整数整除的概念和性质

绍兴市鲁迅小学竺伟波

我能成为一个科学家，最主要的是：对科学的爱好；思索问题的无限耐心；在观察和收集事实上的勤勉；一种创造力和丰富的常识。

—— 达尔文

知识纵横对于整数 a 和不为零的整数 b ，总存

在整数 m ， n 使得 a=bm+n( ０≤ n<b) ，其中 m 称为商， n 称为余数，特别地，当 n=0 时，即 a=bm, 便称a 被 b 整除 ( 也称 a 是 b 的倍数或 b是 a 的约数 ) ，记为 b|a ．

知识纵横　　　 整除有以下基本性质：1 ．若 a|b ， a|c ，则 a|(b±c) ； 2 ．若 a|b ， b|c ，则 a|c ；3 ．若 a|bc ，且 (a ， c)=1 ，则 a|b ，

特别地，若质数 p|bc ，则必有 p|b或 p|c ；

4 ．若 b|a ， c|a ，且 (b ， c)=1 ，则 bc|a

解整除有关问题常用到数的整除性常见特征： 1 ．被 2 整除的数：个位数字是偶数； 2 ．被 5 整除的数：个位数字是 0 或 5 ； 3 ．被 4 整除的数：末两位组成的数被 4 整除；

被 2 5 整除的数，末两位组成的被 2 5 整除； 4 ．被 8 整除的数：末三位组成的数被 8 整除；

被 125 整除的数，末三位组成的被 125 整除； 5 ．被 3 整除的数：数字和被 3 整除； 6 ．被 9 整除的数：数字和被 9 整除； 7 ．被 11 整除的数：奇数位数字和与偶数位

数字和的差被 11 整除．

根据已知条件来确定自然数，是数学活动中常见的一类问题，解这类问题时往往用到下列知识方法：

(1) 运用整除性 (2) 确定首位数 (3) 利用末位数 (4) 代数化 (5) 不等式估算 (6) 分类讨论求解等

例题求解 【例 1 】 一个自然数与 1 3 的和是 5 的倍数，

与 1 3 的差是 6 的倍数，则满足条件的最小自然数是 。

( 重庆市竞赛题 )

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例题求解【例 2 】 有三个正整数 a 、 b 、 c ，其中

a 与 b 互质且 b 与 c 也互质，给出下面四个判断：① (a+c)2 不能被 b 整除；② a2+c2

不能被 b 整除；③ (a+b)2 不能被 c 整除；④ a2+b2 不能被 c 整除，其中不正确的判断有 ( ) ． ．

A ． 4 个 B ． 3 个 C ． 2 个 D ． 1个

(“ 希望杯”邀请赛试题 )

A

例题求解 【例 3 】 已知 7 位数 1287xy6 是 7 2 的倍数，

求出所有的符合条件的 7 位数． ( 第 1 5 届江苏省竞赛题 )

思路点拨 7 位数 1287xy6 能被 8 ， 9 整除，运用整数能被 8 、 9 整除的性质求出 x ， y的值．

例题求解 【例 4 】 (1) 若 a 、 b 、 c 、 d 是互不相

等的整数，且整数 x 满足等式 (x-a)(x-b)(x-c)(x-d)-9=0, 求证： 4|(a+b+c+d) ．

(2) 已知两个三位数 abc 与 def 的和 abc+def 能被 37 整除，证明：六位数也能被 3 7整除 思路点拨 (1)x-a ， x-b,x-c ， x-d 是互不相

等的整数，且它们的乘积等于 9 ，于是必须把 9 分解为 4 个互不相等的因数的积；(2) 因已知条件的数是三位数，故应设法把六位数 abcdef 用三位数的形式表示 , 以沟通已知与求证结论的联系．

例题求解【例 5 】 (1) 一个自然数 N 被 1 0 除余 9 ，被 9 除

余 8 ，被 8 除余 7 ，被 7 除余 6 ，被 6 除余 5 ，被 5 除余 4 ，被 3 除余 2 ，被 2 除余 1 ，则 N 的最小值是 　　　 ． ( 北京市竞赛题 )

(2) 若 1 0 5 9 、 1 4 1 7 、 2 3 1 2 分别被自然数x 除时，所得的余数都是 y ，则 x—y 的值等于 ( ) ． (“ 五羊杯”竞赛题 )

A ． 1 5 B. 1 C ． 1 6 4 D ． 1 7 4

(3) 设 N=11…1 ，（共 1 9 9 0 个 ）试问 N 被 7除余几 ? 并证明你的结论．　　 ( 安徽省竞赛题 )

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A

学力训练 1 ．若五位数 12a34 是 3 的倍数，那么 a 是

　 2 ．如果从 5 ， 6 ， 7 ， 8 ， 9 这 5 个数中，选出 4 个组成一个四位数，使它能被 3 ，5 ， 7 整除，那么这些数中最大的是 　 ．

3 ．已知七位数 13ab456 能被 1 9 8 整除，那么 a= 　 ， b= ．

4 ．在 1 ， 2 ， 3 ，…， 2 0 0 0 这 2 0 0 0 个自然数中，有 个自然数能同时被 2 和 3 整除，而且不能被 5 整除．

学力训练 5 ．能整除任意 3 个连续整数之和的最大整数

是 ( ).

A ． 1 B ． 2 C ． 3 D.6 6 ．除以 8 和 9 都是余 1 的所有三位数的和是

( )

A ． 6 4 9 2 B ． 6 5 6 5 C ． 7 5 0 1 D.7514

( 第 1 7 届江苏省竞赛题 )

学力训练7 ．若 2 0 0 2 2 0 0 2…2 0 0 2 1 5 (n 个 2 0 0 2)

被 1 5 整除，则 n 的最小值等于 ( ) ．　　　 A ． 2 B ． 3 C ． 4 D ． 5

(2 0 0 2年北京市竞赛题 )

8 ．有棋子若干，三个三个地数余 1 ，五个五个地数余 3 ，七个七个地数余 5 。则棋子至少有( ) ．

　 A ． 2 0 8 个 B ． 1 1 0 个 C ． 1 0 3 个 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D ．1 0 0 个

学力训练 9 ． (1) 证明：形如 abcabc 的六位数一定能

被 7 ， 11 ， 1 3 整除． (2) 若 4b+2c+d=32 ，试问 abcd 能否被 8

整除 ? 请说明理由． 10 ．已知 7 位自然数 62xy427 是 9 9 的倍数，

求代数式 950x+24y+1 的值． 11 ．已知 a ， b 是整数，求证： a+b ， ab,

a-b 这三个数之中，至少有一个是 3 的倍数．

能力拓展12 ．五位数 abcde 是 9 的倍数，其中 abcd 是

4 的倍数，那么 abcde 的最小值是 ．13. 一个三位自然数，当它分别被 2 ， 3 ， 4 ，

5 ， 7 除时，余数都是 1 ，那么具有这个性质的最小三位数是 ；最大三位数是 ．

14 ．今天是星期日，从今天算起，第 1 1 1…1（ 2000 个 1 ）天是星期 ．

15 ．用自然数 n去除 63 、 91 、 130 ，所得到的 3 个余数的和为 26 ，则 n= .

能力拓展 16.今有自然数带余除法算式： A÷B=C…8 ，如

果 A+B+C=2178 ，那么 A= ( ) ． A ． 2000 B ． 2001 C ． 2071 D ． 2100 17. 有 1997盏亮着的电灯，各有一个拉线开关控制着，现按其顺序编号为 1,2…1997 ，然后将编号为 2 的倍数的灯线拉一下；再将编号为 3 的倍数的灯线拉一下；最后将编号为 5 的倍数的灯线拉一下， 3次拉完后亮着的灯数为 ( ) ．

A ． 1464盏 B ． 533盏 C ． 999盏 D ． 998盏

A

C

能力拓展 18 ． 1997 2000 被 7 除的余数是 ( )

A ． 1 B ． 2 C ． 4 D ． 6 19 ． n 为正整数， 302 被 n(n+1) 除所得商数 q及余

数 r 都是正值，则 r 的最大值与最小值的和是 ( ) ． A ． 148 B ． 247 C ． 93 D ． 122 20 ．某商场向顾客发放 9999张购物券，每张购物券

上印有一个四位数的号码，从 0001 到 9999 ，如果号码的前两位数字之和等于后两位数字的和，则称这张购物券为“幸运券”，试证明：这个商场所发的购物券中，所有幸运券的号码之和能被 1 0 1 整除．

C

A

能力拓展21 ．将分别写有数码 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ，

7 ， 8 ， 9 的九张正方形卡片排成一排，发现恰是一个能被 11 整除的最大的九位数。请你写出这九张卡片的排列顺序，并简述推理过程。

22 ．将糖果 300粒、饼干 210块和苹果 163 个平均分给某班同学，余下的糖果、饼干和苹果的数量之比是 1 ： 3 ： 2 ．问该班有多少名同学 ?

23 ．已知质数 p 、 q 使得表达式 (2p+1)/q及 (2q-3)/p 都是自然数，试确定 p2q 的值。

综合创新24 ．重排任一个三位数三个位上的数字，得到

一个最大的数和一个最小的数，它们的差构成另一个三位数 (允许百位数字为 0) ，再重复以上的过程，问重复 2003次后所得的数是多少 ? 证明你的结论．

(2 0 0 4年武汉市选拔赛试题 )