6 장 굽 힘

[email protected]/72

6 장 굽 힘

• 전단력 선도 및 모멘트 선도• 최대 전단력 및 모멘트에 의한 굽힘응력• 단면 : 대칭 , 비대칭• 재료 : 선형 , 비선형• 곡선부재• 응력집중과 잔류응력


6.1 전단력 및 모멘트 선도

보 (beam): 횡방향 하중을 받고 있는 가늘고 긴 부재ex) 빌딩의 마루 , 다리 , 비행기의 날개 , 차축 , Crane boom, 인체의 뼈대

지지 조건에 따른 보의 분류

SFD(Shear Force Diagram), BMD(Bending Moment Diagram) 의 용도 (i) Vmax, Mmax 의 값 및 발생위치 : 보의 설계에 이용 (chap.11) (ii) 변형 , 내부에너지 계산 , 보강 위치 결정 (chap. 12)

수학적 모델의 표현방법

단순지지보

외팔보

내다지보 ( 돌출보 )


좌표축의 설정

SFD, BMD 작성 : 하중이 변화하는 위치에서 불연속이므로 , 구간별로 좌표축을 달리 잡는다 . 좌표축 설정방법은 위와 같이 다양하게 할 수 있음 .

x1 x2 x3


부호규약

+w(x) 는 아래방향w(x)

v v

M M+M 은 형태로 굴곡

+V 는 시계방향 회전


해석과정

보의 전단력 및 모멘트 함수를 구하여 SFD 와 BMD 를 그리는 방법 : 지점반력 : 자유 물체도를 작성하고 힘의 평형조건 적용 .전단력 및 모멘트 함수 : i) 하중의 불연속점을 기준으로 구간을 나누어 좌표를 설정 . ii) 전단력과 모멘트를 구하고자 하는 점 ( 좌표 x) 에서 부재를 절단 , iii) 평형조건 적용 .전단력 및 모멘트 선도 : 얻어진 함수를 plot 한다 . 일반적으로 자유 물체도 아래에 선도를 그린다 .

[email protected]/72예제 6.1

20

2;0

PVVP

PFy

)(2

02

)2

(;0 xLP

MxPL

xPMM

보의 SFD, BMD 작성 .

RA=RC=P/2 : 좌우 대칭

Note : 전단력은 집중하중이 있는 B 점에서 불연속

지점반력 :

xP

MM2

;0 2

;0P

VFy

전단력 및 모멘트 함수 :

선도는 위에서 얻어진 함수를 plot 한다 .

RA RC


L

MVFy

0;0

xL

MMM 0;0

L

MVFy

0;0

)(;L

x1MM0M 0

RA=RC=P/2


Note: 모멘트 선도가 점프

지점반력 :

RA RC



x

2

LV0Fy ;

2xLx2

M0M

;

2/0)2

( LxxL

V

2/8

])2

()2

([2

22

max LxatLLL

LM

RA=RC=P/2


전단력 및 모멘트 선도 :

Note : V=0 인 점에서 M 값이 최대 .

지점반력 :



)(; 220y xL

L2V0F

)(; 3230 xxL3L2L6

M0M

L

xx

Ldx

dV 00 )20(2

)(2

)330(6

220220 xLL

xLLdx

dMV

지점반력 :전단력 및 모멘트 함수 :

RA=woL/2, MA=woL2/3

RAMA



ft739x09xx230V 2 ./

ftkip1632773973973930M 32 /).().().(max

RA=30 kip, RC=42 kip


지점반력 :RCRA


kip9xx230V0F 2y )/(;

ftkip27xxx30M0M 32 )/(;


kN755V0Fy .; mkN80x755M0M 1 ).(;

kN5x515755V0F 2y )(.; mkN25x55x15x75580M0M 2

222 /)()(.;


RA=5.75 kN, RC=34.25 kN


지점반력 :

RCRA


kN2534x5V0F 2y .; mkNx25342xx5M0M 2

222 ./)(;

선도는 위에서 얻어진 함수를 plot.

Alternative:


해금강삼일포에서 남강을 끼고 십리쯤을 가면 곳에 해금강이 있으며 , 금강산의 줄기가 바다로 이어졌다 하여 해금강이라 부른다 .


6.2 전단력 및 모멘트 선도의 도식적 작성 방법

분포하중 영역

0)()(;0 VVxxVFy

xxV )(

0)()]([)(;0 MMxkxxMxVM G

w(x), V(x), M(x) 가 서로 연관되어 있음을 이용하여 도식적으로 SFD, BMD 를 그릴 수 있다 .

x0 의 극한을 취하면 ,

)(

)(

xVdx

dM

xdx

dV

dxxVM

dxxV

)(

)(

기울기 면적

2)()( xkxxVM Neglect


)(xdx

dV

Vdx

dM

dxxV )(

dxxVM )(

V=0 인 지점에서 M 의 slope =0, 즉 M 이 최대 값을 갖는다 .

기울기 면적


집중 하중과 모멘트 영역

0)(;0 VVFVFy

FV

0;0 0 MxVMMMM G

0MM

F ↓ (F > 0): 하중 점에서 SFD 가 F 만큼 jump down↓F ↑ (F > 0): 하중 점에서 SFD 가 F 만큼 jump up↑

M(cw): 하중 점에서 BMD 가 M 만큼 jump up↑ M(ccw): 하중 점에서 BMD 가 M 만큼 jump down ↓

Timoshenko 방식 Crandhal 방식

+w(x)

+V

+M

+V

+M

+q(x)+F +F

[email protected]/72Timoshenko 방식

n 차 곡선 (n+1) 차 (n+2) 차)(xdx

dV Vdx

dM

dxxV )( dxxVM )(


해석과정하중 , 전단력 , 그리고 모멘트 사이의 관계식을 근거로 SFD & BMD작성 방법 제시지점 반력 :보의 자유 물체도를 그리고 , 평형조건을 고려하여 구함 .전단력 선도 : 보의 양단에서의 알고 있는 전단력 값을 SFD 에 먼저 표시 .dV/dx=-w 이므로 , 전단력 선도의 기울기는 그 점에서의 하중 세기와같으며 , 방향은 반대이다 . 모멘트 선도 : 보의 양단에서의 알고 있는 모멘트 값을 MD 에 먼저 표시 .dM/dx=V 이므로 , 전단력 선도의 기울기는 그 점에서의 전단력 세기와같다 .



전체 보의 자유물체도의 평형으로부터 RA= P, MA= -PL

V=P at x=0 & L ( w=0 in 0<x<L)전단력 선도의 기울기는 0 이다 .

M= -PL at x=0, M=0 at x=L ( V=P in 0<x<L) 모멘트 선도의 기울기는 P(+) 이다 .

)(xdx

dV Vdx

dM

지점반력 :

전단력 선도 :

모멘트 선도 :



전체 보의 자유물체도의 평형으로부터 ,MA= Mo

V=0 at x=0 & L ( w=0 in 0<x<L) 전단력 선도의 기울기는 0 이다 .

M=Mo at x=0 ( V=P=0 in 0<x<L) 모멘트 선도의 기울기는 0 이다 .

)(xdx

dV Vdx

dM

지점반력 :

전단력 선도 :

모멘트 선도 :



전체 보의 자유물체도의 평형으로부터 , RA= woL, MA= -woL2/2

V= RA= woL at x=0, V= 0 at x=L ( w=wo in 0<x<L) 전단력 선도의 기울기는 -wo 이다 .

M=-wo L 2/2 at x=0,

M=0 at x= L (V= woL→0 in 0<x<L; 1 차 감소 ) 모멘트 선도는 비선형 2 차 증가 .

)(xdx

dV Vdx

dM

지점반력 :

전단력 선도 :

모멘트 선도 :



전체 보의 자유물체도의 평형으로부터 , RA= woL/2, MA= -woL2/6

V= RA= woL/2 at x=0, V= 0 at x=L ( w=wi in 0<x<L) 전단력 선도의 기울기는 -wi 이다 .

M=-wo L 2/6 at x=0,

M=0 at x=L ( V=woL→0 in 0<x<L; 2 차 감소 ) 모멘트 선도는 3 차로 증가 .

)(xdx

dV Vdx

dM

지점반력 :

전단력 선도 :

모멘트 선도 :


ft026x0x45

x2

2

1150Fy .;)]([;

ftkip260M0M max;

보의 SFD, BMD 작성 . )(xdx

dV Vdx

dM

전체 평형에서 ; RA= 15 kip, RB=30 kip

w=wix in 0<x<L, 전단력 선도의 기울기 ; -wi

전단력 부호 변화 at x=26; 모멘트 선도의 기울기가 변화 (3 차 ).

지점반력 :

전단력 선도 :

모멘트 선도 :

V=0 인 점 ;

V= 15 kip at x=0, V=-30 kip at x=L

M=0 at x=0 & L



dV Vdx

dM

전체 평형에서 , RA= 4.8 kN, RB=11.2 kN

V=4.8 kN at x=0, V=-11.2 kN at x=L, 집중하중 작용점에서 jump 됨 .

M=0 at x=0 & L 이다 .

지점반력 :

전단력 선도 :

모멘트 선도 :


집중모멘트 유무의 비교


ft943x

03

xxx

6

2

2

1x8x4404M0M

.

))(()()()(.;


dV Vdx

dM

RA=4.40 kip, RC=17.6 kip

V=4.40 kip at x=0, V=0 at x=14 ft, 집중하중 작용점에서 jump.

M=0 at x=0 & 14 ft, 전단력 부호 변화 at x=4 & 10 ft. 선도의 기울기 부호도 이점에서 바뀐다 .

M=0 인 점의 위치 :

지점반력 : 전단력 선도 :

모멘트 선도 :


6.3 직선부재의 굽힘 변형조건 : 보 단면에 적어도 하나의 대칭축 (y 축 ) 이 있어야 하고 , 대칭축에 수직인 방향 (z 축 ) 으로 굽힘모멘트가 작용한다

변형의 관찰


변형의 관찰

중립축

중립면종축

변형의 관찰 결과 또는 가정 (i) 중립면상의 모든 종방향 선분은 길이 변화가 없다 . (ii) 보의 모든 단면은 평면을 유지하고 종방향 축에 수직이다 . (iii) 보의 단면의 변형은 무시


s

sss

'

0lim

yy

)(lim

0

maxmax

)(/

/

c

y

c

y

c

max

xs

ys )('

즉 , ( 종축방향 ) 은 중립 축으로부터의 거리 y 에 선형적으로 비례


가정 : uniaxial stress x≠0, all other 's=0 ( free boundaries) Note: x= x /E y= x y >0 for y>0(x <0) z= x z >0 for y>0(x <0) Anticlastic curvature:


6.4 굽힘공식

AAAA

xR

ydAc

dAc

ydAdF

FFmax

max)(0

;0

00 max cydA

A

~M 의 관계로부터 중립면의 위치를 구하면 ,

선형탄성거동에서는 = E 이므로 이다 .max)( c

y

2/3

1/3

2/3

1/3

2/3

1/3

2/3

1/3

예 )


AAA

zzR dAc

yydAyydFMMM )()(;)( max

I

cMI

cdAy

cM

A

maxmax2max

A

dAyI 2

I

My

I 는 단면의 관성모멘트 (moment of inertia).

굽힘공식 (flexure formula)

테이퍼 부재에도 적용가능 ; 15 인 경우 엄밀해와 약 5.4% 오차 .

해석과정굽힘공식은 균질재료 , 선형탄성 거동하는 균일 단면 직선부재의 수직응력을 구하는데 사용됨 . 내부 모멘트 : 절단하고 , 자유 물체도와 힘의 평형조건 적용 .단면의 성질 : 단면적 A, 관성모멘트 I. 수직응력 : 중립축의 위치 설정이 축에서 구하고자 하는 점까지의 거리 y 를 구함 . 굽힘공식 적용

I

My


42

max 864

.)6(/2;

in

inMinkip

I

Mc ftkipinkipM 24.288

0dy626

ydAF

in6

in6A

R

.

))]()([(

그림과 같은 응력분포일 때 , 보의 내부 모멘트 M 을 구하라 . a) 굽힘공식을 이용 , b) 기본원리로 응력분포의 합을 구하라 .

a) 굽힘공식 : max=2 ksi, c=6 in., I=bh3/12=864 in4

b) 응력분포의 합 =0: 중립축에서 거리 y 인 스트립 요소 dA 에서의 응력 ,

)/2)(6

()( 2max inkip

in

y

c

y

ftkip24inkip288dyy2dAyydFMin6

in6

2

AA

..

kipininkipinF 36.)6)(/2.)(6(2

1 2

ftkipinkipinkipM 24.288.)8(36

c) Alternative:합력 :

모멘트 :


MPa712I

Mc.max

보의 절대 최대 굽힘응력을 구하고 , 그 단면의 응력분포는 ?

462 m103301AdII )(.)(

최대 내부 모멘트 :

단면 성질 :

절대 최대 굽힘응력 : c=170 mm

MPa211I

yMB

B .점 B 에서의 굽힘응력 : yB=170 mm

M=22.5 kN-m at center from BMD



mm0959m059090A

Ayy ..

~

mkN8594M0MNA .;

MPa216I

Mc.max

단면 a-a 에서의 보의 절대 최대 굽힘응력는 ?

도심 및 내부 모멘트 :

단면의 성질 :

최대 굽힘응력 :

Note: 굽힘응력 이외에도 수직력 N=1 kN 과 전단력 V=2.4 kN 에 의한 응력도 발생함에 유의 :

총 응력 x= bending+ N =-My/I + N/A

c= 0.200-0.05909=0.1409 mm

462 m102642AdII )(.)(


463 m101350bh12

1I )(. MPa444

I

Mc.max

mm9215A

Ayy .

~

m019080921535c ..

MPa654I

Mc.max

두 경우의 최대 굽힘응력의 비교

늑재 (rib) 가 없는 경우 :

늑재 (rib) 가 있는 경우 :

Note: 보강된 경우 max= Mc/I 에서 , 보강재는 I 값을 증가하지만 c도

증가하여 결과적으로 최대응력이 증가하는 효과도 있음 .

462 m1016420AdII )(.)(


6.5 비대칭 굽힘

비대칭단면 , 모멘트의 방향이 임의인 경우에도 굽힘공식은 적용가능Case I : 비대칭단면 ( 단 , 직선 보이고 균일단면 ) a. 좌표축 설정 : 원점 = 도심 b. 합모멘트 M 의 방향 ( 즉 , 중립축 ) = z 축


∴ 관성곱 (product of inertia) Iyz = 0 일 때 위의 두 번째 식이 만족됨 . 관성 주축 : 관성곱이 0 인 두 축 , 예 : 대칭축 및 그에 수직인 축 . 이 때 굽힘 식은 적용 가능하며 , 평형조건식이 모두 성립 .

A

xR dAFF 0;

A

yyR dAzMM 0;)(

A

zzR dAyMMM ;)(

평형조건 :

대칭축이 있으면 , 만족됨 .

z 축이 도심 통과하므로 OK.

z 축이 중립축이므로 , =-(y/c)max 를 대입하면 , max= Mc/I 가 된다 .

AA

yzdAyzdAc

00 max


Summary : M 이 관성주축 방향으로 작용 굽힘공식이 성립 , 평형조건이 만족 .

예 )


= +

zIM

IMy

I

zM

I

yM

yz

zy

y

y

z

z 0

Case II : 임의 방향의 굽힘모멘트굽힘모멘트를 관성주축 방향으로 분해하여 각 문제의 응력의 합으로 굽힘응력을 구한다 . 즉 , yyzz IzMIyM //

중립축 (=0) 의 방향 :

zI

Iy

I

I

z

y

y

z

y

z )tan(tantan Mz=M cos,

My=M sin

y

Z

y

ZZ

y


y

y

z

z

I

zM

I

yM

mzzIM

IMy

I

zM

I

yM

yz

zy

y

y

z

z 0

= +


mKN6091254My .))(/(

mKN2071253Mz .))(/(

433y m1026670122040I )(./).)(.(

433z m100671124040I )(./).)(.(

y

y

z

z

I

zM

I

yM

MPa2521026670

1010609

100671

20102073

3

3

3

B .)(.

).)((.

)(.

).)((.

MPa9541026670

1010609

100671

20102073

3

3

3

C .)(.

).)((.

)(.

).)((.

MPa2521026670

1010609

100671

20102073

3

3

3

D .)(.

).)((.

)(.

).)((.

MPa9541026670

1010609

100671

20102073

3

3

3

C .)(.

).)((.

)(.

).)((.

단면의 각 곡지점에 발생하는 굽힘응력의 크기와 중립축 방향은 ?

내부 모멘트 성분 :

단면의 성질 :

굽힘 응력 :


)2.0(

95.425.2

zm

MPa

z

MPa

zz 95.425.2450.0 mz 0625.0

)1.53tan()10(2667.0

)10(067.1tantan

43

43

m

m

I

I

y

z

4.79

중립축의 방향 :

점 D 의 중립축까지 거리 .

변 BC 에서 비례관계로 부터


mKNmKNM y 0.1330cos)15(

mKNmKNM z 50.730sin)15(

m08900A

Azz .

~

M=15 kN-m 가 작용할 때 , T 형 보의 최대 수직응력과 중립축 방향 ?


단면의 성질 :

46z m105320II )(.

462x m109213AdII )(.)(


MPa490C .

668.


최대 수직응력은 점 C 에서 발생 .

최대 굽힘 응력 :y

y

z

z

I

zM

I

yM

MPa874B .

)tan()(.

)(.tantan 60

m109213

m105320

I

I43

43

y

z

mKN507MmKN013M zy .,.

,..,. m0890130zm100y BB ,.,. m0890zm020y BC

46z

46x m105320Im109213I )(.,)(.


mKNmKNM y 79.161.57sin)20(

mKNmKNM z 86.101.57cos)20(

myP 3580.09.32cos2.09.32sin35.0

mzP 1852.09.32cos2.09.32sin35.0

MPa753I

zM

I

yM

y

Py

z

PzP .

385.

M=20 kN-m 가 작용하는 Z 형 보의 주축은 y, z 이며 , 주 관성모멘트는 Iy= 0.960(10-3) m4, Iz=7.54(10-3) m4 이다 . 점 P 의 수직응력과 중립축 방향은 ?



최대 굽힘 응력 :

).tan()(.

)(.tantan 157

m10960

m10547

I

I43

43

y

z


6.6 복합보

( 굽힘응력 )( 수직변형률 : 선형

→ N.A 의 위치 응력의 크기MdAy

0 dA

∵ 단면은 평면유지 )

2

1

E

En

1= E1

2= E2


등가의 균일재료로 변환 dyndzEdzdyE )'(21 21 / EEn n: 변환계수

'

''

)(

n

dyndzdzdy

dAdAdF

E1>E2 ( 가정 )


mm9mm150GPa200

GPa12nbb wst )(

m036380A

Ayy .

~

M=15 kN-m 가 작용할 때 , T 형 보의 최대 수직응력과 중립축 방향 ?

등가 폭 :

등가 단면의 도심 및 관성모멘트 :

수직 응력 :

)(... m1336200363801700c

)(. m036380c

MPaMPaGPa

GPan

BB 71.1)6.28(200

12'

462x m10369AdII )(.)(

MPa628I

McB .'

MPa777I

McC .'


zstallow I

Mc)(

.inkip116M

allow)st=24 ksi, allow)w=3 ksi, Est=29(103) ksi, Ew=1.6(103) ksi, Iz)st= 20.3 in4, A)st=8.79 in2 일 때 , 목재 보강된 경우와 안된 경우의 최대 굽힘모멘트는 ?

목재가 없는 경우 :

목재가 있는 경우 ( 복합 보 ):

.)( inkip172MI

Mcstallow

.)( '''

inkip496MI

cMnwallow

최대 수직응력 :

..~

in50930A

Ayy

in6620in12ksi1029

ksi10601nbb

3

3

wst ..)()(

)(.

462x m106833AdII )(.)(

.max inkip172M


6.7 보강 콘크리트 보

0)()2

(

hdnAh

hb s

db

An

b

An

b

Anh sss )2()( 2

0222

db

Anh

b

Anh ss

등가 단면

중립축의 위치 결정 : 중립축의 위치를 h 이라 하면 ,

콘크리트부의 응력은 로 , 철근부의 응력은 로 계산된다 .I

Myc )('

I

Mynn cs


2s in6512nAA .'

0733h112h0h1656122

hh12 2 ..)(.)( '

''

in854h .42 in2029AdII )(

ksi721I

hMconc .

')( max

ksi963I

in854in16Mconc .

.)..('

ksiksiksi

ksinst 9.3196.3)

)10(6.3

)10(29(

3

3'

보강 콘크리트 보에 M=60 kip-ft 가 작용할 때 , 강재봉과 콘크리트의 최대 수직응력을 구하라 . 단 , Est=29(103) ksi, Ec=3.6(103) ksi.

단면의 성질 :

콘크리트의 최대 수직응력 :

등가 단면에서 강재부 수직응력 :

강재의 실제 수직응력 :


구룡폭포 강원 (북한 ) 고성군 .


6.8 곡선보

dk

r

rRk

rd

rR

)(

)(

)(r

rREkE

AA

xR dAr

rREkdAFF 0)(0;

A

AA

rdA

AR0dAr

dAR

변형전의 길이 = r d변형후 변화량 =(R-r)

중립축의 위치 : 힘의 합력 =0

Ek 와 R 은 상수이므로 ,


R

A

r

dAor

rdAA

RA

A

부재의 곡률중심에서 중립축까지의 거리 R:

AA

dAr

rREkrRdAyM )()(

)(2)(

2

2

2

RrEkAArRAR

AREk

rdAdARr

dAREkM

A AA

)()(

)(

yRAe

Myor

RrAr

rRM

중립축에 대한 모멘트 평형 :

rRyr

rREkE

&)(

)( RrA

MEk

rRyr

rREk

&)(


)()(

)(

yRAe

Myor

RrAr

rRM

상부의 미소요소에 대한 평형을 고려하면 , 반경방향의 응력이 발생함을 알 수 있다 .


해석과정

단면의 성질 :단면적 A 의 도심과 곡률 중심간의 거리 를 구한다 . 식 (6-23) 으로부터 곡률중심과 중립 축간의 거리 R 을 계산한다 . 항상 R< 이다 .

수직응력 :중립축으로부터 거리 y 인 점의 수직응력은 e= -R 의 계산은 유효숫자 3 자리 까지 계산 .

r

r

)( yRAe

My

r


...)(

in401340r

drin2

r

dA

A

in11

in9

.. in96669

rdA

AR

A

..)(

)(inlb528M

RrAr

rRM

0

0

허용수직응력 allow=20 ksi 라면 , 막대에 작용할 수 있는 최대 굽힘모멘트는 ? 막대가 직선이라면 ?

곡률반경 증가시키므로 양의 값단면의 성질 :

위 면 (r=ro) 은 압축력으로 허용응력 allow =-20 ksi 라 하면 ,

아래 면 (r=ri) 은 인장력으로 허용응력 allow =+20 ksi 라 하면 ,

)(

)(

RrAr

rRM

inkip924MRrAr

rRM

i

.)(

)(

내부 모멘트 :

e= -R=10.0-9.9666=0.0334


ksiininininin

inininkip5.17

.)9666.9.10.)(11.)(2.)(2(

.)11.9666.9.(9.24

.7.26.)2.)(2(

12

1.)1(

/203

2 inkipMinin

inMinkip

I

Mc

따라서 최대 모멘트 M=24.9 kip-in 이고 , 최대 수직응력은 막대의 아래면에서 발생한다 .

이때 위 면의 수직응력 :

직선부재의 최대 모멘트 :

이 값은 위에서 계산된 값 (M=24.9 kip-in) 과 약 7% 의 오차를 보인다 .


23 m1025003A )(.

m233080A

Arr .

~

곡선보에 M=4 kN-m 가 작용할 때 , 최대 수직응력을 구하라 .

곡률반경을 감소시키므로 음의 값단면의 성질 :

m011570r

drm050

r

dA m250

m200A

.).(.

.

m00288670r

dr250280r280

m050

r

dA

A

m280

m250.

)..

..(

.

.

사각형 부분 : 삼각형부분 :

내부 모멘트 :

)(. m231420

rdA

AR

A

중립축의 위치 :

mRre

mr

00166.0

23308.0


MPa11600166020001025003

20002314204

RrAr

rRM3

B

BB

).)(.)((.

)..)((

)(

)(

MPa12900166028001025003

28002314204

RrAr

rRM3

A

AA

).)(.)((.

)..)((

)(

)(

수직응력 :

mkNMmrmRmA 4,23308.0,23142.0,)10(2500.3 23

m001660Rrem233080r .,.


6.9 응력집중

굽힘공식은 최소 단면에 적용 :

단면 형상의 급격한 변화


45.15.180

120,2.0

80

16 K

mm

mm

h

w

mm

mm

h

r

그림과 같은 강재 막대에 M=5 kN-m 의 굽힘 모멘트가 작용할 때 , 최대 수직응력을 구하라 . 단 , Y=500 MPa 이다 .

r=16 mm, h= 80 mm, w=120 mm 이므로 ,

MPa340I

McKK max

12m080m0200Im040cmkN5M

3 /).)(.(.,


6.10 비탄성 굽힘

중립축으로부터 거리에 비례

최대탄성모멘트 : MY=bh2 Y/6

합력은 0:

합모멘트 :

변형률은 선형 :


Y2

Y bh6

1

2

h

3

2T

2

h

3

2CM )()(비탄성모멘트 : MY<M< MP

)()]([)([)()(2

Y2

Y2

YY2YY2Y1Y1h

y

3

41bh

4

1y

2

h

2

1yCy

2

h

2

1yTy

3

2Cy

3

2TM

탄성 - 완전소성


형상계수 (shape factor):

)3

41(

2

3

)3

41(

4

6)

6

1()

3

41(

4

1

2

2

2

22

2

22

h

yM

h

ybh

h

ybhM

YY

YY

YY

소성모멘트 : M= MP ( )0Yy

YYP MbhM2

3

4

1 2

Y

P

M

Mk

Y2

Y bh6

1

2

h

3

2T

2

h

3

2CM )()(


극한 모멘트 :


.5.15190.211

.)5(/36; 4

2max inkipM

in

inMinkip

I

McY

Y

kip81545036TC 11 ).)(.(

kip14485036TC 22 ))(.(

.)(.)])(.[()])(.[( inkip517321447542812522MP

플렌지보의 형상계수를 구하라 . 단 , 이 보의 항복응력 Y=36 ksi이다 .

단면의 성질 :

최대 탄성모멘트 :

소성모멘트 :

형상계수 :

42 in0211AdII .)(


0;0 21 CCTdAa

010000150250d12000150250100150250 ).)(.().)(.().)(.(

mmd 120.0110.0

kN64121100015010250T 6 .).)(.(

kN5370100015010250C 61 .).)(.(

kN3751000015010250C 62 ).)(.(

)(.

).

.().

(.).

(.

mkN4292

0150010375

2

010537

2

11005412MP

Y=250 Mpa 인 탄성 - 소성재료로 만들어진 T 형 보의 소성모멘트는 ?

합력은 0:

부분 합력 :

소성 모멘트 :

[email protected]/72예제 6.29응력 - 변형률 선도가 아래와 같은 티타늄 합금 보에서 최대 변형률이 0.050 in/in 일 때의 굽힘모멘트는 ?

변형률은 선형적이므로 그림과 같이 y0.3 in 인 영역은 탄성 구간이다 .


.)(]...[ inkip7722045900360101482M

.5.105.1

05.0inyy

.3.00500 inyy .5.1.3.014033.33 inyiny

.]).(

[)(

.

.

..

inkip772dyy140y3332

dyy50022bdyy2dAyM

51

30

2

30

0

251

0A

)())()(.( kip48240212

1CT 11 .)(.).(. in10121

3

230y1

)())()(.( kip360215021CT 22 .)(.).(. in90212

130y2

)())()(.( kip452150302

1CT 33 .)(.).( in2030

3

2y3

부분 합력 :

모멘트 :

Alternative:

변형률 :

응력 :

모멘트 :


6.11 잔류응력

+ =

[email protected]/72예제 6.30플렌지 보에 소성모멘트 MP 를 가했다가 제거하면 잔류응력은 ? 단 , 재료는 탄성 -완전소성으로 항복응력 Y=36 ksi 이다 .

예제 6-27로부터 MP=1732.5 ksi, I=211.0 in4

탄성회복 :

잔류응력이 0 인 점은 :

+ =


연습문제 및 복습문제를 유형별로 선택하여 풀어 봄으로써 자신의 성취도를 확인하기 바라며 , 자유롭게 질문 해주기 바람 .

통일전망대에서 바라본 금강산 - n19415 ( 강원 고성군 현내면 .)

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6 장 굽 힘