor. Precedentul se scade din următorul:

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

−=−−−−=−−−−=−−=−−

5)2(75)12(1721513725

pentru cea de a doua jumătate a coloanei (1)

Coloana (2) se obţine după acelaşi principiu ca şi coloana (1), dar cu ajutorul datelor din coloana (1):

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

−=−−−=−−−=−−=+−

1055927

3892925283

prima jumătate a coloanei (2)

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

=−−−=−−−=−−−=−−

0)5(55)7(2

20)29(931)3(28

a doua jumătate a coloanei (2)

Continuând acest proces pentru coloana (3) se ţine cont, de asemenea, de datele din coloana (2) etc.

Suma pătratelor din tabelul 9.24 corespunde întocmai cu sumele pătratelor din tabelul 9.17. Metoda lui Yeats se recomandă a fi utilizată pentru experimente mai complicate deoarece analiza cercetărilor se reduce la nişte operaţiuni simple de adunare şi scădere.

9.6. Experimente cu factori

cantitativi şi calitativi În continuare, se vor lua în considerare problemele ce se referă la

nivelele cantitative şi calitative ale factorilor, adică atunci când unul din

Gh. COMAN 238

factori este cantitativ, iar celălalt calitativ, când ambii factori sunt cantitativi sau, în sfârşit, când există un singur factor cu nivel cantitativ. În toate cazurile, în care se utilizează factori cantitativi se poate obţine o informaţie mai vastă, odată cu modificarea factorului cantitativ. De exemplu: există oare o dependenţă liniară între viteza de aşchiere (avans sau adâncimea de aşchiere) şi forţa de aşchiere ? Sau, cum variază cantitatea de căldură odată cu variaţiile câmpului de regim ? Există oare în acest caz dependenţe de gradul doi sau există numai asemenea dependenţe pătratice ? Tuturor acestor probleme se caută răspuns în cele ce urmează.

Pentru a înţelege cum putem separa efectele liniare şi pătratice se va examina un factor cantitativ cu trei nivele. De exemplu, se va examina factorii: viteza de aşchiere sau avans cu trei nivele respectiv 3; 8; 13

m/min şi 0,25; 0,5 şi 0,75 mm/rot. După cum se observă aceste nivele sunt separate prin intervale egale. În cazul unor asemenea intervale egale între nivele analiza se simplifică în mod considerabil.

Fig.9.6. Dependenţa forţei de

aşchiere de viteza de aşchiere şi avansul de lucru

Se vor nota valorile totale ale

răspunsurilor pentru factori prin P•1, P•2 şi P•3. Rezultatele pot fi

reprezentate ca în figura 9.6. În cazul în care răspunsul P•j, în funcţie de viteza de aşchiere variază liniar, rezultatul acestei variaţii de la 3 la 8 m/min va fi (P•2 - P•1), iar de la 8 la 13 m/min (P•j - P•2). În acest caz, efectul total va fi:

(P•2 - P•1) + (P•3 - P•2) = (P•1 + P•3) = -130 +150 = 20 Dacă efectul vitezei de aşchiere este pătratic, atunci panta 3÷8

m/min va fi diferită de panta 8÷13 m/min. Aici, diferenţa dintre pante (înclinări) va fi:

(P•3 - P•2) - (P•2 - P•1) = (P•3 - 2P•2 - P•1 = Cpătrat = = 150 – 240 - 130 = 220

În acest caz, Cliniar poartă denumirea de contrast liniar, iar Cpătrat – de contrast pătratic, Cliniar fiind ortogonal faţă de Cpătrat. Dacă viteza de aşchiere s-ar fi modificat pe patru nivele, atunci ar fi fost posibilă separarea unui efort liniar, pătratic şi cubic, selectând în mod potrivit coeficienţii pentru efectele totale.

Pentru o soluţionare rapidă a acestei probleme există un tabel de polinoame ortogonale, prezentat în anexa 5. Tabelul mai conţine două valori, F şi K, unde F este suma pătratelor coeficienţilor utilizată pentru orice contrast, iar K este un factor de scară, care poate fi utilizat pentru obţinerea ecuaţiei curbei, după ce devine clar că efectele corespunzătoare sunt semnificative. Procesul de utilizare a acestui tabel

3 8 13

120130

150

V, m/min

P P

P

P

jdaN

1

2

3

MANAGEMENTUL CERCETĂRII 239

se reduce la aceea că, aplicând coeficienţii la sumele obţinute din răspuns (ecou), se pot separa uşor sumele liniare pătratice şi cubice ale pătratelor din suma totală a pătratelor, pentru factorul cantitativ examinat. 1. Un singur factor cu nivele cantitative. Acesta este un tip de experiment monofactorial, al cărui plan este complet aleatorizat şi al cărui model matematic este:

Xij = m + Tj + εij (9.24) unde i = 1, 2,…,n; j = 1, 2,…,k.

Vom considera un exemplu. Se presupune că un cuţit cu plăcuţă de aliaj dur P 10 este supus la încercări de durabilitate. S-a determinat că peste 20, 40, 60 şi 80 de minute (desigur, este vorba de o distribuţie convenţională a timpului) uzura sculei (pe fiecare nivel s-au utilizat opt cuţite) începe să crească. Rezultatele experimentului se prezintă în tabelul 9.25.

Tabelul 9.25 Valori experimentale pentru exemplul considerat

Timpul în minute Cantitate 20 40 60 80 Ti•

1 -8 -5 3 5 -5 2 -6 -3 2 8 1 3 -8 -5 2 5 -6 4 -5 -1 -1 8 1 5 -8 -7 3 6 -6 6 -6 -5 4 5 -2 7 -6 5 -1 6 4 8 -4 -1 5 8 8 T•j -51 -22 17 51 T••= -5

∑=

8

1

2

iijX 341 160 69 339 ∑∑

= =

=4

1

8

1

2 909j i

ijX

Trebuie menţionat că drept criteriu de uzură (uzură dimensională)

se ia valoarea de 0,25 mm. Plecând de la acest fapt procedura de codificare a datelor constă în aceea că din toate valorile uzuri s-a scăzut mărimea 250.

Datorită faptului că planul este complet aleatorizat, modelul va fi dat de relaţia (9.24), iar indicii corespunzători vor fi i = 1, 2,…,8; j = 1, 2,…4. Analiza unui asemenea plan se face în mod detaliat în paragrafele precedente:

( ) 2,9088,0909325909

2

=−=−

−=SS

( ) 746325

826012894842601 2

=−

−+++

=timpSS

Gh. COMAN 240

2,1627462,908 =−=eroareSS Rezultatele analizei dispersionale se prezintă în tabelul 9.26. Pe

baza datelor din tabelul 9.26, rezultă că F3/28 = 248,7/5,79 = 43, ceea ce confirmă că este semnificativ cu un grad de încredere de 1%. Ca atare, timpul scurs de la momentul anterior al încercării influenţează într-adevăr asupra uzurii sculei aşchietoare.

Tabelul 9.26 Analiza dispersională pentru exemplul considerat

Sursa de

variabilitate Nr. gradelor de libertate

Suma pătratelor

Pătrate medii

Speranţa matematică a pătratelor medii

Variaţia timpului 3 746 248,7 22 8 te σσ +

Eroarea 28 162,2 5,79 2eσ

Suma 31 908,2 - - Pe de altă parte, datorită faptului că timpul este un factor cantitativ

şi nivelele sunt separate unul de celălalt, trebuie lămurit cum variază uzura cuţitului cu timpul.

Întrucât există patru nivele de timp, se poate separa efectul liniar de cel pătratic şi cubic, verificându-se, în continuare, semnificaţia factorului, tabelul 9.27.

Tabelul 9.27 Verificarea efectului factorului timp

Efectul δ•1 = -51 δ•2 = -22 δ•3 = 17 δ•4 = 51 F = (δ•j)2 Liniar -3 -1 1 3 20 Pătratic +1 -1 -1 +1 4 Cubic -1 +3 -3 +1 20

Se vor calcula efectele de timp: δliniar = -3(-51) – 1(-22) + 1(17) + 3(51) = 345 δpătratic = 1(-51) – 1(-22) – 1(17) + 1(51) = 5 δcubic = -1(-51) + 3(-22) – 3(17) + 1(51) = -15 Sumele corespunzătoare ale pătratelor vor fi:

9,74320.8

3452

==liniarSS 78,04.8

52

==patraticSS ( ) 33,1

20.815 2

=−

=cubicSS

Această informaţie suplimentară poate fi reunită în cadrul tabelului 9.28. Pe baza acesteia, se poate verifica gradul de încredere al efectelor liniar, pătratic şi cubic.

- pentru efectul liniar:

48,12879,5

9,74328/1 ==F

adică, un grad înalt de importanţă (încredere); - pentru efectul pătratic:

MANAGEMENTUL CERCETĂRII 241

135,079,578,0

28/1 ==F

adică, fără o semnificaţie în cazul unui nivel de încredere de 1%; - pentru efectul cubic:

23,079,533,1

28/1 ==F

adică, nesemnificativ în cazul unui nivel de încredere de 1%. Tabelul 9.28

Analiza nivelului de semnificaţie a factorilor liniar, pătratic şi cubic

Sursa de variabilitate Nr. gradelor de libertate

Suma pătratelor

Pătratul mediu

Variaţia de timp: δlin. 1 743,9 743,9 δpăt. 1 0,78 0,78 δcub. 1 1,33 1,33

Suma timpilor 3 746 Erorile în intervalul de timp 28 161,4 5,79

Suma totală 31 908,2 Graficul prezentat în

figura 9.7, trasat în conformitate cu aceste valori medii ale răspunsurilor (ecourilor) observate, confirmă rezultatele din calcul, adică caracterul creşterii liniare a uzurii, cu timpul.

Fig. 9.7. Dependenţa uzurii dimensionale de timpul de

aşchiere Datele de mai sus arată

cum se poate verifica prezenţa efectului liniar, pătratic şi cubic, utilizând polinoamele ortogonale.

2. Doi factori, unul calitativ şi unul cantitativ. Este un tip de experiment bifactorial, când unul din factori posedă nivele calitative, iar celălalt nivele cantitative. Între altele, aceste nivele sunt despărţite prin intervale egale.

Planul acestui experiment este complet aleatorizat, având următorul model matematic:

Xijk = m + Di + Pj + DPij + εk(ij) (9.25) Pentru explicarea unui asemenea plan de experimentare se va

considera următorul exemplu.

20 40 60 80

-8-6-4-202468

j

Timpul t, minute

Gh. COMAN 242

Se cere să se determine variaţia microdurităţii stratului superficial în funcţie de mărimea în adâncime a distanţei de la suprafaţa de aşchiere la suprafaţa prelucrată. Microduritatea se măsoară pe o suprafaţă oblică a şlifului la trei distanţe de la linia formată de intersecţia dintre suprafaţa prelucrată şi suprafaţa oblică a şlifului: 0; 0,1; 0,2 mm. Pe fiecare din aceste distanţe, măsurarea s-a făcut în cinci şlifuri distincte, ele fiind tratate ca drept cinci factori calitativi. Pentru fiecare distanţă şi în fiecare poziţie se execută câte două măsurători. În acest caz, se poate spune că estre un experiment factorial de tipul 5x3, cu două observaţii în celulă (în total 30 de observaţii).

În ecuaţia (9.25) Di – distanţa este un factor cantitativ, iar Pj – şliful folosit pentru măsurare este factor calitativ (i = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3, 4, 5). Rezultatele măsurătorilor se prezintă în tabelul 9.29.

Tabelul 9.29 Rezultatele măsurătorilor microdurităţii

Distanţa de măsurare în adâncimea stratului

superficial, Di, mm 0 0,1 0,2

Şliful folosit, Pj

Valorile microdurităţii, H, daN/mm2

200 200 204 1 201 199 190 200 199 185 2 201 199 193 204 201 196 3 200 201 193 203 204 193 4 201 200 199 200 204 193 5 197 200 196

Efectuând codificarea datelor din tabelul 9.29, scăzând din fiecare

valoare mărimea 200, se obţine tabelul 9.30. Tabelul 9.30

Rezultatele măsurătorilor microdurităţii codificate

Distanţa de măsurare în adâncimea stratului superficial,

Di, mm 0 0,1 0,2

Şliful folosit, Pj

Valorile microdurităţii, H, daN/mm2

T•j•

0 0 4 1 1 -1 -10 -6

Suma 1 -1 -6 0 -1 -15 2 1 -1 -7 -23

Suma 1 -2 -22

MANAGEMENTUL CERCETĂRII 243

4 1 -4 3 0 1 -7 -5

Suma 4 2 -11 3 4 -7 4 1 0 -1 0

Suma 4 4 -8 0 4 -7 5 -3 0 -4 -10

Suma -3 4 -11 Ti•• 7 7 -58 T•••= -44

∑∑= =

2

1

5

1

2

k jijkX 37 37 570 ∑∑∑

= = ==

3

1

5

1

2

1644

i j kijkX

Din aceste date codificate se obţine:

( ) 47,5793044644

2

=−

−=SS

67,28130

)44(10

)58(77 2222

=−

−−++

=iDSS

47,5030

)44(6

)10(0)5()23()6( 222222

=−

−−++−+−+−

=jPSS

33,5847,5067,2812

)11(...411 2212

=−−−++++

=× ij DPSS

00,18933,5847,5067,28147,579 =−−−=eroareSS Aceste mărimi se prezintă în tabelul 9.31 pentru analiza

dispersională. Tabelul 9.31

Analiza dispersională pentru exemplul considerat

Sursa de variabilitate

Nr. gradelor de libertate

Suma pătratelor

Pătrate medii

Speranţa matematică a pătratelor medii

Distanţa, Di 2 281,67 140,83 22 10 De σσ +

Poziţia, Pj 4 50,47 12,67 22 6 Pe σσ + Interacţiunea,

DxP 8 58,33 7,29 22 2 DPe σσ +

Eroarea, εk(ij) 15 189 12,6 2eσ

Suma 29 579,47 Din tabelul 9.31 rezultă că numai distanţa Di are o influenţă

semnificativă asupra microdurităţii suprafeţei, deoarece:

24,116,1283,140

15/2 ==F

Gh. COMAN 244

Se va calcula efectul liniar şi pătratic ale variaţiei distanţei, întrucât efectul de variaţie al distanţei este semnificativ pentru un nivel de încredere de 1%. Coeficienţii polinoamelor ortogonale au valorile prezentate în tabelul 9.32.

Tabelul 9.32 Valorile coeficienţilor polinoamelor ortogonale

Ti•• 7 7 -58 F

Liniar -1 0 +1 2 Pătratic +1 -2 +1 6

Utilizând aceşti coeficienţi pentru sumele fiecărei distanţe Ti••, se

poate obţine: a. efectul liniar al variaţiei distanţei: Di = -1(7) + 0(7) + 1(-58) = -65 b. efectul pătratic al variaţiei distanţei: Hpătratic = 1(7) – 2(7) + 1(-58) = -65 Sumele pătratelor, datorită faptului că contrastele sunt ortogonale,

vor fi:

25,211)2(10)65( 2

=−

=liniarSS

42,70)6(10)65( 2

=−

=patraticSS

Astfel, suma pătratelor pentru distanţa Di, va fi: 67,28142,7025,211 =+=

iDSS Se va determina, în continuare, interacţiunea DxP. Această

interacţiune poate fi verificată folosind coeficienţii liniari şi pătratici. Efectul liniar se determină pentru fiecare şlif folosind coeficienţii

polinoamelor liniare –1; 0; +1: P1: -1(1) + 0(-1) + 1(-6) = -7 P2: -1(1) + 0(-2) + 1(-22) = -23 P3: -1(4) + 0(2) + 1(-11) = -15 P4: -1(4) + 0(4) + 1(-8) = -12 P5: -1(-3) + 0(4) + 1(-11) = -8 Total -65 În mod analog, pentru efectul pătratic, folosind coeficienţii

polinoamelor pătratice, vom avea 1; -2; 1: P1: 1(1) - 2(-1) + 1(-6) = -3 P2: 1(1) - 2(-2) + 1(-22) = -17 P3: 1(4) - 2(2) + 1(-11) = -11 P4: 1(4) - 2(4) + 1(-8) = -12 P5: 1(-3) - 2(4) + 1(-11) = -22 Total -65

MANAGEMENTUL CERCETĂRII 245

Pentru compararea acestor cinci efecte se va determina suma corespunzătoare a pătratelor:

5,4125,211)2(2

)8()12()15()23()7( 22222

=−−+−+−+−+−

=×PDliniarSS

83,1642,70)6(2

)22()12()11()17()3( 22222

=−−+−+−+−+−

=×PDpatratSS

Suma comună (totală) a pătratelor pentru interacţiunea DxP va fi: SSDxP = 41,5 + 16,83 = 58,33

Aceeaşi mărime a interacţiunii DxP se prezintă şi în tabelul 9.31. Rezultatele menţionate mai sus indică asupra existenţei unui efect de modificare a distanţei Di şi, între altele, efectul liniar al variaţiei lui Di este semnificativ pentru nivelul de încredere de 1% (211,25), iar efectul pătratic de modificare a mărimii Di este semnificativ la un nivel de încredere de 5% (70,42).

Efectul şlifului şi efectul de interacţiune dintre distanţă şi şlif lipseşte. Se poate să ne convingem uşor asupra acestei afirmaţii dacă construim graficele acestor mărimi.

3. Doi factori – ambii cantitativi. Dacă într-un experiment bifactorial, ambii factori posedă două nivele cantitative, atunci, pentru fiecare din aceştia, se poate separa efectele liniar, pătratic şi cubic, şi să se determine toate combinaţiile interacţiunilor acestora.

Pentru analiza unui asemenea tip de experiment, în care există doi factori cu nivele cantitative (separate unul de altul prin intervale egale) se va examina problema studiului influenţei vitezei de aşchiere şi a avansului asupra temperaturii din zona de aşchiere, la prelucrarea prin strunjire unui material OLC 45, cu un cuţit armat cu plăcuţă din aliaj dur P 10, cu adâncimea de aşchiere t = 1 mm. Variabilitatea temperaturii s-a măsurat cu un termocuplu în mV. Succesiunea de efectuare a experimentului a fost complet aleatorizată, având următorul model matematic:

Xijk = m + Ri + Fj + RFij + εk(ij) (9.26) Pentru planul experimentului şi pentru întocmirea tabelului

centralizator al experienţelor s-a considerat: i = 1, 2, 3, 4; k = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3, 4. Pentru analiza acestui experiment, se vor mări de 10 ori toate temperaturile din zona de aşchiere, în scopul eliminării erorilor de calcul. Astfel, de exemplu, în loc de 1,1 se va considera în calcul 11 etc. Se vor calcula următoarele statistici în virtutea datelor din tabelul 9.33.

Tabelul 9.33 Tabel de calcul pentru exemplul considerat

Viteza de aşchiere, m/min. Avansul,

mm/rot 50 100 150 200 T•j

11 35 44 80 17 80 81 91 0,07 18 29 77 77

Suma 46 144 202 248 640

Gh. COMAN 246

22 49 53 85 26 68 93 95 0,14 16 61 59 73

Suma 64 178 205 253 700 29 68 58 86 30 74 103 113 0,21 20 47 128 141

Suma 79 189 289 340 897 38 98 87 103 31 128 116 131 0,28 21 67 90 141

Suma 90 293 293 375 1051 Ti•• 279 804 989 1216 T•••= 3288

6264048

3288287868 =−=SS

3985848

)3288(12

)1216()989()804()279( 22222

=−+++

=RSS

883948

)3288(12

)1051()897()700()640( 22222

=−+++

=FSS

22358839398582252283

)375(...)64()46( 222

=−−−+++

=×FRSS

11708223588393985862640 =−−−=eroareSS Datele analizei dispersionale se prezintă în tabelul 9.34.

Tabelul 9.34 Analiza dispersională pentru exemplul considerat

Sursa de

variabilitate Nr. gradelor de

libertate Suma pătratelor Pătrate medii

Ri 3 39858 13286 Fj 3 8839 2946

(RxF)ij 9 2235 248 εk(ij) 32 11708 366,8

Suma 47 62640 Se calculează, în continuare, efectele, ţinându-se seama de

coeficienţii polinoamelor ortogonale, care au valorile de mai jos: Liniari: -3; -1; +1; +3; F = 20 Pătratici: +1; -1; -1; +1; F = 4 Cubici: -1; +3; -3; +1; F = 20 Rliniar = -3(279) – 1(804) + 1(989) + 3(1216) = 2996;

37400)20(12)2996( 2

==liniarRSS

Rpătratic = 1(279) – 1(804) – 1(989) + 1(1216) = -298;

MANAGEMENTUL CERCETĂRII 247

1850)20(12)298( 2

=−

=păătratiRSS

Rcubic = 1(279) + 3(804) – 3(989) + 1(1216) = 382;

608)20(12

)382( 2

==cubicRSS

Total SSR = 39858 Fliniar = -3(640) – 1(700) + 1(897) + 3(1051) = 1430;

8520)20(12

)1430( 2

==liniarFSS

Fpătrat = 1(640) – 1(700) – 1(897) + 1(1051) = 94;

184)4(12

)94( 2

==patratFSS

Fcubic = -1(640) + 3(700) – 3(897) + 1(1051) = 180;

135)20(12

)180( 2

==cubicFSS

Total SSF = 8839 Pentru determinarea interacţiunii RxF cu 9 grade de libertate, se

împarte această interacţiune în 9 componente cu câte un singur grad de libertate, adică:

RliniarxFliniar; RpătraticxFliniar; RcubicxFliniar RliniarxFpătratic; RliniarxFpătratic; RcubicxFpătratic RliniarxFcubic; RpătraticxFcubic; RcubicxFcubic În scopul calculului efectelor de interacţiune, se calculează, în

primul rând, coeficienţii polinoamelor ortogonale, pentru aceste nouă interacţiuni.

Polinoame ortogonale: RliniarxFliniar = (-3 – 1 + 1 + 3)x(-3 – 1 + 1 + 3) =

=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

++−−++−−−−+−−+

9339311331139339

∑ 2ijC = (9)2+(3)2+(-3)2+…+(9)2 = 400

RliniarxFpătratic = (-3 – 1 + 1 + 3)x(+1 – 1 – 1 + 1) =

=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

++−−−−+−−+++−−

3113311331133113

∑ 2ijC = 80

RliniarxFcubic = (-3 – 1 + 1 + 3)x(-1 + 3 – 3 + 1) =

Gh. COMAN 248

=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

++−−−−+++−−−−+

3113933993393113

∑ 2ijC = 400

RpătraticxFliniar = (+1 – 1 – 1 + 1)x(-3 – 1 + 1 + 3) =

=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

+−−+−−+−++−−++−

3333111111113333

∑ 2ijC = 80

RpătraticxFpătratic = (1 – 1 – 1 + 1)x(1 – 1 – 1 + 1) =

=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

+−−−++−−++−+−−

1111111111111111

∑ 2ijC = 16

RpătraticxFcubic = (+1 – 1 – 1 + 1)x(-1 + 3 – 3 + 1) =

=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

+−−−++−+−−−++−

1111333333331111

∑ 2ijC = 80

RcubicxFliniar = (-1 + 3 – 3 + 1)x(-3 – 1 + 1 + 3) =

=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

+−+−+−+−−+−−+−

3993133113313993

∑ 2ijC = 400

RcubicxFpătratic = (-1 + 3 – 3 + 1)x(1 – 1 – 1 + 1) =

=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

+−+−−+−−+−+−+−

1331133113311331

∑ 2ijC = 80

RcubicxFcubic = (-1 + 3 – 3 + 1)x(-1 + 3 – 3 + 1) =

=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

+−+−−+−+−+−−+−

1331399339931331

∑ 2ijC = 400

În continuare, se calculează efectele interacţiunilor: RliniarxFliniar = 9(46)+3(64)-3(79)-9(90)+3(144)+1(178)-1(189)-3(202)-

-1(205)+1(289)+3(293)-9(248)-3(253)+3(340)+9(375) = 862

MANAGEMENTUL CERCETĂRII 249

2,619)400(3

)862( 2

==× liniarliniar FRSS

RliniarxFpătratic = -3(46)+3(64)+3(79)-3(90)-1(144)+1(178)+1(189)-1(293)+ +1(202)-1(205)-1(289)+1(293)+3(248)-3(253)-3(340)+3(375) = 42

35,7)80(3

)42( 2

==× patraticliniar FRSS

RliniarxFcubic = 3(46)-9(64)+9(79)-3(90)+1(144)-3(178)+3(189)-1(293)- -1(202)+3(205)-3(289)+1(293)-3(248)+9(253)-9(340)+3(375) = -676

8,380)400(3)676( 2

=−

=× cubicliniar FRSS

RpătraticxFliniar = -3(46)-1(64)+1(79)+3(90)+3(144)+1(176)-1(189)-3(879)+ +3(202)+1(205)-1(289)-3(293)-3(248)-1(253)+1(340)+(375) = -200

7,166)80(3)200( 2

=−

=× liniarpatratic FRSS

RpătraticxFpătratic = 1(46)-1(64)-1(79)+1(90)-1(144)+1(178)+1(189)-1(293)- -1(202)+1(205)+1(289)-1(293)+1(248)-1(253)-1(340)+1(375) = -48

48)16(3)48( 2

=−

=× patraticpatratic FRSS

RpătraticxFcubic = -1(46)+3(64)-3(79)+1(90)+1(144)-3(178)+3(189)-1(293)+ +1(202)-3(205)+3(289)-1(293)-1(248)+3(253)-3(340)+1(375) = -90

75,33)80(3)90( 2

=−

=× cubicpatratic FRSS

RcubicxFliniar = 3(46)+1(64)-1(79)-3(90)-9(144)-3(178)+3(189)+9(293)+ +9(202)+3(205)-3(289)-9(293)-3(248)-1(253)+1(340)+3(375) = 624

5,324)400(3

)624( 2

==× liniarcubic FRSS

RcubicxFpătratic = -1(46)+1(64)+1(79)-1(90)+3(144)-3(178)-3(189)+3(293)- -3(202)+3(205)+3(289)-3(293)+1(248)-1(253)-1(340)+1(375) = 244

248)80(3)244( 2

==× patraticcubic FRSS

RcubicxFcubic = 1(46)-3(64)+3(79)-1(90)-3(144)+9(178)-9(189)+3(293)+ +3(202)-9(205)+9(289)-3(293)-1(248)-3(340)+1(375)+3(253) = 698

7,406)400(3

)248( 2

==× cubiccubic FRSS

Dacă se adună toate sumele pătratelor, care se referă la fiecare interacţiune cu un grad de libertate, se va obţine suma pătratelor tuturor interacţiunilor.

RliniarxFliniar= 619,2; RliniarxFpătratic= 7,35; RliniarxFcubic = 380,8 RpătraticxFliniar= 166,7; RpătraticxFpătratic= 48; RpătraticxFcubic = 33,75

RcubicxFliniar= 324,5; RcubicxFpătratic= 248; RcubicxFcubic = 406,7 Suma totală RxF = 2235

Gh. COMAN 250

Dacă se introduce în tabelul 9.34 suma pătratelor pentru toate (RxF)ij, se obţine o analiză dispersională completă pentru exemplul respectiv.

Din efectele interacţiunilor menţionate mai sus se poate observa că există un efect liniar considerabil, precum şi un efect total pătratic al variaţiei vitezei de aşchiere. Astfel, metodele menţionate pot fi uşor extinse şi asupra unor experimente cu un număr mare de factori, în cazurile în care unul sau mai mulţi factori sunt examinaţi la nivelele cantitative. Dacă experimentul a fost planificat astfel încât nivelele cantitative sunt la intervale egale, atunci, analiza se simplifică, în cazul folosirii polinoamelor ortogonale.

9.7. Experimente factoriale de

tipul 3n

La fel ca şi experimentele de tipul 2n, experimentele de tipul 3n

constituie un caz particular al experimentelor factoriale. În acest caz, se examinează n factori şi fiecare dintre aceştia se va situa la trei nivele. Astfel, între nivelele fiecărui factor există două grade de libertate.

În cazul experimentelor factoriale de tipul 3n sunt posibili factori cantitativi şi factori calitativi şi dacă nivelele acestor factori sunt la intervale egale, atunci, pentru calcularea efectelor liniare şi pătratice şi verificarea gradului de semnificaţie al acestora, se pot utiliza metodele prezentate anterior, în paragraful precedent.

Se vor examina următoarele cazuri care se întâlnesc mai frecvent în practica cercetărilor experimentale: experiment factorial de tipul 32 şi experiment factorial de tipul 33.

Experiment factorial de tipul 32. Acest experiment are loc în cazul în care în acesta participă doi factori şi pentru fiecare din

aceştia se aleg trei nivele de variaţie. În consecinţă, se obţin 3x3 combinaţii ale condiţiilor.

Fig.9.8. Experiment factorial de

tipul 32

Datorită faptului că fiecare factor

se poate stabili la trei nivele, fiecare factor trebuie să aibă un nivel inferior , unul de bază şi unul superior, care se pot nota prin 0; 1; 2.

Modelul matematic va fi: Xij = m + Ai + Bj + ABij + εij (9.27)

unde i, j = 1, 2, 3. Pentru a introduce notaţiile, la toate combinaţiile condiţiilor, când se

iau trei nivele ale factorilor, se va examina figura 9.8. Printr-o alegere adecuată a coeficienţilor acestor combinaţii ale

condiţiilor, se pot determina efectele liniar şi pătratic, atât pentru factorul

0 1 2

0

1

2

00

01

02 12

11

10 20

21

22

Factor A

Fact

or B

MANAGEMENTUL CERCETĂRII 251

A, cât şi pentru factorul B, precum şi a interacţiunii lor AlinxBlin; AlinxBpătr, AlinxBcub.

Se consideră că se examinează variaţia temperaturii în zona de aşchiere, în dependenţă de variaţia simultană a vitezei de aşchiere şi a avansului de lucru. Aceşti factori se reprezintă la trei nivele fixate prin programarea experienţelor. Rezultatele experimentului factorial de tipul 32 care se dau în tabelul 9.35, se referă la combinaţiile condiţiilor, indicate în colţul din stânga sus, a fiecărei celule. Rezultatele din tabelul 9.35 au fost prealabil codificate.

Tabelul 9.35 Datele experimentale obţinute

Factor, V Factor, S 0 1 2 T•j

0 00 2

10 0

20 2 4

1 01 3

11 4

21 1 8

2 02 -2

12 -3

22 3 -2

Ti• 3 1 6 T•• Analizând datele din tabelul 9.35, prin metoda generală prezentată

anterior, se obţine:

89,449

103...)2(322

2222 =−++−++=SS

22,49

103

613 2222

=−++

=VSS

89,169

103

)2(84 2224

=−−++

=SSS

SSeroare = SS – SSV – SSS = 23,78 Schema analizei dispersionale se prezintă în tabelul 9.36.

Tabelul 9.36 Analiza dispersională

Sursa de

variabilitate Nr. gradelor de

libertate Suma pătratelor Pătratul mediu

Vi 2 4,22 2,11 Sj 2 16,89 8,44

VSij 4 23,78 5,94 Suma 8 44,89 Se poate continua analiza, însă, trebuie să se ţină cont de faptul că

coeficienţii polinoamelor ortogonale –1; 0 şi +1, care se referă la rezultate şi au fost obţinute la nivelul inferior, cel de bază şi superior, corespund

Gh. COMAN 252

efectului pătratic al factorului respectiv. În tabelul 9.37 se prezintă coeficienţii pentru fiecare efect, iar efectul este utilizat în nouă combinaţii.

Tabelul 9.37 Coeficienţii pentru fiecare efect manifestate de combinaţiile factorii de

influenţă asupra temperaturii din zona de aşchiere

Combinaţiile condiţiilor experimentale Factori 00 01 02 10 11 12 20 21 22

∑ 2iC

Vliniar -1 -1 -1 0 0 0 +1 +1 +1 6

Vpătratic +1 +1 +1 -2 -2 -2 + +1 +1 18 Sliniar -1 + +1 -1 0 +1 -1 0 +1 6

Spătratic +1 -2 +1 +1 -2 +1 +1 -2 +1 18 VlinSlin +1 0 -1 0 0 0 -1 0 +1 4 VlinSpătr -1 +2 -1 0 0 0 +1 -2 +1 12 VpătraSlin -1 0 +1 +2 0 -2 -1 0 +1 12 VpătrSpătr +1 -2 +1 -2 +4 -2 +1 -2 +1 36

1 0 2 -2 4 -1 3 1 2 Coeficienţii pentru primele linii, adică pentru Vliniar, Vpătratic, Sliniar,

Spătratic, cu combinaţii ale condiţiilor se stabilesc după cum urmează:

1. Nivel inferior - 00; 01; 02 – ceea ce corespunde

în cazul efectului liniar –1 şi în cazul efectului pătratic +1

V, m/min 2. Nivel de bază - 10; 11; 12 – la efectul liniar 0 şi la efectul pătratic –2

3. Nivel superior - 20; 21; 22 – efectul liniar +1 şi efectul pătratic +1

1. Nivel inferior - 00; 10; 20 – efectul liniar -1 şi efectul pătratic +1

S, mm/rot 2. Nivel de bază - 01; 11; 21 – efectul liniar 0 şi efectul pătratic –2

3. Nivel superior - 02; 12; 22 – efectul liniar +1 şi efectul pătratic

Coeficienţii pentru VliniarSliniar; VliniarSpătratic; VpătraticSpătratic se

determină prin înmulţire a coeficienţilor respectivi pentru efectele principale. Utilizând aceşti coeficienţi pentru rezultate în cazul fiecărei combinaţii de condiţii rezultă:

Vliniar = 1x2-1x3-1x(-2)+0x0+0x(-3)+1x2+1x1+1x3 = 3 Vpătratic = 1x2+1x3+1(-2)-2x0-2x4-2x(-3)+1x2+1x1+1x3 = 7 Sliniar = 1x2+0x3+1x(-2)-1x0+0x4+1x(-3)-1x2+0x1+1x3 = -6 Spătratic = 1x2-2x3+1x(-2)+1x0-2x4+1(-3)+1x2-2x1+1x3 = -14 VliniarSliniar= 1x2+0x3-1x(-2)+0x0+0x4+0x(-3)-1x2+0x1+1x3 = 5 VliniarSpătratic= -1x2+2x3-1x(-2)+0x0+0x4+0(-3)+1x2-2x1+1x3 = 9 Vpătr.Slin.=-1x2+0x3+1(-2)+2x0+0x4-2x(-3)-1x2+0x1+1x3 = 3 Vpătr.Spătr.= 1x2-2x3+1(-2)-2x0+4x4-2x(-3)+1x2-2x1+1x3 = 19

MANAGEMENTUL CERCETĂRII 253

Sumele corespunzătoare ale pătratelor vor fi:

5,1632

2

2

===∑ i

liniarV C

VSSliniar

25,6452

==liniarliniarSVSS

72,218

)7( 2

==păătratiVSS 78,6

12)9( 2

==patraticliniarSVSS

66

)6( 2

=−

=liniarSSS 75,0

12)3( 2

==liniarpatraticSVSS

89,018

)14( 2

=−

=patraticSS 1036

)19( 2

==patraticpatraticSVSS

Dacă se grupează datele obţinute, rezultă tabelul 9.38. Tabelul 9.38

Gruparea datelor de calcul

Sursa de variabilitate Grade de libertate Suma pătratelor Vi 2 4,22 Vliniar 1 1,5 Vpătratic 1 2,72

Sj 2 16,89 Sliniar 1 6 Spatratic 1 10,89

VSij 4 23,78 VliniarSliniar 1 6,25 VliniarSpătratic 1 6,78 VpătraticSliniar 1 0,75 VpătraticSpătratic 1 10,0

Suma 8 44,89 Însă, pe lângă această metodă, mai există o alta mai simplă, pentru

calculul sumei pătratelor tuturor efectelor. Această nouă metodă este denumită, metoda pe diagonale.

Se va examina pentru început diagonalele care pleacă în jos de la stânga la dreapta (tabelul 9.35), unde diagonala principală care pleacă spre dreapta ne dă 0+1-2 = -1. Aici, ultima valoare –2 se obţine prin înscrierea repetată a aceluiaşi tabel spre dreapta faţă de acesta, după cum se poate observa în tabelul 9.39.

Tabelul 9.39 Metoda diagonalelor

Factor S Factor V Factor V

0 2 0 2 2 0 2 1 3 4 1 • 3 4 1 2 -2 -3 3 • • -2 -3 3

Gh. COMAN 254

În mod analog, diagonala următoare, care pleacă în jos ne dă 2+3-3 = 2. De aici, suma pătratelor acestor trei termeni diagonali se determină astfel:

56,179

103

2)1(9 2222

=−++

În cazul examinării diagonalelor care pleacă în jos de la dreapta spre stânga, sumele lor pot fi calculate conform schemei prezentată în tabelul 9.40.

Aceste două sume ne dau suma pătratelor pentru interacţiunea VSij.

17,56 + 6,22 = 23,78 Se va menţiona că, în suma comună a pătratelor pentru

interacţiunea VSij, o parte a sumei este compusă din efectul liniar (se va nota prin j), iar cealălaltă parte efectul pătratic, adică:

I(VS) = 17,56, grade de libertate 2 j(VS) = 6,22, grade de libertate 2

Suma VxS = 23,78, grade de libertate 2 Tabelul 9.40

Schema de calcul pe diagonale în cazul când pleacă în jos de la dreapta spre stânga

Factor S Factor V Suma pe diagonale

0 2 0 2 I 2 + 4 – 2 = 4 1 3 4 1 II 1 – 3 + 2 = 0 2 -2 -3 3 III 3 + 0 + 3 = 6 0 2 0 2 Suma pătratelor va fi 1 3 4 1 2 -2 -3 3 22,6

910

3604 2222

=−++

Uneori se poate scrie simplu prin VS şi VS2 interacţiunile VxS.

Aceasta înseamnă că efectele pot fi înmulţite, utilizând modulul 3, deoarece se examinează un experiment factorial de tipul 3n. În acest caz, modulul 3 însemnează că numărul obţinut este egal cu restul în urma împărţirii prin 3, a unui număr din sistemul zecimal de numerotaţie. De exemplu, 4⇒1 pentru modulul 3, deoarece restul împărţirii lui 4 cu 3 este egal cu 1. Sunt valabile următoarele relaţii:

0 3⇒0 6⇒0 9⇒0 1 4⇒1 7⇒1 10⇒1 2 5⇒2 8⇒2 11⇒2 ş.a.m.d. Dacă se utilizează forma VnSn se presupune că pentru litera V se

admite existenţa numai a indicelui 1 adică n = 1. Pentru a obţine n = 1, această relaţie poate fi ridicată la pătrat şi transformată cu modulul 3. Aşa, de exemplu:

V2S = (V2S)2 = V4S2 = VS2

Astfel, dacă în timpul analizei vom avea n > 1 trebuie să ridicăm la pătrat interacţiunea şi să fie transformată conform cu modulul 3, până ce

MANAGEMENTUL CERCETĂRII 255

se obţine n = 1. Acest exemplu poate fi prezentat într-o formă mai potrivită când toate efectele au 2 grade de libertate, tabelul 9.41.

Tabelul 9.41 Analiza dispersională

Sursa de variabilitate Nr. gradelor de libertate Suma pătratelor

Vi 2 4,22 Sj 2 16,89

I(VS) = VS2 2 17,56 j(VS) = VS 6,22

Suma 8 44,89 Experiment factorial de tipul 33.

Dacă experimentatorul este în posesia a trei factori, fiecare cu trei nivele, adică se examinează un experiment factorial de tipul 3x3x3 = 27, există mai multe căi pentru împărţirea efectelor factorilor A, B şi C, precum şi a interacţiunilor corespunzătoare. Modelul matematic pentru un plan complet aleatorizat este următorul:

Xijk = m + Ai + Bj + ABij + Ck + ACik + + Bjk + ABCijk + εijk

unde i, j, k = 1, 2, 3. (9.28)

În acest caz se obţin 27 de combinaţii de condiţii, care pot fi prezentate în tabelul 9.42.

Tabelul 9.42 Combinaţiile factorilor pentru experimentul factorial de tipul 33

Factor t Factor V Factor S 0 1 2

0 0 0 0 1 0 0 2 0 0 1 0 0 1 1 0 1 2 0 1 0 2 0 0 2 1 0 2 2 0 2 0 0 1 0 1 1 0 2 1 0 1 0 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 0 1 2 1 1 2 2 1 2 0 0 2 0 1 2 0 2 2 0 1 0 2 1 1 2 1 2 2 1 2 2 0 2 2 1 2 2 2 2 2

Se vor defini pentru un experiment de tipul 33 următoarea problemă

simplă. Se presupune că trebuie să se examineze forţa de aşchiere F, la modificarea simultană a vitezei de aşchiere V, a avansului de lucru S şi a adâncimii de aşchiere t. Notând în mod corespunzător nivele pentru cele trei variabile prin: 0 – nivelul inferior; 1 – nivelul de bază; 2 – nivelul superior, se obţin combinaţiile condiţiilor care pot fi reprezentate pentru continuarea analizei sub o formă mai comodă. Trebuie menţionat că interacţiunile triple, de exemplu VSt, sunt greu explicabile (interpretabile). Cu toate acestea, în multe cazuri, interacţiunile respective, cu opt grade

Gh. COMAN 256

de libertate, pot fi utilizate drept termen al erorii pentru verificarea efectelor principale V, S, t în acţiunile perechi.

Analiza unui experiment factorial de tipul 33, pentru efecte liniare şi pătratice, poate fi reprezentată în tabelul 9.43.

Ţinând cont de faptul că pentru V se admite numai exponentul egal cu 1, se obţin relaţiile următoare:

V2St = (V2St)2 = V4S2t2 = VS2t2 (modul 3) sau V2St2 = (V2St2)2 = V4S2t4 = VS2t (modul 3) sau V2S2t = (V2S2t)2 = V4S4t2 = VSt2 (modul 3) sau V2S2t2 = (V2S2t2)2 = V4S4t4 = VSt (modul 3)

Tabelul 9.43 Experiment factorial de tipul 33

Sursa de variabilitate Grade de libertate

Sursa de variabilitate

Grade de libertate

Vi 2 Stik 4 Vliniar 1 Sliniartliniar 1 Vpătratic 1 Sliniartpătratic 1

Sj 2 Spătratictliniar 1 Sliniar 1 Spătratictpătratic 1 Spatratic 1 VStijk 8

VSij 4 VlinSlintlin 1 VliniarSliniar 1 VlinSlintpătr 1 VliniarSpătratic 1 VlinSpătrtlin 1 VpătraticSliniar 1 VlinSpătrtpătr 1 VpătraticSpătratic 1 VpătrSlintlin 1

tk 2 VpătrSlintpătr 1 tliniar 1 VpătrSpătrtlin 1 tpătratic 1 VpătrSpătrtpătr 1

Vtik 4 Suma 26 Vliniartliniar 1 Vliniartpătratic 1 Vpătratictliniar 1 Vpătratictpătratic 1

Tabelul 9.44 Un alt mod de grupare a interacţiunilor VSt

Sursa de variabilitate Nr. gradelor de libertate

VStijk 8 VlinSlintlin(VSt) 1 VlinSlintpătr(VSt2) 1 VlinSpătrtlin(VS2t) 1 VlinSpătrtpătr(VS2t2) 1 VpătrSlintlin(V2St) 1

MANAGEMENTUL CERCETĂRII 257

VpătrSlintpătr(V2St2) 1 VpătrSpătrtlin(V2S2t) 1 VpătrSpătrtpătr(V2S2t2) 1

VStijk 8 VlinSlintlin 2 VlinSlintpătr 2 VlinSpătrtlin 2 VlinSpătrtpătr 2

Astfel, interacţiunile VSt se pot grupa nu numai cu opt grade de

libertate, ci şi în patru componente cu două grade de libertate fiecare. În tabelul 9.44 se face o asemenea grupare, în locul celeia prezentate în tabelul 9.43.

Analiza efectuată aici nu diferă cu nimic de cea dată mai sus, la paragraful respectiv, şi ca atare nu vom repeta calculele. Trebuie însă menţionat că schema de grupare trebuie să fie stabilită cu precizie, deoarece de ea depinde analiza dispersională ce se efectuează în continuare.

9.8. Metode de reducere a numărului de experienţe

9.8.1. Noţiuni referitoare la mixaj (amestecare). Sisteme cu mixaj

Amestecarea efectelor iunterblocuri cu replicile.

Într-o serie de cazuri, la planificarea experimentelor este imposibil de realizat o aleatorizare a ordinii de desfăşurare a experimentului, întrucât aleatorizarea duce uneori la suprapunerea anumitor restricţii. De aceea, în unele cazuri aceste restricţii conduc la planuri în care efectul principal se amestecă cu efectul interblocuri. Într-o serie de cazuri restricţiile constituie o necesitate, datorită imposibilităţii de a realiza un experiment în decursul unei zile etc.

În general, dacă asupra unui experiment se extind asemenea restricţii, trebuie să se rezolve, în primul rând, problema care este acea informaţie de care ne putem lipsi şi în legătură cu aceasta ce efecte trebuie să fie amestecate.

Fig.9.9. Schema experimentului factorial 22

Se va considera un exemplu. Se presupune că este vorba de un experiment factorial de tipul 22 (adică doi factori la două nivele), unul din factori fiind avansul S, iar celălalt factor fiind adâncimea de aşchiere t. Se obţin patru combinaţii, figura 9.9.

a

bab

(1)0

1

0 1Avansul mm/rot

Gh. COMAN 258

În acest caz, punctul (1) constituie nivelul inferior, atât pentru avans, cât şi pentru adâncime de aşchiere. Drept nivel superior se consideră punctele a şi b, pentru avans, respectiv adâncime de aşchiere. Punctul ab constituie nivelul superior pentru ambii parametri. Este raţional să se considere că este imposibil a se efectua experimentul respectiv cu două valori ale avansului şi adâncimii de aşchiere simultan. De aici rezultă că asupra acestui experiment factorial acţionează anumite restricţii.

În continuare, este necesar să se ia o decizie privind combinaţiile condiţiilor adoptate pentru experiment. Pentru aceasta se întocmeşte tabelul 9.45, în care se prezintă trei variante posibile pentru fiecare experienţă.

Tabelul 9.45

Variante posibile pentru realizarea experienţelor în exemplul considerat

Variante - blocuri Nr. experienţei I II III

I (1) b (1) a (1) ab II a ab b ab a b În scopul întocmirii planului experimentului, în care numărul

condiţiilor de încercare, ce se unifică într-un bloc, este mai mic decât numărul total de combinaţii ale condiţiilor, experimentatorul trebuie să hotărască, în primul rând, care sunt efectele pe care le va combina. În cazul în care, ca în exemplul considerat, în cadrul experimentului există numai o singură interacţiune cu efectul interblocuri, va fi necesar să se stabilească numai ce combinaţii de condiţii trebuie să fie introduse în fiecare bloc. Se poate cita unul din procedeele de rezolvare a acestei probleme: se introduce într-un bloc condiţiile de încercare care există în expresia pentru efectul ce se mixează: AB = (1/2)[(1) – a – b + ab], semnul plus, iar în celălalt bloc al condiţiilor de încercare, care au semnul minus, adică:

Bloc I Bloc II (1) a ab b

În cazul în care numărul de blocuri şi numărul de condiţii creşte, în primul rând este necesar să se stabilească un anumit contrast. Acesta din urmă ne arată ce fel de efecte trebuie să fie mixate cu efectul interblocuri. Pentru ca în acest exemplu să se poată mixa interacţiunea AB, se înscrie AB drept contrast determinant. După ce s-a stabilit un asemenea contrast, trebuie să se determine ce combinaţii ale condiţiilor trebuie să fie introduse în fiecare bloc. Pentru aceasta există mai multe metode. Una din metode a fost menţionată mai sus. O altă metodă examinează fiecare combinaţie de condiţii. Acele combinaţii care posedă un număr par de simboluri [(1), ab] comune cu simbolul contrastului determinant, intră într-un bloc. Combinaţiile care posedă un număr impar de simboluri (a, b) intră în celălalt bloc. Întrucât, în exemplul considerat (1) nu are

MANAGEMENTUL CERCETĂRII 259

simboluri comune cu AB, se obţine zero (număr par). Simbolul a posedă o literă comună faţă de AB (a şi A), adică un număr impar. Simbolul b posedă, de asemenea, o literă comună cu AB, iar ab două litere comune. Aceste două metode prezintă dezavantajul că ele sunt utilizabile numai pentru experimentul factorial de tipul 2n. De aceea, se propune o metodă mai generală, care are la bază examinarea expresiei liniare:

A1X1 + A2X2 + A3X3 +…+ AnXn = L (9.29) În expresia (9.29) Ai este indicatorul exponentului factorului de

ordinul i, din fiecare contrast determinant, independent, iar Xi este nivelul factorului de ordin i din combinaţia dată a condiţiilor.

Toate combinaţiile condiţiilor, care posedă aceleaşi valori L, se vor introduce în acelaşi bloc.

În cazul examinat (experimentul factorial 22), contrastul determinat este AB, iar A1 = 1 şi A2 = 1. Astfel, L = A1X1 + A2X2 = 1.X1 + 1.X2, ecuaţie care se obţine logaritmând K = AB:

lg K = lg A + log B, sau, L = X1 + X2, unde L = lg K, lg A = X1 şi lg B = X2.

În consecinţă, pentru fiecare combinaţie de condiţii se obţin următoarele combinaţii de valori L: L = X1 + X2:

(1) = 0 + 0 = 0 a = 1 + 0 = 1 b = 0 + 1 = 1 ab = 1 + 1 = 2

Aici, 0 şi 2 sunt consideraţi 0, deoarece în experimentul factorial de

tipul 2n modulul este egal cu 2. Distribuţia combinaţiilor condiţiilor pe blocuri va fi: L = 0 – (1), ab, bloc I (bloc principal) L = 1 – a, b bloc II Expresia L pentru un contrast determinant mai complicat, de

exemplu ABC2, are forma: lg K = lg A + lg B + 2lg C.

L = X1 + X2 + 2X3 (9.30)

unde lg K = L; lg A = X1; lg B = X2; lg C = X3; A1 = 1; A2 = 1; A3 = 2. Blocul care conţine combinaţia condiţiilor (1) poartă denumirea de

bloc principal. Combinaţia condiţiilor, care intră în acest bloc, este formată din elementele grupului asupra căruia se efectuează înmulţiri în raport cu modulul 2. Elementele celuilalt bloc se pot forma prin înmulţirea unuia din elementele noului bloc, cu fiecare element ale blocului principal.

Înmulţind în mod reciproc elementele blocului principal se obţine din nou elementele care compun blocul principal. Se va demonstra acest lucru pe un exemplu de experiment factorial de tipul 2n. În acest experiment, contrastul determinant este interacţiunea ABC:

L = X1 + X2 + X3 (9.31) Condiţiile de încercare sunt:

Gh. COMAN 260

L = X1 + X2 + X3 (modul 2) (1) = 0 + 0 + 0 ⇒ 0 a = 1 + 0 + 0 ⇒ 1 b = 0 + 1 + 0 ⇒ 1

ab = 1 + 1 + 0 ⇒ 2 c = 0 + 0 + 1 ⇒ 1

ac = 1 + 0 + 1 ⇒ 2 ⇒ 0 bc = 0 + 1 + 1 ⇒ 2 ⇒ 0

abc = 1 + 1 + 1 ⇒ 3 ⇒ 1 De aici rezultă tabelul 9.46. Teoria grupurilor permite să se

simplifice această operaţie. Astfel, cunoscând două elemente ale blocului principal ab şi ac se poate obţine pe cel de al patrulea element astfel:

ab.ac = a2bc = bc (modul 2)

În acest fel, se poate obţine blocul II dacă este cunoscut cel puţin unul din elementele acestui bloc.

De exemplu, dacă este cunoscut a, atunci înmulţind acest element cu fiecare element al blocului principal se obţin toate elementele celui de al doilea bloc:

a.(1) = a a.ab = a2b = b

(modul)2 a.ac = a2c = c

a.bc = abc În cazul în care experimentul este limitat de o asemenea manieră,

încât toate condiţiile încercărilor nu pot să apară într-un singur bloc, atunci, una din interacţiuni se amestecă cu efectul interblocuri.

Trebuie deosebite următoarele condiţii: a. amestecare completă; b. amestecare parţială.

În cazul amestecării complete, când se examinează un experiment factorial de tipul 23, în cadrul căruia, în decursul unei zile se poate efectua doar experienţele cu patru combinaţii ale condiţiilor, se obţine un experiment factorial împărţit în două blocuri incomplete, având fiecare câte patru combinaţii ale condiţiilor de experimentare, fiind vorba din nou despre un experiment de tipul 23. Interacţiunea de cel mai înalt ordin ABC poate fi amestecată, după cum urmează:

Blocul I Blocul II

(1); ab; ac; bc a; b; c; abc

Tabelul 9.46 Combinaţiile condiţiilor de

experimentare Bloc I (L = 0)

Bloc II (L = 1)

(1) a ab b ac c bc abc

MANAGEMENTUL CERCETĂRII 261

În cazul în care experimentul poate fi repetat, de exemplu de trei ori, atunci se obţine planul experimentului din tabelul 9.47

Tabelul 9.47 Plan de experiment cu repetare sau replică

Repetarea sau replica I Repetarea sau replica II Repetarea sau replica III Bloc I Bloc II Bloc I Bloc II Bloc I Bloc II

ac a c (1) ab c (1) c abc ac (1) b ab abc b bc ac abc bc b a ab bc a

După cum se observă, schema de amestecare este aceeaşi pentru

toate cele trei replici, dar, în interiorul fiecărui bloc, ordinea de efectuare a experimentului este aleatorizată. În afară de aceasta, la fiecare repetare, alegerea primului bloc se face în mod aleatoriu.

În exemplul considerat, ne interesează unele criterii pentru verificarea interacţiunii ABC. Aceste criterii pot fi determinate prin amestecarea într-o anumită replică, în loc de ABC, a unei alte interacţiuni. Aici se poate utiliza patru replici şi, în prima dintre ele să fie amestecată interacţiunea ABC; în cea de a doua interacţiunea AB; în cea de a treia interacţiunea AC; iar în cea de a patra interacţiunea BC (aceasta este esenţa unei amestecări parţiale).

Astfel, aceste patru replici, ne vor furniza informaţia completă, în raport cu factorii A, B şi C şi, doar 3/4 din informaţie în raport cu AB, AC, BC şi ABC, deoarece nu se poate calcula interacţiunea nemixabilă, de exemplu pentru AB, numai în trei din cele patru replici. O asemenea amestecare poartă denumirea de amestecare parţială.

Pentru interacţiunea ABC – L1 = X1 + X2 + X3 (9.32) Pentru interacţiunea AB – L2 = X1 + X2 Pentru interacţiunea AC – L3 = X1 + X3 Pentru interacţiunea BC – L4 = X2 + X3 Se vor întocmi acum replicile pentru aceste interacţiuni, pentru

următoarele combinaţii ale condiţiilor: (1), a, b, ab, c, ac, bc, abc.

Pentru ABC

L1 = X1 + X2 + X3 (1) = 0 + 0 + 0 = 0 a = 1 + 0 + 0 = 1 b = 0 + 1 + 0 = 1 Replica I

ab = 1 + 1 + 0 = 2 ⇒ 0 Bloc I Bloc II c = 0 + 0 + 1 = 1 (1) a ac = 1 + 0 + 1 = 2 ⇒ 0 ab b bc = 0 + 1 + 1 = 2 ⇒ 0 ac c

abc = 1 + 1 + 1 = 3 ⇒ 1 bc abc

Gh. COMAN 262

Pentru AB

L2 = X1 + X2 (1) = 0 + 0 = 0 a = 1 + 0 = 1 b = 0 + 1 = 1 Replica II

ab = 1 + 1 = 2 ⇒ 0 Bloc I Bloc II c = 0 + 0 = 0 (1) a ac = 1 + 0 = 1 ab b bc = 0 + 1 = 1 c ac

abc = 1 + 1 = 2 ⇒ 0 abc bc Pentru AC

L3 = X1 + X3 (1) = 0 + 0 = 0 a = 1 + 0 = 1 b = 0 + 0 = 0 Replica III

ab = 1 + 0 = 1 Bloc I Bloc II c = 0 + 1 = 1 (1) a ac = 1 + 1 = 2 ⇒ 0 b ab bc = 0 + 1 = 1 ac c abc = 1 + 1 = 2 ⇒ 0 abc bc

Pentru BC L4 = X2 + X3 (1) = 0 + 0 = 0 a = 0 + 0 = 0 b = 1 + 0 = 1 Replica IV

ab = 0 + 1 = 1 Bloc I Bloc II c = 0 + 1 = 1 (1) b ac = 0 + 1 = 1 a ab bc = 1 + 1 = 2 ⇒ 0 bc c

abc = 1 + 1 = 2 ⇒ 0 abc ac În consecinţă: 1. În cazul unei amestecări complete vom obţine trei replici, în

fiecare replică două blocuri şi în fiecare bloc patru combinaţii ale condiţiilor. În total, 24 – 1 = 23 grade de libertate.

2. În cazul unei amestecări parţiale, vom obţine patru replici, în fiecare replică câte două blocuri şi în fiecare bloc patru combinaţii ale condiţiilor. În total, 32 – 1 = 31 grade de libertate.

Toate acestea atestă că nu numărul gradelor de libertate este mic în cazul amestecării complete şi, prin urmare, puterea unui asemenea criteriu este redusă.

Pe de altă parte, acest plan este suficient de eficace în cazul verificării efectelor principale A, B şi C şi a interacţiunilor perechi ale acestora.

Cu toate acestea, amestecarea completă nu ne furnizează informaţia referitoare la interacţiunea ABC, ceea ce nu se poate afirma în ceea ce priveşte amestecarea parţială.

MANAGEMENTUL CERCETĂRII 263

9.8.2. Amestecarea fără repetarea

experimentului

Deseori, experimentatorul nu are posibilitatea de a repeta de mai multe ori experimentul. În afară de aceasta, el este limitat de faptul că nu poate efectua un experiment factorial complet, într-un singur bloc sau o singură dată.

Se va examina, în continuare, planurile experimentelor factoriale de tipul 2n şi 3n, întrucât acestea apar deseori în practică.

Amestecarea în cadrul experimentelor factoriale de tipul 2n. Metodele prezentate mai sus pot fi utilizate pentru determinarea componenţei blocurilor, în cazul unei anumite scheme de amestecare.

În cazul în care este posibilă o singură replică, experimentul se efectuează o singură dată. În acest caz, unii termeni, care exprimă interacţiuni de ordine superioare, trebuie să fie folosite drept erori de experiment. Ele au loc în cazul inexistenţei unui anumit indicator independent al erorii, obţinut din datele precedente.

Se va examina, spre exemplu, experimentul factorial de tipul 24, în cadrul căruia, într-o singură repriză se pot efectua experienţe cu opt combinaţii ale condiţiilor. Una din schemele posibile de amestecare se prezintă în continuare.

Pentru ABCD – L = X1 + X2 + X3 + X4, există următoarele combinaţii ale condiţiilor: (1); a; b; ab; c; ac; bc; abc; d; ad; bd; abd; cd; acd; bcd; abcd. Aceste 16 combinaţii de condiţii se pot grupa în două blocuri, în virtutea aceluiaşi principiu, ca în paragraful precedent.

L = X1 + X2 + X3 + X4 (9.33)(1) = 0 + 0 + 0 + 0 = 0 bc = 0 + 1 + 1 + 0 = 2⇒0 a = 1 + 0 + 0 + 0 = 1 abc = 1 + 1 + 1 + 0 = 3⇒1 b = 0 + 1 + 0 + 0 = 1 d = 0 + 0 + 0 + 1 = 1 ab = 1 + 1 + 0 + 0 = 2⇒0 ad = 1 + 0 + 0 + 1 = 2⇒0 c = 0 + 0 + 1 + 0 = 1 bd = 0 + 1 + 0 + 1 = 2⇒0 ac = 1 + 0 + 1 + 0 = 2⇒0 abd = 1 + 1 + 0 + 1 = 3⇒1 cd = 0 + 0 + 1 + 1 = 2⇒0 acd = 1 + 0 + 1 + 1 = 3⇒1 bcd = 0 + 1 + 1 + 1 = 3⇒1 abcd = 1 + 1 + 1 + 1 = 4⇒0 Astfel putem obţine: Bloc I – (1); ab; bc; ac; abcd; cd; ad; bd (pentru L = 0) Bloc II – a; b, abc; c; bcd; acd; d; abd (pentru L = 1) În cazul în care într-un bloc pot intra patru combinaţii ale condiţiilor,

experimentul factorial de tipul 24 se poate împărţi în patru blocuri cu câte patru combinaţii ale condiţiilor în fiecare.

În cazul împărţirii experimentului în patru blocuri, cu efectul interbloc, trebuie să fie legate trei grade de libertate. Există cazuri când se amestecă două interacţiuni. În acest caz, se amestecă şi produsele, deoarece produsul semnelor a două efecte ne dă semnul produsului. Dacă se amestecă interacţiunile AB şi CD, se amestecă şi interacţiunea

Gh. COMAN 264

ABCD. Pentru această schemă se vor amesteca două interacţiuni de ordinul unu şi o interacţiune de ordinul trei. Nu este exclusă, însă, posibilitatea că este de preferat să se amestece două interacţiuni de ordinul doi şi o interacţiune de ordinul unu, adică ABC, BCD, AD. Trebuie menţionat că în acest caz: (ABC)x(BCD) = AB2C2D = AD (modul 2). Aceasta înseamnă că împreună cu blocurile se leagă trei grade de libertate. Dacă experimentatorul trebuie să efectueze un experiment cu patru combinaţii ale condiţiilor, atunci se obţine (pentru ABC, BCD, AD) următoarele două ecuaţii independente:

L1 = X1 + X2 + X3 (pentru ABC) (9.34) L2 = X2 + X3 + X4 (pentru BCD)

În continuare, se vor determina cele patru grupe pentru aceste combinaţii:

L1 = X1 + X2 + X3 L2 = X2 + X3 + X4 (1) 0 + 0 + 0 = 0 0 + 0 + 0 = 0 a 1 + 0 + 0 = 1 0 + 0 + 0 = 0 b 0 + 1 + 0 = 1 1 + 0 + 0 = 1

ab 1 + 1 + 0 = 2 = 0 1 + 0 + 0 = 1 c 0 + 0 + 1 = 1 0 + 1 + 0 = 1

1+ac 1 + 0 + 1 = 2 = 0 0 + 1 + 0 = 1 bc 0 + 1 + 1 = 2 = 0 1 + 1 + 0 = 2 = 0

abc 1 + 1 + 1 = 3 = 1 0 + 1 + 1 = 2 = 0 d 0 + 0 + 0 = 0 0 + 0 + 1 = 1

ad 1 + 0 + 0 = 1 0 + 0 + 1 = 1 bd 0 + 1 + 0 = 1 1 + 0 + 1 = 2 = 0

abd 1 + 1 + 0 = 2 = 0 0 + 1 + 1 = 2 = 0 cd 0 + 0 + 1 = 1 0 + 1 + 1 = 2 = 0

acd 1 + 0 + 1 = 2 = 0 0 + 1 + 1 = 2 = 0 bcd 0 + 1 + 1 = 2 = 0 1 + 1 + 1 = 3 = 1

abcd 1 + 1 + 1 = 3 = 1 1 + 1 + 1 = 3 = 1 Datele de mai sus, pentru experimentul factorial de tipul 24, se pot

subîmpărţi în patru blocuri, de câte patru combinaţii ale condiţiilor în fiecare, după cum se prezintă în tabelul 9.48.

Tabelul 9.48 Divizarea pe blocuri a experimentului factorial de tipul 24

Blocul I Blocul II Blocul III Blocul IV

(1) a b ab bc abc c ac acd cd abcd bcd abd bd ad d

L1 = 0 L2 = 0

L1 = 1 L2 = 0

L1 = 1 L2 = 1

L1 = 0 L2 = 1

MANAGEMENTUL CERCETĂRII 265

Tabelul 9.48 poate fi întocmit, cunoscând blocurile principale (blocul I), precum şi un element din restul blocurilor, de exemplu, dacă în blocul II se cunoaşte elementul a, atunci vom obţine blocul II, înmulţind a cu elementele blocului I: (1).a = a; bc.a = abc; acd.a = a2cd = cd; abd.a = a2bd = bd.

În mod similar se poate obţine blocul III cunoscând unul din elementele acestui bloc şi blocul IV, cunoscând, de asemenea, unul din elementele acestui bloc. Trebuie menţionat că numărul gradelor de libertate, în cazul unui asemenea plan, va fi:

N = 2n-1

Amestecarea în cazul experimente-lor factoriale tip 3n. În cazul în care un experiment factorial de tipul 3n nu poate fi complet aleatorizat, el se subîmparte în blocuri în număr multiplu de trei.

În cadrul acestui plan al experimentului factorial se folosesc asemenea interacţiuni ca AB, AB2, ABC2 etc ale combinaţiilor condiţiilor sub forma 00, 01, 10 şi 11, în loc de (1), a, b, ab etc. Trebuie menţionat că drept model în cazul acestui plan serveşte cifra 3. Dacă restricţia la care este supus experimentul factorial de tipul 32 duce la faptul că într-un singur bloc pot intra numai trei combinaţii ale condiţiilor, atunci, se amestecă, de obicei, interacţiunile AB sau AB2. Acest fapt se datorează circumstanţei că fiecare din ele posedă 2 grade de libertate. În acest caz, contrastul determinat poate fi interacţiunea AB2, contrast care este dat de ecuaţia:

L = X1 + 2X2 Pentru acest experiment se obţin 00; 10; 20; 01; 02; 11; 21; 22

combinaţii ale condiţiilor: L = X1 + 2X2 (9.35)

00 0 + 2 X 0 = 0 0 01 0 + 2 X 1 = 2 2 02 0 + 2 X 2 = 4 1 10 1 + 2 X 0 = 1 1 11 1 + 2 X 1 = 3 0 (modul 3) 12 1 + 2 X 2 = 5 2 20 2 + 2 X 0 = 2 2 21 2 + 2 X 1 = 4 1 22 2 + 2 X 2 = 6 0

Se introducând acum aceste combinaţii ale condiţiilor cu aceleaşi valori ale lui L, în acelaşi bloc, se obţine:

Bloc I L = 0

Bloc II L = 1

Bloc III L = 2

00 10 20 11 21 01 22 02 12

În acest caz, blocul care conţine combinaţia 00 este un bloc principal, fiind blocul I. Blocurile II şi III sunt formate prin adunarea uneia

Gh. COMAN 266

din combinaţii ale condiţiilor acestor blocuri cu toate combinaţiile condiţiilor blocului I.

00 + 10 = 10 11 + 10 = 21 22 + 10 = 32 = 02 (modul 3) etc. Dacă amestecăm interacţiunea AB cu două grade de libertate,

atunci: L = X1 + X2. În acest caz, blocurile vor avea forma: L = X1 + X2

00 0 + 0 = 0 12 1 + 2 = 3 = 0 01 0 + 1 = 1 21 2 + 0 = 2 02 0 + 2 = 2 21 2 + 1 = 3 = 0 (modul 3) 10 1 + 0 = 1 22 2 + 2 = 4 = 1 11 1 + 1 = 2

Bloc I L = 0

Bloc II L = 1

Bloc III L = 2

00 10 20 12 22 02 21 01 11

Se va examina, în continuare, un experiment de tipul 33, în care

toate cele 27 de combinaţii de condiţii nu pot fi aleatorizate în mod complet. Un asemenea experiment poate fi utilizat sub o formă când el este subîmpărţit în trei blocuri câte nouă combinaţii în fiecare, dacă este posibil să fie aleatorizate şi să se execute într-o singură zi nouă experienţe, alte nouă în a doua zi etc. Pentru a putea folosi un asemenea experiment factorial, este necesar ca efectul interblocuri să se amestece cu un efect cu două grade de libertate. Deoarece interacţiunea ABC cu opt grade de libertate poate fi împărţită în interacţiunile ABC, ABC2, AB2C şi AB2C2, fiecare având două grade de libertate, una din aceste patru interacţiuni se poate amesteca cu efectul interblocuri. În cazul în care se amestecă interacţiunea AB2C avem:

L = X1 + 2X2 + X3 (9.36) În acest caz, blocurile vor fi de forma: 000 0 + 2 x 0 + 0 = 0 0 001 0 + 2 x 0 + 1 = 1 1 002 0 + 2 x 0 + 2 = 2 2 010 0 + 2 x 1 + 0 = 2 2 011 0 + 2 x 1 + 1 = 3 0 012 0 + 2 x 1 + 2 = 4 1 020 0 + 2 x 2 + 0 = 4 1 021 0 + 2 x 2 + 1 = 5 2 022 0 + 2 x 2 + 2 = 6 0 100 1 + 2 x 0 + 0 = 1 1 101 1 + 2 x 0 + 1 = 2 2 102 1 + 2 x 0 + 2 = 3 0 110 1 + 2 x 1 + 0 = 3 0

MANAGEMENTUL CERCETĂRII 267

111 1 + 2 x 1 + 1 = 4 1 112 1 + 2 x 1 + 2 = 5 2 120 1 + 2 x 2 + 0 = 5 2 121 1 + 2 x 2 + 1 = 6 0 122 1 + 2 x 2 + 2 = 7 1 200 2 + 2 x 0 + 0 = 2 2 201 2 + 2 x 0 + 1 = 3 0 202 2 + 2 x 0 + 2 = 4 1 210 2 + 2 x 1 + 0 = 4 1 211 2 + 2 x 1 + 1 = 5 2 212 2 + 2 x 1 + 2 = 6 0 220 2 + 2 x 2 + 0 = 6 0 221 2 + 2 x 2 + 1 = 7 1 222 2 + 2 x 2 + 2 = 8 2

De unde: Bloc I L = 0

Bloc II L = 1

Bloc IV L = 2

000 001 002 011 012 010 022 020 021 102 100 101 110 111 112 121 122 200 201 202 211 212 210 222 220 221 120

Un asemenea plan poate fi considerat a fi util, deoarece se pot

păstra toate efectele principale (A, B şi C) şi toate interacţiunile perechi, cu condiţia ca interacţiunea ABC, cu şase grade de libertate, să fie folosită drept eroare a experimentului. În cazul amestecării altor componente ale interacţiunii ABC, se obţin, desigur, alte distribuţii ale combinaţiilor condiţiilor pe blocuri, pentru una şi aceeaşi schemă de analiză. Utilizând diverse distribuţii ale combinaţiilor condiţiilor pe blocuri, se pot obţine în practică diverse rezultate.

Drept exemplu se va trata amestecarea efectelor din experimentul factorial de tipul 33, subîmpărţit în 9 blocuri, de câte 3 combinaţii de condiţii în fiecare. Una din schemele de amestecare poate fi AB2C2, AB, BC2, AC. Vom observa că:

(AB2C2) x (AB) = A2B2C2 = A2C2 = AC şi (BC2) x (AB) = AB2C2

Nu se poate spune că toate aceste interacţiuni sunt independente. În realitate, sunt independente numai două din ele. Plecând de la acest considerent, vor fi necesare numai două relaţii pentru valoarea lui L:

L1 = X1 + 2X2 + X3 L2 = X1 + X2

Gh. COMAN 268

Pentru obţinerea celor 9 blocuri este necesar ca din cele 27 de combinaţii să se aleagă următoarele valori pentru L1 şi L2 şi să se reprezinte aceste valori în blocuri distincte:

L1 = 0 şi L2 = 0 L1 = 1 şi L2 = 2 L1 = 0 şi L2 = 1 L1 = 2 şi L2 = 0 L1 = 0 şi L2 = 2 L1 = 2 şi L2 = 1 L1 = 1 şi L2 = 0 L1 = 2 şi L2 = 2 L1 = 1 şi L2 = 1

L1 = X1 + 2X2 + X3 L2 = X1 + X2

000 = 0 + 2 x 0 + 2 x 0 = 0 0 + 0 = 0 001 = 0 + 2 x 0 + 2 x 1 = 2 0 + 0 = 0 002 = 0 + 2 x 0 + 2 x 2 = 4 = 1 0 + 0 = 0 010 = 0 + 2 x 1 + 2 x 0 = 2 0 + 1 = 1 011 = 0 + 2 x 1 + 2 x 1 = 4 = 1 0 + 1 = 1 012 = 0 + 2 x 1 + 2 x 2 = 6 = 0 0 + 1 = 1 020 = 0 + 2 x 2 + 2 x 0 = 4 = 1 0 + 2 = 2 021 = 0 + 2 x 2 + 2 x 1 = 6 = 0 0 + 2 = 2 022 = 0 + 2 x 2 + 2 x 2 = 8 = 2 0 + 2 = 2 100 = 1 + 2 x 0 + 2 x 0 = 1 1 + 0 = 1 101 = 1 + 2 x 0 + 2 x 1 = 3 = 0 1 + 0 = 1 102 = 1 + 2 x 0 + 2 x 2 = 5 = 2 1 + 0 = 1 110 = 1 + 2 x 1 + 2 x 0 = 3 = 0 1 + 1 = 2 111 = 1 + 2 x 1 + 2 x 1 = 5 = 2 1 + 1 = 2 112 = 1 + 2 x 1 + 2 x 2 = 7 = 1 1 + 1 = 2 120 = 1 + 2 x 2 + 2 x 0 = 5 = 2 1 + 2 = 3 = 0 121 = 1 + 2 x 2 + 2 x 1 = 7 = 1 1 + 2 = 3 = 0 122 = 1 + 2 x 2 + 2 x 2 = 9 = 0 1 + 2 = 3 = 0 200 = 2 + 2 x 0 + 2 x 0 = 2 2 + 0 = 2 201 = 2 + 2 x 0 + 2 x 1 = 4 = 1 2 + 0 = 2 202 = 2 + 2 x 0 + 2 x 2 = 6 = 0 2 + 0 = 2 210 = 2 + 2 x 1 + 2 x 0 = 4 = 1 2 + 1 = 3 = 0 211 = 2 + 2 x 1 + 2 x 1 = 6 = 0 2 + 1 = 3 = 0 212 = 2 + 2 x 1 + 2 x 2 = 8 = 2 2 + 1 = 3 = 0 220 = 2 + 2 x 2 + 2 x 0 = 6 = 0 2 + 2 = 4 = 1 221 = 2 + 2 x 2 + 2 x 1 = 8 = 2 2 + 2 = 4 = 1 222 = 2 + 2 x 2 + 2 x 2 = 10 = 1 2 + 2 = 4 = 1

Astfel se obţin următoarele blocuri:

Bloc I L1=0; L2=0

Bloc II L1=0; L2=1

Bloc III L1=0; L2=2

Bloc IV L1=1; L2=0

Bloc V L1=1; L2=1

000 101 021 002 100 122 012 110 210 011 211 220 202 121 222

MANAGEMENTUL CERCETĂRII 269

Bloc VI

L1=1; L2=2 Bloc VII

L1=2; L2=0 Bloc VIII

L1=2; L2=1 Bloc IX

L1=2; L2=2 020 001 221 111 201 212 010 200 112 120 102 022

Planul prezentat mai sus poate fu acceptabil în cazul acordării

întregii atenţii numai efectelor principale A, B şi C. Un asemenea plan poate fi necesar şi în cazul examinării a trei factori, fiecare cu trei nivele, cu condiţia ca într-o singură zi să se poată efectua experienţele cu trei combinaţii ale condiţiilor.

9.8.3. Replici fracţionare

Efecte comune. Creşterea numărului de factori, care se

examinează în cadrul unui experiment factorial, duce la o creştere rapidă a numărului combinaţiilor de cercetare. Aceste afirmaţii pot fi ilustrate în exemplul unui experiment factorial de tipul 2n, pentru n = 5 trebuie să se efectueze 32 de experienţe pentru o replică, pentru n = 6, 64 de experienţe, iar pentru n = 7, 128 de experienţe etc. În afară de creşterea numărului de experienţe are loc, de asemenea, şi creşterea numărului de interacţiuni de ordin superior.

Unele din aceste experienţe pot fi folosite drept erori. Acest lucru este legat de faptul că interacţiunile de 4 şi mai mulţi factori sunt greu explicabile, dacă ele sunt semifictive.

Definirea noţiunii de replică fracţionară. În cazul în care se repetă numai o parte a experimentului, planul poartă denumirea de replică fracţionară sau de planul experimentului factorial fracţionar.

Se va presupune că experimentatorul are posibilitatea de a efectua 50% din experienţe şi-l interesează 7 factori, fiecare din aceştia având două nivele. În acest caz, el poate utiliza o semireplică a acestui experiment. În această situaţie, experimentul complet, prin amestecarea unei interacţiuni de ordin superior, se subîmparte în două blocuri, cu câte 50% din experienţe în fiecare. După aceea, se efectuează experienţele unui singur bloc. În acest caz, hotărârea referitoare la alegerea blocului se face prin aruncarea monezii.

Se va examina cazul simplu, în scopul demonstrării modului de desfăşurare a unui experiment factorial fracţionar. Considerăm că pe experimentator îl interesează trei factori, fiecare cu două nivele. Să presupunem că experimentatorul nu are posibilitatea de a efectua toate cele opt experimente 23 = 8. El poate efectua numai patru dintre ele. Prin amestecarea interacţiunii ABC se obţine:

Blocul I – (1), ab, bc, ab; Blocul II – ab, b, c, abc. Se presupune că în urma aruncării monezii s-a ales blocul II.

Trebuie stabilit ce fel de informaţie se poate prelua din blocul II şi ce cantitate din informaţie se pierde în cazul efectuării numai a 1/2 din

Gh. COMAN 270

experienţă. Revenim la tabelul 9.22, în care sunt reprezentaţi coeficienţii respectivi, pentru combinaţia condiţiilor experimentului factorial de tipul 23, în scopul determinării efectelor căutate, putem executa numai încercările în condiţiile care se referă numai la blocul II, adică acela din tabelul 9.49.

Tabelul 9.49 Program de experimentări factoriale tip 23

Efectul Combinaţia

condiţiei A B AB C AC BC ABC a + - - - - + + b - + - - + - + c - - + + - - +

abc + + + + + + + Din tabelul 9.49 se poate observa că valorile A şi BC au aceleaşi

semne, plus sau minus, adică: A = a – b – c + abc; BC = a – b – c + abc. Aceasta înseamnă că în blocul II nu putem delimita efectul A şi

efectul BC. Este imposibil, de asemenea, de delimitat efectele B şi AC deoarece:

B = - a + b – c + abc; AC = - a + b – c + abc. Astfel, efectele A şi BC precum şi B şi AC, care au aceiaşi valoare

numerică sunt cumulative. Datorită acestui fapt, în cazul efectuării numai a unei părţi din experiment, trebuie să verificăm existenţa unor efecte cumulative. Această verificare este determinată de considerentul, în virtutea căruia, trebuie să fim ferm convinşi, că într-un singur bloc intră ambele efecte comune. În caz contrar, un asemenea plan nu mai are nici o valoare. În cazul în care în experimentul dat, în locul blocului II, se alege blocul I, efectul A are valoarea:

A = -(1) + ab + ac – bc şi BC = (1) – ab – ac + bc. Toate acestea atestă că sumele respective diferă numai ca semn,

adică: A = - BC. În acest caz se poate spune, de asemenea, că A şi BC sunt efecte

comune (cumulative). Procedeul menţionat mai sus, de determinare a efectului comun (cumulativ), nu este însă reuşit. Există un procedeu rapid de determinare a efectului comun. Principiul respectiv, constă în aceea că efectul se înmulţeşte cu termenii contrastului determinat şi, în raport cu modelul corespunzător, se determină valoarea efectului comun (cumulativ). Pentru exemplificare se va considera un experiment de tipul 22 (aici drept modul vom avea cifra 2). Este necesar să se determine efectele comune. Drept contrast determinant se consideră interacţiunea ABC. În acest caz, efectele comune vor fi:

A(ABC) = A2BC = BC;

MANAGEMENTUL CERCETĂRII 271

B(ABC) = AB2C = AC; C(ABC) = ABC2 = AB. În consecinţă, pentru fiecare replică fracţionară a experimentului

fracţionar factorial de tipul 2n efectele comune vor fi A şi BC; B şi AC şi C şi AB. După mici modificări, cele de mai sus sunt valabile şi pentru experimentul factorial fracţionar de tipul 3n.

Replicile fracţionare, în cazul experimentului factorial de tipul 2n. Aici, ca exemplu se examinează problema, în care considerând influenţa a 7 factori, care posedă două nivele, adică un experiment factorial de tipul 27. Rezultă, în consecinţă, 128 de experienţe, dar, să presupunem că avem posibilitatea de a efectua 50% din experienţe, adică o semireplică a experimentului factorial de tipul 27.

Efectele comune, în cazul unui asemenea experiment, pot fi determinate, dacă se cunoaşte contrastul determinant: ABCDEFG.

Blocurile se determină, în acest caz, prin situarea lui (1) şi a tuturor combinaţiilor de număr par într-un singur bloc (2, 4 şi 6), iar restul combinaţiilor cu număr impar (1, 3, 5 şi 7) în celălalt bloc. Alegerea unuia din aceste două blocuri se face în mod aleatoriu. În afară de aceasta, înainte de efectuarea experimentului este necesar să se verifice (după cum s-a menţionat mai sus) existenţa unor efecte comune, cu ajutorul contrastului determinant ABCDEFG.

A(ABCDEFG) = A2BCDEFG = BCDEFG B(ABCDEFG) = ACDEFG C(ABCDEFG) = ABDEFG D(ABCDEFG) = ABCEFG E(ABCDEFG) = ABCDFG F(ABCDEFG) = ABCDEG G(ABCDEFG) = ABCDEF

(avem aici efectele de interacţiune de ordinul cinci). Pentru ordinul patru de interacţiune vom avea următoarele efecte comune (cumulative).

AB(ABCDEFG) = CDEFG CD(ABCDEFG) = ABEFG AC(ABCDEFG) = BDEFG CE(ABCDEFG) = ABDFG AD(ABCDEFG) = BCEFG CF(ABCDEFG) = ABDEG AE(ABCDEFG) = BCDFG CG(ABCDEFG) = ABDEF AF(ABCDEFG) = BCDEG DE(ABCDEFG) = ABCFG AG(ABCDEFG) = BCDEF DF(ABCDEFG) = ABCEG BC(ABCDEFG) = ADEFG DG(ABCDEFG) = ABCEF BD(ABCDEFG) = ACEFG EF(ABCDEFG) = ABCDG BE(ABCDEFG) = ACDFG EG(ABCDEFG) = ABCDF etc.În consecinţă, pentru toate interacţiunile de ordinul doi, efectele

comune (cumulative) sunt interacţiunile de ordinul patru. Pentru interacţiunile de ordinul doi ABC efectul comun este

interacţiunea de ordinul trei: ABC(ABCDEFG) = DEFG ACF(ABCDEFG) = BDEG ADE(ABCDEFG) = BCFG ACG(ABCDEFG) = BDEF ACD(ABCDEFG) = BEFG ADG(ABCDEFG) = BCEF AEF(ABCDEFG) = BCDG AEG(ABCDEFG) = BCDF AFG(ABCDEFG) = BCDE BEG(ABCDEFG) = ACDF etc

Gh. COMAN 272

În unele cazuri, interacţiunile de ordinul doi şi trei se iau drept aprecieri ale erorii. În asemenea cazuri, schema analizei pentru o semireplică (50% din experienţe), cu un număr comun de grade de libertate, 63, se reprezintă după cum urmează:

1. Efectele principale pentru experimentul 27, cu 7 grade de libertate;

2. Interacţiunile de ordinul unu (sau patru), 21 grade de libertate; 3. Interacţiunile de ordinul doi (sau trei), cu 35 grade de libertate. Total: 63 grade de libertate În cazul superpoziţiei asupra acestui experiment a unor restricţii

suplimentare şi, în cazul în care există posibilitatea de a efectua numai 32 de experienţe, experimentatorul poate realiza un sfert de replică a experimentului factorial de tipul 27. În acest caz, cu efectul interblocuri, se va amesteca efectul cu trei grade de libertate. Planul unui asemenea experiment este de forma:

1. Efectele principale pentru experimentul de tipul 27 posedă 7 grade de libertate;

2. Interacţiunile de ordinul unu AC, 15 grade de libertate; 3. Interacţiunile AB (FG); AF(BG), 3 grade de libertate; 4. Interacţiunile de ordinul doi şi mai mare (ACF), 6 grade de

libertate. Total: 31 grade de libertate.

Replicile fracţionare în cazul unui experiment de tipul 3n. Se va examina un experiment factorial de tipul 32, care este, de fapt, experimentul cel mai simplu din tipul 3n. În cazul acestui experiment replica totală se compune din 9 experienţe.

Dacă se efectuează o parte din aceste experienţe, se poate examina o treime din replica acestui experiment. La început se amestecă interacţiunea AB sau AB2:

L = X1 + 2X2 şi se obţin următoarele blocuri:

L = 0 L = 1 L = 2 00 10 20 11 21 01 22 02 12

Dacă se va realiza acum unul din aceste trei blocuri, se va obţine: A(AB2) = A2B2.

Deoarece exponentul primului termen (A) nu poate fi mai mare decât unu, se obţine:

A(AB2) = (AB2)2 = A4B4 = AB (modul 3), sau, B(AB2) = AB3 = A În consecinţă, toate cele trei efecte A, B şi AB pot fi considerate ca fiind

cumulative (comune) şi, ca atare, se amestecă între ele. De aici rezultă că: A = B = AB sunt efecte comune.

Gradul de apreciere al replicilor fracţionare apare în mod pregnant tocmai atunci când experimentul conţine un mare număr de factori.

Se va examina, de exemplu, experimentul factorial de tipul 33 cu subdivizarea în 3 blocuri cu câte 9 combinaţii ale condiţiilor în fiecare. În

MANAGEMENTUL CERCETĂRII 273

această situaţie, se pot departaja următoarele efecte, care posedă două grade de libertate: A, B, C, AB, AB2, AC, AC2, BC, BC2, ABC, AB2C, ABC2 şi AB2C2. Amestecând acum interacţiunea ABC2 cu trei blocuri se obţine:

L = X1 + X2 + 2X3 În acest caz, blocurile vor fi cele din tabelul 9.50.

Tabelul 9.50 Programul de repartizare a experienţelor pe blocuri

Blocuri Condiţiile combinaţiilor

Blocul I (L=0) 000 011 022 101 112 120 210 221 202Blocul I (L=0) 100 111 122 201 212 220 010 021 002Blocul I (L=0) 200 211 222 001 012 020 110 121 102

În cazul realizării numai a unuia din aceste blocuri efectele comune

vor fi: A(ABC2) = (A2BC2)2 = A4B2C4 = AB2C A(ABC2)2 = A(A2B2C4) = A3B2C4 = B2C = B4C2 = BC2 B(ABC2) = AB2C2 = AB2C2 B(ABC2)2 = A2B3C4 = (A2C)2 = A4C2 = AC2 C(ABC2) = ABC3 = AB C(ABC2)2 = A2B2C5 = (A2B2C2)2 = A4B4C4 = ABC AB2(ABC2) = A2B3C2 = (A2C2)2 = A4C4 = AC AB2(ABC2) = A2B3C2 = (A2C2)2 = A4C4 = AC AB2(ABC2) = A3B3C4 = B4C4 = BC Dacă se pot neglija toate interacţiunile şi pentru aprecierea erorii să

avem cel puţin două grade de libertate, atunci acest plan poate fi considerat acceptabil, din punct de vedere practic.

Se va examina mai detaliat planul unei treimi de replică a unui experiment factorial de tipul 33. Schema de efectuare a acestui experiment, ca fiind un experiment complet aleatorizat, se prezintă în tabelul 9.51 (elementele nu sunt încă eliminate).

Tabelul 9.51 Experiment factorial 33, la o treime din factori

Factor A Factor B Factor C 0 1 2

0 000 100 200 1 001 101 201 0 2 002 102 202 0 010 110 210 1 011 111 211 1 2 012 112 212 0 020 120 220 1 021 121 221 2 2 022 122 222

Dacă se execută numai o treime din experiment, de exemplu numai

blocul L = 1, atunci vom presupune că celelalte efecte ale tabelului 9.51

Gh. COMAN 274

se elimină. Dacă elementele rămase (nouă la număr) din tabelul 9.51 se reunesc în raport cu nivelele factorului C, putem obţine un plan în forma unui pătrat latin, tabelul 9.52.

Tabelul 9.52 Plan de experiment sub forma unui pătrat latin

Factor A Factor B 0 1 2 0 2 0 1 1 0 1 2 2 1 2 0

Astfel, o treime de replică a experimentului factorial de tipul 33,

exprimată prin factorul C, are forma din tabelul 9.52. prin urmare, s-a închis „cercul” de la pătratul latin în cazul a două restricţii în ceea ce priveşte aleatorizarea unui experiment monofactorial, până la pătratul latin, ca treime de replică a experimentului de tipul 33.

Aceste planuri sunt identice, deşi ele sunt obţinute pe căi complet diferite.

În treimea de replică a experimentului factorial de tipul 33 există trei factori care prezintă interes, care impun condiţiile încercării. Modelul matematic al acestui plan este:

Xijk = m + Ai + Bj + Ck + εijk (9.37) În expresia (9.37), A, B şi C se iau din efectul condiţiilor încercării.

Trebuie să se sublinieze, însă, încă o dată, că înainte de a folosi aceste planuri, pentru un experiment de tipul 33, trebuie să fim siguri că nu există interacţiuni. Dacă există interacţiuni, între A, B şi C, acestea trebuie să fie amestecate cu efectul principal de o manieră cât mai potrivită.

CAP.10. CERCETAREA PARAMETRILOR PROCESULUI DE AŞCHIERE A METALELOR PRIN METODE STATISTICE DE PLANIFICARE

A EXPERIMENTULUI

10.1. Realizarea modelului pentru calculul componentelor forţei de aşchiere

la strunjire Cercetarea urmăreşte determinarea caracterului şi a gradului de

influenţă a regimurilor de aşchiere asupra componentelor Pz; Py şi Px ale forţei de aşchiere, cu ajutorul metodei statistice de planificare a experimentelor, celelalte condiţii ale aşchierii rămânând neschimbate.

În cazul de faţă, se examinează un experiment factorial de tipul 33, adică un asemenea experiment, în care participă trei factori, pe trei nivele fixate, cu repetarea de trei ori a fiecărui experiment.

Dar, întrucât rezultă un număr prea mare de experienţe, 33 = 27, suntem nevoiţi să limităm întru-câtva aleatorizarea şi să examinăm un experiment de tipul 33 cu subîmpărţire în blocuri, a căror număr este multiplu de trei. În acest caz, fiecare bloc posedă câte nouă combinaţii ale condiţiilor.

Dacă se realizează numai unul din blocuri, atunci efectele comune vor fi:

V(VSt2) = V2St2 = VS2t V(VSt2)2 = V3S2t4 = (S2t)2 = S4t2 = St2 S(VSt2) = VS2t2 S(VSt2)2 = V2S3t4 = (V2t)2 = V4t2 = Vt2 t(VSt2) = VSt3 = VS t(VSt2)2 = V2S2t5 = (V2S2t2)2 = VSt VS2(VSt2)2 = (V2S3t2)2 = St VS2(VSt2) = V3S4t4 = St Blocul L = 1 poate fi considerat drept planul de efectuare a

experimentului. În continuare, trebuie determinate nivelele pentru variabilele V, S şi

t. În acest scop, din Anexa 5, pentru o dependenţă liniară, considerăm coeficienţii polinoamelor egali cu: +1; 0; -1. Pentru simplificarea calculelor se face o codificare a nivelelor cu ajutorul ecuaţiilor de transformare.

Pentru viteză: (se consideră un interval pentru viteze de la 10 la 220 m/min: Vmin = 10 m/min; Vmax = 220 m/min).

L = 0 L = 1 L = 2 000 100 200 011 111 211 022 122 222 101 201 001 112 212 012 120 220 020 210 010 110 221 021 121 202 002 102

Gh. COMAN

276

Nivelul inferior: „0”:

1lnln

)ln(ln2

minmax

max00 +

−−

=VVVVX

Considerând X0 = -1 (conform coeficientului polinomului) se poate determina V0.

Nivelul mediu: „1”:

1)lnln)ln(ln2

minmax

max11 +

−−

=VVVVX

Considerând X1 = 0, se poate determina V1. Nivelul superior: „2”:

1)lnln)ln(ln2

minmax

max22 +

−−

=VVVVX

Considerând X2 = +1, se poate determina V2. În mod analog se determină valorile X0; X1; X2 pentru avans şi

adâncimea de aşchiere, considerând intervalul de variaţie al avansului de la 0,07 mm/rot la 0,3 mm/rot, iar adâncimea de aşchiere de la 0,25 mm la 1 mm.

Ecuaţiile de transformare pentru determinarea valorilor avansului sau adâncimii de aşchiere au aproximativ aceeaşi formă ca şi pentru viteza de aşchiere, numai că în loc de simbolul V se va introduce simbolul S sau t. Valorile coeficienţilor pentru toţi parametri necunoscuţi rămân constante. În urma efectuării calculelor, se pot obţine următoarele nivele pentru aceste necunoscute, tabelul 10.1.

Tabelul 10.1 Valori experimentale pentru parametrii regimului de aşchiere

şi calculate pentru necunoscute

Regimurile de aşchiere Nr. exp. L=1 V, m/min S, mm/rot t, mm

Nivele pentru necunoscute

Pentru V 1 002 10 0,07 1,00 0: 10 m/min 2 100 100 0,07 0,25 1: 100 m/min 3 201 220 0,07 0,50 2: 220 m/min Pentru S 4 010 10 0,21 0,25 0: 0,07 mm/rot 5 111 100 0,21 0,50 1: 0,21 mm/rot 6 212 220 0,21 1,00 2: 0,30 mm/rot Pentru t 7 021 10 0,30 0,50 0: 0,25 mm 8 122 100 0,30 1,00 1: 0,50 mm 9 220 220 0,30 0,25 2: 1,00 mm

Conform planului experimental din tabelul 10.1, se efectuează

experimentele şi se repetă de trei ori. În tabelul 10.2 se prezintă valorile medii ale componentelor forţei de aşchiere, în urma a trei observaţii din fiecare experiment. După realizarea acestui tabel configuraţia

MANAGEMENTUL CERCETĂRII

277

dependenţelor se caută în următoarele forme generale ale ecuaţiilor componentelor forţei de aşchiere:

321

321

321

xxxxx

yyyyy

zzzzz

tSVCP

tSVCP

tSVCP

=

=

=

(10.1)

Tabelul 10.2 Valori experimentale pentru componentele forţei de aşchiere

Componentele forţei de aşchiere Nr. crt

V, m/min

S, mm/rot

t, mm Pz, daN Py, daN Px, daN

1 10 0,07 1,00 33,9 17,9 6,2 2 100 0,07 0,25 11,4 6,4 2,1 3 220 0,07 0,50 17,0 9,0 3,2 4 10 0,21 0,25 28,6 15,1 5,3 5 100 0,21 0,50 37,9 20,1 7,0 6 220 0,21 1,00 57,0 30,2 10,6 7 10 0,30 0,50 57,9 30,4 10,7 8 100 0,30 1,00 76,7 40,6 14,2 9 220 0,30 0,25 28,9 15,3 5,4

Pentru determinarea exponenţilor şi a coeficienţilor Cz, Cy şi Cx se

utilizează metoda celor mai mici pătrate. În acest context, dacă se logaritmează relaţia (10.1) şi introducând notaţiile corespunzătoare:

VV ln1 = ; SS ln1 = ; tt ln1 = , avem:

13121133

13121122

13121111

tXSXVXCPtYSYVYCPtZSZVZCP

+++=+++=+++=

(10.2)

Utilizând condiţiile lui Gauss, pentru relaţiile (10.2) şi programând pe calculator rezolvarea sistemului de ecuaţii respectiv, se obţin toţi coeficienţii şi exponenţii necunoscuţi, care dau posibilitatea concretizării pentru calcule operative a sistemului de ecuaţii (10.1) sub forma:

035,0

63,099,0

091,0

73,056,0

073,0

67,068,0

.102

.5,136

.244

VtSP

VtSP

VtSP

x

y

z

−=

=

=

(10.3)

În graficele din figurile10.1, 10.2 şi 10.3 se prezintă rezultatele examinării relaţiilor (10.3) pentru componentele forţei de aşchiere Pz, Py şi

Gh. COMAN

278

Px, în daN, în funcţie de parametrii regimului de aşchiere: V – viteza de aşchiere; S – avansul de lucru; t – adâncimea de aşchiere, obţinute prin două metode (statistică şi tradiţională).

Fig.10.1 Influenţa vitezei de aşchiere asupra componentelor forţei de aşchiere: Pz, Py şi Px,

Fig.10.2 Influenţa avansului de lucru asupra componentelor

forţei de aşchiere: Pz, Py şi Px, Pentru o verosimilitate cât mai completă a rezultatelor se face o

verificare a ipotezei influenţei regimurilor de aşchiere, asupra componentelor forţei de aşchiere, prin metoda analizei dispersionale.

Fig.10.3 Influenţa adâncimii de

aşchiere asupra componentelor forţei de aşchiere: Pz, Py şi Px,

Plecând de la planul de

cercetare, prezentat în tabelul 10.1, se iau în considerare numai ultimele 9 experienţe, care se unifică după nivelele factorului t (adâncimea de

aşchiere), realizându-se tabelul 10.3, cu notaţiile respective. Tabelul 10.3

Program experimental pentru analiza dispersională

Factorul B Factorul A 0 1 2 0 2 0 1 1 0 1 2 2 1 2 0

La verificarea ipotezei se face analiza numai pentru componenta Pz a forţei de aşchiere. Analiza se poate face, în mod analog, şi pentru

MANAGEMENTUL CERCETĂRII

279

componentele Py şi Px, precum şi pentru alte situaţii asemănătoare întâlnite în practica cercetărilor experimentale. Pentru analiza dispersională se realizează tabelul 10.4.

Pentru analiza dispersională din tabelul 10.4, se dau valorile forţei Pz. Aceste mărimi pot fi codificate în prealabil, scăzând valoarea 39 din fiecare indicaţie (în acest caz, folosirea testului F nu se modifică).

Tabelul 10.4 Prezentarea modificată a datelor pentru analiza dispersională

Factorul V 10 100 220 Factorul S

0 1 2 T••k

0 0,07 -5 -28 -22 -55 1 0,21 -10 -1 18 7 2 0,30 19 38 -10 47

Ti•• 4 9 -14 T•••= - 1 T•j• -48 -4 +51

După realizarea tabelului 10.4, se trece la determinarea sumei

pătratelor pentru toate mărimile ce ne interesează. În primul rând se determină suma comună a pătratelor. Pentru aceasta, adunând pătratele tuturor indicaţiilor se poate scădea termenul de corecţie. Acesta din urmă reprezintă suma tuturor observaţiilor ridicată la pătrat şi împărţită la numărul de observaţii, adică:

9,36229

)1()10(...)10()5(2

222 =−

−−++−+−=comSS

Sumele pătratelor care corespund avansului, vitezei de aşchiere şi adâncimii de aşchiere se determină cu relaţiile:

9,176091

35283

93

23

1

2

.var =−=−= •••

=

••∑ TTSSk

kavans

2,164091

34921

93

23

1

2

..var =−=−= •••

=

••∑ TTSS

j

jaschieredead

9,9791

3293

93

23

1

2

..var =−=−= •••

=

••∑ TTSSi

iaschieredevit

După efectuarea calculelor respective, se determină eroarea sumei pătratelor:

9,1239,972,16409,17609,3622..var..var.var

=−−−=

=−−−= aschieredevitaschieredeadavanscomer SSSSSSSSSS

Rezultatele analizei dispersionale pentru acest exemplu, cu o planificare de bloc completă a pătratului latin, se prezintă în tabelul 10.5.

Utilizând rezultatele de mai sus, se pot verifica următoarele trei ipoteze:

H1: S = 0 (avansul nu influenţează mărimea forţei de aşchiere): În total:

Gh. COMAN

280

2,1495,61

9,8802/2 ==F

Această mărime este semnificativă pentru nivelul gradului de încredere de 1% - deci ipoteza se infirmă.

Tabelul 10.5 Analiza dispersională

Sursa de variabilitate Grade de libertate

Suma pătratelor

Pătratul mediu

Blocul încercărilor (variaţia avansului) 2 1760,9 880,4

Încercarea variantelor (variaţia adâncimii de aşchiere) 2 1640,2 820,1

Poziţie (variaţia vitezei de aşchiere) 2 97,9 48,95

Erori 2 123,9 61,95 Total 8 3622,9

H2: t = 0 (adâncimea nu influenţează mărimea forţei de

aşchiere): În total:

2,1395,611,820

2/2 ==F

Această mărime este semnificativă pentru nivelul gradului de încredere de 1% - deci ipoteza se infirmă.

H3: V = 0 (viteza nu influenţează mărimea forţei de aşchiere): În total:

79,095,61951,48

2/2 ==F

Ipoteza se infirmă deoarece această valoare nu este semnificativă pentru nivelul gradului de încredere de 1%.

Astfel, analiza a demonstrat influenţa esenţială a avansului de lucru S şi a adâncimii de aşchiere t asupra componentei forţei de aşchiere Fz, ceea ce se confirmă prin calcului testului statistic F. Viteza de aşchiere V influenţează puţin asupra componentelor forţei de aşchiere, fapt confirmat de testul F, dar constatat şi din reprezentarea grafică din figura 10.1.

Pentru a demonstra că modelul este adecuat şi pentru a confirma eficienţa experimentelor planificate, s-au efectuat, de asemenea, câteva experimente bazate pe metode tradiţionale.

Compararea valorilor calculate şi observate denotă clar că modelul descrie fidel caracterul de variaţie al forţei de aşchiere, în cazul prelucrărilor particulare, cu cuţite aşchietoare cu o geometrie particulară care conduc la valori negative pentru componenta Px. În tabelul 10.6 se prezintă unele valori caracteristice ale componentelor forţei de aşchiere, obţinute prin calcul şi în urma observaţiilor.

MANAGEMENTUL CERCETĂRII

281

Tabelul 10.6 Valori caracteristice pentru componentele forţei de aşchiere

Pz, daN Parametri

variabili Tradiţional Statistic % Parametri constanţi

V 3 49,2 50,1 1,7 10 45,8 45,1 1,5 30 42,6 42,0 2,0 50 39,2 39,6 1,0 80 37,9 38,3 4,1 120 38,0 37,5 1,3 160 38,2 36,7 3,9 200 35,8 35,9 0,3

S = 011, mm/rot

t = 1 mm

S 0,07 30,5 29,2 4,2 0,11 39,4 39,5 0,3 0,15 48,4 48,6 0,8 0,21 62,4 61,4 1,6 0,26 71,6 70,4 1,6 0,30 84,6 78,2 7,5 0,39 107,0 93,1 13

t = 1 mm

V = 80 m/min

t 0,25 15,2 15,7 3,0 0,50 23,7 24,7 4,0 0,75 32,0 32,6 1,7 1,00 38,3 39,4 2,7 1,25 44,4 45,6 2,8 1,50 52,2 51,6 1,1 1,75 58,3 57,3 1,7

S = 011, mm/rot

V = 80 m/min

Diferenţa dintre valoarea componentelor observate şi calculate ale

forţei de aşchiere este de 3÷5%, cu excepţia domeniului avansurilor şi adâncimilor mari de aşchiere, unde necoincidenţa ajunge la 13%. Această divergenţă este condiţionată de faptul că în experimentele planificate, pentru aprecierea parametrilor, pasul pentru nivele a fost mult mai mare, ceea ce a dus la o proastă apreciere în aceste intervale.

10.2. Evaluarea ecruisării metalului

sub linia de aşchiere Scopul acestor cercetări ăl constituie determinarea unor

dependenţe funcţionale a indicatorilor de ecruisare a suprafeţelor prelucrate (valoarea microdurităţii şi adâncimea de ecruisare) în funcţie de regimurile de aşchiere.

Experienţele s-au efectuat la strunjirea materialului OLC 45, cu cuţite armate cu plăcuţe din aliaj dur, având geometria părţii aşchietoare

Gh. COMAN

282

(unghiul de degajare: γ = 100; unghiul de aşezare: α = 60; unghiul de atac principal: κ = 600). Microduritatea s-a măsurat cu un microdurimetru tip PMT-3, suprafaţa şlifurilor fiind finisată cu pastă abrazivă M7.

Modelul matematic de calcul al microdrităţii H şi adâncimii de ecruisare h, care leagă microduritatea H şi adâncimea de ecruisare h, cu regimurile de aşchiere, s-a luat sub forma:

321

321

...

...yyy

h

zzzH

tSVCh

tSVCH

=

= (10.4)

Pentru determinarea valorii coeficienţilor z1; z2; z3; y1; y2; y3; CH şi Ch s-a efectuat un experiment factorial de tipul 33, cu vitezele: V = 10; 100; 220 m/min; cu avansurile: S = 0,07; 0,11; 030 mm/rot şi cu adâncimile de aşchiere: t = 0,25; 0,5 şi 1 mm. Aceste nivele s-au determinat cu ajutorul ecuaţiilor de transformare, prezentate în paragraful precedent.

Experimentul factorial de tipul 33, a cărei schemă s-a utilizat pentru planificarea experimentului, în vederea explicitării relaţiilor (10.4), a fost cea prezentată în tabelul 10.1.

Rezultatele datelor experimentale înregistrate se prezintă în tabelul 10.7. Aici se găsesc valorile medii ale adâncimii de ecruisare în urma a 10 observaţii, pentru fiecare experienţă, în funcţie de parametrii V, S, t.

Tabelul 10.7 Rezultate experimentale înregistrate

Nr. crt V, m/min S, mm/rot t, mm H, daN/mm2 h, μm

1 10 0,07 1,00 260 100 2 100 0,07 0,25 258 95 3 220 0,07 0,50 346 126 4 10 0,21 0,25 301 119 5 100 0,21 0,50 277 103 6 220 0,21 1,00 343 100 7 10 0,30 0,50 269 100 8 100 0,30 1,00 273 120 9 220 0,30 0,25 291 113

Utilizându-se condiţiile lui Gauss pentru rezolvarea relaţiilor (10.4),

a rezultat:

032,0

062,016,0

018,0

036,054,0

..16

..310

VtSh

VtSH

=

=

În graficele din figurile 10.4, 10.5 şi 10.6 sunt reprezentate curbele care ilustrează caracterul variaţiei microdurităţii şi adâncimii de ecruisare

MANAGEMENTUL CERCETĂRII

283

a stratului superficial, în funcţie de parametrii V, S şi t ai regimului de aşchiere.

Fig.10.4. Influenţa vitezei de

aşchiere asupra adâncimii şi valorii microdurităţii

Fig.10.5. Influenţa adâncimii de aşchiere asupra adâncimii şi

valorii microdurităţii După cum se observă din reprezentările grafice, odată cu creşterea

vitezei de aşchiere, indicatorii de ecruisare (H şi h) descresc continuu şi se poate constata o diminuare relativ mai mare în zona de creştere a vitezei de la 3 până la circa 80 m/min, decât în zona de creştere a vitezei de aşchiere de la 80 la 300 m/min.

Fig.10.6. Influenţa avansului de lucru asupra adâncimii şi valorii

microdurităţii Datele reprezentate în

figurile 10.5 şi 10.6 evidenţiază faptul că, mărirea parametrilor de secţiune ai aşchiei, determină atât o creştere considerabilă a valorii absolute a microdurităţii, cât şi a adâncimii de propagare în stratul superficial a modificărilor de microduritate.

Pentru o verificare a verosimilităţii formulelor (10.4), se face verificarea ipotezei influenţei câmpului regimului asupra indicatorilor de ecruisare a suprafeţei, prin metoda analizei dispersionale. În acest scop, în prealabil, se face o codificare pentru valorile lui H şi h, scăzând din acestea respectiv 290 şi 180. Calculele analizei dispersionale, pentru fiecare caz, se efectuează prin procedeul utilizat în paragraful precedent. Pentru h calculele în vederea analizei dispersionale se prezintă în tabelul 10.8. Un tabel similar poate fi realizat şi pentru analiza dispersională a lui H. Rezultatele analizei dispersionale, pentru acest exemplu, cu planificare completă a pătratului latin, se dau în tabelul 10.9.

Gh. COMAN

284

Se pot verifica acum, următoarele ipoteze:

H1: S = 0: 3,448,3375,145

2/2 ==F 05,1772813

2/2 ==F

Tabelul 10.8. Prezentarea modificată a datelor pentru analiza dispersională

Factorul V 10 100 220Factorul S

0 1 2 T••k

0 0,07 -8 -13 18 -3 1 0,21 11 -5 -8 -2 2 0,30 -8 12 5 9

Ti•• -5 -6 15 T•••= 4

T•j• Pentru 0,25 3

Pentru 0,5 5

Pentru 1,0 -4

Tabelul 10.9

Analiza dispersională

h H

Sur

sa d

e va

riabi

litat

e

Gra

de d

e lib

erta

te

Sum

ă pă

trate

lor

Păt

ratu

l m

ediu

Sur

sa d

e va

riabi

litat

e

Gra

de d

e lib

erta

te

Sum

a pă

trate

lor

Păt

ratu

l m

ediu

Variaţie avans 2 290,5 145,75 Variaţie

avans 2 1626 813

Variaţie adâncime 2 141,8 70,6 Variaţie

adâncime 2 3120 1560

Variaţie viteză 2 284,2 142,1 Variaţie

viteză 2 5672 2836

Eroare 2 66,9 38,48 Eroare 2 1544 772 Total 8 783,4 8 11962

H2: t = 0: 1,248,336,70

2/2 ==F 1,2772

15602/2 ==F

H3: V = 0: 2,448,331,142

2/2 ==F 67,37722836

2/2 ==F

Pentru a confirma că modelul este adecuat şi pentru a demonstra

eficienţa experimentelor planificate, la fel ca în paragraful precedent, s-au efectuat, de asemenea, experimente prin metode tradiţionale care cuprindeau condiţiile de aşchiere, caracteristice pentru întregul domeniu al operaţiunilor admisibile, tabelul 10.10.

MANAGEMENTUL CERCETĂRII

285

Tabelul 10.10 Valori caracteristice pentru indicatorii ecruisării

H, daN/mm2 h, daN/mm2

Par

amet

ri va

riabi

li

Trad

iţion

al

Sta

tistic

%

Trad

iţion

al

Sta

tistic

% Parametri constanţi

V 3 259 258 0,3 102 110 -7,6 10 253 268 -5,5 98 110 -12 30 248 239 3,6 95 92 3 50 246 241 2 93 96 -2,8 80 244 252 -3,1 92 80 13 120 242 258 -6,3 91 92 -1,1 160 240 258 -6,6 90 113 -20 200 239 241 -0,6 89 110 -19,1

S = 0,11, mm/rot

t = 1 mm

S 0,07 235 241 -3,7 84 91 -7,6 0,11 240 253 -5,0 91 87 5,7 0,15 243 261 -6,2 96 103 -7 0,21 248 263 -5,8 102 107 -5,2 0,26 251 264 -4,9 105 112 -8,3 0,30 254 250 1,6 108 116 -9 0,39 256 272 -6 112 111 1,7

t = 1 mm

V = 80 m/min

Din compararea valorilor de calcul şi a celor observate se constată

că modelul descrie corect caracterul de variaţie al microdurităţii şi al adâncimii de ecruisare a suprafeţei, în cazul aşchierii cu cuţite armate cu plăcuţe de aliaj dur. Diferenţa dintre mărimile observate şi cele calculate este în medie de 3%, cu excepţia vitezelor mari unde neconcordanţa este de circa 20%.

10.3. Analiza geometriei părţii aşchietoare

a sculelor Scopul analizei este de a determina dependenţa dintre geometria

părţii aşchietoare a sculelor şi componentele forţei de aşchiere Pz, Py, Px. Experienţele s-au făcut la aşchierea aliajelor neferoase, pe bază de

aluminiu, cu regimuri optime de aşchiere prestabilite, care au la bază u uzură minimă a cuţitelor. Drept parametri geometrici ai părţii aşchietoare a cuţitelor cercetaţi s-au stabilit: γ - unghiul de degajare; κ - unghiul de atac principal; λ - unghiul de înclinare a tăişului; r – raza la vârf a cuţitului.

Pentru a se obţine un experiment factorial de tipul 24 este necesar să se stabilească aceşti parametri geometrici la două nivele. Una din schemele posibile de mixaj poate fi următoarea:

Gh. COMAN

286

Se amestecă: γ; κ; λ; r şi L = X1 + X2 + X3 + X4. L = 0, Bloc I: (1), γκ, κλ, γλ, γκλr, λr, γr, κr. L = 1, Bloc II: γ, κ, γκr, λ, κλr, r, λκr.

Se poate realiza acum numai unul din aceste două blocuri, să presupunem blocul L = 1 (blocul II). Se vor scrie condiţiile experimentului sub forma tabelară, tabelul 10.11.

Nivelele acestor parametri se stabilesc plecând de la limitele impuse de experiment şi, de asemenea, de la simplificarea calculelor. Din această cauză, coeficienţii polinoamelor +1; -1 din sistemul de ecuaţii liniare se iau

egali şi cu ajutorul ecuaţiilor de transformare se calculează valorile nivelelor:

1lnln

)ln(ln2

minmax

max +−−

=TT

TTX ii

unde Xi este egal, fie cu +1, fie cu –1; Ti – este respectiv valoarea medie a parametrului examinat; Tmax şi Tmin – valorile maximă şi minimă a parametrilor examinaţi.

Cu ajutorul ecuaţiei de mai sus se pot determina toţi parametrii: Pentru: γ’ = γ + 900:

1lnlnln(ln2

'min

'max

'max

'

+−−

=γγγγ i

iX : Xi = +1; γ’1 = γ’max= 1000; Xi = -1; γ’0 =

γ’min= 800. Pentru: κ:

1lnlnln(ln2

minmax

max +−−

=κκκκ i

iX : Xi = +1; κ1 = κmax= 900; Xi = -1; κ0 =

κmin= 300. Pentru: λ’ = 90 + λ:

1lnlnln(ln2

'min

'max

'max

'

+−−

=λλλλi

iX : Xi = +1; λ’1 = λ’max= 1000; Xi = -1; λ’0 =

λ’min= 800. Pentru: r:

1lnlnln(ln2

minmax

max +−−

=rrrrX i

i : Xi = +1; r1 = rmax= 3; Xi = -1; r0 = rmin= 0,3.

Astfel, vom avea: Pentru: γ’ = γ + 900: nivelele „0” γ0 = -100 sau γ’0 = 800. „1” γ1 = 100 sau γ’1 = 1000.

Tabelul 10.11 Condiţii de experimentare

Nr. crt. γ κ λ r 1 1 0 0 0 2 0 1 0 0 3 1 1 1 0 4 0 0 1 0 5 0 1 1 1 6 1 0 1 1 7 0 0 0 1 8 1 1 0 1

MANAGEMENTUL CERCETĂRII

287

Pentru: κ: nivelele „0” κ0 = 300. „1” κ1 = 900 . Pentru: λ’ = λ + 900: nivelele „0” λ0 = -100 sau λ’0 = 800. „1” λ1 = +100 sau λ’1 = 1000. Pentru: r: nivelele „0” r0 = 0,3. „1” r1 = 3. Planul de cercetare va fi: Experienţa 1: γ’1 = 1000; κ0 = 300; λ’0= 800; r0 = 0,3. Experienţa 2: γ’0 = 800; κ1 = 900; λ’0= 800; r0 = 0,3. Experienţa 3: γ’1 = 1000; κ1 = 900; λ’1= 1000; r0 = 0,3. Experienţa 4: γ’0 = 800; κ0 = 300; λ’1= 1000; r0 = 0,3. Experienţa 5: γ’0 = 800; κ1 = 900; λ’1= 1000; r1 = 3. Experienţa 6: γ’1 = 1000; κ0 = 300; λ’1= 1000; r1 = 3. Experienţa 7: γ’0 = 800; κ0 = 300; λ’0= 800; r1 = 3. Experienţa 8: γ’1 = 1000; κ1 = 900; λ’0= 800; r1 = 3. În conformitate cu acest plan s-au efectuat experimentele,

repetându-le de două ori. În tabelul 10.12 se prezintă valorile medii ale componentelor forţelor de aşchiere, în urma celor două observaţii ale fiecărui experiment.

Tabelul 10.12 Valori experimentale obţinute

Nr. crt

γ’ grd

κ grd

λ’ grd

r grd

Pz, daN

Px, daN

Py, daN

Regim aşchiere

1 100 30 80 0,3 0,50 0,2 0,6 2 80 90 80 0,3 0,80 0,25 1,1 3 100 90 100 0,3 0,45 0,36 0,6 4 80 30 100 0,3 0,60 0,2 0,75 5 80 90 100 3 0,35 0,1 0,5 6 100 30 100 3 0,55 0,4 0,7 7 80 30 80 3 0,55 0,3 0,7 8 100 90 80 3 0,80 0,3 1,1

V = 250 m/min

S = =,222 mm/rot

t = 0,1 mm

După centralizarea datelor experimentale se determină forma

legăturii dintre parametrii geometrici luaţi în studiu şi componentele forţei de aşchiere:

4321

4321

4321

....

....

....

xxxxxx

yyyyyy

zzzzzz

rCP

rCP

rCP

λκγ

λκγ

λκγ

=

=

=

(10.5)

Pentru determinarea coeficienţilor Cz, Cy, Cx şi a exponenţilor z1, z2, z3, z4, y1, y2, y3, y4, x1, x2, x3 şi x4, s-a utilizat metoda celor mai mici pătrate. Logaritmând expresiile (10.5) şi introducând simbolizările corespunzătoare a rezultat: γ1 = ln γ; κ1 = ln κ şi λ1 = ln λ, obţinându-se:

Gh. COMAN

288

P1 = C1 + z1.γ1 + z2.κ1 + z3.λ1 + z4.r1

P2 = C2 + y1.γ1 + y2.κ1 + y3.λ1 + y4.r1 (10.5)

P3 = C3 + x1.γ1 + x2.κ1 + x3.λ1 + x4.r1 Folosind condiţiile lui Gauss pentru relaţiile (10.5) şi un program de

calculator adecvat, se pot obţine toate necunoscutele, adică coeficienţii şi exponenţii, care conduc la obţinerea expresiilor operative:

05,02,028,0

095,0

103,039,0

9,077,0

17,056,0

15,04,0

.)'.()'(.2,0

.)'(.)'.(01,0

.)'(.)'.(02,0

rP

rP

rP

x

y

z

λγκ

κγλ

κγλ

=

=

=

(10.6)

Fig.10.7. Influenţa variaţiei

unghiului de degajare γ asupra mărimii componentelor forţei de

aşchiere

Fig.10.8. Influenţa variaţiei unghiului de atac principal κ asupra

mărimii componentelor forţei de aşchiere

Fig.10.9. Influenţa variaţiei unghiului de înclinare a tăişului λ asupra mărimii componentelor

forţei de aşchiere

Fig.10.10. Influenţa variaţiei razei la vârf a cuţitului r asupra mărimii componentelor forţei de aşchiere

MANAGEMENTUL CERCETĂRII

289

În graficele din figurile 10.7, 10.8, 10.9 şi 10.10 se prezintă rezultatele cercetărilor dependenţelor componentelor forţei de aşchiere Pz, Py, Px de geometria părţii aşchietoare a cuţitelor: unghiul de degajare γ; unghiul de atac principal κ; unghiul de înclinare a tăişului principal λ şi raza de rotunjire la vârf a cuţitului r.

Însă, pentru a ne convinge de verosimilitatea relaţiilor operative stabilite (la fel ca în exemplele precedente), se va face verificarea adecuanţei relaţiilor respective, prin metoda analizei dispersionale, folosind metoda lui Yeats.

Analiza dispersională se prezintă pentru componenta Pz, după ce în prealabil s-au codificat valorile lui Pz, scăzând mărimea 0,57 din valorile experimentale înregistrate. Rezultatele se prezintă în tabelul 10.13.

Tabelul 10.13 Valori experimentale codificate

Varia

nta

de

înce

rcar

e

Răs

puns

(1) (2) (3) (4) contrast

Suma pătratelor

nrcontrastSS

2.)( 2

=

1 -0,07 0,16 0,07 -0,40 0,84 0,022 2 0,23 -0,09 -0,47 0,88 -0,36 0,004 3 -0,12 -0,24 0,45 -0,24 -0,56 0,01 4 0,03 -0,23 0,43 -0,12 0,44 0,006 5 -0,22 0,3 -0,25 -0,54 0,92 0,026 6 -0,02 0,15 0,01 -0,02 0,12 0,0004 7 -0,02 0,2 -0,15 0,26 0,52 0,0085 8 0,21 0,23 0,03 0,18 -0,08 0,0002 Total 0,0771

Suma pătratelor pentru efecte va fi: SSγ = 0,022; SSκ = 0,004; SSλ = 0,006; SSr = 0,0085

0003,02

0002,00004,02

=+

=+

= rreroare

SSSSSS γλγκ

018,02

026,001,0int =

+=erblocefectSS

În tabelul 10.14 se prezintă rezultatele analizei dispersionale a experimentului factorial de tipul 24, cu subdivizarea în două blocuri.

Vom verifica următoarele ipoteze: H1: γ = 0 (lipseşte influenţa unghiului de degajare)

31400007,0

022,02/1 ==F - (ipoteza se infirmă pentru un grad de

semnificaţie de 1%). H2: κ = 0 (unghiul de atac principal nu influenţează variaţia

mărimii componentelor forţei de aşchiere)

Gh. COMAN

290

1,5700007,0004,0

2/1 ==F (ipoteza se infirmă pentru un grad de

semnificaţie de 1%). Tabelul 10.14

Analiza dispersională

Sursa de variabilitate Grade de libertate

Suma pătratelor

Pătratul mediu

γ 1 0,022 0,022 κ 1 0,004 0,004 λ 1 0,006 0,006 r 1 0,0085 0,0085

Erori (γλr, γκr) 8 0,0006 0,00007 Efectul interblocuri (γκλ, κλr) 3 0,036 0,012 Total 15 0,0771

H3: λ = 0:

7,8500007,0

006,02/1 ==F (ipoteza se infirmă)

H4: r = 0:

12100007,00085,0

2/1 ==F (ipoteza se infirmă)

Infirmarea acestor ipoteze confirmă presupunerea că asupra componentelor forţei de aşchiere influenţează, în special, aceşti parametri geometrici ai părţii aşchietoare ai sculei.

MANAGEMENTUL CERCETĂRII

291

Gheorghe COMAN

C U R R I C U L U M V I T A E M-am născut la 20 martie 1933, în Comuna Scorţaru Nou, Judeţul

Brăila, într-o familie de ţărani. În 1960 am absolvit Facultatea de Mecanică din

Institutul Politehnic “Gheorghe Asachi” Iaşi şi datorită situaţiei şcolare foarte bune am fost încadrat în învăţământ la Catedra de Tehnologia Metalelor din Facultatea de Mecanică, Institutul Politehnic “Gheorghe Asachi” Iaşi.

În perioada 1 octombrie 1961 – 1 octombrie 1964 am fost încadrat asistent la Catedra de Tehnologia Metalelor cu sarcini didactice la disciplinele: Tehnologie mecanică; Tehnologia materialelor; Studiul metalelor; Tehnologia construcţiei de maşini; Tehnologia fabricaţiei maşinilor termice; Bazele tehnologiei construcţiei de maşini; Tehnologia matriţării şi ştanţării la rece; Atelier mecanic.

În perioada 1 octombrie 1964 – 1 octombrie 1969 am fost încadrat asistent cu delegaţie de predare la Catedra de Tehnologia construcţiei de maşini şi Mecanică agricolă, cu sarcini didactice la disciplinele: Tehnologia construcţiei maşinilor-unelte; tehnologia construcţiei de maşini; Tehnologia matriţării şi ştanţării la rece.

În perioada 1 octombrie 1969 – 9 februarie 1977 am fost încadrat şef de lucrări, prin concurs, la Catedra de Tehnologia construcţiei de maşini şi Mecanică agricolă, cu sarcini didactice la disciplinele: Tehnologia construcţiei maşinilor-unelte; Tehnologia construcţiei de maşini; Tehnologia reparării utilajului agricol; Procese tehnologice speciale; Tehnologia fabricării maşinilor.

La 9 februarie 1977 am fost încadrat conferenţiar, prin concurs, la Catedra de Tehnologia construcţiei de maşini şi mecanică agricolă cu sarcini didactice la disciplinele: Tehnologia construcţiei maşinilor-unelte; Tehnologii neconvenţionale; Bazele cercetării experimentale.

La 15 septembrie 1978 am fost încadrat conferenţiar şef de catedră la Catedra de Tehnologia metalelor cu sarcini didactice la disciplinele: Tehnologia construcţiei maşinilor-unelte; Tehnologia materialelor; Studiul metalelor; Metalurgia pulberilor; Tehnologia fabricării şi reparării utilajului tehnologic.

În 1982 am fost ales şef de catedră, iar în 1986 şi ianuarie 1990 am fost reales şef de catedră la Catedra de Tehnologia Metalelor, fiind în această funcţie până la 1 octombrie 1990.

La disciplinele menţionate am ţinut prelegeri, am condus proiecte de an şi diplomă, am efectuat lucrări practice şi am condus cercuri ştiinţifice studenţeşti. Între 1977 şi 1980 am fost, în fiecare sesiune, membru în

Gh. COMAN

292

Comisia de Examen de Stat, iar între 1980 şi 1990 am fost, în fiecare sesiune, preşedinte de Comisie de Examen de Stat.

La disciplinele la care am avut sarcini didactice m-am preocupat permanent de îmbunătăţirea continuă a prelegerilor prin introducerea noutăţilor ştiinţifice, fiind permanent la curent cu noile descoperiri ştiinţifice în domeniile respective pe plan mondial, introducerea unor lucrări de laborator cu un conţinut ştiinţifico-didactic cât mai complex, îmbunătăţirea continuă a conţinutului proiectelor de an şi diplomă, pe baza rezolvării unor teme ce interesau practica productivă din întreprinderile constructoare de maşini din ţara noastră, precum şi prin efectuarea unor lucrări cu caracter teoretico-experimental în cadrul cercurilor ştiinţifice studenţeşti, preocupări puse în evidenţă de conţinutul manualelor şi îndrumarelor elaborate pentru studenţi, inclusiv cel de faţă.

Între 1990 - 1992 am colaborat la Universitatea Ecologică “Dimitrie Cantemir” în calitate de profesor asociat la disciplinele: Economia cercetării şi modernizării produselor industriale; Analiza valorii şi Statistica.

Între 1992-1995 am fost membru fondator la organizarea Universităţii “George Bacovia” Bacău fiind profesor asociat la disciplinele: Ecologie globală (Economia mediului), Analiza valorii şi Statistica. Am îndeplinit şi funcţia de Rector la autorizarea ei.

Între 1995-2005 am fost profesor asociat la Universitatea Ecologică “Dimitrie Cantemir” Iaşi la disciplinele: Economia mediului; Analiza valorii; Ecologie spirituală şi Statistica.

Din anul 2003 sunt profesor asociat la Universitatea „Ştefan Lupaşcu” Iaşi, la disciplinele: Ecologie spirituală; Economia mediului; Statistica; Econometrie.

La toate aceste discipline am manuale elaborate. Aceasta cred că este o obligaţie morală a oricărui cadru didactic, de a pune la dispoziţia studenţilor propriul manual, conform cerinţei elementare că nu este moral a fi exigent cu alţii dacă nu eşti exigent cu tine însuţi.

La 15 martie 1975 am susţinut teza de doctorat cu tema “Contribuţii privind transferul erorii de bazare pe suprafaţa prelucrată la rectificarea fără centre cu bazarea semifabricatelor pe reazeme fixe”, conducător ştiinţific prof. dr. ing. Constantin Picoş.

Până în prezent activitatea mea ştiinţifică este concretizată în următoarele realizări:

- peste 70 de cărţi publicate: manuale, îndrumare, tratate, monografii (33 în edituri de interes naţional şi peste 35 de interes local, destinate activităţii didactice cu studenţii); - 58 de articole în reviste de specialitate din ţară şi străinătate; - 84 de lucrări comunicate la diferite sesiuni ştiinţifice tematice şi publicate în volume editate cu aceste ocazii; - 3 recenzii; - 4 descrieri de invenţii. Începând cu anul 1969, toată activitatea mea ştiinţifică s-a

desfăşurat pe bază de contracte de cercetare încheiate cu diferite

MANAGEMENTUL CERCETĂRII

293

întreprinderi constructoare de maşini din ţară. Am fost titular la circa 30 de contracte de cercetare ştiinţifică, cu o valoare de peste 10 milioane de lei (preţuri înainte de 1989).

Menţionez următoarele cărţi publicate în edituri de nivel naţional: 1. Probleme actuale ale finisării şi suprafinisării suprafeţelor

pieselor de maşini. Finisarea pieselor de maşini, Bucureşti, INID, 1973, vol.1, 124 p.

2. Probleme actuale ale finisării şi suprafinisării suprafeţelor pieselor de maşini. Suprafinisarea suprafeţelor pieselor de maşini, Bucureşti, INID, 1973, vol.2, 104 p.

3. Calculul adausurilor de prelucrare şi al regimurilor de aşchiere, Bucureşti, Editura Tehnică, 1974, 603 p.

4. Tehnologia construcţiei de maşini. Probleme, Bucureşti, Editura Didactică şi Pedagogică, 1976, 400 p.

5. Normarea tehnică pentru prelucrări prin aşchiere, Bucureşti, Editura Tehnică, vol.1, 1979, 336 p.

6. Prelucrabilitatea prin aşchiere a aliajelor feroase, Bucureşti, Editura Tehnică, 1981, 242 p.

7. Normarea tehnică pentru prelucrări prin aşchiere, Bucureşti, Editura Tehnică, vol.2, 1982, 208 p.

8. Rulmenţi. Proiectare şi tehnologie, Bucureşti, Editura tehnică, 1985, 391 p.

9. Proiectarea tehnologiilor de prelucrare mecanică prin aşchiere. Manual de proiectare, Vol.1, Chişinău, Editura Universitas, 1992, 640 p., ISBN 5-362-00970-2.

10. Proiectarea tehnologiilor de prelucrare mecanică prin aşchiere. Manual de proiectare, Vol.2, Chişinău, Editura Universitas, 1992, 408 p., ISBN 5-362-00971-0.

11. Economia mediului, Iaşi, Editura Moldoviţa, 1996, 348 p., ISBN 973-95206-2-8.

12. Tehnologia proceselor productive, Iaşi, Editura Moldoviţa, 1996, 200 p., ISBN 973-95206-3-8.

13. Tehnologia fabricaţiei produselor industriale, Târgu Mureş, Editura “Dimitrie Cantemir”, 1999, 214 p., ISBN 973-8042-03-8.

14. Analiza valorii, Târgu Mureş, Editura “Dimitrie Cantemir”, 2000, 340 p., ISBN 973 – 8042 – 09 – 7.

15. Economia mediului, Târgu Mureş, Editura “Dimitrie Cantemir”, 2000, 290 p., ISBN 973- 99596 – 6 – 0.

16. Statistică teoretică şi aplicată (pentru ştiinţe tehnice şi economice), Partea I-a şi Partea II-a, Editura „Dimitrie Cantemir”, Târgu Mureş, 2000, 414 p., ISBN 973-98920-6-x.

17. Managementul cercetării, Editura „Dimitrie Cantemir”, Târgu Mureş, 2000, 288 p. ISBN 973-8042-26-7.

18. Tehnologia fabricaţiei produselor industriale, Târgu Mureş, Editura “Dimitrie Cantemir”, 2001, 233 p., ISBN 973-8042-27-5.

19. Economia mediului, Târgu Mureş, Editura “Dimitrie Cantemir”, 2001, 290 p., ISBN 973- 99596 – 6 – 0.

Gh. COMAN

294

20. Analiza valorii, Târgu Mureş, Editura “Dimitrie Cantemir”, 2001, 363 p., ISBN 973 – 8042 – 09 – 7.

21. Analiza valorii, Iaşi, Casa de Editură Venus, 2001, 295 p., ISBN 973 – 8174 – 38 – 4.

22. Ecologie spirituală, Iaşi, Casa de Editură Venus, 2002, 297 p., ISBN 973 – 8174 – 46 – 5.

23. Statistica (probleme), Iaşi, Casa de Editură Venus, 2002, 144 p., ISBN 973 – 8174 – 49 – X.

24. Statistica, Iaşi, Casa de Editură Venus, 2002, 307 p., ISBN 973 – 8174 – 66 – X.

25. Statistica, Iaşi, Casa de Editură Venus, 2003, 371 p., ISBN 973 – 8174 – 85 – 6.

26. Ecologie spirituală, Iaşi, Editura PIM, 2003, 306 p., ISBN 973 – 7967 – 36 – 4.

27. Statistica, Iaşi, Editura PIM, 2003, 384 p., ISBN 973 – 7967 – 39 – 9.

28. Statistica (probleme), Iaşi, Editura PIM, 2003, 210 p., ISBN 973 – 7967 – 50 – 2.

29. Economia mediului, Iaşi, Editura PIM, 2004, 316 p., ISBN 973 – 7967 – 74 – 7.

30. Ecologie spirituală, Iaşi, Editura PIM, 2004, 312 p., ISBN 973 – 716 – 036 – 3.

31. Econometrie, Iaşi, Editura PIM, 2007, 294 p., ISBN 978-973 – 716 – 603 – 6.

32. Statistica (teorie si aplicatii), Iaşi, Editura PIM, 2007, 378 p., ISBN 978-973-716-729-3.

33. Statistică şi econometrie (aplicaţii), Iaşi, PIM, 2008, 388 p., ISBN 978-973-716-991-4.

Pentru calitatea activităţii didactice desfăşurată, prin ordinul ministrului nr. 7626 din 15 iunie 1987, mi s-a conferit titlul de “CONFERENŢIAR UNIVERSITAR EVIDENŢIAT”.

În 1987 am primit Premiul “Aurel Vlaicu”, acordat de Academia Română pentru lucrarea “Rulmenţi. Proiectare şi tehnologie”, cu Diploma nr. 67 din 4 decembrie 1987.

De-a lungul timpului am avut diferite activităţi cu caracter obştesc de interes general pentru colectivităţile umane din care am făcut parte.

Între 1961-1964 am fost preşedintele Consiliului Uniunii Asociaţiilor Studenţilor din Institutul Politehnic Iaşi.

Între 1969 şi 1976 am făcut parte din Consiliul tehnico-economic al Întreprinderii de Rulmenţi Bârlad. Între 1977-1979 am făcut parte din Consiliul Oamenilor Muncii al Întreprinderii de Utilaje şi Piese de Schimb Botoşani, iar între 1979-1987 am făcut parte din Consiliul Oamenilor Muncii de la Întreprinderea Metalurgică Iaşi. În aceste calităţii am făcut parte din comisiile de prognoză şi cercetare ştiinţifică a unităţilor economice respective, contribuind la stabilirea priorităţilor privind asimilarea progresului tehnic pentru produsele realizate sau/şi procesele tehnologice utilizate în unităţile economice menţionate.

MANAGEMENTUL CERCETĂRII

295

Am participat, temporar, în diferite comisii tehnico-economice având ca scop dezvoltarea tehnico-economică la diverse unităţi economice cum ar fi: Întreprinderea de Utilaj Greu (CUG) Iaşi, Întreprinderea Mecanică “Nicolina” Iaşi, Întreprinderea de Material Rulant Paşcani şi altele.

Aşa cum am mai menţionat, între 15 septembrie 1978 - 1 octombrie 1990 am fost şeful Catedrei de Tehnologia Metalelor de la Institutul Politehnic Iaşi având în răspundere organizatorică şi îndrumare ştiinţifico-didactică profilul metalurgic înfiinţat atunci la Facultatea de Mecanică, cu patru specializări: Tehnologia turnării; Tehnologia deformării plastice la cald şi tratamente termice; Utilaj tehnologic pentru turnarea metalelor; Utilaj tehnologic pentru deformare plastică şi tratament termic (învăţământ de zi şi seral), cu circa 1500 de studenţi.

Între 1987-2004 am fost membru în Comisia Ştiinţa Materialelor a Academiei Române şi Preşedinte al Subcomisiei Ştiinţa Materialelor de la Academia Română - Filiala Iaşi.

Am fost organizator al diferitelor sesiuni ştiinţifice pentru cadre didactice şi cercetători din unităţi de cercetare şi producţie. Am făcut parte din diferite jurii naţionale ale Conferinţelor sau Simpozioanelor Naţionale ale Cercurilor Ştiinţifice Studenţeşti şi membru ale unor Comisii ale M.E.I. de analiză a învăţământului universitar în profil mecanic şi metalurgic. Am făcut parte, mai mulţi ani, din comisia de admitere a Institutului Politehnic “Gheorghe Asachi” Iaşi şi de la Facultatea de Mecanică. Am fost membru în comisii de elaborare de subiecte pentru examenul de admitere în facultate.

Am făcut parte din diferite comisii ale M.E.I. pentru elaborarea sau îmbunătăţirea de planuri de învăţământ, programe analitice cadru, programe de perspectivă pentru dezvoltarea învăţământului în România.

Din 1987 sunt expert tehnic pe lângă Tribunalul Iaşi. Sunt coautor la următoarele invenţii: Certificat de Inventator nr.86.463 din 15.01.1985 pentru:

“Dispozitiv de superfinisare”. Certificat de Inventator nr.92.850 din 27.05.1987 pentru: “Aparat

pentru determinarea gradului de texturare a tabelelor”. Certificat de Inventator nr.95.467 din 18.03.1988 pentru:

“Procedeu de obţinere a fontelor cu proprietăţi fizico-mecanice superioare”.

Certificat de Inventator nr.96.3312.11.1986 pentru: “Cap de forjare orbitală”.

Posed Atestat editorial nr. 543 din 18.VI.1992, eliberat de Ministerul Culturii.

Ca urmare afirmării pe linie ştiinţifică sunt menţionat în: Dictionary of Interantonal Biography, volume XVIII, publication

October 1983, Cambridge, England. International Who’s in Who in Engineering, 1982/1983,

Cambridge, England. 5.000 Personalities of the World, Edition Two, 1987, Published

by the American Biographical Institute.

Gh. COMAN

296

The International Directory of Distinguished Leadership, American Biographical Institute, Inc., Millenium Edition, 2000.

Dicţionarul specialiştilor. Un “WHO’S WHO” în ştiinţa şi tehnica românească. Vol.1, Bucureşti, Editura Tehnică, 1995.

Februarie 2009

29

7

A

NE

XE

A

nexa

1

Coe

ficie

nţii a

u –

i +

1, p

entru

ver

ifica

rea

norm

alităţii

pe

baza

crit

eriu

lui w

, n =

3...

36

n

i 3

4 5

6 7

8 9

10

11

12

13

14

1 0,

7071

0,

6872

0,

6646

0,

6431

0,

6233

0,

6052

0,

5888

0,

5739

0,

5601

0,

5475

0,

5359

0,

5261

2

0,

1677

0,

2413

0,

2806

0,

3031

0,

3164

0,

3244

0,

3291

0,

3315

0,

3325

0,

3325

0,

3318

3

0,

0875

0,

1401

0,

1743

0,

1976

0,

2141

0,

2260

0,

2347

0,

2412

0,

2460

4

0,

0561

0,

0947

0,

1224

0,

1429

0,

1586

0,

1707

0,

1802

5

0,

0399

0,

0695

0,

0922

0,

1099

0,

1240

6

0,

0303

0,

0539

0,

0727

7

0,

0240

29

8

Ane

xa 1

(con

tinua

re)

n i

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

1 0,

5150

0,

5056

0,

4968

0,

4886

0,

4808

0,

4734

0,

4643

0,

4590

0,

4542

0,

4493

0,

4450

0,

4407

2

0,33

06

0,32

90

0,32

73

0,32

53

0,32

32

0,32

11

0,31

85

0,31

56

0,31

26

0,30

98

0,30

69

0,30

43

3 0,

2495

0,

2521

0,

2540

0,

2553

0,

2561

0,

2565

0,

2578

0,

2511

0,

2563

0,

2554

0,

2543

0,

2533

4

0,18

78

0,19

39

0,19

88

0,20

27

0,20

59

0,20

85

0,21

19

0,21

31

0,21

39

0,21

45

0,21

48

0,21

51

5 0,

1353

0,

1447

0,

1524

0,

1587

0,

1641

0,

1686

0,

1736

0,

1764

0,

1787

0,

1807

0,

1822

0,

1836

6

0,08

80

0,10

05

0,11

09

0,11

97

0,12

71

0,13

34

0,13

99

0,14

43

0,14

80

0,15

12

0,15

39

0,15

63

7 0,

0433

0,

0593

0,

0725

0,

0837

0,

0932

0,

1013

0,

1092

0,

1150

0,

1201

0,

1245

0,

1283

0,

1316

8

0,

0196

0,

0359

0,

0496

0,

0612

0,

0711

0,

0804

0,

0878

0,

0941

0,

0997

0,

1046

0,

1089

9

0,

0163

0,

0303

0,

0422

0,

0530

0,

0618

0,

0696

0,

0764

0,

0823

0,

0876

10

0,01

40

0,02

63

0,03

68

0,04

59

0,05

39

0,06

10

0,06

72

11

0,

0122

0,

0228

0,

0321

0,

0403

0,

0478

12

0,01

07

0,02

00

0,02

84

13

0,

0094

29

9 A

nexa

1 (c

ontin

uare

) n

i 27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

1

0,43

66

0,43

28

0,42

91

0,42

54

0,42

20

0,42

88

0,41

56

0,41

27

0,40

96

0,40

68

2 0,

3018

0,

2992

0,

2968

0,

2944

0,

2921

0,

2898

0,

2876

0,

2854

0,

2884

0,

2813

3

0,25

22

0,25

10

0,24

99

0,24

87

0,24

75

0,24

63

0,24

51

0,24

39

0,24

27

0,24

15

4 0,

2152

0,

2151

0,

2150

0,

2148

0,

2145

0,

2141

0,

2137

0,

2132

0,

2127

0,

2121

5

0,18

48

0,18

57

0,18

64

0,18

70

0,18

74

0,18

78

0,18

80

0,18

82

0,18

83

0,18

83

6 0,

1584

0,

1601

0,

1616

0,

1630

0,

1641

0,

1651

0,

1660

0,

1667

0,

1673

0,

1678

7

0,13

46

0,13

72

0,13

95

0,14

15

0,14

33

0,14

49

0,14

63

0,14

75

0,14

87

0,14

96

8 0,

1128

0,

1162

0,

1192

0,

1219

0,

1243

0,

1265

0,

1284

0,

1301

0,

1317

0,

1331

9

0,09

23

0,09

65

0,10

02

0,10

36

0,10

66

0,10

93

0,11

18

0,11

40

0,11

60

0,11

79

10

0,07

28

0,07

78

0,08

22

0,08

62

0,08

99

0,09

31

0,09

61

0,09

88

0,10

13

0,10

36

11

0,05

40

0,05

98

0,06

50

0,06

97

0,07

39

0,07

77

0,08

12

0,08

44

0,08

73

0,09

00

12

0,03

58

0,04

24

0,04

83

0,05

37

0,05

85

0,06

29

0,06

69

0,07

06

0,07

39

0,07

70

13

0,01

78

0,02

53

0,03

20

0,03

81

0,04

35

0,04

85

0,05

30

0,05

72

0,06

10

0,06

45

14

0,

0084

0,

0159

0,

0227

0,

0289

0,

0344

0,

0395

0,

0441

0,

0484

0,

0523

15

0,00

76

0,01

44

0,02

06

0,02

62

0,03

14

0,03

61

0,04

04

16

0,

0068

0,

0131

0,

0187

0,

0239

0,

0287

17

0,00

62

0,01

19

0,01

72

18

0,

0057

30

0

A

nexa

2

Test

ul d

e se

mni

ficaţ

ie d

upă

Coc

hran

f N

1 2

3 4

5 6

7 8

9 10

q =

0,05

2

0,99

9 0,

975

0,93

9 0,

906

0,87

7 0,

853

0,83

3 0,

816

0,80

1 0,

788

3 0,

967

0,87

1 0,

798

0,74

6 0,

707

0,67

7 0,

653

0,63

3 0,

617

0,60

3 4

0,90

7 0,

768

0,68

4 0,

629

0,59

0 0,

560

0,53

7 0,

519

0,50

7 0,

488

5 0,

841

0,68

4 0,

598

0,54

4 0,

507

0,47

8 0,

456

0,43

9 0,

424

0,41

2 6

0,78

1 0,

616

0,53

2 0,

480

0,44

5 0,

418

0,34

8 0,

382

0,36

8 0,

357

7 0,

727

0,56

1 0,

480

0,43

1 0,

397

0,37

3 0,

354

0,33

8 0,

326

0,31

5 8

0,68

0 0,

516

0,43

8 0,

391

0,36

0 0,

336

0,31

9 0,

304

0,29

3 0,

283

9 0,

639

0,47

8 0,

403

0,35

8 0,

329

0,30

7 0,

290

0,27

7 0,

266

0,25

7 10

0,

602

0,44

5 0,

373

0,33

1 0,

303

0,28

2 0,

267

0,25

4 0,

244

0,23

5 q

= 0,

01

2 0,

999

0,99

5 0,

979

0,95

9 0,

937

0,91

7 0,

900

0,88

2 0,

867

0,85

4 3

0,99

3 0,

942

0,88

3 0,

834

0,79

3 0,

761

0,73

4 0,

711

0,69

1 0,

674

4 0,

968

0,86

4 0,

781

0,72

1 0,

676

0,64

1 0,

613

0,59

0 0,

570

0,55

4 5

0,92

8 0,

789

0,69

6 0,

633

0,58

8 0,

553

0,52

6 0,

504

0,48

5 0,

470

6 0,

883

0,72

2 0,

626

0,56

4 0,

520

0,48

7 0,

461

0,44

0 0,

423

0,40

8 7

0,83

4 0,

664

0,56

9 0,

508

0,46

6 0,

485

0,41

1 0,

391

0,37

5 0,

361

8 0,

795

0,61

5 0,

521

0,46

2 0,

423

0,37

0 0,

352

0,37

0 0,

352

0,32

5 9

0,75

4 0,

573

0,48

1 0,

425

0,38

7 0,

359

0,33

8 0,

321

0,30

7 0,

295

10

0,71

8 0,

536

0,44

7 0,

393

0,35

7 0,

331

0,31

1 0,

295

0,28

1 0,

270

30

1

A

nexa

3

Dis

tribuţia

χ2 . V

alor

ile lu

i χ2 în

funcţie

de

prob

abilităţ

ile P

=

()

22

PP

χχ

≤ ş

i num

ărul

gra

delo

r de

liber

tate

Prob

abilit

atea

P

f

0,99

0,

98

0,95

0,

90

0,80

0,

70

0,50

0,

30

0,20

0,

10

0,05

0,

02

0,01

0,

001

2 0,

0201

0,

0404

0,

103

0,21

1 0,

446

0,71

3 1,

386

2,40

8 3,

219

4,60

5 5,

991

7,38

4 9,

210

13,8

15

3 0,

115

0,18

5 0,

352

0,58

4 1,

005

1,42

4 2,

366

3,66

5 4,

642

6,25

1 7,

815

9,83

7 11

,345

16

,266

4

0,29

7 0,

429

0,71

1 1,

064

1,64

9 2,

195

3,35

7 4,

878

5,98

9 7,

779

9,48

8 11

,668

13

,227

18

,467

5

0,55

4 0,

752

1,14

5 1,

610

2,34

3 3,

000

4,35

1 6,

064

7,28

9 9,

236

11,0

70

13,3

88

15,0

86

20,5

15

6 0,

872

1,13

4 1,

635

2,20

4 3,

070

3,82

8 5,

348

7,23

1 8,

558

10,6

45

12,5

92

15,0

33

16,8

12

22,4

57

7 1,

239

1,56

4 2,

167

2,83

3 3,

822

4,67

1 6,

346

8,38

3 9,

803

12,0

17

14,0

67

16,6

22

18,4

75

24,3

22

8 1,

646

2,03

2 2,

733

3,49

0 4,

594

5,52

7 7,

344

9,52

4 11

,030

13

,462

15

,507

18

,168

20

,090

26

,125

9

2,08

8 2,

532

3,32

5 4,

168

5,38

0 6,

393

8,34

3 10

,656

12

,242

14

,684

16

,919

19

,679

21

,666

27

,877

10

2,

558

3,05

9 3,

940

4,86

5 6,

179

7,26

7 9,

342

11,7

81

13,4

42

15,9

87

18,3

07

21,1

61

23,2

09

29,5

88

11

3,05

3 3,

609

4,57

5 5,

578

6,98

9 8,

148

10,3

41

12,8

99

14,6

31

17,2

75

19,6

75

22,6

18

24,7

25

31,2

64

12

3,57

1 4,

178

5,22

6 6,

304

7,80

7 9,

034

11,3

40

14,0

11

15,8

12

18,5

49

21,0

26

24,0

54

26,2

17

32,9

09

13

4,10

7 4,

765

5,89

2 7,

042

8,63

4 9,

926

12,3

40

15,1

19

16,9

85

19,8

12

22,3

62

25,4

72

27,6

88

34,5

28

14

4,66

0 5,

368

6,57

1 7,

790

9,46

7 10

,821

13

,339

16

,222

18

,151

21

,064

23

,685

26

,873

29

,141

36

,123

15

5,

229

5,98

5 7,

261

8,54

7 10

,307

11

,721

14

,939

17

,322

19

,311

22

,307

24

,996

28

,259

30

,578

37

,697

16

5,

812

6,61

4 7,

962

9,31

2 11

,152

12

,624

15

,338

18

,418

20

,465

23

,542

26

,296

29

,633

32

,000

39

,252

17

6,

408

7,25

5 8,

672

10,0

85

12,0

02

13,3

51

16,3

38

19,5

11

21,6

15

24,7

69

27,5

87

30,9

95

33,4

09

40,7

90

18

7,01

5 7,

906

9,39

0 10

,865

12

,857

14

,440

17

,338

20

,601

22

,760

25

,989

28

,869

32

,346

34

,805

42

,312

19

7,

633

8,56

7 19

,117

11

,651

13

,716

15

,352

18

,338

21

,689

23

,900

27

,204

30

,144

33

,687

36

,191

43

,820

20

8,

260

9,23

7 10

,851

12

,443

14

,578

16

,266

19

,337

22

,775

25

,038

28

,412

31

,410

35

,020

37

,566

45

,315

21

8,

897

9,91

5 11

,591

13

,240

15

,445

17

,182

20

,337

23

,858

26

,171

29

,615

32

,671

36

,343

38

,932

46

,797

22

9,

542

10,6

00

12,3

38

14,0

41

16,3

14

18,1

01

21,3

37

24,9

39

27,3

01

30,8

13

33,9

24

37,6

59

40,2

89

48,2

68

23

10,1

96

11,2

93

13,0

91

14,8

48

17,1

87

19,0

21

22,3

37

26,0

18

28,4

29

32,0

07

35,1

72

38,9

68

41,6

38

49,6

28

24

10,8

56

11,9

92

13,8

48

15,6

59

18,0

62

19,9

43

23,3

37

27,0

96

29,5

53

33,1

96

36,4

15

40,2

70

42,9

80

51,1

79

25

11,5

24

12,6

97

14,6

11

16,4

73

18,9

40

20,8

67

24,3

37

28,1

72

30,6

75

34,6

52

37,6

52

41,5

66

44,3

14

52,6

20

30

2

Ane

xa 4

Val

orile

rapo

rtulu

i (

)2 22 1

21;

SSf

fF

= c

ores

punzăt

or p

roba

bilităţ

ii P(

F≤

F p)=

0,95

şi n

umer

elor

gra

delo

r de

liber

tate

f 1 ş

i f2,

2 22 1

SS

>

(ext

ras)

f 1

f 2 1

2 3

4 5

6 7

8 9

10

1 16

1 20

0 21

6 22

5 23

0 23

4 23

7 23

9 24

1 24

2 2

18,5

19

,0

19,2

19

,3

19,3

19

,4

19,4

19

,4

19,4

19

,4

3 10

,1

9,55

9,

28

9,12

9,

01

8,94

8,

89

8,85

8,

81

8,79

4

7,71

6,

94

6,59

6,

39

6,26

6,

16

6,09

6,

04

6,00

5,

96

5 6,

61

5,79

5,

41

5,19

5,

05

4,95

4,

88

4,82

4,

77

4,74

6

5,99

5,

14

4,76

4,

53

4,39

4,

28

4,21

4,

15

4,10

4,

06

7 5,

59

4,74

4,

35

4,12

3,

97

3,87

3,

79

3,73

3,

68

3,64

8

5,32

4,

46

4,07

3,

84

3,69

3,

58

3,50

3,

44

3,39

3,

35

9 5,

12

4,26

3,

86

3,63

3,

37

3,29

3,

23

3,18

3,

14

3,14

10

4,

96

4,10

3,

71

3,48

3,

33

3,22

3,

14

3,07

3,

02

2,98

30

3 A

nexa

5

Coe

ficie

nţii

polin

oam

elor

orto

gona

le

k X

Pol

inom

1

2 3

4 5

6 7

8 9

10

F K

Lini

ar

-1

0 1

2

1 3

Păt

ratic

1

-2

1

6 3

Lini

ar

-3

-1

1 3

20

2 Păt

ratic

1

-1

-1

1

4

1 4

Cub

ic

-1

3 -3

1

20

10/3

Li

niar

-2

-1

0

1 2

10

1

Păt

ratic

2

-1

-2

-1

2

14

1 C

ubic

-1

2

0 -2

1

10

5/

6 5

Gra

dul 4

1

-4

6 -4

1

70

35

/12

Lini

ar

-5

-3

1 3

3

70

2 Păt

ratic

5

-1

-4

-1

5

84

3/2

Cub

ic

-5

7 4

-4

-7

5

18

0 5/

3 6

Gra

dul 4

1

-3

2 2

-3

1

28

7/

12

Lini

ar

-3

-2

-1

0 1

2 3

28

1

Păt

ratic

5

0 -3

-4

-3

0

5

84

1 C

ubic

-1

1

1 0

-1

-1

1

6 1/

6 7

Gra

dul 4

3

-7

1 6

1 -7

3

15

4 7/

12

Lini

ar

-7

-5

-3

-1

1 3

5 7

168

2 Păt

ratic

7

1 -3

-5

-5

-3

1

7

16

8 1

Cub

ic

-7

5 7

3 -3

-7

-5

7

264

2/3

Gra

dul 4

7

-13

-3

0 8

-3

-13

7

61

6 7/

12

8

Gra

dul 5

-7

23

-1

7 -1

5 15

17

-2

3 7

2184

7/

10

30

4

Ane

xa 5

(con

tinua

re)

Lini

ar

-4

-3

-2

-1

0 1

2 3

4

60

1 Păt

ratic

28

7

-8

-17

-20

-17

-8

7 28

2772

3

Cub

ic

-14

7 13

9

0 -9

-1

3 -7

-1

4

990

5/8

Gra

dul 4

14

21

-1

1 9

18

9 -1

1 -2

1 14

2002

7/

12

9

Gra

dul 5

-4

11

-4

-9

0

9 4

-11

4

468

3/20

Li

niar

-9

-7

-5

-3

-1

1

3 5

7 9

330

2 Păt

ratic

6

2 -1

-3

-4

-4

-3

-1

2

6 13

2 ½

C

ubic

-4

2 14

35

31

12

-1

2 -3

1 -3

5 -1

4 42

85

80

5/3

Gra

dul 4

18

-2

2 -1

7 3

18

18

3 -1

7 -2

2 18

28

60

5/12

10

Gra

dul 5

-6

14

1

-11

-6

6 11

1

-14

6 78

0 1/

10

305

B I B L I O G R A F I E 1. Adler Iu. P., Vvedenie planirovanie eksperimenta, Moskva, Metallurghia, 1969. 2. Box G., Draper N., Operarea evolutivă, Editura Tehnică, Bucureşti, 1975. 3. Ceauşescu D., Utilizarea statisticii matematice în chimia analitică, Ed.

Tehnică, Bucureşti, 1982. 4. Cochran W. G., Cox G. M., Experimental Designs, John Wiley, New York,

1957. 5. Cochran W. G., Sampling Technique, Wiley, New York, 1953, sau ediţia în

limba rusă Metodî vâborocinogo issledovaniia, Moskva, Statistica, 1976. 6. Coman Gh., Grădinaru N., studii şi cercetări privind modelarea şi

optimizarea sistemelor tehnologice în construcţia de maşini, Inst. Polit. Iaşi, 1980. 7. Coman Gh., Murgu Al., Statistică teoretică şi aplicată (pentru ştiinţe tehnice

şi economice), Partea I-a şi Partea II-a, Editura „Dimitrie Cantemir”, Târgu Mureş, 2000.

8. Cox D. R., Planning of Experiments, Wiley, New York, 1958. 9. Davies O. L. Ş. A., Statistical Methods in Research and Production, Griffin,

London; Hafner, New York, 1967. 10. Federer W. T., Experimental Design: Theory and Application, Macmillan,

New York, 1955. 11. Finni D., Vvedenie v teoriiu planirovaniia experimentov (traducere din limba

engleză), Izd. „Nauka”, Moskva, 1969. 12. Fisher R. A., Yates F., Statistical Tables for Biological, Agricultural and

medical Research, Hafner, New York, 1964. 13. Glück Andrei, Metode matematice în industria chimică, Ed. Tehnică,

Bucureşti, 1971. 14. Hicks C. R., Fundamental Concepts in the Design of Experiments, Holt

Rinehart and Winston, New York, 1964. 15. John P.W.M., Statistical Design and analysis of Experiments, Macmillan,

New York, 1971. 16. Johnson Norman L., Leone Fred G., Statistics and Experimental Design,

John Wiley&Sons, New York, 1977 sau ediţia rusă Statistica i planirovanie eksperimenta v tehnike i nauke, Moskva, Mir, 1981.

17. Maliţa M, Zidăroiu C., Matematica organizării, Editura tehnică, Bucureşti, 1975. 18. Mihail R., Introducere în strategia experimentării, cu aplicaţii în tehnologia

chimică, Editura Ştiinţifică şi Enciclopedică, Bucureşti, 1976. 19. Nalimov V. V., Teoriia eksperimenta, Moskva, Nauka, 1972. 20. Novik F. S., Arsov Ia. B., Optimizaţia proţessov tehnologhii metallov

metodami planirovaniia eksperimentov, Moskva, Maşinostroenie, 1980. 21. Snedecor G. W. şi a., Metode statistice aplicate în cercetările de agricultură

şi biologie, Ed. Did. Şi Ped., Bucureşti, 1968. 22. Voznesenschii V. A., Statististicischie metodî planirovaniia eksperimenta v

tehnico-economiceschih isledovaniiah, Miskva, Statistica, 1974. 23. Zedghinidze I. G., Planirovanie ecsperimenta dlia issledovania

mnogocomponentnâh sistem, Nauka, Moskva, 1976.

306

CUPRINS

Pag.INTRODUCERE……………………….. …………………. ……………….. 3 CAP.1. ANALIZA CALITATIVĂ A FENOMENELOR TEHNICO-ECONOMICE CA OBIECTE ALE MODELĂRII ŞI OPTIMIZĂRII MATEMATICE …….. ………. ………………. ……………………. ………..

15 1.1.Clasificarea parametrilor ce caracterizează fenomenele

tehnico-economice ……………….. ………….. ……………….. ..

15 1.2. Caracterul aleator al parametrilor de intrare în sistem ……. 16 1.3. Variaţia aleatoare a parametrilor de ieşire din sistem …….. 17 1.4. Modelarea matematică şi optimizarea proceselor tehnico-

economice în cazul informaţiilor incomplete asupra parametrilor de intrare ……… …………………. …………… …

18 1.5. Reproductibilitatea rezultatelor în cazul metodelor de

cercetare experimental-statistice …………….. . …………………

19 1.6. Modelarea cibernetică a sistemului tehnico-economic

supus cercetării experimentale …………….. …………….. ……

21 1.7. Evaluarea statistică a parametrilor de intrare şi ieşire luaţi

în considerare la cercetările experimentale ………………………

22 1.8. Verificarea ipotezelor statistice ………………………………. 24 CAP.2. STABILIREA CONDIŢIILOR DE OPTIMIZARE PENTRU CERCETAREA EXPERIMENTALĂ A SISTEMELOR TEHNICO-ECONOMICE …………… ……………….. …………… …………….

27 2.1. Stabilirea parametrului de optimizare ………… ………… .. 27 2.2. Alegerea factorilor de intrare care influenţează optimizarea

funcţionării sistemului tehnico-economic ……………. ……. …..

29 2.3. Caracteristici de bază ale obiectului de cercetat ….. …….. 32 CAP.3. ANALIZA MATEMATICĂ A FENOMENELOR LEGATE DE CERCETAREA ÎN MANAGEMENTUL CALITĂŢII ………….. ……

33

3.1. Ce este calitatea ? …………………………………………… 33 3.2. Calitatea elementelor constitutive ale produselor

industriale din construcţia de maşini …………………………. ….

34 3.3. Modelarea matematică a proceselor tehnologice pentru

obţinerea suprafeţelor pieselor de maşini ……………………….

35 3.4. Metode de obţinere a dimensiunilor pieselor de maşini ….. 37 3.5. Consideraţii prealabile pentru elaborarea modelului

matematic privind precizia prelucrării mecanice …………………

37 3.6. Determinarea erorii totale de prelucrare mecanică ……….. 40 3.7. Modelarea matematică a preciziei prelucrării mecanice la

piesele de revoluţie …………………………………………………

45 3.8. Metode de analiză şi calcul a preciziei şi a

interschimbabilităţii în construcţia produselor industriale ……… 53

307 3.9. Rezolvarea problemelor de precizie la asamblarea

produselor ……………………………………………………………

61 3.10. Asigurarea preciziei şi a interschimbabilităţii elementelor

electrice şi magnetice ……………………………………………….

69 3.11. Particularităţile de calcul ale preciziei dinamice a

aparatelor şi a sistemelor de comandă …………………………..

78 CAP.4. ANALIZA DISPERSIONALĂ …………. ……………………. 85 4.1. Principii introductive ……………… ……………….. ……… 85 4.2. Analiza dispersională monofactorială ………. ……… ……. 86 4.3. Analiza dispersională bifactorială ………. ………… ……… 88 4.4. Analiza dispersională trifactorială …… ………… …….. ….. 90 CAP.5. CORELAŢIE ŞI REGRESIE …………..…………….……… 99 5.1. Determinarea mărimilor caracteristice pentru calculele de

corelaţie şi regresie ……………….. ………. ……………. ………

99 5.2. Analiza statistică a ecuaţiilor de regresie ……… …… ….. 106 CAP.6. METODE FORMALE DE SELECTARE A FACTORILOR 111 6.1. Metoda corelaţiei de rang …………………:.………………… 111 6.2. Metoda balanţei aleatoare ………… …………….. ………… 115 CAP.7. PLANIFICAREA EXPERIMENTELOR PENTRU CERCE-TAREA FENOMENELOR TEHNICO – ECONOMICE .… …………

125

7.1. Experiment factorial ……………………. …………………… 125 7.2. Planuri de ordinul doi ……………… …………….. …………. 138 7.3. Planuri apropiate din punctul de vedere al proprietăţilor de

cele D-optimale ……………….. ……………. ………………… …

147 7.4. Examinarea domeniului de optim reprezentat de un

polinom de gradul doi …………….. ………………….. …………

155 7.5. Analiza ecuaţiilor de regresie pentru planurile de ordinul

doi ………………………. ……………….. ………………………

162 CAP.8. APLICAŢII ALE METODELOR DE PLANIFICARE A CERCETĂRILOR EXPERIMENTALE ÎN TEHNOLOGIA CONS-TRUCŢIEI DE MAŞINI ………………. …………….. ……………….

167 8.1. Analiza preliminară a procesului tehnologic …… …………. 167 8.2. Determinarea componentelor forţei de aşchiere la frezarea

cilindro-frontală ………………. …………. ………………… …….

178 8.3. Optimizarea parametrilor geometrici ai sculelor aşchietoare 185 8.4. Determinarea durabilităţii sculelor aşchietoare ………… …. …… 191 8.5. Analiza metrologică a dispozitivelor dinamometrice pentru

măsurarea forţei de aşchiere …………….. ………………… ………..

196 8.6. Influenţa regimului de aşchiere asupra rugozităţii de suprafaţă … 200 CAP.9. STRATEGII PRACTICE DE UTILIZARE A METODELOR DE PLANIFICARE A EXPERIMENTELOR ……………….. ……….

211

9.1.Experimente monofactoriale. Experimente de bloc complet aleatorizate …………………… …………… …………… ………...

211

9.2. Blocuri incomplet aleatorizate. Pătrate ortogonale ………… 216 9.3. Experimente factoriale. Esenţa unui experiment factorial … 222 9.4. Experimentul de tipul 2n. Experimentul de tipul 22 ……………… 230 9.5. Experimentul de tipul 2n. Experimentul de tipul 23 ….. ………….. 233 9.6. Experimente cu factori cantitativi şi calitativi ……….. …………… 237 9.7. Experimente factoriale de tipul 3n …………. ……………… . 250

308

9.8. Metode de reducere a numărului de experienţe …………… 257 9.8.1. Noţiuni referitoare la mixaj (amestecare). Sisteme cu

mixaj ………………. …………… ……………………. ……..

257 9.8.2. Amestecarea fără repetarea experimentului ………….. 263 9.8.3. Replici fracţionare ……………… ……………… ………. 269 CAP.10. CERCETAREA PARAMETRILOR PROCESULUI DE AŞCHIERE A METALELOR PRIN METODE STATISTICE DE PLANIFICARE A EXPERIMENTULUI ………. …………………….

275 10.1. Realizarea modelului pentru calculul componentelor forţei

de aşchiere la strunjire ………………. .. ……………….. …….

275 10.2. Evaluarea ecruisării metalului sub linia de aşchiere …… 281 10.3. Analiza geometriei părţii aşchietoare a sculelor ………… 285 ANEXE ……………………. ……………… ………………….. ……… 297

BIBLIOGRAFIE ………………………. …………………………… ………. 305

Tipar Digital realizat la Tipografia PIMoseaua tefan cel Mare nr. 11

Ia i – 700498Tel.: 0232.212740, 0332.440728

e-mail: editurapim@pimcopy.rowww.pimcopy.ro