Upload
others
View
2
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
1
บทที่ 5
การหาปริพันธ์
(Integration)
5.2 ปฏิยานุพันธ์และคณุสมบัติ (Antiderivatives of their Properties)
บทนิยาม 2.1
ให้ 𝑓 เป็นฟังก์ชันที่หาค่าได้บนช่วง 𝐼 ถ้า 𝐹 เป็นฟังก์ชันโดยที่ 𝐹′(𝑥) = 𝑓(𝑥)
ส าหรับทุกค่า 𝑥 ใน 𝐼
แล้วจะเรียก 𝐹 ว่าเป็นปฏิยานพุันธ์ของ 𝑓บน 𝐼
ตัวอย่าง
ก าหนด 𝐹1(𝑥) = 𝑥2, 𝐹2(𝑥) = 𝑥2 + 2, 𝐹3(𝑥) = 𝑥2 − 2,
𝐹4(𝑥) = 𝑥2 + 𝑐 เมื่อ 𝑐 เป็นค่าคงที่ และ 𝑓(𝑥) = 2𝑥 จงแสดงว่า
𝐹1, 𝐹2, 𝐹3, 𝐹4 ต่างเป็นปฏิยานุพันธ์ของ 𝑓 บน ℝ
2
ทฤษฎีบท 2.1
ถ้า 𝐹′(𝑥) = 0 ส าหรับทุก 𝑥 ในช่วง 𝐼 แล้ว 𝐹′(𝑥) = 𝐶 ส าหรับทุก 𝑥 ในช่วง 𝐼
เมื่อ 𝐶 เป็นค่าคงตัว (นั่นคือ 𝐹 เป็นฟังก์ชันค่าคงตวับน 𝐼)
ทฤษฎีบท 2.2
ถ้า 𝐹1′(𝑥) = 𝐹2
′(𝑥) ส าหรับทุก 𝑥 ในช่วง 𝐼 แล้วจะมคี่าคงตัว 𝐶 ที่ท าให้
𝐹1′(𝑥) − 𝐹2
′(𝑥) = 𝐶 ส าหรับทุก 𝑥 ในช่วง 𝐼
คุณสมบัติของปฏิยานพุันธ์
1) ถ้า 𝐹 เป็นปฏิยานุพันธ์ของ 𝑓 บนช่วง 𝐼 และ 𝐹1(𝑥) = 𝐹(𝑥) + 𝐶
ส าหรับทุก 𝑥 ในช่วง 𝐼 เมือ่ 𝐶 เป็นค่าคงตัว และ 𝐹1 จะเป็นปฏิยานุพันธ์ของ 𝑓
บนช่วง 𝐼
2) ถ้า 𝐹1และ 𝐹2 เป็นปฏิยานุพนัธ์ของ 𝑓1 และ 𝑓2 บนช่วง 𝐼 ตามล าดับ แลว้
𝐹1 + 𝐹2 จะเป็นปฏิยานุพันธ์ของ 𝑓1 + 𝑓2 บนช่วง 𝐼
3) ถ้า 𝑘 เป็นค่าคงตัว และ 𝐹 เป็นปฏิยานุพันธ์ของ 𝑓 บนช่วง 𝐼 แล้ว 𝑘𝐹 จะ
เป็นปฏิยานุพันธ์ของ 𝑘𝑓 บนช่วง 𝐼
4) ถ้า 𝑘1, 𝑘2, 𝑘3, … , 𝑘𝑛 เป็นค่าคงตัว และ 𝐹1, 𝐹2, 𝐹3, … , 𝐹𝑛 เป็นปฏิยา
นุพันธ์ของ 𝑓1, 𝑓2, 𝑓3, … , 𝑓𝑛 บนช่วง 𝐼 ตามล าดับ เมือ่ 𝑛 เป็นจ านวนเต็มบวก
แล้ว 𝑘1𝐹1 + 𝑘2𝐹2 + 𝑘3𝐹3 + ⋯ + 𝑘𝑛𝐹𝑛 จะเป็นปฏิยานุพันธ์ของ
𝑘1𝑓1 + 𝑘2𝑓2 + 𝑘3𝑓3 + ⋯ + 𝑘𝑛𝑓𝑛 บนช่วง 𝐼
3
ทฤษฎีบท 2.3
ถ้า 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑛 เมื่อ 𝑛 ≠ −1 แล้ว ปฏิยานพุันธ์ของ 𝑓 คือ ฟังก์ชัน 𝐹 เมื่อ
𝐹(𝑥) =𝑥𝑛+1
𝑛+1+ 𝐶 และ 𝐶 เป็นค่าคงตัว
ตัวอย่าง
ก าหนดให้ 𝑓(𝑥) = √𝑥3 จงหาปฏิยานุพันธ์ของ 𝑓
4
5.3 ปริพันธ์ไม่จ ากัดเขต (Indefinite Integrals)
บทนิยาม 5.1
ถ้า 𝑓 เป็นฟังก์ชันที่ก าหนดค่าบนช่วง 𝐼 แล้วจะเรียก ปฏิยานุพันธ์ทีม่ีค่าคงตัวบวกอยู่ด้วย
ของ 𝑓 บนช่วง 𝐼 ว่า ปริพันธ์ไม่จ ากัดเขตของ 𝑓
และเขยีนแทนด้วยสญัลกัษณ์ ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
1) การหาปริพันธ์ไม่จ ากัดเขตเป็นการด าเนินการทีต่รงข้ามกับการหาอนพุนัธ์
2) ถ้า 𝐹′(𝑥) = 𝑓(𝑥) แล้ว ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥) + 𝐶 เมื่อ 𝐶 เป็นค่า
คงตัว
คุณสมบัติของปริพันธ์ไม่จ ากัดเขต
1) ∫ [𝑓1(𝑥) ± 𝑓2(𝑥)]𝑑𝑥 = ∫ 𝑓1(𝑥)𝑑𝑥 ± ∫ 𝑓2(𝑥)𝑑𝑥
2) ∫ 𝑘𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑘∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 เมื่อ 𝑘 เป็นค่าคงตัว
3) ∫ [𝑘1𝑓1(𝑥) + 𝑘2𝑓2(𝑥) + ⋯ + 𝑘𝑛𝑓𝑛(𝑥)]𝑑𝑥 =
𝑘1∫ 𝑓1(𝑥)𝑑𝑥 + 𝑘2∫ 𝑓2(𝑥)𝑑𝑥 + ⋯ 𝑘𝑛∫ 𝑓𝑛(𝑥)𝑑𝑥 เมื่อ 𝑛 เป็นจ านวนเต็มบวก และ 𝑘1, 𝑘2, 𝑘3, … , 𝑘𝑛 เป็นค่าคงตัว
5
ทฤษฎีบท 3.1
∫ 𝑥𝑛𝑑𝑥 =𝑥𝑛+1
𝑛+1+ 𝐶 เมื่อ 𝑛 เป็นจ านวนจริง ซึ่ง 𝑛 ≠ −1
บทแทรก 3.1
∫ 1𝑑𝑥 = 𝑥 + 𝐶
ตัวอย่าง
จงหาค่าของ ∫ (7 + 5𝑥5 −3
𝑥3 + 2√𝑥) 𝑑𝑥
6
ตัวอย่าง
จงหาค่าของ ∫ (2 − 3𝑥2)4𝑥𝑑𝑥
ทฤษฎีบท 3.2
ถ้า 𝑢 = 𝑓(𝑥) เป็นฟังก์ชันที่หาอนพุันธ์ได้ และ 𝑛 เป็นจ านวนจริง ซึ่ง 𝑛 ≠ −1
แล้ว ∫ [𝑓(𝑥)]𝑛𝑓′(𝑥)𝑑𝑥 =[𝑓(𝑥)]𝑛+1
𝑛+1+ 𝐶 หรือ
∫ 𝑢𝑛𝑑𝑢 =𝑢𝑛+1
𝑛 + 1+ 𝐶
7
ตัวอย่าง จงหาค่าของ ∫𝑑𝑥
√5−3𝑥
ตัวอย่าง จงหาค่าของ ∫(2 − 3𝑥2)4𝑥𝑑𝑥
8
5.4 ปริพันธ์จ ากัดเขต (Definite Integrals)
y
x
y = f(x)
x = a x = b
รูปท่ี 5.4.1
0 a b
รูป 5.4.2
แสดงการแบง่บริเวณ
ออกเป็นแทง่สีเ่หลีย่มผืนผ้าแนบใน
รูป 5.4.3
แสดงการแบง่บริเวณ
ออกเป็นแทง่สีเ่หลีย่มผืนผ้าแนบนอก
9
บทนิยาม 5.4.1
ผลแบ่งกั้น (partition) ของช่วงปิด ,a b คือเซต 0 1 2, , ,..., nP x x x x ที่
0 1 2 1... n na x x x x x b เมื่อ n เป็นจ านวนเต็มบวก
จุด ix จะแบ่ง ,a b ออกเป็นผลผนวก (union) ของช่วงปิดย่อย n ช่วง 1,i ix x เมื่อ
1,2,3,...,i n
ความยาวของแต่ละช่วงปิดย่อย 1,i ix x เขียนแทนด้วย 1i i ix x x เมื่อ 1,2,3,...,i n
และจะเรียกความยาวของช่วงปิดย่อยที่ยาวที่สุดว่า ค่าประจ า (norm) ของผลแบ่งกั้น P
ซึ่งเขียนแทนด้วย
บทนิยาม 5.4.2
ถ้า : ,f a b แล้วจะเรียก f ว่าเป็นฟังก์ชันที่มีขอบเขต (bounded function) บน
,a b ก็ต่อเมื่อมีจ านวนจริงบวก M ซึ่ง ( )f x M ส าหรับทุกค่า x ใน ,a b
บทนิยาม 5.4.3
ถ้า f เป็นฟังก์ชันที่มีขอบเขตบน ,a b และ 0 1 2, , ,..., nP x x x x เป็นผลแบ่งกั้นของ ,a b
และถา้ it เป็นจุดใด ๆ ในช่วงปิดย่อย 1,i ix x เมื่อ 1,2,3,...,i n
แล้วจะเรียก 1
( )n
i i
i
f t x
ว่า ผลบวกรีมันน์ (Riemann sum) ของ f และเขียนแทนด้วย
สัญลักษณ์ ( )nR f
และถ้า 0
lim ( )nR f
หาค่าได้ แล้วจะเรียกค่าลิมิตที่หาได้นี้ว่า ปริพันธ์จ ากัดเขตของ f จาก a
ถึง b
หรือ ปริพันธ์จ ากัดเขตของ f บน ,a b และเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ ( )
b
a
f x dx
และเรียก f ว่า เป็นฟังก์ชันที่หาปริพันธ์ได้ (integrable function) บน ,a b
จะเรียก a และ b ว่าลิมิตล่าง(lower limit) และลิมิตบน(upper limit) ตามล าดับของ
การหาปริพันธ์
10
ทฤษฎีบท 5.4.1
ถ้า f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วง ,a b แล้ว f หาปริพันธ์ได้บนช่วง ,a b
หมายเหตุ จากตัวอย่าง 5.4.1 จะได้ว่า พ้ืนที่ของบริเวณท่ีล้อมรอบด้วยเส้นโค้ง 2y x เส้นตรง 0x เส้นตรง
1x และแกน x คือค่าปริพันธ์จ ากัดเขต 1
2
0
1
3x dx นั่นเอง
Y = f(x)
𝑡1 𝑡2 𝑡3 𝑡𝑖 𝑡𝑛−1 𝑡𝑛
𝑥0 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑥𝑖−1 𝑥𝑖 𝑥𝑛−1 𝑥𝑛−2 𝑥𝑛
𝑓(𝑡𝑖)
รูป 5.4.4 แสดงการหาปริพนัธ์จ ากดัเขตที่เกิดจากผลบวกรีมนัน์
y
x
11
คุณสมบัติของปริพันธ์จ ากัดเขต (Properties of Definite Integrals)
1. ถ้า f เป็นฟังก์ชันที่หาปริพันธ์ได้บนช่วงปิด ,a b
1.1) ถ้า ( ) 0f x ส าหรับทุก ๆ ,x a b แล้ว ( ) 0b
af x dx
1.2) ถ้า ( ) 0f x ส าหรับทุก ๆ ,x a b แล้ว ( ) 0b
af x dx
2. ถ้า k เป็นค่าคงตัวแล้ว ( )b
akdx k b a
3. ถ้า f เป็นฟังก์ชันที่หาปริพันธ์ได้บนช่วงปิด ,a b แล้ว
( ) ( )a b
b af x dx f x dx
4. ( ) 0a
af x dx
5. ถ้า f เป็นฟังก์ชันที่หาปริพันธ์ได้บนช่วงปิด ,a b และถ้า k เป็นค่าคงตัวใด ๆ
แล้ว kf จะเป็นฟังก์ชันหาปริพันธ์ได้บนช่วง ,a b ด้วย และ
( ) ( )b b
a akf x dx k f x dx
6. ถ้า f และ g เป็นฟังก์ชันที่หาปริพันธ์ได้บนช่วงปิด ,a b แล้ว f g จะเป็น
ฟังก์ชันที่หาปริพันธ์ได้บนช่วง ,a b ด้วย และ
( ) ( ) ( ) ( )b b b
a a af x g x dx f x dx g x dx
7. ถ้า f และ g เป็นฟังก์ชันที่หาปริพันธ์ได้บนช่วงปิด ,a b และถ้า ( ) ( )f x g x
ส าหรับทุก ,x a b แล้ว ( ) ( )b b
a af x dx g x dx
8. ถ้า f และ g เป็นฟังก์ชันที่หาปริพันธ์ได้บนช่วงปิด ,a b โดยที่ a c b แล้ว
( ) ( ) ( )b c b
a a cf x dx f x dx f x dx
9. ถ้า f และ g เป็นฟังก์ชันที่หาปริพันธ์ได้บนช่วงปิด ,a b แล้ว f จะเป็น
ฟังก์ชันที่หาปริพันธ์ได้บน ,a b ด้วย และ ( ) ( )b b
a af x dx f x dx
12
ทฤษฎีบท 5.4.2
ถ้า f เปน็ฟังก์ชันค่าคงตัว (constant function) บนช่วงปิด ,a b โดยที่
( )f x k ส าหรับทุก ๆ ,x a b เมื่อ k เป็นค่าคงตัว แล้ว
( )b
akdx k b a
ทฤษฎีบท 5.4.3 ถ้า f เป็นฟังก์ชันที่หาปริพันธ์ได้บนช่วงปิด ,a b และ k เป็น
ค่าคงตัวแล้ว kf เป็นฟังก์ชันที่หาปริพันธ์ได้บน ,a b และ
( ) ( )b b
a akf x dx k f x dx
หมายเหตุ ส าหรับฟังก์ชันบางฟังก์ชัน การหาค่าปริพันธ์จ ากัดเขตโดยวิธีที่กล่าว
ข้างต้นมีความยุ่งยากมากแต่ถ้าหาโดยอาศัยทฤษฏีบทหลักมูลของปริพันธ์แคลคูลัส
ซึ่งจะกล่าวต่อไปนี้ จะหาค่าได้ง่ายกว่า
13
ทฤษฎีบทหลักมูลของปริพันธ์แคลคูลัส
(Fundamental Theorem of Integral Calculus)
ทฤษฎีบท 5.4.4 ทฤษฎีบทหลักมูลบทที่หนึ่งของปริพันธ์แคลคูลัส (First
Fundamental Theorem of Integral Calculus)
ถ้ า f เ ป็ น ฟั ง ก์ ชั น ที่ ห า ป ริ พั น ธ์ ไ ด้ บ น ,a b แ ล ะ F เ ป็ น ฟั ง ก์ ชั น ที่
( ) ( )x
aF x f t dx ส าหรับแต่ละ ,x a b แล้ว F เป็นปฏิยานุพันธ์ของ f
บน ,a b นั่นคือ
( ) ( ) ( )x
a
dF x f t dt f x
dx
ส าหรับทุก ,x a b
ทฤษฎีบท 5.4.5 ทฤษฎีบทหลักมูลบทที่สองของปริพันธ์แคลคูลัส (Second
Fundamental Theorem of Integral Calculus)
ถ้า f เป็นฟังก์ชันที่หาปริพันธ์ได้บน ,a b และ G เป็นฟังก์ชันที่เป็นปฎิยานุพันธ์
ของ f บน ,a b แล้ว
( ) ( ) ( )b
af x dx G b G a
14
ตัวอย่าง 5.4.2 จงหาค่าของ 1
2
0x dx
วิธีท า
ตัวอย่าง 5.4.3 จงหาค่าของ
22
31
3(7 5 2 )x x dx
x
วิธีท า
15
ตัวอย่าง 5.4.4 จงหาค่าของ 1
2 4
0(2 3 )x xdx
วิธีท า
16
แบบฝึกหัด 5.3 จงหาค่าของปริพันธ์จ ากัดเขตต่อไปนี้โดยใชผ้ลบวกรีมันน์
1. 1
0( 1)x dx 2.
22
1( 2)x dx
3. 3
3
0x dx 4.
33
1( 3)x dx
จงหาค่าของปริพันธ์จ ากัดเขตต่อไปนี้โดยใชท้ฤษฎีบทหลักมูลบทที่สองของปริพันธ์
แคลคูลัส
5. 6
0(5 3 )x dx 6.
54 3 2
1( 5 3 1)x x x dx
7. 4
22
1( )u duu
8. 3
2
0( 3 )v dv
9. 3 2
8
31
1( )
sds
s
10.
9
4
( 1)mdm
m
11. 5
1 2 1
dw
w 12.
4
0 9 2
dq
q
13. 3
20 16
tdt
t 14.
2
20 25 4
ydy
y
15. 3
26 5
sds
s 16.
22 3
02 1x x dx
17
5.5 เทคนิคของการหาปริพันธ์ (Techniques of Integration)
สูตรของการหาปริพันธ์ (integration formulas)
ก าหนดให้ u และ v เป็นฟังก์ชันของ x และให้ a และ C เป็นค่าคงตัว จะได้
สูตรที่ 1 du u C
สูตรที่ 2 ( )du dv du dv
สูตรที่ 3 ( )u v dx udx vdx
สูตรที่ 4 audx a udx
สูตรที่ 5 1
1
nn u
u du Cn
เมื่อ 1n (power
formula)
สูตรที่ 6 1
lndu u Cu
สูตรที่ 7 ln
uu a
a du Ca
เมื่อ 0a และ 1a
สูตรที่ 8 u ue du e C
สูตรที่ 9 sin cosudu u C
18
สูตรที่ 10 cos sinudu u C
สูตรที่ 11 tan ln cos ln secudu u C u C
สูตรที่ 12 cot ln sin ln cscudu u C u C
สูตรที่ 13 sec ln sec tanudu u u C
สูตรที่ 14
csc ln csc cot ln csc cotudu u u C u u C
สูตรที่ 15 2sec tanudu u C
สูตรที่ 1 6 2csc cotudu u C
สูตรที่ 1 7 sec tan secu udu u C
สูตรที่ 18 csc cot cscu udu u C
19
ตัวอย่าง 5.5.1 จงหาค่าของ
22( 2)xdx
x
วิธีท า
20
ตัวอย่าง 5.5.2 จงหาค่าของ 3( 3 3 3 )x x x xx e e dx
วิธีท า
21
ตัวอย่าง 5.5.3 จงหาค่าของ 2
(sec tan )x x dx
วิธีท า
22
แบบฝึกหัด 5.4
จงหาค่าของปริพันธ์ไม่จ ากัดเขตในแต่ละข้อต่อไปนี้
1. 3 3( 3)
3
xdx
x
2. ( )x x x xa e a e dx เมื่อ a เป็นค่าคงตัว
3. (3 )
5
x x
x
edx
4. (sec 1)x dx
5. 2(1 tan )x dx
6. (tan cot )x x dx
7. 2(csc cot )x x dx
8. 22
( 2cot )cot
x dxx
23
เทคนิคของการหาปริพันธ์บางเทคนคิ (Some Techniques of
Integration)
เทคนิคของการหาปริพันธ์ที่จะกล่าวถึงในที่นี้ จะกล่าวเพียง 3 วิธี
ดังต่อไปนี ้
1. การหาปริพันธ์โดยการแทนค่า (integration by substitution)
2. การหาปริพันธ์โดยวิธีการแยกเป็นเศษส่วนย่อย (integration by
method of partial fractions)
3. การหาปริพันธ์โดยการแยกส่วน (integration by parts)
การหาปริพันธ์โดยการแทนค่า
ตัวอย่าง 5.5.4 จงหาค่าของ 3 19 2(2 5)x x dx
วิธีท า
24
ตัวอย่าง 5.5.5 จงหาค่าของ 2 3
dx
x
วิธีท า
25
ตัวอย่าง 5.5.6 จงหาค่าของ 3 2
(3 2)
1 4 3
x dx
x x
วิธีท า
26
ตัวอย่าง 5.5.7 จงหาค่าของ 2 9
xdx
x
วิธีท า
27
ตัวอย่าง 5.5.8 จงหาค่าของ 3 5
3
x dx
x
วิธีท า
28
ตัวอย่าง 5.5.9 จงหาค่าของ
25 3 7
2 1
x xdx
x
วิธีท า
29
ตัวอย่าง 5.5.10 จงหาค่าของ
32 (2 ).3 xx dx
วิธีท า
30
ตัวอย่าง 5.5.11 จงหาค่าของ 4x x dx และ 5
04x x dx
วิธีท า
31
ตัวอย่าง 5.5.12 จงหาค่าของ sin3 cos3xe xdx
วิธีท า
32
ตัวอย่าง 5.5.13 จงหาค่าของ
2
2 4(2 )
x
x
e dx
e
วิธีท า
33
ตัวอย่าง 5.5.14 จงหาค่าของ 2 3 x
dx
e
วิธีท า
34
ตัวอย่าง 5.5.15 จงหาค่าของ
2sec
3 5 tan
xdx
x
วิธีท า
35
ตัวอย่าง 5.5.16 จงแสดงว่า sin 2
ln(sin )1 cos2
xdxx C
x
วิธีท า
36
การหาปริพันธ์โดยวิธีการแยกเป็นเศษส่วนย่อย (Integration by
Method of Partial Fractions)
บทนิยาม 5.5.1
ถ้า 2
0 1 2( ) n
nP x a a x a x a x เมื่อ ia เป็นจ านวนจริง
ส าหรับ 0,1,2,3,...,i n และ 0na โดยที่ 0n เป็นจ านวนเต็ม
แล้วจะเรียก ( )P x ว่าเป็น ฟังก์ชันพหุนาม (polynomial function)
ของ x ระดับขั้น(degree) n
บทนิยาม 5.5.2
ให้ ( )P x และ ( )Q x เป็นฟังก์ชันพหุนาม (polynomial functions)
ของ x โดยที่ ( ) 0Q x
ส าหรับทุก ๆ ค่าของ x
- ถ้าระดับขั้นของ ( )P x น้อยกว่าระดับขั้นของ ( )Q x แล้วจะเรียก ( )
( )
P x
Q x ว่าฟังก์ชันตรรกยะ (rational function) ที่เป็นเศษส่วน
แท้ (proper fraction)
- ถ้าระดับขั้นของ ( )P x มากกว่าหรือเท่ากับระดับขั้นของ ( )Q x
แล้วจะเรียก ( )
( )
P x
Q x ว่าฟังก์ชันตรรกยะ (rational function) ที่
เป็นเศษเกิน (improper fraction)
37
ทฤษฎีบท 5.5.3
ถ้า ( )
( )
P x
Q x เป็นฟังก์ชันตรรกยะท่ีเป็นเศษสว่นแท้
แล้วจะสามารถเขยีน ( )
( )
P x
Q x เป็นผลบวกของเศษส่วนย่อย (partial
fractions) ในรูป ( )k
A
ax b หรือ 2( )k
Ax B
ax bx c
เมื่อ , , , ,A B a b c เป็นค่าคงตัว และ 1,2,3,...k
38
หลักเกณฑ์ในการท าเศษส่วนแท้ให้เป็นผลบวกของเศษส่วนย่อย
ถ้า ( )
( )
P x
Q x เป็นฟังก์ชันตรรกยะที่เป็นเศษส่วนแท้ แล้วเรามีเกณฑ์
ในการเขียน ( )
( )
P x
Q x ให้อยู่ในรูปผลบวกของเศษส่วนย่อย ดังนี้
39
ตัวอย่าง 5.5.17 จงหาค่าของ 2
(2 41)
5 14
xdx
x x
วิธีท า
40
ตัวอย่าง 5.5.18 จงหาค่าของ
4 3 2
3 2
(3 4 19 31 12)
8 12
x x x x dx
x x x
วิธีท า
41
ตัวอย่าง 5.5.19 จงหาค่าของ
3
4 2
( 2 )
2 1
x x dx
x x
วิธีท า
42
การหาปริพันธ์โดยการแยกส่วน (Integration by Parts)
- ใช้ช่วยในการหาปริพันธ์ที่ตัวถกูหาปริพันธ์อยูใ่นรูปผลคูณของ
ฟังก์ชันสองฟังก์ชนัซึ่งหาปริพันธ์ไม่ได้หรือยาก เช่น การหาคา่
ของ 3 6, ln , sinx xx e dx x xdx e xdx เป็นต้น
- การหาปริพันธ์โดยการแยกส่วนต้องอาศัยสูตรดงัทฤษฎีบทต่อไปนี้
ทฤษฎีบท 5.4.5
ถ้า u และ v เป็นฟังก์ชันสองฟังก์ชันของตัวแปรอสิระ 1 ตัวแปร
แล้ว udv uv vdu
ซึ่งเรียกว่า สูตรส าหรับการหาปรพิันธ์โดยการแยกสว่น (formula
for integration by parts)
43
การใช้สูตรส าหรบัการหาปริพันธ์โดยการแยกส่วน
มีข้อสังเกตดังนี ้
1. ให้ปริพันธ์ที่ต้องการหาค่าเทา่กับ udv
2. เลือกฟังก์ชัน u และเลือก dv ให้เหมาะสม
o เลือก u มักจะเลือกฟังก์ชันพหุนามหรอืฟังก์ชันลอการิทมึ
เป็นต้น
o ส่วนการเลือก dv มกัจะเลือกส่วนทีส่ามารถหาปริพันธ์ได้
ทันที เช่น ส่วนที่มฟีังก์ชันเลขชี้ก าลัง หรือสว่นที่มีฟังกช์ัน
ตรีโกณมิติ เป็นตน้
3. หาค่าของ du และหาค่าของ v
44
4. แทนค่า , ,u dv du และ v ในสูตรการหาปริพันธ์โดยการแยก
5. โจทย์บางข้อต้องใช้สูตรส าหรบัการหาปรพิันธ์โดยการแยกส่วน
มากกวา่ 1 ครั้ง
45
ตัวอย่าง 5.5.20 จงหาค่าของ xxe dx
วิธีท า
46
ตัวอย่าง 5.5.21 จงหาค่าของ 2 xx e dx
วิธีท า
47
ตัวอย่าง 5.5.22 จงหาค่าของ 6 lns sds
วิธีท า
48
ตัวอย่าง 5.5.23 จงหาค่าของ 3
25
v dv
v
วิธีท า
49
ตัวอย่าง 5.5.24 จงหาค่าของ 2cscu udu
วิธีท า
50
ตัวอย่าง 5.5.25 จงหาค่าของ 3sec xdx
วิธีท า
51
ตัวอย่าง 5.5.26 จงหาค่าของ sinxe xdx และ 0sinxe xdx
วิธีท า
52
ตัวอยา่ง 5.5.27 จงหาค่าของ sin(ln )x dx
วิธีท า