เลขยกก าลง

การยกก าลง คอการด าเนนการทางคณตศาสตรอยางหนง เขยนอยในรป an ซง

ประกอบดวยสองจ านวนคอ ฐาน a และ เลขชก าลง (หรอ ก าลง) n การยก

ก าลงมความหมายเหมอนการคณซ า ๆ กน คอ a คณกนเปนจ านวน n ตว

เมอ n เปนจ านวนเตมบวก

คลายกบการคณซงมความหมายเหมอนการบวกซ า ๆ กน

โดยปกตเลขชก าลงจะแสดงเปนตวยกอยดานขวาของฐาน จ านวน an อานวา a

ยกก าลง n หรอเพยงแค a ก าลง n ในภาษาองกฤษอาจเรยกการยกก าลงบางตว

ตางออกไปเชน a2 จะเรยกวา square และ a3 เรยกวา cube เปนตน เมอตวยกไม

สามารถใชไดเชนในขอความแอสก กมรปแบบการเขยนอยางอนทใชกน

อาท a^n และ a**n เปนตน

เลขยกก าลง an อาจนยามให n เปนจ านวนเตมลบกไดเมอคา a ไมเปนศนย

ตามปกตไมสามารถกระจายจ านวนจรง a กบ n ไดทก ๆ คาโดยธรรมชาต แต

เมอฐาน a เปนจ านวนจรงบวก จ านวน an สามารถนยามเลขชก าลง n ไดทกคา

แมแตจ านวนเชงซอนผานฟงกชนเลขชก าลง ez ฟงกชนตรโกณมตกสามารถ

เขยนใหอยในรปของการยกก าลงได

การยกก าลงทมเลขชก าลงเปนเมทรกซใชส าหรบการหาค าตอบของระบบ

สมการเชงอนพนธเชงเสน

การยกก าลงกใชงานในความรสาขาอนอยางแพรหลายเชนเศรษฐศาสตร

ชววทยา เคม ฟสกส และวทยาการคอมพวเตอร ในการใชงานค านวณอยางเชน

ดอกเบยทบตน การเพมประชากร จลนพลศาสตรเคม พฤตกรรมของคลน และ

การเขารหสลบแบบกญแจอสมมาตร เปนตน

กราฟของสมการ y = ax ในฐาน a ตาง ๆ: ฐาน 10 (สเขยว), ฐาน e(สแดง), ฐาน

2 (สน าเงน), และฐาน ½ (สฟา) เสนโคงแตละเสนผานจด (0,1) เนองจาก

จ านวนทไมเปนศนยใด ๆ ยกก าลง 0 จะได 1 และทx = 1 คาของ y จะเทากบ

ฐาน เนองจากจ านวนใด ๆ ยกก าลง 1 จะไดจ านวนเดม

เลขชก าลงเปนจ านวนเตม

การด าเนนการยกก าลงดวยเลขชก าลงทเปนจ านวนเตม เปนขอก าหนดทจ าเปน

ของพชคณตมลฐานเทานน

เลขชก าลงเปนจ านวนเตมบวก

นพจน a2 = a·a เรยกวา square หมายถงรปสเหลยมจตรส (ดเพมทการยกก าลง

สอง) เพราะรปสเหลยมจตรสทมดานยาวดานละ a หนวย มพนทเทากบ

a2 ตารางหนวย

นพจน a3 = a·a·a เรยกวา cube หมายถงทรงลกบาศก (ดเพมทการยกก าลง

สาม) เพราะทรงลกบาศกทมดานยาวดานละ a หนวย มปรมาตรเทากบ a3

ลกบาศกหนวย

เลขชก าลงเปนตวบงบอกวาจะน าฐานมาคณกนกตว (ไมใชคณกนกครง)

ตวอยางเชน 35 = 3·3·3·3·3 = 243 ดงนฐาน 3 ปรากฏ 5 ครงในการคณเพราะ

เลขชก าลงเปน 5; คา 243 เปน ก าลง ของ 3 คอผลลพธทไดจาก 3 ยกก าลง 5

การยกก าลงทมเลขชก าลงเปนจ านวนเตมบวก อาจนยามไดจากความสมพนธ

เวยนเกด an+1 = a·an โดยใหเงอนไขเรมตนเปน a1 = a

เลขชก าลงเปน 0 หรอ 1

เนองจาก a1 หมายถงผลคณของ a เพยง 1 ตว ซงถกนยามใหมคาเทากบ a

จากความสมพนธเวยนเกดอกรปแบบหนง an − 1 = an/a เมอสมมตให n = 1 จะ

ได a0 = 1

หรอกลาวอกทางหนงวา ก าหนดให n, m, และ n−m เปนจ านวนเตมบวก (โดย

ท a ไมเทากบศนย) จะไดความสมพนธ

ในกรณท n และ m มคาเทากน สมการดงกลาวจะกลายเปน

เนองจากตวเศษและตวสวนมคาเทากน ดงนนจงสามารถนยามคาของ a0 = 1

น าไปสกฎสองประการ

จ านวนใด ๆ ยกก าลง 1 จะไดตวมนเอง

จ านวนใด ๆ ทไมเปนศนย ยกก าลง 0 จะได 1 ซงเปนการตความมาจาก

ผลคณวาง ส าหรบกรณ 00 ดเพมทหวขอ 0 ยกก าลง 0

ความหมายทางคณตศาสตรเชงการจด

ส าหรบ n และ m ทเปนจ านวนเตมไมเปนลบ (จ านวนเตมบวกรวมทงศนย) เลขยกก าลง nm

จะหมายถงภาวะเชงการนบ (cardinality) ของเซตของm สงอนดบ (m-tuple) ทไดจากเซตทมสมาชก n ตว หรอพดอกนยหนงคอ เปนจ านวนของค าทมตวอกษร m ตว จากชดตวอกษร n ตว

05 = │ {} │ = 0 ไมมหาสงอนดบ จาก

เซตวาง

14 = │ { (1,1,1,1) } │ = 1 มสสงอนดบ 1 ชด จาก

เซตทมสมาชก 1 ตว

23 = │ { (1,1,1), (1,1,2), (1,2,1),

(1,2,2), (2,1,1), (2,1,2), (2,2,1),

(2,2,2) } │ = 8

มสามสงอนดบ 8 ชด

จากเซตทมสมาชก 2

ตว

32 = │ { (1,1), (1,2), (1,3), (2,1),

(2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3) }

│ = 9

มสองสงอนดบ (ค

อนดบ) 9 ชด จากเซต

ทมสมาชก 3 ตว

41 = │ { (1), (2), (3), (4) } │ = 4

มหนงสงอนดบ 4 ชด

จากเซตทมสมาชก 4

ตว

50 = │ { () } │ = 1

มศนยสงอนดบ 1 ชด

จากเซตทมสมาชก 5

ตว

ดเพมเตมทหวขอการยกก าลงบนเซต

เลขชก าลงเปนจ านวนเตมลบ

จากนยาม จ านวนใด ๆ ทไมเปนศนย เมอยกก าลงดวย −1 จะท าใหเกดสวน

กลบหรอตวผกผนการคณ

จงสามารถนยามวา

เมอ a เปนจ านวนใด ๆ ทไมเปนศนยและ n เปนจ านวนเตมบวก แตส าหรบ

จ านวน 0 ยกก าลงจ านวนลบ จะท าใหเกดกรณการหารดวยศนย จงไมมการ

นยาม

นยามของ a−n ส าหรบคา a ใด ๆ ทไมใชศนย ท าใหเอกลกษณ aman = am+n เปน

จรงบนทกชวงจ านวนเตมของ m กบ n (ทงบวก ลบ และศนย) จากเดมเปนจรง

เฉพาะเมอ m กบ n เปนจ านวนเตมไมเปนลบ โดยเฉพาะอยางยงการใช

เอกลกษณนโดยก าหนดให m = −n จะท าให

เมอ a0 ไดนยามเชนนนแลว เปนเหตใหน าไปสการนยาม a−n = 1/an ดงทได

กลาวแลว

การยกก าลงทมเลขชก าลงเปนจ านวนเตมลบ อาจสามารถเขยนใหอยในรป

ของการหารซ า ๆ จาก 1 ดวยฐานกได ตวอยางเชน

เอกลกษณและสมบต

เอกลกษณส าคญทสดของการยกก าลงทสอดคลองกบกรณเลขชก าลงเปน

จ านวนเตมคอ

เอกลกษณนจงเปนผลทตามมา

และ

เอกลกษณพนฐานอกอนหนงคอ

ในขณะทการบวกและการคณมสมบตการสลบท เชน 2+3 = 5 = 3+2 และ 2·3

= 6 = 3·2 แตการยกก าลงไมมสมบตการสลบท เชน 23 = 8 แต 32 = 9

และเชนเดยวกน ในขณะทการบวกและการคณมสมบตการเปลยน

หม เชน (2+3)+4 = 9 = 2+(3+4) และ (2·3)·4 = 24 = 2·(3·4) แตการยกก าลงไม

มสมบตการเปลยนหม ตวอยางเชน "23 ยกก าลง 4" จะไดผลลพธเปน 84 หรอ

เทากบ 4,096 แต "2 ยกก าลง 34" จะไดผลลพธเปน 281 หรอ

2,417,851,639,229,258,349,412,352 ถาหากเขยนเลขยกก าลงซอนกนโดยไม

ใสวงเลบ ล าดบของการค านวณจะท าจากตวบนสดมากอน นนคอ

ก าลงของ 10

ดเพมท สญกรณวทยาศาสตร

ในระบบเลขฐานสบ ก าลงจ านวนเตมของ 10 สามารถเขยนแทนไดดวยเลข 1

ตามดวยหรอน าโดยเลข 0 จ านวนหนง ซงพจารณาจากเครองหมายและขนาด

ของเลขชก าลง ตวอยางเชน 103 = 1,000 และ 10−4 = 0.0001 เปนตน

การยกก าลงดวยฐาน 10 ถกใชในสญกรณวทยาศาสตร เพอใชอธบายจ านวน

ขนาดใหญหรอเลกมาก ตวอยางเชน จ านวน 299,792,458 เมตรตอวนาท

(ความเรวแสงในสญญากาศ) สามารถเขยนไดเปน 2.99792458 × 108 m/s หรอ

เทากบประมาณ 2.998 × 108 m/s

ค าอปสรรคในหนวยเอสไอทมพนฐานบนก าลงของ 10 กถกใชอธบายปรมาณ

ทใหญหรอเลกมากไดเชนกนเชน ค าอปสรรค กโล หมายถง 103 = 1,000

ดงนน 1 กโลเมตรจงเทากบ 1,000 เมตร

ก าลงของ 2

ก าลงจ านวนเตมบวกของ 2 เปนสงทส าคญในวทยาการคอมพวเตอร เพราะวา

ตวแปรฐานสองขนาด n บต จะมคาทเปนไปไดทงหมด 2n คา

ก าลงของ 2 กเปนสงส าคญในทฤษฎเซต เนองจากเซตเซตหนงทม

สมาชก n ตว จะมเซตก าลงทมสมาชก 2n ตว (เซตก าลงคอเซตของเซตยอย

ทงหมดจากเซตตนแบบ)

ก าลงจ านวนเตมลบของ 2 กใชกนทวไป เชน 2−1 = หมายถงครง (half),

2−2 = คอหนงในส (quarter) เปนตน

ในระบบเลขฐานสอง ก าลงจ านวนเตมของ 2 กสามารถเขยนแทนไดดวยเลข 1

แลวตามดวยหรอน าโดยเลข 0 ซงพจารณาจากเครองหมายและขนาดของเลขช

ก าลง ตวอยาง 23 เขยนในเลขฐานสองวา 10002 เปนตน

ก าลงของ 1

ก าลงจ านวนเตมของ 1 ทกจ านวนมคาเทากบ 1 นนคอ 1n = 1

ก าลงของ 0

ถาเลขชก าลงเปนจ านวนบวก เลขยกก าลงของ 0 จะได 0 นนคอ 0n = 0; n > 0

ถาเลขชก าลงเปนจ านวนลบ เลขยกก าลงของ 0 จะไมนยาม เนองจากท าใหเกด

การหารดวยศนย

ถาเลขชก าลงเปนศนย ผแตงต าราบางทานไดนยามวา 00 = 1 ในขณะทบางทาน

กคงไววาไมนยาม ดทหวขอ 0 ยกก าลง 0

ก าลงของ −1

ถา n เปนจ านวนค จะได (−1)n = 1

ถา n เปนจ านวนค จะได (−1)n = −1

จากสมบตดงกลาว ก าลงของ −1 จงมประโยชนในการแสดงล าดบทมการ

สลบเครองหมาย สวนกรณทคลายกนส าหรบจ านวนเชงซอน i ดทหวขอก าลง

ของจ านวนเชงซอน

เลขชก าลงขนาดใหญ

ลมตของล าดบของก าลงของจ านวนทมากกวา 1 จะลออก หมายความวาจะมคา

เพมขนเรอย ๆ โดยไมจ ากด

an → ∞ เมอ n → ∞ ถา a > 1

อาจเรยกไดวา a ยกก าลง n จะมคาเขาใกลอนนตถา n มคาเขาใกลอนนต

เมอ a มคามากกวา 1

ส าหรบก าลงของจ านวนทมคาสมบรณนอยกวา 1 ลมตของล าดบจะลเขาคา 0

an → 0 เมอ n → ∞ ถา |a| < 1

และก าลงของ 1 จะไดคา 1 เสมอ

an = 1 ส าหรบทกคาของ n ถา a = 1

แตหากฐาน a มคาเขาใกล 1 พรอมกบเลขชก าลงมคาเขาใกลอนนต ลมตของ

มนไมส าคญวาจะตองเทากบ 1 ตวอยางกรณหนงทส าคญคอ

(1 + n−1)n → e เมอ n → ∞

ดเพมในก าลงของ e

ก าลงจ านวนจรงของจ านวนจรงบวก

การยกก าลงจ านวนจรงบวก ดวยเลขชก าลงทไมเปนจ านวนเตม สามารถ

ค านวณไดสองวธนนคอ

เลขชก าลงเปนจ านวนตรรกยะ สามารถนยามใหเปนรากท n และเลขช

ก าลงทไมเปนศนยสามารถนยามไดจากความตอเนอง

เลขชก าลงเปนจ านวนจรง สามารถนยามใหเปนลอการทมธรรมชาตโดย

ใชฟงกชนเลขชก าลง

เอกลกษณและสมบตทแสดงไวดานบนซงนยามไวส าหรบเลขชก าลงจ านวน

เตม กยงคงเปนจรงอยส าหรบเลขชก าลงจ านวนจรงบวกทไมใชจ านวนเตม

อยางไรกตามเอกลกษณน

ไมสามารถขยายแนวคดไดอยางคงเสนคงวาถา a เปนจ านวนจรงลบ ดเพมท

หวขอรากท n ทเปนลบ ความผดพลาดของเอกลกษณนเปนมลฐานของปญหา

ทเกยวกบก าลงของจ านวนเชงซอน ซงไดอธบายไวแลวทหวขอความผดพลาด

ของเอกลกษณก าลงและลอการทม

รากท n มขส าคญ

จากบนลงลาง: x1/8, x1/4, x1/2, x1, x2, x4, x8

ดบทความหลกท รากท n

รากท n ของจ านวน a คอจ านวน x ทซง xn = a

ถา a เปนจ านวนจรงบวกและ n เปนจ านวนเตมบวก จะมค าตอบ

ส าหรบ xn = a ทเปนจ านวนจรงบวกหนงจ านวนอยางแนนอน ค าตอบดงกลาว

เรยกวา รากท n มขส าคญของ a(principal n-th root) เขยนแทนไดดวย

สญลกษณ เมอ คอกรณฑ หรอเขยนอกรปแบบหนงเปน a1/n เชน 41/2 =

2, 81/3 = 2

เมอพดถงรากท n ของจ านวนจรงบวก a มกจะหมายถงรากท n มขส าคญ

ของ a ดงทไดกลาวแลวนน

เลขชก าลงเปนจ านวนตรรกยะ

ก าลงของจ านวนจรงบวก a ซงมเลขชก าลงเปนจ านวนตรรกยะ m/n ในพจน

นอยทสด สอดคลองกบ

เมอ m เปนจ านวนเตมและ n เปนจ านวนเตมบวก

ก าลงของ e

ดบทความหลกท ฟงกชนเลขชก าลง

e หรอคาคงตวของออยเลอร เปนคาคงตวทางคณตศาสตรทส าคญคาหนง ม

คาประมาณ 2.718 และเปนฐานของลอการทมธรรมชาต ใชเปนแนวทาง

น าไปสการนยามการยกก าลงทมเลขชก าลงไมเปนจ านวนเตม คาคงตวนนยาม

โดยลมตตอไปน ซงเลขชก าลงมคาเขาใกลอนนตในขณะทฐานมคาเขาใกล 1

ฟงกชนเลขชก าลงซงนยามโดยลมตตอไปน

ม x เปนเลขชก าลงเพมเขามา และสอดคลองกบเอกลกษณการยกก าลง

ฟงกชนเลขชก าลงนยามขนส าหรบ x ทเปนจ านวนเตม จ านวนตรรกยะ

จ านวนจรง และจ านวนเชงซอนทงหมด นอกจากนกสามารถขยายการยกก าลง

ไปบนสงอนทไมใชจ านวนไดเชนเมทรกซจตรส อยางไรกตามเอกลกษณการ

ยกก าลงทยกมาจะเปนจรงกตอเมอ x และ y สามารถสลบทกนไดเทานน

การพสจนอยางสนวา e ยกก าลงจ านวนเตมบวก k เหมอนกบฟงกชนเลขช

ก าลง ek แสดงไดดงน

แสดงใหเหนวา ex+y สอดคลองกบเอกลกษณการยกก าลงเมอ x และ y เปน

จ านวนเตมบวก ผลจากการพสจนยงคงสอดคลองส าหรบจ านวนทกจ านวน

ดวย ไมเพยงแคจ านวนเตมบวก

เลขชก าลงเปนจ านวนจรง

เนองจากจ านวนจรงสามารถประมาณคาไดดวยจ านวนตรรกยะ การยกก าลง

ดวยจ านวนจรง x ทกจ านวนจงสามารถนยามไดดวยความตอเนองดวยกฎดงน

ลมตดงกลาวซง r ทมคาเขาใกล x ถกน ามาแทนทเฉพาะจ านวนตรรกยะ r

ยกตวอยาง ถา

ดงนน

การยกก าลงดวยจ านวนจรงโดยปกตกสามารถท าใหส าเรจไดดวยลอการทม

แทนทจะใชลมตของจ านวนตรรกยะ

ลอการทมธรรมชาต ln(x) เปนฟงกชนผกผนของฟงกชนเลขชก าลง ex ซง

นยามไวส าหรบ b > 0 และสอดคลองกบเงอนไข

ถา bx ถกนยามขนโดยยงคงรกษากฎตาง ๆ ของลอการทมและการยกก าลง จะ

ไดวา

ส าหรบจ านวนจรง x แตละจ านวน

สงนสามารถใชเปนนยามทางเลอกของการยกก าลงดวยจ านวนจรง bx และ

สอดคลองกบวธการใชเลขชก าลงเปนจ านวนตรรกยะกบความตอเนอง นยาม

ดงกลาวเปนวธการปกตสามญในบรบทของจ านวนเชงซอนอกดวย

รากท n ทเปนลบ

ก าลงของจ านวนจรงบวกจะมคาเปนจ านวนจรงบวกเสมอ อยางไรกตาม

ค าตอบของสมการ x2 = 4 อาจเปน 2 หรอ −2 กได คามขส าคญของ 41/2 คอ 2

แต −2 กเปนรากทสองทถกตองอกคาหนงดวย หากนยามของการยกก าลงของ

จ านวนจรงขยายแนวคดใหมผลลพธเปนจ านวนลบได ผลของการยกก าลงอาจ

ลกลน

ถา n เปนจ านวนค จากสมการ xn = a ถา a เปนบวกจะมสองค าตอบ ไดแกราก

ท n ทเปนบวกและลบ แตถา a เปนลบจะไมมค าตอบเปนจ านวนจรง

ถา n เปนจ านวนค จากสมการ xn = a จะมค าตอบทเปนจ านวนจรงหนงจ านวน

ถา a เปนบวกกจะไดค าตอบนนเปนบวก และถา a เปนลบกจะไดค าตอบนน

เปนลบ

ส าหรบเลขชก าลงทเปนจ านวนตรรกยะ m/n ในพจนนอยทสด ถา m เปน

จ านวนค ผลลพธจะเปนบวก; ในกรณท a เปนลบ ถา m กบ n เปนจ านวนค

ผลลพธจะเปนลบ; ในกรณท a เปนบวกและ n เปนจ านวนค ผลลพธอาจเปน

บวกหรอลบอยางใดอยางหนง ตวอยางเชน (−27)1/3 = −3, (−27)2/3 = 9, 43/2 ม

สองค าตอบคอ 8 กบ −8 และเนองจากไมมจ านวนจรง x ทท าให x2 = −1

ดงนนนยามของ am/n ในกรณท a เปนลบและ n เปนจ านวนค จงจ าเปนตองใช

หนวยจนตภาพ i เขามาเกยวของ

ไมวาวธการใชลอการทมหรอเลขชก าลงเปนจ านวนตรรกยะ กไมสามารถ

นยาม ar ใหเปนจ านวนจรงได ส าหรบ a ทเปนจ านวนจรงลบและทกชวงคา

ของจ านวนจรง r และท านองเดยวกน er ใหผลลพธเปนบวกส าหรบทกชวงคา

ของจ านวนจรง r ดงนน ln(a) ซงเปนฟงกชนผกผนจงไมอาจนยามใหเปน

จ านวนจรงไดส าหรบ a ≤ 0 (ในทางตรงขาม ก าลงเชงซอนของจ านวน

ลบ a สามารถนยามไดดวยลอการทมเชงซอนของ a)

วธการใชเลขชก าลงเปนจ านวนตรรกยะไมสามารถใชไดกบคา a ทเปนลบ

เพราะวธการนขนอยกบความตอเนอง หมายความวา ฟงกชน f(r) = arเปนการ

ขยายจ านวนตรรกยะไปเปนจ านวนจรงอยางตอเนองเพยงหนงเดยวเมอ a > 0

แตในกรณ a < 0 ฟงกชน f ไมตอเนองบนเซตของจ านวนจรง r ทก าหนดไวแต

ละคา

ตวอยาง สมมตให a = −1 รากท n ของ −1 เทากบ −1 ส าหรบจ านวนค

บวก n ทกจ านวน; แตถา n เปนจ านวนคบวก (−1)(m/n) = −1 เมอ m เปน

จ านวนค, (−1)(m/n) = 1 เมอ m เปนจ านวนค ดงนนเซตของจ านวนตรรกยะ q ท

ท าให (−1)q = 1 เปนเซตหนาแนน (dense set) ในจ านวนตรรกยะ เชนเดยวกบ

เซตของ q ทท าให (−1)q = −1 สงนหมายความวาฟงกชน (−1)q ไมตอเนองท

จ านวนตรรกยะ q ใด ๆ ทก าหนดไวแตละคา

เมอใชเอกลกษณการยกก าลงกบรากท n ทเปนลบ จ าเปนตองระวดระวงเปน

พเศษ ตวอยางเชน −27 = (−27)((2/3)×(3/2)) = ((−27)2/3)3/2 = 93/2 = 27 ซงผดอยาง

ชดเจน ปญหาอยทการใชรากทสองทเปนบวก แทนทจะใชรากทสองทเปนลบ

ในขนตอนสดทาย แตโดยทวไปปญหาทคลายกนนมกเกดขนกบจ านวน

เชงซอน ดงทไดอธบายไวในหวขอความผดพลาดของเอกลกษณก าลงและ

ลอการทม

ก าลงจ านวนจนตภาพของ e

ฟงกชนเลขชก าลง ez สามารถนยามโดยลมตของ (1 + z/N)Nเมอ N มคาเขาใกล

อนนต และเมอเปนเชนนน eiπ กจะเปนลมตของ (1 + iπ/N)N ใน

ภาพเคลอนไหวน N มคาเพมขนจาก 1 ถง 100 การค านวณ (1 + iπ/N)N แสดง

เปนผลรวมทเกดจากการคณซ า ๆ Nตวในระนาบเชงซอน ซงจดสดทายเปน

คาทแทจรงของ(1 + iπ/N)N แสดงใหเหนวาเมอ N มากขน (1 + iπ/N)N จะมคา

เขาใกล −1 ดงนน eiπ = −1 ซงเปนทรจกในชอเอกลกษณของออยเลอร

ดบทความหลกท ฟงกชนเลขชก าลง

การท าความเขาใจ eix ส าหรบจ านวนจรง x ตองทราบถงการแปลความหมาย

เชงเรขาคณตของการด าเนนการบนจ านวนเชงซอน และนยามก าลงของ e ดงท

กลาวไวแลวขางตน พจารณารปสามเหลยมมมฉาก (0, 1, 1 + ix/n) ส าหรบ

จ านวน n ทมขนาดใหญมาก ๆ รปสามเหลยมนนจะมลกษณะเขาใกลเซกเตอร

ของรปวงกลมมากยงขน โดยมมมทจดศนยกลางเทากบ x/n เรเดยน และรป

สามเหลยมอน ๆ (0, (1 + ix/n)k, (1 + ix/n)k+1) กเปนรปสามเหลยมคลายรวมกน

ส าหรบ k ทกคา เพราะฉะนน ส าหรบจ านวน n ขนาดใหญ จดทเปนขอบเขต

ของ(1 + ix/n)n กคอจดทอยบนรปวงกลมหนงหนวย ซงมมทวดจากแกน

จ านวนจรงบวกเทากบ xเรเดยน พกดเชงขวของจดนคอ (r, θ) = (1, x) และ

พกดคารทเซยนคอ (cos x, sin x) ดงนนในทายทสด eix = cos x + i sin x เรยกวา

สตรของออยเลอร ซงเชอมโยงพชคณตกบตรโกณมตดวยความหมายของ

จ านวนเชงซอน

ค าตอบของสมการ ez = 1 คอพหคณจ านวนเตมของ 2πi

ในกรณทวไป ถาก าหนดให eb = a ดงนนค าตอบของสมการ ez = a หาไดโดย

การบวกb เขากบพหคณจ านวนเตมของ 2πi

ดงนนฟงกชนเลขชก าลงเชงซอนเปนฟงกชนเปนคาบ (periodic function) ซงม

คาบเทากบ 2πi

นอกจากนกยงมสตรอน ๆ อกเชน eiπ = −1; ex + iy = ex(cos y + i sin y)

ฟงกชนตรโกณมต

ดบทความหลกท สตรของออยเลอร

จากการแปลงสตรของออยเลอร ฟงกชนตรโกณมต โคไซนและไซนถกแปลง

เปน

โคไซนและไซนถกนยามขนโดยทางเรขาคณตกอนมการประดษฐจ านวน

เชงซอนในประวตศาสตร สตรทงสองดานบนเปนการลดรปสตรทซบซอน

ของฟงกชนตรโกณมตของผลบวกเปนสตรการยกก าลงอยางงายวา

การใชการยกก าลงทมเลขชก าลงเปนจ านวนเชงซอน อาจชวยลดรปปญหาใน

ตรโกณมตไปเปนพชคณตได

ก าลงจ านวนเชงซอนของ e

การยกก าลง z = ex+i·y สามารถค านวณไดจาก ex · ei·y; ตวประกอบสวน

จรง ex คอคาสมบรณของ z และตวประกอบสวนจนตภาพ ei·yระบทศทางของ z

ก าลงจ านวนเชงซอนของจ านวนจรงบวก

ก าหนดให a เปนจ านวนจรงบวก และ z เปนจ านวนเชงซอนใด ๆ การยก

ก าลง az นยามโดย ez·ln(a) เมอ x = ln(a) เปนค าตอบจ านวนจรงเพยงหนงเดยว

ของสมการ ex = a ดงนนวธการเดยวกนทใชกบเลขชก าลงจ านวนจรงกยงคง

ใชไดกบเลขชก าลงจ านวนเชงซอน ตวอยางเชน

2i = e i·ln(2) = cos(ln(2)) + i·sin(ln(2)) ≈ 0.76924 + 0.63896i

ei ≈ 0.54030 + 0.84147i

10i ≈ −0.66820 + 0.74398i

(e2π)i ≈ 535.49i ≈ 1

ก าลงของจ านวนเชงซอน

ก าลงจ านวนเตมของจ านวนเชงซอนทไมเปนศนยนยามโดยการคณหรอการ

หารซ า ๆ เชนเดยวกบทไดกลาวแลว ถา i คอหนวยจนตภาพและ n คอจ านวน

เตมแลว in จะมคาเทากบ 1, i, −1 หรอ −i ขนอยกบคา n วาสมภาคกบ 0, 1, 2

หรอ 3 มอดโล 4 ตามล าดบ (หรออกนยหนงคอ n หารดวย 4 แลวเหลอเศษ

เทาใด) ดวยสาเหตน ก าลงของ i จงมประโยชนในการเขยนแทนล าดบทมคาบ

แบงเปน 4 ชวง

ก าลงจ านวนเชงซอนของจ านวนจรงบวกไดนยามผานทาง ex ตามทอธบายไว

ในหวขอก าลงจ านวนเชงซอนของจ านวนจรงบวก ซงเปนฟงกชนตอเนอง

การขยายแนวคดของฟงกชนเหลานไปเปนกรณทวไปคอ ก าลงทไมเปน

จ านวนเตมของจ านวนเชงซอนทไมใชจ านวนเตมบวก ท าใหเกดความยงยาก

นนคอตองนยามฟงกชนไมตอเนองหรอฟงกชนหลายคาอยางใดอยางหนง แต

ไมวาทางเลอกใดกไมสามารถนยามใหสอดคลองเพยงพอทงหมดได

ก าลงจ านวนตรรกยะของจ านวนเชงซอนตองเปนค าตอบของสมการเชง

พชคณตสมการหนง ดงนนมนจงมค าตอบทเปนไปไดจ านวนจ ากดหนงเสมอ

ตวอยางเชน w = z1/2 ตองเปนค าตอบของสมการ w2 = z แตเมอ w เปนค าตอบ

แลว −w กเปนค าตอบดวยเชนกนเพราะวา (−1)2 = 1 ค าตอบเพยงหนงเดยวท

ถกเลอกโดยคอนขางปราศจากเหตผลเรยกวาคามขส าคญ (principal value)

สามารถเลอกโดยใชกฎทวไปซงใชกบก าลงทไมใชจ านวนตรรกยะดวย

ก าลงและลอการทมเชงซอนโดยธรรมชาตถอวาเปนฟงกชนคาเดยวบนผวร

มนน (Riemann surface) รปแบบคาเดยวถกนยามขนโดยการเลอกผวขนมา

อนหนง คาของมนไมมความตอเนองตามแนวสวนตดกง (branch cut) การ

เลอกหนงค าตอบจากหลายค าตอบเปนคามขส าคญกยงคงไดฟงกชนทไมม

ความตอเนอง และกฎตาง ๆ ทใชจดการกบการยกก าลงตามปกตอาจน าไปส

ความผดพลาดได

ก าลงจ านวนอตรรกยะของจ านวนเชงซอนมค าตอบทเปนไปไดไมจ ากด เพราะ

ธรรมชาตของลอการทมเชงซอนสามารถมค าตอบไดหลายคา คามขส าคญคอ

คาคาหนงทถกเลอกดวยกฎอยางหนงทามกลางคณสมบตอน ๆ ทท าใหแนใจ

วา ก าลงของจ านวนเชงซอนทมสวนจรงเปนบวกและสวนจนตภาพเปนศนย

จะมคาเหมอนกบก าลงของจ านวนจรงทเกยวของ

การยกก าลงจ านวนจรงดวยจ านวนเชงซอนเปนการด าเนนการทแตกตางจาก

การยกก าลงจ านวนเชงซอนทเกยวของ อยางไรกตามในกรณของจ านวนจรง

บวก คามขส าคญนนเหมอนกน

ก าลงของจ านวนจรงลบนนไมไดถกนยามเสมอไป และไมตอเนองแมวาจะได

นยามแลว ดงนนเมอพบกบจ านวนเชงซอน ควรใชการด าเนนการส าหรบ

จ านวนเชงซอนแทน

ก าลงจ านวนเชงซอนของจ านวนเชงซอน

ส าหรบจ านวนเชงซอน a และ b ซง a ≠ 0 สญกรณ ab เกดความก ากวมใน

ค าตอบเหมอนกบ log a

เพอหาคาของ ab ขนตอนแรกจะตองเลอกลอการทมของ a ขนมาคาหนง

ทางเลอกนนอาจเปน Log a (คอคามขส าคญของ log a โดยปรยายหากมได

ก าหนดเงอนไขอนเพม) หรออาจเปนคาหนงจากกงอนของ log z ทก าหนด

ตายตว ดงนนจงสามารถนยามโดยใชฟงกชนลอการทมเชงซอนดงน

เพราะนยามนสอดคลองกบนยามทใหไวกอนหนาน ในกรณท a เปนจ านวน

จรงบวกและคามขส าคญของ log a (ซงเปนจ านวนจรง) ไดถกเลอก

ถา b เปนจ านวนเตม ดงนนคาของ ab จะไมขนอยกบตวเลอกของ log a เพราะ

สอดคลองกบนยามการยกก าลงทมเลขชก าลงเปนจ านวนเตม

ถา b เปนจ านวนตรรกยะ m/n ในพจนนอยทสดโดยท n > 0 ดงนนจะมตวเลอก

ของ log a เปนจ านวนไมจ ากดใหคาทแตกตางกน n จ านวนส าหรบ abซงคา

เหลานคอจ านวนเชงซอน z ทเปนค าตอบของสมการ zn = am

ถา b เปนจ านวนอตรรกยะ ดงนนจะมตวเลอกของ log a เปนจ านวนไมจ ากด

น าไปสคาของ ab ทแตกตางกนเปนจ านวนไมจ ากดเชนกน

การค านวณก าลงจ านวนเชงซอนสามารถท าใหงายขนโดยการแปลง

ฐาน a เปนรปแบบเชงขว ดงทอธบายไวดานลาง การสรางทคลายกสามารถ

ใชควอเทอรเนยน (quaternion) ไดดวย

รากเชงซอนของ 1 (รากปฐมฐาน)

รากทสามของ 1 ทงสามราก

ดบทความหลกท รากของ 1

จ านวนเชงซอน a ทท าให an = 1 ส าหรบจ านวนเตมบวก n เรยกวา รากท n

ของ 1 (nth root of unity) หรอเรยกสน ๆ วา รากของ 1 (root of unity) ราก

เหลานม n ค าตอบและวางตวคลายจดยอดของรป n เหลยมปรกต บนรป

วงกลมหนงหนวยบนระนาบเชงซอน ซงมจดยอดจดหนงอยทจ านวนจรง 1

ถา zn = 1 แต zk ≠ 1 ส าหรบจ านวนธรรมชาต k ตามเงอนไข 0

< k < n แลว z จะเรยกวา รากปฐมฐานท n (primitive nth root of unity)

ตวอยางเชน −1 เปนรากปฐมฐานทสองเพยงตวเดยว, รากปฐมฐานทสมสอง

ตวไดแก i และ −i (ไมนบรากปฐมฐานทสอง) เปนตน

จ านวน e2πi (1/n) คอรากปฐมฐานท n ทมอารกวเมนตเปนบวกนอยทสด

(บางครงอาจเรยกวา รากปฐมฐานท n "มขส าคญ" ถงแมวาการใชค านจะไม

แพรหลายและอาจท าใหสบสนกบ คามขส าคญของรากท n ของ 1 ซงหมายถง

คา 1 [1])

สวนรากของ 1 จ านวนอน ๆ ค านวณไดจาก

ส าหรบ 2 ≤ k ≤ n

รากของจ านวนเชงซอนโดยทวไป

แมวาลอการทมเชงซอนมคาทเปนไปไดมากมายไมจ ากด แตกมคาเปนจ านวน

จ ากดเทานนทเปนค าตอบของ az โดยเฉพาะในกรณท z = 1/n และ nเปน

จ านวนเตมบวก คาเหลานคอรากท n ของ a ซงเปนค าตอบของสมการ xn = a

ในทางคณตศาสตร เราอาจท าใหการค านวณสะดวกขนโดยนยาม a1/n ใหเปน

คามขส าคญของราก ถา a เปนจ านวนจรงบวก จะสามารถเลอกค าตอบเปน

จ านวนจรงบวกเปนคามขส าคญไดอยางงายดาย ส าหรบจ านวนเชงซอน

โดยทวไป รากท n ทมอารกวเมนตนอยทสดมกจะถกเลอกเปนคามขส าคญ

ของราก เชนเดยวกบคามขส าคญของรากของ 1

เซตของรากท n ของจ านวนเชงซอน a หาไดจากการคณคามขส าคญ

ของ a1/n ดวยรากท n ของ 1 แตละจ านวน ตวอยางเชน รากทสของ 16 ไดแก 2,

−2, 2i และ −2i เพราะวาคามขส าคญของรากทสของ 16 คอ 2 และรากทส

ของ 1 ไดแก 1, −1, i และ −i

การค านวณก าลงจ านวนเชงซอน

การค านวณก าลงจ านวนเชงซอนสามารถท าไดงายขนโดยเขยนเปนการยก

ก าลงในรปแบบเชงขว จ านวนเชงซอน z ทกจ านวนสามารถเขยนใหอยใน

รปแบบเชงขวดงน

เมอ r คอจ านวนจรงไมเปนลบและ θ คออารกวเมนตของ z (ซงเปนจ านวน

จรง) รปแบบเชงขวมการแปลความหมายเชงเรขาคณตวา ถาจ านวน

เชงซอน u+ iv แทนไดดวยจด (u, v) บนระนาบเชงซอนโดยระบบพกดคารท

เซยน ดงนน (r, θ) กคอจดเดยวกนในระบบพกดเชงขว นนหมายความวา r คอ

"รศม" ทมคาตาม r2 = u2 + v2 และ θ คอ "มม" ทมคาตาม θ = atan2(v, u)

(ฟงกชน atan2 มาจากฟงกชน arctan ทมเงอนไขเพมเตม) มมเชงขว θ มความ

ก ากวมเนองจาก θ สามารถบวกดวยพหคณใด ๆ ของ 2π แลวไมท าใหจด

เปลยนต าแหนงไปจากเดม ตวเลอกแตละคาของ θ โดยทวไปจะใหผลการยก

ก าลงทแตกตางกน สวนตดกงสวนหนงสามารถน ามาใชเพอเลอกคาทเจาะจง

คามขส าคญ (สวนตดกงทสามญทสด) สอดคลองกบ θ ทถกเลอกในชวงคา

(−π, π] ส าหรบจ านวนเชงซอนทมสวนจรงเปนบวกและสวนจนตภาพเปน

ศนยซงใชคามขส าคญเชนนน จะใหผลลพธเดยวกบการใชจ านวนจรงท

เกยวของ

เพอทจะค านวณก าลงเชงซอน ab ขนแรกเขยน a ในรปแบบเชงขว

ดงนน

และจะได

ถา b ถกแบงออกเปน c + di ดงนนสตรส าหรบ ab จงเขยนใหชดเจนยงขนได

เปน

สตรสดทายนชวยค านวณการยกก าลงจ านวนเชงซอนไดโดยงาย จากการแบง

ฐานกบเลขชก าลงออกเปนรปแบบเชงขวกบรปแบบคารทเซยนตามล าดบ สตร

ดงกลาวแสดงผลลพธทงรปแบบเชงขวและรปแบบคารทเซยน (ผานทาง

เอกลกษณของออยเลอร)

ตวอยางตอไปนจะใชคามขส าคญคอสวนตดกงทท าให θ อยในชวงคา (−π,

π] ก าหนดโจทย i i ขนแรกเขยน i ในรปแบบเชงขวและรปแบบคารทเซยน

ดงน

จากการแปลงดานบน จะไดวา r = 1, θ = π/2, c = 0 และ d = 1 ดงนน

เชนเดยวกนส าหรบโจทย (−2)3 + 4i หารปแบบเชงขวของ −2 ไดเปน

แลวใชสตรดานบนค านวณจนไดค าตอบ

คาของการยกก าลงจ านวนเชงซอนขนอยกบกงทเลอก ตวอยางเชน ถาเลอก

รปแบบเชงขวของ i = 1ei (5π/2) เพอค านวณ i i ค าตอบจะกลายเปนe−5π/2 แตคา

มขส าคญของ i i คอ e−π/2 ดงตวอยางทแสดงไวแลว เซตของคาทงหมดท

เปนไปไดส าหรบ i i สามารถหาไดจากเงอนไข [2]

เมอ k เปนจ านวนเตมจ านวนหนง ดงนนค าตอบทเปนไปไดของ i i จงมจ านวน

ไมจ ากดส าหรบคา k แตละคา ค าตอบทงหมดมสวนจนตภาพเปนศนย ดงนน

เราจงอาจกลาวไดวา i i มคาเปนจ านวนจรงและมเปนอนนต

ความผดพลาดของเอกลกษณก าลงและลอการทม

เอกลกษณการยกก าลงและลอการทมบางอยางทใชกบจ านวนจรงบวก ใชงาน

ไมไดกบจ านวนเชงซอน ไมวาการยกก าลงเชงซอนและลอการทมเชงซอนถก

นยามขนอยางไร ยกตวอยาง

เอกลกษณ log(ab) = b · log a เปนจรงเมอ a เปนจ านวนจรงบวก

และ b เปนจ านวนจรง แตส าหรบกงมขส าคญ (principal branch) ของ

ลอการทมเชงซอนจะไดวา

ไมวากงใดของลอการทมจะถกเลอก ความผดพลาดดงกลาวกยงคงมอย

แนวทางทดทสด (เมอตองการใชผลลพธเทานน) คอการก าหนดให

เอกลกษณนกไมเปนจรงหากพจารณาวาลอการทมเปนฟงกชนหลายคา คาท

เปนไปไดของ log(ab) จะมคา b · log a เหลานนเปนเพยงเซตยอยเซตหนง คาท

เปนไปไดทงสองขางของเอกลกษณซงแสดงดวย Log(a) แทนคามขส าคญของ

log(a) และ m กบ n เปนจ านวนเตมใด ๆ จะไดวา

เอกลกษณ (ab)c = acbc และ (a/b)c = ac/bc ใชไดเฉพาะเมอ a กบ b เปน

จ านวนจรงบวกและ c เปนจ านวนจรง แตการค านวณโดยใชกงมขส าคญ

แสดงใหเหนวา

และ

ในทางตรงขาม เมอ c เปนจ านวนเตม เอกลกษณเหลานจะใชไดกบจ านวน

เชงซอนทไมเปนศนยทกจ านวน

ถาการยกก าลงถกพจารณาวาเปนฟงกชนหลายคา ดงนนคาทเปนไปไดของ

(−1×−1)1/2 คอ {1, −1} เอกลกษณยงคงเปนจรง แตการกลาววา

{1} = {(−1×−1)1/2} นนผด

เอกลกษณ (ea)b = eab เปนจรงส าหรบจ านวนจรง a และ b แตการสมมต

ใหเอกลกษณนเปนจรงส าหรบจ านวนเชงซอนน าไปสปฏทรรศน

ตอไปน ซงคนพบโดยโทมส คลาวเซน (Thomas Clausen) เมอ ค.ศ.

1827 [3]

ส าหรบจ านวนเตม n ใด ๆ จะไดวา

1.

2.

3.

4.

5.

แตสงนเปนเทจเมอจ านวนเตม n ไมเทากบศนย

การใหเหตผลดงกลาวมปญหาเกดขนหลายปญหา ความผดพลาดหลกคอการ

เปลยนอนดบของการยกก าลง จากบรรทดทสองไปยงบรรทดทสาม ไดเปลยน

คามขส าคญทจะถกเลอกใช

จากมมมองของฟงกชนหลายคา ความผดพลาดอยางแรกเกดขนกอนหนานน

ซงเหนไดโดยปรยายจากบรรทดแรกแตไมเดนชด คอ e เปนจ านวนจรงใน

ขณะทผลลพธของ e1+2πin เปนจ านวนเชงซอน ซงควรเขยนแทน

ดวย e+0i มากกวา การแทนทเปนจ านวนเชงซอนส าหรบจ านวนจรงในบรรทด

ทสอง ท าใหการยกก าลงมค าตอบทเปนไปไดหลายคา การเปลยนอนดบของ

การยกก าลงจากบรรทดทสองไปยงบรรทดทสาม จงสงผลตอคาทเปนไปได

ของผลลพธวามเปนจ านวนเทาใดดวย

0 ยกก าลง 0

กราฟของ z = abs(x)y ซงเสนโคงสแดงมลมตตางกนเมอ (x,y) มคาเขาใกล

(0,0) ในขณะทเสนโคงสเขยวทกเสนมลมตเทากบ 1

ผเขยนต าราสวนมากเหนพองกบประโยคทเกยวของกบ 00 ในรายการสอง

รายการดานลาง รายการแรกไมเกยวกบความตอเนอง สวนรายการถดไป

เกยวกบความตอเนอง แต "ตดสนใจ" ไมเหมอนกนเพอทจะนยาม 00 หรอไม

นยาม (ดรายละเอยดทมมมองทแตกตางในอดต)

ในการก าหนดทไมเกยวของกบความตอเนองของเลขชก าลง การตความวา

00 คอ 1 ชวยใหสตรตาง ๆ งายขนและไมจ าเปนตองน าเอาทฤษฎบทอนมา

อธบายเปนกรณพเศษ ตวอยางเชน

การพจารณา a0 ใหเปนผลคณวางซงมคาเปน 1 แมวา a จะเทากบ 0

การตความทางคณตศาสตรเชงการจดถอวา 00 คอจ านวนของศนยสง

อนดบของสมาชกจากเซตวาง ดงนนจงมศนยสงอนดบหนงตว

ในทางเดยวกน การตความทางทฤษฎเซตของ 00 คอจ านวนฟงกชนจาก

เซตวางไปยงเซตวาง ซงมเพยงหนงฟงกชนเทานนนนคอ ฟงกชน

วาง (empty function) [4]

สญกรณ ส าหรบพหนามและอนกรมก าลงขนอยกบการนยาม

ให 00 = 1 เอกลกษณอยางเชน และ และ

ทฤษฎบททวนาม จะใชงานไมไดเมอ x = 0 ถา

ไมก าหนดให 00 = 1 [5]

ในแคลคลสเชงอนพนธ กฎการยกก าลง จะใชไมได

ส าหรบ n = 1 ท x = 0 ถาไมก าหนดให 00 = 1

ในทางตรงขาม เมอ 00 เกดจากลมตในรปแบบ ซงเปนการก าหนด

ทเกยวของกบความตอเนอง จะถกพจารณาใหเปนรปแบบยงไม

ก าหนด (indeterminate form)

ลมตทเกยวของกบการด าเนนการเชงพชคณต มกจะสามารถประเมนคา

ไดดวยการแทนทนพจนยอยดวยลมตของมน ถานพจนทเปนผลลพธไม

สามารถก าหนดลมตดงเดมได นพจนนนจะเรยกวาเปนรปแบบยงไม

ก าหนด [6] หาก f(t) และ g(t) ซงเปนฟงกชนทใหผลลพธเปนจ านวนจรง

มคาเขาใกล 0 ทงค (เมอ t มคาเขาใกลจ านวนจรงจ านวนหนงหรอ ±∞)

โดยท f(t) > 0 แลวฟงกชน f(t)g(t) ไมจ าเปนตองมคาเขาใกล 1 เสมอไป;

ลมตของ f(t)g(t) อาจใหผลลพธเปนจ านวนจรงใด ๆ ทไมเปนลบหรอ

+∞ หรออาจไมนยาม ขนอยกบ f และ g วานยามไวอยางไร ตวอยางเชน

ฟงกชนดานลางนอยในรปแบบf(t)g(t) ซง f(t),g(t) → 0 เมอ t → 0+ แต

ลมตของมนมคาตางกนดงน

ดงนน 00 จงเปนรปแบบยงไมก าหนดชนดหนง พฤตกรรมนแสดงใหเหนวา

ฟงกชนสองตวแปร xy แมวาจะตอเนองบนเซต {(x,y): x > 0} ไมสามารถขยาย

เปนฟงกชนตอเนองบนเซตใด ๆ ทรวม (0,0) อยดวย ไมวา 00 จะถกนยามขน

อยางไร [7] อยางไรกตาม ภายใตเงอนไขเฉพาะเชนเมอ f กบ gเปนฟงกชน

วเคราะห (analytic function) ทงคและ f ไมเปนลบ ลมตทางดานขวาจะเทากบ

1 เสมอ [8][9][10]

ในโดเมนเชงซอน ฟงกชน zw ถกนยามขนส าหรบ z ไมเทากบศนย โดย

เลอกกงหนงของ log z และก าหนดให zw := ew log z แตไมมกงของ log z ท

นยามไวส าหรบ z เทากบศนย จงทงไวเปนไมนยาม [11]

มมมองทแตกตางในอดต

ผแตงต าราหลายคนตความสถานการณขางตนในวธทแตกตางกนเชน

กลมหนงใหเหตผลวาคาทดทสดของ 00 ขนอยกบบรบท และการนยาม

ครงหนงเพอใชกบทกกรณเปนตนไปท าใหเกดปญหา [12] เบนสน

(Benson) กลาววา "ทางเลอกวาจะนยาม 00 หรอไมนยาม ขนอยกบ

ความสะดวก ไมใชความถกตอง" [13]

อกกลมหนงแยงวา 00 ควรจะเทากบ 1 คนธบอกวาจ านวนน "ตองเปน

1" แมเขากไดกลาวตอไปอกวา "โคชกมเหตผลทดในการพจารณา 00 ให

เปน รปแบบลมต ทไมนยาม" และกลาวอกวา "ในความรสกทแรงกลาอยางมาก คาของ 00

ไดถกนยามไวนอยกวาคาของ 0+0 เปนตนเสยอก" [14]

การถกเถยงเกดขนในชวงตนครสตศตวรรษท 19 เปนอยางนอย ในเวลานนนกคณตศาสตรสวนมากยอมรบวา 00

= 1 จนกระทงโคช (Cauchy) ไดแสดงรายการ 00

พรอมกบนพจนอน ๆ เชน ในตารางรปแบบทไมนยาม [15]

ในชวงครสตทศวรรษ 1830 ลบร (Libri)

ไดเผยแพรเกยวกบการใหเหตผลทท าใหไมนาเชอวา 00 =

1 [16][17]

กลาวคอ การอางวา เมอใดกตามท เปนการสนนษฐานทผด และเมอบอส (Möbius) กเหนดวยกบเขา [18]

ผออกความเหนคนหนงทใชชอวา "S" ไดใหตวอยางของการโตแยง (e−1/t

)t ตวอยางนท าใหการถกเถยงสงบ

เงยบลงชวระยะเวลาหนง ผลสรปทปรากฏของเรองนคอ 00 ไมควร

นยาม [14]

มาตรฐานจ านวนจดลอยตว IEEE

มาตรฐานจ านวนจดลอยตว IEEE 754-2008 ใชในการออกแบบไลบราร

เกยวกบจ านวนจดลอยตวเปนสวนมาก มาตรฐานดงกลาวไดแนะน าฟงกชนท

แตกตางกนส าหรบค านวณการยกก าลงตอไปน [19]

pow ใหคา 00 เปน 1 ฟงกชนนเปนรนทนยามไวเกาทสด ถาก าลงเปน

จ านวนเตมอยางแนชด ผลลพธจะเหมอนกบ pown หากไมเปนเชนนน

ผลลพธจะเหมอนกบ powr (ยกเวนกรณพเศษบางกรณ)

pown ใหคา 00 เปน 1 ก าลงตองเปนจ านวนเตมอยางแนชด ฟงกชนนได

นยามส าหรบฐานทเปนลบดวยเชน pown(−3,5) ใหผลลพธ −243

powr ใหคา 00 เปน NaN (ไมใชจ านวน คอไมนยาม) ฟงกชนนกยงให

ผลลพธเปน NaN ในกรณฐานมคานอยกวาศนยเชน powr(−3,2) คาของ

มนนยามขนจาก e เลขชก าลง×log(ฐาน)

ภาษาโปรแกรม

ภาษาโปรแกรมสวนใหญทมฟงกชนการยกก าลงถกน ามาท าใหเกดผลโดยใชฟงกชน pow ของ IEEE ดงนนมนจงใหคา 00

เปน 1

มาตรฐานภาษาซและภาษาซพลสพลสในเวลาตอมาไดอธบายสงนวาเปนพฤตกรรมเชงบรรทดฐาน (normative)

[20] มาตรฐานภาษา

จาวากประกาศใหใชพฤตกรรมน

[21]System.Math.Pow ในดอตเนตเฟรมเวรก กให

คา 00 เปน 1 เชนกน

[22]

ซอฟตแวรคณตศาสตร

เซจ ลดรป a0 เปน 1 แมไมมขอจ ากดส าหรบ a

[23] ไมลดรป

0a และใหคา 00

เปน 1

เมเพล ลดรป a0 เปน 1 และ 0a

เปน 0 แมไมมขอจ ากดส าหรบ a (การลดรปอยางหลงสามารถใชไดเฉพาะ a > 0) และใหคา 0

0 เปน 1

แมกซมา กลดรป a0 เปน 1 และ 0a

เปน 0 ดวยเชนกน แมไมมขอจ ากดส าหรบ a แตจะเกดขอผดพลาดส าหรบ 00

แมเทอแมตกาและวลแฟรมแอลฟา ลดรป a0 เปน 1 แมไมมขอจ ากด

ส าหรบ a [24]

แมเทอแมตกาไมลดรป 0a ในขณะทวลแฟรมแอลฟาให

ผลลพธสองอยางคอ 0 และรปแบบยงไมก าหนด [25] ทงแมเทอแมตกา

และวลแฟรมแอลฟาใหคา 00 เปนรปแบบยงไมก าหนด [26]

ลมตของการยกก าลง

หวขอ 0 ยกก าลง 0 ไดแสดงตวอยางลมตของรปแบบยงไมก าหนด 0

0 ไวจ านวนหนง ตวอยางเหลานมลมตตาง ๆ แตมคาแตกตางกน แสดงให

เหนวาฟงกชนสองตวแปร xy ไมมลมตทจด (0,0) จงอาจเกดค าถามวา

ฟงกชนนมลมตทจดไหนบาง

เพอความถกตองยงขน พจารณาฟงกชน f(x,y) = xy ทนยามบน

โดเมน D = {(x,y) ∈ R2 : x > 0} ดงนน D อาจถกมองวาเปน

เซตยอยของ R2 (นนคอเซตของคอนดบ (x,y) ทงหมด ซง x,y อยบน

เสนจ านวนจรงขยาย R = [−∞, +∞] โดยสรางขนจากทอพอโลยผลคณ) ซงจะรวมจดตาง ๆ ทท าใหฟงกชน f มลมต

โดยขอเทจจรง f จะมลมตทจดสะสม (accumulation

point) ตาง ๆ ของ D ยกเวน (0,0), (+∞,0), (1,+∞) และ (1,−∞)

[27] ดวยเหตนเราจงสามารถนยามการยกก าลง xy

ดวยความตอเนองเมอใดกตามท 0 ≤ x ≤ +∞, −∞ ≤ y ≤ +∞ โดยยกเวน 0

0, (+∞)

0, 1

+∞ และ 1−∞

ซงเหลอเปนรปแบบยงไมก าหนด

ภายใตการนยามโดยความตอเนองน จะได

a+∞

= +∞ และ a−∞ = 0 เมอ 1 < a ≤ +∞

a+∞

= 0 และ a−∞ = +∞ เมอ 0 ≤ a < 1

0b = 0 และ (+∞)

b = +∞ เมอ 0 < b ≤ +∞

0b = +∞ และ (+∞)

b = 0 เมอ −∞ ≤ b < 0

ก าลงเหลานไดมาจากการหาลมตของ xy ส าหรบคา x ทเปนบวก

วธการนไมอนญาตใหนยาม xy เมอ x < 0 เพราะคอนดบ (x,y) ตาง ๆ

ท x < 0 ไมใชจดสะสมของ D

ในอกทางหนง เมอ n เปนจ านวนเตม การยกก าลง xn มความหมาย

อยแลวส าหรบ x ทกคาซงรวมทงคาลบดวย สงนอาจท าใหการนยาม 0

n = +∞ ทไดมาขางตนส าหรบคา n ทเปนลบเกดปญหาเมอ n เปน

จ านวนค เนองจากกรณน tn → +∞ เมอ t มคาเขาใกล 0 ทางบวก แต

ไมใชทางลบ

การค านวณก าลงจ านวนเตมอยางมประสทธภาพ

วธการค านวณทงายทสดของ an คอการคณเปนจ านวน n−1 ครง แตมนกอาจ

ค านวณไดอยางมประสทธภาพมากขนดงตวอยางตอไปน เชนโจทยใหค านวณ

2100 แตเราทราบวา 100 = 64 + 32 + 4 เราอาจค านวณตามล าดบดงน

1. 22 = 4

2. (22)2 = 24 = 16

3. (24)2 = 28 = 256

4. (28)2 = 216 = 65,536

5. (216)2 = 232 = 4,294,967,296

6. (232)2 = 264 = 18,446,744,073,709,551,616

7. 264 232 24 = 2100 = 1,267,650,600,228,229,401,496,703,205,376

ขนตอนเหลานจ าเปนตองใชการคณเพยงแค 8 ครง (ผลคณในขนตอนสดทาย

ใชการคณ 2 ครง) แทนทจะตองคณถง 99 ครง

จ านวนครงของการคณทจ าเปนส าหรบค านวณ an โดยทวไปสามารถลดให

เหลอ Θ(log n) โดยใชการยกก าลงดวยก าลงสอง (exponentiation by

squaring) หรอโดยนยทวไปขนอกคอ การยกก าลงดวยลกโซการ

บวก (addition-chain exponentiation) การหาล าดบของการคณ นอย

ทสด ของ an (ลกโซการบวกสนทสดของเลขชก าลง) เปนขอปญหาทยากขอ

หนง เพราะขนตอนวธอนมประสทธภาพยงไมเปนททราบในปจจบน (ดเพมท

ปญหาผลรวมเซตยอย) แตขนตอนวธแบบศกษาส านก (heuristic) ทม

ประสทธภาพอยางสมเหตสมผลกมใหใชมากมาย [28]

สญกรณยกก าลงส าหรบชอฟงกชน

การใสตวยกจ านวนเตมถดจากชอหรอสญลกษณของฟงกชน ซงดเหมอนวา

ฟงกชนนนก าลงถกยกก าลง โดยทวไปจะหมายถงการประกอบฟงกชน

(function composition) มากกวาจะเปนการคณซ า ๆ ดงนน f 3(x) จงอาจ

หมายถง f(f(f(x))) โดยเฉพาะอยางยง f −1(x) ตามปกตใชแสดงถงฟงกชนผกผน

ของ f;ฟงกชนซอน (iterated function) ทเกดจากการประกอบฟงกชนเปน

ประโยชนในการศกษาแฟรกทลและระบบเชงพลวต (dynamical

system) ชารลส แบบเบจเปนคนแรกทเรมศกษาปญหาการหาคาของรากทสอง

เชงฟงกชน f 1/2(x)

อยางไรกตาม ฟงกชนตรโกณมตกใชสญกรณพเศษเชนนนดวยเหตผลทาง

ประวตศาสตร กลาวคอ เลขชก าลงทเปนบวกถกวางไวหลงชอยอของฟงกชน

หมายถงผลลพธของการยกก าลงดวยเลขชก าลงนน ในขณะทเลขชก าลง −1

แสดงถงฟงกชนผกผน ตวอยางเชน sin2x เปนการเขยนอยางยอแทน (sin x)2

โดยไมใชวงเลบ แตในขณะเดยวกน sin−1x หมายถงฟงกชนผกผนของไซนคอ

arcsin x เพราะมนไมจ าเปนตองมสวนกลบของฟงกชนตรโกณมตเนองจากมน

มชอและชอยอของมนเองอยแลว เชน 1/(sin x) = (sin x)−1 กคอ csc x เปนตน

สญนยมทคลายกนนกใชกบลอการทมดวย เชน log2x หมายถง (log x)2ไมใช

log log x

พชคณตนามธรรม

การยกก าลงทมเลขชก าลงเปนจ านวนเตม สามารถนยามขนส าหรบโครงสราง

ทคอนขางทวไปในพชคณตนามธรรม

ก าหนดให X เปนเซตทมการด าเนนการทวภาคอยางหนง ซงมสมบตการ

เปลยนหมของก าลง (power associativity) และเขยนอยในรปแบบการคณแลว

xn ถกนยามใหเปนผลคณของ x จ านวน n ตว ส าหรบสมาชก x ใด ๆ

ของ X และจ านวนธรรมชาต n ใด ๆ ทไมเปนศนย ซงนยามแบบเวยนเกดไดวา

จะมสมบตตาง ๆ ดงตอไปน

(สมบตการเปลยนหมของก าลง)

ถาการด าเนนการนมสมาชกเอกลกษณทงสองดานเปน 1 (มกแสดงดวย e)

ดงนน x0 จะถกนยามใหเทากบ 1 ส าหรบคา x ใด ๆ

(เอกลกษณสองดาน)

ถาการด าเนนการนกมสมาชกผกผนทงสองดานและการคณเปลยนหมได จะ

ท าใหแมกมา (magma) กลายเปนกรป ตวผกผนของ x สามารถแสดงได

ดวย x−1 และเปนไปตามกฎปกตทงหมดของเลขชก าลง

(ตวผกผนสองดาน)

(การคณเปลยนหมได)

ถาการคณสามารถสลบทได (ตวอยางเชนในอาบเลยนกรป) จะท าใหการ

ด าเนนการมสมบตนดวย

ถาการด าเนนการทวภาคนนเขยนอยในรปแบบการบวก ซงมกใชกบอาบเลยน

กรป ดงนนวล "การยกก าลงคอการคณซ า ๆ" จงสามารถตความไดเปน "การ

คณคอการบวกซ า ๆ" เพราะฉะนนกฎแตละขอของการยกก าลงขางตนก

เทยบเคยงไดกบกฎตาง ๆ ของการคณ

เมอเรามการด าเนนการหลายอยางแลว การด าเนนการใด ๆ อาจถกกระท าซ า

โดยใชการยกก าลง การแสดงวาการด าเนนการก าลงถกกระท าซ า โดยปกตจะ

ใสสญลกษณก ากบตวยก อาท x∗n หมายถง x ∗ ··· ∗ x หรอ x#n หมายถง x # ···

# x ไมวา ∗ กบ # จะเปนการด าเนนการอะไรกตาม

สญกรณตวยกกมใชเชนกน โดยเฉพาะในเรองทฤษฎกรป เพอแสดงการสง

ยค (conjugation) อาท gh = h−1gh เมอ g และ h เปนสมาชกของกรปบางกรป

แมวาการสงยคจะปฏบตตามกฎของการยกก าลงเหมอนกน แตไมใชตวอยาง

ของการคณซ าในกรณใด ๆ; ควอนเดล (quandle) เปนโครงสรางเชงพชคณต

ชนดหนงทมกฎของการสงยคเหลานเปนบทบาทหลก

เซต

ดบทความหลกท ผลคณคารทเซยน

ถา n เปนจ านวนธรรมชาตและ A เปนเซตใด ๆ นพจน An มกถกใชเพอแสดง

เซตของ n สงอนดบของสมาชกของ A สงนเทยบเทากบการก าหนดให An

หมายถงเซตของฟงกชนจาก {0, 1, 2, ..., n−1} ไปยง A; n สงอนดบ

(a0, a1, a2, ..., an−1) เปนตวแทนของฟงกชนทสงคาจาก i ไปยง ai

ก าหนดใหจ านวนเชงการนบ κ ทไมจ ากดและเซต A เซตหนง สญกรณ Aκ ก

ยงใชแสดงถงเซตของฟงกชนทงหมดจากเซตทมขนาดเทากบ κ ไปยง A

บางครงกเขยนในรปแบบ κA เพอท าใหแตกตางจากการยกก าลงเชงการนบ

ดงทจะไดกลาวตอไป

การยกก าลงแบบนยทวไปสามารถนยามขนไดส าหรบการด าเนนการบนเซต

หรอส าหรบเซตทมโครงสรางพเศษเพมเตม ตวอยางเชนในพชคณตเชงเสนเรา

สามารถแจกแจงดชนผลบวกตรงของปรภมเวกเตอรบนเซตดชนใด ๆ หรออาจ

กลาวไดวา

เมอ Vi แตละตวคอปรภมเวกเตอรปรภมหนง ดงนนถา Vi = V ส าหรบแตละ

คา i แลว ผลลพธจากผลบวกตรงสามารถเขยนใหอยในสญกรณยกก าลงเปน

V⊕N หรอเขยนเพยงแค VN โดยท าความเขาใจวาเปนผลบวกตรงโดยปรยาย

นอกจากนเราอาจแทนทเซต N ดวยจ านวนเชงการนบ n เพอใหได Vn แมวาไม

ตองเลอกเซตมาตรฐานเจาะจงทมภาวะเชงการนบเปน n สงนสามารถนยาม

โดยขนอยกบสมสณฐาน (isomorphism) เพยงเทานน เมอน าเอา V มาเปน

ฟลด Rส าหรบจ านวนจรง (เทยบไดกบปรภมเวกเตอรบนตวเอง) และ n เปน

จ านวนธรรมชาตบางจ านวน จะไดปรภมเวกเตอรสามญทสดทศกษากนใน

พชคณตเชงเสน นนคอปรภมแบบยคลด Rn

ถาหากฐานของการด าเนนการยกก าลงเปนเซต การด าเนนการนนจะเรยกวาผล

คณคารทเซยนเมอไมมเงอนไขอนเพมเตม เนองดวยผลคณคารทเซยนตาง ๆ

ใหผลเปน n สงอนดบ (n-tuple) ซงสามารถแสดงแทนดวยฟงกชนบนเซตทม

ภาวะเชงการนบทเหมาะสม ดงนน SN จงหมายถงเซตของฟงกชนทงหมด

จาก N ไปยง S ในกรณน

สงนเขากนไดกบการยกก าลงของจ านวนเชงการนบในแงทวา |SN| = |S||N| เมอ

|X| หมายถงภาวะเชงการนบของ X; เมอ "2" ถกนยามเปนเซต {0,1} เราจะได

|2X| = 2|X| เมอ 2X ซงโดยปกตแสดงดวย P(X) คอเซตก าลงของ X; เซตยอย Y แต

ละเซตของ X สอดคลองกนแบบหนงตอหนงกบฟงกชนบน X ทใหคา 1

ส าหรบ x ∈ Y และคา 0 ส าหรบ x ∉ Y

ทฤษฎประเภท

ดบทความหลกท ประเภทปดคารทเซยน

ในเรองของประเภทปดคารทเซยน (Cartesian closed category) การด าเนนการ

ยกก าลงถกใชเพอก าหนดใหออบเจกตใด ๆ เปนก าลงของออบเจกตอกอยาง

หนง สงนเปนการวางนยทวไปของผลคณคารทเซยนในประเภท (category)

ของเซต ถา 0 เปนออบเจกตเรมตน (initial object) ในประเภทปดคารทเซยน

ดงนนออบเจกตเลขชก าลง (exponential object) 00 จะสมสณฐานกบออบเจกต

ปลายทาง 1 ใด ๆ

จ านวนเชงการนบและจ านวนเชงอนดบท

ดบทความหลกท เลขคณตเชงการนบ และ เลขคณตเชงอนดบท

ในทฤษฎเซต กมการยกก าลงส าหรบจ านวนเชงการนบและจ านวนเชงอนดบท

เชนกน

ก าหนดให κ และ λ เปนจ านวนเชงการนบ นพจน κλ หมายถงภาวะเชงการ

นบของ เซตของฟงกชนจากเซตใด ๆ ทมภาวะเชงการนบ λ ไปยงเซตใด ๆ ท

มภาวะเชงการนบ κ [4] ถา κ และ λ เปนจ านวนจ ากด นพจนนจะคลอยตาม

การด าเนนการยกก าลงเชงเลขคณตธรรมดา ตวอยางเชน เซตของสามสงอนดบ

ของสมาชกจากเซตของสองสงอนดบ จะมภาวะเชงการนบเทากบ 8 = 23

การยกก าลงของจ านวนเชงการนบแตกตางจากการยกก าลงของจ านวนเชง

อนดบท ซงนยามโดยกระบวนการลมตทเกยวของกบอปนยเชงอนนต

(transfinite induction)

การยกก าลงซอน

เนองจากการยกก าลงของจ านวนธรรมชาตมเหตมาจากการคณซ า ๆ จงมความ

เปนไปไดทจะนยามการด าเนนการทมเหตมาจากการยกก าลงซ า ๆ

เชนเดยวกน การด าเนนการนบางครงเรยกวา เทเทรชน (tetration) และเทเทร

ชนซ า ๆ กสามารถน าไปสการด าเนนการอกอยางหนงเชนกน เปนเชนนตอไป

เรอย ๆ ล าดบของการด าเนนการเหลานไดถกแสดงไวดวยฟงกชนอคเคอร

มนน (Ackermann function) และสญกรณลกศรของคนธ (Knuth's up-arrow

notation) และเนองดวยการยกก าลงมอตราเพมขนมากกวาการคณ การคณกม

อตราเพมขนมากกวาการบวก ดงนนเทเทรชนกมอตราเพมขนมากกวาการยก

ก าลง ตวอยางเชน เมอก าหนดคา (3,3) ใหกบฟงกชนการบวก การคณ การยก

ก าลง และเทเทรชน จะไดผลลพธออกมาเปน 6, 9, 27 และ 7,625,597,484,987

ตามล าดบ

ในภาษาโปรแกรม

สญกรณตวยก xy สะดวกในการเขยนดวยมอ แตอาจไมสะดวกในการกดบน

เครองพมพดดหรอคอมพวเตอรเทอรมนล ซงจดอกขระทกตวอยบนเสน

บรรทดเดยวกน ภาษาโปรแกรมหลายภาษามวธการอยางอนในการแสดงการ

ยกก าลงโดยไมใชตวยก อาท

x ↑ y: อลกอล, คอมโมดอรเบสก

x ^ y: เบสก, เจ, แมตแลบ, อาร, ไมโครซอฟท เอกเซล, เทกซ (TeX และ

ตวตอยอดอน ๆ), ทไอ-เบสก, บซ (เลขชก าลงจ านวนเตม), แฮสเกลล

(เลขชก าลงจ านวนเตมทไมเปนลบ), ลว (Lua), เอเอสพ และระบบ

พชคณตคอมพวเตอรสวนใหญ

x ^^ y: แฮสเกลล (ฐานเศษสวน เลขชก าลงจ านวนเตม), ด

x ** y: เอดา, แบช, โคบอล, ฟอรแทรน, ฟอกซโพร, กนพลอต, โอแค

เมล, เพรล, พแอล/วน, ไพทอน, เรกซ (REXX), รบ, แซส (SAS), ทซ

แอล, อาบป, แฮสเกลล (เลขชก าลงจ านวนจดลอยตว), ทวรง, วเอชดแอล

x⋆y: เอพแอล

Power(x, y): ไมโครซอฟท เอกเซล, เดลฟ/ปาสกาล (ประกาศในยนต

Math)

pow(x, y): ซ, ซพลสพลส, พเอชพ, ทซแอล

math.pow(x, y): ไพทอน

Math.pow(x, y): จาวา, จาวาสครปต, มอดลา-3, เอมแอลมาตรฐาน

Math.Pow(x, y) หรอ BigInteger.Pow(x, y): ซชารป (และภาษาอนทใช

บซแอล)

(expt x y): คอมมอนลสป, สกม

math:pow(x, y): เออรแลง

สญลกษณ ^ ทไมเกยวกบการยกก าลงเชน ในแบช ซ ซพลสพลส ซชารป จาวา

จาวาสครปต เพรล พเอชพ ไพทอน และรบ หมายถงการด าเนนการ

XOR ระดบบต; ในปาสกาล หมายถงการอางถงทางออม (indirection); ในโอ

แคเมลและเอมแอลมาตรฐาน หมายถงการตอสายอกขระ (concatenation)

ประวตของสญกรณ

ค าวา ก าลง (power) ถกใชโดยยคลด นกคณตศาสตรชาวกรก ส าหรบยกก าลง

สองเสนตรง [29] ในครสตศตวรรษท 9 มฮมมด อบน มซา อลคอวารซมย

(Muḥammad ibn Mūsā al-Khwārizmī) ใชค าวา มล (mal) ส าหรบยกก าลง

สองและ กบ (kab) ส าหรบยกก าลงสาม ในเวลาตอมานกคณตศาสตรชาว

อสลามไดใช m และ k เปนสญกรณคณตศาสตรตามล าดบ ดงเหนไดจากงาน

เขยนของ อะบ อลฮะซน อบน อะล อลเกาะละศอด (Abū al-Ḥasan ibn ʿAlī

al-Qalaṣādī) ในครสตศตวรรษท 15 [30]

นโกลา ชวเก (Nicolas Chuquet) ใชรปแบบสญกรณยกก าลงในครสตศตวรรษ

ท 15 ตอมาในครสตศตวรรษท 16 เฮนรคส กรมมาทอยส (Henricus

Grammateus) และมคาเอล ชตเฟล (Michael Stifel) กใชเชนกน แซมวล

จก (Samuel Jeake) ไดแนะน าใหใชค าวา ดชน (index) ในป ค.ศ. 1696 [29] ใน

ครสตศตวรรษท 16 โรเบรต เรคอรด (Robert Recorde) ใชค า

วา สแควร (square), ควบ (cube), เซนซเซนซก (zenzizenzic), เซอร

ฟอไลด (surfolide), เซนซควบ (zenzicube), เซเคนดเซอรฟอไลด (second

surfolide) และ เซนซเซนซเซนซก (zenzizenzizenzic) ส าหรบการยกก าลงสอง

ถงแปดตามล าดบ [31]นอกจากนกมการใชค าวา ไบควอเดรต (biquadrate) เพอ

อางถงการยกก าลงสอกดวย

นกคณตศาสตรบางคน (เชนไอแซก นวตน) ใชเลขชก าลงเฉพาะเมอมก าลง

มากกวาสอง และนยมแสดงก าลงสองเปนการคณซ าสองตว ดงนนเมอพวกเขา

เขยนพหนาม พวกเขาจะเขยนเปนรปแบบดงตวอยาง ax + bxx + cx3 + d เปน

ตน

ค าอกค าหนงทมความหมายเหมอนการยกก าลงในอดตคอ อนโวล

ชน (involution) [32] แตในปจจบนความหมายทสามญกวาของค านคอ อาวตนา

การ(involution) คอฟงกชนทเปนฟงกชนผกผนของตวเอง