24.4.1 弧长和扇形面积

制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度” ( 图中虚线的长度 ) ，再下料，这就涉及到计算弧长的问题

复习

2 、已知⊙ O 半径为 R ，⊙ O 的面积 S 是多少？S=πR2

C = 2πR

1 、已知⊙ O 半径为 R ，⊙ O 的周长 C 是多少？

问题：已知⊙ O 半径为 R ，求 n° 圆心角所对弧长．（ 1 ）半径为 R 的圆 , 周长是多少？C=2πR （ 2 ） 1° 圆心角所对弧长是多少？

1803602 RR

LA B

O

n°

（ 3 ） n° 圆心角所对的弧长是1° 圆心角所对的弧长的多少倍？

n 倍（ 4 ） n° 圆心角所对弧长是多少？

180Rn

弧长公式 若设⊙ O 半径为 R ， n° 的圆心角所对的弧长为 L ，则

L 180

Rn

LA B

O

n°

(1) 已知圆的半径为 10cm, 半圆的弧长为 ( ) (2) 已知圆的半径为 9cm ， 60° 圆心角所对的弧长为 ( ) (3) 已知半径为 3 ，则弧长为 π 的弧所对的圆心角为 _______ (4) 已知圆心角为 150° ，所对的弧长为 20π ，则圆的半径为 _______ 。

10πcm

600

24

180Rn

l

3πcm

合作交流例 1 、制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长度”，再下料，试计算图所示管道的展直长度 L( 单位： mm ，精确到 1mm)

解：由弧长公式，可得弧 AB 的长L （ mm ） 1570500

180900100

因此所要求的展直长度 L （ mm ） 297015707002

答：管道的展直长度为 2970mm ．

2 、有一段弯道是圆弧形的 , 道长是 12m, 弧所对的圆心角是81o, 求这段圆弧的半径 R( 精确到 0.1m)

独立思考

如下图，由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形是扇形。半径

半径O

B

A

圆心角 弧O

B

A

扇形

扇形的定义 :

已知⊙ O 半径为 R ，如何求圆心角 n° 的扇形的面积 ? 研究问题的步骤 :（ 1 ）半径为 R 的圆 , 面积是多少 ? S=πR2

（ 2 ）圆心角为 1° 的扇形的面积是多少 ? 360

R 2

（ 3 ）圆心角为 n° 的扇形的面积是圆心角为 1° 的扇形的面积的多少倍？ n 倍

（ 4 ）圆心角为 n° 的扇形的面积是多少 ? 360

Rn 2

扇形面积公式 若设⊙ O 半径为 R ，圆心角为 n° 的扇形的面积 S 扇形，则 S 扇形 = 360

Rn 2

问题：扇形的面积公式与弧长公式有联系吗？

想一想：扇形面积这个公式与什么公式类似？

如果扇形的半径为 R 的圆中，圆心角为 no ，那么扇形面积的计算公式为：360

2RnS 扇形

扇形面积用弧长与半径还可表示为 :

lRS21

扇形

RRn

18021

例 2 、如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是 0.6m ，其中水面高 0.3m. 求截面上有水部分的面积（精确到 0.01m2 ）

解：如图，连接 OA 、 OB ，作弦 AB 的垂线，垂足为 D ，交弧 AB 于点 C. 则 AD=DB

∵OC=0.6 ， DC=0.3 OD=OC—DC=0.3∴

在 Rt OAD△ 中， OA=0.6 ，利用勾股定理可得： AD=0.3√3

在 Rt OAD△ 中，∵ OD=1/2OA

∴∠ OAD=30° A OD=60°∴∠ ， ∠ AOB=120°

有水部分的面积

1 、已知扇形的圆心角为 120° ，半径为 2 ，则这个扇形的面积，S 扇 =____ ． 2 、已知半径为 2 的扇形，面积为 ，则它的圆心角的度数为 ___ ．

34

34

120°

3 、已知半径为 2 的扇形，面积为 ，则这个扇形的弧长 =____ ．34

34

4 、已知正三角形 ABC 的边长为 a ，分别以 A 、 B 、 C 为圆心，以 a/2为半径的圆相切于点 D 、 E 、 F ，求图中阴影部分的面积 S.

B C

A

1:⊙A, ⊙B, ⊙C两两不相交 , 且半径都是1cm, 则图中的三个扇形的面积之和为多少 ?弧长的和为多少 ? （ 07年北京）

B C

A D

2:⊙A, ⊙B, ⊙C, ⊙D两两不相交 , 且半径都是 1cm, 则图中的四个扇形的面积之和为多少 ? 弧长的和为多少 ? （ 07年山东）

小结 :弧长公式 :

180RnL

360

2RnS 扇形的面积公

式 :

作业• P125 5 . 7