课题：一元二次方程的根的判别式制作：邯郸市新兴中学 赵国山

平方根的性质打开你的搜索引擎，搜寻 :

用公式法求下列方程的根 :

.01)3

;0141)2

;022)1

2

2

2

xx

xx

xx

用公式法解一元二次方程的一般步骤 :

1) 把方程化为一般形式2) 确定 的值cba ,,

4) 利用求根公式 计算方程的根 aacbbx

242

3) 计算 , 并判断其值与 的关系acb 42 0

042 acb

2 42

b b acxa

温温温温温

一元二次方程 2 0 0ax bx c a 的求根公式是：

2 42

b b acxa

温温温温温

2 4 0b ac 一元二次方程2 0( 0ax bx c a , )

的求根公式是

2 0ax bx c 2 0b cx xa a

2 b cx xa a

2 22

2 2b b c bx xa a a a

2 2

2

42 4b b acxa a

如何把一元二次方程 2 0 0ax bxc a 写

成 2xh k 的形式？

配方法

2 2

2 ( 02 4

4 )b acbx aa a

当2 4b ac ＞0时，方程的右边是一个正数，方程有两个不相等的实数根：

2 2

1 24 4; ;

2 2b b ac b b acx x

a a

当2 4b ac =0时，方程的右边是0，方程有两个相等的实数根： 1 2 ;

2bx xa

当2 4b ac ＜0时，方程的右边是一个负数，因为在实

数范围内，负数没有平方根.所以，方程没有实数根. acb 42 思考：究竟是谁决定了一元二次方程根的情况

04,0 2 aa acb 42

反过来，对于方程 2 0 0ax bxc a ， 如果方程有两个不相等的实数根，那么

2 4 0;b ac

如果方程有两个相等的实数根，那么 2 4 0;b ac

如果方程没有实数根，那么 2 4 0.b ac

我们把 叫做一元二次方程 的根的判别式，用符号“ ”来表示 .

当0时，方程有两个不相等的实数根；

当0时，方程有两个相等的实数根；

即一元二次方程 2 0 0ax bxc a ， 反之，当方程有两个不相等的实数根时，0；

当方程有两个相等的实数根时，0；

当方程没有实数根时，0. 当0时，方程没有实数根.

acb 42 )0(02 acbxax

1 ：按要求完成下列表格：

Δ 的值

让我们一起学习例题

根的情况 有两个相等的实数根 没有实数根 有两个不相等的实数根

方程判别式与根 0132 2 xxyy 422 2 0)1(2 2 xx

15 170 00 0

让我们一起学习例题

一般步骤： 3 、判别根的情况，得出结论 .

2 、计算 的值，确定 的符号 .

2 : 不解方程，判别方程的根的情况 .

24 1 4y y

1 、化为一般式，确定 的值 .cba 、、

0144 2 yy解：

的实数根。所以，方程有两个相等

1,4,4 cba0144)4( 2

你会了吗？来练一下吧！我相信你肯定行！

21(1) 3 84x x ；

2(2)5 1 7 0.t t

练习 不解方程，判别下列方程的根的情况：

订正

3 ：不解方程，判别关于 的方程 的根的情况 .

222 2 4 1k k 解：

2 2 28 4 4k k k

.方程有两个实数根

x2 22 2 0x kx k

2 24 0 0,k k 0, ，即∵

分析： 1a kb 22 2kc 系数含有字母的方程

2 2 1 0 0a x ax a 不解方程，判别关于 的方程 的根的情况 .

x

相等的实数根。所以，原方程有两个不即

且

0,05

0,5)1(4)(2

222

a

aaaa解：

x

今天的收获：我学会了……

我掌握了……我体会到了……

今天的作业

2. 求证 : 方程 没有实数根 . 0)4(2)1( 222 mmxxm

1 ．不解方程，判断下 x 的方程的根的情况

1)

2)

08341)1( 2 xx解：

)8(414)3(

8,3,41

2

cba

017

所以，方程有两个不相等的实数根

0575)2( 2 tt解：

554)7(

5,7,52

cba

051

所以，方程无实数根

看看你做的对不对？

01)12( 22 kxkx1. 已知关于 的方程x有两个不相等的实数根，试确定的取值。

2. 求证：关于 的方程x 0)1(2 222 kkxxk有实数根。