คือช่วง แล้ว มีค่าเท่ากับเท่าใด¹€ฉลย คณิตศาสตร์ 7 วิชา... · 3 6. ถ้า [ ] แล้ว

1

1. ถาเซตค าตอบของอสมการ | | | | คอชวง , - แลว มคาเทากบเทาใด

เฉลย

| | | | | | | | | | | | ( ) ( ) ( ) ( ) ,( ) ( )-,( ) ( )- , -, - ( )( ) ( )( ) ( )( )

เซตค าตอบคอชวง , - ดงนน a + b = 2+4 = 6

2. ถา S เปนเซตของจ านวนนบ n ซง ค.ร.น ของ 720 และ n มคาเทากบ 10800 แลวสมาชกของ S ทม

คานอยทสด มคาเทากบ เทาใด

เฉลย

720 = 2222335

n = 33535 = 675

ค.ร.น = 222233535 = 10800

ดงนนคา n ทนอยทสด ทท าให ค.ร.น ของ n และ 720 เทากบ 10800 คอ 675

*************************************************************************************

3. ( √ ) มคาเทากบเทาใด

เฉลย √ √

( √ )

√

(√ ) √

. √ /

************************************************************************************

www. mathsolution .org

วยะดา ทองประดบ

2

4. ก าหนดให O เปนจดก าเหนด A( 1 , -4 , -3 ) และ B = ( 3 , -6 , 2 ) ถา C เปนจดบน OB ซงท าให

AC ตงฉากกบ OB แลว OC ยาวเทาใด

เฉลย

จด C อยบน OB ดงนน เวคเตอร OC และ เวคเตอร OB จงมทศทางเดยวกน ให

⌈

⌉ ดงนนจด C คอจด ( )

จะได [

] AC ตงฉากกบ จะได

[

] [

]

( ) ( )( ) ( )( ) 9m -3 +36m -24+4m+6 = 0

49m -21 = 0

[

]

[

]

จะไดขนาดของ

| | √

√

5. ผลบวกของค าตอบทงหมดของสมการ √ มคาเทากบเทาใด

เฉลย √ √ √ √ ( √ )( √ ) √

√

ผลบวกของค าตอบ =

*************************************************************************************



3

6. ถา [ ] แลว มคาเทากบเทาใด

เฉลย [ ] ( )

7. ในการกระจาย .

/

โดยการใช ทฤษฎบททวนาม จะไดวาพจนคงตวมคาเทากบเทาใด

เฉลย

. /

.

/ ( ) .

/

ดงนนพจนท 5 จงเปนพจนทเปนคาคงตว

.

/ ( ) .

/

.

/ ( ) .

/

.

/ ************************************************************************************



4

8. ในการสอบวชาประวตศาสตรมการสอบ 5 ครง โดยทอาจารยผสอนใหน าหนกของผลการสอบครง

สดทายเปนสองเทาของผลการสอบครงอน ในการสอบสครงแรก เดกชายพลสอบไดคะแนนเฉลย

86 เปอรเซนต ถาเขาตองการผลการสอบวชานเปน 90 เปอรเซนตแลวเขาตองไดคะแนนในการสอบ

ครงท 5 เทากบกเปอรเซนต

เฉลย

จากสตร ถวงน าหนก

86 =

( )

90 =

( )



5

9. ก าหนดให เปนสวนของเสนตรงซงมสมการเปน และ เปนเสนสมผส

เสนโคง

ถา ขนานกบ แลว ระยะหางระหวางเสนตรง และ

เทากบเทาใด

เฉลย

เปนสวนของเสนตรงซงมสมการเปน

( )

เปนเสนสมผสเสนโคง ทจด ( )

ดงนน สมการทวไปของ คอ

ผาน จด ( ) ( ) ( ) สมการ คอ

ระยะหางระหวาง กบ = | ( )|

√

หนวย



6

10. 2

0

| | มคาเทากบเทาใด

เฉลย

| | ( ) เมอ นนคอ

ชวง ( )

2

0

| | = 2

0

( ) = 2

0

( )

= .

/

( )

= -16+24 = 8

******************************************************************************

11. ก าหนดให ( ) เปนพหนามดกร 3 ถา , และ ตางกหาร ( )

แลวเหลอเศษ และ หาร ( ) ลงตว ( ) แลว มคาเทากบขอใดตอไปน

1. -3 2. -1 3. 0 4. 1 5. 3

เฉลย

, และ ตางกหาร ( ) แลวเหลอเศษ

แสดงวา , และ หาร ( ) ลงตว ( ) ( )( )( ) หาร ( ) ลงตว นนคอ ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )( )

( ) ( )( )( )

( ) ( )( )( )

( ) ( )( )( )

( ) ************************************************************************************************



7

12. ถา เปนจ านวนเชงซอนซงม ( ) และสอดคลองกบสมการ . √

/

แลว เทากบขอใดตอไปน

1. √

2. √

3.

4.

√

5.

√

เฉลย

( √

)

√

√

√

√

√

แตโจทยก าหนดให ( )

√

√

√

√

√

. √

/

(

) (

)

(

) (

)

(

) (

)

√

**********************************************************************



8

13. ก าหนดให เปนจ านวนเตมบวกซง ถา ห.ร.ม ( ) = 5

แลว | | มคาเทากบขอใดตอไปน

1. 15 2. 45 3. 90 4. 210 5. 435

เฉลย

ห.ร.ม ( ) = 5 แสดงวา a , b ม 5 เปนตวประกอบ

ให a = 5m และ b = 5n

จาก

(5m)(5n) -25(5m)-25(5n) = 1575

25mn - 125 m -125 n = 1575

mn – 5 m -5 n = 63

(mn-5m) – 5n+25-25 = 63

m(n-5) – (5n – 25) -25 = 63

m( n -5 ) – 5 (n-5) = 63 + 25

(n-5)(m-5) = 88

n – 5 = 8 และ m – 5 = 11

n = 13 และ m = 16 ดงนน a = 516 = 80 และ b = 513 = 65 | | | |



9

14. ก าหนดให และ เปนเวคเตอรสามมตซงท ามมปานตอกน และพนทของรปสเหลยมดานขนาน

ทมดานประกอบมมเปน และ มคาเทากบ 3 ตารางหนวย ถา และ มขนาด 1 และ 5

หนวย ตามล าดบแลว ( ) ( ) มคาเทากบขอใดตอไปน

1. -27 2. -19 3. 0 4. 19 5. 27

เฉลย

ก าหนดให และ เปนเวคเตอรสามมตซงท ามมปานตอกน และพนทของรปสเหลยมดาน

ขนาน ทมดานประกอบมมเปน และ มคาเทากบ 3 ตารางหนวย

พนทของรปสเหลยมดานขนาน ทมดานประกอบมมเปน และ = | | | | | | || ( )( )

ดงนน

( เปนมมปาน )

( ) ( ) | | | | ( ) | || | ( )( ) .

/

***************************************************************************



10

15. ก าหนดให เปนไฮเปอรโบลาซงมสมการเปน ถา

เปนวงรซงมจดยอดอยทจดโฟกสของ และม ความเยองศนยกลางเทากบ

√ แลว

คอสมการในขอใดตอไปน

1. ( )

( )

2. ( )

( )

3. ( )

( )

4. ( )

( )

5. ( )

( )

เฉลย ( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )

เปนไฮเปอรโบลา ทมแกนตามขวางขนานแกน x มจดศนยกลางทจด ( 4 , -1 )

จาก ดงนน ,

จะไดโฟกสทงสองของไฮเปอรโบลา คอ ( 9 , -1 ) และ ( -1 , -1 ) ซงโฟกส

ทงสอง เปนจดยอดของวงร ดงนน คา a ของวงร = 5

√

√

สมการของ คอ

. ( )

( )



11

16. ก าหนดใหรปสามเหลยม ABC มมม A และมม B เปนมมแหลม ถา

และ √ แลว มคาเทากบขอใดตอไปน

1. (√ √ ) 2.

(√ √ )

3. ( √ √ ) 4.

(√ √ )

5. ( √ √ )

เฉลย √ √ ( )

(√ )

√

มม B เปนมมแหลม ดงนน

√

√

√

( ( )) ( ) ( )

(.√

√ / (

√ ) .

√

√ / .

√ /) .

√

√

/

( √ √ )

*****************************************************************************************************************



12

17. ถา สอดคลองกบระบบสมการ

โดยทดเทอรมเนนท |

| แลว มคาเทากบขอใดตอไปน

1. -4 2.

3. 0 4.

5. 4

เฉลย

|

|

4c -4a-4b +4a-8b+2c = 6c -12b = 24

c -2b = 4 , c = 2b+4

[

] * + *

+

| | |

|

|

|

| |

( )

*******************************************************************************



13

18. ก าหนดให A เปนเมทรกซมต และ เมอ

ถา [ ] [

] [

]

[ ] [

] [

] แลว ( ) มคาเทากบขอใดตอไปน

1. -8 2.

3.

4. 1 5. 8

เฉลย

| || | | |

| | |

| |

|

| |( )

| |



14

19. ถา * |

( )

( )

( ) +

และ * | เปนจ านวนเตมซง +

แลว มจ านวนสมาชกเทากบขอใดตอไปน

1. 5 2. 6 3. 7 4. 8 5. 9

เฉลย

( ) และ และ

ดงนน

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )( )

( )

( )( )

( )

( )( ) ( ) ( )( )

.

1 , )

* + * + มสมาชกทงหมด 7 จ านวน

**********************************************************************************************************



15

20. ในการจดเดก 7 คน 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 ขวบ นงเกาอ 7 ตวซงตดหมายเลข 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7

โดยก าหนดใหเดกทจะนงเกาอหมายเลข k ตองมอายมากกวา หรอเทากบ k-1 ขวบ จะมจ านวนวธ

ในการจดเทากบขอใดตอไปน

1. 32 2. 60 3. 64 4. 120 5. 128

เฉลย

เกาอ หมายเลข 7 เดกทจะนงได ตองมอาย มากกวา หรอเทากบ 6 ขวบ

เกาอ หมายเลข 7 จะเลอกคนนงได 2 วธ

เกาอ หมายเลข 6 เดกทจะนงได ตองมอาย มากกวา หรอเทากบ 5 ขวบ คอเดก อาย 5 , 6 ,7

เกาอ หมายเลข 6 จะเลอกคนนงได 3 วธ แตเกาอหมายเลข 7 เลอก แลว 1 วธ เกาอหมายเลข 6 จงเลอก

ได 2 วธ

เกาอ หมายเลข 5 เดกทจะนงได ตองมอาย มากกวา หรอเทากบ 4 ขวบ คอเดก อาย 4 , 5 , 6 ,7

เกาอ หมายเลข 5 จะเลอกคนนงได 4 วธ แตเกาอหมายเลข 6 ,7 เลอก แลว 2 วธ เกาอหมายเลข 5 จง

เลอก ได 2 วธ

เกาอ หมายเลข 4 เดกทจะนงได ตองมอาย มากกวา หรอเทากบ 3 ขวบ คอเดก อาย 3, 4 , 5 , 6 ,7

เกาอ หมายเลข 4 จะเลอกคนนงได 5 วธ แตเกาอหมายเลข 5, 6 ,7 เลอก แลว 3 วธ เกาอหมายเลข 4 จง

เลอก ได 2 วธ

เกาอ หมายเลข 3 เดกทจะนงได ตองมอาย มากกวา หรอเทากบ 2 ขวบ คอเดก อาย 2, 3, 4 , 5 , 6 ,7

เกาอ หมายเลข 3 จะเลอกคนนงได 6 วธ แตเกาอหมายเลข 4,5, 6 ,7 เลอก แลว 4 วธ เกาอหมายเลข 3

จง เลอก ได 2 วธ

เกาอ หมายเลข 2 เดกทจะนงได ตองมอาย มากกวา หรอเทากบ 1 ขวบ คอเดก อาย 1 ,2, 3, 4 , 5 , 6 ,7

เกาอ หมายเลข 2 จะเลอกคนนงได 7 วธ แตเกาอหมายเลข 3, 4,5, 6 ,7 เลอก แลว 5 วธ เกาอหมายเลข

2 จง เลอก ได 2 วธ

เกาอ หมายเลข 1 เดกทจะนงได ตองมอาย มากกวา หรอเทากบ 0 ขวบ คอเดก อาย

1, 2, 3, 4 , 5 , 6 ,7 เกาอ หมายเลข 1 จะเลอกคนนงได 7 วธ แตเกาอหมายเลข 2 ,3 , 4 ,5, 6 ,7 เลอก

แลว 6 วธ เกาอหมายเลข 1 จง เลอก ได 1 วธ

ดงนนวธการนงเกาอทงหมดท าได = = 64 วธ



16

21. ขอมลชดหนงเปนคะแนนจากการสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยนกลมหนง ถาเพมคะแนนให

นกเรยนทกๆคนคนละ 3 คะแนน แลวจะท าใหคาสถตในขอใดตอไปนมคาลดลง

1. สวนเบยงเบนเฉลยของคะแนน 2. สมประสทธของพสยของคะแนน

3. คาเฉลยเลขคณตของคะแนน 4. คามธยฐานของคะแนน

5. สวนเบยงเบนมาตรฐานของคะแนน

เฉลย

1. สวนเบยงเบนเฉลยของคะแนน = ∑| |

เมอเพมคะแนนคนละ 3 คะแนนจะได

(ใหม) ∑| ( )|

∑| )|

∑| |

ดงนน MD เพมขน

2. สมประสทธของพสยของคะแนน =


(ใหม) ( )

ดงนนสมประสทธของพสยของคะแนน ลดลง

3. คาเฉลยเลขคณตของคะแนน ∑


(ใหม) ∑

∑

∑

ดงนนคาเฉลยเลขคณตของคะแนน เพมขน

4. คามธยฐานของคะแนน

เทากบ (

) เมอ n เปนจ านวนค และ

. /

( )

คามธยฐานของคะแนน

เทากบ (

) เมอ n เปนจ านวนค และ

. /

( )

คามธยฐานของคะแนนเพมขน

5. สวนเบยงเบนมาตรฐานของคะแนน ไมเปลยน เมอมการเพมขอมลเทากนทกตว



17

22. น าหนกของถงซงบรรจอาหารขายสงของบรษทแหงหนงมการแจกแจงปกต ถาถงทมน าหนกเกน

117. 8 กรม มอย 67 % และถงทมน าหนกเกน 126.7 กรม มอย 9 % แลว จ านวนเปอรเซนต

ของถงทมน าหนกนอยกวา 125 กรม เทากบขอใดตอไปน โดยก าหนดตารางแสดงพนทใตเสนโคง

ปกตดงน

1. 84.13 2. 86.43 3. 88.49 4. 89.25 5. 90

เฉลย

พนทใตโคง 0.41 คา z = 1.34 พนทใตโคง 0.17 คา z = 0.44

และ

8.9 = 1.78 SD

SD = 5 ( )

จ านวนเปอรเซนตของถงทมน าหนกนอยกวา 125 กรม

เทากบ ( 0.3413 +0.5 ) 100 = 84.13 %

z 0.17 0.44 1 1.1 1.2 1.34 พนทใตเสนโคง 0.4554 0.1700 0.3413 0.3643 0.3849 0.41



18

23. พาราโบลารปหนงมแกนสมมาตรขนานแกน Y มจดยอดอยทจด ( 3 , 9 ) และผานจด ( 1 , 5 ) บรเวณ

ทปดลอมดวยพาราโบลารปน และแกน X มพนทเทากบขอใดตอไปน

1. 9 ตารางหนวย 2. 18 ตารางหนวย

3. 27 ตารางหนวย 4. 36 ตารางหนวย

5. 54 ตารางหนวย

เฉลย

A = dxx6x6

0

2 = .

/

= 36 ตารางหนวย

****************************************************************************

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

กราฟเปนรป พาราโบลา คว า

กราฟผานจด ( 1 , 5 )

ดงนน สมการพาราโบลาคอ

( )

( )

( )

y = 0 x = 0 ,6

A



19

24. ก าหนดให g เปนฟงกชนพหนามซงมจด ( 2 , -1 ) เปนจดต าสดสมพทธ และกราฟ ของ g ผานจด

( 1 , 4 ) ถา c เปนคาคงตวทท าให ฟงกชน f นยามโดย

( ) {( ) ( ) เมอ

เมอ

ตอเนองทจด x = 1 แลว ( ) มคาเทากบขอใดตอไปน 1. -8 2. -4 3. 0 4. 4 5. 8

เฉลย

ตอเนองทจด x = 1 )x(flim)x(flim1x1x

( ) ( ) กราฟ ของ g ผานจด ( 1 , 4 ) ดงนน ( ) หา ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) g เปนฟงกชนพหนามซงมจด ( 2 , -1 ) เปนจดต าสดสมพทธ ดงนน ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) *******************************************************************************



20

25. ถา { เมอ เปนจ านวนค

เมอ เปนจ านวนค

แลว

40

1kka มคาเทากบขอใดตอไปน

1. 860 2. 1060 3. 1080 4. 1240 5. 1440

เฉลย

40

1kka =

= 1+4+ 3+8+5+12 +…+ 37+76+39+80

= ( 1+3+5+7+…+39)+(4+8+12+16+…+76+80)

1+3+5+7+…+39 หาจ านวนพจน n

ดงนน 1+3+5+7+…+39 =

( ) ( )

4+8+12+16+…+76+80 หาจ านวนพจน n

ดงนน 4+8+12+16+…+76+80 =

( ) ( )

40

1kka = 400 + 840 = 1240

********************************************************************************



21

26. ถา 0

1 เมอ เปนจ านวนจรง และ 0

1 แลว

( √ )( √ )( √ )( √ ) มคาเทากบขอใดตอไปน

1. 48 – 13a 2. ( √ )( √ )( √ )( √ )

3. 17a 4. 17 5. 48

เฉลย ( √ )( √ )( √ )( √ ) | √ || √ || √ || √ |

√ 0

1 [√

√ ] [

√

√ ]

| √ | = ( √ )( √ ) ( )( )

= ( ) ( )

| √ | = ( √ )( √ ) ( )( )

= ( ) ( )

| √ | = ( √ )( √ ) ( )( ) = ( ) ( )

| √ | = ( √ )( √ ) ( )( )

= ( ) ( ) ( √ )( √ )( √ )( √ ) ************************************************************************************



22

27. ก าหนดให เปนวงรทมสมการเปน

โดยท เมอ ถา และจดยอดของวงร เปนโฟกส

ของวงร ทก แลว

1nna มคาเทากบขอใดตอไปน

1. 6 + 4√ 2. 8 + 4√ 3. 10 + 4√ 4. 15 5. 17

เฉลย

เปนวงรทมสมการเปน

และ

ดงนน เปนวงรทมสมการเปน

เปนวงรทมแกนเอกอยบนแกน x จด

ศนยกลางอยทจด ( 0 , 0 )

หาคา c จะได ดงนน √ จะได โฟกส ของวงร คอจด (√ , 0)

และ ( √ , 0)

จดยอดของวงร เปนโฟกส ของวงร ทก

ดงนน จดยอดของวงร เปนโฟกส ของวงร จะได จดยอดของวงร คอจด √ , 0)

และ ( √ , 0) ดงนนคา √ จะได √

หาคา c จะได

ดงนน

จะได โฟกส ของวงร คอจด (

, 0)

และ (

, 0) ดงนนคา

จะได

ดงนน

1nna = √

เปนอนกรมเรขาคณตทมคา

√

1nna = √

=

√

=

√

=

√ = ( √ ) √

*********************************************************************************



23

28. ขอใดตอไปนผด

1. ( ) | | มอนพนธทจด

2. ( )

| | มอนพนธทจด

3. ( ) | || | มอนพนธทจด



เฉลย

3. ( ) ( ) เมอ

11x2xf0x

'

( ) ( ) เมอ

11x2xf0x

'

0x

' xf 0x

' xf ดงนน f ไมมอนพนธท x = 0

********************************************************************************



24

29. ก าหนดใหขอมลชดหนงประกอบดวย

โดยท { เมอ เปนจ านวนเตมบวกค

เมอ เปนจ านวนเตมบวกค

มธยฐานของขอมลชดนเทากบขอใดตอไปน

1. 63 2. 68 3. 71 4. 74 5. 76

เฉลย

จากเงอนไขทโจทยก าหนดให จะไดขอมลดงนคอ

7 , 2 , 15 , 4 , 23 , 6 , 31 , 8 , 39 , ..., 88 , 359 , 90 , 367

เรยงใหมจากนอยไปหามากจะได

2 , 4 , 6 , 7 , 8 , 10 , 12 , 14 , 15 , 16 , 18 , 20 , 22 , 23 , 24 , 26 , 28 , 30 , 31 , 32 , 34 , 36 ,38 , 39 ,40 ,42,

44 , 46 , 47 , …….., 367

ขอมลมทงหมด 91 ตว ต าแหนงของมธยฐาน คอ ขอมลในต าแหนงท 46 เมองเรยงขอมลจากมากไปหานอย

นบจากต าแหนงท 4 คอ เลข 7 หลงจากนน ถดไป 4 ต าแหนง จะเปน 15 นนหมายความวา ถาให

8 คอ ตวทหนง ทกตวท 5 หาร ลง ตว จะเปน เลข พจน ท 3+4n เมอ n เปนเลขค

ถาตองการต าแหนงท 46 ตองตดออกไป 4 ตวกอน เหลอ 42 เอา 5 หาร ได เปน 8 เศษ 2

ถาหารได 1 ตองแทน n ดวย 3 ถาหาร ได 2 ตองแทน n ดวย 5 ดงนนถาหารได 8 ตองแทน n ดวย 17

นนคอ พจนท 44 คอ 3 + 4( 17 ) = 71 พจน ท 45 คอ 72 ดงนนพจนท 46 คอ 74

**********************************************************************************



25

30. ก าหนดให ,0

1 | * +-

ถาสมเลอกเมทรกซหนงเมทรกซ จากเซต M แลว ความนาจะเปนทจะไดเมทรกซทมอนเวอรส

การคณ มคาเทากบขอใดตอไปน

1.

2.

3.

4.

5.

เฉลย

ตวแปร 4 ตว คอ a , b , c ,d แตละตว มได 3 วธ ดงนนวธการสรงเมตรก ท าไดทงหมด

=

เมตรกซทมอนเวอรสการคณ คอเมตรกซท คาดเทอรมเนนท ไมเทากบศนย

| | เมอ ad = bc

1. ad = bc = 0 เปนไปได คอ ในแตละกรณ แตละคเปน 0,0 0,-1 , -1 ,0 , 0 ,1 , 1,0

ซงแตละคจะเปนไปไดทงหมด 5 วธ รวมแลวมทงหมด 5 5 = 25 วธ

2. ad = bc = 1 เปนไปได คอ ในแตละกรณ แตละคเปน 1,1 -1,-1

ซงแตละคจะเปนไปไดทงหมด 2 วธ รวมแลวมทงหมด 2 2= 4 วธ

3. ad = bc = - 1 เปนไปได คอ ในแตละกรณ แตละคเปน -1,1 1,-1

ซงแตละคจะเปนไปไดทงหมด 2 วธ รวมแลวมทงหมด 2 2= 4 วธ

เมตรกซท คาดเทอรมเนนท เทากบศนย = 25 + 4 + 4 = 33 วธ

เมตรกซท คาดเทอรมเนนท ไมเทากบศนย = 81 -33 = 48 วธ

ดงนนความนาจะเปนทจะเปนเมทรกซทมอนเวอรส การคณ มคาเทากบ

*************************************************************************



26

Documents

คือช่วง แล้ว มีค่าเท่ากับเท่าใด¹€ฉลย คณิตศาสตร์ 7 วิชา... · 3 6. ถ้า [ ] แล้ว