6- Sonlu kanatlar Sonlu kanatlar... · 2010-12-26 · Geometri-sirkülasyon ilişkisinden hesaplanacak Ancak önce, öngörülen bazısirkülasyon dağılımlarının sağladığıperformansa

UCK351 Aerodinamik ders notları

- MAY

1

Sonlu kanat Teorisi

Açıklık oranı büyük (AR > 4-5) kanatlar

Açıklık oranı küçük (AR < 4-5) kanatlar


- MAY

2

Açıklık oranı küçük kanatlar etrafındaki akımın fiziksel yapısı


- MAY

3

Açıklık oranı küçük kanatlar etrafındaki akımın fiziksel yapısı


- MAY

4

Açıklık oranı yüksek sonlu kanat etrafındaki akımın fiziksel yapısı

- Cp

+1

0

_

+

_

+

Taşıma kuvveti oluşturan bir kanadın üst yüzeyindeki basınç genel olarak serbest akım basıncından düşük, alt yüzeyindeki basınç ise kısmen serbest akım basıncından düşük ve kısmen de büyük olmakla birlikte genel olarak üst yüzeydeki basınçtan büyüktür.

Bu nedenle bir kanat etrafından geçmekte olan akımda, basıncın daha büyük olduğu alt yüzeyden üst yüzeye doğru kanat açıklığı doğrultusunda ikincil bir akım oluşur.


- MAY

5

Sonlu kanat etrafındaki akımın fiziksel yapısı

Yanal doğrultudaki bu ikincil akım, kanat etrafından geçmekte olan akımın alt yüzeyde kanat uçlarına doğru, üst yüzeyde ise kanat köküne doğru sapmasına neden olur.

Kanat üstünden ve altından bu şekilde sapmışolarak geçen akışkan fileleri firar kenarında birleştiğinde, firar kenarı doğrultusundaki hız bileşenleri zıt yönde olduğu için meydana gelen kayma gerilmesinin etkisiyle girdap oluştururlar. Kanadın firar kenarının her noktasından oluşan bu girdaplara “kaçma girdapları“ adı verilmektedir.

V∞


- MAY

6


Açıklık boyunca oluşan çok sayıda kaçma girdabı, kanadın gerisinde belli bir uzaklıktan sonra birleşerek, kanat uçları hizasında geriye doğru uzanan iki büyük girdap oluşturur. Bu girdaplara da "kanat ucu girdabı" adı verilir .


- MAY

7


Kanat kaçma girdapları ve uç girdapları.


- MAY

8


Kanat uç girdabı.


- MAY

9


Kanat uç girdabı.


- MAY

10

Flap tarafından oluşturulan kanat uç girdabı



- MAY

11


Kaçma girdapları kanat etrafından geçen akımın doğrultusunda genel olarak aşağı doğru sapma yaratır.

Akımın aşağı sapması da aerodinamik taşıma kuvveti doğrultusunun sapmasına neden olur.

Oluşan taşıma kuvvetinin bir bileşeni kanadın uçuş doğrultusunda ama zıt yönde olup, hareketi engelleyici yöndeki bu direnç kuvvetine “indüklenmiş sürükleme” adı verilir.

Diğer bileşen ise taşıma kuvvetinin yararlı olan kısmıdır. Bu kuvvet de iki-boyutlu haldeki taşıma kuvvetinden daha küçüktür.

Ve

w

L

Di

V∞

αe

α αi

Le

αi

αi


- MAY

12


Kanat uçlarında alt ve üst yüzeyler arasındaki ikincil akım nedeniyle kanadın özellikle uç taraflarında taşımada önemli kayıplar oluşur.

Kayıplar genellikle kanadın simetri düzlemi yakınlarında en alt seviyededir.

Sonuç olarak üç-boyutlu bir kanadın açıklığı boyunca değişen bir yük (taşıma) dağılımı söz konusudur

1 - Cp

y

l


- MAY

13

Taşıma ve indüklenmiş sürükleme kuvvetlerinin hesaplanması

( )∫+

−

∞ Γρ=

s

s

dyyVL

( ) ( )∫+

−

Γρ=

s

s

i dyyywD

( )( ) ?

?

=Γ

=

y

yw

Ve

w

L =ρρρρ V∞∞∞∞ ΓΓΓΓ

di = ρρρρwΓΓΓΓ

V∞∞∞∞

αi

re

+

V∞∞∞∞

w

≡≡≡≡


- MAY

14

Prandtl taşıyıcı çizgi modeliBir girdapla yer değiştirmiş kanat

L

z

x

z

xL

ΓΓΓΓ

Bağlı girdapKanat

V∞∞∞∞

y y

V∞∞∞∞

Bu model yetersizdir. Bunu anlamak için girdaplarla ilgili Helmholtz teorilerine bakalım


- MAY

15

Helmholtz girdap teorileri

Helmholtz'un birinci teoremi akışkanın genel hareketiyle ilgilidir ve bu hareketin lineer hız, çevri ve distorsiyon olaylarından bazılarını veya hepsini birden içerebileceğini belirtir.

İkinci teorem; bir girdabın ekseni boyunca şiddetinin sabit olduğunu belirtir. Bir girdabın şiddeti etrafındaki sirkülasyonun büyüklüğüne eşit olup, bu da girdabın S dik kesit alanı ile vortisitenin çarpımına eşittir.

Girdabın şiddeti ekseni boyunca sabit kalacağına göre girdabın kesit alanı azaldığında vortisite artacaktır. Sonsuz şiddette vortisite olamayacağı için girdabın dik kesit alanı hiçbir zaman sıfır olamaz. Diğer bir deyişle girdap akışkanın içinde son bulamaz. Ya kapalı bir halka oluşturmak, ya da bir katı yüzeyi ile son bulmak zorundadır.

S⋅=Γ ζ

Γ

A

B

∆Γ

Γ-∆Γ

Đkinci teoremden çıkartılacak bir sonuç da şu şekilde ifade edilebilir: Bir girdabın iki kesitindeki şiddetleri, bu iki kesit arasındaki bir bölgede girdabın dallanması veya girdaba bazı

girdap filamanlarının katılması haricinde daima birbirine eşittir.

Üçüncü ve dördüncü Helmholtz teoremleri sırasıyla: a) Bir girdap tüpünün daima aynı akışkan zerrelerini ihtiva ettiğini, yani girdap tüpü ile çevresi arasında bir akışkan alışverişi olmadığını, b) akışkan içerisindeki hareketi sırasında girdabın şiddetinin daima sabit kaldığını belirtir


- MAY

16

Prandtl taşıyıcı çizgi modeliAtnalı girdap modeli

Bu model de bu haliyle yetersizdir. Zira kanat açıklığı boyunca sirkülasyon şiddeti değişmediği gibi kanat firar kenarından çıkan kaçma girdapları modellenmemiştir.

V∞

x

ΓΓ

Γ


- MAY

17

Prandtl taşıyıcı çizgi modeliAtnalı girdaplarıyla yer değiştirmiş kanat

A

δΓ3

s

-s

B

C

DE

F

δΓ3

δΓ2

δΓ1∞

∞

δΓ1

δΓ1+δΓ2δΓ1+δΓ2+δΓ3


- MAY

18

Prandtl taşıyıcı çizgi modeliAtnalı girdaplarıyla yer değiştirmiş kanat

y

ΓΓ-δΓΓ0

-s

s

δy

δΓ

y

x

ydy

dδ

Γ−=Γδ

Kaçma girdaplarının etkisi Biot-Savart kanunu yardımıyla incelenecektir.


- MAY

19

Biot-Savart kanunuDoğrusal girdaplar için uygulanması

Γ

A

B

h

r

P

v

ds

∞

∞

β

α

φ

θ

s

rsr4

v3

rrr∧

Γ−= δ

πδ

∫ ⋅Γ

=B

A2

dsr4

v θπ

sin

φ⋅φ=→φ⋅=

φ=

φ=θ

dhdshs

hr

)cos/(tan

cos/

cossin

2

)sin(sin4

cos4

ABh

dh

v

B

A

φ−φπ

Γ=φ⋅φ

π

Γ= ∫

φ

φ

)(,)( βπ

φαπ

φ −=−−=22

BA )cos(cos αβπ

+Γ

=h4

v


- MAY

20

Biot-Savart kanunuDoğrusal girdaplar için uygulanması

Sonsuz uzun girdap çizgisi

Yarı-sonsuz girdap çizgisi

Yarı-sonsuz girdap çizgisi

Γ

A

h

P

v

α β

∞

0

B

Γ

A

h

P

v

α

β

∞

0

B

∞

0

hv

π

Γ=→β→α

20,0

hv

π

Γ=→β°=α

40,90

)1(cos4

0,90 +απ

Γ=→β°<α

hv

Γ

A

h

P

v

α

β

∞

0

B


- MAY

22

Prandtl taşıyıcı çizgi modeliKaçma girdaplarının kanat önünde, civarında ve

gerisinde yarattığı aşağı sapma hızları

y

δΓ

δw

δw

δw

α < 90 °

α = 90°

α > 90 °

0=δw

yw

π

Γδ=δ

4

yw

π

Γδ=δ

42

- Kanadın önünde sonsuzda: α = π

- Kanadın bulunduğu konumda: α = π/2

- Kanadın gerisinde sonsuzda: α = 0

0→β

)1(cos4

0 +απ

Γ=→β

hv


- MAY

23

Prandtl taşıyıcı çizgi modeliKaçma girdaplarının kanat önünde, civarında ve

gerisinde yarattığı aşağı sapma hızları

Kanadın civarındaki aşağı sapma hızı w olmak üzere aşağı sapma açısı

w

∞ da sıfır

veter doğrultusu serbest akım doğrultusu

aşağı sapmış akım doğrultusu

∞ da 2w

∞∞

− ≅

=α

V

w

V

wi

1tan


- MAY

21

Prandtl taşıyıcı çizgi modeliKaçma girdaplarının yarattığı aşağı sapma hızının

hesaplanması

s

y

δy

δΓ

Γ Γ -δΓ

Γ0

y 1

w 1

yyy

wy δ−π

Γδ=δ

)(4 11

∫+

−−

Γ

π−=

s

s

y dyyy

dydw

1

/

4

11

∫+

−−

Γδ

π=

s

s

y dyyy

yw

1

)(

4

11


- MAY

24

Sonlu-kanat için problem

∫+

−−

Γ

π−=

s

s

y dyyy

dydw

1

/

4

11

( )∫+

−

∞ Γρ=

s

s

dyyVL

( ) ( )∫+

−

Γρ=

s

s

i dyyywD

( ) ?=Γ yGeometri-sirkülasyon ilişkisinden hesaplanacak

Ancak önce, öngörülen bazı sirkülasyon dağılımlarının sağladığı performansa göz atmak yararlı olacaktır.


- MAY

25

Basit simetrik yük dağılımlarıEliptik yük dağılımı

Değişken dönüşümü ile

y

Γ0

s s

y

Γ

2

2

02

2

2

0

2

11s

y

s

y−Γ=Γ→=+

Γ

Γ

( ) ∫∫+

−

∞

+

−

∞ −Γ=Γ=s

s

220

s

s

dysy1VdyyVL /ρρ

θθ=θ−= dsdysy sincos

→θθΓρ= ∫π

∞

0

2

0 sin dsVL

2sVL 0

πρ Γ= ∞

∫∫ −

Γ=

−

Γ−=

+

−

π

θθθ

θ

ππ0 1

s

s 1

1 ddd

s4

1dy

yy

dyd

4

1w

coscos

//aşağı sapma hızları açısal koordinat sisteminde

θΓ=θ

Γ→θΓ=Γ cossin 00

d

dolup

→ππ

Γ=

π

Γ=

θ−θ

θθ

π

Γ= ∫

π

sG

s

d

sw

44coscos

cos

4

01

0

0 1

01 sb

sw =

Γ=

4

01

Ve ayrıca


- MAY

26

Basit simetrik yük dağılımlarıEliptik yük dağılımı

İndüklenmiş sürükleme ( ) ( ) ( )∞

+

−

∞

∞

+

−

Γ=Γ

Γ=Γ= ∫∫

V

L

s4dyyV

V

1

s4dyyywD 0

s

s

0

s

s

i ρρ

2sVL 0

πρ Γ= ∞

sV

L20

πρ ∞

=Γ22

2

is4V

LD

πρ ∞

=½

iDi

L

CSVD

CSVL2

2

½

½

∞

∞

ρ=

ρ= ( )( )

→πρ

ρ=ρ→

∞

∞∞ 22

22222

4½

½½

sV

CSVCSV L

Di ( )Ss4

CC

2

2L

Di/π

=

olup Burada RAS

s4 2

=RA

CC

2L

Di π=


- MAY

27

Basit simetrik yük dağılımlarıDeğiştirilmiş eliptik yük dağılımı

Taşıma

[ ]220 sy41sy1 )/()/( λ+⋅−Γ=Γ

θcossy −= [ ]θλθλθλθ 3141 02

0 sinsin)()cos(sin ++Γ=+⋅Γ=Γ

[ ]∫∫∫ ++Γ=Γ=Γ= ∞∞

+

−

∞

ππ

θθθλθλρθθθρρ0

0

0

s

s

d31sVdsVdyyVL sinsinsin)(sin)()(

⋅++Γ= ∫∫∞

ππ

θθθλθθλρ00

20 d34d1sVL sinsinsin)(

21sVL 0 /)( πλρ +Γ= ∞

SV

LC

2L

∞

=ρ½

)( λπ

+Γ

=∞

1SV

sC 0

L

2)1(

2

πλ+Γρ=

πΓρ→= ∞∞ sVsVLL DEEDEE λ+

Γ=Γ

1

EDE

y

s s

λ > 0

λ = 0 λ < 0


- MAY

28


[ ]θλ+θλ+⋅Γ=θ

Γ33)1(0 CosCos

d

d[ ]θλ+θλ+Γ=Γ 3sinsin)1(0

Aşağı sapma hızı ∫∫ −

Γ=→

−

Γ−=

+

−

π

θ θθθ

θ

ππ0 1

s

s 1

y ddd

s4

1wdy

yy

dyd

4

1w

11 coscos

//

[ ]310

0 10 1

0 3)1(4coscos

3cos3

coscos

cos)1(

41GG

sdd

sw λ+λ+

π

Γ=

θ

θ−θ

θλ+θ

θ−θ

θλ+

π

Γ= ∫∫

ππ

θ

++

Γ= π

θ

θλπλ

πθ

1

10 331

s4w

1 sin

sin)(

1cos4

sin

cos2cossin2sin

sin

3sin

1

2

1

1111

1

1

−θ=

θ

θθ+θθ=

θ

θ

[ ])cos()( 1431s4

w 120

1−++

Γ= θλλθ

[ ]2

10

y sy1221s4

w1

)/(λλ +−Γ

=

λ > 0.1

λ = 0

y / s

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

- 0.5

-------- w4s

Γ0 λ =- 0.1

λ = - 0.25

λ > 0.25


- MAY

29


İndüklenmiş sürükleme

[ ])cos()( 1431s4

w 120

1−++

Γ= θλλθ

∫∫ Γ=Γ=+

−

π

θθθθρρ0

s

s

i dwsdyyywD sin)()()()(

[ ] [ ] [ ]22

0

0

2222

0 4218

sincos41)1cos4(3)1(4

λ+λ+πΓρ

=θθθλ+⋅−θλ+λ+Γρ

= ∫π

dDi

[ ]2

2

20

2

iD 421

SV4SV

DC

iλλ

π

ρ++

Γ==

∞∞½

++=

+

++=

2

2

2

2

L

2

2

2

2

LD

1

31

Ss2

C

1

421

s4

SCC

i )(/)()( λ

λ

πλ

λλ

π

[ ]δπ

+= 1AR

CC

2L

Di0

13

2

>

+=

λ

λδ

Yukarıda kullanılarak


- MAY

30

En genel yük dağılımı

Bu yük dağılımları genel bir bağıntıyla nasıl temsil edilebilir?

a) Simetrik uçuşta izole kanat b) Simetrik olmayan uçuş

c) Gövde etkisi d) Eleron etkisi


- MAY

31

En genel yük dağılımı

Lokal taşıma-sirkülasyon ilişkisicVcl

Vl

l2

2

1∞

∞

ρ=

Γρ=)(4

2

1ymsVcVcl ∞∞ ==Γ

s

ycycym l

)()(

8

1)( ⋅=

),...2,1(0 ∞=≡ nBn

Γ =∞

=

∞

∑41

s U A Sin nn

n

( )θ

Simetrik yükleme Simetrik olmayan yükleme

(a) A1 sinθ

(b) A2 sin 2θ

(c) A3 sin 3θ

(d) A3 sin 4θ

(a) (a)

(b)

(c)

(d)

(b)

(c)

(a) A1 sinθ

(b) A3 sin 3θ

(c) A5 sin 5θ

θcossy −=

+=Γ ∑∑

∞

=

∞

=∞

1n

n

1n

n nBnAsV4 θθ cossin


- MAY

32

En genel yük dağılımı - taşıma

Taşıma katsayısı

Γ =∞

=

∞

∑41

s U A Sin nn

n

( )θ

∑ ∫∫∫∞

=∞∞

+

−

∞ ⋅=Γ=Γ=1n 0

n22

0

s

s

dnAVs4dsVdyyVL

ππ

θθθρθθθρρ sinsinsin)()(

[ ]πππ

+

θ+−

−

θ−=θθ+−θ−=θθ⋅θ ∫∫

0001

)1(sin

1

)1(sin

2

1)1(cos)1(cos

2

1sinsin

n

n

n

ndnndn

21

1n

2

1

1n

1n

2

1

00

01n

πθθθππ

=

−=

−

−→−

)(cos)(sinlim

πρ 1

22AVs2L ∞=

→==∞

S

s4A

SV

L2C

2

12L πρ½

1ARACL π=


- MAY

33

En genel yük dağılımı – aşağı sapma hızı

Γ =∞

=

∞

∑41

s U A Sin nn

n

( )θ ∑∞

=∞=

Γ

1n

n nnAsV4d

dθ

θcos

∑∑∑ ∫∞

=

∞∞

=

∞∞

=

π

∞θ

θ

θπ

π=

π=

θ−θ

θθ

π=

1 1

1

11 0 1 sin

sin

coscos

cos1

n

n

n

nn

n

n

nnA

VGnA

VdnnA

Vw

1

1n

1n nnAV

w1 θ

θ

θsin

sin∑∞

=∞

=


- MAY

34

En genel yük dağılımı – indüklenmiş sürükleme

θ+θ+θ+θ⋅+θ+θ+θρ=

θθ⋅θρ=

θθ⋅θ⋅θ

θρ=θθθΓθρ=Γρ=

∫

∫ ∑∑

∫ ∑∑∫∫

π

∞

π ∞

=

∞

=

∞

π ∞

=

∞∞

π

∞

−

∞

dAAAAAAVs

dnAnnAVs

dsnAsVnnA

VdswVdyyywVD

n

n

n

n

n

n

ns

s

i

)3sin2sinsin()3sin32sin2sin(4

)sin()sin(4

sin)sin4(sin

sinsin)()()()(

321

0

32122

0 11

22

0 10

LL

θθθ++θθρ=

+

θ+θθ+θθ+

θ+θθ+θθ+

θ+θ+θ+θρ=

∑ ∑ ∫∑ ∫

∫

∫

∫

∞

=

∞

+=

π∞

=

π

∞

π

π

π

∞

1 2 01 0

2222

0

4232

0

3121

0

22

3

22

2

22

1

22

sinsin)(sin4

...

)4sin2sin63sin2sin5(

)3sinsin42sinsin3(

)3sin32sin2sin(4

n nm

nm

n

n

i

dmnAAmndnAnVs

dAAAA

dAAAA

dAAAVsD

L

L

L


- MAY

35

En genel yük dağılımı – indüklenmiş sürükleme

θθθ++θθρ= ∑ ∑ ∫∑ ∫∞

=

∞

+=

π∞

=

π

∞

1 2 01 0

2222sinsin)(sin4

n nm

nm

n

ni dmnAAmndnAnVsD

2dn21

2

1dn

00

2 πθθθθ

ππ

=−= ∫∫ )cos(sin

∑∞

=∞=

1n

2n

22i nAVs2D πρ

∑∑∞

=

∞

=∞

===1n

2n

1n

2n

2

2

iD nARAnA

S

s4

SV

DC

iππ

ρ½

)( δπ

+= 1RA

CC

2L

Di

0A

A4

A

A3

A

A2

A

An

2

1

4

2

1

3

2

1

2

2n

2

1

n ≥+

+

+

=

=∑

∞

=

Lδ


- MAY

36

Simetrik olmayan yük dağılımı halinde – Yalpa momenti

y

z

δy

x l

Mx

V∞

y

yylM x δδ −= ∫+

−

∞ Γ−=s

s

x dyyyVM )(ρ

∫ ∑∞

=∞=

π

θθθθρ0 1n

n32

x dnAsV4M sincos)sin(

∑ ∫∞

=∞=

1n 0

n32

x d2nAsV2M

π

θθθρ sinsin

[ ]22n

2n

2n

2n

2

1d2n2n

2

1d2n

00

πθθθθθθθθ

ππ

=

+

+−

−

−=+−−= ∫∫

)(sin)(sin)(cos)(cossinsin

πρ 232

x AsVM ∞=

→===∞

2

2

2

3

2

xM A

4c

s2

S

s4A

cS

s2

cSV

MC

x

ππ

ρ½( ) 2

2

M ARA4

Cx

π=


- MAY

37

Simetrik olmayan yük dağılımı halinde – Sapma momenti

y

z

δy

xMz

V∞

y

di

yydM iz δδ = ∫+

−

Γ=s

s

z dyyyywM )()(ρ

∫ ∑∑∞

=

∞

=∞−=

π

θθθθρ0 1n

n

1n

n32

z dnAnnAsV4M cos)sin()sin(

++= ∑ ∑ ∫∑ ∫∞

=

∞

+=

∞

=∞

1n 1nm 0

nm

1n 0

22n

32z dmnAAmndnnAsV4M

ππ

θθθθθθθρ cossinsin)(cossin

[ ]

0

1n

1n2

1n2

1n2

4

1d1n21n2

4

10

dn22

1d

2

1dn21

2

1dn

00

0000

2

=

+

++

−

−−=++−−=

−=−=

∫

∫∫∫∫ππ

ππππ

θθθθθ

θθθθθθθθθθθ

)(sin)(sin)(cos)(cos

coscoscoscos)cos(cossin


- MAY

38

Simetrik olmayan yük dağılımı halinde – Sapma momenti

π

π

π

ππ

θθθθ

θθθθθ

θθθθθ

θθθθ

θθθθ

0

0

0

00

1nm

1nm

1nm

1nm

1nm

1nm

1nm

1nm

4

1

d4

1nm1nm

4

1nm1nm

d2

nmnm

d2

nmnmdmn

++

++−

−+

−+−

+−

+−−

−−

−−=

+++−+−

+−+−−=

+−−=

+−−=

∫

∫

∫∫

)sin()sin()sin()sin(

)cos()cos()cos()cos(

cos)(coscos)(cos

cos)(cos)(cos

cossinsin

integraller sadece m=n+1 için π/4 sonucunu verir

∑∞

=+∞ +=

1n

1nn32

z AA1n2sVM )(πρ

( ) ∑∞

=++=

1n

1nn

2

M AA1n2RA4

Cz

)(π


- MAY

39

Üç boyutlu kanat için geometri-yük dağılımı ilişkisi

Üç boyutlu kanadın performansını (taşıma, indüklenmiş sürükleme) belirlemek için Γ(y) yük dağılımının bilinmesi gerekmektedir.

Yük dağılımı kanat geometrisinin (üst-görünüm geometrisi, açıklık boyunca burulma, açıklık boyunca kesit profillerinin değişimi) direkt bir sonucudur.

Dolayısıyla, geometri ile – yük dağılımı arasında bir ilişki kurulması gerekir.

Prandtl taşıyıcı çizgi teorisinde kanadı açıklık boyunca küçük dilimlerden ibaret alarak, sanki-iki-boyutlu bir yaklaşımla, her bir dilimin iki-boyutlu bir akıma maruz gibi dikkate alınabileceğini önermiştir.

Öyle ki;

Her bir dilime gelen serbest akım kanadın uçuş doğrultusunda olmayıp, aşağı sapma hızlarıyla uçuş hızının bileşkesi olan bir etkin akım hızı doğrultusunda göz önüne alınmaktadır.


- MAY

40


Kanadın 1 birimlik bir diliminin üç-boyutlu yerel performansı

sıfır taşıma

açısı

α0(y)

veter

doğrultusu

V∞ - uçuş hızı

cl

1

a

3B

α(y)

Ve(y) Etkin akım hızı

w(y) Aşağı

sapma hızı

αi (y) Aşağı sapma açısı

Geometrik

hücum açısı

1 birim

l(y)

di(y)

α α0

a(y) : Kanat diliminin 3-B taşıma eğrisi eğimi (Bilinmiyor)α(y) : Kanat diliminin geometrik hücum açısıα0(y) : Kanat diliminin sıfır taşıma hücum açısıcl(y) : Kanat diliminin yerel taşıma katsayısı (Bilinmiyor)

cl = a (α - α0)


- MAY

41


α0

V∞ - uçuş hızı

cl

1

a

3B

α

α0

Ve Etkin akım hızı

w Aşağı

sapma hızı

1 birim

l

di

eşdeğer 2-B

akım

doğrultusu

αe

αi

1

a∞

2B

αi αe αi

α

a∞ (y) : Kanat diliminin 2-B taşıma eğrisi eğimiαe (y) : Kanat diliminin etkin hücum açısı (Bilinmiyor)α0 (y) : Kanat diliminin sıfır taşıma hücum açısıcl (y) : Kanat diliminin yerel taşıma katsayısı (Bilinmiyor)

cl = a∞ (αe - α0)

αe = α + αi

cl = a∞ (α + αi - α0) cl ve αi büyüklüklerinin her ikisi de Γ(y) sirkülasyon cinsinden ifade edilebilir.


- MAY

42


α0

V∞

α

w 1 birim

l

αe

αi

Γ

cl = a∞ (α - α0 + αi )

cl ve αi büyüklüklerinin her ikisi de Γ(y) sirkülasyon dağılımı cinsinden ifade edilebilir.

)()(

)(2

)()(

2

yVyl

ycV

ycyl l

Γρ=

ρ=

∞

∞

)(

)(2)(

ycV

yycl

∞

Γ=

∞∞

− ≅=αV

w

V

wi

1tan ]

)()[(

)(20

∞

∞

∞

−α−α=Γ

V

ywa

cV

y

Fourier serisiyle ifade edilmiş en genel yük dağılımıhalinde ∑

∑∞

=

∞

∞

=

∞

θ

θ=

θ=θΓ

1

1

sin

sin4)(

n

n

n

n

Sin

nnAVw

nAsV

θ

θ−α−α=θ∑∑

∞

=∞ Sin

nnAnA

ca

n

n

n

sin)(sin

20

1

)(sinsin

10

1

α−αµ=θ

θ

µ+∑

∞

=n

n nAn

s8

yayc )()( ∞⋅=µ

olmak üzere


- MAY

43

3B kanat geometri-yük dağılımı denkleminin sayısal çözümü

)(sinsin

1 0

1

α−αµ=θ

θ

µ+∑

=

N

n

n nAn

Çözüm için Fourier serisinde sonlu sayıda terim almak yeterlidir.

Denklem, açıklık boyunca seçilen farklı istasyonlarda tekrar yazılabilir.

Buna göre N adet farklı istasyonda N adet denklem yazılarak An bilinmeyenleri hesaplanır

)(sinsin

11011

1

1

1

1 α−αµ=θ

θ

µ+∑

=

N

n

n nAn

)(sinsin

12022

1

2

2

2 α−αµ=θ

θ

µ+∑

=

N

n

n nAn

x

y

z

y2

y1

θ2

θ1

s

ac mmm

8

)()( θ⋅θ=µ ∞

)(sinsin

1 0

1

mmm

N

n

mn

m

m nAn

α−αµ=θ

θ

µ+∑

=

m = 1,2,…,N


- MAY

44

Sayısal çözüm için istasyonların uygun seçimi

Çözüm için açıklık boyunca istasyonların en uygun dağılımı “Cosinus” dağılımıdır.

(Simetrik yükleme halinde)),...,2,1( Nmmm =θ∆=θ

π

π=θ∆

N

N

2/

/

-ym

=scosθm

θm

∆θ

y1

θ1

y2

θ2

yN

θN

y


- MAY

45

Örnek problem

Açıklığı 10 m ve açıklık oranı 8 olan dikdörtgensel üst-görünümlü bir kanadın kesit profili düz levha olduğuna göre 5° hücum açısındaki taşıma katsayısını ve indüklenmiş sürükleme katsayısını hesaplayınız. (Yükleme simetrik olup çözüm kanadın bir yarısında, sadece 2 denklem kullanarak yapılacaktır).

2=N

Simetrik yükleme olduğundan42

π=

π=θ∆

N

Çözüm

2,

421

π=θ

π=θHesap istasyonları

θ1=π/4

y1 y2

θ2=π/2

y

41

π=θ

Düz levha için : a∞ = 2π, α0 = 0

Veter uzunluğu: mRA

bc 25.1

8

10===

19635.058

25.12

8=

×

×π==µ ∞

s

ca

)()3sin(sin

31)1sin(

sin

11 031

1

11

1

α−αµ=θ×

θ

µ×++θ×

θ

µ×+ AA

21

π=θ )()3sin(

sin

31)1sin(

sin

11 032

2

12

2

α−αµ=θ×

θ

µ×++θ×

θ

µ×+ AA


- MAY

46

4/1 π=θ


19635.0=µ

01713.0)4/3sin()4/sin(

19635.031)4/sin(

)4/sin(

19635.011 31 =π×

π

×++π

π

×+ AA

2/1 π=θ

08727.0180/)05(0 =π°−°=α−α01713.008727.019635.0)( 0 =×=α−αµ

01713.0)2/3sin()2/sin(

19635.031)2/sin(

)2/sin(

19635.011 31 =π×

π

×++π

π

×+ AA

01713.058905.119635.1

01713.029616.190346.0

31

31

=−

=+

AA

AA

001681.0

016555.0

3

1

=

=

A

A

İndüklenmiş sürükleme katsayısı

=××π=π= 016555.081ARACL41607.0

=

+

×π=

+

π=

222

1

3

2

016555.0

001681.01

8

)41607.0(1

A

A

RA

CC L

Di00696.0


- MAY

47

Örnek problem

Açıklığı 10 m ve açıklık oranı 8 olan trapez üst görünümlü kanadın sivrilme oranı 0.5 olup, açıklık boyunca aynı NACA 4412 kesit profili kullanılmıştır. Kanadın 2° hücum açısındaki taşıma katsayısını ve indüklenmişsürükleme katsayısını hesaplayınız. (Yükleme simetrik olup çözüm kanadın bir yarısında, sadece 3 denklem kullanarak yapılacaktır).

3=N Simetrik yükleme62

π=

π=θ∆

N

Çözüm

2,

3,

6321

π=θ

π=θ

π=θHesap istasyonları

θ1=π/6

y1 y2y

NACA 4412 için : a∞ ≅ 6, α0 ≅ -4°

Ortalama veter mRA

bc 25.1

8

10===

)cos2(6

)cos2(3

2

88ii

ii

RA

a

s

ca

s

caθ−=θ−==µ ∞∞∞

θ2=π/3θ2=π/2

y3

c1 c2 ck=c3c

u

Sivrilme oranı2

1=

k

u

c

cuk cc 2=

2

3

2

2

2

uuuuk cccccc =

+=

+= 3/2ccu =

)cos2(3

2)cos2(2)( iiu

iuui

ukki cc

s

yccy

s

cccyc θ−=θ−=+=

−+=Veter boyları


- MAY

48


2/1 π=θ

0262.02500.27500.12500.1

0196.08035.10000.00535.1

0148.02087.18505.16417.0

531

531

531

=+−

=−+

=++

AAA

AAA

AAA

000854.0

000494.0

020099.0

5

3

1

=

=

=

A

A

A

İndüklenmişsürükleme katsayısı

=××π=π= 020099.081ARACL5051.0

[ ] [ ]=+×π

=δ+π

= 002409.018

)5051.0(1

22

RA

CC L

Di 01022.0

)()5sin(sin

51)3sin(

sin

31)1sin(

sin

11 0151

1

131

1

111

1

1 α−αµ=θ×

θ

µ×++θ×

θ

µ×++θ×

θ

µ×+ AAA

)cos2(240

)cos2(180

])4(2[86

6)( 0 iii θ−

π=θ−

π°−−°

×=α−αµ

Denklemler

)()5sin(sin

51)3sin(

sin

31)1sin(

sin

11 0252

2

232

2

212

2

2 α−αµ=θ×

θ

µ×++θ×

θ

µ×++θ×

θ

µ×+ AAA

)()5sin(sin

51)3sin(

sin

31)1sin(

sin

11 0353

3

333

3

313

3

3 α−αµ=θ×

θ

µ×++θ×

θ

µ×++θ×

θ

µ×+ AAA

)cos2(6

iiRA

aθ−=µ ∞

3/1 π=θ

6/1 π=θ

( ) ( ) 002409.0)020099.0/000854.0()020099.0/000494.0(//222

15

2

13 =+=+=δ AAAA


- MAY

49

Minimum Sürükleme İçin Yük Dağılımı,Eliptik Üst-görünümlü Kanat

Genel yük dağılımı için

Minimum sürükleme için

Geometri-yük dağılımı denklemi

)1(2

δ+π

=RA

CC L

DiL+++=δ

2

1

2

4

2

1

2

3

2

1

2

2 432A

A

A

A

A

A

0=δ 0432 ≡=== LAAA

θ=Γ ∞ sin4 1AsVMinimum sürükleme için yük dağılımı Eliptik yük dağılımıdır

)(sinsin

1 0

1

α−αµ=θ

θ

µ+∑

∞

=n

n nAn

Eliptik yük dağılımı için )(sinsin

1 01 α−αµ=θ

θ

µ+ A )(

sin01A αα

µθ

µ−

+=


- MAY

50


cVcVl l2

∞∞ ρ=Γρ=Kesit lokal taşıması θ=Γ

=∞

sin82 1

ll c

sA

Vcc

Eliptik yük dağılımı için açıklık boyunca Sbi =α

Kanat burulmamışsa açıklık boyunca Sb=α

Kesit profilleri aynıysa açıklık boyunca SbaSb ==α ∞,0

Sbie =α−α−α=α 0 Sbcl =

θ= sin0cc0

18cSb

c

sA

l

==Sbcl = olduğu için Eliptik veter dağılımı

Buna göre;

- açıklık boyunca kesit profilleri aynı olan (aerodinamik burulmasız)- burulmamış (geometrik burulmasız)- üst görünümü eliptik olan

bir kanat üzerindeki yük dağılımı eliptiktir.


- MAY

51


θ= sin0ccEliptik veter dağılımı için θµ=θ

==µ ∞∞ sin8

sin

80

0

s

ca

s

ca

)(1

0

0

01 α−α

µ+

µ=A

)(

101 α−α

π+

=π=∞

∞

RA

a

aARACL

)( 0α−α= aCL

RA

a

s

ca

π==µ ∞∞

8

00

RA

a1

aa

π∞

∞

+

=

)(sin

01A ααµθ

µ−

+=Eliptik yük dağılımı için

Sonlu kanadın taşıma katsayısı

dy

y

s s

y

c0 c ∫∫∫π+

−

+

−

θθ=−==0

2

0

2

0 sin)/(1)( dscdysycdyycS

s

s

s

s

RA

sscS

2

0 )2(

2=π=

RAs

c

π=

80

)(

1

)(1

00

0

01 α−α

π+

π=α−α

µ+

µ=

∞

∞

RA

a

RA

a

A

Taşıma eğrisi eğimi0α−α

= LCa


- MAY

52

Örnek problem

Açıklığı 10 m ve açıklık oranı 8 olan eliptik üst-görünümlü burulmamış bir kanadın kesit profili düz levha olduğuna göre simetrik yük halinde 5° hücum açısındaki taşıma katsayısını ve indüklenmiş sürükleme katsayısını hesaplayınız.

Çözüm

Düz levha için : a∞ = 2π, α0 = 0

Bu kanat için yük dağılımı eliptik olup taşıma eğrisi eğimi)/(1 RAa

aa

π+=

∞

∞

π=+

×π=

+

π=

ππ+

π= 6.1

28

82

2

2

)/(21

2

RA

RA

RAa

=π=π

°−°π=α−α= 2

045

2

180)05(6.1)(aCL 4386.0Taşıma Katsayısı

İndüklenmiş sürükleme Katsayısı =×π

=π

=8

)4386.0(22

RA

CC L

Di 00766.0


- MAY

53

Eliptik Üst-görünümlü Olmayan Herhangi Bir Kanat İçin Uygun Yük Dağılımı

)(yα=α

Kanat üzerinde eliptik yük dağılımına yakın bir yük dağılımı elde etmek için

Kanat üst görünümü (veter dağılımı) üzerinde ayarlama yapılabilir:

Açıklık boyunca kesit profili değiştirilebilir (aerodinamik burulma):

Kanat burulabilir (geometrik burulma) :

Kesit taşıma katsayısı

)(ycc =

ccV l∞=Γ2

1

[ ]il ac α−α−α= ∞ )( 0 [ ]ca iα−α−α∝Γ ∞ )( 0

cVcVl l

2

∞∞ ρ=Γρ=Kesit lokal taşıması

)()( 00 yyaa α=α= ∞∞

[ ] )()()()(2

1)( 0 ycyyyaVy iα−α−α=Γ ∞∞

Uygun seçimler halinde

20 )/(1)( syy −Γ≈Γ

Documents

6- Sonlu kanatlar Sonlu kanatlar... · 2010-12-26 · Geometri-sirkülasyon ilişkisinden hesaplanacak Ancak önce, öngörülen bazısirkülasyon dağılımlarının sağladığıperformansa