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OPERACIONES CON TRANSFERENCIA DE MASA
Son operaciones de separación de los componentes de
una mezcla, que forman parte de un proceso químicoque tienen como finalidad la modificación de lascomposiciones de la mezcla sin que ello necesariamenteimplique una reacción química.
Se basan en la existencia del fenómeno llamado difusión, por el que un componente de una mezcla sedesplaza en el interior de la misma debido a ungradiente de concentración.
Se valen del alejamiento con respecto al equilibrio (equilibrios de fases) así como de los gradientes deconcentración para separar una mezcla o una solución
en sus componentes.
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OPERACIONESCON
TRANSFERENCIADE MASA
Generalmente forman partede un proceso químico
Mayoría de éstas operacionesimplican la existencia de dosfases en contacto, entre lascuales se transfiere unasustancia o varias sustancias,denominadas solutos.
Tienen como finalidad cambios enlas composiciones de soluciones,basados fundamentalmente en ladifusión y en las desviaciones con
respecto al equilibrio.
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Los mecanismos básicos por los cuales ocurre latransferencia de masa son:
El mecanismo de transferencia de masa depende de ladinámica del sistema en el que se lleva a cabo.
La difusión molecular, que es un procesoextremadamente lento.
La difusión turbulenta o por remolinos, oconvectiva, que es un proceso más rápido que seconsigue mediante agitación mecánica o por elmovimiento de convección del fluido.
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En el caso de que se pongan en contacto dos fasescon composiciones alejadas del equilibrio seproducirá la transferencia de soluto entre lasmismas.
También se sabe que a menudo la transferencia demasa tiene lugar entre dos fases inmiscibles através de una interfase, y muchas de lasoperaciones con transferencia de masa que se usanpara separar los componentes de una mezcla,
alcanzan este objetivo cuando se ponen en contactodos fases insolubles.
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En este caso, el régimen al cual se transfiere uncomponente de una fase a otra depende de un
coeficiente de transferencia de masa y el gradode desviación de un sistema del estado deequilibrio, cesando la transferencia de masacuando se alcanzan las condiciones de equilibrio.
Cuando la trasferencia del soluto se detiene las
composiciones en cada fase serán totalmenteuniformes pero pueden no ser iguales entre sí.Los que deben ser iguales son los potencialesquímicos, verdaderas fuerzas impulsoras de la
transferencia.
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CLASIFICACIÓN DE LAS OPERACIONESCON TRANSFERENCIA DE MASA
Contacto directo de dos fases inmiscibles
Fases separadas por una membrana
Contacto directo de fases miscibles
Utilización de los fenómenos de superficie
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Contacto directode dos fasesinmiscibles
DestilaciónAbsorción/DesorciónHumidificación/Deshumidificación
SecadoAdsorciónSublimación
Extracción en fase líquida
LixiviaciónAdsorción
Cristalización
Gas – líquido
Gas – sólido
Líquido – líquido
Líquido – sólido
OPERACIONES INDIRECTAS: Cuando la formación de una segunda faseocurre a expensas de una primera, por adición o sustracción de calor.
OPERACIONES INDIRECTAS Cuando para la formación de una segunda
fase, se requiere la adición de una sustancia extraña a la mezcla originalque se desea separar.
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Fases separadaspor una membrana
DiálisisLíquido – Líquido: Electrodiálisis
Ósmosis inversa
Gas – Gas: Difusión gaseosa o efusión
Gas – líquido: Penetración
Contacto directode fases miscibles
Utilización de losfenómenos de superficie
Difusión térmicaDifusión con arrastreAtmólisis
Separación con espuma
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Las operaciones con transferencia de masa estándirigidas habitualmente a cambios en la composiciónde las soluciones ó mezclas
Suelen basarse en la distribución desigual en elequilibrio, de las sustancias que han de separarseentre dos fases mutuamente inmiscibles.
Denominada también extracción líquido - líquido óextracción por solventes
EXTRACCION EN FASE LIQUIDA
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La extracción líquido-líquido es, junto a ladestilación, la operación básica más importante enla separación de mezclas homogéneas líquidas.
La transferencia de materia se consigue mediante
el contacto directo entre las dos fases líquidas.Una de las fases es dispersada en la otra paraaumentar la superficie interfacial y aumentar elcaudal de materia transferida.
Consiste en separar una o varias sustanciasdisueltas en un solvente mediante su transferencia
a otro solvente inmiscible, o parcialmenteinmiscible, en el primero.
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La extracción líquida es un método para separarlos componentes de una solución líquida medianteel empleo de otro líquido (solvente), inmiscible conla solución anterior.
Debe entenderse la inmiscibilidad en formarelativa, ya que lo importante es la formación dedos fases líquidas, lo cual es indispensable para
poder aplicar este método de separación.
Operación con transferencia de masa entre dosfases inmiscibles
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Esta operación es un método indirecto, puesto quelos componentes de la solución original no sonseparados directamente sino que una sustanciaextraña a la mezcla original, un líquido inmiscible,
es introducida para dar lugar a una segunda fase.Si los componentes de la solución original sedistribuyen de modo desigual entre las dos faseslíquidas resultantes, entonces se tiene ciertogrado de separación de éstos.
Operación con transferencia de masa indirecta
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Principio de la extracción
La solución líquida se contacta con otro líquidoinmiscible o cercanamente inmiscible, que presentauna afinidad preferencial ó selectividad hacia uno ó
varios componentes de la solución original.
Es un método para separar compuestos basados ensus solubilidades relativas en dos líquidos inmisciblesdiferentes. Esta diferencia entre los líquidos sedebe a su estructura química.
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Solución conteniendocomponente valioso(Alimentación)
Líquido inmiscible(Solvente)Solvente enriquecido
Solución residual
Agitación
Reposo
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Dada una solución que contenga uno o máscomponentes valiosos en cantidad apreciable, setrata de recuperar estos componentes mediantela adición de un solvente con el cual éstos tienen
afinidad y con el cual la solución anterior esinmiscible.
Dos fases resultan de este contacto: una fase
que contiene al solvente enriquecido en elcomponente valioso y la otra fase que es lasolución residual a la que se ha extraído elcomponente valioso.
Extracción líquido-líquido
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En adición a la extracción, un aspectoextremadamente importante es el diseño delsistema para recuperar y reciclar el solvente.
En muchos casos, esta etapa adicional delproceso corresponde a una destilación.
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El sistema más simple de extracción en fase líquida comprende a tres componentes:
Componente B
Solvente extractor del soluto C, inmiscible con la
solución original de A y C.
Componente A Solvente portador, que es el componente de lasolución original que generalmente se encuentra en
mayor proporción
Componente C
Soluto o componente a recuperar de la soluciónoriginal.
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En una operación de extracción líquido-líquido sedenomina alimentación a la solución cuyos componentesse pretende separar, solvente de extracción al líquido
que se va a utilizar para separar el componentedeseado, refinado a la alimentación ya tratada yextracto a la solución con el soluto recuperado.
Extracción líquido
líquido
Solvente
Extracto
RefinadoAlimentación
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Refinado (R)
Extracto (E)Solvente (S)
MEZCLADORDECANTADOR
Alimentación (F)
La extracción se puede llevar a cabo en un equiposencillo, el que consiste en una combinación de untanque de agitación o mezclador y de un decantador.
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Es la solución original, que contiene uno o varioscomponentes que se van a recuperar o separarmediante la extracción.
Carga o alimentación ( F )
En el caso más simple, se tiene una solución dedos componentes A y C, donde el componente Ageneralmente es el que se encuentra en mayorproporción.
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Líquido inmiscible con la solución original, cuyafinalidad es extraer el componente C de dichasolución, debido a la afinidad del soluto con elsolvente.
Solvente ( S )
Generalmente se carga puro ( S = B ).
Sin embargo, puede suceder que el solventeprovenga de una extracción anterior, es decir queel solvente ya ha sido utilizado y luegorecuperado para una posterior utilización.
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Fase resultante de la extracción que correspondeal solvente enriquecido en el componente C.
Fundamentalmente está constituida por loscomponentes B y C.
Extracto ( E )
Sin embargo, es frecuente la situación en que elextracto sea una solución de los componentes A,
B y C; en cuyo caso las concentraciones de éstostendrían generalmente la siguiente relación:
B >> C >> A
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Fase resultante de la extracción que corresponde ala solución rica en el solvente portador que hacedido el componente C.
Fundamentalmente, está constituida por loscomponentes A y C.
Refinado ( R )
Sin embargo, es frecuente la situación en que el
refinado sea una solución de los componentes A, B yC; en cuyo caso las concentraciones de éstostendrían generalmente la siguiente relación:
A >> C >> B
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APLICACIONES
Generalmente la extracción en fase líquida seemplea en sustitución de métodos directos, cuando éstos son más costosos.
Separación de líquidos de puntos de ebulliciónpróximos (separación de butadieno y butilenos)
Separación de líquidos de mala volatilidadrelativa (separación de ácido acético y agua).
Por ejemplo en sustitución de la destilación:
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También se emplea cuando fallan los métodosdirectos.
Separación de sustancias sensibles al calor(penicilina y la mayoría de antibióticos).
Separación de mezclas que forman
azeótropos (separación de metil-etil-cetona yagua).
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Selectividad Coeficiente de distribución Solubilidad del solvente
Recuperación de soluto del solvente Densidad entre las fases líquidas Tensión interfasial Reactividad química Costos Viscosidad, presión de vapor Inflamabilidad, toxicidad
Selección del solvente
Factores a considerar:
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NOMENCLATURA
Referida a las diversas formas de expresar
concentraciones y flujos.Para la fase refinado
Fracción peso de C,
en el refinado: x
C
x = ---------A + B + C
Fracción peso de C, enbase libre de C, en el
refinado: x’
Cx’ = ------
A + B
Fracción peso de C, enbase libre de B, en el
refinado: X
CX = -----
A + C
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Fracción peso de C, en
base libre de C, en elextracto: y’
C
y’ = ------A + B
Fracción peso de C, en
base libre de B, en elextracto: Y
C
Y = ------A + C
Fracción peso de C,en el extracto: y
Cy = ---------
A + B + C
Para la fase extracto
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Fracción peso de B, enbase libre de B: N
BN = -----
A + C
A = 60 g
Refinado B = 5 gC = 35 g
A = 10 gExtracto B = 65 g
C = 25 g
5
Nrefinado = ------ = 0.005360 + 35
65 Nextracto = ------ = 1.857110 + 25
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Mediante un apóstrofe ( ' ) se indica flujos enbase libre de B :
R' flujo de A y C, en el refinadoE' flujo de A y C, en el extracto
A = 60 gRefinado B = 5 g
C = 35 g
A = 10 g
Extracto B = 65 g
C = 25 g
R = 100gR’ = 95 g
E = 100g
E’ = 35 g
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Para el solvente:
yS fracción peso de C
y’S fracción peso de C, en base libre de C
Ys fracción peso de C, en base libre de B
Mediante subíndices literales se hace referencia auna determinada corriente:
Para la alimentación:xF fracción peso de C
x’F fracción peso de C, en base libre de C
XF fracción peso de C, en base libre de B
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Mediante subíndices numéricos se hace referencia ala etapa de la cual procede una corriente:
R4 Refinado proveniente de la etapa Nº 4E2 Extracto proveniente de la etapa Nº 2
Mediante subíndices literales y numéricos se hacereferencia a una corriente y a la etapa de la cualprocede :
NR6 Fracción peso de B, en base libre de B, delrefinado proveniente de la etapa Nº 6
NS2 Fracción peso de B, en base libre de B, del
solvente que ingresa a la etapa Nº 2
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Relaciones de conversión
xx’ = ------
1 - x
y’ y = ------
1 + y’
yy’ = ------
1 - y
x’ x = ------
1 + x’
Xx = -------
1 + NR
Yy = -------
1 + NE
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F = F’ (1 + NF) S = S’ (1 + NS)
R = R’ (1 + NR) E = E’ (1 + NE)
F = A (1 + x’F) S = B (1 + y’S)
R = A ( 1 + x’ ) E = B ( 1 + y’ )
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EQUILIBRIO LIQUIDO - LIQUIDO DESISTEMAS TERNARIOS
Para el estudio del equilibrio líquido - líquido desistemas ternarios se requiere aplicar la regla de lasfases:
F = C - P + 2
Para un sistema ternario, el número de componentesserá
C = 3 ( A, B y C )
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Como el efecto de la presión sobre los equilibrios enfase líquida es relativamente insignificante, se puede
excluir la consideración de la fase vapor como noimportante para los presentes fines y considerar quela presión es lo suficientemente alta como paramantener sistema condensado, es decir muy por
encima de las presiones de vapor de las soluciones.
Excepto a presiones muy elevadas, la influencia dela presión en el equilibrio líquido-líquido es muypequeña y puede ser ignorada.
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Luego, el número de grados de libertad será:
F = 3 - 2 + 2 = 3 grados de libertad.
Por lo tanto, el número de fases será
P = 2 ( dos fases líquidas ).
Si se considera constante la presión, se tendrían dosgrados de libertad, la temperatura y la composición.
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El efecto de la temperatura se puede mostrar en undiagrama tridimensional, donde se representa latemperatura en la arista vertical y las composiciones
en las aristas de la base de un prisma triangular
Si se fija la temperatura, solamente será necesarioconocer las concentraciones.
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El triángulo equilátero tienela propiedad de que si desde
un punto cualquiera dentrodel triángulo se trazanperpendiculares a los lados,la suma de estos segmentoses igual a la altura deltriángulo.
Para representar los datos de equilibrio líquido -líquido de sistemas ternarios a temperaturaconstante se puede hacer uso de un triángulo
equilátero.
h
p
h = om + on + op
nm o
Basándose en esta característica se hace que la
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Basándose en esta característica, se hace que laaltura del triángulo represente la composición del100 % y que la longitud de los segmentosperpendiculares, desde cualquier punto, representelos porcentajes de los tres componentes.
El sistema ternario formado por los componentes A,B y C puede considerarse como compuesto por tressistemas binarios A – B , A – C y B - C .
on
om
op
% A
% B
% C
h
p
nm o
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Así se puede construir un diagrama triangular quecuenta con las siguientes características:
% C
% A% B
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Todo punto que coincidecon uno de los vérticesdel triángulo representa a
un componente puro.
B
C
A 100 % componente A
C 100 % componente CB 100 % componente B
Todo punto en un lado del triángulo representa a una
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BA
C
Todo punto en un lado del triángulo representa a unamezcla binaria de los dos componentes que seencuentran en los extremos del lado.
P 50 % A y 50 % C
P
Q 20 % B y 80 % C
R 70 % A y 30 % B
R
Q
d d d l á l
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BA
C
Todo punto dentro del triángulo representa a unamezcla ternaria
S 50 % de A, 30 % de B y 20 % de C
S
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Los puntos fuera del triángulo representan mezclasimaginarias y solo tiene significado desde el puntode vista de la construcción geométrica
REGLA DE LAS MEZCLAS
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D
E
F
la mezcla resultante tendrá la composición en elpunto F; la cual está ubicada en la línea recta DE,de modo que se cumpla la siguiente relación:
REGLA DE LAS MEZCLAS
Si a D Kg de la mezcla representadaen el diagrama por el punto D,
se le agregan E Kg de la mezclarepresentada en el diagrama porel punto E,
E / D = FD / EF
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E
F
D
xE
xD
xF
D
EF
Balance de materiatotal:
D + E = F
Balance de componente C: D . xD + E . xE = F . xF
D . xD + E . xE = ( D + E ) . xF
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E
F
D
xE
xD
xF
E xD - xF---- = -------
D xF – xE
Por semejanza de triángulos:
xD - xF FD------- = ----xF - xE EF
E FD--- = ----D EF
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La representación de los datos de equilibrio, a unadeterminada temperatura, para un sistema ternarioen un diagrama triángulo equilátero, da comoresultado a una curva conocida como la Curva desolubilidad o de equilibrio que representa asoluciones saturadas, y cuya forma dependerá del
tipo de sistema.
REPRESENTACION GRAFICA DELOS DATOS DE EQUILIBRIO
Sistema: Agua Clorobenceno Acetona
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Sistema: Agua - Clorobenceno - Acetona T = 25 ºC
Fase acuosa Fase clorobenceno
Agua Acetona Clorobenceno
Agua Acetona Clorobenceno
99.89 0.00 0.11 0.18 0.00 99.82
94.82 5.00 0.18 0.32 5.21 94.47
89.79 10.00 0.21 0.49 10.79 88.72
84.78 15.00 0.24 0.68 16.20 83.17
79.69 20.00 0.31 0.79 22.23 76.98
74.58 25.00 0.42 1.17 29.01 69.82
69.42 30.00 0.58 1.72 37.48 60.80
64.22 35.00 0.78 2.33 43.28 54.39
58.64 40.00 1.36 3.05 49.44 47.51
52.76 45.00 2.24 4.28 54.92 40.80
45.28 50.00 3.72 7.24 59.19 33.57
38.69 55.00 6.31 13.83 61.79 24.38
27.41 60.00 12.59 22.85 62.07 15.08
25.66 60.58 13.76 25.66 60.58 13.76
Sistema : Agua - Metil-isobutil-cetona – Acetona
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Sistema Agua Metil isobutil cetona Acetona(T = 30 ºC)
Agua MIK Acetona
2.33 93.20 4.60
3.86 77.30 18.95
4.66 71.00 24.40
5.53 65.50 28.90
7.82 54.70 37.60
10.70 46.20 43.20
14.80 38.30 47.00
18.80 32.80 48.30
24.10 27.40 48.4033.50 20.10 46.30
45.00 12.40 42.70
64.30 5.01 30.90
75.80 3.23 20.90
94.20 2.12 3.73
Composiciones de equilibrio
que determinan rectas dereparto:
% peso acetona en
Capa de
MIK
Capa de
agua
10.66 5.58
18.00 11.83
25.50 15.35
30.50 20.60
35.30 23.80
Datos para la curva de
solubilidad:
CRegión de
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A B
C
Toda mezcla representada por puntos en el área
situada fuera de la curva de equilibrio son solucioneshomogéneas de una sola fase líquida; mientras que lasmezclas representadas en el interior del área limitadapor la curva forman dos capas líquidas insolubles
(Región de las dos fases).
Región deuna fase
Región de dos fases
C
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A B
La unión de las composiciones de fases en equilibriomediante una línea recta da lugar a lo que se conocecomo la línea de equilibrio (línea de unión, deinterconexión ó de reparto).
Debe imaginarse el áreade heterogeneidad (regiónde 2 fases) como llena deun número infinito delíneas de equilibrio.
líneas de equilibrio
C
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A B
Curva derefinados
Curva deextractos
Punto depliegue
En la curva de solubilidad, la zona cercana allado AC del triángulo se conoce como la Región ocurva de refinados y la zona cercana al lado BC se conoce como la Región o curva de extractos,
uniéndose en el punto de pliegue.
Punto de pliegue ode equisolubilidad:
Punto crítico dondese forman doscapas líquidas decomposición y
densidad idénticas.
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Carecen de importancia para la extracción en faselíquida, los sistemas donde los tres componentes se
mezclan en todas proporciones con formación desoluciones homogéneas.
SISTEMAS TERNARIOS DE INTERES EN LAEXTRACCIÓN
Solo interesan aquellos sistemas en que ocurra
inmiscibilidad y que pueden clasificarse en:
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Sistemas tipo 2: Formación de dos pares delíquidos parcialmente miscibles
Sistemas tipo 1: Formación de un par de líquidos parcialmente miscibles
Sistemas tipo 3: Formación de tres pares delíquidos parcialmente miscibles
Sistemas del Tipo 1 C
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Sistemas del Tipo 1
Combinación más frecuente
En estos sistemas de esta naturaleza, lospares de líquidos A-C y B-C son miscibles entodas las proporciones a la temperatura queprevalece y el par de líquidos A-B esparcialmente miscible.
C
A BRegión de dos fases
Para estos sistemas las líneas de equilibrio no son
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Para estos sistemas, las líneas de equilibrio no sonparalelas y de ordinario cambian de pendientelentamente en una dirección al cambiar laconcentración.
C
A B
C
A B
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Sin embargo, son bastantecomunes los casos en que hayuna inversión de la pendientede las líneas de equilibrio.( Sistemas solutrópicos)
C
A B
Ejemplos: agua - tricloroetano - acetonaagua - metil isobutil cetona - acetonaagua - éter isopropílico - ácido acético
Sistemas del Tipo 2
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En la isoterma mostrada en la figura el área
interior de la banda representa mezclas queforman dos fases; fuera de ella la mezcla es unasolución homogénea de una sola fase líquida.
C
A B
En este tipo de sistemas no existe punto de pliegue
Curva de refinados
Curva de extractos
Región de dos fases
Región de una fase
Sistemas del Tipo 2
En los sistemas de esta naturaleza, los pares de
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plíquidos A-B y B-C son parcialmente miscibles mientras que el par de líquidos A-C es miscible entodas las proporciones, a la temperatura queprevalece. C
A BEjemplos : n-heptano - anilina - metilciclohexanoclorobenceno - agua - metiletilcetonaaceite de semillas de algodón - propano - ácido oleico
i d l Ti 3
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C
BA
En los sistemas de esta naturaleza, los pares de
líquidos A-B, A-C y B-C son parcialmente miscibles,
Ejemplo: Etilenglicol - Alcohol laurílico - nitrobenceno
Estos sistemas son relativamenteinusuales y pueden llegar a sersumamente complejos.
Sistemas del Tipo 3
COORDENADAS RECTANGULARES
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Pero como generalmente se dispone de un solo tamaño
de este tipo de gráficas y siendo frecuente el uso deescalas diferentes, para estos casos son útiles losdiagramas rectangulares.
OO DEN D S E NGUL ESPARA EQUILIBRIO LIQUIDO ENSISTEMAS TERNARIOS
Los datos de equilibrio para sistemas ternariossuelen representarse en coordenadas triangularesequiláteras donde se pueden realizar directamente ycon mucha comodidad muchos cálculos de extracción.
D t d t ti d di t
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Dentro de este tipo de diagramas tenemos:
Diagrama triángulo rectángulo
Diagrama de Janecke
Diagramas de distribución
Di t iá l tá l
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En este tipo de diagrama se representa, tanto parala fase extracto como refinado, la fracción peso de C en el eje de ordenadas con líneas paralelas al ladoAB; la fracción peso de B en las abscisas con líneasparalelas al lado AC y la fracción peso de A conlíneas paralelas al lado BC.
Diagrama triángulo rectángulo
C C
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A B A B
B
A
C
B
C
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Se puede utilizar un diagrama triángulo rectángulocon escalas iguales (además de rectángulo, el
triángulo es isósceles), las escalas se puedenampliar según sea conveniente y debe hacerse notarque se pueden utilizar escalas diferentes según seanecesario.
Escala recomendada:
Abscisas 2 cm = 0.10
Ordenadas 5 cm = 0.10
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Sistema tipo IISistema tipo I
Diagrama de Janecke
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Para construir este diagrama se requiere
transformar los datos de equilibrio a fraccionespeso en base libre de B.
Diagrama de Janecke
Se representa la fracción peso de B, en base librede B, en función de la fracción peso de C, en baselibre de B, tanto para la fase extracto como parala fase refinado.
Sistema: Agua (A) - Clorobenceno (B)- Acetona (C)
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gT = 25 ºC
Fase acuosa
Agua Acetona Clorobenceno99.89 0.00 0.11
94.82 5.00 0.18
89.79 10.00 0.21
84.78 15.00 0.24
79.69 20.00 0.31
74.58 25.00 0.42
69.42 30.00 0.58
64.22 35.00 0.78
58.64 40.00 1.36
52.76 45.00 2.24
45.28 50.00 3.72
38.69 55.00 6.31
27.41 60.00 12.59
25.66 60.58 13.76
BN = -----
A + C
CX = -----
A + C0.11
N = --------99.89 + 0
0X = ---------
99.89 + 0
0.18N = --------94.82 + 5
5X = ---------94.82 + 5
N X
--------
---- ----
---- ----
---- ----
---- ----
---- ----
Sistema: Agua (A) - Clorobenceno (B)- Acetona (C)
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Fase clorobenceno
Agua Acetona Clorobenceno
0.18 0.00 99.82
0.32 5.21 94.47
0.49 10.79 88.72
0.68 16.20 83.17
0.79 22.23 76.981.17 29.01 69.82
1.72 37.48 60.80
2.33 43.28 54.39
3.05 49.44 47.51
4.28 54.92 40.807.24 59.19 33.57
13.83 61.79 24.38
22.85 62.07 15.08
25.66 60.58 13.76
Sistema Agua (A) lorobenceno (B) Acetona ( )T = 25 ºC
BN = -----
A + C
C Y = -----
A + C
99.82N = --------
0.18 + 0
0 Y = --------
0.18 + 0
94.47N = ----------0.32 + 5.21
5.21 Y = -----------0.32 + 5.21
N Y
--------
---- ----
---- ----
---- ----
---- ----
---- ----
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Sistema tipo I Sistema tipo II
X , Y
N
N vs Y
N vs X
N
N vs Y
N vs X
X , Y
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En este tipo de diagramas se representa lacomposición de C en el extracto en función de lacomposición de C en el refinado.
Diagramas de distribución
fracción peso ( x , y ) fracción peso en base libre de C ( x’, y’ ) fracción peso en base libre de B ( X , Y ).
Las composiciones pueden estar expresadas como:
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X
Y
x
y
INTERPOLACION DE DATOS DE EQUILIBRIO
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Para la interpolación de datos de equilibrio en losdiagramas triangulares, sea triángulo equilátero otriángulo rectángulo, debe trazarse una línea quecorrelacione las líneas de equilibrio, a la que sedenomina Línea de Conjugadas.
INTERPOLACION DE DATOS DE EQUILIBRIO
En el diagrama triangular
Para trazar la línea de conjugadas se conocenlos métodos de Alders y de Sherwood.
Método de AldersC
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Método de Alders
A B
C
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R
E
A B
CMé d d h d
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C
A B
Método de Sherwood
C
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E
R
C
A B
C
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A B
C
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A B
C
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A B
C
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A B
N
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Diagrama de Janecke
Y
X
X, Y
E’
R’
EXTRACCIÓN EN FASE LÍQUIDA: MÉTODOS
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La separación por extracción de los componentes deuna solución puede llevarse a cabo de diferentesmaneras.
EXTRACCIÓN EN FASE LÍQUIDA: MÉTODOS
La naturaleza delsolvente empleado.Clasificación deacuerdo a:
La disposición física
del equipo empleado.
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Comprende a los sistemas ternarioso los que pueden reducirse alequivalente de tres componentes:los dos que han de separarse y elsolvente
Según la naturalezadel solvente
Extracción con un solosolvente
Extracción con solventemixto Extracción con doble
solvente
Extracción con unsolo solvente
Solvente es una mezcla de variassustancias y en el cual las relaciones
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sustancias y en el cual las relacionesde solubilidad son de tal naturaleza queno es factible la simplificación a un
sistema ternario. Extracción consolvente mixtoMejorar alguna propiedad de extracción del solvente, como selectividad,capacidad para disolver o algunapropiedad física, como su punto decongelación o su viscosidad.
Extracción condoble solvente
Comprende las disposiciones en que lamezcla a separar (constituida por dos omás componentes) se distribuye entredos solventes inmiscibles. En este caso,los sistemas contienen por lo menoscuatro componentes.
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Tipo de contacto entre la solución que ha desepararse en sus componentes y el solvente
Contacto continuo
Contacto por etapas
Según la disposiciónfísica de los equipos
Equipos en que la alimentación y el
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q p q ysolvente se ponen en contacto íntimo,se deja que ocurra la extracción y se
sedimentan las fases inmiscibles, quese retiran por separado.
Contacto poretapas
Esta operación se puede llevar a cabo
por lotes o en flujo continuo.Si la operación es por lotes, esprobable que el mismo equipo sirva paralas dos cosas: mezcla y sedimentación.
Si la operación es en flujo continuo lamezcla y la sedimentación se realizaránen distintos equipos.
La alimentación y el solvente fluyen encontracorriente lo que se consigue en
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Contacto
continuo
contracorriente, lo que se consigue envirtud de la diferencia entre susdensidades.
Cuando la fuerza impulsora del flujo es lagravedad, los equipos suelen tener formacilíndrica vertical, de modo que el líquidodenso ingresa por el extremo superiormientras que el líquido ligero lo hace porel extremo inferior.
También se puede generar una fuerzacentrífuga, en cuyo caso la direccióngeneral del flujo es radial respecto aleje de revolución, el cual puede ser
vertical u horizontal
EQUIPOS PARA LA EXTRACCIÓN LÍQUIDO – LÍQUIDO
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Q Q Q
Mezcladores – sedimentadores
Columnas extractoras estáticas y con agitación
Extractores Centrífugos
Los equipos de extracción líquido – líquido deimportancia desde el punto de vista comercial puedenclasificarse en las siguientes categorías:
Mezcladores – sedimentadores
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Son generalmente una serie de mezcladoresestáticos o con agitación, con etapas desedimentación colocadas entre los mezcladores.
La agitación puede realizarse por la acción rotatoriade un impulsor, por el empleo de un gas o poragitación de todo el recipiente; siendo frecuente eluso de alguna forma de impulsor rotatorio.
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En muchos casos de aplicación industrial, la separaciónque ha de hacerse requiere más de una etapa deextracción. Estas etapas múltiples se pueden conectarpara flujo cruzado o flujo en contracorriente.
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Ventajas
Eficiente
Ambiente de poca altura
Induce a un buen
contacto
Se puede usar cualquier
número de etapas
Desventajas
Ocupa espacios grandes
Alto costo de instalación
Alto costo de operación
Columnas extractoras de contacto continuoen contracorriente
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Son más populares en la industria química. Se
consigue el flujo a contracorriente de los doslíquidos en contacto, debido a la diferencia entresus densidades.
en contracorriente
Estas columnas pueden ser estáticas o conagitación.
El líquido denso ingresa por el extremo superior ydesciende, mientras que el líquido ligero lo hace porel extremo inferior y asciende.
C l á i
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Columnas estáticas
Columna de riego
Columna de platos perforados
Columnas con relleno (al azar y estructurado)
Columnas con agitación (rotatorias)
Columna con discos rotatoriosColumna Scheibel
Columna Kuhni
Columnas con agitación (reciprocantes)Columna Karr
Columna pulsatoria
Columnas estáticas
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Ventajas
Bajos costos de operación
Bajos costos de inversión
Desventajas
Ambiente de gran altura
Dificultad de escalado Menos eficiente que
mezclador - sedimentador
Las columnas de riego son losSalidalíquidoligero
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extractores de contacto continuomás simples, donde se dispersa
uno de los líquidos en unacolumna hueca, solamenteprovista de medios que permitenel ingreso y salida de los líquidosligeros y densos.
Son muy limitadas dado que suspropiedades de transferencia demasa no permiten un alto grado deseparación.
Ingresolíquidodenso
Ingreso
líquidoligero
Salidalíquidodenso
ligero
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Salidalíquidoligero
En las columnas con placasperforadas se dispersa de
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Ingresolíquidoligero
Salida
Líquidodenso
Ingresolíquidodenso
g perforadas, se dispersa demanera repetida uno de loslíquidos, el cual burbujea através de los orificios de laplaca.
La fase continua fluye a través
de las placas perforadashorizontales, y de placa aplaca lo hacen por medio deconductos descendentes.
Este tipo de extractores seutilizan mucho en la industriadel petróleo y sus derivados.
SalidaLas columnas con relleno se
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Ingresolíquidoligero
Salidalíquidodenso
Ingresolíquidodenso
Salidalíquidoligero
La operación es necesariamenteen flujo continuo y al mismotiempo las dos fases inmisciblesestán en contacto continuo a lolargo de toda la columna.
Las columnas con relleno secaracterizan por proveer
altas velocidades detransferencia de masa.
Los rellenos utilizadospueden ser volcados alazar o algún tipo derelleno estructurado.
Columnas con agitación
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Ventajas
Bajos costos de inversión
Buena dispersión
Se puede usar cualquier número
de etapas
Desventajas
Dificultad para separar líquidos con
poca diferencia de densidad No permite ratios altos de flujo
Salidalíquidoligero Ingreso
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gIngresolíquidodenso
Ingresolíquidoligero
Salidalíquido
denso
Las columnas con disco rotatorios cuentan con dispositivos tales comotabiques en forma de anillo, que dividenal extractor en varios pequeñoscompartimientos.
Así mismo, cuentan con un eje centralsobre el que están dispuestos una seriede discos planos, para cadacompartimiento, y que proporcionan la
agitación mecánica.
Se aplican en casi todos losprocesos de extracción de laindustria petrolera.
Salidalíquidoligero
La columna extractoraScheibel cuenta con dos
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ligero Ingresolíquidodenso
Ingresolíquido
ligero
Salidalíquido
denso
Impulsor
Malla
Scheibel cuenta con dosdiseños.
La columna consta de una serie decompartimientos alternos agitados conimpulsores situados en el centro, conotros compartimientos llenos de unatela metálica de tejido abierto.
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El segundo diseño, es un
diseño más moderno.En este equipo, lostabiques fijos de formaanular están colocadosdirectamente por encima ypor debajo del impulsor,además de contar contabiques en forma de anillodentro de la columna.
Malla
Tabiqueanular
Impulsor
Columna Karr : Plato Reciprocante
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Columna Karr : Plato Reciprocante
The Karr Reciprocating Plate Column consists of a seriesof perforated plates with large diameter holes and highfree cross sectional area mounted on a reciprocatedcentral shaft. The reciprocating motion imparts energyto the liquids, creating droplets and thus providing
interfacial area so that mass transfer can take place.Along with the perforated plates are periodic baffleplates that suppress axial mixing. This promotes a closeapproach to true countercurrent plug flow and minimizesthe height equivalent to a theoretical stage (HETS) of
the column
Columna pulsatoria
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The Pulsed Column consists of a vessel shell and a
cartridge assembly of "disc and donut" internals.Attached to the bottom side of the column is the pulseleg. Compressed air is alternately admitted and ventedfrom the pulse leg by means of a timer/solenoid valvearrangement. When air enters the pulse leg, it forces
the liquid downward, and this displacement of liquidcauses the liquid in the main column to rise. When theair exhausts from the pulse leg, the process is reversed.This continuous rising and falling of the column liquidpast the disc and donut internals causes turbulence, andtherefore droplets, so that mass transfer can take
place.
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Disposiciones de flujo:Contacto por etapas
En el desarrollo de este capítulo de extracción en
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fase líquida solo examinaremos el contacto poretapas y el empleo de un solo solvente.
De acuerdo a este criterio, la operación deextracción en fase líquida puede realizarse devarias maneras, según la disposición de las etapas:
Extracción en una sola etapa Extracción en etapas múltiples y en flujo cruzado
Extracción en etapas múltiples y en contracorriente Extracción en etapas múltiples, en contracorriente
y con reflujo
EXTRACCION EN UNA SOLA ETAPA
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La extracción en una sola etapa, denominadatambién de contacto simple o de contacto único, esel método más sencillo de extracción quegeneralmente se utiliza a pequeña escala o escala
de laboratorio.
EXTRACCION EN UNA SOLA ETAPA
Esta operación se puede llevar a cabo por lotes oen flujo continuo.
E1y1
Posteriormente las fasessult nt s d l xt ct
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FxF
R1 x1
SyS
1
resultantes del extracto(E1) y del refinado (R1)
son separadas delequipo.
La operación consiste en que alimentación (F) que hade separarse en sus componentes y el solvente ( S )que ha de extraer el soluto se ponen en contactopor una sola vez,
EXTRACCION EN ETAPAS MULTIPLES Y ENFLUJO CRUZ DO
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La extracción en etapas múltiples y en flujocruzado, denominada también extracción concorrientes transversales ó concurrentes, es unaextensión de la extracción en una sola etapa y
puede llevarse a cabo por lotes o en flujo continuo.
En esta operación la cantidad total de solventedisponible se divide en varias porciones o fracciones
que pueden ser iguales o diferentes, pero de lamisma composición ya que tienen el mismo origen.
FLUJO CRUZADO
Enyn
E1y1
E2y2
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S1yS1
FxF
S2yS2SnySn
yny1
R1
x1R2
x2Rn-1
xn-1
y2
Rn
xn1 n2
Ecompuesto
La alimentación F se pone en contacto con una de
estas porciones de solvente fresco S1 en una primeraetapa de extracción, para luego obtener las fasesresultantes de extracto E1 y de refinado R1.
El refinado R1 obtenido en la primera etapa deextracción se pone en contacto con otra porción desolvente fresco S2 en una segunda etapa deextracción, y obtener de este modo las dos fasesresultantes extracto E2 y de refinado R2.
Se puede proseguir de esta manera en etapassucesivas, reduciendo la concentración del soluto C enel refinado final. En cada caso, el refinadoproveniente de la etapa anterior se constituye en laalimentación de la etapa subsiguiente.
En esta operación se obtendrá un refinado único órefinado final (Rn) mientras que los extractosobtenidos en cada una de las etapas de extracciónsuelen combinarse para dar el extracto compuesto.
E l dif t t d t ió d
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En las diferentes etapas de extracción se puedeutilizar diferentes cantidades de solvente e incluso
trabajar a diferentes temperaturas, en cuyo caso sedeberá contar con la ayuda de un diagrama de fasesa la temperatura adecuada.
EXTRACCION EN ETAPAS MULTIPLES ACONTRACORRIENTE
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FR1 R2 Rm-1 Rm RNp-1 R
NpE1 E2 E3 Em Em+1 ENp
Sm1 2 Np
Este método supone el empleo de una cascada de etapas,en la que la alimentación F y el solvente S seintroducen por los extremos opuestos de la misma, demanera tal que las fases de extracto y de refinadofluyen continuamente y en contracorriente de etapa a
etapa a través de todo el sistema
La extracción en etapas múltiples y encontracorriente es una operación muy utilizada aescala industrial y es mucho más efectiva que laextracción en flujo cruzado.
Así mismo solo se obtiene dos productos por losextremos de la cascada el extracto producto E y
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extremos de la cascada, el extracto producto E1 yel refinado final RNp .
El sistema puede estar constituido por una serie demezcladores, cada uno con su respectivosedimentador, o por alguna forma de torre debandejas.
EXTRACCION EN ETAPAS MULTIPLES, EN
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La extracción en etapas múltiples, en contracorrientey con reflujo es una operación que ofrece la ventajade que se puede obtener un producto más rico que
aquel que se produce en una operación encontracorriente.
,CONTRACORRIENTE Y CON REFLUJO
La operación es análoga a la destilación fraccionada yse lleva a cabo en flujo continuo.
SE
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La alimentación F ingresa por una zona intermedia dela cascada de etapas, definiéndose dos zonas,mientras que el solvente S ingresa por el extremoopuesto de la cascada y por el otro extremo se
obitne el producto extracto PE.
ETAPA DESEPARACIÓN
DEL
SOLVENTE
E1
R0 E
1 e NP mf
Ef+1 Ef Ee+1 Ee E2 SENp Em+1 Em
Rf Rf-1 Re Re-1 R1 RNp-1 Rm Rm-1 RNp
FPE
La zona comprendida entre las etapas 1 y f-1 seconoce como la Zona de Enriquecimiento, y es aquídonde se aumenta el contenido del soluto C en elextracto, dando lugar a un producto extracto
primario E1 .
Este producto primario se lleva a una etapa deseparación del solvente, donde se separa todo o partedel solvente SE, dando lugar a la obtención de unacorriente E enriquecida en el soluto C, que se divide
en dos fracciones, una que se retira como el productoextracto PE y la otra que se retorna como corrientede reflujo Ro.
La zona comprendida entre las etapas f+1 y Np seconoce como la Zona de Empobrecimiento, y es aquídonde se agota el contenido de C en el refinado, El
refinado final RNp sale en el extremo por dondeingresa el solvente.
METODOS DE CALCULO PARA CONTACTO POR
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Suposición: Cada etapa de contacto es ideal oteórica, es decir la solución que ha de separarsese mezcla con el solvente, para obtener losproductos extracto y refinado, encontrándoseambas fases en condiciones de equilibrio
ETAPAS CON UN SOLO SOLVENTE ( SISTEMASTERNARIOS )
VARIABLES DE LA OPERACION :
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Temperatura.
Cantidad o flujo de alimentación.
Composición de la alimentación.
Cantidad o flujo del solvente.
Composición del solvente.
Cantidad o flujo de los productos.
Composición de los productos.
Grado de recuperación del soluto.
VARIABLES DE LA OPERACION :
En el caso de extracción en etapas múltiples el
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En el caso de extracción en etapas múltiples, elnúmero de etapas.
En el caso de etapas múltiples en flujo cruzado, elreparto del solvente.
En el caso de etapas múltiples en contracorrientey con reflujo, la relación de reflujo.
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De todas estas variables, las que se refieren alflujo o cantidad de alimentación y sucomposición, así como la composición delsolvente están determinadas por el proceso yson los datos básicos necesarios.Adicionalmente se requieren uno o dos datos
más, según la disposición de etapas que seemplea.
EXTRACCIÓN EN UNA SOLA ETAPA
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La alimentación, la solución que ha de separarse ensus componentes, se pone en contacto por una solavez con el solvente para dar lugar a las fases deextracto y de refinado, que bajo la suposición deetapa ideal se encuentran en equilibrio.
EXTRACCIÓN EN UNA SOLA ETAPA
DIAGRAMA TRIANGULAR
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F
xF
R1x
1
E1y1
Sys
1
De ordinario, en la mayoríade los casos, la alimentaciónconsiste exclusivamente en
una mezcla de A y C,mientras que el solventeextractor es un componentepuro.
C
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A B
Si la alimentación es una mezcla de A y C, estarárepresentada en el lado AC del triángulo; y si fuerauna mezcla ternaria, estará representada dentrodel triángulo.
F
F
Si el solvente es puro, estará representado en elvértice B del triángulo; si es una mezcla binaria, enuno de los lados del triángulo; y si es una mezclaternaria, dentro del triángulo.
S
S
S
Aplicando la regla de mezclas, definiremos M como lamezcla resultante de poner en contacto la
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F MS--- = -----S FM
y que estará ubicada en la línea FS, de acuerdo a lasiguiente relación :
palimentación ( F ) y el solvente ( S ).
F + S = M
F
S
M
La ubicación exacta del punto M dependeráde las cantidades relativas de alimentacióny de solvente que se están utilizando.
Para que ocurra la extracción, el punto M deberáestar ubicado en la región delimitada por la curva deequilibrio
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equilibrio.
Aplicando un balancede materia total, enestado estacionario,
alrededor de la etapade extracción:
F + S = E1 + R1
E1y1
FxFR1x1
S
ys
1
E1 + R1 = M
Se puede notar que M tambiénr pr s nt l m zcl d l s
E1
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representa a la mezcla de lasfases extracto E1 y refinado R1,
y estará contenido en un punto dela línea R1E1.
R1
M
Por lo tanto, el punto M es un punto común a laslíneas FS y R1E1.
Por otro lado, como las fases de extracto y refinadoresultantes están en la condición de equilibrio, lacaracterística de la línea R1E1, es que se trata deuna línea de equilibrio.
C
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A B
R1
xM
F
S
E1
M
Balance de materia total:
F + S = E + R = M
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Balance de materia para el componente C:F . xF + S . ys = E1 . y1 + R1 . x1 = M . xM
F + S = E1 + R1 = M
F . xF + S . yS xM = -------------
F + S
xF - xM S = F . -------
xM- yS
y1 - xMR1 = M . -------
y1 – x1
xM – x1E1 = M . -------
y1 – x1
De ordinario las composiciones del solvente y de
Tipos de problemas
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De ordinario, las composiciones del solvente y dela alimentación y el flujo o cantidad esta última
están determinadas por el proceso.
Caso A: Cantidad o flujo de solvente
Caso B: Composición del refinado o del extracto
Las otras variables de importancia son lacantidad o flujo del solvente y las composiciones
de los productosSe presentarán dos casos cuando, adicionalmentea los datos básicos (F, xF, ys ), se especifica un
dato adicional:
Caso A: Cantidad o flujo del solvente especificado
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Representar en el diagrama la alimentación ( F ) yel solvente ( S ), de acuerdo a su composición, ytrazar la línea FS.
Ubicar el punto M en la línea FS, previo cálculo de
la composición xM mediante la siguiente ecuación,resultado de los balances de materia:
F . xF + S . yS xM = ---------------
F + S Ubicar los puntos que representan a las fases de
refinado ( R1 ) y extracto ( E1 ), en los extremosde la línea de equilibrio que pase por el punto M.
C
F . xF + S . yS
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A B
R1
xM
F
S
E1
M
R1
E1
F ySxM = -------------
F + S
y1
x1
Del diagrama tomar lectura de lascomposiciones x1 e y1
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Calcular los flujos o cantidades de losproductos mediante las siguientes ecuaciones,resultado de los balances de materia:
xM – x1E1 = M . --------y1 – x1
y1 - xM R1 = M . --------
y1 – x1
composiciones x1 e y1.
C
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A B
F
E1
xMM
S
y1
x1R1
Caso B: Composición del refinado o del extractoespecificada
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Representar en el diagrama la alimentación ( F )y el solvente ( S ), de acuerdo a su composición ytrazar la línea FS.
especificada
Representar en el diagrama a la fase cuyacomposición ha sido especificada, y ubicar a laotra fase mediante una línea de equilibrio.
La intersección de las líneas FS y R1E1,determina la ubicación del punto M, y deldiagrama se toma lectura de la composición xM.
C
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A B
xM
R1
E1My1
F
Sx1
C
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A B
xM
R1
E1My1
F
Sx1
Calcular el flujo o cantidad de solvente mediantela siguiente ecuación, resultado de los balancesde materia:
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Calcular los flujos o cantidades de los productos.
de materia:
xF - xMS = F . ----------xM - yS
xM – x1E1 = M . -------
y1 – x1
y1 - xM R1 = M . --------
y1 – x1
Cantidades mínima y máxima de solvente
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Para asegurar que ocurra una separación por
extracción, la mezcla representativa M debe estarubicada dentro de la región delimitada por la curvade equilibrio, ya que fuera de ella se obtendrá unasolución de una sola fase.
Esto dependerá de las cantidades relativas dealimentación y de solvente que se empleen.
Smáximo > S > Smínimo
Si la cantidad de solvente empleada es tal que el puntoM coincide con el punto de intersección de la línea FS y la curva de refinados ( D ).
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A B
C
xD
F
S
D
Esta cantidad correspondea una cantidad mínima desolvente; resultando unrefinado de composición xD y nada de extracto.
xF - xD Smínimo = F . -------
xD - yS
Si la cantidad de solvente empleada es tal que el puntoM coincide con el punto de intersección de la línea FS y la curva de extractos ( G ).
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yG
A B
C
F
S
Esta cantidad correspondea una cantidad máxima desolvente; resultando unextracto de composición yG y nada de refinado.
xF - yG Smáximo = F . -------
yG - yS
G
C
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A B
F
SGyG
xDD
DIAGRAMA DE JANECKE
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Los principios desarrollados para los diagramas
triangulares son los mismos para el diagrama deJanecke, salvo que los flujos así como lascomposiciones se expresan en base libre de B.
E’1
Y1NE1
F’ XF
NF
R’1X1
NR1
S’ YSN
S
1
Desarrollando los balances de materia,en estado estacionario y en base librede B, alrededor de la etapa de
E’1 Y1NE1
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extracción.
Balance de materia para el componente C:
F'. XF + S'. YS = E’1 . Y1 + R’1 . X1 = M'. XM
Balance de materia total:
F' + S' = E'1 + R'1 = M'
Balance de materia para el componente B:
F'. NF + S'. NS = E'1 . NE1 + R'1 . NR1 = M'. NM
F’
XFNF
R’1
X1NR1
S’ YS
NS
1
Combinando los balances de materia total y delcomponente C:
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F’. XF + S’. YSXM = -------------F’ + S’
NF - NM
S’ = F’ --------NM - NS
XF - XMS’ = F’ ----------XM - YS
F’. NF + S’. NS
NM = -------------F’ + S’
Combinando los balances de materia total y delcomponente B:
Para el cálculo del flujo de los productos, en baselibre de B:
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libre de B:
XM – X1E’1 = M’ . --------
Y1 – X1
Y1 - XMR’1 = M’ . --------
Y1 – X1
Para expresarlos como flujos totales:
E1 = E’1 . (1 + NE1)
R1 = R‘1 . (1 + NR1)
N
XF = C / (A + C) F’
N = B / (A + C)
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XF
NF
NF = B / (A + C)
F’
XF = C / (A + C) F’
NF = B / (A + C)
Si la alimentación es unamezcla ternaria de A, B y CSi la alimentación es unamezcla binaria de A y C
XF = C / (A + C) F’
NF = 0
XF NF
F’
N
NS
YS = C / (A + C) S’
N = B / (A + C)S’
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YS
NS = B / (A + C)
YS = C / (A + C) S’
NS = B / (A + C)
Si el solvente es una mezclaternaria de A, B y CSi el solvente es una mezclabinaria de A y B
YS = 0 S’
NS = B / (A + C)
YS
NSS’
Si el solvente es una mezclabinaria de B y C
YS = 1 S’
NS = B / (A + C)
YS
NS S’
Tipos de problemas
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De la misma manera, que en los diagramastriangulares, cuando adicionalmente a los datosbásicos (F’, XF, Ys ) se especifica un dato adicional,se presentarán dos casos :
Caso A: Cantidad o flujo de solvente
Caso B: Composición del refinado o del extracto
Representar en el diagrama la alimentación ( F’ )
Caso A: Cantidad o flujo del solvente especificado
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p g ( )y el solvente ( S’ ), de acuerdo a su composición,
y trazar la línea F’S’.
F’. XF + S’. YSXM = ------------
F’ + S’
F’. NF + S’. NSNM = -------------
F’ + S’
Ubicar los puntos que representan a las fasesrefinado ( R’1 ) y el extracto ( E’1 ), en losextremos de la línea de equilibrio que pase porel punto M’.
Ubicar el punto M’ en la línea F’S’, previo cálculode las coordenadas de este punto ( XM y NM )mediante las siguientes ecuaciones:
N
NSS’
E’1
F’. XF + S’. YSXM = ------------
F’ S’
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YX , Y
X
NM
XF
NF
XM YS
F’
M’ R’1
1F’ + S’
F’. NF + S’. NSNM = -------------
F’ + S’
N
Del diagrama, tomarlectura de las
i iN
S’
E’1
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Y
X
X1 Y1
composiciones:
NR1
NE1
X1R’1
NR1
Y1E’1
NE1
F’
M’ R’1
Calcular los flujos o cantidades de los productosmediante las siguientes ecuaciones, resultado del b l d i
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XM – X1E’1 = M’ . --------
Y1 – X1
Y1 - XM R’1 = M’ . -------
Y1 – X1
los balances de materia :
E1 = E’1 . ( 1 + NE1 )
R1 = R’1 . ( 1 + NR1 )
CASO B: Composición del refinado o del extractoespecificada
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Representar en el diagrama la alimentación ( F’ )y el solvente ( S’ ), de acuerdo a su composición ytrazar la línea F’S’.
Representar en el diagrama a la fase cuyacomposición ha sido especificada, y ubicar a laotra fase mediante una línea de equilibrio.
La intersección de las líneas F’S’ y R’1E’1,determina la ubicación del punto M’ y deldiagrama, tomar lectura de las composiciones XM y NM.
N
NSS’
E’1
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YX , Y
X
NM
XF
NF
XM YS
F’
M’
X1
R’1
Calcular el flujo o cantidad de solventemediante la siguiente ecuación, resultado de losbalances de materia:
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Calcular los flujos ó cantidades de los productos.
XF - XMS’ = F’ ---------XM - YS
NF - NMS’ = F’ ---------NM - NS
S = S’ . ( 1 + NS )
XM – X1
E’1 = M’ . -------- Y1 – X1
Y1 - XM
R’1 = M’ . ------- Y1 – X1
E1 = E’1 . ( 1 + NE1 ) R1 = R’1 . ( 1 + NR1 )
Solvente puro YS = C / (A + C)
S’
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S' = 0 YS = indeterminadoNS = a
S' . YS = 0 y S'. NS = S
En este caso el punto S' tiene una ordenadainfinita, de manera que la línea F'S' será una líneavertical.
Cuando el solvente es puro:
NS = B / (A + C)
Los balances de materia desarrollados anteriormentese modifican de la siguiente manera:
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F' . XF = R'1 . X1 + E'1 . Y1 = M' . XM
= 0
Balance de materia para el componente C:
F'. XF + S'. YS = E’1 . Y1 + R’1 . X1 = M'. XM
Balance de materia total:
F' + S' = E'1 + R'1 = M‘
F' = R'1 + E'1 = M'
= 0
Balance de materia para el componente B:
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F' . NF + S = R'1 . NR1 + E'1 . NE1 = M' . NM
F'. NF + S'. NS = E'1 . NE1 + R'1 . NR1 = M'. NM
S'. NS = S
Relacionando los balances de materia total y decomponente C:
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XM = X
F
Relacionando los balances de materia total y decomponente B:
F’ . NF + SNM = ----------
F’
S = F’ ( NM - NF )
S’
E’1
Caso AF'= M'
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YX , Y
X
NM
XF
NF
=XM
F’
M’
R’1
F’ . NF + S
NM = ----------F’
XM – X1E’1 = M’ . --------
Y1 – X1 Y1 - XM
R’1 = M’ . ------- Y
1 – X
1
E1 = E’1 . ( 1 + NE1 )
R1 = R’1 . ( 1 + NR1 )
E’1
Caso BF'= M'
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YX , Y
X
NM
XF
NF F’
M’
R’1 XM – X1E’1 = M’ . --------
Y1 – X1 Y1 - XM
R’1 = M’ . ------- Y
1 – X
1
E1 = E’1 . ( 1 + NE1 )
R1 = R’1 . ( 1 + NR1 )
S = F’ ( NM - NF )
Cantidades mínima y máxima de solvente
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Esto dependerá de las cantidades relativas dealimentación y de solvente que se empleen.
Para asegurar que ocurra una separación porextracción, la mezcla representativa M debe estarubicada dentro de la región delimitada por la curvade equilibrio, ya que fuera de ella se obtendrá unasolución de una sola fase.
Si la cantidad de solventeempleada es tal que el puntoM coincide con el punto de
N
NSS’
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Esta cantidad correspondea una cantidad mínima de
solvente; resultando unrefinado de composición xD y nada de extracto.
pintersección de la línea FS yla curva de refinados ( D’ ).
XF - XD S’mínimo = F’ . -------
XD - YS
X , YXF
NF
YS
F’
NF - NDS’mínimo = F’ --------
ND - NS
D’
XD
ND
Si la cantidad de solventeempleada es tal que el puntoM coincide con el punto de
N
NSS’
7/23/2019 8 Extracción Liquida Alumnos
http://slidepdf.com/reader/full/8-extraccion-liquida-alumnos 167/219
Esta cantidad correspondea una cantidad máxima de
solvente; resultando unextracto de composición yG y nada de refinado.
pintersección de la línea FS yla curva de extractos ( G’ ).
XF - YG S’máximo = F’ . -------
YG - YS
X , YXF
NF
YS
F’
NF - NGS’máximo = F’ --------
NG - NS
YG
NGG’
N
S’
Para solvente puro :
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Smínimo = F’ . ( ND - NF )
X , YXF
NF
ND
F’
NG
Para solvente puro :
G’
D’ Smáximo = F’ . ( NG - NF )
EXTRACCIÓN EN ETAPAS MÚLTIPLES Y ENFLUJO CRUZADO
7/23/2019 8 Extracción Liquida Alumnos
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Esta operación es una extensión de la extracción enuna sola etapa, en la cual el refinado proveniente dela primera etapa se extrae con solvente nuevo de lamisma composición en etapas sucesivas, con lo cual se
reduce la concentración de C en el refinado.
En las diversas etapas se puede utilizar cantidadesdiferentes de solvente, e inclusive trabajar adistintas temperaturas.
Los métodos de cálculo resultan análogos alempleado para la extracción en una sola etapa.
7/23/2019 8 Extracción Liquida Alumnos
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Conforme a ello todas las ecuacionesdesarrolladas para el contacto en una sola etapase aplican tanto para la primera etapa como paralas subsiguientes.
Según sea el tipo de diagrama utilizado, sepresentan a continuación ecuaciones generalizadas
para utilizar en cualquier etapa de extracción.
Eny
E1y1
E2y
DIAGRAMA TRIANGULAR
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S1yS1
FxF
S2yS2
SnySn
yny1
R1
x1
R2
x2
Rn-1
xn-1
y2
Rn
xn1 n2
Ecompuesto
Generalizando para una etapa n cualquiera,realizando los balances de materia en estadoestacionario:
Balance de materia total:
Rn-1 + Sn = Rn + En = Mn
Balance de materia para el componente C:
Rn-1 . xn-1 + Sn . ySn = Rn . xn + En . yn = Mn . xMn
De los balances de materia, se tiene:
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xMn - xn
En = Mn . --------yn – xn
Rn-1 . xn-1 + Sn . ySn
xMn = ----------------Rn-1 + Sn
Para determinar las cantidades de extracto y refinado:
yn - xMn
Rn = Mn . -------yn - xn
xn-1 - xMn
Sn = Rn-1 . --------xMn - ySn
n
E E
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Ecompuesto = Eii = 1
n n
ycompuesto = Ei . yi / Eii = 1 i = 1
D di i l t i d l l t d
Tipos de problemas
7/23/2019 8 Extracción Liquida Alumnos
http://slidepdf.com/reader/full/8-extraccion-liquida-alumnos 174/219
De ordinario, las concentraciones del solvente y de
la alimentación y el flujo o cantidad de ésta últimaestán determinadas por el proceso.
Las otras variables de importancia son: cantidad oflujo total de solvente, el reparto del solventeentre las etapas, el número de etapas y lascomposiciones de las fases extracto o refinado.
Datos básicos: F
xF
yS
Adicionalmente a los datos básicos, se presentaránlos siguientes casos especificando adicionalmente lassiguientes variables:
7/23/2019 8 Extracción Liquida Alumnos
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Número de etapas y cantidad de solvente paracada etapa.
Número de etapas y las composiciones del
extracto o refinado en cada una de ellas. La composición del refinado final, la cantidad
total de solvente, con la proporción que ha de
utilizarse en cada etapa. La composición del refinado final, el número de
etapas y el reparto del solvente entre éstas.
Caso A : Número de etapas y cantidad de solventepara cada etapa.
7/23/2019 8 Extracción Liquida Alumnos
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S1
yS1
F
xF
S2
yS2
E1
y1
R1
x1
R2
x2
E2
y2
1 2
Ecompuesto
ycompuesto
Primera etapa : F + S1 = M1
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S1
yS1
F
xF
E1
y1
R1
x11
F + S1 = E1 + R1 = M1
CF . xF + S1 . yS1
xM1 = --------------
Primera etapa : F + S1
7/23/2019 8 Extracción Liquida Alumnos
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B
E1
xM1M1
R1
F
S1
M1F + S
1
xM1 – x1E1 = M1 . -------
y1 – x1
y1 – xM1R1 = M1 . -------
y1 – x1
Segunda etapa : R1 + S2 = M2
7/23/2019 8 Extracción Liquida Alumnos
http://slidepdf.com/reader/full/8-extraccion-liquida-alumnos 179/219
S2
yS2
R1
x1
E2
y2
R2
x22
R1 + S2 = E2 + R2 = M2
C
Segunda etapa : R1 + S2
R1 . x1 + S2 . yS2xM2 = ---------------
R + S
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A B
E1
xM2M2
R1
F
S2
R2
E2
R1 + S2
xM2 – x2E2 = M2 . -------
y2 – x2
y2 – xM2R2 = M2 . -------
y2 – x2
C
E
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A B
E1
xM1
M1
xM2
E2
M2
R1
F
S
R2
C
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A B
xM1
F
E1
M1
R1xM2M2
R2
E2
S
Caso B : Número de etapas y las composiciones delextracto o refinado en cada una de ellas.
7/23/2019 8 Extracción Liquida Alumnos
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S1
yS1
F
xF
S2yS2
E1
y1
R1
x1
R2
x2
E2
y2
1 2
Ecompuesto
ycompuesto
Primera etapa : F + S1 = M1
7/23/2019 8 Extracción Liquida Alumnos
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S1
yS1
F
xF
E1
y1
R1
x11
F + S1 = E1 + R1 = M1
C
E
xF – xM1 S1= F . --------
xM1 – yS1
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A B
E1
xM1
M1
R1
F
S1
x1
xM1 – x1E1 = M1 . -------
y1 – x1
y1 – xM1R1 = M1 . -------y1 – x1
E
Segunda etapa : R1 + S2 = M2
7/23/2019 8 Extracción Liquida Alumnos
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S2
yS2
R1
x1
E2
y2
R2
x22
R1 + S2 = E2 + R2 = M2
C
E
x1 – xM2 S2 = R1 . --------xM2 – yS2
7/23/2019 8 Extracción Liquida Alumnos
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A B
E1
M1
xM2
E2
M2
R1
F
S2
R2x2
xM2 – x2E2 = M2 . -------y2 – x2
y2 – xM2R2 = M2 . -------y2 – x2
C
E
7/23/2019 8 Extracción Liquida Alumnos
http://slidepdf.com/reader/full/8-extraccion-liquida-alumnos 188/219
A B
E1
xM1
M1
xM2
E2
M2
R1
xM3 M3
F
S
R2
E3
R3
x1
x2
x3
EnE1 E2
Caso C : La composición del refinado final, la cantidadtotal de solvente, con la proporción que ha deutilizarse en cada etapa.
7/23/2019 8 Extracción Liquida Alumnos
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S1yS1
F
xF
S2yS2
SnySn
En
yn
E1
y1
R1
x1
R2
x2
Rn-1
xn-1
E2
y2
Rn
xn
1 n2
Ecompuesto
n = 2S1 = S2 = 1000 lb/h
STOTAL = 2000 lb/hReparto = Cantidades igualessolvente por etapax = 0.05
EnE1 E2
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S1yS1
F
xF
S2yS2
SnySn
n
yn
1
y1
R1
x1
R2
x2
Rn-1
xn-1
2
y2
Rn
xn
1 n2
Ecompuesto
n = 4S1=S2=S3=S4=500 lb/h
EE E
Caso D : La composición del refinado final, elnúmero de etapas y el reparto del solvente entreéstas.
7/23/2019 8 Extracción Liquida Alumnos
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S1yS1
F
xF
S2yS2
S3yS3
E3
y3
E1
y1
R1
x1
R2
x2
E2
y2
R3
x31 32
Ecompuesto
ycompuesto
n = 3 etapasReparto = Cantidades igualessolvente por etapa
STOTAL = 1200 lb/hS1 = S2 = S3 = 400 lb/h
EE E
7/23/2019 8 Extracción Liquida Alumnos
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S1yS1
F
xF
S2yS2
S3yS3
E3
y3
E1
y1
R1
x1
R2
x2
E2
y2
R3
x31 32
Ecompuesto
ycompuesto
STOTAL = 2400 lb/hS1 = S2 = S3 = 800 lb/h
E’n YnN
E’1 Y1N
E’2 Y2N
DIAGRAMA DE JANECKE
7/23/2019 8 Extracción Liquida Alumnos
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S’1 YS1
F’ XF
NF
S’2 YS2
S’n YSnNSn
NEnNE1
R’1
X1
NR1
R’2
X2
NR2
R’n-1
Xn-1
NRn-1
NE2
R’nXn
NRn
1 n2
E’compuesto
Balances de materia en estado estacionarioy en base libre de B:
Balance de materia total:
R'n-1 + S'n = R'n + E'n = M'n
E’n YnNEn
E’1 Y1NE1
E’2 Y2NE2
E’compuesto
7/23/2019 8 Extracción Liquida Alumnos
http://slidepdf.com/reader/full/8-extraccion-liquida-alumnos 194/219
S’1 YS1
F’ XFNF
S’2 YS2S’n YSnNSn
R’1X1
NR1
R’2X2
NR2
R’n-1Xn-1
NRn-1
R’nXn NRn
1 n2
Balance de materia para el componente C:
R'n-1 . Xn-1 + S'n . YSn = R'n . Xn + E'n . Yn = M'n. XMn
E’n YnNEn
E’1 Y1NE1
E’2 Y2NE2
E’compuesto
7/23/2019 8 Extracción Liquida Alumnos
http://slidepdf.com/reader/full/8-extraccion-liquida-alumnos 195/219
S’1 YS1
F’ XFNF
S’2 YS2
S’n YSnNSn
R’1
X1
NR1
R’2
X2
NR2
R’n-1
Xn-1
NRn-1
R’nXn NRn
1 n2
compuesto
Balance de materia para el componente B: R'n-1 . NRn-1 + S'n . NSn = R'n . NRn + E'n . NEn = M’n . NMn
Relacionando los balances de materia total y decomponente C:
7/23/2019 8 Extracción Liquida Alumnos
http://slidepdf.com/reader/full/8-extraccion-liquida-alumnos 196/219
R'n-1 . Xn-1 + S'n . YSn XMn = ------------------
R'n-1 + S'n
Xn-1 - XMnS'n = R'n-1 . ---------
XMn - YSn
Relacionando los balances de materia total y decomponente B:
7/23/2019 8 Extracción Liquida Alumnos
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R'n-1 . NRn-1 + S'n . NSnNMn = -------------------
R'n-1 + S'n
NRn-1 – NMnS'n = R'n-1 . ---------
NMn - NSn
Para calcular los flujos o cantidades de extracto yde refinado, en base libre de B:
7/23/2019 8 Extracción Liquida Alumnos
http://slidepdf.com/reader/full/8-extraccion-liquida-alumnos 198/219
Yn - XMnR'n = M'n . -------
Yn - Xn
XMn – Xn E'n = M'n . --------
Yn – Xn
En = E'n. (1 + NEn)Rn = R'n. (1 + NRn)
Para los flujos totales:
E’1
E’2
Caso A : Número de etapas y cantidad de solventepara cada etapa.
7/23/2019 8 Extracción Liquida Alumnos
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S’1
YS1
F’
XFNF
S’2
YS2
E 1
Y1NE1
R’1
X1
NR1
R’2
X2
NR2
E 2
Y2NE2
1 2
E’compuesto
Primera etapa : F’ + S’1 = M’1
7/23/2019 8 Extracción Liquida Alumnos
http://slidepdf.com/reader/full/8-extraccion-liquida-alumnos 200/219
F’ + S’1 = E’1 + R’1 = M’1
S’1 YS1NS1
R’1X1
NR1
1F’ XFNF
E’1 Y1NE1
NS
E’1
S’ F’ . XF + S'1 . YS1 XM1= ---------------
F' + S'1
F’ NF + S'1 N 1
7/23/2019 8 Extracción Liquida Alumnos
http://slidepdf.com/reader/full/8-extraccion-liquida-alumnos 201/219
Y
X
NM1
XF
NF XM1 YS
M’1
F’
F . NF + S 1 . NS1
NM1 = ---------------F' + S'1
R’1
Segunda etapa : R’1 + S’2 = M’2
7/23/2019 8 Extracción Liquida Alumnos
http://slidepdf.com/reader/full/8-extraccion-liquida-alumnos 202/219
R’1 + S’2 = E’2 + R’2 = M’2
S’2 YS2NS2
R’1X1
NR1
R’2X2
NR2
E’2 Y2NE2
2
NS
E’1
R’1 . X1 + S'2. YS2 XM2= ----------------R‘1 + S'1
S’
M’
E’2
7/23/2019 8 Extracción Liquida Alumnos
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Y
X
NM1
XF
NF XM1 YS
M’1
F’
R’1. NR1+ S'2 . NS2NM2 = ---------------R‘1 + S'1
XM2
NM2
R’1R’2
M’2
Solvente puro
Si el solvente es puro, las ecuaciones de losbalances de materia se simplifican tomando en
7/23/2019 8 Extracción Liquida Alumnos
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R‘n-1 . NRn-1 + Sn NMn = ---------------
R'n-1
balances de materia se simplifican tomando encuenta que:
S' = 0S' . YS = 0
S' . NS = S
Sn = R'n-1 (NMn - NRn-1)
XMn = Xn-1
S’
E’1
NM2
E’2
M’2
7/23/2019 8 Extracción Liquida Alumnos
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YX , Y
X
NM1
XF
NF
=XM1
F’
M’1
M2
R’1R’2
Bny’n
B1y’1
B2y’2
EXTRACCIÓN EN UNA ETAPA - EXTRACCIÓN ENFLUJO CRUZADO : SOLVENTES INMISCIBLES
7/23/2019 8 Extracción Liquida Alumnos
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B1y’S1
Ax’F
B2yS2
Bny’Sn
y ny 1
A
x’1
Ax’2
Ax’n-1
y 2
A
x’n1 n2
Si A y B son inmiscibles, tanto la alimentación como los refinados de cada etapa contienen la misma cantidad de A; mientras que elcontenido de B en el extracto de cualquier etapa es igual alcontenido de B en el solvente de extracción para dicha etapa.
Cuando A y B son inmiscibles,para realizar los cálculos deextracción en una etapa óextracción en etapas múltiples
y’
7/23/2019 8 Extracción Liquida Alumnos
http://slidepdf.com/reader/full/8-extraccion-liquida-alumnos 207/219
e tracc ón en etapas mú t p es
y en flujo cruzado, resultaconveniente emplear undiagrama de distribución conlas composiciones expresadas
en base libre de C.Las concentraciones x‘F y x’ se reducen a unarelación C / A.
x’
Las concentraciones y'S e y’ se reducen a unarelación C / B.
Las cantidades o flujos de las diversas corrientesestarán dadas por:
A = F / ( 1 + x' )
7/23/2019 8 Extracción Liquida Alumnos
http://slidepdf.com/reader/full/8-extraccion-liquida-alumnos 208/219
Rn = A . ( 1 + x'n )
En = Bn . ( 1 + y'n )
F = A . ( 1 + x'F )
Sn = Bn . (1 + y'Sn )
A = F / ( 1 + xF )
Bn = Sn / (1 + y'Sn )
Para una etapa " n " cualquiera, unbalance de materia para elcomponente C, en base libre de C:
Bny’n
A A
7/23/2019 8 Extracción Liquida Alumnos
http://slidepdf.com/reader/full/8-extraccion-liquida-alumnos 209/219
A . (x'n-1 - x'n ) = Bn . (y'n- y'Sn )
A . x'n-1 + Bn .y'Sn = A . x'n + Bn . y'n
- A . (x‘n - x'n-1 ) = Bn . (y'n- y'Sn )
Bn
y’Sn
x’n-1
A x’nn
A ( y'n - y'Sn )- --- = ------------Bn ( x'n - x’n-1 )
Ecuación de una línea recta(Línea de operación)
Pendiente: m =- A / Bn
7/23/2019 8 Extracción Liquida Alumnos
http://slidepdf.com/reader/full/8-extraccion-liquida-alumnos 210/219
Pasa por los puntos:
n
x'n-1
y'Sn
x'n
y'n
Como las corrientes efluentes deuna etapa teórica (extracto yrefinado) están en equilibrio, elpunto de coordenadas x'n , y'n está ubicado en la curva deequilibrio.
( x'n-1 , y'Sn )
( x'n , y'n )- A / Bn
CASO A : Cantidad de solvente especificadoEXTRACCIÓN SIMPLE
E1
7/23/2019 8 Extracción Liquida Alumnos
http://slidepdf.com/reader/full/8-extraccion-liquida-alumnos 211/219
A ( y'1 - y'S1 )- --- = -----------
B1 ( x'1 - x’F )
FxF
A = F / (1 + x’F)x’F = xF / (1 – xF)
SyS1
B1 = S1 / (1 + y’S1)y’S1 = yS1 / (1 – yS1)
S1yS1
F
xF
E1
y1
1R1
x1
A ( y'1 - y'S1 )- --- = -----------B1 ( x'1 - x’F )
( x’F , y’S1 )
m = - A / B1
7/23/2019 8 Extracción Liquida Alumnos
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x’F x’1
y’S1
y’1
- A/B1
E1 = B1 ( 1 + y'1 )
R1 = A ( 1 + x’1 )
CASO B : Composición del extracto ó del refinadoespecificado
EXTRACCIÓN SIMPLE
E1
7/23/2019 8 Extracción Liquida Alumnos
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A ( y'1 - y'S1 )- --- = -----------
B1 ( x'1 - x’F )
FxF
A = F / (1 + x’F)x’F = xF /(1 – xF)
yS1 y’S1 = yS1/(1 – yS1)
x1 x’1 = x1 / (1 – x1) S1yS1
F
xF
E1
y1
1R1
x1
A ( y'1 - y'S1 )- --- = -----------B1 ( x'1 - xF )
( x’F , y’S1 )
A ( x‘F – x’1 )B1 = -------------( y'1 - y'S1 )
7/23/2019 8 Extracción Liquida Alumnos
http://slidepdf.com/reader/full/8-extraccion-liquida-alumnos 214/219
x’ x’
y’S1
y’1
x’1 S1 = B1 ( 1 + y’S1 )
E1 = B1 ( 1 + y'1 )R1 = A ( 1 + x’1 )
Caso A : Número de etapas y cantidad de solvente
EXTRACCIÓN EN FLUJO CRUZADO
7/23/2019 8 Extracción Liquida Alumnos
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S1yS1
F
xF
S2yS2
E1
y1
R1
x1
R2
x2
E2
y2
1 2
Ecompuesto
ycompuesto
p y
para cada etapa.
E1
Primera etapa : F + S1
7/23/2019 8 Extracción Liquida Alumnos
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S1yS1
F
xF
1
y1
R1
x1
1
A ( y'1 - y'S1 )- --- = -----------
B1 ( x'1 - x’F )
FxF
S1 yS1
B1 = S1 / (1 + y’S1)y’S1 = yS1 / (1 – yS1)
A = F / (1 + x’F)x’F = xF /(1 – xF)
A ( y'1 - y'S1 )- --- = -----------
B ( x' - x’ ) A = F / (1 + x’F)
x’F , y’S1
7/23/2019 8 Extracción Liquida Alumnos
http://slidepdf.com/reader/full/8-extraccion-liquida-alumnos 217/219
’’
y’S
B1 ( x
1 - x
F )
y’1
- A/B1
A F / (1 x F)
B1 = S1 / (1 + y’S1)
E1 = B1 ( 1 + y'1 )R1 = A ( 1 + x’1 )
E2
Segunda etapa : R1 + S2
A
7/23/2019 8 Extracción Liquida Alumnos
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S2yS2
R1
x1
2
y2
R2
x2
2
A ( y'2 - y'S2 )- --- = -----------
B2 ( x'2 - x’1 )
x’1
S2 yS2
B2 = S2 / (1 + y’S2)y’S2
A ( y'2 - y'S2 )- --- = -----------
B2 ( x'2 - x’1 )
x’1 , y’S2
A = F / (1 + x’F)
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y’1
y’2 - A/B1
- A/B2
B2 = S2 / (1 + y’S2)
E2 = B2 ( 1 + y'2 )R2 = A ( 1 + x’2 )