Upload
others
View
15
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
6. INTEGRAL
2
6. 1 Integral Tak Tentu F(x) disebut suatu anti turunan dari f(x) pada interval I bila
Contoh dan adalah anti turunan dari karena F’(x) = f(x). Anti turunan dari suatu fungsi tidak tunggal, tapi perbedaannya berupa suatu bilangan konstan. Anti turunan disebut juga Integral Tak tentu. Notasi :
IxxfxF )()('
3
3
1)( xxF
2)( xxf
CxxF 3
3
1)(
f x dx F x C( ) ( )
INF228 Kalkulus Dasar
3
6.2 Sifat-sifat integral tak tentu
A. Sifat yang diperoleh langsung dari turunan
Cr
xdxx
rr
1.1
1
Cxdxx cossin.2
, r -1
Cxdxx sincos.3
Cxdxx tansec.42
Cxdxx cotcsc.52
INF228 Kalkulus Dasar
4
B. Sifat Kelinieran
C. Integral dengan substitusi Misal u = g(x) , , dan F suatu anti turunan dari f,
maka
Contoh : Hitung
Misal u = 2x + 1 sehingga
a f x bg x dx a f x dx b g x dx( ) ( ) ( ) ( )
cxgFcuFduufdxxgxgf ))(()()()('))((
sin 2 1x dx
dxxgdu )('
dxxdu 2 dudx21
duudxx sin21
12sin
CxCu 12cos2
1cos
2
1
INF228 Kalkulus Dasar
5
Setelah dilakukan substitusi u = g(x), Integran (fungsi yang diintegralkan) hanya fungsi dari u
Contoh : Hitung
13 xu 23xdx
du
23x
dudx Jawab : Misal
Maka
dxxx5103 )1(
dxxx5103 )1(
3x
duxuxdu
xu 3102
510
3
1
3
Integran fungsi dr u dan x
3x
Ctt : Tidak bisa di keluarkan dari integral, karena bukan suatu konstanta
substitusi dengan menggunakan hubungan 13 xu 13 ux
sehingga
duuuduuudxxx1011105103 3/1)1(3/1)1( Cuu
11
33112
361
Cxx 113331123
361 )1()1(
INF228 Kalkulus Dasar
6
6.3 Notasi Sigma ( ) Notasi sigma ( jumlah ) :
Sifat dan rumus sigma
dan...211
n
n
i
i aaaa
k k k k nk
n sukui
n
...
1
n
i
n
i
n
i
iiii blaklbak1 1 1
.1
n
i
nni
1 2
)1(.2
n
i
nnni
1
2
6
)12)(1(.3
n
i
nni
1
2
3
2
)1(.4
Sifat nomor 2 sampai nomor 4 dapat dibuktikan dengan induksi matematika
INF228 Kalkulus Dasar
7
6.4 Integral Tentu
Integral tentu dikonstruksi dengan jumlah Rieman yang
menggambarkan luas daerah. Misal fungsi f(x) terdefinisi pada
selang tutup [ a,b ].
bxxxa n ...10
a b
Langkah :
1. Partisi selang [a,b] menjadi n selang dengan titik pembagian
},...,,,{ 210 nxbxxxaP
disebut partisi dari [a,b].
2. Definisikan panjang partisi P, sebagai
11
|,|||||
kkkknk
xxxxMaksP
],[ 1 kkk xxc 3. Pilih k = 1, 2, ..., n
1x 1kx kx
kx
kc
INF228 Kalkulus Dasar
8
a b 2x 1kx kx
kx
kc
4. Bentuk jumlah Riemann
n
k
kk xcf1
)(
0|||| P
n
Pk
kk xcf1
0||||)(lim
Jika , maka diperoleh limit jumlah Riemann
n
k kx
kcf
n
b
a
n
k kx
kcf
Pdxxf
1)(lim
1)(
0|||lim)(
Jika limit ini ada, maka dikatakan f terintegralkan Riemann pada selang [a,b], dan ditulis sbg
)( kcf
INF228 Kalkulus Dasar
9
Contoh Hitung 2
0
2 dxx
Jawab : Langkah
(i) Partisi selang [0,2] menjadi n bagian yang sama panjang n
x 2
0 2
x xxx
1x 2x 1ix ix 1nx
sehingga
00 x
nxx 21 0
n.xx 222 20
ni
i xix20
……………………… ………………………
INF228 Kalkulus Dasar
10
(ii) Pilih ii xc
(iii) Bentuk jumlah reiman
n
i
n
i
nni
ii xcf1 1
22 2
n
i
nn
i
1
442
n
i
n
i ni
n 112
144
nn
n
)n(n
n
22
4
2
14
2
(iv) Jika n
2
0
2 222nn
limdxx
INF228 Kalkulus Dasar
11
Ctt: Jika fungsi y=f(x) positif pada selang [a,b] maka integral tentu diatas menyatakan luas daerah yang terletak dibawah grafik y=f(x) dan diatas sumbu x antara garis x = a dan x = b
Sifat integral tentu
p f x q g x dx p f x dx q g x dxa
b
a
b
a
b
( ) ( ) ( ) ( )
1. Sifat linear
2. Jika a < b < c, maka
f x dx f x dx f x dx
a
c
a
b
b
c
( ) ( ) ( )
INF228 Kalkulus Dasar
12
f x dx
a
a
( ) 0 f x dx f x dxa
b
b
a
( )3. dan
4. Bila f(x) ganjil , maka
a
a
dxxf 0)(
5. Bila f(x) genap, maka
f x dx f x dx
a
a
a
( ) ( )
2
0
Contoh Hitung
3
3
24 7 dxxxx
Jawab
7)()()( 24 xxxxf )(724 xfxxx f(x) ganjil
07
3
3
24
dxxxx
INF228 Kalkulus Dasar
13
6.6 Teorema Dasar Kalkulus (TDK)
6.6.1 TDK I Misal f(x) kontinu pada [ a,b ] dan F(x) suatu anti turunan dari f(x).
Maka
Contoh Selesaikan integral tentu
Jawab : Misal u = 2x du = 2 dx. Maka
Sehingga
f x dx F b F a
a
b
( ) ( ) ( )
sin 2
2
x dx
1cos2cos2
12cos
2
12sin
2/2
xdxx
xdxx 2cos21
2sin
INF228 Kalkulus Dasar
14
Contoh hitung
5
1
|2| dxx
Jawab :
22
222
x,)x(
x,x|x|)x(f
5
1
2
1
5
2
222 dxxdxxdx|x|5
2
2
21
2
1
2
21 22 xxxx
= ( (-2 + 4) – (-1/2+ 2 ) ) + ( (25/2 - 10 ) – ( 2 – 4 ) )
= ½+9/2 = 5
INF228 Kalkulus Dasar
15
6.6.2 TDK II (Pendiferensialan Integral Tentu)
Jika fungsi f kontinu pada [a,b], dan x sebuah (variabel) titik dalam [a,b],
maka
Secara umum
)('))(()(
)(
xuxufdttfD
xu
a
x
)()( xfdttfD
x
a
x
)('))(()('))(()(
)(
)(
xuxufxvxvfdttfD
xv
xu
x
INF228 Kalkulus Dasar
16
2
4
31)(
x
dttxG
x
dttxG1
31)(
.
Contoh Hitung G’(x) dari
a. b.
Jawab
a. 31)( ttf 31)(' xxG
b. 31)( ttf
2)( xxu
)()(1)(' 232 xDxxxG
612 xx
INF228 Kalkulus Dasar
17
Soal Latihan
A. Untuk soal 1-5 carilah anti turunan F(x) + C bila
5103)( 2 xxxf
)6720()( 572 xxxxf
f xx x
( ) 1 6
3 7
f xx x
x( )
2 3 13 2
2
f x x( ) 3
4
1.
2.
3.
4.
5.
INF228 Kalkulus Dasar
18
x x dx23
4 2
x x x dx22
3 2 2 3
3 3 72
x x dx
5 1 5 3 22 3x x x dx 3
2 52
y
y
dy
cos sin4 2 2 2x x dx
Selesaikan integral tak tentu berikut
6.
7.
8.
9.
10.
11.
INF228 Kalkulus Dasar
19
B. Untuk soal 1 s/d 4 hitung f x dx( )0
5
f xx x
x x( )
,
,
2 0 2
6 2 5
f x
x x
x
x x
( )
,
,
,
0 1
1 1 3
4 3 5
1.
2.
3. f(x) = |x -1|
3
1
3
4
2)( xxxf 4.
INF228 Kalkulus Dasar
20
Untuk soal 5 s/d 10 hitung integral tentu berikut
3 12 3
1
0
x x dx
8 7 22
3
3
t t dt
x
x x
dx
2
31
3 1
3
sin cos
/2
0
2
3 3x x dx
2
0
sin dxx
dxxx 8
0
8625.
6.
7.
8.
9.
10.
INF228 Kalkulus Dasar
21
Untuk soal 11 s/d 15 tentukan dari )(' xG
G xt
dt
x
( )
1
12
1
G xt
dt
x
x
( )
1
12
2
G x t dt
x
( ) sin
22
12
x
dssxG
)2tan()(
dtt
xG
x
3
031
1)(
11.
12.
13.
14.
15.
INF228 Kalkulus Dasar
22
16. Tentukan dimana f cekung ke atas, jika dtt
txf
x
0
21
1)(
Jika f kontinu pada tentukan f(4). 2
0
)1(cos)(dan],0[
x
xxdttf 17.
dtt
xx
2
42
2
31dan],4[ )2('fJika f kontinu pada , tentukan
.
18.
Hitung
x
xdt
t
t
x0
4
2
30 16
1lim19.
INF228 Kalkulus Dasar