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面电荷所在处的电场强度的思考. 中国科技大学化学物理系 PB04206093 孙华行 指导教师：张增明. 问题的产生. 设电荷 Q 均匀分布在半径为 R 的球面上，则由 Gauss 定理，根据对称性，立即求出球面内外的电场强度为. Q. R. P. O. 其中 r 是球心到场点的距离， 是球心到场点方向上的单位矢量。. 问题的产生. 例：一无限长的均匀带电圆柱面，半径为 a ，面电荷密度为 σ ，沿轴线将其切成两半，求其中一半长度所受到的斥力。. 解：以圆筒的轴线为轴线，半径为 r 作为 1 的圆柱面（ Gauss 面），由对称性和 Gauss 定理： - PowerPoint PPT Presentation
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面电荷所在处的电场强度的思考面电荷所在处的电场强度的思考
中国科技大学化学物理系PB04206093 孙华行
指导教师：张增明
问题的产生问题的产生
设电荷 Q 均匀分布在半径为 R 的球面上，则由 Gauss 定理，根据对称性，立即求出球面内外的电场强度为
20
0
4
r R
E Qn r R
r
��������������
其中 r 是球心到场点的距离， 是球心到场点方向上的单位矢量。
n
OR
P
Q
问题的产生问题的产生
例：一无限长的均匀带电圆柱面，半径为 a ，面电荷密度为 σ ，沿轴线将其切成两半，求其中一半长度所受到的斥力。
解：以圆筒的轴线为轴线，半径为 r 作为 1 的圆柱面（ Gauss 面），由对称性和 Gauss 定理：
求出0
2S
QEdS rlE
����������������������������
0
0 r a
E an r ar
��������������
其中 n 为场点所在处的由轴线到场点的单位矢量
a
问题的产生问题的产生
22 0
0
2sinF ad E a
2
0
1F a
0 0
1 1( ) (0 )
2 2 2E E E
尝试将面内侧的场强 E=0 代入计算，得： 将面外侧的场强极限值代入计算得：
而正确答案是
对比两答案，如果将下面所示的两侧场强的极限值的平均值代入计算，答案是正确的
1 0F
问题的产生问题的产生
思考上述结果，大胆推测对于静电场中场点 P0 处的场强而言，有 1
( )2
E E E ������������������������������������������
其中 和 是场点两侧场强在趋近于此场点时的极限值。E
��������������E
��������������
问题的思考问题的思考
在静电场边值关系和有介质情况下的唯一性定理：
1.介质分界面两侧的电场场强切向分量连续
2.介质分界面两侧电场的电位移矢量法向分量连续
3.介质分界面两侧电势连续
问题的思考问题的思考
启发：启发：a取圆柱面上的一个小面元 dS ，则在小面
元 dS 的一侧无限靠近小面元处，仍然可以认为由均匀带电的无限大平面两侧的场强为
02E
由 Gauss 定理，内部的场强为 0, 则可以得到圆柱面上其他面电荷在 dS 处产生的场强大小也为 只是方向与 dS 产生的场强方向相反而已。02
小面元 dS
问题的思考问题的思考
02E
a
现将 dS 取下，则此时其他位置的电荷产生的场强不变，则 dS 面元空处的场强为
由此推测，外侧场强也分两部分，一部分是 dS 面元电荷产生，一是 dS 外其他面电荷产生，二者叠加，得到
0 0 0
'
2 2E
0 0
'0 ( ')
2 2E
其中，设面元上的面电荷密度为 σ‘ ，其他部分为 σ
小面元 dS
问题的思考问题的思考经过上述推导，得到无穷长均匀圆柱面电荷产生场强为
0
0
2
0
Rr
r R
E r R
r R
��������������
02
0
0
E
r
问题的解决推测开始提出问题的解为：
设电荷 Q 均匀分布在半径为 R 的球面上，则由 Gauss 定理，根据对称性，立即求出球面内外的电场强度为
0
20
0
8
4
r R
Qn r R
RE
Qn r R
r
��������������
其中 r 是球心到场点的距离， 是球心到场点方向上的单位矢量。n
问题的解决问题的解决推导过程：如图所示， P 为球面上任意点，取过 P ， Q 的直径，把球面分为许多环带，使它们的轴线都与 OP 直径重合，其中在 θ 处宽为 Rdθ 的环带上的电荷量为
22 sin sin
4 2
Q Qdq ds RR d d
R
根据半径为 R 的圆环电荷在其轴线上离环心为 r 产生的电场强度为
322 2
04
Q rE
r k
��������������
故环带上的电荷 dq 在 P 电产生的电场强度为
32
32
2 20
2 20
20
cos
4 cos ( sin )
cos sin
8 cos ( sin )
sin
16 2 1 cos
dq R RdE n
R R R
R R dQn
R R R
Qn
R
����������������������������
OR
P
Q
问题的解决问题的解决积分得
22 000
sin
816 2 1 cos
Qn qE d n
RR
����������������������������
符合上面的推测
结论的推广结论的推广对于一般的情况，公式仍然是成立的。因为上面圆柱面问题时，虽然是特例，但是分析方法不失一般性。对于一个带有面电荷分布的导体的面电荷所在处的电场强度而言，总可以分为面元 ΔS 和其他的面电荷。则 ΔS 上的电荷在其两侧所产生的电场强度的极限为：
1 1
0 02 2E n E n
��������������������������������������������������������
而其他的面电荷在该点的电场强度是连续的，即故有
2 2 2E E E ������������������������������������������
1 2 2
0
1 2 2
0
2
2
E E E E n
E E E E n
����������������������������������������������������������������������
����������������������������������������������������������������������
而 ΔS 上的电荷在该点产生的场强为 0, 所以该点的场强等于 ΔS 外其他面电荷所产生的场强，即 E ＝ E2 ，则由连续性可知
12 ( )E E E ����������������������������
一般结论
设面电荷上某点的面电荷密度为 σ ，则由其一侧到另一侧时电场强度会在这一点发生突变，设从两边趋近这一点时，电场强度的极限分别为 E ＋和 E －，则该点的电场强度为
12 ( )E E E ����������������������������
不足之处恳请大家指正，
谢谢大家。
