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Álgebra Linear CEFET-MG Campus IV Araxá prof. S. Pithan 1
01 - SISTEMAS LINEARES
Muitos problemas na engenharia recaem na solução de sistemas lineares. A solução destes sistemas pode ser muito simplificada com a utilização de álgebra matricial. Um sistema linear é formado por um conjunto de equações lineares representado por:
( )1 -Linear Sistema
reais constantes
2211
22222121
11212111
iij
mnmnmm
nn
nn
bea
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
=+++
=+++
=+++
L
MMM
L
L
Resolvendo os exemplos pelo método da eliminação de incógnitas (escalonamento).
Exemplo 1.1:
única. solução teme econsistent é sistema O
1
3
1
2200
740
432
ª3ª3ª2)1(
520
740
432
ª3ª3ª1)2(
ª2ª2ª1)1(
13452
113
432
=
=
=
⇒
−=−+
=++
=−++
→+×−
=++
=++
=−+
⇒→+×−
→+×−
=−+
=++
=−+
x
y
z
zyx
zyx
zyx
LLL
zyx
zyx
zyx
LLL
LLL
zyx
zyx
zyx
Exemplo 1.2:
z. para valor umatribuir bastando
soluções infinitas teme econsistent é sistema O
1011
74
0000
740
432
ª3ª3ª1)5(
ª2ª2ª1)1(
2015105
113
432
=
−=
+−=
⇒
=++
=++
=−+
⇒→+×−
→+×−
=−+
=++
=−+
zz
zx
zy
zyx
zyx
zyx
LLL
LLL
zyx
zyx
zyx
Exemplo 1.3:
solução. temnão seja,ou nte,inconsiste é sistema O
5000
740
432
ª3ª3ª1)5(
ª2ª2ª1)1(
1515105
113
432
−=++
=++
=−+
⇒→+×−
→+×−
=−+
=++
=−+
zyx
zyx
zyx
LLL
LLL
zyx
zyx
zyx
Exemplo 1.4: Na síntese de três produtos (X, Y, Z), são consumidos dois insumos (A, B), para cada X são utilizados 1A e 2B, para cada Y são utilizados 1A e 1B, para cada Z são utilizados 1A e 4B. O preço em reais de venda de cada produto X, Y e Z é respectivamente R$2, 00, R$3,00 e R$5,00.
Álgebra Linear 2
Sabendo que foram gastos 1000 unidades de A e 2000 unidades de B e a venda de toda produção de X, Y e Z totalizou R$2500,00. Qual foi a percentagem de venda de cada produto?
2500532Pr
2000412
1000111)()()(
zyxeço
zyxB
zyxA
Totaisunidades
Z
unidades
Y
unidades
X
==
==
==
⇒
=++
=−+
=++
→+×−
=++
=−+
=++
→−×
→+×−
=++
=++
=++
%70700
%20200
%10100
500500
020
1000
ª3ª3ª2)1(
50030
020
1000
ª3ª3ª12(
ª2ª2ª12(
2500532
200042
1000
x
y
z
z
zy
zyx
LLL
zy
zy
zyx
LLL
LLL
zyx
zyx
zyx
MATRIZES
A representação matricial simplifica a escrita dos sistemas, já que no método da eliminação,
somente os coeficientes são manipulados através de combinações lineares. Recordando as propriedades e operações com matrizes.
( )
( )
=
=
=
=
⇔=⇔
=
=
=
=
=
2222
2121
1212
1111
2221
1211
2221
1211
232221
131211
232221
131211
232221
131211
:2
matriz uma de çõesRepresenta1
ba
ba
ba
ba
babb
bb
aa
aa
BA
BAsematrizesdeIgualdade
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaaA
A
ijij
( )
+=+⇔
=⇔
==
1:
:Pr
ºº:3
21
22221
11211
njiaSecundáriaDiagonal
jiaincipalDiagonal
aaa
aaa
aaa
ncolunasdeNlinhasdeNnordemdeQuadradaMatriz
ji
ji
nnnn
n
n
L
MMMM
L
L
( )
=⇒=
=⇔≠
=⇔=
100
010
001
30
1
:4
3InParaaji
aji
IIdentidadeMatriz
ji
ji
3
=
=
2212
2111
2221
1211
:colunas pelas linhas às se- trocaTransposta Matriz (5)
aa
aaAentão
aa
aaAe T
++
++=
+
=+
22222121
12121111
2221
1211
2221
1211
:matrizes de Adição (6)
baba
baba
bb
bb
aa
aaBA
BAABGeralmente
babababa
babababa
bb
bb
aa
aaAB
≠
++
++=
=
2222122121221121
2212121121121111
2221
1211
2221
1211
....
.....
matriz. segunda da linhas de Nº. ao igualfor
matriz 1ª da colunas de Nº. o se possível é só matrizes de çãoMultiplica (8)
Reescrevendo o sistema linear-1 como produto de matrizes ou equação matricial:
sistema. do resolução a para lfundamenta aumentada, matriz a temos e Justapondo
entrada. de vetor o é e saída deou vetor matriz a é es,coeficient dos matriz a é
2
1
4
2
1
21
22221
11211
BA
XBA
b
b
b
x
x
x
aaa
aaa
aaa
BXA
mmnmm
n
n
=
×
=×
MM
L
MM
L
L
Numa aplicação prática a matriz A descreve matematicamente o processo, ou seja, a matriz é o modelo matemático que representa o modelo físico.
=
mmnmm
n
n
b
b
b
aaa
aaa
aaa
aumentadaMatrizM
L
MM
L
L
2
1
21
22221
11211
onde vetor o é sistema do solução Uma 2
1
SX
s
s
s
S
m
=
=M
O conjunto solução ou solução geral é o conjunto de todas as matrizes S que satisfazem à
igualdade anterior Método de Gauss-Jordan aplicado a matriz aumentada consiste no escalonamento
(eliminação) utilizado nos sistemas lineares mais a obtenção de uns na diagonal principal e zeros também acima da diagonal principal.
=
=
2221
1211
2221
1211
.3.3
.3.333
:escalarpor matriz uma de çãoMultiplica (7)
aa
aa
aa
aaA
Álgebra Linear 4
Exemplo 1.5: Retomando o sistema linear do Exemplo 1.1
LLL
LLL
LLL
LLL
z
y
x
zyx
zyx
zyx
ª3ª3ª2).1(
ª1ª1ª2).2(
5210
7410
4321
ª3ª3ª1).2(
ª2ª2ª1).1(
13452
11131
4321
13
11
4
452
131
321
13452
113
432
→+−
→+−
−
⇒→+−
→+−
−
−
=
×
−
−
⇔
=−+
=++
=−+
=
=
=
⇒
→+−
→+
−−
⇒→−
−−
−−
1
3
1
1100
3010
1001
ª2ª2ª3).4(
ª1ª1ª3).11(
1100
7410
101101
ª3ª3).2/1(
2200
7410
101101
z
y
x
LLL
LLL
LL
Exemplo 1.6: Retomando o Exemplo 1.2
LLL
LLL
zyx
zyx
zyx
ª3ª3ª1)5(
ª2ª2ª1)1(
2015105
11131
4321
2015105
113
432
→+×−
→+×−
−
−
=−+
=++
=−+
soluções Infinitas
1011
74
0000
7410
101101
ª1ª1ª2).2(
0000
7410
4321
=
−=
+−=
⇒
−−
→+−
−
zz
zx
zy
LLL
5
Exemplo 1.7: Retomando o Exemplo 3
solução temNão
5000
7410
4321
ª3ª3ª1)5(
ª2ª2ª1)1(
1515105
11131
4321
−
−
→+×−
→+×−
−
−
LLL
LLL
Exemplo 1.8: Retomando o Exemplo 4
LLL
LLL
zyxeço
zyxB
zyxA
Totaisunidades
Z
unidades
Y
unidades
X
ª3ª3ª1).2(
ª2ª2ª1).2(
2500532
2000412
1000111
2500532Pr
2000412
1000111)()()(
→−
→+−
⇔
LLL
LLL
LL
LLL
LLL
ª2ª2ª3).2(
ª1ª1ª3).3(
100100
0210
1000301
ª3ª3).5/1(
500500
0210
1000301
ª3ª3ª2).1(
ª1ª1ª2).1(
500310
0210
1000111
→+
→+−
−
→
−
→+−
→+−
−
==
==
==
⇒
%10100
%20200
%70700
100100
200010
700001
z
y
x
Sistemas Homogêneos Sistemas onde os termos independentes (vetor de saída B) são iguais a zero.
=+++
=+++
=+++
0
0
0
2211
2222121
1212111
nmnmm
nn
nn
xaxaxa
xaxaxa
xaxaxa
L
MMM
L
L
Exemplo 1.9: Escrevendo na forma matricial 0=AX
=−+
=++
=−+
1515105
113
432
zyx
zyx
zyx
Álgebra Linear 6
anterior exemplo no como oescalonand
0532
0412
0111
O sistema tem somente a solução trivial e a matriz A é dita não singular.
Exercícios Propostos (1)
1.1)
=−
=+
443
82
yx
yx
(1.2)
=++
−=+−
−=+−
123
52
12432
zyx
zyx
zyx
(1.3)
=+−
=++
=++
4
8224
223
zyx
zyx
zyx
(1.4)
=+
=+
1033
5
yx
yx
(1.5)
−=++
=−−
−=++
8543
15432
12642
zyx
zyx
zyx
(1.6)
=++
=−+
2432
52
zyx
zyx
(1.7)
=−+
=−+
4283
124
zyx
zyx
(1.8)
=−+
=−+
3286
843
zyx
zyx
(1.9)
=++
=++
6622
123
zyx
zyx
(1.10)
=+
=−
=+
243
52
1
yx
yx
yx
(1.11)
=+
=−
=+
2723
32
1332
yx
yx
yx
(1.12)
=+
=+
=−
125
123
65
yx
yx
yx
(1.13)
−=+
−=+
−=+
53
852
43
yx
yx
yx
(1.14)
−=+−
−=+−
=−+
73
822
632
zyx
zyx
zyx
(1.15) Uma refinaria de petróleo processa dois tipos de petróleo: com alto teor de enxofre. Cada tonelada de petróleo com baixo teor exige 5 minutos na unidade de mistura e 4 minutos na refinação; cada tonelada de alto teor exige 4 minutos de mistura e 2 minutos de refinação. Se a unidade de mistura está disponível durante 3 horas, e a refinaria durante 2horas, quantas toneladas de cada tipo de óleo deveriam ser processadas para que as duas unidades sejam completamente utilizadas? (1.16) Um fabricante de plásticos produz dois tipos de plástico: o normal e o especial. Cada tonelada de plástico normal exige 2 horas na fábrica A e 5 horas na fábrica B; cada tonelada de
=
=
=
⇒
0
0
0
0100
0010
0001
z
y
x
7
plástico especial exige 2 horas na fábrica A e 3 horas na fábrica B. Se a fábrica A está disponível 8 horas por dia e a fábrica B está disponível 15 horas por dia,quantas toneladas de cada tipo de plástico deveriam ser produzidas diariamente de maneira que as duas fábricas se mantenham totalmente ocupadas? (1.17) Um nutricionista está preparando uma refeição que consiste nos elementos A, B e C. Cada grama do alimento A contém 2 unidades de proteína, 3 unidades de gordura e 4 unidades de carboidrato. Cada grama do alimento B contém 3 unidades de proteína, 2 unidades de gordura e 1 unidade de carboidrato. Cada unidade do alimento do alimento C contém 3 unidades de proteína, 3 unidades de gordura e 2 unidades de carboidratos. Se a refeição deve fornecer exatamente 25 unidades de proteína, 24 unidades de gordura e 21 unidades de carboidrato, quantos gramas de cada tipo de alimento deveriam ser usados? (1.18) Um fabricante produz reveladores de filmes para 2 minutos, 6 minutos e 9 minutos. Cada tonelada de revelador de 2 minutos exige 6 minutos na máquina A e 24 minutos na máquina B. Cada tonelada de revelador de 6 minutos exige 12 minutos na máquina A e 12 minutos na máquina B. Cada tonelada de revelador de 9 minutos exige 12 minutos na máquina A e 12 minutos na máquina B. Se a máquina A está disponível 10 horas por dia e a máquina B está disponível 16 horas por dia, quantas toneladas de cada tipo de revelador podem ser produzidas de maneira que as máquinas sejam totalmente utilizadas? (1.19) Dadas às matrizes resolver as operações usando as propriedades matriciais
.23
14,
42
53,
23
21
=
−=
−= CBA
(a) Calcule 2A + BC, se possível.
(b) Calcule 22 32 IAA +− se possível.
(c) Calcule CBA TT + se possível.
(1.20) (a) Se A e B são matrizes n x n, quando é que ( )( ) 22 BABABA −=−+ ? (b) Sejam A, B e C matrizes n x n tais que AC = CA e BC = CB. Verifique que (AB)C = C(AB). (1.21) (a) Escreva a matriz aumentada do sistema linear
72 4321 =+−+ xxxx 822 421 −=+− xxx
(b) Escreva o sistema linear cuja matriz aumentada é
.
623
215
423
−
(1.22) Dada a matriz A, achar uma matriz C em forma escalonada reduzida por linhas que seja equivalente por linhas a A.
−−
−−
−
1813
8174
2312
5231
, (1.23) Achar todas as soluções dos sistemas lineares
Álgebra Linear 8
( ) ( )
=+++
=+
=+
=++
=++
=++
=++
5.- 3w z 3y 3x -
2- z 3y -
4 2w z-y -2x
3 w z -y x
3. 2z y x
2 z y 2x
5 zy x
ba
(1.24) Ache todos os valores de a para os quais o sistema resultante (a) não tem solução, (b) tem solução única e (c) tem infinitas soluções.
(1.25) Ache uma equação relacionando 321 ,, bbb de maneira que o sistema linear com matriz aumentada tenha solução.
−
−−
−
3
2
1
514
112
211
b
b
b
(1.26) Dada a matriz A
400
240
135
e 4=λ , ache todas as soluções do sistema homogêneo ( ) .03 =− XAIλ (1.27) Para que valores de a o sistema linear é consistente?
243
332
321
321
231
−=++
−=++
=+
xxx
axxx
axx
=++
=+−
=−+
a. 10)z - (a² y x
4 3z y x
3 z y x
9
02 - INVERSÃO DE MATRIZES
Em muitas aplicações nas ciências, engenharia, indústria ou análise de sistemas, conhecendo-se a matriz A do processo e variando a saída B é necessário determinar a entrada X, ou seja, resolver BAX = . Sendo A não singular tem-se: BAX 1−=
Uma matriz quadrada A n x n é inversível ou não singular se e somente se existir a matriz
1−A n x n tal que:
nIAAAA == −− 11
Caso a matriz não satisfaça a relação anterior, a matriz é singular ou não inversível. Exemplo 2.1: Determinar a inversa da matriz A usando à definição de matriz inversa
−−=
=−=
−==
=−−=−−
=+=−
⇒
=
−−−−
+−⇒
=
−−⇒=
−
−
3/13/2
3/23/1
3/13/1
3/23/2
1202
0212
10
01
22
22
10
01
12
21
1
21
Ada
bc
dbca
dbca
dbca
dbca
dc
baIAA
A determinação da inversa pela definição é mais complexa do que pelo método prático
ilustrado no exemplo abaixo.
Exemplo 2.2: Justapor as matrizes A e identidade. Obtendo a forma escalonada reduzida da matriz A, a matriz resultante da identidade é a inversa de A (quando existir).
LL
LLL
LLL
LLL
LLLA
ª3ª3).5/1(
114500
012210
011301
ª3ª3ª2).1(
ª1ª1ª2).1(
102310
012210
001111
ª3ª3ª1).2(
ª2ª2ª1).2(
100532
010412
001111
532
412
111
→
−
−−
−
→+−
→+−
−
−−
→+−
→−
⇔
=
LLL
LLL
ª2ª2ª3).2(
ª1ª1ª3).3(
5/15/15/4100
012210
011301
→+
→+−
−
−−
−
−
−
−
5/15/15/4100
5/25/35/2010
5/35/25/7001
−
−
−
=∴ −
5/15/15/4
5/25/35/2
5/35/25/71A
Exemplo 2.3: Resolvendo o Exemplo 1.8 da aula anterior com o uso da matriz inversa:
Álgebra Linear 10
BAXBAXIBAAXABAX n1111 −−−− =⇔=⇔==
=
−
−
−
=
100
200
700
2500
2000
1000
5/15/15/4
5/25/35/2
5/35/25/7
X
Variando a saída B a entrada fica determinada simplesmente multiplicando matrizes
Exemplo 2.4: (Cadeia de Markov) Supondo uma população dividida nas classes C1, C2 e C3. A cada geração a probabilidade de mudança ij → entre as classes sociais é ija , dada pela matriz A de
transição e o vetor 0X de estado inicial (1ª geração). Após k gerações; pode-se calcular a
distribuição da população, multiplicando a distribuição inicial por KA (no capitulo sobre diagonalização a determinação da potência será feita de um modo mais simples).
=
⇒=⇒
=
=
=
16/3
2/1
16/5
4/1
4/1
2/1
2/14/10
2/12/12/1
04/12/1
geração uma após
gerações após
4/1
4/1
2/1
2/14/10
2/12/12/1
04/12/1
10
0
3
2
1
0
3
2
1
321
XAX
XXAk
C
C
C
X
C
C
C
A
CCC
kk
Determinar a distribuição inicial 0X para a qual não há mudança na distribuição ao longo do tempo (gerações).
=⇒=−
=+−
=⇒=+−
⇒
=
⇒=
cbcb
cba
caba
c
b
a
c
b
a
XAX
202
1
4
1
02
1
2
1
2
1
04
1
2
1
2/14/10
2/12/12/1
04/12/1
00
=
==⇒=
=++
4/1
2/1
4/1
4/12/14/1fazendo
1cba que lembrando0X
aebc
=
4/1
2/1
4/1
4/1
2/1
4/1
2/14/10
2/12/12/1
04/12/1
:overificaçã
Exemplo 2.5: Cadeia de Markov, uma empresa utiliza três processos, com custos diferentes de produção em função da demanda variável. Sendo V a matriz de transição anual e o vetor 0X da
distribuição inicial da produção. Determinar: (a) a distribuição após um ano. (b) a distribuição após dois anos. (c) a distribuição que se mantém estável (invariante) ao longo dos anos.
11
( )
=
⇒=
=
=
18/5
36/13
36/13
3/1
3/1
3/1
2/13/10
4/13/12/1
4/13/12/1
3/1
3/1
3/1
2/13/10
4/13/12/1
4/13/12/1
10
0
3
2
1
321
XVXa
X
P
P
P
V
PPP
( )
=
===
27/7
27/10
27/10
18/5
36/13
36/13
2/13/10
4/13/12/1
4/13/12/1
102
2 VXXVXb
( )
=
=
===
=⇒=++
=⇒=−
=⇒=+−
=++−
⇒
=
⇒=++
=
4/1
8/3
8/3
4/1
8/3
8/3
2/13/10
4/13/12/1
4/13/12/1
.:
8/34/1
141
2
30
2
1
3
123
041
32
21
041
31
21
2/13/10
4/13/12/1
4/13/12/1
1
º3
º1
º2
E
E
XVoverificaçã
bac
ccba
cbcb
cacba
cba
c
b
a
c
b
a
cbae
c
b
a
Xc
Propriedades das Matrizes
Seja 0 a matriz nula e k e s escalares. Desde que as operações estejam definidas:
sAkAAskAkssAk
kBkABAkAAA
CBACBAABBA
+=+=
+=+=+=+
++=+++=+
))(6)()()5
)()400)3
)()()2)1
( ) 11111 )16)15
))(14))(13
))(12)11
)10)()9
))(8)()()7
−−−−− ===
==
+=+=
=+=+
+=+=
ABABIAAAA
ABABkAkA
BABAAIA
AAIACABCBA
BCACCBACABBCA
n
ttttt
ttt
Exercícios Propostos (2)
Nos Exercícios de 2.1 a 2.4, use o método do exemplo 1 (definição de matriz inversa). (2.1) Mostre que é não singular � 2 1�2 3� (2.2) Mostre que é singular
Álgebra Linear 12 � 2 1�4 �2� (2.3) A matriz é singular ou não singular? Se for singular ache sua inversa � �1 11 4� (2.4) A matriz é singular ou não singular? Nos exercícios de 2.5 a 2.10, ache, sempre que possível, as inversas das matrizes dadas: (2.5) (a)
(2.6)
(2.7)
(2.8)
(2.9)
(2.10)
. (2.11) Para a matriz A e distribuição inicial segundo a cadeia de Markov. a) Ache a distribuição do mercado após 1 ano. b) Ache a distribuição estável do mercado.
.
2331
1211
2121
1111
)(
210
211
321
)(62
31
−
−
−cb
.
1230
1121
0020
1211
)(
421
320
321
)(62
31)(
−
−
cba
.
101
231
121
)(
6195
1121
2131
1111
)(42
31)(
−
cba
.
110
211
321
)(
231
131
221
)(
110
321
111
)(
cba
.
011
211
321
)(
221
212
213
)(
5213
5102
2331
1321
)(
−
−−−
−
cba
−
−
−
−
267
643
212
)(
5124
1312
0214
3211
)(
301
210
312
)( cba
=
=
3
13
2
5
3
3
25
2
3
1
0XA
13
(2.12) Considerando 2 companhias de comidas prontas, M e N. Cada ano a companhia M conserva 1/3 de clientes, enquanto 2/3 se transferem para N. Cada ano, N conserva ½ de seus clientes, enquanto ½ se transfere para M, Suponha que a distribuição inicial do mercado é dada por:
. (a) Achar a distribuição de mercado após 1 ano. (b) achar a distribuição uniforme do mercado. (2.13) Um fabricante de moveis manufatura cadeiras, mesinhas e mesas. Cada cadeira exige 10 minutos de lixa-mento, 6 minutos de pintura e 12 minutos de enverniza-mento. Cada mesinha exige 12 minutos de lixa-mento, 8 minutos de pintura e 12 minutos de enverniza-mento. Cada mesa exige 15 minutos de lixa-mento, 12 minutos de pintura e 18 minutos de enverniza-mento. A máquina de lixa-mento está disponível 16 horas por semana, a de pintura 11 horas por semana e a de enverniza-mento 18 horas por semana. (a) Quantas peças (por semana) de cada tipo de mobília devem ser fabricadas de maneira que as três máquinas sejam plenamente utilizadas? (b) Se as disponibilidades em horas semanais das máquinas passarem a ser: lixa-mento 20h, pintura 13h e enverniza-mento 22h? (c) Se as disponibilidades em horas semanais das máquinas passarem a ser: lixa-mento 22h, pintura 13h20min e enverniza-mento 20h? (2.14) Um editor publica um best-seller em três encadernações diferentes: brochura, padrão e de luxo. Cada brochura exige 1 minuto para costura e 2 minutos para colagem. Cada encadernação padrão exige 2 minutos para costura e 4 minutos para colagem. Cada encadernação de luxo exige 3 minutos para costura e 5 minutos para colagem. (a) Se a máquina de costura (Mc) está disponível 6 horas por dia e a maquina de colagem (Mco) estiver disponível 11 horas por dia, quantos livros de cada tipo deveriam ser produzidos por dia para que as máquinas sejam totalmente utilizadas? (b) Mudando as disponibilidades é possível utilizar a matriz inversa para resolver o problema? (2.11) Para a matriz A e distribuição inicial 0X segundo a cadeia de Markov.
a) Ache a distribuição do mercado após 1 ano. b) Ache a distribuição estável do mercado. (2.12) Considerando 2 companhias de comidas prontas, M e N. Cada ano a companhia M conserva 1/3 de clientes, enquanto 2/3 se transferem para N. Cada ano, N conserva ½ de seus clientes, enquanto ½ se transfere para M, Suponha que a distribuição inicial do mercado é dada por
. ( a) Achar a distribuição de mercado após 1 ano. (b) achar a distribuição uniforme do mercado.
(2.13) Um fabricante de moveis manufatura cadeiras(C), mesinhas (Mi) e mesas (M). Cada cadeira exige 10 minutos de lixa-mento (L), 6 minutos de pintura (P) e 12 minutos de enverniza-mento (E). Cada mesinha exige 12 minutos de lixa-mento, 8 minutos de pintura e 12 minutos de enverniza-mento. Cada mesa exige 15 minutos de lixa-mento, 12 minutos de pintura e 18 minutos de enverniza-mento A máquina de lixa-mento está disponível 16 horas por semana, a de pintura 11 horas por semana e a de enverniza-mento 18 horas por semana. (a) Quantas peças (por semana) de cada tipo de mobília devem ser fabricadas de maneira que as três máquinas sejam plenamente utilizadas? (b) Se as disponibilidades em horas semanais das máquinas passarem a ser: lixa-mento 18h, pintura 13h e enverniza-mento 20h? (c) Se as disponibilidades em horas semanais das máquinas passarem a ser: lixa-mento 20h, pintura 13h20min e enverniza-mento 22h?
=
3/2
3/10X
=
3/2
3/10X
Álgebra Linear 14
(2.14) Um editor publica um best-seller em três encadernações diferentes: brochura (B), padrão (P) e de luxo (L). Cada brochura exige 1 minuto para costura e 2 minutos para colagem. Cada encadernação padrão exige 2 minutos para costura e 4 minutos para colagem. Cada encadernação de luxo exige 3 minutos para costura e 5 minutos para colagem (a) Se a máquina de costura (Mc) está disponível 6 horas por dia e a maquina de colagem (Mco) está disponível 11 horas por dia, quantos livros de cada tipo deveriam ser produzidos por dia para que as máquinas sejam totalmente utilizadas?
15
03 - DETERMINANTES Determinante de uma matriz quadrada A de ordem 2 e de ordem 3 é um número indicado
por AouA det e calculado como a seguir:
122122112221
121122 ..det aaaa
aa
aaA x −==
Exemplo 3.1: Achar o determinante de ordem 2.
268]2).3[()8.(183
21−=+−=−−−=
−−
Determinante de ordem 3.
−−−
++==
122133122332132231
322113312312332211
3231
2221
1212
333231
232221
131211
33detaaaaaaaaa
aaaaaaaaa
aa
aa
aa
aaa
aaa
aaa
A x
Exemplo 3.2: Achar o determinante de ordem 3.
1649121
1).2.(22.0.13.1.32).2.(33.0.21.1.1
23
12
21
123
012
321
−=+−−=
−−−−−++=−−
jiMarcomplementMenor :
Escolhendo um elemento da matriz. Elimina-se a linha e coluna deste elemento e a matriz resultante é chamada menor complementar do elemento escolhido.
23
444241
343231
141211
23
44434241
34333231
24232221
14131211
adearcomplementMenor
aaa
aaa
aaa
M
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
A =
=⇒
=
Exemplo 3.3: Dada a matriz A, Achar o menor complementar dos elementos (2,3) e (4,4).
−
−=
−=
−
−=
211
121
001
231
111
101
2331
1211
2121
1001
4423 MMA
)(: jiij acofACofator =
Complemento Algébrico ou cofator de um elemento da matriz é o determinante do menor complementar levando em consideração o sinal:
ijji
ji Macof det.)1()( +−=
-
- - -
-
- - -
Álgebra Linear 16
Exemplo 3.4: Retomando a matriz A do exemplo 3.3. Achar o cofator de 23a .
1)3132(1
31
11
01
231
111
101
.)1(.)1( 523
3223 =−++−−=−−−=−= + MA
Teorema de Laplace: O determinante de uma matriz quadrada de ordem 4 ou superior é igual à soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer, pelos respectivos cofatores.
( )linhaaEscolhendo
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
A ª1det
44434241
34333231
24232221
14131211
=
434241
333231
23222141
14
444241
323231
24222131
13
444341
343331
24232121
12
444342
343332
24232211
11
.)1.(.)1.(
.)1.(.)1.(
aaa
aaa
aaa
a
aaa
aaa
aaa
a
aaa
aaa
aaa
a
aaa
aaa
aaa
a
++
++
−+−
+−+−
Exemplo 3.5: retomando a matriz do exemplo 3.3: Desenvolvendo pela 1ª linha por ter maior nº de zeros.
61521
331
211
121
.)1.(100
233
121
212
.)1.(1
2331
1211
2121
1001
det 4111 −=+−=−
−
−+++−
−
−⇒−
−= ++A
Matriz dos cofatores de A (co A) é obtida substituindo os elementos de A pelos respectivos cofatores. Exemplo 3.6: Achar a matriz dos cofatores de A.
111
012
21
010
21
00
311
213
21
113
21
12
211
121
001
232221
131211
=−
−====−
−=
−=−
=−=−
−==−
−=
−
−=
AAA
AAAA
221
011
11
010
12
00333231 ===
−−==
−= AAA
17
−−
=
210
120
333
Aco
Matriz Adjunta de A é obtida pela transposição da matriz dos cofatores de A.
TAcoAadj )(= Exemplo 3.7: Do exemplo anterior:
−
−=
213
123
003
Aadj
Determinação da matriz inversa utilizando o determinante.
AadjA
A .det
11 =−
Exemplo 3.8: do exemplo anterior:
−
−=
−
−==
−
−= −
3/23/11
3/13/21
001
213
123
003
3
13
211
121
001
det 1AA
Regra de Cramer: Quando o sistema tem o mesmo número de equações e de incógnitas e a matriz A dos coeficientes for não singular ( 0det ≠A ) o sistema tem solução única. Substituindo a j-ésima coluna de A pela coluna dos termos independentes obtém-se o determinante Dj e a incógnita jx é
fica determinada: A
Dx j
j det=
Exemplo 3.9: Resolver o sistema linear utilizando a regra de Cramer.
=−
−
=
−
−
=⇒
=++
−=+−
−=+−
15
213
121
432
det
213
121
432
123
52
12432
A
A
zyx
zyx
zyx
215
30
det2
15
30
det1
15
15
det
30
113
521
1232
30
213
151
4122
15
211
125
4312
321
321
−=−
========
−=−−
−−
==−
−
==−−
−−
=
A
Dz
A
Dy
A
Dx
DDD
Álgebra Linear 18
Propriedades dos Determinantes (1) TAA detdet = (2) se B resulta da troca da posição de duas linhas (colunas) de A então AB detdet −= (3) se duas linhas (colunas) forem iguais 0det =A (4) se B é obtida de A multiplicando uma linha (coluna de A por k então RkAkB ∈= detdet (5) se B é obtida de A e possui uma linha (coluna) que é combinação linear de outras duas linhas então AB detdet = (6) BAAB detdet)det( =
(7) se A é não singular então AAeA det/1det0det 1 =≠ −
Exercícios Propostos (3)
(3.1) Seja A =
−
−
325
413
201
Calcule todos seus cofatores.
(3.2) Seja A = .
0130
0423
1412
0301
−
−
Calcule todos os cofatores dos elementos da segunda linha e todos os cofatores dos elementos da terceira coluna. Nos exercícios de (3.3) a (3.6), calcule os determinantes usando o Teorema de Lapalace.
(3.3) .
311
420
024
)(.
1230
4302
3021
1244
)(.
023
251
321
)(
−−−
−
−
−
− cba
(3.4) .
124
210
312
)(.
322
131
210
)(.
0032
1413
1210
1322
)(
−
−
−
−
−
−
−
−
cba
(3.5) .
312
202
033
)(.
110
123
013
)(.
5110
5431
7302
1213
)(
−
−
−
−−
−
−
−
cba
(3.6) .
241
123
121
)(.
431
211
024
)(.
0033
2522
1210
3100
−−
−
−
−
cb
19
(3.7) Verifique que 0323122211211 =++ AaAaAa para a matriz A =
−
−
102
314
032
(3.8) Seja A = .
123
021
312
−
− (a) Ache adj A. (b) Calcule Adet .
(c) Verificar que ( ) 3.det. IAAadjA =
(3.9) Seja A = .
544
143
826
−
− (a) Ache adj A. (b) Calcule A .
(c) Verificar que ( ) 3.det. IAAadjA =
Nos exercícios de 10 a 13, calcule, caso existam, as inversas das matrizes dadas, sabendo que
AadjA
A .det
11 =− .
(3.10) .
011
273
102
)(.
301
210
224
)(.43
23)(
−
−cba
(3.11) .
210
430
204
)(.21
32)(.
711
254
321
)(
−
−
−−
−−
−
cba
(3.12) .
213
651
421
)(.12
15)(.
101
123
102
)(
−
−
−
−
− cba
(3.13) .
2010
2512
4312
3120
)(.
200
030
004
)(.02
13)(
−
−
−
−cba
(3.14) Determinar quais das seguintes matrizes são não-singulares. ( )0det ≠A .
.
7210
0252
7143
5021
)(.
271
412
231
)(.43
21)(.
132
210
321
)(
−
−
−
−
dcba
(3.15) Determinar quais das seguintes matrizes são não-singulares ( )0det ≠A .
Álgebra Linear 20
.
431
021
210
)(.
273
251
422
)(.
2564
3153
1462
2131
)(.
264
312
534
)(
−
−
−
−
−
−
−
−−
−
dcba
(3.16) Ache todos os valores de λ para os quais
.
100
102
101
,0)(.033
22)( 3
−
−
==−=−
−AondeAIba λ
λ
λ
(3.17) Ache todos os valores de λ para os quais
.
212
030
313
,0)(.040
41)( 3
−−−
−−−
==−=−
−−AondeAIba λ
λ
λ
(3.18) Verificar se os seguintes sistemas homogêneos têm soluções não-triviais ( )0det =A . (a) x – 2y + z = 0 (b) x + 2y + w = 0 2x + 3y + z = 0 x + 2y + 3z = 0 3x + y + 2z = 0. z + 2w = 0 y + 2z – w = 0. (3.19) Repita o exercício 18 para os seguintes sistemas homogêneos. (a) x + y – z = 0 (b) x + y – z + w = 0 2x + y + 2z =0 2x + y + 2z – w = 0 3x – y + z = 0. 3x + y + 2z + 3w = 0 2x – y – z + w = 0 Nos exercícios de (3.20) a (3.23), resolva quando possível, usando a regra de Cramer, o sistema linear dado.
( ) ( )
( ) ( )
=++
=
=++
=++
=+
=++
=+
=++
=++
=++
=+
=+
=++
0. 4z 2y x
0 4z2x -
2 7z 3y 2x
23.3
4. 2z y x
2- 2z2y 3x
6 z y 2x
3.22
4. wy x
5 2w zy 2x
4 3w z 2y
4- 2w z y x
3.21
5.- z3y 2x
0 2z x
2 6z 4y 2x
3.20
(3.24) Se ,5
321
321
321
=
ccc
bbb
aaa
achar os determinantes das seguintes matrizes:
.
222
333)(
2/12/12/1
)(
321
321
332211
321
321
321
−−−
=
=
ccc
bbb
bababa
Cb
ccc
bbb
aaa
Ba
(3.25) Seja A 4 x 4 e suponha que 5det =A . Calcule
21
( ) 111 )2det()(2det)(2det)(det −−− AdAcAbAa (3.26) Seja ,4det3det == BeA Calcule
.)(.)(.)( 1ABBcABAbABa T −
1532
4321
0114
1123
)
232
514
312
)Calcular (3.28)
0
400
212
312
quais os para de valoresos sAchar todo (3.27)
−
−
−
−−−
−
=
+
−
−+
ba
λ
λ
λ
λ
(3.29) Calcular os cofatores de A= .
613
541
312
−−
−
(3.30) Calcular por meio do desenvolvimento por cofatores.
detA=
3231
2514
2301
0123
−
−
−
−
(3.31) Seja A =
−
231
540
213
(a) Achar adj A. (b) Calcular A .
(c) Verificar que ( ) 3.det. IAAadjA =
(3.32) Calcular a inversa, se existir, da seguinte matriz. A= .
211
210
312
−
−
(3.33) Achar todos os valores de λ para os quais é singular.
+−
+
−
505
020
303
λ
λ
λ
(3.34) Se A = .
100
011
10
+
−
λ
λ
λ
Achar todos os valores de λ para os quais o sistema homogêneo AX = 0 tem somente a solução trivial.
(3.35) Se possível, resolva o seguinte sistema linear por meio da regra de Cramer.
Álgebra Linear 22
3x + 2y – z = -1 x – y – z = 0 2x + y – 2z = 3.
(3.36) Calcular .
2050
4321
3010
1211
−
−−
−
(3.37) Para que valor de a tem-se: ?14
22
031
10
00
310
012
=
−
+−
a
a
a
a
(3.38) Achar todos os valores de a para os quais a matriz é singular.
103
25
302
a
a
(3.39) Resolva o seguinte sistema linear pela regra de Cramer.
532
832
1
−=+−
=−+
−=+−
zyx
zyx
zyx
.
(3.40) Responda certo ou errado.
.0,7)(
.0,0)(
.1,)(
.)(
.)(
1
2
trivialsoluçãoasomentetemAXentãoAe
AentãoAd
AentãoAAc
AAb
AAAa
T
T
==
==
==
−=−
=
−
(f) O sinal do termo 5442312315 aaaaa no desenvolvimento do determinante de uma matriz 5 x 5 é +. (g) Se 0=A , então .0=Aadj
(h) Se PePAPB 1−= é não-singular, então .AB =
(i) Se nIA =4 , então .1=A
(j) Se .0,,2 =≠= AentãoIAeAA n
(3.41) Achar o determinante fazendo a matriz ficar triangular superior.
=
1964
1430
5232
7931
A
:matriz da tedeterminan o existir, se Achar, (3.42)
(3.43) Achar os valores de λ para os quais a matriz [ ]AI −4λ possui inversa:
.)3()(.3)(.3)(Calcular
2. =detA que suponha e 3 x 3A Seja (3.44)11 −− AcAbAa
23
04 - VETORES
1) Grandeza Escalar: Na matemática, física e nas aplicações, como na engenharia, encontram-se grandezas como trabalho, potência, temperatura, calor, tempo, etc., que ficam bem definidas por apenas um número e representa-se numa escala como a temperatura em °C (escalar). 2) Vetor: Existem conceitos físicos e geométricos que além da intensidade precisam da direção (Fig. 4.1), como força, velocidade, aceleração, momento, etc. Um segmento de reta orientado no espaço, direção, sentido e comprimento definidos. Exemplo: para assinalar o deslocamento físico entre os pontos P e Q é necessário mencionar a distância entre os pontos P e Q, a direção e o sentido.
Chamando o conjunto dos números reais R de corpo dos números reais, o conjunto de todas
as n-uplas de números reais nR chama-se n-espaço.
Vetores no nR podem ser escritos pelas ênuplas, onde cada elemento destas ênuplas é chamado
componente do vetor, para um vetor ou um ponto em particular: ( )nuuuu ,,, 21 L= . Vetor no 3R dado pelas suas componentes:
Sendo ( )kjirrr
,, os versores nas direções das coordenadas retangulares x, y, z conforme figura 2. O vetor u
r da figura abaixo pode ser representado por um terno de valores na forma matricial, matriz
linha ou coluna.
Norma no nR ou módulo do vetor é o valor numérico (escalar) positivo do seu comprimento ou distância entre os pontos que o definem
222
21 nuuuuuu +++=== L
rr
P
Q Representações do vetor
→
=−== PQQPuUr
y
z
x
ir
j
k
ur
x
y
z
Fig. 4.2
( ) ( )
[ ]
u
uu
zyxuu
Norma
zyxuou
z
y
x
u
kzjyixuuuzyxu zyx
rr
r
r
=
++==
=
=
++===
→
) de(versor
,,,,
222
ur
Fig. 4.1
Álgebra Linear 24
O vetor nulo é representado por ( ) zero a iguais scomponente0,0,00 nLr
= . O vetor
unitário (norma igual a um) denomina-se versor, por exemplo: se o versor kr
tem a mesma direção e
sentido do vetor ur
, pode-se escrever kuurr
.= onde u é a norma do vetor ur
. Exemplo 4.1: dado o vetor achar o módulo (norma), versor e comprovar que a norma de qualquer versor é igual a um
7417,31432)1()3,2,1( 222 ==++−=−= uur
);14/3,14/2,14/1(−==u
uudeversor
rr
1==u
uversordonorma
r
Adição no nR
( ) ( )
( ) nnn
nn
nn
Rvuvuvuvu
RvvvveRuuuu
∈+++=+
∈=∈=→→
→→
,,,
,,,,,
2211
2121
L
LL
Produto de escalar por vetor
nn
n
Ruauauaua
RuR
∈
=
∈∈
→→→→
→
,,,
vetorescalar
21 L
α
Exemplo 4.2: Adição e Subtração de vetores (Fig. 4.3).
Soma e a diferença dos vetores no 3C
)2,7,4(
)4,3,2(
)1,5,3()3,2,1(
ivu
ivu
ivu
+−=−
−−=+
−−=−=
rr
rr
rr
vurr
−
ur
vr
x
y
z
vurr
+
ur
vr
vurr
+
vurr
−
kvujvuivuvu zzyyxx
rrrrr)()()( ±+±+±=±
±
±
±
=±
zz
yy
xx
vu
vu
vu
vurr
Fig. 4.3 (a)
Fig. 4.3 (b) 3RNo
25
Exemplo 4.3: Produto de vetor por escalar.
( )
( ) ( )200,3/5,5,1040,3/1,1,25.
40,3/1,1,2;5
−−−=−−=
−=−=→
→
u
u
α
α
Propriedades: Sendo →→→
321 ,, uuu vetores quaisquer de nR e βα , quaisquer escalares de R:
( )
( )
++=+
+
+=+
→→→→→→
→→→→
321321
1221
2
1
uuuuuu
uuuu
( )
( )→→→
→→→
=
−+
=+
04
03
11
11
uu
uu
( )
( )( )
( ) ( )→→→→
→→→
→→→→
==
+=+
+=
+
1111
111
2121
187
6
5
uuuu
uuu
uuuu
αββα
βαβα
ααα
Conseqüências das propriedades
( )→→→→→→→→→→→
−=
−=−==⇔=== uuuuouuu αααααα )4000)300)200)1
Produto Interno ou Escalar no nR
Sendo os vetores ( ) ( )nn vvvveuuuuRveu ,,,,,; 21321 LL
rr==∈
→→
o produto interno é:
nnvuvuvuvu +++=→→
L2211.
Desigualdade de Cauchy-Schwartz, para quaisquer vetores nRveu ∈→→
tem-se: →→→→
≤ vuvu .
A partir da desigualdade acima se define o ângulo entre os vetores como
vu
vurr
rr
.
.cos =θ
Co-senos diretores de um vetor diferente de zero são os co-senos dos ângulos que este vetor forma com os vetores da base.
Como o produto interno também pode ser achado utilizando a desigualdade de Cauchy-Schwartz
β α
γ
x
y
z
222
222
222
cos
cos
cos
zyx
z
zyx
y
zyx
x
++=
++=
++=
γ
β
α
Fig. 4.4 co-senos diretores
Álgebra Linear 26
→→→→→→→→
→→→→
++=++=
==++=
kvjvivvkujuiuuonde
vuvuvuvuvuvu
zyxzyx
zzyyxx
,
cos.cos. θθ
Exemplo 4.4: Para vetores do 3R conforme figura 5, achar o produto interno (escalar), o ângulo
entre os vetores e os co-senos diretores dos vetores dados →→
veu
→→→→→→→→
→→→→
++=++=
==++=
kvjvivvkujuiuuonde
vuvuvuvuvuvu
zyxzyx
zzyyxx
,
cos.cos. θθ
[ ]
°=⇒==
=++==−++=
=
−==−=
70,407582,0arccos294
13arccosarccos
2112414)1(32
13
1
2
4
.132.)1,2,4()1,3,2(
222222
θθ
vu
vuvurrrr
21
1cos
21
2cos
21
4cos
14
1cos
14
3cos
14
2cos
===
−===
→
→
γβα
γβα
vpara
upara
Propriedades do produto interno Sendo vetores quaisquer de nR e βα , quaisquer escalares de R:
( )comutativauuuu→→→→
= 1221 ..)1
=
=
→→→→→→
212121 ...)2 uauuuauua
( )
ortogonais são 0.)5
00.;0.)4
...)3
212121
1111
2
1
3121321
→→→→→→
→→→→→→→
→→→→→→→
⇔=≠
=⇔=≥=
+=
+
ueuuuuuse
uuuuuu
vadistributiuuuuuuu
O espaço nR com as operações adição de vetores, multiplicação de vetor por escalar e
produto interno é chamado n-espaço euclidiano. Vetores no nC O conjunto de todas as ênuplas de números complexos é chamado n-espaço complexo. Os elementos de C (Fig. 4.5) são chamados escalares. A adição e o produto por escalar são análogos às operações no nR . O produto interno faz uso do complementar para manter as mesmas propriedades no nR , principalmente:
vetoresos entre Ângulo =θ
u
vr
θ vu
vurr
rr
.
.arccos=θ
Fig. 4.5
27
→→→→
=⇔= 00. uuu .
Operações em nC
( ) ( )nn
n
vvvveuuuu
CzeCvu
,,,,,,
,Sejam
2121 LL ==
∈∈→→
→→
( )
( )
+++=
=
+++=+
→→
→
→→
__
22
_
11
21
2211
.
,,,
,,,
nn
n
nn
vuvuvuvu
zuzuzuuz
vuvuvuvu
L
L
L
Projeção Ortogonal de um vetor na direção de outro vetor: Dados os vetores nRweu ∈→→
, a
projeção ortogonal do vetor →
u na direção do vetor →
w consiste na determinação de um escalar r que
multiplica o versor de →
w tal que w
wruproj
w
→→
=→ . Conforme figura 6.2.
→
→→
→→→→→→→
→→
===
⇒===⇒=
→ www
wu
w
w
w
wu
w
wruproj
w
wu
w
uwur
u
r
w .
..
.coscoscos
θθθ
A subtração →→
→− uprojuw
é um vetor ortogonal a →
w , usa-se esta propriedade para determinar
bases ortonormais a partir de uma base dada conforme fig. 4.7. (Ver processo de ortogonalização de Gram-Schimdt em bases no cap. 6)
R
i
a
bbiaz +=
Fig. 4.5 elementos de C
ρ
θa
b
ba
arctan
22
=
+=
θ
ρ
→
u
→
w
→
→ uprojw
θ
→
→→
→→→
=→ w
ww
wuuproj
w.
.
Fig. 4.6
Álgebra Linear 28
Exemplo 4.5: Realizar as operações para o espaço
( ) (
(
( )(
( )( ) (
( )( ) (iivu
iiuu
iiiuz
iiivu
iuiz
42332.
43232.
2,4,321
44,9,5
4,32;1
+++=
+−+=
−+−=
−−+=+
−+=−=
→→
→→
→
→→
→
Produto Externo ou Vetorial: Este produto só esta definido para o espaço ortogonal ao plano que contém os vetores, o sentido é dado por uma rosca de passo direito (girando de vu
rr para resulta para cima) ou pela regra da mão direita (Fig.
vv
uu
i
vu
x
x=×
→
→→
A norma do produto vetorial é igual à área do paraDados três pontos (O,A e C) achar a área do triângulo determinado por estes pontos (Fig.
→
u
→
v
O
A
C
→→
× vu
→→
× uv
→
u
→
v
Fig. 4.8
→
u
→
→ uprojw
θ
→
− proju
Realizar as operações para o espaço n-complexo sobre o corpo C.
) ( )
)
) ( )
)( ) ( )
) ( ) (iiiiii
iiii
iiii
i
iivii
188812520136425
3441713224
22,53,52
64,5,23;2,
=−+−−+=++−
=++=−++−
+−+=
−−=−→
Este produto só esta definido para o espaço 3R . O vetor resultante é
plano que contém os vetores, o sentido é dado por uma rosca de passo direito (girando resulta para cima) ou pela regra da mão direita (Fig. 4.8).
θθ sin.sin vuvuvu
vv
uu
kj
zy
zy ==×→→→→
→→
do produto vetorial é igual à área do paralelogramo formado por u e v, ou ainda:
Dados três pontos (O,A e C) achar a área do triângulo determinado por estes pontos (Fig.
B
→
×= u OABC amoParalelogr do Área
→→
×= vu2
1 OAC triângulodo Área
Fig. 4.9
→→
× vu
→
u
→
v
Fig. 4.8
→
w
→
→ uprojw
Fig. 4.7
)i21+
. O vetor resultante é plano que contém os vetores, o sentido é dado por uma rosca de passo direito (girando
lelogramo formado por u e v, ou ainda: Dados três pontos (O,A e C) achar a área do triângulo determinado por estes pontos (Fig. 4.9).
→
× v
→
v
Propriedades do produto vetorial:
×→
→
a
u
u
)3
)2
)1
)5
)4
=×
×
→→
→→
vu
vu
Exemplo 4.6: Achar o vetor →
w resultado do produto vetorial determinado pelos vetores que formam o produto.
−= )1,3,2(ur
(
=
==
arcsin
paralelogr do área
2114
θ
vu
Produto Misto dos vetores →→
evu,
→→→
wvu ,, geometricamente o produto misto é igual, em módulo, ao volume do
paralelepípedo de arestas determinadas pelos vetores
33
22
11
111
,,
yx
yx
yx
wvu
zjyixu
=
++=
→→→
→→→
Propriedades do produto misto Conseqüência das propriedades dos determinantes
→→
×= vuh
Propriedades do produto vetorial:
( )
×=
×=×
×−=×
=×
→→→→→→
→→→→
→→
vuavauvua
tivaanticomutauvvu
u 0
( )
direção mesma a tiverem0
2121
⇔=
×+×=
+
→
→→→→→→
vadistributivuvuvv
resultado do produto vetorial →→
× vu e a área do paralelogramo determinado pelos vetores que formam o produto.
=−=×==
124
132)1,2,4()1
kji
vuwv
rrr
rrrr
)8,6,5(865 −−=−− kjirrr
)
°=
=−+−+==×
70,40294
55arcsin
5.5 a igual é amoparalelogr
5.5)8()6(521 222
wvurr
→
w é um número real dado por →→→
× wvu . também indicado por
geometricamente o produto misto é igual, em módulo, ao volume do
paralelepípedo de arestas determinadas pelos vetores →→→
wevu, (Fig. 4.10).
33
22
11
333222
z
z
z
kzjyixwkzjyixvk ++=++=→→→→→→→→→
onseqüência das propriedades dos determinantes
Fig. 4.10
29
e a área do paralelogramo
também indicado por
geometricamente o produto misto é igual, em módulo, ao volume do
Álgebra Linear 30
singularfor vetorespelos formada matriz a 0,,)1 ⇔=
→→→
wvu
cíclicavuwuwvwvu
=
=
→→→→→→→→→
,,,,,,)2
L
−=
→→→→→→
wuvwvu ,,,,)4
+
=
+
→→→→→→→→→→
wvuwvuwvuu ,,,,,,)5 2121
=
=
=
→→→→→→→→→→→→
wvuawavuwvauwvua ,,,,,,,,)6
Exemplo 4.7: Dados os vetores. Achar o produto misto.
26
153
311
421
,,
1
3
4
5
1
2
3
1
1
=−−=
−=
−=
=→→→→→→
wvuwvu
Exercícios Propostos (4)
(4.1) Sejam →
u = (1, -1, 2, 3) e →
v = (2, 3, 1, -2). Calcular:
.cos)(.)()()()(
−
→→→→→→→→
veuentreânguloevudvucvbua θ
(4.3) Ao ponto G chama-se baricentro (encontro das medianas no triângulo) dos pontos nAAA ,, 21 L
com massas ∑=
≠=n
iin mmondemmm
121 0, L dado por ( )OAm
mOG i
n
ii −+= ∑
=1
1. Mostrar que o
baricentro independe do ponto O. (4.4) Achar os versores das bissetrizes internas e externas de um triângulo.
(4.5) Dados os vetores ( ) ( ) ( )mwvu ,1,31,5,43,1,2 −==−=→→→
A C D
Sabendo que DC=2AD, achar BD em função de A-B e C-B B
→
u
→
v
→
w
0,,,,,,)3 =
=
=
→→→→→→→→→
uuwuwuwuu
(4.2)
31
( )
( )
( )
( )→→
→→
→→
→→
veud
wumc
vub
veua
entre ângulo do seno-co oCalcular
ortogonal seja que modo de Determinar
.Calcular
Calcular
( )→→
veu de diretores cossenos osAchar e
( )
( )→→
→→
×
veug
vuf
os entre ângulo do seno Calcularo
Calcular
(4.6) Calcular o produto misto dos vetores ( ) ( ) ( )1,3,45,1,23,1,1 −=−==→→→
wvu Estes vetores são coplanares?
(4.7) Dados os vetores ( ) ( )iiiveiiiu 38,211,41,2,73 −+−=+−−=→→
( ) ( )( ) ( ) ( )→→→→→→→→→
+− veuduvevucvibvuaachar ..3:
Álgebra Linear 32
05 - ESPAÇOS E SUBESPAÇOS VETORIAIS
Espaço Vetorial U é definido como um conjunto de vetores U sobre um corpo de escalares K juntamente com as operações soma vetorial (S) e produto (P) de escalar por vetor, satisfazendo as propriedades abaixo:
Sendo →→→
321 ,, uuu vetores quaisquer de U e βα e escalares quaisquer do corpo K:
KUuuu ∈∀∈∀→→→
βα ,,, 321
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( )→→→→
→→→→→→→
→→→→→→
→→→→→→→→→→
→→→
==
+=++=
+
=−=+
++=+
++=+
∈∈+
114113
111221211
114113
321321212211
121
1
00
uuPuuP
uuuPuuuuP
uuSuuS
uuuuuuSuuuuS
UuPUuuS
αββα
βαβαααα
α
Conseqüências das propriedades
( )→→→→→→→→→→→
−=
−=−==⇔=== uuuuouuu αααααα )4000)300)200)1
Exemplo 5.1: Verificar se o conjunto nR , sobre o corpo R, com as operações de soma vetorial (S) e produto (P) de escalar por vetor é um espaço vetorial.
( )
aluno. do cargo a fica soma da espropriedad outras das çãoA verifica
, 2122
11
21212
1
22
1
1n
nn
n
nn
Ruu
ba
ba
ba
uuSRuusendo
b
b
b
u
a
a
a
u ∈+
+
+
+
=+∈
=
=→→→→→→→→
MMM
( )
aluno. do cargo a fica produto do espropriedad outras das çãoA verifica
.
.
.
12
1
1n
n
Ru
a
a
a
uPRdado ∈
=∈→→
α
α
α
α
ααM
Exemplo 5.2: O conjunto dos números complexos nC , sobre o corpo C, com as operações de soma vetorial e produto (P) de escalar por vetor é um espaço vetorial.
( )
( )aluno do cargo a ficam espropriedad das çãoA verifica
;,
1
321321
n
n
CZP
ZZSZZZCZZ
∈
∈+=∈→
→→→→→→
α
Exemplo 5.3: O conjunto das matrizes mxn de números reais ou complexos com as operações de soma vetorial (S) e produto (P) de escalar por vetor é um espaço vetorial, já que estas operações são na verdade operações matriciais.
33
Exemplo 5.4: O conjunto das funções reais f(x) é um espaço vetorial:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) RxfPRxgxfS ∈∈+ α:: Exemplo 5.5: O conjunto dos polinômios de nºs reais é um espaço vetorial:
( ) 011
1 axaxaxaxP nn
nn ++++= −
− L
Subespaço Vetorial W do espaço U é o subconjunto não vazio W de um espaço vetorial U
( )( )vazionãoWeUW φ≠⊂ que satisfaz as propriedades da soma (S) e produto (P), satisfazendo estas duas propriedades, as outras propriedades são verificadas por serem os elementos de W também elementos de U. Satisfazendo as propriedades (Va) e (Vb) abaixo, é o bastante para W ser considerado um subespaço vetorial do espaço vetorial U, pois a (Va) garante que o subconjunto é não vazio e (Vb) une as operações soma (S) e produto(P).
( ) ( ) ( ) WwvWwvVbeWWVa ∈+⇒∈≠∈→→→→
βαφ ,0
Exemplo 5.6: Verificar se o conjunto de matrizes M 2x2 dadas por ( )
0c
baa e ( )
1c
bab são
subespaços do espaço vetorial das matrizes 2x2.
( )
( )
∉
++
++=
+
∈
+
++=
+
∈
=
Mcc
bbaa
c
ba
c
bab
Mcc
bbaa
c
ba
c
ba
Wa
βαβα
βαβαβα
βα
βαβαβα
21
2121
2
22
1
11
21
2121
2
22
1
11
11
000
00
000
(Vb) e (Va) espropriedad as usando
Exemplo 5.7: Verificar se num sistema AX=B, o conjunto S dos vetores X que são solução do sistema, formam um subespaço. Seja A uma matriz mxn e ( ) ( ) ( ) 0;homogêneo sistema0 ≠=∈ BbBaRX n .
( ) ( )
( )
( )
∉
=
∉
+
++=
+
∈
=
∈
+
++=
+
subespaço um é Não1
;211
subespaço um É00
;000
espropriedad as usando
1
11
1
11
21
2121
2
22
1
11
1
11
1
11
21
2121
2
22
1
11
Mc
ba
c
ba
Mcc
bbaa
c
ba
c
bab
Mc
ba
c
ba
Mcc
bbaa
c
ba
c
baa
PS
αα
ααα
α
ααα
Álgebra Linear 34
( )( )
( ) ( )
( )( )
( ) ( ) n
n
RBBAXXA
BBBBAXAXXXA
BAXBAX
RAXXA
AXAXXXA
AXAXa
subespaço um é não s
2
b
de subespaço um é s0
000
00
2121
21
2121
21
≠==
≠=+=+=+
==
==
=+=+=+
==
ααα
αα
Exemplo 5.8: A derivada de uma função polinomial é um subespaço da função polinomial.
( ) ( ) 12
11 1' axanxnaxP n
nn
n ++−+= −
−
−L
Espaço e Subespaço Vetorial podem ser constituídos por elementos como matrizes e polinômios como nos exemplos anteriores, tornando mais abrangentes as aplicações da álgebra linear. Dependência e Independência Linear
Sejam n vetores 1,,, 21 ≥
→→→
nuuu nL . Os vetores são (LD) linearmente dependentes se existirem
escalares naaa ,,, 21 L não todos nulos tais que a combinação linear é igual ao vetor nulo:
∑=
→→
=n
i
ii ua1
0 .
Ou um dos vetores pode ser escrito como combinação linear dos outros. Exemplo 5.9: Dados os vetores, verificar a dependência linear, representar um deles como combinação linear dos outros.
( ) ( ) ( ) ( )2,4,9,31,2,1,21,0,3,23,0,2,1 4321 −−=−=−=−=→→→→
uuuu
LLL
LLL
uauauaua
ª4ª4ª1.3
ª2ª2ª1.2
0
0
0
0
2113
4200
9132
3221
0
homogêneo sistema o se-temlinear combinação da
44332211
→+−
→+
=
−−
−
−−
⇒=+++→→→→
⇒→+
−−−
−LLL ª4ª4ª2
11570
4200
15370
3221
escoeficient dos matriz a oescalonand
⇒→+
−
−LLL ª4ª4ª3
4200
4200
15370
3221
35
( )
=++−−⇒÷
=++−−⇒
−=
−=
=
− →→→→
→→→→
023
0233
2
0000
4200
15370
3221
4321
4321
uuuuw
uwuwuwuw
wx
wy
wz
Pode-se escrever qualquer um dos vetores como combinação linear dos outros, bastando isola-lo na equação acima. Verificação:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )2,4,9,31,2,1,221,0,3,233,0,2,123
3,0,2,12,4,9,31,2,1,221,0,3,2323
3214
4321
−−=−−−+−=−+=
−=−−+−+−−=++−=→→→→
→→→→
uuuu
uuuu
Sendo os vetores 1,,, 21 ≥
→→→
nuuu nL (LI) linearmente independentes, pode-se escrever qualquer
outro vetor →
u , elemento do espaço vetorial gerado por estes mesmos vetores, como combinação linear.
nn
n
i
ii uauauauau→→→
=
→→
+++==∑ L22111
.
Exemplo 5.10: Verificar que vetores
−=
=
=
→→→
10
20
11
00
01
11321 uuu são linearmente
independentes e escrever
−=
→
11
134u como combinação linear.
=
=
=
=
−+
+
=
−+
+
⇒=++
→→→
0
0
0
00
002
0
2000
00321
z
y
x
zyyx
zxx
z
z
yyx
xxuzuyux
Somente solução trivial, os vetores são LI.
⇒
−=++
→→→
11
13321 uzuyux
→→→→
−−=
−=
−=
=
−=
−+
+
3214 23
1
2
3
11
132
uuuu
z
y
x
zyyx
zxx
Sendo a matriz A dos coeficientes, uma matriz quadrada e não singular ( )0det ≠A , os vetores que compõem as linhas ou colunas da matriz são linearmente independentes, caso contrário os vetores são dependentes e a matriz A é dita singular. Exemplo 5.11: Achar m para que os vetores sejam (LD) linearmente dependentes:
Álgebra Linear 36
( ) ( ) ( )
1010100
341
05
123
3,,14,0,21,5,3
−=⇒=−−⇒=
⇒
mmm
m
Exemplo 5.12: Dados os vetores →→→
321 eee : verificar a relação de dependência linear e se possível
escrever os vetores →
4e e →
5e como combinações lineares de →→→
321 eee .
( ) ( )
( ) ( )( )
( )LI 11det
302
131
021
de colunas vetores,,
12
332)2(
25
24
32
22
1
−=⇒
−=
∈
++=++−=
+=−=++=→→
→→→
AA
ARcba
cbtatette
tettette
( ) ( )
=+
=+−
−=+
⇒++−=++−+++
⇒++=→→→→→
132
13
22
12332 )2(
zy linear combinação como Escrevendo
222
32144
zx
zyx
yx
tttzttyttx
eeexee
( )LLL
LLLLL
LLL
LLL
z
y
x
ª3ª3ª2.4
ª1ª1ª2.2
5340
5/35/110
2021
ª2ª2.5/1
5340
3150
2021
ª3ª3ª1.2
ª2ª2ª1.1
1302
1131
2021
1
1
2
302
131
021
matricial equação de forma na
→+
→++−
−
−−
−
⇒→−
−
−
−
⇒→+−
→+−
−
−
⇒
−
=
−
( )( )( ) LLL
LLLLL
ª2ª2ª3.5/1
ª1ª1ª3.5/2
11/13100
5/35/110
5/45/201
ª3ª3.11/5
5/135/1100
5/35/110
5/45/201
→+
→+−
−−
−
⇒→
−−
−
→→→→
+−−=⇒
−
−
3214 11
13
11
4
11
14
11/13100
11/4010
11/14001
eeee
−⇒
=
−
⇒++=→→→→
→
c
b
a
c
b
a
z
y
x
eeexe
e
302
131
021
302
131
021
zy
linear combinação como Escrevendo
3215
5
37
⇒
+−−
+−
−+
cba
cba
cba
11
5
11
4
11
6100
11
1
11
3
11
1010
11
2
11
6
11
9001
oEscalonand
→→→→
+−−+
+−+
−+= 3215 11
5
11
4
11
6
11
1
11
3
11
1
11
2
11
6
11
9 ecbaecbaecbae
Como a, b e c são escalares quaisquer, o espaço vetorial 2P formado apenas por polinômios
como →
5e é gerado pelos vetores →→→
321 eee . O número de vetores é igual à dimensão (3) de 2P então os vetores formam uma base para o espaço vetorial.
Exercícios Propostos (5)
(5.1) Quais vetores são combinações lineares dos vetores, →→→
321 uuu .
( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )3,2,11,1,26,2,41,1,1
0,1,2;2,1,2;3,2,4 321
−−−−
−−=−=−=→→→
dcba
uuu
(5.2) Verificar se a função f(t) é combinação linear de g(t) e h(t).
( ) ( ) ( ) tthttgtf 22 sec2;tan5;3 === (5.3) Achar vetores que gerem o espaço solução dos sistemas homogêneos (AX=0).
( ) ( )
−
−
−
=
=
2212
2632
1211
1312
1321
0101
AbAa
(5.4) Verificar, nos itens (a), (b) e (c), a relação de dependência entre o vetor linha ( ) ( ) ( )][ thtgtf e os vetores de suas derivadas primeira e segunda conforme matriz abaixo.
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) [ ] ( ) ( ) [ ]( ) [ ]1,1,,1
2,02/sin,1,cos2,0sin,cos,
''''''
'''
2
−−+
−− tttt eeeec
ttbttta
thtgtf
thtgtf
thtgtf
ππ
(5.5) O conjunto de vetores { }3,132,22 22 −−++++ ttttt é linearmente dependente ou independente? Se for linearmente dependente, escreva um de seus vetores como uma combinação linear dos outros dois. (5.6) O vetor (4, 2, 1) é uma combinação linear dos vetores (1, 2, 1), (-1, 1, 2) e (-3, -3, 0)?
(5.7) Para que valores de λ o conjunto { }22,3 2 +++ λtt é linearmente independente?
(5.8) Seja
Álgebra Linear 38
−−
−−=
101
21
102
λ
λ
A Para que valor(s) de λ o sistema homogêneo AX = 0 tem somente a solução
trivial? (5.9) Para que valor(s) de λ o conjunto de vetores ( ) ( ) ( ){ }3,3,2,3,2,2,1,1,52 −−−λ é linearmente dependente? (5.10) Quais dos subconjuntos do espaço vetorial de todas as matrizes M 2x3 são subespaços. Justificar as respostas.
=
fed
cbaM
( ) ( )
( ) ( )
=++
=+
+=
−=
>
+=
0
0,
2
2,
0,00
,00
fdb
caonde
fed
cbad
def
caonde
fed
cbac
conded
cbabcabonde
d
cbaa
39
06 - BASES E DIMENSÃO
Espaço Vetorial V é de dimensão n se existem n vetores E=
→→→
neee ,,, 21 L linearmente
independentes que geram ou descrevem completamente o espaço V, ou seja, cada um dos demais
vetores de V pode ser escrito como combinação linear de
→→→
neee ,,, 21 L .
Os vetores de E são chamados de uma base do espaço vetorial V.
Exemplo 6.1: Bases em 3R (dimensão 3) são formadas por uma terna
→→→
321 ,, eee de vetores
linearmente independentes. Neste caso qualquer outro vetor →
v de 3R
∈∇
→3Rv pode ser escrito
como uma combinação linear dos vetores que formam a base, isto é, existe um único terno de
escalares ( )321 ,, aaa tais que: ∑=
→→
=3
1i
ii eav
Os escalares 321 ,, aaa chamam-se coordenadas (ou componentes) de →
v em relação à base
→→→
321 ,, eee .
Base Natural ou Canônica ( ) ( ) ( )1,0,00,1,00,0,1 de 3213 ===
→→→
eeeR
Exemplo 6.2: Achar a dimensão e uma base para o espaço S solução do sistema homogêneo.
( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )1,0,2,0,70,1,2,0,50,0,0,1,2
3dim
0,0,10,1,00,0,1
valoresquaisquer assumir podem,,
22
752
00000
22100
75021
51863
11321
31221
05863
032
0322
321 −=−=−=
+−=
−+−=
−
−
⇒
−
⇒
=++++
=++++
=+−++
→→→
eee
ensão
rwy
rwz
rwyx
rwzyx
rwzyx
rwzyx
Base Ortonormal do nR é formada por versores ortogonais dois a dois. Sendo a matriz A dos versores da base uma matriz quadrada, a sua transposta é igual a sua inversa. n
TT IAAAA == − seja,ou ,1 . O módulo do determinante é igual a um, 1det =A .
Uma base ortonormal canônica no 3R é normalmente representada por ( )kjirrr
,, (Fig. 6.1).
Para que dois vetores nRveu ∈→→
sejam ortogonais é necessário e suficiente que do teorema de Pitágoras ou pelo produto interno:
0.222
=+=+→→→→→→
vuouvuvu
→
i
→
j
→
k
=
=
=→→→
1
0
0
0
1
0
0
0
1
kji
Fig. 6.1 base canônica do 3R
Álgebra Linear 40
Exemplo 6.3: Verificar que os vetores formam uma base ortonormal para o subespaço U de 5R .
( ) ( ) ( )1,0,0,0,00,1,0,0,00,0,0,5/1,5/2 321 ==−=→→→
eee
versoressão1321 ===→→→
eee
baseumaformamLIsão
oescalonand
∴
−
−
10000
01000
0002/11
10000
01000
0005/15/2
Projeção Ortogonal de um vetor na direção de outro vetor: Dados os vetores nRweu ∈→→
, a
projeção ortogonal do vetor →
u na direção do vetor →
w consiste na determinação de um escalar r que
multiplica o versor de →
w tal que w
wruproj
w
→→
=→ . Conforme figura 6.2.
→
→→
→→→→→→→
→→
===
⇒===⇒=
→ www
wu
w
w
w
wu
w
wruproj
w
wu
w
uwur
u
r
w .
..
.coscoscos
θθθ
A subtração →→
→− uprojuw
é um vetor ortogonal a →
w , usa-se esta propriedade para determinar
bases ortonormais a partir de uma base dada (fig. 6.3).
Processo de Ortogonalização de Gram-Schimidt: Achar uma base ortonormal
nn RdeeeeE ),,,( 21
→→→
= L dada uma base. nn RdegggG
=
→→→
,,, 21 L
→
u
→
w
→
→ uprojw
θ
→
→→
→→→
=→ w
ww
wuuproj
w.
.
Fig. 6.2
→
u
→
w
→
→ uprojw
θ
→→
→− uprojuw
Fig. 6.3
41
Primeiramente determina-se uma base ortogonal nRdefffF ),,,( 321
→→→
= L partindo da base G tal
que:
if
if
if
ii gprojgprojgprojgfgfi
→→→→→→→
−
→→→ −−−−==121
;11 L
Normalizando a base F obtém-se a base E:
i
ii
f
fe
→
→→
=
Exemplo 6.4: Verificar se os vetores ( ) ( ) ( )2,0,1;1,1,1;0,0,1 321 −−===→→→
ggg formam uma
base (são LI). Caso afirmativo, calcular a base ortonormal e verificar a propriedade da transposta.
LI são2
210
010
111
det −=
−
−
=G
=
−
=−==→→→→→
→
1
1
0
0
0
1
1
1
1
1
1
; 222111
gprojgfgff
=
−
−
⇒=
−=
−
=⇒
−
=
−
=
−
−
−
−
−
−
=−−=→→→→
→→
100
010
001
2/12/10
2/12/10
001
2/12/10
2/12/10
001
1det
2/12/10
2/12/10
001
donormalizan
110
110
001
1
1
0
1
1
0
2
2
0
0
1
1
1
2
0
1
3
333321
IEE
E
EF
gprojgprojgf
T
ff
Mudança de Base: Considerando duas bases ),,,(),,(, 3213213
→→→→→→
== fffFeeeeERno ,
escrevendo os vetores da base F como combinações lineares dos vetores na base E.
333223113333222211223312211111
→→→→→→→→→→→→
++=++=++= eaeaeafeaeaeafeaeaeaf
Seja →
v nas bases E e F: ( ) ( )FE yyyvexxxv
3,,,, 21321 ==
→→
.Ou como soma:
:E base Na 332211
→→→→
++= exexexv =++=→→→→
32211 3 :F base Na fyfyfyv
=
+++
+++
++=→
→→→→→→→→→→
33322311333222211223312211111 3 : eaeaeayeaeaeayeaeaeayvFE
( ) ( ) ( ) 332211333232131223222121113212111 333
→→→→→→
++=++++++++ exexexeyayayaeyayayaeyayaya
=
⇔
3
2
1
333231
232221
131211
3
2
1
y
y
y
aaa
aaa
aaa
x
x
x
Álgebra Linear 42
Chama-se a matriz “A” de matriz de mudança de base E para F, mas na verdade a conversão é feita da base nova F para a base antiga E.
FEaaa
aaa
aaa
A
fff
→
→→→
=
333231
232221
131211
321
A matriz de mudança de base EF → é a inversa da matriz de mudança de base FE → .
Exemplo 6.5: Sejam as bases ),,(),,( 321321
→→→→→→
== fffFeeeeE e os vetores
321332123211 422→→→→→→→→→→→→
++=++=−−= eeefeeefeeef
a) Escrever a matriz de mudança de base FEA → . Verificar que os vetores formam uma base
b) Dado o vetor 321 2→→→→
+−−= fffu na base F (Nova). Achar as coordenadas na base E (antiga).
c) Achar a matriz de mudança da base nova para a antiga FEEF AB →−
→ = 1
d) Dado o vetor 321 453→→→→
+−= eeev na base E. Achar as coordenadas na base F (nova).
−
−
=
−
−
−
−=
=
−
−=
→
→
3
2
1
1
2
1
411
121
211
)
LI são12det
411
121
211
)
E
FE
ub
AAa
EF
FEEF ABc
→
→−
→
−
−
−−
==
4/16/112/1
4/12/14/1
4/16/112/7
) 1
−=
=
−
−
−
−−
=→
12/25
4/11
12/19
4
5
3
4/16/112/1
4/12/14/1
4/16/112/7
)
3
2
1
y
y
y
vd F
Mudança de Base Ortonormal
Sejam as bases ),,,(),,,( 2121 nn fffFeeeeE→→→→→→
== LL ortonormais e a matriz de mudança FEA → ,
como os versores →
jf são ortogonais dois a dois, do produto escalar vem:
( )
( )
==+++
≠=+++
=
→
→ kjmmmaaa
kjmmmaaa
aaa
aaa
aaa
Anknjkjkj
nknjkjkj
FEnnnn
n
n
FE 1
0
2211
2211
21
22221
11211
L
L
L
MOMM
L
L
por versor composta é como
0
1:sejaou
n
1i
==
∑
A
j
jaa ikij
Transformação de coordenadas cartesianas
Sejam
=
→→
21 ,,, eeOS
dois sistemas de coordenadas cartesianas no espaço. Sejam ( ),, S ezyxP =
as coordenadas de um ponto P em relação a S e Sejam ( ),,' S ecbaO =
as coordenadas de O’ e O em relação a S e S’ respectivamente.
231133
221122
211111
1'
eaeaf
aeaf
eaeaf
beaOO
→→→
→→→
→→→
→
+=
+=
+=
+=−
'
−
−
−
−
OP
OP
OO
OP
S
T
S
z
y
x
A
z
y
x
A
+
=
''
'
'
O
(
1det espor versor
ortonormal matriz1
=⇒
=⇔=⇔≠
=−
M
AAIAAkj
kj Tn
T
ransformação de coordenadas cartesianas
=
→→→→
3213 ,,,'', fffOSee
dois sistemas de coordenadas cartesianas no espaço. ( ) '',',' SzyxPe =
as coordenadas de um ponto P em relação a S e S’ respectivamente. ( ) '',',' ScbaOe =
as coordenadas de O’ e O em relação a S e S’ respectivamente.
'333231
232221
131211
'
3332
3322
3312
32
SS
SS
aaa
aaa
aaa
A
eae
eae
eae
eceb
→
→
→→
→→
→→
→→
=
+
+
+
+
( ) ( ) ( )
321
321
321
321
''''
'→→→
→→→
→→→
→→→
++=
−+−+−=
++=
++=
fzfyfxO
eczebyeaxO
ecebeaO
ezeyexO
( )T
SS
SSSS
AA
z
y
x
c
b
a
ou
z
y
x
c
b
a
z
y
x
A
cz
by
ax
=
=
+
=
+
⇒
−
−
−
−1
''
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
( )ScbaO ,,'=
43
).ortonormal
Álgebra Linear 44
Exercícios Propostos (6) (6.1) Os polinômios 13,1,1 2 +−− ttt formam uma base do subespaço 2≤nPn ? Se possível
escrever o vetor 652 2 +− tt na base. (6.2) Dados cinco vetores do 4R , achar uma base para o subespaço gerado por estes vetores.
( ) ( ) ( ) ( ) ( )3,5,3,53,3,3,32,3,2,3;1,2,1,2;2,1,2,1 54321 =====→→→→→
uuuuu (6.3) Os vetores (-1, 2, 1), (2, 1, -1) e (0, 5, -1) geram 3R ? (6.4) O conjunto de vetores { }2,12,1 22 −+++− ttttt constitui uma base para 2P ? (6.5) Ache uma base para o subespaço de 4R que consiste em todos os vetores da forma (a + b, b + c, a – b – 2c, b + c). Qual a dimensão deste subespaço? (6.6) Ache a dimensão do subespaço de 2P que consiste em todos os polinômios 21
20 atata ++ ,
onde 02 =a . (6.7) (a) Ache uma base para o espaço-solução do sistema homogêneo
032
022
54321
54321
=+−++
=++−+
xxxxx
xxxxx
Qual a dimensão do espaço-solução? (6.7) (b) Achar um sistema homogêneo cujo conjunto das soluções seja gerado por: {(1,-2,0,3,-1),(2,-3,2,5,-3)(1,-2,1,2,-2)} (6.8) Seja S = {(1, 2, -1, 2), (0, -1, 3, -6), (2, 3, 1, -2), (3, 2, 1, -4), (1, -1, 0, -2)}. Ache uma base para [ ].SV = (6.9) Ache o posto da matriz
−
−−
−
−
−
42113
52221
14132
32310
13121
.
(6.10) Use o processo de Gram-Schmidt para achar uma base ortonormal para o subespaço de 4R com base {(1, 0, 0, -1), (1, -1, 0, 0), (0, 1, 0, 1)}. (6.11) Dada a base ortonormal:
( ) ( ) ( ){ }2/1,0,2/1,0,1,0,2/1,0,2/1 −=S
De 3R , escreva o vetor (1, 2, 3) como combinação linear dos vetores de S. (6.12) Ache uma base para o espaço-solução do sistema homogêneo
45
023
02222
0233
54321
54321
54321
=+−++
=+−++
=+−++
xxxxx
xxxxx
xxxxx
(6.13) O conjunto de vetores {(1, -1, 1), (1, -3, 1), (1, -2, 2)} forma uma base para o 3R ? (6.14) Use o processo de Gram-Schmidt para achar uma base ortonormal para o subespaço de 4R
com base ( ) ( ) ( ){ }0,0,1,3,0,0,1,1,0,1,0,1 −− .
(6.15) Responda certo ou errado a cada uma das perguntas (a) Se as colunas de uma matriz n x n formarem uma base para nR , o mesmo acontece com suas linhas. (b) Se A é uma matriz 8 x 8 tal que o sistema homogêneo AX = 0 tem somente a solução trivial, então posto A < 8. (c) Todo conjunto ortonormal de cinco vetores em 5R é uma base para 5R . (d) Todo conjunto de vetores linearmente independente em 3R contem três vetores. (e) Se A é uma matriz simétrica n x n, então posto A = n. (f) Todo conjunto de vetores que gera 3R contem pelo menos três vetores. (6.16) Dado um sistema ortogonal de coordenadas S, os pontos O=(0,0,0), A=(2,0,0), B=(2,0,2) e C=(0,0,2) são vértices de um quadrado. A origem do novo sistema S’ é o centro do quadrado O’. Os novos eixos x’ e z’ são as diagonais orientadas pelos vetores O’-O e O’-A. Determinar as equações matriciais de mudança de base.
(6.17) Seja ),,,(→→→
kjiOS um sistema ortogonal de coordenadas. Dados: →→→→→→→→→→
+=+=−+= jiekiekjie 32 321
( )
→→→→→→→→→
→→→
213312321
321
,a ortogonal é,a ortogonal é,a ortogonal é
:que tal,,,' sistema umAchar
eefeefeef
fffOSa
(b) Achar as equações matriciais de mudança de base.
Álgebra Linear 46
07 - TRANSFORMAÇÕES LINEARES
Função é a relação entre conjuntos numéricos que seguem certas regras, na figura 7.1 estão ilustradas não funções e funções com seus respectivos nomes. Da teoria das funções é a função que relaciona cada elemento do conjunto A (domínio), um único elemento do conjunto B (contradomínio). Ao subconjunto de B formado por
, tal que, chama-se imagem.
Supondo que os elementos dos conjuntos são vetores então: Sejam U e V espaços vetoriais, a função chama-se transformação linear se forem satisfeitas as propriedades de soma vetorial e produto de escalar por vetor como segue:
BAf →:
Bb ∈ ( ) baf =
VUT →:
( )
( )escalaréeUuuonde
uTuTuuTS
uTuTP
α
αα
∈
+
=
+
=
→→
→→→→
→→
21
2121
11
,:
:
:
4
3
2
1
a
a
a
a
nb
b
b
b
M
3
2
1
f
4
3
2
1
a
a
a
a
nb
b
b
b
M
3
2
1
4
3
2
1
a
a
a
a
5
4
3
2
1
b
b
b
b
b
Ñ é função
Ñ é função
4
3
2
1
a
a
a
a
5
4
3
2
1
b
b
b
b
b
Injetora
5
4
3
2
1
a
a
a
a
a
4
3
2
1
b
b
b
b
Sobrejetora
5
4
3
2
1
a
a
a
a
a
5
4
3
2
1
b
b
b
b
b
Bijetora
Fig. 7.1. Relações e funções
47
Ou seja, a transformação é dita linear se preservar as duas operações básicas dos espaços vetoriais, como conseqüência tem-se:
(a transformação do zero sempre leva a zero)
Unindo as duas operações (S) e (P)
Exemplo 7.1: Verificar se a derivação e a integração (definida) de
polinômios na variável t são transformações lineares.
Exemplo 7.2: Verificar se a transformação - projeção no plano do vetor tridimensional é linear.
Matriz de uma Transformação Linear é a matriz que multiplica os vetores de U obtendo como resultado os vetores de V que são imagem da transformação. Esta matriz depende das bases envolvidas na transformação e representa-se por :
Exemplo 7.3: Achar a matriz da transformação rotação de vetor no plano, na base natural.
( ) 00000 Sendo 11 =
==
⇒=
→→
uTTuTα
++
+
=
+++
→→→→→→
nnnn uTuTuTuuuT αααααα LL 22112211
UUD →: RV →∫:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
UuuRonde
dttudttudttutu
dt
tud
dt
tud
dt
tutud
∈∈
=+=
+
+
=
+
→→
→→→→
→→→→
∫∫∫
21321
322112211
2
2
1
1
2211
,,,,,: βαααα
ααααα
αα
αα
β
α
β
α
β
α
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )
+
=+=++=+++
=+=
+==
→→
→→→→
2122112121212121
2221112122221111
,,,,,
,,,,:;,,;,,
uTuTyxyxyyxxzzyyxxT
zyxzyxTuuTSzyxuzyxu
( ) ( ) ( ) ( )
====
→→
111111111 ,,,,: uTyxyxzyxTuTP αααααααα
[ ] AouT
[ ]→→→→→→
==
==
→ vuAuTouvuTuTVUT .:
→
1u
→
1uT
x
y
z
( ) ( ) ( )yxyxzyxTRRT ,0,,,,: 23 ==→
Fig. 7.2. Projeção ortogonal no plano
Álgebra Linear 48
Supondo que o vetor rotaciona no sentido anti-horário de um ângulo θ, conforme representado na figura 7.3. As novas coordenadas x’ e y’ em função das coordenadas antigas x e y, são dadas na dedução
Fig. 7.3
Outro modo de determinar a matriz da transformação linear na base natural, além do método direto, é transformar esta mesma base natural de U, colocando os vetores transformados como colunas da matriz A.
Exemplo 7.4: Achar a matriz da transformação translação no plano, definida por:
Não é transformação linear, pois a transformação do zero é diferente de zero. Exemplo 7.5: Criptografar o texto “Vou estudar” usando a matriz A da transformação linear T, fazendo correspondência entre as letras do alfabeto e seus ordinais.
( ) ( ) ( )
=
−=
+−==→
'
'
cossin
sincos
sincos,sincos',',:
y
x
y
x
y
xT
xyyxyxyxTVUT
θθ
θθ
θθθθ
( ) ( )( ) ( )
−=⇒
−=
=
θθ
θθ
θθ
θθ
cossin
sincos
cos.1,sin.11,0
sin.1,cos.10,1A
T
T
( ) ( )
=
++=
1
1
0
01,1, TyxyxT
2625242322212019181716151413121110987654321
A ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCB
[ ]
( ),84,1505,47,73,4224,49,93,237,80,138,:da transmitimensagem
150
84
42
24
24
18
;
73
47
25
1
4
21
;
93
49
24
20
19
5
;
138
80
37
21
15
22
matriz pelar multiplica ,necessário secompletar vetores,em mensagem aseparar
223
112
011
4;1;18;19;20;21;22;15;21;5estudarVou
=
=
=
=
==
AAAA
A
x x'
y
y'
θ
α
( )( )
θθ
θθ
αθθαθα
θαθαθα
α
α
sincos'
sincos'
cossincossinsin'
sinsincoscoscos'
sin
cos
xyy
yxx
uuuy
uuux
uy
ux
+=
−=
+=+=
−=+=
=
=
49
Exemplo 7.6: Decodificar a mensagem do exemplo 4.
Núcleo e Imagem de uma transformação linear O núcleo de T (ker T) é o conjunto dos elementos de U que transformados por T resultam no elemento neutro (zero) de V.
A Imagem de T (Im T) é o conjunto imagem da transformação T como definida para as funções, ou seja, A imagem é formada pelos elementos de V que resultam da transformação.
Exemplo 7.7: Determinar a matriz A, bases para o núcleo e imagem e as respectivas dimensões para a transformação do exemplo 2.
=
=
=
=
−−
−
−
= −−−−−
24
24
18
150
84
42
1
4
21
73
47
25
20
19
5
93
49
24
21
15
22
138
80
37
111
121
12011111 AAAAA
VUT →:
→→→→
=
∈∈ 0:ker0 uTquetalUuTV
→→→
=
∈ vuTquetalVvT :Im
( ) ( ) ( )
⇒
=
==
==→
→→
canônica base da
çãotransforma.
,0,,,,: 23
y
x
z
y
x
TuAuT
yxyxzyxTRRT
=
=
=
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
1
TTT
( )
( ) 2Imdim1
0
0
1Imp/ base
010
001
matriz da colunas são imagem ados transformvetores
:Matricial çãoRepresenta
=
=
=
=
TT
y
x
z
y
x
z
y
x
T
A
( )
z)(0,0,ser vaiimagem a zqualquer para pois
1kerdim
1
0
0
kerp/ possível base
z
0
0
ker
0
0
0
0
010
001
0. homogêneolinear sistema um de solução a éker
=
=
=
=⇒
=
=
=→→
TTT
y
x
z
y
x
z
y
x
T
uAT
Álgebra Linear 50
A dimensão de U é igual à dimensão do núcleo de T + dimensão da imagem de T
Verificação para o exemplo 7.7: A dimensão de U é 3 igual a soma da dimensão da imagem de T (2) e da dimensão do núcleo de T (1).
Exercícios Propostos (7)
(7.1) Quais das seguintes são transformações lineares?
( ) ( ) ( )
−
+=
−
+
=
+
+
=
2
21
yy
xx
y
xTc
zx
y
yx
z
y
x
Tb
yx
y
x
y
xTa
( ) ( ) [ ] ( )
=
=
−
+
=
0.
2
0x
z
y
x
Tfyxy
xTe
zx
yx
z
y
x
Td
(7.2) Seja 22: RRT → uma transformação linear sobre a qual sabemos que
.2
1
1
0
3
2
1
1
=
−=
TeT
( ) ( )
− b
aAcharTbTAchara
2
3
(7.3) Usando a matriz A do exemplo 4, criptografe o seu nome e decodifique a mensagem
(24,49,93,4,20,39,4,12,21,7,27,48,21,65,110) (7.4) Seja 32: PPT → uma transformação linear sobre a qual sabemos:
( ) ( ) tttTettTT +=== 322 )(;11 .
( ) ( ) ( )cbttAcharTbttAcharTa +++− 22 )352(
(7.5) Suponha que 22: RRT → é a transformação linear definida por ).0,(),( 121 aaaT = (a) (0, 2) pertence à ker T? (b) (2, 2) pertence à ker T? (c) (3, 0) pertence à Im T? (d) (3, 2) pertence à Im T? (e) Ache ker T. (f) Ache Im T.
( ) ( )TTU Imdimkerdim)dim( +=
( )3R
51
(7.6) Seja T: 22 RR → a transformação linear definida por
.42
21
2
1
2
1
=
a
a
a
aT
(a) O vetor
2
1 pertence a ker T?
(b) O vetor
−1
2 pertence a ker T?
(c) O vetor
6
3 pertence a Im T?
(d) O vetor
3
2 pertence a Im T?
(e) Ache ker T. (f) Ache um conjunto de vetores que gerem Im T.
Álgebra Linear 52
08 - TRANSFORMAÇÕES SOBREJETIVA e INJETIVA
A transformação linear é sobrejetiva se transformando uma base de U para V, esta transformação gerar o espaço V.
A transformação linear é injetiva se o núcleo desta transformação for somente o vetor nulo, a
transformação neste caso também é chamada de não singular.
Transformação linear bijetora e uma transformação sobrejetora e injetora simultaneamente.
Obtenção da matriz de transformação a partir da base A matriz da transformação linear pode ser obtida transformando uma base de U. Sendo esta
base canônica, a matriz é obtida simplesmente escrevendo os vetores obtidos como colunas desta matriz. Se a base não for canônica é necessário fazer uma mudança de base nos vetores obtidos da transformação.
Exemplo 8.1: Achar uma base para o núcleo e uma base para a imagem da transformação linear
Transformando a base canônica de U
VVdebaseuTuTuTUdebaseuuu nn espaço o gera que,,;,,, 2121
→→→→→→
LL
→
= 0kerT
( ) ( )zxtzyxtzyxTRRT +++=→ ,,,,,: 34
+
+
+
=
==
=
=
=
=
=
→→
zx
tz
yx
t
z
y
x
uA
t
z
y
x
TuT
TTTT
0101
1100
0011
0
1
0
1
0
0
0
1
1
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
1
0
1
0
1
0
0
0
1
( )
⇒
=⇒
−
1
0
0
0
1
0
0
0
1
ser pode base a
asobrejetiv é como
1
1
0
0
0
1
1
0
1
ser pode de imagemp/ base uma
3ImdimLI são vetoresdos 3
1100
1010
1001
T
T
Aoescalonand
( ) ( ) ( ) ( ) 1kerdimImdimkerdimdim =⇒+= TTTU
53
Exemplo 8.2: Achar bases para ker T e Im T:
Exemplo 8.3: Achar bases para ker T e Im T:
−=
−=
=
⇒=
+
+
−
=
−→
tz
ty
tx
tz
ty
tx
t
z
y
x
0
1100
1010
1001
−
−=
1
1-
1-
1
éker de
possível base uma ker
T
t
t
t
t
T
=
→
b
a
b
aTRRT
42
21: 22
( )
( )
−=
−=
⇒−=⇒=+⇒
=
=
1
2ker1kerdim
2ker
2020
0
00
21
2
1Im1Imdim
LD são vetoresos00
21
TbaseTb
bT
babab
a
TpossívelbaseT
Aoescalonand
−
−−
−
−−
=
=
→
→
→→
t
w
z
y
x
t
w
z
y
x
T
uAuT
RRT
VUT
01100
15102
12001
13101
:
:45
−
00000
10000
01100
02001
Aoescalonand
injetoraÑTpossívelbase
w
w
y
w
T
y
t
wz
wx
t
wz
wx
−
−
=
∀
=
=
−=
⇒=
−
+
→
0
1
1
0
2
0
0
0
1
0
ker
0
2
ker0
2
0
0
2
Álgebra Linear 54
Exemplo 8.4: Seja a base de . Ache as coordenadas dos seguintes vetores
(dados na base natural ou canônica C) relativamente à base .
Os vetores na base natural são escritos como combinação linear dos vetores que formam a nova base (conforme capítulo 5)
Transformações e Mudanças de bases feitas por operador linear único: Para determinar a matriz ou operador linear de transformação , basta transformar a
base canônica de U para V
( ) ( ) ( ) ( ) 2kerdimImdimkerdimdim =⇒+= TTTU
( )
asobrejetivÑTbase
T
−
−
−
−
−
−
=⇒
0
1
1
1
1
1
0
1
0
2
1
1
Im
3ImdimLI são vetoresdos 3
{ }tttB ,1,12 −+= 2P→
u B
( ) ( ) ( ) ( ) 13122 22 +−+−−+ tdttctbta
( ) ( ) ( ) ( )
−=
−
−=
⇒
−
=
−
==⇒=
⇒+−++=+
→−
→→→
1
1
1
2
0
1
111
101
001
011
110
001
2
0
1
011
110
001
..
base) de mudança em vistofoi que o com acordo (de
112
1
22
BBC
CBBC
z
y
x
z
y
x
BondeuBuuBu
tztytxta
−−
−=−
111
101
0011B
( )
( )
( )
BC
BC
BC
Bd
Bc
Bb
−=
−
−
−=
−
−=
−
−
−=
−
=
−
−
−=
−
−
−
−
0
1
0
1
1
0
111
101
001
1
1
0
1
2
1
3
1
1
111
101
001
3
1
1
1
1
0
1
2
0
111
101
001
1
2
0
1
1
1
[ ]CCT →
55
O vetor sofre mudança de base por B e em seguida é transformado por , estamos
procurando um operador linear tal que . Para determinar basta
transformar a base B de U.
Lembrando que: Temos:
O vetor pode ser transformado por e sofrer em seguida mudança de base por B
ou sua inversa, mas os dois operadores lineares podem ser combinados:
Estamos procurando uma matriz tal que
Exemplo 8.5: Sabendo que a transformação definida por
é linear.
(a) Achar as matrizes mudança de base . Verificar que uma matriz é a
própria base B é a outra a matriz inversa de B.
[ ]
=→
100
10
001
L
MOMM
L
L
TT CC
VUT →:
[ ]CBT → [ ]→
→
→
= BCBC uTv [ ]CBT →
CBBCCBBC vBvvBvuBuuBu→
−→→→→
−→→→
=⇔==⇔= 11
[ ]
[ ] [ ][ ] [ ]
[ ] [ ]BTT
BTTuBTvuT
vuT
CCCB
CCCB
BCCCCCC
CBCB
→→
→→→
→
→→
→
→→
→
=
=⇒
==
=
VUT →:
[ ]BCT → [ ]→
→
→
= CBCB uTv
[ ] [ ]
[ ][ ] TBT
uTv
uTBvuTvvBvvBv
BC
CBCB
CCCBCCCCCBBC
1
11 ;
−
→
→
→
→
→
→
−→→
→
→→−
→→→
=
=
==
=⇔=
[ ]
[ ]
=
=
→
→
VB
UCT
VC
UCT
BC
CC
de base na outro para
de base na vetor o a transformquelinear ação transformda Matriz
de base na outro para
de base na vetor o a transformquelinear ação transformda Matriz
onde
33:: ℜ→ℜ→ TVUT
CCx
yx
zy
z
y
x
T
−
+
=
3
4
23 do base outra e canônicaou natural base a é Onde ℜBC
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
====
====→→→→→→
0,0,1,0,1,1;1,1,11,0,0,0,1,0,0,0,1 321321 bbbBcccC
1−
→→ == BMeBM CBBC
Álgebra Linear 56
(b) Verificar que
( )
( )
( )
( )
BM
cccb
cccb
cccb
aSol
BC
BC =
=
++==
++==
++==
→
→
→→→→
→→→→
→→→→
001
011
111
0010,0,1
0110,1,1
1111,1,1
lineares scombinaçõe as fazendo :
3213
3212
3211
( )
( )
( )
1
3213
3212
3211
011
110
100
0111,0,0
1100,1,0
1000,0,1
−
→
→
→→→→
→→→→
→→→→
=
−
−=
+−==
−+==
++==
BM
bbbc
bbbc
bbbc
CB
CB
( )( )
=
−
−
== −→→
100
010
001
011
110
100
001
011
111
31 IBBMM CBBC
=
==
→
→
→−
→
Bu
uuBu
B
C
CB
base navetor
natural base navetor onde1
( )
BC
CB
B
BC
yx
zy
z
z
y
x
uBu
yx
zy
z
u
z
y
x
ubSol
−
−=
−
−==
−
−=
=
→−
→
→→
011
110
100
acima lineares scombinaçõe pelas então sendo:
1
C
[ ] [ ]
[ ]
[ ]
=
=
=
→
→
→−
→
VB
UBT
VC
UCT
BTBT
BB
CC
CCBB
de base na outro para
de base na vetor o a transformquelinear ação transformda Matriz
de base na outro para
de base na vetor o a transformquelinear ação transformda Matriz
onde
queVerificar (c) 1
( )
[ ]
[ ]
−−=⇒
=
−=
−=
−=⇒
=
−=
=
→
→
333
133
023
3
1
0
0
0
1
3
3
2
0
1
1
3
3
3
1
1
1
003
041
120
0
0
1
1
0
0
0
4
2
0
1
0
3
1
0
0
0
1
ação transformde matrizes as se-acha bases as ndotransforma:
CB
CC
TTTT
TTTT
cSol
57
Exemplo 8.6: Achar as matrizes das transformações relativamente às bases C de U e V e a base B de U e V, onde C é a base natural e , ambas do R².
Transformando os vetores que formam a base natural, tem-se a matriz de transformação.
De acordo com o que foi visto em mudança de base, a base B é a matriz de mudança da base natural para a própria base B, ou seja:
ou
[ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ]
−
−−−=
−
−
−==
−
−−−==
=
→→
−
→−
→
→
156
266
333
001
011
111
003
041
120
011
110
100
156
266
333
de base na outro para
de base na vetor o a transformquelinear ação transformda Matriz
1
1
BBCC
CBBB
CB
TPTP
TPT
VC
UBT
VUT →:( ) ( ){ }5,2,3,1=B
( ) ( ) ( )
−=
−=
yx
y
y
xTyxyyxTa
3
23,2,
( ) ( ) ( )
+
−=
+−=
yx
yx
y
xTyxyxyxTb
5
435,43,
−=
=
= −
13
25
53
21
10
01: 1BBCSol
( )
[ ]
−=
−=
=
→ 13
20
1
2
1
0
3
0
0
1
de canônica base a ndotransforma
CCTTT
Ua
[ ] ( )
[ ]→
→
→→
→
→
=
=
CCuTvVCvUC
uTT
CCC
CCC
de base na vetor no , de base na
vetor o a transformque linear çãotransforma de Matriz
[ ]
mentesimultanea rmandoou transfo
10
106
1
10
5
2
0
6
3
1
vetora vetor base a ndotransforma
=⇒
=
=
→CBTTT
B
[ ] [ ]( ) [ ]
[ ]
[ ]→
→
→→
→
→
→→
=
=
=
−===
BCB
BCB
CCCB
uTvVCv
UBuTT
BTBTT
de base na vetor no
de base na vetor o a transformque de Matriz
10
106
53
21
13
20
=⇔=
→−
→→→
uBuuBu BBC1
=⇔=
→−
→→→
vBvvBv BB1
22
Álgebra Linear 58
Exemplo 8.7: Dada à transformação e as bases naturais e as bases
(a) Achar a matriz da transformação em relação às bases C de U e V,
(b) Achar a matriz da transformação em relação às bases B1 de U e C de V,
(c) Achar a matriz da transformação em relação às bases C de U e B2 de V,
(d) Achar a matriz da transformação em relação às bases B1 de U e B2 de V,
(e) Transformar usando as matrizes achadas.
[ ] [ ]
[ ] [ ]
[ ]
[ ]→
→
→→
→
→
→−
→
→
−
→
=
=
=
−−=
−==
BBBBB
BBB
CCBB
CBBB
uTvVBv
UBuTT
BTBTou
TBT
de base na vetor no
de base na vetor o a transformque de Matriz
2918
4830
10
106
13
25
1
1
( ) [ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ]
−−=
−−
−==
−−=
−==
−=
−=
=
→−
→
→→
→
6943
12477
2716
149
13
25
2716
149
53
21
51
43
51
43
5
4
1
0
1
3
0
1:
1CBBB
CCCB
CC
TBT
BTT
TTTbSol
32:: RRTVUT →→
32
21
1
1
1
,
1
1
0
,
0
1
1
1
0,
1
1RdoBeRdoB
−
−
[ ]CCT →
[ ]CBT →1
[ ]2BCT →
[ ]21 BBT →
2
1
( )
U
yx
yx
yx
y
xTRRTaSol
de canônica base a ndotransforma
2:: 32
+
+
−
=
→
[ ]
−
=⇒
−
=
=
→
11
12
11
1
1
1
1
0
1
2
1
0
1CCTTT
[ ] ( )
[ ]→
→
→→
→
→
=
=
uTvVCvUC
uTT
CC
CC
de base na vetor no , de base na
vetor o a transformque linear çãotransforma de Matriz
59
De acordo com o que foi visto em mudança de base, a base B1 é a matriz de mudança da base natural para a própria base B1, ou seja:
A base B2 é a matriz de mudança da base natural para a própria base B2, ou seja:
Exercícios Propostos (8)
(8.1) Seja T: 32 RR → definida por
T (x, y) = (x, x + y, y). (a) Ache ker T. (b) T é injetora? (c) T é sobrejetora?
( )
[ ]
[ ] [ ]( ) [ ]
−
=
−
−
===
−
=⇒
−
=
=
−
→→
→
10
11
12
11
01
11
12
11
mentesimultanea rmandoou transfo
10
11
12
1
1
1
1
0
0
1
2
1
1
vetora vetor base a ndotransforma:
111
1
1
BTBTT
TTT
BbSol
CCCB
CB
=⇔=
→−
→→→
uBuuBu BB1
11
=⇔=
→−
→→→
vBvvBv BB1
22
( ) [ ] [ ]
[ ]
−
−
=
−
−
−
=
−==
→
−
→
−
→
3/10
3/41
3/21
3/13/13/1
3/23/13/1
3/13/13/2
110
111
101
;
2
122
122
BC
CCBC
T
BBTBTc
( )[ ] [ ] [ ]
−
−
−
=== →
−
→
−
→
3/13/1
3/43/1
3/23/5
11
211
221 BTBTBTd CCCBBB
( )
( )[ ] ( )[ ]
( )[ ] ( )[ ]
−
−
=
−
−
=
−
=
−
=
=
==
=
→
→
→
→
→
→
→
→
→−
→→
3/2
3/11
3/1
3/2
3/11
3/1
3
4
1
3
4
1
3
1
2
1
11
01
2
1
1212
11
111
BBBBC
BCBCC
B
uTduTc
uTbuTa
uBuue
Álgebra Linear 60
(8.2) Seja 33: RRT → definida por
.
211
132
224
−−
−=
z
y
x
z
y
x
T
(a) A transformação T é injetora? (b) Ache dimensão de Im T.
(8.3) Suponha que 34: RRT → é definida por
.
−
−
+
=
wz
zy
yx
w
z
y
x
T
(a) A transformação T é sobrejetora? (b) Ache a dimensão de ker T.
(8.4) Seja
−=
3
2,
1
1B Uma base para 2R . Achar os valores das coordenadas dos seguintes
vetores, relativamente a B.
−
−
3
2)(
13
12)(
7
3)(.
7
3)( dcba
(8.5) Seja 22: RRT → uma transformação linear. Suponha que a matriz de T relativamente à
base
=→→
2,1 uuB é
−=
=
−
−=
→→
1
1
2
1
41
3221 ueuondeA ,
.
(a) Calcular BB
uTeuT
→→
21
(b) Calcular ).()( 21
→→
uTeuT
(c) Calcular
−
3
2T .
(8.6) Seja a base
31
0
0
1
,
1
2
0
,
2
1
1
RdoB
−= . Ache as coordenadas em relação à 1B dos seguintes vetores
.
4
2
1
)(.
5
5
2
)(.
3
4
3
)(.
2
4
1
)(
−
−
−
dcba
61
(8.7) .
0
1
1
,
1
0
1
,
3
1
1
2
−
B Ache as coordenadas em relação à 2B dos seguintes vetores
.
5
1
0
)(.
1
0
1
)(.
1
0
2
)(.
3
2
2
)(
−
−
−
−
dcba
(8.8) Seja a base { } 11 1,2 PdettB −+= . Ache os vetores das coordenadas dos seguintes vetores
relativamente à 1B . ( ) ( ) ( ) ( ) 5221233 −+−−+ tdtctbta
(8.9) Seja 22: RRT → definida por
.2
2
−
+=
yx
yx
y
xT Seja C a base canônica de 2R e
−=
0
2,
2
1B outra base para o 2R .
Achar a matriz de T relativamente a (a) C (b) C e B (c) B e C (d) B
(e) Calcular
2
1T usando a definição de T e também usando as matrizes obtidas em (a), (b),
(c) e (d).
(8.10) Seja 33: RRT → definida por
+
−
++
=
zy
yx
zyx
z
y
x
T
2
2
2
Seja C a base canônica de 3R e
=
1
0
0
,
1
1
0
,
1
0
1
B outra base de 3R . Achar a matriz de T relativamente a
(a) C (b) C e B (c) B e C (d) B
(e) Calcule
− 2
1
1
T usando as representações obtidas em (a), (b), (c) e (d).
(8.11) Seja 23: RRT → definida por
−
+=
zy
yx
z
y
x
T .
Sejam 21 CeC bases canônicas de 23 ReR respectivamente. Considere também as bases
22
31 2
1,
1
1
1
1
1
,
0
1
0
,
0
1
1
RdeBRdeB
−=
−
=
Achar a representação de T relativamente a: ( ) ( ) 2121 BeBbCeCa
(c) Calcular
3
2
1
T usando ambas as representações.
Álgebra Linear 62
09 - DIAGONALIZAÇÃO
Aplicação: Vários processos na engenharia são descritos por matrizes quadradas e por suas potências. Sendo a matriz “A n x n” conhecida e necessita-se de , se a matriz for diagonal a potência fica resumida a efetuar a potência dos números sobre a diagonal.
Se a matriz A não for diagonal, mas existe a matriz P não singular tal que:
As colunas da matriz P nxn são os autovetores associados aos autovalores da matriz A Autovalores e Autovetores Dada a matriz A n x n. O escalar λ é um autovalor de A se existir um vetor não nulo ,
denominado autovetor em tal que:
Reescrevendo a equação acima:
O termo é um operador linear (matriz de transformação quadrada) que esta se
procurando o núcleo desta transformação linear. Exemplo 9.1: Dada a matriz A 2 x 2, achar se possível os autovalores e autovetores associados.
Para determinar os autovalores acha-se o determinante denominado polinômio característico
Igualando o polinômio a zero têm-se a equação característica cujas raízes são os autovalores
kA
=
=
kn
k
k
k
n
AA
λ
λ
λ
λ
λ
λ
00
00
00
00
00
00
2
1
2
1
L
MOM
L
L
L
MOM
L
L
1
1
1
1
1
00
00
00
−− =⇒
== PPDADsendoPDPA kk
λ
λ
λ
L
MOMM
L
L
nXnR
( )1.. −=→→
equaçãouuA λ
( ) 0...... =−⇒−⇒=→→→→→
uAIuAuuuA nλλλ
( )AIn −.λ
( )
0.42
11.
42
11
10
01.
0..linear ação transformda núcleo o dodeterminan;42
112
=
−
−−=
−−
⇔=−
−=
→
y
x
y
x
uAIA
λ
λλ
λ
( ) ( )( )
( ) 65
24142
11
2 +−=
⇔+−−=−
−−=
λλλ
λλλ
λλ
f
f
63
A matriz A depende da base utilizada, mas as raízes do polinômio característico, os autovalores não dependem da base escolhida.
Para cada autovalor acha-se o autovetor ou autovetores correspondentes substituindo λ na equação característica
Matrizes Semelhantes A matriz M é dita semelhante à matriz A se existir a matriz P não singular tal que
Matriz Diagonalizável
A matriz A n x n é diagonalizável se for semelhante a uma matriz D diagonal, ou seja, se e somente se tiver n autovetores linearmente independentes, os elementos da diagonal de D são os autovalores de A e a matriz P tem suas colunas formadas pelos n autovetores de A, sendo
Utilizando o polinômio característico, uma matriz é diagonalizável se todas as raízes deste polinômio forem reais e distintas. Caso o polinômio característico tenha uma raiz (λ) dupla ou de multiplicidade k, se este autovalor tiver associado a ele k autovetores linearmente independentes, a matriz é diagonalizável. Caso contrário a matriz não é diagonalizável. Retomando o Exemplo 9.1: Determinar
sautovalore32065 212 ==⇒=+− λλλλ
( )
( )
===⇒=
∈
=
=
=⇒
=−
=−⇒=
−
−−⇔=−⇒=
→
→
→
1
1 é 2autovalor ao associadoautovetor um11 fazendo
qualquer real número um é onde1
1.
022
00.
422
1120.22
121
1
21
uxx
Ry
yu
yxyx
yx
y
xuAI
α
ααα
λ
( )
=
=
=
=
=⇒
=−
=−⇒=
−
−−⇒=−=
→
→
→
2
1 é 3autovalor ao associadoautovetor um
1 fazendo exemplopor 2
1.
2
202
020.
432
1130.33
2
2
22
u
x
xu
xyyx
yx
y
xuAI
αα
λ
11 −− == PMPAouAPPM
APPDPDPA 11 −− =⇔=
10A
A
PDPAPPD
=
−=
−
−
⇒
=
−
−=
=
= −−
42
11
11
12
30
02
21
11
ocomprovaçã11
12
21
11
30
02 11
−
−=
−
−
=
−
−
== −
117074116050
5802557001
11
12
3.22
32
11
12
30
02
21
111010
1010
10
1011010 PPDA
Álgebra Linear 64
Exemplo 9.2: Supondo que uma população é dividida nas classes C1, C2 e C3. A cada geração a probabilidade de mudança ij → entre as classes sociais é ija , dada pela matriz A de transição e o
vetor B de estado inicial (1ª geração). Após k gerações; pode-se calcular a distribuição da população, multiplicando a distribuição inicial por KA . A determinação da potência fica muito facilitada por (como afirmado no começo do capítulo).
Exemplo 9.3: Dada a matriz A, diagonalizar se possível.
ável.diagonaliz é não matriz a LD são e Como
0
1
0
020
0
0
.
000
200
101
1
32
3232
Auu
uuz
zx
z
y
x
→→
→→
→
==
=−
=⇒
=
−
−
⇒== αλλ
Exemplo 9.4: Dada a matriz A, diagonalizá-la se for possível.
1−= PPDA kk
3
2
1
3
2
1
321
4/1
4/1
2/1
;
2/14/10
2/12/12/1
04/12/1
C
C
C
B
C
C
C
A
CCC
=
=
( ) λλλλ
λ
λ
λ
2
1
2
3
2/14/10
2/12/12/1
04/12/123 +−=
−−
−−−
−−
f
−
=
=
=−
=
−
−−
−
⇒=
=
=
=
=
−
−−
−
⇒=
→
→
1
0
1
00
0
0
04/10
2/102/1
04/10
2/1
1
2
1
2
2
0
0
0
2/14/10
2/12/12/1
04/12/1
1
22
11
uy
zx
z
y
x
uzy
yx
z
y
x
λ
λ
−
−=
−
−
=
=
−=
−=
−=
=
−−
−−−
−−
⇒=
−
→
4/14/14/1
2/102/1
4/14/14/1
111
202
111
000
02/10
001
1
2
1
2
2
0
0
0
2/14/10
2/12/12/1
04/12/1
0
1
33
PPD
uzy
yx
z
y
x
λ
( ) ( )
=
−=
=−
=
−
−−
−
=
===⇒
−=
−
−−
−
=
=
→
0
0
1
2
0
0
0
0
.
100
210
100
0
1;0
1
100
210
10
;
100
210
100
11
321
2
uzy
z
z
y
x
fA
λ
λλλ
λλ
λ
λ
λ
λ
65
Exemplo 9.5: Dada a matriz A 3 x 3, achar se possível os autovalores e autovetores associados.
( ) ( ) 1;01
101
010
00
;
101
010
000
3212
===⇒−=
−−
−=
= λλλλλ
λ
λ
λ
λfA
−
=
−=
=−
=
−−
−⇒=→
1
0
10
0
0
0
.
101
010
000
0 11 αλ uzx
y
z
y
x
=
=
==
=−
=⇒
=
−
==
→→
→→
1
0
0
0
1
0
exemplopor
0
0
0
0
0
0
.
001
000
001
;1
32
3232
uu
z
yuux
x
z
y
x
λλ
−
=
=
→→
101
010
001
100
010
000
D
ável.diagonaliz éA matriz a tesindependen elinearment são e como 32
P
uu
( )
( ) ( )
( ) ( )( ) ( )( )( )321651
1por dividindo1 é raízes das uma
;6116
544
11
121
544
101
121
2
23
−−−=+−−=
⇒−
−+−=
−−
−−
−−
=⇒
−
−
=
λλλλλλλ
λλ
λλλ
λ
λ
λ
λ
f
f
fA
==
−
=
−
=
⇒
=
−=
−
=
−−
−−
−
=
→→
2
1
1-
é solução uma2/
1
2/1
2/1
.2/1
2/1
2
12
1
.
000
2/110
2/101
0
0
0
.
444
111
120
;1
11
1
up
z
z
z
u
zy
zx
z
y
x
oescalonand
z
y
x
αα
λ
==
−
=
−
=⇒
=
−=
−
=
−−
−−
−
⇒=
→→
4
1
2-
é solução uma4
1
4/1
2/1
.4/1
2/1
4
12
1
000
4/110
2/101
0
0
0
.
344
121
121
2
22
2
ufazendo
z
z
z
u
zy
zxoescalonand
z
y
x
αα
λ
=
−=
−
=
−−
−−
−
⇒=
zy
zxoescalonand
z
y
x
4
14
1
000
4/110
4/101
0
0
0
.
244
131
122
33λ
Álgebra Linear 66
Exemplo 9.6: Seja D = Calcule .
Exemplo 9.7: Seja A = Calcular
Exemplo 9.8: Considere um organismo vivo que pode viver no máximo dois anos e cuja matriz é A. Ache uma distribuição estável de idades.
Sol: Da cadeia de Markov sabe-se que a distribuição numa faixa etária é igual a matriz multiplicada
pela distribuição anterior e como a distribuição não vai mudar se
=
−
=
−
=⇒→
4
1
1-
é solução uma4
1
4/1
4/1
.4/1
4/1
3 αα fazendo
z
z
z
u
−−
−
=
−−−
=
= −
2/101
011
2/120
442
111
121
300
020
0011PPD
−−
−
−−−
=
−
−
= −
2/101
011
2/120
300
020
001
442
111
121
544
101
121
ocomprovaçã
1PDPA
.20
02
−9D
( )
−=
−=
5120
0512
20
029
99D
.31
53
−
−9A
199: −= PPDASol
=⇒=
−
−⇒=
=⇒=
−
−⇒−=⇒−=
+−
−
−
−
→
→
1
55
51
512
1
1
11
5524
31
53.
31
53
12
112
uyxy
x
uyxy
x
λ
λλλ
λ
−
−=
−
−
−
=
−=
−
−=
−
−=
=
=
−=
−
−
−
768256
1280768
4/14/1
4/54/1
5120
0512
11
51
5120
0512
768256
1280768
4/14/1
4/54/1
ssemelhante sãocomo11
51
20
02
19
991
1
PPD
DAP
APPDAeDPD
=
02/10
004/1
800
A
→→
+ = nn uAu 1
→→
= nn uuA λ→→
+ == nn uu .1 sejaou 1 1λ
( )( ) 0111
2/10
04/1
8023 =++−=−⇒
−
−
−
λλλλ
λ
λ
λ
67
Calcular as raízes complexas e achar as matrizes D e P.
Exercícios Propostos (9)
Nos Exercícios de (9.1) a (9.3) ache o polinômio característico de cada matriz.
−
−
− 300
120
314
)3.9(31
12)2.9(
231
210
121
)1.9(
Nos Exercícios de (9.4) a (9.11), achar o polinômio característico, os Autovalores e Autovetores de cada matriz.
−
−
−
−
−
−
−
122
121
322
)9.9(
210
230
322
)8.9(42
11)7.9(
11
11)6.9(
223
031
001
)5.9(
000
300
210
)4.9(
−
−
2000
3300
2310
4321
)11.9(
340
013
002
)10.9(
Nos Exercícios de (9.12) a (9.16), verifique quais das matrizes são diagonalizáveis.
( )
( )
−
−
−
−
−
300
130
013
16.9
200
210
321
)15.9(
411
404
211
)14.9(12
0113.9
21
41)12.9(
=⇒
=
==
−
−
−
−
−
⇒=→
1
2
8
2
80
000
210
801
12/10
014/1
801
1 11 uy
zx
z
y
x
oescalonandλ
−−+−
+−−−
=
−−
+−=
⇒±−
⇒−=∆⇒=++
111
31312
3443448
2
3
2
100
02
3
2
10
001
2
313012
ii
ii
P
i
iD
iλλ
Álgebra Linear 68
Nos Exercícios de (9.17) a (9.21), ache, para cada matriz A, se possível, uma matriz não singular P tal que APP 1− seja diagonal.
( )
−
−
−−
000
020
123
21.932
10)20.9(
212
010
321
)19.9(
310
010
211
)18.9(
021
212
324
)17.9(
Nos Exercícios (9.22) e (9.23), ache bases para os auto-espaços associados com cada autovalor.
1000
1100
2320
4322
)23.9(
200
010
032
)22.9(
(9.24) Se possível, ache uma matriz não-singular P e uma matriz diagonal D tais que A seja semelhante a D.
=
234
025
001
A
69
10 - DIAGONALIZAÇÃO de MATRIZES SIMÉTRICAS
Sendo diz-se que a matriz A é simétrica. - Todas as raízes do polinômio característico de uma matriz simétrica são números reais. Exemplo 10.1: Verificar as afirmações acima para a matriz A dada
Aplicação: O problema de identificação de uma cônica (polinômios de 2º grau onde pode aparecer o produto x.y), com uma mudança de variáveis conveniente a curva é expressa em função apenas de x e y facilitando a identificação desta curva. Exemplo 10.2: Identificar a curva .
Se A é uma matriz simétrica os autovetores associados a autovalores distintos de A são
ortogonais, ou seja, formam uma base ortogonal.
Normalizando os autovetores tem-se uma base ortonormal
Como a matriz P é uma base ortonormal a sua inversa é igual à transposta donde se
pode escrever
Substituindo A por na (equação-2):
tAA =
2
15731571489
037373
34
73
34
73
34 2
±−=⇒=+=∆
=−+=+
−⇒
−−
−=⇔
−−
−=
λ
λλλ
λTAA
4323 22 =++ yxyx
( ) ( )
[ ] [ ]
( )
=
=−
=
=
=
++
=+++=+++
→
→→
y
xuondeAequação
uA
y
xyx
y
xyxyx
yyxxyxyxyxyx
T
31
132
4
431
1333
3333 22
uforma da éque
:entematricialm doReescreven
( ) 428631
1321
2 ==⇒+−=⇒
−−
−−λλλλλ
λ
λf
==
=
−
−=
−=−=
=
−−
−−=
→
→
1
1
0
0
11
114
1
1
0
0
11
112
22
11
uyxy
x
uyxy
x
λ
λ
=
−=
=
−=
→→
40
02
2/12/1
2/12/1
2/1
2/1
2/1
2/121 DPuu
TPP =−1
T1 PDPAAPPD =⇒=⇒=⇒=⇒= − TTTTT APPPPPDPAPPPPDAPPD
TPDP→→→→
⇒
uPDPuuAu TTT
Álgebra Linear 70
lembrando que
Exemplo 10.3: Diagonalizar a matriz simétrica A.
Verificação
( ) TTT ABBA .. =
[ ]
elipse. uma de equação
112
4424.40
02.4
:sendo variáveisde mudança a fazendo
2222 =+⇒=+⇒=
⇒=
==
=
→→
→→→→→
wzwz
w
zwzvDv
w
zvvuPPuuP
T
TTT
T
( ) ( )
( )
41045
1-por dividindo1 caçãopor verifi0496
023112
211
121
112
;
211
121
112
322
123
3
==⇒=+−
⇒==−+−
=−−−−−=
−−−
−−−
−−−
=
λλλλ
λλλλλ
λλ
λ
λ
λ
A
{
−
=⇒
−=
=
−
=⇒
−=
=
=++⇒=
−−−
−−−
−−−
⇒==
→→
1
0
10
0
1
10
00
111
111
111
1
21
21
uzx
yfazendou
yx
zfazendo
zyx
z
y
x
λλ
−
−
=⇒
−
−
=
−
−
−
=→→
2
1
1
2
1
2/1
2/1
0
1
1
2
1
1
0
1
22 nn uu
vetores os zarortogonalipara Schimidt-Gramde processo o utilizando
=
=
=
−
−
−−
−−
−−
⇒=→
1
1
1
000
110
101
211
121
112
4 33 uzy
zxoescalonandλ
−
−−
=
=
120
111
111
400
010
001
1PD
−
−−
=
⇒
3/16/20
3/16/12/1
3/16/12/1
ortonormal base uma sautovetore os doNormalizan
P
−−
−
−
−−
==
3/13/13/1
6/26/16/1
02/12/1
400
010
001
3/16/20
3/16/12/1
3/16/12/1
APDPT
71
Exemplo 10.4: Diagonalizar a matriz simétrica A.
Exercícios Propostos (10)
(10.1) Verificar se P é uma matriz ortonormal.
−
−
=
3/23/23/1
3/23/13/2
3/13/23/2
P
(10.2) Ache a inversa de cada uma das seguintes matrizes ortonormais.
( ) ( )
−−
−=
−
=
2/12/10
2/12/10
001
cossin0
sincos0
001
BbAa
θθ
θθ
(10.3) Para o exercício anterior verificar que: A matriz A n x n é ortonormal se e somente se as colunas de A formarem um conjunto ortonormal de vetores de nR
[ ] [ ]
[ ]( )
( )
[ ]
−
−
=
−
−
−
=
−=⇒
=
=
≠==
−−
=
−
=
−
=
−
=⇒−−==
⇒−
=⇒
+=
+=
=
−
−
−
⇒−−
−
=⇔=+−
+−=−
=−
−−
−−
−−
=
→
→→
→→→→
→→
→→
→→→→→→
→→→
→→
2/1
1
2/1
1
0
1
21
0
1
1
Schimidt-Gram de método o se-aplica
si entre ortogonais são não vetoresdos dois Como
0.0.0.
011
101
111
100
010
002
0
1
1
;
1
0
1
0
111
111
111
1ker
1
1
1
2
12
1
0
211
121
112
2ker
1
1
2
023
23det;
11
11
11
011
101
110
2
22
2333
22
11
323121
1
323
13
3
333
eee
euue
ue
ue
uuuuuu
PD
uuzyx
z
y
x
AI
u
zxy
zyx
z
y
x
AI
AIAIA
λλλ
λλλ
λ
λ
λ
λ
ortonormal base uma é
6/12/13/1
6/203/1
6/12/13/1
3IPPP T =
−
−−
=
Álgebra Linear 72
(10.4) Achar as matrizes D e P. Ortonormalizar P e verificar as suas propriedades.
−
−
−
=
302
020
200
A
(10.5) Verifique para a matriz A que 2.. RveuparavuvAuA ∈∀=
→→→→→→
, (obs: o ponto representa
o produto escalar ou interno de vetores) (10.6) Seja L: 22 RR → a transformação linear que efetua uma rotação de 45º no sentido anti-horário; seja A a matriz de L relativamente à base natural do .2R Mostre que A é ortonormal.
Nos Exercícios de (10.7) a (10.11), diagonalize cada matriz simétrica A dada e ache uma matriz ortonormal P tal que APP 1− seja diagonal.
−
−
−
122
212
221
)11.10(
0100
1000
0000
0000
)10.10(
220
220
000
)9.10(
001
000
100
)8.10(;22
22)7.10(
Nos exercícios de (10.12) a (10.19), diagonalize cada matriz dada por meio de matriz ortogonal.
( ) ( ) ( )
−
−
320
230
001
15.10
100
011
011
14.10
2200
2200
0022
0022
13.1021
12)12.10(
( ) ( ) ( ) ( ) .
301
020
103
19.10
211
121
112
18.10
0001
0000
0000
1000
17.10
110
110
001
16.10
−−
−
−−
(10.20) Verifique se a seguinte matriz é ortonormal.
−
−
6/13/12/1
6/23/10
6/13/12/1
.
73
(10.21) Ache uma matriz não-singular P e uma matriz diagonal D tais que A seja semelhante a D, onde:
−−
−−
−−−
=
148
474
841
A
(10.22) Responda certo ou errado.
(a) Se A é uma matriz ortonormal n x n, então posto A < n. (b) Se A é diagonalizável, então cada um de seus autovalores tem multiplicidade um. (c) Se nenhum dos autovalores de A é nulo, então A ≠ 0.
(d) Se A e B são semelhantes, então .BA =
(e) Se →→
21 ueu são autovetores de A associados com autovalores distintos 21 λλ e ,
respectivamente, então →→
+ 21 uu é um autovetor de A associado com o autovalor 21 λλ + .
Álgebra Linear 74
11 - FORMAS CANÔNICAS
Aplicação: Processos A e B com taxas de variação no tempo conhecidas ou determinadas, as taxas de variação são dadas pelas derivadas primeira das funções:
Sendo os processos independentes entre si:
Se um processo depende de outro e vice versa:
( ) ( )
{ }
[ ]
at0 eyy =⇔=
=⇔+=−⇔==
+=−⇔+===
>⇒>
=⇒==⇔ℜ∈=−
=
∫∫
aty
y
CCayytt
CatyyCatyadty
dy
ytt
yytadt
y
dyaay
dt
dy
ydt
dyytyy
yy
t
o
y
y
0
000
0
0
00
ln
00lnln0 para
lnlnln :integrando
0
0contorno de condições0
conhecida é de variaçãode taxa e tempodo função uma é onde :Processo
0
0
( )t tempodo vetoriaise escalares funções são
'''''':→→→→
vvuuwwzzyyxxobs
=
=⇔
==
==
bt
at
eyy
exx
bydt
dyyB
axdt
dxxA
0
0
':
':
outra da uma dependem mais não equações as
'
'
0
0
'
''
:
variávelde mudança a fazendo'
por ndomultiplica'
:
''
'
':
':
2
1
2
1
111
111
21
21
21
21
21
21
=
=⇔
=
⇔=
=
==
=⇒=
=
=
=
=
⇒
+=
+=
→→
→
→−
→→−
→−
−→
−→
−
→
→→
ww
zz
w
z
w
zvDv
w
zvonde
uPvuDPuP
PuPDPuPDPAcomo
bb
aaA
y
xuonde
uAuy
x
bb
aa
y
x
ybxbyB
yaxaxA
λ
λ
λ
λ
01
0
0
2
1
2
1
0
0
:
→−
→
→→
=
=
=
=
uPe
ePu
vPueeww
ezzcomo
t
t
t
t
λ
λ
λ
λ
75
Mesmo que o Operador Linear T não possa ser colocado na forma canônica diagonal é possível escrevê-lo numa forma mais simples, como nas formas canônicas triangular e de Jordan. Considerando o corpo complexo, sempre é possível achar as raízes do polinômio característico, já considerando o corpo real, nem sempre é verdade. A Forma canônica de Jordan é composta pelos autovalores na diagonal principal e nos elementos da diagonal acima ou abaixo é composta por uns positivos ou negativos, associados aos autovalores de ordem superior a um e que possuem autovetores linearmente dependentes, como representado a seguir:
Método de Jordan Exemplo 11.1: Dada a matriz do operador Linear T. Achar uma matriz J de Jordan, semelhante à matriz dada, escrita na forma
=
110
110
000
2000
1200
0020
0003
300
130
013
000
000
010
001
1
1
n
M
λ
λ
λ
O
[ ]PTPJ 1−=
[ ] [ ][ ]
[ ][ ]
( ) ( )
[ ][ ] [ ][ ]
[ ][ ]TIu
wx
z
y
TITI
ticoCaracterísPol
TI
TIT
−
=⇒
=
=
=
−
−
−
−
=−
−−
=
−
−−
−−
−−
⇒−⇒
−
−−
−
−−
=−
−
−
−
=
→
43
44
3
4
4
3
1
0
0
1
0
0
3ker
0010
0210
0100
1011
3
.32
3010
0110
0130
1012
ker
3010
0110
0130
1012
3010
0110
0130
1012
para base
λλ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
Álgebra Linear 76
Eleva-se a transformação ao quadrado e transformando a base achada é possível determinar quais vetores são LI.
Os vetores transformados sendo diferentes de zero são linearmente independentes. A matriz P é formada tomando o oposto do vetor transformado e seu correspondente da base.
[ ][ ] [ ][ ]
[ ][ ] ável.diagonaliz é Não
10
10
10
01
2 de base
1
1
1
0
0
0
0
1
2ker
1010
0110
0110
1010
2
4
2144
=−
=
=⇒
⇒
∀
=
=
⇒−
−
−
−
−
=−→→
TI
uu
w
w
w
x
x
zy
wy
TITI
[ ][ ]
[ ][ ]
[ ][ ]
−
−
−
−
=−
−=−=
−=
=
=
∀
+=
−
−
=
−
−
−
−
−
−
−
−
=−
→→
→
110
110
110
110
2
100
120
010
001
2
1
1
0
0
0
2
1
0
0
0
0
1
2
1120
0000
0000
1120
1010
0110
0110
1010
1010
0110
0110
1010
2
4
2465
4
24
BTI
TIbaseBuu
ux
wzy
TI
==
−
−
−
−
=⇒
−
−
−
−
=⇒
−
−
−−
−
=⇒
−=⇒
−
−
−
−
−
−
−
−
−
2000
1200
0020
0003
0110
0120
1001
1120
0101
2100
1100
0111
0
2
1
0
1
1
1
1
0110
0010
1111
1120
1101
1100
0100
0111
1
1
0
0
1
1
1
1
1
1
1
TPPD
PPe
OUPPe
77
Exemplo: 11.2 Achar uma matriz J de Jordan, semelhante à matriz dada, escrita na forma
Exemplo 11.3: Dada a matriz A, diagonalizar se possível. (Exemplo 9.3 do cap. 9)
[ ]PTPJ 1−=
[ ] [ ][ ] [ ][ ]
( )
[ ][ ] [ ][ ]
[ ][ ] [ ][ ] [ ][ ]
[ ][ ]
−−
=−
=−=⇒
∀
∀
∀
⇒−=
=−
−=
=⇒
∀
−=⇒−
−−
=−
−=−+−
=−=
−
−
−−
=−⇒
−−
−=
→→
012
024
012
3
100
010
001
33ker
000
000
000
3
0
2
1
1
0
0
23ker
012
024
012
3
327279
det
312
014
015
312
014
015
3
23
23
23
2133
323
33
ETI
TIbaseE
z
y
x
TITI
uuz
yx
TITI
TITIT
λλλλ
λ
λ
λ
λ
λ
[ ]
=
=⇒
−
−=
−
−
=⇒
−
−=
−
−
−
300
130
003
012
001
101
011
120
010
02/11
04/10
12/10
021
040
120
1
1
1
PTP
PP
ouPP
ável.diagonaliz é não matriz a LD são e Como
0
1
0
020
0
0
.
000
200
101
1
32
3232
Auu
uuz
zx
z
y
x
→→
→→
==
=−
=⇒
=
−
−
⇒== αλλ
( ) ( )
=
−=
=−
=
−
−−
−
=
===⇒
−=
−
−−
−
=
=
→
0
0
1
2
0
0
0
0
.
100
210
100
0
1;0
1
100
210
10
;
100
210
100
11
321
2
uzy
z
z
y
x
fA
λ
λλλ
λλ
λ
λ
λ
λ
Álgebra Linear 78
Exercícios Propostos (11)
(11.1) Achar a matriz P e a matriz J de Jordan, semelhante à matriz [T], escrita na forma
[ ]PTPJ 1−=
[ ]
−
−
−−=
10000
01000
10100
00020
00052
T
(11.2) Achar a matriz P e a matriz J de Jordan, semelhante à matriz [T], escrita na forma
[ ]PTPJ 1−=
[ ]
−
=
331
100
010
T
(11.3) Achar a matriz P e a matriz J de Jordan, semelhante à matriz [T], escrita na forma
[ ]PTPJ 1−=
[ ]
=
130
020
412
T
(11.4) Achar a matriz P e a matriz J de Jordan, semelhante à matriz [T], escrita na forma
[ ]PTPJ 1−=
[ ]
−
=
6128
100
010
T
[ ] [ ]
[ ] [ ]
==
−
=⇒
=
−=−
=−=
⇒
∀
=−
−
=
−
−
−
−
=−
−
−
100
110
000
100
02/10
101
100
020
101
00
20
00
1
10
01
10
1
1ker
000
000
101
000
200
101
000
200
101
1
1
1
32
3
23
23
APPD
PP
BAIAIbaseB
y
zxAIAI
79
12 - FORMAS QUADRÁTICAS
Introdução: Para uma forma quadrática como a representada a seguir,
Procura-se uma representação que só tenha os termos quadráticos. Para isso é necessário transformar a função por meio de troca de variáveis. O primeiro passo é escrever a função na forma matricial:
Diagonalizando a matriz A, ou seja, achando as matrizes P e D tais que:
, já que a matriz A é simétrica, e fazendo a mudança de variável a seguir
os termos xy, xz e yz não aparecem na nova forma quadrática, simplificando muito a sua aplicação aos problemas.
Exemplo 12.1: Considerando a forma quadrática com termos x.y dada por:
Achar a forma quadrática que não envolve multiplicação das variáveis. Isolando os termos dependentes e separando em partes iguais o termo em x.y tem-se:
( ) dzcybxayzcxzbxyaczbyaxzyxf +++++++++= 222111222,,
( ) [ ] [ ]
( ) dBXAXXzyxf
d
z
y
x
cba
z
y
x
ccb
cba
baa
zyxzyxf
t ++=
+
+
=
,,
2/2/
2/2/
2/2/
,, 222
11
11
11
APPD 1−= APPD t=
''
'
'
'
PXXXPX
z
y
xT =⇔==
( ) ( ) '''''''' BPXDXXAPXPXPXBAPXPXBXAXX TTTTt +==+=+
( )
( ) [ ] [ ] d
z
y
x
Pcba
z
y
x
c
b
a
zyxzyxf
dBPXDXXzyxf T
+
+
=
++=
'
'
'
'
'
'
'00
0'0
00'
'''',','
'''',','
222
( ) 36845, 22 −+−= yxyxyxf
( )
( ) 368225,
,22 −+−−=
++=
yxyxyxyxf
dBXAXXyxf T
( ) ( )
[ ] AXXy
xX
y
xyx
yxyyxx
T⇒
=
−
−
=+−+−
82
25
8225
[ ] [ ]
9403613
0det82
25
2
22
==⇒=+−
⇒=−
−
−=−
λλλλ
λλ
λλ
ou
AIAI
Álgebra Linear 80
Exemplo 12.2: Considerando a forma quadrática com termos x.y representada abaixo. Achar a forma quadrática que não envolve multiplicação das variáveis.
A matriz A é a mesma do exemplo anterior. Fazendo a mudança de variáveis.
Completando os quadrados ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 362'91'4','
444'4'911'2'4','
4'4'9'2'4','
22
22
22
−−+−=
+−+−+−+−=
+−+−=
yxyxf
yyxxyxf
yyxxyxf
Fazendo uma nova mudança de variáveis ( )
( ) 36''9''4'',''
2'''1''''',''22 −+=
−=−==
yxyxf
yyxxyxf
Exemplo 12.3: Achar a forma quadrática que não envolve multiplicação das variáveis. Diagonalizar a matriz A escalonando a matriz aumentada de A.
[ ] [ ]
[ ] [ ]
−=
−=
−=
=
−⇒−=⇒−
=−
⇒=⇒−
−
−=−
5/25/1
5/15/2
5/25/1
5/15/2
21
12
90
04
2
12/9ker
12
249
1
224ker
42
214
0
22
22
TPP
donormalizanPD
yxAIAI
yxAIAI
( )
( ) [ ]
( ) 36'9'4','
36'
'
90
04''','
''','
'2'
''2
5
1
2
2
5
1
'
''
''
22 −+=
⇒+
=
⇒+=
⇒
+
−=
=
+−
+=
=
=⇔=
yxyxf
y
xyxyxf
dDXXyxf
yx
yx
y
xX
yx
yx
y
xX
PXXXPX
T
T
( ) 45
80
5
20845, 22 +−++−= yxyxyxyxf
( ) [ ] [ ] 4415
20
82
25, +
−+
−
−=
y
x
y
xyxyxf
( )
( ) [ ] [ ]
( ) 4'36'8'9'4','
'
'
21
12
5
141
5
20
'
'
90
04''','
'''','
22 +−−+=
−−+
=
++=
yxyxyxf
y
x
y
xyxyxf
dBPXDXXyxf T
( ) yzzxzyxyxzyxf 88654,, 222 −+−++=
( ) [ ]
−−
−
−
=
z
y
x
zyxzyxf
843
452
321
,,
81
tPD
CCC
LLL
CCC
CCC
LLL
LLL
00
127500
012010
001001
ª3ª3ª2.2
127500
012210
001001
ª3ª3ª2.2
103120
012210
001001
ª3ª3ª1.3
ª2ª2ª1.2
103120
012210
001321
ª3ª3ª1.3
ª2ª2ª1.2
100843
010452
001321
=
−−
−
→+−
−−
−
→+−
−
−
→+
→+−
−
−
−
→+
→+−
−−
−
−
Quando este método é utilizado os vetores de P não são ortogonais. Para efeito de verificação os vetores foram normalizados e o produto vetorial e mostram que a matriz D tem os elementos da diagonal que correspondem aos vetores estão divididos pelo quadrado da norma.
Resolvendo através dos autovalores e autovetores
APP t00 APP t
−
−
=⇒
−
−
=
63/100
63/25/10
63/75/21
100
210
721
0 PP
−
−=
63/163/263/7
05/15/2
001tP
−
=
−
=
500
010
001
54/500
05/10
001
00 APP
APP
t
t
( ) [ ]
−
=
'
'
'
500
010
001
'''',','
z
y
x
zyxzyxf
Álgebra Linear 82
[ ]
[ ]
++−=−
−
−
=−
11.9580 0 0
0 2.2295 0
0 0 0.1875-
= D
0.7819 0.5612 0.2713
0.5394- 0.8273 0.1569-
0.3125- 0.0236- 0.9496
= P
52414det
8-43
45-2
32-1
233
3
λλλλ
λ
λ
λ
λ
AI
AI
Exercícios Propostos (12)
(12.1) Achar a forma quadrática que não envolve multiplicação das variáveis.
( ) 30649, 22 −+−= yxyxyxf
(12.2) Achar à forma quadrática que não envolve multiplicação das variáveis e diagonalizar a matriz A escalonado a matriz aumentada de A.
( ) 10845, 22 ++−= yxyxyxf
(12.3) Considerando a forma quadrática com termos x.y representada abaixo. Achar a forma quadrática que não envolve multiplicação das variáveis.
( ) 222 6843,, zyzxzyxyxzyxf +−+−+= (12.4) Considerando a forma quadrática:
( ) 22 5122, yxyxyxf +−=
Achar a forma quadrática que não envolve multiplicação das variáveis. (12.5) Achar a forma quadrática que não envolve multiplicação das variáveis:
972610),( 22 +−+−+= yyxyxxyxf
83
13 - APLICAÇÕES
Algumas aplicações da álgebra linear no estudo de sistemas de controle moderno: Representação no espaço de estados em formas canônicas. Considerando a função de transferência no domínio da freqüência dada abaixo:
Uma das representações (existem infinitas) desta função no espaço de estados (domínio do tempo) é feita pelo sistema:
+=
+=
DuCxy
BuAxx.
=
=
=
=
=
=
=
avante ação de matriz
saída de matriz
respostavetor
entrada de matriz
sistema de matriz
tempoao relação em estado de vetor do 1ª derivada
estado devetor
:
.
D
C
y
B
A
x
x
onde
Exemplo 13.1: dadas as funções de transferência nos itens (a) e (b). Encontrar uma das possíveis representações no espaço de estados.
Representação utilizando o MATLAB:
��� ����������� ��9 �26 �241 0 00 1 0 � ����� � �
100�� �0 0 24� �����
�
( )( ) nn
nnnn
nn
asasas
bsbsbsb
sU
sY
++++
++++=
−−
−−
11
1
11
10
L
L
( ) ( )( )
[ ]
=
+
−−−
=
+++=
3
2
1
3
2
1
3
.2
.1
.
23
001
24
0
0
92624
100
010
24269
24
x
x
x
y
u
x
x
x
x
x
x
ssssU
sYa
Álgebra Linear 84
Representação utilizando o MATLAB:
As formas canônicas dos espaços de estados facilitam destacar certas características dos mesmos. A seguir estão ilustradas algumas destas formas, entre elas as formas canônicas (1) controlável, (2) observável, (3) diagonal e (4) de Jordan.
(1)
A forma observável é obtida pela transposição da matriz A, dos vetores e troca dos vetores B e C a partir da forma canônica controlável.
(2)
( ) ( )( )
[ ]
=
+
−−−
=
+++
++=
3
2
1
3
2
1
3
.2
.1
.
23
2
172
24
0
0
92624
100
010
24269
2724
x
x
x
y
u
x
x
x
x
x
x
sss
ss
sU
sYb
[ ] ub
x
x
x
x
y
u
x
x
x
x
aaaax
x
x
x
n
n
n
n
nnnn
n
0
1
2
1
1
2
1
121.
1
.
2
.1
.
1000
1
0
0
0
0
1000
0100
0010
+
=
+
−−−−
=
−
−
−−
−
ML
M
L
L
MOMMM
L
L
M
[ ] ub
x
x
x
x
y
u
bab
bab
bab
bab
x
x
x
x
a
a
a
a
x
x
x
x
n
n
nn
nn
n
n
n
n
n
n
0
1
2
1
011
022
011
0
1
2
1
1
2
1
.1
.
2
.1
.
1000
100
000
001
000
+
=
−
−
−
−
+
−
−
−
−
=
−
−−
−
−
−
ML
MM
L
L
MMOMM
L
L
M
85
Colocando a função de transferência na forma de funções parciais, sendo todas as raízes do denominador distintas:
A representação no espaço de estados é a forma canônica diagonal
(3)
Se houver raízes repetidas:
Exemplo 13.2: Achar a representação no espaço de estados nas formas canônicas: (a) controlável (b) observável (c) diagonal
( )( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( )n
n
n
nnnn
s
c
s
c
s
cb
sss
bsbsbsb
sU
sY
λλλ
λλλ
+++
++
++
=+++
++++= −
−
L
L
L
2
2
1
10
21
11
10
[ ] ub
x
x
x
x
ccccy
u
x
x
x
x
x
x
x
x
n
n
nn
n
n
n
n
n
n
0
1
2
1
121
1
2
1
1
2
1
.1
.
2
.1
.
1
1
1
1
000
000
000
000
+
=
+
−
−
−
−
=
−
−
−−−
ML
MM
L
L
MMOMM
L
L
M
λ
λ
λ
λ
( )( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )n
n
n
nnnn
s
c
s
c
s
c
s
c
s
cb
ssss
bsbsbsb
sU
sY
λλλλλ
λλλλ
+++
++
++
++
++
=++++
++++= −
−
L
L
L
4
4
1
32
1
23
1
10
543
1
11
10
[ ] ub
x
x
x
x
ccccy
u
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
n
n
nn
nn
0
1
2
1
121
4
3
2
1
4
1
1
1
5
.
4
.3
.2
.1
.
1
1
1
0
0
0000
0000
0000
0010
0001
+
=
+
−
−
−
−
−
=
−
− ML
MM
L
MOMMMM
L
L
L
L
M
λ
λ
λ
λ
λ
Álgebra Linear 86
(a) utilizando MATLAB: !������" ��3 �21 0 � ������ � �10�� �1 3� ������ �
(b)
(c)
Mudanças de variáveis de estado muitas vezes são necessárias para simplificar a manipulação dos dados. Sistema na variável x, mudar para a variável z. #�� �� � $%� &� � '%�
Fazendo a mudança x=Pz #�� ()��(� � ()�$%� &(� � '% �
Exemplo 13.3: Fazer a mudança de variável de estado.
( )( ) 23
32 ++
+=
ss
s
sU
sY
[ ]
=
+
−−=
2
1
2
1
2
.1
.
13
1
0
32
10
x
xy
ux
x
x
x
[ ]
=
+
−
−=
2
1
2
1
2
.1
.
10
1
3
31
20
x
xy
ux
x
x
x
[ ]
−=
+
−
−=
2
1
2
1
2
.1
.
12
1
1
20
01
x
xy
ux
x
x
x
[ ]
=
=
−−
−
−
=
−
−
−−−
=
=
=
++=
+=
=
=
+
−−−
=
−
−
−
5
0
0
1
0
0
541
023
002
2,64,05,2
4,07,025,1
015,1
2,04,05,0
05,075,0
005,0
752
100
010
541
023
002
541
023
002
54
23
2
001
1
0
0
752
100
010
1
1
1
3213
212
11.
BP
APP
xPxz
xxxz
xxz
xz
y
uxx
87
Se a matriz A tiver a forma abaixo e os autovalores forem todos distintos, a matriz P pode ser escrita como uma matriz de Vandermond, sendo os elementos de P os autovalores de A. A matriz transformada fica na forma canônica diagonal
Havendo autovalores repetidos a matriz P assume a forma abaixo e a matriz transformada fica na forma canônica de Jordan
[ ] [ ]005,0
2,04,05,0
05,075,0
005,0
001 =
−
−=CP
[ ]
=
+
−−
−
−
=
zy
zz
005,0
5
0
0
2,64,05,2
4,07,025,1
015,1.
−−−−
=
−− 121
1000
0100
0010
aaaa
A
nnn L
L
MOMMM
L
L
=
−−−−
−−−−
113
12
11
223
22
21
321
1111
nn
nnn
nn
nnn
n
P
λλλλ
λλλλ
λλλλ
L
L
MOMMM
L
L
=
−
−
n
n
APP
λ
λ
λ
λ
000
000
000
000
1
2
1
1
L
L
MMOMM
L
L
( ) ( )
−−
=
−−− 11411
11
33411
31
2241
21
41
21
23
12
01
11001
nn
nn
n
n
n
nn
P
λλλλλ
λλλλλ
λλλλ
λλλ
L
MOMMMM
L
L
L
L
Álgebra Linear 88
Exemplo 13.4: Considerando a representação no espaço de estados do sistema:
Exemplo 13.5: Considerando a representação no espaço de estados do sistema:
=−
n
APP
λ
λ
λ
λ
λ
L
MOMMMM
L
L
L
L
0000
0000
0000
0010
0001
4
1
1
1
1
[ ]
=
+
−−−
=
xy
uxx
001
6
0
0
6116
100
010.
[ ] [ ] 6116det
6116
10
013
33 +++=−
+
−
−
=− λλλλ
λ
λ
λ
λ AIAI
[ ]111
3
6
3
2/12/31
143
2/12/53
941
321
111
321
1
1
321
=
−=
−−−=
−−−=
−=−=−=
−
−
CP
BP
PP
λλλ
[ ]
=
−+
−
−
−
=
zy
uzz
111
3
6
3
300
020
001.
[ ]
=
+
−
=
xy
uxx
001
6
0
0
71612
100
010.
[ ] [ ] 12167det
71612
10
0123
33 −+−=−
−−
−
−
=− λλλλ
λ
λ
λ
λ AIAI
89
A transformação inversa, do sistema espaço de estados para função de transferência, está ilustrada no exemplo a seguir Exemplo 13.6:
Exercícios Propostos (13)
(13.1) Obter a forma diagonal do sistema dado abaixo
[ ]101
6
6
6
144
156
143
944
312
101
32
1
1
312
=
−
−
=
−
−−
−−
=
=
===
−
−
CP
BP
PP
λλλ
[ ]
=
−
−
+
==−
zy
uzzAPPfazendo
101
1
1
1
6
300
020
012.
1
( )( )
( )
[ ]
( )
( )( )( )
( )( )
( )( ) 123
2310
123
12
31
1323
det
321
10
01
001
0
0
10
321
100
010
23
2
23
2
2
1
.
1
+++
++=
++
+−−
+−
+++
=−
−=−
+
−
−
=−
=
+
−−−
=
+−=
−
−
sss
ss
sU
sY
sss
sss
sss
sss
AsI
AsIadjAsI
s
s
s
AsI
xy
uxx
DBAsICsU
sY
[ ]
=
+
−−=
xy
uxx
41
3
1
64
31.
Álgebra Linear 90
(13.2) Obter a forma diagonal do sistema dado abaixo
(13.3) Obter a forma diagonal da matriz A dada abaixo
(13.4) Dado o sistema, achar a função de transferência correspondente.
(13.5) Dado o sistema, achar a função de transferência correspondente.
[ ]
=
+
−
=
xy
uxx
001
2
0
0
6128
100
010.
=
0001
1000
0100
0010
A
[ ]
=
+
−
−
−
=
xy
uxx
011
1
0
0
300
021
101.
[ ]
=
+
−−=
xy
uxx
10
0
1
23
10.
91
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Steibruch, Alfredo ; Winterle, Paulo. – Álgebra Linear, Pearson Makron Books, 1987 2ª Ed.
Lipschutz, Seymor. – Álgebra Linear, McGraw-Hill do Brasil 1994 Kolman, Bernard. – Álgebra Linear, Editora Guanabara S.A. 1987 Santos, Reginaldo J. – Matrizes Vetores e Geometria Analítica, Imprensa Universitária UFMG 2002 Ogata, Katsuhiko. – Engenharia de Controle Moderno, Pearson Education do Brasil 2006 Nise, Normam S. – Engenharia de Sistemas de Controle, Livros Técnicos e Científicos Editora S.A. LTC 3ª Edição 2002 Friedberg, Sthephen H. e outros. – Linear Álgebra. Prentice Hall 3ª Edição 1997 Boldrini, José L. e outros. – Álgebra Linear. HARBRA 3ª Edição 1986 Dorf, Richard C. e Bishop, Robert H. – Sistemas de Controle Modernos, Livros Técnicos e Científicos Editora S.A. LTC 8ª Edição 2001
Álgebra Linear 92
Respostas de problemas selecionados
01 - Sistemas Lineares e Matrizes
solução temNão10)12.1(1
5)11.1(
1
210).1(solução tem(1.9)Não
solução temNão10)8.1(8
4
1
20)7.1(
88
1310)6.1(2,1,2)5.1(
solução temNão)4.1(10;2;4)3.1(2;2;1)2.1(2;4)1.1(
=
=
=
−=
=
=
+=
−=
−−=
+=−=−==
==−=−=====
zy
x
y
x
zzy
x
zy
zxzyx
zyxzyxyx
TonRRTonRgCgGgP
EspecialTony
NormalTonx
Tony
Tonx
z
y
x
Não
4096;20min2)18.1(2;5/21;5/16)17.1(
5,2
5,1)16.1(
20
20)15.1(
2
2
1
)14.1()13.1(
=+====
=
=
=
=
−=
=
−=
(1.19) ( ) ( ) ( )
−
−
−
−−
16
1019
179
68
626
31cba
(1.20) (a) somente se AB=BA
(1.21) ( ) ( )
=+
=+
−=+
−−
−
623
25
423
82012
71121
21
21
21
xx
xx
xx
ba
(1.22)
−
0000
1000
05/710
05/1101
(1.23) ( ) ( ) 0;;31
32
;32
37
2;10;3 =∀+=+=−==−= wzzyzxbzyxa
(1.24) ( ) ( ) ( ) 3;3;3 =±≠−= acabaa (1.25) 02 213 =−− bbb
(1.26) yxz 3;0 −== (1.27) 21 == aoua
02 - Inversão de Matrizes
( ) ( ) gularsin4.213
143.2
−
−
( )( ) ( ) ( )
−−−
−
−
−−
−
−
−
−
3/13/26/53/2
3/23/16/73/1
002/10
1011
101
2/32/12/3
011
12/16/1
4/12/15.2 cba
( )( ) ( ) ( )
−
−
−
−−
−
−
2/112/3
2/102/1
2/112/3
sin
111
211
101
7.2 cgularba
( )( ) ( ) ( ) gularcba sin
110
101
423
111
211
101
8.2
−
−
−
−−
−
−
93
( )( ) ( ) ( )
−
−
−
−−
−
−
2/12/10
2/12/31
2/12/31
2/12/52/3
121
011
sin9.2 cbgulara
( )( ) ( ) ( ) gularcgularba sinsin
5/25/15/1
5/45/35/2
5/15/35/3
10.2
−
−
−−
( )( ) ( ) ( )
3/40
50
40
3/100
40
10
20
sinh30
30
13.2 cb
mesas
asme
cadeiras
a
( )( )
( ) inversa admite não quadrada é não matriz a Como
min1802
min6014.2
b
PadrãoPPB
BrochuraBLuxoLa
==+
==
0 3 – Determinantes
( )
−
−−
−
1102
274
12911
1.3
( ) 2;3;0;913;0;0;02.3 4333231324232221 −===−===== AAAAAAAA
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2020135)6.3(3660)5.3(
26139:Re)4.3(075433.3
−−−−−
−−
cbacba
cbaspcba
( ) ( )
( ) gularCc
BbAa
sin0det
7/27/114/1
7/47/57/1
7/17/314/3
6/16/1
9/19/2)10.3( 11
=
−
−
−
=
−= −−
( ) ( ) ( )
−
−
=
−== −−
10/310/10
5/25/10
20/320/14/1
7/27/1
7/37/20det)11.3( 11 CcBbAa
( ) ( ) ( )
−
−−
−−
=
−
−=
−
−
−
= −−−
12/112/16/1
42/142/521/4
21/821/221/1
3/53/2
3/13/1
201
2/52/12
101
)12.3( 111 CcBbAa (
( ) ( )
−
−
−−−
−−
−
7/814/114/17/4
7/614/114/17/3
7/97/17/17/8
14/2328/928/514/15
2/100
03/10
004/1
2/31
2/10)13.3( ca
( ) 13det)14.3( =Dd ( ) 2det)15.3( −=Dd ( ) ( ) 3;5;04;1)17.3( −ba
( ) ( )
=
=
=
=
7/4
7/3)(
9/5
9/4)(12.2
8/5
8/3
45/29
45/16)(11.2
b
aba
b
aba
Álgebra Linear 94
( ) 7det;0det)18.3( == BAa ( ) ( ) 0det0det)19.3( =≠ ba
( )( )( )( )
=−==
==−==
=−=−=
soluçãosem
zyx
wzyx
zyx
23.3
12;34;1422.3
0;0;1;121.3
9/13;9/2;9/2620.3
( )( ) ( ) ( )( ) 4;1;027.3
3361226.3
−−
cba ( ) ( ) 172:Re2)28.3( spba −
−−
−
−
9717
1213
112129
)29.3( coA 218)30.3( −
( ) 20440det)33.3( 2 −==⇒++⇒= λλλλλ ouA
( )( ) 10011.0det)34.3( ±≠≠⇒≠+−⇒≠ λλλλλ eA
( ) 31235.3 −==−= zyx 17)36.3( 3
14)37.3( =a ( ) 3038.3 ±== aoua
( ) 20139.3 −=== zyx ( ) 444det42.3 −=A 120)43.3( ≠≠≠ λλλ ee
( )( ) ( ) ( )( )54/12/275444.3 cba
04 – Vetores
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3043,054318151.4 −− edcba
( ) ( ) ( )3
22.4
BABCBDBD
−+−=−=
( )( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) 97,0
7
5
8
2
15,048,6/1cos
77,048,6/5cos
62,048,6/4cos
80,074,3/3cos
27,074,3/1cos
373,074,3/2cos
25,07648,674,35.4
ef
vue
dmcba
−
==
==
==
==
−=−=
==
−=
→→
γ
β
α
γ
β
α
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 66,148209i-607-;209i+607-
27
1731
13
49
11
61
)7.4 edc
i
i
i
b
i
i
a
−
+
+
+−
−
−−
05 – Espaços Vetoriais
( )( ) ( )ceb1.5 ( )
−=
=
5/3
2/32.5
x
y ( )( ) ( )
−
−
−
01
10
20
01
0
1
1
1
3.5 ba
( )( ) ( ) ( )LIcLDbLItLDta π20;04.5 ≤<=
( ) ( ) ( ) ( ) 80/15/16805/1)25.3( dcba
95
06 – Bases
6.1
( )
−=
−
=→→
1
0
1
0
0
1
0
1
:2.6 21 vvpossívelbase
6.3 e 6.4 Sim; 6.5 Dim=2;
( ) ( )
−
−
−
0
0
1
3
5
0
1
0
4
7
1
0
0
1
0
7.6 apossívelBase ( )
=−−+
=−−+
5
05.7.6
5321
4321
xxxx
xxxxb
( )
−
−
−
10
10
01
11
22
8.6 possívelbase 6.9) Posto ou Dim=2
( )
−
−
000
3/12/12/1
3/12/20
3/16/12/1
14.6
07 – Transformações Lineares
(7.1) b e d; (7.2) ( ) ( )
+−
+
− ba
babasp
2519
1:Re ;
(7.5) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) RfeFdVcFbVasp ∀ααα 0,,0:Re
08 – Transformações Sobrejetiva e Injetiva
(8.1) (b) Injetiva (c) Não Sobrejetiva ( ) ( ) InjKerTSobTDim→
== 03Im3.8
( )
−
−
1522
02114.8 vetores ( )
−
−−
3011
11128.8 vetores
( ) ( ) 1.511132652
5100
1010
2001
6111
5013
2001
1det
111
013
001
22 +−++−=+−
⇒
⇒
−
−−=
−
−=
ttttt
AA
Álgebra Linear 96
( ) ( )[ ] ( )
[ ] [ ]
( )[ ] [ ]( ) [ ]
−===
−
−==
−−
==⇒=
−=
→→
→
−
→
−→
−→→→
→
131
012
132
.
013
012
121
111
010
001
120
012
121
:10.8
1
11
BTBTTc
TBT
BvBvvBvbTaSol
CCCB
CCBC
CBBCCC
09 - Diagonalização
( ) ( ) ( ) ( )( )( )324)3.9(75)2.9(74)1.9( 223 −−−=+−=+−= λλλλλλλλλλ fff
(9.4) ( )
==
0
0
1
03 λλλf (9.5) ( ) ( )( )( )
+−−=
128
053
006
231 λλλλf
(9.6) ( ) ( )
−−=
11
112λλλf (9.7) ( ) ( )( )
−−−−=+−=
11
2/1132652 λλλλλf
(9.8) ( ) ( )( ) ( )( )( )
−
−−
−−−=+−−=
100
210
2/711
412452 2 λλλλλλλf
(9.9) ( )( )( )
−
−−
+−−=++−
111
02/32/5
114
124825 23 λλλλλλ
(9.10) ( ) ( )( )( )
−
−−+−=
114
011
001
312 λλλλf
(9.11) ( ) ( )( )( )( )
−
−
−−
−−+−=
1001
33/400
3/7110
3/29310
2311 λλλλλf
(9.12)
−=
−=
20
03
11
41DP (9.13)Não (9.14)
=
−−
=
300
020
000
111
023
101
DP
(9.15)
−=
−=
100
010
002
002/3
011
112/13
DP (9.16)Não (9.17)Não
(9.18)
=
−=
300
010
001
101
002
110
DP (9.19)
−=
−
−
=
100
010
004
411
600
12/31
DP
97
(9.20)
=
−
−=
10
02
12
11DP (9.21)
=
−
=
300
020
000
003
010
121
DP
(9.22)
=
−
=
01
00
10
2
0
1
3
1 λλ (9.23)
=
−=
0
0
0
1
2
0
1
3
3
1 λλ (9.24)Não
10 – Diagonalização de Matrizes Simétricas
(10.1) Sim ( )
−−
−=
−==−
2/12/10
2/12/10
001
)(
cossin0
sincos0
001
.2.10 1 TT BbAAa
θθ
θθ
(10.3) ( ) ( ) 11sincos1 22 −==+⇔±= BbAa θθ
(10.4)
−
=
−
−
=
5/25/10
001
5/15/20
400
010
002
PD
(10.7)
−=
=
2/12/1
2/12/1
00
04PD
(10.8)
−
=
−
=
02/12/1
100
02/12/1
000
010
001
PD
(10.9)
−=
=
2/102/1
2/102/1
010
000
000
004
PD
(10.10)
−=
−
=
2/12/100
2/12/100
0010
0001
1000
0100
0000
0000
PD
(10.11)
−
−−
=
−
−
=
3/16/12/1
3/16/20
3/16/12/1
300
030
003
PD (10.12)
−=
=
11
11
30
01PD
(10.13)
−
−=
=
0110
0110
1001
1001
2
1
4000
0400
0000
0000
PD
(10.14)
−
=
=
001
2/12/10
2/12/10
000
020
001
PD
Álgebra Linear 98
(10.15)
−=
=
2/102/1
2/102/1
010
100
010
005
PD
(10.16)
−=
=
2/12/10
2/12/10
001
200
000
001
PD
(10.17)
−
=
−
=
2/12/100
0001
0010
2/12/100
1000
0100
0000
0000
PD
(10.18)
−
−−
=
=
6/62/13/1
3/603/1
6/62/13/1
100
010
004
PD
(10.19)
−
=
−
−
−
=
2/102/1
010
2/102/1
200
020
004
PD
(10.20) 1det −=ASim
(10.21)
−
−
=
−
−
=
3/25/10
3/15/25/2
3/205/1
900
090
009
PD
11 - Formas Canônicas
(11.1)
=
=
= −
1- 0 0 0 0
1 1- 0 0 0
0 0 1- 0 0
0 0 0 2 0
0 0 0 1 2
1 0 0 0 0
0 0 1- 0 0
0 1- 0 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1/5
1 0 0 0 0
0 0 1- 0 0
0 1- 0 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 5
1 JPP
(11.2)
=
=
= −
100
110
011
1 2- 1
0 1 1-
0 0 1
1 2 1
0 1 1
0 0 11 JPP
(11.3)
=
−
−
=
= −
200
120
001
010
13/413/1213/1
130
3 0 1
1 0 0
0 13 4-1 JPP
(11.4)
=
−
−=
= −
200
120
012
144
012
001
144
012
0011 JPP
99
12 - Formas Quadráticas (12.1) 30'10'5)','( 22 −+= yxyxf
(12.2) ( ) 10'180'5','1800
05
50
21 22 ++=
=
= yxyxfDP
(12.3)
( ) 222 '6.1362'2.0671'-5.2033',','
6.1362 0 0
0 2.0671 0
0 0 5.2033-
0.6312 0.4816 0.6080-
0.0484- 0.7579- 0.6505-
0.7742 0.4400- 0.4551
zyxzyxf
DP
++=
=
=
(12.4)
( ) 22 '9.6847'-2.6847','
9.6847 0
0 2.6847- = D
0.7882 0.6154-
0.6154- 0.7882- = P
yxyxf +=
13 - Aplicações
(13.1)
[ ]
−=
−
−+
−
−=
zy
uzz
33/13
13
12
20
03.
(13.2)
[ ]
=
+
=
zy
uzz
001
2
0
0
2 0 0
1 2 0
0 1 2 .
(13.3)
−−
−−
−−=
−−
−−
−−=
−
−= −
ii
iiP
ii
iiP
i
iD
11
11
1111
1111
4
1
11
1111
11
1111
000
000
0010
0001
1
(13.4) ( )( )23
1
6116
323 ++
=+++
+
sssss
s
(13.5) 32
32 ++
−
ss
