บทที่ 3 “ การบวกจำนวนสองจำนวนที่มีผลลัพธ์ไม่เกิน 9 · Web viewเช่น 2 + 4 + 6 + 8 +

หนวยการเรยนรท 1เรอง อนดบอนนตและอนกรมอนนต

รายวชาทนำามาบรณาการการงานอาชพและเทคโนโลย และภาษาองกฤษ

1. มาตรฐานการเรยนรมฐ. ค 6.1

2. ตวชวดชนปทเกยวของค 6.1 ม.6/1-6

3. สาระการเรยนรประจำาหนวย3.1 ลำาดบอนนต

-ความหมายของลำาดบ- รปแบบการกำาหนดลำาดบ-ลำาดบเลขคณต-ลำาดบเรขาคณต- ลมตของลำาดบ

3.2 อนกรมอนนต-ผลบวกของอนกรมอนนต-สญลกษณแทนการบวก

4. รองรอยการเรยนร4.1 ผลงาน / ชนงาน ไดแก

1) ผลงานจากการทำากจกรรมในชนเรยน2) ผลงานจากการทำากจกรรมในหนงสอเรยน3) ผลงานจากการทำากจกรรมบรณาการ

4.2 ผลการปฏบตงาน ไดแก 1) การปฏบตกจกรรมในชนเรยน2) การมสวนรวมในการปฏบตกจกรรมกลม

แผนการจดการเรยนรคณตศาสตรเพมเตม ม.6 ภาคเรยนท 2

4.3 การทดสอบวดผลสมฤทธทางการเรยนหลงเรยนจบหนวยการเรยนร

5. แนวทางการจดการเรยนรในภาพรวม

รองรอยการเรยนรแนวทางการจดการเรยนร

บทบาทคร บทบาทนกเรยน

5.1 ผลงาน / ชนงาน ไดแก

1) ผลงานจากการทำากจกรรมในชนเรยน

2) ผลงานจากการทำากจกรรมในหนงสอเรยน

- อธบายเนอหาในแตละเรองอยางละเอยด

- อธบายสรปความคดรวบยอดในแตละเรอง

- แนะนำาการทำากจกรรมในหนงสอเรยน

- ใหคำาแนะนำาเพมเตมกบนกเรยนทยงไมเขาใจ

- มอบหมายงานใหนกเรยนเพมเตมตามความเหมาะสม

- ใหคำาแนะนำาในการทำากจกรรมบรณาการ

- ฝกคดตามทครสอน- ใหความรวมมอกบคร

ผสอน- รวมทำากจกรรมในชน

เรยน- ปฏบตกจกรรมกลม

ตามหนาททไดรบมอบหมาย

- ใหนกเรยนฝกแสดงความคดเหนในชนเรยน

- ใหนกเรยนทำาแบบฝกหดเปนรายกลมในชนเรยน

- ทำาแบบฝกหดเปนรายบคคล

- ศกษาหาความรเพมเตมจากหนงสอเรยน


5.2 ผลการปฏบตงาน ไดแก

1) การปฏบตกจกรรมในชนเรยนและการใชบรการหองสมดของโรงเรยนอยางเหมาะสม

2) การมสวนรวมในการปฏบตกจกรรมกลม

- แนะนำาวธการคำานวณและสรปความคดรวบยอดเพอสรปเนอหาประจำาหนวย

- แนะนำาใหนกเรยนไปคนควาหาขอมลเพมเตมในหองสมดของโรงเรยน


- แนะนำาวธการจดกลมและการทำากจกรรมกลม

- ใหนกเรยนสรปเนอหาสำาคญทเรยนในแตละหนวย

- ใหนกเรยนแสดงความคดเหนตามความเขาใจของนกเรยนเอง

- ใหนกเรยนไปคนควาโจทยเพมเตมในหองสมดโรงเรยน

- ใหนกเรยนจดกลมตามทครมอบหมายและชวยกนทำากจกรรมในชนเรยน

5.3 การทดสอบวดผลสมฤทธทางการเรยน

- สรปเนอหาทสำาคญโดยการถาม-ตอบกบผเรยน

- ทำาแบบทดสอบผลสมฤทธทางการเรยน

แผนการจดการเรยนรท 1/1 เรอง ลำาดบอนนต

เวลา 3 ชวโมง

1.เปาหมายการเรยนร1.1 ผลการเรยนร

1) นกเรยนเขาใจความหมายของลำาดบ2) นกเรยนหาพจนท n ของลำาดบเลขคณตและลำาดบเรขาคณตได

1.2 จดประสงคการเรยนร


1) นกเรยนเขาใจความหมายของลำาดบ2) นกเรยนหาพจนท n ของลำาดบเลขคณตและลำาดบเรขาคณตได

2.สาระสำาคญ 2.1 สาระการเรยนร

1) ความหมายของลำาดบ2) รปแบบการกำาหนดลำาดบ3) ลำาดบเลขคณต4) ลำาดบเรขาคณต

2.2 ทกษะ / กระบวนการ1) ทกษะการทำางานกลม2) ทกษะการสอสารทางคณตศาสตร3) ทกษะการแกปญหา

2.3 ทกษะการคด1) ทกษะการคดแปลความ2) ทกษะการคดวเคราะห 3) ทกษะการคดประยกตใช

3.รองรอยการเรยนร 3.1 ผลงาน / ชนงาน

1) ผลงานจากการทำากจกรรม2) ผลงานจากการทำากจกรรมกลม3) ผลงานจากการทำากจกรรมบรณาการ รายงานเรองลำาดบชนดตางๆ“ ”

3.2 กระบวนการขนตอนการปฏบตงาน1) จดกลม กลมละ 5-6 คน 2) เลอกหวหนากลม3) หวหนากลมแบงงาน4) รวมกนทำากจกรรมทกำาหนด5) นำาเสนอผลงานหนาชนเรยน6) ครมอบหมายใหทำากจกรรม7) ครมอบหมายใหทำากจกรรมบรณาการ


3.3 พฤตกรรมตามคณลกษณะพงประสงค1) นกเรยนใหความรวมมอในการทำางานกลม2) นกเรยนมความละเอยดรอบคอบและรบผดชอบในการทำางาน

3.4 ความรความเขาใจ1) นกเรยนเขาใจความหมายของลำาดบ2) นกเรยนรวธหาพจนท n ของลำาดบเลขคณตและลำาดบเรขาคณต

4.แนวทางการวดผลและประเมนผล เกณฑขนตำา

1) ไดระดบ “พอใช” ขนไป2) ไดระดบ “ด” ขนไป3)ทำาไดถกตอง 80% ขนไป

การสรปผลการประเมนตองผานเกณฑขนตำาทง 3 รายการ

5.กจกรรมการเรยนการสอนเพอการเรยนร5.1 ขนนำา

ครใหนกเรยนอานบทนยามของลำาดบในหนงสอเรยนหนา 2 ดงน

บทนยาม ลำาดบ คอฟงกชนทมโดเมนเปนเซต {1, 2, 3, …, n} หรอมโดเมนเปน {1, 2, 3, …, n, …}เรยกลำาดบทมโดเมนเปนเซต {1, 2, 3, …, n} วาลำาดบจำากด (finite sequence) และเรยกลำาดบทมโดเมนเปนเซต {1, 2, 3, …, n, …} วา ลำาดบอนนต (infinite sequence)

ครสรปจากบทนยามเพมเตมวา ลำาดบโดยทวๆ ไปแบงออกเปน 2 ชนด คอ1.ลำาดบจำากด หมายถงลำาดบทมโดเมนเปนเซตของจำานวนเตมบวก n

จำานวนแรก คอ เซต {1, 2, 3, …, n} และเรนจคอเซต {f(1), f(2), f(3), …, f(n)}

2.ลำาดบอนนต หมายถงลำาดบทมโดเมนเปนเซตของจำานวนเตมบวกคอเซต {1, 2, 3, …, n, …} หรอเซตของจำานวนธรรมชาต และเรนจคอเซต {f(1), f(2), f(3), …, f(n), …}


5.2 ขนสอน

กจกรรมการเรยนการสอน ฝกการคดแบบ

1. ครอธบาย รปแบบการกำาหนดลำาดบแบบตางๆ จากนนนำาเสนอตวอยางตอไปนเพมเตมตวอยาง จงหา 5 พจนแรกของลำาดบ {an} เมอ an มคาดงตอไปน

an = 2n2 3nan = 2n 1

วธทำา 1. an = 2n2 3n a1 = 2(1)2 3(1) = 2 3 = 1a2 = 2(2)2 3(2) = 8 6 = 2a3 = 2(3)2 3(3) = 18 9 = 9a4 = 2(4)2 3(4) = 32 12 = 20a5 = 2(5)2 3(5) = 50 15 = 35

2. an = 2n 1 a1 = 21 1 = 2 1 = 1a2 = 22 1 = 4 1 = 3a3 = 23 1 = 8 1 = 7a4 = 24 1 = 16 1 = 15a5 = 25 1 = 32 1 = 31

ตวอยาง จงหาพจนทวไปของลำาดบซงม 5 พจนแรกดงตอไปน

1) 1 , , , , , …, an , …

2) , , , , …, an , …วธทำา 1. a1 = 1

a2 =

ทกษะการคดวเคราะหทกษะการคดประยกตใช


a3 =

a4 =

a5 =

ดงนน an =


2. a1 = =

a2 = =

a3 = =

a4 = =

ดงนน an = 2. ครใหนกเรยนทำากจกรรมภายในเวลาทกำาหนด จากนน

เฉลยคำาตอบรวมกน3. ครอธบายบทนยามของลำาดบเลขคณต

บทนยาม ลำาดบเลขคณต คอลำาดบซงมผลตางทไดจากการนำาพจนท n+1ลบดวยพจนท n เปนคาคงตวทเทากน สำาหรบทกจำานวนเตมบวก n และเรยกคาคงตวทเปนผลตางนวา ผลตางรวม

ทกษะการคด

แปลความ



แลวอธบายทมาของสตร an = a1+ (n 1)d ดงนถาให d แทนผลตางรวมระหวางพจนท n + 1 กบพจนท n จะได d = an+1 an เมอ nI+ถาให a1 , a2 , a3 , a4 , ..., an , an+1 , ... เปนลำาดบเลขคณตแลว

d = a2 a1 = a3 a2 = a4 a3 = ... = an+1 an = ...

a2 = a1+ da3 = a2+ d = (a1+ d) + d = a1+ 2da4 = a3+ d = (a1+ 2d) + d = a1+ 3d

an = an1+ d = (a1+ (n 2)d) + d = a1+ (n 1)d

ดงนน เมอกำาหนดให a1 เปนพจนแรกของลำาดบเลขคณต และ d เปนผลตางรวม พจนท n ของลำาดบเลขคณต คอ

an = a1+ (n 1)d

วเคราะห


4. ครใหนกเรยนศกษาตวอยางท 1 ในหนงสอเรยน และยกตวอยางเพมเตม ดงน

1) จงหาพจนท n ของลำาดบตอไปน(1) 9, 13, 17, 21, ...(2) 1, 1.5, 2, 2.5, ...วธทำา (1) 9, 13, 17, 21, …

a1 = 9, d = 13 9 = 17 13 = 21 17 = 4



พจนท n ของลำาดบเลขคณต คอ an = a1+ (n 1)d

an = 9 + (n 1)4= 9 + 4n 4= 5 + 4n

(2) 1, 1.5, 2, 2.5, ...a1 = 1, d = 1.5 1 = 2 1.5 =

2.5 2 = 0.5จากสตร an = a1+ (n 1)d

an = 1 + (n 1) 0.5= 1 + 0.5n 0.5= 0.5n + 0.5

2) กำาหนดลำาดบเลขคณต 24, 19, 14, 9, ..., 46 จงหาวาลำาดบนมกพจน และพจนท 12 เปนเทาไรวธทำา จากลำาดบเลขคณต 24, 19, 14, 9, ..., 46

a1 = 24d = 19 24 = 14 19 = 9 14 =

… = 5และ an = 46จากสตร an = a1+ (n 1)dแทนคา 46 = 24 + (n 1) (5)

46 = 24 5n + 55n = 29 + 46 5n = 75n = = 15


พจนท 12 คอ a12 = a1 + (12 1)d


= 24 + 11(5)= 24 55= 31

ดงนน ลำาดบ 24, 19, 14, 9, ..., 46 ม 15 พจน

และพจนท 12 เทากบ 315. ครอธบายบทนยามของลำาดบเรขาคณต

บทนยาม ลำาดบเรขาคณต คอลำาดบซงมอตราสวนของพจนท n+1 ตอพจนท n เปนคาคงตวทเทากน สำาหรบทกจำานวนเตมบวก n และเรยกคาคงตวทเปนอตราสวนนวา อตราสวนรวม

แลวอธบายทมาของสตร an = a1rn1 ดงนถาให r แทนอตราสวนรวมระหวางพจนท n+1

กบพจนท n จะได r = หรอ ran = an+1 เมอ nI+

r = = = = … = = …

a2 = a1ra3 = a2r = (a1r)r = a1r2 =

a1r31

a4 = a3r = (a1r2)r = a1r3 = a1r41

an = a n1r = (a1r n2)r = a1rn1

ดงนน เมอกำาหนดให a1 เปนพจนแรกของลำาดบเรขาคณต และ r เปนอตราสวนรวม พจนท n ของลำาดบเรขาคณต คอ

ทกษะการคดแปลความ



an = a1rn1

6. ครใหนกเรยนศกษาตวอยางท 2 ในหนงสอเรยน แลวยกตวอยางเพมเตม ดงน1) จงหาพจนท n ของลำาดบตอไปน

12, 4, , , ...

กจกรรมการเรยนการสอน ฝกการคดแบบวธทำา a1 = 12, r = 4 12 = 4 =

= … = จากสตร an = a1rn1

= 122) ลำาดบเรขาคณตลำาดบหนง มพจนท 3 มากกวาพจนท 2

อย และพจนท 2 มากกวาพจนแรกอย จงหาพจนท

n ของลำาดบน

วธทำา จากโจทย a3 a2 =

ดงนน a1r2 a1r =

a1r(r 1) = ……….(1)

และ a2 a1 =

a1r a1 =

a1(r 1) =


……….(2)(1) (2); =

r = =

แทนคา r ใน (2); a1 =

a1 =

a1 = พจนท n; an = a1rn1

ดงนน an =

7. ครอธบายเรองลำาดบฮารมอนกเพมเตมจากหนงสอเรยน ดงน

ลำาดบฮารมอนก หมายถง ลำาดบทมพจนแตละพจนเปนสวนกลบของพจนในลำาดบเลขคณต

ถา a1 , a2 , a3 , …, an , … เปนลำาดบเลขคณต แลว , , , …, , …

เปนลำาดบฮารมอนก โดยท ai 0, i = 1, 2, 3, …

ตวอยาง , , , …, , … เปนลำาดบฮารมอนกหรอไม ถาเปน จงหาพจนท 15

วธทำา เนองจาก 3, 5, 7, ..., 2n+1, … เปนลำาดบเลขคณต

ดงนน , , , ..., , … เปนลำาดบฮารมอนก

และเนองจาก an = 2n+1a15 = 2(15) + 1 = 31


1a11a2

1a31an



พจนท 15 ในลำาดบเลขคณตเทากบ 31ดงนน พจนท 15 ในลำาดบฮารมอนกคอ

พจนกลางของลำาดบตางๆ1. ถา a, A, b เปน 3 พจนเรยงกนในลำาดบเลขคณต

แลว

พจนกลาง A =

2. ถา a, G, b เปน 3 พจนเรยงกนในลำาดบเรขาคณตแลว

พจนกลาง G =

3. ถา a, H, b เปน 3 พจนเรยงกนในลำาดบฮารมอนกแลว

พจนกลาง H =

4. ถา A, G, H เปนพจนกลางของลำาดบเลขคณต เรขาคณต และฮารมอนกตามลำาดบระหวาง a และ b แลว AH = G2 และถา a, b 0 แลว A G H

8. ครใหนกเรยนแบงกลมทำากจกรรม กลมละ 3 ขอ แลวนำาคำาตอบของแตละกลมมาอภปรายรวมกน

5.3 ขนสรปครและนกเรยนรวมกนสรปสตรตางๆ ดงน1) พจนท n ของลำาดบเลขคณต คอ

an = a1+ (n1)d


เมอ a1 เปนพจนแรกของลำาดบเลขคณต และ d เปนผลตางรวม2) พจนท n ของลำาดบเรขาคณต คอ

an = a1rn1

เมอ a1 เปนพจนแรกของลำาดบเรขาคณต และ r เปนอตราสวนรวม

6. สอการเรยนร / แหลงการเรยนร6.1 สอการเรยนร

- หนงสอเรยนเสรมคณตศาสตรเพมเตม ม.6 ภาคเรยนท 2- หนงสอเรยนสาระการเรยนรเพมเตม คณตศาสตร เลม 2 กลมสาระการ

เรยนรคณตศาสตร ชนมธยมศกษาปท 6 โดยสถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย (สสวท.) กระทรวงศกษาธการ

6.2 แหลงการเรยนร1) หองสมดโรงเรยน 2) หองสมดกลมสาระการเรยนรคณตศาสตร

7. กจกรรมเสนอแนะ7.1 กจกรรมสงเสรมการคดเชงวเคราะห

ขนรวบรวมขอมลใหนกเรยนศกษาเพมเตมเกยวกบการนำาความรเรองลำาดบเลขคณตและ

ลำาดบเรขาคณตมาประยกตใชในการแกโจทยปญหาชนดตางๆ ทำานองเดยวกบโจทยในกจกรรม

ขนวเคราะหใหนกเรยนสงเกตและวเคราะหขนตอนในการนำาลำาดบเลขคณตและลำาดบ

เรขาคณตมาชวยในการหาคำาตอบขนสรปใหนกเรยนเขยนโจทยและแสดงวธทำาคนละ 2 ขอ สรปเปนรายงานสงครขนประยกตใชครเลอกโจทยทนาสนใจนำามาอภปรายรวมกนในชนเรยน

7.2 กจกรรมบรณาการ


ครสามารถบรณาการการเรยนกบกลมสาระการงานอาชพและเทคโนโลย โดยใหนกเรยนแบงกลมรวบรวมขอมลของลำาดบอนๆ ทไมใชลำาดบเลขคณตหรอลำาดบเรขาคณต กลมละ 3 ชนด โดยคนควาผานทางเวบไซตทใชคนหาขอมลตางๆ เชน google yahoo โดยจดทำาเปนรายงานสงครพรอมทงระบทมาของขอมล (ครควรแนะนำานกเรยนวา ยงมลำาดบชนดอนๆ อกมากมาย นอกจากลำาดบเลขคณตหรอลำาดบเรขาคณต)

ภาระงาน รายงานเรองลำาดบชนดตางๆ“ ”ผลการเรยนร ใชกระบวนการคนหาขอมลทางอนเทอรเนตอธบายลำาดบชนดตางๆผลงานทตองการ รายงานเรองลำาดบชนดตางๆขนตอนการทำางาน 1. นกเรยนศกษาหลกการคนหาขอมลทางอนเทอรเนตเพอใหไดรายละเอยดมากทสด

2. รวบรวมขอมลเกยวกบลำาดบชนดตางๆ โดยเลอกมา 3 ชนด

3. เขยนอธบายลำาดบทง 3 ชนด พรอมทงยกตวอยางประกอบโดยละเอยด

4. จดทำาเปนรายงานสงครเกณฑการประเมน 1. ความถกตองของเนอหารายงาน

2. ความนาสนใจในการนำาเสนอบนทกผลหลงการจดการเรยนร

ผลการจดการเรยนรตามตวชวดจำานวนนกเรยนทงหมด...........คน- ผานเกณฑการประเมนระดบด ....... คน คดเปนรอย

ละ..................- ผานเกณฑการประเมนระดบปานกลาง ....... คน คดเปนรอย

ละ..................- ไมผานเกณฑการประเมนระดบปรบปรง ....... คน คดเปนรอย

ละ..................


ผลการประเมนพฤตกรรมระหวางเรยน..............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ปญหาและอปสรรคระหวางการจดกจกรรมการเรยนการสอน....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................การปรบปรงแกไข....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................ขอคดเหนและขอเสนอแนะเพมเตม....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................ลงชอ...........................................ผ


สอน (นางรดารตน อทโธ)

ครคศ.1 ............./............../

..............

ความคดเหนของฝายวชาการ/หวหนากลมสาระการเรยนร/หวหนาระดบ..............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

ลงชอ...........................................ผตรวจสอบ (..................................................)

ตำาแหนง....................................................

............./............../..............

ความคดเหนของผอำานวยการโรงเรยน..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................


..........................................................................................

..........................................................................................

..........................................................................................

............................................................................

..........................................................................................

..........................................................................................

..........................................................................................

............................................................................

ลงชอ...........................................ผตรวจสอบ (นายประสทธ สถาพรจตรวทย)

ผอำานวยการโรงเรยนราชประชานเคราะห ๓๕ ............./............../...........

...

แผนการจดการเรยนรท 1/2 เรอง ลำาดบอนนต (ตอ)



หาลมตของลำาดบอนนตโดยอาศยทฤษฎบทเกยวกบลมตได1.2 จดประสงคการเรยนร

หาลมตของลำาดบอนนตโดยอาศยทฤษฎบทเกยวกบลมตได



ลมตของลำาดบ2.2 ทกษะ / กระบวนการ

1) ทกษะการทำางานกลม2) ทกษะการสอสารทางคณตศาสตร3) ทกษะการแกปญหา



1) ผลงานจากการทำากจกรรม2) ผลงานจากการทำากจกรรมกลม

3.2 กระบวนการขนตอนการปฏบตงาน1) จดกลม กลมละ 5-6 คน 2) เลอกหวหนากลม3) หวหนากลมแบงงาน4) รวมกนทำากจกรรมทกำาหนด5) นำาเสนอผลงานหนาชนเรยน6) ครมอบหมายใหทำากจกรรม


3.4 ความรความเขาใจนกเรยนรวธหาลมตของลำาดบอนนต






ครใหนกเรยนพจารณากราฟของลำาดบ an = , an = 5 และ an

= 1 ในหนงสอเรยนหวขอท 1.1.5 แลวรวมกนอภปรายลกษณะกราฟ

ของแตละลำาดบ5.2 ขนสอน

กจกรรมการเรยนการสอน ฝกการคดแบบ1. จากกราฟ ครใหนกเรยนสงเกตวา เมอ n มคามากขน

โดยไมมทสนสด และพจนท n มคาเขาใกลหรอเทากบจำานวนจรง L เพยงจำานวนเดยวเทานน เรยก L วาลมตของลำาดบหรอกลาววา ลำาดบนนมลมตเทากบ L เขยนแทนดวย lim an = L

n

จากกราฟในขนนำา ครใหนกเรยนบอกลมตของลำาดบ จะไดวา

lim = 0

lim 5 = 5

lim = 1(ครกลาวยำาวาเราใชสญลกษณ n แทนคา n เขาสคาอนนต)

2. ครอธบายวา ลำาดบอนนตทมลมตเรยกวา ลำาดบลเขา (convergent sequence) โดยเขยนบทนยามตอไปน


n

n

n


บนกระดาน


บทนยาม ถา a1 , a2 , a3 , …, an , … เปนลำาดบอนนต

เรยกลำาดบนวา ลำาดบลเขา (convergent sequence)

ถา an ลเขาสจำานวนจรงจำานวนหนง เมอ n มคามากขน (n )

เขยนแทนดวย lim an = L เมอ L แทนจำานวนจรงใดๆ

3. ครใหนกเรยนพจารณากราฟของลำาดบ an = 2n + 1

จากกราฟ จะเหนวาเมอ n มคามากขนโดยไมมทสนสด พจนท n ของลำาดบมคามากขนไมเขาใกลจำานวนจรงใดจำานวนหนง ลำาดบนจงไมมลมตและไมเปนลำาดบลเขา เรยกลำาดบอนนตนวา ลำาดบลออก (divergent sequence)

ครเขยนบทนยามตอไปนบนกระดาน

บทนยาม ถา a1 , a2 , a3 , …, an , … เปนลำาดบ

ทกษะการคดวเคราะห

n


อนนตเรยกลำาดบนวา ลำาดบลออก (divergent

sequence)ถา an ไมลเขาสจำานวนจรงใด หรอมคามากขนหรอ

นอยลงไมมขอบเขต(1) ถา an ไมลเขาสจำานวนจรงใด เมอ n มคามาก

ขนแลว ลำาดบอนนตนไมมลมต

(2) ถา an มคามากขนไมมขอบเขต เมอ n เขยนแทนดวย lim an = +

(3) ถา an มคานอยลงไมมขอบเขต เมอ n เขยนแทนดวย lim an =

4. จากบทนยาม ครใหขอสงเกตเพมเตมในประเดนตอไปน1. ลำาดบลเขาคอลำาดบทมลมต2. ลำาดบลออกคอลำาดบทไมมลมต แบงออกเปน 3 ประเภท ดงน


(1) ลำาดบลออกซงม an มคามากขนเรอยๆ เมอ n มคามากขนโดยไมมทสนสด เชน 1, 3, 9, 27, 3 n1, …

(2) ลำาดบลออกซงม an มคาลดลงเรอยๆ เมอ n มคามากขนโดยไมมทสนสด เชน 1, 3, 5, …, (2n1), …

(3) ลำาดบลออกซงมลกษณะแตกตางจากขอ (1) และ

n

n


(2) เรยกวา ลำาดบแกวงกวด (oscillating sequence) เชน an = (1)n1 หรอ an = n(1)n

(นกเรยนดรปกราฟของลำาดบแกวงกวด an = (1)n1 ไดจากในหนงสอเรยน)

5. ครใหแนวคดวาการทเราจะทราบวาลำาดบอนนตแตละลำาดบมลมตหรอไมมลมตจำาเปนตองหาคาลมตของลำาดบแตละลำาดบกอนทกครง เราสามารถหาคาลมตของลำาดบไดรวดเรวและถกตอง โดยอาศยทฤษฎบทเกยวกบลมต โดยครใหนกเรยนศกษาทฤษฎบทเกยวกบลมตตามรายละเอยดในหนงสอเรยน

6. ครใหนกเรยนศกษาตวอยางท 1 และตวอยางท 2 ในหนงสอเรยน โดยอธบายหลกในการหาลมตกรณท n ดงนขนท 1 นำาตวแปรทมกำาลงสงสดทมอยในพจนท n หารทงตวเศษและตวสวนขนท 2 แยกตวเศษและตวสวนเปนพจนยอยๆ แตละพจนขนท 3 ใชทฤษฎบทตางๆ เกยวกบลมต ในการหาคาลมตโดยยำาในประเดนทวา ในการหาลมตของลำาดบโดยอาศยทฤษฎบทเกยวกบลมตจะตองเขยนพจนท n ของลำาดบใหอยในรปทจะใชทฤษฎบทเกยวกบลมตได เพราะวาบางลำาดบทมลมต ถาไมเปลยนรปพจนท n กอน จะทำาใหหาลมตไมได เชน

an =

เปลยนรปพจนท n โดยหารทงตวเศษและตวสวนของพจนท n ดวย n2



an = =

lim an = lim

=

กจกรรมการเรยนการสอน ฝกการคดแบบ= =

สำาหรบลำาดบทไมมลมต ถงแมจะเปลยนรปพจนท n ของลำาดบใหอยในรปซงหาลมตแตละพจนยอยได กไมสามารถหาลมตของลำาดบนนได เชน

an =

an = =

ซงจะหาลมตโดยอาศยทฤษฎบทเกยวกบลมตไมได เพราะลมตของตวสวนเปนศนยขอสงเกต ในการหาลมตของลำาดบ an สรปไดดงน

1. lim an = + ถา a 12. lim an = 1 ถา a = 1

ทกษะการคดประยกตใช

n n

n

n


3. lim an = 0 ถา 1 a 14. lim an ไมมลมต ถา a 1

7. ครนำาเสนอตวอยางตอไปนเพมเตมจากในหนงสอเรยน

1) กำาหนดให an = และ bn = จงหาล

มตของ an, bn, anbn และ

วธทำา lim an = lim

= lim

= = 2

lim bn = lim

= lim

=

=

กจกรรมการเรยนการสอน ฝกการคดแบบlim an bn = lim an lim bn

= (2) = 1

n

n

n n

n

n

n

n

n n n


lim =

=

= 42) จงหาลมตของลำาดบซงมพจนท n เทากบ

วธทำา an =

=

an =

lim an =

=

= = 3

3) จงหาลมตของลำาดบซงมพจนท n เทากบ

วธทำา an =

n

n


=

=


=

an =

lim an =

=

=

8. ครใหนกเรยนแบงกลมทำากจกรรม กลมละ 3 ขอ โดยวธจบฉลาก ภายในเวลาทกำาหนด แลวนำาคำาตอบมาอภปรายรวมกน

5.3 ขนสรปครและนกเรยนรวมกนสรปตามประเดนตอไปน1) ลำาดบอนนตทมลมต เรยกวา ลำาดบลเขา

ลำาดบอนนตทไมมลมต เรยกวา ลำาดบลออก

n


2) การพจารณาวาลำาดบใดลเขา ลำาดบใดลออกทำาไดโดย- พจารณาจากกราฟของลำาดบ- ใชทฤษฎบทเกยวกบลมต






ขนรวบรวมขอมลใหนกเรยนแบงกลมศกษาวธการพสจนทฤษฎบทเกยวกบลมตของลำาดบขนวเคราะหใหนกเรยนวเคราะหทมาและขนตอนในการพสจน และแสดงการพสจนโดย

ละเอยดขนสรปใหนกเรยนเขยนทฤษฎบทเกยวกบลมตและวธการพสจน จดทำาเปนรายงาน

สงครขนประยกตใชครและนกเรยนรวมกนอภปรายวธการพสจนทฤษฎบทเกยวกบลมตแตละ

ขอ7.2 กจกรรมบรณาการ

-


บนทกผลหลงการจดการเรยนรผลการจดการเรยนรตามตวชวดจำานวนนกเรยนทงหมด...........คน- ผานเกณฑการประเมนระดบด ....... คน คดเปนรอย



ละ..................

ผลการประเมนพฤตกรรมระหวางเรยน..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................


..........................................................................................

..........................................................................................

..........................................................................................

............................................................................

..........................................................................................

..........................................................................................

..........................................................................................

............................................................................ปญหาและอปสรรคระหวางการจดกจกรรมการเรยนการสอน....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................การปรบปรงแกไข....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................


...................................................................................ลงชอ...........................................ผ


ครคศ.1 ............./............../

..............



ลงชอ...........................................ผตรวจสอบ (..................................................)

ตำาแหนง....................................................

............./............../..............

ความคดเหนของผอำานวยการโรงเรยน........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................


..........................................................................................

............................................................................



...

แผนการจดการเรยนรท 1/3 เรอง อนกรมอนนต



หาผลบวกของอนกรมอนนตไดและนำาความรเรองลำาดบและอนกรมไปใชแกปญหาได

1.2 จดประสงคการเรยนรหาผลบวกของอนกรมอนนตไดและนำาความรเรองลำาดบและอนกรมไปใชแก

ปญหาได


อนกรมอนนต2.2 ทกษะ / กระบวนการ



2.3 ทกษะการคด1) ทกษะการคดแปลความ2) ทกษะการคดประยกตใช 3) ทกษะการคดวเคราะห


1) ผลงานจากการทำากจกรรม2) ผลงานจากการทำากจกรรมกลม3) ผลงานจากการทำากจกรรมบรณาการ โจทยภาษาองกฤษเกยวกบ“

การหาผลบวกของอนกรมอนนต”3.2 กระบวนการขนตอนการปฏบตงาน

1) จดกลม กลมละ 5-6 คน 2) เลอกหวหนากลม3) หวหนากลมแบงงาน4) รวมกนทำากจกรรมทกำาหนด5) นำาเสนอผลงานหนาชนเรยน6) ครมอบหมายใหทำากจกรรม7) ครมอบหมายใหทำากจกรรมบรณาการ


3.4 ความรความเขาใจ1) นกเรยนรวธหาผลบวกของอนกรมอนนต2) นกเรยนรวธการตรวจสอบการลเขาหรอลออกของอนกรมอนนต


1) ไดระดบ “พอใช” ขนไป


2) ไดระดบ “ด” ขนไป3)ทำาไดถกตอง 80% ขนไป



ครทบทวนการหาลมตของลำาดบอนนตและใหแนวคดในการหาคาลมตโดยวธลด ดงน

ขนท 1 ทำาตวเศษและตวสวนในพจนท n ใหมตวแปรกำาลงสงสดเทากนขนท 2 หาคาลมตโดยนำาสมประสทธของพจนทมกำาลงสงสดของตวเศษ

หารดวยสมประสทธของพจนทมกำาลงสงสดของตวสวน

จะได คาลมต =

เชน 1) an =

จะไดวา พจนของตวเศษทมกำาลงสงสดคอ 3n2

พจนของตวสวนทมกำาลงสงสดคอ 4n2

ดงนน lim an = lim =

2) an =

เนองจาก =

จะไดวา พจนของตวเศษทมกำาลงสงสดคอ 0n2


สมประสทธของพจนทมกำาลงสงสดของตวเศษ

n n


ดงนน lim = lim = = 0

3) an =


จะไดวา พจนของตวเศษทมกำาลงสงสดคอ n2


ดงนน lim = lim = หาคาไมได

5.2 ขนสอน


1. ครนำาเสนอตวอยางการหาลมตของลำาดบโดยวธลดเพมเตมกรณทลำาดบ an อยในรปกรณฑทสอง

1) an =


=

(กำาลงสงสดของตวเศษและตวสวนคอ กำาลง 1)

ดงนน lim = lim

= = 0

ทกษะการคดประยกตใช


n n

n n

n n


2) an =

เนองจาก = กำาลงสงสดของตวเศษคอกำาลงของ หรอกำาลง 1

และสมประสทธของพจนกำาลงสงสดของตวเศษคอ หรอ

ดงนน lim = =

2. ครอธบายเรองอนกรม โดยเขยนบทนยามตอไปนบนกระดาน

บทนยาม 1. เมอ a1, a2, a3, …, an เปนลำาดบจำากด เรยกผลบวกของทกพจนของลำาดบในรป a1+ a2+ a3+ … + an วา อนกรมจำากด

2. เมอ a1, a2, a3, …, an, … เปนลำาดบอนนต เรยกผลบวกของทกพจนของลำาดบในรป a1+ a2+ a3+ … + an+ … วา อนกรมอนนต

เชน 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + 16 เปนอนกรมจำากดทไดจากลำาดบจำากด 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 162 + 4 + 6 + ... + 2n + … เปนอนกรมอนนตทไดจากลำาดบอนนต2, 4, 6, ..., 2n, …

3. ครอธบายสตรทใชหาผลบวก n พจนแรกของอนกรม ดงน

1) ผลบวก n พจนแรกของอนกรมเลขคณต

Sn = [2a1+(n1)d]

ทกษะการคดแปลความn


หรอ Sn = [a1+ an]

2) ผลบวก n พจนแรกของอนกรมเรขาคณต

Sn = , r 1 เหมาะสำาหรบ |r| 1

หรอ Sn = , r 1 เหมาะสำาหรบ

|r| 1(ทมาของสตรขางตนใหนกเรยนศกษาดวยตนเองในหนงสอเรยนหวขอท 1.2.1)


จากนน ใหนกเรยนอานบทนยามในหนงสอเรยนตอไปนบทนยาม กำาหนด a1+ a2+ a3+ … + an+ … เปนอนกรมอนนต

ให S1 = a1S2 = a1+ a2

Sn = a1+ a2+ a3+ … + anเรยก Sn วา ผลบวกยอย n พจนแรกของอนกรม เมอ n เปนจำานวนเตมบวก เรยกลำาดบอนนต S1, S2, S3, ..., Sn, ... วา ลำาดบของผลบวกยอยของอนกรม(a sequence of partial sums)

4. ครอธบายตวอยางท 1 และตวอยางท 2 ในหนงสอเรยน โดยใหนกเรยนตอบคำาถามตอไปนกอนแสดงวธทำาตวอยางท 1 1) อนกรม 4+7 +10+…+(3n+1)+… เปนอนกรมชนดใด



(อนกรมเลขคณต เนองจาก 4+7+10+…+(3n+1)+… เปนอนกรมทไดจากลำาดบเลขคณต 4, 7, 10, …, (3n+1), …)

2) ใหนกเรยนบอกคา a1 และ d(a1 = 4d = 74 = 107 = … = 3)

3) ใชสตรใดมาชวยในการคำานวณหาลำาดบผลบวกยอยของอนกรม

(ใชสตร Sn = [2a1+(n1)d] )

ตวอยางท 2 1) อนกรม + + + ... + + ... เปนอนกรมชนดใด

(เปนอนกรมเรขาคณต เนองจาก + +

+ ... + + ... เปนอนกรมทไดจากลำาดบ

เรขาคณต , , , ..., , ...)2) ใหนกเรยนบอกคา a1 และ r

(a1 =

r = = = … = )3) ใชสตรใดมาชวยในการหาลำาดบผลบวกยอย

ของอนกรม

(ใชสตร Sn =

เนองจาก |r| = = นอยกวา 1)


5. ใหนกเรยนอานบทนยามในหนงสอเรยนตอไปน ทกษะการคด


บทนยาม กำาหนดอนกรมอนนต a1+ a2+ a3+ … + an+ ... ให S1, S2, S3, …, Sn, … เปนลำาดบผลบวกยอยของอนกรมน ถาลำาดบ Sn เปนลำาดบลเขา และ lim Sn = S เมอ S เปนจำานวนจรง แลวอนกรม a1+ a2+ a3+…+ an+ ... เปนอนกรมลเขา (convergent series) เรยก S วา ผลบวกของอนกรม ถาลำาดบ Sn เปนลำาดบลออก แลวอนกรม a1+ a2+ a3+ … + an+ ... เปนอนกรมลออก (divergent series)

จากบทนยาม ครอธบายเสรมวาอนกรมจำากดทกอนกรมหาผลบวกไดเสมอ แตสำาหรบอนกรมอนนตจะมทงอนกรมทหาผลบวกไดและอนกรมทหาผลบวกไมได

อนกรมอนนตทหาผลบวกได เรยกวา อนกรมลเขาอนกรมอนนตทหาผลบวกไมได เรยกวา อนกรมล

ออกครเขยนบทนยามตอไปนเพมเตมบนกระดาน

บทนยาม ผลบวกของอนกรมอนนตใด คอลมตของผลบวกยอยตวท n เมอ n เขาสคาอนนต ใชสญลกษณ lim Sn = S

บทนยาม ให a1+ a2+ a3+ … + an+ ... เปนอนกรมอนนตใดๆ

1) อนกรม a1+ a2+ a3+ … + an+ ... เรยกวา อนกรมลเขา

กตอเมอ lim Sn หาคาได

2) อนกรม a1+ a2+ a3+ … + an+ ... เรยกวา อนกรมลออก



n

n

n


กตอเมอ lim Sn หาคาไมได

6. ครยกตวอยางตอไปน

ตวอยาง จงพจารณาวาอนกรม + + + ... + + ... เปนอนกรมลเขาหรออนกรมลออก ถาลเขา จงหาผลบวกของอนกรม


n


*จากตวอยาง ครใหหลกในการตรวจสอบวา อนกรมลเขาหรอลออก ดงน

ขนท 1 หา Snขนท 2 หา lim Snขนท 3 ถา lim Sn หาคาได แสดงวา

อนกรมอนนตลเขาถา lim Sn หาคาไมได แสดงวา อนกรม

อนนตลออก

แสดงวธทำาไดดงน วธทำา ขนท 1 อนกรมทกำาหนดใหไดจากลำาดบ

เรขาคณต , , , ... , , ... ม a1

= และ r = หาผลบวกยอย n พจนแรกของอนกรมไดดงน

Sn =

=

=

ขนท 2 หา lim Sn

lim Sn = lim

= lim

=

n

n

n

n

n

n

n


ขนท 3 เนองจาก lim Sn หาคาได

ดงนน อนกรมอนนตทกำาหนดใหเปนอนกรมลเขา

และมผลบวกเทากบ

*ครใหคำาแนะนำาเพมเตมวา เรามวธตรวจสอบวาอนกรมเรขาคณตลเขาหรอลออก โดยวธลดจากทฤษฎบทตอไปน

กจกรรมการเรยนการสอน ฝกการคดแบบทฤษฎบท ใหอนกรมเรขาคณตมพจนแรกเปน a1 และ r

เปนอตราสวนรวม

ถา |r| 1 แลวอนกรมนเปนอนกรมลเขา และม

เปนผลบวกของอนกรม

ถา |r| 1 แลวอนกรมนเปนอนกรมลออก

จากตวอยางขางตน |r| = 1 ดงนน

อนกรมลเขา

ผลบวกของอนกรม = = =

7. ครยกตวอยางโจทยตอไปน ใหนกเรยนชวยกนหาคำาตอบ1) ในการตรวจเสากองหนงซงวางเรยงกนเปนชนๆ พบวา

เสาในแตละชนจะมมากกวาเสาในชนบนทอยตดกนเปนจำานวน 3 ตนเสมอ ถาชนบนสดมเสา 61 ตน และชนลางสดซงอยตดกบพนดนมเสา 379 ตน จงหาวาเสากองนวางซอนกนกชน และมเสาทงหมดกตน

วธทำา จำานวนเสาเรยงกนจากชนบนสดคอ 61, 64, 67, ..., 379

อนกรมคอ 61+64+67+...+379 เปนอนกรม


n


เลขคณตหาจำานวนชนจากสตร an = a1+(n1)dan = 379, a1 = 61, d = 3

379 = 61+(n1)3379 = 61+3n33n = 321n = 107

ดงนน เสากองนม 107 ชนหาจำานวนเสาทงหมด

จากสตร Sn =

=

= = 23,540

ดงนน เสากองนมทงหมด 23,540 ตน

กจกรรมการเรยนการสอน ฝกการคดแบบ2) เดกคนหนงเรยงลกหนเปนแถวๆ เพอประกอบเปนรป

สามเหลยม โดยจดลกหนในแถวบนใหนอยกวาลกหนในแถวลางทอยตดกนหนงลก ถาแถวบนสดมลกหนอยเพยงหนงลก ซงอยในตำาแหนงของจดยอดของรปสามเหลยมดวย ถารปสามเหลยมนประกอบดวยลกหนทงหมด 190 ลก จงหาวาฐานของรปสามเหลยมมลกหนกลก

วธทำา ลกหนทเรยงจากแถวบนสดเขยนเปนอนกรมไดดงน1+2+3+... ซงเปนอนกรมเลขคณต หา n จากสตร Sn =


Sn = 190, a1 = 1, d = 1190 = 380 = n(2+n1)380 = n(n+1)

19 20 = n(n+1)19(19+1) = n(n+1)

ดงนน n = 19แถวลางสดคอแถวท 19หาจำานวนลกหนในแถวท 19จากสตร an = a1+(n1)d

= 1+(191)(1)= 1+18= 19

ดงนน ฐานของรปสามเหลยมมลกหน 19 ลก3) ลกตมนาฬกาเรอนหนงแกวงเปนเสนโคง ครงแรก

แกวงไดทาง 10 เซนตเมตร ครงตอไปแกวงไดระยะทาง

ของระยะทางครงกอนเสมอ จงหาระยะทางทลกตม

ของนาฬกาเรอนนแกวงตงแตเรมแกวงจนหยดวธทำา ครงแรกลกตมแกวงไดทาง 10 เซนตเมตร

ครงทสองลกตมแกวงไดทาง 10 = 9 เซนตเมตร



ครงทสามลกตมแกวงไดทาง 9 = 8.1 เซนตเมตร

อนกรมคอ 10+9+8.1+... เปนอนกรมเรขาคณต

a1 = 10, r = = 0.9

จากสตร S =

=

= = 100

ดงนน ลกตมแกวงไดทางทงสน 100 เซนตเมตร8. ครใหนกเรยนแบงกลมทำากจกรรมท 1.2 ก กลมละ 3 ขอ

แลวรวมกนอภปรายคำาตอบทไดของแตละกลม

5.3 ขนสรปครและนกเรยนรวมกนสรปตามประเดนตอไปน1) อนกรมไดจากการบวกพจนทกพจนของลำาดบ

ผลบวก n พจนแรกของอนกรมเลขคณต คอ

Sn = เมอทราบพจนแรกและผลตาง

รวม

หรอ Sn = เมอทราบพจนแรกและพจนท n

ผลบวก n พจนแรกของอนกรมเรขาคณต คอ

Sn = , r 1 เหมาะสำาหรบ |r| 1

หรอ Sn = , r 1 เหมาะสำาหรบ |r| 1


2) อนกรมอนนตใดๆ เรยกวา อนกรมลเขา กตอเมอ lim Sn หาคาได

อนกรมอนนตใดๆ เรยกวา อนกรมลออก กตอเมอ lim Sn หาคาไมได

3) การหาผลบวกของอนกรมอนนตกคอการหาคา S โดยท S = lim Sn






ขนรวบรวมขอมลใหนกเรยนแบงกลมรวบรวมโจทยเกยวกบการหาผลบวกอนนตของอนกรม

กลมละ 3 ขอขนวเคราะหใหนกเรยนชวยกนวเคราะหโจทย สตรทใชหาผลบวกอนนต แลวแสดงวธหา

ผลบวกอยางเปนขนตอนขนสรปใหนกเรยนเขยนโจทยและวธหาคำาตอบ จดทำาเปนรายงานสงครขนประยกตใชครเลอกโจทยทนาสนใจนำามาอภปรายรวมกนในชนเรยน

n

n

n


7.2 กจกรรมบรณาการครสามารถบรณาการการเรยนกบกลมสาระการเรยนรภาษาตางประเทศ

โดยกำาหนดภาระงานใหนกเรยนแบงกลมคนหาโจทยปญหาแบบตางๆ ทใชความรเกยวกบการหาผลบวกของอนกรมอนนตทำานองเดยวกบโจทยในกจกรรม โดยเปนโจทยภาษาองกฤษ จากแหลงความรตางๆ กลมละ 3 ขอ

ภาระงาน โจทยภาษาองกฤษเกยวกบการหาผลบวกของอนกรมอนนต“ ”ผลการเรยนร ใชกระบวนการแปลความหมายจากภาษาองกฤษเปนภาษาไทยอธบายวธการแกโจทยปญหา โดย ใชความรเรองผลบวกของอนกรมอนนตผลงานทตองการ โจทยภาษาองกฤษเกยวกบการหาผลบวกของอนกรมอนนตขนตอนการทำางาน 1. ศกษาวธการนำาความรเกยวกบการหาผลบวกของอนกรมอนนตมาใชแกโจทยปญหา

2. คนหาโจทยภาษาองกฤษเรองผลบวกของอนกรมอนนต จากแหลงความรตางๆ กลมละ 3 ขอ

3. แปลความหมายของโจทยภาษาองกฤษเปนภาษาไทย โดยใช Dictionary หรออาจขอคำา แนะนำาจากครสอนวชาภาษาองกฤษ

4. เขยนโจทยภาษาองกฤษและวธการแกปญหาพรอมคำาแปลเปนภาษาไทย

5. เขยนคำาศพทสำาคญไวในภาคผนวกทายรายงานเกณฑการประเมน 1. ความถกตองในการแปลความหมายและการแกโจทยปญหา

2. ความสะอาดเรยบรอยของชนงาน





ละ..................

ผลการประเมนพฤตกรรมระหวางเรยน


..........................................................................................

..........................................................................................

..........................................................................................

............................................................................

..........................................................................................

..........................................................................................

..........................................................................................

............................................................................

..........................................................................................

..........................................................................................

..........................................................................................


...................................................................................การปรบปรงแกไข....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................


...................................................................................ลงชอ...........................................ผ



ครคศ.1 ............./............../

..............


ลงชอ...........................................ผตรวจสอบ (..................................................)

ตำาแหนง....................................................

............./............../..............

ความคดเหนของผอำานวยการโรงเรยน..............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................


..........................................................................................

............................................................................

..........................................................................................

..........................................................................................

..........................................................................................

............................................................................



...

แผนการจดการเรยนรท 1/4 เรอง สญลกษณแทนการบวก



เขยนอนกรมในรปสญลกษณแทนการบวกได1.2 จดประสงคการเรยนร

เขยนอนกรมในรปสญลกษณแทนการบวกได


สญลกษณแทนการบวก








3.4 ความรความเขาใจนกเรยนรวธการใชสญลกษณ ในการหาผลบวกของอนกรม



การสรปผลการประเมน


ตองผานเกณฑขนตำาทง 3 รายการ


ครทบทวนการหาผลบวกของอนกรมอนนต โดยกำาหนดโจทยตอไปนใหนกเรยนหาคำาตอบ

1) จงหาผลบวกของ 2 + + + + ...

วธทำา 2 + + + + ...

=2 + + + + ...

=2 +=2 + +

=2 + +

=2 + 1 + = 3

ดงนน ผลบวกของอนกรมนคอ 3

2) จงหาผลบวกของ + + + ...

วธทำา + + + ...

= + + + ...

=


=

=

=2 1 = 1ดงนน ผลบวกของอนกรมนคอ 1

5.2 ขนสอน


1. ครอธบายวา ในการเขยนอนกรมบางอนกรมคอนขางยดยาว ดงนน เพอความสะดวกในการเขยนอนกรม จะใชสญลกษณ (เรยกวา ซกมา) แทนการบวกของพจนตางๆ ดงน

= a1+ a2+ a3+ … + an

= a1+ a2+ a3+ … + an+ …

2. จากสญลกษณ หรอ ตวแปร i เรยกวา

ดชน ซงจะกำาหนดพจนแรกและพจนสดทายของอนกรม เชน

แทน 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6

แทน 12+ 22+ 32+ 42+ 52

แทน 31+ 32+ 33+ ... + 3n+ ...



กจกรรมการเรยนการสอน ฝกการคดแบบครใหขอสงเกตวา ตวอกษรทเปนดชนจะใชอกษรตวใดกได ไมจำาเปนตองใชอกษร i อยางเดยว

เชน อาจเขยนเปน หรอ

นอกจากน ดชนกไมจำาเปนตองเรมจาก 1 เสมอไป

เชน = 102+ 112+ 122+ 132+ 142

= (40+5) + (41+5) + (42+5)

3. ครใหนกเรยนศกษาสมบตของ ในหนงสอเรยน และสรปสตรเกยวกบผลบวก n พจนแรกของอนกรมทมกจะใชเสมอ ดงน

= (n+1)

= (n+1)(2n+1)

= =

4. ครยกตวอยางตอไปนเพมเตมจากในหนงสอเรยน

1) จงหาคาของ (4i3 6i2+ 2i 5)

วธทำา (4i3 6i2+ 2i 5) = 4 +




= 4n3 6n2+ 2n 5n= =

กจกรรมการเรยนการสอน ฝกการคดแบบ= n2(n+1)(n+1) n(n+1)

(2n+1) + n(n+1) 5n= (n+1)[n2(n+1) n(2n+1)

+ n] 5n= (n+1)(n3+ n2 2n2 n + n)

5n= (n+1)(n3 n2) 5n= n2(n+1)(n 1) 5n= n2(n2 1) 5n= n4 n2 5n= n(n3 n 5)

2) จงหาผลบวกของอนกรมตอไปนถง n พจน 13 + 25 + 37 + 49 + ...

วธทำา 13 + 25 + 37 + 49 + ...พจารณาลำาดบ 1, 2, 3, 4, ... เปนลำาดบเลขคณต

มพจนท n ของลำาดบ an = 1 + (n 1)1 = n พจารณาลำาดบ 3, 5, 7, 9, ... เปนลำาดบเลขคณต

มพจนท n ของลำาดบ an = 3 + (n 1)2 = 2n + 1ดงนน พจนท n ของลำาดบ 13 + 25 + 37 +

49 + ... คอ


an = n(2n + 1)an = 2n2+ n

an = 2n2+ n

= 2 (n + 1)(2n + 1) + (n + 1)=

=

=

=

= (n + 1)(4n + 5)

ดงนน ผลบวก n พจนของอนกรม 13 + 25 + 37 + 49 + ... เทากบ (n + 1)(4n + 5)


5. ครใหนกเรยนแบงกลมทำากจกรรม กลมละ 3 ขอ ภายในเวลาทกำาหนด สำาหรบโจทยขอทยาก ครควรใหคำาแนะนำาเบองตนในการแกปญหา (ศกษาไดจากสวนเฉลย) เมอทกกลมทำาเสรจแลว นำาคำาตอบมาอภปรายรวมกน

5.3 ขนสรปครและนกเรยนรวมกนทบทวนสมบตของ และการใช หาผลบวก


- หนงสอเรยนเสรมคณตศาสตรเพมเตม ม.6 ภาคเรยนท 2


- หนงสอเรยนสาระการเรยนรเพมเตม คณตศาสตร เลม 2 กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร ชนมธยมศกษาปท 6 โดยสถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย (สสวท.) กระทรวงศกษาธการ


7. กจกรรมเสนอแนะ-




ละ..................



...................................................................................การปรบปรงแกไข....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................


...................................................................................ลงชอ...........................................ผ



ครคศ.1 ............./............../

..............


ลงชอ...........................................ผตรวจสอบ (..................................................)

ตำาแหนง....................................................

............./............../..............

ความคดเหนของผอำานวยการโรงเรยน..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................


..........................................................................................

..........................................................................................

..........................................................................................

............................................................................

..........................................................................................

..........................................................................................

..........................................................................................

............................................................................



...

หนวยการเรยนรท 2เรอง แคลคลสเบองตน

รายวชาทนำามาบรณาการภาษาองกฤษ



3. สาระการเรยนรประจำาหนวย


3.1 ลมตของฟงกชน 3.2 ความตอเนองของฟงกชน3.3 ความชนของเสนโคง3.4 อนพนธของฟงกชน3.5 การหาอนพนธของฟงกชนพชคณต3.6 อนพนธของฟงกชนประกอบ3.7 อนพนธอนดบสง3.8 การประยกตของอนพนธ3.9 ปฏยานพนธ3.10 ปรพนธไมจำากดเขต3.11 ปรพนธจำากดเขต3.12 พนททปดลอมดวยเสนโคง







บทบาทคร บทบาทนกเรยน


5.1 ผลงาน / ชนงาน ไดแก






















- แนะนำาวธการจดกลมและการทำา






กจกรรมกลม - ใหนกเรยนจดกลมตามทครมอบหมายและชวยกนทำากจกรรมในชนเรยน




แผนการจดการเรยนรท 2/1 เรอง ลมตของฟงกชน



หาลมตของฟงกชนทกำาหนดใหได1.2 จดประสงคการเรยนร

หาลมตของฟงกชนทกำาหนดใหได


ลมตของฟงกชน2.2 ทกษะ / กระบวนการ








3.4 ความรความเขาใจนกเรยนรวธหาลมตของฟงกชน





ครกำาหนดฟงกชน f(x) = 2x 1 ใหนกเรยนเขยนกราฟจะไดดงรป


จากกราฟของฟงกชน ใหนกเรยนสงเกตวา ขณะท x เขาใกล 2 (นนคอ เมอ x 2 และเมอ x 2) คาของ f(x) จะเขาใกล 3

กลาวไดวา ลมตของฟงกชน f(x) = 2x 1 เมอ x เขาใกล 2 มคาเทากบ 3

5.2 ขนสอน


y = 2x 1

(f(x) เขา

(ขณะท x เขา


1. จากขนนำา ครสรปเปนกรณทวไปดงนสำาหรบฟงกชน f ใดๆ ทมโดเมนและเรนจเปนสบเซต

ของเซตของจำานวนจรง ถาคาของ f(x) เขาใกลจำานวนจรง L เมอ x เขาใกล a เรยก L วา ลมตของ f ท a เขยนแทนดวย lim f(x) = L ถาไมมจำานวนจรง L ซง f(x) เขาใกล L เมอ x เขาใกล a แลว

f ไมมลมตท a จะเขยนวา lim f(x) หาคาไมได2. การหา lim f(x) เปนการพจารณาคาของ f(x) วาเขา

ใกลจำานวนจรงใดขณะท x เขาใกล

a หมายถงพจารณากรณท x a และ x a ครกลาวยำาวาเราจะไมพจารณาคาของ f(x) ท x = a ดงนน ฟงกชน f อาจจะนยามหรอไมนยามท x = a กได แตฟงกชน f จะตองนยามทแตละจดทใกล a

พจารณาฟงกชน f(x) = โดเมนของฟงกชนคอ R {5} กลาวคอ f(5) จะหาคาไมได แตเมอพจารณาคา f(x) คอ x เขาส 5 ไมวาจะทางดานซายหรอดานขวา f(x) จะมคาเขาใกล 10 แสดงวา f(x) นมคาลมต แตจะหาคา f(5) ไมได

3. ครอธบายวา เมอ x เขาใกลจำานวนจรง a ใดๆ ใหพจารณา 2 ทศทาง คอ1) x เขาใกล a โดยท x a เรยกวา x เขาใกล a ทาง



x a

x a

x a

f(x) =

x 5+x 5


ดานซาย เขยนแทนดวยสญลกษณ xa

2) x เขาใกล a โดยท x a เรยกวา x เขาใกล a ทางดานขวา เขยนแทนดวยสญลกษณ xa+

สำาหรบฟงกชน f ใดๆ ทมโดเมนและเรนจเปนสบเซตของเซตของจำานวนจรง

(1) ถาคาของ f(x) เขาใกลจำานวนจรง L1 เมอ x เขาใกล a ทางดานซาย (x a)

เรยก L1 วา ลมตซายของ f(x) เขยนแทน ดวย lim f(x) = L1


(2) ถาคาของ f(x) เขาใกลจำานวนจรง L2 เมอ x เขาใกล a ทางดานขวา (x a)

เรยก L2 วา ลมตขวาของ f(x) เขยนแทนดวย lim f(x) = L2

ถา L1 = L2 = L จะไดวา ฟงกชน f มลมตเทากบ L เมอ x เขาใกล a เขยนแทนดวย

lim f(x) = Lถา L1 L2 จะไดวา ฟงกชน f ไมมลมต เมอ x เขาใกล a

นนคอ lim f(x) หาคาไมได4. ครใหนกเรยนศกษาตวอยางท 1 และตวอยางท 2 ใน

หนงสอเรยน โดยใหขอสงเกตวา lim f(x) กบ lim f(x) ไมจำาเปนตองเทากน

ครกลาวยำากบนกเรยนวา ถา lim f(x) lim f(x) จะกลาววา f เปนฟงกชนทไมมลมตท a


x a

x a+

x a x

a

x a

x a+

x a

x a+


5. ครยกตวอยางตอไปนเพมเตมจากในหนงสอเรยน

1) จงหาคาของ lim f(x) เมอ f(x) =

วธทำา เขยนกราฟของฟงกชนไดดงน

จากกราฟ lim f(x) = 3lim f(x) = 2lim f(x) lim f(x)

ดงนน lim f(x) ไมมลมตท 2


2) กำาหนดให f(x) = จงหาคาของ lim f(x)

วธทำา จาก f(x) =

เมอ x 3 จะได lim f(x) = 3(3) + 2 = 11

x 2 x+1, x 22, x 2

x 2

x 2+ x

2+ x 2 x 2

x2+1 เมอ x 3x +2 เมอ x 3

x2+1 เมอ x 3x +2 เมอ

x 3+


เมอ x 3 จะได lim f(x) = 32+ 1 = 10

เนองจาก lim f(x) lim f(x)ดงนน lim f(x) หาคาไมได

3) กำาหนดให f(x) = จงหาคาของ lim f(x)


จะได f(x) =

หรอ f(x) =ดงนน lim f(x) = 1 และ lim f(x) = 1เนองจาก lim f(x) lim f(x) ดงนน lim f(x) หาคาไมได

6. ครใหนกเรยนทำากจกรรม ภายในเวลาทกำาหนด แลวรวมกนเฉลยคำาตอบ

7. ครแนะนำาวาการหาคาลมตของฟงกชนโดยการเขยนกราฟของฟงกชน บางครงอาจไมสะดวก เราสามารถใชทฤษฎบทเกยวกบลมตชวยในการหาคาของฟงกชนไดตามทฤษฎบทท 1, 2 และ 3 ในหนงสอเรยน

8. ครใหขอสงเกตจากทฤษฎบท 2 วา การหาลมตของฟงกชนพหนาม เมอ x เขาใกล a สามารถหาลมตไดโดยแทนคา x ในฟงกชนพหนามดวย a โดยใชตวอยางตอไปนประกอบการอธบาย



x 3

x 0

เมอ x

x 0

x 0+

x 0

x 0

x 0+

1 เมอ x 1 เมอ x 0

เมอ x

x 3

x 3+

x 3


1) จงหาคาของ lim (4x2+ 5x 3)วธทำา lim (4x2+ 5x 3) = lim 4x2+ lim

5x lim 3= 4 lim x2+ 5 lim x 3= 4(0)2+ 5(0) 3= 3

2) จงหาคาของ lim (x+3)(x2+ 4)วธทำา lim (x+3)(x2+ 4) = lim (x+3)

lim (x2+ 4)= (1+3) ((1)2+ 4)= (2)(5) = 10

9. ครอธบายการหาลมตของฟงกชนในกรณทตองการหาคาของ lim f(x) แตคาของ f(a) หาคาไมได เชน f(a) อยในรป , 0 , เราอาจใชการเปลยนรปของ

ฟงกชน เชน การแยกตวประกอบเพอกำาจดตวสวนทเปนศนย การคณและหารดวยคาสงยค (conjugate)ครใชตวอยางตอไปนประกอบการอธบายขางตน

1) lim

วธทำา จาก f(x) = จะได f(1) =

แยกตวประกอบเพอกำาจดตวสวนทเปนศนยดงน

จาก =

= = (x+1)(x2+1)


x 1

x a

x 1

x 1

x 1

x 1

x 0

x 0

x 0

x 0

x 0 x 0 x 0


ดงนน lim = lim (x+1)(x2+1)

= (1+1)(12+1)= 4

กจกรรมการเรยนการสอน ฝกการคด

แบบ

x 1 x 1


2) lim

วธทำา lim = lim

= lim

= lim

= lim

= lim

=

= = 2

3) lim


= lim

= lim

= lim

x 1

x 1 x 1

x 1

x 1

x 1

x 1

x 1

x 1

x 1

x 1

x 1 x 1


= lim

= 10. ครใหนกเรยนศกษาตวอยางท 1 ถงตวอยางท 5 ใน

หนงสอเรยนหวขอทฤษฎบทเกยวกบลมต11. ครใหนกเรยนแบงกลมทำากจกรรม กลมละ 3 ขอ โดยวธ

จบฉลาก เมอทกกลมทำาเสรจแลวนำาคำาตอบมาอภปรายรวมกน5.3 ขนสรป

ครและนกเรยนทบทวนลมตของฟงกชนในประเดนตอไปน1) การหา lim f(x)

x เขาใกล a โดยท x a เรยกวา x เขาใกล a ทางดานซาย เขยนแทนดวย x a

x เขาใกล a โดยท x a เรยกวา x เขาใกล a ทางดานขวา เขยนแทนดวย x a+

2) lim f(x) กบ lim f(x) ไมจำาเปนตองเทากน

ถา lim f(x) lim f(x) จะกลาววา f เปนฟงกชนทไมมลมตท a

3) ทบทวนทฤษฎบทเกยวกบลมต




6.2 แหลงการเรยนร

x 1

x a+

x a

x a

x a

x a+


1) หองสมดโรงเรยน 2) หองสมดกลมสาระการเรยนรคณตศาสตร





ละ..................

ผลการประเมนพฤตกรรมระหวางเรยน..............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................


..........................................................................................

............................................................................

..........................................................................................

..........................................................................................

..........................................................................................


...................................................................................การปรบปรงแกไข....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................


...................................................................................ลงชอ...........................................ผ


ครคศ.1 ............./............../

..............



ลงชอ...........................................ผตรวจสอบ (..................................................)

ตำาแหนง....................................................

............./............../..............

ความคดเหนของผอำานวยการโรงเรยน..............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................




...

แผนการจดการเรยนรท 2/2 เรอง ความตอเนองของฟงกชน



บอกไดวาฟงกชนทกำาหนดใหเปนฟงกชนตอเนองหรอไม1.2 จดประสงคการเรยนร

บอกไดวาฟงกชนทกำาหนดใหเปนฟงกชนตอเนองหรอไม


ความตอเนองของฟงกชน2.2 ทกษะ / กระบวนการ


2.3 ทกษะการคด


1) ทกษะการคดแปลความ2) ทกษะการคดวเคราะห 3) ทกษะการคดประยกตใช





3.4 ความรความเขาใจนกเรยนรวธตรวจสอบวาฟงกชนทกำาหนดใหเปนฟงกชนตอเนองหรอไม






ครอธบายวาฟงกชน f จะเรยกวามความตอเนองท x = c กตอเมอจด (c, f(c)) เชอมเสนกราฟของ f ซงอยทางซายของจด (c, f(c)) และอยทางขวาของจด (c, f(c)) ใหตอเปนเสนเดยวกน ดงรป

จากกราฟใหนกเรยนสงเกตวา ถาฟงกชน f ตอเนองท x = c แลวกราฟของฟงกชนไมขาดตอนท x = c

ครสรปเปนบทนยาม ดงนบทนยาม ให f เปนฟงกชนซงนยามบนชวงเปด (a, b) และ c (a, b)

ฟงกชน f เปนฟงกชนตอเนองท x = c กตอเมอ1.f(c) หาคาได2.lim f(x) หาคาได

และ 3.lim f(x) = f(c)

5.2 ขนสอน


x c x c


1. จากบทนยามความตอเนองของฟงกชน ครยำากบนกเรยนวา ถาฟงกชน f ขาดสมบตขอใดขอหนงแลว ฟงกชน f ไมเปนฟงกชนตอเนองท x = c และถาฟงกชน f มความตอเนองทจด x = c กราฟของฟงกชน f ทผานจด (c, f(c)) จะเปนเสนทลากตดตอกนไมขาดตอนทจดน

2. ครใหนกเรยนศกษาวธการตรวจสอบความตอเนองของฟงกชนจากตวอยางท 1 และตวอยางท 2 ในหนงสอเรยน

3. ครยกตวอยางโจทยตอไปนเพมเตมจากในหนงสอเรยน

1) จงพจารณาวา f(x) = เปนฟงกชนตอเนอง

ท x = 1 หรอไม

วธทำา จาก f(x) = เนองจาก f(1) หาคาไมได ฟงกชน f ไมตอเนองท x = 1

2) กำาหนดให f(x) =

จงพจารณาวา ฟงกชน f เปนฟงกชนตอเนองท x = 1 หรอไม


จะได f(1) = 2

lim f(x) = lim

= lim

= lim (x+1)= 2



2 , x = 1

x 1

x 1

x 1

2 , x = 1

x 1

, x

, x


จะเหนวา lim f(x) = f(1) ฟงกชน f ตอเนองท x = 1


3) จงพจารณาวา ฟงกชน f(x) = เปน

ฟงกชนตอเนองท x = 2 หรอไม


จะได f(x) =

หรอ f(x) =

เนองจาก f(2) หาคาไมได ฟงกชน f ไมตอเนองท x = 2

จากตวอยางทกลาวมา ครใหแนวคดในการตรวจสอบวาฟงกชนทกำาหนดใหตอเนองทจดทกำาหนดใหหรอไม เชน ฟงกชน f(x) ตอเนองทจด x = c หรอไม ควรพจารณาคาของฟงกชน ณ จดทกำาหนดใหกอนคอพจารณาคา f(c) กอน เนองจากเปนคาทหาไดงายทสด ถา f(c) หาคาไมได กเปนเหตผลทเพยงพอทจะสรปวา ฟงกชนนนไมตอเนองทจด x = c

4. ครอธบายหลกการพจารณาความตอเนองของฟงกชนบนชวงตอไปนฟงกชน f เปนฟงกชนตอเนองบนชวง1. (a, b) กตอเมอ f ตอเนองททกๆ จดในชวง (a, b)

2. [a, b] กตอเมอ


ทกษะการคดวเคราะหทกษะการคด

x 1

1 , x+2 0 1 , x+2 0 1 , x

2 1 , x 2

1) f ตอเนองททกๆ จดในชวง (a, b) และ x

b x a+

1) f ตอเนองททกๆ จดในชวง (a, b) และ


3. (a, b] กตอเมอ

4. [a, b) กตอเมอ

5. ครใหนกเรยนศกษาตวอยางในหนงสอเรยน และยกตวอยางตอไปนเพมเตม

ตวอยาง กำาหนด f(x) = จงพจารณาวาฟงกชน f ตอเนองบนชวง [5, 5] หรอไม

วธทำา จาก f(x) = ให a (5, 5)

ประยกตใช


f(a) = ซงหาคาไดlim f(x) = lim =

เพราะฉะนน lim f(x) = f(a)จะไดวา f ตอเนองท x = a แต a (5, 5)ดงนน f ตอเนองบนชวง (5, 5)เนองจาก f(5) = 0 และ f(5) = 0

lim f(x) = lim = 0 = f(5)lim f(x) = lim = 0 = f(5)

ดงนน f ตอเนองบนชวง [5, 5] ดงรป

x b

1) f ตอเนองททกๆ จดในชวง (a, b) และ x

a+

x a

x 5

x a

x a

x 5+

x 5+ x 5


6. ครใหนกเรยนแบงกลมชวยกนทำากจกรรม ในเวลาเรยน เมอทกกลมทำาเสรจแลวครและนกเรยนรวมกนเฉลยคำาตอบ

5.3 ขนสรปครและนกเรยนรวมกนทบทวนวธการตรวจสอบความตอเนองของฟงกชน

ณ จดทกำาหนดให และความตอเนองบนชวง






ขนรวบรวมขอมลใหนกเรยนไปคนหาโจทยการตรวจสอบความตอเนองของฟงกชนชนดตางๆ

เชน ฟงกชนตรโกณมต ฟงกชนเอกซโพเนนเชยล ฟงกชนลอการทม คนละ 1 ตวอยาง พรอมทงแสดงวธทำา

ขนวเคราะหใหนกเรยนใชหลกการตรวจสอบความตอเนองของฟงกชนตามทไดเรยนมาขนสรปใหนกเรยนเขยนโจทยและแสดงวธทำา จดทำาเปนรายงานสงคร


ขนประยกตใชครเลอกโจทยทนาสนใจนำามาอภปรายรวมกนในชนเรยนตวอยางโจทย

กำาหนด f(x) =

ฟงกชน f ตอเนองท x = 1 หรอไม


lim f(x) = lim sinx = 0lim f(x) = lim ln x = 0

ดงนน lim f(x) = 0แต f(1) หาคาไมได f(x) ไมตอเนองท x = 1

7.2 กจกรรมบรณาการ-




ละ..................


sinx , 0 x 1ln x , 1 x

sinx , 0 x 1ln x , 1 x

x 1 x 1+ x 1

x 1 x 1+


..........................................................................................

..........................................................................................

..........................................................................................

............................................................................

..........................................................................................

..........................................................................................

..........................................................................................

............................................................................

..........................................................................................

..........................................................................................

..........................................................................................


...................................................................................การปรบปรงแกไข....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................


...................................................................................ลงชอ...........................................ผ



ครคศ.1 ............./............../

..............


ลงชอ...........................................ผตรวจสอบ (..................................................)

ตำาแหนง....................................................

............./............../..............



..........................................................................................

............................................................................

..........................................................................................

..........................................................................................

..........................................................................................

............................................................................



...

แผนการจดการเรยนรท 2/3 เรอง ความชนของเสนโคง



หาความชนของเสนโคงและสมการของเสนสมผสเสนโคง ณ จดทกำาหนดใหได

1.2 จดประสงคการเรยนรหาความชนของเสนโคงและสมการของเสนสมผสเสนโคง ณ จดทกำาหนดให

ได

2.สาระสำาคญ


2.1 สาระการเรยนรความชนของเสนโคง







3.4 ความรความเขาใจนกเรยนรวธหาความชนของเสนโคง


1) ไดระดบ “พอใช” ขนไป2) ไดระดบ “ด” ขนไป


3)ทำาไดถกตอง 80% ขนไปการสรปผลการประเมน



ครอธบายบทนยามตอไปนบทนยาม ถา y = f(x) เปนสมการของเสนโคง เสนสมผสเสนโคงทจด

p(x, y) ใดๆ จะเปนเสนตรงทผานจด p และมความชนเทากบ lim

บทนยาม ความชนของเสนโคง ณ จด p(x, y) ใดๆ บนเสนโคง หมายถง ความชนของเสนสมผสเสนโคง ณ จด p

5.2 ขนสอน


1. ครใหนกเรยนศกษาตวอยางในหนงสอเรยนหวขอท 2.3 จากนนเขยนโจทยตอไปนบนกระดาน ใหนกเรยนคดหาคำาตอบ1) ถา y = 5x2 6 เปนสมการของเสนโคง จงหา

(1) ความชนของเสนโคงทจด (2, 14)(2) สมการของเสนสมผสเสนโคงทจด (2, 14)วธทำา (1) ให f(x) = 5x2 6

ความชนของเสนโคงทจด (2, 14) เทากบ

lim = lim

= lim


h 0

h 0

h 0

h 0



= lim

= lim = lim 20+5h= 20

ดงนน ความชนของเสนโคงทจด (2, 14) เทากบ 20

(2) สมการของเสนตรงทผานจด (x1 , y1) และมความชนเทากบ m คอ

y y1 = m(xx1) เสนสมผสเสนโคงทจด (2, 14) คอเสนตรงท

ผานจด (2, 14) และมความชนเทากบ 20ดงนน สมการของเสนสมผสเสนโคงทจด (2,

14) คอy 14 = 20(x2)y 14 = 20x 40

20x y 26 = 0 2) ถาเสนตรง y = ax + 1 ตงฉากกบเสนสมผสเสนโคง y = 3x2+ 8 ทจด (1, 11)

จงหาคาของ aวธทำา ให y = f(x) = 3x2+ 8

ความชนของเสนโคงทจด (1, 11) เทากบ

lim = lim

= lim

h 0

h 0

h 0

h 0

h 0

h 0


= lim

= lim (6 + 3h)= 6

ดงนน ความชนของเสนโคงทจด (1, 11) เทากบ 6

เนองจากผลคณของความชนของเสนตรงสองเสนทตงฉากกนเทากบ 1

และ y = ax + 1 เปนเสนตรงทมความชนเทากบ a

a (6) = 1a = =


h 0

h 0


2. ครอธบายวา ความชนของเสนโคงในชวงทกำาหนดใหอาจเปนจำานวนบวกหรอจำานวนลบหรอศนยกได ซงจะบอกใหรวาในชวงนนๆ เปนฟงกชนเพมหรอฟงกชนลดลกษณะของเสนโคงทมความชนเปนจำานวนบวกในชวง (a, b)

จากกราฟ เมอ x เพมขน ทำาให y มคาเพมขน จงเปนฟงกชนเพมลกษณะของเสนโคงทมความชนเปนจำานวนลบในชวง (a, b)

จากกราฟ เมอ x เพมขน ทำาให y มคาลดลง จงเปนฟงกชนลด เมอกำาหนดกราฟของฟงกชน เราสามารถบอกไดวาความชนของเสนโคง ณ จดนนๆ เปนจำานวนบวกหรอจำานวนลบ ดงน

ทกษะการคดแปลความทกษะการคดวเคราะห



3. ครใหนกเรยนทำากจกรรม ภายในเวลาทกำาหนดแลวเฉลยคำาตอบรวมกน

5.3 ขนสรปครและนกเรยนรวมกนทบทวนบทนยามเกยวกบความชนของเสนโคง










ละ..................

ผลการประเมนพฤตกรรมระหวางเรยน........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................


..........................................................................................


...................................................................................การปรบปรงแกไข....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................


...................................................................................ลงชอ...........................................ผ


ครคศ.1 ............./............../

..............

ความคดเหนของฝายวชาการ/หวหนากลมสาระการเรยนร/หวหนาระดบ....................................................................................................................................................................................


..........................................................................................

............................................................................

..........................................................................................

..........................................................................................

..........................................................................................

............................................................................

..........................................................................................

..........................................................................................

..........................................................................................

............................................................................

ลงชอ...........................................ผตรวจสอบ (..................................................)

ตำาแหนง....................................................

............./............../..............





...

แผนการจดการเรยนรท 2/4 เรอง อนพนธของฟงกชน



หาอนพนธของฟงกชนทกำาหนดใหได1.2 จดประสงคการเรยนร

หาอนพนธของฟงกชนทกำาหนดใหได


อนพนธของฟงกชน2.2 ทกษะ / กระบวนการ


2.3 ทกษะการคด1) ทกษะการคดแปลความ2) ทกษะการคดวเคราะห


3) ทกษะการคดประยกตใช





3.4 ความรความเขาใจนกเรยนรวธหาอนพนธของฟงกชน






ครทบทวนเกยวกบความชนของเสนโคง y = f(x) ทจด (x, y) ใดๆ

เทากบ lim เมอลมตหาคาได เรยกลมตทไดนวา อนพนธของ

ฟงกชน f ดงบทนยามตอไปน

บทนยาม ถา y = f(x) เปนฟงกชนทมโดเมนและเรนจเปนสบเซตของ

จำานวนจรง และ lim หาคาไดแลว เรยกคาของลมตทไดนวา อนพนธของฟงกชน f ท x

เขยนแทนดวย f (x)

5.2 ขนสอน

กจกรรมการเรยนการสอน ฝกการคดแบบ1. จากขนนำา ครแนะนำาวา อนพนธของฟงกชน f ท x

นอกจากเขยนแทนดวย f (x) ยงเขยนแทนดวยสญลกษณอยางอน เชน (อานวา ด

วายบายดเอกซ) หรอ y หรอ f(x)

นนคอ f (x) = = y = f(x) = lim



h 0

h 0

h 0


2. ครยกตวอยางการหา f (x) เพมเตมจากในหนงสอเรยน ดงน1) จงหาอนพนธของ f(x) = 5 3x + x2


= lim

= lim = lim 3 + 2x + h= 3 + 2x

f (x) = 2x 32) กำาหนด f(x) = จงหา f (x)

วธทำา f(x) =

f(x+h) =

f(x+h) f(x) =

f(x+h) f(x) =

=

lim = lim

=

f (x) =


h 0

h 0

h 0

h 0

h 0

h 0

h 0


3) กำาหนด f(x) = จงหา f (x)วธทำา f(x) =

f(x+h) = f(x+h) f(x) =

=

=

=



lim = lim

=

f (x) =

3. ครใหนกเรยนทำากจกรรม ภายในเวลาทกำาหนด แลวเฉลยคำาตอบรวมกน

4. ครอธบายบทนยามตอไปน

บทนยาม ถา y = f(x) เปนฟงกชน และ a Df แลว

1) อตราการเปลยนแปลงเฉลยของ y เทยบกบ x เมอคาของ x

เปลยนจาก a เปน a + h คอ

2) อตราการเปลยนแปลงของ y เทยบกบ x ขณะท x = a คอ

lim

จากบทนยาม ครใหขอสงเกตวาอตราการเปลยนแปลงของ y เทยบกบ x ขณะท x = aกคออนพนธของฟงกชน f ท x = a นนเอง

5. ครใหนกเรยนศกษาตวอยางการหาอตราการเปลยนแปลงเฉลยของ y เทยบกบ x ในหนงสอเรยน และเพอใหนกเรยนเขาใจและเกดแนวคดในการแกปญหามากยงขนครและนกเรยนรวมกนทำากจกรรม ไปพรอมกนโดยใชวธ


h 0

h 0

h 0


ถาม-ตอบกจกรรมขอทเหลอใหนกเรยนทำาเปนการบาน

5.3 ขนสรปครและนกเรยนรวมกนทบทวนบทนยามเกยวกบอนพนธของฟงกชน f ท x

และบทนยามเกยวกบอตราการเปลยนแปลงเฉลยของ y เทยบกบ x โดยยำาวา

f (x) = lim

และอตราการเปลยนแปลงของ y เทยบกบ x ขณะท x = a กคอ f (a) นนเอง






ขนรวบรวมขอมลใหนกเรยนแตละคนแตงโจทยการหาอนพนธของฟงกชน f(x) โดยมเงอนไข

วาจะตองเปนโจทยทมเครองหมายกรณฑทสอง คนละ 1 ขอขนวเคราะห

h 0


ใหนกเรยนแสดงวธหาอนพนธของ f(x) จากโจทยทนกเรยนแตงขนอยางเปนขนตอน

ขนสรปใหนกเรยนเขยนโจทยและวธทำาลงบนกระดาษ A4 นำาผลงานแลกเปลยนกบ

เพอนเพอตรวจสอบความถกตองขนประยกตใชครเลอกโจทยขอทนาสนใจนำามาอภปรายรวมกนในชนเรยน





ละ..................



..........................................................................................

..........................................................................................

..........................................................................................

............................................................................

..........................................................................................

..........................................................................................

..........................................................................................

............................................................................

..........................................................................................

..........................................................................................

..........................................................................................


...................................................................................การปรบปรงแกไข....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................


...................................................................................ลงชอ...........................................ผ



ครคศ.1 ............./............../

..............


ลงชอ...........................................ผตรวจสอบ (..................................................)

ตำาแหนง....................................................

............./............../..............



..........................................................................................

............................................................................

..........................................................................................

..........................................................................................

..........................................................................................

............................................................................



...

แผนการจดการเรยนรท 2/5 เรอง การหาอนพนธของฟงกชนพชคณตโดยใชสตร



หาอนพนธของฟงกชนพชคณตโดยใชสตรได1.2 จดประสงคการเรยนร

หาอนพนธของฟงกชนพชคณตโดยใชสตรได


การหาอนพนธของฟงกชนพชคณตโดยใชสตร








3.4 ความรความเขาใจนกเรยนรวธการหาอนพนธของฟงกชนโดยใชสตร



การสรปผลการประเมน




ครทบทวนการหาอนพนธของฟงกชนโดยใชบทนยามของอนพนธในรปของลมต จากโจทยตอไปน

1) จงหาอนพนธของฟงกชน f(x) = x3+ x + 1 ท x = 1วธทำา = f (x) = lim

= lim

= lim

= lim = lim 3x2+ 3xh + h2+ 1= 3x2+ 1

f (1) = 3(1)2+ 1 = 42) จงหาอนพนธของฟงกชน f(x) =

วธทำา = f (x) = lim

= lim

= lim

= lim

= lim

= lim

h 0

h 0

h 0 h 0 h 0 h 0

h 0 h 0

h 0

h 0

h 0


=

=

5.2 ขนสอน


1. จากขนนำา ครแนะนำาวา การหาอนพนธของฟงกชนโดยใชบทนยามของอนพนธในรปของลมตคอนขางยงยาก และใชเวลาคอนขางนาน เพอใหการหาอนพนธของฟงกชนสามารถทำาไดสะดวกและรวดเรว จงไดมการสรางสตรเพอใชสำาหรบหาอนพนธของฟงกชนพชคณต จากนนครใหนกเรยนศกษาสตรท 1 ถงสตรท 8 และตวอยางการใชสตร

เพอหา ในหนงสอเรยนหวขอท 2.52. ครยกตวอยางโจทยตอไปนเพมเตมจากในหนงสอเรยน

1) จงหาอนพนธของฟงกชน y = วธทำา y =

y =

= (5x2) + x +

=

=

=





2) จงหาอนพนธของฟงกชน y =

วธทำา y =

=

=

=

=

อนพนธของฟงกชน =

3) จงหาอนพนธของฟงกชน y =

วธทำา y =

y = x33+5x12x2

= 3x2+(5)x22(2)x3

= 3x25x2+4x3

อนพนธของฟงกชน = 3x25x2+4x3

4) จงหาอนพนธของฟงกชน y = (4x2+x1)



(x+2) วธทำา y = (4x2+x1)(x+2)

y = 4x3+9x2+x2

= 12x2+18x+1

อนพนธของฟงกชน = 12x2+18x+1



3. ครอธบายวธการหาสมการของเสนสมผส และยกตวอยางประกอบดงน

จากรป PQ เปนเสนสมผสเสนโคงทจด P(x1 , y1) และมความชน m สมการของเสนสมผส PQ คอ y y1 = m(x x1)PS เปนเสนปกตซงตงฉากกบ PQสมการของเสนปกต PS คอ y y1 = (x x1)1) จงหาสมการของเสนสมผสและสมการของเสนปกต

ของเสนโคง y = x22x ทจด(1, 3)วธทำา y = x2 2x

= 2x 2 ดงนน ความชนของเสนโคง ณ จด (x, y) ใดๆ คอ 2x 2นนคอ ความชนของเสนสมผสเสนโคง ณ จด (1, 3) เทากบ 2(1) 2 = 4สมการของเสนสมผสเสนโคง ณ จด (1, 3) คอ

y 3 = 4(x + 1) y 3 = 4x 4

4x + y + 1 = 0สมการของเสนปกต ณ จด (1, 3) คอ



y 3 = 4y 12 = x + 1

x 4y + 13 = 0


2) จงหาสมการของเสนสมผสและสมการของเสนปกตของเสนโคง y = x3 2x2+ 4ทจด x = 2วธทำา y = x3 2x2+ 4

= 3x2 2(2x) + 0

= 3x2 4x คอ ความชนของเสนโคง ณ จด (x, y) ใดๆดงนน ความชนของเสนสมผสเสนโคงทจดท x

= 2= 3(2)2 4(2)= 4

เมอ x = 2, y = 23 2(2) 2+ 4 = 4ดงนน จดสมผสเสนโคงคอจด (2, 4)สมการของเสนสมผส คอ

y 4 = 4(x 2) y 4 = 4x 8

4x y 4 = 0 สมการของเสนปกต คอ

y 4 = (x 2) 4y 16 = x + 2

x + 4y 18 = 0 4. ครใหนกเรยนแบงกลมทำากจกรรม กลมละ 3 ขอ ภายใน


เวลาทกำาหนด สำาหรบโจทยขอทยาก ครควรแนะนำาวธคดเบองตนเพอใหนกเรยนเกดแนวคดในการแกโจทยปญหาดวยตนเอง

5.3 ขนสรปครและนกเรยนรวมกนทบทวนสตรการหาอนพนธของฟงกชนพชคณตทง

8 สตรอกครง และสรปเกยวกบการหาอนพนธของฟงกชน y = f(x) วา

lim คอ 1) อนพนธของฟงกชน f ท x2) ความชนของเสนโคง f(x) ทจด (x, y) ใดๆ3) ความชนของเสนสมผสเสนโคง f(x) ทจด (x, y)

ใดๆ






ขนรวบรวมขอมลใหนกเรยนศกษาเพมเตมเกยวกบการพสจนสตรการหาอนพนธของฟงกชน

พชคณต ทง 8 สตรขนวเคราะหใหนกเรยนวเคราะหขนตอนในการพสจนวามวธการอยางไรบาง

h 0


ขนสรปใหนกเรยนเขยนวธการพสจนสตรท 1-8 และยกตวอยางการใชสตร สตรละ

1 ตวอยาง จดทำาเปนรายงานสงครขนประยกตใชครและนกเรยนรวมกนอภปรายวธการพสจนสตรท 1-8





ละ..................

ผลการประเมนพฤตกรรมระหวางเรยน....................................................................................................................................................................................


..........................................................................................

............................................................................

..........................................................................................

..........................................................................................

..........................................................................................

............................................................................

..........................................................................................

..........................................................................................

..........................................................................................


...................................................................................การปรบปรงแกไข....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................


...................................................................................ลงชอ...........................................ผ


ครคศ.1


............./............../..............


ลงชอ...........................................ผตรวจสอบ (..................................................)

ตำาแหนง....................................................

............./............../..............

ความคดเหนของผอำานวยการโรงเรยน....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................


..........................................................................................

..........................................................................................

..........................................................................................

............................................................................



...

แผนการจดการเรยนรท 2/6 เรอง อนพนธของฟงกชนประกอบและอนพนธอนดบสง



1) หาอนพนธของฟงกชนประกอบได2) หาอนพนธของฟงกชนอนดบสงได

1.2 จดประสงคการเรยนร1) หาอนพนธของฟงกชนประกอบได2) หาอนพนธของฟงกชนอนดบสงได


1) อนพนธของฟงกชนประกอบ


2) อนพนธอนดบสง2.2 ทกษะ / กระบวนการ







3.4 ความรความเขาใจ1) นกเรยนรวธหาอนพนธของฟงกชนประกอบ2) นกเรยนรวธหาอนพนธของฟงกชนอนดบสง


1) ไดระดบ “พอใช” ขนไป2) ไดระดบ “ด” ขนไป


3)ทำาไดถกตอง 80% ขนไปการสรปผลการประเมน



ครอธบายสตรการหาอนพนธของฟงกชนประกอบ ดงนถา y= (gof)(x) = g(f(x)) แลว

= g(f(x)) f(x)

จากสตรน ถาให f(x) = u จะได y = g(u)

จะได = g(u) u หรอ

5.2 ขนสอน

กจกรรมการเรยนการสอน ฝกการคดแบบ1. ครยกตวอยางการหาอนพนธของฟงกชนประกอบเพม

เตมจากในหนงสอเรยน ดงนตวอยาง

1) กำาหนดให y = (3x + 2)4 จงหา

วธทำา ให u = 3x + 2จะได y = u4




จาก =

= u4 (3x + 2)= 4u3 (3)= 12u3

= 12(3x + 2)3

2) ให y = จงหา

วธทำา ให u = 5 3x2

y =

จาก =

= (53x2)

= (6x)

=

=

2. ครแนะนำาวา เพอความสะดวกเราสามารถเปลยนแปลง

สตร = ไดดงน

ถา y = un แลว = nun1

เชน จากตวอยางขอ 1) y = (3x + 2)4

ให u = 3x + 2จะได y = u4



= u4

= 4u3



= 4(3x + 2)3 (3x + 2)

= 4(3x + 2)3 (3 + 0)= 12(3x + 2)3

จากตวอยางขอ 2) y = วธทำา ให u = 5 3x2

จะได y =

=

=

=

=

=

=

3. ครใหนกเรยนแบงกลมทำากจกรรม โดยวธจบฉลาก กลมละ 3 ขอ แลวนำาคำาตอบมาอภปรายรวมกนในชนเรยนอนพนธอนดบสง

4. ครใหนกเรยนอานบทนยามของอนพนธอนดบสงในหนงสอเรยนหวขอท 2.7 และแนะนำาการเขยนแทนดวยสญลกษณ ดงน

= y = f (x) เรยกวาอนพนธอนดบท

1 ของ f(x) = y = f (x) เรยกวาอนพนธอนดบ

ท 2 ของ f(x)



= y = f (x) เรยกวาอนพนธ

อนดบท 3 ของ f(x) = y(4) = f(4)(x) เรยกวาอนพนธ

อนดบท 4 ของ f(x)

= y(n) = f(n)(x) เรยกวาอนพนธ

อนดบท n ของ f(x)



5. ครยกตวอยางโจทยการหาอนพนธอนดบสงตอไปน1) กำาหนดให f(x) = 3x4 2x + 5 จงหาอนพนธ

อนดบท 2 อนดบท 3 และอนดบท 4วธทำา จาก f(x) = 3x4 2x +

5หรอ f(x) = 3x4 2x + 5

f (x) = 12x3 2 +

f (x) =

= 36x2

f (x) =

= 72x +

f4(x) =

= 72 2) กำาหนดให f(x) = (3x 1)5 จงหา f (1)

วธทำา จาก f(x) = (3x 1)5

f (x) = 5(3x 1)4 (3x 1)= 5(3x 1)4

(3 0)= 15(3x 1)4

f (x) = 60(3x 1)3 (3x 1)= 60(3x 1)3(3 0)= 180(3x 1)3

f (x) = 540(3x 1)2 (3x 1)

= 540(3x 1)2(3 0)



= 1,620(3x 1)2 ดงนน f (1) = 1,620(3 1)2

= 1,620 4= 6,480


3) กำาหนดให y = จงหา

วธทำา จาก y = = =

= = = =

=

= 6. นกเรยนไดทราบมาแลววา f (x) คอ

1) อนพนธของฟงกชน f ท x2) ความชนของเสนโคง f(x) ทจด (x, y) ใดๆ3) ความชนของเสนสมผสเสนโคง f(x) ทจด (x, y) ใดๆครแนะนำาวาสำาหรบ f (x) คออตราการเปลยนแปลงความชนของเสนโคง f(x) ทจด (x, y) ใดๆ

ทกษะการคดแปลความทกษะการคดวเคราะห


นอกจากนในเรองการเคลอนท อนพนธของฟงกชนอนดบท 2 ของ f ท x คอ ความเรง (a) ของวตถขณะเวลา t ใดๆ ซงหาไดจากอตราการเปลยนแปลงของความเรว (v) เทยบกบเวลา t ใดๆ ถาวตถเคลอนทตามสมการการเคลอนท s = f(t) เมอ s คอระยะทางทวตถเคลอนทไดในเวลา tนนคอ = v

= = aครสรปวา ความเรงขณะเวลา t ใดๆ กคออนพนธอนดบท 2 ของ s = f(t)

7. ครยกตวอยางตอไปนปลอยวตถจากทสงลงสพนดน วตถเคลอนทไดระยะทาง s = 16t2 เมตร ในเวลา t วนาท จงหา1. ระยะทางทวตถเคลอนทไดหลงจากปลอยวตถไป 3 วนาท2. ความเรวขณะ t = 2 วนาท



3. ความเรงขณะเวลา t ใดๆ4. ความเรงขณะเวลา t = 5 วนาทวธทำา s = 16t2 เมตร

= 32t v = 32t เมตรตอวนาท

= 32

a = 32 เมตรตอวนาท 2


1. ระยะทางทวตถเคลอนทได คอ 16(3)2 = 144 เมตร2. ความเรวขณะ t = 2 วนาท คอ 32(2) = 64 เมตรตอวนาท3. ความเรงขณะเวลา t ใดๆ คอ 32 เมตรตอวนาท 2

4. ความเรงขณะเวลา t = 5 วนาท คอ 32 เมตรตอวนาท 2

8. ครใหนกเรยนแบงกลมทำากจกรรม กลมละ 3 ขอ ภายในเวลาทกำาหนด แลวนำาคำาตอบทไดมาอภปรายรวมกน

5.3 ขนสรป1) ครทบทวนการหาอนพนธของฟงกชนประกอบโดยยำาประเดนทวา

จากสตร =

ถา y = un

= nun1

2) จากสมการการเคลอนท s = f(t)เมอ s คอระยะทางทวตถเคลอนทไดในเวลา t

= f (t)f (t) คอความเรว (v) ขณะเวลา (t) ใดๆf (t) คอความเรง (a) ขณะเวลา (t) ใดๆ

6.1 สอการเรยนร- หนงสอเรยนเสรมคณตศาสตรเพมเตม ม.6 ภาคเรยนท 2


- หนงสอเรยนสาระการเรยนรเพมเตม คณตศาสตร เลม 2 กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร ชนมธยมศกษาปท 6 โดยสถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย (สสวท.) กระทรวงศกษาธการ



ขนรวบรวมขอมลใหนกเรยนแบงกลมรวบรวมโจทยเกยวกบการนำาความรเรองอนพนธของ

ฟงกชนอนดบสงไปใชประโยชนในการคำานวณเกยวกบการเคลอนท กลมละ 3 ขอขนวเคราะหใหนกเรยนชวยกนวเคราะหโจทยและแสดงวธการหาคำาตอบขนสรปใหนกเรยนเขยนโจทยและวธทำา จดทำาเปนรายงานสงครขนประยกตใชครเลอกโจทยทนาสนใจนำามาอภปรายรวมกนในชนเรยน






ละ..................


...................................................................................การปรบปรงแกไข....................................................................................................................................................................................


..........................................................................................

............................................................................

.............................................................................................................................................................................

ขอคดเหนและขอเสนอแนะเพมเตม....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................ลงชอ...........................................ผ


ครคศ.1 ............./............../

..............



ลงชอ...........................................ผตรวจสอบ (..................................................)

ตำาแหนง....................................................

............./............../..............




...

แผนการจดการเรยนรท 2/7


เรอง การประยกตของอนพนธเวลา 4 ชวโมง


นำาความรเรองอนพนธของฟงกชนไปประยกตได1.2 จดประสงคการเรยนร

นำาความรเรองอนพนธของฟงกชนไปประยกตได


การประยกตของอนพนธ2.2 ทกษะ / กระบวนการ




1) ผลงานจากการทำากจกรรม2) ผลงานจากการทำากจกรรมกลม3) ผลงานจากการทำากจกรรมบรณาการ โจทยปญหาเกยวกบการหาคา“

สงสดหรอคาตำาสดทเปนภาษาองกฤษ”3.2 กระบวนการขนตอนการปฏบตงาน

1) จดกลม กลมละ 5-6 คน 2) เลอกหวหนากลม3) หวหนากลมแบงงาน


4) รวมกนทำากจกรรมทกำาหนด5) นำาเสนอผลงานหนาชนเรยน6) ครมอบหมายใหทำากจกรรม7) ครมอบหมายใหทำากจกรรมบรณาการ


3.4 ความรความเขาใจ1) นกเรยนรวธหาคาตำาสดสมพทธและคาสงสดสมพทธ2) นกเรยนรวธหาคาตำาสดสมบรณและคาสงสดสมบรณ





ครทบทวนหลกการพจารณาเกยวกบฟงกชนเพมและฟงกชนลด ดงนกำาหนดให f เปนฟงกชนจากสบเซตของ R ไป R และ A เปนสบเซตของ Df1) f เปนฟงกชนเพมบน A กตอเมอ สำาหรบสมาชก x1 และ x2 ใดๆ

ใน A ถา x1 x2 แลว f(x1) f(x2)

2) f เปนฟงกชนลดบน A กตอเมอ สำาหรบสมาชก x1 และ x2 ใดๆ ใน A

ถา x1 x2 แลว f(x1) f(x2)


จากกราฟจะเหนวาในบางชวงของฟงกชน f เปนฟงกชนลด ในบางชวงเปนฟงกชนเพม

5.2 ขนสอน


1. ครแนะนำาเพมเตมในการพจารณาวาฟงกชนทกำาหนดใหเปนฟงกชนเพมหรอฟงกชนลดบนชวงใดบาง สามารถพจารณาไดจากคาความชนของเสนสมผสเสนโคงซงจะตรวจสอบไดรวดเรวกวา โดยใหนกเรยนอานทฤษฎบทในหนงสอเรยนตอไปนทฤษฎบท กำาหนดใหฟงกชน f เปนฟงกชนทหาอนพนธ

ไดบนชวง A Df 1) ถา f (x) 0 สำาหรบทก x ในชวง A แลว f

เปนฟงกชนลด (decreasing function) บนชวง A

2) ถา f (x) 0 สำาหรบทก x ในชวง A แลว f เปนฟงกชนเพม (increasing function) บนชวง A

2. ครอธบายวธใชทฤษฎบทขางตนตรวจสอบฟงกชนเพมและฟงกชนลดตามตวอยางท 1 ในหนงสอเรยน

3. กอนศกษาเกยวกบการพจารณาคาตำาสดและคาสงสดของฟงกชนโดยใชความร



ฟงกชนลดฟงกชน

เพมฟงกชน

ลด

ฟงกชนเพม


เกยวกบอนพนธของฟงกชน ครอธบายความหมายของคาสงสดสมพทธ คาตำาสดสมพทธและคาวกฤต ตามบทนยามในหนงสอเรยน แลวใหนกเรยนพจารณาคาตำาสดสมพทธและคาสงสดสมพทธจากกราฟของฟงกชน ดงรป

จากรปท 1 ถา f (x) 0 เมอ x นอยกวา c เลกนอย แต f (x) 0 เมอ x มากกวา c เลกนอย แลวฟงกชน f มคาสงสดสมพทธท x = cจากรปท 2 ถา f (x) 0 เมอ x นอยกวา c เลกนอย แต f (x) 0 เมอ x มากกวา c เลกนอย แลวฟงกชน f มคาตำาสดสมพทธท x = c

จากรปท 1 และรปท 2 จะเหนวา จดท x = c ซงเปนจดทฟงกชนมคาสงสดหรอตำาสดสมพทธ คาของ f (x) เปลยนจากบวกเปนลบหรอเปลยนจากลบเปนบวก ดงนน ทจด x = c คาของ f (c) จงเทากบศนย คา c นเรยกวา คาวกฤตของฟงกชน f และจด (c, f(c)) บนกราฟของ f เรยกวา จดวกฤตของกราฟของ f


4. ครอธบายวา นอกจากใชอนพนธอนดบท 1 ของฟงกชนชวยในการพจารณาคาสงสดสมพทธและคาตำาสดสมพทธแลว เราอาจใชอนพนธอนดบท 2 มาชวยในการพจารณา


รปท 1 รปท 2

f (x) 0 f (x) 0 f (x) 0 f (x) 0


จากทฤษฎบทตอไปนทฤษฎบท กำาหนดให f เปนฟงกชนตอเนองบนชวง A

ใดๆ และ c เปนคาวกฤตของ f ซง f (x) = 01) ถา f (x) 0 แลว f (c) เปนคาตำาสด

สมพทธ 2) ถา f (x) 0 แลว f (c) เปนคาสงสด

สมพทธ ครใหขอสงเกตวาการตรวจสอบโดยใชอนพนธอนดบท 2 จากทฤษฎบทขางตนจะตองหาอนพนธอนดบท 2 ของฟงกชนนนๆ ได และ f (c) ตองไมเทากบศนยถาอนพนธอนดบท 2 ของฟงกชนหาคาไมได หรอ f (c) เทากบศนย เราตองใชวธพจารณาการเปลยนแปลงคาของอนพนธอนดบท 1 ของฟงกชนทจดบรเวณใกลเคยงคาวกฤตเทานน

5. ครสรปขนตอนในการหาคาสงสดหรอคาตำาสดสมพทธ ดงน วธท 1

1. หา หรอ f (x)

2. ให = 0 แลวหาคาของ x สมมตวาได x = c

3. (1) ถาทจด x c, 0 และทจด x c,

0ฟงกชนใหคาสงสดสมพทธท x = c

(2) ถาทจด x c, 0 และทจด x c, 0

ฟงกชนใหคาตำาสดสมพทธท x = c



(3) ถาไมเปลยนเครองหมายทจด x c หรอทจด x c

ฟงกชนไมมคาสงสดสมพทธหรอคาตำาสดสมพทธ

ในการพจารณาคาสงสดสมพทธหรอคาตำาสดสมพทธอาจทำาไดอกวธหนงคอ

วธท 2 1. หา f (x)2. ให f (x) = 0 หาคา x สมมตวาได x = c3. หา f (x)

(1) ถา f (c) 0 แลว f ใหคาสงสดสมพทธท x = c

(2) ถา f (c) 0 แลว f ใหคาตำาสดสมพทธท x = c

(3) ถา f (c) = 0 จะสรปไมได ตองใชวธท 1



6. ครใหนกเรยนแบงกลมทำากจกรรม โดยใชวธจบฉลาก กลมละ 3 ขอ แลวนำาคำาตอบมาอภปรายรวมกน

7. ครอธบายวา เมอกำาหนดฟงกชน y = f(x) ให เราหาคาสงสดสมพทธหรอคาตำาสดสมพทธของฟงกชนไดหลายคา บางคาอาจจะเปนคามากทสดหรอนอยทสดในบรรดาคาสงสดสมพทธหรอคาตำาสดสมพทธเหลานน แตบางคาอาจจะไมเปนคามากทสดหรอไมเปนคานอยทสดในบรรดาคาของฟงกชน f ท x สำาหรบทก x ทอยในโดเมนของ f กได เราจะเรยกคาของ f(x) ทมากทสดสำาหรบทก x ในโดเมนของ f วาคาสงสดสมบรณ และเรยกคา f(x) ทนอยทสดสำาหรบทก x ในโดเมนขง f วาคาตำาสดสมบรณ

บทนยาม ฟงกชน f มคาสงสดสมบรณท x = c ถา f(c) f(x) สำาหรบทก x

ในโดเมนของฟงกชน f ท x cฟงกชน f มคาตำาสดสมบรณท x = c ถา

f(c) f(x) สำาหรบทก xในโดเมนของฟงกชน f ท x c

8. ครวาดรปกราฟตอไปนบนกระดานเพอใหนกเรยนเขาใจมากยงขน


จากกราฟ y = f(x) เมอ Df = {x|a x b} เปนฟงกชนทมคาสงสดสมบรณท x = c และ f(c) เปนคาสงสดสมพทธคาหนงของ f



จากกราฟ y = f(x) เมอ Df = {x|a x b} เปนฟงกชนทมคาตำาสดสมบรณท x = c และ f(c) เปนคาตำาสดสมพทธคาหนง

9. ครและนกเรยนรวมกนอภปรายเกยวกบความแตกตางระหวางจดสงสดสมพทธและจดสงสดสมบรณ จดตำาสดสมพทธและจดตำาสดสมบรณ โดยใชกราฟตอไปน

จากกราฟนกเรยนควรตอบไดวา จด B, จด D และจด F เปนจดสงสดสมพทธ

จด C, จด E เปนจดตำาสดสมพทธ(ครอธบายวา ในการพจารณาจดตำาสดสมพทธและจดสงสดสมพทธ ตามบทนยาม จะไมพจารณาตรงจดปลายของชวงเปด (a, b) ดงนน จด A และจด G จงไมใชจด



สงสดสมพทธและจดตำาสดสมพทธ)จด A เปนจดตำาสดสมบรณจด D เปนจดสงสดสมบรณ

(ครอธบายวา ในการพจารณาจดตำาสดสมบรณและจดสงสดสมบรณ เราตองพจารณาทจดปลายของชวงเปด (a, b) ดวย)


10. ครอธบายวธการหาคาสงสดสมบรณและคาตำาสดสมบรณตามตวอยางท 3 ในหนงสอเรยน แลวใหนกเรยนทำากจกรรม ภายในเวลาทกำาหนด จากนนนำาคำาตอบทไดมาอภปรายรวมกน

11. ครอธบายหลกเกณฑทวๆ ไป ในการแกโจทยปญหาเกยวกบคาสงสดหรอคาตำาสดดงน1) พจารณาวาโจทยตองการหาคาสงสดหรอคาตำาสด2) กำาหนดฟงกชน y = f(x) จากโจทย

3) หาคา

4) ให = 0 แลวแกสมการหาคาวกฤต

5) นำาคาวกฤตในขอ 4 มาทำาการตรวจสอบวาทำาให y มคาสงสดหรอคาตำาสดหรอไมแลวใหนกเรยนศกษาตวอยางท 1 และตวอยางท 2 ในหนงสอเรยน ครอาจอธบายเสรมดวยตวอยางตอไปน1) พอคาคนหนงทราบวาถาเขาตงราคาสนคาอยางหนง

ชนละ 20 บาท ในหนงสปดาหเขาจะขายสนคาได 1,000 ชน ถาเขาลดราคาลงชนละ 1 บาท เขาจะขายสนคาไดเพม



อก 100 ชน เปน 1,100 ชน ถาเขาลดราคาลงชนละ 2 บาท เขาจะขายสนคาไดเพมอก 200 ชน เปน 1,200 ชน ถาเปนเชนนเรอยๆ ไป เขาควรจะตงราคาสนคาเทาใดจงจะไดเงนจากการขายมากทสดวธทำา จากการลดราคาลงชนละ 1 บาท จาก 20 บาท จะ

ทำาใหขายสนคาไดเพมขน 100 ชน จากทขายได 1,000 ชนใหลดราคาลงชนละ x บาท จาก 20 บาท จะทำาใหขาย

สนคาไดเพม 100x ชน จากทขายได 1,000 ชน ทำาใหไดเงนจากการขายมากทสด

เงนทขายได = (1,000 + 100x)(20 x)A = 1,000 20 + 1,000x

100x2A = 1,000 200x

ถา A = 01,000 200x = 0

x = 5 ควรตงราคาขาย = 20 5 = 15 บาท



2) กำาหนดใหรถสงสนคาชนดหนงมการเผาไหมของนำามน

เปน ลตรตอกโลเมตร เมอ x เปนความเรวม

หนวยเปนกโลเมตรตอชวโมง ถาตองการขบรถเปนระยะทาง 600 กโลเมตร โดยจายคานำามนนอยทสด ขณะทนำามนราคาลตรละ 30 บาท แลว จะตองจายคานำามนเทาไร

วธทำา ใหนำามนทใช P = ลตรตอ

กโลเมตร

ระยะทาง 600 กโลเมตร P = 600

P = 2,400x1+ x

P = 2,400x2+

ถา P = 02,400x2+ = 0

x2 =

=

x2 = 1,600x = 40

ขบรถดวยความเรว 40 กโลเมตรตอชวโมง จะจายคานำามนนอยทสด

P = = 60 + 60

P = 120


ตองใชนำามน 120 ลตร นำามนราคาลตรละ 30 บาท จะตองจายคานำามน = 120 30 =

3,600 บาท12. ครใหนกเรยนทำากจกรรม โดยวธจบฉลาก กลมละ 3 ขอ

ภายในเวลาทกำาหนด จากนนนำาคำาตอบของแตละกลมมาอภปรายรวมกนในชนเรยน

5.3 ขนสรปครและนกเรยนรวมกนทบทวนบทนยามและทฤษฎบทในหวขอการประยกต

ของอนพนธ และหลกเกณฑทใชในการหาคาตำาสดสมพทธ คาสงสดสมพทธ คาตำาสดสมบรณ และคาสงสดสมบรณ

6.1 สอการเรยนร- หนงสอเรยนเสรมคณตศาสตรเพมเตม ม.6 ภาคเรยนท 2- หนงสอเรยนสาระการเรยนรเพมเตม คณตศาสตร เลม 2 กลมสาระการ




ขนรวบรวมขอมลใหนกเรยนแบงกลมศกษาเพมเตมเกยวกบการหาอนพนธของฟงกชน

ตรโกณมต อนพนธของฟงกชนเอกซโพเนนเชยลและฟงกชนลอการทม พรอมโจทยและวธการแกปญหา

ขนวเคราะหใหนกเรยนชวยกนวเคราะหการหาอนพนธวาตองใชสตรใด มหลกและขน

ตอนอยางไรบางขนสรป


ใหนกเรยนเขยนสรปขอมลพรอมโจทยตวอยางตามความเขาใจของนกเรยน จดทำาเปนรายงานสงคร

ขนประยกตใชครนำาผลงานของนกเรยนมาอภปรายรวมกนในชนเรยน

7.2 กจกรรมบรณาการครสามารถบรณาการการเรยนกบกลมสาระการเรยนรภาษาตางประเทศ

โดยใหนกเรยนแบงกลมคนหาโจทยปญหาเกยวกบคาสงสดหรอคาตำาสดทเปนภาษาองกฤษ กลมละ 3 ขอ จดทำาเปนรายงานสงคร

ภาระงาน โจทยปญหาเกยวกบการหาคาสงสดหรอคาตำาสดทเปนภาษา“องกฤษ”

ผลการเรยนร ใชกระบวนการแปลความหมายจากภาษาองกฤษเปนภาษาไทยอธบายวธการแกโจทยปญหา เกยวกบคาสงสดหรอคาตำาสดผลงานทตองการ โจทยปญหาเกยวกบการหาคาสงสดหรอคาตำาสดทเปนภาษาองกฤษขนตอนการทำางาน 1. นกเรยนศกษาหลกเกณฑและวธการแกโจทยปญหาเกยวกบคาสงสดหรอคาตำาสด

2. คนควาโจทยปญหาเกยวกบคาสงสดหรอคาตำาสดทเปนภาษาองกฤษ กลมละ 3 ขอ จากแหลง ความรตางๆ

3. แปลความหมายของโจทยและวธทำา พรอมทงศกษาการใชภาษาองกฤษในการอธบาย

4. เขยนคำาศพทภาษาองกฤษทสำาคญพรอมคำาแปลไวในภาคผนวกทายรายงานเกณฑการประเมน 1. ความถกตองในการแกโจทยปญหาและการแปลความหมาย

2. ความนาสนใจในการนำาเสนอ3. ความสะอาดเรยบรอย

บนทกผลหลงการจดการเรยนรผลการจดการเรยนรตามตวชวด


จำานวนนกเรยนทงหมด...........คน- ผานเกณฑการประเมนระดบด ....... คน คดเปนรอย



ละ..................


...................................................................................การปรบปรงแกไข..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................


.............................................................................................................................................................................

ขอคดเหนและขอเสนอแนะเพมเตม....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................ลงชอ...........................................ผ


ครคศ.1 ............./............../

..............


ลงชอ...........................................ผตรวจสอบ (..................................................)


ตำาแหนง....................................................

............./............../..............




...

แผนการจดการเรยนรท 2/8 เรอง ปฏยานพนธและปรพนธไมจำากดเขต




หาปรพนธไมจำากดเขตของฟงกชนทกำาหนดใหได1.2 จดประสงคการเรยนร

หาปรพนธไมจำากดเขตของฟงกชนทกำาหนดใหได


ปฏยานพนธ2.2 ทกษะ / กระบวนการ


2.3 ทกษะการคด1) ทกษะการคดแปลความ2) ทกษะการคดวเคราะห 3) ทกษะการคดประยกตใช4) ทกษะการคดสรปความ



3.2 กระบวนการขนตอนการปฏบตงาน1) จดกลม กลมละ 5-6 คน 2) เลอกหวหนากลม3) หวหนากลมแบงงาน4) รวมกนทำากจกรรมทกำาหนด5) นำาเสนอผลงานหนาชนเรยน


6) ครมอบหมายใหทำากจกรรม3.3 พฤตกรรมตามคณลกษณะพงประสงค

1) นกเรยนใหความรวมมอในการทำางานกลม2) นกเรยนมความละเอยดรอบคอบและรบผดชอบในการทำางาน

3.4 ความรความเขาใจนกเรยนรวธหาปรพนธไมจำากดเขตของฟงกชนทกำาหนดให





ให f (x) = 2x 3พจารณาฟงกชน F1(x) = x2 3xจะได F1(x) = 2x 3พจารณาฟงกชน F2(x) = x2 3x + 2จะได F2(x) = 2x 3พจารณาฟงกชน F3(x) = x2 3x 5จะได F3(x) = 2x 3ครใหนกเรยนสงเกตวา ฟงกชน F1(x), F2(x) และ F3(x) ตางมอนพนธ

เปน 2x 3 เทากน โดยฟงกชนทงสามจะตางกนเฉพาะคาคงตวเทานนเราเรยก F1(x), F2(x) และ F3(x) วาปฏยานพนธของ f (x) = 2x 3


5.2 ขนสอน

กจกรรมการเรยนการสอน ฝกการคดแบบปฏยานพนธ1. ครบอกบทนยามของปฏยานพนธดงน

บทนยาม ฟงกชน F เปนปฏยานพนธของ f ถา F (x) = f (x)

สำาหรบทกคาของ x ทอยในโดเมนของ f2. ครใชตวอยางตอไปนประกอบการอธบายบทนยามของปฏ

ยานพนธ1) จงแสดงวา F(x) = x3 3x2+ 9x 6 เปนปฏยานพนธของ f(x) = 3x2 6x + 9

วธทำา F(x) = x3 3x2+ 9x 6F(x) = 3x2 6x + 9

F(x) = f (x)นนคอ F(x) = x3 3x2+ 9x 6 เปนปฏยานพนธ

ของ f(x) = 3x2 6x + 92) จงแสดงวา F1(x) = x3+ 3x2+ 9x + 5 เปนปฏยานพนธของ f(x) = 3x2+ 6x + 9

และ F2(x) = x3+ 3x2+ 9x 10 เปนปฏยานพนธของ f(x) = 3x2+ 6x + 9

วธทำา จาก F1(x) = x3+ 3x2+ 9x + 5จะได F1(x) = 3x2+ 6x + 9 = f (x)จาก F2(x) = x3+ 3x2+ 9x 10จะได F2(x) = 3x2+ 6x + 9 = f (x)นนคอ F1(x) และ F2(x) ตางเปนปฏยานพนธของ

f(x) = 3x2+ 6x + 9* ครแนะนำาวา F1(x) และ F2(x) ตางกนเฉพาะคาคงตว

และทง F1(x) และ F2(x) ตางเปนปฏยานพนธของ f(x) = 3x2+ 6x + 9



ทกษะการคดสรปความ


ดงนน F(x) = x3+ 3x2+ 9x + c เมอ c เปนคาคงตว เปนรปทวไปของปฏยานพนธของ f(x) = 3x2+ 6x + 9

3. ครสรปวาในการหาปฏยานพนธ เมอกำาหนดฟงกชน f เราจะตองพยายามหาฟงกชน Fซง F (x) = f(x) และตอบในรปทวไปของปฏยานพนธของ f คอฟงกชน y = F(x) + c เมอ c เปนคาคงตว

4. ครใชตวอยางตอไปนประกอบการอธบาย1) กำาหนดให f(x) = x 1

วธทำา ให F(x) = x2 x จะได F (x) = x 1

F1(x) = x2 x + 2 จะได F2(x) = x 1

F2(x) = x2 x 5 จะได F2(x) = x 1



F3(x) = 2x2 x จะได F3(x) = 4x 1F4(x) = x2 x จะได F4(x) = 2x 1

จะเหนวา F1, F2 ตางเปนปฏยานพนธของ f(x) = x 1

นนคอ F(x) = x2 x + c เมอ c เปนคาคงตว

เปนรปทวไปของปฏยานพนธ ของ f(x) = x 12) จงหาฟงกชน F เมอกำาหนด F (x) = 6x2

วธทำา ให F1(x) = x3 จะได F1(x) = 3x2

F2(x) = 2x3 จะได F2(x) = 6x2

นนคอ F(x) = 2x3+ c เมอ c เปนคาคงตว

3) จงหาฟงกชน F เมอกำาหนด F (x) =

วธทำา จาก F (x) = = x5

ลองให F1(x) = x4 จะได F1(x) = 4x5

F2(x) = x4 จะได F2(x) = (4x5) = x5

F3(x) = x4 จะได F3(x) = (4x5) = x5

นนคอ F(x) = x4+ c เมอ c เปนคา

คงตว หรอ F(x) = 5. ครสรปขนตอนการหาปฏยานพนธของฟงกชน ดงน

ขนท 1 กำาหนด f(x)ขนท 2 ลองให y = F(x)ขนท 1 หา F (x)ขนท 2 ทดสอบวา F (x) = f(x) หรอไม



(1) ถา F (x) = f(x) แลว y = F(x) + c เปนรปทวไปของปฏยานพนธของฟงกชน f

(2) ถา F (x) f(x) ใหดำาเนนการตามขนตอนท 2 ใหมจากนน ครใหนกเรยนทำากจกรรม

ปรพนธไมจำากดเขต6. ครแนะนำาใหนกเรยนรจกสญลกษณ f(x)dx เปนรป

ทวไปของปฏยานพนธของฟงกชน f อานวา ปรพนธไม“จำากดเขตของฟงกชน f เทยบกบตวแปร x”ดงนน ถา F (x) = f(x) ถา แลว

จะไดวา f(x)dx = F(x) + c เมอ c เปนคาคงตว* ปรพนธไมจำากดเขตของฟงกชน f คอปฏยานพนธของฟงกชน f นนเอง



7. ครสรปเปนบทนยาม ดงนบทนยาม เมอ f เปนฟงกชนทมโดเมนและเรนจเปนสบเซตของจำานวนจรง

และ F (x) = f(x) สำาหรบทก x ทอยในโดเมนของ f

ปรพนธไมจำากดเขตของฟงกชน f เขยนแทนดวย f(x)dx

โดยท f(x)dx = F(x) + c เมอ c เปนคาคงตวใดๆกระบวนการหา f(x)dx เรยกวา การหาปรพนธเครองหมาย เรยกวา เครองหมายปรพนธเรยก f(x) วา ปรพนธdx เปนสญลกษณทบอกวา การหาปรพนธนเทยบกบตวแปร x

8. ครใหนกเรยนศกษาสตรเกยวกบการหาปรพนธและตวอยางการใชสตรตางๆ (ตวอยางท 1) ตามรายละเอยดในหนงสอเรยน

* จากตวอยางท 1 ในหนงสอเรยน ขอทเปนการหาปรพนธไมจำากดเขตของผลบวกหรอผลตางของฟงกชน (ขอท 5-8) จะเหนวามการบวกคาคงตวเมอหาปรพนธไมจำากดเขตของแตละฟงกชน เชน

(2x + 3x2)dx = 2xdx + 3x2dx= 2 xdx + 3 x2dx= เมอ c1 และ c2 เปนคาคงตว= x2+ x3+ (2c1+ 3c2)= x2+ x3+ c เมอ c = 2c1+ 3c2

ครควรแนะนำาวา แทนทจะบวกคาคงตวเมอหาปรพนธไมจำากดเขตของแตละฟงกชน เราอาจบวกคาคงตวเพยง



ตวเดยวเทานน จะทำาใหหาปรพนธไดสะดวกและรวดเรวขน ดงน

(2x + 3x2)dx = 2xdx + 3x2dx= 2 xdx + 3 x2dx

=

= x2+ x3+ c



9. ครอธบายสตร undu = + c โดยบอก

หลกในการใชสตร ดงน

การใชสตร undu = + cมกจะจดใหอยในรป (axm+ b) n xm1dx โดยท u = axm+ bและตองทำา xm1dx ในรป du จงจะใชสตร undu =

+ c ได

ครใชตวอยางตอไปนประกอบการอธบาย1) จงหา (3x + 2)3dx

วธทำา ให u = 3x + 2 = 3 หรอ dx = du

(3x + 2)3dx = u3

= u3du

=

= u4+ c

= (3x + 2)4+ c

2) จงหา วธทำา ให u = 4x3+ 2

= 12x2 หรอ x2dx =

=

=



=

=

=

=



3) จงหา

วธทำา ให u = x2+ 2x + 1 = 2x + 2 = 2(x + 1)

(x + 1)dx =

=

=

=

= =

10. ครอธบายการหาปฏยานพนธของฟงกชน f เมอโจทย

กำาหนด = f(x) มาให ดงน

จาก = f(x)

dx = f(x)dxหรอ y = f(x)dx

โดยใชตวอยางตอไปนประกอบการอธบาย1) จงหาสมการเสนโคง y = f(x) ซงมความชน ณ

จด (x, y) ใดๆ บนเสนโคงเทากบ 4x 1 และผานจด (2, 1)วธทำา ความชนของเสนโคง ณ จด (x, y) ใดๆ คอ



เพราะฉะนน = 4x 1y = (4x 1)dx

y =

y = 2x2 x + cเนองจากเสนโคงผานจด (2, 1)



ดงนน 1 = 2(2)2 2 + cจะได c = 5ดงนน สมการเสนโคงคอ y = 2x2 x 5

2) ความชนของเสนโคงเสนหนงทจด (x, y) ใดๆ เทากบ x + ถาเสนโคงนผานจด (1, 4) จงหาสมการของเสนโคงน

วธทำา ความชนของเสนโคงทจด (x, y) ใดๆ คอ

ดงนน =

y =

y =

y = เนองจากเสนโคงผานจด (1, 4)

ดงนน 4 =

จะได c =

ดงนน สมการเสนโคงคอ y =

3) อนภาคชนหนงเคลอนทจากจดๆ หนง เมอเวลาผานไป t วนาท อนภาคมความเรว v = 4t3+ 2t 1 เมตรตอวนาท ขณะทเรมตนจบเวลา อนภาคเคลอนทไดทาง4 เมตร จงหาระยะทางทอนภาคเคลอนทหางจากจดเรมตนเมอ t = 3 วนาทวธทำา จากกำาหนด v = 4t3+ 2t 1

ดงนน s = t4+ t2 t + c



……….(1)ขณะเรมตนจบเวลาคอ t = 0 และ s = 4ดงนน 4 = 04 + 02 0 + c

c = 4จาก (1) จะได s = t4+ t2 t + 4เมอ t = 3; s = 34+ 32 3 +

4 = 91นนคอ เมอ t = 3 วนาท อนภาคเคลอนทหาง

จากจดเรมตน 91 เมตร



4) ในเวลา t วนาท รถไฟวงดวยความเรง a เมตรตอวนาท2

โดยท a(t) = 12t2+ 6t + 10 ถา t = 0 วนาท รถไฟวงไดทาง 10 เมตร ดวยความเรว v เทากบ 0 เมตรตอวนาทจงหาวาเมอ t = 5 วนาท รถไฟวงไดทางเทาไรวธทำา จาก a(t) = 12t2+ 6t + 10

ดงนน v(t) = (12t2+ 6t + 10)dt

v(t) = 4t3+ 3t2 + 10t + c1 ……….(1)

จากโจทย ถา t = 0 แลว v = 0ดงนน 0 = 4(0)3+ 3(0)2+

10(0) + c1จะได c1 = 0จาก (1); v(t) = 4t3+ 3t2 +

10tเนองจาก v = เมอ s แทนระยะทาง

ดงนน s(t) = t4+ t3+ 5t2+ c2 ……….(2)

จากโจทย ถา t = 0 แลว s = 10ดงนน 10 = 04+ 03+ 5(0) 2+

c2จะได c2 = 10จาก (2) จะได s(t) = t4+ t3+ 5t2+ 10เมอ t = 5; s(5) = 54+ 53+

5(5)2+ 10= 625 + 125 + 125 +10


= 885ดงนน เมอ t = 5 วนาท รถไฟวงไดทาง 885

เมตร11. ครใหนกเรยนแบงกลมทำากจกรรม กลมละ 3 ขอ โดยวธ

จบฉลาก แลวนำาคำาตอบทไดมาอภปรายรวมกน

5.3 ขนสรปครและนกเรยนรวมกนทบทวนบทนยามของปรพนธไมจำากดเขต โดยยำาใน

ประเดนทวา

1) การหาปรพนธของพจนยอยๆ ตองจดใหอยในรปของสตร

xndx = + c

เชน dx ตองจดรปเปน x5dx แลวหาปรพนธตามสตร

2) การหาปรพนธไมจำากดเขตของผลบวกหรอผลตางของฟงกชน แทนทจะบวกคาคงตวเมอหาปรพนธไมจำากดเขตของแตละฟงกชน เราอาจบวกคาคงตวเพยงตวเดยวเทานน

3) ทบทวนสตรตางๆ ของการหาปรพนธ แลวสรปวาเราสามารถนำาสตรการหาปรพนธไปใชประโยชนในการหาสมการเสนโคง การหาความเรวจากการเคลอนทเมอกำาหนดความเรงขณะเวลา t ใดๆ

6.1 สอการเรยนร- หนงสอเรยนเสรมคณตศาสตรเพมเตม ม.6 ภาคเรยนท 2- หนงสอเรยนสาระการเรยนรเพมเตม คณตศาสตร เลม 2 กลมสาระการ


6.2 แหลงการเรยนร


1) หองสมดโรงเรยน 2) หองสมดกลมสาระการเรยนรคณตศาสตร


ขนรวบรวมขอมลใหนกเรยนแบงกลมศกษาและรวบรวมสตรเกยวกบการหาปรพนธอนๆ เพม

เตมใหไดมากทสด และตวอยางวธการใชสตรดงกลาว

เชน = ln |x| + c

= ln |u| + ceudu = eu+ caudu = + c เมอ a 0 และ a 1

ขนวเคราะหใหนกเรยนแสดงวธการใชสตรและวเคราะหวาสตรแตละแบบใชกบฟงกชน

ชนดใดบางขนสรปใหนกเรยนเขยนสตรและตวอยางการหาปรพนธจากสตรดงกลาว จดทำาเปน

รายงานสงครขนประยกตใชครนำาผลงานทถกตองและนาสนใจนำามาอภปรายรวมกนในชนเรยน



ละ..................


- ผานเกณฑการประเมนระดบปานกลาง ....... คน คดเปนรอยละ..................

- ไมผานเกณฑการประเมนระดบปรบปรง ....... คน คดเปนรอยละ..................


...................................................................................การปรบปรงแกไข....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................ขอคดเหนและขอเสนอแนะเพมเตม....................................................................................................................................................................................


..........................................................................................

............................................................................

.............................................................................................................................................................................

ลงชอ...........................................ผสอน (นางรดารตน อทโธ)

ครคศ.1 ............./............../

..............


ลงชอ...........................................ผตรวจสอบ (..................................................)

ตำาแหนง....................................................

............./............../..............





...

แผนการจดการเรยนรท 2/9 เรอง ปรพนธจำากดเขตและพนททปดลอมดวยเสนโคง



1) หาปรพนธจำากดเขตของฟงกชนบนชวงทกำาหนดใหได


2) หาพนททปดลอมดวยเสนโคงบนชวงทกำาหนดใหได1.2 จดประสงคการเรยนร

1) หาปรพนธจำากดเขตของฟงกชนบนชวงทกำาหนดใหได2) หาพนททปดลอมดวยเสนโคงบนชวงทกำาหนดใหได


1) ปรพนธจำากดเขต2) พนททปดลอมดวยเสนโคง


2.3 ทกษะการคด1) ทกษะการคดแปลความ2) ทกษะการคดวเคราะห 3) ทกษะการคดประยกตใช4) ทกษะการคดสรปความ






3.4 ความรความเขาใจ1) นกเรยนรวธหาปรพนธจำากดเขตของฟงกชนบนชวงทกำาหนดให2) นกเรยนรวธหาพนททปดลอมดวยเสนโคงบนชวงทกำาหนดให





ครทบทวนวธการหาปรพนธไมจำากดเขต โดยใหนกเรยนทำาโจทยตอไปน

1) จงหา

วธทำา =

=

=

=

2) จงหา

วธทำา =

=


=

=

5.2 ขนสอน


ปรพนธจำากดเขต

1. ครแนะนำาวา เปนสญลกษณทใชแทนปรพนธ

จำากดเขตของฟงกชนตอเนอง f บนชวง [a, b] และอธบายทฤษฎบทหลกมลของแคลคลส ดงนทฤษฎบทหลกมลของแคลคลส

กำาหนด f เปนฟงกชนตอเนองบนชวง [a, b] ถา F เปนปฏยานพนธของฟงกชน f แลว

= F(b) F(a)2. จากทฤษฎบทหลกมลของแคลคลส ครสรปเปนขนตอน

การหาปรพนธจำากดเขตไดดงน1) หา F(x) ซงเปนรปทวไปของปฏยานพนธของ f(x)2) หา F(b) F(a)3) จะได = F(b) F(a)

* ครแนะนำาวา เราจะเขยนแทน F(b) F(a) ดวย



ba

ba


สญลกษณ F(x)

นนคอ = F(x) = F(b) F(a)

3. ครอธบายการหาปรพนธจำากดเขตโดยใชทฤษฎบทหลกมลของแคลคลส โดยใชตวอยางท 1 และตวอยางท 2 ในหนงสอเรยน แลวใหแนวคดเพมเตมวาในการหาปรพนธจำากดเขตของฟงกชน


f โดยใชทฤษฎบทหลกมลน ตองหาปฏยานพนธของฟงกชน f กอน โดยไมตองบวกคาคงตว c เพราะเมอแทนคา x = b และ x = a ใน F(x) แลวหา F(b) F(a) คาคงตว c จะลบกนหมดไป

กจกรรมการเรยนการสอน ฝกการคดแบบ4. ครยกตวอยางตอไปนเพมเตม

1) จงหา 1 2(x2+2)dx

วธทำา เนองจาก f(x) = x2+2 เปนฟงกชนตอเนองใน R

ดงนน ฟงกชน f จงเปนฟงกชนตอเนองในชวง [1, 2]

1 2(x2+2)dx =

=


21


=

=

2) จงหา 2

1

วธทำา เนองจาก f(x) = x2+ เปนฟงกชนตอ

เนองใน R {0}ดงนน ฟงกชน f จงเปนฟงกชนตอเนองในชวง

[2, 1]เนองจากปฏยานพนธของฟงกชน f(x) = x2+

x3 คอ

F(x) = =

ดงนน 2

1 =

12


=

=

=

=

=



3) จงหา 0 1x2(x21) 2dx

วธทำา 0 1x2(x21) 2dx = 0

1x2(x42x2+ 1)dx= 0

1(x62x4+ x2)dx

=

=

=

5. ครใหนกเรยนแบงกลมชวยกนทำากจกรรม แลวนำาคำาตอบทไดมาอภปรายรวมกน

พนททปดลอมดวยเสนโคง6. ครแนะนำาวาเราสามารถนำาความรเกยวกบปรพนธจำากด

เขตมาชวยในการหาพนททปดลอมดวยเสนโคง โดยใชทฤษฎบทตอไปน



10


ทฤษฎบท เมอ f เปนฟงกชนตอเนองบนชวง [a, b] และ A เปนพนททปดลอมดวยกราฟของ f จาก x = a ถง x = b 1. ถา f(x) 0 สำาหรบทกคาของ x ทอยในชวง

[a, b] และ A เปนพนทเหนอแกน X แลว A =

a bf(x)dx

2. ถา f(x) 0 สำาหรบทกคาของ x ทอยในชวง [a, b] และ A เปนพนท

ใตแกน X แลว A = a bf(x)dx

7. จากทฤษฎบทในขนนำา ครอธบายเพมเตมวา ถาฟงกชน y = f(x) เปนฟงกชนตอเนองบนชวง [a, b] พนททปดลอมดวยเสนโคงของ y = f(x) จาก x = a ถง x = b หมายถงพนทบรเวณทลอมรอบดวยกราฟของ f, แกน X, เสนตรง x = a และเสนตรง x = b

8. ครใหนกเรยนศกษาลกษณะของพนททปดลอมดวยเสนโคงทอยเหนอแกน X หรออยใตแกน X จากรปในหนงสอเรยน

9. ครใชตวอยางท 1 และตวอยางท 2 อธบายวธการหาพนททปดลอมดวยเสนโคงโดยใชทฤษฎบทขางตน



10. ครยกตวอยางตอไปนเพมเตมจากในหนงสอเรยน1) จงหาพนททปดลอมดวยเสนโคง y = 9 x2 จาก x = 2 ถง x = 1

วธทำา กราฟของ f เปนรปพาราโบลาควำา และ f(x)

0 สำาหรบทก x ในชวง[2, 1]

ให A แทนพนททปดลอมดวยเสนโคง y = 9 x2

จาก x = 2 ถง x = 1 จะได A =

2 1(9 x2)dx

=


12


=

= = 24 ตารางหนวย

2) จงหาพนททปดลอมดวยเสนโคง y = x2 2x + 3 แกน X และเสนตรง x = 1, x = 3

วธทำา



พนทสวนทแรเงา = 1

3(x2 2x + 3)dx

=

= (9 9 + 9)

= 9 = 9 + 4

= 13 ตารางหนวย

11. ในหวขอการหาพนทระหวางเสนโคงสองเสน ครอาจยกตวอยางตอไปนเพมเตมจากในหนงสอเรยน1) จงหาพนทระหวางเสนโคง y = 3x x2 และเสนตรง y = 4 2x

วธทำา


31


หาจดตดระหวางเสนโคงกบเสนตรงy = 3x x2y = 4 2x

จะได 3x x2 = 4 2xx2 5x + 4 = 0

(x 4)(x 1) = 0x = 1, 4y = 2, 4

จดตดคอ (1, 2) และ (4, 4)



พนทระหวางเสนโคง = 1 4 [(3x x2) (4

2x)]dx= 1

4 (5x x2 4)dx

=

=

=

=

=

= ตารางหนวย

2) จงหาพนทระหวางเสนโคง y = 2x2 4x + 6 และ y = 1 + 4x x2

วธทำา หาจดตดของเสนโคง y = 2x2 4x + 6

41


และ y = 1 + 4x x2

จะได 2x2 4x + 6 = 1 + 4x x2

3x2 8x + 5 = 0(3x 5)(x 1) = 0

x = , 1

พนทระหวางเสนโคง = 1 [(1 + 4x x2)

(2x2 4x + 6)]dx= 1 (3x2+ 8x 5)dx

= [x3+ 4x2 5x]

= (1 + 4 5)

= (2)

53

53

153



แบบ

= + 2

= ตารางหนวย

12. ครใหนกเรยนแบงกลมชวยกนทำากจกรรม แลวนำาคำาตอบทไดมาอภปรายรวมกน

5.3 ขนสรปครและนกเรยนรวมกนทบทวนในประเดนตอไปน

1) ทฤษฎบทหลกมลของแคลคลส โดยครยำาวา

= F(b) F(a)ในการหา F(b) F(a) เพอความรวดเรวในการคำานวณ ไมจำาเปนตอง

เขยนคาคงตว c เนองจากเมอแทนคา x = b และ x = a ใน F(x) แลวหา F(b) F(a) คา c จะลบกนหมดไป

2) หลกในการหาพนททปดลอมดวยเสนโคง6.1 สอการเรยนร









ละ..................

ผลการประเมนพฤตกรรมระหวางเรยน..............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ปญหาและอปสรรคระหวางการจดกจกรรมการเรยนการสอน


..........................................................................................

..........................................................................................

..........................................................................................

............................................................................

.............................................................................................................................................................................

การปรบปรงแกไข....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................


...................................................................................ลงชอ...........................................ผ


ครคศ.1 ............./............../

..............

ความคดเหนของฝายวชาการ/หวหนากลมสาระการเรยนร/หวหนาระดบ..............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................


..........................................................................................

............................................................................

..........................................................................................

..........................................................................................

..........................................................................................

............................................................................

ลงชอ...........................................ผตรวจสอบ (..................................................)

ตำาแหนง....................................................

............./............../..............



ผอำานวยการโรงเรยนราชประชานเคราะห ๓๕


............./............../..............

หนวยการเรยนรท 3เรอง กำาหนดการเชงเสน

รายวชาทนำามาบรณาการการงานอาชพและเทคโนโลย



3. สาระการเรยนรประจำาหนวย3.1 กราฟของอสมการเชงเสน3.2 กราฟของระบบอสมการเชงเสน3.3 การแกปญหากำาหนดการเชงเสนโดยวธใชกราฟ








บทบาทคร บทบาทนกเรยน5.1 ผลงาน / ชนงาน ไดแก
























- แนะนำาวธการจดกลมและการทำากจกรรมกลม




- ใหนกเรยนจดกลมตามทครมอบหมายและชวยกนทำากจกรรมในชนเรยน




แผนการจดการเรยนรท 3/1 เรอง กราฟของอสมการเชงเสนและกราฟของระบบอสมการเชงเสน



เขยนกราฟของระบบอสมการเชงเสนได1.2 จดประสงคการเรยนร

เขยนกราฟของระบบอสมการเชงเสนได



1) กราฟของอสมการเชงเสน2) กราฟของระบบอสมการเชงเสน







3.4 ความรความเขาใจนกเรยนรวธเขยนกราฟของระบบอสมการเชงเสน






ครทบทวนวธการเขยนกราฟของอสมการเชงเสน โดยใหหลกในการเขยนกราฟ ดงน

ขนท 1 นำาอสมการมาแปลงรปเปนสมการและเขยนกราฟของสมการขนท 2 ใชกราฟของสมการในขนท 1 เปนแนวทางในการเขยนกราฟ

ของอสมการ โดยการพจารณางายๆ วา จดตางๆ บนกราฟของอสมการอยดานซายมอหรอดานขวามอของกราฟของสมการ (หรอพจารณาวา จดตางๆ บนกราฟของอสมการอยดานบนหรอดานลางของกราฟของสมการ)

5.2 ขนสอน


1. ครอธบายวธการเขยนกราฟของอสมการตามขนตอนในขนนำา โดยใชตวอยางในหนงสอเรยนหวขอท 3.1 และใหขอสงเกตวา สวนของกราฟทเปนเสนทบ แสดงวาจดทกจดบนเสนนนรวมอยในกราฟ และสวนของกราฟทเปนเสนประ แสดงวาจดในแนวเสนประนนไมรวมอยในกราฟ

2. ครใหนกเรยนแบงกลมทำากจกรรม กลมละ 3 ขอ แลวใหตวแทนกลมออกมาวาดกราฟของอสมการบนกระดาน ครและนกเรยนกลมอนๆ ตรวจสอบความถกตอง



กจกรรมการเรยนการสอน ฝกการคดแบบ3. ครอธบายวา อสมการเชงเสนในสองตวแปร สามารถ

เขยนในรปใดรปหนงดงนAx + By + C 0Ax + By + C 0Ax + By + C 0Ax + By + C 0

เมอ A และ B ไมเปนศนยพรอมกน และ A, B, C เปนจำานวนจรง

ระบบอสมการเชงเสนประกอบดวยอสมการเชงเสนตงแต 2 อสมการขนไป โดยคำาตอบของระบบอสมการเชงเสนในตวแปร x และ y คอ (x0 , y0) ซงสอดคลองกบอสมการทกอสมการในระบบ

4. ครอธบายวา กราฟของระบบอสมการ คอสวนตดของสวนทแรเงาในแตละอสมการ จากนนแสดงวธวาดกราฟของระบบอสมการตามตวอยางท 1 และตวอยางท 2 ในหนงสอเรยน

5. ครยกตวอยางตอไปนเพมเตมจากในหนงสอเรยน1) จงเขยนกราฟของระบบอสมการ

x + y 4x + 2y 6x 0y 0

วธทำา




วเคราะห



ประยกตใช

กจกรรมการเรยนการสอน ฝกการคดแบบ2) จงเขยนกราฟของระบบอสมการ

x + y 6x + 2y 8x 0y 0

วธทำา

จากกราฟทงสองตวอยางขางตน ครอธบายเพมเตมวา กราฟในขอ 1 เปนบรเวณทมขอบเขตไมจำากด กราฟในขอ 2 เปนบรเวณทมขอบเขตจำากด จดตดของเสนตรงทเปนขอบเขต เรยกวา จดมม


6. ครใหนกเรยนทำากจกรรม

5.3 ขนสรปครและนกเรยนรวมกนสรปวธการเขยนกราฟของระบบอสมการเชงเสน

ดงน1) เขยนกราฟของสมการเสนตรงทงหมดทไดจากระบบอสมการเชงเสนท

โจทยกำาหนด2) เลอกจดซงไมอยบนเสนตรงในขอ 1 แลวทดสอบพกดของจดนน โดย

อาจใชหลกทวา1.ถาเปนเครองหมาย มากกวา ใหแรเงาเหนอเสนกราฟของสมการ จะ“ ”

ไดพนททตองการ2.ถาเปนเครองหมาย นอยกวา ใหแรเงาใตเสนกราฟของสมการ จะได“ ”

พนททตองการ3.ถามเครองหมาย เทากบ ในอสมการกราฟจะเปนเสนทบ แตถาเปน“ ”

อสมการอยางเดยว ไมมเครองหมายเทากบ กราฟจะเปนเสนประ

3) แรเงาบรเวณทซอนทบกนของกราฟของอสมการทงหมด





7. กจกรรมเสนอแนะ


-




ละ..................

ผลการประเมนพฤตกรรมระหวางเรยน....................................................................................................................................................................................


..........................................................................................

............................................................................

..........................................................................................

..........................................................................................

..........................................................................................

............................................................................

..........................................................................................

..........................................................................................

..........................................................................................


...................................................................................การปรบปรงแกไข....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................


...................................................................................ลงชอ...........................................ผ


ครคศ.1


............./............../..............


ลงชอ...........................................ผตรวจสอบ (..................................................)

ตำาแหนง....................................................

............./............../..............

ความคดเหนของผอำานวยการโรงเรยน....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................


..........................................................................................

..........................................................................................

..........................................................................................

............................................................................



...

แผนการจดการเรยนรท 3/2 เรอง การแกปญหากำาหนดการเชงเสนโดยวธใชกราฟ



สรางแบบจำาลองทางคณตศาสตรและวธการของกำาหนดการเชงเสนทใชกราฟของสมการและอสมการทมสองตวแปรในการแกปญหาได

1.2 จดประสงคการเรยนรสรางแบบจำาลองทางคณตศาสตรและวธการของกำาหนดการเชงเสนทใช

กราฟของสมการและอสมการทมสองตวแปรในการแกปญหาได


การแกปญหากำาหนดการเชงเสนโดยวธใชกราฟ





1) ผลงานจากการทำากจกรรม2) ผลงานจากการทำากจกรรมกลม3) ผลงานจากการทำากจกรรมบรณาการ วาดรปกราฟของระบบ“

อสมการขอจำากดโดยใชโปรแกรมคอมพวเตอร”3.2 กระบวนการขนตอนการปฏบตงาน

1) จดกลม กลมละ 5-6 คน 2) เลอกหวหนากลม3) หวหนากลมแบงงาน4) รวมกนทำากจกรรมทกำาหนด5) นำาเสนอผลงานหนาชนเรยน6) ครมอบหมายใหทำากจกรรม7) ครมอบหมายใหทำากจกรรมบรณาการ


3.4 ความรความเขาใจนกเรยนรวธการแกโจทยปญหากำาหนดการเชงเสนโดยวธใชกราฟ


1) ไดระดบ “พอใช” ขนไป


2) ไดระดบ “ด” ขนไป3)ทำาไดถกตอง 80% ขนไป



ครสนทนากบนกเรยนวา การดำาเนนงานใดๆ เพอใหบรรลเปาหมายตามทกำาหนดไวอยางมประสทธภาพสงสด เราสามารถจำาลองสถานการณโดยใชสมการหรออสมการแลวใชวธทางคณตศาสตรหาวธทดทสด วธการเชนนเรยกวา กำาหนดการคณตศาสตร (mathematical programming) และถาจำาลองระบบงานดวยระบบอสมการเชงเสน และเขยนเปาหมายในรปของการหาคาสงสดหรอคาตำาสดของฟงกชนเชงเสนได จะเรยกวา กำาหนดการเชงเสน (linear programming)

ปญหาทใชเทคนคของกำาหนดการเชงเสน คอ ปญหาการจดสรรทรพยากรหรอปจจย (กำาลงคน เครองจกร วตถดบ เวลา เงน ความรความสามารถ ฯลฯ) ทมอยอยางจำากด เพอใหไดประโยชนสงสดหรอมผลเสยนอยทสด โดยทตวแปรตางๆ ทเกยวของมความสมพนธกนเปนเชงเสน สำาหรบการใชกำาหนดการเชงเสนมาแกปญหานน จะตองมขอสมมตวาจะตองมตวแปรอยางนอยหนงตวทมอทธพลตอเปาหมายของปญหานนๆ (เชน ตองการกำาไรสงสด หรอเสยคาใชจายตำาสด) ซงผตดสนใจจะตองสามารถกำาหนดหรอหาคาตวแปรตวนได ดงนน จะเรยกตวแปรตวนวาเปนตวแปรทใชในการตดสนใจ (decision variable) สำาหรบปญหาสวนใหญทใชเทคนคของกำาหนดการเชงเสนในการแกปญหา ไดแก

1.การวางแผนการผลต (การตดสนใจวาจะผลตสนคาชนดใดบาง จำานวนเทาใด เพอใหไดกำาไรสงสด)

2.เกยวกบตารางการผลต3.ปญหาเกยวกบการขนสง4.ปญหาเกยวกบการจดงาน5.การวางแผนเกยวกบการลงทน


5.2 ขนสอน


1. ครอธบายวา ปญหากำาหนดการเชงเสนมเปาหมายอยทการหาคาสงสดหรอคาตำาสดของฟงกชนเชงเสนของตวแปรทสนใจ เรยกวา ฟงกชนจดประสงคขนตอนการแกโจทยปญหากำาหนดการเชงเสนดวยการเขยนกราฟ1. เขยนระบบอสมการเพอบรรยายสถานการณ เรยกวา อสมการขอจำากด2. เขยนฟงกชนจดประสงคจากสถานการณ3. เขยนกราฟแสดงพนททเปนไปได4. หาพกดของจดมมของพนททเปนไปได5. แทนคาจดมมลงในฟงกชนจดประสงคเพอหาคาสงสดหรอคาตำาสด

2. ครอธบายตวอยางท 1 และตวอยางท 2 ตามหนงสอเรยน แลวยำากบนกเรยนวา สำาหรบฟงกชนเชงเสน f(x, y) = Ax + By เมอ A, B เปนจำานวนจรง ซงหาคาไดในบรเวณรปปด ฟงกชนจะมคาสงสดหรอคาตำาสดทจดมมของบรเวณเทานน

3. ครยกตวอยางตอไปนเพมเตมจากในหนงสอเรยน1) บรษทแหงหนงผลตเกาอโยกมกำาไรตวละ 50 บาท และ

ผลตเกาอนงธรรมดามกำาไรตวละ 30 บาท ถาบรษทนผลตเกาอโยก x ตวตอวน และเกาอนงธรรมดา y ตวตอวน และมเงอนไขการผลตดงน 6x + 3y 900, 3x + 4y 600 จงหาวาบรษทนมกำาไรตอวนมากทสดเทาไรวธทำา เขยนกราฟของอสมการ 6x + 3y 900,

3x + 4y 600, x 0 และ y 0 ดงน




จากกราฟจะเหนไดวา มจดมม 4 จด ดงน

กจกรรมการเรยนการสอน ฝกการคดแบบจดท 1 หาจดตดของแกน X และแกน Y ไดจดตดคอ

(0, 0) P = 50(0) + 30(0) = 0

จดท 2 หาจดทเสนตรง 6x + 3y = 900 ตดแกน X โดยให y = 0

จะได 6x + 3(0) = 900 นนคอ x = 150 P = 50x+ 30y

= 50(150) + 30(0)= 7,500

จดท 3 หาจดทเสนตรง 3x + 4y = 600 ตดแกน Y โดยให x = 0

จะได 3(0) + 4y = 600 นนคอ y = 150 P = 50x+ 30y

= 50(0) + 30(150)= 4,500

จดท 4 หาจดทเสนตรง 6x + 3y = 900 ……….(1)

ตดกบเสนตรง 3x + 4y = 600


หรอ 6x + 8y = 1,200 ……….(2)(2) (1) จะได 5y = 300

y = 60แทนคา y = 60 ลงใน (1) จะได

6x + 3(60) = 9006x = 720x = 120

P = 50x+ 30y = 50(120) + 30(60)= 6,000 + 1,800= 7,800

นนคอ บรษทนไดกำาไรตอวนมากทสดเทากบ 7,800 บาท



2) ในการตดกางเกงและกระโปรงขายสงรานจำาหนายเสอผาจากผาทมอย 60 เมตร ถากางเกงแตละตวใชผา 1.2 เมตร และกระโปรงแตละตวใชผา 1.5 เมตร ผตดควรตดกางเกงและกระโปรงอยางละเทาไร จงจะไดเงนจากการขายมากทสด ถาผตดขายกางเกงตวละ 150 บาท และกระโปรงตวละ 180 บาท จะไดเงนจากการขายมากทสดเทาไรวธทำา ให x และ y เปนจำานวนกางเกงและกระโปรงตามลำาดบ

P เปนจำานวนเงนทไดจากการขายจะไดฟงกชนจดประสงคและอสมการขอจำากดดงน

P = 150x + 180y1.2x + 1.5y 60 หรอ 4x + 5y

200x 0y 0

เขยนกราฟของระบบอสมการไดดงรป

จดมมทไดจากอสมการขอจำากด คอ A(50, 0), B(0, 40) และ (0, 0)

f(50, 0) = 150(50) + 180(0) = 7,500

f(0, 40) = 150(0) + 180(40)


= 7,200f(0, 0) = 150(0) + 180(0) =

0ดงนน ผตดควรตดเฉพาะกางเกง 50 ตว ทำาใหได

เงนจากการขายสงสดเปน 7,500 บาท


3) โรงงานผลตสบปะรดกระปองแหงหนง ผลตเนอสบปะรดไดกำาไรกระปองละ4 บาท นำาสบปะรดกำาไรกระปองละ 7 บาท การผลตสบปะรดกระปองตองมกรรมวธทำาใหสำาเรจรป คอการตดเปนชนๆ หรอคนนำา รวมทงการบรรจลงกระปอง ซงเครองจกรสามารถทำางานไดไมเกน 30 ชวโมง และ 20 ชวโมงตามลำาดบเนอสบปะรด 1 กระปองใชเวลาตด 3 นาท บรรจกระปอง 1 นาท นำาสบปะรดใชเวลาคน 4 นาท และบรรจกระปอง 3 นาท จงหาฟงกชนจดประสงค เพอใหไดกำาไรมากทสดตามอสมการขอจำากดทมอย เขยนกราฟหาคาดทสดของผลตภณฑทงสอง และกำาไรทมากทสดดวยวธทำา ให x แทนจำานวนเนอสบปะรดกระปอง

y แทนนำาสบปะรดกระปอง3x + 4y 30 60 (จำากดเวลา

เครองจกรผลต)x + 3y 20 60 (จำากดเวลาบรรจ

กระปอง)x 0y 0


ให Z = กำาไรสงสด Z = 4x + 7y

จดมม (x, y) Z = 4x + 7yO(0, 0)

A(600, 0)B(120, 360)C(0, 400)

02,4003,0002,800


แบบจากการเปรยบเทยบคา Z พบวาจด B(120, 360)

ใหคา Z มากทสด ซงเกดจากใช x = 120, y = 360 หมายความวาเจาของโรงงานตองผลตเนอสบปะรดกระปอง 120 กระปอง และนำาสบปะรดกระปอง 360 กระปอง จงจะไดกำาไรมากทสด และไดกำาไรมากทสด 3,000 บาท

4. ครใหนกเรยนแบงกลมทำากจกรรม กลมละ 3 ขอ แลวนำาคำาตอบมาอภปรายรวมกน


5.3 ขนสรปครและนกเรยนรวมกนทบทวนขนตอนการแกปญหากำาหนดการเชงเสนโดย

วธใชกราฟ






ขนรวบรวมขอมลใหนกเรยนแบงกลมแตงโจทยเกยวกบการแกปญหากำาหนดการเชงเสนโดย

วธใชกราฟ โดยนำาสถานการณในชวตประจำาวนมาสรางเปนโจทยปญหา ในทำานองเดยวกบกจกรรม กลมละ 2 ขอ

ขนวเคราะหใหนกเรยนวเคราะหโจทยปญหากำาหนดการเชงเสนทแตงขน จากนนแสดง

วธหาคำาตอบและวาดรปกราฟประกอบขนสรปใหนกเรยนเขยนโจทย วธทำา และรปกราฟ จดทำาเปนรายงานสงครขนประยกตใชครเลอกโจทยทนาสนใจนำามาอภปรายรวมกนในชนเรยน

7.2 กจกรรมบรณาการ


ครสามารถบรณาการการเรยนกบกลมสาระการงานอาชพและเทคโนโลย โดยกำาหนดภาระงานใหนกเรยนแบงกลมศกษาวธการวาดกราฟของระบบอสมการขอจำากด โดยใชโปรแกรมคอมพวเตอรนำาเสนอในรปรายงานทประกอบดวยโจทยปญหากำาหนดการเชงเสนและวธทำา พรอมทงแสดงวธวาดรปกราฟโดยใชโปรแกรมคอมพวเตอรประกอบ กลมละ 3 ตวอยาง

ภาระงาน วาดรปกราฟของระบบอสมการขอจำากดโดยใชโปรแกรม“คอมพวเตอร”

ผลการเรยนรใชโปรแกรมคอมพวเตอรวาดรปกราฟของระบบอสมการขอจำากดไดผลงานทตองการ กราฟของระบบอสมการขอจำากดทวาดจากโปรแกรมคอมพวเตอร กลมละ 3 ตวอยางขนตอนการทำางาน 1. ศกษาวธวาดกราฟโดยใชโปรแกรมคอมพวเตอรจากแหลงความรตางๆ

2.อธบายวธวาดกราฟตามลำาดบขนจากการสรางพนฐานจนไดรปกราฟสมบรณโดยมภาพ ประกอบทกขนตอน

3. เขยนวธการแกโจทยปญหาและวาดรปกราฟประกอบ (พรอมวธการสรางโดยใชโปรแกรม คอมพวเตอร) จดทำาเปนรายงานสงครเกณฑการประเมน 1. ความถกตอง

2.ความสวยงาม3.ความนาสนใจในการนำาเสนอ





ละ..................

ผลการประเมนพฤตกรรมระหวางเรยน..............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ปญหาและอปสรรคระหวางการจดกจกรรมการเรยนการสอน....................................................................................................................................................................................


..........................................................................................

............................................................................

.............................................................................................................................................................................

การปรบปรงแกไข....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................


...................................................................................ลงชอ...........................................ผ


ครคศ.1 ............./............../

..............

ความคดเหนของฝายวชาการ/หวหนากลมสาระการเรยนร/หวหนาระดบ....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................


..........................................................................................

..........................................................................................

..........................................................................................

............................................................................

ลงชอ...........................................ผตรวจสอบ (..................................................)

ตำาแหนง....................................................

............./............../..............




...


โครงสรางรายวชาคณตศาสตรเพมเตม รหสวชา ค 33206ระดบมธยมศกษาตอนตน ชน ม.6 ภาคเรยนท 2 เวลา 60 ชวโมง จำานวน 1.5 หนวยกต


ลำาดบทชอหนวยการเรยนร

เวลา(ชวโมง)

1 ลำาดบอนนต และอนกรมอนนต- ลมตของลำาดบ - ผลบวกของอนกรมอนนต

15

2 แคลคลสเบองตน- ลมตของฟงกชน - ความตอเนองของฟงกชน - อนพนธของฟงกชน- ความชนของเสนโคง - การหาอนพนธของฟงกชนพชคณตโดยใชสตร - อนพนธของฟงกชนคอมโพสท - อนพนธอนดบสง - การประยกตของอนพนธ - ปรพนธ- ปรพนธไมจำากดเขต - ปรพนธจำากดเขต- พนททปดลอมดวยเสนโคง

38

3 กำาหนดการเชงเสน 7

รวม 60

รายวชาคณตศาสตรเพมเตม


รายวชา ค 33202 กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร ชนมธยมศกษาปท 6

เวลา 60 ชวโมง/ภาคจำานวน 1.5 หนวยกต ภาคเรยนท 2

คำาอธบายรายวชาศกษา ฝกทกษะ ลำาดบอนนตและอนกรมอนนต หาลมตของลำาดบ และ

ผลบวกอนนตของอนกรมได แคลคลสเบองตน ลมตของฟงกชน ความตอเนองของฟงกชน อนพนธของฟงกชน การหาอนพนธของฟงกชนพชคณตโดยใชสตร อนพนธของฟงกชนคอมโพสท อนพนธอนดบสง การประยกตของอนพนธ ปรพนธไมจำากดเขต ปรพนธจำากดเขต พนททปดลอมดวยเสนโคง กำาหนดการเชงเสน

เพอพฒนาทกษะ/กระบวนการในการคดคำานวณ การแกปญหา การใหเหตผล การสอ ความหมายทางคณตศาสตร และนำาประสบการณดานความร ความคด ทกษะ กระบวนการทไดใชไปในการเรยนรสงตางๆและใชในชวตประจำาวนอยางสรางสรรค รวมทงเหนคณคา และมเจตคตทดตอวชาคณตศาสตร สามารถทำางานอยางเปนระบบ ระเบยบ รอบคอบ มความรบผดชอบ มวจารณญาณและเชอมนในตนเองและสามารถหลกเศรษฐกจพอเพยงมาปรบประยกตใชในชวตประจำาวนได

การวดและประเมนผล ใชวธทหลากหลาย ตามสภาพความเปนจรงของเนอหาและทกษะทตองการวดผลการเรยนรทคาดหวง1. หาลมตของลำาดบอนนตโดยอาศยทฤษฎบทเกยวกบลมต2. หาผลบวกของอนกรมอนนตได3. นำาความรเรองอนดบและอนกรมไปใชแกปญหาได4. หาลมตของฟงกชนทกำาหนดใหได5. บอกไดวาฟงกชนทกำาหนดใหเปนฟงกชนตอเนองหรอไม6. หาอนพนธของฟงกชนได


7. นำาความรเรองอนพนธของฟงกชนไปประยกตได8. หาปรพนธไมจำากดเขตของฟงกชนทกำาหนดใหได9. หาปรพนธจำากดเขตของฟงกชนบนชวงทกำาหนดให และหาพนททปดลอมดวยเสนโคงบนชวงทกำาหนดใหได10. แกปญหาโดยสรางแบบจำาลองทางคณตศาสตรและใชวธการของกำาหนดการเชงเสนทใชกราฟของสมการและอสมการทมสองตวแปร

Documents

บทที่ 3 “ การบวกจำนวนสองจำนวนที่มีผลลัพธ์ไม่เกิน 9 · Web viewเช่น 2 + 4 + 6 + 8 +