คูมือประกอบสื่อการสอน วิชาคณิตศาสตร

เรื่อง

โครงงานคณิตศาสตร

(ตอนที่ 3)

การถอดรากที่สาม

โดย

ผูชวยศาสตราจารย ดร. ทรงเกียรติ สุเมธกิจการ

สื่อการสอนชุดนี ้เปนความรวมมือระหวาง

คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย กับ

สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน (สพฐ.)

กระทรวงศึกษาธิการ

คูมือส่ือการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง

สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาข้ันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

1    

สื่อการสอน เรื่อง โครงงานคณิตศาสตร สื่อการสอน เรื่อง โครงงานคณิตศาสตร มีจํานวนตอนทั้งหมดรวม 5 ตอน ซึ่งประกอบดวย

1. SET50

2. ปญหาการวางตัวเบี้ยบนตารางจัตุรัส

3. การถอดรากที่สาม

4. เสนตรงลอมเสนโคง

5. กระเบื้องที่ยืดหดได

คณะผูจัดทําหวังเปนอยางยิ่งวา สื่อการสอนชุดนี้จะเปนประโยชนตอการเรียนการสอนสําหรับครู

และนักเรียนทุกโรงเรียนที่ใชสื่อชุดนี้รวมกับการเรียนการสอนวิชาคณิตศาสตร นอกจากนี้หากทานสนใจ

สื่อการสอนวิชาคณิตศาสตรในเรื่องอื่น ๆ ที่คณะผูจัดทําไดดําเนินการไปแลว ทานสามารถดูชื่อเรื่อง และ

ชื่อตอนไดจากรายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตรทั้งหมดในตอนทายของคูมือฉบับนี ้

คูมือส่ือการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง

สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาข้ันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

2    

เรื่อง โครงงานคณิตศาสตร

หมวด โครงงานคณิตศาสตร

ตอนที่ 3 (3/5)

หัวขอยอย -

จุดประสงคการเรียนรู

เพื่อใหผูเรียนพัฒนาความชางสงสัยและหมั่นตั้งคําถาม แมแตกับสิ่งที่เห็นจนเจนตาแตไมเคยทราบ

เหตุผลมากอน รวมทั้งเห็นตัวอยางของการแสดงวาเปนจริงที่อาจนําไปสูการคนพบใหม ๆ ทั้งนี้ทั้งนั้น

เนื้อหาของโครงงานที่นําเสนอในสื่อตอนนี้นั้น มิใชสาระที่คาดหวังใหนักเรียนตองเรียนรูอยางจริงจัง

หากเปนเพียงพาหนะเพื่อชวยแสดงใหเห็นตัวอยางหนึ่งที่แสดงใหเห็นความสําคัญของการพิสูจนเทานั้น

คูมือส่ือการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง

สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาข้ันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

3    

โครงงานคณิตศาสตรคืออะไร

โครงงานคณิตศาสตร คือ โครงงานที่ฝกฝนกระบวนการทําวิจัยทางคณิตศาสตร ซึ่งประกอบไปดวย หลายขั้นตอน ตั้งแตการเรียนรู สังเกต ตั้งคําถาม คนควา วิเคราะห จนถึงการคิดคนหาคําตอบ ของ ปญหาทางคณิตศาสตร

สื่อการสอนเรื่องโครงงานคณิตศาสตร สื่อการสอนเรื่องโครงงานคณิตศาสตรทั้ง 5 ตอนนี้ เปนตัวอยางของโครงงานคณิตศาสตรที่ครอบคลุม ปญหาทางคณิตศาสตรที่หลากหลาย ทั้งปญหาในเชิงประยุกตที่นําความรูทางคณิตศาสตรไปประยุกต ใชในการแกปญหาอื่น ๆ ปญหาที่ขยายหรือตอเติมขึ้นจากปญหาเดิม ปญหาในเชิงจำแนกแยกแยะ และปญหาที่เกี่ยวกับการมีอยูของวัตถุทางคณิตศาสตร ทั้งนี้ทั้งนั้นสิ่งที่ขาดไมไดในโครงงาน คณิตศาสตรคือการแสดงใหเห็นจริงโดยปราศจากขอสงสัย หรือการพิสูจนนั่นเอง

วัตถุประสงคของสื่อตอนนี ้ สื่อฯตอนนีจ้ะนำเสนอกระบวนการทําความเขาใจขั้นตอนการหารากที่สองของจํานวนทศนิยม จนกระทั่ง สามารถนํามาใชในการคิดคนและอธิบายวิธีการถอดรากที่สามได ซึ่งในการทําเชนนี้ เราจําเปนตอง เขาใจขั้นตอนการคํานวณอยางถองแท รวมทั้งสามารถแสดงหรือพิสูจนไดวาขั้นตอนดังกลาวนํามาซึ่ง ผลลัพธที่ตองการ

เนื้อหาที่นําเสนอในสื่อฯตอนนี้ มิไดนํามาจากโครงงานคณิตศาสตรใด ๆ แตหากเปนตัวอยางที่แสดงให เห็นความสําคัญของการเขาใจอยางถองแทและความสามารถในการพิสูจน ซึง่บอยครั้งที่นําไปสูปญหา และแนวความคิดใหม ๆ ที่อาจทําใหเกิดโครงงานคณิตศาสตรที่นาสนใจตอไป

คูมือส่ือการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง

สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาข้ันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

4    

เนื้อหาในสื่อการสอน สื่อการสอนตอนนี้ ประกอบดวย

1. ชวงเปดตอน (เริ่ม ณ 00:43) 2. ชวงสารคดี (เริ่ม ณ 03:22) 3. ชวงโครงงานฯและเนื้อหา (เริ่ม ณ 13:16)

คูมือส่ือการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง

สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาข้ันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

5    

1. ชวงเปดตอน

คูมือส่ือการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง

สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาข้ันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

6    

1. ชวงเปดตอน (เริ่ม ณ 00:43)

ผูบรรยาย(ทั้งสอง) ดังแสดงในรูปที่ 1 เริ่มจากตัวอยางการหาสูตรผลบวกของจํานวนนับ 1+2 = 2x3/2, 1+2+3 = 3x4/2, 1+2+3+4 = 4x5/2 ซึ่งนําไปสูขอสังเกตวา สําหรับจํานวนนับ n ใด ๆ นั้น 1+2+…+n = nx(n+1)/2 อยางไรก็ตาม หากตองการยืนยันวาขอสรุปดังกลาวเปนจริงโดยทั่วไป นั่นคือ เปนจริงสําหรับ ทุกจํานวนนับ n เราจําเปนตองทําการพิสูจน วิธีหนึ่งในการพิสูจนสมการนี้ทีค่อนขางใกลเคียงกับการให เหตุผลโดยวิธีอุปนัย คือการพิสูจนโดยอุปนัยเชิงคณิตศาสตร (Mathematical induction) ซึ่งสามารถศึกษา เพิ่มเติมไดจากสื่อเรื่องการใหเหตุผลและตรรกศาสตร หลังจากนั้นผูบรรยายจึงอธิบายถึงความแตกตางที่สําคัญขอหนึ่งระหวางวิทยาศาสตรและคณิตศาสตร ถึงแม วา ทั้งสองศาสตรนั้นตองการความชางสังเกต ตั้งคําถาม และหาคําตอบ แตสิ่งที่ไมเหมือนกันอยางหนึง่คือ วิทยาศาสตรจะตั้งสมมติฐาน และหาวิธีทดสอบสมมติฐานวาจริงหรือไมผานการทดลองที่ออกแบบไวดีแลว ในขณะทีค่ณิตศาสตรหาคําตอบของปญหาที่เกิดจากการสังเกตโดยการ “พิสูจน” นั่นเอง การพิสูจนขอความ(ทางคณิตศาสตร)หนึ่ง ๆ คือการใชหลักตรรกศาสตรในการแสดงใหเห็นอยางชัดแจงวา ขอความนั้นเปนจริงอยางไมมีขอโตแยงใด ๆ เลย

รูปที่ 1 ภาพชวงเปดตอน

คูมือส่ือการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง

สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาข้ันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

7    

2. ชวงสารคด ี

คูมือส่ือการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง

สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาข้ันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

8    

2. ชวงสารคดี (เริ่ม ณ 03:22)

ชวงสารคดีนี ้ เริ่มดวยการเลาประวัตโิดยสังเขปของเรขาคณิตตั้งแตยุคโบราณ จนถึงยุคของยูคลิดแหงอเล็ก- ซานเดรียในอารยธรรมกรีกโบราณ ผูเขียนหนังสือ The Elements ที่วางรากฐานของเรขาคณิตแบบยูคลิด และพิสูจนวา ทรงตันเพลโต (Platonic solid) มีเพียง 5 แบบเทานั้น ดังแสดงในรูปที่ 2(ง) การกลาวถึงยูคลิดและผลงานของเขานั้น นอกจากตองการเลาประวัติของเรขาคณิตแลว ยังตองการแสดงให เห็นวาทฤษฎีคณิตศาสตรที่ไดรับการพิสูจนวาเปนจริงแลวนั้น เปนสิ่งที่จีรังและจริงแทแนนอน โดยมิอาจมี ผูใดมาเปลี่ยนแปลงได ไมวาเวลาจะผานไปนานเพียงใด ดังเชนทฤษฎีบทตาง ๆ ในหนังสือของยูคลิดที่ยัง เปนจริงและควรคาแกการศึกษาจวบจนปจจุบัน

(ก) ตัวอยางการศึกษาเรขาคณิตในยุคโบราณ (ข) ยูคลิดแหงอเล็กซานเดรีย

(ค) หนาหนึ่งจากหนังสือ The Elements (ง) ทรงตันเพลโตทั้ง 5 แบบ

รูปที่ 2 ภาพประกอบคําอธิบายประวัติยอของเรขาคณิตจนถึงยุคของยูคลิด ทรงตันเพลโต (Platonic solid) หมายถึงทรงตันนูนหลายหนาปรกติ (regular convex polyhedron) นั่นคือ หนาของทรงตันเปนรูปหลายเหลี่ยมปรกติที่มีจํานวนเหลี่ยมและขนาดเทากันทุกหนา และแตละจุดยอดเกิดจาก การเขามุมของหนาจํานวนเทากัน เชน ทรงสี่หนาปรกติ (regular tetrahedron) ที่อยูทางขวาสุดของรูปที่ 2(ง) เปนทรงหลายหนาที่ประกอบดวยหนารูปสามเหลี่ยมดานเทา 4 หนา มี 4 จุดยอด 6 ขอบ โดยที่แตจุดยอด เกิดจากหนารูปสามเหลี่ยมดานเทา 3 หนา

คูมือส่ือการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง

สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาข้ันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

9    

(ก) พีทาโกรัสแหงซามอส (ข) ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

(ค) ภาพแสดงคา c2 (ง) ภาพแสดงคา a2 + b2

รูปที่ 3 ภาพประกอบคําอธิบายทฤษฎบีทพีทาโกรัสและบทพิสูจน ภาพ (ค) และ (ง) เปนภาพที่ชวยทําความเขาใจบทพิสูจนบทหนึ่งของทฤษฎีบทพีทาโกรัส

ตอจากนั้น สื่อฯไดกลาวถึงนักคณิตศาสตรชาวกรีกโบราณ นายพีทาโกรัสแหงซามอส (รูปที่ 3(ก)) ผูที่เปน นักคณิตศาสตรที่ไดรับการกลาวถึงมากที่สุดคนหนึ่งของโลก อันเนือ่งมาจากทฤษฎีบทพีทาโกรัสที่บอกความ สัมพันธ ระหวางความยาวดานทั้งสามของสามเหลี่ยมมุมฉากใด ๆ (รูปที่ 3(ข)) ทฤษฎีบทพีทาโกรัสเปน แนวคิดที่เปนรากฐานของทฤษฎีคณิตศาสตรมากมายจนถึงปจจุบัน เฉกเชนเดยีวกับทฤษฎีบทคณิตศาสตรอื่น ๆ อีกมากมาย ทฤษฎีบทพีทาโกรัสก็มีบทพิสูจนที่แตกตางกันหลากหลายวิธี บทพิสูจนเหลานี้ตางมีความสําคัญ และคุณคาแกคณิตศาสตรที่ไมยิ่งหยอนไปกวาการพิสูจนทฤษฎีใหม ๆ เลย ในสื่อฯตอนนี้ ไดอธิบายบทพิสูจน ดวยภาพ 2 บท เปนตัวอยาง นอกจากนั้น ทฤษฎีบทพีทาโกรัสยังเปนตัวอยางหนึ่งของการเชื่อมโยงแนวคิด

ทางเรขาคณิตกับพีชคณิตเขาดวยกัน ซึ่งตอมานายอัลควาริซมีเปนผูวางรากฐานการเชื่อมโยงแนวคิดทางเรขา-

คณิตและพีชคณิตไวอยางเปนระบบ ในหนังสือของเขา (รูปที่ 4)

คูมือส่ือการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง

สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาข้ันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

10    

(ก) (ข) รูปที่ 4 ภาพประกอบคําอธิบายประวัติของอัลควาริซม ี

อันดับตอไปเปนการนําเสนอความตองการถอดรากที่สามที่มีมาเนิ่นนานตั้งแตโบราณกาล เชน ปญหาการหา ความยาวดานของลูกบาศกที่มีปริมาตร 2 ลูกบาศกหนวย ตอจากนั้น จึงไดพรรณนาถึงความสําคัญในการพิสูจนยืนยันวากระบวนการคํานวณตาง ๆ ที่เรารูจักคุนเคยและ ใชไดอยางคลองแคลว จะใหผลลัพธอยางที่ตองการเสมอ และอาจารยรังสิมากลาวถึงความสําคัญของการพิสูจน ในการเรียนการสอนคณิตศาสตร หลังจากนั้นจึงไดกลาวถึงเครื่องมือหรือนวัตกรรมทางคณิตศาสตรจากยุคโบราณที่ชวยใหกระบวนการคํานวณหารากที่ n ดําเนนิไปอยางงายดายขึ้นมาก เครื่องมือนั้นคือระบบเลขฐานซึ่งกค็ือการเขียนแทนจํานวนทศนิยมใด ๆ ดวยเลขโดดเพียงไมกี่ตัว โดยที่คาของเลขโดดแตละตัวขึ้นอยูกับตําแหนงของมัน เปนที่ทราบดีวาระบบเลขฐาน เปนพื้นฐานที่สําคัญอยางยิง่ในวิทยาการคอมพิวเตอร นอกจากนั้นแลว ระบบเลขฐานยังเปนตัวผลักดันที่สําคัญ ที่สุดตัวหนึ่งที่ทําใหคณิตศาสตรไดรับการพัฒนาตอยอดอยางกาวกระโดดมาจนทุกวันนี้ แตไมวาจะเปนคณิต- ศาสตรแขนงใด สิ่งที่ขาดไมไดคือบทพิสูจนที่ถูกตองรัดกุม พรอมทั้งแนวคิดเบื้องหลังที่สอดคลองรองรับกัน

คูมือส่ือการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง

สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาข้ันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

11    

รูปที่ 5 อาจารยรังสิมา สายรัตนทองคํา ครูชํานาญการสาขาวิชาคณิตศาสตร โรงเรียนมหิดลวิทยานุสรณ

อธิบายเกร็ดความรูเกี่ยวกับรากที่สอง

(ก) (ข)

รูปที่ 6 ภาพประกอบคําอธิบายเรื่องระบบเลขฐานและการประยุกต

คูมือส่ือการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง

สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาข้ันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

12    

3. ชวงโครงงานฯและเนื้อหา

คูมือส่ือการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง

สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาข้ันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

13    

3. ชวงโครงงานฯและเนื้อหา (เริ่ม ณ 13:16)

ชวงโครงงานฯและเนื้อหานี้จะอธิบายรายละเอียดของโครงงานคณิตศาสตร ตั้งแตที่มาและความสําคัญจนถึง สรุปโครงงาน ซึ่งประกอบไปดวยสวนตาง ๆ ตามลําดับเวลา ดังนี ้ 3.1. ความรูทางคณิตศาสตรที่เกี่ยวของ (เริ่ม ณ 14:02) พื้นฐานคณิตศาสตรที่ตองใชในสื่อฯตอนนี้มีเพียง 2 เรื่อง คือ

1. สูตรพีชคณิตเบื้องตน ไดแก สูตร (a+b)2 และ (a+b)3 ดังแสดงในรูปที่ 7(ก) 2. ระบบเลขฐาน โดยไดอธิบายผานตัวอยาง ดังแสดงในรูปที่ 7(ข)

(ก) (ข)

รูปที่ 7 ภาพสื่อฯขณะแสดงรายละเอียดของโครงงานคณิตศาสตรที่นําเสนอในสื่อตอนนี ้

3.2. การคูณเลขหลายหลัก (เริ่ม ณ 16:56) ในมุมหนึ่ง การคูณเลขหลายหลักนี้เปนตัวอยางของการคํานวณเบื้องตนที่สามารถแสดงใหเห็นจริงไดวา ใหผลลพัธที่ตองการ และในอีกมุมหนึ่ง การคูณนีเ้ปนตัวอยางพื้นฐานที่สุดของการใชระบบเลขฐาน ชวยทําใหการคํานวณงายขึ้นมาก ลองนึกภาพการคูณเลขโรมัน XV กับ VIII โดยไมแปลงเปน 15 กับ 8 กอน

รูปที่ 8 การคูณเลขหลายหลัก

คูมือส่ือการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง

สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาข้ันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

14    

3.3. สูตรลัดการหารลงตัว (เริ่ม ณ 18:46) ดังไดทราบกันมาแลววามีวิธีลัดในการทดสอบวาจํานวนเต็มหนึ่ง ๆ หารดวย 3 ลงตัวหรือไม โดยการ ทดสอบการหารดวย 3 ลงตัวของผลบวกของเลขโดดทุกตัวนั่นเอง ในที่นี้ สื่อฯจะแสดงผานตัวอยางวา วิธีลัดดังกลาวเปนจริง โดยใชระบบเลขฐานชวยนั่นเอง นักเรียนควรจะสามารถอธิบายไดวา ทําไมวิธีนี้ จึงสามารถใชกับการหารดวย 9 ลงตัวไดดวย และอาจจะสามารถขยายวิธีลัดนี้ไปยังเลขฐานอื่น ๆ

รูปที่ 9 แสดงตัวอยางการใชสูตรลัดการหารดวย 3 ลงตัว พรอมบทพิสูจนอยางงาย

3.4. สตูรลัดการคูณ (เริ่ม ณ 22:18) สูตรลัดการยกกําลังสองจํานวนเต็มที่ลงทายดวย 5 นี้ (รูปที่ 10(ก)) เปนอีกกระบวนการหนึ่งที่สามารถ แสดงใหเห็นจริงวาใหผลลัพธที่ตองการได (รูปที่ 10(ข)) ในที่นี้ นอกจากจะใชระบบเลขฐานชวยในการ แสดงดังกลาวแลว ยังอธิบายกระบวนการนี้โดยอาศัยรูปสี่เหลี่ยมผืนผาทีม่ีพื้นที่เทากับผลคูณในพจน ตางๆ (รูปที่ 10(ค))

(ก) (ข)

(ค) รูปที่ 10 อธิบายสูตรลัดการคูณ บทพิสูจนโดยระบบเลขฐาน และการตีความดวยภาพ

คูมือส่ือการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง

สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาข้ันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

15    

3.5. ทําไมจึงถอดรากที่สอง? (เริ่ม ณ 28:06) ยกตัวอยางปญหางาย ๆ ที่จําเปนตองใชการถอดรากที่สอง ซึ่งโดยทั่วไปนั้น มักเกิดจากการหาคําตอบ ของสมการพหุนามกําลังสองนั่นเอง

(ก) (ข)

รูปที่ 11 ปญหาที่ตองใชการถอดรากที่สอง

3.6. การถอดรากที่สอง (เริ่ม ณ 29:58) อธิบายวิธีการคํานวณหารากที่สองของจํานวนเต็มที่ลงตัว โดยการตั้งหารยาว สําหรับขั้นตอนโดย ละเอียด สามารถศึกษาไดจาก 3.7

(ก) (ข)

รูปที่ 12 การคํานวณหารากที่สองของ 1369

3.7. การถอดรากที่สองที่ไมลงตัว (เริ่ม ณ 32:52) อธิบายวิธีการคํานวณหารากที่สองของจํานวนเต็มทีไ่มลงตัว โดยการตั้งหารยาว ซึ่งมีขั้นตอนดังนี้ 1. แบงเลขโดดของจํานวนที่ตองการถอดรากออกเปนกลุมละ 2 ตัว โดยนับจากจุดทศนิยมไปทางซาย และขวา (รูปที่ 13(ก)) 2. เริ่มพิจารณาจากกลุมเลขโดดซายสุด ซึ่งมีคาที่เปนไปไดจาก 1 ถึง 99 โดยหาจํานวนเต็มที่มากที่สุด ที่ยกกําลังสองแลวไมเกินคานั้น จํานวนเต็มนี้คือหลักซายสุดของรากที่สองนั่นเอง (รูปที่ 13(ข))

คูมือส่ือการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง

สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาข้ันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

16    

3. หักลบคาที่ไดจากการคํานวณนี้ออกจากกลุมเลขโดด เหลือเศษเทาไร ใหนำกลุมเลขโดดถัดไปลงมา ตอทาย (รูปที่ 13(ค)) 4. นําคารากที่สองที่ไดจากการคํานวณที่ผานมา คูณดวยสองแลวตั้งไว พิจารณาหาเลขโดดที่มีคา มากที่สุดที่ทําให เมื่อนําไปตอทายเปนหลักหนวยของจํานวนที่ตั้งไว และคูณดวยเลขโดดนี้ แลวมีคา ไมเกนิจํานวนที่ไดมาจากขอ 3. (รูปที่ 13(ง)) 5. ทําขอ 3 และ 4 ไปเรื่อย ๆ จนกวาจะเหลือเศษ 0 หรือหยุดเมื่อไดจํานวนตําแหนงทศนิยมของ คารากที่สองตามที่ตองการ (รูปที่ 13(จ)-(ฉ))

(ก) (ข)

(ค) (ง)

(จ) (ฉ)

รูปที่ 13 การคํานวณหารากที่สองของ 5

คูมือส่ือการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง

สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาข้ันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

17    

3.8. เบื้องหลังของการถอดรากที่สอง (เริ่ม ณ 35:32) แสดงใหเห็นแนวคิดเบื้องหลังวา เพราะเหตุใดวิธีการคํานวณโดยการตั้งหารยาวในขอ 3.6 และ 3.7 จึงใหคารากที่สองตามตองการได แนวคิดดังกลาวเริ่มจากการพิจารณากําลังสองของเลขสองหลัก (10x+y)2 = 100x2 + 20xy + y2 เมื่อ x และ y เปนเลขโดด จะเห็นวา เราสามารถหาหลักสิบของราก ที่สองของ (10x+y)2 (ซึ่งก็คือ x) ไดจากเลขโดดที่มากที่สุดซึ่งกําลังสองมีคาไมเกินหลักรอยและหลักพัน ของ (10x+y)2 และสามารถหาหลักหนวย y โดยการหาเลขโดด y ที่ทําให (20x+y)y = (10x+y)2 - 100x2 นั่นเอง แตหากเปนการหารากที่สองที่ไมลงตัวนั้น เราจะหา y ที่ทําให (20x+y)y <= Z - 100x2 เมื่อ Z คือจํานวนที่ตองการหารากที่สอง และใชเศษที่เหลือ (Z - 100x2 - (20x+y)y) เพื่อหาทศนิยมตําแหนง ตาง ๆ ของรากที่สองตอไป

(ก) (ข)

(ค) (ง)

รูปที่ 14 แนวคิดเบื้องหลังการคํานวณรากที่สอง

3.9. ทําไมจึงถอดรากที่สาม ? (เริ่ม ณ 39:50) ในชวงนี้ เราสมมติสถานการณที่จําเปนตองหารากที่สาม ตัวอยางนี้ตองการหารัศมีของลูกโบวลิ่งที่มี น้ําหนักที่ตองการ โดยไมคํานึงถึงรายละเอียดเชนปริมาตรของรูนิ้วทั้ง 3 ที่หายไป

คูมือส่ือการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง

สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาข้ันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

18    

(ก) (ข) รูปที่ 15 อีกตัวอยางหนึ่งของความตองการถอดรากที่สอง

3.10. การถอดรากที่สาม (เริ่ม ณ 41:24)

จากการใชสูตร (10x+y)2 = 100x2 + 20xy + y2 เปนแนวคิดในการอธิบายวิธีการหารากที่สองโดยการ หารยาวนั้น เราจึงนําสูตร (10x+y)3 = 1000x3 + 300x2y + 30xy2 + y3 มาเปนเครื่องมือสําคัญในการ หาวิธีการถอดรากที่สามโดยการหารยาว วิธีการหารากที่สามแตกตางจากวิธีการหารากที่สองดังนี ้1. แบงเลขโดดเปนกลุมละ 3 เลข 2. หลักแรก (หลักซายสุด) คือคา x ที่มากที่สุดที่กําลังสามมีคาไมเกินเลขกลุมแรก 3. ดึงลงมาทีละ 3 หลัก 4. สําหรับหลักตอ ๆ ไป ใหใชสูตร (300x2 + 30xy + y2) y เพื่อหาคา y

(ก) (ข)

รูปที่ 16

คูมือส่ือการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง

สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาข้ันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

19    

3.11. ปดตอน (เริ่ม ณ 46:04)

แกนแทหรือจุดประสงคหลักของสื่อฯตอนนี้คือ การสงเสริมใหนักเรียนหมั่นสงสัย หมั่นตั้งคําถาม แมแตกับสิ่งที่รูแลวและบางครั้งเกิดเปนความเคยชิน และที่สําคัญไมแพกันคือความพยายามในการ หาคําตอบ ซึ่งในคณิตศาสตร การแสดงวาขอความหนึ่ง ๆ เปนจริงโดยใชเหตุผลที่ถูกตองรัดกุม ก็คือ การพิสูจนนั่นเอง

. คณิตศาสตรอยูรอบตัวเรา จงหมั่นคิด .

คูมือส่ือการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง

สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาข้ันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

20    

กิตติกรรมประกาศ

ผูจัดทําสื่อการสอนตอนนี้ตองขอขอบพระคุณ อาจารยรังสิมา สายรัตนทองคํา ครูชํานาญการสาขาวิชาคณิต- ศาสตร โรงเรียนมหิดลวิทยานุสรณ ที่กรุณาสละเวลามาใหเกร็ดความรูเกี่ยวกับรากที่สองและกลาวถึง ความ

สําคัญของการพิสูจน ขอขอบพระคุณ อาจารย ดร.รตินันท บุญเคลือบ และอาจารย ดร. จิณดิษฐ ละออปกษิณ

ที่ชวยทําใหเนื้อหาในชวงสารคดีมีความสมบูรณและสอดคลองกลมกลืนกันมากยิ่งขึ้น และขอขอบพระคุณ คุณกันตพชญ ธีระจันทเศรษฐ ที่เปนสวนสําคัญในการเสนอแนวคิดจนกอใหเกิดสื่อใน รูปแบบนี้ขึ้น

คูมือส่ือการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง

สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาข้ันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

21    

รายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร

จํานวน 92 ตอน

คูมือส่ือการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง

สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาข้ันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

22    

รายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร จํานวน 92 ตอน

เรื่อง ตอน

เซต บทนํา เรื่อง เซต

ความหมายของเซต

เซตกําลังและการดําเนินการบนเซต

เอกลักษณของการดําเนินการบนเซตและแผนภาพเวนน-ออยเลอร

ส่ือปฏิสัมพันธเรื่องแผนภาพเวนน-ออยเลอร

การใหเหตุผลและตรรกศาสตร บทนํา เรื่อง การใหเหตุผลและตรรกศาสตร

การใหเหตุผล

ประพจนและการสมมูล

สัจนิรันดรและการอางเหตุผล

ประโยคเปดและวลีบงปริมาณ

ส่ือปฏิสัมพันธเรื่องหอคอยฮานอย

ส่ือปฏิสัมพันธเรื่องตารางคาความจริง

จํานวนจริง

บทนํา เรื่อง จํานวนจริง

สมบัติของจํานวนจริง

การแยกตัวประกอบ

ทฤษฏีบทตัวประกอบ

สมการพหุนาม

อสมการ

เทคนิคการแกอสมการ

คาสัมบูรณ

การแกอสมการคาสัมบูรณ

กราฟคาสัมบูรณ

ส่ือปฏิสัมพันธเรื่องชวงบนเสนจํานวน

ส่ือปฏิสัมพันธเรื่องสมการและอสมการพหุนาม

ส่ือปฏิสัมพันธเรื่องกราฟคาสัมบูรณ

ทฤษฎีจํานวนเบื้องตน บทนํา เรื่อง ทฤษฎีจํานวนเบื้องตน

การหารลงตัวและจํานวนเฉพาะ

(การหารลงตัวและตัวหารรวมมาก) ตัวหารรวมมากและตัวคูณรวมนอย

ความสัมพันธและฟงกชัน บทนํา เรื่อง ความสัมพันธและฟงกชัน

ความสัมพันธ

คูมือส่ือการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง

สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาข้ันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

23    

เรื่อง ตอน

ความสัมพันธและฟงกชัน โดเมนและเรนจ

อินเวอรสของความสัมพันธและบทนิยามของฟงกชัน

ฟงกชันเบื้องตน

พีชคณิตของฟงกชัน

อินเวอรสของฟงกชันและฟงกชันอินเวอรส

ฟงกชันประกอบ

ฟงกชันชี้กําลังและฟงกชันลอการิทึม บทนํา เรื่อง ฟงกชันชี้กําลังและฟงกชันลอการิทึม

เลขยกกําลัง

ฟงกชันชี้กําลังและฟงกชันลอการิทึม

ลอการิทึม

อสมการเลขชี้กําลัง

อสมการลอการิทึม

ตรีโกณมิติ บทนํา เรื่อง ตรีโกณมิติ

อัตราสวนตรีโกณมิติ

เอกลักษณของอัตราสวนตรีโกณมิติ และวงกลมหนึ่งหนวย

ฟงกชันตรีโกณมิติ 1

ฟงกชันตรีโกณมิติ 2

ฟงกชันตรีโกณมิติ 3

กฎของไซนและโคไซน

กราฟของฟงกชันตรีโกณมิติ

ฟงกชันตรีโกณมิติผกผัน

ส่ือปฏิสัมพันธเรื่องมุมบนวงกลมหนึ่งหนวย

ส่ือปฏิสัมพันธเรื่องกราฟของฟงกชันตรีโกณมิติ

ส่ือปฏิสัมพันธเรื่องกฎของไซนและกฎของโคไซน

กําหนดการเชิงเสน บทนํา เรื่อง กําหนดการเชิงเสน

การสรางแบบจําลองทางคณิตศาสตร

การหาคาสุดขีด

ลําดับและอนุกรม บทนํา เรื่อง ลําดับและอนุกรม

ลําดับ

การประยุกตลําดับเลขคณิตและเรขาคณิต

ลิมิตของลําดับ

ผลบวกยอย

อนุกรม

ทฤษฎีบทการลูเขาของอนุกรม

คูมือส่ือการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง

สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาข้ันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

24    

เรื่อง ตอน

การนับและความนาจะเปน

บทนํา เรื่อง การนับและความนาจะเปน

การนับเบื้องตน

การเรียงสับเปลี่ยน

การจัดหมู

ทฤษฎีบททวินาม

การทดลองสุม

ความนาจะเปน 1

ความนาจะเปน 2

สถิติและการวิเคราะหขอมูล

บทนํา เรื่อง สถิติและการวิเคราะหขอมูล

บทนํา เนื้อหา

แนวโนมเขาสูสวนกลาง 1

แนวโนมเขาสูสวนกลาง 2

แนวโนมเขาสูสวนกลาง 3

การกระจายของขอมูล

การกระจายสัมบูรณ 1

การกระจายสัมบูรณ 2

การกระจายสัมบูรณ 3

การกระจายสัมพัทธ

คะแนนมาตรฐาน

ความสัมพันธระหวางขอมูล 1

ความสัมพันธระหวางขอมูล 2

โปรแกรมการคํานวณทางสถิติ 1

โปรแกรมการคํานวณทางสถิติ 2

โครงงานคณิตศาสตร การลงทุน SET50 โดยวิธีการลงทุนแบบถัวเฉลี่ย

ปญหาการวางตัวเบี้ยบนตารางจัตุรัส

การถอดรากที่สาม

เสนตรงลอมเสนโคง

กระเบื้องที่ยืดหดได