第十章重积分 - Beijing Normal Universitymath0.bnu.edu.cn/~xuelt/courses/Calculus-Chap10.pdf第十章一元函数积分学多元函数积分学重积分目录上页下页

第十章

一元函数积分学

多元函数积分学

重积分

目录上页下页返回结束

一元函数积分学

重积分

曲线积分

曲面积分

分

1

三、二重积分的性质

第一节

一、引例

二、二重积分的定义与可积性

四、曲顶柱体体积的计算

二重积分的概念与性质


二重积分的性质

二重积分的定义与可积性

曲顶柱体体积的计算

二重积分的概念与性质

第十章

2

一、平面图形的面积

0

y

平面有界图形:P平行于坐标轴的直线网:T

:分三类小矩形 i

; )( oi Pi

; )( Pii i

. )( Piii i


平面图形的面积

x

平行于坐标轴的直线网

可求面积?

33

:记 )( )( 类矩形的面积的和所有第 iTs p

),( )( 所有第 iTS p

易见 0 ( ) ( ) ( )p ps T S T

对所有的直线网故数集

数集

:记 )},({sup TsI pT

P

. 0 : PP II 显然

)},({inf TSI pTP


,类矩形的面积的和

,)(), 类矩形的面积的和iii

0 ( ) ( ) ( )p ps T S T 矩形

,)}({ 有上确界数集 Ts p

.)}({ 有下确界数集 TS p

的内面积 P

的外面积 P

44

称其共同值 III PPP

为可求面积的平面有界图形P

, 0, T直线网

.0 0 PP II 0, 即对

定义1.1

定理1.1

推论

若 ,给定平面图形 IP P


.面积的

.的面积为PP

为可求面积的.)()( . TsTSts PP

.)( . , TStsT P直线网

5

为可求则称 , PI P

5

”“ P 为的面积设

分别存在直线网故对 0,

2)( 1

PP ITs

, 21 TTT 记

),( )( 1 TsTs PP

可证

)( PP ITs于是

, ST从而对直线网

证


.PI为 . PPP III 由定义

使得分别存在直线网 , , 21 TT

.2

)( ,2 2

PP ITS

).()( ), 2 TSTS PP

可证

.2

)( ,2

PP ITS

.)()( TsTS PP

66

”“ 0, T直线网设对

PP II )(TsP由

PP II 于是 (TSP

,的任意性由因此 PI


.)()( . , TsTStsT PP

).(TSP

)T .)( TsP

，PP I .可求面积P

77

为可求面积的平面有界图形P

可求面积的充要条件是知，由定理 P 1

, 0, sT直线网对

由于 ()( TSTS PP

所以 .)( TS P

由上面的推论可知 I

定理1.2

证


为可求面积的 0PI

：可求面积的充要条件是

.)()( . TsTSts PP

),() TsT P

.0PI

88

],[: Rbaf 连续，设

.的面积为零

L分段光滑曲线

所表示的平面光滑曲线

.的面积为零

定理1.3

推论1.1


)(: xfy L 曲线连续，

)(),(),(

ttyytxx

L：

或分段光滑曲线

99

二、二重积分的定义

1. 几何问题: 曲顶柱体的

( , ) , z f x y D z曲面为顶为底、母线平行于轴的柱体

: , ( , ) .

D xOyf x y D

其中为面上可求面积的有界闭区域在上非负连续

fz

D


二重积分的定义

曲顶柱体的体积

z f x y D z曲面为顶为底、母线平行于轴的柱体

: , ( , ) .其中为面上可求面积的有界闭区域

在上非负连续

),( yxf

1010

体积=？

采用 “分割、代替、求和、目录上页下页返回结束

、取极限”的方法 1111

1)“分割”用任意曲线网分D为 n 个区域

n ,,, 21 以它们为底把曲顶柱体分为

2)“代替”

在每个

3)“求和”

n

kf

1(

),(fV kkkk 中任取一点

小曲顶柱体


D

个区域

以它们为底把曲顶柱体分为 n 个

kkk ),

),( kkf

),,2,1( nk 则

k),( kk

12

4)“取极限”

k PP 21max)(

令 )(max1

knk

n

kkkfV

10),(lim


k,PP 21

k),( kkf

k),( kk

13

2. 平面薄片的质量

有一个平面薄片, 在 xOy 平面上占有区域

计算该薄片的质量度为

设D M

若非常数 , 仍可用

“分割、代替、求和、取极限

解决.1)“分割”

用任意曲线网分D 为 n 个小区域

相应把薄片也分为小块 .


平面上占有区域 D ,计算该薄片的质量 M .

D 的面积为 , 则

仍可用

其面密

取极限”

个小区域 ,,,, 21 n

Dy

xO

14

2)“代替”

中任取一点k在每个 (

3)“求和”

n

k 1(

4)“取极限”

)(max1 knk

令

n

kkkM

10,(lim


y

x

),, kk

kkk ),(

k)

k),( kk

则第 k 小块的质量

O

15

两个问题的共性：

(1) 解决问题的步骤相同

(2) 所求量的结构式相同

“分割，代替，求和

n

kfV

10(lim

n

kM

10(lim

曲顶柱体体积:

平面薄片的质量:


解决问题的步骤相同

所求量的结构式相同

求和，取极限”

kkk ),(

kkk ),(

16

定义: ),( yxf设

将区域 D 任意分成 n 个小区域

任取一点

可积 , ),( yxf则称称此极限值为

积分和

积分域被积函数

是定义在有界区域

的直径中的最大值趋近于零时

,i iD 且与闭区域的分法及点的选取无关，

0 1lim ( , )

n

k k kk

f


个小区域

( , )f x y称此极限值为在D上的二重积分.

称为积分变量yx ,

积分表达式

面积元素

是定义在有界区域 D上的有界函数 ,

趋近于零时，这和式的极限存在，

若各小闭区域

,i i 且与闭区域的分法及点的选取无关，

记作

17

D

yxfV d),(引例1中曲顶柱体体积:

如果在D上可积,),( yxf

元素d也常记作 ,dd yx 二重积分记作

.dd),(D yxyxf

这时分区域 D , 可用平行坐标轴的直线来划

注：在二重积分的定义中，对闭区域的划分是任意的

i i ix y

二重积分的几何意义

当被积函数大于零时，二重积分是曲顶柱体的体积．当被积函数小于零时，二重积分是曲顶柱体的体积的负值．


二重积分记作

因此面积

可用平行坐标轴的直线来划

D

yxyxf dd),(

y

xO

在二重积分的定义中，对闭区域的划分是任意的.

,i i ix y

二重积分是曲顶柱体的体积

二重积分是曲顶柱体的体18

,),( 上有界在设 Dyxf

,,,: 21 的一个分割为DT n

),,(sup ),(

myxfMi

iyx

i

令

作和式 )(1

n

iiMTS

)(1

n

iimTs


,的一个分割

).,(inf),(

yxfiyx

, i

, i

;的上和关于分割Tf

.的下和关于分割Tf

1919

在可求面积闭区域yxf ),( 定理1.4

二重积分存在定理

上可积在 fDyxf (),()1(

lim),()2(||||

DyxfT

上可积在

上可积在Dyxf ),()3( ,,0 sT

),()4( 在有界闭区域Dyxf

,),()5( 上有界在设 Dyxf 若f

,有限条的光滑曲线上则


上有定义，则在可求面积闭区域 D

;上有界在Dyx ),(

).(lim)(lim0||||0

TsTST

.)()( . TsTSts

.),( 上可积在上连续 DyxfD

的不连续点都落在),( yxf

.上可积在则 Dyxf ),(2020

例如, yxyxyxf

22),( 在

上二重积分存在 ; yxf ,(但

二重积分不存在 .


在 D : 10 x10 y

yx 1) 在D 上

y

1 x

1D

O

21

三、二重积分的性质

D yxfk d),(.1

D yxf d),(.3

D

d1

为

D

fk (

1

,(D

xf


( k 为常数)

D

d

为D 的面积, 则

yx d),(

2

d),(d)D

yxfy

22

特别, 由于 ),( yxf

D

yxf d),(

D yxf d),(

5. 若在D上 ),( yxf ,( yx

6. 设

yxfmD

d),(则有


),(),( yxfyxf

则

D

yx d),(

,)y

D

yxf d),(

D 的面积为 ,

Md

23

7.(二重积分的中值定理)

),( dyxfD

证: 由性质6 可知,

,(1),(min xfyxfDD

由连续函数介值定理, 至少有一点

D

f

1),(

为D 的面积 ,则至少存在一点连续,

因此


),(f

),(maxd) yxfyD

至少有一点

yxf d),(

在闭区域D上

则至少存在一点使

使

24

例1. 比较下列积分的大小

(,d)( 2 DD

xyx

其中 )1()2(: 22 yxD解: 积分域 D 的边界为圆周

2 ()( yxyx

它在与 x 轴的交点 (1,0) 处与直线

(d)( 2 DD

yx

而域 D 位于直线的上方, 故在


比较下列积分的大小:d)3 yx

2的边界为圆周

1 yx3

3)

处与直线

,1 yx 从而

d)( 3 yx

故在 D 上

1

y

2 x1O

D

25

例2. 估计下列积分之值

coscos100dd

2 x

yxID

解: D 的面积为 210(由于

x2 coscos1001

积分性质5

100200 I

102200

1021


10:cos2 yxD

y

200)2 2

y2cos

即: 1.96 I 2

10

10

1010

D

1001 x

y

O

26

例3. 判断积分

解: 分积分域为 ,, 321 DDD

原式 = yxD

d11

3 22

yxD2

3 22

1

ddD

yx

)34(π2π 3 π


的正负号.

,3 则

yxdd

yx dd1

2

3D

32D

1

1D

0)21( 3

猜想结果为负

但不好估计 .

舍去此项

y

xO

27

222

1lim 20

yx

f

222

dd),(1lim 20

yx

xyxf

220

),(1lim

f

),( yxf例4 设是连续函数，求

解根据积分中值定理


2

dd),( yxyxf

dy

).0,0(f

是连续函数，求

),(1lim 20f

28

内容小结

1. 二重积分的定义

D yxf d),(n

i

lim

10

2. 二重积分的性质 (与定积分性质相似

3. 曲顶柱体体积的计算


iiif ),(1

)dd(d yx

与定积分性质相似)

二次积分法

29

被积函数相同

思考与练习

xI1

1

1

13

解: 321 ,, III由它们的积分域范围可知

312 III

1. 比较下列积分值的大小关系


相同, 且非负,

yxyxIyx

dd1

2

yxyx dd

1

1

x

y

O

比较下列积分值的大小关系:

30

2. 设D 是第二象限的一个有界闭域

,d31

D

xyI

的大小顺序为 ( )

;)(

;)(

123

321

IIIC

IIIA

提示: 因 0 < y <1, 故 2y

D

故在D,03 x又因

3321

xyxy


是第二象限的一个有界闭域 , 且 0 < y <1, 则

D

xyI d321

3

.)(

;)(

213

312

IIID

IIIB

;21

yy

D上有

32xy

y

O x

1

D

31

P139 2作业(4-13)

2 2 22 2 2 2 4 4 0

,x y z xy x y z

z z x y

3. 求由方程所确定的隐函数的极值.

2 2

1sin , 0,1. ,0, 0.

xy x yf x y x y

设

0,0 , 0,0 (2) , , , 0,0x y x yf f f x y f x y证明:(1) 都存在；在点不连续；

(3) , (0,0)f x y 在点可微.2 2 2

2 2 22. , 0, (0,0,0)x y zu a b ca b c

设其中求在点函数

增长最快的方向.（提示:利用公式.）

2 2 22 0,4. : 3 5,x y zC C xOyx y z 已知曲线求上距离面最远的点

和最近的点.目录上页下页返回结束

P139 2，4，5 (1)(4)

第二节

2 2 22 2 2 2 4 4 0

,x y z xy x y z

z z x y

所确定的隐函数的极值.

2 22 2

2 2

1sin , 0,

0, 0.

xy x yx y

x y

0,0 , 0,0 (2) , , , 0,0x y x yf f f x y f x y证明:(1) 都存在；在点不连续；

2. , 0, (0,0,0)Taylor

u a b c 设其中求在点函数

增长最快的方向.（提示:利用公式.）

2 0,3 5,

x y zC C xOy 已知曲线求上距离面最远的点

32

04.0 I即

备用题

1. 估计

D yxI d

22

.20,10 yx解: 被积函数 ),( yxf

2D 的面积

的最大值),( yxfD上在

),( yxf 的最小值

,42

52 I故


5.0

的值, 其中 D 为xy 162

16)(1

2 yx

y

O x

2

D

1

33

220 yx

ln(

2. 判断 d)ln(1

22 yx

xyx

解：当 1 yx 时，

故 )ln( 22 yx

又当时，1 yx

于是

( x

ln(1

22 yx

yx


0)ln( 22 yx

的正负.)10(d yx

时，

0

2)y 1

0dd) yx

1

1

11 x

y

OD

34

*三、二重积分的换元法

第二节

一、利用直角坐标计算二重积分

二、利用极坐标计算二重积分

二重积分的计算法


三、二重积分的换元法

一、利用直角坐标计算二重积分


二重积分的计算法

第十章

35

一、矩形区域上的二重积分的计算

],,[],[ dcbaD 设 : Df

],[ ) ,( 上可积在函数 dcxf

,()( yxfxId

c

,[ )( 也在如果函数 baxI

()( b

a

b

adxxI

.此积分称为累次积分


2

一、矩形区域上的二重积分的计算

,RD ],,[ bax如对

,上可积则可得如下函数：

].,[ ,) baxdyy

,]上可积b 则得积分

. )),(d

cdxdyyxf

.),( b

a

d

cdyyxfdx记为

36

:类似理解

),( d

c

b

adxyxfdy

:问题

D

dyxf ),( ?目录上页下页返回结束

3

. )),(( d

c

b

adydxyxf

,),( b

a

d

cdyyxfdx

.),( d

c

b

adxyxfdy?

37

),( 在矩形区域设 yxf

],,[ bax且对积分 d

cf

积分 b

a

d

cdyyxfdx ),( 也存在

D

dyxf ),( b

adx

( ) ( , )d

cA x f x y dy

定理2.1


4

,],[],[ 上可积在矩形区域 dcbaD

, ),( 都存在dyyx 则累次

,也存在且

.),(d

cdyyxfdx

38

: 10 xxax : 10 yycy

,1],,[ 1 ixxI iii 令

,1],,[ 1 jyyJ jjj

形成了因此子矩形 Dji JI

D

fdA 令由定义，

,),()( dyyxfxId

c

的分割对 ],[],,[ dcba证明

时，有满足当分割

1 1( , ) . (1)

n m

i j i ji j

A f x y A

目录上页下页返回结束 5

,bxn ,dym

,,n.,m

的分割D yx

,0,0

].,[ , bax

时，有

( , ) . (1)i j i jA f x y A 39

则现取 ,2

, yx

n

jjji yJf

1),(inf

上的上和与下和在分别是 ],[),( dcf i

In

ji

x

10)(lim

D

dyxf ),( a

IAn

ii

1)(

1inf ( , ) ( , )

n d

i j j icj

f J y f y dy


6

）中取在（1

n

jjji yJf

1),(sup

上的上和与下和

Axi

.),( b

a

d

cdyyxfdx

Axi

inf ( , ) ( , )i j j if J y f y dy

n

jjji yJf

1),(sup

40


],,[ dcy且对 ( 积分 b

af

D

dyxf ),(

积分也存在 d

c

b

adxyxfdy ),(

d

cdy

1.类似于定理

定理2.2

证明


7

,],[],[ 上可积dcbaD

, ),( 都存在dxyx 则累次

且,也存在

.),(b

adxyxfdy

41


D

dyxf ),(

则有

分条件累次积分交换顺序的充

, ),( 上可积在 Dyxf],,[ bax对积分

],,[ dcy对积分

推论2.1


8

,],[],[ 上连续在矩形区域 dcbaD

.),( d

c

b

adxyxfdy

b

a

d

cdyyxfdx ),(

:分条件

,, ),( 都存在

d

cdyyxf

. ),( 都存在b

adxyxf

42

设 yxyxf 1),(其中,),(

D

dyxf 计算

( , ) 2.1f x y因为满足推论

1

0

1

0),( dxdyxf

D

所以的条件 ,

例1

解

1

0

1

01(),( xdyyxf

1

01( x

x )1(

而

所以 ),( dyxfD


9

y.]1,0[]1,0[ D其中

( , ) 2.1因为满足推论

1),( dyyxf x0 x

y

1

11x y

)dyyx

1

0) ydydyx

x21

21

.0)21(

1

0 dxx

43

二、一般区域上的二重积分的计算

X型区域

)(|),{( 1 yxyyxD

特点：穿过区域且平行于

y轴的直线与区域

边界相交不多于两

个交点.


10

二、一般区域上的二重积分的计算

}),(2 bxaxyy

ba x

y

)(1 xyy

)(2 xyy

穿过区域且平行于


44

Y型区域

)(|),{( 1 xyxyxD

特点：穿过区域且平行于

轴的直线与区域


个交点.

x


11

}),(2 dycyxx

穿过区域且平行于

边界相交不多于两x

y

c

d

45

一般区域

X型区域或分解成有限个无公共内点的

.Y型区域

一般区域上的二重积分

因此

X型区域或 Y型区域上的二重积分计算问题


12

3D

2D

1D

计算问题归结到一般区域上的二重积分

.上的二重积分计算问题

46

( , ) ,f x y X D设在型区域上连续

,],[)( 2 上连续在 baxy 则

D

dyxf ),( b

a

:分析

,( ,0 ,(),,(

),(yxyxyxf

yxF

定理2.3


13

( , ) ,f x y X D设在型区域上连续 )( 1 xy其中

xy

xydyyxfdx

)(

)(

2

1),(

ba x

y

)(1 xyy

)(2 xyy

c

d

.),)DyDy

47

,)( 1 xy由于 )( 2 在xy

],[],[ Ddcba 矩形区域

上的辅助函数

,0 ,(

),(xf

yxF

],[),( 在可以验证 bayxF

D

dyxf ),(

],[],[

,(dcba

xF

b

a

xy

xydyyxFdx

)(

)(

2

1),(

证


14

,],[ 上连续在 ba 故总存在

,D ],[],[ dcba 作定义在

.),( ,,),(),DyxDyxy

,],[ 上可积dc 而且

)dy b

a

d

cdyyxFdx ),(

.),()(

)(

2

1 b

a

xy

xydyyxfdx

48

( , ) ,f x y Y D若在型区域上连续

则

D

dyxf ),( d

cdy

类似可证

,],[)( 2 上连续在 dcyx

: 意注积分限的问题

:务必保证

先定后积

上限下限


15

( , ) ,f x y Y D若在型区域上连续

则

yx

yxdxyxfdy

)(

)(

2

1),(

)( 1 yx

积分限的问题

同一定积分

累次积分

上限

49

解两曲线的交点

1,1(,)0,0(2

2

yxxy

D

dxdyyx )( 2 1

0dx

xxx )([ 21

0

2

例2 求 D

dxdyyx )( 2

2xy 和2yx 所围平面闭区域

72 5 2 52 1 1 1

7 5 4 10x x x x


16

),1

22 )(x

xdyyxdx

dxxx )](21 4

.14033

2xy

2yx

dxdy，其中D是由抛物线

所围平面闭区域.

15 2 5

0

2 1 1 17 5 4 10

x x x x 50

D

dxdyyx )( 2

y

ydxyxdy 2 )( 21

0

yyy31

31(

1

03 2

323

4

211

41

158

25

yyy


17

2xy

2yx

.14033

dx

dyy )3

6

1

0

7

51

dye y2

无法用初等函数表示解

积分时必须考虑次序

D

y dxdyex22 dy

0

1

0

dyye y 1

0

3

32 1

0

2

e y

22 ,y

D

x e d计算

. 围成的区域及 xy

例3


18

无法用初等函数表示

积分时必须考虑次序

y y dxex0

2 2

22

62

dyy ).21(

61

e

1,0 yxD是由其中

52

例4. 交换下列积分顺序

2

20

2

0d),(d

xyyxfxI

解: 积分域由两部分组成:

,20

0:2

21

1

x

xyD0:2D

21 DDD 将

:D

视为Y - 型区域

2 xy 20 y

D

yxyxfI dd),(


19

2

28

0

22

2d),(d

xyyxfxy

:822 yx

2D

22

y

xO

2

222

8 2

xxy

型区域 , 则28 y

28

2d),(

y

yxyxf

2

0dy

1D2

21 xy

53

解 dxe xy

不能用初等函数表示

先改变积分次序.

1

21

)( dxeex x

.21

83 ee

例5 计算积分 dyI 21

41

x

xxy

dyedxI 221

1


20

不能用初等函数表示

2xy

xy

y

xy

dxedy21

y

yxy

dxedy1

21

.

54

设函数

D 位于 x 轴上方的部分为D1

),,(),()1( yxfyxf

),,(),()2( yxfyxf

d),(D yxf

当区域关于 y 轴对称, 函数关于变量

2

在闭区域上连续

则

则

有类似结果.

D

yxyx dd)(

对称性


x

y

O

1 ,

0d),( D

yxf函数关于变量 x 有奇偶性时, 仍

1D

在 D 上

d),(1

D yxf

在闭区域上连续, 域D 关于x 轴对称,

则

在第一象限部分, 则有

1

dd)(4 22D

yxyx

0

D

55

例6. 计算

,4 2xy 1,3 xxy 所围成

解: 令 ln(),( yxyxf

21 DDD (如图所示

显然, ,1上在D ),( yxf

,2上在D ),( yxf

yxID

1ln(1

yxD

ln(2


其中D 由

所围成.

O

y

x1

24 xy

xy 32D

1D

1x

)1 2y

如图所示)

),( yxf

),( yxf

yxy dd)2

0yxy dd)1 2

4

56

例7

解: 利用对称性, 考虑第一卦限部分

其曲顶柱体的顶为

则所求体积为

xxRR

d)(80

22 3

16

2Rz

00:),(

RxyDyx


考虑第一卦限部分,

22

0d

xRy

316 R

2x

22 xR

xxRR

d80

22

222 Rzx x

y

z

R

RO

57


),( 2中含有当 xyxf

,22 项时表达式中有 yx

将积分化为极坐标下的二重积分

,sin,cos

:

ryrx

T 0

的累次积分去求解和关于 r



,2项y 的边界或者D

, 变换

,极坐标下的二重积分

,20 , r

.的累次积分去求解

通常利用极坐标

然后化为

58

kkk rr

kkkk rr ,cos

对应有

在极坐标系下, 用同心圆 r

则除包含边界点的小区域外

k

),,2,1( nkk

在 k ),,( kkr 内取点

kk rr 221 )(

及射线 =常数, 分划区域D


O x

kkr sin对应有

r =常数

则除包含边界点的小区域外,小区域的面积

k kk

krr k

kkr 221

k

D 为

kkr

krkr

kO

59

kkk

n

krrf

,cos(lim

10

Dyxf d),(即

D


kkkkk rr )sin

dd rrrrf )sin,cos(

d rrd

dr d

O

60

rd

x

D

o

)(1 rr )(2 rr

如何化为累次积分?

:可表示成

)(i

, 常数与DDo :特点

D

dxdyyxf ),(

)( 21 rrr


.)sin,cos()(

)(

2

1

r

rrdrrrf

.

xo

D )(2 rr )(1 rr

.的边界至多交于两点D

),(2

61

o

(

0

rd

(0 rr

)(ii

的边界上在原点 Do

D

dxdyyxf ),(

:可表示成

:特点


x

D )(rr

.)sin,cos()(

rdrrrf

. ,)

的边界上

62

思考: 下列各图中域 D 分别与

答: ;π0)1(

问的变化范围是什么?

(1) )(r

D

y

xO


分别与 x , y 轴相切于原点,试

(2)

2π

2π)2(

)(r

D

y

xO

63

(

0

2

0

rd

(0 rr

)(iii

的内点为原点 Do

D

dxdyyxf ),(

:可表示成

:特点

此时若 f ≡1 则可求得D 的面积

2π

0

12

D

d目录上页下页返回结束

.)sin,cos()(

rdrrrf

),

D

o x

)(rr

.2 0

的内点

的面积

π 2

0( ) dr

64

2

1

r

rrdr

)(1 r

)(iv

的边界至多交于两点常数与Dr

D

dxdyyxf ),(

:可表示成

:特点

D

o 1r

)(2 r


.)sin,cos()(

)(

2

1

r

rdrrf

.21 rrr ),(2 r

.的边界至多交于两点

x2r

)(1 r

65

2

1

4 r

yxyxD

dd)( 22

yyx 422

yyx 222

03 yx

例8. 计算 dd)( 22 yxyxD

yyx 422 及直线 3x

解：

平面闭区域.

03 xy

r

3π

6π d


x

y

O

3π

6π

sin4

sin4

sin22 d rrr )3

2π(15

其中D 为由圆

所围成的

,y ,222 yyx

03 xy,03 y

sin2

2

4

D

66

例 9 求曲线 )( 222 yx 和 222 ayx 所围成的图形的面积

解根据对称性有 14DD

在极坐标系下

(2)( 22222 yxayx

,222 arayx

由

arar 2cos2

, 得交点

D

dxdy 1

4D

dxdy

0

64 d


)(2 222 yxa 所围成的图形的面积.

1

)2y ,2cos2 ar

1D

得交点 )6

,( aA ,

2cos2a

ardrd ).

33(2 a

67

例10. 计算

解: 在极坐标系下00

:

D

原式 D

2e x 的原函数不是初等函数

dd rr

由于

坐标计算.


其中 .: 222 ayxD

,π2

ar

rra r de0

2

)e1(π2a

的原函数不是初等函数 , 故本题无法用直角

π2

0d

故

68

注:利用上题可得一个在概率论与数理统计及工程上

非常有用的反常积分公式

de0

2

xx

解

|),{( 221 yxyxD

|),{( 222 yxyxD

0,0|),{( yRxyxS

显然有 ,0

22

yxe

1

22

D

yx dxdye x y

S

e dxdy

设在第一象限内 ,


利用上题可得一个在概率论与数理统计及工程上

2π

①

}2R

}2 2R

}Ry

21 DSD

2 2x ye dxdy 2 2

2

.x y

D

e dxdy

1D2DSS

1D

2D

R R2

69

又 S

yx dxdyeI22

Re

0

1I

1

22

D

yx dxdye

同理 2I

2

22

D

yx dxdye

10由例

当 R 时, ,41I I

故当 R 时, ,4I 即

所求广义积分

0

2

dxe x

()1(4

22

0

R xR dxee


R yx dyedxe0

22

;)( 2

0

2

R x dxe

R r rdred

00

22 );1(4

2Re

);1(4

22Re

,42I

即 2

0)(

2

dxe x

4 ,

2 .

);1(4

)222 Redx

70

例11. 求球体

所截得的(含在柱面内的

解: 设由对称性可知

,cos20: arD

d44 22 rraVD

cos2

04

aa

)32

2π(

332 3 a


被圆柱面 xayx 222

含在柱面内的)立体的体积.

2π0,

dr

22 d rrra

x

y

a2D

O

cos2r

x

y

z

a2O

71

cosar

aO

例12. 交换积分顺序

提示: 积分域如图

r

r

a

r0

d ararccos

ararccos

I f


xaararccos

d),( rf

72

*三、二重积分换元法

b

axxf d)(

f [

定积分换元法

),(),(: vuyy

vuxxT vu ),(

满足在Dvuyvux ),(,),()1(

雅可比行列式上在D)2(

),(),(),(

vuyxvuJ

(3) 变换 DDT :则 D

yxyxf dd),(

Df

定理: ),( 在闭域设 Dyxf

是一一对应的


三、二重积分换元法

))(( tx ttt d)()](

DD

上D 一阶偏导数连续;

雅可比行列式

;0

vuyvuxf )),(),,((

,上连续D 变换:

是一一对应的 ,

vuvuJ dd),(

O

v

u

D

Ty

x

D

O

73

证: 根据定理条件可知变换

用平行于坐标轴的,坐标面上在 vOu

直线分割区域 ,D 任取其中一个小矩

形, 其顶点为

(,),( 21 MvuM

通过变换T, 在 xOy 面上得到一个四边

形, 其对应顶点为

(,),( 43 MkvhuM

1 1 1 2 2 2( , ), ( , ),M x y M x y

3 3 3 4 4 4( , ), ( , ).M x y M x y


y

x

D

O

uO

v

D

T 可逆(见P90).用平行于坐标轴的

任取其中一个小矩

T),,( vhu

u hu

1M

4M 3M

2M vkv

面上得到一个四边1M

4M3M

2M

).,( kvu

1 1 1 2 2 2( , ), ( , ),M x y M x y

3 3 3 4 4 4( , ), ( , ).M x y M x y74

同理

当h, k 充分小时,曲边四边形

边形, 故其面积近似为

1 2 1 4M M M M

1 2 2 1 2 1M M x x i y y j

, , , ,x u h v x u v i y u h v y u v j

u ux h i y h j o

1 4 4 1 4 1M M x x i y y j

, , , ,x u v k x u v i y u v k y u v j

v vx k i y k j o


2 2 .h k 这里

曲边四边形 M1M2M3M4 近似于平行四

1 2 1 4M M M M

1 2 2 1 2 1M M x x i y y j

, , , ,x u h v x u v i y u h v y u v j

,x h i y h j o

1 4 4 1 4 1M M x x i y y j

, , , ,x u v k x u v i y u v k y u v j

,x k i y k j o

75

d因此面积元素的关系为

从而得二重积分的换元公式

Dyxyxf dd),(

Dvuxf ),,((

1 2 1 4M M M M

进而

u u

v v

x h y hx k y k

uxff kkkk ,(),(


vuvuJ dd),(d

从而得二重积分的换元公式:

vuy )),(), vuvuJ dd),(

00

u u

v v

i j kx h y hx k y k

u v

u v

x x hky y ( , )J u v hk

vuvuyxvuyv kkk

),(),(),(),,

76

特别, 直角坐标转化为极坐标时

),(),(

ryxJ

cos

sin

D

yxyxf dd),(

Drf cos(

( , ) D( , )x yJu v

若在区域内个别点上或在一条

曲线上为零,而在其他点上不为零,则换元公式仍成立.

注记：


直角坐标转化为极坐标时, sin,cos ryrx

sinrcosr

r

rrr dd)sin,cos

D若在区域内个别点上或在一条

曲线上为零,而在其他点上不为零,则换元公式仍成立.

77

例12. 计算

所围成的闭域. 解: 令 , xyvxyu

2,

2uvyuvx

),(),(

vuyxJ

De

21

21

21

21

xyxy

e ,dd yx


其中D 是 x 轴 y 轴和直线

,x 则

vuvu

dde 21

1ee

21

,

)( DD

2 yxD

x

y

O

D2v

vu vu u

v

O

78

,,22

yxv

xyu

例13. 计算由

所围成的闭区域

解: 令则

bvaqup

D :

),(),(

vuyxJ

),(),(

1

yxvu

D

yxS dd

q

pd

31vuJ

Ddd


u

v

O

ybx 2

yax 2

D

O

y

x

xqy 2

xpy 2

所围成的闭区域 D 的面积 S .

D

p qab

D

)) 3

1

b

avu dd ))((

31 abpq

79

例14. 试计算椭球体

解:

2

由对称性,1: 2

2

2

2

by

axD取

令 sin,cos rbyrax : 0 1 , 0 2D r

),(),(

ryxJ

sincos

ba

cba 1d21

0

π2

0

0 .J D r 由于在内仅当时为零，故换元公式仍成立


yxcD b

yax dd12 2

2

2

2

由对称性

, 则D 的原象为

: 0 1 , 0 2 π

cossin

rbra

rrr d1 2 cbaπ34

rba

的体积V.

0 .由于在内仅当时为零，故换元公式仍成立

80

内容小结

(1) 二重积分化为二次积分的方法

直角坐标系情形 :• 若积分区域为

则 dd),(b

aDxyxf

• 若积分区域为

则 1

dd),(x

x

d

cDyyxf


二重积分化为二次积分的方法

)(

)(2

1d),(

xy

xyyyxf

)(

)(2

1d),(

yx

yxyxf

)(1 xyy

)(2 xyy

x

y

ba

D

O

x

y

)(1 yxx

Dd

c

)(2 yxx

O81

DD

rfyxf (d),( 则

(2) 一般换元公式

),(),(

vuyyvuxx

Dyx ),(

则

DDfyxf [d),(

极坐标系情形: 若积分区域为

在变换下


rr )sin,cos

0),(),(

vuyxJ且

vuvuyvux dd )],(),,([ J

若积分区域为

dd rr

下

D

)(1 r

)(2 r

O x

82

(3) 计算步骤及注意事项

• 画出积分域

• 选择坐标系

• 确定积分序

• 写出积分限

• 计算要简便

域边界应尽量多为坐标线

被积函数关于坐标变量易分离

积分域分块要少

累次积分好算为妙

图示法

不等式( 先积一条线

充分利用对称性

应用换元公式


域边界应尽量多为坐标线

被积函数关于坐标变量易分离

积分域分块要少

累次积分好算为妙

先积一条线, 后扫积分域 )

充分利用对称性

应用换元公式83

思考与练习

1. 设且

求 .d)()(d11

0yyfxfxI

x提示: 交换积分顺序后, x

I xyfxfy

d)()(0

1

0d y

I2 yyfxfxx

d)()(d11

0

1

0d x yyfxf d)()(

1

0目录上页下页返回结束

y

x

1xy

1Ox , y互换

yx

x 1

0d x

1

0d x

y 1

0

1

0d)(d)( yyfxxf 2A

84

作业(4P156-8 1 (2), (4); 2

9; 11(2), (4);

15 (1) (3); 19 (2); 21; 22;


(4-16/18)2 (2), (4); 6 (4), (6);

13 (2), (4); 14 (2), (3);

19 (2); 21; 22;

第三节

85

axy 2解：

原式

a

y0

d

22 xaxy aax

备用题 1. 给定

改变积分的次序.

a

y0

d

ayx 2

2


a

ay

2d

22 ya

a2

a2

a

O x

y ayx 2

2

22 yaax 22 yaax

86

2xz 例求由曲面

解 1、作出该立体的简图

xoy

222 yx

消去变量 z得一垂直于

面的柱面

立体镶嵌在其中,立体在

所围成的立体的体积

2: 22 yxD

曲面的投影区域就是该柱面在面上所围成的区域


53

22 y 2226 yxz

、作出该立体的简图, 并确定投影

得一垂直于

立体在曲面的投影区域就是该柱面在xoy

87

xyxVD

2()26([ 222

D

dyx )336( 22

2、列出体积计算的表达式

3、配置积分限, 化二重积分为二次积分

DD

dxdV 236

2D

d

目录上页下页返回结束 54

dy ])2 2

、列出体积计算的表达式

化二重积分为二次积分

D

dyd 23

88

D

dxyx 2, 的对称性由

dydxxdxx

xD

2

2

2

2

22

2

2

dxxx 2

0

2

0

22 sin4424

2!)!22(!)!12(!)!12(16

2241116

所以体积


55

D

dy 2

dxxx

2

2

22 22

d22 cossin

6612 所以体积

89

第三节

一、三重积分的概念

二、三重积分的计算

三重积分


三重积分的概念


三重积分

第十章

90

一、三重积分的概念

类似二重积分解决问题的思想

kk ,(

引例: 设在空间有限闭区域

物质, ),,( zyx

可得

n

k 10lim

M

“分割, 代替, 取和, 求极限”

解决方法:

质量 M .密度函数为


类似二重积分解决问题的思想, 采用

kkk v),

),,( kkk

kv

设在空间有限闭区域内分布着某种不均匀的

,C 求分布在内的物质的

求极限”

91

为定义在三维空间可求设 ),,( zyxf

上的有界函数V有界区域

.,,, 21 nVVV 1( 以 i iV

}. {max||||1

的直径iniVT

作积分和 (1

n

if

VT来分割组成的曲面网


3

体积的为定义在三维空间可求

.上的有界函数用若干光滑曲面所

个小区域分成把 nV

,),,2,1 的体积表示 iVn

,),,( iiii V任取

. ),, iiii V

,V

92

为定义在三维空间可求设 ),,( zyxf

0,如对都

),,( 无论 iiii V

都有),,(|

1

fn

iiii

),,( 上可积在则称 Vzyxf

.V 三在的重积分上

上的函数的有界闭区域V

,分割

定义3.1

:记为 (V

xfA

,(V

xfA或目录上页下页返回结束

4

体积为定义在三维空间可求

.是一个确定的常数A,0

, |||| T只要,如何取iV

,| ) AVi

,上可积称为数 A ),,( zyxf

,上的函数

的任何使得对于V

,),, dVzyx

.),, dxdydzzy93

,(V

xfA

------),,( :其中 zyxf

------,, zyx

------V

, 1),,( 时当 dVzyxfV

,完全类似于二重积分情可积性条件和性质


5

,),, dVzy

,-被积函数

,-积分变量

.-积分区域

.的体积在数值上等于VdV

.形完全类似于二重积分情

94

直角坐标系中将三重积分化为三次积分．


长方体 .1 ),,( zyxf 在长方体设

,上的三重积分存在

定理3.1

且对任何

存在D

dydzzyxfxI ),,()(

V

dxdydzzyxf ),,( ),,(

D

b

adydzzyxfdx则积分


6

直角坐标系中将三重积分化为三次积分．


],[],[ dcbaV 在长方体 ],[ he

],,[ bax且对任何

,存在 ],,[],[ hedcD

),,(D

b

adydzzyxfdx

dydz ,也存在且

95

b d h

a c e

),,( zyxf 在长方体若

则上连续 ,

V

dxdydzzyxf ),,(

h

e

D


7

( , , ) .b d h

a c edx dy f x y z dz

],[],[ dcbaV 在长方体 ],[ he

),,(D

hdxdyzyxfdz

h

edzzyxfdxdy ),,(

96

如图

xb

“先一后二法” )1(

一般区域 .2

:特点

边界相交不多于两点．

的的内点的直线与

轴且通过平行于

VDz

)(1 yxy

|),,{( zyxV ),(1 yxz


8

y

z

o

V

D

1z

2z

),(1 yxzz

),(2 yxzz

a

)(1 xyy

),( yx )(2 xyy

bxa ),(2 xy }

),,(2 yxzz

97

DV

dxdydzzyxf ),,(

b

a

xy

xydydx

)(

)(

2

1

D Y若为型区域，

d

c

yx

yxdxdy

)(

)(

2

1

平面上时平面或投影到当 yzzxV

上连续，在设 Vzyxf ),,(

上连续，在 D (),( 21 yxy

则有

定理3.2


9

D

yxz

yxzdzzyxfdxdy

),(

),(

2

1),,(

yxz

yxzdzzyxfdy

),(

),(

2

1),,(

yxz

yxzdzzyxfdx

),(

),(

2

1),,(

.,结果类似平面上时

上连续， ),(),,( 21 yxzyxz

上连续，在 ],[)( bax

98

2 2 2 2

, 0, 0, 0,

.V

zdV V x y z

x y z R

计算其中

围

解

0

0|),,{(

y

zzyxV

22

00

xR

V

RdydxzdV

2

0021 xRR

dx

4

161 R

例1


10

2 2 2 2

, 0, 0, 0,

.

zdV V x y z

x y z R

中为由

围成的区域

}0,

,22

222

RxxR

yxR

222

0

yxRzdzdy

2

222 )(x

dyyxR

.4

99

利用对称性计算三重积分

( , , ) 0

( , , )

( , , ) 2 ( ,

( ), ,若

则

函数

积分域函

关于面对数关于变量

关于变量

则

V

V V

f x y z dxdydz

f x y z

f x y z dxdydz

Vf x y z

xz

z

oy


计算三重积分

( , , ) 0

( , , ) 2 ( , , )上

是奇函数，

则；

数是偶函

对称

数，

，量

量

则。V V

f x y z dxdydz

f x y z dxdydz f x y z dxdyd

z

z

z

oy

100

利用轮换对称性计算重积分

, ,x y zV

V积分域边界曲面若依次轮换时，

的则积分域具有轮换

( , , ) ( , , )( , , )V VV

f y z x dxdydz f z x y dxdydzf x y z dxdydz 若闭区域V具有轮换对称性

( , , ) ( , , ) ( , , )V

f x y z f y z x f z x y=13


计算重积分

积分域边界曲面，

的，则积分域具有轮换

不变的方程对称性。

( , , ) ( , , )V V

f y z x dxdydz f z x y dxdydz 具有轮换对称性，则

.( , , ) ( , , ) ( , , ) dxdydzf x y z f y z x f z x y

101

2 , V

x dV计算

3 22 上侧所围成的立体抛物面

是由上半球面其中

yxzzV

解球面与抛物面的交线为：

zyxzyx3

422

222

13

:22

zyx

即

例2


13

.4 22

上侧所围成的立体

与yxz

球面与抛物面的交线为：

102

由对称性：

V

dVx 2 V

dVy2

22 )(21

D

dxdyyx

D

yx 4)((21 22

rd 4(21 3

0

22

0

.3049


14

V

dVyx )(21 22

22

224

3

yxyx dz

dxdyyxyx )

3

2222

rdrrr )3

22

103

例 3 化三重积分 V

I

积分，其中积分区域 V 为由曲面22 xz 所围成的闭区域

x

y

z

O

zx22y2

2

2

z2x2


15

dxdydzzyxf ),,( 为三次

为由曲面 22 2 yxz 及

所围成的闭区域.

11

O

x

y

z

2

1x2y2

104

故 V ：

22

2

21

1

zyxyxx

1

1

1

1

2

2

x

xdydxI

解由

2

22

22xz

yxz,

得投影区域 2 yx


16

2

2

21

1

xx ,

.),,(2

2

2

22

x

yxdzzyxfdy

,12 y

105

例4

]))(([0 0 0 x v u

dvdudttf

证明

证思路：从改变积分次序入手．

v v

t

v ufdtdttfdu

00 0)(

x v u

dvdudttf0 0 0

]))(([

x x

tdvtftvdt

0)()(

0 v u

t

D


17

.)()(21

0

2 x

dttftx

思路：从改变积分次序入手．

dutf )( v

dttftv0

,)()(

x v

dttftvdv0 0

)()(

.)()(21

0

2 x

dttftx

v

t

Dx

106

(1) 把积分区域V 向某轴（例如

投影区间 ],[ 21 cc ；

(2) 对 ],[ 21 ccz 用过点 0,0(面去截V ，得截面 zD ;

(3) 计算二重积分zD

yxf ,(

其结果为z的函数 )(zF ；

(4) 最后计算2

1)(

c

cdzzF 即得三重积分值

“先二后一法”－－－ )2(


18

向某轴（例如 z 轴）投影，得

),0 z 且垂直于z轴的平

dxdyzy ), ，

；

即得三重积分值.

截面法“先二后一法”－－－

z

107

上连续，在设 ),,( Vzyxf

V

dxdydzzyxf ),,(

, 轴投影时轴向当 yxV

定理3.3


19

则有上连续，

2

1),,(

c

cDz

dxdyzyxfdz

. , 有类似的结果轴投影时

108

解 V

zdxdydz1

0 zdz

,0|),{( yxyxDz

1)(1(21 zzdxdy

zD

0

1

0可化为三次积分 zdz

241)1(

211

0

2 dzzz

V

zdxdydz

例 5 计算三重积分V

zdxdydz

标面及平面 1 zyx 所围成的闭区域


20

,zD

dxdy

}1,0 zyx

)

x

o

z

y1

1

1

.1

0

1

0来求

z zydxdy

.241

zdxdydz，其中V 为三个坐


109

例 6 计算三重积分 zV 2

椭球面 2

2

2

2

2

2

cz

by

ax

:V |),,{( zczyx

原式 ,2 zD

c

cdxdydzz

解先二后一


21

dxdydz2 ，其中 V 是由

1 所成的空间闭区域.

,c }1 2

2

2

2

2

2

cz

by

ax

x

y

z

o

zD

110

1(2

czadxdy

zD

),1( 2

2

czab

c

cz

czab 2

2

)1(

|),{( yxDz 2

2

ax

原式


22

)1() 2

22

2

2

czb

),

dzz 2 .154 3abc

}1 2

2

2

2

cz

by

111

先一后二

:V |),,{( zyx 12

2

2

2

by

ax

zby

axc 2

2

2

2

1

2

2

2

2

2

2

2

2

1

1

2by

axc

by

axc

zdxdy原式＝


23

x

y

z

o

zD

,1

2

2

2

2

1by

axc

2dz

112

例8 计算 ,dd dzyxz

其中


先一后二

,10{ 2222 zyxyx

1

22 yxD

zdzdxdy

32)(

2

222

dxdyyx

D

解


24

其中是由 z=x2+y2 和 z=1

11

O

x

y

z

1

}1z

3

113

0 ≤ z ≤ 1,

x

y

z

0 1

D(z)

1

先二后一 zD x y z


25

1

0dddd zzzyxz

)(dd

zDyx

1

0dzzz

1

0

3

3

z3

zz 2)(

2 2: zD x y z

114

小结: 三重积分的计算方法

方法1. “先一后二”

方法2. “先二后一”

方法3. “三次积分”

D

b

ad

dba

x

三种方法(包含12种形式)各有特点

被积函数及积分域的特点灵活选择


三重积分的计算方法

),(

),(2

1d),,(dd yxz

yxzDzzyxfyx

zD

yxzyxfz dd),,(d

),(

),()(

)(2

1

2

1d),,(d yxz

yxzxy

xyzzyxfy

具体计算时应根据各有特点,

被积函数及积分域的特点灵活选择. 115

三重积分的换元变换

),,( 在有界闭区域设 zyxf

,(),,,(: uyywvuxxT

'V 一对一的映成空间中的区域

函数 ),,,(),,,( wvuywvux

且函数的行列式内连续导数在 ,'V

定理3.4

),,(),,(),,(

wvuzyxwvuJ


27

三重积分的换元变换

, 上可积在有界闭区域V 若变换

),,,(),,, wvuzzwv 将 uvw

,Vxyz空间中的区域一对一的映成

及它们的一阶偏),,( wvuz

且函数的行列式

,0)) '.),,( Vwvu

116

则

V

dxdydzzyxf ),,(

yxfV

wvu ,('

),,(


28

dudvdwwvuJ

zy wvuwvu

|),,(|

), ),,(),,(

117

例9 计算 cos()( V

zyx

10),,{( yxzyxV

解引入坐标变换：

zyxwzxvyxu

,,(,(

xu


29

,)cos( 2 dVzyx

,10,1 zx}.10 zyx

其中

111101

011

3

),),

zywv

118

sin61

1

0

2sin61 w

dwww1

0

2cos31

wwdvdu cos1

0

1

0

1

0

cos()( V

yxzyx

'

2

,(,(cos

V vuyxww


30

1sin

dww312

,)2 dVz

),), dudvdw

wvzy

119

2. 利用柱坐标计算三重积分

,),,( 3RzyxM设 , 用极坐标将 yx就称为点M 的柱坐标.

00

sinyzz

cosx

直角坐标与柱面坐标的关系

常数

坐标面分别为

圆柱面

常数半平面

常数z 平面


x

y

z

利用柱坐标计算三重积分

,, 代替用极坐标 ),, z（则

zπ2

直角坐标与柱面坐标的关系:

圆柱面

半平面

平面

z),,( zyxM

)0,,( yxO

120

如图所示, 在柱面坐标系中体积元素为

zv dddd

因此 yxzyxf ddd),,(

其中 cos(),,( fzF

d

注：柱面坐标变换的Jacobi

cos sin 0( , , ) sin cos 0 ,( , , ) 0 0 1x y zJ

z


在柱面坐标系中体积元素为

zd

),sin, z

zdd

zzd

ddd

x

y

z

dd

O

Jacobi行列式为

cos sin 0sin cos 0 ,

0 0 1

121

适用范围:

1) 积分域表面用柱面坐标表示时

2) 被积函数用柱面坐标表示时


表面用柱面坐标表示时方程简单 ;

用柱面坐标表示时变量互相分离.

122

例3. 计算三重积分

xyx 222

解: 在柱面坐标系下 :

2

0

dcos3

4 2π

03

2

a

及平面

2π

0d

azz

0d

z dd2 原式

由柱面

围成半圆柱体.


2

a

x

y

z

O

其中为

0),0(,0 yaazz 所

cos2 2 d

d

cos20

20 az 0

zv dddd

zd

298 a

cos2

123


解: 在柱面坐标系下

h2

0 21π2

h2

0 1 π2

0d

zyx 422 ( hhz与平面

原式 =


OOx y

zh

h

z4

2 d

h2

2 d)4

( 2 d

)0h 所围成 .

其中由抛物面

zv dddd

124

3. 利用球坐标计算三重积分

,),,( 3RzyxM设其柱坐标为

就称为点

直角坐标与球面坐标的关系

, zOM ),,( r则

000 cossinrx

sinsinry cosrz

坐标面分别为

常数r 球面

常数半平面

常数锥面


利用球坐标计算三重积分

),,,( z其柱坐标为

就称为点M 的球坐标.

直角坐标与球面坐标的关系

z

r

ππ2

r

半平面

,rOM 令

),,( rM

sinrcosrz

M

xy

z

O

125

如图所示, 在球面坐标系中体积元素为

ddsind 2 rrv 因此有

zyxzyxf ddd),,(

),,(rF

其中 cossin(),,( rfrF

sin2r

注：球坐标变换的Jacobi

( , , )( , , )x y zJr

sin cos cos cos sin sinsin sin cos sin sin cos

cos sin 0

r rr r


rd

d

rd

d

在球面坐标系中体积元素为

d

z

)cos,sinsin,cos rr

dddsin rx

y

z

O

Jacobi行列式为

sin cos cos cos sin sinsin sin cos sin sin cos

cos sin 0

r rr r

r

2 sin .r

126

适用范围:

1) 积分域表面用球面坐标表示时

2) 被积函数用球面坐标表示时


表面用球面坐标表示时方程简单;

用球面坐标表示时变量互相分离.

127


解: 在球面坐标系下

:

xzyx dd)( 222

4π0 Rr 0

π20

与球面

R

0

)22(π51 5 R

4π

0dsin

π2

0d


xy

z

Ozydd

所围立体.

其中

dddsind 2 rrv rr 4 d

4π

Rr

128

例6.求曲面 )( 2222 zyx解: 由曲面方程可知, 立体位于

,cos0: 3 ar

利用对称性, 所求立体体积为

vV d

dcossinπ

32 2

π

03 a

0

2π

0dsin 2

π

0d4

yOz面对称, 并与xOy面相切,


)0(32 aza 所围立体体积.立体位于xOy面上部,

所求立体体积为

rra

d3 cos

02

d 3π31 a

3 cosar

,2π0 π20

, 故在球坐标系下所围立体为

且关于 xOz

dddsind 2 rrv

y

z

x

a

Or

129

内容小结

zyx dddzddd

ddsin2 rr

坐标系体积元素

直角坐标系

柱面坐标系

球面坐标系

* 说明:

三重积分也有类似二重积分的

((J

对应雅可比行列式为

ddd),,(

zyxzyxf


d

积分区域多由坐标面

被积函数形式简洁, 或

适用情况

三重积分也有类似二重积分的换元积分公式:

),,(),,(

wvuzyx

* ddd),,(

wvuJwvuF

变量可分离.

围成 ;

130

1. 将

.)(),,( Czyxf ,2,0 xx ,1y

zyxfI d),,(

提示: y 21

I x

y212

1d

2

0d x

思考与练习

六个平面

围成 ,

:


2, zxz

用三次积分表示,

,42, yx

v 其中由

所

x21

2

d),,(x

zzyxfy

131

2. 设

提示: 利用对称性

原式 = 122

ddyx

yx

0


计算

奇函数

132

3. 设由锥面

所围成 , 计算

提示:

利用对称性

vzyx d)( 222

xzyxI 2( 222

用球坐标

2

0

dsin40

2

0d


和球面z

Ox

y

2

4

vzxzyyx d)22

rr d4 221

564

133

作业

P166 1(2),(3),(4)

7; 8; 9

*10 (2) ; 11


作业(4-20)(2),(3),(4); 4; 5;

7; 8; 9 (2);

; 11 (1), *(4)； 14.

第四节

134

双曲抛物面z=xy的图像：它过(0,0,0)点，z轴上半部分过一、三卦限


的图像：轴上半部分过一、三卦限

135

备用题 1. 计算

分析：若用“先二后一”

计算较繁! 采用“三次积分”较好


所围成.

其中由

若用“先二后一”, 则有

采用“三次积分”较好.

136

思考: 若被积函数为 f ( y )

表为

解:


所围, 故可

) 时, 如何计算简便? 137

2. 计算

,1),(21 22由 zzyxz

解:

利用对称性

xyx dd)(21 22

yxzzD

)(d21 224

1

zrz

2

032

0

4

1dd

21


4z

xy

1O

其中

.4围成z

zy dd

yxdd

r3 d 21

zD

138

第四节

一、立体体积

二、曲面的面积

三、物体的质心

四、物体的转动惯量

五、物体的引力

重积分的应用


一、立体体积


三、物体的质心



重积分的应用

第十章

139

一、立体体积

• 曲顶柱体的顶为连续曲面

则其体积为

D

xyxfV dd),(

• 占有空间有界域的立体的体积为

zyxV ddd


的顶为连续曲面

yd

的立体的体积为

140

所围立体的体积

例1. 求曲面

分析:

(示意图)


任一点的切平面与曲面

所围立体的体积 V .

第一步: 求切平面方程;

第二步: 求与S2的交线

在xOy面上的投影,

写出所围区域 D ;第三步: 求体积V .

141

所围立体的体积

解: 曲面 1S00 122 yyxxz

它与曲面的交线在

()( 02

0 yyxx

VD

00 122 yyxx

D

1 20 ()( xx

π

,cos0 yrxx 令

在点

D

rrr dd2

例1. 求曲面


任一点的切平面与曲面

所围立体的体积 V . 的切平面方程为

20

201 yx

的交线在 xOy 面上的投影为

1)2

yx dd 22 yx 20

20 yx

yx dd 20 )( yy

sin0 ry

2π

(记所围域为D )

π rr dd1

03π2

0 142

例2. 求半径为a 的球面与半顶角为

内接锥面所围成的立体的体积

解: 在球坐标系下空间立体所占区域为

:

则立体体积为

zyxV ddd

sincos3π16

03

3

a

cos20 ar 0

π20

π2

0d


Ox y

za2

的球面与半顶角为的

内接锥面所围成的立体的体积.

在球坐标系下空间立体所占区域为

cos2

02 d

arr

d )cos1(3

π4 43

a

0

dsin

rrv dddsind 2

M

143


设曲面S的方程为： (fz

D 其中 xOy是面上可求面积的平面有界区域，

上有连续在Dyxf ),( 的一阶偏导数，

A求曲面的面积？

),,2,1( niD i 分割

),,2,1( niSS i 分割

, 作此点的切平面ii SM

,iA上取一小块并在ii SA 的投影区域都是与使得


),,( yx ,),( Dyx

是面上可求面积的平面有界区域，

的一阶偏导数，

)

)

,作此点的切平面x

y

z

i

iS

iA

,i的投影区域都是144

那么在点

用切平面 iA代替小曲面片

1

n

iiSS

.lim 10||||

n

iiT

AS 故

:的面积下面计算 iA

面上的投影在为 xoyAii

,cos iii A

的法向量(指向朝上)与轴的夹角

i由于的直径很小，


,附近那么在点 iM

,iS代替小曲面片有时故当 , |||| T

,1

n

iiA

,面上的投影

z的法向量(指向朝上)与轴的夹角

x

y

z

i

iAiS

7

n

i

MiA

i

k

i145

1 22yxi ffA

n

iiT

AS10||||

lim 故T ||||

lim

D

yx dff 221

,cos iii A

若光滑曲面方程为 (gx

zyD目录上页下页返回结束

,1

1cos22yx

i ff

.i

n

iiyx ff

1

22

01lim

22

1D

z z dxdyx y

d

,),(,),( zyDzyzy 则有

146

zyA )(1

若光滑曲面方程为 (hy

若光滑曲面方程为隐式

z

xyz

FF

xz

,

AyxD

xzD

x

FFF 2


xzxy dd)() 22

,),(,),( xzDxzxz

则

则有

yxz

y DyxFF

),(,

z

zy

FFF 22

且

yx dd

147

例3. 计算双曲抛物面

解: 曲面在 xOy 面上投影为

zzAD yx1 2

yxD

1 22

rR

1d0

2π2

0

)1([π32 2

32 R

出的面积 A .


被柱面所截

面上投影为 ,: 222 RyxD 则

yxy dd2

yxdd

rr d2

])1

z

x

yO

148

例4. 计算半径为 a 的球的表面积

解:

设球面方程为 ar 球面面积元素为

ddsind 2aA

π

0

π2

02 sindaA

2π4 a

方法2 利用直角坐标方程

方法1 利用球坐标方程


的球的表面积.

d

dsin

sina

da

利用直角坐标方程. (略)

利用球坐标方程.

O

a

xy

zd

dsina

149

.36000 ,

6400

h km

R km

例设有一颗地球同步轨道通信卫星，距地面的高度为运行的角速度与地球自转的角速度相同，试计算该通信卫星的覆盖面积与地球表面积的比值。

（地球半径为）

解：通信卫星所覆盖的曲面即是上半球面被半顶角为的锥面所截的部分。


例设有一颗地球同步轨道通信卫星，距地面的高度为运行的角速度与地球自转的角速度相同，试计算该通信卫星的覆盖面积与地球表面积的比值。

解：通信卫星所覆盖的曲面即是上半球面被半顶角为的锥面所截的部分。

150

,(uxx 由设空间曲面 S

其中 ,( ux ,),( 表示Dvu

上具有连续的一阶偏导面积的有界区域D

),(),(,

),(),(,

),(),(

中至少一个不为零vuxz

vuzy

vuyx

的面积为S D

EGS

.

, :222

222

vvv

uuu

zyxG

FzyxE

其中


),,(),,(),, vuzzvuyyv

在可求),(),,(),, vuzvuyv

,数上具有连续的一阶偏导且

,中至少一个不为零则曲面

,2 dudvFEG

,vuvuvu zzyyxx

曲面的第一基本量

151

三、物体的质心(重心)设空间有n个质点,

,),,2,1( nkmk 由力学知

,

1

1

n

kk

n

kkk

m

mxx y

设物体占有空间域 , 有连续密度函数

公式 ,

分别位于

为

为

即:采用“分割, 代替, 近似和, 取极限”


),),,( kkk zyx 其质量分别

由力学知, 该质点系的质心坐标

,

1

1

n

kk

n

kkk

m

my

n

kk

n

kkk

m

mzz

1

1

有连续密度函数则

分别位于

取极限”可导出其质心

152

将分成 n 小块,

将第 k 块看作质量集中于点

n

kkk

n

kkk

x

1

1

,(

,(

令各小区域的最大直径

zyx

zyxxx

,,(

,,(

系的质心坐标就近似该物体的质心坐标

在第 k


块看作质量集中于点

例如,

kk

kkk

v

v

),

),

,0

zyxz

zyxz

ddd)

ddd)

系的质心坐标就近似该物体的质心坐标.

的质点,

即得

此质点

k 块上任取一点

153

同理可得

x

xyy

,(

(

x

xzz

,(

(

,),,( 常数时当 zyx 则得

,ddd

V

zyxxx

y

V

zyxzz

ddd

V


zyxzy

zyxzyx

ddd),,

ddd),,

zyxzy

zyxzyx

ddd),,

ddd),,

则得形心坐标：

,ddd

V

zyxy

的体积为 zyx ddd

154

若物体为占有xOy 面上区域

yxyx

yxyxxx

D

D

dd),(

dd),(

yxyx

xyxyy

D

D

dd),(

dd),(

,常数时

,dd

A

yxxx D y

得D 的形心坐标

则它的质心坐标为


面上区域 D 的平面薄片,

y

y

yd

A

yxyD dd

( A 为D 的面积)

形心坐标:

则它的质心坐标为

MM y

MM x

其面密度

xM

yM

— 对 x 轴的静矩

— 对 y 轴的静矩

155

例5. 求位于两圆

的质心.

解: 利用对称性可知 0x

而 D

yxyA

y dd1

D

rr ddsinπ3

1 2

sin4

sin2

dsin2π9

56 2π

04

π

0dsin

π31


4

和

2 D

0

d

rr dsin

sin2

dsin

π956 π

04

2π9

5637

之间均匀薄片

43

21

2π

O

y

x

C

156

zz

例6. 一个炼钢炉为旋转体形

的方程为

内储有高为 h 的均质钢液,

解: 利用对称性可知质心在

,0 yx

采用柱坐标, 则炉壁方程为

zyxV ddd h

zd0

自重, 求它的质心.不计炉体的

其坐标为


V

zyxz ddd

一个炼钢炉为旋转体形, 剖面壁线

利用对称性可知质心在 z 轴上，

则炉壁方程为 ,)3(9 22 zzr

h

zzz0

2d)3(9

zDyxdd

因此

故O x

z若炉

不计炉体的

157

d ddz x y z

233(

93 hh

5409043060

hhhz

412

29(

93 hhV


)51 2h

2

2

54

hh

)2h

O x

z

158


设物体占有空间区域 , 有连续分布的密度函数

.),,( zyx 该物体位于(x , y ,

yx ()( 22

因此物体对 z 轴的转动惯量

xyxI z ()( 22

zId对 z 轴的转动惯量为

因质点系的转动惯量等于各质点的转动惯量之和

连续体的转动惯量可用积分计算

A l J mr质点对于轴的转动惯量

, .A r A l质点的质量为与轴的距离


有连续分布的密度函数

, z) 处的微元

vzyx d),,(的转动惯量:

zyxzyx ddd),,

Ox

y

z

因质点系的转动惯量等于各质点的转动惯量之和, 故连续体的转动惯量可用积分计算.

2 ,A l J mr质点对于轴的转动惯量 m其中为

, .A r A l质点的质量为与轴的距离

159

类似可得:

I x

IO

)( 22 zy

)( 22 zx

( 22 yx

对 x 轴的转动惯量

对 y 轴的转动惯量

对原点的转动惯量

对坐标平面的转动惯量分别为

2

V

( , , )xyI z x y z dxdydz 2

V

( , , )zxI y x y z dxdydz 目录上页下页返回结束

zyxzyx ddd),,(

zyxzyx ddd),,( )2z

转动惯量分别为:

I z x y z dxdydz 2

V

( , , )yzI x x y z dxdydz

I y x y z dxdydz160

如果物体是平面薄片, 面密度为

DOI

则转动惯量的表达式是二重积分

2y

2x

)( 22 yx


密度为 Dyxyx ),(),,(

yxyx dd),(

则转动惯量的表达式是二重积分.

x

D

y

O

161

ra

ddsin0

3π

02

例7.求半径为 a 的均匀半圆薄片对其直径

解: 建立坐标系如图,

:D

yxyIDx dd2

2

41 aM

半圆薄片的质量 M

的转动惯量.


rd

的均匀半圆薄片对其直径

0

222

yayx

D rr ddsin23

2π21 a

O x

y

Da a

162

cossin( 22

r

解: 取球心为原点, z 轴为

则

yxyx dd)( 22

1322

π2

0d dsin

π

03

例8.求密度为的均匀球体对于过球心的一条轴

域为

转动惯量.


)sinsincos 2222 r

l 轴,则

zyd

dddsin2 rr

球体的质量

3π34 aM

rra

d0

4

均匀球体对于过球心的一条轴 l 的

设球所占

(用球坐标)

l

O

z

xy

163

02

0 )()( yyxxr


设物体占有空间区域,

物体对位于点P0(x0, y0, z0)处的单位质量质点的引力为

rzyxGFy

(),,(d 3

rzyxGFz

(),,(d 3

引力元素在三坐标轴上分量为),,,( zyx FFFF

其中


20

2 )() zz ,G 为引力常数

处的单位质量质点的引力为

vyy d)( 0

vzz d)( 0

其密度函数

引力元素在三坐标轴上分量为

rz

x

vd

y

Fd

0PO

164

yxGFx

,,(

yxGFy

,,(

ryxGFz

,,(

若求 xOy 面上的平面薄片D

的引力分量,

),( yx z GF

因此引力分量为

则上式改为D上的二重积分

即可. 例如,

其中: 20 ()( yxxr


vr

xxz d)()3

0

vr

yyz d)()3

0

vr

zzz d)()3

0

D, 对点P0处的单位质量质点

D rzyx d)0(),(

30

上的二重积分, 密度函数改为

20

20 )() zzy

165

例9. 设面密度为μ ,半径为

求它对位于点

解: 由对称性知引力

zFd aG

D

z aGF

aG

处的单位质量质点的引力.

2d

dG

da

R

0π2

0

d

0(F

222 )(

d

ayx

22(

d

ar

rr


x

y

z

RO

半径为R的圆形薄片

d

a 0M。

),0,0 zF

23222 )(

d

ayx

23

)

232 )

r

166

例10. 求半径为R的均匀球

的单位质量质点的引力

解: 利用对称性知引力分量

zF

R

R

zazG d)(

azyx

azG([ 22

R

R

zazG d)(

π2

0 0

2

dR

点

zD yx2[


R

x y

z

O

的均匀球对位于

的单位质量质点的引力.利用对称性知引力分量 0 yx FF

va

d]) 2

32

2322

2

])([

dz

azr

rr

azy

yx2

322 ])(

dd

0Ma

zD

167

R

R

az )(

zF

Gπ2

1

za

π2

0

d

R

R

zazG d)(

Gπ2

R

R

za

(1

2aMG

R2

M

3

222 2 23RG R Ra


zd

22 21

azaR

0 2322

22

])([

ddzR

azr

rr

a) 22 2d aazR

3

π4 3RM 为球的质量

168

1. 能用重积分解决的实际问题的

所求量是对区域具有可加性

—— 用微元分析法 (元素法

分布在有界闭域上的整体量

3. 解题要点:

画出积分域、选择坐标系、确定积分序、

定出积分限、计算要简便

2. 用重积分解决问题的方法


能用重积分解决的实际问题的特点:

对区域具有可加性

元素法)建立积分式

分布在有界闭域上的整体量

画出积分域、选择坐标系、确定积分序、

定出积分限、计算要简便

方法:

169

作业

P177 2，3，6, 8, 9

11, 13 , 14


作业(4-23)

6, 8, 9 (2),

11, 13 , 14

习题课

170

)(th ( t 为时间

侧面满足方程(2)( xthz

时间单位为小时,

设有一高度为

已知体积减少的速率与侧面积成正比

(比例系数 0.9 ), 问高度为130 cm

多少小时? (2001考研)

备用题


为时间) 的雪堆在融化过程中,其

,)(

)22

thy

设长度单位为厘米,

已知体积减少的速率与侧面积成正比

130 cm 的雪堆全部融化需要

yx

z

O

171

提示:记雪堆体积为 V, 侧面积为

V zD

yx dd)(

0d

thz

)(

02

21 ])()([π

thzthth

S

0D )(

)(162

221

thyx

)(

π2th rth 16)( 22

02)(th

xd


)()(2 22

)( thyxthz

侧面方程:

yx

z

O

侧面积为 S ,则

)(: 22122

0 thyxD

])()([: 22122 zththyxDz

d] z

rrd2

)(4π 3 th

yd (用极坐标)

)(12

π13 2 th

172

12π13 hS ,)(

4π 3 thV

由题意知

令 ,0)( th 得 (h)100t

因此高度为130厘米的雪堆全部融化所需的时间为

100小时.


)(2 th

厘米的雪堆全部融化所需的时间为

173

*第五节

一、被积函数含参变量的积分

二、积分限含参变量的积分

含参变量的积分




含参变量的积分

第十章

174


[),( Ryxf 是矩形域设

则积分

yyxf d),( 确定了一个定义在

记作

xfx ,()(

x称为参变量, 上式称为含参变量的积分

含参积分的性质

定理1.(连续性) ),( yxf若

上连续,则由①确定的含参积分在

— 连续性



],[],[ ba 上的连续函数,

确定了一个定义在[a, b]上的函数,

yy d),

上式称为含参变量的积分.

],[],[ baR在矩形域

确定的含参积分在[a, b]上连续.

连续性, 可积性, 可微性 :

①

175

证: ),( yxf由于在闭区域

,0任给 ,0存在 R内任意两点对

只要 21 , yxx

就有 (),( 211 xfyxf

,0, 任给因此 0存在

)()( xxx

yxxf ),(

这说明 .],[)( 上连续在 bax


在闭区域R上连续, 所以一致连续, 即,),(,),( 2211 yxyx内任意两点

21 yy

), 22 y

,0 ,时当 x 就有

yyxfyxxf d)],(),([

yyxf d),()

176

定理1 表明,定义在闭矩形域上的连续函数

算与积分运算的顺序是可交换的

yyxf

xxd),(lim

0

同理可证, 在矩形域若 ),( yxf

续,

b

axfy ,()(

则含参变量的积分

.],[ 上连续也在

由连续性定理易得下述可积性定理


闭矩形域上的连续函数, 其极限运

算与积分运算的顺序是可交换的. ,],[0 bax 即对任意

yyxf

xxd),(lim

0

上连在矩形域 ],[],[ baR

xy d),

由连续性定理易得下述可积性定理:

177

定理2. (可积性) ),( yxf若

上连续,

yxfx ),()(则

同样, b

axyxfy d),()(

推论: 在定理2 的条件下,

即


],[],[) baR在矩形域

yd) 且上可积在 ,],[ ba

D

yxyxf dd),(

x 且上可积在 ,],[

D

yxyxf dd),(

, 累次积分可交换求积顺序,

178

定理3. (可微性) ),( yxf若

],[],[ 上连续矩形域 baR

且上可微在 ,],[ ba

yxf

xx d),(

dd)(

证: 令 d),()(

yxfxg x

函数, ,],[ 时故当 bax

x

axxg d)( f x

x

a

x

a x


),() yxf x及其偏导数都在

,上连续

yyxfx d),()(则

yd

yyxf x d),(

,d y 上的连续是则 ],[)( baxg

xyyx dd),(

yxyxfx dd),(179

f

)()( ax 因上式左边的变上限积分可导

)()( xgx

x

axxg d)(

f

此定理说明, 被积函数及其偏导数在闭矩形域上连续

时, 求导与求积运算是可以交换顺序的


yyafyxf d),(),(

)因上式左边的变上限积分可导, 因此右边，可微)(x 且有

yyxf x d),(

被积函数及其偏导数在闭矩形域上连续

求导与求积运算是可以交换顺序的 .

180

例1. (dln

1

0x

xxxIab 求

解:

yxb

ay d

由被积函数的特点想到积分y

xx

ln

yxxIb

ay dd

1

0

xxy yb

add

1

0

yy

b

ad

11

ln

ab


.)0( ba

由被积函数的特点想到积分:

a

b

xxx ab

ln

yyxb

a

yd

1 0

11

11

ab

)],[]1,0[( 上连续在 bax y

181

例2. .d1

)1ln(1

0 2 xxxI

求

解: 考虑含参变量 t的积分所确定的函数

11ln()(

1

0 2xxt

t

显然, 1,0[]1,0[1

)1ln(2 在

xxt

由于xxt

1)(1()(

1

0 2

xx

t 111 1

02


的积分所确定的函数

.d) x

,]1 上连续 ,)1(,0)0( I

xxt

d)

xxt

txt

xx d

11 22

182

)1ln(21

11 2

2 xt

4π2ln

21

11

2 tt

)0()1( I1

11

0

0

1arctan2ln

21 t ln(

8π

I 2ln4π

故

2ln8π

I因此得


)1ln(arctan xtxt 01

)1ln( t

tttt

d)1ln(4π2ln

211

2

0

12 )1ln( t t

tt d

1)1ln(1

0 2

183


在实际问题中, 常遇到积分限含参变量的情形

),( yxf设为定义在区域

bxa

上的连续函数,

)( yx

则

也是参变量 x的函数 ,

)(

)(,()(

x

xyxfx

:D

其定义域为

利用前面的定理可推出这种含参积分的性质



常遇到积分限含参变量的情形, 例如,

)(x

ba)(xy

)(xy

D

d) yy

其定义域为 [ a , b ] .

利用前面的定理可推出这种含参积分的性质.

x

y

O

184

定理4.(连续性) 在区域若 ),( yxf)(),{(: yxyxD

上连续, [)(),( 为其中 axx

)(

)(()(

x

xxfx

.],[ 上连续在 ba证: 令 )([)( xtxy

1

0,()( xfx

由于被积函数在矩形域 ,[ ba

上述积分确定的函数 )( 在x


在区域

}),( bxax

,], 上的连续函数ba 则函数

d), yyx

,]1,0[,)]( tx 则

)

]1,0[]b 上连续, 由定理1知,

.],[ 上连续在 ba185

定理5. (可微性) ),( yxf若

],[],[ 上连续矩形域 dcbaR

上],[ ba

)(

)(()(

x

xxfx

且，上可微在 ],[ ba

中的可微函数

)(

)(,()(

x

x x yxfx

证: )( 看作复合函数把 x

),,()( xHx (

f

],[ dc其值域含于


),() yxf x及其偏导数都在

,上连续为定义在)(),( xx

d), yyx

中的可微函数, 则

d) yy )())(,( xxxf

)())(,( xxxf ,看作复合函数令

,d), yyx )(),( xx 186

利用复合函数求导法则及变限积分求导

),,()( xHx (

f

()( xHxHx

)(

)(),(

x

x x yxf


利用复合函数求导法则及变限积分求导, 得

,d), yyx )(),( xx

)() xHx

d y )())(,( xxxf

)())(,( xxxf

187

例3. dsin)(2

yxyx

x

x 设

解: )(x yyxx

xdcos

2

x

x

xyx 2sin

xx3 sin2sin3


).(,d xy 求

xxx 2sin2

3 1sin 2

xx

xx3sin2

xx2sin

x2sin

188

例4. 0)( 的某邻域内连续在设 xxf分小时, 函数

xx

nx

0(

!)1(1)(

的 n阶导数存在, 且 )()( xn

证: 令 )(),( 1 ftxtxF n

在原点的某个闭矩形邻域内连续

xn

nx

0)(1(

!)1(1)(


,的某邻域内连续充验证当 x

n ttft 1 d)()

.)() xf

,)(tf ),(),(, txFtxF x及显然

在原点的某个闭矩形邻域内连续, 由定理5 可得

n ttftx 2 d)())(

)()(!)1(

1 1 xfxxn

n

189

xx

nx

0(

!)2(1)(即

同理 (!)3(

1)(0

xx

nx

xn ttfx0

)1( d)()(

)()()( xfxn 于是


n ttft 2 d)()

,d)() 3 n ttft

t

190

作业(4P184 1(2);

4 (2) ;

arctan 1: .注


(4-25)2 (2), (4) ;

(2) ; 5 (1)

1

2 20

arctan 1: .1

x dyx x y

注

191

习题课

一、重积分计算的基本方法

二、重积分计算的基本技巧

三、重积分的应用

重积分的计算


重积分计算的基本方法



第十章

计算及应用

192


1. 选择合适的坐标系

使积分域多为坐标面(线被积函数用此坐标表示简洁或变量分离

2. 选择易计算的积分序

积分域分块要少, 累次积分易算为妙

图示法

列不等式法(从内到外

3. 掌握确定积分限的方法

练习 P185 2 (3)



线)围成;被积函数用此坐标表示简洁或变量分离.

累次积分易算为妙 .

从内到外: 面、线、点)

掌握确定积分限的方法

— 累次积分法

; 8 ; 9 (1), (3)193

2 (3). 计算二重积分

其中D 为圆周所围成的闭区域

提示: 利用极坐标

原式

2

033 )sin1(

32

R

:Dcos0 Rr

2π

2π

P185

解答提示:



cosRr

d)

y

D R xO

cos

194

8. 把积分

其中由曲面

提示: 积分域为

:

原式 22

0

,(yx

yxf1

2

dx

y

1

1

dx

所围成的闭区域 .

P186


化为三次积分,

d), zzy

及平面

O 1

195

9 (1) .计算积分

( R > 0 )的公共部分.

提示: 由于被积函数缺 x ,

原式 = zD

x1

dd

zzRzR

2(π20

2

利用“先二后一”计算方便

zzR

d20

2

5π48059 R

P186


zD1

zD 2

其中是两个球

, y ,

yd

zz d)2

计算方便 .

zD

yx2

ddzzR

R d2

2

zzRzR

R d)(π2

222

Rz

yx

2R

O

196

9 (3).计算三重积分

xOy平面上曲线


提示: 利用柱坐标rzryxx

原式

绕

5221 xr

100 rπ20

rr d10

03

π2

0d

:

P186

5x


z

xy

O

其中是由

sincos

x

5

2

2 dr

x

x 轴旋转而成的曲面与平面

π3

250

5

197


1. 交换积分顺序的方法

2. 利用对称性或质心公式简化计算

3. 消去被积函数绝对值符号

练习题

*5. 利用重积分换元公式

P185 2 , 5 , 9 (2)

答案提示: (见下页)

4. 利用扩展积分域进行计算



分块积分法

利用对称性

利用对称性或质心公式简化计算

消去被积函数绝对值符号

(2), 12

利用扩展积分域进行计算

198

2(1). 设由

,0,2222 yxRzyx

提示:

21

4d)(

yvyB

1

4d)(

vzyxD

右边为正 , 显然不对

利用对称性可知 , (


1

R

xy

z

O

确定 , 由

0,0 z 所确定 , 则 C

dvy

2d

vzyx

显然不对 , 故选 ( C ), (A), (B), (D) 左边为 0 ,

上半球

第一卦限部分

2

199

2(2). 则

yxyxD

sincos(

yxyxAD

ddsincos2)(1

yxyxC

D)sincos(4)(

1

提示: 如图 , 21 DDD

由对称性知

在上是关于

在上是关于

),{( xayxD },,0 ayxax


D 2D3D

4D

yxy dd)

yxyxBD

dd2)(1

yxdd)

1D43 DD

上是关于 y 的奇函数

上是关于 x 的偶函数

A

},, ayxa ),{(1 yxD

x

y a

aa O

200

y xamaxxfy

0)(

0d)(ed

证明:

提示: 左端积分区域如图,

交换积分顺序即可证得

P186 5.

9(2). ln(2

2

xxz

求

1222 zyx 所围成的闭区域

提示: 被积函数在对称域

对称性可知原式为

由球面

P186


a xam xxfxax0

)( d)(e)(

,D xy

a交换积分顺序即可证得.

,d1

)122

22v

zyzy

其中是


被积函数在对称域上关于 z 为奇函数 , 利用

对称性可知原式为 0.

y

xO

201

12. 在均匀的半径为R的圆形薄片的直径上

个一边与直径等长的同样材料的均匀矩形薄片

的另一边长度应为多少?

提示: 建立坐标系如图.由已知可知

D

yxy dd0 dR

R

2332 bRR

由此解得 Rb32

薄片的重心恰好落在圆心上


R

的圆形薄片的直径上 , 要接上一

个一边与直径等长的同样材料的均匀矩形薄片, 使整个

22 xRy

,0y由已知可知

22

ddxR

byyx

问接上去的均匀矩形薄片

即有

薄片的重心恰好落在圆心上 ,

?bb

R

y

xO D

202

例1. 计算二重积分 ID

(1) D为圆域

(2) D由直线

解: (1) 利用对称性.

yxxID

dd2

d)(21 22 xyx

D

1

03π2

0dd

21 rr


,dd)e(222 yxyxx yx

D 其中:

0d yx

4π

yxyxD

yx dde22

围成 .

y

x1D

O

203

D1

(2) 积分域如图:

yxD

yxe2

2

0dd1

1

12

xyxx

添加辅助线

利用对称性 , 得

I


y

1

x1O

yxyx yx dde22

1D2D

xy

xy

,xy 将D 分为 ,, 21 DD

yxy dd2

0

添加辅助线

yxyxx yxD

dd)e(222

204

例2. 计算二重积分

解:

2)1( x其形心坐标为:

面积为:

D

yxxI dd5

9]23)1(5[ A

D

3

积分区域

线

x

AyAx 35


其中D 是由曲

所围成的平面域 .

22 3)2( y

π9

yxy dd

形心坐标

2,1 y

D

yxxA

x dd1

D

yxyA

y dd1

205

例3. 计算二重积分

d)sgn()1( 2 xxyID

2()2( 22 yxID

在第一象限部分

解: (1) 2xy

21, DD 两部分, 则

1

ddD

yxI

11

1 2 ddx

yx

2d

D

1

1

把作辅助线


1

1

1 x

y

O

,dyx

,dd)22 yxxy

在第一象限部分.

32

2Ddd yx

2

01dd

xyx

;1011: yxD ，

其中D 为圆域

把D 分成1D

206

(2) 提示:

21 , DD 两部分

yxyxD

dd)(22

说明: 若不用对称性, 需分块积分以去掉绝对值符号

xy 作辅助线将D

xyyxID

2( 22

2π)12(

32


x1

y1

O

xy 1D

需分块积分以去掉绝对值符号.

2DD 分成

D yxdd2

yxxy dd)2

207

例4. 求抛物线

所围区域 D 的面积

解:如图所示 \ 12 DDD

12dd

DDA

y

yx

122 d

34dy

1

2dy

4

312 3

312

21

yyy

d),( 时计算 D yxf 注:

则也可利用上述方法简化计算上可积 ,


的面积A . xy 2

3

24

,1

y

yx

22 d

1D 2D D

2

12 3

312

21

yyy

3252

,时 1),( Dyxf 可扩展到若

则也可利用上述方法简化计算.

1

y

xO

208

例5. 交换积分顺序计算 I x y x y

yxID

y dde1 D

ye2

1 3 2

0d e d

y y

yy x

1

03 (1 )e dyy y

)2e(3

解. 积分域如图.


321 3

0 0 1 0d e d d e d

xx y yI x y x y

yxy dd

1

xy )3(

21 xy

1D 2D3 x

y

O

209

例6.

)(tF

解: 在球坐标系下

t

rrf0

2 d)(π4

40 π)(lim

ttF

t

利用洛必达法则与导数定义

30 π4)(π4lim

ttf

t

0)0( F

xftzyx

(2222

2

其中


，求 )(π1lim 40

tFtt

rd

利用洛必达法则与导数定义,得

3

2) tt

tft

)(lim0

)0(f

zyxzy ddd)22

0)0(f

210


1. 几何方面

面积 ( 平面域或曲面域

质量, 转动惯量, 质心,

证明某些结论等

2. 物理方面

3. 其它方面


平面域或曲面域 ) , 体积 , 形心

, 引力

211

例7.

证:左端 fxxfb

a

b

a(d)(

yfxfD

d)()(

fxfD

)([ 221

xfabb

a)()( 2

= yxxfD

dd)(2


证明

yy d)(

yxdd

222 vuuv 利用

yxyf dd)](2

xd

byabxa

D :

= 右端

y

212

例8. 设函数 f (x) 连续且恒大于零

)(

)(2

(

()(

tD

t

xf

xftF

t

t

tD

xf

xftG

(

()(

2

)(2

其中 ),,{()( 2xzyxt

),{()( 2 yxyxtD

(1) 讨论 F( t ) 在区间 ( 0, +∞)

(2) 证明 t > 0 时, π2)(tF


连续且恒大于零,

22

22

d)

d)

yx

vzy

x

y

d)

d)

2

2

},222 tzy

}.22 ty

( 0, +∞) 内的单调性;

.)(π2 tG (2003考研)

z

yt)(t

x

)(tD

O

213

解: (1) 因为

t

t

rf

ftF

02π2

0

0π0

π20

)(d

dsind)(

两边对 t 求导, 得

0

02

(

()(2)(

t

t

rf

ftfttF

,0( 在

),0()( 单调增加上在故 tF

f (x) 恒大于零,


rr

rrrf 22

d)

d)(

t

t

rrrf

rrrf

02

022

d)(

d)(2

22

2

d)

d)()(

rrr

rrtrr

,0)() tF上

.单调增加214

(2) 问题转化为证

t

t

rf

ftG

02

0

π2

0

(2

(d)(

即证 (d)(00

22 tt

frrrf)(tg

()()(0

2 t

rftftg

,),0()( 单调增在故 tg 又因

()0()( gtg 0

因此 t > 0 时, )(π2)( tGtF

因


r

rrr

2

2

d)

d)(

t

t

rrf

rrrf

02

02

d)(

d)(

0d)(d)( 20

22 t

rrrfrr

0d))( 22 rrtr

,0)( 连续在又因 ttg 故有

)0( t

.0215

利用“先二后一”计算.

zyxV ddd 20

c

zczba

0 2

2d)1(π

例9. 试计算椭球体

解法1


利用“先二后一”计

zD

cyxz ddd

0

abcπ34

的体积 V.

216

*解法2 利用三重积分换元法

,cossin rbyrax 则

),,(),,(

rzyxJ

sin2rcba

zyxV ddd

abc

rabc dsin2

π

0sin

π2

0d


利用三重积分换元法.

cos,sinsin rczr

,sin :

rJ ddd

cbaπ34

rddd

rr d1

02d

π20π010

r

令

217


218

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