บทที่ 2 พิกัดเชิงขั้วpioneer.chula.ac.th/~tdumrong/2301207/cal3_61_1st_ch_02... · 2018-08-15 · 2 - 5 บทที่ 2 พิกดเชัิงข้วั

บทท 2 พกดเชงขว 2 - 1

บทท 2

พกดเชงขว

รองศาสตราจารย ดารงค ทพยโยธา ภาควชาคณตศาสตรและวทยาการคอมพวเตอร คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

2301207 Calculus III 2561/1st


2.1 จดและสมการในพกดเชงขว

ในระบบพกดฉาก เราบอกตาแหนงของจดบนระนาบโดย

อางองตาแหนงกบเสนตรง 2 เสนทตดและตงฉากกน

และตดกนเปนมมฉากท จดกาเนด

เสนตรงแนวนอนของแกนพกดฉากคอ แกน X

และ เสนตรงแนวดงของแกนพกดฉากคอ แกน Y

ดงรปท 2.1.1 (ก)

รปท 2.1.1 (ก) รปท 2.1.1 (ข)

ในระบบพกดเชงขว เราใชเสนตรงทผานจด O ชวยในการบอก

ตาแหนงของจดในระนาบ ดจากรปท 2.1.1 (ข) ประกอบ

เสนตรงทผานจด O เรยกวา แกนเชงขว เพอความสะดวกใน

ศกษาเราใชแกน X ทางดานบวก หรอแกน OX ของระบบพกด

ฉากเปนแกนเชงขวในระบบพกดเชงขว และเรยกจดกาเนด O วา

ขว


การบอกตาแหนงของจดในระนาบกจะใชแกนเชงขว OX ในการ

อางองตาแหนง

ให P เปนจดบนระนาบ

ให r เปนระยะทางจากจด O ไปยงจด P

และสวนของเสนตรง OP ทามม กบแกน OX

ถา การวดมมจากแกน OX ไปยงเสนตรง OP

เปนการวดทวนเขมนาฬกา แลว 0

ถา การวดมมจากแกน OX ไปยงเสนตรง OP

เปนการวดตามเขมนาฬกา แลว 0

เราจะระบตาแหนง พกดเชงขว ของจด P

ในระบบพกดเชงขวดวยคอนดบ (r, ) ดงแสดงในรปท 2.1.2

รปท 2.1.2

การเขยนจดและกราฟในระบบพกดฉากนยมเขยนในกระดาษ

กราฟทประกอบดวยเสนทขนานกนในแนวนอนและแนวดง ดง

รปท 2.1.3 (ก)


ในระบบพกดเชงขวเราระบตาแหนงของจด P

ดวยระยะทางจากจด O ถงจด P และ มมท OP ทากบแกน OX

เพราะฉะนนกระดาษกราฟทเหมาะสมในการเขยนจดหรอกราฟ

ในระบบพกดเชงขวจงควรมจดคงทเพอใหเปน ขว O

มวงกลมรศม 1, 2, 3, ... รอบขว

และ เสนตรงผานขวซงทามมตาง ๆ กน

เชน 0, 6 ,

3 ,

2 , ... ดงรปท 2.1.3 (ข)

รปท 2.1.3 (ก) รปท 2.1.3 (ข)


ตวอยางของจดในระบบพกดเชงขว เชน A(2, 0), B(3, 6),

C(3, 3

2 ), D(3, 6

7 ), E(4, 2

3)

และ F(3, 6

11)

รปท 2.1.4

จะเหนวา สาหรบแตละจดในระนาบทไมใชจดกาเนด

จะมพกดเชงขว (r, ) สาหรบจดนนอยอยางนอยพกดหนง

และในทางกลบกน สาหรบแตละพกดเชงขว (r, ) ซง r 0

เราจะหาตาแหนงของจดในระนาบทมพกดนนไดจดหนงเสมอ

สาหรบจดกาเนดเราตกลงกนวา

สาหรบมม ใด ๆ

พกด (0, ) จะเปนพกดเชงขวของจดกาเนด


โปรแกรม GeoGebra


ในบางครง เราอาจจะยอมให r มคาเปนลบไดกลาวคอ

ถา P มพกดเชงขวเปน (r, ) เมอ r 0 แลว พกดเชงขว

(-r, ) จะหมายถงพกดของจด Q ซงเปนจดทไดจากการ

ลากเสนตรงจากขวไปในทศทางตรงกนขามกบ OP เปนระยะทาง

r

ดงแสดงในรปท 2.1.5

รปท 2.1.5

สรป ตาแหนงของจด P(r, ) จะไดความยาวสวนของเสนตรง

OP = r และตาแหนงของจด P เปนดงน

ถา 0 และ r 0 แลว มม วดทวนเขมนาฬกา

สวนของเสนตรง OP อยในทศทางเดยวกบแขนของมม

ถา 0 และ r 0 แลว มม วดทวนเขมนาฬกา

สวนของเสนตรง OP อยในทศทางตรงขามกบแขนของมม

ถา 0 และ r 0 แลว มม วดตามเขมนาฬกา

สวนเสนของตรง OP อยในทศทางเดยวกบแขนของมม

ถา 0 และ r 0 แลว มม วดตามเขมนาฬกา

สวนของเสนตรง OP อยในทศทางตรงขามกบแขนของมม


ความสมพนธระหวางพกดเชงขว (r, ) และพกดฉาก (x, y)

ของจด P บนระนาบโดยท P ทไมใชจดกาเนด อาจพจารณาได

จากรปท 2.1.6

รปท 2.1.6

จะได x = r cos , y = r sin

และ 2r = 2x + 2y , tan = xy

การเปลยนจาก พกดเชงขว เปน พกดฉาก

กาหนดพกดเชงขว P(r, ) เมอเปลยนเปนพกดฉาก

จะได x = r cos

y = r sin

การเปลยนจาก พกดฉาก เปน พกดเชงขว

กาหนดพกดฉาก P(x, y) เมอเปลยนเปนพกดเชงขว

จะได 2r = 2x + 2y ... (1)

tan = xy ... (2)


ตวอยาง 2.1.1 จงหาพกดเชงขวของจดในพกดฉากตอไปน

เมอ r 0 และ 0 2

1. (-2, 0) 2. (- 3, 1)

วธทา

รปท 2.1.7 (ก) รปท 2.1.7 (ข)

จาก 2r = 2x + 2y และ tan = xy

1. จะได r = 0)2( 2 = 2 และ tan = 2

0

= 0

เพราะวา จด (-2, 0) อยบนแกน X ทางดานลบ

เพราะฉะนน =

เพราะฉะนน พกดเชงขวของจด (-2, 0) คอ (2, )

2. จะได r = 22 1)3( = 2 และ tan = -3

1

เพราะวาจด (- 3, 1) อยในจตภาคท 2.

เพราะฉะนน = 6

5

เพราะฉะนน พกดเชงขวของจด (- 3, 1) คอ (2, 6

5 )


หมายเหต จากสมการ (1) คาของ r อาจเปนบวกหรอลบ

และจากสมการ (2) คาของมมอาจมไดหลายคา

เพราะฉะนนคาของ r, ทไดจาก (1) และ (2)

ตองสอดคลองเงอนไข x = r cos และ y = r sin ดวย

ตวอยางเชน P(-1, -1) จากสมการ (1) และ (2)

จะได 2r = 2x + 2y = 2 และ tan = xy = 1

จะเหนวาคาของ r, มไดหลายคา แตเราจะเลอก (r, ) ทเปน

พกดเชงขวของ P เฉพาะทสอดคลองกบคาของ x และ y เทานน

ซงจะพบวากยงเลอกไดหลายคาเชน

( 2 , 4

5 ) , (- 2 , 4), ...

ในกรณทตองการ r 0 และ เปนมมบวกทเลกทสด

จะได พกดเชงขวของ P คอ ( 2 , 4

5 )

รปท 2.1.8


จากตวอยาง 2.1.1

ถาเรากาหนดให r 0 เราจะได

จด (-2, 0) ในระบบพกดฉาก

จะเขยนพกดเชงขวไดเปน (-2, 0)

จด (- 3, 1) ในระบบพกดฉาก

จะเขยนพกดเชงขวไดเปน (-2, -6) หรอ (-2,

611)

ถากาหนดชวงของ เปนแบบอน เชน

ให -2

23 เราจะได

จด (-2, 0) ในระบบพกดฉาก

จะเขยนพกดเชงขวไดเปน (2, ) หรอ (-2, 0)

จด (- 3, 1) ในระบบพกดฉาก

จะเขยนพกดเชงขวไดเปน (2, 6

5 ) หรอ (-2, -6)

ซงจะเหนไดวาในระบบพกดเชงขว จด ๆ

หนงอาจจะมพกดเชงขวหลายแบบ

ขอสงเกต

จดบนแกน Y ทมพกดฉากเปน (0, y)

จะมพกดเชงขวเปน (y, 2) หรอ (y, 2n +

2) เมอ n I

จดบนแกน X ทมพกดฉากเปน (x, 0)

จะมพกดเชงขวเปน (x, 0) หรอ (x, 2n) เมอ n I


ตวอยาง 2.1.2 จงหาพกดฉากของจดซงมพกดเชงขวตอไปน

1. P(7, -4) 2. Q(2,

34 )

วธทา

รปท 2.1.9

จาก x = r cos และ y = r sin

1. จะได x = 7 cos(-4) = 7 cos

4 =

27

และ y = 7 sin(-4) = -7 sin

4 = -

27

เพราะฉะนน จด (7, -4) ในระบบพกดเชงขว

จะมพกดฉากเปน (2

7 , -2

7 )

2. จะได x = 2 cos

34 = -1 และ y = 2 sin

34 = - 3

เพราะฉะนน จด (2, 3

4 ) ในระบบพกดเชงขว

จะมพกดฉากเปน (-1, - 3)


จากทกลาวมาขางตน จดใด ๆ ในระนาบทบอกตาแหนงของ

จดดวยพกดฉาก (x, y) สามารถเปลยนเปนพกดเชงขว (r, )

ได

จากแนวคดแบบเดยวกนเราสามารถเปลยนสมการท

แสดงความสมพนธระหวางตวแปร x, y ในระบบพกดฉาก

เปนสมการทแสดงความสมพนธระหวางตวแปร r,

ในระบบพกดเชงขวได

รปท 2.1.10 (ก) รปท 2.1.10 (ข)

สงทเราจะศกษาตอไปคอการเปลยนแปลงระหวาง

สมการในพจนของ x, y ในพกดฉาก กบ

สมการในพจนของ r, ในพกดเชงขว


ตวอยาง 2.1.3 จงเขยนสมการในระบบพกดฉากตอไปน

ใหอยในระบบพกดเชงขว

1. x = 4 2. y = 2

3. 2x = 4y 4. 2x + 2y - 4x = 0

5. 2x + 2y - 6y = 0

วธทา 1. จาก x = 4

จะได r cos = 4

เพราะฉะนน r = 4 sec จะเปนสมการทตองการ

2. จาก y = 2

จะได r sin = 2

เพราะฉะนน r = 2 cosec จะเปนสมการทตองการ

3. จาก 2x = 4y

จะได 2r 2cos = 4r sin

r(r 2cos - 4 sin ) = 0

เพราะฉะนน r = 0 หรอ r 2cos = 4 sin

r = 0 หรอ r = 4 sec tan

จาก r = 4 sec tan จะเหนวา

ถา = 0 แลว r = 0

เพราะฉะนน r = 4 sec tan จะเปนสมการทตองการ


4. จาก 2x + 2y - 4x = 0

จะได 2r - 4r cos = 0

r(r - 4 cos ) = 0

เพราะฉะนน r = 0 หรอ r = 4 cos

จาก r = 4 cos จะเหนวา ถา = 2 แลว r = 0

เพราะฉะนน r = 4 cos จะเปนสมการทตองการ

5. จาก 2x + 2y - 6y = 0

จะได 2r - 6r sin = 0

r(r - 6 sin ) = 0

เพราะฉะนน r = 0 หรอ r = 6 sin

จาก r = 6 sin จะเหนวา ถา = แลว r = 0

เพราะฉะนน r = 6 sin จะเปนสมการทตองการ

สรป

สมการในระบบพกดฉาก สมการในระบบพกดเชงขว

x = 4 r = 4 sec

y = 2 r = 2 cosec 2x = 4y r = 4 sec tan 2x + 2y - 4x = 0 r = 4 cos 2x + 2y - 6y = 0 r = 6 sin


ตวอยาง 2.1.4 จงเขยนสมการในระบบพกดเชงขวตอไปน

ใหอยในระบบพกดฉาก

1. r + 8 sin = 0 2. r = cos2

2

3. r = sin2cos3

12 4. r = 4

5. r + 4 cos = 0 6. r = 2 sin + 2 cos

7. r = 4 sec

วธทา 1. จาก r + 8 sin = 0

คณดวย r จะได 2r + 8r sin = 0

เพราะฉะนน 2x + 2y + 8y = 0 จะเปนสมการทตองการ

2. จาก r = cos2

2

จะได r(2 - cos ) = 2

2r - r cos = 2

2r = 2 + r cos

ยกกาลงสองทงสองขาง 4 2r = 4 + 4r cos + 2r 2cos

จะได 4( 2x + 2y ) = 4 + 4x + 2x

เพราะฉะนน

3 2x + 4 2y - 4x - 4 = 0 จะเปนสมการทตองการ

3. จาก r = sin2cos3

12

จะได 3r cos + 2r sin = 12

เพราะฉะนน 3x + 2y = 12 จะเปนสมการทตองการ


4. จาก r = 4 จะได 2r = 16

เพราะฉะนน 2x + 2y = 16 จะเปนสมการทตองการ

5. จาก r + 8 cos = 0

คณดวย r จะได 2r + 8r cos = 0

เพราะฉะนน 2x + 2y + 8x = 0 จะเปนสมการทตองการ

6. จาก r = 2 sin + 2 cos

2r = 2r sin + 2r cos

2x + 2y = 2x + 2y

เพราะฉะนน 2x + 2y - 2x - 2y = 0 จะเปนสมการทตองการ

7. จาก r = 4 sec เพราะฉะนน r cos = 4

เพราะฉะนน x = 4 จะเปนสมการทตองการ

สรป

สมการในระบบพกดเชงขว สมการในระบบพกดฉาก

r + 8 sin = 0 2x + 2y + 8y = 0

r = cos2

2 3 2x + 4 2y - 4x - 4 = 0

r = sin2cos3

12 3x + 2y = 12

r = 4 2x + 2y = 16

r + 4 cos = 0 2x + 2y + 8x = 0

r = 2 sin + 2 cos 2x + 2y - 2x - 2y = 0

r = 4 sec x = 4


2.2 การเขยนกราฟของสมการในระบบพกดเชงขว

การเขยนกราฟของสมการในระบบพกดเชงขว หรอฟงกชน

r = f() มแนวคดเหมอนกบการเขยนกราฟในระบบพกดฉาก

นนคอคานวณคาของ r และ ทสอดคลองกบสมการของ

ฟงกชน แลวเขยนจด (r, ) ตามทคานวณได

ตวอยาง 2.2.1 จงเขยนกราฟของสมการ

r = 2 + 2 sin เมอ อยในชวง [0, 2]

วธทา คานวณหาคา r จากสมการ


จะไดพกด (r, ) ตาง ๆ กน เชน (2, 0), (3, 6),

(2 + 2 , 4), (2 + 3,

3), (4,

2), ... , (2, 2)

ตอไปลงจด (r, ) ตามทคานวณไดในระนาบดงรปท 2.2.1 (ก)

รปท 2.2.1 (ก)


รปท 2.2.1 (ข)

เปนกราฟของสมการ r = 2 + 2 sin เมอ อยในชวง [0, 2 ]

โดยจะพบวาคาของ r เปนบวก

เพราะฉะนนจงเหนไดวาจด (r, ) อยบนแขนของมม

รปท 2.2.1 (ค)

เปนกราฟของสมการ r = 2 + 2 sin เมอ อยในชวง [2 , ]



รปท 2.2.1 (ข) รปท 2.2.1 (ค)


รปท 2.2.1 (ง)

เปนกราฟของสมการ r = 2 + 2 sin เมอ อยในชวง [, 2

3 ]



รปท 2.2.1 (จ)

เปนกราฟของสมการ r = 2 + 2 sin

เมอ อยในชวง [2

3 , 2]



รปท 2.2.1 (ง) รปท 2.2.1 (จ)


รปท 2.2.1 (ฉ) เปนกราฟของสมการ


รปท 2.2.1 (ฉ)


กราฟเชงขวเขยนโดยโปรแกรม GeoGebra



r = 1 + 2 cos เมอ อยในชวง [0, 2]



จะไดพกด (r, ) ตาง ๆ กน เชน (3, 0), (1 + 3, 6),

(1 + 2 , 4), (2,

3), (1,

2), ... , (3, 2)

ตอไปลงจด (r, ) ตามทคานวณไดในระนาบดงรปท 2.2.2 (ก)

รปท 2.2.2 (ก)


รปท 2.2.2 (ข)

เปนกราฟของสมการ r = 1 + 2 cos เมอ อยในชวง [0, 2 ]

โดยจะพบวาคาของ r มคาระหวาง 0 กบ 3


รปท 2.2.1 (ค)

เปนกราฟของสมการ r = 1 + 2 cos เมอ อยในชวง [2 , ]

โดยจะพบวาบนชวง [2 ,

65 ] คาของ r มคาระหวาง 0 กบ 1


บนชวง [6

5 , ] คาของ r มคาระหวาง -1 กบ 0

เพราะฉะนนจงเหนไดวาจด (r, ) อยบนดานตรงขามแขนของ

มม

รปท 2.2.2 (ข) รปท 2.2.2 (ค)


รปท 2.2.2 (ง)

เปนกราฟของสมการ r = 1 + 2 cos เมอ อยในชวง [, 2

3 ]

โดยจะพบวาบนชวง [, 3

4 ] คาของ r มคาระหวาง -1 กบ 0

เพราะฉะนนจงเหนไดวาจด (r, ) อยบนดานตรงขามแขนของ

มม บนชวง [3

4 , 2

3 ] คาของ r มคาระหวาง 0 กบ 1


รปท 2.2.2 (จ)

เปนกราฟของสมการ r = 1 + 2 cos เมอ อยในชวง

[2

3 , 2] โดยจะพบวาคาของ r = 1 + 2 cos มคาระหวาง 0

กบ 3


รปท 2.2.2 (ง) รปท 2.2.2 (จ)


รปท 2.2.2 (ฉ) เปนกราฟของสมการ


รปท 2.2.2 (ฉ)




r = 3 cos 2 เมอ อยในชวง [0, 2]


r = 3 cos 2 เมอ อยในชวง [0, 2]

จะไดพกด (r, ) ตาง ๆ กน เชน

(3, 0), (2

33 , 12 ), (

23 ,

6), (0,

4), (-

23 ,

3),

(-2

33 , 125 ), (-3,

2), ... , (3, 2)

ตอไปลงจด (r, ) ตามทคานวณไดในระนาบ

ดงรปท 2.2.3 (ก)

รปท 2.2.3 (ก)


รปท 2.2.3 (ข)

เปนกราฟของสมการ r = 3 cos 2 เมอ อยในชวง [0, 4 ]


เพราะฉะนนจงเหนไดวาจด (r, )

อยบนแขนของมม

รปท 2.2.3 (ค)

เปนกราฟของสมการ r = 3 cos 2 เมอ อยในชวง [4 ,

2 ]

โดยจะพบวาคาของ r มคาระหวาง -3 กบ 0


จงเหนไดวาจด (r, ) อยบนดานตรงขามแขนของมม

รปท 2.2.3 (ข) รปท 2.2.3 (ค)


รปท 2.2.3 (ง)

เปนกราฟของสมการ r = 3 cos 2 เมอ อยในชวง [2 ,

43 ]


เพราะฉะนนจงเหนไดวาจด (r, )

อยบนดานตรงขามแขนของมม

รปท 2.2.3 (จ)

เปนกราฟของสมการ r = 3 cos 2 เมอ อยในชวง [4

3 , ]


เพราะฉะนน จงเหนไดวาจด (r, ) อยบนแขนของมม

รปท 2.2.3 (ง) รปท 2.2.3 (จ)


รปท 2.2.3 (ฉ)

เปนกราฟของสมการ r = 3 cos 2 เมอ อยในชวง [, 4

5 ]

โดยจะพบวา คาของ r มคาระหวาง 0 กบ 3


รปท 2.2.3 (ช)


5 , 2

3 ]




รปท 2.2.3 (ฉ) รปท 2.2.3 (ช)


รปท 2.2.3 (ซ)


3 , 4

7 ]




รปท 2.2.3 (ฌ)


7 , 2]



รปท 2.2.3 (ซ) รปท 2.2.3 (ฌ)


รปท 2.2.3 (ฐ)

เปนกราฟของสมการ r = 3 cos 2 เมอ อยในชวง [0, 2]

รปท 2.2.3 (ฐ)




r = 2 sin เมอ อยในชวง [0, ]

วธทา คานวณหาคา r จากสมการ r = 2 sin เมอ อยในชวง

[0, ] จะไดพกด (r, ) ตาง ๆ กน เชน (0, 0), (1, 6),

( 2 , 4), ( 3,

3), (2,

2), ... , (0, ) ตอไปลงจด (r, )

ตามทคานวณไดในระนาบ

รปท 2.2.4 (ก) เปนกราฟของสมการ r = 2 sin เมอ อย

ในชวง [0, 2 ] โดยจะพบวาคาของ r มคาระหวาง 0 กบ 2


รปท 2.2.4 (ข) เปนกราฟของสมการ r = 2 sin เมอ อย

ในชวง [2 , ] โดยจะพบวาคาของ r มคาระหวาง 0 กบ 2


รปท 2.2.4 (ก) รปท 2.2.4 (ข)


รปท 2.2.4 (ค)

เปนกราฟของสมการ r = 2 sin เมอ อยในชวง [0, ]

รปท 2.2.4 (ค)

ขอสงเกต วงกลมทเกดจากสมการ r = 2 sin

ใชชวงของมม [0, ] เทานน



2.3 สมมาตรของกราฟในระบบพกดเชงขว

การเขยนกราฟในระบบพกดเชงขว หากเราไดพจารณาลกษณะ

สมมาตรแบบตาง ๆ ของกราฟจะทาใหเราเขยนกราฟในระบบ

พกดเชงขวไดงายขน สมมาตรทสาคญในระบบพกดเชงขวมดงน

สมมาตรเทยบกบแกนเชงขว

จด Q สมมาตรกบจด P(r, ) เทยบกบแกนเชงขว

เมอจด Q มพกดเปน (r, -) หรอ (-r, - )

รปท 2.3.1

กราฟของสมการ F(r, ) = 0 มสมมาตรเทยบกบแกนเชงขว

กตอเมอ ทกจด P บนกราฟของสมการ F(r, ) = 0 จะมจด Q

บนกราฟของ F(r, ) = 0 โดยท Q สมมาตรกบจด P เทยบกบ

แกนเชงขว

เพราะฉะนน ถา F(r, -) = 0 หรอ F(-r, - ) = 0

นนคอ F(r, -) = F(r, ) หรอ F(-r, - ) = F(r, )

แลว กราฟของ F(r, ) = 0 มสมมาตรเทยบกบแกนเชงขว


การตรวจสอบวากราฟ F(r, ) = 0

มสมมาตรเทยบกบแกนเชงขว

1. ถา F(r, -) = F(r, )

แลว กราฟ F(r, ) = 0 มสมมาตรเทยบกบแกนเชงขว

หรอ

2. ถา F(-r, - ) = F(r, )

แลว กราฟ F(r, ) = 0 มสมมาตรเทยบกบแกนเชงขว

ตวอยางของกราฟทมสมมาตรเทยบกบแกนเชงขว เชน

รปท 2.3.2 (ก) รปท 2.3.2 (ข) รปท 2.3.2 (ค)

หมายเหต ในกรณทการตรวจสอบ ขอ 1. และ ขอ 2. ขางตน

ไมจรง ยงไมสามารถสรปไดวา กราฟ F(r, ) = 0 ไมม

สมมาตรเทยบกบแกนเชงขว ตองตรวจสอบโดยวธอน


สมมาตรเทยบกบขว

จด Q สมมาตรกบจด P(r, ) เทยบกบแกนเชงขว เมอจด Q ม

พกดเปน (-r, ) หรอ (r, + )

รปท 2.3.3

กราฟของสมการ F(r, ) = 0 มสมมาตรเทยบกบขว กตอเมอ

ทกจด P บนกราฟของสมการ F(r, ) = 0 จะมจด Q บนกราฟ

ของ F(r, ) = 0 โดยท Q สมมาตรกบจด P เทยบกบขว


ถา F(-r, ) = 0 หรอ F(r, + ) = 0

นนคอ F(-r, ) = F(r, ) หรอ F(r, + ) = F(r, )

แลว กราฟของ F(r, ) = 0 มสมมาตรเทยบกบขว



มสมมาตรเทยบกบขว

1. ถา F(-r, ) = F(r, )

แลว กราฟ F(r, ) = 0 มสมมาตรเทยบกบขว

หรอ

2. ถา F(r, + ) = F(r, )

แลว กราฟ F(r, ) = 0 มสมมาตรเทยบกบขว

ตวอยางของกราฟทมสมมาตรเทยบกบขว เชน

รปท 2.3.4 (ก) รปท 2.3.4 (ข) รปท 2.3.4 (ค)



สมมาตรเทยบกบขว ตองตรวจสอบโดยวธอน


สมมาตรเทยบกบเสนตรง = 2

จด Q สมมาตรกบจด P(r, ) เทยบกบแกนเชงขว

เมอจด Q มพกดเปน (-r, -) หรอ (r, - )

รปท 2.3.5

กราฟของสมการ F(r, ) = 0

มสมมาตรเทยบกบเสนตรง = 2 กตอเมอ

ทกจด P บนกราฟของสมการ F(r, ) = 0 จะมจด Q บนกราฟ

ของ F(r, ) = 0 โดยท Q สมมาตรกบจด P เทยบกบ

เสนตรง = 2


ถา F(-r, -) = 0 หรอ F(r, - ) = 0

นนคอ F(-r, -) = F(r, ) หรอ F(r, - ) = F(r, )

แลว กราฟของ F(r, ) = 0 มสมมาตรเทยบกบเสนตรง = 2



มสมมาตรเทยบกบเสนตรง = 2

1. ถา F(-r, -) = F(r, )

แลว กราฟ F(r, ) = 0 มสมมาตรเทยบกบเสนตรง = 2

หรอ

2. ถา F(r, - ) = F(r, )

แลว กราฟ F(r, ) = 0 มสมมาตรเทยบกบเสนตรง = 2

ตวอยางของกราฟทมสมมาตรเทยบกบเสนตรง = 2 เชน

รปท 2.3.6 (ก) รปท 2.3.6 (ข) รปท 2.3.6 (ค)



สมมาตรเทยบกบเสนตรง = 2 ตองตรวจสอบโดยวธอน


ตวอยาง 2.3.1 จงตรวจสอบวากราฟของ

2r = 4 sin 2 บนชวง [0, 2 ]

มสมมาตรเทยบกบแกนเชงขว ขว และ เสนตรง = 2 หรอไม

และจงเขยนกราฟของ 2r = 4 sin 2 บนชวง [0, 2 ]

วธทา ให F(r, ) = 2r - 4 sin 2 = 0 ... (1)

การตรวจสอบวากราฟมสมมาตรเทยบกบแกนเชงขวหรอไม

1. แทนคา ดวย - ในสมการ (1) จะได

F(r, -) = 2r - 4 sin 2(-) = 2r + 4 sin 2 F(r, )

2. แทนคา r ดวย -r และ แทนคา ดวย -

จะได F(-r, - ) = (-r)2 - 4 sin 2( - )

= 2r + 4 sin 2

F(r, )

เพราะฉะนน สรปไมได

การตรวจสอบวากราฟมสมมาตรเทยบกบขวหรอไม

แทนคา r ดวย -r ในสมการ (1)

จะได F(-r, ) = (-r)2 - 4 sin 2

= 2r - 4 sin 2

= F(r, )

เพราะฉะนน 2r = 4 sin 2 มสมมาตรเทยบกบขว


การตรวจสอบวากราฟมสมมาตรเทยบ

กบเสนตรง = 2 หรอไม

1. แทนคา r ดวย -r และ แทนคา ดวย - ในสมการ (1)

จะได F(-r, - ) = (-r)2 - 4 sin 2(-)

= 2r + 4 sin 2 F(r, )

2. แทนคา ดวย - ในสมการ (1)

จะได F(r, - ) = 2r - 4 sin 2( - )

= 2r + 4 sin 2 F(r, )


การเขยนกราฟ 2r = 4 sin 2

เพราะวากราฟ 2r = 4 sin 2 มสมมาตรเทยบกบขว เราจงเขยน

กราฟบนชวง [0, 2 ] เฉพาะคา r 0 ดงรปท 2.3.7 (ก)

แลวจงใชการมสมมาตรของกราฟขางตน

วาดกราฟสวนทเหลอดงรปท 2.3.7 (ข)

รปท 2.3.7 (ก) รปท 2.3.7 (ข)


หมายเหต กราฟของสมการ 2r = 4 sin 2 ... (*)

เพราะวา 2r 0 เพราะฉะนน คา ทสอดคลองสมการ (*)

ตองเปน ททาให 4 sin 2 0

ดงนนคา ททาให 4 sin 2 0 จงเปนคาทไมมจดในกราฟ

จาก 4 sin 2 0

sin 2 0

จะได 0 2 และ 2 2 3

นนคอ 0 2 และ

23

เพราะฉะนน กราฟของสมการ (*)

จะมจดในกราฟเมอ อยในชวง [0, 2 ] และ [,

23 ] เทานน

พจารณาสมการ (*) จะพบวามฟงกชน 2 ฟงกชน คอ

r = 2sin4

และ r = - 2sin4

โดยทฟงกชนทงสองจะใหกราฟเหมอนกน กลาวคอ


กราฟของ r = 2sin4 เมอ อยในชวง [0, 2 ]

จะเหมอนกบกราฟของ r = - 2sin4

เมอ อยในชวง [, 2

3 ]

ซงคอสวนทปรากฏในจตภาคท 1. ดงรปท 2.3.7 (ค)

และ

กราฟของ r = 2sin4 เมอ อยในชวง [, 2

3 ]

จะเหมอนกบกราฟของ r = - 2sin4 เมอ อยในชวง [0, 2 ]

ซงคอสวนทปรากฏในจตภาคท 3. ดงรปท 2.3.7 (ง)

รปท 2.3.7 (ค) รปท 2.3.7 (ง)


ตวอยาง 2.3.2 จงตรวจสอบวากราฟของ

r = 4 + 4 cos บนชวง [0, 2]

มสมมาตรเทยบกบ แกนเชงขว ขว และ เสนตรง = 2 หรอไม

และจงเขยนกราฟของ r = 4 + 4 cos บนชวง [0, 2]

วธทา ให F(r, ) = r - 4 - 4 cos = 0 ... (1)

การตรวจสอบวากราฟมสมมาตรเทยบกบแกนเชงขวหรอไม

แทนคา ดวย - ในสมการ (1)

จะได F(r, -) = r - 4 - 4 cos(-)

= r - 4 - 4 cos

= F(r, )

เพราะฉะนน r = 4 + 4 cos มสมมาตรเทยบกบแกนเชงขว

การตรวจสอบวากราฟมสมมาตรเทยบกบขวหรอไม

1. แทนคา r ดวย -r ในสมการ (1)

จะได F(-r, ) = -r - 4 - 4 cos F(r, )

2. แทนคา ดวย + ในสมการ (1)

จะได F(r, + ) = r - 4 - 4 cos( + )

= r - 4 + 4 cos

F(r, )



การตรวจสอบวากราฟมสมมาตรเทยบกบ

เสนตรง = 2 หรอไม

1. แทนคา r ดวย -r และ แทนคา ดวย - ในสมการ (1)

จะได F(-r, - ) = -r - 4 - 4 cos(-)

= -r - 4 - 4 cos F(r, )

2. แทนคา ดวย - ในสมการ (1)

จะได F(r, - ) = r - 4 - 4 cos( - )

= r - 4 + 4 cos F(r, )


การเขยนกราฟ

เพราะวากราฟ r = 4 + 4 cos มสมมาตรเทยบกบแกนเชงขว

เราจงเขยนกราฟบนชวง [0, ] ดงรปท 2.3.8 (ก)

แลวจงใชการมสมมาตรของกราฟขางตน

วาดกราฟสวนทเหลอดงรปท 2.3.8 (ข)

รปท 2.3.8 (ก) รปท 2.3.8 (ข)


ขอสงเกต กราฟ r f (sin ) และ r f (cos( )) มสมมาตร

เทยบกบเสนตรง 4


กราฟบางรปทสาคญในระบบพกดเชงขว

1. r = k เมอ k เปนจานวนจรง

มกราฟเปนวงกลมมจดศนยกลางอยทจด (0, 0)

และมรศม k หนวย

ตวอยางเชน กราฟของ r = 4, r = 2

รปท 2.3.9 (ก) รปท 2.3.9 (ข)

2. = 0

มกราฟเปนเสนตรงททามม 0 กบแกนเชงขว

ตวอยางเชน กราฟของ = 4 , =

3

รปท 2.3.10 (ก) รปท 2.3.10 (ข)


3.

3.1 r = 2k sin เมอ k เปนจานวนจรง และ 0

มกราฟเปนวงกลม จดศนยกลางอยทจด (k, 2)


3.2 r = 2k cos เมอ k เปนจานวนจรง และ 0

มกราฟเปนวงกลมจดศนยกลางอยทจด (k, 0)


ตวอยางเชน กราฟของ r = 8 sin และ r = 6 cos

รปท 2.3.11 (ก) รปท 2.3.11 (ข)


4. r = a + b sin และ r = a + b cos

เมอ a, b เปนจานวนจรง และ 0 2

4.1 ถา a = b แลว กราฟผานขว

และเราจะเรยกกราฟนวา คารดออยด (cardioid)

4.2 ถา a b

แลว เราจะเรยกกราฟนวา ลมาซอง (limacon)

4.3 ถา a b แลว กราฟไมผานขว

4.4 ถา a b แลว กราฟผานขว

และ มวงวน (loop) อยภายใน

ตวอยางเชน กราฟของ r = 4 + 4 sin , r = 4 + 3 sin

และ r = 2 + 4 sin มดงน

รปท 2.3.12 (ก) รปท 2.3.12 (ข) รปท 2.3.12 (ค)


กราฟของ r = 4 + 4 cos , r = 4 + 3 cos

และ r = 2 + 4 cos มดงน

รปท 2.3.13 (ก) รปท 2.3.13 (ข) รปท 2.3.13 (ค)


5.

5.1 r = k sin 2n, r = k cos 2n

เมอ k เปนจานวนจรง, n เปนจานวนนบ และ 0 2

มกราฟเปนกลบกหลาบ 4n กลบ

5.2 r = k sin((2n + 1)), r = k cos((2n + 1))

เมอ k เปนจานวนจรง, n เปนจานวนนบ และ 0 2

มกราฟเปนกลบกหลาบ 2n + 1 กลบ

ตวอยางเชน

กราฟของ r = 4 sin 2 เปนกลบกหลาบจานวน 4 กลบ

ดงรปท 2.3.14 (ก)

กราฟของ r = 4 sin 3 เปนกลบกหลาบจานวน 3 กลบ

ดงรปท 2.3.14 (2)

รปท 2.3.14 (ก) รปท 2.3.14 (ข)


กราฟของ r = 4 cos 2 เปนกลบกหลาบจานวน 4 กลบ

ดงรปท 2.3.15 (ก)

กราฟของ r = 4 cos 3 เปนกลบกหลาบจานวน 3 กลบ

ดงรปท 2.3.15 (ข)

รปท 2.3.15 (ก) รปท 2.3.15 (ข)


6. กราฟ spiral

Hyperbolic spiral r = a เมอ a เปนจานวนจรง

Spiral of Archimedes r = a เมอ a เปนจานวนจรง

Parabolic spiral r = a + b เมอ a, b เปนจานวนจรง

Logarithmic spiral r = re เมอ a เปนจานวนจรง


Hyperbolic spiral r = 1 Spiral of Archimedes r = 2

รปท 2.3.16 (ก) รปท 2.3.16 (ข)

Parabolic spiral r = 2 + 3 Logarithmic spiral r = 4.0e

รปท 2.3.16 (ค) รปท 2.3.16 (ง)


7. กราฟ Lemniscates

เปนกราฟของสมการ 2r = 2a cos 2

หรอ 2r = 2a sin 2 เมอ a เปนจานวนจรง


Lemniscate 2r = 4 cos 2 Lemniscate 2r = 9 sin 2

รปท 2.3.17 (ก) รปท 2.3.17 (ข)


8. กราฟ r = a sin(k) เมอ k ไมเปนจานวนเตม


2.4 การหาพ นทของบรเวณในระบบพกดเชงขว

ให R เปนบรเวณทปดลอมดวยฟงกชนทตอเนอง r = f()

และ เสนตรง = และ =

เมอ r 0

แบงชวง [, ] ออกเปน n ชวงยอย

ดวยจด 0 , 1 , 2 , ... , n

โดยท = 0 1 2 ... n =

รปท 2.4.1

สาหรบ i = 1, 2, ... , n

ให iR เปนบรเวณทปดลอมดวยเสนตรง = 1i

และ = i และเสนโคง r = f()

ให 1iP มพกดเปน (f( 1i ), 1i )

และ iP มพกดเปน (f( i ), i )

*i มคาอยระหวาง 1i และ i

*iP มพกดเปน (f( *

i ), *i )


รปท 2.4.2

และ ให วงกลมรศม O *iP ตดเสนตรง = 1i ทจด 1iQ

และตดเสนตรง = i ทจด iQ

เพราะฉะนน 1iQ มพกดเปน (f( *i ), 1i )

และ iQ มพกดเปน (f( *i ), i )

จะได พนท iR พนทเซกเตอร 1iiQOQ

= 21(f( *

i ))2( i - 1i )

เพราะฉะนน พนท R =

n

1i

พนท iR

n

1i21(f( *

i ))2( i - 1i )

เพราะวา r = f() เปนฟงกชนทตอเนอง

เพราะฉะนน n

lim

n

1 i21(f( *

i ))2( i - 1i ) =

21 2r d


พนท R = 21

2r d


ตวอยาง 2.4.1 จงหาพนทของบรเวณทปดลอมดวย

เสนโคง r = 2 + 2 sin บนชวง [0, 2]

วธทา

รปท 2.4.3

เพราะฉะนน พนท = 21

2

0

2r d

= 21

2

0

(2 + 2 sin )2 d

= 21

2

0

(4 + 8 sin + 4 2sin ) d

= 2

0

2 d + 4 2

0

sin d + 2

0

2 2sin d

= 2[ ] 02

+ 4[ -cos ]

02

+

2

0

(1 - cos ) d

= 4 + 4(-1 + 1) + [ - 22sin ]

02

= 4 + 2

= 6



เสนโคง r = 4 + 4 cos บนชวง [4 ,

32 ]

วธทา

รปท 2.4.4

เพราะฉะนน พนท = 21

32

4

2r d

= 21

32

4

(4 + 4 cos )2 d

= 8

32

4

(1 + 2 cos + 2cos ) d


= 8

32

4

d + 16

32

4

cos d + 4

32

4

2 2cos d

= 8[ ] 4

32

+ 16[ sin ]

4

32

+ 4

32

4

(1 + cos 2) d

= 8(3

2 - 4) + 16(sin

32 - sin

4) + 4[ ]

4

32

+ 2

32

4

cos 2 d2

= 8(125 ) + 16(

23 -

21 ) + 4(

32 -

4)

+ 2[ sin 2 ] 4

32

= 8(125 ) + 16(

23 -

21 ) + 4(

125 ) + 2(sin

34 - sin

2)

= 5 + 16(23 -

21 ) + 2(-

23 - 1)

= 5 + 7 3 - 8 2 - 2



เสนโคง r = 4 cos 2

วธทา

รปท 2.4.5

เพราะวากราฟของ r = 4 cos 2

มสมมาตรกบ แกนเชงขว ขว และ เสนตรง = 2

จากรปท 2.4.5 เราจงหาพนทในบรเวณปดลอมดวยเสนโคง

r = 4 cos 2 เสนตรง = 0 และ = 2

แลวคณดวย 4 จะไดพนท ของบรเวณทปดลอมดวยเสนโคง

r = 4 cos 2


พนทในบรเวณทปดลอมดวย r = 4 cos 2 เสนตรง = 0

และ = 2 มคา =

21

2

0

2r d

= 21

2

0

(4 cos 2)2d

= 4

2

0

2 2cos 2 d

= 4

2

0

(1 + cos 4) d

= 4[ + 41 sin 4 ]

02

= 4[(2 + 0) - (0 + 0)] = 2

เพราะฉะนน พนทของบรเวณทปดลอมดวยเสนโคง

r = 4 cos 2 มคาเทากบ 8

หมายเหต ในกรณทหาพนทของบรเวณทปดลอมดวยเสนโคง

r = 4 cos 2 โดยไมนาสมมาตรกบ แกนเชงขว ขว และ

เสนตรง = 2 ของกราฟมาชวย และทาการอนทเกรตบน

ชวง [0, 2] จะไดพนท = 21

2

0

(4 cos 2)2d = 8 เหมอนกน


ตวอยาง 2.4.4 จงหาพนทของบรเวณทปดลอมดวยเสนโคง

2r = 4 cos

วธทา

รปท 2.4.6 (ก)

เพราะวากราฟของ 2r = 4 cos

มสมมาตรกบ แกนเชงขว ขว และ เสนตรง = 2

จากรปท 2.4.6 เราจงหาพนทในบรเวณปดลอมดวยเสนโคง

2r = 4 cos เสนตรง = 0 และ = 2

แลวคณดวย 4 จะไดพนท ของบรเวณทปดลอมดวยเสนโคง

2r = 4 cos

พนทในบรเวณปดลอมดวย 2r = 4 cos เสนตรง = 0

และ = 2 มคา =

21

2

0

2r d


21

2

0

2r d

= 21

2

0

4 cos d

= 2[ sin ] 02

= 2(sin2 - 0)

= 2

เพราะฉะนน พนทของบรเวณทปดลอมดวยเสนโคง

2r = 4 cos มคาเทากบ 8


หมายเหต

ในการหาพนทของบรเวณทปดลอมดวยเสนโคง 2r = 4 cos

โดยไมนาการมสมมาตรของกราฟมาชวย เราตองพจารณาดงน

จากสมการ 2r = 4 cos ... (*)

เพราะวา 2r 0 เพราะฉะนน คา ทสอดคลองสมการ (*)

ตองเปน ททาให 4 cos 0

ดงนนคา ททาให 4 cos 0 จงเปนคาทไมมจดในกราฟ

จาก 4 cos 0

cos 0

จะได -2

2

เปนชวงทกราฟของสมการ (*) มจดอยบนกราฟ

พจารณาสมการ (*) จะพบวามฟงกชน 2 ฟงกชน คอ

r = cos4 กบ r = - cos4

โดยท ฟงกชน r = cos4 เมอ อยในชวง [-2 ,

2 ]

จะไดกราฟทางขวาของเสนตรง = 2

ดงรปท 2.4.6 (ข)

และ ฟงกชน r = - cos4 เมอ อยในชวง [-2 ,

2 ]

จะไดกราฟทางซายของเสนตรง = 2

ดงรปท 2.4.6 (ค)


รปท 2.4.6 (ข) รปท 2.4.6 (ค)

พนทของบรเวณทปดลอมดวยเสนโคง 2r = 4 cos คอ

= 21

2

2

( cos4 )2 d + 21

2

2

(- cos4 )2 d

= 21

2

2

4 cos d + 21

2

2

4 cos d

= 21 [ 4 sin ]

2

2

+

21 [ 4 sin ]

2

2

= 24( sin

2 - sin(-

2)) +

24( sin

2 - sin(-

2))

= 4 + 4

= 8


ตวอยาง 2.4.5 จงหาพนทของบรเวณภายในเสนโคง r = 6 sin

และ ภายในเสนโคง r = 2 + 2 sin

วธทา

รปท 2.4.7

จดตดของ เสนโคง r = 6 sin และ เสนโคง r = 2 + 2 sin

หาไดโดยการแกสมการ 6 sin = 2 + 2 sin

4 sin = 2

sin = 21

= 6 หรอ

65

เพราะฉะนนจดตดของ เสนโคง r = 6 sin

และ เสนโคง r = 2 + 2 sin คอ (3, 6) และ (3,

65 )


เพราะวากราฟของ r = 6 sin และ r = 2 + 2 sin

มสมมาตรกบเสนตรง = 2

จากรปท 2.4.7 เราจงหาพนท 1R และ พนท 2R

แลว จะได พนทของบรเวณภายในเสนโคง r = 6 sin

และ ภายในเสนโคง r = 2 + 2 sin มคาเทากบ

2(พนท 1R + พนท 2R )

พนท 1R = 21

6

0

(6 sin )2 d = 9

6

0

2 2sin d

= 9

6

0

(1 - cos 2) d

= 9[ - 21 sin 2 ]

06

= 9[(6 -

43) - (0 - 0)]

= 2

3 - 4

39


พนท 2R = 21

2

6

(2 + 2 sin )2 d

= 2

2

6

(1 + 2 sin + 2sin ) d

= 2

2

6

(1 + 2 sin + 21 -

21cos 2) d

=

2

6

(3 + 4 sin - cos 2) d

= [ 3 - 4 cos - 21 sin 2 ]

6

2

= (2

3 - 0 - 0) - (2 - 2 3 -

43)

= + 4

39

พนท 1R + พนท 2R = (2

3 - 4

39 ) + ( + 4

39 ) = 2

5

เพราะฉะนนพนทของบรเวณทอยทงภายใน

เสนโคง r = 6 sin และ ภายในเสนโคง r = 2 + 2 sin

มคาเทากบ 2(พนท 1R + พนท 2R )

= 5(2

5 )

= 5



ในกรณทเราตองการหาพนทของบรเวณทปดลอมดวย

ของเสนโคง r = f() และ r = g() บนชวง [, ]

ดงรปท 2.4.8

รปท 2.4.8

จะได

พนททปดลอมดวย เสนโคง r = f() และ r = g()

บนชวง [, ] มคา

= 21

[(f())2 - (g())2] d


ตวอยาง 2.4.6 จงหาพนทของบรเวณทอย

ภายนอกเสนโคง r = 1 + cos และ ภายในเสนโคง r = sin

วธทา

รปท 2.4.9

จดตดของ เสนโคง r = 1 + cos และ เสนโคง r = sin

หาไดโดยการแกสมการ 1 + cos = sin

1 = sin - cos

1 = 2sin - 2 sin cos + 2cos

1 = 2sin + 2cos - 2 sin cos

1 = 1 - sin 2


เพราะฉะนน sin 2 = 0

2 = 0, , 2

= 0, 2 ,

บรเวณภายนอกเสนโคง r = 1 + cos

และ ภายในเสนโคง r = sin

เปนบรเวณปดลอมดวย r = 1 + cos และ r = sin

เสนตรง = 2 และ = ดงรปท 2.4.9

พนทแรเงา = 21

2

[(sin )2 - (1 + cos )2] d

= 21

2

( 2sin - 1 - 2 cos - 2cos ) d

= 21

2

(-1 - 2 cos - ( 2cos - 2sin ) d

= 21

2

(-1 - 2 cos - cos 2) d

= 21 [ - - 2 sin -

21 sin 2 ]

2

= 21 [(- - 0 - 0) - (-

2 - 2 - 0)]

= -4 + 1


ตวอยาง 2.4.7 จงหาพนทของบรเวณทอยภายนอกวงกลม

2x + 2y - 4y = 0 และ ภายในวงกลม 2x + 2y - 4x = 0

วธทา

รปท 2.4.10 (ก) รปท 2.4.10 (ข)

วงกลม 2x + 2y - 4y = 0

มสมการในพกดเชงขวเปน r = 4 sin

วงกลม 2x + 2y - 4x = 0

มสมการในพกดเชงขวเปน r = 4 cos

บรเวณภายนอกวงกลม 2x + 2y - 4y = 0

และ ภายในวงกลม 2x + 2y - 4x = 0

คอ บรเวณภายนอกเสนโคง r = 4 sin

และ ภายในเสนโคง r = 4 cos

ประกอบดวยบรเวณ 1R และ 2R ดงรปท 2.4.10 (ข)


จดตดของ เสนโคง r = 4 sin และ เสนโคง r = 4 cos

หาไดโดยการแกสมการ

4 sin = 4 cos

sin = cos

= 4

บรเวณ 1R เปนบรเวณปดลอมดวย r = 4 sin

และ r = 4 cos เสนตรง = 0 และ = 4

พนท 1R = 21

4

0

[(4 cos )2 - (4 sin )2] d

= 8

4

0

( 2cos - 2sin ) d

= 8

4

0

cos 2 d

= 4[ sin 2 ] 04

= 4(1 - 0)

= 4


บรเวณ 2R เปนบรเวณปดลอมดวย r = 4 cos

เสนตรง = -2 และ = 0

พนท 2R = 21

0

2

(4 cos ) 2 ) d

= 8

0

2

2cos d

= 8

0

2

(21 +

22cos ) d

= 8

0

2

(21 +

22cos ) d

= 4[ ] 2

0

+ 2[ sin 2 ]

2

0

= 4(0 + 2) + 2(0 + 0)

= 2

เพราะฉะนน พนทบรเวณภายนอกวงกลม 2x + 2y - 4y = 0

และ ภายในวงกลม 2x + 2y - 4x = 0

= พนท 1R + พนท 2R

= 4 + 2


การหาพนทระหวางเสนโคง F(r, ) = 0 และ G(r, ) = 0

ในบางครงตองหาจดตดของกราฟ

แตเนองจากจดในพกดเชงขวจดเดยวกนอาจเขยนพกดได

หลายแบบ ดงนนจดตดทตองการอาจจะหาไดไมครบถวน


การหาจดตดของ วงกลม r = 3 และ r = 2 sin 2

รปท 2.4.11 (ก) รปท 2.4.11 (ข)


โดยการแกสมการ 3 = r = 2 sin 2

จะได sin 2 = 23

2 = ... , -3

16 , -3

11 , -3

10 , -3

5 , -3

4 , 3 ,

3

2 , 3

7 , 3

8 , 3

13 , 3

14 , ...

= ... , -6

16 , -6

11 , -6

10 , -6

5 , -6

4 , 6 ,

6

2 , 6

7 , 6

8 , 6

13 , 6

14 , ...

= ... , -3

8 , -6

11 , -3

5 , -6

5 , -3

2 , 6 ,

3 ,

6

7 , 3

4 , 6

13 , 3

7 , ...

จากคาของ ตาง ๆ ขางตนเมอคานวณเปนพกดของจดตด

จะไดเพยง 4 จดเทานนคอ

( 3, 6), ( 3,

3), ( 3,

67 ), ( 3,

34 )

ดงรปท 2.4.11 (ข)

จากรปท 2.4.11 (ก) จะเหนวามจดตดของ วงกลม r = 3

และ r = 2 sin 2 ทงหมด 8 จด

แนวทางในการหาพกดจดตดทเหลออาจทาไดโดย

ถากราฟมสมมาตรกบแกนเชงขว ขว หรอ เสนตรง = 2

แลว เราจะสามารถหาพกดของจดตดทเหลอได


นอกจากใชสมบตของสมมาตรแบบตาง ๆ แลว เราสามารถ

ใชสมบตของจดในพกดเชงขวทเขยนไดหลายแบบ กลาวคอ

จด (r, ) กบจด ((-1)n r, + n) เมอ n เปนจานวนเตม

จะเปนจดเดยวกน

เพราะฉะนน กราฟของสมการ F(r, ) = 0

และ กราฟของสมการ F((-1)n r, + n) = 0

จะเปนรปเดยวกน สมการ F((-1)n r, + n) = 0

เรยกวา สมการเทยบเทา ของ F(r, ) = 0

เพราะฉะนน เราสามารถใชสมการเทยบเทามาชวยในการหา

จดตดของกราฟไดอยางเชนตวอยางขางตน

สมการเทยบเทาของ r = 3 คอ r = - 3

โดยการแกสมการ - 3 = r = 2 sin 2

จะได sin 2 = -23

2 = ... , -3

14 , -3

13 , -3

8 , -3

7 , -3

2 , -3 ,

34 ,

3

5 , 3

10 , 3

11 , 3

16 , ...

= ... , -6

14 , -6

13 , -6

8 , -6

7 , -6

2 , -6 ,

64 ,

6

5 , 6

10 , 6

11 , 6

16 , ...

= ... , -3

7 , -6

13 , -3

4 , -6

7 , -3 , -

6 ,

32 ,

6

5 , 3

5 , 6

11 , 3

8 , ...


จากคาของ ตาง ๆ ขางตนเมอคานวณเปนพกดของจดตด

จะไดเพยง 4 จดเทานนคอ

(- 3, 3

2 ), (- 3, 6

5 ), (- 3, 3

5 ), (- 3, 6

11)

จากทแสดงมาทงหมดจะไดจดตดของ r = 3

และ r = 2 sin 2 ทงหมด 8 จด

ดงแสดงในรปท 2.4.12

รปท 2.4.12


ขอสงเกต

1. ปญหาลกษณะหนงทอาจเกดขนในการหาจดตดของ

กราฟ F(r, ) = 0 และ G(r, ) = 0 กคอ

การท ขว เปนจดตดของกราฟ

แตไมสามารถหาไดโดยการแกสมการ

F(r, ) = 0 และ G(r, ) = 0

สาเหตทเปนเชนนเนองจาก ขว มพกดเปน (0, )

โดยท เปนมมอะไรกได

ดงนนหากกราฟของ F(r, ) = 0 และ G(r, ) = 0

ผานขวดวยคามมทตางกน

เรากจะไมสามารถหาจดตดทเปนขวได

วธแกปญหาขางตน

ใหแทนคา r = 0 ในสมการ F(r, ) = 0 และ G(r, ) = 0

หาก หาคา = 1 ททาให F(r, 1 ) = 0

และ หาคา = 2 ททาให G(r, 2 ) = 0

จะถอวา ขว เปนจดตดของกราฟ F(r, ) = 0 และ G(r, ) = 0


ตวอยางเชน การหาจดตดของกราฟ

r = 1 + sin และ r = 1 - sin

รปท 2.4.13

โดยการแกสมการ 1 + sin = 1 - sin

จะได sin = 0

= n

เพราะฉะนนจะไดจดตด (1, 0) และ (1, )

แตไมไดขวเปนจดตดจากการแกสมการขางตน

ทเปนเชนน

เพราะวา กราฟ r = 1 + sin ผานขว เมอ = 2

3

และ กราฟ r = 1 - sin ผานขว เมอ = 2

เพราะฉะนน ขว เปนจดตดของ

กราฟ r = 1 + sin และ r = 1 - sin


2. การตรวจสอบวาจด 0 0(r , ) อยบนกราฟเชงขว F(r, ) 0

1. ถา 0 0F(r , ) 0

แลว จด 0 0(r , ) อยบนกราฟเชงขว F(r, ) 0

2. ถา 0 0F(r , ) 0

แลวยงสรปไมไดวา

จด 0 0(r , ) อยบนกราฟเชงขว F(r, ) 0 หรอไม

ใหตรวจสอบกบสมการเทยบเทาของ F(r, ) 0 กอน


ตวอยางเชน กราฟเชงขว F(r, ) r 2cos(2 ) 0

F(1, ) 1 2cos(2( )) 1 1 03 3

เพราะวาจด (1, )3 สอดคลองเงอนไขสมการเทยบเทา

1F(( 1) (1), 1 ) F( 1, )3 3

1 2cos(2( ))3

21 2cos( )3

11 2( )2

0

เพราะฉะนน (1, )3 อยบนกราฟ F(r, ) r 2cos(2 ) 0


ตวอยาง 2.4.8 จงหาพนทของบรเวณทอย

ภายในเสนโคง r = 2 sin 2 และ ภายนอกวงกลม r = 3

วธทา จากวธหาจดตดขางตนจะได ( 3, 6)

และ ( 3, 3) เปนจดตดของ r = 2 sin 2 และ r = 3

รปท 2.4.14 (ก) รปท 2.4.14 (ข)

เพราะฉะนนพนทแรเงาในรปท 2.4.14 (ข) มคา

= 21

[(f())2 - (g())2] d

= 21

3

6

[(2 sin 2)2 - ( 3))2] d

= 21

3

6

(4 2sin 2 - 3) d


= 21

3

6

(4(2

4cos1 ) - 3) d

= 21

3

6

(2 - 2 cos4 - 3) d

= 21 [ - -

21 sin4 ]

6

3

= 21 [(-

3 -

21(-

23)) - (-

6 -

21(

23))]

= 21(

23 -

6)

= 43 -

12

เพราะวากราฟ r = 2 sin 2 และ r = 3

มสมมาตรกบแกนเชงขว ขว และ เสนตรง = 2

ดงนนจากรปท 2.4.12 จะเหนวา

พนทของบรเวณทอยภายในเสนโคง r = 2 sin 2

และ ภายนอกวงกลม r = 3 มคาเทากบ

= 4(21

[(f())2 - (g())2] d)

= 4(43 -

12 )

= 3 - 3


แบบฝกหด 2.1

1. จงหาพกดเชงขวของจดในระนาบ XY ตอไปน เมอกาหนดคา r 0 และ 0 2

1.1 A(–1, 0) 1.2 B(4, –4)

1.3 C(1, – 3 ) 1.4 D( 2 , 2 )

1.5 E(–4, –4 3 ) 1.6 F(2 3 , –2)

1.7 G(0, 4) 1.8 H(–4, 4 3 )

2. จงเขยนจดในระบบพกดเชงขว

และหาพกดฉากของจดตอไปน

2.1 A(1, 0)

2.2 B(2, –611 )

2.3 C(3, 4 )

2.4 D(–4, 3 )

2.5 E(5, 32 )

2.6 F(–6, –65 )

2.7 G(7, 34 )

2.8 H(–7, –7)

2.9 I(8, 65 )

2.10 J(6, 611 )

3. จงเขยนสมการในระบบพกดฉากตอไปน ใหอยในระบบพกดเชงขว

3.1 x + y = 0 3.2 2x + 2y = 25

3.3 2x + 2y – 8y = 0 3.4 2x + 2y – 10x = 0

3.5 2x + 2y – 4x + 6y = 0 3.6 x = –5

4. จงเขยนสมการในระบบพกดเชงขวตอไปน ใหอยในระบบพกดฉาก

4.1 r = 7 4.2 r = 2 cos

4.3 r = 4 sec 4.4 r = 16 sin

4.5 r = –8 coec 4.6 r = 4 sin + 2 cos


เฉลยแบบฝกหด 2.1

1. 1.1 (1, ) 1.2 (4 2 , 47 )

1.3 (2, 35 ) 1.4 (2,

4 )

1.5 (8, 34 ) 1.6 (4,

611 )

1.7 (4, 2 ) 1.8 (8,

32 )

2. 2.1 A(1, 0)

2.2 B( 3 , 1)

2.3 C(23 ,

23 )

2.4 D(–2, –2 3 )

2.5 E(–25 ,

235

)

2.6 F(–3, –3 3 )

2.7 G(–27 , –

237

)

2.8 H(–7, 0)

2.9 I(4 3 , 4)

2.10 J(3 3 , –3)

3. 3.1 = 43 หรอ = –

4 3.2 r = 5 หรอ r = –5

3.3 r = 8 sin 3.4 r = 10 cos

3.5 r = 4 cos – 6 sin 3.6 r = –5 sec

4. 4.1 2x + 2y = 49 4.2 2x + 2y – 2x = 0

4.3 x = 4 4.4 2x + 2y – 16y = 0

4.5 y = –8 4.6 2x + 2y – 2x – 4y = 0



1. จงเขยนกราฟของสมการในระบบพกดเชงขวตอไปน

1.1 r = 5 sin 1.2 r = –6 cos

1.3 r = 6 sin 3 1.4 r = 5 cos 2

1.5 r = 4 sin – 4 cos 1.6 r = 2 + 4 sin


1.7 r = 6 cos 3 1.8 r = 6 sin 2


1.1 1.2

1.3 1.4

1.5 1.6

1.7 1.8

65432105 sin

65432106 cos

65432106 sin 3

65432105 cos 2

65432104 sin 4 cos

65432102 4 sin

65432106 cos 3

65432106 sin 2



1. จงตรวจสอบวากราฟของ r = f() ตอไปน

มสมมาตรเทยบกบ แกนเชงขว ขว และ เสนตรง = 2 หรอไม และจงเขยนกราฟ

1.1 r = –4 – 4 sin 1.2 r = –2 – 4 cos

1.3 r = –3 sin 3 1.4 r = sin – cos

1.5 r = cos 3 1.6 r = –cos

1.7 r = 2 2cos 1.8 r = –2 sin

6420

6

00

43210

4

00

210

2

00

43210

4

00

10.50

1

00

3210

3

00

210

2

00

1086420

10

00



1. ไมสมมาตรกบแกนเชงขว ไมสมมาตรกบขว 2. สมมาตรกบแกนเชงขว ไมสมมาตรกบขว

สมมาตรกบเสนตรง = 2 ไมสมมาตรกบเสนตรง =

2

3. ไมสมมาตรกบแกนเชงขว ไมสมมาตรกบขว 4. ไมสมมาตรกบแกนเชงขว ไมสมมาตรกบขว

สมมาตรกบเสนตรง = 2 ไมสมมาตรกบเสนตรง =

2

5. สมมาตรกบแกนเชงขว ไมสมมาตรกบขว 6. สมมาตรกบแกนเชงขว ไมสมมาตรกบขว

ไมสมมาตรกบเสนตรง = 2 ไมสมมาตรกบเสนตรง =

2

7. สมมาตรกบแกนเชงขว สมมาตรกบขว 8. ไมสมมาตรกบแกนเชงขว ไมสมมาตรกบขว

สมมาตรกบเสนตรง = 2 สมมาตรกบเสนตรง =

2

1086420

10

04 4 sin ( )

6420

6

02 4 cos ( )

43210

4

03 sin 3 ( )

210

2

0sin ( ) cos ( )

43210

4

04 cos 3 ( )

10.50

1

0cos ( )

3210

3

02 cos ( )2

210

2

02 sin ( )



1. จงหาพนทของบรเวณทปดลอมดวยเสนโคงตอไปน

1.1 r = 1 + cos บนชวง [0, 2] 1.2 r = 2 cos 2 บนชวง [0, 2]

1.3 r = cos + sin บนชวง [0, ] 1.4 r = 3 - 2 cos บนชวง [0, 2]

1.5 r = 2 cos 3 บนชวง [0, 2] 1.6 r = 4 2cos บนชวง [0, 2]

2. จงหาพนทภายใน r = 4 sin และ r = 4 3 cos

3. จงหาพนทภายใน r = 4 sin 2 และ r = 4 cos

4. จงหาพนทภายใน r = 2 + sin 2 และ r = 2 + 3 cos

5. จงหาพนทภายใน r = 2 sin 3 และ r = 2 sin

6. จงหาพนทภายในวงกลม 2x + 2y – x – y = 0 และ 2x + 2y + x – y = 0

7. จงหาพนทภายในวงกลม 2x + 2y – x – y = 0 หรอ 2x + 2y – x = 0

โดยทบรเวณนนไมเปนสวนตดของวงกลมทงสอง

8. จงหาพนทภายในวงกลม 2x + 2y – 4y = 0 และ x 3

9. จงหาพนทภายในวงกลม 2x + 2y – 4x – 4y = 0 และ y 4

10. จากกราฟของสมการ r = 2 - 4 cos รปท 2.4.15 (ก) จงหาพนทสวนทแรเงา

11. จากกราฟของสมการ r = 3 + 6 sin รปท 2.4.15 (ข) จงหาพนทสวนทแรเงา

12. จากกราฟของสมการ r = 4 cos และ r = 4 sin 2 รปท 2.4.15 (ค) จงหาพนทสวนทแรเงา

รปท 2.4.15 (ก) รปท 2.4.15 (ข) รปท 2.4.15 (ค)


1. 1.1 23 1.2 2 1.3

2

1.4 11 1.5 1.6 6

2. 3

10 – 4 3 3. 4 – 3 3 4. 5 – 8

5. 32 –

34 6.

4 –

21 7.

163 +

85

8. 32 – 3 9. 2 – 4 10. 4 – 6 3

11. 29 +

2327

12. 4 + 3 3

Documents

บทที่ 2 พิกัดเชิงขั้วpioneer.chula.ac.th/~tdumrong/2301207/cal3_61_1st_ch_02... · 2018-08-15 · 2 - 5 บทที่ 2 พิกดเชัิงข้วั