บท5 : การเหนยวนาไฟฟา และวงจรไฟฟากระแสสลบ

ฟลกซแมเหลก (Magnetic flux)

Φ = . =

= <T> <m2> = <Wb>

= โดย มทศตงฉากกบ ระนาบของพนท และมทศพ%งออกจากผวทเราพจารณาเสมอ

θ เปนคามมระหวาง สนามแมเหลก กบ

A

A

1

2

AB

0 AB

Aα

B

ตวอยาง 5.1 การหาฟลกซแมเหลก Φ

บท5 : ฟลกซแมเหลก

AB

3

บท5 :แรงเคลอนไฟฟาเหนยวนา (Induced emf)

กฎของ Faraday กาหนดความสมพนธ ของแรงเคล$อนไฟฟาเหน$ยวนา ε และ ฟลกซแมเหลก Φ วา

ε = −

เคร$องหมาย “-“ แสดงวา แรงเคล$อนไฟฟาเหน$ยวนา ε จะเกดในทศทางท$ตานการเปล$ยนแปลงของฟลกซแมเหลก Φ

Φ

=

( )

Φ = . =

Φ

=

+

+

cos

แรงเคล$อนไฟฟาเหน$ยวนา ε จะสามารถเขยนไดใหมวา

ε = −

+

− sin

4

ทศทางของกระแสไฟฟาเหนยวนา

S

N

X

Y

Z v

S

N

X

Y

Z v

ตวอยาง 5.2 เคล$อนแทงแมเหลกวางตวอยในแนวแกน Z โดยขดลวดวางอยบนระนาบ XY ดงรป พจารณาการเปล$ยนแปลงของฟลกซแมเหลก Φ ตอเวลา หรอสนามแมเหลก B ท$เกดข 5นท$ขดลวดจงหาทศทางของกระแสเหนยวนาทเกดขน

A. B.

5

ทศทางของกระแสไฟฟาเหนยวนา

S

N

X

Y

Z v S

N

X

Y

Z v

C. D.

6

ขนาด ทศทางของกระแสไฟฟาและแรงเคลอนไฟฟาเหนยวนา

ตวอยาง 5.3 แทงตวนาอยบนรางโลหะดงรป โดย w = 20 cm l = 40 cm และ R = 12 Ω และสนามแมเหลกมคาสม$าเสมอและคงตวขนาด B = 1.2 T มทศพงออกจากระนาบ ดงรป

1. คาแรงเคล$อนไฟฟาเหน$ยวนาท$เกดข 5นในวงจรน 5 มคาเทาใด

2.กระแสเหน$ยวนาท$ไหลมคาเทาไรและวนในทศใด

3.ปลายดานใดของแทงตวนามศกยไฟฟาสงกวา (หรอเปนข 5วบวก)

w

l

X-Axis

Y-Ax

is

7

ขนาด ทศทางของกระแสไฟฟาและแรงเคลอนไฟฟาเหนยวนา

ตวอยาง 5.4 แทงตวนาอยบนรางโลหะดงรป โดย w = 20 cm l = 40 cm และ R = 12 Ω และสนามแมเหลกมคาสม$าเสมอ

และคงตวขนาด B = 1.2 T มทศพงออกจากระนาบ และมคาเปล$ยนแปลงเม$อเทยบกบเวลาเปน

= 2 !/#

ดงแสดงในรป

1. คาแรงเคล$อนไฟฟาเหน$ยวนาท$เกดข 5นในวงจรน 5 มคาเทาใด

2.กระแสเหน$ยวนาท$ไหลมคาเทาไรและวนในทศใด

w

l

X-Axis

Y-Ax

is

8

ขนาด ทศทางของกระแสไฟฟาและแรงเคลอนไฟฟาเหนยวนา

ตวอยาง 5.5 แทงตวนาอยบนรางโลหะไถลไปทางขวามอ ดวยความเรวคงตว v = 10 cm/s โดย w = 20 cm, l = 40 cm และ R = 12 Ω และสนามแมเหลกมคาสม$าเสมอ และคงตวขนาด B = 1.2 T มทศพงออกจากระนาบ และมคาเปล$ยนแปลง

เม$อเทยบกบเวลาเปน

= 2 !/#

1. คาแรงเคล$อนไฟฟาเหน$ยวนาท$เกดข 5นในวงจรน 5 มคาเทาใด

2.กระแสเหน$ยวนาท$ไหลมคาเทาไรและวนในทศใด

w

l

X-Axis

Y-Ax

is v

9

ขนาด ทศทางของกระแสไฟฟาและแรงเคลอนไฟฟาเหนยวนา

ตวอยาง 5.6 แทงตวนาอยบนรางโลหะไถลไปทางซายมอ ดวยความเรวคงตว v = 10 cm/s โดย w = 20 cm, l = 40 cm และ R = 12 Ω และสนามแมเหลกมคาสม$าเสมอ และคงตวขนาด B = 1.2 T มทศพงออกจากระนาบ และมคาเปล$ยนแปลง

เม$อเทยบกบเวลาเปน

= 2 !/#

1. คาแรงเคล$อนไฟฟาเหน$ยวนาท$เกดข 5นในวงจรน 5 มคาเทาใด

2.กระแสเหน$ยวนาท$ไหลมคาเทาไรและวนในทศใด

w

l

X-Axis

Y-Ax

is v

10

ขนาด ทศทางของกระแสไฟฟาและแรงเคลอนไฟฟาเหนยวนา

ตวอยาง 5.7 เม$อมการเคล$อนขดลวดไปยงสนามแมเหลก จะเกดการเปล$ยนแปลงแรงเคล$อนไฟฟาเหน$ยวนา ε และ ฟลกซแมเหลก Φ ท$ข 5นกบเวลาดงภาพ

v v

A B C D E

ε

tAB

C

DE

tA

B

C

D

E

สนามแมเหลก แรงแมเหลก แรงไฟฟา

กรณท$แทงทองแดงมการเคล$อนท$ไปยงขวามอ และมสนามแมเหลกต 5งฉากกบแทงทองแดง เม$อปรากฏวามประจลบสะสม อยดานบน และประจลบสะสมอยดานลาง ถามวาสนามแมเหลกความมทศอยางไร

+

-

+

-v

เครองกาเนดไฟฟา (Generator)

SN

ตามเขม

vC

A

B D

v

B0

C

B

Bv

C

AB

D

l

a

เปนเคร$องมอท$ทาการเปล$ยนพลงงานกล ใหเปนพลงงานไฟฟา โดยหลกการของการทางานท$ใชการเปล$ยนแปลงของฟลกซแมเหลก Φ

ตอเวลาทาใหเกดแรงเคล$อนไฟฟาเหน$ยวนา และกระแสไฟฟาเหน$ยวนาจากเคร$องกาเนดไฟฟา แสดงดงรป 5.3

รป ก แสดงขวดลวด ABCD วางตวอยในสนามแมเหลก B ท$มทศจากทศ N ไปยงทศ S การหมนขดลวดในทศทางตามเขมนาฬกาทาใหเกดความเรว $ บนขวดลวด BC ซ$งทามม θ กบ B ดงรป ข ขดลวด CD และ AB ใหแรงแมเหลก (qvB) ไมอยในแนวเดยวกบขวดลวด เม$อทาการหมนขดลวดทามม θ = 90 องศา ดงรป ค บนขดลวด BC เกดแรงแมเหลก F และแรงไฟฟา F& เกดกระแสเหน$ยวนาไหลจาก B ไปยง C ดงรป ง สวนขวดลวด DA มทศความเรว $ พงลง ทาใหเกดกระแสเหน$ยวนาไหลจาก D ไปยง A แรงเคล$อนไฟฟาเหน$ยวนา ε รวมมคา

= Blv sin θ + Blv sin θ ε = ขดลวด BC + ขดลวด DA

θ = ωt v = ωr = ω(a/2) ε = 2Bl ω(a/2) sin ωt

= Blaω sin ωt = BAω sin ωt โดย A = la เมอมจานวนขดลวด เท%ากบ N ขด

ε = NBAω sin ωt = '( sin ωt '( เปDนค%าแรงเคลอนไฟฟHาเหนยวนาทมค%าสงสด ซงจะเกดขนเมอขดลวดทามม 90 องศา หรอ 270 องศา

ก. ข.

ค. ง.

C

AB

D+

I v

IE

-

ตวเหนยวนา (Inductor) : L สญญาลกษณ

คาสภาพเหน$ยวนา (Inductance) ของตวเหน$ยวนามคา ) = *

+(5.8)

โดย N คอจานวนขดลวด สภาพเหน$ยวนามคา (T.m2/A) หรอ เฮนร$ (H)

พจารณาขดลวดโซลนอยดท$มพ 5นท$หนาตด A และจานวนขดลวดตอความยาวมคา n = N/l สามารถเขยนไดวา

NΦ = (nl) BA (5.9)

จากกฎของ Ampere สาหรบขดลวดโซลนอยดRทยาวมาก ใหTค%าสนามแม%เหลก B ทเกดขนภายในขดลวดมค%า

B = ,(-. (5.10)

โดย ,( = 40 × 1045 < T.m/A > หรอ ,( = 40 × 1045 < H/m >

ทาใหTสามารถเขยนค%าสภาพเหนยวนาจากสมการ (5.8) ไดTใหม%ว%า

) = .6

-=

.6 (,(-.)

-= ,(.76 =

,(7

6(5.10)

ตวเหนยวนา (Inductor) : L สญญาลกษณ

คาสภาพเหน$ยวนา (Inductance) ของตวเหน$ยวนามคา ) = *

+(5.8)

) = .6

-=

.6 (,(-.)

-= ,(.76 =

,(7

6

)- = Φ

) -

=

Φ

ε = −

(กฎของ Faraday)

ε = −)+

แรงเคล$อนไฟฟาเหน$ยวนามคา

เปนไปตามกฎของ Lenz กลาววาเม$อมการเพ$มข 5นของกระแส i จะเกดสภาพเหน$ยวนาตวเอง (Self-Inductance) ท$ตอตานการเปล$ยนดงกลาว เคร$องหมาย “-“ แสดงการตานการเปล$ยนแปลง สวนแรงเคล$อนไฟฟาเหน$ยวนามขนาด εL = L di/dt

(5.14)

กฎของ Lenz

ตวอยาง 5.9 กรณท$ขดลวดพนรอบแทงเหลก เม$อใหกระแสไหลไปยงขดลวด ทาใหเกดมสนามแมเหลก B ท$เกดข 5นดงรป (ตามกฎน 5วโปงทศของกระแส และน 5วท 5งส$แทนทศของสนามแมเหลก) จากขวาไปซาย ตอมามการเปล$ยนแปลงกระแสมคาเพ$มข 5นเม$อเทยบกบเวลา ตามกฎของ Lenz สมการ (5.14) จะเกดแรงเคล$อนไฟฟาเหน$ยวนาจะมทศทางตรงกนขาม แสดงดงรป 5.4 ข ในทางตรงกนขามเม$อกระแสมคาลดลง แรงเคล$อนไฟฟาเหน$ยวนาจะเกดในทศทางเพ$อลดการไหลของกระแส ดงรป 5.4 ค

I เพมขน

εL

i ตTานBตTาน

I ลดลง

εL

II

B

รป 5.4 ก รป 5.4 ข รป 5.4 ค

16

กฎของ Lenz

ตวอยาง 5.10 กรณตอขดลวดพนกบแทงเหลกและตอเขากบตวตานทาน R ดงรป 5.5

จากน 5นวางแทงแมเหลกไวทางซายมอของขดลวดดงกลาว เม$อมการเคล$อนท$แทงแมเหลก ก) ไปทางซาย ข) ไปทางขวามอ จงหาทศทางของกระแสท$ตวตานทาน

S N

v

R

B

S N

v

R

ทขดลวดลดลง

R

Iรป 5.5 ก

(เฉลย)

17

ตวเหนยวนา (Inductor) : L สญญาลกษณ

การนาตวเหนยวมาต%อกนแบบอนกรม L1 L2

=

L = L L + 21

การนาตวเหนยวมาต%อกนแบบขนาน

L1

L2

=

_L1 _

L1 _

L1+

21

ตวเหนยวนา (Inductor) : L สญญาลกษณ

ตวอยาง 5.11 เม$อขดลวดโซลนอยดมจานวน 200 ขดมความยาวของขดลวดเปน 20 cm

และมพ 5นท$หนาตดเทากบ 4.00 x 10-4 m2

ก. จงหาคานวณคาสภาพเหน$ยวนา L ของขดลวดดงกลาว

ข. เม$อกระแสในขดลวดมอตราลดลงเทากบ 10.0 A/s จงคานวณหาคาแรงเคล$อนไฟฟาเหน$ยวนา

ของขดลวดโซลนอยด

) = .6

-=

.6 (,(-.)

-= ,(.76 =

,(7

6 (5.10)

โดย ,( = 40 × 1045 < H/m >

) = 40 × 1045 < : ;⁄ > 2007 (4.00 × 104> ;7)

20 × 1047 ;= 0.1 mH

แรงเคล$อนไฟฟาเหน$ยวนาε = −)

-

(5.14)

ε = −0.1 × 104?: (−10 /) = 1 ;@

ตวเหนยวนา (Inductor) : L สญญาลกษณ

ตวอยาง 5.12 นาขดลวดโซลนอยดจากตวอยาง 5.11 มาตดคร$ง นาขดลวดท 5งสองมาตอกน ก) แบบอนกรม และ ข) แบบขนาน จงหาคาสภาพเหน$ยวนา L ของขดลวดดงกลาว

) = .6

-=

.6 (,(-.)

-= ,(.76 =

,(7

6(5.10)

โดย ,( = 40 × 1045 < H/m >

20 cm

กลายเปน

10 cm

L1 L2

10 cm

)A = 0.05 ;: )7 = 0.05 ;: )ขนาน = 0.025 ;:

20

ตวเหนยวนา (Inductor) : L สญญาลกษณ ตวอยาง 5.13 เม$อขดลวดโซลนอยดมคาสภาพเหน$ยวนา L = 0.25 mH มความยาวของขดลวดเปน 25 cm

และมพ 5นท$หนาตดเทากบ 4.00 x 10-4 m2 จงหา

ก. จานวนรอบตอความยาว n

ข. เม$อแรงเคล$อนไฟฟาเหน$ยวนามคา -12.5 mV การเปล$ยนแปลงของกระแสตอเวลามคาเทาไร

(1410 รอบ/m) และ (50 A/s)

21

วงจร RL (RL Circuits)

วงจร RL มการตอกบแรงดนไฟฟา ε ดงรป 5.7ก) ถาในวงจรมเฉพาะ R กระแสจะมการเพ$มข 5นอยางรวดเรว

จนกระท$งมคา C

D แตเปนเพราะแรงเคล$อนไฟฟาเหน$ยวนา εL (= -L di/dt) ตามกฎของ Lenz ตานการเพ$มข 5น

ของกระแสจาก ε อตราการเพ$มของกระแสในวงจรเร$มจากมคามาก และมคาลดลงเม$อเวลาผานไป

จนกระท$ง di/dt = 0 กระแสในวงจรจงจะมคา C

D ในทสด

ε RL

(เพมขน)i

ε

R

Li

εL

L di/dt

รป 5.7 ก) รป 5.7 ข)

การเพมข 'นของกระแส (Rising current) i (t) =C

D(1 – #

EFG

H ) (5.18)

ค%าคงตวของเวลาเหนยวนา τL = I

D

22

การเพมข 'นของกระแส : วงจร RL

วงจรรป 5.7 จะมกระแสไหลตามสมการ 5.18 ทาใหกระแสท$ไหลผานตวตานทาน R เกดแรงดนไฟฟา VR (t) = i(t) R

สามารถแสดงดงตวอยางรป 5.8 ก) ขณะเดยวกนเกดแรงดนไฟฟาท$ตกครอมตวเหน$ยวนา VL (t) = L di/dt ดงรป 5.8 ข) ผลรวมของ VR (t) + VL (t) = ε = 10

2

2

4

6

8

10 εVR

(โวลทR)

t (ms)4 6 8 2

2

4

6

8

10 εVL

(โวลทR)

t (ms)4 6 8

รป 5.8 ก) รป 5.8 ข)

At t = τL

i (t) =C

D(1 – #

EFG

H )

i (t = τL ) = 0.63C

D2

2

4

6

8

10 i (t)

R

(A)

t (ms)4 6 8

6.3 A= V /R

ε/R

τL

ความตานทานในวงจรมคา R = 1 Ω กระแสมคา 6.3 A

23

ตวเหนยวนา ในวงจรการเพมข 'นของกระแส : : วงจร RL

ε RL

t = 0

ε RL

t ->

วงจร RL เม$อ t = 0 กระแสไมมการไหลในวงจร เสมอนวาตวเหน$ยวนา L ไมมการตอวงจร

หลงจากทกระแสไหลในวงจรนานมาก i (t ∞) = ε/Rกระแสมคาสงสด เสมอนวาตวเหน$ยวนา L ปลอยใหกระแสไหลผานไดอยางเตมท$

24

การลดลงของกระแส : วงจร RL

การลดลงของกระแส (Decaying current) i (t) =C

D#

EG

JH (5.22)

i (t = τL ) =C

D(#4A) = 0.37

C

D

2

2

4

6

8

10 i (t)

R

(A)

t (ms)4 6 8

3.7 A

= V /R

ε/R = Io

τL

ท t = 0 ms จะไดT i (t=0) = 10/1 = 10 A (ซงมค%าเท%ากบกระแสในรป เมอ t >> 8 ms) เมอ t = τL = 2 ms กระแสมคา i (t=τL) = 10/1 (0.37) = 3.7 A และเมอ t มค%านานมาก (t ∞) i (∞) = 0

25

ตวอย%าง 5.13 จากวงจรการเพมขนของกระแส (Rising current)ขTางล%าง ก) กระแสไหลในวงจร RL มค%าเท%าไรเมอ เรมเปfดสวทชR (t=0) ข) เมอเวลาผ%านไปนานมาก กระแสทไหลมค%าเท%าใด และ แรงดนไฟฟHาทตกคร%อม R1 มค%าเท%ากบเท%าใด

การลดลงของกระแส : วงจร RL

ε R1L

R2 = R1ก. วธทา t=0 สามารถเขยนวงจรใหม%ไดT ε R1 L

R2 = R1

ε R1 L

R2 = R1

ข. เมอเวลาผ%านไปนานมาก สามารถเขยนวงจรใหม%ไดT

iR1 = ε/(2R1)* R1 = ε/2 V

แรงดนไฟฟHาทตกคร%อม R1

26

การลดลงของกระแส : วงจร RL

ตวอย%าง 5.14 จากวงจรการเพมขนของกระแส (Rising current)ขTางล%าง ก) กระแสไหลในวงจร

RL มค%าเท%าไรเมอ เรมเปfดสวทชR (t=0) ข) เมอเวลาผ%านไปนานมาก กระแสทไหลมค%าเท%าใด

ε L

R

R LR

(คาตอบ ก. I = ε/3R ข. I = ε/2R)

27

พลงงานทสะสมในขดเหนยวนา (Energy stored in inductor)KI =A

7)L7

วงจร LC (LC Circuits) K = KI + KM

พลงงานสะสมท L และ C KM=

NO

7M

ε L C

S

UL

UC

t

t

LI 2

2

Q2

2C

P = Q( cos R(

R( = 1/ )S

L = L( sin R(

การเพมและลดของกระแสในวงจร ไม%ไดTอย%ในรปสมการ exponential อกตอไป

ε L C

SI

วงจร LC เมอหยดการจ%ายพลงงานจากแบตเตอร

อปกรณไฟฟาพนฐาน

L

L

dIV L

dt=

R

C

qV

C=

RV IR=ตวตานทาน

ตวเกบประจ

ตวเหนยวนา

I

C

q

d I

d t

28

แบตเตอร V =o

sinV tω=o

แหลงกาเนดไฟฟากระแสสลบ

บทท 5 ตอ

วงจร LC vs มวลทปลายสปรง

LC+ + + + +

− − − − −

kIE B

m

x

22

2

10

d qq

dt LC

+ =

22

20

d x kx

dt m

+ =

1

LCω =

o

k

mω =

o

cosq q tω=o o

cosx x tω=o o

sindq

I q tdt

ω ω= =o o o

sindx

v x tdt

ω ω= =o o o

21

2

qU

C= o

21

2U kx=

o

21

2C

qU

C=

21

2PE kx=

21

2LU LI=21

2KE mv=

29

วงจร RLC (Damped Osillation)

I L

S

a b

C

q

R เพมความตานทานในวงจร LCdI q

L IRdt C+ =

dqI

dt= −2

20

d q dq qL R

dt dt C+ + =

2

20

d q R dq q

dt L dt LC+ + = “สมการการแกวงกวดแบบหนวง”

“Damping” “Oscillating”( )q t

t0

( )I t

( )φ+ω′= τ−

tcoseqq 2

t

o

พลงงานรวมจะลดลงเรอยๆเนองจากมการทางานทตวตานทาน

30

แหลงกาเนดไฟฟากระแสสลบ

tsinVV ω=o

f2π=ω ในประเทศไทย f = 50 Hz

( )t2cos12

VtsinVV

2222 ω−=ω= o

o

( )t2cos12

VVV

22

rms ω−=== o

2

VVrms

o= ไฟฟาในบานในประเทศไทย Vrms = 220 V

t0

oV

rmsV

31

ตวตานทานในวงจรไฟฟากระแสสลบ

VR และ IR เปลยนพรอมกน (เฟสตรงกน)

RI tsinVV RR ω=

o

tsinItsinR

V

R

VI R

RRR ω=ω==

o

o

tsinVV RR ω=o

t0

RV

RI

oRV

oRItω

tsinR

VI R

R ω= o

32

ตวเกบประจในวงจรไฟฟากระแสสลบ

VC มเฟสตามหลง IC อย 90o

I tsinVV CC ω=o

tsinCVCVq CCC ω==o

sinC CV V tω=o

t0

CV

CI

oCVoCI

tω

C

q

tcosX

VtcosCVq

dt

dI

C

CCCC ω=ωω== o

o

0 cosCC

C

VI t

Xω=

C

1XC ω

=

33

ตวเหนยวนาในวงจรไฟฟากระแสสลบ

VL มเฟสนาหนา IL อย 90o

I tsinVV LL ω=o LL I

dt

dLV =

tsinVV LL ω=o

t0

LV

LI

oLV

oLI

tω

tcosL

Vdttsin

L

VI LL

L ωω

−=ω= ∫ oo

cosLL

L

VI t

Xω= − o LXL ω=

L

34

ความตานทานจนตภาพ (Reactance)

ในตวเกบประจและตวเหนยวนา V และ I ไมไดแปรผนตามกน

LXL ω=

C

1XC ω

= “Capacitive Reactance”

“Inductive Reactance”

LX

CXω0

R

35

วงจร RLC กระแสสลบ

I C

R

L

tsinVVVV CRL ω=++o

tsinVC

q

dt

dqR

dt

qdL

2

2

ω=++o

“Forced Oscillation”

( )φ−ω= tsinIIo

( )tsinVV ω=o

I มเฟสตางจาก V ของแหลงกาเนดอยเทากบ φoRV

oLV

φ−ωt

oCV

oV

φ

oI ( )2CL

2R VVVV

oooo−+=

36

I C

R

L

( )φ−ω= tsinIIo

( )tsinVV ω=o

“ความตานทานเชงซอน” (Impedance)

( ) ( ) ( )2CL22

CL2R

2 XIXIRIVVVVooooooo

−+=−+=

( )2CL2 XXR

VI

−+= o

o

Z

VI o

o=

( )2CL2 XXRZ −+=

RLX

CX

Z

φ

CL XX −

R

XXtan CL −=φ

ความตานทานเชงซอน (Impedance)

37

I C

R

L

กระแสในวงจรจะไหลมากทสดเมอ XL = XC

( )2CL2 XXR

V

Z

VI

−+== oo

o

เรโซแนนซ (Resonace)

C

1L

ω=ω o

ω==ωLC

1

เมอความถธรรมชาตของวงจรเทากบความถของแหลงกาเนดเรยกความถนJนวา “ความถเรโซแนนซ”

LC

1res =ω

LC2

1fres

π=

oI

resω ω0 38

I C

R

L กาลงเฉลย

กาลงไฟฟา

RIP 2rmsavg =

ทเรโซแนนซ power factor = 1 จะมการจายกาลงไฟฟาไดสงสด

φ= cosVIP rmsrmsavg

( )φ−ω= tsinIIo

( )φ−ω== tsinRIRIP 222o

R2

I

2

1RIP

2

2avg

=

= o

o

Z

VI rms

rms =R

LX

CX

Z

φ

CL XX −

Z

RVIR

Z

VIP rmsrms

rmsrmsavg =

=

Z

Rcos =φ “Power factor”

39